solucionario piskunov

Solucionario �Cálculo diferencial e integral�

Piskunov y yo resolviendo los problemas

07/10/11

Índice general

1. Número. Varible. Función 5

2. Límite y continuidad de las funciones. 37

Introducción

Problemas del Libro �Calculo diferencial e integral� de Piskunov[4], resueltos por mi.Para aprender a manejar Latex, Lyx y Scilab; y de paso repasar mis conceptos de cálculo,y/o aprender algo más al respecto. Intentare resolver en la medida de mis posibilidades losproblemas con Scilab.

No me hago responsable de los resultados, he comprobado que concuerdan, aunque enalgunas ocasiones puede ser que no (si me doy cuenta lo indicaría en el ejercicio correspon-diente).

He con�gurado el documento, para que los apartados (ejercicios) no aparezcan en elindice general, pues se obtenía un indice muy largo, y daba problemas al crear un PDF(formatos no permitidos en hiperindices?). He con�gurado el tamaño de hoja para A5, conla idea de que se pueda ver completo (sin necesidad de zoom) en un ebook, de momentocomo no tengo ebook, no puedo comprobar como se ve realmente. No obstante es bastantesencillo cambiar la con�guración al tamaño de hoja que se desee. Con este tamaño de hojatambién se podría imprimir directamente dos hojas en un A4.

3

4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Número. Varible. Función

He resuelto manualmente los ejercicios propuestos, dibujando las grá�cas por puntos(dando valor a �x� y obteniendo la �y� correspondiente), ya que el libro de Piskunov no trataen este capítulo el trazado de las grá�cas (máximos, mínimos, concava, convexa, etc..).

Después he procedido (en los ejercios con grá�cas) a obtenerlas con Scilab (he intentadousar la mayor cantidad de opciones que tiene Scilab para el trazado de funciones, aunquepuede ser que existan más que no conozca -eso seguro-).

Deseche utilizar el package de LATEX �pst-func�, pues mi objetivo es manejar el programaScilab. No obstante, si se tercia (he hecho alguna prueba desde MiTEX y me ha funcionado,desde LYX aún no lo he probado, supongo que será mediante una Red Box), probare autilizarlo en alguna ocasión.

1.1. Calcular f(x) = x2 + 6x− 4 para x = 1 y y = 3

f(1) = 12 + 6 · 1− 4 = 1 + 6− 4 = 3

f(3) = 32 + 6 · 3− 4 = 9 + 18− 4 = 23

1.2. Calcular f(x) = x2 + 1 para los valores dados

a) f(4) = 42 + 1 = 16 + 1 = 17

b) f(√

2) =(√

2)2

+ 1 = 2 + 1 = 3

c) f(a+ 1) = (a+ 1)2

+ 1 = a2 + 2a+ 1 + 1 = a2 + 2a+ 2

d) f(a) + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 1 + 1 = a2 + 2

e) f(a2) =(a2)2

+ 1 = a4 + 1

f) [f(a)]2

=(a2 + 1

)2= a4 + 2a2 + 1

g) f(2a) = (2a)2

+ 1 = 4a2 + 1

5

6 CAPÍTULO 1. NÚMERO. VARIBLE. FUNCIÓN

1.3. Calcular ϕ(

1x

)y 1

ϕ(x) siendo ϕ(x)= x−13x+5

ϕ

(1

x

)=

1x − 1

3 1x + 5

=1−xx

3+5xx

=1− x3 + 5x

1

ϕ(x)=

1x−13x+5

=3x+ 5

x− 1

1.4. Calcular ψ(x) =√x2 + 4 para 2x y para 0

ψ (2x) =

√(2x)

2+ 4 =

√4x2 + 4 = 2

√x2 + 1

ψ (0) =√

02 + 4 =√

4 = 2

1.5. Siendo f(x) = tg(θ) veri�car que f(2θ) = 2f(θ)

1−[f(θ)]2

f(2θ) = tg(2θ) =sen 2θ

cos 2θ=

sen θ cos θ + cos θ sen θ

cos θ cos θ − sen θ sen θ=

2 sen θ cos θ

cos2 θ − sen2 θ· cos2 θ

cos2 θ=

=2 sen θ cos θ

cos2 θcos2 θ−sen2 θ

cos2 θ

=2 sen θcos θ

1− sen2 θcos2 θ

=2 tg θ

1− tg2 θc.q.d

1.6. Siendo ϕ(x) = log 1−x1+x comprobar que ϕ(a) + ϕ(b) =

ϕ(a+b1+ab

)ϕ(a) = log

1− a1 + a

ϕ(b) = log1− b1 + b

ϕ(a) + ϕ(b) = log1− a1 + a

+ log1− b1 + b

= log(1− a)(a− b)(1 + a)(1 + b)

ϕ

(a+ b

1 + ab

)= log

1− a+b1+ab

1 + a+b1+ab

= log1 + ab− a− b1 + ab+ a+ b

= log(1− a)(1− b)(1 + a)(1 + b)

c.q.d.

1.7. SIENDO F (X) = LOGX Y ϕ(X) = X3 CALCULAR: 7

1.7. Siendo f(x) = log x y ϕ(x) = x3 calcular:

a) f [ϕ(2)] = f[23]

= f(8) = log 23 = 3 log 2

b) f [ϕ(a)] = f[a3]

= log a3 = 3 log a

c) ϕ [f(a)] = ϕ [log a] = (log a)3

1.8. Dominio natural de�nición función y = 2x2 + 1

No existen valores que produzcan divisiones por cero; por tanto todos los reales sonvalidos.

x ∈ R −∞ < x <∞

1.9. Dominio natural de�nición funciones:

a)√

1− x2 ; si |x| > 1⇒ 1− x2 < 0⇒No raiz real ⇒ −1 6 x 6 1

x2 = |x|2

b)√

3 + x+ 4√

7− x ; si x < −3 o x > 7 ⇒No raiz real ⇒ −3 6 x 6 7

c) 3√x+ a− 5

√x− b ; siempre existen raices reales ⇒ −∞ < x <∞

3√−8 = 3

√(−2)3 = (−2) = −2 3

√8 =

3√

23 = 2

d) a+xa−x ; si x = a⇒ denominador = 0=⇒ ∀x 6= a

e) arcsen2 x ; como senx sólo toma los valores entre−1 y 1 ⇒este es el dominiode arcsenx y de arcsen2 x⇒ −1 ≤ x ≤ 1

f) y = log x ; la función logarítmica sólo está de�nida para valores positivos⇒ ∀x > 0

g) y = ax(a > 0) =⇒ ∀x⇒ −∞ < x <∞


1.10. Construir grá�ca de la función y = −3x+ 5

Puntos de corte con los ejes: x = 0⇒ y = 5 y = 0⇒ −3x = −5⇒ x = 53

La curva es una recta, y utilizando Scilab para dibujarla

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;y=−3*x+5; b=5/3;plot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=−3*x+5" , r e c t=[−1 0 5 10 ] )xgrid

xstring ( 0 , 5 , [ "P(0 , 5 ) " ] )xstring (b , 0 , [ "P(5/3 ,0 ) " ] )// ax i s cen tered at (0 ,0)a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;

1.11. GRAFICAR PARÁBOLA Y = 12X

2 + 1 9

1.11. Gra�car parábola y = 12x

2 + 1

Dado que si y = 0→ 0 = 12x

2 + 1→ −2 = x2 no cruza el eje xAnalizándo algunos puntos x = 1 o x = −1⇒ y = 1 + 1

2x = ±2⇒ y = 2 + 1 = 3x = 0⇒ y = 1Realizando el grá�co en scilab:

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;y=0.5*x^2+1;plot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/2*x+1" , r e c t=[−4 0 4 10 ] )xgrid

// ax i s cen tered at (0 ,0)a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;


1.12. Parábola y = 3− 2x2

y = 0⇒ 0 = 3−2x2 ⇒ −3 = −2x2 ⇒ |x| =√

32 es simétrica respecto eje y (ordenadas)

x = 0⇒ y = 3

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;y=3−2*x^2;plot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=3−2*x^2" , r e c t=[−3 −5 3 4 ] )xgrid


1.13. PARÁBOLA Y = X2 + 2X − 1 11

1.13. Parábola y = x2 + 2x− 1

x =−1±√

22−4·1·(−1)2·1 = −2±

√4+4

2 = −2±2√2

2 puntos de corte eje x (abcisas)

y = 0⇒ x1 = −1 +√

2 x2 = −1−√

2x = 0⇒ y = −1

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;y=x^2+2*x−1;plot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=x^2+2*x−1" , r e c t=[−4 −2 2 7 ] )xgrid



1.14. y = 1x−1 ∀x 6= 1

x = 0⇒ y = −1

x1 = [ −3 : 0 . 0 5 : . 9 5 ] ' ;x2 = [ 1 . 0 5 : 0 . 1 : 3 ] ' ;dims=1; x=cat ( dims , x1 , x2 ) ;y=(x−1)^(−1) ; //y=1/(x−1) ; No funcionaplot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(x−1)" , r e c t=[−3 −10 3 10 ] )xgrid

xstring (0 ,−1 , [ "P(0 ,−1)" ] )// ax i s cen tered at (0 ,0)a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;

1.15. Y = SEN 2X 13

1.15. y = sen 2x

La curva senx es periódica 2πLa curva sen 2x es periódica π

x1 = [ −3 : 0 . 0 5 : . 9 5 ] ' ;x2 = [ 1 . 0 5 : 0 . 1 : 3 ] ' ;dims=1; x=cat ( dims , x1 , x2 ) ;y=(x−1)^(−1) ; //y=1/(x−1) ; No funcionaplot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(x−1)" , r e c t=[−3 −10 3 10 ] )xgrid

xstring (0 ,−1 , [ "P(0 ,−1)" ] )// ax i s cen tered at (0 ,0)a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;


1.16. y = cos 3x

La curva cosx es periódica 2πLa curva cos 3x es periódica 2

3π

x= [ 0 : 0 . 1 : 2* %pi ] ' ;plot2d (x , cos (3*x ) , [ 2 ] , r e c t =[0 ,−1 ,2*%pi , 1 ] ) ;xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;

1.17. PARÁBOLA Y = X2 − 4X + 6 15

1.17. Parábola y = x2 − 4x+ 6

y = 0⇒ x =4±√

(−4)2−4·1·62·1 = 4±

√16−242 no corta el eje x

x = 0⇒ y = 6

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;y=x^2−4*x+6;plot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=x^2−4*x+6" , r e c t=[−1 0 5 11 ] )xgrid



1.18. y = 11−x2

x = 0⇒ y = 1No de�nida para |x| = 1Curva simétrica eje ordenadas

x1=[ −3 :0 .05 : −1 .05 ] ' ;x2 = [ −0 . 9 5 : 0 . 0 5 : 0 . 9 5 ] ' ;x3 = [ 1 . 0 5 : 0 . 0 5 : 3 ] ' ;dims=1; x=cat ( dims , x1 , x2 , x3 ) ;y=(1−x^2)^(−1) ; //y=1/(1−x^2) ; No funcionaplot2d (x , y , [ 2 ] , l e g="y=1/(1−x^2)" , r e c t=[−3 −5 3 5 ] )xgrid


1.19. Y = SEN(X + π

4

)17

1.19. y = sen(x+ π

4

)La curva es periódica 2π y está adelantada π

4 (respecto a la curva seno)

x= [ 0 : 0 . 1 : 2* %pi ] ' ;plot2d (x , sin ( x+(%pi/4) ) , [ 2 ] , r e c t =[0 ,−1 ,2*%pi , 1 ] ) ;xgrid



1.20. y = cos(x− π

3

)La curva cosx es periódica 2π retrasada π

3 (respecto a la curva coseno)

x= [ 0 : 0 . 1 : 2* %pi ] ' ;plot2d (x , [ sin ( x+(%pi/4) ) cos (x−(%pi/3) ) ] , [ 2 3 ] , l e g=" s i n (x+pi /4)@cos (x

−pi /3) " , r e c t =[0 ,−1 ,2*%pi , 1 ] ) ;xgrid


1.21. Y = TG 12X 19

1.21. y = tg 12x

La curva tg 12x es periódica 2π y no valilda para x = π (tg x es periódica π)

1.22. y = cotg 14x

La curva cotg 14x es periódica 4π y no valilda para x = π (cotg x es periódica π)

x=[(−1)*%pi : 0 . 1 : %pi ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =tan (x/2) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =cotg ( ( x+((x==0)*%eps) ) /4) " ) ;//con "+(x==0)*%eps" se e v i t a e l 0// t ra zo func ión f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t=[−%pi,−10 , %pi , 1 0 ] )a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t=[−%pi,−10 , %pi , 1 0 ] ) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .//uso de LaTex en l a legenda , ver ' legend 'hl=legend ( [ ' $y=tg \ f r a c {x}{2}$ ' ] , [ ' $y=cotg \ f r a c {x}{4}$ ' ] , 4 ) ;


1.23. y = 3x

La curva potencial corta el eje x en el −∞ se aproxima a el rápidamente, pero no locorta.

Para x = 0⇒ y = 1

1.24. y = 2−x2

La curva potencial es simétrica respecto al eje y, debido al cuadrado de x.

Y corta el eje x en el −∞ y en el +∞ se aproxima a ellos rápidamente, pero no lo corta.

Para x = 0⇒ y = 1

x= [ −5 : 0 . 1 : 5 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =3^x" ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =2^(−(x^2) ) " ) ;// t ra zo func ión f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−3 ,0 ,3 ,4 ])a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−3 ,0 ,3 ,4 ]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=3^x$ ' ] , [ ' $y=2^{−x^2}$ ' ] , 1 ) ;

1.25. Y = LOG21X 21

1.25. y = log21x

La curva logarítmica sólo está de�nida para valores x > 0, por lo que log21x también

tiene el mismo dominio

También se representa la curva y = ln 1x

x = [ 0 : 0 . 0 5 : 4 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =log2 (1/( x+((x==0)*%eps) ) ) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =log (1/( x+((x==0)*%eps) ) ) " ) ;fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[0 ,−4 ,4 ,10])xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[0 ,−4 ,4 ,10]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=\log_2\ f r a c {1}{x}$ ' ] , [ ' $y=ln \ f r a c {1}{x}$ ' ] , 1 ) ; //upper

l e f t corner


1.26. y = x3 + 1

y = 0⇒ x = −1 x = 0⇒ y = 1

1.27. y = 4− x3

y = 0⇒ x = 3√

4 x = 0⇒ y = 4

x= [ − 2 . 2 : 0 . 1 : 3 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x^3+1" ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =4−x^3" ) ;// t ra zo func ión f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−5 ,−8 ,5 ,10])a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−5 ,−8 ,5 ,10]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=x^3+1$ ' ] , [ ' $y =4−x^3$ ' ] , 1 ) ;

1.28. Y = 1X2 23

1.28. y = 1x2

No de�nida para x = 0 (tendería a in�nito)

Curva simétrica respecto al eje y (ordenadas)

x1=[ −3 :0 .1 : −0 .1 ] ' ;x2 = [ 0 . 1 : 0 . 1 : 3 ] ' ;dims=1; x=cat ( dims , x1 , x2 ) ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =(x^2)^(−1)" ) ;fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−3 ,0 ,3 ,10])// tambien funciona//y =(x^2)^(−1)// p l o t 2d ( x , y , [ 2 ] , l e g="y =(x^2)^(−1)" , r e c t=[−3 0 3 10 ] )xgrid

// ax i s cen tered at (0 ,0)a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;h1=legend ( [ ' $y=\f r a c {1}{x^2}$ ' ] , 2 ) ;


1.29. y = x4

Curva simétrica respecto al eje y (ordenadas)

1.30. y = x5

Curva simétrica respecto al origen (punto 0,0)

x= [ −2 : 0 . 1 : 2 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x^5" ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =x^4" ) ;// t ra zo func ion f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−2 ,−10 ,2 ,10])a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ion g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−2 ,−10 ,2 ,10]) ; xt i t le ( "Funciones p o t e n c i a l e s " ) ;// x l a b e l (" x ") ; y l a b e l (" y ") ; l a s l e t r a s "x" e "y" sa l en sobre

cuadr i cu l a y no se ven// t ra zo grueso en func ion d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=x^5$ ' ] , [ ' $y=x^4$ ' ] , 4 ) ;

1.31. Y =√X 25

1.31. y =√x

Curva de�nida sólo para x ≥ 0

1.32. y = 1√x

Curva de�nida sólo para x > 0

Programa en Scilab (no trazo punto cero)

x = [ 0 . 0 1 : 0 . 0 1 : 1 0 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =sq r t ( x ) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =1/( sq r t ( x ) ) " ) ;// t ra zo func ión f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t = [0 , 0 , 10 , 10 ] ) ;a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t = [0 , 0 , 10 , 10 ] ) ; xt i t le ( "Funciones p o t e n c i a l e s " ) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=\sq r t {x}$ ' ] , [ ' $y=\f r a c {1}{\ sq r t {x}}$ ' ] , 1 ) ; //upper l e f t

corner

1.33. y = 3√x

Curva simétrica respecto al origen


Scilab utiliza la exponenciación para resolver, por lo que no da valores correctos paravalores de x negativos. x

13 = e

13 log x Dando resultados de número complejos, que en la

presentación grá�ca, se convierten a: en el eje x la parte real, y en el eje y la parte imaginaria.

Por ejemplo la 3√−27 = −3 en Scilab es −27

13 = 1, 5 + 2, 5980762i (Curva azul, para

números positivos coincide con curva verde -queda oculta-)

x= [ −8 : 0 . 1 : 8 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =x^(1/3) " ) ;//For two r e a l or complex numbers x1 e t x2 the va lue o f x1^x2 i s the "

p r i n c i p a l va lue " determined by x1^x2 = exp ( x2* l o g ( x1 ) ) .function [ y]=g (x )

i f x<0 then

y=(−1) * ( (abs ( x ) ) ^(1/3) )else

y =x^(1/3)end

endfunction

fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−8 ,−3 ,8 ,3])xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−8 ,−3 ,8 ,3]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .hl=legend ( [ ' $y=x^\ f r a c {1}{3}=e^{\ f r a c {1}{3}\ log {x}}$ ' ] , [ ' $y=\sq r t [ 3 ] { x

}$ ' ] , 1 ) ; //upper l e f t corner

1.34. Y = |X| 27

1.34. y = |x|

Curva siméttrica respecto a las ordenadas.

1.35. y = log2 |x|

Curva simétrica, de�nida ∀x 6= 0

x= [ −4 : 0 . 1 : 4 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =abs (x ) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =log2 ( abs (x )+((x==0)*%eps) ) " ) ;//con "+(x==0)*%eps" se e v i t a e l 0// t ra zo func ión f ( x )fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−4 ,−10 ,4 ,4])a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−4 ,−10 ,4 ,4]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .//uso de LaTex en l a legenda , ver ' legend 'hl=legend ( [ ' $y=|x | $ ' ] , [ ' $y=\log_2 | x | $ ' ] , 4 ) ;


1.36. y = log2 (1− x)

Curva de�nida ∀x < 1

x= [ −5 : 0 . 1 : 1 ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =log2 ((1−x )+((1−x )==0)*%eps) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =log ((1−x )+((1−x )==0)*%eps) " ) ;fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−5 ,−5 ,1 ,3])xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .// There are a compound made o f two p o l y l i n e s and a l egendpoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[−5 ,−5 ,1 ,3]) ;// t ra zo grueso en func ión d ibu jadapoly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .//uso de LaTex en l a legenda , ver ' legend 'hl=legend ( [ ' $y=\log_2(1−x ) $ ' ] , [ ' $y=ln (1−x ) $ ' ] , 3 ) ; //upper l e f t corner

1.37. Y = 3 SEN(2X + π

3

)29

1.37. y = 3 sen(2x+ π

3

)La curva es senoidal, de amplitud 3, periódica π (doble frecuencia) y está adelantada

π3 (respecto a la curva seno)

1.38. y = 4 cos(x+ π

2

)La curva es senoidal, periódica 2π y adelantada π

2 (respecto a la curva seno)

x= [ 0 : 0 . 1 : 2* %pi ] ' ;deff ( " [ y]= f ( x ) " , "y =3* s i n (2*x+(%pi/3) ) " ) ;deff ( " [ y]=g (x ) " , "y =4*cos ( x+(%pi/2) ) " ) ;fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[0 ,−4 ,2*%pi , 4 ] )a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t y// ax i s cen tered at (0 ,0)a . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .poly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid

// t ra zo func ión g ( x )fplot2d (x , g , [ 3 ] , r e c t =[0 ,−4 ,2*%pi , 4 ] ) ;poly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ;h l=legend ( [ ' $y=3\ s i n (2x+\f r a c {\ p i }{3}) $ ' ] , [ ' $y=4\cos ( x+\f r a c {\ p i }{2}) $

' ] , 5 ) ;


1.39. Curvas de�nidas por tramos f(x) de�nida ∀x ⊂[−1; 1]

f(x) =

{1 + x −1 ≤ x ≤ 0

1− 2x 0 ≤ x ≤ 1

x= [ −1 : 0 . 1 : 1 ] ' ;function [ y]= f ( x )

i f x<0 then

y=1+xelse

y =1−2*xend

endfunction

fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t =[−1 ,−1 ,1 ,1])xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .poly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;

1.40. CURVAS DEFINIDAS POR TRAMOS F (X) DEFINIDA ∀X ⊂ [0; 2] 31

1.40. Curvas de�nidas por tramos f(x) de�nida ∀x ⊂[0; 2]

f(x) =

{x3 0 ≤ x ≤ 1

x 1 ≤ x ≤ 2

x = [ 0 : 0 . 1 : 2 ] ' ;function [ y]= f ( x )

i f x<=1 then

y=x^3else

y =xend

endfunction

fplot2d (x , f , [ 2 ] , r e c t = [0 , 0 , 2 , 2 ] )xgrid

a=gca ( ) ; // Handle on axes e n t i t ya . x_locat ion = " o r i g i n " ;a . y_locat ion = " o r i g i n " ;a . c h i l d r en // l i s t the c h i l d r en o f the axes .poly1= a . ch i l d r en (1 ) . c h i l d r en (1 ) ; // s t o r e p o l y l i n e handle in t o po ly1poly1 . t h i c kne s s = 3 ; // . . . and the t i c k n e s s o f a curve .xgrid ;


1.41. Espiral hiperbólica % = aϕ

phi = [ 0 : %pi/100 : %pi * 4 ] ; rho =(0.9) / phipolarplot ( phi , rho )

1.42. Espiral logarítmica % = aϕ

Para a < 1⇒ espiral que se acerca a cero (color negro).Para a = 1⇒ circulo unidad (color rojo)Para a > 1⇒ espiral que se aleja a in�nito (color azul)

phi = [ 0 : %pi/100 : %pi * 4 ] ; rho05 = ( 0 . 9 )^phi ;rho1=1^phi ; rho2=1.1^phipolarplot ( [ phi ' phi ' phi ' ] , [ rho05 ' rho1 ' rho2 ' ] , [ 1 , 5 , 1 0 ] , ' 130 ' , "

@r09@r1@>r11" )

1.43. LEMNISCATA % = A√

COS 2ϕ 33

1.43. Lemniscata % = a√

cos 2ϕ

También se ha trazado la curva lemniscata con el seno (curva de color rojo)

phi =[0 : %pi/100:2* %pi ] ; a=10;columnas=s ize ( phi , ' c ' )rho=ones ( phi ) ;mu=rho ;for i t =1: columnas

i f ( cos (2* phi (1 , i t ) )<0) then

rho (1 , i t )=0 // va l o r e s imag inar ios de l a r a i zelse

rho (1 , i t )=a*sqrt ( cos (2* phi (1 , i t ) ) )end

end

for i t =1: columnasi f ( sin (2* phi (1 , i t ) )<0) then

mu(1 , i t )=0 // va l o r e s imag inar ios de l a r a i zelse

mu(1 , i t )=a*sqrt ( sin (2* phi (1 , i t ) ) )end

end

polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r11 " )// l a l em in i s ca t a d e l seno e s t a g i rada ( re t ra sada ) p i /4 (45 º )


1.44. Cardioide % = a (1− cosϕ)

También se ha trazado la curva cardioide con el seno (curva de color rojo)

phi =[0 : %pi/100:2* %pi ] ; a=5;rho=a*(1−cos ( phi ) ) ;mu=a*(1−sin ( phi ) ) ;polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r11 " )// l a ca rd i o i d e d e l seno e s t a g i rada ( re t ra sada ) p i /2 (90 º )

1.45. ROSA DE N-PÉTALOS % = A SEN 3ϕ 35

1.45. Rosa de n-Pétalos % = a sen 3ϕ

También se ha trazado la Rosa de 2n-Pétalos con µ = a cos 4ϕ (curva de color rojo)Si el múltiplo de ϕ es par se obtiene una rosa de 2n-pétalos, si es impar de n-pétalos.

Esto se produce tanto en el seno como en el coseno, lo que hay es un desfase (giro) entreuna curva y otra.

phi =[0 : %pi/100:2* %pi ] ; a=5;rho=a* sin (3* phi ) ;mu=a*cos (4* phi ) ;polarplot ( [ phi ' phi ' ] , [ rho ' mu' ] , [ 1 , 5 ] , ' 130 ' , "@r1@>r11 " )

Capítulo 2

Límite y continuidad de lasfunciones.

He resuelto manualmente los ejercicios propuestos. En Scilab no he encontrado unaherramienta que resulva simbolicamente los límites; parece ser que el programa �MAXIMA�si que lo hace (pero de momento no estoy interesado en utilizarlo).

2.1. Calcular lımx→1x2+2x+5x2+1

En primer lugar, probamos a resolver aplicando el valor de x, dentro de la expresión::

lımx→1

x2 + 2x+ 5

x2 + 1=

12 + 2 · 1 + 5

12 + 1=

8

2= 4

Aplicando teoremas funamentales de los límites (Apartado 5 del libro de Piskunov)

lımx→1

x2 + 2x+ 5

x2 + 1=

lımx→1 x2 + 2x+ 5

lımx→1 x2 + 1=

lımx→1 x2 + lımx→1 2x+ lımx→1 5

lımx→1 x2 + lımx→1 1=

=1 + 2 + 5

1 + 2=

8

2= 4

2.2. Calcular lımx→π2

[2 senx− cosx+ cotg x]

lımx→π

2

[2 senx− cosx+ cotg x] = 2 lımx→π

2

senx− lımx→π

2

cosx+ lımx→π

2

cosx · lımx→π

2

1

senx=

= 2 · 1− 0 + 0 · 1

1= 2

37

38 CAPÍTULO 2. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.

2.3. Calcular lımx→2x−2√2+x

lımx→2

x− 2√2 + x

=lımx→2 x− 2

lımx→2

√2 + x

=2− 2

2=

0

2= 0

2.4. Calcular lımx→∞(2− 1

x + 4x2

)lımx→∞

(2− 1

x+

4

x2

)= lımx→∞

2− lımx→∞

1

x+ lımx→∞

4

x2= 2− 0 + 4 · 0 = 2

2.5. Calcular lımx→∞4x3−2x2+1

3x3−5

lımx→∞

4x3 − 2x2 + 1

3x3 − 5=

lımx→∞4x3−2x2+1

x3

lımx→∞3x3−5x3

=lımx→∞

(4− 2 1

x + 1x2

)lımx→∞

(3− 5

x3

) =4− 0 + 0

3− 0=

4

3

2.6. Calcular lımx→∞x+1x

lımx→∞

x+ 1

x= lımx→∞

(1 +

1

x

)= 1 + 0 = 1

2.7. Calcular lımn→∞1+2+...+n

n2

lımn→∞

1 + 2 + . . .+ n

n2= lımn→∞

n(1 + n)

2n2= lımn→∞

1 + n

2n= lımn→∞

(1

2n+

1

2

)= 0 +

1

2=

1

2

Dado que el sumatorio de la Progresión Aritmética es::

n∑i=1

n = (1 + 2 + . . .+ n) =n(a1 + an)

2=n(1 + n)

2

2.8. Calcular lımn→∞12+22+...+n2

n3

Piskunov[4]propone para su resolución utilizar la igualdad (demostrada):

12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

lımn→∞

12 + 22 + . . .+ n2

n3= lımn→∞

n(n+ 1)(2n+ 1)

6n3= lımn→∞

(n+ 1)(2n+ 1)

6n2=

2.9. CALCULAR LıMX→∞X2+X−12X+5 39

= lımn→∞

2n2 + 3n+ 1

6n2/n2

/n2= lımn→∞

2 + 3n + 1

n2

6=

2 + 0 + 0

6=

1

3

Tambien se podría resolver por el Criterio de Stolz, en el Atlas de matemáticas [3] se indicaeste método para resolver límites de la forma:

lımn→∞

anbn

an →∞ y bn →∞ ⇒ lımn→∞

an − an−1bn − bn−1

= lımn→∞

anbn

Aplicando el Criterio de Stolz:

lımn→∞

(12 + 22 + . . .+ n2)− (12 + 22 + . . . (n− 1)2)

n3 − (n− 1)3=

= lımn→∞

n2

n3 − (n3 − 3n2 + 3n− 1)= lımn→∞

n2

3n2 − 3n+ 1

/n2

/n2=

= lımn→∞

1

3− 3n + 1

n2

=1

3− 0 + 0=

1

3

2.9. Calcular lımx→∞x2+x−1

2x+5

Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por x2.

lımx→∞

x2 + x− 1

2x+ 5

/x2

/x2= lımx→∞

1 + 1x −

1x2

2x + 5

x2

=1 + 0− 0

0 + 0=

1

0=∞

2.10. Calcular lımx→∞3x2−2x−1x3+4

Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por x3.

lımx→∞

3x2 − 2x− 1

x3 + 4

/x3

/x3= lımx→∞

3x −

2x2 − 1

x3

1 + 4x3

=0− 0− 0

1 + 0=

0

1= 0

2.11. Calcular lımx→04x3−2x2+x

3x2+2x

Se puede resolver dividiendo los polinomios denominador y divisor por x.

lımx→0

4x3 − 2x2 + x

3x2 + 2x

/x

/x= lımx→0

4x2 − 2x+ 1

3x+ 2=

0− 0 + 1

0 + 2=

1

2

En Scilab, podemos calcular este límite aprovechando el mínimo valor � %eps�

function y=pol1 (x )y=(4*x^3−2*x^2+x )/(3*x^2+2*x )

endfunction

Obteniendo como resultado en consola, al introducir en vez de 0 el valor � %eps�


−−>pol1 ( %eps)ans = 0.5

2.12. Calcular lımx→2x2−4x−2

Se soluciona descomponiendo el polinomio del denominador1 y simpli�cando la función.

lımx→2

x2 − 4

x− 2= lımx→2

(x+ 2)(x− 2)

(x− 2)= lımx→2

x+ 2 = 2 + 2 = 4

En Scilab, podemos calcular este límite aprovechando el mínimo valor � %eps�, y la gestiónde errores �ieee(n)

ieee (2 )function y=pol12b (x )y=(x^2−4)/(x−2)

endfunctiondisp ( pol12b(2−%eps ) )disp ( pol12b(2+%eps ) )

Obteniendo como resultado al ejecutar este archivo

−−>exec ( ' 02−12b . s c i ' , −1)4 .Nan

2.13. Calcular lımx→1x3−1x−1


lımx→1

x3 − 1

x− 1= lımx→1

(x2 + x+ 1)(x− 1)

(x− 1)= lımx→1

x2 + x+ 1 = 12 + 1 + 1 = 3

En Scilab

ieee (2 )function y=pol13 (x )y=(x^3−1)/(x−1)

endfunctiondisp ( pol13 (1−%eps ) )disp ( pol13 (1+%eps ) )


1División de polinomios, por Ru�ni: x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2)1 0 -4

2 2 41 2 0

2Aplicando Ru�ni: x4 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1)1 0 0 -1

1 1 1 11 1 1 0

2.14. CALCULAR LıMX→2X2−5X+6X2−12X+20 41

−−>exec ( ' 02−13. s c i ' , −1)3 .3 .

2.14. Calcular lımx→2x2−5x+6x2−12x+20

Se soluciona descomponiendo los polinomios del denominador y del divisor, y simpli�-cando la función.

lımx→2

x2 − 5x+ 6

x2 − 12x+ 20= lımx→2

(x− 3)(x− 2)

(x− 10)(x− 2)= lımx→2

x− 3

x− 10=−1

−8=

1

8

En Scilab

ieee (2 )function y=pol14 (x )y=(x^2−(5*x)+6)/(x^2−(12*x)+20)



−−>exec ( ' 02−14. s c i ' , −1)0 .25Nan

Que no es correcto, da 14 , pero no soy capaz de entender porque.

2.15. Calcular lımx→2x3+3x−10

3x2−5x+−2


lımx→2

x3 + 3x− 10

3x2 − 5x+−2= lımx→2

(x− 2)(x+ 5)

3(x− 2)(x+ 13 )

= lımx→2

x+ 5

3x+ 1=

7

7= 1

En Scilab

ieee (2 )function y=pol15 (x )y=(x^3+(3*x)−10)/(3*x^2−(5*x)−2)


Obteniendo

−−>exec ( ' 02−15. s c i ' , −1)− 2 .252D+15

In f


Que no es correcto. Y probando con polinomios.

ieee (2 )p=poly ([−10 3 0 1 ] , "x" , "c" )q=poly ([−2 −5 3 ] , "x" , "c" )t=p/qdisp (horner ( t ,2−%eps ) )disp (horner ( t ,2+ %eps ) )


−−>exec ( ' 02−15b . s c i ' , −1)− 2 .002D+15

In f

Que tampoco es correcto.

2.16. Calcular lımy→−2y3+3y2+2yy2−y−6


lımy→−2

y3 + 3y2 + 2y

y2 − y − 6= lımy→−2

y(y + 1)(y + 2)

(y − 3)(y + 2)= lımy→−2

y(y + 1)

y − 3=

=(−2)(−2 + 1)

−2− 3=

(−2)(−1)

−5=−2

5

2.17. Calcular lımu→−2u3+4u2+4u(u+2)(u−3)


lımu→−2

u3 + 4u2 + 4u

(u+ 2)(u− 3)= lımu→−2

u(u+ 2)2

(u+ 2)(u− 3)= lımu→−2

u(u+ 2)

u− 3=

=(−2)(−2 + 2)

−2− 3=

(−2)(0)

−5= 0

2.18. Calcular lımh→0(x+h)3−x3

h

lımh→0

(x+ h)3 − x3

h= lımh→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h

/h

/h=

= lımh→0

3x2 + 3xh+ h2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2

2.19. CALCULAR LıMX→1

[1

1−X −3

1−X3

]43

2.19. Calcular lımx→1

[1

1−x −3

1−x3]

lımx→1

[1

1− x− 3

1− x3

]= lımx→1

[1− x3 − 3− 3x

(1− x)(1− x3)

]= lımx→1

−x3 + 3x− 2

(1− x)(x− 1)(−x2 − x− 1)=


= lımx→1

(−1)(x3 − 3x+ 2)

(x− 1)2(x2 + x+ 1)= lımx→1

(−1)(x− 1)2(x+ 2)

(x− 1)2(x2 + x+ 1)= lımx→1

(−1)(x+ 2)

x2 + x+ 1=

=(−1)(1 + 2)

1 + 1 + 1=−3

3= −1

2.20. Calcular lımx→1xn−1x−1


lımx→1

xn − 1

x− 1= lımx→1

x− 1

x− 1

i=n−1∑i=0

xi = lımx→1

i=n−1∑i=0

xi =

i=n−1∑i=0

1i =

=

n−1∑0

1 = n ∀n ≥ 0 ∧ n ∈ N


√1+x−1x

Se puede solucionar realizando un cambio de variable

{y2 = 1 + x⇒ x = y2 − 1

x→ 0⇒ y2 → 1⇒ y → 1

Y después simpli�cando la función.

lımx→0

√1 + x− 1

x= lımy→1

√y2 − 1

y2 − 1= lımy→1

y − 1

y2 − 1=

= lımy→1

y − 1

(y − 1)(y + 1)= lımy→1

1

y + 1=

1

1 + 1=

1

2

3Aplicando Ru�ni: x3 − 3x+ 2 = (x− 1)2(x+ 2)

1 0 -3 21 1 1 -2

1 1 -2 01 1 2

1 2 0

4Aplicando Ru�ni: xn−1 = (x−1)∑i=n−1

i=0 xi

x^ n n-1 n-2 ... n-(n-1)=1 n-n=01 0 0 0 0 -1

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0



√2x+1−3√x−2−

√2

Se soluciona simpli�cando la función, eliminando la división de raices que da indeter-minacion. Para ello multiplicar y dividir por el �conjugado� (

√f(x)∓ n).

lımx→4

√2x+ 1− 3√x− 2−

√2·√

2x+ 1 + 3√2x+ 1 + 3

·√x− 2 +

√2

√x− 2 +

√2

= lımx→4

(2x+ 1− 9)(√x− 2 +

√2)

(x− 2− 2)(√

2x+ 1 + 3)=

= lımx→4

2x− 8

x− 4·√x− 2 +

√2√

2x+ 1 + 3= lımx→4

2(x− 4)

x− 4·√x− 2 +

√2√

2x+ 1 + 3= 2 lım

x→4·√x− 2 +

√2√

2x+ 1 + 3=

= 2 ·√

4− 2 +√

2√2 · 4 + 1 + 3

=2 · 2√

2

3 + 3=

2√

2

3


√x2+p2−p√x2+q2−q

Se soluciona simpli�cando la función, eliminando la división de raices que da indeter-minacion. Para ello multiplicar y dividir por el �conjugado� (

√f(x)∓ n).

lımx→0

√x2 + p2 − p√x2 + q2 − q

·√x2 + p2 + p√x2 + p2 + p

·√x2 + q2 + q√x2 + q2 + q

= lımx→0

(x2 + p2 − p2)(√x2 + q2 + q)

(x2 + q2 − q2)(√x2 + p2 + p)

=

= lımx→0

x2

x2·√x2 + q2 + q√x2 + p2 + p

= lımx→0

√x2 + q2 + q√x2 + p2 + p

=

√0 + q2 + q√0 + p2 + p

=2q

2p=q

p

= 2 ·√

4− 2 +√

2√2 · 4 + 1 + 3

=2 · 2√

2

3 + 3=

2√

2

3

2.24. Calcular lımx→13√x−1√x−1


{x = y3 ⇒ 3

√x = y

x→ 1⇒ y3 → 1⇒ y → 1

Y después simpli�cando la función (eliminando las raices cuadradas que quedan).

lımx→1

3√x− 1√x− 1

= lımy→1

y − 1

y32 − 1

· y32 + 1

y32 + 1

= lımy→1

(y − 1)(y32 + 1)

y3 − 1=

= lımy→1

(y − 1)(y32 + 1)

(y − 1)(y2 + y + 1)= lımy→1

y32 + 1

y2 + y + 1=

1 + 1

1 + 1 + 1=

2

3

2.25. CALCULAR LıMX→AM√X− M√

AX−A 45

2.25. Calcular lımx→am√x− m√a

x−a


{x = ym ⇒ m

√x = y

x→ a⇒ ym → a⇒ y → m√a

Dado que la ecuación tiene solución real: ym − a = 0 ⇒ y = a1m . Se puede simpli�car

la función(dividiendo el polinomio por esa solución: x− a 1m )5 .

lımx→a

m√x− m

√a

x− a= lımy→ m

√a

y − m√a

ym − a= lımy→ m

√a

(y − a 1m )

(y − a 1m )(∑mn=1 a

n−1m ym−n)

=

= lımy→ m

√a

1∑mn=1 a

n−1m ym−n

=1

lımy→ m√a

∑mn=1 a

n−1m ym−n

=1∑m

n=1 an−1m a

m−nm

=

=1∑m

n=1 an−1+m−n

m

=1∑m

n=1 am−1m

=1

m · am−1m

=1

m · a1 · a−1m

=a

1m

m · a=

m√a

m · a


√1+x+x2−1

x

Se soluciona eliminando la indeterminación (raiz), multiplicando y dividiendo por el�conjugado� (

√f(x)∓ n).

lımx→0

√1 + x+ x2 − 1

x·√

1 + x+ x2 + 1√1 + x+ x2 + 1

= lımx→0

1 + x+ x2 − 12

x(√

1 + x+ x2 + 1)=

= lımx→0

x+ x2

x(√

1 + x+ x2 + 1)= lımx→0

1 + x√1 + x+ x2 + 1

=1 + 0√

1 + 0 + 0 + 1=

1

1 + 1=

1

2

2.27. Calcular lımx→+∞√x2−3

3√x3+1

La indeterminación ∞∞ la podemos eliminar dividiendo tanto el numerador y como eldenominador por x.

lımx→+∞

√x2 − 3

3√x3 + 1

· /x/x

= lımx→+∞

√x2

x2 − 3x2

3

√x3

x3 + 1x3

= lımx→+∞

√1− 3

x2

3

√1 + 1

x3

=

5Utilizando Ru�ni para dividir:m m-1 m-2 ... m-(m-1)=1 m-(m)=01 0 0 0 0 -a

a1m a

1m a

2m .. a

m−1m a

mm

1 a1m a

2m ... a

m−1m 0

ym − a = (x− a1m )(

∑mn=1 a

n−1m ym−n)


=

√1− 3

+∞2

3

√1 + 1

+∞3

=

√1− 0

3√

1 + 0=

1

1= 1

2.28. Calcular lımx→∞√x2+1x+1

Hay que calcular el límite cuando se tiende a +∞ y a −∞.Para calcular el otro límite, cuando se tiende a +∞.

lımx→+∞

√x2 + 1

x+ 1· /x/x

= lımx→+∞

√1 + 1

x2

1 + 1x

=

√1 + 1

∞2

1 + 1∞

=

√1 + 0

1 + 0=

1

1= 1

Para calcular el otro límite, cuando se tiende a −∞.

Se realiza el cambio de variable

{x = −(t+ 1)⇒ t = −1− xx→ −∞⇒ t→ −1 +∞⇒ t→ +∞

lımx→−∞

√x2 + 1

x+ 1= lımy→+∞

√(−(t+ 1))2 + 1

−(t+ 1) + 1= lımy→+∞

√(t+ 1)2 + 1

−t=

Realizando otro cambio de variable

{u = t+ 1⇒ −t = 1− ut→ +∞⇒ u→ +∞

= lımu→+∞

√u2 + 1

1− u· /u/u

= lımu→+∞

√1 + 1

u2

1u − 1

=

√1 + 0

0− 1=

1

−1= −1

2.29. Calcular lımx→∞(√

x2 + 1−√x2 − 1

)Tan sólo hay que calcular el límite cuando se tiende a +∞. Ya que al estar la variable

x elevada al cuadrado, se obtendrá el mismo resultado para x→ −∞.

lımx→∞

(√x2 + 1−

√x2 − 1

)·√x2 + 1 +

√x2 − 1√

x2 + 1 +√x2 − 1

= lımx→∞

(x2 + 1)− (x2 − 1)√x2 + 1 +

√x2 − 1

=

= lımx→∞

2√x2 + 1 +

√x2 − 1

=2

∞= 0

2.30. Calcular lımx→∞ x(√

x2 + 1− x)

Hay que calcular el límite cuando se tiende a +∞ y a −∞.Para calcular el otro límite, cuando se tiende a +∞.

lımx→+∞

x(√

x2 + 1− x)

= lımx→+∞

x√x2 + 1−x2·x

√x2 + 1 + x2

x√x2 + 1 + x2

= lımx→+∞

x2(x2 + 1)− x4

x√x2 + 1 + x2

=

2.31. CALCULAR LıMX→0SENXTGX 47

= lımx→+∞

x4 + x2 − x4

x√x2 + 1 + x2

= lımx→+∞

x2

x√x2 + 1 + x2

· /x2

/x2= lımx→+∞

1√x2+1x + 1

=

= lımx→+∞

1√1 + 1

x2 + 1=

1√1 + 0 + 1

=1

1 + 1=

1

2

Para calcular el otro límite, cuando se tiende a −∞.


{x = −(t+ 1)⇒ −x = t+ 1

x→ −∞⇒ t→ −1 +∞⇒ t→ +∞

lımx→−∞

x(√

x2 + 1− x)

= lımt→+∞

−(t+ 1)[√

(− (t+ 1))2 + 1 + (t+ 1)]

=

= (−1) · lımt→+∞

(t+ 1)

[√(t+ 1)

2+ 1 + (t+ 1)

]=

Realizando cambio de variable

{u = (t+ 1)

t→ +∞⇒ u→ +∞

= (−1) · lımu→+∞

u[√

u2 + 1 + u]

= (−1) · ∞[√∞2 + 1 +∞

]= −∞

2.31. Calcular lımx→0senxtg x

lımx→0

senx

tg x= lımx→0

senxsen xcos x

= lımx→0

cosx = cos 0 = 1

2.32. Calcular lımx→∞sen 4xx

Aquí pienso que hay una errata en el enunciado, debería ser tendiendo a cero. Si escomo en el enunciado:

lımx→∞

sen 4x

x=

lımx→∞ sen 4x

lımx→∞ x=|sen 4∞| ≤ 1

∞= 0

Si fuese tendiendo a cero, si que da el resultado indicado en el libro.

lımx→0

sen 4x

x= lımx→0

4

4

sen 4x

x= 4 lım

x→0

sen 4x

4x=


{t = 4x

x→ 0⇒ t→ 0

= 4 lımt→0

sen t

t= 4 · 1 = 4


2.33. Calcular lımx→0sen2 x

3

x2

lımx→0

sen2 x3

x2= lımx→0

sen x3

x·

sen x3

x= lımx→0

1313

sen x3

x· lımx→0

1313

sen x3

x=

1

9· lımx→0

sen x3

x3

· lımx→0

sen x3

x3

=


{t = x

3

x→ 0⇒ t→ 0

=1

9· lımt→0

sen t

t· lımt→0

sen t

t=

1

9· 1 · 1 =

1

9

2.34. Calcular lımx→0x√

1−cosx

Para resolverlo utilizamos la propiedad trigonométrica [2]: 1− cosx = 2 sen2(x2

).

lımx→0

x√1− cosx

= lımx→0

x√2 sen2 x

2

= lımx→0

x√2 sen x

2

=1√2

lımx→0

1212

x

sen x2

=

=2√2

lımx→0

x2

sen x2

=2√2· 1 =

2√2

=2√2·√

2√2

=√

2

2.35. Calcular lımx→0 x cotg x

Dada la de�nición de la cotangente [1]: cotg x = cos xsen x .

lımx→0

x cotg x = lımx→0

xcosx

senx= lımx→0

x

senx· lımx→0

cosx = lımx→0

x

senx

/x

/x· cos 0 =

= lımx→0

1sen xx

· 1 =1

1· 1 = 1

2.36. Calcular lımν→π3

1−2 cos ν

sen(ν−π3 )

Realizando el cambio de variable

{x = ν − π

3 ⇒ ν = x+ π3

ν → π3 ⇒ x→ 0

L = lımν→π

3

1− 2 cos ν

sen(ν − π

3

) = lımx→0

1− 2 cos(x+ π3 )

senx=

Y aplicando las propiedades trigonométricas [2]:cos (a+ b) = cos a · cos b− sen a · sen b{cos(x+ π

3

)= cosx · cos π3 − senx · sen π

3 = 12 cosx−

√32 senx

2 cos(x+ π

3

)= cosx−

√3 senx =⇒ 1− 2 cos

(x+ π

3

)= 1− cosx+

√3 senx

L = lımx→0

1− cosx+√

3 senx

senx= lımx→0

(1− cosx

senx+√

3

)= lımx→0

(1− cosx

senx

)+√

3 = L1+√

3

2.36. CALCULAR LıMν→π3

1−2COS ν

SEN(ν−π3 )49

Resolviendo el límite

L1 = lımx→0

1− cosx

senx

/x

/x=

lımx→01−cos x

x

lımx→0sen xx

=lımx→0

1−cos xx

1= lımx→0

1− cosx

x

Aplicando la propiedad anteriormente expuesta 2.34.

L1 = lımx→0

2 sen2 x2

x= lımx→0

sen x2

x2

· lımx→0

senx

2= 1 · sen 0 = 1 · 0 = 0

Por lo tanto:

L = L1 +√

3 = 0 +√

3 =√

3

Bibliografía

[1] Sebastian Marsinyach Dalmases. Matemáticas /1. FP 1er grado Administrativa. Bruño-Edebé, 1975 edition, 1975.

[2] Y. Deplanche. Dicciofórmulas. EDUNSA, Ediciones y Distribuciones Universitarias,S.A., 1996 edition, 1996.

[3] Ferrán Hurtado. Atlas de Matemáticas (análisis) + ejercicios. Ediciones Jover, S.A.,1985 edition, 1985.

[4] N. Piskunov. Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón S.A., 1970 edition,1966.

51

solucionario piskunov

Documents

cambio de variable

cuando se tiende

en el eje

corta el eje

simplicando la funcin

para ello multiplicar

x0 x0 sen

x2 p2