N . PISKUNO

clcul difere e inte

tom Editorial Mir Moscl

~ ~

H. C. nl1CKYROB

,11l1$1l)EPEHUUAJIbHOE 11 IlliTErPA 1l.bH0E WCQUCJIEHMfI

1

H3J1ATS.'IbCTBO .HA~KA. MOCHBA

N. PISKUNOV

CALCULO DifERENCIAL E INTEGRAL

3' ~diejn

TOMO

1

EDITORlAL M1R . MOSCU

r

INDICE

PREFACIO

CAPIT ULO l . NUM .:I\O. VAR IABLE. FUNCION

I 1. N~""mI ... 1110 . Rep_loeilm de nm . ... r l .. por .. odio d. punl .... el eje R"",bieo 7 I 2. VII .. IboolulO del nm.", ,....1 11 I 3. M.g"l tu~ .. nrl.bJ .. 1 tontunl", 10 i 4. Campo d. u nlci" d. - 1, "'l'Illud vari.ble H f S. V.rl.bt. ord~.d . Vl rllbl .. ..... 1.01'" y de< .... IOI1I ... v.,I.bl. _cotld. 13 I 6. "\lOdn 14 i 7. P""" u d. upreo;" do lundonM 15 I 8. ~unoion .. 01""''''\.01 ... fundl mf nl. l ... Puneion", el ... ,nenl.Ol.. 17 i 9. Puad"" ... 1,.,b .. I... 22 i 111. S;"I_. d ""rd .... d .. poi.... z. el."I,II po' 1 ,.pi,~I. I

CA PIT ULO 11. LIMITE. CONT INUIDAD DE L.\ I"UNC ION

I l . LI .. it o d. 11 m.,...ilud vI,ilbl . Vl n l hl , in l illlt. ", . ,,1.. Puo.IM" I col.d.. M. I 4. IlIlloliosim.l .. '1 .... printlp"l .. propl..,! .des 38 I 5. T..,....., .. lund&ID .... t. l .. tob .. ""II.. U I 6. Llmllfl d. l. funcin ~,eu.qdo ~ _ O 46 , f 7. NII> . .... , 8. LOfrl,lUdoo "'1",01 ...

13 -5:J..1

n

f &. C""Uauidod d. tu 1""0100" Sol f lO. All\lllu pr.0 Y pooillvo 16 f 6. Dorivod.. d. las I""d""", r " .. o' . ; , .. ,,,,. . 78 " 1, Oorin d . una "'",linD CODlII .... , del producto d . una "'"",llud ....... t.oll ' . por uno fuaei6n. do un ..... m. , produolo y .odeol. 79 I 8. Deri".d. d. l. func,6n lo."aril"'iu 84 I 9. Dedudo d. l . funcin e_p .... to li I 10. O .. I .. d .. d. 1 .. 'uDei"" .. ~ .. Ir z, ~ .. WICO, , _ In l z l 88 I ti . tu ac!6a impUeil. y OU dorlncin 00 I 12. O'fl .. .. d. l. funcin pol.nei.] coa u po".nle ..... 1 cualquie , de lo luncin up;>

CAPITULO IV. T!;OHEM,4.S SOBR E LAS FUNCIONES DER 1V,4.BLES

, l . T-..ma sobre 1 .. , .le ... do 1, dodvod. (T.."..m. de Rollo) "1 t 2. Teoremo ""bre 1", iocreUl.ntoo fI~lt .. (Teorem. do Lo .. n~) 143 f 3. T_..". ""b .. l. , ..

CAPITULO VI. CURVATURA DE UNA CURVA

i 1. LOfII!ud dol ...... y tu dar/ .. d. , 2. Canolu,. I 3. Cjl.ulo do l. ",,....Iu,. I 4. C,ulo d.]o ",,"llu,. d. llDO

I 3. lafnn.r~ y """"d. d. 'm ~oc\()< ""'>:\.

lu' CAPITU LO x. INTECIIAL INDE FINIDA

1 1. ,.....,;0" poi .. III la.ol iDd.lio.ldo il""/2 I 2. T,bl. d. ift""",,l. 375 t 3. Alun .. p,opl-cl16. 6. l. in~,.l ladriiuld. 3n I 4. lol.raclll por .. ",bl .. d. 'ono ble .. por oUIIII~I6:u. 37Q f . 1010lI"l"01. do cl,u .. luotl_ .. que .cOJllll1\fI\ un lIin .... lo

CAP ITULO XII. APL ICACIONES GEOMETRlCAS }' MECANICAS DE LA INTEGRAL DE,INIDA

I l . Cl"" IOS d 10$ ea eOfdeud .. .... Ionrul... ~78 I 2. A .... d. ua IIClar eUn'llrneo en eoord..,.dO$ poi.... '81 I 3. LOIIailud di un lreo de eu.... . 48J I 4. Cl lc" lo dol volumen d. UD c" . rpo "" fuocl6" d. l. hn. d ...... ion .. plrolel.. 489 I ~. V" lum .... d. UD cuerp d 01"d6n 4~ I 6. ATn d. un c"erpo de . evoludJI '82 t 7. Clcu lo dll lub.jo con .yudo di l. IDlogroJ d.llaido "!'4 I 8. Coordl nodn del con l.o do ""'edod 496 I 9. , (;Ilcu lo del m""'enlO d. ine",'. d. Un l UDH . d. un ti ... ulo y d. un cilind .o m..J onl . 11 InIOfF.1 delinido 000 E

PREFACIO

La presenta ohr .. el! la ptlmNa versl6n al idioma fIIpaiol '1 le .irve do bue la "'ptima edtet60 en fU"".

En mita vOl'l'lin el autor introd~jo. una &frie do s\1plornontO$ y modificaciones que contribuyen a l. mejor llSimUael6n del CUnIO.

Todo el curso e:at{ dividido en dOll tomos: el primoro tnduye los upitulo! I-XII; el segundo, XIII-XIX.

LM dos primeroa npi tulOil del tOIllO , NmerO, VarIable, Funci6n. y .LmHe, Continuidad de l. !undn_, Gatin eeedtoll en la forma m4. breve posible. Algunos pr'ohlemaJ que hahiluahnenle se I"alin o eo relo";6n con estu Iloo;[onn, en el eUr$

CAP ITULO 1

NUMERO. VARIABLE. FUNCION

f t. NUMt'RO$ REALES. R.I:'I'1I.ES8NTAQOH VE NU!IIEROS RE..U.E3 POR MEDIO DB PU""TOS

EH EL EJE NVIII8aJCO Uno de 1011 eOlleeptOll fUlldl.mMllal1M de 1 ... ml.lem' tlcu ea el

n(unero. El concepto de nG mero 8urgi en 11 I.lItr,edl.d, I mpUII-doae y tIaerl.li,adoee cOn el tiempo.

Loa a maros eateros y fraccionarlos, tanto poeltlvO!! como nega-t ivO!!, u como el n(mero cero, le naman /ldl7ltTo, rlldon4ul. El n(mero radonal puede npresane comO la .. 16n L d. dos nm_ , ellterol P J 1/. Por ejemplo.

5 5 TI t.25-=1'"

En pllrtleul l.r. al n~mofO lAtero p 18 puede cOlUidt r8f CIIIIIO a ru6n de doa Ame!'/1, . LOII 1I1l11eroll rt .. l" .. pueden upreur por m&dlo tle puntOll eJl

e' ejlnummco. Se 11 . 111. ti' nuntlr~ 1. una rtlCta Infinita eD l. cual . tb d.t.er",nldos:

- UD pun\o O que se deaomtn. origen; - UDa diteecl6n p08Ili ... que Be Indica con una fill

N + m + t . O.du que l. dif8l'Wlcia eotre estoa n6m.co! (l8 1... ce.d. , . .

luto da eUo" e.zprttla (1 con un rado de precisl6n pr&datermi.nado: 01 primero por del$eto, y el aegundo )KIt t:rceso.

Ejolll,lo: 1::1 nw.,m> lno.elQoa! 1"2 ... .... JI .... por medio d. ow..~t"" ..... 10 ,.. .. :

1,' '1\,5:C

2. El .... lor 'lblOlulo ck la (l1/enncl(J ck do, n.Wnuo' no e, mtllO" q~ lo. (lljuencl4 rk lo .... /ore' 4b..,IIoI/O' kl mlnumdo 11 s.mrae':do:

1""-11 1> 1""1-1111. l)eO,QIILrlc/OO. Supongamo:l que"" - 11 J . EntonCl.ll! "" - 11 + z,

y aeg(n lo demllSuado anteriormeote, ~ tiene: ' 1",,' = 1!1+z 1< 1111+ ( s 1 = (yl + ( ~-II (,

do dOlldo: I""I-IIII "I ""-yl.

como se tratabe de domos tr&r. 3. El oolor ab$llllolfo th l pr~lo el IgtuJ l al prodm:ro tk 10& 11

" eo".,ene lener ell cuenta que, en condlcionee filie .. coner&tu,

nna IIlSm. mag:gltud puede Mlr eolUlUn1e en UD fen6meno y vul.ble en c.!,rO. Por ejemplo, 1. veloeldad 18.11 ,1 movimiento uniforma es U"I magnitud conalenle y eo el movimiento uniformemente acelerado, UnA m1iDltud variab le .

Lft8 magnitudea !fuyo valor num4rico permlnGee invariable 1'10 cualquier fell6meno se denomina .. eDlUt4llk. 4~.,1 .. "S. Por ejemplo, 1, ru6n de. la longitud de la elreunferencll. y su !ll'muro es \lila mlgllitud eollltaole. llalllld. 11 .... 3,14159.

Ms adela"te n remOil qua al conc.epto cla nrl,bl, es luadamentel en el cj lculo difereoca e intee"". Federico Enreb escribe l O .01,-Ik t lea de 11 lIuuralez: .BI punto de viraje da 1 .. matamUicas fUI 1, lI'Iapl tud variable d. o.eart ... E:!to int.r04ujo eo \ .. mlltema-ticas .1 movimiento y. con '1, l. dlalktiu ., Ilmbi'n, por talllo, '/ 1I~ltIrl .. me"r... el c'leulo dUerenelal e integral .

4. CUlPO DE VARtACJO" DE LA MAGNITUD VARIAbLE

UIII Ml'flitud u rlable puede tnmn dlvereot vdn ... num~rle~. Segn el prnblema que ee GOMlden. eJ eonjuntn de estos valnrea puede NI' t.mbi~n dfono"le. Pnr ejemplo, 1, temperatu' l da1 .g ..... 1 uleutarla en eondieJoo., normelee. uriar' dHde 15-111" e huta

Fi.2.

.11 plllllo de eb ... lliei6n; " deeir, hUle 100' C. Le nrl.ble % _ eDIl o p ... ede 10mlr 100011 lo. vl lores wmptendidO.t eOlre- 1 y + t .

LOII nlotel de noa mqnltnd u rtable !le repl"$ntln i\lom6trl ca-meota por medio de p ... ot ... "U ,,1 eje " ... m'rleo. I'or ejemplo,. lo.. valorea d" 1I varilble % .. COII o soo repJ"$!le"tlhdoa por nll .conjunto de punllNl del eegmenlo 00. el eje numrico, dudo -1 haeU +1.

- Incluyendo utoa punt .... para todO!! loa valOre:! da (J ( fj. 2). Defluld6n, El eonjunto d. lodo.s 105 ",lo ... numrico. d. II

tnqnilud vuiable se denomina tl"'PO

" Reciba el nombre de inhrv% ,1 conjunto de todO.!l 108 valore~

lIumtrleM de Z GomprendldOll entre dOll D."1>""" daa Oll " y 1> (" < b), l excepcin de 108 extremOll, es decir,

QGUmI quo .1 IlIto,....l lo Ca. b) .. colllllder. do como v8Gindad (a , b) del punto z. en que ~ ..... , centro. En es~ cuo, el puoto z. recibe

.-.. . el nombre d. U1lt7O d.r ID wcl/ldQd; 1", m'!1lt\ld Z- 110 deDom.u NIlllo.u 14 PCelnd4ld:. La flr. 3 np'-Dula Yeelndad (z . - l. Z + 1) ,de. PWllo %.o. cuyo radio es e .

$. VARLULE ORDENADA. VAIUA8LES CREClEP\YE8 y DECRECIENTES.

VARIABLE ACOTADA

Por (oo"eoclu, una varla.ble J< u lH'do1llMl1l, . 1110 coooco su campo de var iaellm y ... puede preo::iau para cada par de su. va\o_, cuil de . 110. es anu.rlot y cuU pMterior. Aqur, 101 conuptlll Ilnt~rlon y , pOIIlerlon na M 11111111 nladoudO!!

que 10(lla diferentes va lol"\5 ~eioo. IH en el III!lImeolO 1-2, 21, es acotadl . Sin embt1'(lo, "ti no toma en . t, _mento .. a\orea IlTIclonalel.

, l. PUNOON Al cstudia.r diven.oe 'en6mellOs de l. llturAleu y !"esolver pro-

blemal 16e"ic

nadM, de lo.! dos valores de la fundoSn /1" -, (z*) y'" - f (~ .. ). eotletlpondientea a dOll valores del l,rumento,1:" y zO'- , ser! pOlllte-r lor 01 valor de la fu nci6n que JlT1!8ponda a l valor p"~terior de] argumento. De aqul se deduce la aiguleote de!in iei6n.

Definicin

..

,

, , . I ,

, o -.

-, -, _0.5 I O,, &t. tlibla detennlna T como tuncln do L

11. Fo ..... g"fL~a Dado en el pb.lIo d. 1 ,atema d. eoordeDadu ree taqul.,.,. 11 eu-

tes!" .. un COlljwlto d, 1

SI II de~lI der";1 fllD~'oJII I , .. I (x) es tal que I desigol unl up1'ile16 .. In_ltica, ae dice qUI II fuoci6n , de x est tzprutJd4 /IIIlllflfccamf/lk. Ejemplos de funciones upreSlldu aDl IIUcalll8nte SOIl : t) , . %"-2; 2) , _ r+ I; 3),_~; 4) ,-sell Z;

,-1 5) Q - nn'. etc.

Aqul, 118 funclonet estb e:rpreudu an.ULle.mente por medio di unl r6 rwul. (ee entillnde por f6rmula la iguldad de dos upre-. Iones analltieu). En "loa ea_ podemO!! hllb l.r de dominio nalu r.1 de ddinlel6n de la funcUIII. fI V_xt

El dominio 1l/I.tU1"/l.I " Ikft,,d6n dt IUI/I. flUl' d.!" e:Jpresada analticamente se IlOmpolle d.1 c:onlunto de .. 10m d, x para IIIt cuales le u pretl6f1 l .. aU tiea, Hgundo mIembro d, la lual dad, adquiere UII .. Ior determInado. hl, JI(Ir ejomp10, como domInIo natural de definicin de la fuucl6n fI _ %" _ 2 tenclremoa el lote ... valo Iflfinlto _00 < x < +00, ya que la funcin est' dtflnlda para todOll 101 vl lores de x. LII fun o x

.+1 cln , - x- t ~, de llnlda par. todos lO!! nlo. Fil. li. I'K de z. men Oll pan x _ 1, pu .. , IIInenlor reduce el denomlntclOf a cero. Para la lunci6n !I _~, el dominio

n'~lIral de definicill esl ' conrtltuido porel segmtnto -f ";z.(:t. etc. Ob..,rv.d6n. A V&COI lurre la necesid.d de Ulmlnlr 00 t odb

el domInio nUurl1 de definicin de I~ {uneJn, lIno parte do l. AsI~ la de pendencia del ir"a Q de un circulo de radIo R .. determina por la funci6n Q _ n.Ro. Al coeljder~r ena frmula geomtrlce apareee en u lidad de dominio de definici6n e\ Intervalo Inlinjto 0< n < +00, mlenlrq que el dominio natural de delinleln de la funcin dada es el inten, lo inlini", ~OO < R < +00.

SI II fUllCin , _ f (z) vlrna upfe5ada 1"llItlcamente, puede rep_111'$I! de minera "'Ika 00 t I plano d, coordlllllld .. zO,. /ul, por ejemplo, la r"lca de l. funcin, _ r .. I1 plr~bola. repre-IIlInlad, en 1I (jiUta 5. .

@. FUNCIO NES ELP.MENTALES PUNIU,MF.hTAu:8. . "UNCIOl'IES ELEMF.NTALES

L .. lunetontl tkmt"IOk, lu"d'J1nt,,'aln uprelllldaa anaHllu menle SO" 114 ai,ulenl,H:

i . '''''dd'' pokntllli: r _ ra, donde Q .. un nClml!fO re,l -0) Sl.do O.

..

Il. FUlld611 UpDMru;/lU; /1 - .. ~, 8n la qu ... es lID nmero positivo, dilelente d. t. unidad.

1I1. Funt:t611 I6garlt1ntc4: 11 - lo8'~ % en la cual la bue 4 ~ un o6mero posltlvo difel:eDt4l de l. Q11ldd.

IV. Furn:lQM, trlgl/ll.QmilTte 0, 01 -+ 1.

v

\ x

PIII. 8. ... ..

v

, .

PIg. 13. tlr. 14.

Esta funcin elIt ' definida p~ra 1~ v&lores do z > O. Su r' fle_ ... m\lutr. 011 Ila figuro. !5.

Funcione. trigonomltrlc8$. En lu f6rmulu !I _ seD Z, ate., la vulable independiente z se e.:pren eo radianes. Todas 1Al! funciones

t,III"1l01116tricu iudludu aoo porldicu,' V Su definicin general es como a.lgue:

Delinlel6n t . Le funcin 11 " I (zl y- IOIla/( S8 dennmilla ptrl.6dIJ!a, iJI. 6Jl:1$te UII 06-

merCl const&o\e e !.al que, .1 sumarlo (o rel!tarlo) al argumento "', el valor de

._--1IJ1f---- J( l. funcin noeealtore, f (z + C) .- I (z ). El valor Ii:tlnlmQ de este nmero OOIlS-tanta se denolllin. pfrlodD de l. M . eln; en lo aueetllvo lo deslgnllnlmOll por 2l. Seg{io 1, de fi nicin, l. fulIGi6n /1 ..,

FlJ. ISo _ aen % el perldlGll, e l'YO Periodo "" Igual a 2:~: sen % = sen (l!: + Zn). El

periodo de coa z tl.!I tambl~n Iguala 2:

I lItroxlu_mOI ahora el concepto de lundo de lum:.in. Si , ea una fUllCln de 11 y .. depl'nde, a su 'ffU, de nna nrl ,ble~, elltooo::es. , lIImbi6n depende de ,,"o

Si , - P (11) Y .. - '" (,,"), la funclo y de "" sed: y "" P [~(,,")J.

Etta fltnel6n le deDominl /unci6n de /1Utt:/II o /Ulld6n eoll'p"~rt4. Ejo.IIIpla l. s... r - seco ", .. _ %'. lA [ ..... 1611 r _ .. fll~1 MI ~ ... [IUI-cl6~ _p_l l d, ~ .

Obaervaer6n. El domlDio de definlcl6n de la fuo.el6n /1 - F lop ("")1 ell' cOMtitu ido por todo el dominin de 1, !uocln u - op (,,"), o ble" por l. Jl"te de kte en que 8e defioen 1011 valMM de 11 que DO ulgao luera del dominio de 1, funcl6n F (u).

Ejemplo l. El dominiO de 1. 'unel6n V" Vr:=7f Ir .. y;: .. _ t _ z') _ ol ...... nto 1-1.11. y. quo .. < o y I z I > I Y. por lo liniO, ,. funcn Vii' no 011' dollnld, pan _tOs 10", do Z (Iunq ... l. [u""ln .. _ 1 _ z. elt~ 401lnld. Pira lud".. 1 ... .,1_ do .,1. L. ,.' lIe. do Olla 'uncin .. ,,_ .. nI. t=a l ... IIN ... porior d. lo ~I",unl ...... cl. COlO ..... _ c.I1,,,d ...... 1 Of!!"" d, """"eud ... Iludo ol ... dlo de lo. .. ba ",. 1 la unidad.

LIt opeutin .runein de funti6n. pu~e eJllellluse no slo uu YCI, sino cUllqui t r nmero de YeCH. Por ejemplo. la fuocl6" ,. _ In [Kn (r + t)l 1M obtiene, efectWlndo 1 ... ulente operad-D.U (n decir. detfrmlnando l., ';rulentN h.ocltlnea):

,, _ r + j , ... _ $eO v. , _ lo u. Defillamos ,bora el concepto de fUllcln tlaonmtd. Dcllnldlin Z. La "ane in que puede IGr dada por la f6 rmula di

l. forma /1 - / (z), donde el s~gundo miembro de 11. igualdld HU ctlrnpUelto de luneJonu elamental" lunaarnelll.lc. y eonalantes, mediui la \lU nmero linl~o de oJlcracione. de ~dicin, ,ult raccln,

multiplicacin, dlYlsi6n y funcin de fund6n, MI llama fUIICI6/1 d.1IW1lt4l.

De eal ' definicin Sft deduce que las funcioDes upresa.dn 811111-tlcalDnte aoll fune!()ttM elementafes.

I!)tmploo d. 1 .. I"".ioo .. oI_Woo .. o, ._YI+4 oon'%; Icra"+4.ri+2lfz ~- t()i_.:+IO

E)emwo d. fODci'" DO . l. monto.!: ~ _ ' .23 ... ~ Ir .. I (~) I .. u ... lund6n no fII_onw, dodo qu.

o, nlll.ro d. 0 ..... ..,,00 .. Que d. bea . ...tu .... p.f. "kul r " " avme'lIlndo ",edid. q'" ....... n, es d .. l., el n"''''' d. op ..... ion .. .. aUDito.

FI . 20.

Ob!ervul6nc La fun"Um UPUellta en la figur& 20 '" elemental aunque vleM 'ilCpreaad. po. dI frmulll3;

I (z) - "'"al O

L. pi!!, .. d. la lu"ol"" ".16.1\( ..... lIDI put bol . lIg. 21). Sla~ funclon .. bl n . ido ,..,'odl. d ... dell ll .. d""".o t. 00 el en .... d. _

m. t,l 'U\fUCI.

tLA (ru lb) FIl. JI

JI. fu" cUin raei(l'IIIJ r.acc lonarla. Eata fu ncin se expresa como 1ft ~ .. n de dos pollnoruj~ :

~~+a,z"-t+ ... +Cl~ " .... V + b,:t"-' + " , +bm

Como eiemplo de una uocin racional fracdonari" pll~e s.ervir

, lA fu ncin I/ - "i"' que eIpreell una dependencia inversamente pro. porcional. Su grfica se muestra en la (iguta 22. Ea evIdente que . funcin . ae io"al fraccionarla est d"linlda par. todos 1011 vl lores de:r, excepto para aquellos qu" redu~n el denomlllador a cero.

111. F\lncln Inaclone l. Si en el segundo miembro d. l. (gualdad 11 - J (,:: se eledullu operaciones de . dicin . ~ u ~trDccI6n, mult( plicacin, divi!ln y elevacin a potencia, , lp"tI" lo! e~pone01.e!l nmer05 raciona les, 00 en lero.o, la J", "ciln d~ V 6" dependencia de ::r ee llama ,.,.oc(ollal. SUIl Irracio/UIlu la! i~~ :i(:.nWl sigu lellUs:

U+ 11; -v= ; y_ V::r, etc.

Y1 +5::r'

Ob8trndn 1. No toda~ lu funcione~ algabuieaJ utan compren. dida! en tre8 tipos. do funciones mencionada.a. Se denomina uncidn IIlg~braktl cualquIer uncin V = f {;tJ que tali8faga una lN;uaeln de la forma

1'.(Cl:JII" + P, (Z)II"- ' + ... + p. (z) """ 0, (1) donde, p. (zl, P, '(zl, . . , p" (z) 80n ciertos polinornlOlL do "'.

Se puede dcml>!ltrar que cada Una de In funcion e!< que pertenece a lo~ trea ti p"" mencionados satlsfpe;. ~ El eadlo WClOe p 56 conSidera siempre 110 negativo. SI el 4ngulo w 1ar '" uda en los limites 0

En la flgurft 24 $e ve: 2' .. P CQ3 'P, 11 '" P seo q> e lovnrsamente p _ Vi'+""" V": tQ' 'P .,. JL.

. ' Obsol rncln. Determlnando'P bay que ronnr en cuenta al cUlldrftn-ti! en que se ba ll . el pUDIO y tomu el valor cotrflpondiente de "'.

En el sistema de cCKlldeDadas polanl! la ecuacin p "" F ('1') determiDa una linea.

&J"IIIp lo l . EQ ooordellod .. poi.,. lo ..,uo~j6n p _ 4, dood8.o _ "" ... 1, det.er",n. "DO clrt.unf.r. oclo d. rodlo .. )' nlro ea '" polo. L. eeuoelD

'1

d. l. mi ..... elle"nl ..."..I. (/lg. 2~) en .1 ... Iom o d. (oord .... do.s toeUlogul". , Irou do '"" 11 fo",, " upUOSI . ... l. flgUfO 24, _.

Elt ",plo 2. "Vrt + V' _ A zt+~_ . p _ ." donde . _ con'l .

v ",,," lo La bl. d ... lo, ... d. p par Igun", ... Ioreo d. ,,:

" " I , I , I I , , , , , ," " ," ~ '" "

O ",,0,78 "" 1.57Q""'2,36~ ... 3,1' 1"'" 4.71 .1 "" 6,28 .1"" 9,~2 ... 12.5G" ,

I'lr . g

La ca . .. l ... pond l .... ' ... muaL en la llru.a 26 y H llamo " 1'1",,1 d. Al"lul"'ed ... .

Ek m,I.3.

1.:-", ti l ....... i611 de ~ ... tlreunleron a lit 'Idio o J .... tro U ol pullto Pt - . J.- O. (lIa. 21). t oe. lb ... 04 l. eeu lltn dt esta tlreunlt"",," .., ooo,donodu ....,Ionullm. Ponlondo en Ia ""1.14n P- Y;J":fiI. 00 .,_

. .~, -)1 j,oIltIId,em ... : v .... +, _ 24~,o ....... +~_2u.,0.

""+. y.I+,. Ej.,dd. poi'. ~ I "lIul. I

J .. Dad. l. ru~i6n I (~) _ ~. + &z _~. Comp .... b quo , (1) _ 3, 1(3) "'; 23.

2. /f~} _ .t+ 1. Cal .... I., 101 vllo .. s: .t I tOI. R ........ ,., n. b) I IV1I. Rr~"o, l. e) , (o + 1). R .. ,IM.'" I +". + 2. d) I (o) + 1. 11 .. ,_,. : + 3, o) f (oO. /1 .. 1':.."" l' + l. 1) l(i.) P. R , .. ".: .'+ 24'+ l . ) 1(20). R .. _"o: 4t + l .

. -, (') , 3 'Z) _~. Eserlbl. 1 .. u ...... lon .. : -; J"i1iT ' 110."...01', ( ') 1-.. I !b+~

., "; - a.:l;; 'i'(') - -r:=-' ~ . >;(.) ... 1Iii+1. 1:": .. ,11>0..,. las up",P_ .,2') } .(0). R ,.. ... o:

. (2I) ... 2V~; t{O)-!. 2/(8)

!;. /(O)_IIO. Comptobo.la !",""Idad 1(261-1 _ 1/{9lll ' ,_o ('+') t.. 'P,.) ... 10ll\-Fi' C. U. ,_2-". ~ . _ I"II::! .!. . S. ,_.'+t. %7. ,_'_zl .

,

~ _ .... 31. ~ _ "j. 5%. _} I ~ _ . 33. ,_ .. 1, r - h ... (2-T+f)

. r- '-C"+y) ' 39. Lo lun.ln f(~) .. 1' d.fJold. "" Ihevm . .. to [_1; 1I d. l lI1od" aigulWlIt:

I(~) _ I +. po'. -1

CAP I TULO JI

LIMITE. CONTINUIDAD DE LA FUNCION

I lo lJM ITE DE LA MAGNITUD VARLUlLE. \'AR1ADLE INYINITAMENTE GRANDE

En "te prnfo trllOt .. remO.! de lu IP lI.gnltudea ordcnBd.~ quo vllllmn de uo modo eapecial, dotennioado por h. upreslIl da ,aria. ble tIende. un limite.. A eontinuac ln el COncopto d~ limite de . varlablo de50mpear uo papel fundamental ya que oon 61 eatin re laelopadOS los conceptlla fu ndamentales del anillala matemtico1 derinda. ln\l!gt-al, etn el punto ... oi

Pt. ...... L~ ...... ~ tod .. 1 ..... 1_ ,...twlo ... de l ..... I.bl., "".tI. da _, d .. d. ff-. .. tt"_~ l. d .. .... ldad 1 ... -I I

" O-"ncln 3. No toda Vlrt.ble. tiene IIml\8. SUpoJIla1Xl08 que

a "viab le % toma 8ueeaivameote kit aifUienU:II ... lo~l! I %' -2 ; I :mlna fn/l.nll4lnwnk ,r4lUk y filia tenden~i. se Upl'fll QI: z -. oo.

t:~lIIplo 3. L.o von.blo ~ '1'" \.,... 101 v.lorq: ~" _ 1: ~_2.: :0. __ 5: ... ; z._ {_qo.: ,.'

.. Inll"I\.O"'~nIO ro.n,lc, yo qUI,". cuolquler n i". di M >0 loo", 101 .. 1 ...... do 1, v.,l~b lo, O portl. d. unQ "el l< ,.on ml)'

"

f Z. UMtJ.; DI! LA. I'lJNCION EUlDln~moe a1llll(JII ~ de variaci60 de 11 111 l UQ.d6u euandu

el llYUmenl.O z liellde .. \UI limite" o a l lllfinilo . Deft"lel6n l . SuponpOlOl qua. ftmehSn 11 _ 1 (::el t8l' definida

en determinada vecindad del pilOto. o 1 .. cierto. punl

Supongan, WI que la variable z est' ordenada de tal maoer. que si \ z - 11 [> [;rOo - - a l,

entooces . .1:.- es "alur pa~te.lor. y ;r. , el Bnterior. Pero al IzO-II[ -=[I " _ 111 y z' < ;. .

entonces ;' ser el valor pusle.iu. y ; . e l anteri ur. En olr.a p. labr8ll , da 10 5 dos punl"" en el aje num~rko. se r'

plMltarlo. el que est m", ceru del punto 11; .1 iI

EJ_., t. l. DmI_ ......... q~. ti ... (3~ + 1) _ 1. ,: . el " I~_,""'" 0_ ' q_ al' dado .,,,"".i ...... DtO 1 > O; PO" .U~ ........ pI. l. d ... ,...lo:IlII

!l~ + I I-ll < ~. l . nH~.,io quo MIn

Pan olio .. D_,io demQ$ln. quo olendo ~ " .. nobae ....... illtr lo plir' l. d .. iguI ldad

.. C"m_

.Y, dOp"Ddlondo N de la elOtcI

SI J (:el tiende al infinito cuando :e-+ G, 8e escribe 11m J(:d= oc .-.

6 f (z) _ oc cuando z _ oJ. Si f (z) tiende al Infinito, cuando :c _ /1 , tomlndo B lo ulon.

poslUvos, o bien B lo pegl\ivoa, se eaeribe, _peeUument8: llm /(z) = + .... 6 11m 1("') = - ..... - -

.l!!jo..,plo t. O ....... t ..... o. que 11m ~ I _ +co. - _1 "-"r

En 01..:10, pa .. eut lqu lon M >0 tIOlItlDO.t: ,

1f=iji>M, , ,

(1-")'0, pa" ,,

Si la run~iD J (.t) tiende al InfinIto cuando z _ DO. se escribe: 11m J(z) = "" . --

y, en particular, puede suceder:

11m 1(.0:) = "", 11m I(z) _ oo. 11m I(z)= - oo. &-.... ~-- .. ~- .. -

Por ejemplo, lim ~= + oo, lm z!=_DO. Gte. . -- ~-- ..

Obo!ervacla 1. No es fO""080 que la fun~i611 y '" J (z) t ienda e UD Umlta finito o al iofinito, cuando % __ a 11 :e __ DO.

F.Jemplo 3. La Innei6n , _ ".;,o~, do.linid . 011 . 1 lp!.er .. lo Ulm ltado - 00 < Z < + '"', euando,. _ '"'. no tiende a ~n IImlt . IhlllO. ni .1 ."flnlto (lla. 86).

FI, . 36

BJemplo 4. Lo. ""eln ~ _ ..... ~, definid. para tod Pl 1"; vlloru d. ~. O~ctlp\O ,. _ O. DO tlend~ I UD limite I!n!i~. ni la,mpoco . 1 Inllnll o. en ndo a_O. Lo I"fleo d .... 1.O fu""in e~poM.a 1. fir. 37.

~hfi'r .,~ 1'1, .31

Definicin 2. La funcin V _ / (::

EJe",plo~. La funcl6n , _ ~ .. z. definid, ... el 1"1 ...... 10 i n!!al'" ;; ': ;; :tr1i~: oo. OS "'Ila funclII ae lad., dado que pora 1Od0& 10& ,..1_

, sonzl < L_ M. Dt:flnIgl6n 3. La fun cl6n J (.z:) se denomina , .. ",f

es decir, si 1 (~)~! infln l1.&m~nle grande, N~ lneln no osli aeouda. La Do tacin reciproca no es cierta; es decir, que unl funcin no acotad. puede no ~III' inlinitamenlc grande.

,Por ejemplo, la luneln V _ Z &en~ , cuando ~ _ . "'" no est ' acotado, ya que para cualquIer M > O u pueden encontrar .alOI'M de ~ ta le! que I ~ Sen ~ I > -M. Pero la funcin !I _ ~!len ~ no es I.nlinitamente grande, pues 8e reduee a cero. cuando z = O, _1'1, 2."1 . t.. gr" fin de fa funcl6n 11 ~ ~ seo ~ estA expue!lta eo la Ilg. 38. ,

Teorema 2. SI '!!:: f (z) - b oF O, la /UnI;16l1 11 - 7(%i tst4 uoIooa, tuandD ~ -+ a.

Dt:wO!tracl6n. De la hip6 tesls dal teorema se deduce que pUlo cualquier 1> O arbitrftrio, en cierta ... e'CIJldad del punto ~ "" /1 tendremos:I/(.:) -bl< e, 6 IIJ{~)I-Ibll_,_>....!2..... 9tbl II(~)I Blbl'

lo que significa que la funcin f ~~) est ' ecotada 4. INFlNITESIM\.LES l' SUS I'RI NCIP\.U;S PROP1F.DADES

Euminemoa en Hte prralo las !unciones qu"" tleodeo a ro, par. derto modo de ... e,riBein del .... gumento.

Definicin, La hlllci6n a _ a (z) ae denomina InJlnltammU PftlUDa l. delJnleiu de limite !le deduce que si, por ejemplo, Um a (~) ... 0, esto signllica que, para cualqu ier nmerO positivo _ .. e prelljndo y srbitranamente pBqueiio, fI8 encoutrar' 6 > O tal que para todo8 101 % que nti5fa~n l. condicin I.t" - a < 6, !8 verifique la condlci6n I a (::) 1 < e.

Ejemplo l. la f,,"ei"h _ 1%_1 )1 .. inli nlu.mtnlO u. ji "udo _l . dodG que 11 m _ U ... (% _ 1)1 _ 0 (lIg. M) .

. ~ \ .~[

" EJn>flle 2. LA 1 .. ",,16 .... _ -} .. Inllal_'- peqwII&, , ... Il -

. lImo dl l IImr" t 1 tI tnltnUI.rm.t .. _. lIS dletr, ,_t+ .... Teorema 2. SI a _ a (:&') lfUld. A .:mi, .~"IlIId~ Z _ A (~ ~lUJIIdo

-+ 1>0), #lI! rld"d'~ A uro, .. Intdr~ 1/'" .. _ !. tfmulIl I"'Inflo .

~1Il .. 1 ..,J.6n. Por Ir.od~ ql.le le. Al> 0, ... eumpl lr' la dal. i\la ldad ~ > M, siempre que U eumpla , a J < ir. La illtlmll dal .... ld.d 110 eumpUr& par. todTeoren .. 3. La $U/1I.Il 1I.1,~b~"U4 dl dor, !re. o '''1 ,ulmero d,,~rllll-nodo de 1II/Injf~llmak, ti uM fund6n Inf lnllamtnl. pfquefi4.

g

,

~posf tI6n. Nos limitltemoa e dos aumaodos. ya que la dtmostrael6n ti adlole p'l'1I cueJquifl nmero de ello..

Sl.Ipongllmos qu~ 11 (11') _ a (:e) + ~ (:e), donde 11m a (:e) _ O -y 11 m f; (;r) - O. DemOllll"llmOll que pare euelquier e > O lao peque60

.-. eomo.o quiera, se encoolrltA 6 > O t. l que,.1 satlsllcer 11 de5[gllal dad I z - el 1

De uD modo an ilOfO le detlluntra el euo: lhn {z) _O, 11m ~(~ _ O. ~- - .- ..

..

ObMrvlI - b '1'> O. Ilasandose en el uorema 2, J 3 se deduce que -'- es una

: (a)

Umll Cnll~.jdad

" El producto 4,4, !! una tonataote. Seg60 1011 tOOnlIDU del , ~,

l. magnitud D,n, + lI , a , + D,a. l'3 Inlloltamente pequeRa. Por _ tonalgulente, lhn Ufu" = a,a, "" 11m 11 , . 11m u,_

Corolario. Un fector consuole 88 puede g el. fuor. del signo de limIte. En efecto, al Um u, .. 0" ~ __ conllt. y, por lanto, 11m ~ _

~ e, se tiene: Jlp'I (cu,) "" 11m ellm u, _ e lm u" qUQ es lo que ~e trataba de

demWltnr. F.;elDpio 2.

tim (>0' _ 5 111,,_ ~ ' _ 5 , 8_ 40. ...... _1

Teorema 3. El IIl/1ltt del tk ntt de dOl rxvloblu ti Igual ~l cocll'ntEjemplo 3 . lhl\ \3,,+~) 3 1 1m ,, +~ Um 3>< + 5 ... _, ._, 3.1+ 5 ,

" ... ,iz-2 HJD(' ~ 2)- 41!",>

..

Aqu! el denominado:< r ,1 D01lI'Ier,dot d""d.n .. '0, eu .... do ~ .... 2, y, PO' unto} el ""'remo S na ., dUdo po,.., el e .... l\~II.eI>"'''' la .IIU1'''11 u..,d ..... ",odon idb tie. : _

:'-~ _ ("-2)(:+2) _ .,,+ 2. ",_2 "Z

L. """. IO:m II." .. vlida P'" I.a 4. S enlTe lo' ooloru CI>f'T~$PQn.d;cnle, ck 1.., trtl1u~ d01ll!' u. = "(,,j, t "'" ,(zJ. 11 - U (zl, '" cumplm la.! dulgJMJldtuki u "" '" 11, If, Dem""lrllcl6n. PAra precisar 1 .... ideu, examinemos la variacin de laa tunelonee, cuandO) z -+ 0, S9 encontrara alguna vecindad wn eentlO en el punto d, IIn la que se verlfica. la desigualdad I u - b 1< 8: del mi1mo modo S8 ~ncontrar tambin alguna \'ooio-dad con eentro en el pon", 11. en la que 88 v~rifielll la d8iligus ldad I u - b I

y, p'or ta nto , t8mbli,n, ~e cumplirn las de.!iffU. ldBd!\'J _B I b 1, el! deci r, el m6dulo de la dlferoncia f /1 - b 1'" mayor que el nmero po..itlvo I b I y, JlO. .

De I~ miSIIl A manera ~e demuestra que lim /1"" 0, si /1",," o. Teorema 6. Si m t'" //)$ valOl"t, corl'"t,pandkntts Ik d/)$ fu.ncU~I,

u "'; . .. (zJ y ... _ v (;;J, qu.e t/enJ. " 11 $U$ Ilmtta rtlptcltool, cUlJl/ilQ ;; ...... 11 (o cuando z ...... (0), se cumpk la /krlgU4 1da.d v;;.. u, lambU" u IJI!Tlftca,d qu~ Iim v :> lIm u.

DemO!ilrar i6n. Dada la condicIn v - u >- O. y, de Rcuerd o con el teorema 5, 11m (v - u) :> O (1 Ilm v - lm u >- O. e, decir, Iim "> lIm u.

Ejemplo 6. DemOlir rtmOll que 11m """ z _ O. S O, und .... ",,,,, .ol e _ .... %,- AB _ .

V.;. ... '10 a. l>u>o.l ..... OII q~ 11111 ..,u _ l . -.

SLoa6o CM ~ _ I_Z_'!.. . ~o . 11m. a>Sz _ U .. (t-a_sfl-z l . _' _' - 1-z~""T- I -O- 1.

En algunu IllvesUpc:lone5 I"eSJ*t.o a1 li mite d, lu urlablOll es n. usarlo nsolnt" d~ problemu Indapeodleotet;

i ) deroOlv&I' que una variable tiene &0 limite J dltermlu.., Jos conllnq dentro de los Guales se ' OGUelltr. este Ilmll ..

2) u leular el limite d .. do con el do da proeleldn lleee~ . A ,,_ , 1 primer problema se relluelve mediante 11 algu lente

Imp.orlaote teOl'Gm . Teorema 7. SI la IIIOlm/ud ..... tllblf u el fl'td~n"', e. dlr. Id4

I'OIlDr ptulnlM th 111 mUm4 er 1/UIgDl' tille elllllkrfor, V . 1 ta "llCot4d4. " ... u < M, tAlonee. d/dl./I uvlllble 11m ...,_ lfmU. lm 11 _ 11, tkItde 01 < M .

En el c.uo d, que la m.gnltud .... ri.bl. _ o5_ ll ote J ~ u.d , 1 '-IIlI correspondiente .. lIounoel, de UD modo .melote. No 05111'10. .qul. la dellloetnei6o 05,1 t eo"IIU porqllf MI bu, eo 1-. teorl. de 101 o6m_ I'IIIlles, que DO" eouhlen 111 , 1 pretente CIriBo.

Eo loe do. phnfOil atguleo tu ",moa I u.leubr lot limi tes ti. dos fundo"" qUI denen gran .pllceel60 en 1 ... m.a\4lmiUeu.

l. LIMITE DE LA PUNOOM M:'" , CUANDO "'-O

L. fUlI(;lu ~ no " ti definid. para & _ O, pu.to que tanto

elllumerltlor, como I I dellominador de 1, fraccllI te "dueeu a cero. Velmo. el IIm1\41 de OIItII fuuc.l6D , cUllldo $ -+ O.

C2N' , .. , PI,. 41

CoD.llde .. mlll unl circunferencia de radio t (ti,. -4.3); d.l.gwlmOll por x, el inulo celltral MOB, eelldo 0< z < 2" Eo l. fig. 43 ....,

puede observar que: N .t:. COA.

.t:. MOA < rea del sector MOA <

, , , Are..o. MOA .... 2"0~ .M8 "' 2t. llen;e~2sen z.

1 -- t t Aree del 5f!Ctor MOA - -20A. AM .... -t t .;e- --r. , , ,

Area .t:. COA "", 2" DA Ae .... 2.1 t8'''' =- 2" tg..,.

.~. (.,

Suprimiendo el lac~r tl2, la de.sigualdad (i) "" 6/ICl'iblr6 asl: Bell;e < ;e

..

~jt ... plO1' 1) u",..!I.!.._ 1l1D ~._ _ _ HIII ~.l! .. _ _ _ I . .!._ t .

..... " ~" COI" _. r .. 4>1" I

f 7. Ht/)(UO lO Eum[cemos 1 .. magnitud variable

donde 11 ea UDI. vati_ble ereclenta que VI. tomando Iot velo.ru: t , 2, 3, ...

Teore.awo l . La UIlI'l4bk (t + "*"). U~M IU UmIU tOtrlpnnditlo rntr. 101 n4muo1 ! r 3, cU4lldo n _ ....

DemoBlrad6n. SetlWa el binomio da N,.ton, podemOl nc:dblr:

+ n(n-1.)(n -Z) ( ,-)' + { -2.3 11

+"'(11- 1)(11 2) . (/1-(11 t)l(~). (t) t .2. '.' . /1 "

Detpuea de l taWlfonnaelonu al~b"'tU tvic!clltu (1) , obtene-mce,

+_I_ (I _l)(I_ ! )+ ... 1.2 . 3 " Il

... + 1 (l_l)(I_!) ... (I _'-=.!). ,~ 1 2 ... . n /1 Il Il

De la (tim. 19ualc! .d se d~uct qUe l .... riable ( t + *)" es creclent., c .... ndo CletO n.

En er~lo, cad. uno do lo. , ... maodos ttete al puar del valor n al n + 1, es decIr:

-'!"(t _:")

1 - 2")' por primer trmino, 4 = t; por eslo: ( 1)" [1 1 1 1 1+-

"

Teurema 2. La UN/4ft (t + r t 1 +_1-. Il z 11 + 1

(1 + ~ r+1 >(1 + ~-r >(s:t. lI~tr. Si z_oo, es evid' llt.e que ta .... bl'" 11 -+00. HallelllOll 1000llmitea

de 1 .. variahl.-s enlnllo.. cUlloa ee encuentra l. vnl llble (t + ! r, 11m (1 + ~)O" _ 11. '(1+ ~)O (1 + ~) _ ~_+ .. Il A_-+ _ " fa

= li ra (t +'!")", 11111 (1+'!') _e. t=t. - ~_+.. 11 ._+_ ..

( I )0" 11. (I +_I_)A,. Irlll t+;:tt _ .- .... n+ l . _-too i+~

"+1 ( I )0" 11m 1+--

.-+- 11+ 1 t ---, 11m (1 +_1_) I '

.-.. .. 11+1

'"

Por hntG, ae:l1n el teorema 4, I S, MI Un.a:

11. (1 + 1-)-_t, __ -+_ Z (4, 2) SUponPDlOll qua J: ...... _ 00, I ntrodu_eamtl una Dueva varia ble

' ''' _(r + 1) (1 aea ", ... _ (I + 1). Cualldo t_ +00, tendre810ll que z ...... -oo. EntoDcU

( , )' ( ')-'-' (. )-~ ' Irn t +- "" DI. 1 -__ .... llll ___ _ . ~-.. "., .-.. .. t+t ,-'1-- t+ l ( .+, )~' (' l'" ... Hm __ _ 11m t + - _ . _.. .. I . __ t

El teorema queda demostrado. L. gl!lca de la funcl6n V '" (1 se e.'(pone en l . lig. 45.

.,

-, ,

. l' t-

SI en 1 .. 'u.ldad ('J ultrodllcimOll !. - a, tlnWnUll teDemoa

(J; ...... O (pero, CI "" 0), (",ando z _ 00, f obt(!oornOll; ,

11m (1 +a). _ e . - 0

" ~jao,t..,

1) !!!'!. (l+-;!-) ,*I_ ~ (t + r (I+-l-) ~ -!::. (I+ rx X U'" (t+...!..)" .. .. t _ . . - .

,

. 11. (t +~)".llm (t+..!...)". Um (t+ ..!. )"_ ..... .. . I. -" ..... "_ ....

3) ~ (I+r- !!.'! (I ++)~-". 4) 11m (!!)~I_ 1I111 (~).+I_ 1!m (.+ )*.

_ .. ,,_1 _ .. "_1 __ .. _i

_ 11m t +.,-,. - U .. 1+_ .. ( ')~t)+1 _ ( ')'" :r-_ ,,-, 1'-" W

'l. LOGAIUTItOS IU.TIJIlULES En el pl"ro 8 del 'c.llpl tulo primero 1M! h. defInido l. funcin

lo.rhmiea. JI ... lo, s. Como u $oI. 1>e, el lImtro " 1M l. bue de log.rltmos. SI " _ 10, elltonen JI le denomina logaritmo dl!(;imaJ del nmero JI. e 11 se oscrlbe JI _ lo, :ro En .Ia eaouela $ll'Cluldaria " ettudian II t llblll de lo,arllmol deeimales, UamldOll ,-mbl6J de

D~irt., nombre del libio Ingl que los inyenl6 (1556-1630). te. 1000aritmOll que tleoen por baae el o(mero , .. 2,71828 .. . ,

le llama .. ""turIJIe. 11 ""-""1M .... , e.D ~nor del matem' Ueo Neper (t 550-16f7), 0110 de GIl prlll,luot ln..,otores di 1 .. !Ibl .. de loglrit-mOfo Por Wn51gultllle , &1 ,. _ z, entonees .. H den.omin.. logaritmo n. tur. l del n(jllleTO Z, y .. uutbe 1 : /1 _ In z, tn lug'r de 11 -_ loa. z. (V6aae tu adofiu l de lu funeloDeI .. _ In. Z /1 .,. Ig z en la fia. 46). Dfltlrmfnemot .hora l. correl.eion que ubte entre loatritmos decimalBlJ y 1 ... OIturl lll1l de UD mismo umtro z. Supon-gamOll que 11 .,. l~ z, o M. Z _ t".

Tomomos lO!! aguluDol lI.tunl ... de lGII doa Ullembl'Ol de la 61th". er:n.ein, tscO(itndo , tOlllO base, y lendrelllQt: In z -_ 11 In tO, de donde .. _ ~ 1" z. Sustituyen.do el Ti lo:.. de /1100-

10g", _ _ '_ lo",. In 10

Lo que quiere de

en I/. El nuevo va lor Inct1lmentll.do de la funcl6n sed VO + foV -... f (z. + ~ (Iig. 47). El incrementn de l. funcin foV iJ8 uprua median" la frmula

I/ = f (olt + IU) - f ("'o). ,

,

..,'"

Ejem pLo t. c..n.}'rob (::r) "" 1, (::r) + l . (::r) ea un. lunein continu .. , como se t tfltaba da demostrar.

Como corolulo, observemos que el te

BQindon eD lu propiedades de los limi tes, le puede demostrar Ullnblb loe t8Ore ..... algulenUII!

a) El produeto do dos ' ullclonH coDlinuu es una IUDe!6n con-llnua.

b) El cocIente de dot fundonea cOlltillU15 ea UDI lunci6n conti -nUI, al el deDom.lnador no" !'tIduce a cero en el punto COlUlderado,

c) Si u"" '1' (z) es una funcl6n cont inua par. z "" z. y si -' (u) l.aDlb"n ea coutinua en el punln 1.10 _ '1' (z.), l. funcl6n eompu~ta f f" (z)l l e., eonllnua en el punto :1,.

B-.hdOlSe en I!! IOOI taoremIA le puede formular el I lll'\I lenle t_ rema.

T~reml 2. Ciualqulf'T I!UIC~A dC"IOIlal ucontinua ~" cad.!: pum" tn ti cual la funcl6n , d4 ikfl/IIJM.

Ob&c .,aeln. Dado qua an la igualdad (2') Iln I(z) = f(:rJ

podelllos 8Icrihi.J as!;

. -~. :1._ 11m z,

. -..

11m f(z)_ffl.m z) , "-'"

(3) decir , que pan halln el Iklli!, de 1 . funei6n colLt lDuI euando z -~ z, . bu t.a .u.sUuir el aromeDto z por Sil .,alo. z. an la e"p!'tl-.6n d. 1, fU1lC16n.

f,jenopl .. 3. Lo f"nein W"' "O ~I ""nllnu. en

" por _ _ , ... tle ....

o.e ll ni eln 2. S~ dice que la funo::in , '" f (.0:) ea cQotinua IIObre t'llnLervllo dado (o, h), donde Q. < b, sIempre que sta. sea contInua

~n coda lUlO L , Si la func160 est,; defin ida tambin en el punto ;: .... a Oliendo.

Im I (.o:j = f {Qj, Be diee que en el punto .o: - a la uncIn I (z) es .... 4 -" (onlu,ua pO' 111 : -= >:o la funci6n no esU deIlnlda o no eJl:Islu el IIml" lhn f (:.:)

, -, o bien 11m J (>:o) -+ I (>:.) t uando >: _ z. de una manerM arbUra-

--.ia, a pesH de que ulllten las e:rpre.eiones a la d_b. y a la hqllle .... da, elltoncu la fund6n 11 '"' f (>:) e!I dl311:outlnlO4, tuando z - Zo El PUDIO z _ >:0 !le denomina, eD Ste CaBO, pllt1tO

Eje_pl_ 10. Eu.ali ... _ la I~QCI 1 (,:J,

00

m 111 qUl: ~ ~. CU4/qtOl" otro JlUllUl tkl K_nUl, 11 so ""amD'..,.d I"m.: blln por lo "",IIG~ UII punto z. tal que el lItllor tU la Juncl611 ,n d mi ,",,, Uluflll" 111 ,./Qe16n

f (z.) ~ I (z) . ' El valor de 1" funeiD I (:t'1 se llamA t'(W "",zlIM de la funcin

y _ f (zl en el aegmento [11, b y el de la !undn I (zt) 58 denomina velar '1'flllll1O de 1 .. funcl6n en el miaroll segmento [, ,,1'Itl er; po~ lo menol. su !IOlo. m6.:dmo M y .,. rnlor m(nllM m.

La iuterprntacin geomulea de '!'S te teorema ae representa ~n la fill'. 51.

Observacl6n. El teorema oounci'lIdo pnede no ser cleno., d.bldC) a que entra los valores da la fund611 meneionada pueden no existir 1/)11 valores mximo y mnimo en al intervalo 11 < z < b. Si, por ejemplo, eum;llamos la funcl6n y _ % en el In tervalo 0 < z < t nO hallamos entre sua valores el m.imo, ni el mlmimo. En realld"d e:!!to debe ser as!, pues no niete el Pl!llto utremo i~quierdo, ye que si tomamOl! cualquier punto ro hahr' si"mpre otro punto, pllr

". .

ej

..

Ejemplo. ";'a b funcl6n r ,- rI_ 2. S. tiene: 11_. - - 1, jI~_3 .. 6. Est. IUIlCi60 e' "",,\lnua en el oeg .... nto [1.2J. Por tanlo, ~n wo"bUl un punto do" .... r .. . ' _:! .. ~U" ""ro. En ~f .. IO, , ~ O cuando .. - V2 (lig.53).

,

-,;,hI/-I,-, -,

PI,. 56

Teorema 3. Su. V - / (z) una ', .... cl6n de/halda 11 ContlJ1U4 IDbre el ug~nUl la, bl. SI e/l ~ tzmmo. del #&"""'(0 dado /o 1wu:1411 toma valore, dfert .. t j (a) - A, I (b) _ B, 4kmpre se uu:ontnv6.

, ,

, P

P' ''' P ,

H

m

,

, , , " '.

FI,. "

FI,.55

un punto z - e, cOmprmditloentre a 11 b. tal q~ I (e) .., )l, cl/./J/quf4ra que ...... el ,.lImero )1 comprOldldo entre lo. ""lore. A IJ B.

&I.e teorema Be interpreta c!a.l'llweot& eo la fig. 54.. El! el CfllIQ dado, cualquier recta 11 ... )l oortu b. grfiea de la funein 11 "" f (z).

Obsenael6n, El Uoroma 2 es UD caso particular del leor'ma 3. ya q,ue. uniendo A y B signos eODkarioe, podemos tomar el Rllmaro O

eotrJo valor de o.. )' en k>n cca " _ O reault ... eompnondldo enlre los nCUnerot A y B.

Corol.,lo del teo~,". 3. SI / .. Juncllm ~ _ I (z) ti 10",1111 1naidllnldo, en el 111, 1 es" den .. lila ,. '\locin f (z) (fig. SS).

, 11. COMPA 'IACIOH (lE LAS lIAGNrrUOU I IU1NITt:SIIIALES

Supongamos que uou eu.ntu m8nit"d~ lnflnlt. mont.e pequ&o-f .. (Inflnilesimples) a, 11 . y, ... iMln funelo,," de un mismo II'gu-

m~to.r, y tienden I cero cUlndo % tiende.l limite 11 11 . 1 Inflnllo. An. liuDlos l. tendencl. d, .. tu u r l.blb a cero, IlOna iderlndo la .. lI" d. 1 .. mismas,

En adelante IUIIfllmoe 1 .. aiguien \.n delinicioneto.

Deflnici6. I , Sita fu6n ~ UtU uo IImit8 IInlto 'Y disliDto de u ro, ee decir, que Hm ~ _ JI.

" E~plo 3. SUJ>OI>SI.UIOII 'l."" ,, _ #, 11 .. ,,~. ~ > 1, " .... Q. 1 .. IDlrlo, ;t,. Ji Ill . 1 P "' d. QnI .... luptri(l1" " ... l. Q. pUflllo qu.

" 11m _ _ 11m ~~~ I _O, ... 0" _1

Redpn>

deelr. a 111:1 p.

SUpoll.pml,lll que liui!...=1. _ O. entonces:

Q .... I-Um1.=O.obitD, 1 _ 1I1J)!. . l!:iI

Si Iim~ ~ 0."Ue"6IJm ('; - t) ... 0. o bIen um; "" l. " deeir. a """ ~.

Ejealpl. 7. Sll~" q .... ... ~ '1 . ... ~+ ~. dGI'' .,_0. t.u nlIl1lteoia1alM m '1 _ .q\II .. &I.*- ,.. q..- ... .u.......,,- - ,, -

_ ~ ... _ I:olilli~ "0'4 .... ~podor que .. , ~. Ea 101 ... \0.

11 .. ~_U .. .!!._u.. 01 _ 0 .... . m ..... ' .... 0

Um m~ _Um El _ Um ~ - O. p- ...... "+.' _o I+a' E ..... p.o 8. Cuu do ,-o:>. 11' InlllllteollD. l .. ,,_~, ~_+ lOO

equi Yl ltD\IS, p sto qlll 41letN0 litad .... illllh lim ito l!.allo, "lleUeUo. uando ._0. ( ....... .aplo"', 3).

Bl~ldOl P'" ti e.pUulo 11 C. ... 1&: loo 1\4111 ... 1111111" 111, l . \[ID ~+2> +5 . R"""no: 4. l. Um [2 .0 a-COI'+(oO\a. Rerl''''-

... ,~ ,,~t lO: l . S. ~2 vi; .. R .. ~ O . . ~:. (z-+ ! ). R ow ... o: 2.

. ,. Um 4

29. 11 ... (Vii+1:'1fii=i), R,,_I., O. 30. ~~~ :t{y~+I-~). 11 .. .~. ~

, .... ,.: _,1 ~uO.lldo ~_+o:>, -C ."""do ' __ 00. 31. lG !".!:.!.. R

MI. fldllt 10,11 punto. de dl.seonl;lluld.d de t. ! .. !>Cidn ~ _ 1+2 'i'" '1 co .....

, ... 1. 11 lVill .. de .. lllun~161l, n"",,"IG: O;.,oDlIDUtdld pUl e _ O {~ ..... + ~","do " ...... 0+0. , _ 1 ~u . .. do ", - O- O).

60.20 ''- lu 11111";1.811,,,.1 (c"...,d" " ..... 0) ","10",-",,: ,,1, VZ (t-I), .. n 3.:, z... .... " ,-~, " r&>', IllljuJ .. 1M lnflllllu",. .. do l ",1.",0 orden qllB ,. ia.fln l te. h ... " , uf 11110 1 ... de 0"'0" lIuperlor .. "'erlo . .. ". R.~ pu .. I~' Lu lllfi,,Ioohu ... do] mlo>no on:lu lO'" .. na... r " . ... , 1 .. d. orden , ,,po,lo, ,,0 y :U-toa f'iIi y JI Inflnl'es!m. l d. orden "rorl.,. .. Ve P_I, Gt. EnlN le .. infIlltulmalM indle..du lculndo ,,-O) bal l Iu nl lllteo mal ... quo "' .. 1"IIIVlI"",,,,, .. J. lllllll i~.lml l z, 2 ... " " , -r11b. ,,_&E',

~. 10(1+,,), z"+&>:' . lf .. p~.lIa: f t82;1, z _:h', 111(1 + ,,). 82. Demo. " quo, cu.ndo ,._1 . 1 .. nfni tel! imoles 1_" 1 1_'-r lOll dol ",bID" 0.

CA.PITULO 111

DERIVADA Y DIFERENCIAL

f 1. VELOCWA.D DEL MOVIMIENT1 .

P expreslr l. ,eloeld. d real can m. yor prect.si60, .;nilhldO!!e de hl ,,Iocidld medi., es necesario tomar un in t.rvJ.!o 01, tI,mpo 4/ m.netr. El II,..ite h.el, el tUl I ti' nde 1, vlloc:ld.d mldl., tUllidu_ Ihn ~. .. ,_ , di

(3)

"-1 , JIU", la ""hJcLdad. 11(1 /IIOOIlmif"JI/1> ,JI ti In"~"1t dGdo .. 11.111. limite d, la tun dellll(rt.!IItJlw del tI!Ip.cio recorrido &.1 hlCI"fI. mento 01 , tiempo dI, "Ulndo liste ltimo Incremenl l> tiende e cero.

Ollll&rrollemOl l. ;gueldld (3). Como

.' _ /{I + l

H.

que .... , I1 velocidld del lDovlmieoto 111> UrulOfllll. DI ",.~ t, modQ. VI mos que ,1 concepto d, velocidAd 01, 1 010-... Imllato no uniforme _t' e.tl"flC.hlDHolo unido al de limltl. 561 .. I trlv de.I concepto de limite SI puede determ;aar J. ve!oeid, d del mO'O'lmiento 110 uniform'.

D,l. frmul . (3') SI d,dllc, qUI U nO depende 01, 1 oenlmlnt, d~ tiempo 41, sloo del Vilo. t y deL ca" " ter dI .. fuocl611 I (l).

t:Je ... plo . H.lla. l. nI""ldod dol mo"Lmfenlo unlf ....... mlal& .... t ... do u .... l ... tanta .rbl" .. ;" I y Qa 111 / _ Z MIl, . 1 el .. ","lO ...e.o.rido ... lomel" dll tI...,po .. upuoo p

Sot'" " uf!nld6n do n lotdod , ....... 00: p_ IIm ~. _ 11m (,,+1.,6.1 ) __ "

lk4 ,,1 d

Simultneamente wn 1, notaein /' (z) para la. derivada se emplean tambln, oln~ dnlJirllaelolle&, PQr ojemplo:

d, f, V., jk' El va lor concreto de la derivada, pllI'a " = 11, 5e desiiJIl por

r (a) 11 vl.~ . LIl operacin que tiene por objeto ballu la derivada de la fWl'

cl6n f (:!'), NI llama

" Obser .. acl lin. E n el prnfo 8.otorLor .e CIItableci6 que, al . 1 ~pado I reeon ido por 01 punto mvil, en funcj{jn de l tiempo t, viene dado por la lrmula

s - f (l). enlonce. la velo.:idad v en 01 instanLe t.o e>(p~ar' por la frm ula:

v= lm ~""" Im f( t + At)-f(t). ", .... At ",-o dI

Por tant.o. v=:',=f(t),

es deeir. la velocidad CII Igual. la derivada del especlo l'Mp9Cto al tiempo l .

8 . INTERPRETACION GEOHETRICA 01': LA DERIVADA

HcmGfl llegado a l concept o de derIvada , oxamlnando la veloci-dad del movimiento de nO cuerpo (punto), ea deelr, partiendo de

fuonamiell to8 puramente mnfco., AbQra dan)Qlos a la derivad" otra Interpretacin, la geomilriCf1, taOlbi~n mu y Importante.

Para ello ea DKelIarJo, ante todo, delinlr J. tangente a una eurva en 00 punto dado.

Sea uoa eurva y UI1 punto fijo Mo en ella, Tomemo, en la enrv,. otro punlo M, y tracem08 una secan te M.M, (flg. 57). Si el punto M, se aproxima ilimitadamente al punto M., deaplad:ndose por la curva,. b secaute M. M, ocupar l u diveru5 posiciolll!S M.M;, M.M;, ete. Si, con la aproximacin Ilimitada del pufO!.O M, por la curva al punto M . (independien1emellte del lado por el que 84

.pro~i mB) , la secante tiende a ocupar la posicin de una roeta deter-0) CUl odo deehuO)S . rl..-tv.da ' .peetoa n o .d.,.iv. d. _ peclo.l tiempo , .

\e. , _0dl0)S en ~"."to que, 01 ballaJ: la d. rlvado. la ~I.i.bl o ~ " 01 tl ompo ' , .u., ~Id ... u . .... 0 Irgllm61>WiI.

mln"da MoT. esl.a ltim" ae UnD" tI.Dgente a la curva en el pun w No (el concepto d iende a (l _ Hm "'y - r(z). ... ".~ _ I Az"'~:: - Q <

Por t8l1 t O. f(z) ... tga, (2) FIl. 59

ti! decir, el vaw. de 14 derivada r (o::) '()Trt'pond~"ft al llala' druJo del argu~nto z. #,4 tgU41 " la um/Jtllle del 6ng,,/0 lorl'rUJlk por 14 diru.:M/I. pO$WI!4 del t le eh 11 lo. tangen/e ti la ,ur~"" de la IUl1cldn I (z) tn t I punl torrtsumdlmle M~ (oz, y) .

EI~mpJ o. H.U .. 1 .. taor o,,, d. 1"" bguJ ... d~ RelinocI6" d. l. ti".. tall3eQte la ~ur .... r ... ,,~ en lo! PQIIIoO~

M, (j. . ..): M.(-t . I )( lig .~). Sol uol6a . Ea virtud dll _.",plo I f ~ . .. Uoooo: r'- b; ' "'''Deoo;

tg"' -V'lz_- t; IK

f ,. DERIVACION DE LAS FUNCIONES n.:Unldn, S I l. fUIICln

11 ,. J (z) tl.ne deriVadl en el punto % _ Zo, es decir, al existe

11m .:I.V .",lIm I (zo + ru:) - f {:rcJ ,,~_o&z: " ... 0 . .:I.z '

(1)

5e dice que parl. el va lor dado z = Zo l. funcin es derl lXJbl6 o, lo que es lo ml.lllo, tiene derivada .

Si l a funei6n el! derivable en toda punw de un cierto !egmen-to la , hl o Int.ervalo (a, b), He dic' que la funcin es dfflvable IOlnt ti SIIf1M7IIO [o, bl o, respeetinment.e, en el tnlTeorema. SI lEJemplo l . r.. funela. f (r) .. \tI dotlnlda ... el 0fP""1O (O. ZI de "muer. , llulOnle jflr ell),

/(2 ) _ %, ~u.nd .. 0 ,", ,,,

" " . ' . O'S -

&i .i ... !j'

;~ ~ .,= ... . ~ ~

~ . ~ o

t'~ , t ?~ - . . ; . i I i " !1>, . "" "'0 ' '''''''' I I .. ~c. .. I I a ... ~' ,,-...' . ~ ., _oe--"I!?-"- 31: ",+, !i: ~ .. " g .. '" ~ ... '" :~ ; ; ~ ;~

.. - 0 00 '" ... ~".

. ." .. " 0"-n;;;!>I>S!. ;6'",::,,~A" il.. .. ~1 v o il o l . B??" _l:. "P: I! I ;;- ::'. .::- B..

.- .' 1-' ,,o. 1= -::::: ;- t-0; oS + ~ g"t" + ! " !~ t'~~ e l ~.e- I I ;-~ 1 - .. ~ "" 0:.0 ' .:. ~ .~' ','= , ~ El ~ f,o -=-li: ~

..t ~~ k. f;:: ~o=,.. .,9 aj: o "," !l" " ~ .;'1 ~ ! I! o.

o ., c-no _))l1li10 f ............ el 0)0 d ""tI ... UD "" .. 1" y, .. da ir, colDCId. _ al _,., 0"

1, OElU\' A.DA9 DE LAS YUNClOn:S EUlMEh'TALES, DERIVADA DE LA YUIIOO'N V_" ,

9IENOO .. gl'l'TEIIO y POSnlVO Para ba ilar 11 dcrl"ad. de UnI funcl60 dada 11 _ / (z), bub-

dOSl lO 1, delllllcilI ge.D.eu,J. de dtdYld., tI neeourio: 1) d .. , 1 uumento Z liD incremento .% y u lclllu ,1 ".10.

incrlmentdo de 1, fullcin: V+dy - !(z+.%);

2) hallar el incremento cor~pondiento de IR funcl6n: y -1(z+ Ll.z) -1 (z);

S) formar l. razn delincrolmento de l. fundll al delupmelllO: 611 =J(z + U) -I(:d. "" "" ' 1 c..lcul ... al Iimi14l de la ,,"n mencionada, (Iludo .u -+ O:

,/_ 11 .. 6y_ Hm j(.z+4z) -f{z) . ~- I U 12_ 1 U

Elt, m'lodo eo'nll d, dlculo da derivad .. lo ampl"nlmoa para ob tener lu derhadn de alguon funciOOe!l elemeot.le"

Tf:Orema. Lo duped Ik 111 !lInd~n 11 _ z" en /11 qllt' n ea un ndm"o mit ro y pol l/llIO , ti Ir~ 11 nr""', .. decIr,

siendo y - ~, JI - IIJ:~-' , ~mO!lIr.eI6n. Sea l. funcln

y_s". t) SI z adquiere uD Incremento .z , 10 tiene:

V+v_(z+o.t')" . 2) Sl"o el binOllllo da Na"lOJI leJlamOl:

(1)

Ll.V - (z + IU)" - 3I'_z + -rz - ' &:>: +

+"(n- tlz-a (,rl" + . ,. +(4z)" .... :t" l'

3) H.I1.mo~ 1", rnlin! :;=~.-,+n(~ .. ; t) z~-6Z+ . . . + (,u).- '.

4) El limite d l1li\.11 o:r.prasllin ' r!; 11= 11m lly_

.-z ... ot\z

= Hm ["%"-'+ n (11 _ 1)", .. -0,,,,+ ... +(,~~-'l """n""-" .o.~-. 12

Por consiguiente. y' _ ,.ro-'. lo que "" trataba de dowOstrar. Ejemplo l .

Ej,mpl0 Z. , _ '", ~' _ 1.,'-', r' _ 1. El ltimo ~uhado \iODe un, iowpreud6t1 geom(\trlcor muy .. ncmo' la Un ... t ... pD~ a la net. ,_ % coincide con .. u tecU. MOl (uollu_ , 1 yalor d .,. Y. 1"" llJJtG. lormo COD la dl._lo po.ol\v. ~ ,I 'jo O., uu .bgu!o cuy, I&1IP.D1o .. I, uo! a , .

Observemoa que la f/irmul . (1) es v lida tambin, cuando" ea neglltivo O frlce/enano, como comprobaremoa en el 12.

EI.mp lo 9 . , - Vi. Repre ... " I.""" ... 10 fuoci6D &0 forma de poleDc;1

,

~ _ ,,1 . s.,g,m la f-rm"l. (J) (It nl."do e .. clt6ltlo la olI' . ... &oI, qua &co.bamo!O

de bae. r). obleJl@mo.o :

Ee",plo 4. ,

' - "lfi'

, , . - - --,

>y.

R.p._ t.", ... , eII forma d. lunc l6 .. polo""ial

,-. -l a_L. s - t s

"--2'. , - - '2 " - - :z.,:1 l/i

" , O. DEKJVADAS DE I.J\JI FUNCIONES /1 _ .... "'1

If .. .... '" Teofema, 1. Lo del'I!>IIli4 tk aen "' '' COI! %. t J tkcir,

si 11 ... Bell z. ti = coa z. (11) (}f,mOllhadn. Domo. al arguOleoto :z Up illcrnmento 3, en\.Q n-

ces:

t ) JI + 6.11 = sen (z + .1z); :1:+ Ill:_% z+&:+:.:

Z) IlIl_seo(.:t+'z) - Mnz..,,2I111D 2: eo~ 2: -

=2!J8D~.eo. (%+ ~) 2sen~cos (. + "") Seo 6% ( ) 6.11 2: 2: 2 &: 3) -"'" =---18 ;;+- ;

dz z ;: 2: ,

"" ~"-

" Dellllllltndn: V.mOll al argumento z un Incremento 4%. Entonces:

!I + .6.g-=co'(z+ 4%);

y, teniendo en cuan ... qua sen z es una fundoSo continua, !in. lmante UloemO!l:

y' ... - S8ll z .

1. DERIVADAS DE UNA MAGNITUD CONSTANTE, DEL PRODUCTO DE UNA MAGNITUD CONSTANTE

POR. UNA FUNClON, DE UNA SUIIIIA , PRODUCTO y COCIE",.E THuooa lo L4 derl!Xllill de una COlWtul l~ ~l Igwr.l 11 c~ro, e, (kcfr,

,1 11 - e 11 e "'" conse, u tftnt !I ... Q. (I V) DemOBI .. eIn. 11 - e '" UDII, fund6n de % tal que todos 81L!

,atores Bon iguales ,a e para cualquier "'. Por tan to , cualquiera que sea el valor de %, se tiene:

=/(z) =C. DemOll al lrgum&llto z un incNII;nent(l ~ (lb- q

Esto quiere deci r que el acromento de la l uncin es igual a tero: 6,,-1(%+6%) - 1(%)-0.

La ratn dol i nCJ"(lmen!.O de la fu.ncl n al del RrgUIll6 U.!.O e". 6"=0 "" '

Y. por tanto,

//= lm 6 11 ""'0. 'u-.6.z

es decir , ~' _ O. Este rosultado Ueuo una sencilla interpreucl6n geomtrica.

La griflea de la fu.nd6n y _ e e. una rec ta paralela al eje O%. Por tanto , la Hnea tan!:"lnto a la grfica colnclde con I!$ta reetl en cada unO de SillI punto. y, como conseeueDcia , forma con al eje Oz Un Angulo cuy. tangente y es igual a caro.

Teorema 2. El f~or con, ta.nu .... Pv.ede ucrfbfr !.ur .. /tef IIgM /te derivada, ~, '" ..' ,,'= 11m 6,,_C lim u(z+6%)-u(x)',e.dOOir, v'= Cu' (x).

"E-.M OE_O 6%

.. decir. , . ~ - -uV;"

" Teo.ua 3. Lo. o'.?,IL"Gda tk 111 .,1nI:I de UA II"'Uf flnllD tk las

lunclON!' dff'fL"Gbk. ti /tUIJI Il la Ql/B/J tk /4.r d(rlHIIh., th erUl. /11"-eiOlll").

Po. ejemplo, e n el C"41 d. tre!! !lU1D.ndos loneIDOII : 11 - u (z) + 1.' (z) + ID (.\'); ti _ u (z) + v' (z) + uf (,..j . (VI) Dcmo,t rleI6n: Para las va lotes del (punenlo z se ti ene:

11 _ 11 +"+'" (par. abreviar, omitimos % fn la del ignacin de l. funcin).

P, el valor del uguDMnto z + Al: tellora,.: )' + y - (u + u) + (1/+ .1'" + (10 + Aw): donde "'l/'. 'u, 41' y tu&> IOn IIICN.mentOll de lu funciones r. u, " y w, que ~orreeJN)nderi al inert',nenln lb del ariUmento %. Por ln-,l",iellle,

c.V=u +l!.1I+4uI.

, f - 1/.' (z) + " {%j + Uf' (,..J.

Ej ... plo :. '_3r'_*. , ,

,'_3 (*')'_ (,-1)' _3.W_ ( _y) ~- J -1, '" . '"1/1/!:" , - u'u + uV. (VJi)

rnrnO)ltuel(iD. De 1111 DIod.O aoi1oao a1 teoreml anUrior , obte-lI.m~:

,_IUI, , +4, ... (u +4,,) (,,+ 4,,,),

JV - (u+ 00)("+ 4u) -uu= 4.u.u+u4,u+ 4.u 4, '" ") l.o n,,.u.., _"(a) _ .(,,)_ ld\.iual.a "_llIn ,_ ~(~) +

+ ( _ 1) . (.) r, por "",,"ipleat., " _ 1M (~I + (-11 .. (zlr _ .' (~) + (- (~)/' _ M' (a) - "(~).

"

Av_~I:I+U~+ tJ.u~ 4.t: 4z 4z 6z'

. . . ~ ~ 11 "'" m -= Hm -1'+ 11m u_+ 11m du-= h-~6z "E_fAz u-o /U: .... _ . l!a _ (11m &1) 1) + U lim 611 + 11m &. 11m v

u ... ot.z "! ... . t:u: AE_I .. ~-ol.% y .. qlle .. y v no dependen de tu.

Analicemos el ltimo t'rmloo del aegQodo miembro Ilm u. 11m .1.11

.... _. ..._06%

Pu1!$to que la funcin u (z) ea derivable, ser Umblcn continua, Por tanto , lim 6u ... O. Adem

~. 11m Av = ,/ -+ oo .

... -.4:1: AsI, el ltrmino examinado e~ Igual a eIlro y en definitiva tenemos:

f "'" u'v + tuf Bad.ndllllo~ 8D el teorema demo!trado se deduce fcilmente la regla para la derivacl6n del producto do cualqUIer nmero de 'uneloll~.

Si tenemos. por ejemplo, el producto de tl'1!! funciones II,""IWW,

entoees; representando el segWldo miembr como producto d~ " y ("w) ohteoem ... : !I = ,,' (w) + u (uw)' ... u'w + lO (VIO + + l't) _ u'uw + uv'w + twtl. De la misma maneta so deduce uoa frmula lUIloga para la derivada del prndueto de cua lquier nmero (finito) de funelone!l. E.'I decir, 51 y = Iot,,,,, .. u~ . tenemos:

y' - r4~ ... tI,,_tU~ + Iot,u;: . .. u,,_tUh + .. . + u,U Uft _ 'u~ . Ejo>IlIplD 3. Si ~ ",, ~I .. n~. '" Iltn.:

~ ' _ (zO)' .. o ,, + d( .. n 2)' _ :tz.ND 2 +"'00.2. E}tmplo 4. Si v - Vi " 02 COI%, .. l;tJle:

~' - ('Vi>' .. n ,,_% +)Ii (!len~)' c.oo.+ Vi R n 2 (_ z)' _ l Vi -V-

- z-v;; Mn Jl """'+ z_."". z+ z ... nz(_ .. n.r) _ I ~ /_ ton 2z ,r:

- 2'\fi oen .C(lI Z+ V .(~""" ._ .. n" ) _~+ V ."",,:z:..

" Teoremll 5. LIs tkrtCJAda de 1111vAu-uAv 6, .. &: - 11(11 + t.v)

.. 6, -V-II_ .. 6. lI(v+4,,) , .. 6, _>_u_

1/ = Hm lJlI_ lim Az 4.t" v 11m 4u_ u 11m ~ A.- I d%" As_ ' Az

....... 4.\: ... . _0 "(11+ Av) " 11m (v + Av) _0

Observando que 611-+ 0, eU,ando &: ..... 0-), obtcnem08: . u'lI_ull '~--J-'

' E;'mpl0 5. SI y_~ . IDd m,,"' =

(r)'GOI

toDvenieJIlfl 1. Uirmula M: , (1 )' l. .' 11 c:> C" =-c" '::c

E! obvio qu~ ule mi8mo multado 86 obtiOne, .pllnclo 'la t6rumla (VI II).

jelllpla 6. Si ,_~ . te"" ........ : ,lUlO")' alu

r - ---,-- - ~ -,-- .

8. DERIVADA De LA f'lJII"ClO!f WGARITMICA 1 Teorema. La derlv.w.. 4 la !und6n log4:Z ~I ftud G z 1011'. e, 11

1 decir, rt II - Iogo%' ,. II,~ Y - ,% 108'." (JX)

Delllostraclo. SUpOnplPOiI que 4/1 es eL Incremeoto de l. fuo-.. i60 /1 _ loc.:r, c.Onetpondleole al inererne.nto Az de l u:umeot.o :z:. Enl_s:

11 + AV"'" 1Gg.(z+

Sin embargo, como se IIII be, { 1, eap. 11), ~

lIm (l+ ,,) ..... ~. 0- ' Si la expresi6n qua ile bolla b.jo el lliguo de logaritmo tiende

al numero t, el logaritmo de sta tiende hacia log.e (en virtud de 1" eon t inuidad de la funci6n logullmlca) . Seg6n uta , tendltlm08 en definitiva:

611 1 f t y= 11m _= 11m - log. (I +a) =- Iog. t. ,,~- o6.z .. - o z %

Cooslderando que log. se como eIgue:

, _ ..,!..., la f6rmula obtonlda puede escribi r-m.

. 1 1 ,----.

% Ina

Veamoa el ~jguiente CallO particular. SI en ee1a f6rmula a _ e, In a = In e = t . tIB dec:ll', coando V = In %. se tiene

V'_1. . (X ) "

9. bEJUVADA DE LA FUNCIO N COMPUESTA Suponga mOll 11. "" f (.t') un. luncio compoe!ta, ea decl r, una

"meln 1.81 que peda Ber representada en la forma siguiente: y _ P (u), u - (J'(.t')

o 11 "" F[(J' (%)1 (Clip . 1, 8). La variable u en le u presin 11 "" F (u) se IUno.m1Ul orgwmnt(> (var Iable) Inkritl4dl(>.

E!tablezeamoa la nlgla de derivacin de una funcin compuesta. Teorema. SI en cltrlo punl(> z lo JUI1&/n .. _ lp (%) itu por

derivado "'~ .,. (J" (%) !I In !uml6n !l '"", F (11) lit"" por derlund4 !I~ -"" F' (u) p(l1'1l el val(>r C(>(Tt'p(>rtdlenk de u, la Juncfn compue$ta V - F [(J' ('I'JI fn el punto dado % lendr6. lal7lb .... n dt rilJada, cu!IIJ. uprt-rl6n mi:

!I~_ F~("),,,'(x), M~ u dtM U r IIIn luld4 por U = '" (x). La /6rm.u.1o. obunJda le p!Uck expremr en fo rma abreuladtJ, cumo 6Ig_:

..

dalr '1'" ,. 1il'l'IIIG4o" lUI4 !Wt&.I4,. CilmpU ~. 11_1 al prod~14 I la w/Qtltl4 tk l.Ilwul6Jt d4Il4 rt$ptc} III UIUfM1Ifo 11I/u/lll'dlo .. por 14 d.rWodG J"I ugu"~nt" "urmalII ftlpta 11 Z.

DemOltUt'ID. 'Pila UD u lor aet4!rmil1lldo de .or ... t iene: 11- ",(:-l. V - F(u).

Plrl. el .. a]Of IncremeMldo de l argumento .or + lb, tenemos: U+.:lll _ ",(.or+.u), V':' flll ~ F( .. +4w).

Al IDu.meoto .u l. eonupooda el iDCl'II OIe.ato 411, , 1 que, l it vn, con.poode e' iocnmaDto 4g; adelllh, cuudo l!.z -+ O, A .. " 6, \6aderiD tamblfr cero . Segn la h iptesi!:

JI A, ~. 4uClII~

Seg{1I la definlcl6n d. limite, obtendremos (p ....

Por 1.0110, ,,",>ID l. Idomul. ('1: r~- g~ .. ; _ _ ... 2:0

1 ."-'Iltu~d" lO poo 8\1. ... pres.i .. , oble"em .. e .. dl 'l"l" ... : ~~_ 2:0OOl{zO).

Ejemplo!.. Dada ,. lu" 0.

..

110. DERll'AlIAS DE US rv/l'C!ONES" - 111' '''_

/J-oolg"'. ,, _ ln l"' . I

Ttorem . La dniutldlJ Ik la Juncl6n 11 _ tg z u IRual a oost;;: , I ~~ fluir , sIV - tgz, """(;()So", , (Xl )

DerllOlltraein. Sea

de la frmula para derivar fraCjliooes (vMe frmu la (VIII ), 7, captulo 111), ~e tiene:

($I!tl.l')'eou: seIlZ(CO$Z)'

P.jemplo 2. Si ~ _ IDC

11. PllMCIOH , lJtPU ClTA y 8U D~IUVAClON Suponpgun qv.elo. valores dI d.- "ulula. z 1, 108 , oc:uOJl,hlJl,

U,ldOl medJ.IJI,w una ... u.aClI6J1, que, 8im.b6Licametlw, HCribi ..... m~ a.l :

F(z, JI) - o.

,

Por ejemplo, lu funrJoD~ dadas pOr las eeuacll>lIll11 V'-y-z" _ O

, 11-::-'4""'01/=0,

no pueden .ser ozprendu mediante funciones elementales; es decir, no pueden ser l1)Sueltu t'Specto (1 y.

Obsenaeln 1. E8 neeearlo relia lar que. los lrminos dUDe!n explcH., y dWld6n impcita.~ no eancterinn la Daturalen d~ l. llUlcin, aloo l. manera en que l.ll viene dad .

Toda Jonel6n u pllelta. JI - / ("", puede .er NprnenUda tu,hi'n en forma implfultu., V - f (.r) ... .

Ve&m~ romo 118 obtiene l. d&ri vada de una fundn ImplicUa, sln tnnsformarla en explicita, el! decir, ajo rapreaeotula en l. -forma V ~ / (:-l.

SupoDgamoa qua 1M funci6n viene dada por la ecuacl6n r+v' - a' - O.

Si 'J ea wu. funcin de %, determinada por l. ecuacl6n Interior, nta ser! una identidad.

A] derivar a mbos mlemhn'l.'l de la identidad respec to B :l:. COn-siderando que /1 es tina funcin de .r , ohlendremOll (aplicando l. regla pan derivar funcl6n campu"ta):

d, doude: 2z+2VY - O,

. . y=--. , Anotemos que, si deriv.mOll b. correspondlent..! funcl6n explicita

JI = Y"' -. ob1anemOi!l:

y=- YQ.1_~ - - V es decir , al mu.mo resul t. do.

Bxaminemos un ejemplo mi s de funcin impllci ta JI en fun-ci6u 'de ~;

II -y-",-O. DerivemOll reapecto a '"

6v"V' - Y _ 2..: - O,

y hall .mOl! . ,. '-6"_1'

Obee .. .d6n 2. De loa ejemplos citado. 8e deduce que, al ... t rua de hll.r la de rind. de IIDa fundD fmplicU. pna un .,.alor dado del It8l1m.nt.o JI, " preciso conocer prlmeramellw el ... 101' de la funcin 1/ p.ra el mismo n lor dado de z .

12. DF,RIYAD",S DE LA. FUKt:lOH I'OTEHCIAL CON EXI'OHEr."1H JlUL CUALQUlEIIA,

D'8 LA. "liNao N EXPONENCIAL y DE LA. FUNGlON EXPONENCiAL COMPUESTA

Teorema \ . LII d61~ fk lo Ilnd6n 7!', en 111 qu. n cr "n nUme' o r~j eu~IquIeN, "1f1Ul1 CI nz"-', r.dI.,

(1) n..mo&tt..:l~n . SuponpmOl que z > O. Tomando logari\mOll

de la fllDCI6D dada , tend",mo5 w l/ _ n lnT.

Deri mOll ambo. miembros d. la ecll~16n res pecto a z, con-,Ideraodo qu.e 1/ es flloc i6n de ,1::

L_,. '!'; y'-lI" ~' " .

Inll"

Derlv~mOll la igualdad obtenida, wDlIiderando 11 como fun d6n de ~.

1/' = ,,"l nll. Si la b~e el! 11 -= t, entonces lo t _ 1. Y obtenemOfl b

y=r. li= t". Ej.",plo l. O, d. la fu~.16n

v- .....

f6rmul a; (XIV J

Int8tp'''Wmo. l~ IlOO fun.lD wmru.'UO. Introd ~oIendo . 1 " I1IU""oto In~rm.dJo ~;

Por IOnlo. ~~ _ ~U2z=r'2~ .

La func16n en la que tanto!a ba$E! como el e.>;poneor..! son funcio-ne! do % se llama IUllcI6 .. upoM"tlal compuerta. Por ejemplo, (son ~).'. %" ', x", (In z)" y, en genera l, toda fundn do la forma

11 :- [u. (z)r t.I_ u. . ") Teorem~ 3.

SI y- ... . . mtO/fcer f_~'I/. ... L ... + ... , ln.... (XV) DIImol1t1d6n. Tomem08 logaritmos da la funci6n 1/:

In JI = vio ... , Deri"aado respecto a z la igueldad obteni da. tenemos:

1, t '+ ' J "VII ="iL u " OU,

do donde:

""-11 (": +lI l n ... ). I ntrodllci~ndo Ja u:prllBi6n 11 =s u' , obtenemos:

11 = ""'- ',, +,.:,,'10 ... ') T. l fuooUln ... u.t.. lll""', . lamb~o .zpu.~I.1 1'."",,11 o pol.ndol

p .... 1I

" AIII, pU"", 1 .. derivada do la f"nefn npoll8ncia l eompuNu

eoneta de dos trmiooa que Ml abtienen del !I8Uleote modo: el pdmlll' lumando s i, 1I derivar, suponemOll que u es fun&ln da,l:, mientras que ti es ~omt4J1k (u' 88 lo\.erpNlta como funcin poteIlCI .. /); el segundo, el BUpOD&moa que 11 es funci6n de "'. plII'maneclendo u taM-lante (ti" &11 interpreta como funcin "po_laf}

I!,lemplo Z. SI ~ .. ~Z, ~' ... u-'tz') + Z(1')lD'" o .... . ~ ' _r( .. n z"-L (. 0 1)'+(" " r .... (.,al' In .... z _

_ z'l,eo ,,)"'- 1

" ji, '" V. de l. funcin. ~ recproca tamhitln n clertl. Es decir, ai ~, < v v .. t (:t",l e v. -- 1 (;toJ. entonces, de. 11 definicin de IUD-dn eroeiento, se dadoce que;r, < ""., Deeate modo, lIotre 101 vtlOreti de % y I~ eorre~pondlentea de 11 se "tablee. una relacin biunlvoo:lI..

,

,

Interpretando los " lI.lo~ de 11 eomo vftlon'S del argumento, y 1.,. ulores de % tomo valote5 de la tune/lin, obtendremos Z tmo funcin de y:

Z _ ;~ x_y !I

Plt. ss

, ,

,o t ~ .(

" l;;iomplO l . Su l. lundII, _ "'. Est.l fUD"IM .. ,",","1"""",, .11"\~cv.l" 1"/1,,)1.

" Ej8 .. pl_ t . Sta l. "1>d6D , - .... EN ~

" D~ "'le mooo, 1, derivada de una de las dua hmel';>Ret !'Klpcoca-

mtnte Invel3U es IglIIl la unidad dividida KIt' la derivad. de la 8"iunda funci n . p.r. loa eorreepondienle8 ",101ft de % e v"').

~lnoetr.el6n. Dllndo 1. !I el lIcremento Oy. de 1, Igualdad (2) dedll(:l m,",

. - "'(I/+l1y) -

..

da la fUJIel 6n II _ (rl 811 la qua Z SIl wDAider. romo funcin e g. 0 ... riahl, Independl.nte. CollSide .. mo. "-11 punto M (z-, 1/) d, el!\ 1:\lI'YI.. 'fnoemOll UIUI tGpll1,e & l. mi.m. '11 Mt, pw>to. Lot ' 01"]04 !Mm.dOlO por 1, ungeuw. menelonld. y las dlnliones

poall.iyu de los ejea 0:0.. y o" 1011 deaignuemO!! y ,,-{(xl por o y p respectivalll81lte, En virtud d, los

4 resultado, ob\tn.ldos en ,1 J 3, acere. del ,ipi-

,

" .

lleado gtom6triw de la d .... i .... d tenemos:

O. 1, "UR 69 se deduu qUI, Ji /1 tilnl '

1'='2 -"2' natvralmenttl l' ... "2 - o.

Por eon&lu.ienta, 611 Clualqui, r o;.uo

de dQllde

0".1

lfl' - totgA t, lItgP - tOCOt1I _ 1.

1 I gtu=--. " P

(3)

IlItroduelllldo aqui lu uprOlllon811 d, tg Q Y te P d, J. frmul a (31 . obl.el'lelllOl:

, .)--.

'iM

It. fUMQOfl'ES TRlGOriO.vE1'1lIG.U INVEMA5 l' su DER1VAClOI'I'

t) F .. ncl6n: 11 - .ruen Ir. EUIIllnemOll la funei6 n

lI - MIl" (l) y conatruyamos IU . fict , dl.lgielldo ti ej_ O, v.rtlulmen\.e hacl, anih (lIg. 70). Est. fuuGJ 60 eslj deliDid. eo el illurulo i,Qfloito

-oo

ea creelentl, sus nloret \le ... .; . 1 aelIu!IIto _1 ", a '" t . Por eso 11. fullel6D %= aell, tlenefll lnvel'8ll. que se escribe 1181: , _ II'tII&D z" ).

Eak fund6n _u dellllld.a en . 1 ~ent.o - 1 '" z '" t , ,m$

"alora llenan ellegm~ lIto -"2 '" V "'2' V En 1, figu ra 70 b. ,."lca d. 1 .. funci.. f 11 - .resen z "1 eo linea gruesa.

Teorema l. LD tkrW0d4 d.r lA 'u"d4n .ruen z ~. f6lUJl .. ~ el decir -:;r--,>If- +..,

y I-~ ,

dV-llUenz, # tlm.t'_~' (XVIII) VI-'-~m(lllr.cl60. Segn l. 19ualdd (1)

ten.moa: a~ ... coa .. ,

FI,_ 10

y 11110'1111 1. l. ~l. p.r. der;va~ iI fuoel60 Inn .... , Be,' ; 1 1 If. - ~= --.

;:e. eN"

1 V - Vi_r'

t 1& 11 .... el signo poeUivo, PO"'l.1I1 el valor d, 1. fullCl6D 11 _

- '>'CIen :l' se Bncuev.tl'll In , 1 Ngmelllo - T '" fI '" T d. dOlida eot /1 ;;" 0.

B,..,I ~ l. r-_ U'CIOI" ", , I (.-")' f'

, - YI-1?)' - VI ... E)ompl o 2 . _ ( .""" ... +)',

, '_2, ....... ..!.. t (1.)' __ 2,,,,,,,",, I I .. . / I .. .. .. y;Ct

,.. I - -;r ") O .......... qu.la "uldad JI _ ~""""...w. do.l .u .... 4. !riJ-

a ....... h . .. 0\1'11 1 __ d, IKtI);Lr Illpaldld (1 ). Aqw.I (11"0 :.j , r a1pII,,, c ... }IIIIlO d 10,"" d. U. upJ.oe, "'1" _ o lcul z.

,.

2) Funein: y _ a!'1:cca ". Como en el eaMJ anterior, eU)lliMmo~ la fuucin

% _ C08I/, (2) construyamos &u rlica y dlTl jBUlOS el eje 011 hacia arriba (flr. 71). Eal.a fuoeln C31 delinida en el intervalo Infinito - 00 < y < + + oo. En el segmento () .(: 1/ < n la funein z = C08 y es decrecien

, te y Liene SIl ioyena desirnada ..,,

11 - arce05 z. &ta funcin e-et definida en el segmenLo - 1 "" < %< 1. Ls YIlores de la fUllCio Il&min 01 s9gmonto n :> 1/ ;> 0. En la figura 71 Ja grfica de la funcin /1 - an:c:os % va en linea gruesa.

Teorema 2. L4 d/:TIVQda fk la fUIIC~" areeos , cI--,j--J.-1< ;1' ~s IgU4l /1, -~, ea decir, slll= I I"OC08 %,

y t -z'

'le tI~M /1' "" -~V t . (XVIII) Fi,.7J t _ 1, por ooneiguleote sen 11 :> o.

Ejempl o D, ~ _.TO' (lB z ), ,

V' .. -Yl_ IR' ~ 141 z )' - - V I IR' ~ COS>z 3) Funcin: 11 '" tll'

y construyamos su grfica (fJg. 72). Esta fuoc in 1';'Iu, definida para todos loB "al"r$! de 11, Ulpto 11 ~ (2*+ 1) "2 (k _ O. 1, 2 .. . ).

En el inUrvalo - y < /1 < Y la funcin z - iR /1 es creciente y tIene su inver .. :

v= a J'Ctll'z. La funcin est defin ida en el intervalo _ 00 < z < + 00 Y Sil! nlorea llenan el intervalo - i < II < i. En la figura 72, la gr!;ca de la fUDcUm /1 _ aretg z va eo linea Iflu~a .

I Teorema S. La da-lvado de 111 1""d6n aJ'Ctll' z e. Itw.l .. 1 -1- z' '

es decir, , 1 11 - arctg z, U tleru y' "" 1;.0:" ~oslradn. Segn la igualdd (3) tenemO!l:

Por unto,

pero

I .0:'. = CrffV .

I I cos" lI - -,-~ - -J- '

secy 1+1;:11

y, puuto que t ll' 11 "'" .0:, lencmOll 00 definitiva: . 1

v - t +.o:

Ejemplo 4. N _ (orel~)' , , N'-' (M"tg "J' ( .. ~t,.)' _ 4 (",e~i")' i+il .

4) FUllci6n:1I "" eroootg z. EnminemOll la funci6n

(XIX)

z '" cOl !l. (4) Eata funcin eal' de linid. pua todos J

'" 1" 11 tiaura 13. E .. , 1 inUrvalo 0 < 11 < 11; la luncl6n .1' _ colg 11 ea deereelnw y Ua"a IU l nv_, 11, cual te d.lpa as!:

,, - _taL lA lICla, por tanto, eHi . definid. en ,1 In~v.lo infinito

-DO < J: < +.... '1 _ vuo"", lI,naD' el iotorvllo 11; > y > O. K g

-----,1 --------,

-f

Teol'f!ma . LluurlVllll4

15. TABLl DE LAS FORlllltlUS PUNDA.X8NTALES PARA LA DRRIVAOO !'l

ARruPf'moa .hon en un. t. bl. todu in lnllulu rundaraenUlea '1 re1l1 .. de d lnelo, obtenidas en 1011 pirralOll Interlore!.

Fullu.las fund.menWOl r - tOnllt, 11 - o.

Fl,lnoin potaJleI.I:

en panicular,

v-v;.

V",,~.

Fl,lneioQH trigonOIll'trleu: ,=seO%,

,,""'eo'~

.,_tl'l",

lI=cotlPI',

,, - 1.105"',

Funcl6n expoDetlcia l:

11= y;; 2

I-- F

I - COllZ, ,1 __ lI&n",_

V'""'7' " .

, .----.-.

.oz

, V - Vt_zt'

, v - -Yt_zl '

11 - t+zl' ,

" - - 1+:1:1>

v- ro 1f' ~ lI"ln,,;

en plrticula

Funei6n IOttlri tmlcl: , _ro r, - r .

1 1I' '''' 7 Iog f :

, t , ~, Reglu gene/'1lles de derl ... e16n:

V=Cu (z). , ' _Cu' (z) (e _ con.L),

" M=-, "

, =u' + 1; _ ",', M'-U'''+IU/, , u" -u" ,~--~--,

,;"", r.M'P~(z) ,

" _ ~'u' + /'p' ln u, SI , _ fez) , z - ",o),

mellte inverno, ~lIt.oDcet: dODde I y '" son lu tletOIlt. red prow_

16. lU1:I'RESEl'ITACfON fAR.ufETRlCA DI! rUNClON CoueJdenmOll dOll lO;:ua,elo nr.

, -. (0,\ , - tet)o (')

donde I toma v.tonlS comprendldOl lO el segmMt

Supongamos ahora que la fundn :1; _ ,,(1) tllnga Su invern t _ - '11 (3;). Es evidente que y, c.n cata caao, el! funcin de >:;

/1 - 'l' ['11 (>:)1. (2) De este modo, In ecuaciones (1) determinan /1 en funci6n de z y ! e dice qua la ""cin /1 de :1; viene representada paramtdeamente.

La expresin /1 '"' I (:1;) que lIlueIlLra como /1 depende directamente de >:. se obtiene eliminando el parmetro t de laa 9cuaelonllll (1) .

El mtodo pal'llmatrlco de du 1&11 ~urvu u U.'IB ampliamente en meeniea. SI en el plano Oz 10 desplaza "n punto mated.1 y 88 COllocen las layea del movimiento de 8U~ pNyecclones sobr& 1011 ejes de coordonadas,

dondo el pumetro t es el tiempo, la, aeuaeiones (i') "r'n las ecua-ciones paramtrlcM de la trayectoria del punto en moyimlento. Eliminando en est8.'l flCuado uelII el parmetro 1, y oht.endM!moa l. e.:uac,n de la lIaye.:t,oria en la fu forllll/l _ 1 (3;) o en la forma F (:1;, /1) _ O

J lustl'l:!lIlOll esto ProMeml. H

(1- -+,.1'1. x - ~o y"1ji .

n . ECOACIOll'ES P MJl'E TII.I!:.U D8 ALG ll lf CUR VAS C"' ... le ........ S~po.ol .. :I'" fU circwol ....... r. d ... diO r. c:on ..... Uo

"'" ,1 ""ig

e.;... ..... ,.,..~Irl .. , ~ . ...... ,

, .... -

1.lrodu'leado .. ti> upr..t4lo _. JI. _1600. (t ), 0""""""'01 '- .... ,.

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(2.')

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d. ""be. rIndo Ja d~Wlloreocl. , l ulo l . DNlgalDlOOl PM 1 tadlo d. L rcuo, ..... "la ... ,",ov"'I.llo. C-o .. ~. 00 la fta;.r. 77,

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OB _ IiB .... , 'B _ MI _ ..... I .

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, _ MI' .. KB _ CB_CK. " ' ___ ' _ I(l __ I). t... ... preolones -

- " '(' -_1), } 0, ,< 2 .. , M_o( l _coo . ).

mn ..... eI ...... p ... ...,~UIuJ d, " clclld . o,.lado ~.r1. 'I O 2n. ,1 """_ to /ti d",,"bo lUl _ d, la ~Iclold

EU.laaJI do el po .. "",'''' I ..... ,,~UNI oblflfl ...... 1.0 '_1" '1'" " dlttct&lll ... te dlpoa&. d. r- h ,1 ....... 10 O '" " " 1, 10"",60 ,_ .. 0(\ _ _ ' ) Ueooo por JIl"-

.-, '---.- .

SIlt,ltUl""do , on 1, J!t ..... ..,,, .. iOn. dtl ~It"" (3) po< .11 "","&n, to.nd ...... ""

~_.I_ ~r -yz.oV-"-, pon 0"_ II 00 .. "'P'" ",edllnll ' unel ...... 11'''' '''1, 1.,. POf _ J, .. ""I/In , .. I (r ) wnpoeo .. np ..... med'aDl. funclon .J ...... t.al."'.

",--.... .,160 1. EJ ol l}pplo d, r. clclold. .... 1 q ...... 11""'01 OUOII 1 .. oeudooo. ptnm,tticU.,o ""'" _001 .. _ el loililll d. fVDC __ '1 cU"'''', q ... I1 depeacl .. cJI dirKt ... u. ... J. -

JdI .... 4 S. d . n_b .. d, .. uoid J. CUt., ",...-tada por lu aI.,.; .. uoo .,....,"'~. po' d1,ku:

~ - ._I } , 0';;1

'" ~"$ d.lo .. t. (f 12. cap. V) demQ.!~OI quo dJob. C~'V. U(\/!8 J. forma qUI .... pone en l. II~ra 18. BIlla .... 'v. puedo int.e,pret.tr.c come ,r.y .. to').

d~ u~ punto d. la d ... uof .... nel. d. nodio T' que rueda , . in .... boln.5Olbl'$otr. drennforondo d. nodio d, qu"ando ,.gp", dootl d. la .... yo. (fi. 78).

,

Obouucln 2. Seal."",. que lo fund6n ~ _ 1 (r) nO .. l. "i qua se dcllllmiu por la ..... ero .... (4) y (5). EIUJ ..... ciones d.t.eml ...... en rea-lidad d ... ' "001"'1" conUn"u ... . 1 """,,""lO -. < .. :J. definida por 1M ecuacio-nes paramtrieu , puede 8Ilr illlorpretada como (ulld6n eompue3ta

1/ "" y (1). t _ !D(z). Aqul , I e& el argumento intermedio.

Seg n la regla para derivar funcin eompuesu., te.nemo~ y~ = y;t~ = 11; (t)ID~(.:).

Del teorema de derivacin de hmein nvena $&0/11008:

([I~(.:J =_'_. q, (1)

(2)

'" Introduciendo asta expresin en la igul ldad (Z), obtenemos;

, '41' (1) /{~= 11 ... 10 (O < I < lrt). 801u0l611. 8 1 _litl ..... Ulgul.or do l. UlDren!. 'a cad.

a! valor de l. derlnd. ~~ In n I. punlo, u decIr, . ~ '~--; .

Pt 'O

f. PO' IInl.

puato es 19u. 1

2 sen.!.. .... , en . 2 Y , ( " ')

,' .. .. _ cotg.,.. _ tg -, -~ . " .. (1 W5 '1 2" .. ~

.-en Z Por ... n,jauient.e, . 1 _f ioente ngub r d. la lID ... wB"nte. la eieloido

en a da unO oU .... pun l"" '" igual a i {T-~) ' d""do I lO el nl~r del p 'motro e

" .

,. FlINQONES JUPER80U~ Ea mueb ... pliGlldolle8 d nilisia m.leIll6tk:o H eDcuentun

combloaclo llH de 1 .. funeloD811 ezpoMnelalOll dd tipo -} (r- r") y -} (11' + r~) . E3tu eomblnaciones Hfonaldcrlll como f\lDcion .. nu."" y ~ deslpan:

r_ ,- lenhz ___ , _ _ ~+ '-' l eosh::.: .... __ , __ ( 1)

Tj,. 11 L. primar. d. eal.a& rUllelOMII (f ) SI! dencmlo l .1\(1 hiperblico

., l .$e(Ulldl., tQR'DO Itlpn'J6 /1co. Coll e!ltaa fuDcloll1llll .. pueden deli . o _oh Z cOIIh z

ni, doe funcODq m: "" 11 z - coshz y coth "' - MDhz' ti deci r,

!/JIIlent, hJpcrbdlk/l. 1 colan(ftllte IIlperMllto. j '"

Llls funelones ""nh;r, co.h "'. tanh "tienen por dominio. evidell_ lem@(Ile, todo, lo, ... alore!! de :1:. La hmei6n eoth :1: tiene el mismo dominio, 11. u:cepci60 del punto z .. O.

Las gr ficn de lu funciones hl perb61!cu esUn rep~lleBdll.!l en las figurH 79. SO, 81.

De le dtofioicln de In funcollOl'!l seoh " Y. coah :1: [frmula, (t)/ le deducen co~rel.dolles anlou /1. las conoeid .. entn! las luneiollOl'!l

. trlgonomtricu correspondlentcll:

____ J!k co"h"z _""nht z _ 1, (2) cosb (

"

El nombro d uncln hiperb6 lic se debe que las lunelno .. ,ooh I Y GOIh f de$empfii l/l. en l. representacin IHnrnetriu de l. hi~rbol.,

-tI-v'"", t , el UlI.mo pl pel que 118 luueion" trlgonom'trlc.aa ten t y 00II I 1M 1, represe!lt.leI6n paramY.lcl de l. clreunferenci.

r + /I" _ 1. En efecto, eliminando el par'metro ten lu ecuaciones

z _ cost,v _ seo t, obl.endremoa:

~+ .. '_cost+lIlIn't zJ + ,,' _ I (ecuacl6 11

Adlcgamente, da " cl rcunfel"lmcia). % - eoeh r, 11 - Mol! t

aon ecuaeiool\ll par.m'triu.. de l. hiprbola.

Fil. U

,

.En efecto, , levando a l cUl.dra.do esta.! lIC"aelonel y n!3tando 1 .. "flll'lda de la prilm!"', oh tendremt:

z" - vi _ 80:>1111' t - senh' l. V, que 1, expreal6n d,' egundo miembro, "fn . (2) , l1li igul'

a 1, unIdad , tenllmb!l : .r _ ,,' _ 1,

que ea 1, ",""acin de una hiprbola. Enmlllemos 1, cireuolerenela, dada por la etulcln r + ,,' _ I

(U,. 82). En 1 .. tcUac lODet z ... GOfI 1, !I _ aeo 1, , 1 pa.imetro t eqlYIl16 Dum"'

'" SetialelDOI &In demOltrael6n q\lfl en tu ew.aeloo .. pooram6lrleu

d. la b.1~rbol. 1I' _ eosb l. ', - HIIhl

, 1 paritnetro j lit tf.mbi6u. m,uu","iCllmISDI.e. iguel .1 "'" doble del UlClor hlJMIrh6Ueol AOM (fI,. 88).

o Lu, derlndlll d, ru JUlIelon .. hipub6l1cu .., determino por 1 .. f6rmulas;

(lIIIIoh ,.,)',_ eoah;' (XXIJ)

que .. obUeD4ll de 11 propl, defitliCi6n de funclIl hiperblica; r-'" por ejemplo, pu.l, fuDllhSn "lIh z _ -,-, " U'III:

, ("-r') ,,+,.. (teoh;:) - ----z- - -r-COIh z 20. DIFERllIiCLU.

SuponpmOll que 1, mel6 .. ! _ 1 (z) .. d.rl .... bl. w bre el JeIlMoto IG, tll . En UD puDW z d, .. mento le, 61 l. dedvada de .. tI. fwa.e16n .. detenlJla por l. lu.ald.d

11m 4, _ ((zJ ... _.4z

Cualldo Ilz_ O, la rawD ~tl'Dd nn n(ilXl8r1) d'l.ernU.IIedo r ll') ,. por LanI.O, .. di_aele d. la dui .... d. r (~ en UD8 magnj-t\l. hdlnltamOl1U1 pequda:

4.1I _ f(~ +'" ..

donde ca_O, cnudo ~_O. MulUpllu ndo \QdGt lo. t6rmlnOtl d, la (\titila Igualdad por

Ilz, obtelllllllOll;

(1)

Dado que en el _ "!HInl , (1I') .;. 0, IntoDCf!ll, cuando Z N eoU'.IID" , As -+ 0, el ptOCIac\o r (%) ~ .. 111111 1D.,lIltud IDUai. tllDtA"- p8qU!lii. de primlll' 01'6'11 retpeeto Az. E l prodl,lCto DAs

'" .. ,Iemp", una magnitud inlinlu,mente ptque6a d, orden luperior ~. y. que

11m ca4z_ Um " .... 0 ... _. 4z u ... .

Aei, pU8II, el Incremento 6/1 de 1, funci6n 58 eompone de da. .umando., d. lo! cualea el ptlmero reelbe el nombre !culndo r (z) .. .,.. 01 de ptut~ pri"ctfl41 del 11lef'elllflnto, q\le es lJlIHi eon. rol'ci lI 4%. El producto r ("') 4z te denomina dl/~ne.IGj d, l. flUlCi611 7" dfll!lIgne por G" 11. dI ("'l .

D, modo que, si l. fuDel6n /1 _ J (z) UIOI darl"da f (z) eo el pullto lI'. el plOdutt;) de .ta por el illCremeoto 4%, del Ilrg\Ullellto .. lime dt!6eneltddea funcl6n .,M designa coo Imbo!o d/l. o MI,

dI/ - '(z) dz. (2) Hl.llelllOB l. dlfanoei, d, l. fu.ocl6n 11 _ z. En .Le ego

Y - (z)' - t , y, por tanto, Gil = d;r: - 4z 11. dz -= Az. De IMIta "'11.010, l. dtlf!rM,-c141 dz ~ 1" rlUl"bk indtpcndWiu z celncldo. UII .. IlID'ltlll6nto 4%. IA Irua1dad dz ,... /lz. podrla Uf eomlderld& CO IIIO ddhtfclcSn de , dlll reoel.1 d, una .. rlabla loder.ndi.nte, y, en .te _. el ejemplo u . mlll.do demOfluarf, qll' el o DO coot rlldle. , 1, daffo.k:lII de dlferellclal de 1, Nocin. Eo cualqulllJ' callO la frmula (2) le puedIo IIIIICrlbir .. f:

dN - f(*)k. PllO de MUo correl.cl6n .. dOllpreode que

f( .. ) - ~. pO!' taoto, 14 1kT1.uGd/J f (*) puk .,. c~""f.ckriJdtJ _ ra6IJ

fk 14 df/rnllt:/d de t. IUllt:Un re.pedo /J t. d"/~QI(icl fk liJ t1tUWlt IIUkPtl'ldImt..

raDiado GIl cuenta l a 16rmoala {2}, lIICribaJll08 1, f6rmul. (1) uf: A, ... dI/ + o:,u. (3)

NlI, pu .. , el IDCnlmaoto de l. fuocl6o difiere de la dlhnlllCllll de Uo en 1101 mlgll.ltud lDfioltallt'oto p9IIualll , de oc-deo IlIperior r8llpecto , ,u. SI f( .. ) .p O, II~ ", Il U IDfi oflealm.1 d, orden luperlor tllltblb nlllpeeto 1 dI/o J. por tinto:

A" a~ o: 11. -_1+ 11 .. - ____ 1+ U .. _ _ l . ...,_t tJr - t fl)/U .. .... f(%)

..

H'

E~to noS permite, 11 veces, u ti llt.r en .10' dleulos aproxlmadoa la Igualdad Rpcoxjm. d.

Ay j::::t dy. 0, en su forma de~arrolladD,

1(:0:+.10::) -fez) ~i'.(:z)&:. con lo cual le. abrev ian 101 clculOli .

r ~ ~j~ln>l o \ . C.lc~l .. l. dlleronda .Ir '1 p"" valores .rblra.i os d. Z f (O", 2 pano vd " .... z _ 20. Az _ (1.1 . s"lud6a: 1) 6v ... (z + b.z). - .. _ 2zh,,, .... M,

dr _ (z') ' 6 :. _ 2rl>.z. 2) SI ,, _ 20 Y b.~ _ O,1 001/>11"" :

6V _ 2200,1 +(0,1)' _ 4,01, _ 4,00.

(4)

,5

El ornr q ..... , ... ull. d. l ~lit\IG6n da Av por dj U J",. t 11 0,01. Ea ",,,,,bN ... _ .. l. puedo M~pttel.r. por eo nsld~urlo pIIq".1i "0 eomp .... cI6n con

Ay _ 4,01 ., El problem e"",lnodo ... U ... I ... en 1. filU'. M. [Ju En dlcul(l, a.pr(lll: i lllados $e ~a t.mbi~n l. I~aldad aprol

EI_plo 8. SI en l. frmula (7) b . ... IIlOl ~ _o y l:i ... ~.:

M"""' ''. Ekmplo 6. SI 1(",) - 18%, aelJ'ln lo frmula (&), obumemos la .lru1olll&

"",ldAd anos.lmod"

lr(",.+ ~",) ,.. t"'+~fl%, tando %_ 0 Y 6:< _ (>, Oblen. DI"":

tra ... .. . Elnoplo 5. SI 1(%) ",, 11;, l . /6 .... ,,1. (6), nO. da:

v .. +6% .... Vi + VI _ tU, , .

V- 1 +a .... 1+"2 "-El dleulo de la di ferencial de una rllncl6n s reduce en realidad

t I cUculo de I~ derivada, ya que, al mulUplicar la ltima por a diferencial de argumonto, se ohtiene la dif\lnlllciBI de la funeln. Por \801.0, la moyorla de 10$ teoremas y f6rml,llas qu'e ,. rofiero .. a las dorlvada., 9iguen slendo vlidos \.8mbln par. las diferaneil-lea. Por ejemplo:

Lo. dfenncd tk 111 SunuI d~ dM fundolUl tkrivabw, u !I ti tl lg~1 11 la IUIIl4 rk l/n dl/erelU:w.l de en'u unelamlr.

d(u+ .. ) _ du+dv. Lo 4.lfertru:/id dd producto Ik din ,unc/cnu dulooblu u 11 u '"

rktNlnlM JX1r /Q /6rmu/Q d (uv} '" udv + I/du. Dilmoalremoa uta (ltlma f6rmula. SI' , _ uv, se 1eu:

d, = !/rk =< (uo' + vu') dz "" ",o'ciz + vu'd:/:, /d>; "" dl/, u'dz _ du,

luego, dy ... u.w + vd",

Del millmo modo .$8 demuestran las otras f6rmuJu; por ejemplo, 'la que dete rmina la aiferencia.l do un cociente:

u vtW.-udv 5; U""' p' se tlll m) dJJ= ,}

Vefim~ algunOlJ eJemplO!! d cAlculo de l. diferencial te UDa funei6o.

".

EI_plo 7. ~ - 1h + .. ",. d~ _ ~ .!.dz. 2 t+ .. :o z

HaUu la e:.:presl6n de la diferflndll\ de una tun.:16.D comp"es". Supongamos

,,-/(,,), u - rp{..:), 011 -/ Icjo (%)1. Segi>n la regla de derlvacl6n de ftmei6n compIlUt.e., se tiene:

~=rM(U)"(Z). Por cowgulenUl,

dll = r. (u) qi (z) eh, pero '1" (z)d% - dI', luego, ay - /' (u) duo

De modo que, la dIJere,",laJ

'" eje~. Demos .. la variable Independiente uD Incremento .~ enton~! la funcl6n recibid ,1 Incremento 11/1 _ N M,. A los valo. res z + M:, 11 + 11/1 correspondef' en l. eurva /1 - I (z) el pUllto M, (z: + llz, 11 + lr.1I).

En el triingulo MNT encontramos:

Como

tenarDOS

NT "" MN t l n. to. _ (z), MN _ Az,

NT = r (zJ,u. Pero, segn la definicin de diferenciel , r (z) M: _ dl/. EntoncI, NT _ d,,_

&sI.&. Igualdad algnilie., que J. dl!trtlu;141 dtJ la luncl6n I (z), aJ"uplmdnu 4 1D$ wlorel rllldo, k z: 11 tJZ. t, lt{ud,,1 inuuMnlll1h 14

orlk~a de la UJ1lgelllf: !I. la euroo 11 - / (z) tn 11 punlo dado ,.,. En la ligur. 85 Sil Vil que

M,T - d l/-dl/. M,T ' Sogll lo demO:!ltudo antes, NT ..... 0, cuando .1.:1:-+0.

No slemprfI A" 11$ mayor que dl/. Aai, como .8 deduce de l. flg. 86,

Ay _ M,N, dll _ NT. 811 decir. 60//

'" por el .mbolo /1" (1 r (z):

/l' ... )' - r (z). Por ejemplo, " 11 - :r!, se Uene

11' ... 51' ; 11" ... (5%')' - 20~. La derivada de la 8eguuda derivada 8e denomina dtrlvada fh

/#en'

En el ca!!(l dado, son evidente! 1 .... frmulu: (u +v)f~) -= u(ft) + v

D.rl"""" r .u., ... ..t./

23. DII'EUJriClALE.'J DE 1.l'I VBR90S ORDE HE8

SUPOllp l1lo. la tullciD 11 - I ("'1 , doo.u " .. WUI u dable i llMpendlute. La dlfereDCi.1 d. ala fulltlo,

df =, ( ... 1 a, H e1er!. fllnelD de .... Poro d' ... puad. deptnd ... a6!o el primer fae-tor r ( ... j , puee\(! que el eegundo, (,b) ., II n lnutmento d, l . uril.-ble Indeptlndlento ... quo nO de pende d,1 velor de 6!u. Como dv _ func in di ... , le puede blblu da 1, dlflnme1el de "ti funcin.

La dlfereocl.1 do 1, diferencl . 1 d, 1101. funcin ea denomlnl. .funda. dftr,~11II o dLJen~lal rk .fUMO orGt/J da MUo f\lnclD , .a desln, por dll/!

d (dy) _ dllI. HIlIemo. l. UpnsLIl de I1 aepndl diferencial. EII " Irtlld de b,

dollnlciII ~oe",1 de di ereocill , tanemOl: d"1I "'" It (""ul'u,

Puesto quo dz M "dependieote d, .... a l denv",. a 1M IIIICr ibe n", del l lpo de l. derivada. Asi, lMdremOl

di - r (z) (dz)' , EII 11 polencle de le diferencil' ea omita , 1 parblall. Por

ejemplo, I n IUfn d. (dz)' se escribe h', aob re lntendi'ndOle q\la 1M! IrUe d,1 cuadrado d. I1 flIprealn .u; (u)' .. oecriblrA d:z:" , u l lucesiumente.

Se 111011 /trctr4 dfltmU:/.41 o dif,rtnclal tU ID",. orrk .. da 'IIIIa !undn I l. di ferenci.1 de l. ~ndl di/6Nl!IC11I d, ,,11. fund n:

tPlI _ d. (d",I) _ U- (z) oU"J'dz _ r (z)dz", En eae,., .. 1I.m. dlftrtnclal tk n-i.,_ ontc ... l. prllDen. dife-

rencl,l di 1, dl fe'ranc al del orden (n _ t I . d-II _ dW-'v)"",r/"-" (z) Q"-'r dz,

tl"1/ _ rl(.s)h~, (1) SI"'I'ndon .... de 1 .. dile .... nei.l. s de dlveraoa 6rd,nes, l. deri-~.d , de \ID ordellllualqulerl puede ear up ..... d. como la .. ~n de 1 .. dlf.Nlndal.., del ordeD corrlllpoodlenle:

r(.s) _ ~; rO() ~, :c -' tb!' (O

Coavlelle Inotlr, .iD embargo, que lu Iulldld .. (1) "1 (2) (pira 11 > 1) .oa v'lIdu 5610 1111 111 euo de que ~ MIl IIne varilble iode-MIlldllnto"') .

24. DERlVADAS DE DIVERSOS ORDBNES 1)'1': I'tlMClON&s IId PLI("J1'AS y DE fUHCIONES

REPRESBN'I"ADAS PAR.OfEl'RJCA.MENTE L VeemO!! con un ejemplo el m'todo p.,.. obtener 1 .. derivI-

d .. de dive~o. rdenes de lu funcione. Impllelt". SlIpon.m~ que le funcin Implleita /1 de ~ viene determinada

por la 1lIaldad

.. " .+--1=0. (t)

Derivando l'I!IIpecto :r tod~ los t'nnlnOl! de U~ IlIIrudad "1 teolendo In Clllnte. qlle JI ~ ,funcl6n de:r, multa:

di aqul bailamos

~+~~_ O. 11." b~di '

Volvamos a deriva r la ltima ' g-uald.d en cueota qua JI 83 funcin de :rl:

" tI' b",-zili-",- - ;}-,.-.

""pecto :r (U!nlendo

Suatituyeodo aqnl la derivada ~ po.r .u upnain en le 11111" dad (2) , se ob\lene:

0) Sin _b,..,.., 1, 1""ld.d (2) 11. eKrIbJ ........ IllIIblh ID . 1 CUO ...

y sfmplUicuulo:

De la ecuacin (1) se deduce ... v' + bOzO ... G"b',

JUlgo, Ja !IegIlIlda derivada pueda wr presentada en la lorma:

Derivando la ltima Igualda d rIIIIpecto ~ z, ballamo! ~~ y 11.$1 aucesiVJloente.

2. Veamos a bora el modo do h.l lar hu derivada, de rdenes superiores de la /""cMn rep.,,.nI4da piUanJtrlcame"te.

SupoDgamOll que la {undn y de z viBoe da da paramtrica-mente por

(3),

y la funcin z _ q:o (e) en el segmento l to. TI tiene su fnveru, . I _ ID (;El.

Se ha demostrado en el 18 que en e9t.e cuo la derivada ~ 8e determinl por la Igualdad

.'!!L " " di - d;

"

")

Para ha11ar la segunda derivada ~ derivemOill respecto a z la IpIldad (4), teniendo en cuenta que r e:! funcin de z:

,.ro (") '" (" ) ", (") ....!... dt = -di'" - --dt di _ " .!!;. (.!!;.)' dI dt

" t - __ o

'" " " Introduciendo . .. ultlmu exprulollHen la frmula (5), obtendnl mOll : ~ d'" dll tI:Jl

J'/I dt -;r - di 7 ;;> - ( ~)'

Esta frm ula se puede escribir en forma tOmpaeUl asf: rI'/I 'f" (1) "'~ (1) "t' (1) 'ft (1; ;;t- [ .. i{t ))'

De 1". mll m. m.,n'fa se puedo h ilar IBa de.iv, du ""M ~.~ dil' p' al.o.

Eje"", Sn l. hu .. :jJo , ele ", U 1 ... p ........ , .. , ... " poo ..... ' I,1(1 " z _ . ' 04I, , _ "sen l,

ti, 4", italia. 1 .... d

n.

tU. lMTEJlPRKTAClOlt MECA HItA DE LA SEGUNDA PEIUVADA

E l .,.do recorrido po. \lD cuerpo In movhnL~to d, trub-el6n en funci6n del tiempo 1, 1M expresa IsI:

' - 1 (t). (1) Como" sabido (1 1, ... p. 111). l. velocidad u del cuerpo en un

InlLalla d.do u igual. la primera dedvada del U plelO recorrido reepeeto .. 1 tiempo;

" .--. '"

(~

SUl'Oo.amoe qua en cierto IlUIunUl I 1, velocidad. del cuerpo , r. 11. SI ,1 movimjenl.o no el uni forme, en el nier",lo d.e t1QJl1po lt I parti r de 1, l. velocidad. vadar'. reelbiendo el loeramloto 41> .

Se denomlDl. aederlKi6" IfII!djll en el tiempo ~t 1, .... 611 del lne .. meuto da la velO&1d,d 4" nlIIpedo .1 del tiempO:

o". - --, Se dtAomlna IK.~M" ,ft ,,,. I/Ulule dodo el IImU. d.1 1, .u!Sn

dll IDUeIDODI.o d.~ la v.loeldad respecto al del Uampo, cu.odo tista tiende. uro

0 _ IIm~; "t _. 6J;

.. dtc! 1, leeler,c\6o (en ,1 Il,l,Itao\e