pfc: análisis del comportamiento a post-pandeo de...

A1: Solución 106 de NASTRAN: Solución no-lineal.

A2: SUPERELEMENTOS: Introducción, modo de uso, y ejemplo sencillo.

A3: Desplazamientos Impuestos (SPCDs): Modo de uso

ANEXOS

PFC: Análisis del comportamiento a Post-Pandeo de un panel curvo rigidizado, de material compuesto, mediante PATRAN/NASTRAN: ANEXO

José Luis Cruz Falla ANEXO: Página 2

A1: Solución 106 de NASTRAN: Solución no-lineal.

Los efectos no lineales en las estructuras ocurren debidos a un comportamiento no-lineal de la

misma y a las grandes deformaciones, y desplazamientos. Un comportamiento no lineal,

podría ser por ejemplo el Creep, o bien, plasticidad, visco-elasticidad, o elasticidad no-lineal.

Esta solución 106 de NASTRAN opera de manera incremental e iterativa, dando pequeños

incrementos de carga, e intentando poner los nodos en equilibrio en varios pasos. El proceso

utilizado en estos análisis se basa en el proceso de Newton-Raphson modificado.

En un panel simple, con una carga sencilla (compresión pura por ejemplo) podemos ver que si

aplicamos un análisis no-lineal, puede ocurrir que el resultado no se mueva de la linealidad.

En este caso el panel se comporta así porque no tiene ninguna deformación por fabricación, no

tiene sopladuras, en definitiva, no tiene nada que haga que el comportamiento se salga de lo

normal. Por tanto para ver cuál es el comportamiento que podría tener el panel, debemos de

introducir unos posibles defectos en la fabricación del panel, y se podrían modelar con cargas

para conseguir una geometría predeformada en el panel, antes de aplicar la carga real a la que

va a ser sometido dicho panel. Esto se podría hacer introduciendo una carga que nos

predeforme el panel, por ejemplo 0.1 veces el espesor del panel, o bien introduciendo una

modificación en la malla de elementos finitos, y moviendo algunos nodos a una posición fuera

de la superficie del panel.

Como hemos dicho anteriormente, esto hay que hacerlo cuando el panel es, por ejemplo, un

panel plano que tiene una geometría sencilla. Cuando el panel tiene curvatura no constante,

no tiene los rigidizadores puestos en disposición simétrica, una zona tiene bastante más

curvatura que la otra, como es el caso que nos ocupa, no va a hacer falta predeformar el panel,

puesto que el propio procedimiento numérico introducirá las imperfecciones geométricas.

Para resolver el problema, se dividirá la carga aplicada en el modelo entre el número de

incrementos que se le dé al mismo. Es decir, si yo aplico 1 Newton, y digo que haya un número

de incrementos de 10, el algoritmo aplica la carga de 0.1 en 0.1 N.



Además de eso, el algoritmo de resolución te permite modificar más parámetros. Cuando la

carga se ha dividido en el número de incrementos, se hace el análisis para el primero de ellos,

y lo que hace éste es resolver el sistema de F=KU. De ahí se sacan los desplazamientos de los

nodos, y con ellos las fuerzas en los elementos. Después se hace el sumatorio de las fuerzas de

los elementos en cada nodo, y de ahí se saca la fuerza externa, pero como los elementos se

han deformado, ésta no tiene porqué estar en equilibrio en principio. Así que con esta fuerza,

se comienza de nuevo el algoritmo, y se dice que se ha dado una iteración. El programa dará

iteraciones hasta que el problema quede converja, con unos ciertos criterios de convergencia

(en trabajo, fuerzas, o desplazamientos) El número de iteraciones es un parámetro que

podemos modificar también.

FFeFeUKUF nodo

En un análisis no-lineal, además la matriz K de rigidez, va cambiando también en cada

iteración, y NASTRAN además de hacer comprobación de Fuerzas para ver si está el sistema en

equilibrio, comprueba además el trabajo, y los desplazamientos. Las comprobaciones que hace

NASTRAN llevan una tolerancia asociada a cada variable que analiza, y ésta se puede modificar

también.

Cuando no converge la solución NASTRAN hace una división de la carga para cada incremento

de carga. Que también es un parámetro que le podemos indicar a NASTRAN cual queremos

que sea. Normalmente este parámetro es 5 para NASTRAN.

A1.1: Parámetros que se han modificado en la tarjeta NLPARAM.

La tarjeta viene totalmente descrita en la “Quick Reference Guide” de NASTRAN (para más

información). Así que aquí expondremos los puntos más importantes, y los que pasaremos a

modificar en análisis posteriores.

El NINC, es el parámetro que nos dice el número mínimo de iteraciones que va a hacer el

método hasta llegar al desplazamiento, o carga que se ha aplicado. Hay que tener en cuenta

que varios subcasos en un análisis no-lineal no se tratan como en un análisis lineal. Es decir,

aquí, cuando un subcaso acaba, y empieza el siguiente, éste lo hace con las condiciones del



subcaso precedente. En este aspecto el NINC debe ser tratado de la misma manera. En

principio para nuestros análisis solo vamos a tener un subcaso de carga.

El MAXITER, nos da el número de iteraciones que es capaz de realizar el programa en cada

paso de carga. Es decir, si el método hace un paso de carga de una longitud, y no encuentra el

equilibrio en los nodos, el método no converge en una buena solución, y en este caso empieza

a hacer iteraciones. Modificando otro parámetro, se puede decir que el análisis siga al

siguiente punto aunque no converja la solución en uno de ellos (con el parámetro MAXDIV, si

éste es negativo, el análisis se para si no converge aunque sea una sola vez).

El parámetro MAXBIS se refiere al número de bisecciones que va a hacer el programa (si son

necesarias) en un determinado paso de carga.

También podemos subir o bajar la tolerancia del análisis. Por defecto ésta se encuentra con un

valor de 0.01, que es el valor ingenieril según NASTRAN. Hay varias tolerancias que podemos

variar, la tolerancia de desplazamientos, de fuerzas y de trabajo.

Mucha bibliografía sobre el tema especifica claramente que cada problema no-lineal es

diferente. Además podremos comprobar cómo variando los parámetros descritos

anteriormente, conseguiremos cambios significativos en los resultados.

Como cada problema es distinto, es difícil generalizar un método de cálculo para el cual el

problema converja siempre. Así que tenemos la opción de variar el método de convergencia

de NASTRAN.

En el caso que nos ocupa hemos puesto como parámetros de resolución un NINC de 30. Es

decir, 30 pasos como mínimo para resolver un desplazamiento de 3 veces la carga primera de

pandeo. Eso son 10 saltos de carga para llegar a la carga de pandeo. Ahora en los análisis que

siguen aumentaremos el número de pasos, para ver los cambios. El MAXITER está en 25. Es

decir, que puede hacer hasta 25 iteraciones en un salto de carga para hallar convergencia. Y la

tolerancia está en tolerancia Ingenieril. Es decir, en 0.01

Como anotación, en el NLPARAM se ha tocado también un parámetro para que nos de todos

los pasos de carga, y no el último únicamente. Este parámetro es el INTOUT.

Como se ha comentado anteriormente, vemos que en la gráfica anterior, hay unos saltos muy

grandes de carga. Entonces, para ver qué ocurre en esas zonas que tenemos entre salto y

salto, aumentaremos el número de saltos de carga.



Como anotación, en el NLPARAM se ha tocado también un parámetro para que nos de todos

los pasos de carga, y no el último únicamente. Este parámetro es el INTOUT.

A2: Superelementos

A2.1: Introducción a los Superelementos

El estudio que se realiza en este caso es, después de saber cómo se comporta el panel curvo a

compresión y a cortadura, se va a aplicar un caso de carga real del cono de cola del avión en

estudio.

Esta estructura, actualmente está modelada en PATRAN, y tiene un número considerable de

casos de carga distintos. Entre ellos existen los casos de carga que tienen en cuenta fallos de

componentes ( Fail Safe), los casos de aterrizajes forzosos, etc. En nuestro caso, se va a coger

un caso de carga (cualquiera de ellos), y se va a estudiar el panel sometido a esas cargas reales.

Esto se podría hacer de diversas maneras. La más lógica es la de aplicar el caso de carga al

modelo de PATRAN del cono de cola, coger los desplazamientos en los nodos de los bordes del

panel, y luego aplicar esos desplazamientos en los bordes de nuestro modelo de elementos

finitos.

Sin embargo existen otras maneras de estudiar el panel con una carga real. Vamos a aplicar

Superelementos. Los superelementos lo que hacen es reducir estáticamente las cargas en los

nodos de los bordes del panel (en el modelo global), y aplicar la matriz reducida en el análisis

en detalle de la zona delimitada por los nodos elegidos anteriormente.

La gran diferencia que podemos encontrar es que en nuestro modelo de elementos finitos, los

elementos son mucho más pequeños que en el modelo global de la sección en estudio, y que

los larguerillos en el modelo global, actualmente están modelados como CRODS. Los CRODS

son elementos 1D que solo transmiten tracciones, compresiones, y torsiones. En nuestro



modelo del panel, hemos modelado los larguerillos como omegas, que es como realmente son.

El modelo nuestro es bastante más detallado que el del cono de cola como no podría ser de

otra manera.

En este caso, se van a aplicar superelementos por dos razones principales. La primera ( y más

importante) es porque en mi caso, es necesario que aprenda a usar esta herramienta (por

temas de empresa), y en segundo lugar, porque los superelementos hacen una reducción

estática de las cargas en los puntos que se elijan, y por lo tanto es una manera mucho más

elegante de hacer un estudio detallado, porque lo que hacemos es reducir la matriz de rigidez

del sistema a los puntos de la frontera que separa el modelo global (global FEM cono de cola),

con el modelo detallado (nuestro modelo del panel).

En mi caso es imprescindible que aprenda a usar esta herramienta, porque el sector

aeronáutico hay muchos subcontratistas. Es decir, si en la empresa se está calculando el Cajón

de Torsión de un avión, seguramente (Seguro) que el ala del avión la calcula otra empresa

distinta a la anterior. Pero a mí me hacen falta las cargas que provoca el ala en el cajón. Es muy

difícil que una empresa te dé su modelo de elementos finitos para que tú en tu empresa hagas

una envolvente de cargas. Lo que se suele hacer (en teoría) es hacer una reducción estática de

las cargas a la frontera del ala(por temas de confidencialidad). Y eso se hace con los

Superelementos (cuando se hace con NASTRAN).

También es muy útil para no tener que correr un modelo entero (ya que puede ser muy

pesado), si vas a calcular una zona específica. Usando esta herramienta, se pueden reducir las

cargas a una frontera (por ejemplo a una cuaderna), y estudiar una parte del modelo de

elementos finitos, sabiendo que con la reducción estática estás logrando los mismos

resultados.

La documentación existente sobre las nuevas capacidades de las técnicas de Superelementos

es muy pobre.

Usando las referencias MSC/NASTRAN Superelement Analysis. Seminar Notes (Febrero 1997);

MSC/NASTRAN Superelement Analysis. Workbook (Febrero 1997); MSC/NASTRAN V70

Superelement User’s Guide; y The New External Superelements in MSC/NASTRAN and a DMAP

Alter to Create and Use OTM. Ted Rose (MSC.SOFTWARE), las referencias a esta técnica, con

tantas posibilidades y enfoques, son mínimas y escuetas.



Además el uso de esta herramienta no está aún muy extendido, y es bastante difícil encontrar

ejemplos. Así que en el apartado que sigue, se explicará un ejemplo que yo mismo he

desarrollado, que nos muestra la potencia de esta herramienta.

En el caso que nos ocupa, usaremos los superelementos externos. Estos son los que son

externos al modelo creado. Es decir, la influencia que el cono de cola hace sobre mi panel, la

voy a introducir en el modelo con un superelemento externo al propio panel (que me podrían

haber dado de otra empresa). Es decir, tendremos tres fases.

Primera fase: Reducir estáticamente la estructura entera (Cono de cola sin el panel en estudio)

a los nodos de la frontera del panel.

Segunda fase: Insertar el Superelemento en el modelo del panel (que a partir de ahora

llamaremos Residuo).

Tercera Fase: Recuperar los datos del superelemento, para que el análisis salga bien, sin

necesidad de correr el modelo global del cono de cola entero.

Para ejecutar la primera fase (reducir el superelemento) hay varias maneras de hacerlo. Se

puede introducir la matriz de rigidez del sistema reducido en un archivo OUTPUT2, un archivo

PUNCH, o bien en una base de datos, etc.

En nuestro caso se hará como un archivo OUTPUT2, puesto que es lo más normal (y es la única

manera de ejecutar la herramienta que viene bien explicada en la bibliografía sobre el tema).

Los pormenores de la formulación en NASTRAN pueden verlos en los archivos adjuntos, pero

básicamente, lo que hay que hacer es declarar el superelemento, y decir cuáles son los nodos

de la frontera del superelemento con el residuo, y dar los grados de libertad que se van a

reducir.

Luego hay que almacenar la matriz reducida, y eso se hace con un PARAM, EXTOUT.



Todas estas cosas se verán mejor en el ejemplo que he desarrollado para ver el

funcionamiento de esto.

A2.2: Ejemplo sencillo para ver el uso de los Superelementos

Como tenemos una herramienta que usar de la que no tenemos mucha información previa, lo

que se ha hecho, es crear un ejemplo sencillo en PATRAN, resolverlo, y posteriormente dividir

el ejemplo en Superelemento y Residuo, para ver que obtenemos los mismos resultados de

una forma y de otra.

El ejemplo es una placa de acero en forma de L invertida, con 8 elementos solamente. El

material que se ha empleado es el acero, se ha empotrado la parte inferior con sus 6 grados de

libertad, y en la parte más alejada del empotramiento, se ha introducido una carga de 20 N,

repartida en 10 N en cada nodo. La placa tiene 1 mm de espesor.

Figura 1: Ejemplo sencillo de superelementos: Completo

Como podemos comprobar, el ejemplo es muy sencillo, y tiene muy pocas líneas de código, lo

que viene estupendamente para ver como implementar aquí la herramienta de los

Superelementos.

Este ejemplo se va a resolver completamente, y también se va a resolver con los

superelementos, en dos partes, y veremos como de buenos son los resultados.



Lo que se va a hacer exactamente en la prueba, va a ser que se va a tomar como

superelemento el brazo superior de la L, y se va a dejar como Residuo, el brazo inferior de la L.

quedándonos con una frontera entre Superelemento, y residuo de dos nodos.

Figura 2: Esquema del Superelemento.

El archivo .bdf del problema completo se va a dividir en dos bdf distintos. Uno para el

superelemento, que contendrá los nodos, elementos, propiedades, correspondientes al

esquema superior, así como las cargas. Y el bdf correspondiente al residuo, que contendrá lo

correspondiente al esquema anterior, así como las condiciones de empotramiento. Pero claro

está este archivo no contendrá las cargas. Y veremos cuando insertemos la matriz de rigidez

reducida en el mismo, como sin añadirle cargas al bdf, se comporta igual que el ejemplo

completo.

Como apunte, es necesario que en ambos bdfs estén los nodos frontera, y una serie de

parámetros, para declarar cual va a ser dicha frontera, cuantos grados de libertad vamos a

reducir, la forma donde se va a guardar la matriz de rigidez, como va a pedir la matriz de

rigidez el residuo, etc. (están en los archivos adjuntos).

En concreto, para el superelemento, vamos a tener una tarjeta ASSIGN que nos va a decir en el

archivo que nos va a guardar el problema la matriz de rigidez. En este caso se va a guardar en

un archivo al que le hemos dado el nombre de sE1.OUT. Los parámetros que vienen a

continuación en la tarjeta ASSIGN, son parámetros que hay que introducir, para el

funcionamiento correcto de la máquina, para que coja una unidad de memoria, etc.



Después hay que declarar los nodos frontera, que se hace con la orden ASET1, en donde

metemos los grados de libertad, y los nodos (en este caso nodos 9 y el 10). Hay que declarar

también unos puntos auxiliares, que van a hacer de conexión entre un bdf y otro. En este caso

se va a utilizar el método más extendido que es sacar el archivo como un DMIGOP2, y en la

unidad 41, como se ha visto en la tarjeta ASSIGN.

Si corremos el modelo del superelemento, obtenemos el archivo sE1.OUT, que tiene la matriz

de rigidez reducida. Ahora tenemos que decirle al Residuo que tiene que leerla del archivo ese.

En el residuo tenemos que introducir otra tarjeta ASSIGN, en este caso de INPUT, y ahí le

decimos que el archivo que tiene que leer es el sE1.OUT.

Después tenemos que declarar el superelemento, que se hace con la orden

SEBULK,id,EXTERNAL, y por último tenemos que introducir en la parte del Bulk Data

correspondiente al superelemento (lo que debe ir debajo de la orden BEGIN SUPER id), la

forma de cómo se ha guardado la matriz de rigidez (DMIGOP2), de nuevo la frontera, los

SPOINTS, y una orden EXTRN, para dar los grados de libertad también.



Como podemos ver, en principio es muy simple hacer un superelemento. Son pocas órdenes

las que hay que introducir en el .bdf. Hay que tener cuidado en elegir la frontera, y con algunos

puntos más que se comentarán a continuación, pero en principio, creo que se han asentado las

bases de la herramienta.

Ahora pasaremos a comprobar los resultados, para comprobar que el método es bueno,

porque evidentemente, cuando hagamos esto mismo para el panel curvo, los resultados no los

podremos validar con el modelo real, porque por tema de confidencialidad, aquí en este

proyecto no se puede mostrar el resultado del análisis del modelo global del cono de cola con

el caso de carga real aplicado. Así que demostrando que el método funciona bien, los

resultados que salgan, podremos pensar que son buenos.

En la siguiente figura (Figura 3) podemos ver los desplazamientos que tendría la placa con las

condiciones antes mencionadas (y expuestas en la figura). En el residuo, evidentemente lo que

vamos a ver va a ser únicamente los cuatro elementos del mismo. Así que en la Figura 3, se ha

representado el desplazamiento de un nodo del residuo. Este desplazamiento es de 1,42e-8

mm (la carga es muy pequeña, pero para el ejemplo nos vale). Que en la Figura 3 podemos ver

que es exactamente igual. Y como podemos ver en la misma figura, lo único que se le ha

introducido al modelo es la SPC que modela el empotramiento.



Figura 3: Superelementos : Desplazamientos del modelo completo

Figura 4: desplazamientos del Residuo

Las dos figuras siguientes nos servirán para ver que la distribución de tensiones es la misma en

un modelo que en otro. Lo cual es lo que es realmente potente de esta herramienta. Cuando

introducimos desplazamientos impuestos, primero sacamos los desplazamientos del modelo

global, y luego esos números los introducimos en el modelo detallado mediante SPCD (que se

comentarán en el siguiente apartado), pero con estoy hay un problema. Y es que cuando

tenemos 8 cifras únicamente para introducir en el bdf, dos nodos que no están muy pegados,



pueden tener un desplazamiento muy parecido o no, entonces con la falta de precisión por

introducir solo esos 8 dígitos hace que tengamos muchas microdeformaciones, y se generen

tensiones en los bordes del panel (donde se introducen las condiciones en desplazamientos).

Esto no ocurre con los superelementos.

Figura 5: Tensiones de Von Mises en el modelo completo

Figura 6: Tensiones de Von Mises en el Residuo

Como se puede ver en ambas figuras, las tensiones son exactamente las mismas. Luego hemos

reproducido exactamente en el residuo, el estado de cargas del modelo completo.



Ahora pasaremos a reproducir un caso de carga cualquiera en El cono de cola del proyecto que

está desarrollando la empresa que ha pedido el estudio.

A3: Desplazamientos Impuestos (SPCDs): Modo de uso

Para el último análisis del proyecto se ha empleado otra herramienta de NASTRAN que impone

desplazamientos en unos nodos. La herramienta que se va a usar es la SPCD.

Teóricamente, cuando imponemos un desplazamiento lo primero que debemos decir es que el

desplazamiento se va a aplicar en una zona que vamos a empotrar, y luego, toda la zona

empotrada va a adoptar el movimiento que queramos. Ésta es la manera fina de hacer este

tipo de análisis, lo que no se debe hacer es provocar desplazamientos en una zona que no está

empotrada a priori puesto que no sabríamos cómo se iba a comportar.

El ejemplo más intuitivo es el de la mordaza de una máquina de ensayos, Lo primero que se

hace es fijar la pieza en la misma. Es decir, la pieza queda totalmente empotrada en la

mordaza (en el ensayo de tracción por ejemplo), y luego es a la mordaza a la que le vamos a

imponer un desplazamiento.

Los SPCD se van a comportar de la misma manera. Nosotros elegiremos una zona en la cual

vamos a imponer unos desplazamientos (todo el borde del panel). Lo primero que haremos

con esos nodos, será impedir los desplazamientos en los mismos con SPC. Y lo siguiente, será

mediante la tarjeta SPCD incluir el desplazamiento que queramos.

Hay que tener en cuenta en el .bdf que la tarjeta SPC del case control section debe tener la

misma ID que el SPCADD del bulk data, y que la tarjeta LOAD del case control section, debe

tener la misma id que las tarjetas SPCD.



.

.

En el .bdf se han metido las tarjetas SPCD mediante un include, para así ser un poco más

limpios en la ejecución.



Una vez comentado lo que queremos hacer, el análisis trata de lo mismo que el de los

superelementos.

En el caso del análisis anterior se ha cogido un caso de carga cualquiera del modelo global de

elementos finitos del cono de cola, lo correremos en NASTRAN, y se han sacado los

desplazamientos para los nodos de la frontera de nuestro panel.

Esos desplazamientos se incluirán en los SPCD uno a uno, y cuando se corra el modelo se verá

cómo se desplazan esos nodos exactamente como se les ha dicho.

pfc: análisis del comportamiento a post-pandeo de...

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