pensamiento variacional

MóduloPensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

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Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticasen la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 2

Pensamiento Variacional yRazonamiento Algebraico

Gobernación de AntioquiaSecretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

Universidad de Antioquia, Facultad de Educación

UNIVERSIDAD

DE ANTIOQUIA

SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS


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Módulo 2Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

© Fabián Arley Posada Balvin y otros autores© De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

ISBN: 958-9172-81-4Tiraje: 3.100 ejemplares

Primera edición, 2006.

Gobernación de Antioquia.Secretaría de Educación para la Cultura de AntioquiaDirección de Fomento a la Educación con Calidad.www.seduca.gov.coEmail: [email protected]

Diseño, diagramación e impresión:Editorial Artes y Letras Ltda.

Medellín, Colombia 2006

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Aníbal Gaviria CorreaGobernador de Antioquia

Claudia Patricia Restrepo MontoyaSecretaria de Educación para la Cultura de Antioquia

Libardo Enrique Álvarez Castrillón Director de Fomento a la Educación con Calidad

Comité AcadémicoOscar Fernando Gallo MesaJesús María Gutiérrez Mesa

Carlos Mario Jaramillo LópezOrlando Monsalve PosadaJohn Jairo Múnera Córdoba

Gilberto de Jesús Obando ZapataFabián Arley Posada BalvínGuillermo Silva Restrepo

María Denis Vanegas Vasco

Convenio interadministrativo de la Gobernación de Antioquia,Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia conla Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia


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Agradecimientos

La Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia y la Facultad de Educaciónde la Universidad de Antioquia, agradecen la labor de coordinación del Diploma:Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Mediadel Departamento de Antioquia a su equipo técnico, a todos los docentes que parti-ciparon de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativasque hicieron posible llevarlo a feliz término:

• Integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas.

• Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integrantesde la Mesa Departamental de Matemáticas.

• A los docentes del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemá-ticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por la lectu-ra y sugerencias.

• Al comité académico del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas enMatemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia porel trabajo realizado en pro de esta obra.

• A la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, a través de sus pro-gramas de educación matemáticas por apoyar la consolidación del grupo acadé-mico que desarrolló el diploma.


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Contenido

PRÓLOGO .............................................................................................................................. 11

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 151. Sobre el Pensamiento Variacional ....................................................................................................... 162. Sobre el Razonamiento Algebraico ..................................................................................................... 183. Sobre la Generalización ........................................................................................................................ 194. Propuesta de desarrollo del Razonamiento Algebraico en la escuela .............................................. 24

Unidad No. 1EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO COMO ARITMÉTICA GENERALIZADA .............. 31La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos ..................................................... 31La igualdad como relación de equivalencia ............................................................................................ 33Las propiedades de los números y de sus operaciones como un problema de generalización ........... 35

Unidad No. 2EL PASO DE ENUNCIADOS VERBALES A ECUACIONES .............................................. 55Estructuras aditivas: enunciados verbales que se hacen ecuaciones ................................................... 59

Unidad No. 3LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA A PARTIR DELA MODELACIÓN DE SITUACIONES DE VARIACIÓN .................................................... 77Introducción ............................................................................................................................................... 77Multiplicación, razonamiento proporcional y proporcionalidad simple directa .................................. 79De las situaciones aditivas a las multiplicativas (¡o a la proporcionalidad!) ......................................... 82Un marco conceptual preliminar para comprender la proporcionalidad directa e inversa ............... 105Proporcionalidad directa ......................................................................................................................... 106Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad compuesta ........................................................... 111Las correlaciones n-lineales .................................................................................................................... 116Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad simple inversa ..................................................... 118

Unidad No. 4EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO Y LA MODELACIÓN MATEMÁTICA .................. 127Introducción ............................................................................................................................................. 127El concepto de función como modelo matemático desde una perspectiva variacional ..................... 128El papel de los registros de representación del concepto de funciónen el proceso de modelación matemática .............................................................................................. 129Las funciones polinómicas como modelo matemático .......................................................................... 134


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La función lineal ....................................................................................................................................... 138Las funciones cuadráticas ....................................................................................................................... 141

Unidad No. 5EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO Y EL PROCESO DE FACTORIZACIÓN ............. 165La factorización como proceso y como herramienta ............................................................................. 167

ANEXO ................................................................................................................................... 185

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 193

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Prólogo

Desarrollar la capacidad de los niños y jóvenes para razonar algebraicamente es una reco-mendación importante en la mayoría de los currículos de matemáticas en diferentes paí-ses. Sin embargo, también existe la conciencia de que los profesores, sobre todo los queatienden los primeros años de la educación básica, tienen limitaciones para el desarrollode unas prácticas apropiadas que permitan a los alumnos, de estos primeros ciclos esco-lares, el contacto con experiencias significativas que les ayude, desde su formación inicialen aritmética, a dar los primeros pasos en la construcción de esquemas asociados al razo-namiento algebraico.

Si bien los docentes de los primeros grados tienen un papel muy importantepara implementar los cambios necesarios en los primeros grados de la educa-ción básica, la mayoría de ellos tiene muy poca experiencia en el trabajo con elálgebra, la cual no va más allá de su propia experiencia como estudiantes, ypor lo tanto, para ellos el álgebra es una colección de técnicas para factorizar,simplificar expresiones, solucionar ecuaciones, y así sucesivamente. Como esmuy poco probable que ellos hayan explorado el sentido y significado de lasexpresiones o de las ecuaciones, entonces, se entiende por que no puedenproponer a sus estudiantes formas diferentes de aproximarse al aprendizajedel álgebra. (Kaput, 2002, p2).

Lo anterior permite comprender la necesidad de acompañar a los docentes en el diseño eimplementación de situaciones amplias y diversas orientadas a que los alumnos conectendiferentes contextos y formas de razonamiento algebraico, a través de sus experienciasescolares y tomando como base su accionar cotidiano. Para ello es necesario ampliar loshorizontes conceptuales y metodológicos, bajo los cuales se desarrollan las prácticas es-colares: construir una visión moderna sobre qué es y cómo se desarrolla el pensamientoalgebraico; reorientar el papel de la comunicación en el aula para que sea punto centralen la construcción del conocimiento; y sobre todo, una comprensión profunda sobre losprocesos que dan lugar a la emergencia del razonamiento algebraico en la escuela. Si-guiendo a Kaput,

Se debe buscar que los docentes aprendan a construir oportunidades para elaprendizaje del razonamiento algebraico a partir de las restricciones que im-pone su sistema educativo y las fuentes documentales de que dispone (textos,Internet, currículo, etc.). En particular se debe ayudar al docente a que secentre en las formas como los estudiantes pueden acceder a la generalizaciónde su propio pensamiento matemático, así como a expresar y justificar sus pro-pias generalizaciones. (Kaput, 2002, p2).

Para Kaput (2002), potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico, desde los primerosaños de la educación básica, implica una transformación en las prácticas pedagógicas delos docentes. Estos cambios los clasifica en tres aspectos:


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1. Algebrizar las situaciones diseñadas para la enseñanza.2. Identificar y apoyar los actos y contextos que promueven el razonamiento algebraico

de los estudiantes.3. Consolidar una cultura de clase que promueva el razonamiento algebraico.

Algebrizar las situaciones implica, ante todo, la posibilidad de generar actividades quepromuevan oportunidades para la búsqueda de regularidades, generalizaciones, justifi-caciones, reconocimiento de variaciones y formalizaciones (esto es construir actividadesalgebraicas) a partir de cualquier otra actividad diseñada con fines de enseñar un con-cepto determinado, en especial, las orientadas a los aspectos aritméticos y geométricos.En la aritmética, desde la solución de problemas, siempre y cuando a través de ellos sepueda trascender de situaciones numéricas particulares a situaciones que favorezcan,entre otras: (a) identificar, caracterizar, y argumentar en contextos de regularidades ypatrones; (b) a partir de las situaciones anteriores, elaborar, verificar y justificar (argu-mentar) conjeturas sobre hechos y relaciones matemáticas; y (c) inferir, analizar y forma-lizar las propiedades de los números y las operaciones como síntesis de los procesos degeneralización.

Igual situación se puede presentar para la geometría, si ésta es estudiada, no como unconjunto de definiciones (punto, línea, plano, triángulo, etc.; clases de triángulos, cuadri-láteros….) sino como el resultado del análisis de relaciones contextuales con el espaciocircundante, en el cual, los conceptos geométricos corresponden con una síntesis quepermite organizar y comprender mejor las relaciones espaciales. De igual forma, se po-drían algebrizar las situaciones para movilizar relaciones conceptuales asociadas a losotros tipos de pensamiento propuestos en los lineamientos curriculares.

Identificar y apoyar los actos y contextos que promuevan el razonamiento algebraicoen los estudiantes implica reconocer todas aquellas situaciones discursivas (orales y es-critas), gestuales y procedimentales que evidencien en los estudiantes intentos de cons-truir argumentos sobre estructuras generales, así sus argumentaciones se apoyen en si-tuaciones particulares, o en acciones concretas. Por ejemplo, cuando los niños están apren-diendo la secuencia de palabras números, más allá de la decena, rápidamente se dancuenta, a partir del acto de enumerar, que a partir del quince, las palabras número secomponen de una expresión que alude a la decena (diez y…, veinti…, treinta y…, cuaren-ta y…, etc.) seguida de una de las palabras que identifican los números del uno al diez.Pero igualmente, este razonamiento los lleva a ver que todos los números mayores quediez son una cierta cantidad de decenas más una cierta cantidad de unidades. Situaciónsimilar se puede presentar cuando los estudiantes descubren la conmutatividad de lasuma y la multiplicación (a partir de situaciones que les muestren la invarianza de losresultados al cambiar el orden de los sumandos), y producen explicaciones para justificareste hecho (muchas veces con casos particulares de adiciones y/o multiplicaciones). Es-tos son claros ejemplos de construcción de generalizaciones, pero sobre todo, de argu-mentaciones para justificar dichas generalizaciones, las cuales a partir del análisis decasos particulares, permiten organizar y justificar formas estructurales que capturan lageneralidad.

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Nótese que lo fundamental en este punto no es tanto la generalización en si misma, sino elreconocimiento, por parte del maestro, de los procesos, los niveles de argumentación ytodas aquellas acciones de los estudiantes, conducentes a la construcción de niveles deexpresión que poco a poco empiezan a “atrapar” formas generales para las relacionesimplícitas en las actividades de aprendizaje.

Finalmente, como consecuencia de lo anterior, crear en el salón de clase una cultura quepromueva el razonamiento algebraico, implica incorporar a la cotidianidad de la clase,desde la organización de las situaciones para el aprendizaje, el desarrollo de habilidadesrelacionadas con la elaboración, validación y sistematización formalizada de conjeturas.En estos espacios se dan procesos de argumentación por parte de los estudiantes comoformas organizadas de construcción del conocimiento. Hacer que los procesos de argu-mentación sean la base para la construcción del conocimiento, implica que ésta sea toma-da como aspecto central de la actividad matemática de los alumnos, y no como un anexoque se hace de vez en cuando. Igualmente implica la concreción de normas de respetopor la palabra. De esta manera se promueve que los estudiantes hablen matemáticamentea partir de la construcción de formas verbales y escritas de argumentación.

Cuando las tres dimensiones descritas anteriormente han sido incorporadas a los proce-sos de aula, las prácticas pedagógicas de los maestros son fácilmente identificadas porcaracterísticas tales como:

• Una habilidad para extender una actividad aritmética [o geométrica] haciauna actividad algebraica, bien sea sobre la base de un proceso planificado ode una acción espontánea.

• El uso de conversaciones algebraicas en el salón de clase.• El regreso sobre los temas algebraicos después de periodos de tiempo sig-

nificativo.• La integración de múltiples procesos algebraicos en una actividad matemá-

tica simple.• La contribución activa en la consolidación de una cultura escolar hacia el

aprendizaje de las matemáticas.(Kaput, 2002, p6)

Así pues, las anteriores reflexiones son una invitación a todos los docentes, desde el pre-escolar hasta la educación media, para reconstruir los procesos de enseñanza de tal formaque el aprendizaje del razonamiento algebraico esté presente en el quehacer cotidianodel aula de clase.

Prólogo


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Introducción

Desde los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (1998)1 , y actualmente afirmadoscon los Estándares Básicos de Matemáticas (2003)2 , el Ministerio de Educación Nacionalpropone unos nuevos elementos teóricos y metodológicos que pretenden actualizar laestructura curricular de la educación matemática en nuestro país, pero sin menoscabar laautonomía curricular de las instituciones educativas consagrada en su Proyecto Educati-vo Institucional.

En los lineamientos, estos elementos se pueden identificar al menos en dos aspectos bási-cos: La introducción de los diferentes tipos de pensamientos matemáticos (numérico, es-pacial, métrico, variacional y aleatorio), y el llamado de atención sobre la importancia deimplementar al interior del aula procesos como la modelación, comunicación, la resolu-ción de problemas, el razonamiento y la ejercitación de procedimientos que permitan elaprendizaje de las matemáticas en contextos significativos para los alumnos.

Con la publicación de este documento, se tiene sobre la mesa una propuesta para orientarlo relacionado con el álgebra escolar: los procesos de enseñanza, y por ende, los de apren-dizaje del algebra escolar, los cuales deberían ser estructurados desde la perspectiva delestudio de la variación y el cambio, esto es, orientado en lo que allí se llama pensamientovariacional. En ese sentido no se trató de un simple cambio de nombre, sino de una rees-tructuración conceptual y metodológica del álgebra escolar, que pone el acento en losprocesos de generalización, la comunicación, la argumentación y la modelación de situa-ciones de cambio, como ejes fundamentales en la construcción del pensamiento algebraico.

Los estándares de matemáticas, publicados en el año 2003, dan fuerza a esta noción depensamiento variacional como eje fundamental para dar estructura y sentido al aprendi-zaje del razonamiento algebraico en la escuela. En ellos se muestra como el desarrollo delpensamiento variacional tiene sus inicios en los primeros años de la educación básica,sobre todo centrando en lo que podríamos llamar el estudio de las regularidades y patro-nes. No se trata de un nuevo tema para incluir en estos grados, sino de reorganizar eltrabajo que normalmente se realiza, fundamentalmente en aritmética y geometría, de talforma que se haga énfasis en los procesos de identificación, caracterización, descripción,generalización, argumentación y justificación, a partir de actividades orientadas al análi-sis de regularidades y patrones.

Sin embargo, a lo largo de este trabajo se hará mención más al término razonamientoalgebraico, y no tanto al término pensamiento variacional, no porque se esté en des-

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1 Este documento se puede consultar en el sitio Web del Ministerio de Educación Nacional: http://www.mineducacion.gov.co/1621/propertyvalue-31539.html

2 Este documento se puede consultar en el Portal Colombia Aprende: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-70799.html


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acuerdo con la estructura conceptual y ruta metodológica propuesta en los lineamientos yestándares, sino para mostrar con más fuerza que el problema fundamental de la escuelaes permitir a sus estudiantes la construcción de una serie de procesos que organizan ydan vida a los conceptos algebraicos. Estos se han identificado en la comunidad académi-ca, como de razonamiento algebraico, solo que en los documentos oficiales antes citadosse ha propuesto que se estructuren desde una perspectiva dinámica (análisis de la varia-ción y el cambio), y no estática (procesos algorítmicos centrados en la manipulación sim-bólica) como hasta el momento se ha venido haciendo. En este sentido, aquí el pensa-miento variacional se entiende como una forma específica de pensar matemáticamente,orientada a la construcción de estructuras conceptuales que fundamentan el estudio de lavariación y el cambio. Por su parte, el razonamiento algebraico alude al conjunto de pro-cesos, procedimientos y esquemas que dan forma y sentido al pensamiento variacional.

1. Sobre el Pensamiento Variacional

El Pensamiento Variacional, como su nombre lo indica, pone su acento en el estudio siste-mático de la noción de variación y cambio en diferentes contextos: en las ciencias natura-les y experimentales, en la vida cotidiana y en las matemáticas mismas. Desde lo matemá-tico hay una relación directa con los otros pensamientos, muy especialmente con el métri-co, pues el pensamiento variacional se encarga, fundamentalmente, de la modelaciónmatemática y esto requiere de la activación constante de procesos de medición, elabora-ción de registros y establecimiento de relaciones entre cantidades de magnitud.

Es así como la comprensión de las situaciones provenientes de la observación y sistema-tización de patrones y regularidades, tanto numéricas como geométricas, las variacionesproporcionales, las ciencias experimentales, la ingeniería y demás áreas del conocimientoque se basen en los principios del cálculo diferencial, adquieren más sentido cuando seestructuran desde el pensamiento variacional.

De acuerdo con los lineamientos curriculares (MEN, 1998, p 72)

(…) Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificaralgunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación(…).

(…) En los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra encontextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía(conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promuevenen el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático.

El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, estánintegrados a diferentes sistemas de representación -gráficas, tabulares, expresiones ver-bales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para per-mitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera sehacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación,pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, aprocesos de tratamiento, coordinación y conversión.

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Vasco (2002) aproxima una definición del pensamiento variacional en los siguientes térmi-nos:

El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera depensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionan sus varia-bles internas, de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariaciónde cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de larealidad. (Vasco, 2002, p 70)

Adicionalmente, el estudio del álgebra escolar, al lado de los procesos de variación, per-mite construir desde temprana edad algunos elementos propios del álgebra, tales como:el concepto de variable, la relación de igualdad en sus múltiples significados, el conceptode parámetro, de incógnita y de ecuación e inecuación, entre otros.

De esta manera se puede observar que el pensamiento variacional involucra otros tiposde pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico y aleatorio; esto, al menos pordos razones: de un lado, el estudio de cada uno de ellos, en última instancia, es un procesoque busca una versión cada vez más general y abstracta del conocimiento. Esto implicaidentificar estructuras invariantes en medio de la variación y el cambio. De otro lado, to-dos ellos ofrecen herramientas para modelar matemáticamente situaciones a través de lasfunciones como resultado de la cuantificación de la variación. En este sentido loslineamientos curriculares MEN 1998 proponen:

El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. Elsignificado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situacionesproblemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de lavida práctica (…) (MEN, 1998, p 73).

Para lograr una reorganización en tal sentido implica, ante todo, poner de manifiesto unprincipio organizativo de la estructura conceptual presente en los lineamientos y estándarescon respecto al pensamiento variacional, de tal forma que se puedan identificar formas deorganización a largo de la educación básica y media, e incluso, desde el preescolar mis-mo. El siguiente esquema muestra en forma sintética un posible principio organizador.

Introducción


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2. Sobre el Razonamiento Algebraico

El desarrollo de pensamiento variacional se fundamenta, o mejor se desarrolla, sobre loque en general podemos llamar razonamiento algebraico. Este implica, por parte del do-cente, el reconocimiento de elementos propios de toda actividad matemática: los proce-sos de simbolización, de generalización y de formalización. A través de éstos se hacennecesarias formas de comunicación sobre la base diferentes sistemas de representacióntales como los icónicos, tabulares y simbólicos; y de razonamientos como la argumenta-ción y búsqueda de elementos estructurales (por ejemplo dar cuenta de un patrón). Eneste sentido, Godino (2000; p8) expresa:

El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regulari-dades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamien-to, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comuni-car […], especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones […].

Siguiendo este mismo autor, algunas características del razonamiento algebraico que sonsencillas de adquirir por los niños, y por tanto deben conocer los maestros en formación,son:

Pensamiento variacional

A partir de

variación

Condiciones para determinar

Correlación de magnitudesRegistros de representación

requiere

Modelación matemática

implicaPara apoyar

Su estudio desde

Medir

Función

VariablesSistemasnuméricos

ecuaciones

inecuaciones

Teorema fundamental del álgebra

lleva

ComoIncógnitadesde

requiere

Permite construir

Esquema 1: propuesta de desarrollo del pensamiento variacional

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1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáti-cas. Pueden ser reconocidos, ampliados, o generalizados. El mismo patrón se puedeencontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situacionesfísicas, geométricas y numéricas.

2. Podemos ser más eficaces al expresar las generalizaciones de patrones y relacionesusando símbolos.

3. Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rangode números.

4. Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con losde otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólouno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas,fórmulas, tablas o enunciados.[diagramas sagitales o como una representación mecá-nica, a saber como máquina] Godino (2000; p10).

Por su parte Kaput, caracteriza el razonamiento algebraico de la siguiente manera:

Por razonamiento algebraico, nos referimos al compromiso de los estudiantes en actosregulares de generalización acerca de los datos, las relaciones y las operaciones matemá-ticas, estableciendo sus generalizaciones a través de actos públicos de elaborar conjetu-ras y de argumentación, las cuales se expresan en formas cada vez crecientes deformalización (Kaput, 2002b, p 5).

Desde las anteriores perspectivas, se puede evidenciar como el álgebra escolar, va másallá de la visión clásica de la manipulación simbólica. Esto quiere decir, que la compren-sión del álgebra en el contexto escolar, debe entenderse como una forma de pensamientomatemático, que brinda a los estudiantes herramientas conceptuales y procedimentalespara identificar, caracterizar, justificar y formalizar relaciones estructurales. Un ejemplopuede ser, cuando los estudiantes generalizan procedimientos para multiplicar cualquiernúmero por 10, 100, etc., o descubren y justifican que la suma de un número par con otroimpar siempre da un impar, mientras que la suma de dos impares siempre da un númeropar.

3. Sobre la Generalización

La generalización es una actividad no exclusiva de las matemáticas. Es quizá, uno de loselementos que caracteriza todas las formas de conocimiento científico y/o no científico.Por ejemplo, la permanente tarea a la que se enfrentan los científicos y las personas delcomún en el intento por definir conceptos, clasificar objetos, tomar decisiones a partir dela repetición de una serie de sucesos, entre otros, es una manera aproximada de genera-lizar. Por lo tanto una pregunta abierta pero determinante es ¿Por qué la construcción delconocimiento, en particular del conocimiento matemático, requiere de la generalización?

La actividad matemática del alumno tiene un objetivo primordial: hacer que alcance es-quemas generales de pensamiento, es decir, que pueda, ante una determinada situación,reconocer un caso particular de una clase general de problemas, o a la inversa, que pue-


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da ver los casos particulares a través de clases generales de problemas. Pero dado que laconstrucción del conocimiento es contextualizado por naturaleza3 , entonces, el paso a lageneralización no es ni fácil ni inmediato.

Esto invita al profesor a proponer múltiples situaciones en variados contextos, con el finde lograr que el alumno pueda identificar los invariantes comunes a todas las situaciones,los cuales son los elementos constitutivos estructurales del conocimiento que se le deseaenseñar, y entonces, pueda entrar a diferenciarlos de los elementos particulares de cadasituación. La identificación de estos invariantes permite la constitución de esquemas ge-nerales de pensamiento.

Una vez construidos estos esquemas generales de pensamiento, se debe tener la capaci-dad de utilizarlos en la solución de situaciones particulares. Es decir, deben permitir eltratamiento de una situación particular como el representante de una clase general, y portanto, en su solución, proceder a partir de los elementos estructurales que la conforman,y no sobre la base de aspectos particulares a la situación. En este sentido, generalizar esalgo más complejo que ir de lo particular a lo general; es también recorrer el camino en elsentido inverso. Además se debe incluir el paso de casos particulares a la construcción deotros particulares y de elementos generales a otros de mayor grado de generalidad.

3.1. Ver lo general a partir de lo particular: el reconocimiento de invariantes estructurales

Como se dijo en el párrafo anterior, la generalización, como aquello que permite ver logeneral a través de lo particular, está directamente relacionada con la identificación deinvariantes. Cuando un alumno desarrolla su actividad a través de una serie de situacio-nes para acceder a la formulación general de un conocimiento, debe identificar y distin-guir lo que es particular a cada una de las situaciones (la forma) de lo que es común atodas ellas (lo estructural). Esto último, constituye lo invariante que caracteriza el conoci-miento a enseñar.

Por ejemplo, tanto en los libros de texto, como en los dibujos realizados por el profesor enclase, los triángulos rectángulos por lo general se presentan como se muestra en la figura 1.

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3 La naturaleza contextual del conocimiento hace referencia a que el aprendizaje no es un acto individual, sino del individuo encontexto, y que el contexto no sólo influye en el aprendizaje, sino que determina la naturaleza del mismo.

Figura 1. Formas generalizadas de representar un triángulo rectángulo

A

B

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Dado que casi siempre aparecen estos dos tipos de representaciones, entonces, para elalumno, pueden llegar a ser más significativos en el aprendizaje sobre los triángulos rec-tángulos los aspectos particulares de las construcciones, que lo estructural de ser trián-gulo rectángulo. Esto es, el paralelismo de dos de los lados del triángulo a los bordes de lahoja, por ser lo perceptible de manera directa, puede terminar ocultando lo estructuraldel ser triángulo rectángulo: la perpendicularidad de dos de sus lados. Esta propiedadestructural que debe ser inferida y construida, es una relación intra-figural que establececómo deben ser los lados y, por ende, los ángulos, de un triángulo rectángulo. Esta es unapropiedad que no depende de la construcción particular realizada para representar eltriángulo, y por tanto, es una invariante, que una vez identificada permite centrarse en losaspectos estructurales por encima de los particulares.

Si un alumno no ha realizado esta construcción, cuando se le presentan triángulos rectán-gulos en posiciones diferentes, pocas veces logrará identificarlos como tales. Pero, paraque llegue a tal construcción, no basta con que el profesor se la repita insistentemente.Para adquirir ese conocimiento que le permite reconocer y diferenciar los elementos es-tructurales de los particulares es necesario que el alumno esté en contacto con múltiplessituaciones4 en las que pueda confrontar las hipótesis particulares que construye sobrecada situación y, así, lograr una sistematización de las características generales queestructuran el concepto que se estudia, independiente de la forma como éste le sea pre-sentado. Desde esta perspectiva, la comprensión de concepto es algo más profundo queaprender una definición.

3.2 Lo particular como una expresión de lo general

Se trata de interpretar cada situación a partir de los elementos estructurales que la cons-tituyen, y no a partir de los elementos particulares que le dan su contexto, de tal formaque ésta se identifique con una clase general de problemas, y que, por tanto, su trata-miento se desarrolle sobre la base de dicha generalidad estructural.

Por ejemplo, en un problema como el siguiente:

Una llave llena un tanque en dos horas. Otra llave llena el mismo tanque en una hora. Siambas se abren al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardan en llenar el tanque?

Una persona que esté formada en el campo de la generalización verá en este problema uncaso particular de una clase general de problemas relacionados con la rapidez con que serealiza un trabajo, mientras que otra que no tenga esta capacidad de generalización sóloverá un problema de un tanque que se llena utilizando dos llaves abiertas de manerasimultánea, y no podrá relacionarlo con otras situaciones como aquellas en las que seanalizan los tiempos empleados para realizar un trabajo.

Introducción

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4 Por ejemplo, a través de un geoplano, o de hojas cuadriculadas, construir una estructura en la cual se puedan identificar triángulos(rectángulos y no rectángulos) en diferentes posiciones y formas: rotados, trasladados, simétricos, alargados, etc., y solicitar lareproducción de la misma por parte de los estudiantes.


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Así pues, si lo general se recrea en lo particular y por tanto, una situación particular seráel representante de una clase general, la generalización aporta una gran economía depensamiento y se constituye en una herramienta vital del mismo.

3.3 La generalización y los sistemas de representación en matemáticas

El proceso de generalización tiene una estrecha relación con la construcción de sistemasde representación. Estos la expresan y la redimensionan matemáticamente; es decir, sinel recurso a un sistema de símbolos no es posible comprender los objetos matemáticoscomo formas generales que atrapan las diferentes relaciones invariantes de las situacio-nes tanto matemáticas como fenomenológicas.

Estos símbolos permiten “ver” y expresar conclusiones de las relaciones generalizadas,que por fuera de ellos no es posible alcanzar. Es importante observar, que ciertos símbo-los operan sobre otros símbolos, que a su vez, están expresando algún tipo de relación,esto ocurre muy especialmente, cuando de lo que se trata es de generalizar patronesnuméricos.

Comúnmente la expresión de la generalidad, en un primer momento, se hace a través dellenguaje natural, con el cual se intenta describir, explicar, argumentar y justificar la con-clusión de las invariantes observadas en un conjunto sucesivo de eventos. En un segundomomento es de gran importancia, que dicha relación invariante sea expresada a través deotro registro de representación, es decir, de acuerdo con Duval (1999), generar actividadcognitiva de conversión a otro sistema semiótico de representación.

Esta es una manera de establecer conexiones entre el proceso de generalización y losusos que se hace en la construcción del concepto base de variable, a través del significa-do que adquieren algunos símbolos matemáticos como representantes de “un para todo”y/o de “cualquier elemento de un determinado conjunto”. Por ejemplo, algunas expresio-nes simbólicas construidas a través de la generalización de situaciones centradas en laobservación de patrones numéricos y geométricos, permiten una aproximación a la ideade entender las letras como “números generalizados” y en ocasiones como cantidadesque varían.

Una importante implicación de lo anterior es que, bajo estas condiciones, la variable (en-tendida como número generalizado, o cantidad que varía) es discreta, si sólo se mueve enel conjunto de números naturales y en algunas ocasiones en los enteros dependiendo dela situación y el tipo de preguntas que se generen; o densa (representante de los raciona-les) si el proceso de medición se afina y no lo determina únicamente el conteo; o continuo(representante de los reales), si las magnitudes usadas en la situación son continuas y sepuede dar el salto a la construcción de la propiedad abstracta de completez en los núme-ros reales.

Finalmente, basados en estas ideas, será posible reflexionar en torno a preguntas como:¿Qué significaría generalizar en matemáticas y qué implicaciones didácticas puede tenerpara la educación básica y media?, ¿Qué características del proceso de generalización

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Introducción

están involucradas en el razonamiento algebraico?, y ¿Cuáles conceptos algebraicos sepueden alcanzar a través de la generalización?

En este sentido se debe tener en cuenta que:

1. La generalización es un proceso determinado por la observación o visualización deinvariantes en medio de lo que varía.

2. Un problema fundamental de un resultado general es su validez, es decir, determinarcuando una generalización es “buena” o “mala”.

3. El proceso de generalización no tiene formas predeterminadas de acceder a la sistema-tización de conclusiones, pues hay diferentes maneras de abordar un problema rela-cionado con la culminación de un modelo que recoja casos particulares.

En el siguiente esquema se propone tomar como base fundamental para acceder al álge-bra escolar la construcción de los procesos, procedimientos y esquemas asociados a lageneralización. En este sentido se pueden tener dos caminos: La aritmética generalizaday la modelación matemática, los cuales son complementarios entre si, y se desarrollan enparalelo a lo largo de todo el ciclo escolar.

A medida que se desarrolla cada uno de éstos se construye lo que podemos denominar elrazonamiento algebraico, el cual tiene su máxima expresión con el dominio de los trata-mientos simbólico-análiticos propios del álgebra, pero que de acuerdo con el esquemapropuesto, son el resultado del proceso vivido en la educación básica y media, y no comoactualmente se tiene: el punto de partida y centro del álgebra son las manipulacionesalgorítmicas y simbólicas.


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Un trabajo orientado por la organización anterior conlleva al uso significativo de diferen-tes sistemas de representación ya que, de un lado, facilitan la construcción paulatina deformas de generalización; y de otro, son herramientas para lograr el tránsito conceptualnecesario. Es decir, éstos en su uso, dotan a los estudiantes de herramientas cognitivaspara pensar matemáticamente. Dicho de otra forma, los sistemas de representación son ala vez objetos y herramientas: son objetos en tanto que deben ser aprendidos, pero a la

4. Propuesta de desarrollo del Razonamiento Algebraico en la escuela

Esquema 2: propuesta de desarrollo del razonamiento algebraico

GENERALIZACIÓN

Las Magnitudes Aritmética Generalizada

Identificar/Caracterizar/

Describir/Generalizar/Formalizar/Conjeturar/

Argumentar/Justificar/Demostrar

…

La Variación Aritméticos/Geométricos/Estocásticos

La Modelización

La Función Regularidades yPatrones

Solución yFormulación de

Problemas

Propiedades deNúmeros/

Operaciones/Relaciones

Sistemas de Representación en Matemáticas

Construyendo interrelaciones entre

En relacióncon

Orientado a laconstrucción de

A partir de

Como estudio de Como generalización de procesos

A partir de un tratamiento vía

A partir deprocesos,

procedimientosy esquemastales como

A partir del estudio de

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Introducción

_____________________________________________________

5 Estos procesos son definidas con base en el trabajo propuesto por Kaput, 2005.

vez son herramientas, dado que el aprendizaje se hace a través de su uso en situacionesde complejidad creciente.

Ejes para el desarrollo del razonamiento algebraico:

1. Aritmética generalizada: El uso de la aritmética como dominio de expresión yformalización para la generalización

Este eje involucra razonamientos sobre las propiedades de los números, sus operacionesy sus relaciones. Por ejemplo, desarrollar procesos de generalización sobre las propieda-des de la igualdad como relación de equivalencia, o de la commutatividad de la suma o elproducto.

Igualmente implica el tratamiento de procesos asociados a explorar y expresar regulari-dades de los números que expresen formas regulares de crecimiento (Kaput, 2002a). Comoejemplos de situaciones en esta dimensión se pueden citar: caracterizar series de núme-ros –la serie de los números de Fibonnaci; realizar la suma de series de números –la sumade N números naturales consecutivos.

En el contexto de la aritmética generalizada se pueden identificar los siguientes procesos5 :

1.1 Explorar las propiedades de los números así como las relaciones entre ellos

Este proceso describe aquellos tipos de situaciones en las que los estudiantes identifican,caracterizan, elaboran conjeturas, justifican sus argumentos, definen, etc., en relacióncon las propiedades de los números, al igual que las relaciones entre ellos. Es el casocuando se estudian las propiedades de ser número par, ser impar, ser número primo, serdivisor de…, ser múltiplo de…, etc., pero no como resultado de la aplicación de una seriede definiciones, sino a partir de estudio de familias de números que comparten ciertaregularidad (o de familias de figuras geométricas que representan la regularidad numéri-ca en cuestión). Igualmente se encuentran este tipo de situaciones al analizar, interpretar,conjeturar, justificar, demostrar las relaciones entre estas propiedades, por ejemplo, lasrelaciones entre los números pares e impares, las relaciones entre múltiplos y divisores,entre los primos y cada número natural, etc.

1.2 Explorar las propiedades de las operaciones entre los números

Este proceso es muy similar a la anterior, sólo que los procesos de estudio de regularida-des, identificación de patrones, elaboración de conjeturas, construcción de argumentos,se hacen no sobre los números, sino sobre las propiedades de las operaciones entre nú-meros. Es el caso del estudio de la propiedad conmutativa de la suma, a partir del análisisdel comportamiento de familias de sumas que dan un mismo valor (por decir, todas las


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sumas que dan ocho), o de la propiedad invertiva de la suma a partir de identificar elcomportamiento de los sumando de todas aquellas sumas que dan como resultado cero, etc.

1.3 Explorar la igualdad como una relación entre cantidades (la igualdad como unarelación de equivalencia)

En este caso se trata de un proceso muy ligado a los dos anteriores a través del cual sepueda trascender de la igualdad como un símbolo que permite expresar el resultado deuna operación, para pasar a ver la igualdad como una relación de equivalencia entrecantidades. Situaciones en las que se analicen las regularidades de familias de sumas oproductos iguales, solución de ecuaciones desde la perspectiva de una balanza de brazosiguales que se debe equilibrar. Todas estas acciones permiten comprender que la igual-dad representa una relación entre cantidades, y no sólo el resultado de efectuar una ope-ración.

1.4 Solucionar problemas que involucren ecuaciones en las cuales la letra esinterpretada como cantidad desconocida o incógnita

Esta categoría, en esencia, expresa un nivel más sofisticado del sentido de la igualdadcomo relación de equivalencia, solo que ahora se aplica a situaciones que implican solu-cionar ecuaciones complejas (varias ocurrencias de la incógnita), o incluso sistemas deecuaciones. De alguna manera implica la construcción de la capacidad para operar conlas incógnitas, y por ende, un paso más en la construcción de la noción de variable. Situa-ciones como las descritas en Kaput, 2005, son un buen ejemplo del tipo de razonamientoque se requiere en los estudiantes “¿si V + V = 4, cuánto es V + V + 6?”.

1.5 Tratamiento algebraico de los números

Se trata de situaciones en las cuales los estudiantes se ven en la necesidad de caracterizaralgebraicamente las propiedades de los números y de las operaciones, para a través dedicha caracterización realizar acciones como operaciones, relaciones, generalizaciones,etc. Si bien la caracterización algebraica, en su sentido estricto requiere del uso de nota-ciones algebraicas (por ejemplo, caracterizar los números impares como números de laforma 2n + 1, para todo n número natural), los estudiantes de los grados inferiores pue-den visualizar verbalizar y operar tales relaciones, sin el recurso a las notaciones sofisticadasdel álgebra.

1.6 Representar cantidades y operaciones a partir de expresiones simbólicas

Este implica el uso de la notación simbólica más para modelizar tipos de situaciones, quepara resolver las ecuaciones resultantes del tratamiento. En este sentido se conecta con elproceso cuatro, pero tiene diferencias sustanciales. Es el caso por ejemplo de la caracteri-zación de los tipos de situaciones aditivas a partir de esquemas que ellas representan(diagramas que representan los esquemas, ecuaciones que expresan las relaciones).

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Introducción

1.7 Identificar, describir y generalizar patrones numéricos y geométricos

Se trata de actividades en las cuales se identifican, caracterizan y generalizan, regularida-des sobre secuencias de números (las cuales se pueden representar geométricamente).Se trata de una actividad clásica en la construcción de los procesos de generalización,pero lo fundamental, no está tanto en hallar una forma de generalización, sino en la posi-bilidad de identificar diferentes caminos para llegar a la expresión general, y a las equiva-lencias entre dichos caminos.

2. La variación y el cambio: La Modelización como un dominio para expresar y formalizargeneralizaciones

La modelación matemática como contexto para el razonamiento algebraico involucra lageneralización de regularidades, pero esta como resultado de la matematización de situa-ciones o fenómenos que implican la variación (Kaput, 2005). En este caso, la generaliza-ción como tal, es tan importante como el proceso mismo involucrado en la actividad deconstruir el modelo. En este eje se desarrollan los siguientes procesos:

2.1 Identificación de la variación

En este se hace énfasis en los procesos que implican determinar la forma como una ovarias cantidades de magnitud varían con respecto a la variación de otra u otras. En unsentido más estricto, la variación implica apreciar que dos o más cantidades de magnitudcovarían, de tal forma que el cambio en una o algunas, determina cambio(s) en la(s)restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de unmodelo funcional, entonces se dice que las cantidades de magnitud están correlacionadas.

2.2 Encontrar relaciones funcionales

Se trata de situaciones en las cuales los estudiantes se ven enfrentados al análisis decorrelaciones entre dos o más variables (desde los problemas típicos de multiplicación,hasta las situaciones de variaciones complejas como las exponenciales, logarítmicas, etc.).De esta forma, el trabajo inicial en la educación básica primaria se constituye en la basepara el desarrollo del concepto de función en los años posteriores, y por supuesto, en eluso, sentido y significado de las funciones desde la modelación de situaciones y fenóme-nos físicos.

2.3 Representar datos en tablas y gráficas

Si bien este tipo de situaciones está estrechamente ligadas a la categoría anterior, mereceatención aparte en tanto que se trata de sistemas de representación diferentes a losalgebraicos, pero que no sólo permiten dar sentido a aquellos, sino que al permitir organi-zar un conjunto de datos sobre una situación o fenómeno, son parte fundamental en lavisualización de las relaciones estructurales entre las magnitudes que se determinan comovariables de la situación, y cuya correlación se desea encontrar.


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2.4 Predecir el comportamiento de estados desconocidos a partir de datos conocidos

Con base en los dos procesos anteriores se presenta éste en la cual el punto central ya noes la construcción de unas expresiones simbólicas que modelizan una determinada situa-ción, sino, el uso de dichas expresiones para predecir comportamientos futuros de la si-tuación o fenómeno. En este caso, el recurso al análisis de estados futuros desconocidosse constituye en una forma que moviliza en los estudiantes la necesidad de construir mo-delos generales a partir de los cuales se puedan realizar las predicciones.

Finalmente, y siguiendo a Kaput 2005, se pueden identificar dos procesos más, los cualeshacen referencia a procesos de orden superior basados en la construcción de argumenta-ciones sobre la base de abstracciones ya logradas, y que en ese sentido, están en relacióncon los dos ejes anteriormente descritos. Se trata de desarrollos que trascienden la gene-ralización de aspectos ligados a situaciones particulares, para situarse en contextos quegiran alrededor de abstracciones matemáticas ya consolidadas. Los procesos en cuestiónson:

• Uso de generalizaciones para construir otras generalizaciones

Se trata de procesos en los cuales los alumnos se apoyan en relaciones ya establecidaspara argumentar sobre procedimientos; justificar y construir nuevas relaciones; elabo-rar y demostrar conjeturas sobre nuevas propiedades, etc. Es el caso cuando un estu-diante se apoya en el conocimiento de la relación entre números pares e impares (todonúmero par es de la forma 2n, y el impar es de la forma 2n+1, para un número n naturaldado) para demostrar que la suma entre dos números impares da como resultado unnúmero par.

Este es un elemento fundamental en la construcción del conocimiento matemático, yaque es la forma como se organizan y se estructuran los elementos fundamentales deuna teoría: nuevos teoremas se estructuran sobre la base de los ya constituidos comotal. Esta es la esencia de la naturaleza axiomática y deductiva del conocimiento mate-mático.

• Justificar, probar y demostrar conjeturas

La actividad matemática implica un constante juego entre la elaboración de conjeturassobre las posibles relaciones entre los objetos matemáticos, y la búsqueda de la veraci-dad de la misma, o por el contrario, su refutación. Cualquiera que sea el resultado, laconfirmación o refutación será el punto de partida para nuevas búsquedas. La búsque-da de justificaciones, bien sea a través de métodos informales (explicaciones, pruebas,mostraciones) o a través de métodos formales (demostraciones matemáticas) implica eldesarrollo de procesos comunicativos.

En general, conjeturar, justificar, probar y demostrar son la base para el desarrollo deuna auténtica actividad matemática en el aula. No se trata de algo que se deba enseñar,sino de una estrategia de trabajo que debe estar en la base de toda situación de apren-dizaje propuesta.

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Si se acepta que un concepto expresa un tipo de relación estructural entre ciertosobjetos matemáticos, entonces los ejes anteriormente descritos son la base para que suconstrucción sea el resultado de procesos de generalización, y no como definicionespoco significativas.

Estructura del módulo

En el marco de lo anteriormente expuesto, el presente documento, el número 2 de estaserie en didáctica de las matemáticas, se presenta a la comunidad de docentes de mate-máticas un conjunto de reflexiones en torno al álgebra escolar, tomando como base elrazonamiento algebraico. En él, se propone una organización conceptual sobre la cual sepuede dar estructura a los procesos de enseñanza del álgebra a lo largo del ciclo escolar.

En este sentido, se propone pensar en una organización conceptual que pueda llevarse acabo desde la iniciación escolar, de tal manera, que el punto de partida no sea el énfasisformal y deductivo, sino un espacio para dinamizar relaciones desde los distintos tipos depensamiento matemático, cuyas formas de comunicarlas pasen por varios procesos derepresentación y simbolización; hasta lograr, en niveles superiores, formas de simbolizacióne interpretación propias de toda actividad matemática.

Por tanto, el trabajo presentado en este módulo, orientado hacia el razonamiento algebraico,tiene como meta: de un lado, ayudar a los docentes en la construcción de una visiónamplia sobre el aprendizaje de lo que tradicionalmente hemos llamado el álgebra, sobrelos procesos de los estudiantes en camino de la construcción del razonamiento algebraico,y de otro, poner en juego una serie de herramientas metodológicas que orienten una acti-vidad matemática en los alumnos al aprendizaje del álgebra.

Así, las cinco unidades que lo componen desarrollan el esquema anteriormente propues-to (esquema 2, pág. 24). La primera, sobre la aritmética generalizada, muestra conceptualy metodológicamente cómo desde el aprendizaje de los conceptos propios de la aritméticase da inicio al desarrollo del razonamiento algebraico, a condición de que estos aprendiza-jes se den sobre la base de procesos de generalización.

La segunda unidad, centra su atención en las ideas preliminares que se considerancognitivamente fundamentales, para transformar un problema presentado en lenguajeverbal a un sistema de ecuaciones algebraicas. Se trata de mostrar, que si bien es cierta lanecesidad de apelar a la búsqueda de palabras claves en el enunciado, también lo es queel éxito de esta tarea no es suficiente para construir la ecuación, en la medida que unaecuación se construye a través de las relaciones entre estas y no únicamente desde laidentificación de las cantidades de magnitud cognitivamente pertinentes presentes en lasituación.

La tercera unidad amplía la discusión planteada en la unidad número 5 del módulo dePensamiento Numérico y Sistemas Numéricos: de la multiplicación a la proporcionalidad,pero en esta ocasión se hace énfasis sobre los análisis funcionales tanto lineales como

Introducción


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n-lineales que permiten una conexión entre las estructuras multiplicativas y las funcioneslineales y n-lineales a partir del razonamiento proporcional.

La cuarta unidad plantea la discusión a partir del proceso de modelación matemática desituaciones, básico en el estudio de la noción de variación y el cambio. En esta perspecti-va se parte del estudio de la proporcionalidad directa, para mostrar como desde el mismomomento en que se inicia el estudio de la multiplicación, se dan los primeros pasos para laconstrucción del concepto de función.

Finalmente la quinta unidad centra su mirada en los procesos algebraicos, entendidoséstos en un doble sentido: en primer lugar, como la síntesis de los procesos desarrolladosa través del estudio de las generalizaciones aritméticas y la modelación matemática, y ensegunda instancia, como las herramientas que permiten la construcción, tratamiento yconversión de los diferentes registros de representación que permiten manipular lo des-conocido, es decir, en un contexto analítico.

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Unidad No.1

El razonamiento algebraicocomo aritmética generalizadaFabián Arley Posada BalvínGilberto de Jesús Obando ZapataJohn Jairo Múnera Córdoba

Tal como se expresó en la introducción, el razonamiento algebraico como aritmética gene-ralizada implica la construcción de los conceptos propios de la aritmética como resultadode procesos de generalización. En este sentido se trasciende la visión ampliamente difun-dida de que el álgebra es una aritmética pero con letras en vez de números. Igualmente selogra que las bases del razonamiento algebraico se construyan desde los primeros añosde la educación básica, y no por que se abandone el trabajo con los números para trabajarcon letras, sino por que el aprendizaje propio de los conceptos aritméticos se hace a tra-vés de procesos relativos a la generalización: reconocimiento de invariantes estructuralescomunes a familias de situaciones a partir de las cuales los conceptos matemáticos tomansu sentido y significado.

Como se mostrará a continuación, se trata de una nueva forma de comprender los proce-sos de conceptualización de la aritmética en la educación básica: se pasa de una perspec-tiva estática, en la cual los conceptos se estudian a partir de las definiciones y sus aplica-ciones, para pasar a otra, en la cual, los conceptos son el resultado del estudio de loselementos estructurales que identifican las situaciones, y por tanto, los procesos de gene-ralización son la base para lograr tales aprendizajes.

La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos

Desde una perspectiva matemática, Mason (1996) afirma que, “la generalización es laesencia, el corazón de las matemáticas”; esta idea se refuerza cuando se afirma que, “elálgebra y quizá todo lo perteneciente al mundo de las matemáticas, se centra en la gene-ralización de patrones; generalizar es una de sus actividades fundamentales” Lee (1996).

En efecto, si se asume que la meta fundamental del aprendizaje de las matemáticas es laconstrucción de los conceptos matemáticos, así como las relaciones entre ellos, expresa-das a través de los axiomas y teoremas, entonces la generalización es el proceso funda-mental para acceder a los respectivos aprendizajes. Dicho de otra forma, no se aprendenconceptos de un lado, y después se aprende a generalizar por otra vía, sino que un proce-so de conceptualización es en si mismo un camino hacia la generalización. En esta pers-


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pectiva conviene señalar que la conceptualización no se agota en el aprendizaje de losenunciados o definiciones, sino que, por el contrario, pone en juego una serie de elemen-tos en estrecha relación. En este sentido Vergnaud plantea: “la conceptualización en ma-temáticas, como en cualquier otra área, consiste en elaborar los medios intelectuales detratar progresivamente situaciones cada vez más y más complejas”. (Vergnaud, 1997, p 7).

Para Vergnaud, un concepto es una “tripla de conjuntos C = (S, I, R) Donde S es el conjun-to de situaciones que dan significado al concepto, I es el conjunto de invariantes (objetos,propiedades, y relaciones) y que pueden ser reconocidas y utilizadas por los sujetos paraanalizar y adueñarse de esas situaciones, y R es el conjunto de representaciones simbóli-cas que pueden ser usadas para enfrentar y representarse esas invariantes, y por tanto,representar las situaciones y procedimientos para manipularlas” Vergnaud, 1988, p 141).

Lo anterior conduce a Vergnaud a formular una categoría didáctica fundamental. Se tratade la categoría de campo conceptual6 , la cual define:

Un Campo Conceptual está constituido, desde un punto de vista práctico, por el conjunto desituaciones en cuyo dominio progresivo juega un papel importante una gran variedad deconceptos y de procedimientos en estrecha conexión. Desde un punto de vista teórico, uncampo conceptual está constituido por el conjunto de conceptos y teoremas que contribuyenal dominio progresivo de esas situaciones. (Vergnaud, 1997, p 9).

Para Vergnaud, la enseñanza de los conceptos no puede hacerse de una manera aislada,ni a partir de una sola situación problema, sino enmarcados dentro de un campo concep-tual, pues:

• Una situación dada, no podría poner en juego, en general, todas las propiedades de unconcepto..., se hace necesario la referencia a una diversidad de situaciones.

• Una situación dada no pone en juego habitualmente un solo concepto7 ...• La formación de un concepto, en particular si uno lo considera a través de la actividad

de resolución de problemas, tarda en general un gran período de tiempo.

Así mismo Vergnaud 1993, plantea que el paso de la utilización de un esquema de unaclase particular de situaciones a una clase más general, está mediada por el reconoci-miento de analogías, inferencias, semejanzas, relaciones causa efecto, etc., desde esassituaciones en las que su esquema era operatorio a aquellas en las que debe ser utilizadoel nuevo conocimiento.

En resumen, desde esta perspectiva para el aprendizaje de un determinado concepto, noes suficiente con tratar una sola situación, sino que por el contrario, es necesario el tra-

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6 Esta categoría didáctica tiene su origen a partir de la enseñanza a través de la resolución de problemas. Esta es quizás una de lasmaneras más efectiva de enseñar las matemáticas, pues los alumnos están en una constante actividad que les permite reflexionarsobre la naturaleza y propiedades de los entes matemáticos. Además está de acuerdo con la idea de que la enseñanza no es la simpletransmisión de un conocimiento.

7 No se trata solamente de los prerrequisitos para afrontar una determinada tarea sino también que en una situación problema dadaentran en juego varios conceptos de los cuales alguno o algunos no son objeto de estudio en el momento, pero no debe descuidarsela incidencia de la tarea en el proceso de conceptualización de dichos conceptos, o viceversa, la incidencia del nivel de conceptua-lización de dichos conceptos en la manera como es afrontada y solucionada la tarea.

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tamiento de una gran variedad de situaciones, pero además, se tiene que cada una deellas se puede poner en juego una variedad de conceptos, y para el tratamiento de estassituaciones se pueden tener distintos sistemas de representación. Esto hace que el apren-dizaje de un determinado concepto sea un proceso complejo que dura un largo período detiempo, y para el cual se requiere una variedad de situaciones que pongan en juego lascaracterísticas de dicho concepto.

Así pues, al momento de pensar en la enseñanza de un determinado concepto, se hacenecesario tener en cuenta que en este proceso intervienen elementos de distinta natura-leza. Entre los más importantes se pueden destacar:

1. Un concepto nunca está aislado, sino en estrecha conexión con otros conceptos mate-máticos. Esto implica entonces la necesidad de delimitar la red conceptual en la cualestá inscrito el concepto que se desea convertir en objeto de enseñanza. No se trata dela elaboración de un mapa conceptual, sino más bien de lo que Vergnaud llamó uncampo conceptual.

2. Dado que el proceso de conceptualización implica el tratamiento de múltiples situacio-nes, se hace necesaria una articulación de estas situaciones para formar una unidadcoherente que permita el aprendizaje deseado en los alumnos. Esta articulación solopuede darse en la medida que se identifiquen de manera clara los medios y mediadoresque están presentes en las distintas situaciones, y la manera como permiten transfor-maciones conceptuales en los alumnos, las cuales se pueden evidenciar a través delnivel de elaboración alcanzado en su producción. Esto implica un análisis por lo menosen dos sentidos: los medios y mediadores puestos en escena a través de cada situaciónque elementos conceptuales son los que potencian, y que tipo de variables didácticasson las pertinentes para hacer evolucionar la producción del alumno a través de lassituaciones propuestas.

3. De igual forma, este proceso hacia una versión más abstracta del conocimiento no soloimplica coordinar situaciones en diferentes contextos, sino también, a propósito de unamisma situación, articular distintas formas de representación.

La igualdad como relación de equivalencia

Desde el punto de vista de los sistemas numéricos, el signo igual es el denotante dela relación de equivalencia. Pero, este significado del signo igual como relación deequivalencia es muy poco explotado en la aritmética escolar, dejando en el campode conceptualización de los alumnos la idea que el signo igual es el indicador deque lo escrito a la derecha del mismo es el resultado de realizar la operación queestá expresada en lado izquierdo. Por ejemplo, en 5+3=8 el símbolo “igual” gene-ralmente significa que 8 es el resultado de sumar 5 y 3, y no que 8 es equivalente a5+3, o lo que es mas importante aun, que 5+3 es otra forma de representación de 8.En este sentido, el signo “igual” es más un operador que un relator. De esta forma,expresiones tales como, 5 + 3 = 6 + 2, no solo son poco utilizadas, sino que losestudiantes no les encuentran mucho sentido, y la comparación la realizan en térmi-nos de que ambos lados de la igualdad dan el mismo resultado, y no como una

El razonamiento algebraico como aritmética generalizada


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relación en la cual, los cambios en los sumandos determinan la equivalencia: lo que unopierde, lo gana el otro.

No asumir la igualdad como una relación de equivalencia también se evidencia en la lec-tura unidireccional, de izquierda a derecha de la expresión simbólica. Así por ejemplo, laexpresión 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2, sería diferente de: 5 x 3 + 5 x 2 = 5 (3 + 2). Cuando estetipo de expresiones son algebraicas, la lectura unidireccional de la relación de equivalen-cia es fuente de multiples equivocaciones en los estudiantes, y en ocasiones con ciertostratamiento escolares de la notación simbólica, reforzamos tales interpretaciones. Es elcaso de la factorización de trinomios, y los productos notables que son trabajados comodos temas independientes, cuando de lo que se trata es de la aplicación de la propiedaddistributiva del producto con respecto a la suma, en una lectura bidireccional de la rela-ción de equivalencia (la expresión escrita así (a+b)(a+b)=a2 + 2ab +b2,es un productonotable, pero cuando la escribimos al contrario a2 + 2ab +b2= (a+b)(a+b), ya es otrotema: la factorización. Esta forma de comprender la igualdad implica trabajar sobre unaspecto fundamental del razonamiento matemático: la reversibilidad en los procesos. Eneste caso, la reversibilidad implica comprender que en la equivalencia, los procesos quegarantizan el pasaje del lado izquierdo al lado derecho, pueden ser reconstruidos en elsentido contrario, es decir, para pasar del lado derecho al izquierdo (claro está, en ocasio-nes es más visible un camino en un sentido que en otro).

Es pertinente reiterar que no se trata tanto de que en aritmética el signo igual signifiqueuna cosa, y en el álgebra signifique otra, sino más bien, que el tratamiento curricular quese le da en el dominio aritmético es parcial, y por tanto, cuando el alumno ingresa aldominio algebraico se presenta el mencionado desfase. Esto implica dos necesidades enel tratamiento curricular a lo largo de la educación básica: rescatar desde la aritmética eltratamiento de la igualdad como relación de equivalencia, y desde el álgebra trabajar elconcepto de relación de equivalencia tomando como punto de partida un tratamientoaritmético.

Así pues, un tratamiento en aritmética del signo igual que propenda por desarrollar suconceptualización ligada a la relación de equivalencia debe partir, de un lado, del recono-cimiento de las propiedades de la relación de equivalencia:

Reflexiva: A = ASimétrica: Si A = B entonces B = ATransitiva: Si A = B y B = C entonces A = C

Además con las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación y división) cumplela llamada ley de uniformidad:

Ley uniforme: Si A = B entonces A*C = B*C

Además, como en el contexto aritmético una relación de equivalencia se orienta a compa-rar dos expresiones (aritméticas), a partir de reconocer lo invariante en cada una de ellasentonces, este trabajo con la igualdad está estrechamente unido al estudio de las propie-dades de los números y las operaciones, que es precisamente a partir de las cuales sepueden reconocer las estructuras invariantes en un conjunto de expresiones.

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Así por ejemplo, a través de una actividad en la que se establezcan las distintas descom-posiciones de 6 se llegará a las siguientes igualdades:

5+1 = 4+2 = 3+3 = 2 + 4 = 1+ 5

a partir de los cuales se puede establecer que el conjunto de expresiones son equivalen-tes no solo por que tienen igual resultado, sino sobre todo, porque en el paso de unaexpresión a otra, lo que pierde el primer sumando, es ganado por el otro. Este análisiscentra la mirada no en la operación que se debe efectuar, sino en el análisis de lo quepermanece constante (invariantes estructurales) y lo que cambia (la variación), que parala situación, expresa la compensación entre los sumando de las expresiones aritméticascomparadas. Este tipo de análisis permite, entre otras cosas, iniciar un trabajo de genera-lización sobre algunas propiedades de la suma entre números naturales por ejemplo, lapropiedad conmutativa.

Ahora bien, ¿En qué ayuda un trabajo semejante para el aprendizaje del álgebra? Se hademostrado, que entre las dificultades de los alumnos para acceder a los procesos sintácticosy analíticos del álgebra, se encuentran las relacionadas con la poca aceptación de unaexpresión simbólica cómo solución de un problema. Por ejemplo, ante una situación comola siguiente: “si un campo rectangular mide A metros de largo y B metros de ancho, ¿cuantomide su perímetro?”; los alumnos no aceptan que la expresión 2(A+B) sea la solución,llevándolos a obtener respuestas como 2AB, o 4AB entre otras. Es más, si se les expresa lasolución como 2A+2B, entonces no reconocen la equivalencia entre ambas expresiones.En esta situación se ponen de manifiesto varias dificultades, como las relacionadas con lacapacidad de operar con incógnitas (de lo cual se hablará más adelante), además el noreconocimiento de la igualdad como relación de equivalencia es una fuente de dificultades.

Las propiedades de los números y de sus operaciones comoun problema de generalización

Tradicionalmente la aritmética escolar tiene un desarrollo curricular que presenta el con-cepto de número de manera aislada de las relaciones y operaciones que se pueden hacercon ellos, y de las situaciones problema en las que intervienen los números. Prueba deesta separación es que cada uno de estos aspectos corresponden a temáticas distintas enel currículo, como por ejemplo, los conceptos de número primo, divisor y múltiplo sonestudiados como temas separados, cuando en realidad guardan una gran relación entre sí.

Este tipo de tratamiento curricular desconoce que la noción de sistema numérico, no soloestá conformado por los elementos (es decir por los números a secas), sino por las relacio-nes y las operaciones, las cuales, como bien lo expresó el Dr. Vasco en los documentos dela renovación curricular, son la vida misma del sistema. La anterior idea, unida a la nociónde pensamiento numérico expresada en los Lineamientos curriculares, permiten lanzaruna hipótesis importante: El aprendizaje del concepto de número no puede darse porfuera de las relaciones y las operaciones con las que constituye un sistema numérico, y delas situaciones problemas en las que el número tiene sentido. Es decir, saber el “cinco” no



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es solo, determinar el tamaño de una colección de cinco elementos, o que una determina-da magnitud mide 5 unidades. Sino también reconocer que el cinco es 3+2, 4+1, 10/2,además que 2<5, 5>3 etc. Igualmente implica saber utilizarlo con sentido para interpre-tar las situaciones en que se presenten, tanto de la vida real como de las matemáticas o delas otras disciplinas escolares.

Así pues, aprender los números es comprender sus propiedades, sus relaciones y opera-ciones. Este conocimiento se desarrolla de manera paulatina a medida que se avanza enel reconocimiento de los diferentes sistemas numéricos, y se comprende mejor las opera-ciones y sus interrelaciones.

El estudio de las propiedades de los números corresponde a los conceptos clásicos de lateoría de números tales como: ser par e impar; número primo, factor, divisor, divisibilidad,teorema fundamental de la aritmética; números amigos, capicúas; etc. Por su parte elestudio de las propiedades de las operaciones se refiere al reconocimiento y su posteriorformalización. Dichas operaciones están regidas por un conjunto de invariantes que de-penden de la operación misma, y por la naturaleza de los números que se operan o laforma como se representan. Estos conceptos se han enseñado en la escuela unos separa-dos de otros (cuando se enseñan), sin embargo, su tratamiento debería ser integrado alre-dedor de situaciones problema que permitan ver las relaciones, al igual que las diferen-cias entre unos y otros.

Para el caso de las operaciones (suma, multiplicación, potenciación, radicación,logaritmación) se tiene un conjunto de propiedades que expresan no solo las relacionesinvariantes estructurales que les dan sentido y significado matemático, sino que ademásponen en relación unas operaciones con otras.

•SITUACIÓN No. 1:

ANALIZANDO LAS PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN

• PROPÓSITOS:Identificar propiedades y relaciones entre las operaciones adición y multiplicación.Usar las propiedades de las operaciones adición y multiplicación para resolver pro-blemas.

MOMENTO 1: Propiedades de la adición

Actividad 1

Materiales: 2 dados de diferente color.Hojas con tablas.

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A partir de juegos que implique el uso de dados (como por ejemplo el parqués, la escalera,etc.), se pueden proponer reflexiones en torno a las posibles formas de obtener un de-terminado resultado. Así, si se trata de un par de dados clásicos (numerados del uno alseis), y que además se puedan distinguir entre sí, entonces a partir de las posibilidades deobtener cada resultado responda:

En el lanzamiento de dos dados se pueden obtener diferentes totales. ¿Si quisiera apostar-le a un total a cuál le apostarías?

Que hacer: cada alumno recibe una hoja con la tabla en blanco y un par de dados dediferente color. El alumno lanza los dados y anota los resultados en la columna que corres-ponde al total obtenido, indicando la adición, y discriminando los sumando según el colordel dado. Así si lanza un dado rojo y otro azul, obteniendo 3 y 1 respectivamente, anotará3+1 en la columna que corresponde al total 4; esto será diferente del lanzamiento en elque obtenga 1 en rojo y 3 en azul, para el cual anotará 1+3 en la misma columna.

¿De cuántas formas se puede obtener cada total al lanzar dos dados? Llene la siguientetabla

Escribe las formas en que se obtuvo el 6. Cuáles de ellas son iguales y cuáles son distintany porque.

Comparando los resultados obtenidos cuales de los totales tienen mayor y menor posibili-dad de salir.

Actividad 2

Observe las siguientes tablas y a partir de las regularidades encontradas complete losespacios faltantes.

Tabla 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tabla 2

1+1 1+3 1+5 2+6 5+6 6+66+55+54+53+52+52+42+32+22+1

5+44+43+33+25+34+36+25+25+1



2

38

Tabla 4

1+1 1+3 1+51+2 1+4 1+62+1 2+3 2+52+2 2+4 2+6

3+1 3+3 3+53+2 3+4 3+6

4+1 4+3 4+54+2 4+4 4+65+1 5+3 5+55+2 5+4 5+6

6+1 6+3 6+56+2 6+4 6+6

Tabla 3

1+1 1+ 1+1+2 1+4 2+6 1+ 3+6 4+6 5+6 6+6 6+ 5+ +5 3+2+52+4 +32+2 +1

3+1 6+45+4 +43+4 +33+2 6+5+3 +34+24+

+25+25+16+1

1+1 1+3 1+51+2 1+4 1+62+1 2+3 2+52+2 2+4 2+63+1 3+3 3+53+2 3+4 3+64+1 4+3 4+54+2 4+4 4+65+1 5+3 5+55+2 5+4 5+66+1 6+3 6+56+2 6+4 6+6

Tabla 5

Explique el criterio que utilizó para llenar los espacios en blanco de cada tabla.

Seleccione una de las columnas y filas de la tabla y describa una posible forma de llenarla.Explique.

Qué relación encuentra entre la primera y la última expresión de cada columna?, ¿ocu-rre lo mismo con la primera y la última expresión de cada fila?

¿Cómo se puede obtener la última expresión (6 + 6) a partir de la expresión anterior(6 + 5)? Y cómo a partir de la primera expresión (1 +1)?

39

En forma similar analice las siguientes expresiones:

1) (-2) + 8 6) 3 + 32) (-1)+ 7 7) 4 + 23) 0 + 6 8) 5 + 14) 1 + 5 9) 6 + 05) 2 + 4 10) 7 + (-1)

Cómo se puede obtener la expresión 2 a partir de la expresión 1?, y la expresión 4 apartir de la expresión 8?, y la 10 a partir de la 2?

Cuantas parejeras de sumandos se pueden obtener al lanzar 2 dados?

• GESTIÓN DE LA ACTIVIDAD:

Los juegos de dados son una interesante disculpa para observar regularidades y equiva-lencia entre expresiones numéricas. Al igual que en otras actividades, puede iniciarsepermitiendo que los estudiantes exploren posibles formas de construcción de la rejilla yen el transcurso de la actividad persuadirles a que piensen en los invariantes, a través delos cambios que se observan entre columna y/o filas, incluso entre las diferentes tablas.

La presentación de las tablas llenas, vacías o incompletas depende de los propósitos deldocente, el grado escolar y el nivel de conocimiento que tengan los estudiantes a la horade enfrentarlos a situaciones de este tipo. Esto es, de las actividades y tablas propuestas,seleccionar las que considere pertinentes para el grado escolar.

El análisis de las actividades permite reflexionar acerca de las propiedades de las opera-ciones en términos de las siguientes regularidades:

• La equivalencia de las sumas de una misma columna, a partir de reconocer la regulari-dad de la variación entre los sumandos, y la respectiva compensación de uno con otro.

• El orden de los sumandos no altera la equivalencia de las expresiones.• El análisis combinatorio de los posibles resultados, que ayudan a entender por qué es

más fácil obtener un total de siete que dos o doce (se puede hacer el experimento, locual pone lo numérico en relación con lo estocástico).

Por supuesto, y tal como se propuso al inicio de este capítulo, no bastaría con analizar estetipo de regularidades en una sola situación. Juegos como: los bolos, la canasta, el tiro alblanco, etc., estudiados en el módulo de pensamiento numérico, permitirían análisis simi-lares, a partir de los cuales se pueden estudiar otras propiedades de la operación adicióncomo por ejemplo, la asociatividad.

El reconocimiento de los invariantes numéricos: equivalencia entre los valores de las res-pectivas columnas se puede enfatizar con pregutas como: ¿Con que números llenarías lascasillas en blanco, a partir de lo observado en las casillas llenas? Esto aunque no formaparte de la situación real del lanzamiento de los dados, ayuda a reconocer regularidadespuramente numéricas.



2

40

La propuesta de trabajar con un número mayor de dados 3, 4 y más, tiene como intencióniniciar la exploración de la propiedad asociativa de la operación adición, sin embargo,permite explorar otras posibilidades como: a partir del número de casillas necesarias para2 dados, ¿de cuántas filas y columnas debería ser la rejilla requerida para todas las posibi-lidades cuando se lanzan 3, 4 y más dados? Igualmente es bueno proponer a los estudian-tes, que piensen en una estrategia de llenado de la tabla para persuadirles a que haganuso de la propiedad asociativa, conmutatividad y de las regularidades observadas en latabla dada (lanzamiento de dos dados).

Se puede aprovechar la situación, tanto de dos dados, de tres y más para discutir algunasideas sobre lo estocástico como:

¿Cuál es la cantidad total con mayor y con menor posibilidad de salir en un lanzamiento detres, cuatro y más dados?

¿Cuál es la probabilidad de cada cantidad?

¿Cuantas parejeras de sumandos se pueden obtener al lanzar tres, cuatro y mas dados?

• CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS

Las personas y entre ellas los estudiantes normalmente usan las propiedades de la adi-ción para obtener resultados, si se trata de tres sumandos, utilizan la propiedad asociativa,o en el caso de dos sumandos, buscan la forma más cómoda de realizar cálculos, porejemplo, para obtener la suma 2 + 9, cambian el orden porque agregan más fácil 2 a 9 que9 a 2. Pero este uso no se hace en forma conciente, es decir, no se tiene un control de laspropiedades.

Sin embargo es importante tener presente que las propiedades estructurales de las ope-raciones no siempre será posible movilizarlas desde contextos físicos; lo interesante espoder ofrecer espacios de trabajo donde se haga conciencia de su utilidad, por ejemplo,en la generación de nuevas estrategias de cálculo.

La propiedad conmutativa, de la adición o el producto, tiene un mismo significado: elintercambio de sumandos – respectivamente, factores- no altera el resultado de la opera-ción que se efectúa. Esto implica reconocer la equivalencia entre dos expresiones aritmé-ticas, situación que para los alumnos no siempre es clara, o bien por que los procedimien-tos utilizados no les permite ver la invarianza del orden de los términos con respecto alresultado, o bien porque la situación misma no guarda la simetría necesaria para poderver la equivalencia. Por ejemplo, en situaciones aditivas simples de transformación, lasuma 7 + 2 sería diferente de la suma 2 + 7, aunque los resultados sean iguales, puestoque la cantidad inicial es diferente en cada caso. Esta asimetría de la situación puedeimplicar mayor o menor grado de dificultad en quien resuelve la situación (sobre todo sisus procedimientos para el cálculo siguen unidos al conteo de unidades simples). En am-bos casos, la conmutatividad no es tan evidente.

Lo anterior implica, que para analizar la propiedad conmutativa, tanto en suma como enproducto, se debe buscar situaciones en las cuales se haga evidente la invarianza del

41

orden de los términos, es decir, situaciones que el intercambio de los términos no impli-que un cambio en la interpretación de los significados asociados a los términos y a laoperación misma.

Cuando se logra un uso controlado y sistemático de las propiedades en los cálculos, sepodrá decir que hay comprensión de las mismas y poner en relación unas con otras. Asíuna forma de usar la propiedad asociativa en el proceso de comprensión de la propiedadconmutativa es de la siguiente manera: para obtener la equivalencia 5 + 3 = 3 + 5, sepuede descompone el 5 en 3 + 2 y luego se aplican la propiedad asociativa, así:

5 + 3 = (3 + 2) + 3 descomposición del 55 + 3 = 3 + (2 + 3) propiedad asociativa5 + 3 = 3 + 5 propiedad clausurativa (esta siempre será utilizada, por lo general

inconcientemente)

Los estándares que aparecen a continuación están relacionados con los elementos teóri-cos discutidos en esta unidad y sirven de base para las discusiones de las situaciones aquípropuestas y de otras que los docentes puedan plantear.

• ESTÁNDARES RELACIONADOS

Pensamiento Variacional

Reconocer las relaciones y propiedades de los números (ser par, ser impar, ser múltiplode, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos.

Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones ypropiedades de los números naturales y sus operaciones.

Justificar regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operacionesutilizando calculadoras o computadores.

Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, múltiplode, divisible por, etc.).

Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las ope-raciones.

Establecer conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calcu-ladoras o computadores.

Comparar y contrastar las propiedades de los números (enteros, racionales, reales) susrelaciones y operaciones (sistemas numéricos).

Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geomé-trico, musical, entre otros)

Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números yde las figuras geométricas.

Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.

Pensamiento Numérico

1-3

4-5

6-7

10-11

1-2

8-9



2

42

MOMENTO 2: la multiplicación también es conmutativo

Actividad 1: Construyendo rectángulos

Qué hacer

1. Construya rectángulos cuya área tenga 20 unidades de área ¿Cuántos rectángulos hizo?¿Ha dibujado todos los rectángulos posibles?

2. Realice la misma actividad para otros valores, por ejemplo, 12, 16, 13, 17, etc.

3. Llene una tabla como la siguiente en la que relacione, el valor de área con las diferentesposibilidades de dibujar rectángulos.

_____________________________________________________

8 Programa gratuito que se consigue a través del Internet en la siguiente dirección: www.geogebra.at. Combina geometría dinámica(Tipo R y C o Cabri) con un editor de cálculo simbólico (CAS), produciendo una potente herramienta para el trabajo sobre elálgebra y el cálculo diferencial e integral. Tiene herramientas para realizar geometría transformacional, y cálculo integral.Adicionalmente, por ser desarrollado en plataforma java, permite guardar el trabajo como páginas Web que pueden interactuarcon los usuarios.

Valor del área

Rect. 1

Rect. 2

Rect. 3

Rect. 4Rect. 5

Rect. 6

Rect. 7

20 12 16 13 17

Actividad 2: Construyendo rectángulos con geogebra

Que hacer

Con el programa Geogebra8 construya un rectángulo de área fija, por ejemplo, de área 20unidades. Para ello, active la rejilla del plano cartesiano (menú opciones; opción zona grá-fica, y en la ficha grilla del cuadro de diálogo que se abre, activar la opción grilla); dibujeun deslizador, cuyo rango de valores sea desde cero hasta 50, cambie el nombre (que pordefecto es a) y llámelo L (para ello haga clic con el botón derecho del ratón sobre eldeslizador, y en el cuadro que se abre, seleccione la opción renombrar). Luego dibuje unsegmento (Segmento a), que será uno de los lados del rectángulo, cuyo origen sea elpunto (0,0) y que el extremo sea cualquier punto del eje X. Luego en la línea de comandoescriba la expresión C=(0, L/a ), y presione la tecla ENTER (esta acción dibuja un punto Csobre el eje Y, cuya ordenada es L/a ). Dibuje un segmento (Segmento b), que será el otrolado del rectángulo, cuyo origen sea el punto (0,0) y el extremo sea el punto C que seacaba de dibujar. Termine de dibujar los otros lados del rectángulo, cuidando garantizarla perpendicularidad de los lados restantes. Cuando se termine de dibujar el polígonorespectivo, se puede hacer clic con el botón derecho del ratón, para activar la opción

43

“objeto auxiliar”, Esta opción permite visualizar el área del rectángulo en el lado izquier-do de la ventana del programa. Al terminar se debe tener una estructura como la mostra-da en la figura 1.


Mueva el cursor del deslizador L con el fin de fijar un valor determinado para el área delrectángulo, y luego mueva el punto B para cambiar la dimensiones del rectángulo. Obser-ve la forma como cambian los lados del rectángulo para garantizar que el valor del áreapermanezca constante. Puedes cambiar los valores del deslizador y mover el punto Btantas veces como quiera.

Una forma de comprender mejor la relación anterior, es haciendo que el computador mues-tre la traza (lugar geométrico) del punto D cuando se mueve el punto B (el único vérticedel rectángulo que no está sobre los ejes coordenados), ver figura 2. Se puede cambiar elvalor del deslizador y mover el punto B tantas veces como se quiera.

1. ¿Qué significa en términos de la situación cada punto de dicho lugar geométrico?2. ¿Qué relación guardan los puntos sobre el lugar geométrico con el valor del área que se

ha fijado?

Figura 1


2

44

Figura 2

• GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES DEL MOMENTO 2.

Las actividades de este momento dos, tienen la intencionalidad de enfrentar a los estu-diantes al uso con sentido, de algunas de las propiedades de la operación multiplicación.

En la actividad 1 es importante tener en cuenta la necesidad de ir mas allá de los númerosenteros para resolver la actividad. En su desarrollo se debe reflexionar en torno a si tieneo no sentido diferenciar entre un rectángulo que tenga a unidades de largo y b de ancho,con otro que tenga b unidades de largo y a de ancho. Es decir, al plantear el intercambiarde sus medidas, observar y determinar lo que varía y lo que permanece invariante.

Con la actividad 2, se pretende avanzar conceptualmente con respecto al trabajo realiza-do con la actividad 1 pero, al entrar en escena el mediador computador, se tienen al me-nos dos implicaciones: por un lado, entender que el manejo del equipo tanto del hardwarecomo del software puede generar problemas extras que desvirtúen el objetivo de la acti-vidad. Por otro lado, entender que cuando ingresa al aula el computador, las relacionesmatemáticas sufren transformaciones tanto de forma como de fondo y plantean niveles decomplejidad diferentes a las reconocidas sin él. Ejemplos de esto son: los acercamientos alconcepto de continuidad, la visualización a través de gráficas (traza o lugar geométrico)de la relación de proporcionalidad inversa entre las medidas de los lados de los rectángu-los con área igual, la posibilidad de dar un paso hacia delante en el proceso de generaliza-ción con la observación del invariante: conservación de la relación de proporcionalidadcuando la constante (representada con el deslizador) cambia y la posibilidad de generarconexión entre el concepto de proporcionalidad inversa y el concepto función racional(para el caso la rama de una hipérbola rotada); todo esto a partir del dinamismo que per-mite la ejecutabilidad del computador.

45


Con los diferentes momentos de esta situación se pone en relación el pensamiento numé-rico, el métrico y el variacional, en tanto se analice la generalización que se quiere estu-diar: la conmutatividad del producto y la distributividad del producto con respecto a lasuma.

Se debe prestar una especial atención a los conceptos de área y longitud, y sobre todo, alas unidades para medir ambas magnitudes, pues se tiende a confundir unas con otras,sobre todo en el lenguaje usado para referirse a ellas. Por ejemplo, cuando se hacen rec-tángulos en una hoja de papel cuadriculado, se suele decir que el largo, o el ancho, delrectángulo mide, por ejemplo, ocho cuadritos. En este caso, el cuadrito, unidad de área –por tratarse de una superficie-, se usa como si fuera una unidad de longitud, lo cual no esapropiado. Quizás si se dijera que el largo, o el ancho, miden cinco lados de cuadrito, laexpresión estaría acorde con lo que se quiere expresar. Esta confusión se puede presentaren virtud de la intención de usar este tipo de representaciones para analizar la relaciónentre las longitudes de los lados de una rectángulo y la fórmula para calcular el área (Área= largo x ancho)9.


_____________________________________________________

9 En el módulo de pensamiento numérico se presenta una discusión más detallada al respecto.

Figura 3. Área de un rectángulo calculada por recubrimiento con unidades de área

Para el desarrollo de las actividades no es necesario que lo alumnos conozcan la fórmulaque permite calcular áreas de rectángulos, sino que por el contrario, se puede aprovecharel trabajo para comprender dicha fórmula. En este contexto se debe centrar el análisis enel conteo de las unidades de área que compone la figura, y luego mirar, cuantas unidadesde área se pueden acomodar en uno de los lados, y cuantas veces se puede repetir dichoarreglo a lo largo del otro lado. Esto es, por ejemplo, en un rectángulo como el mostrado


2

46

en la figura 1, cuyo largo mide 8 unidades de longitud, se pueden encajar en dicho lado, 8unidades de área, y si el otro lado mide 4 unidades de longitud, entonces se pueden tenera lo ancho 4 arreglos de 8 unidades cada uno, y por lo tanto, el área es de 32 unidades deárea.

Las actividades tienen como meta analizar que diferentes rectángulos pueden tener igualárea, pero sobre todo, que al intercambiar las medidas del largo o el ancho, no se generaotro rectángulo diferente, sino que se trata del mismo rectángulo visto desde otra pers-pectiva, y por tanto, el producto que representan es el mismo (esto es, si A y B son laslongitudes del largo y el ancho de un rectángulo, entonces al intercambiar las medidas, setendrá ahora B y A largo y el ancho respectivamente) Además, como se busca relacionarel valor del área de un rectángulo con el producto de las medidas de sus longitudes,entonces esta consideración permitirá ver que el orden de los factores no altera el producto.

Como es posible que los estudiantes solo se refieran a medidas enteras, entonces es im-portante animarlos a construir rectángulos con medidas no enteras. Usar hojas cuadricu-ladas ayuda a usar el conteo como una forma de calcular las áreas y luego poner en rela-ción dicho conteo con la multiplicación.


MÚLTIPLOS, DIVISORES, FACTORES, NÚMEROS PRIMOS


Estos cuatro conceptos están estrechamente relacionados y su estudio puede, y debedarse de forma más o menos paralela, pues:

1. Si se parte de que los múltiplos de un número son todos aquellos números que cum-plen la condición de ser un número entero de veces dicho número, entonces los diviso-res se obtienen por el proceso inverso. Dicho de otra forma, si 42 es múltiplo de 3,entonces 3 es divisor de 42. Es más como 42 es múltiplo de 14, de 7, de 6, de 2, enton-ces, 14, 7, 6 y 2 también son divisores de 42.

2. Los números primos serán aquellos para los cuales solo existen dos divisores: el uno yel mismo número. O dicho de otra forma, un número primo es aquel que no es múltiplode ningún número, menor que él, y diferente de uno.

3. Si se encuentra un divisor de un número, entonces se han encontrado dos factores delmismo. Esto es, si a ≠ 0 divide a b, es por que existe un n tal que b=a x n. Por lo tanto,a y n son factores de b, en tanto que el producto de dichos números es equivalente a B.Si este proceso se itera con los números a y n, y luego con los factores de estos, hastaque solo se tengan números primos, entonces se ha llegado a la descomposición enfactores primos del número b, es decir, hemos llegado al teorema fundamental de laaritmética.

Teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede expresar comoproducto de un número finito de factores, todos ellos número primos. Ésta descomposi-ción es única.

47

Como puede verse, estos conceptos se apoyan entre si para dotarse de sentido y significa-do, y su estudio como temas aislados, no solo en tiempos distintos, sino también sin rela-ciones directas entre ellos, limita mucho sus posibilidades de comprensión. Todos ellos sebasan en los conceptos de divisor y factor, los cualas como se anoto en el párrafo anteriorson uno la base para el otro: Un número natural z ≠ 0 es divisor de un número natural w, siexiste otro número natural n tal que w=n x z. Esto es, si z divide a w, entonces z es factorde w. Al contrario también es válido: si dos o más números naturales (a1, a2, a3,…) sonfactores de otro número natural B, entonces los números a1, a2, a3,… son divisores de b. Decomportamientos particulares de los factores (divisores) se desprende el concepto denúmero primo, y se deriva el teorema fundamental de la aritmética, y por ende, el algorit-mo Euclídeo de la división:

Algoritmo Euclídeo de la división: Dados dos números naturales A y B ≠ 0, siempre seráposible encontrar un número natural C tal que A=B x C + R, donde R es menor que B. Elnúmero C, se llama cociente entre A y B (y expresa la cantidad de veces exactas, que B escontenido en A, o la cantidad de veces exactas que B puede ser extraído de A) y R es elresto o residuo (y expresa la cantidad sobrante en A después de extraer la cantidad Brepetidamente de A, o la cantidad de unidades sobrantes con las que no se puede formarun grupo de B unidades, después de formar C grupos cada uno con B unidades).

Los estándares que aparecen a continuación sirven de base para las discusiones de lassiguientes situaciones.



Numérico

Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico,geométrico, musical, entre otros).

Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas.

Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variacionesen las medidas.

Variacional

Primero atercero

Cuarto aquinto

Sexto aséptimo

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo,comparación, codificación, localización entre otros).

Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar...) y relaciones entreellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por....) en diferen-tes contextos.

Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones

Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Primero atercero

Cuarto aquinto


2

48

Actividad 1: La pista numérica

En el módulo de pensamiento numérico10 se analizó la situación de la pista numérica. Endicha actividad, el proceso de llenar la cinta numérica, y posteriormente el análisis de latabla que se llena, son una fuente importante para el estudio de los conceptos de múltiplo,divisor, y número primo.


1. En primer lugar, el concepto de múltiplo, emerge en la medida en que se llena la seriede números que completa un determinado proceso de conteo iterativo (por ejemplo, alllenar todos los puntos que se obtienen al contar de tres en tres, se está pasando por losmúltiplos de 3). Igualmente este proceso permite ver dos cosas importantes: primero,por un mismo punto se puede pasar varias veces (esto implicará analizar que un mismonúmero puede ser múltiplo de varios número a la vez), mientras que por otros no sepasa, a menos se saque uno (estos serán los candidatos a ser números primos). Segun-do, dado que los conteos son tanto en el sentido positivo como en el negativo, entoncesel concepto de múltiplo (y por tanto divisor) se extiende también a los números negati-vos. Esto es, los múltiplos del 3 no son solo los positivos (3, 6, 9…), sino también losnegativos (-3, -6, -9…). Aunque la teoría de números se refiere sólo a los enteros positivos.

2. Para entrar de lleno en la comprensión de los conceptos de múltiplo, factor y divisor, esimportante analizar dicha tabla, sobre todo, haciendo énfasis en las relaciones de cadauna de las columnas con la primera de ellas. Esto es, se trata de analizar la regularidad,de encontrar una expresión que permita calcular los números de una determinadacolumna a partir de los números de la primera. Por ejemplo, todos los números de lacolumna 3 se pueden obtener de la primera columna si multiplican éstos últimos por 3,los de la columna 4 si se hace lo propio, pero multiplicando por 4, y así sucesivamente.De esta forma se puede ver que cada columna es un número entero de veces la primeracolumna. De ahí se puede empezar a concluir el significado del concepto de múltiplo11 .En general la tabla se presta para otros tipos de análisis similares, todos ellos encami-nados a reconocer regularidades numéricas asociadas a la multiplicación. Por ejemplose puede analizar que las veces que se repite un número en la tabla (en figura 4 se hasombreado las casillas en las que aparecen el 12, el 24 el 36), y de esta forma se puededeterminar el conjunto de divisores de cada uno de ellos (la intersección de fila y co-lumna determina dos factores del número, lo cual permite también reforzar la propie-dad conmutativa del producto), además de hacer notar que un mismo número puedeser múltiplo al tiempo de varios números (múltiplos comunes). Igualmente, este análi-sis permite rastrear algunos números especiales que solo aparecen dos veces, comopor ejemplo el 7. Los números primos.

3. En análisis anteriormente propuesto se puede ampliar, llevando estas series de núme-ros a un plano cartesiano (si se prefiere, a través de una hoja de cálculo, o de un progra-

_____________________________________________________

10 Ver páginas 45 y 46 del módulo de pensamiento numérico.11 Este análisis desde el punto de vista funcional, significa construir la función f(n)= kn con n los números de la columna y k una

constante positiva, que indica la columna k-ésima donde aparecen los números n. Es decir, los números n de la columna k-ésimaestán relacionados bajo proporcionalidad directa simple con los números de la primera columna.

49

ma de estadística) y por esta vía analizar el comportamiento de las gráficas. Esta seríaotra forma de ver las relaciones entre la serie de números en cada columna con respec-to a los números de la primera columna. En particular representar los datos en unahoja de calculo, pero no haciendo un llenado manual de los mismos, sino escribiendolas fórmulas que permitan obtener de forma automática los números de cada columna,a partir de los datos de la primera (la única que se llena manualmente), y luego hacerlas gráficas respectivas (el uso de el computador permitiría ampliar de manera muyfácil el análisis a número mayores que el 12 o menores que el -12).

4. El concepto de número primo tiene su entrada en el análisis de aquellos puntos que sequedan sin marcar (13, 17, 19, 23…), a menos que salga uno. Por supuesto aquí no setiene una lista exhaustiva de los número primos menores que 100 (que es el rangonumérico aproximado que maneja el juego), pero si se pueden encontrar los otros pri-mos faltantes, a partir de analizar por qué sucede tal situación, lo que tienen estos encomún y lo que los diferencia de los demás.


Figura 4. Distribución de los números que se repiten en la tabla del juego de la pistanumérica. Es de notar la simetría de tal distribución.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

0

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

0

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

99

108

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

121

132

0

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144

0

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

0

14

28

42

56

70

84

98

112

126

140

154

168

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

180

0

16

32

48

64

80

96

112

128

144

160

176

192

0

17

34

51

68

85

102

119

136

153

170

187

204

0

18

36

54

72

90

108

126

144

162

180

198

216

Actividad 2

La tabla que aparece a continuación, fue realizada a partir del juego de dos estudiantes, perouno de ellos no alcanzó a llenar todas las casillas. ¿Puedes ayudarnos a completar la tabla?


2

50

Preguntas para reflexionar:

• ¿Cómo se pueden obtener los números de cualquier columna a partir de la primera?Con base en la respuesta cómo se obtendría los números de la columna 82. Cómo sepueden obtener los números de la fila 51?

• ¿Los números 320, 473, 1025 en qué fila y en qué columna deben aparecer?

Actividad 3: Multiplicaciones de valor fijo

Esta actividad complementa algunas de las anteriormente descritas, sobre construcciónde los rectángulos de un área determinada. En este caso se centrará la mirada en losrectángulos cuyas medidas tienen un valor entero.

En ambos casos se busca realizar una comparación de las situaciones en las cuales exis-ten varias soluciones para la multiplicación propuesta, y aquellas en las cuales solo hayuna sola (Si B es el número, entonces el único rectángulo posible es 1 x B, o lo que es lomismo, 1 x B es la única multiplicación posible cuyo resultado sea B)

En la segunda parte, se retoma la actividad con geogebra (página 42) pueden hacer lassiguientes acciones:

Moviendo el deslizador y el punto B, determina cuantos rectángulos diferentes, pero conlado de longitud entera puedes obtener, si el área fija es 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 o 20unidades de área. Llena la siguiente tabla.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

7

8

10

12

4

6

8

10

12

16

18

20

22

24

3

6

12

15

18

21

27

33

4

12

16

24

28

32

36

40

44

48

5

15

20

30

45

60

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

7

21

28

35

42

49

70

77

8

16

32

48

64

72

80

88

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

99

108

40

50

60

80

90

100

110

11

22

33

44

55

66

77

99

121

132

12

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144

13

26

52

78

91

104

130

143

156

14

28

42

56

70

84

98

126

140

154

15

30

45

75

90

105

120

135

150

165

32

64

96

128

144

192

17

34

51

68

85

102

119

153

170

187

204

18

54

72

108

144

162

198

216

51

1. ¿Para qué otros valores posibles de área existe un sólo rectángulo (o dos asumiendoque los valores de largo y ancho se pueden intercambiar)?

2. ¿Los puntos sobre el lugar geométrico, cuyas coordenadas son ambas números ente-ros que relación guardan con el valor del área que se ha fijado?

3. ¿Qué valores del área hacen que sólo exista sobre el lugar geométrico dos puntos cu-yas coordenadas sean números enteros?


NÚMEROS PARES E IMPARES


Las nociones de números pares e impares están estrechamente conectados en tanto queambos se relacionan con la noción de divisibilidad por 2. Los números pares son todosaquellos cuya división por 2 es exacta, y de forma similar, los impares son aquellos cuyadivisión por dos no es exacta, esto es, aquellos para los cuales la división por 2 tiene comoresiduo 1. Por lo tanto, todo número impar mayor que uno será igual a un número par másuna unidad.

Los números pares e impares fueron fuente de múltiples investigaciones para los matemá-ticos desde épocas muy remotas. Los griegos fueron especialmente cuidadosos del trata-miento matemático de este par de subconjuntos de los números naturales a través de lasrepresentaciones geométricas. Para los Babilonios y los Egipcios, la operación de dupli-car, y dividir por dos, fue base fundamental para el cálculo con números, sobre todo, en elcaso de la multiplicación y la división.

En las actividades que se muestran a continuación se estudiará la relación fundamentalde número par: todo número par es divisible por dos, o de otra forma, un número naturalN es par, si existe otro número natural K tal que N = 2 x K. De igual forma se estudiará ensimultáneo los números impares estableciendo la relación básica entre números pares eimpares: Un número natural N es impar si existe otro número natural K tal que N = 2 x K+ 1.


Valor del áreadel rectángulo

Número de rectángulosposibles, con medida de

lados de valor entero

Dimensiones dedichos rectángulos

12 unidades de área

13 unidades de área

14 unidades de área...


2

52

En el caso del juego de parqués se pueden manipular los dados de tal forma que se amplíeel rango numérico en el juego, por ejemplo, colocando en un dado solo números pares yen el otro número impares, se pueden tener valores mayores de 20. Igualmente se pue-den poner ambos dados solo con pares, o ambos dados solo con impares. De esta forma setendrán diferentes opciones de juego, de reflexiones sobre los valores marcados en losdados, y de las cantidades corridas. Cuando la cantidad a correr con las fichas es unnúmero par, el valor es exacto, pero cuando es impar, sobra una unidad. Es importanteanalizar por qué se presenta esta situación, y sobre todo, tomar una decisión sobre quehace con dicha unidad: bien sea que se decida perderla o acumularla, para agregarla aotra cantidad que no de exacta en un turno posterior, en esencia lo que se hace es conver-tir un número impar en otro par, lo que muestra que dado un impar cualquiera, si seagrega o resta una unidad, entonces se convierte en un número par. Esta es una formaintuitiva de llegar a las fórmulas descritas en el párrafo anterior.

Actividad 1: juego de parqués

1. Se propone Jugar parqués, imponiendo una nueva regla: cada casilla del tablero ten-drá un valor de dos unidades.

A medida que se realice el juego se debe llenar la siguiente tabla:

Cantidad marcadaen los dados

Cantidad decasillas recorridas

Cantidad deunidades sobrantes

¿Para cada fila, qué operación se deben hacer con los números de la segunda y terceracolumna para obtener cada número de la primera?

Suponga un juego de parqués con las siguientes reglas:

• Se dispone de cuatro dados, cada uno de ellos marcados como sigue: Dado 1 (1, 2, 3, 4,5 y 6); Dado 2 (7, 8, 9, 10, 11 y 12); Dado 3 (2, 4, 6, 8, 10 y 12) y Dado 4 (1, 3, 5, 7, 9 y 11).

• Cada casilla del tablero vale dos puntos.

• Si el valor marcado por los dados no es un número exacto de casillas por recorrer (esdecir si sobra una unidad), la unidad se guarda para un turno posterior.

¿Cuál es número más pequeño que pueden marcar los dados? ¿cuál es el más grande?

Llena la siguiente tabla, colocando los números de la primera columna de menor a mayor.

53


Cantidad marcadaen los dados

Cantidad decasillas recorridas

Cantidad deunidades sobrantes

Operación concolumnas 2 y 3,

para obtener la 1

1213

66

01

2 x 62 x 6 + 1


2

54

55

Unidad No.2

El paso de enunciados verbalesa ecuacionesGilberto de Jesús Obando Zapata

Un problema fundamental por el que pasa todo estudiante de la educación básica es elpaso de problemas en enunciados verbales a otros tipos de representaciones, fundamen-talmente las algebraicas.

Durante los primeros años de la educación básica este tipo de situaciones se presentacuando se busca la solución de problemas aditivos o multiplicativos. En estos momentosiniciales no se ve una conexión directa entre la solución de problemas y los procesospropios del pensamiento variacional, pues en líneas generales no se tiene la necesidad deexpresar de forma explícita una ecuación para solucionar un problema. Sin embargo, eneste tipo de actividades se encuentran los fundamentos de lo que posteriormente será unaactividad fundamental del razonamiento algebraico: la conversión de una situación (ge-neralmente presentada en leguaje natural), a representaciones de tipo algebraico.

Se entiende la actividad cognitiva de conversión como la construcción de una nueva re-presentación de una situación a partir de otra representación dada en un registro diferen-te. Así, tomando el enunciado verbal como la representación inicial de una determinadasituación, la construcción de una gráfica o de una ecuación, se corresponden con la acti-vidad cognitiva de conversión en tanto cada una de ellas es una nueva representación dela situación, pero en otro registro.

Por ejemplo, para una situación como la siguiente (expresada en lenguaje natural), “aJuan le quedan 5 galletas después de comerse 3 en uno de los descansos de su jornadaescolar ¿cuántas galletas tenía Juan inicialmente?”, se le pueden construir otros tipos derepresentaciones (el encunciado verbal se asume como una forma de representación), lascuales son nuevas construcciones, nuevas formas de expresar las relaciones matemáticasque se establecen en la representación verbal. Por ejemplo:

• Una representación gráfica, siguiendo una estructura icónica:

Cinco galletas que le

quedan

Tres galletas que se

comió

Figura 1


2

56

• Una representación gráfica, siguiendo una estructura no icónica:

• Una representación simbólica utilizando expresiones algebraicas:x - 3 = 5

Las cuatro formas de representación para una misma situación (y pueden existir otrasformas de representación), tienen algo en común: expresan la forma como se relacionan,matemáticamente hablando, las tres cantidades involucradas en la misma: una cantidadinicial (cuyo valor se debe hallar), una cantidad final (las 5 galletas que le quedan) y unoperador que expresa lo que le sucede a la cantidad inicial (las tres galletas que se come).Cada una de ellas ayuda a comprender algo nuevo de la situación, y en su conjunto, per-miten la comprensión de cómo se relacionan las cantidades (conocidas y desconocidas)en este tipo de situaciones aditivas.

Como se puede ver del ejemplo anterior, el recurso a varias representaciones de una de-terminada situación es fundamental para su comprensión en tanto que un tipo u otro derepresentación presenta ciertos aspectos de las relaciones matemáticas de la situación, yde esta forma cada una deja ver aspectos que en las demás pueden no ser tan explícitos.Dicho de otra forma, cada representación de una situación selecciona ciertos elementosde la situación, y de acuerdo a la estructura de la representación, los muestra organiza-dos, estructurados de formas específicas. Los elementos representados, y la forma comose estructuran, son el contenido de la representación, y determinan el sentido y significa-do de la representación con respecto a la situación representada.

Por ejemplo, una situación, representada en lenguaje natural puede ser la siguiente:

“En un triángulo isósceles, el ángulo que forman los dos lados igualesmide 40º. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos restantes?”

Esta forma de representación, muestra un conjunto conceptos de la geometría: qué es untriángulo, qué es un triángulo isósceles, qué es un ángulo, la medida de un ángulo. Pero lomás importante no es identificar los conceptos involucrados en el enunciado verbal, sinolas relaciones que el enunciado expresa entre dichos conceptos. Para este caso, se tratade tres relaciones, una explícita en el enunciado –con cuál ángulo, de los tres del triángu-lo, se corresponde la medida expresada en el enunciado, mientras que las otras dos no12 ,pero que, por supuesto, se pueden inferir de la información suministrada13 : la primera,

_____________________________________________________

12 Por lo general las relaciones entre conceptos deben ser inferidas a partir de las expresiones verbales utilizadas en un enunciado enlengua natural. Esta es una de las fuentes de dificultad en este tipo de representaciones

13 Es decir, estas dos información deben formar parte del conocimiento general que la persona debe saber de los triángulos, y elenunciado verbal, de alguna forma muestra que estos dos conocimientos deben ser utilizados en el proceso de solución.

-3¿? 5

Figura 2

57

“que la suma de los tres ángulos de cualquier ángulo es 180º” y la segunda “que en untriángulo isósceles, dos ángulos son iguales”.

Si para construir otra representación, por ejemplo, una gráfica, solo se centrara la aten-ción en los conceptos involucrados y no en las relaciones, se podría llegar a diferentesrepresentaciones y no se tendría capacidad de decidir cual es la que se corresponde, laque es equivalente, con el enunciado verbal.

El paso de enunciados verbales a ecuaciones

Figura 3

La figura anterior muestra tres posibles representaciones gráficas de la situación, dos delas cuales no son equivalentes a la representación verbal, y por tanto, inadmisibles comootra representación de la situación. Lo que permite decidir en favor de la representaciónA, es de un lado, que se trata de un triángulo isósceles (lo que hace rechazar cualquierrepresentación como la mostrada en C), y de otro, la relación explícita expresada en elenunciado verbal: la medida del ángulo dado es el que forman los dos lados iguales deltriángulo isósceles (lo que hace igualmente descartar la representación B). Es importanteresaltar que la representación gráfica hace visible que los otros dos ángulos, cuyo valor esdesconocido, son iguales14. Así pues, la representación gráfica ayuda a visualizar, haceexplícita, una relación que en el enunciado verbal no lo era.

Finalmente, se puede construir otra representación de la situación: la representaciónalgebraica. Para ello se debe conocer una relación entre las medidas de los ángulos, comoya se expresó, la cual está totalmente escondida en el enunciado verbal, y que tampoco sehace visible en la relación gráfica. Este teorema básico de la geometría euclidiana permiteentonces escribir la siguiente ecuación:

α + β + X = 180

_____________________________________________________

14 Para el caso que se ejemplifica, si la gráfica ha sido realizada con cuidando unas mediciones precias, entonces con el transportadorse pueden medir los otros dos ángulos, y por esta vía solucionar el problema. Claro está, es posible que esta solución no sea exactasino aproximada, pero de cualquier forma importante, pues permite estimar un rango de magnitud de la solución, y al utilizar otrosmétodos para hallar el valor de los ángulos restantes, el valor hallado sobre la gráfica se puede utilizar como mecanismos devalidación de dichos resultados.


2

58

Pero como α=40º y β=X entonces la ecuación anterior se puede reescribir así:

40 + β + β= 180

De donde su solución, a través de procesos algebraicos o numéricos es inmediata, pues larepresentación algebraica pone a disposición de la persona un conjunto de métodos yprocedimientos algorítmicos propios del tratamiento algebraico que facilitan el trabajomatemático. Estos métodos no dependen de la situación representada, ni de la calidad delos dibujos realizados, o de la precisión con que se realicen las medidas. Depende única yexclusivamente del uso correcto de las reglas del tratamiento algebraico, y por supuesto,de las reglas de la lógica.

El anterior ejemplo permite llamar la atención sobre dos cosas: la primera, la necesidad demúltiples representaciones de una misma situación, y la segunda, sobre un mecanismobásico en el proceso de conversión de un tipo de representación a otra equivalente: lacorrespondencia entre relaciones estructurales de una representación con respecto aunidades estructurales de la otra.

Como se puede ver del procedimiento seguido anteriormente para convertir la represen-tación en lenguaje natural a la representación algebraica, pasando por la representacióngráfica, cada representación organiza y estructura la información de acuerdo a los meca-nismos propios de cada tipo de representación. En la representación en lenguaje naturalmás importante que las palabras son, los conceptos matemáticos referidos en ellas, y so-bre todo, las relaciones entre dichos conceptos. Estas relaciones, algunas explícitas yotras implícitas, brindan información sobre como están organizados los conceptos, estoes, sobre la estructura conceptual de la situación, y la comprensión de la situación pasaprecisamente por la identificación, por la toma de conciencia de tales relaciones.

Por su parte, la representación gráfica, organizada a partir de puntos y líneas presenta deforma visual lo que antes se había expresado en palabras: se trata de triángulos, pero node cualquier triángulo, sino de triángulos isósceles. Se da la medida de un ángulo, pero¿de cuál ángulo?: el que forman los dos lados iguales del triángulo. Una vez se resuelveninterrogantes como los anteriores, se puede tener cierta certeza del tipo de representa-ción gráfica que se debe hacer. Por su estructura gráfica, esta representación hace visiblelas características de un triángulo isósceles: dos lados iguales y dos ángulos iguales (loque antes estaba implícito en la expresión “triángulo isósceles”). Esta posibilidad devisualizar las relaciones aporta nueva información sobre la situación, y por así decirlo,amplía el campo de sentidos y significados de la misma. Ahora el contenido de la repre-sentación, en un formato gráfico, permite una visión estructural de la situación, y porende, una imagen mental de la misma más completa. Nuevos sentidos, y por ende com-prensiones, se hacen visibles, y por tanto, nuevas herramientas emergen para hallar lasolución al problema propuesto.

Finalmente, la representación algebraica permite expresar en ecuaciones, lo que antesera verbal o gráfico. La ecuación muestra de manera simbólica, lo que en un momento fueicónico o verbal. Son las mismas relaciones antes identificadas (tanto en el enunciadoverbal, como en el gráfico), pero ahora estas se expresan en un conjunto de ecuaciones,que por su carácter algebraico, permiten un tratamiento por medio de cálculos algorítmicos,pero con otros niveles de generabilidad propios del álgebra (o incluso de la aritmética).

59

En síntesis, lo que viaja de una representación a otra son las relaciones entres los concep-tos, y en este sentido no se trata de una simple transformación de palabras que vuelvenecuaciones. Se trata de relaciones estructurales que se construyen y reconstruyen, quevan de una representación a otra, cada vez que se realiza la actividad de conversión.

Estructuras aditivas: enunciados verbales que se hacen ecuaciones

En la unidad 4 del módulo Nro 1 (Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos) se hizouna presentación detallada de las estructuras aditivas, pero allí el análisis se centró en laspropiedades aritméticas (con respecto a los números y las operaciones adición y sustrac-ción) que se movilizaban. Ahora se retomará este concepto, pero el énfasis se tendrá en elproceso de conversión de un enunciado verbal a otras formas de representación, funda-mentalmente las de tipo simbólico algebraico (en última instancia, solucionar un proble-ma de suma es ante todo resolver una ecuación, así esta no se plantee de forma explícitay sus procesos de solución se desarrollen de manera intuitiva). Para ello es pertinenterecordar algunas ideas básicas.

Según Vergnaud, las estructuras aditivas están conformadas por:

el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustraccio-nes, y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten analizar esas situaciones comotareas matemáticas. Son de esta forma constitutivos de las estructuras aditivas los concep-tos de cardinal y de medida, de transformación temporal por aumentos o disminución (per-der o ganar dinero), de relación de comparación cuantificada (tener 3 dulces o 3 años másque), de composición binaria de medidas, (¿cuánto en total?), de composición de transforma-ciones y de relaciones, de operación unitaria, de inversión, de número natural y de númerorelativo, de abscisa, de desplazamiento orientado y cuantificado, …(Vergnaud, 1990, p 96 y 97).

Cualquiera que sea la situación aditiva a la que uno se vea enfrentado, estas obedecen arelaciones ternarias que pueden ser modeladas a través de uno de seis esquemas elemen-tales, o a una combinación de estos (para una discusión detallada de estos seis esquemaselementales puede consultarse el texto “Las matemáticas, el niño y la realidad” de GerardVergnaud).

Los tres primeros esquemas elementales son:

1. Dos medidas se componen para dar lugar a una tercera.Se trata de dos cantidades A y B que se unen para dar lugar a una tercera cantidad C.En esta categoría solo se presentan problemas de suma15, pues las cantidades A, B y C


_____________________________________________________

15 Es importante resaltar la diferencia que se establece entre la ecuación del problema, es decir la expresión matemática que representala relación lógica entre los datos del problema, y la solución del mismo, la cual no siempre coinciden. Por ejemplo, en el problema“Pedro tiene 5 galletas en una mano, y las junta con las que tiene en el bolsillo. Completa en total 8 galletas. ¿Cuántas galletas teníaen el bolsillo?. Nótese como la ecuación del problema, es decir el que representa su estructura es: 5+x=8, aunque su solución serealice a través de la resta x=8-5. Este es un problema de suma, pues esa es su estructura, a pesar de que se soluciona con una resta.En otras palabras, el problema es de suma o de resta según su estructura, y no según la operación que lo soluciona. Esta aclaraciónes válida para las demás categorías.


2

60

siempre son positivas. Un ejemplo de este tipo de problema puede ser: “Juan tienecinco galletas en un plato, y en otro tiene 3. ¿Cuántos galletas tiene entre los dos pla-tos?”.

2. Una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida.En este caso se tiene una cantidad inicial (estado inicial), cantidad A, la cual sufre unatransformación a través del tiempo debido a la acción de un operador, cantidad B, paraproducir una cantidad final (estado final), cantidad C. La cantidad A siempre es positi-va y la cantidad C siempre mayor o igual a cero. Pero la cantidad B, dependiendo delefecto que realice sobre la cantidad A, puede ser negativa (si la hace disminuir) o posi-tiva (si la hace aumentar).

3. Una relación une dos medidas.Este tipo se situaciones se presentan cuando se deben comparar dos cantidades, biensea para establecer su diferencia (cuanto más tiene la mayor, o cuanto menos tiene lamenor), o para igualarlas (agregar a la menor para igualar a la mayor, o quitar a lamayor para igualar a la menor).

La comprensión de los diferentes tipos de problemas aditivos pasa por diferentes tipos deanálisis, a partir de los cuales se pueden construir y reconstruir diversas representacio-nes del problema, las cuales, como se mostró anteriormente, en su conjunto, permitenvisualizar la totalidad de relaciones necesarias para una completa visualización de la es-tructura matemática subyacente en la situación.

Para el caso de las situaciones aditivas, si se toma como punto de partida los enunciadosverbales (representaciones verbales), lo fundamental es poder determinar como se rela-cionan lógicamente las cantidades (o magnitudes) involucradas, sin descartar que aspec-tos lingüísticos y gramaticales (propios de la enunciación verbal o escrita) influyan en lacomplejidad del enunciado verbal. Dicho de otra forma, sin descartar los aspectos propia-mente lingüísticos de un enunciado verbal, lo fundamental de la comprensión de unasituación aditiva se centra en la comprensión de las relaciones matemáticas entre lasmagnitudes involucradas en la situación. Esto hace que los análisis que se presentan acontinuación estén centrados en los aspectos estructurales que, en las diferentes repre-sentaciones, permiten la aprehención de las relaciones lógicas entre las magnitudes.

Un primer análisis representacional: de las relaciones lógicas entre las cantidades en elenunciado verbal a una representación gráfica.

Los tres tipos de problemas aditivos antes descritos tienen una primera relación en co-mún: relacionan tres cantidades16 , pero a pesar de las similitudes, la estructura lógica dela relación entre dichas cantidades no es igual.

_____________________________________________________

16 Estas cantidades se expresan en números, y dependiendo del sistema numérico al que se refieran (números naturales, racionales,reales), el nivel de dificultad de la situación puede aumentar o disminuir, pero sin que se afecte la estructura misma de la situación.En este caso, este tipo de variables de las situaciones no se consideran estructurales pues el usar números de un tipo u otro no generacambios profundos en la estructura matemática del problema, sino cambios superficiales, la mayoría de los casos unidos a lastécnicas y procedimientos para efectuar las operaciones requeridas. Dicho de otra forma, si en una situación de transformación ode composición, se cambia de números naturales a números racionales, la estructura misma de cada una de ellas permaneceintacta, pero si cambian las técnicas de cálculos necesarias en el proceso de hallar una respuesta.

61

En el caso de las situaciones de composición, las tres cantidades se relacionan a partir deun esquema básico parte-parte-todo, pues las acciones descritas en la situación mues-tran dos cantidades (presentes de manera simultánea en el mismo tiempo y espacio) quese juntan (las partes) para formar una tercera cantidad (el todo).

Sean A, B y C las tres cantidades presentes en una situación de este tipo. Con las conside-raciones anteriores, la relación entre las tres cantidades del problema del ejemplo dadoanteriormente se puede representar como sigue:


Cantidad de galletas

en una de las partes


en la otra parte.

Figura 4

O también, la cual incluso deja ver mejor la relación parte-parte-todo:


en una de las partes Cantidad de galletas

en la otra parte

Figura 5

Sin embargo cuando la cantidad desconocida es una de la partes, la representación pue-de ser un poco más compleja, o por lo menos tendría dos etapas ya que se conoce el todoy una de las partes. Por ejemplo, si el enunciado del ejemplo inicial se rescribiera de lasiguiente forma: “Juan tiene ocho galletas en total, y sabe que en un plato tiene 3. ¿Cuán-tos galletas tiene en el otro plato?”. La primera fase de la representación es partir deltodo:


2

62


que tiene Juan

Para luego, identificar en el todo, una de las partes:


en la otra parte



Figura 7

Por supuesto que este tipo de representaciones icónicas son muy ineficientes, por tiempoy espacio, y por lo tanto se hace pertinente disponer de otras formas de representaciónmás sintéticas, y por consiguientes más potentes, por ejemplo:

Figura 8

A

B

C

Para el caso de las situaciones de transformación, el esquema fundamental se puede des-cribir como cantidad inicial – operador (que hace aumentar o disminuir) – cantidadfinal, en tanto que media una sucesión temporal de acciones que determinan como unacierta cantidad es afectada a través de una acción –que la hace aumentar o disminuir,

Figura 6

63


_____________________________________________________

17 Si se quisiera hacer una analogía entre este esquema y la relación parte todo, habría que analizar por separado la función deloperador con respecto a la cantidad inicial. Si el operador hace aumentar la cantidad inicial, entonces, cantidad inicial y operadorse corresponderían con las partes, y la cantidad final se correspondería con el todo. Pero si el operador hace disminuir la cantidadinicial, entonces la cantidad inicial se corresponde con el todo, y el operador y la cantidad final se corresponden con las partes.Como puede verse, el esquema parte – parte – todo no es eficiente para analizar este tipo de situaciones.

18 Nótese como esta tercera cantidad tiene existencia sólo en el sentido figurado, conceptualmente hablando, ya no existe físicamenteal lado de las otras dos cantidades, sino que se usa hipotéticamente para establecer una diferencia, o una igualación. Esto hace quela relación aditiva que se propone en este tipo de situaciones sea más compleja.

para generar una cantidad final (que puede ser mayor o menor que la cantidad inicialsegún el sentido de la transformación)17. Nótese como las cantidades se hacen presentesen el mismo espacio, pero mediados por el tiempo, esto es, las cantidades van aparecien-do en la medida que se suceden una serie de eventos (a diferencia del esquema anterioren el cual las dos partes están presentes en el mismo tiempo y espacio), de tal forma quese puede afirmar que el acento se tiene en una cantidad a la vez: primero se tiene unacantidad; esta se transforma a partir de una acción: el acento ahora está en el operador;como resultado, se obtiene una cantidad final: el acento se desplaza a la nueva cantidadobtenida.

Las representaciones gráficas del tipo icónicas no son muy apropiadas para representareste tipo de situaciones, ya que una hoja de papel permite representar fácilmente el con-junto de acciones a las que se refiere la situación, más no la temporalidad en que dichasacciones se suceden, y por lo tanto, una representación de este tipo de situaciones no sepodrían distinguir de las respectivas representaciones de las situaciones de composición.Por lo tanto una representación no icónica puede ser más apropiada, como se muestra acontinuación:

De acuerdo a este esquema, A representa la cantidad inicial que se transforma en la can-tidad final C, gracias a la acción del operador B. Este esquema permite representar cual-quier situación de este tipo, independientemente de que el operador haga aumentar odisminuir a la cantidad final (como se verá más adelante, esta acción se verá representadano por un nuevo esquema, sino por el valor positivo o negativo del operador B).

Finalmente, las situaciones de comparación plantean un esquema más complejo, que dealguna forma retoma elementos de los dos esquemas precendentes: las acciones descri-tas en la situación muestran dos cantidades en el mismo espacio y tiempo, pero ahoradichas cantidades no se juntan, ni la una opera para transformar a la otra, sino que ambascantidades se comparan a partir de una tercera cantidad que sirve de base para la com-paración18 (). Así pues, el esquema básico se puede expresar así: Referente – operador(queiguala o establece una diferencia) – Referido. En este caso, las dos cantidades presentesen la situación (sean A y B tales cantidades) sirven la una como referente con respecto a lacual se compara la otra, y esto es independiente de cual de ellas es mayor o menor. Dichode otra forma, en ciertas situaciones la cantidad mayor es el referente con respecto al cual

BA C

Figura 9


2

64

se compara la menor (el operador expresa la cantidad que se agrega a la menor paraigualar a la mayor, o la cantidad de menos que tiene la menor con respecto a la mayor),pero en otras situaciones, la cantidad menor es la que se toma como referente para com-parar a la mayor (el operador expresa la cantidad que se quita a la mayor para igualar a lamenor, o la cantidad de más que tiene la mayor con respecto a la menor).

Como puede verse en el párrafo anterior, las relaciones entre cantidades es significati-vamente más compleja que en los dos tipos de situaciones anteriores, y por lo tanto larepresentación gráfica, si bien es más potente si se hace a través de representaciones noicónicas, en ciertos tipos de situaciones una representación icónica puede ser de muy útilpara comprender las relaciones entre las cantidades, pero eso si, cuidando de diferenciarentre las dos cantidades que se comparan, y de estas dos con el operador que sirve paraestablecer la igualación la diferencia. Por ejemplo, en una situación como la siguiente:

Pedro tiene cinco galletas, y su hermana tiene ocho. ¿cuántas galletas demás tiene la hermana de Pedro?

Se pueden tener representaciones icónicas como las siguientes:

Cantidad de galletasque tiene Pedro

Cantidad de galletas dela hermana de Pedro.

A partir de la cual se puede se llegar con facilidad a otra como el siguiente:

Cantidad de galletasque tiene Pedro

Cantidad de galletas dela hermana de Pedro.

En donde se puede ver con claridad que las tres galletas de la parte inferior se correspon-den con la cantidad de más que tiene la hermana de Pedro (o incluso, las que se debenquitar para igualar la cantidad de galletas de Pedro, o las de menos que tiene Pedro, etc.)

Figura 10

Figura 11

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Por supuesto, al igual que en casos anteriores, las representaciones icónicas presentandificultades de eficiencia por tiempo y espacio, además de no ser generalizables a cual-quier situación de este tipo, entonces se debe recurrir a representaciones más genéricas,es decir las no icónicas, que tengan por supuesto, mayor capacidad de generalización. Unesquema de estas características puede ser:


En este esquema se han hecho consideraciones como las siguientes. Dado que cualquierade las dos cantidades presentes en la situación puede servir de referente para la otra,pero siempre una cantidad es mayor o igual que la otra, entonces se puede asumir, sinperdida de generalidad, que las cantidades A y C guardan la relación A ≤ C, independien-temente de cual sea referente para la otra (esto, entre otras cosas, por que la relaciónmayor – menor es visible de forma más explícita que la relación de referente – referido). Latercera cantidad, en este caso, el operador que sirve de parámetro para comparar lascantidades A y C, será representado por la letra B, y puede ser positivo o negativo segúnel tipo de comparación que debe expresar: positivo, si se agrega a la menor para igualar ala mayor, o si expresa la cantidad de unidades de más que tiene la mayor con respecto a lamenor; negativo en los casos contrarios, esto es, si se quita a la mayor para igualar a lamenor, o si expresa la cantidad de unidades de menos que tiene la menor con respecto ala mayor).

Es importante resaltar antes de terminar esta sección, que si bien se ha mostrado la im-portancia de las representaciones gráficas, vale la pena destacar su baja capacidad degeneralización, y sobre todo la necesidad de utilizarlas apropiadamente. Por ejemplo, re-presentaciones como las siguientes son altamente inconvenientes, en tanto se utilizan deforma inapropiada los signos + e =.

Figura 13




en la otra parte.

Cantidad total de

galletas

C A

B

Figura 12


2

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_____________________________________________________

19 Nótese que identificar el valor de las cantidades no es tan importante como identificar la forma como ellas se relacionan, ya que noes valor de las cantidades lo que ayuda a determinar la estructura de la situación, sino la relación lógico-matemática existente entreellas

En las discusiones precedentes se ha analizado como cada tipo de situación ha dejadodeliberadamente una pregunta esencial, la cual, entre otras cosas, es la que permite reco-nocer que este tipo de situaciones se pueden representar en algún registro: ¿Qué es loque en el enunciado verbal permite identificar la relación entre las cantidades? Por ejem-plo, en situaciones como las siguientes:

• Ejemplo 1: A Pedro le quedan cinco confites, después de haberse comido unos cuantos.Se le ha olvidado cuántos se comió, pero recuerda que al inicio tenía 12. ¿Cuántosconfites se comió Pedro?

• Ejemplo 2: En un corral hay cinco gallinas y tres marranos ¿Cuántos animales hay?

• Ejemplo 3: En un salón de clase hay 36 alumnos entre hombres y mujeres. Se sabe quela cantidad de mujeres excede en 10 al total de hombres. ¿Cuántos hombres y mujereshay en dicho grupo?

Cómo saber el tipo de representación gráfica que se debe construir, a partir del análisis delas expresiones verbales?

La respuesta a este interrogante no es única ni aplicable tal cual a la totalidad de este tipode situaciones aditivas, pero algunas ideas ayudarán a construir acercamientos al respec-to, y con cierto nivel de precisión, se pueden hacer variaciones para situaciones no tantípicas.

En primer lugar, se pueden identificar, en el enunciado verbal, un conjunto de expresio-nes verbales que hacen referencia a la organización espacio-temporal de las tres cantida-des involucradas en la situación19, acompañadas de otras expresiones que identifican lasacciones que se debe hacer con dichas cantidades. Estas expresiones pueden ser:

• Expresiones que identifican a dos cantidades presentes es un mismo espacio –en uncorral se tienen…, en un salón de clase hay…, en un plato… y en otro…, en una caja…y en otra…, etc., y verbos que identifican la acción de combinar esas cantidades –juntar, unir, reunir, mezclar, acumular, fusionar, etc. En estos casos se trata de situacio-nes de combinación, y lo fundamental del análisis relacional propuesto es determinarcuales son las dos cantidades sobre las cuáles se ejerce la acción combinación con elfin de producir la cantidad total.

• Expresiones que indican, una sucesión temporal de acciones –después, antes, ahora,en la mañana, en la tarde, etc., y verbos que identifican una acción transformadora quesucede en el tiempo –comer, regalar, perder, ganar, dañar, entregar, etc. En estos casosse trata de situaciones de transformación, y lo fundamental del análisis relacional pro-puesto es determinar cual es la cantidad inicial sobre la cual se ejerce la accióntransformadora (haciéndola disminuir o aumentar) con el fin de producir la cantidadfinal.

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• Expresiones que identifican que dos cantidades deben ser comparadas: cuántos más,cuántos menos, agregarle (sumar, aumentar, añadir, unir, juntar, etc.) a … para que …,quitarle (tomar, eliminar, perder, anular, separar, extraer, etc.) a … para que … En estoscasos se trata de situaciones de comparación, y lo fundamental del análisis relacionalpropuesto es determinar cuales son las cantidades que se comparan, y sobre todo, cualde ellas es el referente con respecto al cual se compara la otra.

A partir de análisis como los expuestos anteriormente se pueden realizar representacio-nes gráficas (como se enunció antes) que expresan las relaciones lógicas entre las canti-dades involucradas en la situación.

Un segundo análisis representacional: de las relaciones lógicas entre las cantidades en elenunciado verbal y la representación gráfica, a la representación simbólica.

Nótese que la importancia de las formas gramaticales anteriormente descritas radica nosolo en que permiten la construcción de una representación gráfica de la forma como serelacionan las cantidades, y por ende el tipo de estructura de la situación, sino además, enque a partir de dichos análisis de relaciones se pueden construir representaciones simbó-licas, las cuales ponen en manos de los alumnos nuevas formas de expresión y la capaci-dad de realizar procesos más complejos basados en la naturaleza operatoria de las expre-siones simbólicas. Se trata pues de pasar de las representaciones verbales y gráficas(icónicas o no) a las representaciones a través de ecuaciones.

En primer lugar, y regresando a los tres tipos de situaciones antes descritos, se tiene queen todas ellas existen tres cantidades. Para tener una referencia a ella de forma general, sepueden llamar A, B y C a dichas cantidades:

• En la situaciones de combinación, bajo el supuesto de que las letras A y B representanlas cantidades que se encuentran en el mismo espacio, y sobre las cuales se ejerce laacción de combinación para producir la cantidad C, entonces A, B y C se relacionan apartir de la expresión A + B = C.

• En las situaciones de transformación, la letra A se identifica con la cantidad inicial, Bcon la cantidad que hace aumentar o disminuir a la cantidad A (la que hace que A setransforme), y C la cantidad que se obtiene después de la transformación de A. Por lotanto, las cantidades A, B y C se relacionan a partir de la expresión A + B = C o A – B = C, dependiendo del tipo de acción del operador B sobre la cantidad A (el primercaso, cuando A se aumenta por la acción de B, mientras que el segundo, cuando A sedisminuye por la acción de B).

• Finalmente, en la situaciones de comparación, tomando como punto de partida de quelas cantidades a ser comparadas son A y C, que A < C, y que por tanto B es el parámetroque permite la comparación entre A y C, entonces:

si se trata de agregar a la menor para igualar a la mayor, o de expresar las unidadesde más que tiene la mayor con respecto a la menor, se relacionan a partir de laexpresión A + B = C.si se trata de quitar a la mayor para igualar a la menor, o de determinar cuántasunidades de menos tiene la menor con respecto a la mayor se relacionan a partir dela expresión A= C – B.


2

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En segundo lugar, no basta con lo anterior para saber qué operación se debe realizar en lasolución del problema, esto es, se debe centrar la mirada en un nuevo elemento: de lastres cantidades involucradas en la situación (A, B ó C), cuál de ellas es la cantidad desco-nocida. De esta forma, se tienen diferentes tipos de ecuaciones según el tipo de situación:

• Situaciones de combinación: A + B = X ó A + X = C, dependiendo si la incógnita es unade las partes, o es el todo. En el primer caso, la suma de las dos cantidades conocidaspermite solucionar el problema, mientras que el segundo, las dos cantidades conoci-das se deben restar para hallar el valor de la incógnita.

• Situaciones de transformación: A + B = X ó A + X = C ó X + B = C En el primer caso,la suma de las dos cantidades conocidas permite solucionar el problema, mientras queen el segundo y tercero, las resta de las dos cantidades conocidas permite hallar elvalor de la incógnita. De forma similar para el caso en que la situación es de disminu-ción: A – B = X ó A – X = C ó X – B = C, pero ahora, el primer y segundo caso sesolucionan con la resta de las dos cantidades conocidas, mientras que el tercero con lasuma.

• Situaciones de comparación: se tienen los mismos casos que para las situaciones detransformación.

Es necesario resaltar un hecho importante en las descripciones anteriores: no siempre laoperación que determina la estructura de la situación, es la que permite la solución delproblema propuesto. Por lo tanto, lo que permite definir el tipo de operación que se deberealizar no es la expresión verbal que identifica la estructura, sino la ecuación asociada ala estructura, la cual permite dar un lugar preciso a la cantidad desconocida.

Así pues, las expresiones verbales que permiten identificar la estructura del problema sonfundamentales en la comprensión del texto, no porque se les pueda asociar de maneraunívoca una operación que solucione el problema, sino por que permiten identificar unaestructura asociada a la operación, y una vez, identificada dicha estructura, a lado delreconocimiento del lugar de la incógnita en dicha estructura (la ecuación propiamentedicha), entonces se puede determinar el conjunto de operaciones que se deben realizarpara solucionar el problema propuesto en la situación. Dicho de otra forma, identificarexpresiones como ganar, perder, juntar, cuántos más, cuántos menos, cuánto se le debenquitar a…, cuántos le hacen falta para…, etc., son claves en el proceso de comprensióndel problema, pero no por qué a cada palabra se le pueda asociar de manera inequívocauna operación (si dice le regalar, entonces se debe sumar, o si dice perder, entonces sedebe restar, etc.), ya que estas expresiones solo permiten determinar la estructura de lasituación, lo cual, junto con la identificación del lugar del término desconocido en la es-tructura, si permite tomar decisiones en términos de las operaciones que se debe realizar.

Las situaciones en las que la operación que identifica la estructura no coincide con lasoperaciones que solucionan el problema son más complejas, y por tanto exigen razona-mientos más organizados y estructurados en los estudiantes, entre otras cosas, por que elcambio de operación, si bien desde el punto de vista de la transformación algebraica es unprocedimiento muy sencillo, desde el punto de vista de las acciones propias involucradasen la situación, generalmente implican el reconocimiento de transformaciones inversasque anulan la acción originalmente propuesta en la situación inicial.

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Así, en el caso del ejemplo 1, la ecuación de la situación es: 12 – X = 5, cuya solución es 12– 5 = X. Desde el punto de vista algebraico, la transformación es fácil de mostrar:

12 – X = 5 ⇔ 12 – X + X = 5 + X⇔ 12 = 5 + X⇔ 12 + (–5) = 5 + X + (–5)⇔ 12 – 5 = X.

Sin embargo relacionar la resta 12 – 5 con al situación inicial, que también forma parte dela comprensión del problema, implica visualizar que como 5 es el resultado de quitar a 12una cantidad desconocida, entonces la suma de 5 y la cantidad desconocida debe serigual a 12, y que por tanto, 5 y la cantidad desconocida son las partes que componen a 12,lo que implicaría que la resta de 12 y 5 debería dar como valor la cantidad desconocida.Obsérvese la similitud entre este razonamiento intuitivo y el proceso algebraico realizadoantes.


TRANSFORMANDO ENUNCIADOS VERBALES

Actividad 1: Analizando problemas

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer?Para cada uno de los problemas dados:

• Realice una representación gráfica que identifique la estructura del problema (combi-nación, transformación, comparación, o incluso, otra diferente).

• Identifique diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.

• Igualmente identifique, en cada grupo, cuál es la cantidad desconocida, y la relacióncon las cantidades conocidas. A cada problema, escríbale la ecuación que propone elenunciado y la que lo soluciona. Dónde no coincidan, por que no coinciden?.

• Para cada problema, enuncie otros dos del mismo tipo, cambiando el tipo de ecuaciónde la situación

• Indique los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solu-ción.

• ¿Los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos deprimaria? Proponga un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no le parez-can suficientemente claros para los estudiantes.

Problemas1. Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene

de fresa?



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2. Juan tenía algunos caramelos y le regaló tres a su hermana. Si le quedan diez, cuántoscaramelos tenía al principio?

3. En una carrera, Laura llegó de octava, 3 puestos antes que Beatriz. ¿En qué puestollegó Beatriz?.

4. Pedro gana 5 bolas de cristal por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿cuántas ha ganadoo perdido en total?.

5. Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene uncaramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan?

6. Patricia mide 15 cm más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano Juan.¿qué diferencia entre la altura de Pedro y Juan?

7. Para hacer un collar Miriam emplea 25 perlas rojas, 30 perlas azules y 45 perlas verdes.Calcula el número de perlas que tiene el collar.

8. Escribe con números y símbolo matemáticos: tres mil doscientos más cuatro mil ocho-cientos es igual a cuatro mil ochocientos más tres mil doscientos.

9. Un tren sale de Acevedo con 480 pasajeros. En Alpujarra bajan 35 y suben 46. ¿Cuán-tos viajeros quedan ahora en el tren?

Actividad 2: Sobre el significado de las operaciones

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacerPARA LA ADICIÓN

• Escriba un problema que se resuelva mediante la adición: 23 + 15.

• Compare su problema con los enunciados a continuación:a. Camilo tiene 23 láminas nacionales y 15 extranjeras. ¿Cuántas láminas tiene en to-

tal?b. Camilo tiene 23 láminas en su colección, compra 15 más, ¿cuántas láminas tiene

ahora?c. Camilo tiene 23 láminas, su hermano tiene 15 estampillas más. ¿Cuántas láminas

tiene el hermano de Camilo?d. Camilo le regala 15 láminas a su hermano y aún le quedan 23. ¿cuántas láminas tenía

Camilo?e. Camilo regaló 15 láminas que tenía. Compró un paquete y ahora tiene 23 láminas

más que antes de regalar las 15.¿Cuántas láminas tiene el paquete que compró?

• El problema que plantearon, ¿a cuál de estos se parece?. Discuta las diferencias quepresentan los enunciados de los cinco problemas anteriores y acuerden respuestaspara las siguientes preguntas:

• ¿Encuentra diferentes significados para la adición en cada uno de los problemas plan-teados?

• ¿Cómo explicaría cada uno de esos significados?

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• Las acciones de: Reunir, Agregar, Comparar y Completar (sustracción complementa-ria) ¿podrían calificar los diferentes significados de la adición en los problemas expues-tos?

• ¿Cuáles son los significados más usuales en el abordaje de la adición con los alumnos?

• ¿Considera que algunos de los significados de la adición en estos problemas presentanmayor dificultad al ser abordados por los niños?

• ¿Encuentra situaciones de la cotidianidad de donde surja este tipo de problemas?

• ¿Es posible clasificarlos en alguna de las relaciones aditivas propuestas por Vergnaud?Cuál?.

Actividad 3: Sobre las estructuras aditivas

Número de participantes: 2Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacerAnalice en los siguientes problemas, el esquema aditivo correspondiente, las ecuacionesdel problema y las ecuaciones de la solución. Además resuélvalos, utilizando para ellodiversas estrategias de cálculo.

1. Había 5 personas en el salón, luego llegaron 13. Cuántas hay ahora?

2. Un vendedor sale de su casa con $ 4000, al regreso tiene $13500. Cuánto dinero reco-gió durante el día?

3. Maicol acaba de comprar 17 caramelos, ahora tiene 32 caramelos. Cuántos tenía antesde hacer la compra?

4. Leidy tenía $700 pesos y le regaló $250 a su hermano. Cuánto dinero tiene ahora?

5. Pablo acaba de jugar a las canicas. Tenía 41 canicas antes de jugar. Ahora tiene 29canicas cuántas perdió?

6. El Martes, Ana tenía $6750 . Durante los dos últimos días se había gastado $2350.Cuánto dinero tenía el domingo

7. Juan es tres años mayor que Pedro. Si Pedro tiene 17; cuántos tiene Juan?

8. En la escuela se hizo una competencia por grupos, para recolectar dinero, así 3ºArecolectó $34000 y 3ºB recolectó $41250. Cuánto de más recolectó 3ºB.

9. Juan mide 1,55m y María mide 5cm menos que éste. Cuánto mide María.

10. Alicia tiene 15 caramelos y su hermano tiene 13. Cuántos le faltan al hermano paratener los que tiene Alicia.

11. Carlos tiene 29 fichas para un juego y su amigo Marco tiene 14. Cuántas debe perderCarlos para tener las mismas que su amigo?

12. Teresa es menor 8 años que su novio, quien tiene 28 años, cuántos tiene Teresa?

13. En el empaque A hay 18 colombinas, y en el B hay 12. Cuántas se le deben sacar alempaque A para que haya las mismas que en el empaque B?


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14. En mi mano derecha tengo 8 caramelos y en la izquierda tengo 12. Cuántos carame-los menos tengo en la derecha?

15. Ana tiene $17000 y para tener los mismos que su hermana le faltan $3500. Cuántodinero tiene su hermana?

16. Elena mide 1,64m y esto es 0,4m menos de lo que mide Lida. Cuánto mide Lida?

17. Del grupo 11ºB 14 estudiantes se retiraron, quedando los mismos que en 11ºC que son28. Cuántos eran en 11ºB?

18. Del grupo 11ºB que tiene 28 estudiantes, los que ven el canal Caracol son 6 más quelos que ven RCN. Cuántos ven RCN?

En el siguiente conjunto de situaciones, se trata de buscar soluciones, a partir de las ideasestudiadas anteriormente, es decir, identificando no solo las cantidades, sino el tipo derelación entre ellas. Donde sea posible o necesario, ayudarse con las representacionesgráficas, de tal forma que se puedan hacer explícitas nuevas relaciones. En el proceso deestablecer las cantidades y sus relaciones, se debe igualmente identificar la o las desco-nocidas, es decir, las incógnitas, y sobre todo, la forma como esta o estas cantidades des-conocidas se relaciona con las cantidades y relaciones conocidas.

Por ejemplo, en la siguiente situación:

Un hombre recibe una aumento del 5% de su salario, el cual equivale a $40.000. ¿Cuál erael salario original? ¿Cuál es su actual salario?

Se tiene que el problema presenta cuatro cantidades, dos conocidas y dos desconocidas:

• Las desconocidas: el salario anterior (el cual se puede representar por A) y el salarioactual de la persona (el cual se puede representar por B).

• Las conocidas: %5 y $40.000.

Ahora bien, ¿cómo se relacionan las cantidades conocidas entre si, y éstas con las desco-nocidas?

En primer lugar, 40.000 es el aumento del salario, y el 5% expresa una relación entre lacantidad desconocida A, y el valor $40.000. ¿Pero que significa que una cantidad sea el 5%de otra cantidad? Esta es la relación escondida, implícita en el enunciado20 . Una repre-sentación gráfica como la siguiente (aunque no es la única que se puede hacer) puedeayudar a la interpretación, y por supuesto, a la solución:

_____________________________________________________

20 Por lo general estas relaciones escondidas son las principales fuentes de dificultad en la solución de un problema determinado.

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La representación simbólica permite realizar procesos algorítmicos más potentes, y haceque el proceso de solución sea más económico, pero es claro, que sin una comprensióncomo la anterior, sería un proceso algorítmico sin sentido: Una vez recuperado el sentidode lo que significa el 5% de algo, y comprendido que esa cantidad relaciona una de lascantidades desconocidas con la otra cantidad conocida, $40.0000, entonces es puede pro-poner un razonamiento como el siguiente:

Se puede representar por la letra A al valor desconocido del salario antes del aumento.

5% de dicho valor, significa 5/100 de la cantidad A, esto es, 5/100 x Alo cual es equivalente a 1/20 x A

Pero ese 5% de A equivale a $40.000, por lo tanto,1/20 x A = 40 de lo cual se desprende que

1/20 x A = 40 ⇔ 20 x 1/20 x A = 20 x $40.000 ⇔ A= $800.000

Al igual que los casos estudiados antes, se debe desatacar la similitud entre los pasos delproceso algebraico, y los pasos del proceso aritmético desarrollado a partir de la repre-sentación gráfica anterior. Esto permite reafirmar la importancia de la interrelación entrelas representaciones algebraicas (y los procesos derivados de este tipo de representacio-nes), y de otros tipos de representaciones, gráficas y aritméticas (y por supuesto, de losprocesos propios de este tipo de representaciones), de tal forma que los procesos algebraicosno sean vistos como operaciones algebraicas carentes de significado, sino por el contra-rio, operaciones que se hacen por que tienen algún nivel de relación con la operación quese pretende realizar.

Encontrar el salario actual es ahora un poco más fácil: de un lado, se debe reconocer otrarelación escondida, pero con carácter más intuitivo que la que expresa el 5% del salarioanterior: Se trata de la relación entre el salario actual y el anterior (la otra cantidad desco-nocida): Si B representa el salario actual de la persona, entonces dicho salario debe serigual al salario anterior, más el aumento respectivo. La gráfica podría ser algo así:


El rectángulo representa el valor total del salario antes del aumento.5% significa que el salario se distribuye en 100 partes iguales, cada una de las cuales es el 1%.

Por lo tanto, el 5% será 5 veces esa cantidad, es decir, 5/100 , o lo que es lo mismo, 1/20Así pues, el salario total se divide en 20 partes iguales, cada una ellas equivalente a $40.000

Luego, ya se puede calcular el valor total del salario antes del aumento.20×$40.000=$800.000

Salario anterior: $800.000

Salario actual: $800.000+$40.000=$840.000

Aum

ento: $40.000


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Nótese que en la gráfica anterior el salario anterior se dividió en 20 partes, y que el au-mento se corresponde con una de esas partes (pues el aumento es el 5% del salario total).Por lo tanto, el nuevo salario es el total anterior ($800.000) al cual se le agrega el 5%, esdecir, $40.000. Así pues, el nuevo salario es: $840.000.

En términos de ecuaciones se tendría:

B = A + $40.000 ⇔ B= $800.000 + $40.000 ⇔ B= $840.000

Siguiendo procedimientos similares a los anteriores, y en lo ideal, buscando diferentesformas de representación y diferentes procesos de solución, por cada una de las situacio-nes, encuentre la solución a los problemas propuestos a continuación:

1. En un triángulo ABC, el ángulo B es cinco veces mayor que el ángulo A. El ángulo C 2ºmenor que el ángulo A21 . ¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos de dicho triángu-lo?

2. El perímetro de un rectángulo es de 322 m. ¿Si se sabe que el ancho del mismo tiene25 m menos que el largo, cuánto miden los lados de dicho rectángulo?

3. Luego de un aumento del 2% en la población de una ciudad, la población total es de826.000 habitantes. ¿Cuál era la población original de la población?

4. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho. El perímetro del dicho rectángulo es39m. ¿Cuál es el área de dicho rectángulo?

5. Se va a fabricar una caja abierta con una trozo de cartón de forma rectangular., paraello se cortan, de las esquinas del trozo de cartón, unos cuadrados, como se y luego sedoblan las pestañas (ver figura 1.) y se pegan formando la caja. El área de la base. Elárea de la base es de 96 cm2. ¿Cuál es la altura de la caja?

_____________________________________________________

21 Para este problema, recuerde que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º.

Base de la caja

Doblar por aquí.

Figura 14

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6. En una escalera está recostada en un pared. La parte inferior de la escalera se encuen-tra a 6 metros de la base de la pared. Se sabe que el extremo superior, tiene una sepa-ración de la base de la pared de 2 metros adicionales. ¿Cuál es la longitud de la escale-ra?.

7. Una escalera de 10 metros de longitud se encuentra recostada contra una pared. Laparte inferior de dicha escalera se encuentra a 6 metros de la base de la pared. Si laescalera se resbala y se separa 3 metros más, a qué distancia del piso estará ahora laparte superior de la escalera?




1-3

4-5

4-5

8-9

Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones ypropiedades de los números naturales y sus operaciones

Resolver y formular problemas aditivos de composición, transformación, comparación eigualación

Construir ecuaciones e inecuaciones aritméticas como representación de las relacionesentre datos numéricos.

Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada


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Unidad No.3

La proporcionalidad directa e inversaa partir de la modelación de situaciones de variación

Introducción

La importancia de la proporcionalidad en los procesos escolares es ampliamente recono-cida. No solo es la base para el desarrollo de conceptos centrales en las matemáticas, sinoque el tratamiento de la misma es la base para otras ciencias, y sobre todo, para enfrentarmuchas de las situaciones que se presentan en la vida diaria.

Con respecto a las matemáticas, al estar en la base de los procesos y procedimientos pro-pios de las estructuras multiplicativas, se ha llegado a plantear que son la piedra angularde las matemáticas superiores, y la cúspide del desarrollo de las matemáticas elementales(Lesh y otros, 1988). En este sentido, la proporcionalidad se asume como un conceptoaltamente estructurante que, a partir del estudio de los procesos de variación y cambio,permiten conceptualizar aspectos relativos a lo numérico y lo variacional: dado que através del estudio de situaciones que impliquen la proporcionalidad se ponen en correla-ción dos o más variables, entonces se conceptualiza la proporcionalidad tanto en relacióncon la aritmética, como en relación con el concepto de función.

Con respecto a otras ciencias, como por ejemplo en la física o en la química, los conceptosy procedimientos propios de la proporcionalidad se ponen en la base de la comprensiónde la mayoría de los conceptos de dichas ciencias. En particular, la proporcionalidad di-recta es la base para la comprensión de conceptos básicos en física como velocidad yaceleración, o en la química, de conceptos relativos a las concentraciones o al balanceode ecuaciones. En general, los conceptos de éste tipo de ciencias, en tanto que se basanen la correlación entre dos o más magnitudes, están en estrecha relación, no solo con laproporcionalidad directa, sino en general, con otros tipos de variaciones, e incluso aque-llas que no son lineales.

En la vida diaria, son muy comunes las situaciones cuya matematización se hace a travésdel concepto proporcionalidad, fundamentalmente la directa: la lectura e interpretaciónde mapas y maquetas a escala, los cálculos al comprar para determinar el producto máseconómico, el comportamiento de las cuentas de cobro de los servicios públicos, etc.Aunque se reconoce que los procesos ligados a la proporcionalidad directa son comunesen la vida diaria, también se debe resaltar que los fenómenos y situaciones que implicanvariaciones no lineales son de alta frecuencia: el comportamiento de los intereses en un

Gilberto de Jesús Obando ZapataOlga Emilia Botero Hernández


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préstamo bancario o una cuenta de ahorros que se liquida diariamente, el crecimiento deplantas y personas, la expansión del sonido en el aire, etc. Así pues, no solo la proporcio-nalidad directa es importante, y por ende de las variaciones lineales positivas, sino que,en general, una comprensión del sentido y significado de otras formas de variación, sonfundamentales para una relación más armónica con los demás y con el medio que nosrodea.

Como se mostró en el módulo 1 (Pensamiento numérico y sistemas numéricos), los proce-sos de enseñanza que actualmente se tienen en la escuela para la enseñanza de la propor-cionalidad, hacen que su conceptualización sea muy restringida, ya que este eje concep-tual es estudiado al margen de la multiplicación y es limitado a solo dos tipos de propor-cionalidad (directa e inversa). Lo anterior en tanto la multiplicación se conceptualiza úni-camente como una relación ternaria (forma abreviada de expresar una suma de sumandosiguales), mientras que la proporcionalidad (bien sea directa o inversa), se reduce al estu-dio de la regla de tres (directa o inversa, respectivamente). De esta forma se argumentóque este tipo de procesos escolares son fuente de muchas dificultades en la comprensiónque los alumnos pueden lograr de ambos ejes conceptuales. En contraste a esta forma decomprender la multiplicación y proporcionalidad directa, en dicho documento se mostróque tanto la multiplicación como la proporcionalidad directa no son ejes conceptualesdiferentes, sino que por el contrario, todas las situaciones típicas de multiplicación son ensi mismas situaciones de proporcionalidad directa. Dicho de otra manera, multiplicación yproporcionalidad directa son parte de un mismo eje conceptual, y si se quiere, se podríadecir que las situaciones más simples de proporcionalidad directa son las que actualmen-te identificamos como situaciones típicas de multiplicación y/o división.

En este capítulo se retoman las anteriores ideas sobre la proporcionalidad directa, y seamplia el campo de análisis hacia otros tipos de proporcionalidades, al igual que su rela-ción con el concepto de función. Diferentes estudios han mostrado como la proporcionali-dad y las funciones tienen relaciones muy cercanas. En particular, las relaciones entreproporcionalidad directa y la función lineal han estado en el centro de interés por muchotiempo. Autores como Verschaffel y otros (2003, 2005). muestran como el principio de lalinealidad en la relación entre dos magnitudes que covarían de acuerdo a una ley de laforma OJO tiene en su base los principios básicos de la proporcionalidad directa, y por lotanto, en las comprensiones iniciales de la multiplicación y la división. Sin embargo estosautores muestran como los estudiantes tienden a sobregeneralizar las relaciones delinealidad (propias de las situaciones de proporcionalidad directa) a todo tipo de situacio-nes en las que se correlacionen dos o más variables a partir de algún principio, así esteprincipio de correlación no sea lineal22 . La tendencia de los alumnos a sobregeneralizar elprincipio de la linealidad muestra claramente un problema serio en su conceptualización,y por ende en lo relativo al razonamiento proporcional mismo.

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22 Una forma evidente de esta tendencia de sobregeneralización se manifiesta en propensión de los alumnos de resolver cualquierproblema de proporcionalidad (sin importar si es directa o inversa, o de otro tipo no lineal) utilizando al regla de tres. Dicho de otraforma, la utilización de la regla de tres de forma indiscriminada, incluso en aquellas situaciones no lineales, en donde este principiono tiene aplicación.

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La proporcionalidad directa e inversa...

Entre las causas que se han mostrado para que se de este uso inapropiado de la linealidadse destacan razones asociadas al tratamiento intuitivo de la proporcionalidad en los pri-meros años de la educación básica23 , y al tratamiento didáctico de las situaciones queimplican proporcionalidad directa, que por su importancia y relación con múltiples tópi-cos de las matemáticas, saturan el trabajo de los alumnos, tanto en el aula de clase comoa partir de los textos escolares sin dejar espacio para el estudio de otros tipos de situacio-nes que no sean lineales. Adicionalmente las investigaciones de estos autores han mos-trado que la sobregeneralización de la linealidad disminuye cuando los estudiantes sonsometidos a sesiones de trabajo en las que trabajan a partir de diferentes tipos de repre-sentaciones y de situaciones, que les permiten identificar las relaciones básicas de lalinealidad de otros tipos de relaciones que no son lineales.

Así pues, en este capítulo se mostrará como el concepto de proporcionalidad no solo tieneen la multiplicación su punto de inicio, sino que el estudio de las funciones puede ser unabase fundamental para el tratamiento de diferentes tipos de proporcionalidades, ya queen la medida que el tratamiento de la proporcionalidad se haga desde la base de lamatematización de diferentes fenómenos, entonces ésta y las funciones se consolidan comopartes de un mismo proceso. En general es buscará:

a. Proponer algunas reflexiones entorno a procesos que permitan potenciar la transfor-mación cualitativa de los razonamientos aditivos a los razonamientos multiplicativos24 ,como base para la construcción del razonamiento proporcional.

b. Comprender como se establecen las relaciones de continuidad entre los conceptos pro-pios de la proporcionalidad y las relaciones lineales y no lineales, como base para elestudio de diferentes tipos de funciones, y por supuesto, de proporcionalidades.

Multiplicación, razonamiento proporcional y proporcionalidad simple directa

Desde una perspectiva Piagetiana, el razonamiento proporcional es indicador de las ope-raciones formales del pensamiento, e implica el tratamiento consistente de relaciones decovariación entre variables. En este sentido, se tiene como punto de partida los procesosde pensamiento que relacionan dos variables a partir de esquemas de acción, hasta elreconocimientos sistemático de los patrones de variación en una (o varias) de las varia-bles con respecto a los patrones de variación de la (o las) otra (s) variable (s) (Hines yMcMahon, citando a Piaget e Inhelder, 1958). Este tipo de análisis los lleva a proponerque el razonamiento proporcional está en estrecha relación con relaciones multiplicativasantes que con relaciones aditivas25 .

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23 Debido de un lado, a que las reglas básicas y elementales que cumplen las situaciones de proporcionalidad directa son objeto deestudio básicamente desde una perspectiva aritmética, sin referencia clara a los principios funcionales que deben cumplir (lorelativo a la linealidad)

24 Para ello se propone el estudio de situaciones que implique análisis de correlaciones simultáneas de varios espacios de medida, ypor ende, la construcción del concepto de proporcionalidad (tanto directa como inversa, simple como múltiple).

25 Desde el punto de vista cognitivo, las relaciones aditivas se identifican con el conjunto de procesos que permite el tratamientosecuencial de las variaciones posibles en una determinada clase (seriaciones, comparaciones, etc.) mientras que las relacionesmultiplicativas están determinadas por los procesos que permiten el tratamiento simultáneo de la variación de diferentes clasescorrelacionadas entre sí (clasificación de acuerdo a varios criterios, dependencia funcional entre variables, etc.).


2

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De esta manera, el razonamiento proporcional implica una estrecha relación con la com-prensión de conceptos fundamentales de las matemáticas en relación con lo que Vergnaud(1983, 1988, 1991, 1993a y 1993b) ha llamado el campo conceptual de las estructurasmultiplicativas. Esto es, el razonamiento proporcional tiene sus bases en conceptos talescomo: multiplicación, división, razón, proporción, proporcionalidad, función lineal, fun-ción n-lineal, etc., (ver módulo 1, Pensamiento numérico y sistemas numéricos, para másdetalles).

Así pues, dado que el razonamiento proporcional está estrechamente relacionado conaspectos conceptuales claves de la matemática actual, autores como Lesh y otros (1998,2003) han formulado que el desarrollo del mismo se constituye en la piedra angular delpensamiento matemático avanzado, y la cúspide del desarrollo de los conceptos de lamatemática elemental. La situación privilegiada de dicha forma de razonamiento ha he-cho que los procesos relativos a su construcción, desde el punto de vista del desarrollocognitivo (como se estructuran los procesos de razonamiento de las personas en diferen-tes tipos de contextos y situaciones), y desde el punto de vista de los procesos de aprendi-zaje (qué factores del desarrollo o de la instrucción favorecen los procesos escolares) seanel centro de innumerables investigaciones. Lesh y otros (1998, 2003) identifican cincofases en el proceso de construcción de este tipo de razonamientos, algunas de las cualesse pueden identificar con los niveles anteriormente descritos. A saber,

Fase 1: El estudiante, ante una situación problema, centra su atención en una parte de lainformación relevante del problema, es decir, solo considera una variable a la vez, y por lotanto, su análisis de la situación es parcial.

Fase 2: Se identifican las variables del problema, y su correlación, pero esta se establecede manera cualitativa, de tal forma que situaciones que impliquen tratamientos numéri-cos quedan por fuera del alcance de las posibilidades de solución. Este tipo de análisis sonimportantes pues dan herramientas de control sobre los procesos cuantitativos propiosde la fase siguiente.

Fase 3: Esta fase se caracteriza por el uso de estrategias centradas en el reconocimientode patrones de correlación entre las cantidades, pero desde una perspectiva aditiva, masque multiplicativa. En esta fase se utilizan reglas que permiten comparar, incrementar,decrecer, o hacer relaciones parte todo.

Fase 4: En esta fase se reconocen estructuras y relaciones que coordinan la variación dedos cantidades, fundamentalmente a partir de estrategias de reconocimiento de coordi-nación de regularidades crecientes y decrecientes (como se mostrará más adelante, fun-damentalmente se trata de análisis escalares).

Fase 5: Esta fase se fundamenta en la comprensión de la relación de proporcionalidadpropiamente dicha a partir del establecimiento de la constante de proporcionalidad comouna razón que relaciona cualquier par de valores correspondientes a cada uno de lascantidades que se comparan.

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A manera de síntesis se puede entonces plantear que en el análisis de un fenómeno osituación que implique razonamiento proporcional, se deben considerar los efectos de laocurrencia simultánea de dos o más características, a diferencia de los procesos aditivos,en los que se consideran los efectos de una clase a la vez. Las acciones mentales queconstituyen los fundamentos cognitivos de las operaciones multiplicativas, se presentanen el paso de las consideraciones cualitativas a las numéricas. Así, por ejemplo, en el casode la representación más simple de la multiplicación, la suma de sumandos iguales, es-conde una correspondencia de uno a varios:

1 x2 x + x = 2x3 x + x + x = 3x. . .

Igualmente, se muestra una línea de continuidad desde la multiplicación hasta la propor-cionalidad, la cual pasa por el desarrollo del pensamiento proporcional, que puede carac-terizarse como una forma de razonamiento matemático que involucra el sentido decovariación y comparaciones múltiples, y la habilidad para almacenar y procesar mental-mente distintos tipos de información (Lesh y otros 1988). El razonamiento proporcionalestá estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra tanto métodosde razonamiento cualitativo como cuantitativo.

Este tipo de razonamiento implica establecer relaciones entre relaciones (relaciones desegundo orden), y al involucrar la covariación26 , está estrechamente relacionado con lasnociones de variable y variación. Esto hace que el razonamiento proporcional se constitu-ya en la cúspide del desarrollo del pensamiento aritmético, y en la puerta de entrada alpensamiento algebraico. Esto se pone en evidencia en tanto que a través del razonamien-to proporcional se pueden modelar situaciones que involucran distintos niveles de la igual-dad27, distintos niveles de las variables28 y transformaciones e invariantes29(Lesh y otros1988). Las situaciones que en general implican razonamiento proporcional son aquellasen las que se encuentran productos, razones, y proporciones, tales como: equivalenciaentre fracciones, porcentajes, conversión de medidas, velocidades, razones de cambio,funciones, etc.

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26 En sentido estricto, la covariación implica que dos o más variables están relacionadas de tal forma que el cambio en una o algunas,determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelofuncional, entonces se dice que las variables están correlacionadas. En los análisis estadísticos que parten de tablas de datos queexpresan la relación cuantitativa entre dos o más variables, primeramente se determina si existe covariación, generalmente a travésde analizar la gráfica cartesiana de la nube de puntos que representan las relaciones entre los datos, y después, se realizan losrespectivos análisis de regresión, que no son otra cosa que determinar si existe un modelo funcional que se ajuste a los datosexperimentales. El factor de correlación determina el grado de ajuste del modelo funcional a los datos.

27 Esto es, la igualdad como equivalencia entre números o razones entre números, la equivalencia entre expresiones que involucrannúmeros y unidades de medida, equivalencia entre expresiones que involucran relaciones y/o operaciones entre números yunidades de medida y equivalencia entre ecuaciones.

28 Las letras que se utilicen al modelar una determinada situación pueden significar incógnita, número generalizado o variable.29 Al involucrar relaciones de segundo orden, se puede ver como ciertas características permanecen invariantes en una determinada

situación, cuando las variables recorren su campo de valores.


2

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De las situaciones aditivas a las multiplicativas (¡o a la proporcionalidad!)

El caso más simple de situación multiplicativa, como se indicó en el módulo 1, se puederepresentar por una relación cuaternaria como la siguiente:

)n(fn)(f

EE

⎯→⎯⎯→⎯ 11

21

En este tipo de problemas, el cual es conocido como “isomorfismo de medida”, se puedepresentar un tipo de problema de multiplicación y dos de división.

La multiplicación en el isomorfismo de medidas

Para el caso de la multiplicación se tiene que la relación f(n)=n x f(1) se puede obtener pordos vías diferentes: a partir del análisis escalar o del análisis funcional.

En el primero, el análisis por escalar, la multiplicación por n es el resultado de analizarcomo la variación en uno de los espacios, determina los valores posibles en el otro espacio(en cierta forma, las llamadas tablas de multiplicar tienen su origen en una mirada de lamultiplicación como un problema de variación conjunta de dos espacios de medida). Estetipo de análisis pone en relación las variaciones en uno de los espacios de medida conrespecto a las variaciones en el otro. O dicho de otra forma, cambios en un espacio demedida, generan cambios simétricos en el otro espacio de medida.

Esto es, en un problema típico de multiplicación, al valor de la unidad en un espacio demedida (E1), se corresponde con un valor k en el otro espacio de medida (E2). De esaforma, si en el espacio E1 el valor de unidad se itera 2, 3, …, n-veces, entonces el valor k enel espacio E2 se itera esta misma cantidad de veces, de tal forma que a 2 veces la unidadse le corresponde 2 veces el valor de k, a 3 veces la unidad se le corresponde 3 veces elvalor de k, y así sucesivamente.

n- veces

2- veces

3- veces

E1 E2

2- veces

3- vecesn- veces

1 f (1)= k2 f (2)= 2k3 f (3)= 3k

9 f (9)= 9k

......

......

n f (n)= nk

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En general, dados cualquier par de valores en uno de los dos espacios de medida, enton-ces la relación multiplicativa que cumplan este par de valores también la cumplen la pare-ja de valores correspondiente en el otro espacio de medida. Por ejemplo, en la gráficaanterior 3 y 9, en el espacio de medida E1 cumplen la relación de que una de ellas es tresveces la otra (o equivalentemente, la tercera parte), y por lo tanto, los valores correspon-dientes en el otro espacio de medida, es decir f(3) y f(9) cumplen con la misma relaciónmultiplicativa.

Por su parte, el procedimiento funcional, es a través del planteamiento de una relaciónentre los dos espacios de medida, es decir, reconocer que la multiplicación de n por OJO,produce el valor de f(n). Esto es válido en tanto se tiene que para todo par de valorescorrespondientes, uno de cada espacio de medida, se cumplen las siguientes equivalen-

cias: )(f

n)n(f)(f)(f 1

22

11

==== K . Por lo tanto n f(1)= f(n)(estos es, se reconoce a f(1) como el

valor de la constante de proporcionalidad).

En este tipo de análisis es necesario considerar las unidades de las cantidades de cadaespacio de medida, pues el cociente no se hace solo con los números, sino con las unida-des también.

Los dos tipos de análisis antes propuesto se pueden ver a través del siguiente ejemplo:“una libra de sal cuesta $350, cuanto cuestan 6 libras de sal”.

Análisis escalar:

1 3502 7003 1050

E1 (libras de sal) E2 (pesos)

......

6 X

Nótese como el valor de las 6 libras puede ser calculado duplicando el valor de tres libras,triplicando el valor de dos libras, o incluso repitiendo el valor de 6 libras. Dependiendo delgrado de conceptualización alcanzado por los niños (de acuerdo a las fases descritas en lasección anterior), se pueden seguir procedimientos aditivos (por ejemplo, dado que6 libras = 3 libras + 3 libras, entonces el valor de 6 libras es $ 1050 + $ 1050), loscuales son típicos de la fase 3; o procedimientos multiplicativos, típicos en la fase 4 (como6 es el triple de 2, entonces el valor de 6 libras será el triple de 700, es decir,6 libras = 2 libras × 3, entonces, el precio de las 6 libras será $ 700 × 3 = $ 2100).Nótese que como las operaciones se hacen al interior de cada espacio de medida, de losdos factores de la multiplicación, uno no tiene unidades, pues es un parámetro que indicalas veces que se repite una determinada cantidad –la cual si tiene unidades (de pesos o delibras de sal según el caso).


2

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Análisis funcional:

En este caso, se debe reconocer la equivalencia:

librapesos

librasX

libraspesos

libraspesos

librapesos 350

631050

2700

1350

===== K

Y por lo tanto,

libraslibrapesosX 6350 ×= de donde se deduce que X=2100 pesos

Nótese que el análisis funcional implica un tratamiento más cuidadoso de las unidades del350, pues como se verá más adelante, este valor es la constante de proporcionalidad, lacual, al establecer una razón constante que determina la dependencia funcional de unespacio de medida con respecto al otro, expresa la cantidad de unidades que se debentener en uno de los espacios, por cada unidad tomada en el otro. En este caso, el 350significa que por cada 350 pesos, se adquiere una libra de sal. Típicamente en la escuelatan solo se centra la mirada en la operación aritmética, y se piensa que en la multiplica-ción 350 × 6, la primera cantidad significa pesos –el valor de una libra de sal, y que el 6significa la cantidad de libras (tal como se expresa en el enunciado verbal). Si ese fuera elsignificado se estaría realizando una multiplicación sin mucho sentido a la luz de la situa-ción que se pretende resolver: X= 350 pesos x 6 libras= 2100 pesos x libra.

La división en el isomorfismo de medidas

Como se expresó antes, se pueden tener dos tipos de división, la primera cuando el pro-blema pide calcular el valor de una unidad, es decir el valor de f(1), suponiendo conocidoslos valores de n y f(n), y la segunda, cuándo se solicita encontrar la cantidad de unidadesque se corresponden con un valor dado de f(n), es decir, calcular el valor de n, bajo elsupuesto que se conocen los valores de f(1) y f(n). Los esquemas de ambos tipos de divi-sión serían:

Caso 2:1 f (1)

x= n f (n)

E1 E2

Caso 1:1 x = f(1)

n f (n)

E1 E2

Un ejemplo típico del primer caso sería: “una marca de azúcar vende el producto en em-paques de 5 libras, el cual cuesta $ 4500. ¿Cuál es el precio de una libra?”. Por su parte, unejemplo para el segundo caso sería: “Una libra de azúcar de una marca determinadacuesta $900. ¿Cuántas libras de azúcar se pueden comprar con $5400?”.

En el primer caso, cuando los números involucrados son números enteros, entonces segenera la división partición (o en palabras del Dr. Vasco, «la división entre»), es decir, unadivisión en la cual una cantidad dada, f(n), debe ser repartida en n de partes iguales, y porlo tanto, el problema consiste en encontrar el tamaño, el valor, de cada una de esas partes.

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_____________________________________________________

30 En estas situaciones es posible encontrar procesos de solución que no requieran explícitamente de realizar la división, como porejemplo, una repartición en n grupos, pero colocando una a una las unidades en cada grupo. Por esta razón este tipo de divisionesse identifican con las reparticiones en partes iguales.

31 Es de anotar que desde este tipo de procedimientos se puede llegar a un antiguo algoritmo para realizar la división que consistía enrestar sucesivamente el divisor del dividendo. El resultado era la cantidad de veces que se podía hacer dicha sustracción.

En general, la solución de este tipo de situaciones requiere del reconocimiento de la rela-ción escalar, ya que al saber que f(n) es el resultado de tener n veces f(1), entonces sepuede comprender por qué la repartición de f(n) en n partes iguales produce el valor def(1)30. Adicionalmente, esta acción permite comprender que la división que se debe reali-zar es la operación inversa de la multiplicación.

En efecto, tomando la situación de las libras de sal antes descrita, ahora se trataría deaveriguar cuánto cuesta una libra de sal, si se sabe que 4 libras cuestan $ 1400.

( )( ) ( )↑÷=⎯→⎯

=⎯→⎯↑÷↓× 4

140044

1121

44)(f

)(fxEE

Para solucionar esta situación primero se debe reconocer que el operador escalar x 4transforma una libra en cuatro libras, y que por tanto, al dividir, al repartir, $ 1000 encuatro partes iguales se obtiene el valor de una libra (esta repartición se puede hacer obien haciendo la división, o bien, distribuyendo los $1000 en cuatro grupos, por ejemplo,primero de $100 en $100, y luego lo que sobre, de $50 en $50).

En el segundo tipo de división se conoce el valor de la unidad, y por tanto, se debe calcu-lar cuántas unidades se pueden obtener con una cantidad determinada f(n). Si los núme-ros involucrados son enteros, entonces se genera la división repartición (o como el Dr.Vasco la llama, «la división diá»), en la cual se trata de saber cuántos grupos se puedenformar con una determinada cantidad, una vez conocido el valor de cada grupo (el valorde la unidad).

Al igual que el caso anterior, para este tipo de situaciones también es posible encontrarprocedimientos que no requieran de la división, como es el caso de una extracción repeti-da del valor de cada grupo, de la cantidad total31 , donde el resultado es la cantidad deveces que se puede realizar la extracción.

Regresando al problema de las libras de sal, la situación ahora podría ser la de calcularcuántas libras de sal se pueden comprar con $1400 si se sabe que una libra cuesta $ 350.

⎯⎯⎯ ⎯←=⎯→⎯=⎯→⎯

⎯⎯⎯ →⎯

÷

×

librapesos

librapesos

)x(fx$)(f

EE

350

350

140035011

21


2

86

Como ya se dijo antes, se pueden presentar al menos dos soluciones, la más general, queimplica el reconocimiento de la constante de proporcionalidad, esto es, identificar que

librapesos350 , permite, dada cualquier cantidad de libras de sal, encontrar su respectivo precio

total, y por tanto, el proceso inverso, es decir, dividir $ 1400 entre librapesos350 , permitirá ir del

precio total a la cantidad de libras que se pueden comprar con dicho cantidad de dinero:

libraspesospesos

librapesoslibra

pesos 4350

14003501400 ==÷

El segundo tipo de procedimiento, y por supuesto más intuitivo, se fundamenta en la sus-tracción sucesiva de los $350 de la cantidad total de $1400, y por tanto, la cantidad deveces que se pueda sustraer $350 de $1400, es la cantidad de libras de sal (dicho de otraforma, dado que por cada $350 se puede comprar una libra de sal, entonces al sustraerrepetidamente dicha cantidad se puede calcular cuanta sal se puede comprar). Debido ala posibilidad de realizar estos procedimientos intuitivos con este tipo de divisiones, esque se deriva el nombre de división repartición.

En general, y sin importar el tipo de números involucrados, este tipo de divisiones implica

utilizar la relación funcional, pues la equivalencia )(f

x)n(f)(f 1

11

== es clave en el proceso

de solución. Al igual que en el caso anterior, el planteamiento de esta división, permite verrelación entre la división y la multiplicación como operaciones inversas.

Situaciones de multiplicación y división

Observaciones generales

El conjunto de situaciones que se presenta a continuación se fundamente en el uso de lassumas de sumandos iguales, como estrategia para representar la covariación entre dos omás espacios de medida, de tal forma que estas se constituyan en un punto de anclajepara la construcción de las relaciones multiplicativas de base. Esto es, se busca que sobrela base de procedimientos aditivos avanzados (conteos de unidades múltiples: conteos dedos en dos, de tres en tres, etc.) propios de las estructuras aditivas, se puedan avanzar enel reconocimiento de las características propias del razonamiento proporcional: el trata-miento simultáneo de procesos de variación entre dos o mas espacios de medida.

De esta forma, se busca:

1. Que los estudiantes identifiquen la existencia de dos o más espacios de medida, en loscuales, al producir cambios en uno de ellos, generan cambios en los demás. De estamanera se espera que desde los procesos propios de la fase 1 (procesos típicamenteaditivos), avancen hacia procesos relacionados con la fase 2. Dicho de otra forma, en unprimer momento no se espera que los estudiantes identifiquen de manera precisa lacorrelación entre los espacios de medida, sino que identifiquen los espacios de medida,

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y a partir de procesos cualitativos, pueda establecer que entre ellos existe una interde-pendencia.

2. A través de los conteos múltiples se busca establecer formas intuitivas de la correla-ción entre los dos espacios de medida a partir de:

• Correspondencias uno a varios, esto es, al saber que a una unidad de un espacio lecorresponden x unidades en el otro, entonces se puede continuar con la sucesióndos unidades 2x, tres unidades 3x, etc.

nxn

x

xxx

EE

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

MM

MM

66

3322

121

• Correspondencias varios a varios: similar al caso anterior, pero ahora la correspon-dencia se establece entre dos o mas unidades de uno de los espacios, con x unida-des del otro:

naxna

axa

axaaxaaxaEE

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

MM

MM

66

3322

21

• Este trabajo permite iniciar la conceptualización de relaciones escalares entre losespacios de medida, y se fundamenta en una propiedad básica de toda proporciona-lidad directa:

)b(f)a(f)ba(f)c(fbacentonces)b(fby)a(facomo

+=+=⎯→⎯+=⎯→⎯⎯→⎯

Esta es una forma muy natural de entrar al estudio de las tablas de multiplicar, de talforma que a través de actividades centradas en el análisis de correlaciones se puedanentrar a memorizar los hechos numéricos propios del aprendizaje de la multiplicación.Así por ejemplo, en un juego como los bolos, donde cada bolo caído tiene un valor


2

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determinado (por decir, 3 puntos), entonces, al tener el control sobre como a cada can-tidad de bolos caídos se le puede hacer corresponder un determinado puntaje, enton-ces se empieza a tener una forma de cuantificar las correlaciones entre los espacios demedida

nn

TotalPuntajeCaídosBolos

3

186

936231

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

MM

MM

3. Con base en los anteriores procesos, se proponen actividades que permitan favoreceranálisis de tipo funcional, aunque es de notar que no necesariamente se puede hablarde la existencia del concepto de proporcionalidad en el sentido estricto de la palabra,sino de un proceso de comprensión mucho más amplio de la multiplicación que la ligade manera fuerte con la proporcionalidad. En este caso se parte de situaciones en lascuales las relaciones escalares no sean de fácil visualización –como por ejemplo, que elfactor multiplicante entre las cantidades del mismo espacio sea un número racional,pero que en contraste, la relación funcional sea de fácil interpretación –por ejemplo,que en este caso dicha relación se pueda expresar por un número natural.

Como puede verse, los dos últimos ítems buscan que los estudiantes inicien procesospropios de la fase 3 (fundamentalmente) y parcialmente una introducción a elementosbásicos de la fase 4.

En síntesis, las relaciones multiplicativas, expresadas a partir de correlacionar repeticio-nes aditivas, centran el análisis en las relaciones que Vergnaud a definido como relacionesescalares y funcionales, y por ende se profundizan las relaciona multiplicativas de base..

Algunos elementos adicionales en las situaciones son:

a. Un análisis de la situación centrado en las magnitudes involucradas, y sobre todo, enlas relaciones de covariación que correlaciona los dos espacios de medida (una dife-rencia fundamental con la aproximación tradicional a la multiplicación, que centra elanálisis en las cantidades numéricas, sin referencia a la covariación entre magnitudes).

b. Un tratamiento sistemático de diferentes registros de representación, a saber, verbal,gráfico y tabular, a partir de los cuales conceptualizar los procesos de covariación en-tre los espacios de medida involucrados en la situación.

c. Un análisis de las situaciones multiplicativas de base como relaciones cuaternarias, enel sentido de situaciones de proporcionalidad directa, pero centrando la conceptualiza-ción no en la relación numérica entre parejas de valores correspondientes, sino comoya se dijo, a partir del análisis de la variación entre los espacios de medidas con base en

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las repeticiones aditivas. Esto es, se toma como base para estos análisis los conteos conunidades compuestas, y se correlacionan conteos con unidades compuestas en un es-pacio de medida, con conteos de unidades compuestas en el otro espacio de medida.

d. Finalmente, sobre la base de los procesos precedentes, se favorece la matematizaciónde las situaciones a partir de análisis escalares y funcionales para expresar la relaciónentre los dos espacios de medida. Este tipo de trabajo permite analizar casi en simultá-neo situaciones de multiplicación y de división, mostrando su relación de inversa de launa con respecto a la otra. Igualmente, esta parte del trabajo obliga a la construcciónde relaciones básicas entre los números racionales (en su notación de fracción) y lasrazones entre magnitudes que expresan la correlación entre las magnitudes.


JUGUEMOS BOLOS


El conjunto de actividades presentes en esta situación pretende que a partir de realizarconteos simples y conteos múltiples se puedan establecer las correlaciones entre los dosespacios de medida, y por esta vía, correlacionar los cambios al interior de cada uno deellos.

Para lograr lo anterior, la situación propone actividades que hacen cambiar el tamaño delos números: menores que 5 y mayores que 5, al tiempo que hace cambiar el número deincógnitas presentes en la situación: Problemas con una sola incógnita, con dos incógni-tas y con más incógnitas.

La variación del tamaño de los números busca que los estudiantes pasen de estrategiascentradas en el cálculo, a estrategias centradas en el conteo. Es decir, para los estudian-tes se hace más sencillo el conteo repetido de cantidades “pequeñas”, o sea menores quecinco, pues pueden contarlas y operar mentalmente con ellas. Por el contrario, con canti-dades mayores que cinco, se ven obligados a acudir a otras estrategias que pondrán enevidencia sus capacidades de cálculo para adicionar una cantidad a la anterior y obtenerel valor siguiente.

El cambio del número de variables implica la necesidad de tener en cuenta de formasimultánea dos variables o más y reconocer las relaciones existentes entre ellas. Por estavía se obliga al reconocimiento de las variables, y cuantificar los patrones de variación.

La existencia de bolos de diferentes colores, y diferentes valores por color, tiene comofinalidad centrar el análisis en diferentes tipos de conteos, pero relacionando dos espaciosde medida: la cantidad de bolos derribados y el puntaje total. De esta forma se puedentener series como las siguientes:


2

90

MMMMMMMM

MMMMMMMM

MMMMMMMM

nnnnnnnnnnnn

EEEEEEEE

55443322

5051010404101030310102021010

155331243393336233105228422632242225511441133112211

21212121

=×→=×→=×→=×→

=×→=×→=×→=×→

=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→=×→

Estas series, son la base de lo que tradicionalmente hemos llamado las tablas de multipli-car, pero en este caso su conceptualización tiene como punto de partida el correlacionarlos patrones de variación entre dos o más espacios de medida, lo cual dota de sentido lamemorización de estos conocimientos numéricos. Es necesario recalcar que no se tratade aprenderse este conjunto de resultados de memoria, sino de aprenderlos a partir de suuso en diferentes tipos de situaciones multiplicativas que impliquen el análisis ycuantificación de la correlación entre espacios de medida diferentes.

La tabla grupal, al igual que las actividades de reflexión, tienen un papel muy importanteen el desarrollo de la situación.

La tabla permite tener un registro escrito del trabajo realizado en el juego, y es la basepara una reflexión posterior sobre la actividad en la que se puedan analizar las diferentesseries con las que debieron trabajar, y sobre todo, en la que se analicen los diferentesprocedimientos utilizados para hacer las cuentas que exige registrar los puntajes en latabla. Con la ayuda de la tabla se puede ver como se correlacionan la cantidad de bolos decada color, y el puntaje total que se obtiene. De esta forma se centra el análisis tanto en lacantidad que se repite (el valor del bolo) como las veces que dicha cantidad se repite(cantidad de bolos derribados), y de estas dos con el puntaje total.

Por su parte las actividades de reflexión tienen el papel de evaluar el nivel de conceptua-lización alcanzado por los estudiantes a partir del juego y su posterior reflexión de siste-matización. Las situaciones hipotéticas propuestas tienen niveles de complejidad más al-tas que las presentadas en la actividad del juego, pero igualmente, lo realizado en el juegootorga un referente concreto para pensar los problemas propuestos en dichas activida-des32 . Igualmente se proponen actividades sobre multiplicación y división de tal formaque los procesos de conceptualización de la una sirvan como base para conceptualizar laotra. En estas actividades también es importante incentivar diferentes tipos de represen-

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32 En este sentido, si las situaciones se hacen complejas para algunos estudiantes, entonces se puede recurrir al material concreto deljuego para que sirva como base para formular procedimientos de solución.

91


taciones de las situaciones (tal como se estudió en el capítulo 2). Entre las representacio-nes que pueden ser de utilidad se pueden contar: las representaciones gráficas (funda-mentalmente las no icónicas), las representaciones en tabla y las representaciones numé-ricas, sin descartar la posibilidad de escribir ecuaciones sencillas que representen lassituaciones.

En síntesis se puede proponer que en esta situación se presenta la relación multiplicativacorrespondiente al Isomorfismo de medidas, según la cual se establece una correspon-dencia entre dos espacios de medida. De esta forma se espera favorecer los dos tipos deprocedimientos típicos de dicha forma de relación multiplicativa:

Análisis funcionales: Para obtener el puntaje se multiplica el valor de cada bolo(según el color), por el total de bolos derribados de dicho color.

Análisis escalares: Para obtener el puntaje total se repite el valor de cada bolo se-gún el color, tantas veces como bolos se hallan tumbado.

Igualmente en la Actividad 1 se espera que los alumnos pongan en marcha tres estrate-gias de solución:

• Conteo uno a uno de las unidades implicadas en cada uno de los grupos de unidadescompuestas (valor según el color de los bolos), empleando algún tipo de herramienta(dibujo, dedos, movimiento de los dedos, fichas) que les permitan tener presente lacantidad total de las unidades compuestas, a partir del conteo de cada unidad simple.

• Realizar conteos múltiples.

Escritos. Donde cada vez que se toma una unidad compuesta, se escribe la cantidadtotal alcanzada en el segundo espacio de medida.Verbales. En los cuales se realiza el conteo y se retiene en la memoria la cantidadprecedente para enunciar únicamente la siguiente.

• Realizar multiplicaciones, empleando en el segundo espacio de medida, el mismo esca-lar que fue empleado en la transformación del primer espacio de medida (si se tumbanN bolos de un color, entonces se multiplica N por el valor asignado a dicho color debolos).

Para la primera parte de las actividades de reflexión, se espera que el estudiante resuelvasituaciones de respuesta única en las que sea necesario realizar los conteos múltiplessegún el valor de cada bolo para hallar el total de puntos obtenidos (en lo fundamental,análisis escalares), al igual que conociendo el total de puntos, averiguar la cantidad debolos derribados (en este caso, situaciones de división). En la segunda parte de la mismaactividad se espera que encuentre diferentes alternativas de solución para una mismasituación, dependiendo de la combinación que él mismo realice de bolos derribados, puntajetotal y valor de cada bolo.

Por último, para la actividad 2 se espera que los estudiantes realicen conteos con númerosmayores que 5, resolviendo situaciones en las que se obtengan respuestas únicas o paralas que haya diferentes alternativas de solución.


2

92

Actividad 1: Jugando a los bolos – primera parte.

Materiales10 bolos de colores amarillo, verde, azul y rojo, una pelota de caucho y una hoja de registro.

Cómo jugarReúnete con 5 compañeros o compañeras más para formar un equipo que competirá conlos demás equipos del salón.

Organicen los bolos de la siguiente manera:

Cada jugador lanza la pelota, registra en su cuaderno el número de bolos de cada colorque tumbó y levanta los bolos caídos.

Cuando todos los jugadores hayan lanzado deben completar la tabla grupal para el primerturno y luego realizar el segundo, registrar en la tabla, y así sucesivamente.

Ganará el equipo que más puntaje obtenga al final de los tres turnos.Bolos azules dan 2 puntos cada uno.Bolos verdes dan 3 puntos cada uno.Bolos amarillos dan 4 puntos cada uno.Bolos rojos dan 5 puntos cada uno.

Tabla de registro grupal

Puntaje totalBolos rojosderribados

Bolos amari-llos derribados

Bolos verdesderribados

Bolos azulesderribados

Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

Actividades para reflexionar

1. En el equipo de Manuel obtuvieron 12 puntos. Si se sabe que solamente tumbaronbolos azules. ¿Cuántos bolos azules tumbaron? __________________

2. Si Manuela quiere obtener 18 puntos derribando solamente bolos azules. ¿Cuántos debetumbar? _________________

3. ¿Cuál fue el puntaje de Catalina si tumbó 5 bolos verdes únicamente? ___________

4. ¿Cuál fue el puntaje de Claudia si tumbó 4 bolos azules, 3 bolos rojos y 2 bolos verdes?____________

5. En el equipo de Julián, Andrea y Rubén llenaron la siguiente tabla de registro grupal,pero por descuido faltaron algunos datos. Ayúdales a completarla.

93


Completa los puntajes totales del equipo de Andrea.





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

12

15

11

38





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

4

5

3

4

0

2

4

3

0

0

2

4





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

2

5

0 6

19

16

Completa la siguiente tabla de registro del equipo de Rubén.

¿Qué puedes decir de los equipos de Julián, Andrea y Rubén?

Actividad 2: Jugando a los bolos – segunda parte.

Reúnete nuevamente con tus compañeros para jugar a los bolos.

Observa los puntajes que ahora se obtienen con cada color.Bolos azules dan 7 puntos cada uno.Bolos verdes dan 8 puntos cada uno.Bolos amarillos dan 9 puntos cada uno.Bolos rojos dan 10 puntos cada uno.

Tabla de registro grupal





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Puntaje total

El equipo ganador fue: ___________________________


2

94


1. En el equipo de Tatiana obtuvieron 72 puntos. Si se sabe que sólo tumbaron bolos ver-des. ¿Cuántos bolos tumbaron?________

2. Rodrigo quiere obtener 90 puntos pero derribando solamente bolos rojos. ¿Cuántosdebe tumbar? ________

3. ¿Cuál fue el puntaje de Adriana si derribó 6 bolos azules? ________

4. Ayuda al equipo de Isabel a llenar la tabla de registro grupal.





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

2

0

0

0

0

9

1

5

0

074

41

Si el equipo de Andrea hubiera jugado con los puntos que ahora da cada bolo. ¿Cuálhubiera sido el puntaje total? Completa la tabla.





Primer turno

Segundo turno

Tercer turno

Total

4

5

3

4

0

2

4

3

0

0

2

4


JUGUEMOS PARQUÉS


Esta situación tiene como principal objetivo realizar conteos múltiples (inicialmente dedos en dos, pero posteriormente de cantidades mayores), pero ahora se tiene un elementoadicional: los conteos se orientan más a los aspectos relativos de la división, es decir, lasreparticiones, que a la multiplicación en si misma (las repeticiones aditivas).

En líneas generales, los análisis presentados para el caso de la situación anterior siguensiendo válidos. Esto es, el tamaño de los números: conteos de dos en dos, o con otrosvalores, se espera que produzca cambios en las estrategias de trabajo de los alumnos, aligual que la cantidad de incógnitas en la solución.

Adicionalmente, dado que las actividades exigen repartir la cantidad total marcada en losdados (inicialmente en grupos de dos) para determinar la cantidad de casillas que se

95


deben recorrer, entonces si la cantidad marcada por los dados es par o impar (para el casode que cada casilla tiene el valor de dos puntos), o en general, divisible o no por el valor decada casilla, se generan cambios en las estrategias de los estudiantes, y sobre todo, seexige la conceptualización de las reparticiones exactas e inexactas. De esta forma se favo-rece el análisis de conceptos como múltiplos y divisores de las cantidades dadas.

Igualmente, sobre la base de la relación multiplicativa, el isomorfismo de medida permiterelacionar los dos espacios de medida (casillas avanzadas, puntos obtenidos) a partir tan-to de multiplicaciones como de divisiones. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra unaposibilidad de relacionar ambos espacios de medida cuando el valor de cada casilla es de 3.

Casillas avanzadas

1

2

3

4

Puntos obtenidos

3

6

9

12

De esta forma es posible realizar:

• Análisis escalares: en tanto en cada espacio de medidas es posible pasar de una línea aotra mediante la aplicación de un operador escalar (n-veces el número de casillas avan-zadas, n-veces el puntaje total obtenido).

• Análisis funcionales: Casillas avanzadas por cantidad de puntos obtenidos en el dado.Una casilla avanzada corresponde a 3 puntos obtenidos, así es posible establecer elpuntaje necesario para cualquier número de casillas ya que consistiría en multiplicar elnúmero de casillas por el puntaje de una casilla, es decir, por 3.

En la actividad 1 se espera que los estudiantes realicen conteos verbales de 2 en 2 y quelogre descomponer los puntajes obtenidos en los dados en grupos de a 2, teniendo pre-sente que debe tomar una decisión con la unidad sobrante cuando el número es impar:guardarla para el próximo turno, perderla (es decir restar una unidad al número impar,para obtener uno que sea par), o agregarle una unidad a la cantidad obtenida para com-pletar una casilla adicional33 (esto es, agregar una unidad a un número impar para obte-ner el número par). Estas decisiones permiten reflexionar sobre una propiedad básica querelaciona números pares e impares: todo número impar se puede transformar en un nú-mero par agregando o restando una unidad.

El asignarle a cada casilla un valor de 1 y recorrer tantas casillas como indican los dados,daría cuenta de un pensamiento puramente aditivo en el que no es posible aún operar congrupos de unidades.

En las actividades para reflexionar de esta actividad 1, se espera que los estudiantes esténen capacidad de encontrar por una parte el puntaje obtenido conociendo los datos de las

_____________________________________________________

33 En realidad es interesante alentar a los estudiantes a que analicen que pueden hacer con dicha unidad, pero sin decirles lo quedeben hacer.


2

96

casillas recorridas y de los puntos sobrantes y, por otra parte, de encontrar las casillasrecorridas y el puntaje sobrante teniendo el dato de los puntos obtenidos en los dados. Enesta actividad será posible evidenciar el alcance y consolidación de la relación inversaentre la multiplicación y la división, y por ende, de las posibilidades de reversibilidad delpensamiento de los estudiantes, pues en esencia se trata de situaciones que implican ladivisión. Sin embargo, para encontrar los valores faltantes en la tabla se pueden presentarestrategias como las siguientes, algunas de las cuales permiten correlacionar los espaciosde medida a partir de repeticiones aditivas:

(1) dibujar los puntos obtenidos en los dados y encerrarlos de dos en dos para descubrirlas casillas avanzadas,

(2) realizar el conteo (oral o escrito) de dos en dos hasta llegar a la cantidad de puntosrepresentada en los dados, y llevar la cuenta de las veces que se ha iterado el dos. Ypor último,

(3) anticipar el número de veces que estará contenido el 2 en la cantidad determinadapor los dados, a partir de una división.

En contraste a la facilidad que presenta la actividad 1, la actividad 2 presenta mayoresniveles de dificultad, pues el conteo de tres en tres, o incluso de cuatro en cuatro, etc., noes tan familiar para los alumnos, y por tanto, anticipar la cantidad de veces que estarácontenido un número diferente de 2 en otra cantidad, para con ello determinar la cantidadde casillas a recorrer. Esto no será tarea fácil. Por esta razón es de esperar que requieranel uso de ayudas gráficas (realizar las reparticiones de forma gráfica) o corporales (contarcon los dedos) para llevar la cuenta de las veces que está contenido dicho número en lacantidad de puntos determinados por los dados.

Actividad 1: jugando al parqués – parte uno.

MaterialesTablero de parqués común, 4 fichas para cada uno de los 4 jugadores, dados, tabla deregistro individual, guía de trabajo individual.

Cómo jugar• Reúnete con 3 compañeros o compañeras más para formar un equipo para jugar parqués.• Cada uno elige el color de sus fichas. Y se determina quién inicia el juego lanzando un

dado.• Cada jugador debe lanzar los dados y avanzar las casillas indicadas, pero se debe tener

en cuenta que cada casilla vale 2 puntos.

Por ejemplo: si un jugador saca deberá avanzar 3 casillas porque 7 = 2 + 2 +

2 y el equipo deberá acordar qué se hará con el punto sobrante.

• Cada vez que un jugador realice un lanzamiento deberá llenar la siguiente tabla deregistro personal. Agrega nuevas columnas a la tabla, o dibuja tantas tablas como seanecesario.

97



Matías estuvo jugando parqués con sus compañeros y elaboró la siguiente tabla paraconocer las casillas que avanzaría según indicaran los dados en cada lanzamiento. Ayú-dalo a completar la información que le hace falta.

Nombre: Matías Rodríguez

Turno 1

Saqué

Casillas recorridas

Puntos sobrantes

Turno 2 Turno 3 Turno 4 Turno 6 Turno 7

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

2

1

0

3 4

2

1

6

3

1

8 9

4 5

0

La siguiente es la tabla de registro personal que elaboró Manuela Pérez. Como está in-completa, averigua cuántas casillas recorrió en total.

Nombre: Manuela Pérez

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

7 12 4 9 2 5 3 10 8

Total de casillas recorridas por Manuela Pérez durante el juego: _____________

Actividad 2: juguemos parqués – parte dos.

(1) En el grupo de Catalina y Julián estuvieron jugando al parqués y ellos decidieron quecada casilla tiene un valor de 3 puntos. Ayúdale a Julián a completar la tabla de regis-tro individual.

Nombre: Julián Pérez

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

2

0

2

3

1

0

4 5 6

2

2


2

98

(2) Félix elaboró la siguiente tabla de registro individual. Descubre qué valor le dieron acada casilla en ese grupo y completa los espacios que faltan

Nombre: Félix Bustamante

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

2

0

2

8

1

3

12

2

2

5

1

0

3

0

3

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

2

0

2

3

0

3

4

0

4

5

1

0

6

1

1

7

1

2

8 9 10

Reúnete nuevamente con 3 compañeros o compañeras para jugar parqués, pero ahora lacondición es que cada casilla tiene un valor de 5 puntos.

Observa el ejemplo de los primeros lanzamientos de Roberto Jiménez

Nombre: Roberto Jiménez

Explica con tus palabras la forma de completar la tabla cuando cada casilla vale 5 puntos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Completa tu propia tabla de registro personal mientras juegas con tus compañeros/as.Utiliza las que sean necesarias.

Nombre: _________________________________________

Saqué

Casillasrecorridas

Puntossobrantes

99



JUGUEMOS CANICAS


Esta situación recoge todas las discusiones presentadas en las situaciones precedentes,pero en este caso, se da un paso más en el proceso: se proponen correspondencias devarios a varios, pues como se puede ver en la primera actividad, la relación de base es: porcada dos canicas fuera del círculo, se obtienen 5 puntos. De esta forma los conteos múlti-ples se ponen en relación más fuerte con la proporcionalidad directa.

Al igual que con las situaciones anteriores, el tamaño de los números, la cantidad deincógnitas de los diferentes problemas, y los análisis escalares o funcionales son la basepara el desarrollo de diferentes estrategias de trabajo, y por ende, de diferentes formas deconceptualización de la multiplicación en relación con la proporcionalidad.

En la actividad 1 se espera que los estudiantes hallen el cuarto término de una propor-ción, teniendo en cuenta la relación 2 es a 5 (esto es, por cada 2 canicas, se obtienen 5puntos). Esto puede hacerlo mediante la sucesiva separación de grupos de 2 canicas cadauno, para luego asignarle el valor de 5 a cada grupo, y por lo tanto, al determinar cuántosgrupos de 5 unidades se conformaron, contar el 5 tantas veces como grupos se tenga(análisis escalar) o hacer la multiplicación del 5 por la cantidad de grupos (análisis funcional).

En las actividades para reflexionar los estudiantes deberán completar diferentes tablas deregistro, en la primera deben hallar los puntajes correspondientes a dos cantidades dife-rentes de canicas, las cuales están en relación “el doble de”. En la segunda, una de lascantidades no se puede hallar directamente con la relación “doble de”, sino que es nece-sario componer aditivamente las dos cantidades previas para hallar la tercera (uso de lapropiedad aditiva de las relaciones lineales).

En la Actividad 2 se plantea nuevamente el juego de las canicas, pero con una relación deproporcionalidad diferente a la anterior: 3 es a 2. Se espera que al dar cuenta del procesoempleado por ellos para hallar los puntajes cada vez que se desplazan canicas fuera delcírculo, se muestre evidencia de avances en los procesos de representación, y su relacióncon la comprensión de las estructuras de los problemas verbales.

En la Actividad para reflexionar el estudiante deberá descubrir la relación de proporcio-nalidad que se tuvo en cuenta para llenar una tabla determinada de registro. Esto implicauna mayor profundidad en los análisis propuestos con respecto a las relaciones escalaresy los funcionales, y por ende, de la comprensión de la multiplicación como una relación deproporcionalidad directa.

Actividad 1: jugando canicas – parte uno.

Materiales21 canicas, un círculo dibujado en el suelo, un dado, hoja de registro y lápiz.


2

100

Qué hacer

• Reúnete con 5 compañeros o compañeras más para formar un equipo.• Cada equipo dispone de 20 canicas que debe poner sobre una hoja tamaño carta.• Cada jugador debe lanzar una canica hacia las que se encuentran al interior del círculo

dibujado en el suelo, buscando hacer que la mayor cantidad de canicas se desplacenfuera de el.

• Cada vez que desplace 2 canicas fuera de la hoja el jugador obtiene 5 puntos.• Debe anotarse cada jugada en la hoja de registro, incluyendo si queda alguna canica

sobrante, para ser tenida en cuenta al final de los 5 turnos.

Tabla de registro personal

Desplacé

Puntaje

Sobraron

Puntaje total


• Explica en tu cuaderno cómo haces para encontrar el puntaje cuando desplazas 6 cani-cas fuera del círculo.

• Si se sabe que cada vez que se desplazan 2 canicas, se obtienen 5 puntos, completa lasiguiente tabla para conocer el puntaje de Mario al desplazar 8 canicas.

Canicas

2

Puntaje

10

15

Canicas

2

4

8

Puntaje

5

Desplacé

Puntaje

Sobraron

Puntaje total

5

10

1

6

0

3

1

10

1

5

10

1

• Luisa completó la siguiente tabla para saber el puntaje obtenido al desplazar algunascanicas fuera del círculo, pero algunos números se borraron. Ayúdala a completar losnúmeros que faltan.

La siguiente es la tabla de registro de Lucas. Él realizó los cálculos en el primer lanza-miento, pero luego sólo escribió el número de canicas desplazadas. Averigua el puntajeque obtuvo en cada lanzamiento y en total.

101


• A Liliana también debes ayudarla a llenar la tabla de registro. Ella sólo escribió lospuntajes y le faltó escribir las canicas desplazadas en cada lanzamiento.

Desplacé

Puntaje

Sobraron

Puntaje total

5

10

0

6

10

1

3

15

0

20

1

5

10

1

Actividad 1: juguemos canicas – parte dos

Reúnete nuevamente con tus compañeros para jugar canicas.

Ahora la condición es que cada vez que se desplacen 3 canicas fuera del círculo, se obtie-nen 2 puntos.

Tabla de registro personal

Desplacé

Puntaje

Sobraron

Puntaje total

Describe el procedimiento empleado para conocer el puntaje cada vez que se desplazanlas canicas._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Completa la siguiente tabla para conocer el puntaje obtenido al desplazar 12 canicas.

Canicas

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Puntaje

2

2

2

3

3

3

Sobran

0

1

2

0

Completa la siguiente tabla para conocer el puntaje obtenido al desplazar 18 canicas.


2

102

• Una persona que tuvo en un lanzamiento un puntaje de 10, ¿cuántas canicas desplazó?___________

• Si quiero obtener un puntaje de 20, ¿cuántas canicas debo desplazar? ______________

• Si se desplazan 16 canicas, ¿qué puntaje se obtiene? _________

Un grupo diferente de niños también jugó a las canicas pero con una condición diferente.Observa la siguiente tabla y averigua la condición para obtener los puntajes.

Canicas

3

6

12

15

18

Puntaje

2

4

Canicas

6

12

24

Puntaje

2

4

8

Sobran

0

0

0

Canicas

3

6

9

12

Puntaje

2

Canicas

6

7

8

9

10

11

12

Puntaje

2

2

2

3

Sobran

0

1

2

0

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Completa las siguientes tablas teniendo en cuenta la condición que acabas de encontrar.

• Inventa una nueva condición para jugar canicas:______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la condición que inventaste.

103



JUGANDO CON ARENA


Continuando con lo propuesto en las situaciones anteriores, esta situación cuatro buscaprofundizar en el tema de los conteos, pero ahora introduciendo relaciones no enteras(números racionales) a partir de equivalencias entre diferentes unidades de medida. Deesta forma, dependiendo que la relación funcional o la escalar o ambas, sean expresadaspor medio de números racionales se busca hacer cambiar las estrategias de solución delos estudiantes.

La actividad exige establecer relaciones de equivalencia entre n conjunto de unidades demedida, los cuales conforman un sistema no convencional para medir volúmenes. Lasrelaciones son tales que: el vaso A cabe 2 veces en el vaso B y el vaso B cabe 3 veces en elvaso C, por lo tanto el vaso A cabe 6 veces en el vaso C. Igualmente cuando la unidad demedida es el vaso mayor, entonces la relaciones serán fraccionarias.

En la actividad 1 se espera que los estudiantes realicen la manipulación de los vasos y laarena para establecer las equivalencias entre las respectivas capacidades de cada uno deellos. Esta actividad de alguna forma permite una introducción a los números racionales,pues dado que no siempre la relación entre las medidas es entera, entonces se tendrá querecurrir a las fracciones de unidad para expresar las comparaciones (para una mayorclaridad de los números racionales como medida, ver el módulo nro 1 sobre el pensamien-to numérico).

En la actividad 2 se espera que los estudiantes estén en capacidad de emplear las equiva-lencias descubiertas en la actividad 1, para establecer nuevas equivalencias que implicanmayor complejidad. Esto daría cuenta del establecimiento de relaciones multiplicativas, yde mayor control para el uso de las relaciones escalares o funcionales según la situaciónpropuesta.

Actividad 1

MaterialesCuatro clases diferentes de vasos desechables para cada pareja de estudiantes, uno demedia onza, uno de onza, uno de 3 onzas y uno de 7 onzas, marcados con las letras A, B, Cy D, respectivamente.

Canicas

1

2

3

4

5

10

11

12

Puntaje

2

2

2

3

Sobran

0

1

2

0


2

104

Arena y tabla de registro

Qué hacer• Dibujar en el cuaderno los vasos que se les entregan.• Deberán llenar con arena los diferentes vasos y tratar de descubrir cuántos de cada

uno se necesitan para llenar los demás.¿Cuál es el vaso más grande? _________¿Cuál es el vaso más pequeño? ________¿Cuántas veces se debe llenar el vaso A para completar el vaso B?__________

Vaso A cabe ______ veces en el vaso A Vaso C cabe ______ veces en el vaso AVaso A cabe ______ veces en el vaso B Vaso C cabe ______ veces en el vaso BVaso A cabe ______ veces en el vaso C Vaso C cabe ______ veces en el vaso CVaso A cabe ______ veces en el vaso D Vaso C cabe ______ veces en el vaso D

Vaso B cabe ______ veces en el vaso A Vaso D cabe ______ veces en el vaso AVaso B cabe ______ veces en el vaso B Vaso D cabe ______ veces en el vaso BVaso B cabe ______ veces en el vaso C Vaso D cabe ______ veces en el vaso CVaso B cabe ______ veces en el vaso D Vaso D cabe ______ veces en el vaso D

VASOA

VASOB

VASOC

VASOD

VASO AVASO BVASO CVASO D

Después de realizar varios ensayos completar la siguiente tabla de registro:

Actividad 2: para reflexionar

Para hacer una gelatina se emplean 2 vasos D. Si se quiere dar la receta de la gelatina perodiciendo la medida en vasos C. ¿Cuántos vasos C se necesitan?

En un juego de muñecas Catalina se gastó 12 vasos B para servir el jugo. ¿Cuántos vasosD utilizó? ¿Cuántos vasos A son?

La receta de un postre dice lo siguiente:2 vasos D de harina2 vasos C de azúcar8 vasos B de jugo de limón10 vasos A de agua.

Escribe nuevamente la receta del postre pero midiendo los ingredientes con el vaso B.

105


____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Escribe nuevamente la receta del postre pero midiendo los ingredientes con el vaso D.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Un marco conceptual preliminar para comprender laproporcionalidad directa e inversa

En la sección anterior se mostró como la multiplicación es un primer momento en la com-prensión de la proporcionalidad, en particular, la proporcionalidad directa. Esto en tantose inicia un trabajo en la construcción de las relaciones multiplicativas de base (correla-ciones entre varias variables), pero además, se da un primer paso en la conceptualizaciónde correlaciones en las que una variable es directamente proporcional a otra. En estosprimeros pasos los análisis escalares y funcionales son fundamentales en la comprensiónde los diferentes tipos de relaciones multiplicativas, y a su vez éstos se constituyen en labase intuitiva de las comprensiones más formales que toman lugar cuando se avanzahacia aspectos más complejos de la proporcionalidad directa, y por supuesto, cuando seestudian otros tipos de proporcionalidad, como por ejemplo, la inversa, o incluso las pro-porcionalidades compuestas. Así pues, en esta sección se realizará un estudio más formalde las proporcionalidades directas e inversas y se mostrará su relación de continuidadcon la construcción del pensamiento multiplicativo, además de las relaciones directas conel concepto mismo de función.

El estudio de la proporcionalidad directa e inversa tiene su fundamento en un tipo departicular de correlación: aquella en la que el modelo funcional relaciona las variableslinealmente34 . Si el modelo es de dos variables se trata de una correlación lineal (el modelofuncional es una línea recta Y=m•X+b) si es de tres variables entonces se trata de unacorrelación bi-lineal35 (función de la forma: Z=X•Y), si es de cuatro variables entoncespuede presentarse una correlación tri-lineal36 (función de la forma: W=X•Y•Z), o inclusoun modelo más complejo 2-2 lineal (función de la forma W•X=Y•Z)37 , y así sucesivamente.

_____________________________________________________

34 Es importante resaltar que existen muchos tipos de situaciones en las que las variables se correlacionan de forma no lineal, comopor ejemplo, el crecimiento de una población de bacterias a través del tiempo, la forma como actúa un medicamento (por ejemplo,un antibiótico) en nuestro organismo.

35 Relación de una variable a dos variables, como por ejemplo, el caso de la función área, o el movimiento rectilíneo uniforme sinvelocidad inicial.

36 Relación de una variable a tres, como por ejemplo, el caso de la función volumen.37 Relación de dos variables a dos, como por ejemplo en la ley de los gases ideales: PV=rNT, donde P es presión, V es volumen, N es

el número de moléculas, T la temperatura, y r la constante universal de los gases.


2

106

Proporcionalidad directa

De las correlaciones lineales, aquella en la que la correlación es positiva y perfecta (esdecir, una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas, y que por tantotiene por ecuación una expresión de la forma Y=m•X con m un real positivo) es la quedetermina la proporcionalidad simple directa.

Que la correlación sea positiva se expresa en términos de que variaciones en una de lasvariables, genera variaciones en el mismo sentido en la otra variable. Pero este únicocriterio no es suficiente para caracterizar cuando una situación es de proporcionalidaddirecta, y esta es tal vez una de las principales fuentes de dificultad para el tratamiento deeste tipo de situaciones en la escuela: la mayoría de los alumnos aplican la regla de tres atoda situación que implique covariación entre variables, aun incluso en los casos en don-de esta no se pueda aplicar (situaciones de variación entre áreas y longitudes, número deobreros empleados para realizar un cierto trabajo y el tiempo que ellos se tardan, de rela-ción entre velocidades de móviles y el tiempo empleado para recorrer una distancia fija,etc.).

Lo anterior implica que para caracterizar una proporcionalidad directa se debe tener otrocriterio adicional, el cual en última instancia, es el más importante: se trata del criterio dela linealidad. En una situación, la covariación es lineal (y como se dijo en el párrafoanterior, positiva), cuando variaciones en un cierto factor en una de las variables, generanen la otra variable variaciones en el mismo sentido, y en el mismo factor38. Por ejemplo, enlas siguientes dos situaciones, una de ellas podría ser modelada a partir de una proporcio-nalidad directa, mientras que la otra no.

_____________________________________________________

38 Este análisis se presenta a veces muy simplificado en los contextos escolares, por ejemplo a través de frases como: si una variableaumenta o disminuye, entonces la otra también aumenta o disminuye. Detrás de esta sencilla frase se dejan una gran cantidad deproblemas conceptuales: de un lado, existen muchas variaciones que cumplen con este criterio y que no son lineales, y segundo, nose centra la mirada en lo que se deja constante cuando las dos variables cambian, esto es, no se analiza la relación entre los factoresde variación de ambas variables. Esta puede ser quizás una de las razones por las cuales los estudiantes, e incluso, muchos docentes,tratan cualquier tipo de covariación positiva a través de la regla de tres simple directa, como si se tratara de una proporcionalidaddirecta.

Situación uno: Situación dos:

Un rectángulo tiene por dimensiones 6cm de largo y2cm de ancho. Si la longitud del ancho se hace variar(bien sea aumentando su valor o haciéndolo disminuir),mientras que el otro lado se deja constante, ¿en cuántocambia el área cuando la longitud del ancho es 4cm;6cm; 8cm;…; 1cm; 0,5cm; 0,25cm,…?

Cuál fue el factor en que cambió la longitud del anchoen cada caso?

En general, ¿se puede encontrar una expresión mate-mática que permita conocer el valor del área del rectán-gulo dado cualquier valor para el ancho del mismo?

Un triángulo rectángulo equilátero sus catetos mi-den cada uno 2cm. ¿en cuánto cambia el área dedicho triángulo cuando la longitud de los catetos esde 4cm; 6cm; 8cm;…; 1cm; 0,5cm; 0,25cm,…?

Cuál fue el factor en que cambió la longitud del ladoen cada caso?

En general, ¿se puede encontrar una expresión ma-temática que permita conocer el valor del área delrectángulo dado cualquier valor para el ancho delmismo?

107


Situación uno: Situación dos:

El área original del rectángulo es de 12 cm2, por lo tan-to, las variaciones serán como se muestra a continua-ción:

El área original del cuadrado es de 2 cm2, por lo tan-to, las variaciones serán como se muestra a conti-nuación:

Long.Ancho

Valor.Área

Factor cambioAncho

Factorcambio Área

4

6

8

…

1

0,5

0,25

24 cm2

36 cm2

48 cm2

6 cm2

3 cm2

1,5 cm2

Doble

Triple

Cuádruplo

Mitad

Cuarta parte

Octava parte

Doble

Triple

Cuádruplo

Mitad

Cuarta parte

Octava parte

Long.Lado

Valor.Área

Factor cambioLado

Factorcambio Área

4

6

8

…

1

0,5

0,25

8 cm2

18 cm2

32 cm2

0,5 cm2

0,0625cm2

0,0312cm2

Doble

Triple

Cuádruplo

Mitad

Cuarta parte

Octava parte

Cuádruplo

9 veces

16 veces

Cuarta parte

Un 16 avo

Un 64 avo

En este caso, los factores de variación de ambas varia-bles son idénticos, esto es, no solo aumentos o dismi-nuciones en una de las variables produce aumentos odisminuciones en la otra, sino que los factores de lavariación son iguales en ambas variables.

Por el contrario en este caso, sin bien aumentos o dis-minuciones en una de las variables, genera aumentoso disminuciones en la otra variable, los factores devariación de la longitud del cateto y del área son dife-rentes (en general, el factor de cambio del área es igualal cuadrado del factor de cambio del cateto).

Las gráficas cartesianas de ambas situaciones muestran diferencias significativas:

Correlación entre área y longitud del lado

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

Longitud del lado

Valo

rd

el

áre

a

Correlación entre área y longitud del cateto

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10

Longitud del cateto

Valo

rd

el

áre

a

Como se puede ver en los dos ejemplos anteriores, solo el caso de la covariación entre lalongitud del lado del rectángulo y el valor de su área representa una variación directa-mente proporcional. Qué en este caso la representación gráfica sea una línea recta, mien-tras que en el otro no, depende fundamentalmente de la forma como se correlacionan losfactores de variaciones entre las variables: en el primer caso, los factores de variacionesentre las dos variables son iguales, mientras que en el segundo, el área del triángulo varíatiene un factor de variación diferente. Estos patrones de variación expresan en la gráficael comportamiento de la pendiente (lo cual se estudiará con más detalle en el capítulosiguiente), y de ahí, que en el caso de la proporcionalidad directa, la grafica sea una línearecta (pendientes constante, es decir, igual factor de variación de ambas variables). Quepase por el origen tiene que ver con que a una longitud cero, corresponde un área cero.


2

108

Como puede verse, la proporcionalidad simple directa está en estrecha relación con lafunción lineal, y por tanto, cuando se analizan los patrones de variación entre ambas va-riables es necesario verificar la linealidad de las variaciones. Esto es, analizar si cambiosen una de las viables en un cierto factor y genera cambios en ese mismo factor en la otravariable. Como puede verse en el anterior ejemplo, este análisis se puede hacer de mane-ra más fácil y comprensible si se toma como referencia diferentes sistemas de representa-ción, fundamentalmente, la representación en tablas de datos y la representación gráficacartesiana. Igualmente el carácter de linealidad se puede visualizar más fácil cuando si-multáneamente se analizan variaciones no lineales, y se comparan tanto las similitudes ylas diferencias entre los diferentes tipos de proporcionalidad a través de los diferentessistemas de representación.

Así pues, La proporcionalidad simple directa se puede representar o modelar por unafunción lineal tal que:

xkxfx

BA f

⋅=⎯→⎯

⎯→⎯

)(

donde k es la llamada constante de proporcionalidad.

Esta función cumple con las siguientes propiedades:

f(x) + f(y) = f(x+y) Homogeneidad con respecto a la suma

f(λ • x) = λ • f(x) Homogeneidad con respecto al producto

Estas dos propiedades son de gran utilidad en el tratamiento de las situaciones, inclusoson usadas de forma intuitiva en diferentes tipos de procedimientos. Por ejemplo, en unasituación como la siguiente:

Una marca de arroz comercializa su producto en bolsas de 6 libras cada una, la cualcuesta $ 3900. ¿Cuál es el precio de 9 libras, 12 libras, 25 libras ?

Este problema, siguiendo los procedimientos formulados al inicio del capítulo puede serabordado desde un análisis escalar, llenando una tabla como la siguiente:

Cantidad de libras e arroz Precio de las libras de arroz

1

2

3

4

5

6

7

8

6 libras

3 libras (la mitad de 6 libras)

2 libras (la tercera parte de 6 libras)

1 libra la sexta parte de 6 libas )

12 libras (el doble de 6 libas)

9 libras (la suma de 6 libras y 3libras)

15 libras (la suma de 12 libras y 3 libras)

25 libras (el doble de 12 libras más unalibra adicional)

$3900

$1950 (a mitad de $3900)

$1300 (la tercera parte de $3900)

$650 (la sexta parte de $3900)

$7800 (el doble de $3900)

$5850 (La suma del valor de 6 libras y del valor de 3 libras$3900+$1950)

$9750 (La suma del valor de 12 libras y del valor de 3 libras$7800+$1950)

$16250 (el doble de valor de 12 libras más el valor de la libraadicional)

109


Se puede observar como las filas dos, tres, cuatro y cinco se tiene a través de aplicar unfactor muy equitativo a las cantidades iniciales de ambas variables, es más, se trata delmismo factor multiplicación en ambas columnas. En este caso se está aplicando la propie-dad de la homogeneidad con respecto al producto. Esta propiedad garantiza que si doscantidades en el mismo espacio de media son tales que si una es un factor de veces la otra,entonces, las respectivas cantidades correspondientes en el otro espacio de media con-servan ese mismo factor. Esto es si X y Y son tales que, Y= λ•X, entonces, f(Y)= f(λ•X)=λ•f(X). Con λ un real positivo.

Por el contrario para las filas seis y siete, se aplica la propiedad de homogeneidad conrespecto a la suma, puesto que los valores de cada una de estas filas son combinacionesaditivas de los valores de otras filas. En este caso esta propiedad está garantizando quecuando en un espacio de medida, una cantidad es una combinación aditiva de otros valo-res del mismo espacio de medida, entonces, la cantidad correspondiente en el otro espa-cio de medida, es la suma de los valores correspondientes a cada uno de los sumandosque la componen. Esto es, si X, Y y Z, son tres cantidades en un espacio de medidas talesen Z=X+Y, entonces f(Z) = f(X+Y)=f(X) + f(Y).

Finalmente, se puede ver como la fila ocho se obtiene combinando apropiadamente lasdos propiedades anteriores.

Estos procedimientos que implican combinaciones de procedimientos aditivos ymultiplicativos son usados de manera bastante intuitiva por los niños en sus procedimien-tos para resolver situaciones de proporcionalidad directa. Igualmente este tipo de proce-dimientos estuvo en la base de los procesos utilizados en la antigüedad para realizar cál-culos que implicaban la multiplicación. Es el caso, por ejemplo, de los métodos utilizadospor los egipcios o los babilonios para realizar multiplicaciones.

Es claro que se debe tener cuidado con la aplicación de los mismos, puesto que como semostró en los casos anteriores, se trata de propiedades de la linealidad de la proporcióndirecta, y por lo tanto, en otro tipo de proporcionalidad estos principios no pueden seraplicados. Por esta razón es importante el trabajo en simultáneo con diferentes tipos deproporcionalidad de tal manera que se puedan definir con claridad las condiciones dentrode los cuales se pueden aplicar ciertos tipos de propiedades y comprender los fundamen-tos conceptuales de cada proporcionalidad. Por esta vía, se identifican las propiedades decada una de ellas y que por lo tanto, son la base para el desarrollo de los diferentes proce-sos y procedimientos necesarios en el tratamiento de las situaciones que deben enfrentar.

Ahora bien, como se ha expresado en párrafos anteriores el estudio de los problemas deproporcionalidad simple directa a partir de la función lineal que la modela, y de sus pro-piedades, es generalmente pasado por alto en la escuela, y se simplifica su tratamiento apartir del uso de la regla de tres simple directa. En la escuela, este tipo de problemas sepresenta a partir de situaciones que involucran cuatro cantidades, una de las cuales esdesconocida. Por lo tanto en el problema se trata de averiguar el valor desconocido apartir de los otros tres que se conocen. Dado que no se analizan los patrones de variaciónque correlacionan las dos variables, entonces el problema es dado como un problema quese soluciona aritméticamente a partir de la regla de tres. Es más, como este procesoalgorítmico se presenta al margen de los fundamentos que le dan su sentido y significado


2

110

conceptual, su aplicación queda reducida a multiplicar en cruz dos de los valores conoci-dos, y dividir dicho resultado por el otro valor. Este tipo de procedimientos es bien conoci-do por los estudiantes y se aplica a cualquier problema que implique cuatro cantidadesuna de ellas desconocida. Cuando el problema es de proporcionalidad directa, queda bienresuelto. Pero si se trata de otro tipo de proporcionalidad entonces la solución no es apro-piada. Dicho de otra manera, puede suceder que cuando un estudiante resuelve un pro-blema de proporcionalidad directa, a través del uso apropiado de la regla de tres, es por-que adivinó el proceso apropiado y no porque hay comprendido realmente el sentido dela proporcionalidad.

Como se verá a continuación, la regla es un proceso algorítmico que sintetiza los elemen-tos conceptuales y procedimentales que fundamentan la proporcionalidad directa. En estesentido, ella deberá ser vista como resultado de haber estudiado todo lo relativo a la pro-porcionalidad directa, y no como tradicionalmente se hace, el punto de partida para suestudio.

El siguiente diagrama representa un modelo para una situación típica en la cual estásubyacente la proporcionalidad simple directa:

)()(

bfaf

B

baA

→→

su solución pasa bien por un análisis escalar (analizando las relaciones entre las cantida-des del mismo espacio de medida) o por uno funcional (analizando las relaciones entre lascantidades correspondientes de un espacio de medida al otro)39 .

Como se ha mostrado antes, el análisis escalar implica reconocer que si b= λ•a entoncesf(b) = λ•f(a). En este caso λ es un número racional y no tiene unidades40 . A partir de estarelación escalar se puede concluir que, como a=λ•b y f(b)=λ•f(a), entonces, al dividir lasegunda ecuación entre la primera se obtiene que

.)( )( λ==bbf

aaf .Esta última ecuación im-

plica que, para cada par de valores correspondientes entre uno y otro espacio de medida,el cociente entre ellos siempre será igual. El número racional que expresa este cocientees un número real y expresa la constante de proporcionalidad entre los dos espacios demedida, o el inverso multiplícante o de la misma. Dicha constante permite que, conocidouno de los valores en un espacio de medida, se pueda hallar su valor correspondiente enel otro espacio de media, puesto que para cualquier valor en uno de los espacios de medi-da, f(a)=k•a. El reconocimiento de esta relación multiplicativa que relaciona los dos espa-cios de medida es el que permite el análisis funcional. En síntesis, el análisis funcionalimplica reconocer que si a=δ•f(a) entonces b=δ•f(b)41 . En este caso δ, es un número con

_____________________________________________________

39 Lo cual desde ningún punto de vista implica que primero halla que enseñar la función lineal a los alumnos para que puedan resolverproblemas de proporcionalidad directa, sino por el contrario, desde aquí se puede construir una aproximación bastante interesantepara su estudio.

40 Se hace uso de la propiedad general con respecto al producto en las funciones lineales.41 Se hace uso de la definición de función dada antes.

111


unidades 42 pues es el resultado del cociente entre cantidades pertenecientes a espaciosde medida diferentes.

Ahora bien, pero cómo surge la regla de tres como síntesis de las procedimientos antes

anotados? A partir de la ecuación .kb

)b(fa

)a(f== que es el resultado del análisis escalar y

funcional de correlación entre los dos espacios de medida, se puede ver que, si una de lasmagnitudes es desconocida digamos por ejemplo, f(b), entonces haciendo uso de las pro-piedades del álgebra –las cuales se cumplen para las unidades también- se puede probar

que dicha cantidad es equivalente a )b(fa

b)a(f=

⋅ , que no es otra cosa que la multiplica-

ción en cruz para luego despejar la cantidad requerida. Esto no otra cosa que aplicar elprocedimiento de la regla de tres simple directa.

Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad compuesta

El otro caso importante de analizar es el de las correlaciones bilineales. En este caso setrata de situaciones en las cuales la función que la modela es una función de dos variables.Esto es, se trata de una magnitud cuya relación de dependencia variacional se establececon respecto otras dos magnitudes. Para que la correlación sea bilineal, se debe cumplirque la variación de la magnitud con respecto a cada una de las variables que la determi-nan sean lineales. Es el caso, por ejemplo, del área de un rectángulo con respecto a laslongitudes de sus lados. La variación del área con respecto a la longitud de cada uno delos lados independientemente es lineal (es más, es directamente proporcional) si uno deellos permanece constante. Esto quiere decir que si alguno de los dos lados del rectángu-lo aumenta su longitud al doble, al triple, al cuadro o la disminuye a la mitad, a la terceraparte, a la cuarta parte –mientras el otro lado permanece constante-, entonces el áreacambia en esa misma relación. Las siguientes cuatro tablas muestran como se comportalas variaciones del área de un rectángulo cuando su altura toma diferentes valores perodejando la longitud de la base constante (cada tabla representa la situación para un valordiferente de la base):

_____________________________________________________

42 Un caso particular de este tipo de números se da en física o en química al trabajar con factores de conversión para la transforma-ción de unidades.


2

112

La gráfica cartesiana que muestra la relación entre el área y el altura para cada uno losvalores de la base muestra en todos los casos las relaciones lineal. En cada situación, amayor valor de la base, se tienen líneas rectas con mayor grado de inclinación, es decircon mayor pendiente.

Base igual 2 cm Base igual 3 cm Base igual 5 cm Base igual 10 cmAltura Área Altura Área Altura Área Altura Área

1 cm

2 cm

4 cm

6 cm

10 cm

15 cm

2 cm2

4 cm2

8 cm2

12 cm2

20 cm2

30 cm2

1 cm

2 cm

4 cm

6 cm

10 cm

15 cm

3 cm2

6 cm2

12 cm2

18 cm2

30 cm2

45 cm2

1 cm

2 cm

4 cm

6 cm

10 cm

15 cm

5 cm2

10 cm2

20 cm2

30 cm2

50 cm2

57 cm2

1 cm

2 cm

4 cm

6 cm

10 cm

15 cm

10 cm2

20 cm2

40 cm2

60 cm2

100 cm2

150 cm2

Constante deproporcionalidad:

k=2 cm


k=3 cm


k=5 cm


k=10 cm

Relación funcional entrelos dos espacios de

medida:Area= 2•altura







Relación Área vs Altura, para diferentes valores de la Base

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Altura

Áre

a

Área, base 2 cm Área, base 3 cm Área, base 5 cm Área, base 10 cm

Como puede verse, el valor del área depende de los valores de las dos variables –base yaltura- , puesto que para cada valor de la base, se genera un conjunto de valores diferen-tes, a medida que la altura recorre el campo de valores posibles. Así, en primer instancia,una expresión simbólica que relaciona el área con el valor de la altura puede ser escrita dela siguiente forma: Area = pendiente • altura. Pero como cada valor de la pendiente repre-

113


_____________________________________________________

43 Es el caso por ejemplo del uso de las variables en los lenguajes de programación en donde perfectamente una variable puede serrepresentada por un nombre, por una palabra que designa un objeto.

senta un valor diferente de la base, entonces, en general, la relación funcional quecorrelaciona el área con los valores de sus dos lados puede ser escrita en la siguienteforma: Area = base • altura(se trata de la fórmula comúnmente conocida, pero ahora ana-lizada desde una perspectiva variacional, como función de dos variables).

En el ejemplo anterior, de manera intencional se han utilizado palabras para representarlas variables. Esto con el fin de llamar la atención sobre un aspecto fundamental cuandose trata de trabajar con las representaciones simbólicas. Si bien es cierto que tradicional-mente se ha asumido la representación de las variables por letras (generalmente x, y o z),es sólo un asunto de convención, y en una situación cualquiera se pueden usar palabraspara representar las variables43 . Con esto se quiere llamar la atención sobre el hecho quelo importante no es el como se representen las variables (esto es, la forma), sino el tipo decorrelación funcional entre ellas, y por supuesto, los tipos de operaciones que se debenrealizar entre ellas para expresar dichas correlaciones.

En general y utilizando una notación más concreta, se puede plantear que la función querelaciona el área con la longitud de los lados es: z= A(x,y) = x•y donde x e y representanrespectivamente las longitudes del largo y del ancho del mismo, y el eje coordenado zrepresenta el valor del área del rectángulo. Esta función de dos variables es conocida: lasilla de montar, cuya gráfica se puede ver a continuación, para el caso en que x e y tomanambos valores variables y positivos (esto en tanto los valores de las longitudes de los ladossiempre son cantidades positivas). Cada punto de la superficie, de coordenadas(x, y, A(x, y)) representa el valor del área específica para un par de valores de x e y. Lasuperficie en su totalidad representa el área de todos los rectángulos posibles, con susrespectivos valores de cada uno de los lados.


2

114

En general, la función que modela tipo de situaciones de variación colineal z= f(x,y) =k•x•y, donde k es una constante (la constante de proporcionalidad). En estos casos seanaliza el comportamiento de la variable z en función del cambio de las variables x e y(bien sea cada una por separado, o de manera simultánea). Esto es, se analiza el compor-tamiento de una magnitud o cantidad que depende de manera simultánea de otras dos.Por lo tanto la magnitud z es directamente proporcional con cada una de las magnitudes xo y, cuando una de ellas es considerada como constante, pero cuando las dos magnitudesvarían libremente, entonces la magnitud z es directamente proporcional al producto delos valores de ambas variables. Simbólicamente, estas relaciones de proporcionalidad sepuede expresar como sigue:

Relación 1: Si x’= α • x, entonces:f(x’, y) = f(α•x,y)= k • α • x • y = α • f(x,y)

Situación similar se presentaría con respecto a la variable y:

Relacion 2: Si y’= λ • y, entonces:f(x, y’) = f(x,λ • y)= k • x • λ • y = λ • k • x • y =λ • f(x,y)

este par de relaciones expresan que si una en las variables cambia en un cierto factor,entonces el valor de la función cambia en ese mismo factor.

Pero cuando la variación de la función es con respecto a las dos variables de manerasimultánea, los dos análisis anteriores se sintetizan en el siguiente conjunto de relaciones:

Relación 3: Si x’= α • x ∧ , y’= λ • y, entonces:f(x’, y’) = f(α • x, λ • y)= k • α • x • λ • y = α •λ • k • x • y =α •λ • f(x,y)

de donde se concluye que f(x’, y’) = φ • f(x,y), con φ = α •λ

en este caso la interpretaciones es similar: cuando las dos variables de la función cambiacada una en un respectivo factor entonces el valor de la función cambia en relación con elproducto de los factores de variación de las dos variables.

Nótese que α (factor de variación de una de las variables:

α

), λ (factor de variación de

la otra variable: yy

=λ ) y φ (factor de variación de la función:

λ⋅α===φ)y,x(f´)y´,x(f

zz

) expresan

relaciones entre cantidades, mientras que x, x’, y, y’, z= f(x,y) y z’= f(x’,y’), representanlos valores de las magnitudes que se correlacionan. Por lo tanto los problemas que sepueden plantear son fundamentalmente de tres tipos: dadas cinco cualquiera de las can-tidades hallar la otra (proporcionalidad compuesta, que relaciona tres espacios de medi-da); dadas dos de las relaciones hallar la relación faltante, y dadas dos relaciones y doscantidades hallar la relación faltante y las otras cantidades. Generalmente en las situacio-nes escolares sólo se proponen situaciones de proporcionalidad compuesta, los cuales

115


son analizados de manera muy similar al tratamiento propuesto para la regla de tres sim-ple directa, y por supuesto, sin analizar las relaciones de variación entre las variables.

Los problemas que conducen a la proporcionalidad compuesta pueden ser representadosasí:

)','(''),(

bafbabafba

CBA

o

)','('),(

'

bafabafa

bb

La relación 3 analizada anteriormente es el teorema escondido que permitiría explicar eltratamiento tradicional de la proporcionalidad compuesta, en el cual unas cantidades semultiplican en cruz, y otras se multiplican en línea recta, a partir de un proceso mecánicode poner cruces y rayas encima de algunas de las variables. Por ejemplo, si se supone quela cantidad desconocida fuera b’, entonces, el procedimiento sería el siguiente:

)x´,a(fxa)b,a(fba

CBA+−

puesto que A es inversamente proporcional con respecto a B y C es directamente propor-cional con respecto a B. por lo tanto los productos: a’ • x • f(a,b) y a • b • f(a’,x) son iguales.

Por lo tanto:

)b,a(fa

)x´,a(fbax⋅⋅⋅

=

. Indudablemente cuando éstas reglas son aplicada de manera

mecánica sin una comprensión de los factores de variación que están implicados, enton-ces las probabilidades de fracasar en la solución del problema son muy altas. Por el con-trario, el uso de la relación tres antes analizada, permite plantear la solución del problemade una manera mucho más sencilla y directa. Como se sabe que la magnitud C es directa-mente proporcional a las otras dos magnitudes entonces: f(a,b) = k•a•b y f(a’,x)=k•a’•x.

Al dividir ambas expresiones se obtiene que:

baxa

)b,a(f)x´,a(f

⋅⋅

=⋅ de donde fácilmene se puede

deducir que:

)b,a(fa

)x´,a(fbax⋅⋅⋅

=

. Nótese que por este proceso de solución lo que se debe tener

claro es el tipo de correlación que existe entre la magnitud C y las magnitudes A y B. unavez establecida el tipo de correlación, el procedimiento algebraico es de fácil ejecución.

Sobra decir que este tipo de problemas ofrecen una especial dificultad a los alumnos porel tipo de análisis que implican44 .

_____________________________________________________

44 Vergnaud, 1988, plantea que este tipo de problemas han sido poco estudiados y que especialmente los profesores desconocen lasdificultades de los alumnos al solucionarlos.


2

116

Las correlaciones n-lineales

Las correlaciones lineales de más de dos variables también determinan proporcionalida-des compuestas.

En general, planteamientos similares pueden realizarse para correlaciones lineales en lasque se relacionan más de tres variables, solo que ahora se pueden presentar de manerasimultánea variaciones tipo directa o inverso. En efecto, ahora se trata de relaciones fun-cionales de N variables a M, es decir relaciones funcionales de la forma f(x1, x2, ...xn)= Kg(y1, y2, ...yn), donde las dos funciones son lineales en cada una de sus variables. Por ejem-plo, si la relación funcional no fuera de una variable a dos, como en el caso anterior, sinode dos variables a dos variables, es decir, f(x,y)= K g(r,s), pero eso si, con la condición deque ambas funciones sean lineales en cada una de las variables, entonces, la función fsería directamente proporcional con respecto a las variables r y s y la función g lo seríacon respecto a las variables x e y; pero, para valores constante de la función f las variablesr y s serían inversamente proporcionales, y para valores constantes de la función g lasvariables x e y también lo serían.

Un ejemplo típico de este tipo de problemas lo presenta la ley de los gases ideales: se sabeque esta ley expresa cuantitativamente las relaciones entre presión (P), volumen (V), tem-peratura (T) y número de moléculas del gas (N), lo cual se puede modelar así:

presión volumen Temperatura # de MoléculasP V T NP’ V’ T’ N’

Ahora bien, se ha demostrado que las variables P, V, N y T, se correlacionan linealmente, esmás, que el producto, P•V tiene una correlación lineal con respecto a las variables T y N, aligual que el producto N•T con respecto a las variables P y V. Dicho en otras palabras, lafunción h(p,v)=P•V y la función f(n,t)=N•T tienen una correlación lineal. Pero como esta

correlación lineal es perfecta, entonces se tiene que k

tnfvph

=),(),( , donde k es la constante

universal de los gases. De esto se deriva la famosa fórmula: P•V=N•R•T. Un análisis de estaexpresión, desde el punto de vista de la variación proporcional de las dos funcionesbilineales implica, por ejemplo, entre otras situaciones posibles, que para valores cons-tantes de la función h (es decir, presión y volumen constante), las variables N y T seaninversamente proporcionales (lo cual implica que en un cambio en un factor µ en una de

ellas, produce un cambio en un factor μ1 en la otra); o que para valores de N constante

(cantidad de moléculas del gas constante), un cambio en un factor µ en la temperatura,implica un cambio en el mismo factor para la función h (es decir, que el producto P•Vcambia en un factor µ).

La anterior situación de la ley de los gases ideales es idéntica a la siguiente: Un grupo deM hombres, trabajando todos al mismo ritmo, construyen un zanja de largo L y ancho A,en N días de trabajo. Otro de grupo de M’ hombres, trabajando al mismo ritmo de los

117

anteriores, ¿en cuántos días construyen otra zanja de igual profundidad, pero de largo L’ yancho A’?.

Tradicionalmente este problema se resuelve de la siguiente manera, donde T’ es la incóg-nita:

- + +# de personas Tiempo trabajando Ancho zanja longitud zanja

M T A LM’ T’ A’ L’

Los signos + o – se ponen casi de manera mecánica, y luego se hace la siguiente igualdad:

M • T • A’ • L’ = M’•T’• A•L

igualmente sin casi comprender el sentido de la misma.

Nótese que si se realizara una análisis desde la perspectiva de las relaciones funcionalesentre los espacios de medida, no habría que pensar en fórmulas, ni métodos, sino tan soloen como expresar la relación funcional, la cual es como sigue: Personas•Tiempo = k•Alto•

Largo•Ancho. Donde k es la constante de proporcionalidad y el alto de la zanja siempre esel mismo. Al escribir las dos ecuaciones y dividir una entre otra, se obtiene una expresióncomo la siguiente:

TiempoPersonasAnchooargLTiempoPersonasAnchooargLAnchooargLAnchooargL

TiempoPersonasTiempoPersonas

,AnchooargLAltokAnchooargLAltok

TiempoPersonasTiempoPersonas

****

****

****

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

mismo, lo es que lo o ,

a eequivalent es cual la

la anterior expresión es idéntica a la que se obtiene al aplicar los métodos de la regla detres compuesta, pero por supuesto, con una carga de memoria mucho menor, en tantoque su obtención depende del análisis funcional de la relación entre las variables.

Nótese como por ésta vía, cualquier problema de este tipo, sin importa si es de química,física, aritmética, etc., tendría el mismo proceso de solución, pues todos ellos, aunque sepropongan en contextos diferentes, son iguales desde el punto de vista matemático, esdecir, tienen la misma estructura, y por tanto, son equivalentes.

En líneas generales existen muchos tipos de situaciones que se pueden representar apartir de prporcionalidades múltiples. En todos estos casos el análisis fundamental debecentrar la mirada en las correlaciones entre las variables. Por ejemplo, en situacionescomo las siguientes, el comportamiento sigue siendo igual a la situación ya analizada delos obreros y la construcción de la zanja. Por lo tanto, pintar una pared (varios obreros,pintando a diferentes ritmos, trabajando en el mismo espacio); lavar unos carros (variaspersonas que trabajan a rtimos diferentes para lavar más o menos carros); llenar un tan-



2

118

que de agua con diferentes tipos de llaves (varias llaves y el agua en un mismo tanque adiferentes ritmos); son todas cada una el mismo tipo de situación: el trabajo realizado esdirectamente proporcional al producto del tiempo empleado por el número de obrerosutilizados.

Situación similar se presentaría con situaciones en relación con otras disciplinas: veloci-dades, espacios y tiempos (el espacio recorrido es directamente proporcional al productode la velocidad y el tiempo empleado, pero velocidad y el tiempo con respecto al espacioson inversamente proporcionales), fuerza con masa y aceleración (la fuerza aplicada sobreun cuerpo es directamente proporcional al productor de la masa y la aceleración, ya suvez, masa y aceleración con respecto a la fuerza son inversamente proporcionales), pre-sión de un gas o líquido con respecto al volumen y su temperatura (la presión es directa-mente proporcional al producto del volumen por la temperatura, pero a su vez volumen ytemperatura con respecto a la presión son inversamente proporcionales).

Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad simple inversa

En el último párrafo se mostraba como las situaciones que impliquen la proporcionalidadcompuesta, tienen implícita correlaciones de tipo inversa entre algunas de las variables.El caso más simple es aquel que se presenta en las correlaciones bilineales.

La proporcionalidad simple inversa aparece cuando en la función z=f(x,y) = k•x•y, la va-riable z toma un valor constante. Por lo tanto, al hacer variar los valores de una de lasmagnitudes, la otra magnitud variar de manera tal que el producto de ellas se conserveigual. La situación típica de este caso ha sido analizada cuando se estudió el problemadada un área fija para un rectángulo, encontrar los posibles valores de sus dos lados. Fijarel valor de z y encontrar todos los posibles valores de, x e y cuyo producto tenga ese valorz, es equivalente a encontrar las curvas de nivel en la silla de montar que representa lagráfica en tres dimensiones de este tipo de ecuaciones. Las siguientes dos gráficas mues-tran tal situación:

119

En la gráfica de izquierda se muestra la superficie en la cual se han hecho los cortes conplanos paralelos, cada corte determina una curva de nivel. Cada curva de nivel está re-presentando, para el caso del problema los rectángulos, una familia de rectángulos cuyasáreas son iguales. En sí misma, una curva de nivel representa todos los rectángulos posi-bles cuya área es igual. Como se puede ver en la gráfica de la derecha, cuando las curvasde nivel se proyectan sobre el plano XY, estas gráficas son híperbolas referidas a los ejes(los ejes coordenados son asintotas), tal como se analizó en capítulos anteriores. Cada unade estas gráficas representa todo los rectángulos posibles para un valor determinado desu área. Dicho de otra manera, las coordenadas de cada punto en una dichas curvasrepresenta las dimensiones de los lados de un rectángulo. Y todo el conjunto de puntos deuna orden particular, representa los rectángulos de un área determinada.

En general se puede plantear entonces que, la función z= f(x,y) = k•x•y (con z de valorconstante) expresa para cada valor constante de z una proporcionalidad inversa entre lasvariables x e y . Ahora bien, para que un par de variables se comportan de manerainversamente proporcional, entonces de conservar su producto y por lo tanto, al cambiaruna de ellas por un cierto factor, la otra variable debe cambiar en el factor inverso dedicho valor. Retomando la situación del área de los rectángulos, se podría plantear lasiguiente situación a manera de ejemplo.

Rectángulo de área 4 cm2

Alto Ancho Altura Área

0,2 cm

1 cm

2 cm

4 cm

8 cm

16 cm

20 cm

4 cm

2 cm

1 cm

0,5 cm

0,25 cm

24 cm

18 cm

12 cm

8 cm

4 cm

2 cm

0,5 cm

2/3 cm

1 cm

1,5 cm

3 cm

2 cm

Relación funcional entre losdos espacios de medida:

Area • altura =4

Relación funcional entre losdos espacios de medida:

Area • altura=12

Rectángulo de área 12 cm2

Los dos casos mostrados en la tabla anterior permiten ver cómo cuando una de las dimen-siones del rectángulo aumenta al doble al triple al cuádruple, … , entonces la otra dismi-nuye la mitad a la tercera parte a la cuarta parte y así sucesivamente. O a la inversacuando una de las variables disminuye a la tercera parte, a la cuarta parte entonces laotra aumenta en los inversos de dichos factores. De esta forma en cada caso el productode ambas variables permanecen constantes. Las gráficas de los dos casos anteriores sepueden ver a continuación:



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120

Como puede verse las dos familias de puntos se distribuyen, cada una, a lo largo de unacurva. Cada curva representa un rectángulo cuya área es igual bien sea a 4 cm2 o bien sea12 cm2, según sea el caso.

En líneas generales, y siguiendo formas de representación más simbólicas, este tipo deproblemas se pueden expresar así:

A B Ca b ka’ b’ k’ donde a•b= k= a’•b’

donde k es la constante de proporcionalidad. Nótese como en el planteamiento tradicionalde la escuela a estas situaciones problemas se deja implícito el espacio C, por ser constan-te, sin contar que este es el que permite expresar la relación matemática que correlacionalas magnitudes A y B. Debido a este implícito, en el tratamiento tradicional escolar de estetipo de proporcionalidad, se presenta la regla de tres simple inversa como una multiplica-ción en línea recta (contraria a la directa en la que se multiplica en cruz) casi sin ningunajustificación.

Al igual que los casos anteriores, la regla de tres simple inversa es el resultado de laigualdad anteriormente enunciada. Es decir, dado que cualquier par de valores corres-pondientes de las dos variables que se correlacionan inversamente proporcional siempredeben tener el mismo producto, entonces:

como x • y = k ∧ x’ • y’ = k x • y = k = x’ • y’ , lo cual es equivalente a

x • y = x’ • y’

de esta última ecuación, dados tres valores cualquiera se puede hallar el cuarto. Esta es laregla de tres simple inversa, pero como resultado del análisis de las correlaciones entrelas variables.

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Cuando la situación implica correlacionar de manera inversamente proporcional más dedos variables, los procedimientos conservan la misma estructura, sólo que la igualdadentre los productos correspondientes implica más de dos factores a cada lado de la igual-dad.


IMPLEMENTOS DE TRABAJO

• Hojas de papel (preferiblemente milimetrado, o en su defecto, hojas de cuaderno cua-driculadas).

• Lápices.• Reglas y escuadras.• Calculadora científica.• Computador.• Programa Geogebra.

OBJETIVO DESe pretende que por medio del análisis de la variación del área de un triángulo isóscelescon respecto a su altura, el alumno pueda acercarse a la noción de variable como unelemento de un campo de variación.

METODOLOGÍALa actividad se va a desarrollar en grupos de tres personas. Estas deben elaborar uninforme escrito donde se recojan los resultados y conclusiones a los cuales ha llegado elgrupo, para luego ser compartidos con el resto de los compañeros. Se va a utilizar uncomputador por grupo.

DESCRIPCIÓNLos marcos que se involucran en la tarea permiten que el estudiante logre conjugar yafirmar nociones de geometría y aritmética, de tal forma que pueda acceder a un campoalgebraico de una manera más natural y lógica. Así no tendrá, en principio, que enfrentar-se al hecho de manipular fórmulas y estructuras poco familiares. Además, el moverse endiferentes marcos le permite involucrar en la solución de la situación, elementos que deuna u otra forma tienen relación, aunque no directa, con la propuesta dada. También,permite comprender la variable en una dimensión diferente a la de incógnita, en la dimen-sión de ser elemento de un campo numérico de variación.

La actividad contiene tres partes. En la primera se realizan construcciones con papel ylápiz, la segunda involucra el manejo del computador con el programa de GEOGEBRA yla tercera se refiere a una plenaria donde se discuten los resultados obtenidos en cadagrupo.

Respecto a la primera se tiene que, de acuerdo con las observaciones de clase, los alum-nos tienden a manejar solo números enteros en sus mediciones, lo cual restringe el obje-tivo de acercarse a la noción de continuo. Por tal motivo se propone la segunda parte de la



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actividad, la cual permite que el estudiante realice cálculos de mayor exactitud con nú-meros racionales. Esto favorece la creación de la noción de continuo y la noción de varia-ble como elemento de un campo numérico de variación. Además, soluciona en parte, elobstáculo que se presenta en la medición directa de las longitudes de los segmentos quese manipulan en la tarea. La tercera parte es de vital importancia ya que se establecenresultados comunes para iniciar un acercamiento a la noción de variable.

Todo lo anterior permite reflexionar sobre la relación de proporcionalidad directa que setiene entre el área de un triángulo y su altura, cuando la base permanece con un valorconstante.

MOMENTO 1:

1. Dibujar un triángulo isósceles cuya base mida 5cm y una altura de 4cm.

2. Dibujar como mínimo otros cinco triángulos isósceles cuyas bases midan 5cm y susalturas varíen en un rango de 0 a 10cm.

3. Calcular el área de cada uno de los triángulos que se dibujaron en los puntos anteriores(1 y 2). Puedes calcular dicha área con apoyo de la cuadrícula de la hoja de papel.

4. Elabora una tabla donde aparezcan los valores del área con respecto a los valores de laaltura. Puedes tomar como guía la siguiente tabla:

ALTURA (cm)

ÁREA (cm2)

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5. De acuerdo con los resultados obtenidos en la tabla:a) Observa los resultados que se obtuvieron de área y altura y escribe cómo se relacio-

na el cambio de los valores de las alturas con respecto a los valores del área.

b) Con la relación que se obtuvo en el punto anterior, puedes escribir cual sería el áreade un triángulo cuya base mide 5cm y su altura mide 20 cm.

c) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura del punto anterior seduplica, es decir mide 40 cm?

d) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura mide 1cm?e) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura del punto anterior de

reduce a la mitad?

6. Elabora una gráfica de área contra altura, de acuerdo con los datos obtenidos en latabla del punto 4.

7. Basándose solo en la gráfica que se obtuvo, puedes calcular el área de un triángulocuya base mide 5cm y su altura 13cm.

8. Teniendo en cuenta el análisis de la tabla y de la gráfica:a) ¿Qué puedes concluir respecto a los valores que puede tomar la longitud de la altura

de los triángulos isósceles?

b) ¿La altura del triángulo puede tomar valores negativos, como por ejemplo –7cm, -4cm, etc.? ¿Por qué?.

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c) ¿La altura del triángulo puede tomar un valor de 100cm, de 1000cm, de 10000cm?¿Qué sucede con el área de dichos triángulos cuando su altura toma esos valores?

SEGUNDA PARTE

1. Utilizando el programa geogebra, van a realizar lo siguiente:a) Dado un triángulo isósceles cuya base mide 5cm y su altura 4cm, hacer variar la

altura y calcular para cada caso el valor del área respectiva.b) Elabora una tabla con los valores obtenidos para el área del triángulo en función de

los valores de la altura correspondiente.c) Realiza una gráfica de área contra altura, teniendo como base los datos de la tabla

anterior.d) Analiza la gráfica y la tabla y responde:

• ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo si la medida de la altura es 13.2cm?• ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura

se duplica? ¿Si se triplica o cuadruplica? ¿Por qué?.• ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo si la medida de la altura es 0.5cm?• ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura

se duplica? ¿Si se triplica o cuadruplica? ¿Por qué?.• ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura

se reduce a la mitad? ¿Si se reduce a la tercera parte o a la cuarta? ¿Por qué?• ¿En qué rango pueden varían los valores de la altura de los triángulos trabajados?• Escribe una expresión que relacione la variación del área respecto a la altura.

TERCERA PARTE

Discusión de los resultados obtenidos en cada grupo de trabajo. Durante la plenaria seexpondrán los resultados, observaciones y conclusiones que obtuvo cada grupo de talforma que logren aclarar dificultades o concepciones, para luego elaborar una conceptua-lización sobre la noción de variable como elemento de un campo numérico de variación.

Igualmente en la discusión se debe poner énfasis en la relación funcional entre área yaltura cuando la base es constante, y ampliar la reflexión a otros casos, por ejemplo,

• Qué pasa si el valor de la base constante se cambia por otro valores, que después sedejan fijos para poder hacer variar de nuevo la altura (base 2cm, altura variable; base4cm, altura variable, etc). Hacer las tablas y las gráficas, puede ser con apoyo del com-putador si se desea, analizar las similitudes y diferencias. Todo lo anterior, deberá per-mitir concluir con respecto a la relación proporcional entre área y altura (con base

constante) en un triángulo isósceles: HbA ×= 21 , donde A representa el área; b repre-

senta el valor de la base (constante en cada caso), y H representa la altura del triángulo.

• Qué pasa si ahora se invierten los papeles, es decir, se deja fija la altura, y la que sehace cambiar es la base. Analizar la situación para diferentes valores la altura, compa-rar las conclusiones de este punto con el anterior.

• Qué pasará, con otras figuras, como por ejemplo, un rectángulo (haciendo variar unlado, y dejando constante el otro), un paralelogramo (haciendo cambiar la base, dejan-do constante la altura, o viceversa, dejar constante la altura y hacer cambiar la base).



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• Que pasa si hace un análisis similar entre el área de un cuadrado y la longitud de sulado.


Un granjero dispone de 96 m de malla metálica. Con ella quiere limitar un gallinero deforma rectangular. El granjero necesita saber que dimensiones debe tener el gallineropara encerrar la mayor cantidad de gallinas.

Recomendaciones:Registren por escrito todas sus observaciones y conclusiones.Conserven todos los datos producidos (no borren ni tachen nada). Si se equivocan, simple-mente escriban corrección, y a continuación anote la nueva información.

MOMENTO 1:

¿De cuántas maneras diferentes se puede construir dicho corral? Dibuja, con tus compa-ñeros, los posibles corrales.

MOMENTO 2:

Encuentren el área y el perímetro de los corrales dibujados y organice las solucionesobtenidas en una tabla como la siguiente:

• ¿Cree usted que tienen las dimensiones de todos los posibles corrales que se puedenhacer? Justifique su respuesta.

• ¿Cuál cree usted que sea la mayor longitud que puede alcanzar el ancho del gallinero?• Si el granjero conoce la longitud de un lado del corral, ¿Cómo puede obtener el otro

lado y su área?

MOMENTO 3:

Actividad 1

Si el granjero ha calculado que cada gallina requiere

211 metros cuadrados para vivir có-

modamente y necesita encerrar 500, ¿Cuáles son las posibles medidas del largo y el anchopara encerrarlas? ¿Cuántos metros de malla tiene que comprar?

Medida delancho

Medida dellargo

Perímetro delgallinero (mts.)

Área delgallinero (mts2)

Gallinero 1Gallinero 2Gallinero 3Gallinero 4Gallinero 5Gallinero 6Gallinero 7

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Si el granjero conoce la longitud de un lado del corral, ¿Cómo puede obtener la longituddel otro lado y la longitud del perímetro?

¿En cuál, de todos los posibles corrales, se pueden encerrar las 500 gallinas viviendocómodamente, pero gastando la menor cantidad de malla?

Actividad 2

El granjero hizo un contrato con la empresa Huevos de Antioquia, con la que se compro-metió a entregar 4500 huevos diarios. Él sabe que cada gallina pone dos huevos por día,siempre y cuando viva cómodamente, pero si se le reduce el espacio a 1 metro cuadradosólo pone 1 huevo. ¿Cuál de las dos opciones debe escoger el granjero para cumplir con lopactado?. Justifica tu respuesta.

MOMENTO 4:

3.1 Ahora, utilizando el programa Geogebra, construya un rectángulo de área fija quetenga por perímetro la longitud que acabas de definir (tal como ya se mostró en eltaller con GEOGEBRA).

Cambie los lados del rectángulo. Realiza una tabla de las longitudes posibles de loslados de los rectángulos.

3.2 De acuerdo con lo realizado, ¿es posible construir más corrales de los que ya tenía?¿Cuáles? ¿Cree que puede anexar mas soluciones posibles a la tabla realizada antes?¿Por qué?

3.3 Cambia a otros posibles valores del perímetro del rectángulo, y llena por cada valor,una tabla con las longitudes de los lados de los rectángulos que se pueden construir.

3.4 Analiza la regularidad (matemática) que cumplen, para cada caso, la longitud de labase con respecto a la longitud de la altura.

3.5 Realiza las gráficas cartesianas de las diferentes tablas. Qué tipo de función relacio-na la base y la altura de cada caso graficado?


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Unidad No.4

El razonamiento algebraico y la modelación matemática45

Fabián Arley Posada BalvínJhony Alexander Villa Ochoa

Introducción

La perspectiva de construcción de modelos matemáticos que den cuenta de fenómenostanto del mundo real como de las matemáticas, se puede entender como un proceso quepermite dinamizar la construcción de elementos propios del álgebra, a partir del desarro-llo de dos fases fundamentales: la fase de formulación y la fase de validación. En la fase deformulación se establecen las relaciones entre las variables de una situación, lo cual pue-de hacerse a partir de medidas o conjeturas; posteriormente, se ejecuta una serie de trans-formaciones de tipo matemático que conducen a expresar el modelo matemático en unaforma simbólica algebraica. La fase de validación comprende la constatación de la validezdel modelo, a partir de su comparación con la situación que lo origina. (Janvier, Nemorosky(1996))

En este caso, para entender al proceso de modelación matemática como herramienta di-dáctica, se debe cuenta los siguientes aspectos:

• El papel que juegan las diferentes magnitudes al interior del modelo.

• Los problemas que surgen para la comprensión de los fenómenos a partir del tipo demagnitudes involucradas en la situación.

• Diferenciar el doble estatus que el objeto matemático juega cuando es tratado comomodelo: por un lado, propio de las ciencias matemáticas, y por otro representante deun fenómeno de variación.

• Las dificultades que surgen en el intento de generalizar los resultados matemáticosdesarrollados por esta vía.

• El papel de los llamados sistemas semióticos de representación.

• El problema de la validez en los resultados obtenidos.

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45 Ideas tomadas de los planteamientos de: POSADA B. F. y VILLA O. J., presentes en el documento, trabajo de grado: "Propuestadidáctica de aproximación al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional", aprobado para optar al titulo deMagíster en Educación: Docencia de las Matemáticas.


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De esta forma, teniendo en cuenta los anteriores elementos y la poca familiaridad de laescuela con respecto al proceso de modelación matemática, es necesario considerar quela aproximación al álgebra escolar desde este enfoque, requiere de largos periodos detiempo y por tanto debe ser una tarea emprendida desde los primeros años de escolaridad.

El concepto de función como modelo matemático desdeuna perspectiva variacional

El aprendizaje del concepto de función ha sido tradicionalmente considerado como unelemento que debe ser abordado por primera vez, en los últimos años de la educaciónbásica (9º) y, en general, es objeto central de estudio en la media (10º y 11º). Actualmentese observa que la escuela trata dicho concepto como un caso particular de lo propuestopor el grupo Bourbaki, quienes basados en el lenguaje de los conjuntos, consideran sudefinición de la siguiente manera:

Sean A y B dos conjuntos que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elementovariable x de A y un elemento variable y de B se llama una relación funcional, si para todox∈A, existe un único y∈B que está relacionado con x en la relación dada. Damos el nombre defunción a la operación que de esta forma asocia con cada elemento x∈A el elemento y∈B queestá relacionado con x en la relación dada. (Lacasta y Pascual, 52)

A partir de esta, los textos escolares proponen interpretaciones tales como:

Una función de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que leasigna a cada elemento x de X uno y solo un elemento y de Y. El conjunto X se llama dominiode la función. Zill (1992;143)

Desde este punto de vista, el problema general a resolver en la escuela, ha estado deter-minado por hacer que los estudiantes aprendan que una función es un conjunto de paresordenados de la forma (x,y) tales que no debe haber dos pares ordenados diferentes en elconjunto, que tengan el mismo primer elemento.

Así, esta idea tiene las siguientes implicaciones pedagógicas:

1- Al considerar que la comprensión de dicho concepto matemático depende en su totali-dad, de la comprensión que se tenga de los conceptos abstractos de conjunto, parordenado y regla de correspondencia, se considera absurdo pensar, que los niños y lasniñas de la básica primaria se aproximen a él.

2- Como la definición no depende de los elementos pertenecientes a los conjuntos que ladeterminan, siempre y cuando la regla de correspondencia cumpla con la condicióndada, desaparece la importante idea de ver en éste concepto un objeto matemáticoque atrapa la variación y el cambio, es decir como un modelo matemático.

3- No se logra captar el papel fundamental que juegan los diferentes registros semióticosde representación en la comprensión del concepto.

4- Se dificulta la construcción de interrelaciones que a través de este concepto se puedeestablecer con otras ciencias, tales como la física, la química, la ingeniería, etc.

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Algunos de los fracasos en la comprensión del concepto de función se presentan porquesu estudio se hace al margen de las anteriores consideraciones. Es decir, se estudia aespaldas del papel que juega como objeto que permite atrapar matemáticamente lacovariación entre dos o más cantidades de magnitud, de la misma o distinta naturaleza, através de algún registro semiótico de representación. Dicho de otra forma, no permiteentenderlo como modelo matemático de un conjunto de situaciones que se rigen por ca-racterísticas similares.

Así, sin negar que el estudio formal de este concepto requiere de elementos teóricos abs-tractos y por tanto sólo sería pertinente en los últimos grados de escolaridad, también seconsidera posible generar contextos a través de los cuales se logra dar inicio a su com-prensión desde los primeros años. Una de ellas, como se mostró en capítulos anteriores,es a través del razonamiento proporcional, de actividades centradas en el estudio de pa-trones y regularidades, desde actividades que atrapen aspectos de la generalidad desdelos fenómenos de variación, etc.

Por esta razón uno de los problemas determinantes que requiere ser abordado desde elpensamiento variacional, es entender que el paso en la apreciación del sentido variacionala la determinación de una expresión que correlacione dicha variación, no siempre es fácilni inmediato.

Esto significa, que si se entiende por sentido variacional, aquella apreciación del cambioen una o varias variables dependiendo del cambio de otra u otras, y a la noción de corre-lación como la posibilidad de expresar dicha variación a través de un modelo funcional,entonces el problema es encontrar, si es posible, una función que exprese la variaciónentre dichas variables. Esto es, en términos del proceso de modelación matemática, for-mular el modelo.

Como se puede apreciar, el proceso de modelación matemática está íntimamente relacio-nado con la propuesta funcional de construcción de los objetos algebraicos. Esto al menospor dos razones: la primera porque por esta vía se hace énfasis en los procesos que impli-can determinar la forma como una o varias cantidades de magnitud varían con respecto ala variación de otra u otras, es decir, la noción de variación es fundamental. Y Segundoporque una de las pretensiones es atrapar dicha variación a través de un modelo funcional46.

El papel de los registros de representación del concepto de función en elproceso de modelación matemática

Las funciones racionales, trigonométricas, logarítmicas, etc. y muy especialmente las fun-ciones polinómicas de grado uno y dos (lineales y cuadráticas respectivamente), han re-presentado una particular importancia para la educación básica y media, a tal punto quese les dedica grandes periodos de tiempo, generalmente en los grados superiores. Lasrazones para que esto sea así, han sido en primera instancia, por su sin número de "aplica-ciones" y de otro lado porque en particular las funciones polinómicas son la base para elestudio de los llamados casos de factorización.

_____________________________________________________

46 Si esto se logra se dice que las cantidades de magnitud están correlacionadas.

El razonamiento algebraico y la modelación matemática


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No obstante, como ya se mencionó, su estudio se ha desarrollado sin apelar a la noción devariación y esto ha impedido verlas como modelos matemáticos. Si bien es cierto, que laactual presentación formal del concepto de función, permite entenderlas como objetosmatemáticos abstractos y por tanto responde a los cánones matemáticos bajo los cualesse construyen y entienden, dotadas del poder para expresar elevados niveles de genera-lidad; también es cierto que presentarlas así a los estudiantes de la educación básica ymedia, ha generado un impacto desfavorable para su comprensión, pues es negarles todasu riqueza en cuanto a su uso en la tarea de matematizar la variación.

Esto es, la moderna definición de este concepto abre más la brecha entre entenderla comoun modelo matemático que permiten atrapar la variación y el cambio y como un objetomatemático abstracto-analítico ausente de todo carácter fenomenológico. La primera leimprime un sentido dinámico y la segunda estático.

Es por esto que a partir de una interpretación de lo propuesto por los lineamientoscurriculares, se planteará la construcción de este y otros conceptos propios del álgebra,desde una perspectiva variacional, entendiéndolos en un primer momento como un mo-delo matemático (sentido dinámico), y desde allí construir puentes que permitan enten-derlo como un objeto matemático analítico (sentido estático).

Esta tarea es desarrollada con la ayuda de diferentes registros de represtación para elconcepto de función, y así, a partir de las actividades de tratamiento y conversión, ratifi-car la necesidad de entender desde temprana edad escolar la relación de igualdad comouna relación de equivalencia en dos niveles: como identidad y como ecuación. Esto es,entender que si se estable una relación de igualdad entre dos funciones definidas en elmismo dominio, se pude encontrar que: a) las funciones son las mismas para todo el domi-nio, es decir, todos los valores de la función tienen una preimagen en el dominio, en estecaso las funciones son idénticas. b) las funciones sólo son iguales para un subconjunto devalores del dominio, en este caso se dice que determinan una ecuación.

Los registros de representación que se adoptaron en este trabajo para el estudio del con-cepto matemático de función, son: El registro de representación en lengua natural (caste-llano), el sistema de representación gráfica cartesiano ortogonal, el registro de represen-tación tabular y el registro de representación simbólico.

Desde esta perspectiva, comprender el concepto de función como un modelo matemático,implica la construcción de un registro simbólico analítico de una situación, que general-mente se presenta en lenguaje natural. Dicho de otra forma, construir un modelo matemá-tico de cierta situación, se entenderá, como un proceso que parte de un fenómeno expre-sado en lenguaje natural para llegar a la construcción de sofisticados sistemas simbólicosmatemáticos. Esto haciendo uso intermedio de diagramas, metáforas, simulaciones, enespecial registros tabulares y gráficos. Lo anterior, dado que es el registro simbólico ana-lítico el que permite referirse a los conceptos matemáticos con mayor grado de generali-dad. En términos de Janvier (1996) se centrará la atención, principalmente en los prime-

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ros momentos del proceso de modelación (experimentación y abstracción) lo cual, es de-nominado por este autor, fase de formulación47.

Por esta razón se crea la necesidad de analizar de cada uno de los registros de represen-tación del concepto de función arriba mencionados. Se propone entonces, asumir al len-guaje natural y el simbólico como dos registros principales, dado que el primero se con-vierte, en general, en el punto de partida y el segundo se concibe como el modelo mate-mático del fenómeno. Los registros tabular y gráfico se tomarán como registros auxiliaresen el reconocimiento de las relaciones funcionales entre las magnitudes que intervienenen la situación.

De esta manera, de acuerdo con Duval (2004; 58) los registros auxiliares tendrán las si-guientes funciones:

• Aportarán información adicional en la comprensión del concepto (función) a partir desu contenido48 , que en la presentación discursiva (registro principal) no es posible dilu-cidar.

• Ofrecerán posibilidades de tratamiento totalmente diferentes al del registro principal.En particular, permiten desarrollar secuencias de reglas operatorias o de procedimien-to. Es decir, tratamientos tipo algorítmicos.

• Suplirán un desconocimiento eventual de los registros principales.• Separarán información pertinente o útil en relación con la tarea a realizar.• Permitirán la organización en orden de necesidad o importancia de los diferentes regis-

tros elegidos para la tarea a realizar.• Mostrarán posibles ejemplos que afirmen o rechacen algunos rasgos o propiedades del

concepto en mención.

Desde un punto de vista variacional, el paso de una situación presentada en lenguajenatural al registro simbólico se determinará a partir del análisis de diferencias. Esto quie-re decir, que a partir de los resultados obtenidos al comparar por cociente las diferenciasde las cantidades magnitudes, cuya relación está siendo estudiada, se determinará el tipode función que correlaciona dichas cantidades. En otros términos, esto significa que elcociente de diferencias entre cantidades de magnitud, se tomará como unidad significante49

o elemento que permite construir el modelo matemático de la situación.

A continuación se presentan los elementos básicos que requieren ser identificados, en loscuatro registros de representación, para posteriormente estudiar el tipo de regularidadesque muestra el cociente entre las diferencias o incrementos de las cantidades de magni-tud.


_____________________________________________________

47 De acuerdo a este autor, durante la fase de formulación, un fenómeno o una situación es examinada para establecer relacionesclaves entre las variables involucradas. Esas relaciones se originan desde observaciones o medidas, o simplemente llegan de hábilesconjeturas hechas sobre la situación bajo investigación, para desembocar finalmente en la función que correlaciona las variables.

48 Entiéndase por contenido de un registro de representación, lo que en particular presenta del objeto.49 Puede entenderse por unidad significante aquellos elementos que determinan el contenido en un registro de representación (Duval

1999).


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El registro gráfico cartesiano ortogonal

Los objetos del registro de representación gráfico cartesiano ortogonal, son principal-mente, los ejes ortogonales y los puntos definidos por las duplas si es bidimensional otripletas si es tridimensional.

Las magnitudes que intervienen en la situación, se identifican con alguno de los ejescoordenados graduados, y luego se analizan los cambios o variaciones de dichas cantida-des. A una de las dos cantidades de magnitud se le llamará cantidad independiente y laotra dependiente.

En este registro llamaremos incremento, cambio o variación de una cantidad de magni-tud, a la longitud del segmento, resultado de la diferencia geométrica entre la longitud dedos segmentos formados por el punto origen y el punto que indica dos cantidades conse-cutivas de una misma magnitud. Este cambio se denotará por Δx si es el segmento diferen-cia en la coordenada x y Δy si el cambio es en el eje coordenado y.

Es importante tener en cuenta, que en este registro, no es posible tener total certeza en launicidad de la representación. Esto al menos por dos razones: Por un lado, la imposibili-dad de observar la representación en todo su dominio y en segunda instancia, por laposibilidad de que varias representaciones de funciones diferentes coincidan en determi-nados intervalos

El registro tabular

Los objetos del registro de representación tabular son: un arreglo rectangular (filas y co-lumnas) y parejas o tripletas de números que las componen.

Para determinar la unidad significante de este registro de representación, cada una de lascantidades de magnitud de la situación a relacionar, se asociará a una de las columnas (ofilas), y establecen una representación discreta de cada una. De esta manera, se centra laatención en los siguientes elementos: La diferencia entre dos valores, consecutivos o node una columna, la diferencia de los valores correspondientes en la otra columna y larazón de cada una de estas diferencias.

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_____________________________________________________

50 Las metadiscursivas son de tratamiento y conversión, comunicación y objetivación y las discursivas son de designación, apofántica,expansión discursiva y reflexividad discursiva. Duval (1999).

Para este propósito es necesario tener en cuenta varios supuestos:

1. Por un conjunto de puntos (de un plano cartesiano) o de una tabla pasan infinitas fun-ciones polinómicas. Lo que hace imposible determinar una única función para unatabla.

2. A pesar de existir infinitas funciones que satisfacen una misma tabla, si es posible reco-nocer a través de ella una función polinómica siempre y cuando se tenga la seguridadde que, efectivamente, es una función polinómica y que el número de parejas ordenasde la tabla exceda en la unidad al grado del polinomio que describe la función (Villa,2001)

3. Las diferencias sucesivas se hacen constantes luego de iterar el proceso tantas vecescomo el grado del polinomio.

El registro simbólico algebraico

En el registro simbólico los objetos son símbolos que generalmente pertenecen a nuestroalfabeto, con ocasiones al alfabeto griego, los números indo-arábigos, los símbolos de lasoperaciones y relaciones aritméticas y signos de agrupación.

Para la determinación de la unidad significante en este registro se le asociará un símboloa cada cantidad de magnitud y se le llamará variable, de esta forma se habla de los regis-tros que contienen dos variables. Por lo general estas variables se asocian a los símbolos xy f(x), donde x representa la cantidad de magnitud independiente y f(x) la cantidad demagnitud que se relaciona con x.

En los dos registros anteriores (el tabular y el gráfico) se mencionaron dos tipos de limita-ciones que dependen de su naturaleza, a saber: el problema de lo discreto como la restric-ción en el registro tabular y de los rangos de visualización en el registro gráfico; estalimitaciones imposibilitan la determinación de una única función con las característicasmencionadas, a menos que se hagan determinados supuestos (ver análisis de los regis-tros anteriores). En el caso del registro simbólico se permite recoger la generalidad através del símbolo, en términos de ser un representante de cualquier elemento de undeterminado conjunto numérico.

El lenguaje natural

El lenguaje natural es uno de los registros que presenta mayor complejidad en su análisis.Esto debido fundamentalmente a dos ideas, por un lado a que es un registro completa-mente discursivo y por ende ofrece todas las funciones tanto discursivas comometadiscursivas50, permitiendo una enorme divergencia en la forma de su empleo. Peropor otro, porque es un registro multifuncional, es decir, no permite tratamientos única-


2

134

mente por algoritmización, o lo que es lo mismo, tiene una gran variedad de posiblestratamientos. Por tal motivo, es el registro más usado para describir, inferir, razonar, calcu-lar, deducir, argumentar, es decir, es utilizado en todos los dominios de la vida cultural ysocial.

En este registro la unidad significante del concepto de función se puede inferir de losenunciados constituidos por frases proposicionales, y estas a su vez, determinadas funda-mentalmente por la operación predicación51.

Los objetos referenciales designados en dichas proposiciones son magnitudes fijadas porla situación. Por lo tanto, el primer paso, en la tarea de identificar algún criterio que permi-ta clasificar los enunciados matemáticos dirigidos al concepto de función en este registro,es identificar las magnitudes que están interviniendo y sean cognitivamente pertinentes.Esto implica, entre otras cosas, determinar si las magnitudes son continuas o discretas ysi las unidades de medida utilizadas son adecuadas.

Una vez identificadas las magnitudes, el paso a seguir es reconocer y establecer las posi-bles relaciones entre las cantidades de magnitud. En particular nos interesa determinarla relación por cociente entre las diferencias de las cantidades de magnitud. Este recono-cimiento no siempre es evidente, y por tanto es aquí donde el problema se transforma enun problema cognitivo, dado que es a través del desarrollo del pensamiento matemáticoen sus diferentes niveles procedimentales, como se adquiere la habilidad para reconocerel concepto de función en un enunciado determinado.

Las funciones polinómicas como modelo matemático

En este texto los análisis se centrarán en el estudio de las funciones de la forma h(x)= anxn

+ an-1 xn+1 +...+a1x + a0, con an ≠ 0 , las cuales son denominadas funciones polinómicas.Este tipo de funciones son aquellas cuya correlación entre dos cantidades de magnitudestá expresada analíticamente mediante la forma h(x). Esto quiere decir, que la cantidadde magnitud dependiente representada por y=h(x) se relaciona en forma general con lacantidad de magnitud independiente, a través de una forma polinómica, donde an, an-

1,...a1 ,a0 representan números reales constantes (parámetros) y n representa un númeronatural incluyendo el cero. En particular, se tomará el caso cuando n toma el valor de unoo dos, es decir las funciones polinómica de grado uno (lineales) y de grado dos (cuadráticas).

Desde una perspectiva variacional, el estudio de las funciones polinómicas implica tenerpresente dos aspectos:

a) Hacer variar intencionalmente una de las cantidades de magnitud cognitivamente per-tinentes que intervienen en la situación, a ésta la llamaremos cantidad de magnitud"control" Ésta se simbolizará con la letra x en el registro simbólico analítico, se ubicaráel eje horizontal en el registro gráfico cartesiano y representará los valores de una

_____________________________________________________

51 La operación predicación de la función apofántica, es la que vincula la expresión de una propiedad, de una relación o una accióncon una expresión que designa algún objeto Duval (1999).

135

columna o fila en el registro tabular. A partir del tipo de variación que se perciba en laotra cantidad de magnitud, que llamaremos de "estudio", se estudiará la relación entreel cambio de la cantidad de magnitud "control" y el cambio en la otra, de "estudio". Estaúltima, se simboliza con la letra y en el registro simbólico analítico, se ubicará el ejevertical en el registro gráfico cartesiano y representará los valores de la otra columna ofila en el registro tabular.

El estudio de dicha variación se realizara a partir de la noción de incremento, el cualdetermina el cambio o variación de una cantidad de magnitud y se calcula a partir de ladiferencia entre dos de los valores de la misma. Este incremento se denotará por Δx sies la diferencia entre los valores de la magnitud independiente y por Δy si el cambio esen la magnitud dependiente. En los siguientes gráficos se muestra el significado delincremento en cada registro.


b) El análisis del tipo de función que modela la situación se hace a partir de compararmediante cociente, el incremento de la cantidad de magnitud dependiente con res-pecto al incremento en la magnitud independiente, es decir, el cociente entre ambas

diferencias

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=Δ

Δ

12

12 )()()(xx

xfxfxxf

. Esto significa que la comparación por cociente entre estos

dos cambios determina y define el tipo de función que los diferentes registros represen-tan. A este cociente entre diferencia lo llamaremos razón de cambio.

Lo anterior significa que si la atención se centra no en las variables sino en los cambios deellas, obtenemos que todas las funciones de grado uno cumplen con la propiedad queΔf (x) = aΔx con a una constante perteneciente al conjunto de números reales. Esto quieredecir que todas las funciones polinómicas de grado uno tienen como razón de cambio

axxf

=Δ

Δ )(, una constante. En otros términos, como se mostrará mas adelante, la propiedad

fundamental que identifica a las funciones lineales o polinómicas de grado uno (g(x) =

ax+b con a≠0) es la razón de cambio constante ℜ∈=

ΔΔ acona

xxf )( diferente de cero.

El anterior análisis se pueden extender a funciones polinómicas de grados superiores; porejemplo, las funciones cuadráticas g(x) = ax2 + bx +c tiene como primera razón de cam-

bio una función lineal (h(x) = dx+b), esto es,

ℜ∈+=Δ

Δ bdconbdxxxg ,)(

y d diferente de cero, y

Registro gráfico cartesiano Registro tabular Registro simbólico analítico

12 xxx −=Δ

)()()( 12 xfxfxf −=Δ


2

136

por tanto si se obtiene la razón de cambio de esta última, por lo dicho en el párrafo ante-rior, será una constante. En otros términos, la segunda razón de cambio en un polinomiode grado dos es un valor constante.

Avanzando a procesos mas finos de generalización, se tiene que para una funciónpolinómica de grado n con n un número natural, esto es, h(x) = anx

n + an-1xn+1 + ... + a1x + a0,

se tiene que la razón de cambio n-ésima será un valor constante.

En este módulo se centrará la mirada en aquellas funciones con razón de cambio, entrecantidades de magnitudes, constante en el primer orden o en el segundo. Esto debido aque, por un lado, las primeras, como ya se mencionó, definen funciones lineales o degrado uno (f(x) = ax+b con a≠0) y las segundas, funciones cuadráticas (g(x)=ax2 + bx + ccon a≠0), sirven para modelar gran variedad de fenómenos que implican variación y cam-bio. En segunda instancia, porque son a las que tradicionalmente la escuela les dedica lamayor cantidad de tiempo, sobre todo en los grados 8º y 9º. Y finalmente porque el proce-so de factorización para polinomios, en particular de grado 2 y la solución de ecuacioneslineales y cuadráticas son tareas fundamentales en la educación matemática básica.

De esta forma independiente del registro semiótico de representación en el que esté ex-presado la función, la posibilidad de ver este concepto como un modelo matemático, estádeterminado por las condiciones de hallar en las situaciones estudiadas, las razones decambio entre las diferentes cantidades de magnitud. Si en particular la primera razón decambio es un valor constante entonces el modelo funcional que atrapa la variación eslineal o polinómica de grado uno, si por el contrario es la segunda razón de cambio, elmodelo funcional que atrapa la variación entre las cantidades de magnitud es polinómicade grado dos, etc.

Esto significa que la razón de cambio constante en un orden determinado, es la unidadsignificante cognitivamente pertinente, que permite dar el primer paso para pasar de unregistro a otro; en particular construir el modelo matemático de la situación. Finalmenteeste proceso permite entender la función polinómica como un objeto matemático inde-pendiente del registro en el que es representado y así diferenciar entre el objeto matemá-tico de su representación.

Comprender entonces, al concepto de función como modelo matemático comienza porreconocer, en cada registro, la razón de cambio constante y el orden de aparición, es decirla unidad significante. Una vez se identifique ésta, se procede a construir el modelo, apartir de la demás información suministrada en la situación.

Por tanto, para dar inicio a la tarea de construir una función polinómica como modelomatemático, implica tener en cuenta las siguientes actividades:

• Discriminar las magnitudes cognitivamente pertinentes. Aquellas que serán correla-cionadas.

137

• Identificar la posible covariación entre las magnitudes cognitivamente pertinentes, porejemplo: diferencias, incrementos, razón de diferencias, cantidad de magnitud asocia-da al valor cero y uno de la magnitud independiente.

• Cuantificar de la relación mediante tablas de valores.

• Identificar la razón de cambio constante y el orden en que aparece.

• Reconocer a la razón de cambio constante como elemento que identifica las funcioneslineales si dicha constante se determina en el primer orden y cuadráticas si se determi-na en el segundo orden.

• Comprender la función polinómica como un modelo que atrapa la covariación entredos magnitudes.

• Identificar la proporcionalidad simple directa como un caso particular de función linealimportante en la modelación de determinados fenómenos.

• Generar actividad cognitiva de conversión entre los diferentes registros de representa-ción para objetivar el concepto matemático de función.

Esto, atendiendo algunas de las problemáticas ya planteadas en diferentes investigacio-nes (Janvier (1996) en cuanto al cuidado que se debe tener en la fase de formulación de laconstrucción un modelo matemático, con respecto a los procesos cognitivos implicadosen la comprensión del número52 y a la dificultad de ver a la función polinómica comorepresentante de un conjunto determinado de situaciones, por ello se debe poner especialatención en:

• Los enunciados presentados en lenguaje natural son de múltiples categorías.

• Los errores y aciertos que se pueden tener en la experimentación y toma de datos, sondeterminantes en la formulación y validación del modelo matemático.

• La simplificación respecto a factores externos a la situación que la afectan puede gene-rar divergencia en los resultados.

• La generalidad de los resultados matemáticos frente a la particularidad de las situacio-nes y viceversa.

• El papel que juegan los sistemas de representación semiótica en la construcción demodelos matemáticos.

• La validez de los resultados obtenidos.

No obstante lo anterior, el paso de un registro a otro propone diferentes niveles de concep-tualización matemáticas, cada uno con su grado de dificultad cuando se va un determina-do registro a otro. Esto es, las condiciones de ir del enunciado presentado en lenguajenatural, para obtener el registro simbólico (modelo matemático) que los representa, noson las mismas si se pretende realizar el proceso inverso.

Por último es de anotar, que el proceso de modelación matemática, entendida como herra-mienta hacia la construcción del concepto de función, está determinado según Bassanezi


_____________________________________________________

52 Janvier (1996) plantea que en estos casos el número puede jugar un doble papel: puede entenderse como objeto puramentematemático y/o como la medida de una magnitud.


2

138

(2002) por cinco grandes momentos: experimentación, abstracción, resolución, valida-ción y modificación, todos ellos formando parte de un gran sistema conceptual expresadopara un propósito específico y apoyado en los diferentes sistemas de representación arri-ba analizados.

Una vez la situación esté expresada en el segundo registro principal (simbólico-analítico),la actividad cognitiva de tratamiento, permite la resolución, validación y modificación. Deigual forma estos momentos estarán apoyados por los registros auxiliares.

La función lineal

Como se pudo apreciar en párrafos anteriores, una forma de comenzar la materializaciónmatemática de la variación desde los primeros años de escolaridad, es a través del campoconceptual de las estructuras multiplicativas, a partir del razonamiento proporcional. Deesta forma se trazan caminos dirigidos a la construcción del concepto de función linealcomo una forma particular de correlacionar una variación. Esto permite iniciar con laelaboración de generalizaciones cada vez más finas y abstractas de las estructuras mate-máticas invariantes que se encuentran en lo que varía y cambia.

Esto quiere decir, que la relación de proporcionalidad tanto desde el punto de vista numé-rico como métrico, es un concepto conector entre la multiplicación, el concepto de fun-ción lineal y posteriormente algunos elementos del cálculo y el análisis53. Dicho de otromodo, el razonamiento proporcional es didáctica y matemáticamente estratégico, para eldesarrollo de algunos elementos propios del pensamiento variacional, pues desde éstepueden tenderse conexiones directas entre diferentes conceptos que le son propios (es-tructuras multiplicativas54 y la función lineal).

Sin embargo, si el concepto de función lineal se presenta en éstos términos, quedaríadeterminado, simbólicamente, por aquellas que se expresan en la forma f(x)=kx con k unaconstante perteneciente a los reales positivos, a diferencia de como se conoce en la mayo-ría de los libros de textos matemáticos, en los que las funciones lineales están asociadas apolinomios de primer grado, es decir de la forma g(x) = ax+b con ℜ∈ba, .

A las primeras se les reconoce, en algunos textos, como funciones lineales y a las segun-das, como funciones lineales afines. La discusión con respecto a esta diferenciación hatomado fuerza en los últimos tiempos y está básicamente determinada por el cumplimien-to de las siguientes dos propiedades:

Aditividad: f(x+y) = f(x) + f(y)Homogeneidad: f(kx) = kf(x) con k una constante Real

_____________________________________________________

53 Ver documento: Unidad Nro. 5, De la multiplicación a la proporcionalidad del Módulo Nro. 1 Pensamiento Numérico y SistemasNuméricos.

54 Vergnaud (1991)

139


Independiente del incremento en y la relación porcociente con respecto al incremento en x se conserva.

Desde el punto de vista del registro tabular, la función lineal se reconoce de acuerdo a lacomparación por cociente del cambio observado en los valores tomados de la magnituddependiente con respecto al cambio establecido entre los valores correspondientes de lamagnitud asumida como independiente.

Las cuales sólo son cumplidas por las funciones de la forma f(x)=kx. Sin embargo, segúnlos textos de álgebra lineal, dichas propiedades definen matemáticamente operadores otransformaciones lineales y no, necesariamente, funciones polinómicas de primer grado.

De esta manera es posible afirmar que las funciones de la forma g(x) = ax + b con a≠0, sonlineales y en particular cuando b es igual a cero es una transformación lineal.

Desde la perspectiva de los análisis anteriores en cuanto a la razón de cambio y los regis-tros de representación, no es atrevido pensar que la función lineal tiene como elementoque le da identidad, a la razón de cambio constante de primer orden, esto significa, que sila atención no se centra en las variables sino en la variación, es dicha constante la quedefine la función lineal salvo un punto que la particularice.

Así, se puede probar que las funciones lineales se representan en el registro gráfico carte-siano a través de una línea recta, esto se observa en que independientemente de la longi-tud del segmento tomada para la cantidad de magnitud control y los puntos que lo defi-nen, el cambio en la otra cantidad de magnitud será proporcional a éste, es decir, el co-ciente entre ellos determina una constante.

Dicha constante se visualiza en este registro, en uno de los siguientes aspectos: a) la con-gruencia entre los ángulos formados por la representación del registro dado y cualquierrecta paralela al eje x, ó b) Por la semejanza presentada entre todos los triángulos rectán-gulos determinados por los segmentos diferencia correspondientes obtenidos. Lo anteriorjustifica el hecho que "toda recta en el registro de representación gráfico cartesiano es larepresentación de una función lineal", ver siguiente gráfico. En conclusión, en el registrográfico toda función lineal tiene como representación gráfica una línea recta y toda línearecta en el registro gráfico, está asociada a una función lineal.


2

140

Aduciendo a la interpretación de la función lineal, para identificar una representación delobjeto en el registro tabular, es necesario observar que toda razón entre las diferenciascorrespondientes de dos valores de la tabla es una constante. Con base en el supuesto 2del registro de representación tabular (pág. 132) para el concepto de función, es posibledeterminar si es una función lineal, calculando la razón de diferencia entre dos parejas denúmeros.

Para el reconocimiento de la función lineal a través del registro simbólico analítico, sehace el análisis de las razones entre los cambios de una variable y los cambios que segenera sobre la otra. En este registro se entenderá por cambio la diferencia entre dosvalores de una misma variable y se denotará con el símbolo Δx que significa, Δx=x

2 - x

1 y

Δf(x) que significa Δf(x)= f(x2) - f(x

1). Al cociente entre estas dos diferencias se le denomina

razón de cambio, es decir

12

12 )()()(xx

xfxfxxf

−−

=Δ

Δ.

Para determinar una función lineal, a través de una representación en este registro, esnecesario establecer si la primer razón es constante para toda Δx, esto es determinar que

para todo ℜ∈21 , xx , m

xxxfxf

xxf

=−−

=Δ

Δ

12

12 )()()( , con m un valor constante perteneciente al

conjunto de los números reales.

Por otro lado si una función es lineal, la razón de cambio constante determina una familiade funciones. Para identificar una representación en particular, de esta familia, se debedisponer de otras relaciones entre las variables, en particular la cantidad asociada a f(x)cuando x (variable independiente) es igual a cero.

De esta forma es posible demostrar que mxxf

=Δ

Δ )( con m una constante real, y las relaciones

anteriores, se puede transformar, con las reglas de tratamiento de este registro, a unaforma f(x)= mx + b.

El reconocimiento del concepto de función lineal en el registro del lenguaje natural, re-quiere caracterizar el tipo de enunciado que la representa. Esta no es una tarea sencillapero es el primer paso en la construcción del modelo matemático, es decir, en la actividadde pasar un enunciado a un registro simbólico analítico.

Esta caracterización se puede comenzar a través de subdividir los enunciados en cuatrogrupos generales: dos de ellos frente al hecho que la razón de cambio se exprese o no deforma explícita en el enunciado y las otras dos, estarán directamente relacionadas con lasanteriores, a partir del carácter continuo o discreto de las magnitudes que intervienen enla situación. En cada uno de estos cuatro grupos se pueden establecer subcategorías deacuerdo a si en las magnitudes continuas interviene o no el tiempo.

Determinar en el enunciado si la razón de cambio es explícita o implícita es importantepuesto que, en ambos casos, si dicha razón de cambio es constante, entonces se puede

141

asociar a una función lineal. Ahora bien, lo explicito o implícito, de la razón de cambio,hace referencia a que en el enunciado se exprese de forma directa o por el contrario seanecesario realizar algunos procesos, cálculos o inferencias para determinarla.

Por otro lado lo continuo y lo discreto en las magnitudes, es importante caracterizarlo,puesto que desde un punto de vista didáctico y cognitivo, cuando se trabaja sólo bajosituaciones donde interviene magnitudes discretas, se corre el riesgo de omitir la inter-pretación de la constante como una razón de cambio y limitarse sólo a un análisisadimensional, que aunque facilita el tratamiento aritmético de la situación, oculta su natu-raleza variacional. Un caso particular de esto, ocurre con la interpretación de la multipli-cación que en la escuela generalmente omite el análisis dimensional de las magnitudes yes susceptible de ser interpretada como una suma abreviada.


CONTINUAS

Tiempo No Tiempo

DISCRETASMagnitudes

Razón deCambio

Explícita

Implícita

Las funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas o polinómicas de grado dos, tradicionalmente se han presenta-do en los textos escolares como aquellas que pueden ser expresadas simbólicamente enla forma f(x)=ax2 + bx + c con a≠0 y se les ha diferenciado de las lineales, porque sepuede encontrar en la expresión simbólica que la representa, un término cuya potenciade la variable independiente es uno más que las lineales, es decir dos. El valor del parámetroa es diferente de cero y la gráfica que la representa no es un línea recta sino una curvallamada parábola.

No obstante lo anterior, esta definición deja de lado un aspecto muy importante que le daidentidad si se le mira desde una perspectiva variacional. Esto es, desde esta perspectivala función cuadrática se determina a partir de percibir que la relación por cociente entrelas diferencias Δy con respecto a Δx , da como resultado una variación lineal y por tantoaplicando de nuevo la razón de cambio se obtiene una constante. Esto quiere decir quedesde cualquiera de los registros que la representan se requiere determinar que el primercociente de diferencias sea lineal y el segundo constante.

En el registro gráfico esto se logra ver en el crecimiento o decrecimiento lineal de lossegmentos diferencia en la variable dependiente cuando se determinan diferencias cons-tantes en la variable independiente. ver la siguiente figura.


2

142

Obsérvese que se han definido diferencias en el eje x iguales a la unidad y por tanto elcociente entre los respectivos segmentos diferencia al ser ubicados en otro plano vanformando un conjunto de puntos perfectamente alineados. Esto quiere decir, que la fun-ción original es una la función cuadrática o polinomica de grado dos, cuya razon de cam-bio de primer orden es lineal.

Para demostrar que el registro gráfico de una función cuadrática es una parábola, se re-quiere hacer uso de dos principios básicos de la geometría analítica: a) Construir los pun-tos del plano a partir de un referencial, es decir, reconocer a los puntos del plano comopares ordenados ubicados a partir de un punto de referencia absoluto y b) operar condichos puntos de forma analítica, esto es, operar con los puntos no conocidos como si lofueran. Este punto se planteará como ejercicio de exploración.

En el caso del registro tabular, la identificación de la función como cuadrática se determi-na a través de la construcción del conjunto de diferencias entre valores consecutivos de lavariable dependiente, cuando se establecen diferencias consecutivas iguales entre losvalores de la variable independiente. Este proceso se vuelve recursivo y si se reconoceque la segunda diferencia es constante, entonces dichos valores de la tabla se ajustan alos valores de una función cuadrática. Un ejemplo de ello puede verse en la siguientetabla

Lo anterior atendiendo las limitaciones y restricciones que dichos registros presentan enla discusión antes planteada (ver pág.132).

Valores de la variableindependiente

Valores de la variabledependiente

Primeradiferencia

Segundadiferencia

01234567891011

-12-58

275283

120163212267328395

713192531374349556167

66666666666

143


Para el registro simbólico analítico basta reconocer que si la razón de cambio es una fun-

ción lineal

0)()()(

1

1 ≠∧ℜ∈+=Δ

Δ=

−− ddconbdx

xxf

xxxfxf , entonces se tendrá que f(x) es una fun-

ción cuadrática o polinomica de grado dos.


LA CAJA

MOMENTO 1

Se tiene un trozo de cartón de forma cuadrada de 60 cm delado y se desea construir una caja sin tapa recortando cuadra-dos de igual tamaño de sus esquinas y doblando luego haciaarriba las pestañas que quedan, ver figura.

• A medida que al trozo de cartón se le recorten cuadrados más grandes, ¿qué crees quepasa con el perímetro de figura resultante? , ¿Qué crees que sucede con el perímetrodel cuadrado recortado al trozo de cartón?, ¿Qué crees que sucede con la longitud R dela figura? y ¿Qué sucede con el perímetro de la pestaña?.

• Si se quiere recubrir la caja de cartón con papel, ¿crees que a medida que se recortencuadrados mas grandes, necesitas mas papel?, ¿Habrá alguna caja para la cual necesi-te menos papel para recubrirla?, ¿para cuál caja necesitas exactamente una cantidadde papel igual a la mitad del trozo de cartón?.

• Para qué longitud x del cuadrado recortado el volumen de la caja es el más grande?

Caja rectangular

X Perímetrode la figuraresultante

Perímetrodel

cuadradorecortado

Longitudde R

Perímetrode la

pestañarecortada

Área delcuadradocortado

Área de lafigurapara

construirla caja

Volumende la caja


2

144

MOMENTO 2

Ahora el trozo de cartulina tiene forma de triángulo equiláterode lado 60 cm y se desea construir la caja recortando las puntasa una distancia x cualquiera, perpendicular al lado de la cartuli-na y doblando luego hacia arriba las pestañas tal y como mues-tra la figura.

• Responda las mismas preguntas de la situación anterior parala nueva caja.

MOMENTO 3

A partir de lo observado en los casos anteriores, qué se podría concluir si se quierenconstruir cajas de bases pentagonales, hexagonales, etc.

• GESTIÓN DE LA SITUACIÓN 1

Esta situación proviene de uno de los problemas clásicos de los libros de cálculo, en elcual se pide hallar una longitud x que permita construir una caja de volumen máximo,Leithold (1992 p. 295). Para estos textos, es un problema que corresponde al tema deaplicaciones de la derivada. Sin embargo, en el contexto que aquí se propone pretendeque el estudiante haga uso de algún registro de representación, como el tabular o el grá-fico, para dar respuesta a las preguntas. Es muy importante que se hagan análisis devariación con intenciones de estudiar las condiciones que permiten determinar la correla-ción entre las cantidades de magnitud en cuestión. Esto es, se pretende incitar al estu-diante para que explore las posibilidades de construcción de un modelo funcional quecorrelacione la variación entre las cantidades de magnitud longitud, área y volumen conla cantidad de longitud x.

Caja triangular

X Perímetrode la figuraresultante

Perímetrodel

cuadradorecortado

Longitudde R

Perímetrode la

pestañarecortada

Área delcuadradocortado

Área de lafigurapara

construirla caja

Volumende la caja

145


La aplicación en el computador que se entrega con la situación, tiene por objeto ayudar alestudiante a imaginar el comportamiento del fenómeno, a través de la visualización paracomprender el problema y tratar de resolver las preguntas.

Se puede proponer que esta tarea comience a partir de la construcción de una tabla don-de se registren las medidas de la longitud x y las respectivas medidas de las magnitudesindicadas en la tabla. Es importante mostrar que en este proceso, el estudiante tiene con-trol de las medidas de la magnitud x y que las demás dependen de los valores que a éstase le asigna. Igualmente es importante hacer notar que aun siendo la magnitud represen-tada por x continua, esta propuesta obliga a discretizar la magnitud.

Las preguntas del segundo y tercer item se proponen para hacer uso de las exploracionesy conclusiones obtenidas en el item 1. Esto quiere decir que en un primer momento sepretende construir el modelo funcional y en un segundo momento se desea hacer uso dedicho modelo para la toma de decisiones y control de la situación.

Una pregunta importante que debe comenzar a analizarse y que matemáticamente no essencilla es: ¿Cómo construir, a partir de los datos de la tabla, la representación gráfica ysimbólico-analítica?



Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje na-tural, dibujos y gráficas.

Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos

Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y delas ciencias

Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes representacio-nes (diagramas, ex presiones verbales generalizadas y tablas).

Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio(variación).

Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas,formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas

Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación.

Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio defunciones polinómicas, racionales y exponenciales.


1-3

4-5

6-7

8-9

1-2

4-5

6-7

8-9

Resolver y formular problemas de proprocionalidad directa (mercancías y sus precios,niños y reparto igualitario de golosinas, ampliación de una foto).

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionali-dad directa e inversa.

Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.


2

146

Conceptos y procedimientos para las situaciones de la 2 a la 8

En este aparte se consideran los análisis y anticipaciones de las siguientes 8 situaciones,las cuales están pensadas para construir al concepto de función lineal como modelosmatemáticos.

La situación 2 presentada en lenguaje natural induce a que el estudiante, mediante elsistema de representación tabular, infiera una relación entre el cambio de las dos magni-tudes cognitivamente pertinentes y permita construir la relación funcional entre ellas.

En un segundo momento, se propone que la relación entre las magnitudes sea expresadamediante otros sistemas de representación tales como el gráfico y el simbólico. De igualmanera, la situación exige al estudiante tener cierto control sobre las variables (magnitu-des), de tal forma, que a través de su análisis pueda anticipar conclusiones favorables odesfavorables para los empleados, con bases en las condiciones generales del problema.

Se espera que los estudiantes, una vez llenen la tabla, reconozcan la existencia de lacovariación entre las magnitudes, aunque es posible que no logren expresarcuantitativamente dicha relación, esto a pesar de que detectaran los algoritmos con losque se hiciera.

La situación pretende poner en claro la capacidad de los estudiantes para comunicarconceptos matemáticos, lo cual se hace evidente en los diferentes usos del lenguaje y losdiferentes sistemas de representación.

Inicialmente, los estudiantes podrían entender la razón de cambio constante no como uncociente de diferencias, sino como el cociente aritmético entre los valores de la tabla. Estopermitirá proponer algunas ideas que les ayuden a identificar esta característica de larazón de cambio entre las respectivas diferencias y no entre los valores numéricos de lascantidades de magnitud. Se debe tener en cuenta que las magnitudes presentes en lasituación son continuas (el tiempo) y discretas. Sin embargo, las que son cognitivamentepertinentes son de naturaleza discreta y por tanto los análisis cuantitativos se deben ha-cer teniendo esto presente.

Con la situación 3 se pretende reconocer la velocidad constante como razón de cambioentre dos cantidades de magnitud y usarla para identificar la función lineal como un mo-delo matemático que relaciona la distancia y el tiempo

La situación presenta la razón de cambio en forma explícita, las magnitudes que intervie-nen son continuas y una de ellas es el tiempo. Es muy importante anotar que en estasituación la razón de cambio es otra magnitud y que aunque se expresa como la relaciónentre dos magnitudes escalares, ella es de naturaleza vectorial.

En un primer momento de la situación los estudiantes pueden percibir la relación de cre-cimiento y decrecimiento en cada una de las magnitudes, sin embargo para garantizar lacomprensión de la situación se hace necesario acompañar los razonamientos de los es-

147

tudiantes con preguntas como: ¿Qué significa velocidad constante?, ¿Cómo observaría elmovimiento del tren una persona que esté ubicada en la estación Niquia, San Antonio oItagüí?

En el momento 2 de la situación se observa que se tienen tres tipos de gráfica, las cualescorresponden a diferentes relaciones lineales: de valor inicial con pendiente negativa,proporcionalidad directa y función por partes (dos partes, una lineal con pendiente nega-tiva y la otra con pendiente positiva). Cada una de estas dependiendo del observador queestá analizando el fenómeno.

Al presentarse los tres casos en forma sincrónica y en el mismo plano, es posible que lasituación se interprete como si se tratara de fenómenos diferentes y no del mismo analiza-do por distintos observadores. Esto quiere decir, que muy posiblemente el estudianteinterpretará la gráfica como de tres trenes moviéndose de forma simultánea, y no el movi-miento de un tren, analizado al mismo tiempo por tres observadores, cada uno ubicado enuna estación diferente.

Para responder el ítem 2 del momento 2, se deben tener en cuenta los conceptos de ceroabsoluto, cero relativo y el de unidad de medida, puesto que, por un lado, en este caso elmomento de inicio de la observación del fenómeno no implica necesariamente ausenciade la cantidad de magnitud (longitud y/o tiempo) y por otro lado, dependiendo de la uni-dad de tiempo y de longitud que se tome se tendrá una determinada respuesta, esto quie-re decir que se pueden tener respuesta divergentes.

Con la situación 4 se busca que el estudiante reconozca la razón de cambio constante y lause para determinar el crecimiento de una cantidad de magnitud que depende de otrapara tomar las decisiones convenientes a partir del modelo que se construye con base endicha razón.

Esta situación relaciona dos cantidades de magnitud bajo tres maneras diferentes de va-riación. Las cantidades de magnitud minutos consumidos y costo total del consumo, estándeterminadas por el plan que las relaciona (bajo, medio, alto). Esto significa que paraconstruir el modelo matemático de la situación, es necesario reconocer simultáneamenteestas tres maneras de variación de las dos cantidades de magnitud. Es muy importanteresaltar, que incluso cada manera de variación (cada plan) está a su vez dividido en dosformas de variación, ambas variaciones constantes; una determinada por el cargo fijo parauna cantidad específica de minutos incluidos (65, 150, 300 según el plan), de variaciónconstante igual a cero, y la otra determinada por el valor del minuto adicional ($800, $700,$600 según el plan).

Esto obliga a que se reflexione en dos elementos conceptuales: por un lado, que las fun-ciones que aquí aparecen son funciones por tramos, una parte constante y la otra lineal; ypor otro lado, la situación contiene un enunciado que se ubica en la tipología cuya razónde cambio es explícita; además, es una situación donde interviene la magnitud continuatiempo. Sin embargo, en el primer momento de la situación la continuidad del tiempo noimplica ningún problema, pero en el se segundo momento este tiempo aunque siguesiendo continuo, la situación obliga a discretizarlo.



2

148

La pregunta que se hace es abierta en el sentido que no es de respuesta única, esto es, ladecisión se puede tomar convenientemente, pero deben presentarse argumentos apoya-dos en la identificación de variables y las relaciones de dependencia entre las mismas.

Un elemento adicional que tiene la situación, es el reconocimiento de que cada gastoimplica el pago del impuesto al valor agregado (IVA), que aunque no cambia en nada lasituación desde el punto de vista matemático, sí la contextualiza un poco y le imprime ungrado mayor de dificultad.

Con el ánimo de ofrecerles a los estudiantes herramientas que les permitieran validar susconjeturas, se crea el momento 2, con el que se pretende ayudar a la respuesta de lapregunta, basado en la lectura e interpretación del registro gráfico que la representa. Deesta manera, igualmente se intenta evaluar la visión que se tiene con respecto al registrográfico, bajo la hipótesis que este registro es un poco más familiar en cuanto al reconoci-miento de la razón de cambio como la pendiente de la recta.

Para la situación 5 se debe tener en cuenta:

En el enunciado de esta situación se pueden percibir dos momentos, una en donde larazón de cambio no es explícita, y se debe calcular siguiendo las orientaciones del enun-ciado y/o los datos de la tabla. Y un segundo momento donde la razón es explícita. Se debetener en cuenta que en ambos momentos las magnitudes que intervienen en esta situa-ción son discretas.

Tener cuidado cuando intenten construir un gráfico cartesiano de la situación, pues en lamayoría de los casos trascriben punto a punto las parejas de la tabla construida, sin teneren cuenta la selección de escalas apropiadas para que dicha representación muestre algocoherente con la situación y permita análisis con sentido. Adicionalmente se debe estarpendiente al sentido que para los estudiantes puede tener la acción de unir los puntos queubican en el plano.

Por otro lado se debe estar alerta con los análisis de variación cuya correlación general-mente la piensan como si fueran cantidades relacionadas bajo proporcionalidad simpledirecta y por tanto la forma de construir la tabla es a través de regla de tres simple, esdecir a través de relaciones multiplicativas.

La situación 6 está diseñada para que los estudiantes, a través del cambio de los parámetroscosto de la tarjeta, valor del minuto e intervalo de tiempo (incremento en t), movilicensaberes matemáticos como:

• Interpretación de los registros tabular y gráfico de un enunciado verbal.• El reconocimiento de los valores B y V como parámetros que caracterizan la función

C(t)=Vt para la función costo de la llamada y R(t)=B-Vt par la función dinero restanteen la tarjeta.

• La identificación del parámetro "intervalo de tiempo", como un incremento "h" constan-te en t (tiempo de la llamada), que produce incrementos constantes ΔC y ΔR en C (fun-ción costo) y en R (función resto) respectivamente pero diferentes de "h".

149


• El reconocimiento de hCΔ y

hRΔ

como una nueva constante que identifica las funciones

Costo de la llamada y Dinero restante como lineales. En el caso particular es muy im-

portante reconocer a esta constante como

VhC

=Δ

y

VhR

−=Δ

, es decir descubrir que

dicha constante es el parámetro V (valor del minuto) o el opuesto de V respectivamente.• La determinación de t, C y R como variables y su relación funcional lineal.

• La identificación de

VhC

=Δ

y

VhR

−=Δ

con la pendiente de las rectas dadas en la gráfica.

Dificultades previstas:

• El conocimiento del Software y sus características.

• En general, a los estudiantes ya se les ha enseñado los elementos que componen lafunción lineal, esto quiere decir que han escuchado hablar de lo que es una funciónlineal, algún significado de la pendiente de la recta y el intercepto con el eje y. Pero todolo anterior se ha hecho desde el punto de vista estático, donde este tipo de problemasse ven como aplicación de los conocimientos adquiridos. Se considera que en este pun-to se encuentra el primer obstáculo, pues los estudiantes no están acostumbrados aenfrentarse con el proceso de modelación desde el punto de vista didáctico, en particu-lar con la primera y segunda fase de dicho proceso.

• La discriminación de las unidades significantes cognitivamente pertinentes para laconversión entre los registros de representación de la función lineal modelo matemáti-co de la situación.

• A los estudiantes se les ha mostrado la pendiente de una recta como una propiedad dela gráfica, como el grado de inclinación que tiene con respecto al eje x y/o en otrasocasiones se les ha hablado que este grado de inclinación se representa por la medidade un ángulo. Esta visión oculta completamente toda perspectiva variacional y portanto dicha pendiente no es más que un número, estático y sin significado variacionalpara el contexto de la situación. En este sentido se prevee que será de mucha dificul-tad, entender el papel fundamental que juega el incremento del tiempo, las diferenciassucesivas de las cantidades de magnitud (costo total de la llamada y resto) y el cocienteentre los anteriores, para construir el modelo funcional de la situación.

Con las situación 7 se pretende construir la función lineal como el modelo matemático deun fenómeno, a través de la identificación de la razón de cambio constante.

En esta situación se pretende movilizar saberes matemáticos como:

• Asocia la razón de cambio instantánea de las magnitudes de la función lineal.• Identificar las funciones h(V)=k•V y h(V)=kV+h

0 como funciones variacionalmente

equivalentes.

Situación 8. Esta situación tiene una particular importancia, en la medida que implicaplantear supuestos para simplificar el problema. El docente puede complejizar o simplifi-car el fenómeno tanto como considere pertinente.


2

150

Al no estar explicita la forma y el momento en que debe usar algún registro de represen-tación, se espera que el estudiante los utilice como herramientas que le permiten enten-der y solucionar la situación. Por esta razón se sugiere dar un poco de libertad pero sindejar que se desmotiven. Se recomienda sistematizar los resultados que los estudiantesobtienen en el proceso. Será de mucha ayuda para análisis cognitivos posteriores. Teneren cuenta que es una situación abierta y por tanto se presta para discusiones en términosde la validación y el ajuste del modelo matemático obtenido. El profesor debe estar atentoa las posibles respuestas de los alumnos para dirigir en buenos términos la discusión.

En el siguiente cuadro se muestran los estándares relacionados con las situaciones pro-puestas a continuación.



Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje na-tural, dibujos y gráficas.

Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos

Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y delas ciencias.

Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas,formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas

Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio defunciones polinómicas, racionales y exponenciales.

Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación.


1-3

4-5

6-7

8-9

1-2

4-5

6-7

Resolver y formular problemas de proprocionalidad directa (mercancías y sus precios,niños y reparto igualitario de golosinas, ampliación de una foto).

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionali-dad directa e inversa.


Nombre: EL SALARIO DE ANA

Ana trabaja como vendedora del periódico "El Colombiano", sus ingresos dependen de unsalario básico de $5.000 diarios, y se incrementa con base en las ventas que realice de esteperiódico.

151

a) Si por cada periódico vendido obtiene una comisión de $700. Responda:i. ¿Cuánto dinero devengaría en un día si Ana realizara, 5, 10 ó 16 ventas?ii. Con los datos anteriores llene la siguiente tabla.


Nro. de suscripciones Salario total devengado a diario

5

7

15

25

253

$11300

$19000

$33700

iii. Exprese la relación que existe entre el salario total devengado a diario y el númerode suscripciones vendidas utilizando palabras, símbolos y gráficos cartesianos.

b) Con el cambio de administración de la empresa, se propone una nueva forma de pago.El salario básico diario sería disminuido en $2000, por el contrario la comisión por cadaventa sería aumentada a $900. Analice las dos alternativas salariales y exprese cuál delas dos alternativas le traen mejores beneficios a Ana.


Nombre: DE NIQUÍA A ITAGUI, PASANDO POR SAN ANTONIO.

Enunciado:Supongamos que el metro de Medellín sale a las 5:00 a.m. de Niquía con destino a Itagüi,y que durante su recorrido mantiene su velocidad constante. Queremos estudiar los tressiguientes casos:

Caso 1: Distancia a la que se encuentra el tren de Niquía en todo momento.Caso 2: Distancia a la que se encuentra el tren de Itagüi en todo momento.Caso 3: Distancia a la que se encuentra el tren de San Antonio en todo momento.

MOMENTO 1

Describa una estrategia para calcular las distancias del tren a cada una de las estacionesanteriormente mencionadas.

MOMENTO 2

Si la gráfica que aparece a continuación representa la situación anterior:

1. Elabora un argumento que permita identificar una gráfica con cada caso.


2

152

2. A partir de la gráfica, a qué distancia de cada una de las tres estaciones, estará aproxi-madamente el tren cuando sean las 6:05 a.m. Estime además, la hora a la que llega aSan Antonio, y la hora a la que llega a Itagüi.

3. ¿Qué puede significar los puntos de corte entre gráficas?

De Niquia a Itagüi

-20

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4

Tiempo

Dis

tacia

ala

esta

ció

n

Serie1

Serie2

Serie3


Nombre: CELULARES

Enunciado:Una prestigiosa compañía de telefonía móvil tiene entre sus planes los siguientes:

PLAN BAJO.Cargo Básico: $35.000 + IVAMinutos incluidos: 65Minuto adicional: $800 + IVA

PLAN MEDIOCargo Básico: $70.000 + IVAMinutos incluidos: 150Minuto adicional: $700 + IVA

PLAN ALTOCargo Básico: $120.000 + IVAMinutos incluidos: 300Minuto adicional: $600 + IVA

MOMENTO 1

Suponga que usted puede pagar cualquiera de los tres planes, pero quiere escoger el que,de acuerdo a su consumo mensual, le salga más favorable, ¿Cuál escogería? Suponga unatasa del 16% para el IVA.

153



Nombre: LA EMPRESA JAVO

Propósito:Mediante esta situación se pretende movilizar elementos básicos de relaciones funciona-les entre magnitudes discretas, identificación del modelo funcional, su representación entablas y los demás sistemas de representación, la identificación de la razón de cambio, y elcontrol de variables en una situación problema.

Enunciado:En la empresa de confecciones JAVO. Ltda. se tienen dos clases de empleados: unos paralas máquinas planas y fileteadoras, y otros de pulidores; a estos últimos se les paga susservicios con un salario base de $10.000 a la semana, más una comisión de $ 70 por cadaprenda pulida. A los empleados de las máquinas planas y fileteadoras se les paga el díasegún un salario mínimo establecido por la empresa, más una comisión por cada prendaextra elaborada.

a) Sabiendo que la producción mínima exigida por la empresa para los empleados de lasmáquinas es de 200 prendas diarias. Llene los espacios en blanco de la siguiente tabla:

MOMENTO 2

La siguiente gráfica representa la misma situación expuesta en el momento 1. Respondalas mismas preguntas apoyado en lo que observa en dicha gráfica.


2

154

• ¿Cuáles cantidades permanecen fijas y cuales varían en las condiciones planteadaspara estos empleados?

• Exprese la relación existente entre el número de prendas elaboradas a diario y elsalario total devengado por un empleado, utilizando cada uno de los siguiente regis-tros: palabras, gráficos cartesianos y símbolos.

• ¿Cuál puede ser una expresión que permita calcular el salario de cualquier emplea-do de máquinas teniendo en cuenta el valor de las comisiones?

b) Con respecto a los pulidores responda:• ¿Cuánto ganaría un pulidor a la semana si lograra pulir: 20 prendas, 50 prendas, 200

prendas, 750 prendas.• Exprese la relación existente entre el salario semanal y el total de prendas pulidas

por estos empleados utilizando los mismos parámetros del inciso anterior.• Si un empleado ganara a la semana $38000, $24000 ¿qué se puede decir del total de

prendas pulidas por éste?

c) La empresa desea suprimir el salario base para los pulidores y en cambio piensa au-mentar el valor de la comisión en $25 por prenda.

Analice esta nueva propuesta y diga si es conveniente para los empleados justificando elpor qué de elección. Grafique esta situación en el plano cartesiano.


Nombre: LA TARJETA DE TELÉFONO

Propósito:Determinar el papel que juega la relación por cociente entre las diferencias de dos canti-dades de magnitud, en la dependencia entre ellas (costo de la llamada y resto de dineroen la tarjeta con respecto al tiempo de la llamada) y el que juega en el cambio de registrodel lenguaje natural al simbólico.

Enunciado:

En el archivo "tarjeta de teléfono.xls" del software EXCEL, analice la situación que se pre-senta a continuación:

Número de prendas elaboradas a diario Salario total devengado (diario)

200

210

215

251

271

$12000

$12500

$13250

$16000

$23650

155

Una persona compra una tarjeta de teléfono celular prepago por un valor de B pesos.Cada minuto de llamada cuesta un valor V pesos.

Escriba los valores de B y V que desee y a partir de lo observado en la gráfica y en la tabla,responda:

• ¿En qué momento se ha consumido la mitad del valor de la tarjeta?• ¿Cómo saber que ya se consumió toda la tarjeta?• ¿Qué expresión simbólica describe la relación entre el tiempo de llamada y el costo

de la misma?• ¿Qué expresión simbólica describe la relación entre el tiempo de llamada y la canti-

dad de dinero restante de la misma?


Figura 1


EL TANQUE CILÍNDRICO

Enunciado:Se cuenta con un tanque cilíndrico de 100 litros de capacidad y altura 2metros (fig. 1) el cual se dispone para llenarlo de agua. En esta experien-cia se puede escoger la unidad que se desee.

MOMENTO 1

En la experiencia ¿Cuáles cantidades permanecen constantes y cuales varían?

• Realiza un gráfico que permita describir la relación existente entre el volumen y el nivelde agua por cada unidad echada. Describa dicha relación en palabras y en símbolos.

• Si se cambia la unidad de volumen para el llenado, qué cambios se generaría en el nivelde agua, el volumen y en la relación existente entre el nivel de agua y el volumen.


2

156

MOMENTO 2

¿En qué cambian las respuestas de las preguntas anteriores (Momento 1), si inicialmenteel tanque tiene una cantidad determinada de agua a un nivel de 50 cms?


LA CACERÍA

Un buen caballo puede alcanzar una velocidad de 60 kilómetros por hora y sostenerladurante 6 kilómetros aproximadamente. El leopardo, uno de los animales más rápidos quese conocen en el mundo, pude alcanzar velocidades de un poco más de 110 kilómetros porhora y mantenerla por aproximadamente un kilómetro.

Piensa en la siguiente situación:

Un leopardo es alertado por el sonido de los cascos de un caballo, éste al verlo se disponea cazarlo. En el momento que el leopardo decide perseguirlo, el caballo se encuentra aunos 200 metros de distancia. El caballo logra alcanzar su velocidad máxima y aun tienesuficiente energía para sostenerse en esta. Considerando los datos del texto anterior so-bre la capacidad del leopardo y el caballo para correr a altas velocidades.

¿Podrá el leopardo atrapar al caballo?, utiliza gráficos, tablas y/o registros simbólicos quepermitan argumentar la respuesta.


LA CUENTA DE TELÉFONOS

1. Hasta diciembre del año 2005 las empresas telefónicas cobraban el servicio de llama-das a través de un cargo fijo, dependiendo del estrato socioeconómico y un cobro porimpulso hablado. La nueva forma de cobro de llamadas es por plan, en donde se pagael costo del plan y el minuto consumido una vez se gasten los minutos ofrecidos en elplan. En la siguiente tabla aparecen los planes ofrecidos por una de las empresas co-lombianas prestadora del servicio de telefonía, con sus respectivas características.

a) Construya una función que permita modelar el costo de cada uno de los planes ofre-cidos por estrato socioeconómico. Tenga en cuenta todas las condiciones presenta-das en al tabla

b) A partir de los modelos funcionales construidos en el item a) determine las condicio-nes de conveniencia para la elección de algún plan.

c) Consulte cuales eran los cargos fijos y el costo del impulso en la forma de cobroanterior, determine la función que modela esta forma de cobro y haga una compara-ción con los modelos anteriores e indique en que condiciones era mejor la forma depago anterior comparada con la actual.

157

ESTRATO NOMBREDEL PLAN

MINUTOSINCLUIDOS

VALORMENSUAL NETO

A PAGAR

VALOR MINUTOINCLUIDO ENEL PLAN CON

SUBSIDIO

VALOR MINUTOADICIONAL

ESTRATO 1 (*2)PLAN ILIMITADO ILIMITADO $ 20.350 N/A N/A

PLAN 220

PLAN 110 (*1)

220

110

$ 10.200

$ 6.200

$ 46,36

$ 56,36

$ 60,00

$ 60,00

ESTRATO 2 (*2)PLAN ILIMITADO ILIMITADO $ 22.100 N/A N/A

PLAN 220

PLAN 110 (*3)

220

110

$ 11.950

$ 7.400

$ 54,32

$ 67,27

$ 60,00

$ 60,00

(*1) Tarifa subsidiada para el estrato 1 a partir del minuto 111 hasta el minuto 200 es de $26,75(*2) Los primeros 325 minutos estarán exentos de IVA

ESTRATO 3

PLAN ILIMITADO ILIMITADO $ 39.000 N/A N/A

PLAN 550

PLAN 370

PLAN 220

PLAN 110

550

370

220

110

$ 35.000

$ 25.500

$ 17.000

$ 10.000

$ 63,64

$ 68,92

$ 77,27

$ 90,91

$ 63,64

$ 68,92

$ 77,27

$ 90,91

(*2) Los primeros 325 minutos estarán exentos de IVA(*3) Tarifa subsidiada para el estrato 2 a partir del minuto 111 hasta el minuto 200 es de $32,10

ESTRATO 4


PLAN 550

PLAN 370

PLAN 220

PLAN 110

550

370

220

110

$ 35.000

$ 25.500

$ 17.000

$ 10.000

$ 63,64

$ 68,92

$ 77,27

$ 90,91

$ 63,64

$ 68,92

$ 77,27

$ 90,91

ESTRATO 5


PLAN 550

PLAN 370

PLAN 220

PLAN 110

550

370

220

110

$ 42.000

$ 30.600

$ 20.400

$ 12.000

$ 76,36

$ 82,70

$ 92,73

$ 109,09

$ 76,36

$ 82,70

$ 92,73

$ 109,09

Los precios no incluyen IVA


PLANES BÁSICOS LÍNEA TELEFÓNICA ESTRATO 1 Y 2:

NOMBREDEL PLAN

ESTRATO CARGO FIJOMENSUAL

(Sin IVA

VALOR MINUTOHASTA MINUTO

200

VALOR MINUTO ADICIONALA PARTIR DEL MINUTO 201

(Sin IVA)

PLAN BÁSICOESTRATO 1

ESTRATO 2

$ 3.255

$ 3.906

$ 26,75

$ 32,10

$ 60,00

$ 60,00


2

158

Situaciones para la función cuadrática

• ANÁLISIS DE LA SITUACIÓN:

La situación tiene como propósito identificar las características más importantes de lafunción cuadrática, a saber: su crecimiento, decrecimiento, punto de máxima/mínimo,rapidez del cambio (concavidad), entre otros. Está diseñada para orientar a los estudian-tes en dos momentos.

MOMENTO 1

En esta parte, la situación es presentada en lenguaje natural, de tal manera que permitainducir a los estudiantes a que mediante el sistema de representación tabular, identifiquelas relaciones funcionales entre las diferentes magnitudes que intervienen en la situación.Para promover este reconocimiento se formulan preguntas que sugieren a los estudiantesla realización de cálculos de los valores de una magnitud en relación con las otras. Ade-más se requiere que el estudiante se aproxime a describir esta relación funcional hacien-do uso del lenguaje natural.

Una vez llenen la tabla, se espera que reconozcan la existencia de la covariación entre lasmagnitudes, aunque es posible que no logren expresarla cuantitativamente. Esto a pesarde que detectaran los algoritmos con los que se hiciera su registro tabular.

Adicionalmente con este momento se pretende poner en claro la capacidad de los estu-diantes para comunicar conceptos matemáticos, lo cual se hace evidente cuando losexpresan retórica o gráficamente.

MOMENTO 2

En un segundo momento, se propone que la relación entre las magnitudes sea expresadamediante otros sistemas de representación tales como: el gráfico y el simbólico usandouna hoja de cálculo en Excel. En esta parte de la situación se pretende que los estudiantesidentifiquen algunas características de la forma como cambian las variables, dado que lasituación exige al estudiante tener cierto control sobre el cambio que se surge en cadauna de las variables (magnitudes), a medida que crece o decrece el número de viajeros.De esta forma, a través de su análisis se podrá anticipar conclusiones favorables o desfa-vorables para los viajeros y para la empresa de viajes, con base en las condiciones genera-les del problema.

PLANES PREPAGO LÍNEA TELEFÓNICA ESTRATO 1 Y 2:

NOMBREDEL PLAN

DENOMINACIONES TARJETASPREPAGO ETB

VALOR MINUTOLOCAL

PLANESPREPAGO

$2.000

$3.000

$5.000

$10.000

$20.000

$ 86

159

De igual manera, la situación permite que el estudiante identifique algunas propiedadesde la función en cuanto a su variación y a la variación de la variación. Adicionalmente lepermite asociaciones entre los sistemas de representación verbal gráfico y tabular. El do-cente debe estar atento a las posibles respuestas de los estudiantes y promover la identi-ficación de estas características por ejemplo, las preguntas c, d y e del segundo momentopretender orientar el trabajo del docente, hacia el descubrimiento de la forma cómo "cam-bia el cambio" de la función, y su respectiva identificación de este rasgo en el registro derepresentación gráfico. En este sentido el docente puede apoyar el trabajo con un razona-miento gráfico como el siguiente:


En el gráfico N° 1 se muestra un tramo de la relación que existe entre el número de viaje-ros y el valor total del viaje para el grupo. Con la construcción de este gráfico se pretendeobservar que a medida que el número de viajeros aumenta en una unidad, el costo totaldel viaje para el grupo también aumenta. Sin embargo, se puede observar que cada vezaumenta en menor valor.

En el gráfico N° 2 se muestra un tramo de la relación que existe entre dos variables dife-rentes. Con la construcción de este gráfico se pretende observar que a medida que una delas variables aumenta en una unidad la otra variable aumenta, pero en este caso se puedeobservar que cada vez aumenta en un mayor valor.

Gráfico 1. Tramo de la parábola de la relación funcional de la situación

Gráfico 2.


2

160

Por medio de actividades de este tipo es posible, mediante el proceso de generalización,llegar a la conclusión que las gráficas cóncavas hacia arriba representan un cambio posi-tivo o de aumento en la variación de la función y que una gráfica cóncava hacia abajorepresenta un cambio negativo o disminución de la variación de la función.

Componentes de la situación

• Elementos procedimentales y conceptuales Matemáticos:Discriminación de magnitudes variables y constantes.Identificación de las magnitudes dependientes e independientes en una relaciónfuncional.La organización de la información en tablas que permitan reconocer y cuantificar elcambio.La representación simbólica y cartesiana de las relaciones funcionales.

• Elementos Didácticos:• Criterios de análisis en la Modelación.

La identificación y selección de las magnitudes variables y constantes.La formulación de hipótesis de trabajoConstrucción de ecuaciones y herramientas simbólicas y gráficas para realizarprocedimientos.El establecimiento de argumentos que permitan validar la obtención del modelo.La utilización del modelo para elaborar y probar conjeturas de la situación problema.

• Criterios de análisis en el reconocimiento de la variaciónLa determinación de las cantidades variables.La identificación de las invariantes del problemaEl reconocimiento de las relaciones multiplicativas entre las magnitudes que in-terviene en la situación.La descripción y coordinación del cambio de una cantidad de magnitud con loscambios en otra.Identificación de la concavidad de la función como la herramienta para determi-nar la variación del cambio de la función (variación de la variación)

• Criterios de análisis en la manipulación de los sistemas de representación.El uso de herramientas como la interpolación y extrapolación para determinarparejas de valores en una tabla.El reconocimiento de los elementos de cada sistema semiótico de representaciónen relación con el concepto de funciónLa identificación de características de la función en un sistema de representacióny sus correspondientes en otro sistema de representación.


En la empresa de viajes JAVO.Ltda se tiene que el valor de un paquete turístico a cual-quier destino nacional por persona es de $350,000. Sin embargo para cualquier grupo sehace un descuento de $2,000 por cada persona, válido para cada uno de los miembros del

161

grupo. Es decir si viaja una pareja se hace un descuento de $4,000 a cada uno de ellos. Deigual manera si es un grupo de 5 personas se hace un descuento de $10,000 (5 veces$2,000) a cada uno de los viajeros.

MOMENTO 1

Reconocimiento y representación de las relaciones funcionales.

Con base en la información anterior responda:

a. ¿Cuál sería el costo del viaje para un grupo de 10 personas? ¿y para un grupo de 23personas?

b. Si el costo para un grupo es de $9'800,000. ¿cuántas personas hacen parte del grupo?c. Con base en esta información llene la siguiente tabla:


Número demiembros del grupo

Valor del descuentopor persona

Valor tiquete porpersona

Valor total del viajepara el grupo

25

5062

14.000310.000

d. Según las condiciones de la situación cuáles cantidades permanecen constantes y cuá-les varían?

e. Exprese con palabras la relación que existen entre cada una de las siguientes cantida-des:

a. Número de miembros del grupo y valor del descuento por persona.b. Número de miembros del grupo y valor del tique por persona.c. Número de miembros del grupo y valor total del viaje para el grupo.f. Represente mediante símbolos cada una de las anteriores relaciones.

MOMENTO 2

Análisis de algunas propiedades a través desus representaciones gráfica y tabular

En el archivo empresa de viajes JAVO.Ltda.xlsse muestra una tabla y su respectivo gráfico,(ver gráfico N° 3) que elaboró la empresa parallevar el registro de sus posibles ofertas y res-tricciones a los clientes.

Gráfico 3. Imagen del archivoempresa de viajes javo.ltda


2

162

1. Asigne diferentes valores a la casilla salto y valor inicial, observe y describa los cam-bios que genera en la tabla.

2. Observe la tabla y con base en ella responda:

a. A medida que aumenta el número de viajeros, qué sucede con cada una de las si-guientes cantidades:

El descuento por persona,

El valor del tiquete por persona,

El costo total del viaje al grupo.

b. Si se duplicara el número de viajeros qué efectos tendría esto sobre cada una de lasotras cantidades de la tabla?

c. En qué valor se incrementa el costo del viaje para el grupo cuando el número deviajeros aumenta de 12 a 15, de 15 a 18, de 18 a 21, de 42 a 45, 83 a 86, de 86 a 89 y de89 a 91. Describe con tus palabras las regularidades que puedes observar.

d. A medida que el número personas aumenta de 0 a 87 cómo es el crecimiento en elvalor del viaje para el grupo. ¿Cómo se puede observar esta forma de crecimiento enla gráfica de la función?

e. A medida que el número personas aumenta de 88 en adelante cómo es el decreci-miento en el valor del viaje para el grupo. ¿Cómo se puede observar esta forma dedecrecimiento en la gráfica de la función?

f. ¿Para qué número viajeros la empresa obtendría su máximo ingreso? ¿Cómo se pue-de observar este valor en la gráfica de la función?

g. Suponga que se tiene un grupo de 50 personas y otro de 125 personas. ¿Cuántodinero recibiría la empresa por cada uno de estos grupos? ¿Cuál de los dos grupos esmás conveniente que la empresa tome para su viaje? Argumenta tu respuesta.

h. ¿Qué relación existe entre las cantidades Número de viajeros y costo del tiquetepor persona con la cantidad del costo total para el grupo?

i. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a cada una de las columnas de la tabla?

j. ¿Qué relación se puede observar entre la gráfica del costo del tiquete por persona,el eje x y la gráfica del valor total del grupo.

3. Si usted fuera gerente o asesor de la empresa, qué cambios sugeriría a este plan de talmanera que represente mejores utilidades a la empresa.


Se tiene una cuerda de longitud K metros. Con una parte x de ella se requiere encerraruna superficie circular y con la otra parte una superficie cuadrada, ver figura 2.

163


Actividad 1

a. Verifique que el área total A encerrada por la cuerda como función de la longitud x, esuna función cuadrática.

b. Si la función A(x) es cuadrática entonces es una parábola, ¿Qué información ofrece a lasituación el vértice de la misma?

Actividad 2

a. ¿Que trayectoria sigue el vértice de la parábola cuando k toma valores reales positivos?¿Qué dice esta trayectoria de la situación?

b. Determine un valor exacto o aproximado de la longitud x para el cual el área total ence-rrada es mínima.

c. ¿Cuál es dicho valor mínimo para el área total encerrada?


Si el lado de un campo rectangular va a tener como límite el muro de una casa, halle lasdimensiones del terreno rectangular mas grande que puede cercarse usando 240 m devalla para los otros tres lados.

Figura 2


2

164

165

Unidad No.5

El razonamiento algebraico y el proceso de factorizaciónFabián Arley Posada BalvínJohn Jairo Múnera Córdoba

El desarrollo de procesos algebraicos desde los primeros niveles educativos, exige lainteracción de los estudiantes con actividades y situaciones que propicien la reflexiónfrente a lo que cambia, y lo que se conserva; generando un contexto para la comunicaciónde relaciones invariantes estructurales, pero fundamentalmente, que les permita expre-sar lo que observan, así sea inicialmente desde el lenguaje natural, mientras construyenniveles de simbolización mediados por diferentes representaciones: icónicas, geométricas,tabulares, gráficas, numéricas y algebraicas.

En todas estas representaciones siempre va a estar presente el razonamiento visual, apartir del cual se puede promover momentos de exploración, análisis y sistematización deideas que tienen que ver, poco a poco, con la formalización y generalización. Como puedeapreciarse, un trabajo dinámico que promueva formas particulares de expresar la genera-lidad, hasta relacionarla con las formas socialmente establecidas, exige de la participa-ción activa de los estudiantes.

Entonces, la movilización de habilidades algebraicas por parte de los estudiantes tendráque ver con las formas de expresar y comunicar ideas matemáticas; para ello se necesitade diferentes niveles de representación, que cuando se parte de actividades que vinculanexploraciones empíricas e inductivas, se pueden poner de manifiesto.

La representación simbólica en contextos algebraicos está estrechamente relacionadocon los niveles semánticos en la comprensión del concepto de variable en matemática,adicionalmente, el progreso en el uso de este concepto determina el estado de compren-sión de situaciones relacionadas en los diferentes grados de generalidad.

En el campo del álgebra una variable es un símbolo, usualmente representado por unaletra, que da cuenta de cualquier elemento de un conjunto, los cuales son números u otrosobjetos. A través de ellas es que podemos expresar regularidades presentes en situacio-nes matemáticas, dar cuenta de diferentes niveles de abstracción y generalidad, operarcon lo desconocido como si lo fuera y comunicar matemáticamente, sin el perjuicio de laambigüedad, relaciones entre los objetos, tanto de las mismas matemáticas como de otrasciencias.


2

166

De acuerdo a Godino (2000) las variables en matemáticas tienen cuatro usos principales:

1. Las variables como incógnitas: Cuando se usan para representar números (u otros ob-jetos) uno de cuyos valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita inter-viene como un número desconocido que se manipula como si fuera conocido.

Ejemplos:Cuando en los primeros cursos se escribe, por ejemplo, 9+ __ = 15Cuando en cursos más avanzados se proponen ejercicios del tipo: ¿Cuánto vale x paraque sea cierta la igualdad 4x + 2 = 3x +5?

2. Las variables como indeterminadas o expresión de patrones generales. (números gene-ralizados): Es el caso cuando la variable se usa en enunciados que son ciertos paratodos los números (o elementos del conjunto que se trate).

Ejemplos:Para todos los números reales se cumple que a·b = b•aEl área del cualquier rectángulo es A = b•a (a = base y b = altura).

3. Las Variables para expresar cantidades que varían conjuntamente. La relación de de-pendencia entre variables ocurre cuando el cambio en una variable determina el cam-bio en la otra.

Ejemplos:En la expresión y = 5x + 6, cuando cambia x también lo hace y.En la fórmula C= 2 πr, cuando cambia el radio r también cambia la longitud de la cir-cunferencia C.

4. Las variables como constantes o parámetros. Es el caso de la letra a en la fórmula de lafunción de proporcionalidad y = ax. En un primer momento se ha de considerar que laletra a no varia y que sólo lo hacen de manera conjunta la x y la y. De esta manera seobtiene una función de proporcionalidad directa. En este primer momento no hay dife-rencia entre tener y = ax ó y = 2x. En un segundo momento se ha de considerar que apuede variar y tomar cualquier valor, con lo que obtenemos la familia de todas las fun-ciones de proporcionalidad simple directa.

Ejemplo:“a es una constante real y x una incógnita tal que, ax = x+1. ¿Qué puede valer x?” Aquíse considera que la letra a representa un número fijado como dato en el problema,pudiendo ser cualquier número, pero cuyo valor no se especifica numéricamente en elproblema dado. Esta manera de trabajar confiere al problema un carácter mucho másgeneral. La letra a interviene aquí como un parámetro: objeto matemático conocido(número, conjunto, función, figura, etc.) que puede tomar cualquier valor (una varia-ble), pero también debe entenderse como objeto matemático que tiene un valor especí-fico constante. Es decir, un parámetro puede entenderse como variable y constante a lavez.

Una forma de ver como los diferentes significados de la variable juegan un papel impor-tante en los procesos algebraicos, es el caso de la factorización de polinomios desde unpunto de vista escolar. Esto porque la factorización puede asumirse como una alternativa

167

de razonamiento, donde sus formas de representación vinculan a la variable en los dife-rentes significados anteriores:

Por un lado, al entender la factorización como un procedimiento centrado en el tratamien-to de funciones polinómicas generales, los coeficientes deben expresarse como parámetrosy las variables dependientes e independientes representan cantidades que covarían (va-riables). Y de otro, cuando la factorización es usada como herramienta para solucionarecuaciones, en este caso las variables asumen el papel de incógnitas y por tanto se obtie-ne un conjunto finito de valores que depende del grado de los polinomios.

Seguidamente se presenta una manera de entender conceptualmente el problema de lafactorización tanto desde el punto de vista matemático como de su uso en la solución deproblemas. Esto sin desconocer que el tratamiento conceptual, finalmente nos conlleva auna serie de procedimientos algorítmicos que facilitan el tratamiento de relaciones entrelos diferentes registros de representación de una función polinómica.

La factorización como proceso y como herramienta

Tradicionalmente al aprendizaje de los conceptos y relaciones asociadas a la factorizaciónse le destina gran parte de los grados 8º y 9º de la educación básica. La forma de procederestá reducida a la memorización y mecanización de los llamados 10 casos convencionalesy algunos especiales, con los cuales se pretende factorizar polinomios de segundo gradocon coeficientes generalmente racionales. Dicho de otra manera, lo que se estudia son losalgoritmos que permiten pasar de un polinomio dado en su forma canónica, a un productode polinomios lineales que sea equivalente al dado. Esto a espaldas, de lo que dicho pro-ceso significa, tanto desde el punto de vista matemático como fenomenológico; antepo-niendo a los procesos de pensamiento matemático según los lineamientos curriculares,mecanismos de memorización algorítmica.

Esta práctica ha sido reconocida como un problema que año tras año se sostiene en laeducación matemática, bajo la hipótesis que es muy importante porque este conocimien-to algún día será necesario y útil. Sin embargo, para muchos estudiantes incluso paraalgunos profesores ese día nunca llega.

La necesidad del estudio de la factorización puede entenderse a través de dos vías: unomatemático y otro fenomenológico, íntimamente relacionados. Por un lado, desde el puntode vista matemático, factorizar es algo que va mas allá que construir casos de factorizaciónpara polinomios particulares (generalmente de segundo grado); es una forma de com-prender el teorema fundamental del álgebra (TFA) y por tanto, es este, el concepto mate-mático que debe ser comprendido por los estudiantes. Por otro lado, desde el punto devista fenomenológico, la factorización tiene sentido en la medida que permite encontrarsoluciones numéricas a ecuaciones de la forma f(x)= g(x) con f(x) y g(x)dos funcionespolinómicas. Es decir, ecuaciones algebraicas55.

_____________________________________________________

55 Algunos de estos conceptos pueden extenderse a la solución de otro tipo de ecuaciones: trigonométricas, logaritmicas, exponenciales, etc.

El razonamiento algebraico y el proceso de factorización


2

168

Estos dos elementos se relaciones en la medida que la ecuación algebraicas f(x)= g(x)pueden transformarse, a través de la actividad de tratamiento en el registro simbólico, auna nueva ecuación, igualmente algebraica de la forma h(x)= f(x)- g(x)=0 o k(x)= g(x)-f(x)=0. Una vez se tiene la nueva ecuación h(x)=0 o k(x)=0 entra a escena el TFA paraayudar a encontrar las raíces, los ceros ó soluciones de estas. Dicho de otra forma, encon-trar los ceros o raíces de una de las dos ecuaciones h(x)=0 o k(x)=0 es una estrategia paradeterminar las soluciones de la ecuación f(x)=g(x).

Desde esta perspectiva, la solución de estas ecuaciones se puede determinar a partir decualquiera de los registros de representación para el concepto de función. En particulardesde el punto de vista gráfico, solucionar la ecuación, no es más que determinar lospuntos de corte de f(x) y g(x), lo cual ocurre exactamente en los mismos valores de lavariable independiente que solucionan las ecuaciones h(x)=0 y k(x)=0, es decir, losinterceptos de h(x) y k(x) con el eje x. Esto gráficamente significa, que la solución def(x)=g(x) o cortes entre las funciones f(x) y g(x) se trasladan para que coincidan con el ejex, esto dado a que, como se observa en la siguiente figura, los valores de la variable inde-pendiente (indeterminada x) que hacen cierta las tres ecuaciones, son los mismos.

En esta figura se observan simultáneamente las funciones f(x), g(x), h(x) y k(x) e igual-mente se observa que en los mismos valores para la variable independiente donde secortan las funciones f(x) y g(x), es donde se cortan las funciones h(x) y k(x)con el eje x,esto se indica con las líneas verticales, que como se puede observar, pasan exactamentepor los mismos valores de x. Esto puede interpretarse como una simple traslación verticalde los puntos de corte entre f(x) y g(x) hasta que coincidan con el eje x, modificándose losvalores de y para que sean 0. A estos puntos de intercepción entre h(x) y k(x) con el eje xse les llamaran puntos solución de las ecuaciones h(x)=0 y k(x)=0 y por ende solucionesde la ecuación f(x)=g(x). Estos valores igualmente reciben el nombre de ceros o raíces deh(x) y k(x).

Lo anterior se puede ilustrar a través del siguiente ejemplo:

Supongamos que el coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto esté

determinado por la función

450)(

2xxf −= pesos y el precio de venta de las mismas se encuentre

169

determinado por la función

25541)( 2 ++= xxxg pesos. Hallar el número mínimo de unidades que debe

venderse diariamente para que se puedan obtener beneficios.

Para encontrar la respuesta a la pregunta de esta situación, se debe equilibrar el coste deproducción y el precio de venta, pues una vez este supere el costo de producción, seobtendrán beneficios. Matemáticamente sería g(x) ≥ f(x). En este sentido la cantidad míni-

ma será cuando f(x)=g(x) y por tanto

25541

450 2

2

++=− xxx . La estrategia de solución sería

transformar f(x)=g(x) a h(x)=f(x)-g(x)=0 y encontrar los puntos solución, raíces o cerosde h(x)=0.

En nuestro caso 0255

21)( 2 =−+= xxxh y por tanto se requiere solucionar la ecuación

0255

21 2 =−+ xx . En la siguiente figura se muestra la solución gráfica de la situación.

Desde el punto de vista del registro simbólico analítico, la estrategia de solución es lograr

transformar 25521 2 −+ xx en una forma (x-a) (x-b) de tal manera que al igualarle a cero, es

decir, (x-a) (x-b)=0, se tiene que (x-a)=0 ó (x-b)=056

y así encontrar que x=a o x=b. Enotros términos, se transforma el polinomio de grado mayor a 2 en un producto de factoreslineales que permitan determinar fácilmente cuales son los ceros de la función. Esto siem-pre es posible gracias al TFA. Esta es una de las razones que hace importante a lafactorización como concepto, y no simplemente como casos de factorización.

A partir de este punto es que el problema se convierte en una actividad de tratamiento alinterior del registro simbólico analítico y no es otra cosa que un conjunto de métodos,

_____________________________________________________

56 Esto es posible hacerlo porque el conjunto de los polinomios tiene estructura de dominio entero.



2

170

_____________________________________________________

57 Uno de los elementos que hacen que el teorema sea fundamental es que no requiere construir otros conjuntos numéricos, por fuerade campo de los complejos, para resolver el problema genérico de encontrar raíces de un polinomio. Con los complejos basta.

traducidos en teoremas, que permiten recrear el TFA. Esto quiere decir, que los llamadoscasos de factorización, no son otra cosa que una forma de algoritmizar al TFA y por tanto,desde el punto de vista conceptual y procedimental, los esfuerzos deberían dirigirse acomprender el TFA y no solo a memorizar los algoritmos que lo usan (casos de factorizaciónpara polinomios de segundo grado).

Ahora bien, como el TFA al rezar: si “f(x) es un polinomio de coeficientes complejos y elgrado del mismo es n ≥ 1, entonces f(x) tiene al menos una raíz compleja”, se puede demos-trar que “tiene exactamente n raíces, donde una raíz de multiplicidad n se cuenta n veces”.Como se aprecia, el TFA es un teorema sólo de existencia y no indica como hallar dichasraíces. Esto quiere decir, que a partir del mismo se puede garantizar que el problema deencontrar los ceros de una función polinómica siempre es posible en el campo de losnúmeros complejos57, pero lo único que se podría tener son métodos para intentar hallar-las. Dicho de otro modo, independiente del grado que tenga el polinomio, siempre es posi-ble encontrar sus raíces en el campo de los números complejos, aun no siendo una tareafácil de realizar. En particular, para polinomios de grado dos, como es el caso que la es-cuela generalmente trata, los métodos utilizados para hallar sus raíces tiene los mismosprincipios como si el problema fuera de grado superiores y por tanto son estos los que sedeben ser comprendidos.

Entonces, desde el punto de vista matemático, ¿qué significa factorizar? Para comprenderel concepto de factorización, en necesario analizar cuatro elementos básicos: la definicióndel algoritmo de la división de números enteros, para luego hacer una transposición deeste concepto a lo que es la división de polinomios, entender el teorema del residuo y elteorema del factor para, por ultimo, comprender el teorema fundamental del álgebra, elcual en síntesis es el concepto esencial escondido en los procesos técnicos de lafactorización.

Para comenzar, recordemos que si se tienen dos números enteros m, n siempre se puedenencontrar otros dos únicos enteros q y r de tal manera que, sin perdida de generalidad, sim>n entonces m=nq+r con 0 ≤ r < n. Estos enteros q y r se obtienen de dividir m por n, através del algoritmo de la división. Al número q se le llama cociente, al número r residuo,a m divisor y a n dividendo. Si r=0 se dice que m es múltiplo de n, ó que n es un factor dem al igual que q. Esto quiere decir que m=nq o en otros términos, el entero m se puedefactorizar en los factores n y q.

De manera análoga, dados los polinomios f(x) y g(x), sin perdida de generalidad, si f(x) esde grado mayor que g(x) entonces siempre se pueden encontrar, a través del algoritmo dela división para polinomios, otros dos polinomios q(x) y r(x), de tal manera que f(x)=g(x)q(x)+ r(x) con el grado de r(x) menor que el grado de g(x). Al igual que en el caso anterior, sir(x)=0 entonces, f(x)=g(x)q(x) y se dice que tanto g(x) como q(x) son polinomios factoresde f(x) o lo que es lo mismo, el polinomio f(x) puede ser factorizado con el producto de lospolinomios g(x) y q(x).

171

Esto significa que para factorizar un polinomio f(x) de grado n>1, solo es necesario encon-trar otro polinomio g(x) de grado menor al de f(x), tal que si dividimos a f(x) por g(x) seobtenga como residuo a r(x)=0. El problema general de la factorización radica precisa-mente en encontrar este polinomio g(x) que cumpla con la condición establecida. Si elpolinomio g(x) es de la forma (ax-c) con a, c números complejos, entonces el proceso defactorización simplifica la determinación de los ceros de la función. En el caso que elpolinomio f(x) sea de grado dos, es decir de la forma f(x)=ax2 + bx +c con a≠0, encontrara g(x)=(x-c) factor de f(x) es transformar a f(x) en f(x) = m(x-c) (x-d) con m≠0 de esta formaqueda factorizado y por ende solucionado el problema de encontrar sus raíces.

Por tanto todos los esfuerzos dirigidos a algoritmizar el proceso de factorización, debenestar centrados en permitir la comprensión con sentido de los siguientes teoremas, puesson los que le soportan matemáticamente lo expresado en los párrafos anteriores y hacenexplícitos los conceptos. El teorema 1 se refiere al concepto de divisibilidad entre polinomios,y como consecuencia se deduce el teorema 2, teorema 3 (teorema del residuo) y teorema4 (teorema del factor). Los teoremas 5, 6, 7 permiten hacer análisis rápidos de las diferen-tes raíces de un polinomio.

Teorema 1: Divisibilidad de polinomios

Sean f(x) y g(x) polinomios con g(x)≠0. Entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) talesque f(x)= g(x)q(x)+r(x) donde r(x) es cero, o tiene grado menor al grado de g(x).

Teorema 2:

Sea f(x) un polinomio de grado n>0 y sea w un número complejo. Entonces, existe unpolinomio único q(x) de grado n-1 y un número complejo único r tal que f(x) = (x-w)q(x)+r.

De este teorema se desprende algo bastante importante que relaciona a los números rea-les w, r y la función f(x): si x=w entonces, f(w)=r, tal resultado es conocido con el nombrede Teorema del residuo. En otros términos, cualquier polinomio de grado mayor a uno, alser dividido por otro polinómo lineal de la forma (x-w) deja como residuo un número real r,el cual es el mismo valor de f(x) cuando se evalúa en w.

Teorema 3 (teorema del residuo):

Cuando un polinomio f(x) se divide por el polinomio lineal de la forma g(x)=x-w, el valordel polinomio f(x) cuando x=w es r, esto es, f(w)=r.

Si suponemos que r=0 en el teorema 3, se obtiene que f(x)=0 y se dice que w es un cero ouna raíz del polinomio, y por lo tanto según el teorema 2 se tiene que f(x) =(x-w)q(x), estaidea genera un nuevo teorema que recibe el nombre de Teorema del factor el cual dice:

Teorema 4 (teorema del factor):

Un número real w es una raíz de un polinomio f(x) si y solo si el polinomio lineal g(x)=x-wes un factor de f(x).

Una forma de dinamizar y al mismo tiempo probar la validez de los teoremas anteriores, esa través del algoritmo conocido con el nombre de división sintética. Esta simplifica el



2

172

proceso general del algoritmo de la división, cuando el polinomio divisor es de la forma (x-m) con m un número complejo, y por tanto puede servir de herramienta en la tarea dehallar las raíces de un determinado polinómio.

División sintética

1. Organice el polinomio f(x) en potencias descendentes de x.2. Escriba los coeficientes del polinomio en forma horizontal.3. Escriba m (el número complejo, término independiente del polinomio divisor). Asegú-

rese de incluir cualquier coeficiente que sea 0, además del término constante.4. Baje el primer coeficiente a la tercera fila.5. Multiplique este número por m y escriba este producto directamente debajo del segun-

do coeficiente de f(x). luego sume los dos números en esa columna y escriba el resulta-do debajo de ellos, en la tercera columna.

6. Multiplique esa suma por m y escriba el producto en la segunda fila debajo del coefi-ciente que sigue. Luego sume los dos números de esta columna y escriba la suma en latercera fila.

7. Repita el paso anterior tantas veces como sea necesario.8. El último número de la tercera fila es el residuo constante r; los números que lo prece-

den son los coeficientes de q(x), el polinomio cociente de grado n-1.

A manera de ejemplo:

Sea f(x)=3x3-2x+8 y g(x)= x-2 si se desea dividir a f(x) por g(x), simplemente, siguiendo elanterior algoritmo se tiene:

Apelando al teorema 2 se tiene que f(x) se transforma en f(x)=(x-2)(3x2+6x+10)+28 ysegún el teorema del residuo 28 es el resultado de evaluar a f(x) en 2, efectivamente f(2) =3.23 - 2.2+8 =28.

Los cuatro teoremas anteriores son herramientas suficientes y necesarias para factorizarun polinomio de grado n>1 con coeficientes complejos, pero además, son fundamentalespara encontrar las raíces del polinómio. Los teoremas siguientes son herramientas quepermiten analizar el tipo de raíz que es posible encontrar dependiendo del polinomio quese va a factorizar.

Teorema 5 (Teorema de las Raíces Racionales):

Sea f(x)=anxn + a

n-1xn-1 +...+ a

1x + a

0 un polinomio de grado n, donde todos sus coeficien-

tes ai, i=0,1,2,...n son números enteros con a

n≠0. Si f(x) tiene una raíz racional de la forma

sp con p y s primos entre si, entonces p es un factor de a

0 y s es un factor de a

n.

173

Teorema 7: (Teorema de las raíces complejas)

Sea f(x) un polinomio de grado n>1 con coeficientes reales. Si z es una raíz compleja def(x), entonces el conjugado de z también es una raíz de f(x).

Tomando como base los desarrollos teóricos anteriores y lo propuesto por los lineamientosy estándares curriculares, se requiere reconstruir la organización conceptual que puedallevarse a cabo desde la iniciación escolar, de tal manera que el punto de partida de losprocesos algebraicos no sea el énfasis formal y deductivo, sino un espacio para dinamizarrelaciones desde los distintos significados de la variable, cuyas estrategias de comunicar-las pasen por varios niveles de representación y simbolización; hasta lograr formas supe-riores de generalización propias de toda actividad matemática.

• CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOSLa siguiente organización de estándares recoge los elementos teóricos antes planteados yorientan el diseño de actividades para su desarrollo.

Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas

Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números yde las figuras geométricas.

Construir ecuaciones e inecuaciones aritméticas como representación de las relacionesentre datos numéricos.

Utilizar métodos informales (ensayo - error, complementación) en la solución deecuaciones.

Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.

Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuacionesalgebraicas.

Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas defunciones polinómicas y racionales.

GRADO

1-3

4-5

6-7

8-9

10-11

PROCESOS ALGEBRAICOS

De esta forma, con el conjunto de actividades que se presentan en esta unidad se buscagenerar un espacio de trabajo que promueva la extracción de información a partir derepresentaciones geométricas y problemas para construir expresiones algebraicas y ejer-citar operaciones entre ellas. También se pretende propiciar un contexto para combinardiferentes representaciones que posibilite la exploración y obtención de inferencias a par-tir de diagramas, tablas y gráficas, que representan datos de situaciones concretas.

La forma como están pensadas las actividades buscan movilizar en los alumnos procedi-mientos propios del razonamiento algebraico desde una perspectiva dinámica en la quesurgen niveles de significación y de simbolización, hasta culminar con procesos sintácticosy analíticos propios del álgebra.



2

174

También se pretende que los estudiantes empiecen a construir conjeturas en cuanto aoperaciones y relaciones con los números antes mencionados, es decir, desde un trabajode experimentación y exploración, los alumnos tendrán la oportunidad de construir pro-posiciones asociadas a conceptos básicos de la manipulación del lenguaje algebraico.

En particular se espera hacer un uso con sentido de la variable en sus distintos significa-dos, a partir de situaciones específicas para ir construyendo con ellos el valor y el signifi-cado que las mismas tienen cuando se trata de solucionar problemas tanto de otras cien-cias como de la misma matemática.

Las primeras situaciones promueven en los estudiantes habilidades para el uso de lasletras en el contexto de: números evaluados, como incógnitas especificas, el papel en latraducción de situaciones aritméticas al lenguaje algebraico e iniciar la comunicación desituaciones numéricas con diferentes grados de generalización.

A través de las situaciones siguientes se espera que los estudiantes inicien procesos rela-cionados con la interpretación de datos obtenidos a partir de representaciones geométricase iniciar la ejercitación de operaciones entre expresiones algebraicas para resolver pro-blemas.

Las últimas cuatro actividades están pensadas para dar sentido al proceso de factorizaciónen ambos contextos: como concepto matemático y como herramienta para la solución deecuaciones algebraicas. Igualmente tienen que ver con el cálculo de valores particularesde una expresión algebraica y su interpretación a la luz de contextos particulares de unasituación, y establecer relaciones a partir de la organización de tablas de datos y la co-nexión con representaciones geométricas y expresiones simbólicas.


GENERALIZANDO DESDE SITUACIONES NUMÉRICAS Y PROCESOS ALGEBRAICOS

Propósitos:• Usar las letras como números evaluados y como incógnitas específicas.• Ejercitar la construcción de expresiones algebraicas desde el apoyo de representa-

ciones geométricas.• Relacionar expresiones algebraicas desde diferentes sistemas de representación de las

mismas

Materiales:

Guías de trabajo para cada uno de los estudiantes donde se hacen explícitas las activida-des con sus respectivas instrucciones.

175

Actividad 1 58

Sustituya las letras por números, de tal manera que, al sumar-los, se obtengan los resultados indicados al final de las hilerashorizontales y verticales. (En la hoja siguiente se presenta laactividad)

Como se puede observar en casillas diferentes hay letras igua-les, ¿qué significado tiene esto? Describa su estrategia de solu-ción.

Actividad 2

Los siguientes problemas son de adición. Diferen-tes letras representan dígitos diferentes, ¿Por cuá-les dígitos se debe reemplazar la letra para quela suma ea coherente?

Actividad 3

1. Con base en la siguiente figura:

a. Obtenga una expresión para el área y el pe-rímetro de la siguiente figura.

b. Realice una tabla de valores numéricos parael área y el perímetro de dicha figura.

c. Se requiere que la superficie mida exacta-mente 20 cm2, ¿Cuál debe ser la medida de la longitud x?

d. Si se quiere que el perímetro mida exactamente 16 cm. ¿Cuál debe ser la medida dela longitud x?

e. Cuanto debe medir la longitud x para que la figura tenga un área de 9 cm2 y unperímetro de 24 cm.

Actividad 4

1. En la superficie dada, el triángulo es equilátero de altura6cm. Suponga que desea armar un poliedro doblando lasdiferentes caras. Determine:

a. El área lateral total del poliedrob. El volumen del poliedro

_____________________________________________________

58 Tomada de: Villa Jhony y Tabares Guillermo. Enseñanza y Aprendizaje del Concepto de Variable en el Contexto de laEducación de Adultos. Trabajo monográfico de grado presentado como requisito para optar al título de Especialista en laEnseñanza de la matemática. Universida de Antioquia. Medellín, 2000. p. 98

H U 5 12

5 T 2 8

T 7 H 12

10 11 11

L E E R + A M O R + L E E R A M O R L E E R A M O RS A B E R T U Y Y O

2x

x

x

2

2

2n

n

n



2

176

c. El perímetro de la based. El perímetro de una cara laterale. Si se quiere que el perímetro mida exactamente 82 cm. ¿Cuál debe ser la medida de

la longitud n?f. Si se requiere que la superficie mida exactamente 45 cm2, ¿Cuál debe ser la medida

de la longitud n?g. ¿Cuanto debe medir la longitud n para que la figura tenga un volumen de 28 cm3 y

un área de 44 cm2?

Actividad 5

Actividad con el álgebra geométrica plana59 .

1. En el juego de rectángulos presentados en la siguien-te figura (correspondiente al Algebra Geométrica en-tregada), identifique y dibuje los que son cuadrados ydefina la medida de sus lados con los valores a, b, 1(de mayor a menor respectivamente).

2. Con base en la selección anterior, defina las medidasde los lados de los demás tipos de rectángulos del juego.

3. Con base en estas medidas calcule las áreas de cada clase de rectángulo.4. Dibuje e identifique: bases, alturas y áreas.5. Termine de registrar la información de la siguiente tabla, utilizando como único ele-

mento de apoyo el álgebra geométrica.

_____________________________________________________

59 Actividad diseñada por el profesor Miguel Moreno.

Áreas Área del rectánguloformado

Área en términos dela base y la altura

El rectánguloformado es cuadrado

a2, ab

1, a2, 2a,

4b , b2, 3,

a2, b2

3, 2a2, 5a

5b, 6, b2

2b,a2, ab, 4a, 4

2ab , b2 , a2

6, 2ab, 3b, 4a

a2 + ab

7a + a2 + 6

2 + 5a + 2a2

4a2 + 4a + 1

A = a ( a + b )

A = (b +1)(a + 2b)

A = b(b + 1)

A = (a + b)(a + 3)

A = (a + 3)(a + 3)

No

Si

177

Actividad 6

1. Encuentre una expresión matemática para el área del siguiente rectángulo de dos for-mas diferentes.

Áreas Área del rectánguloformado

Área en términos dela base y la altura

El rectánguloformado es cuadrado

1, - 4a , 4a2

a2, – b2

b2 + 7a + 12

a2 – 2ab + b2

a2 – a – 6

A = ( a – 1 )(b + 2)

A = ( 2a + 1)(b -2)

No

n(cm) A(n)Cm2

P(n)cm

11/22

2.53

7/28

10

Complete la tabla teniendo en cuenta que A( n ) es el área del rectángulo y P( n ) elperímetro.

Actividad 7

2. La expresión algebraica A(n) = 2n2 + 2n + 3 da cuenta del área de una figura determi-nada, utilice ésta para resolver las siguientes actividades:

a. Construir una representación geométrica de la figura que tenga por área la expre-sión dada

b. Obtener el perímetro de la figura obtenidac. Realizar una tabla de valores numéricos para el perímetro y área de la figura

• GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Las dos primeras situaciones pueden ser abordadas con estudiantes del grado sexto yséptimo, es importante que las trabajen en equipos, eso sí, cada estudiante debe tenerregistro escrito de las conclusiones y relaciones construidas a partir de las actividades,que en última instancia darán cuenta sobre la forma como se generalizan situacionesnuméricas. También promueven en los estudiantes habilidades para el uso de las letras enel contexto de: números evaluados, como incógnitas especificas, el papel en la traducción



2

178

de situaciones aritméticas al lenguaje algebraico e iniciar la comunicación de situacionesnuméricas con diferentes grados de generalización.

Estas permiten a los alumnos considerar las letras como representante de números espe-cíficos. Los alumnos muy probablemente enfrenten la situación evaluando (generalmentepor ensayo y error) las letras con números que cumplan las condiciones planteadas.

Por ejemplo, en la actividad 1, en la primera fila si H + U + 5 = 12 entonces el valor de Hy de U puede ser de 5 y 2 respectivamente, sin embargo la actividad le exige en estoscasos considerar mas de una posibilidad, pues estos valores obliga a que el valor de T seacero (0). Por lo tanto al verificar en otras filas y columnas, éstos resultan inconsistentes conlos resultados. Para ello los alumnos deben considerar que una misma letra en diferentesposiciones debe indicar el mismo valor numérico. Esta serie de interpretaciones por partede los alumnos le permite a los docentes identificar las dificultades y fortalezas que sepresentan. Igualmente sucede en la actividad número 2.

En la actividad 2 se espera que además de los intentos por ensayo y error para obtener losvalores de las letras, se pueda entrar a discutir con los estudiantes aspectos relacionadoscon el sistema de numeración decimal posicional, generando alternativas algorítmicaspara su solución.

Las cinco situaciones siguientes son planeadas para estudiantes del grado octavo, enestas se combinan diferentes sistemas de representación, en todas ellas, de una u otramanera, se entra en contacto con alguna representación geométrica, para dar sentido aexpresión simbólicas en el contexto de encontrar áreas y perímetros a partir de tener suspartes variables. Es muy importante mirar la forma como los estudiantes proceden, dadoque la variedad de formas al tratar de construir la expresión va a dar lugar al estableci-miento de relaciones entre ellas, conllevando a observar la equivalencia entre las mismas.

Con éstas se busca generar un espacio de trabajo que promueva la extracción de informa-ción a partir de representaciones geométricas y problemas para construir expresionesalgebraicas y ejercitar operaciones entre ellas. También se pretende propiciar un contex-to para combinar diferentes representaciones que posibilite la exploración y obtención deinferencias a partir de diagramas, tablas y gráficas, que representan datos de situacionesconcretas.

De otra parte, se pretende que los estudiantes empiecen a construir conjeturas en cuan-tos a operaciones y relaciones con los números antes mencionados, es decir, desde untrabajo de experimentación y exploración, los alumnos tendrán la oportunidad de cons-truir proposiciones asociadas a conceptos básicos de la manipulación del lenguajealgebraico.


LA VARIABLE Y SUS DIFERENTES SIGNIFICADOS EN FUNCIONES POLINÓMICAS.

Propósitos:• Resolver problemas relacionados con funciones polinómicas y el proceso de factorización

179

Materiales:

Además de las guías de trabajo, para esta parte se requiere del uso de computadores consoftware especializado para matemáticas, como Regla y Compás, el geogebra, el Derive, etc.

Actividad 1

A partir de la siguiente gráfica construya una tabla de pares ordenados y el registro sim-bólico analítico que la representa.

Actividad 2

Determine el registro simbólico analítico del conjunto de rectas que aparecen en las si-guientes gráficas.

Construya un programa en excel que le permita reproducir las graficas.

Actividad 3

Determine la trayectoria que sigue el vértice de cada una de las siguientes parábolascuando el parámetro k toma diferentes valores del conjunto de números reales.



2

180

Actividad 4

Los textos de álgebra elemental, precalculo, álgebra y trigonometría, calculo y textos es-colares entre otros, afirman que las funciones de la forma f(x)=ax2+bx+c, conocidas comopolinómicas de segundo grado o cuadráticas representan parábolas en el registro gráficocartesiano. Esto quiere decir que todos sus puntos equidistan de un punto dado llamadofoco y de una recta llamada directriz. ¿Cómo se podría probar esta afirmación?

Actividad 5

Las siguientes tres tablas representan tres funciones diferentes. Determine cuál de ellasrepresenta una función lineal y construya su gráfica y representación simbólica.

242)( 2 −−= xxk

xf 122

343)( 2 ++−= xkxxg )2(2)( 22 −+−= kkxxxh

Primera función Segunda función Tercera función

x y1

x y2

x y3

0123456789

0,53,56,59,5

12,515,518,521,524,527,5

02,44,87,29,612

14,416,819,221,6

22,83,64,45,2

66,87,68,49,2

13,45,88,2

10,613

15,417,820,222,6

2,03,19,6

35,9146,4630,2

2807,612820,859628,6

281299,8

Actividad 6

¿A partir de la siguiente gráfica es posible construir el registro simbólico analítico que larepresenta?

181

Actividad 7

Las siguientes son cuatro tablas que representan tres funciones diferentes: Determinecual de ellas representa una función cuadrática y construya su gráfica y representaciónsimbólica.

Primera función Segunda función Tercera función

x y1

x y2

x y3

11,31,61,92,22,52,83,13,43,7

3,54,45,36,27,1

88,99,8

10,711,6

02,5

57,510

12,515

17,520

22,5

1224,5

62124,5

212324,5

462624,5

8121024,5

23456789

1011

4,52

0,50

0,52

4,58

12,518

Cuarta función

x y4

-3-1,5

01,5

34,5

67,5

910,5

3016,5

1216,5

3052,5

84124,5

174232,5

Actividad 8

¿Dada la grafica de la función f(x)=x cómo se podría construir la grafica de la funciónf(x)=x2?

Actividad 9

La tasa de crecimiento de algunos peces depende de la temperatura del agua en la cualhabitan. Para los peces de ojos saltones, la tasa de crecimiento G está dada por la funcióncuadrática G(T)=0.5T

2-13T+150, y los peces aguja tiene una tasa de crecimiento dado por

M(T)=0.9T2- 45T+62. Ninguna de las dos especies soporta más de 54,3 grados centígra-

dos y menos de -24,8 grados centígrados. Determine para qué temperatura T se tiene lamisma cantidad de peces de cada especie.

Actividad 10

Una carrera de autos de 850 kilómetros tiene dos participantes. Uno de ellos sostuvo suvelocidad en 155 k/h mientras que el otro sostuvo una velocidad de 162 k/h durante losprimeros 400 kilómetros y de 145 k/h durante el resto de la carrera. ¿Cuál de los doscompetidores logra llegar primero a la meta?

Actividad 11

Se tiene una cuerda de longitud K m. Con una parte x de ella se encierra una superficiecircular y con la otra parte se encierra una superficie cuadrada, ver figura.



2

182

a. ¿Cómo saber a que longitud de x el área total encerrada por la cuerda es igual a 85 m2?b. ¿Habrá alguna longitud x para la cual la no existe área total encerrada? Justifica tu

respuesta desde cada uno de los registros de representación.c. ¿habrá alguna longitud x para la cual el área total encerrada sea mínima?

Actividad 12

Desde un punto situado a 70 metros de altura con respecto al nivel del terreno se lanzauna pelota. Se supone que la pelota describe una trayectoria parabólica. Además del pun-to (0,70), se observa que los puntos (200,300) y (500,500) también están en la trayectoriade la pelota. ¿A qué distancia horizontal con respecto al punto de lanzamiento la pelotatoca la superficie del terreno?

Actividad 13

¿Para que valores de x la función f(x)=x2+x-6 es igual a la función g(x)=x+1/2?


Las trece actividades anteriores ya exigen a los estudiantes un mayor nivel de razona-miento, como también un buen desarrollo de procedimientos algorítmicos. Por lo tantoestán pensadas para estudiantes de grados superiores. Están organizadas de modo quepuedan ejercitar conceptos y relaciones matemáticas asociadas al tratamiento de expre-siones algebraicas desde un punto de vista variacional. Por tal motivo se observará comoel tratamiento de cada actividad vincula aspectos que tienen que ver con el tratamientode funciones a través de alguno de los registros de representación.

• CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS DE LAS ANTERIORES SITUACIONES

Las funciones lineales y cuadráticas finalmente se puede expresar, a través del registrosimbólico-analítico, en la forma f(x)=ax+b y f(x)=ax2+bx+c respectivamente. En estasse diferencian los siguientes elementos: una variable x independiente, una variable f(x)que dependen de los valores de x, y los parámetros a,b y c, los cuales definen una función

183


particular cuando toman un determinado valor del conjunto numérico de los reales. Esdecir, cada valor que se le asigna a los parámetros a,b y c, permiten ver un caso particulardel más general f(x)=ax+b ó f(x)=ax2+bx+c. Dicho de otra forma es la generalización deotros casos particulares atrapados bajo estas formas funcionales. Esto quiere decir quecada valores real de los parámetros, muestran características particulares del fenómenoque ha sido modelado a través de estas funciones y por tanto son la “huella digital” delmismo, es decir la determinan.

Una interpretación para b, en el caso de la función lineal, sería que ésta representa elvalor de y=f(x) asociado a x cuando este toma el valor cero en el registro simbólico-analí-tico. En el registro tabular representa la pareja ordenada (0,b), y en el registro gráfico elcorte de la gráfica con el eje y. Los valores de a puede ser interpretados como la razón decambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente.

En el caso de la función cuadrática el parámetro c juega el mismo papel que b en la lineal.En este caso es un poco más complejo ver el papel de los otros dos parámetros en elcomportamiento del fenómeno. Sin embargo, son los valores que determinan si en la si-tuación tiene sentido de hablar de un punto de máxima o de mínima y el valor de la varia-ble independiente para el que se da dicho valor. Gráficamente dichos parámetros deter-minan translaciones de la parábola que representa la función cuadrática.

Con las tres primeras situaciones se pretende estudiar el comportamiento gráfico de lafunción cuando los parámetros a y b tomas diferentes valores. Con las siguientes cinco sepretende conjugar el papel de los diferentes significados de la variable en la actividadcognitiva de conversión entre diferentes registros de representación. Finalmente las últi-mas actividades están diseñadas para dinamizar el proceso de factorización en el contex-to de la solución de ecuaciones algebraicas de segundo grado.


2

184

185

Anexo

semiótica y el álgebra escolarLos sistemas de representación

Muchas de las investigaciones en el campo de la didáctica de la matemática, giran entorno a entender el álgebra como un lenguaje bajo el cual se comunican las matemáticas.En este sentido el interés ha estado centrado en los aspectos semánticos y sintácticos quedicho lenguaje ofrece a la comprensión de los objetos matemáticos, sin desconocer elpapel que juegan los aspectos psicológicos, pragmáticos, antropológicos y socio-cultura-les.

Para estudiar la adquisición de un conocimiento matemático y los funcionamientos quepermiten su tratamiento o su aprendizaje, es necesario tener presente la noción de repre-sentación. Esto al menos por dos razones: por un lado, porque la naturaleza abstracta desus objetos obliga a recurrir a un conjunto de símbolos que permitan construirlos, comu-nicarlos y manipularlo; y por otro porque, como consecuencia de lo anterior, la posibilidadde diferenciar un objeto matemático de su representación sólo es posible si se cuenta convariadas representaciones del mismo objeto en diferentes registros.

Esta noción ha sido discutida desde diferentes perspectivas, recurriendo en ocasiones alanálisis antagónico entre representación consiente vs. representación no-conciente y derepresentación interna vs. representación externa.

De acuerdo a Duval (1999), las representaciones concientes se caracterizan por la miradade alguna cosa que toma ipso-facto el status de objeto para el sujeto que efectúa estamirada. El pasaje de lo no-conscientes a lo conscientes, corresponde a un proceso llama-do objetivación, que a su vez corresponde al descubrimiento por el sujeto mismo de aque-llo que hasta entonces no sospechaba. Las representaciones concientes son, pues, aque-llas que presentan un carácter intencional y cumplen la función de objetivación. Estecarácter intencional es esencial desde el punto de vista cognitivo, pues permite tener encuenta el papel fundamental de la significación en la determinación de los objetos quepueden ser observados por los sujetos. La significación es la condición necesaria de laobjetivación para el sujeto, es decir, de la posibilidad de tomar consciencia.

La oposición externo vs. interno se da entre lo que es directamente visible o perceptibleen un individuo, un organismo o un sistema, con aquello que no lo es. Las representacio-


2

186

nes externas, son por naturaleza, representaciones semióticas, cumplen una funcióncomunicativa, pero también cumplen otras dos funciones cognitivas que son la deobjetivación y la de tratamiento. Las representaciones externas son esenciales para lafunción de conversión. Las actividades de conversión están directamente ligadas a la uti-lización de un sistema semiótico. Por otra parte las representaciones internas son las quepertenecen a un sujeto y que sólo son comunicadas a otro mediante la producción de unarepresentación externa.

El cruce de estas cuatro representaciones dan lugar a tres grupos nuevos de representa-ciones: mentales, computacionales y semióticas.

De las representaciones internas y conscientes provienen las representaciones mentalesy son las que permiten mirar el objeto en ausencia total de significante perceptible. Seincorporan en ellas los conceptos, las nociones, las ideas, las creencias, las fantasías, etc.,es decir, todas las proyecciones mas difusas y globales que un individuo refleja de losconocimientos

De las representaciones internas y no-consientes provienen las representacionescomputacionales que son aquellas cuyos significantes no requieren de la mirada al objetoy permiten una transformación algorítmica de una serie en otra serie. Estas representa-ciones expresan la información externa en un sistema de manera tal que la hacedireccionable, recuperable y combinable en el interior del mismo sistema.

De las representaciones concientes y externas provienen las representaciones semióticasque son de diversa naturaleza como por ejemplo un gráfico, el lenguaje natural, los símbo-los, etc. Estas representaciones se clasifican en dos grandes grupos según conserven ono algunas de las propiedades pertenecientes al objeto que representan: representacio-nes analógicas y representaciones no-analógicas. Unas conservan relaciones de vecin-dad (analógicas) como las imágenes y otras no conservan ninguna relación de vecindadcon el objeto (no-analógicas) como las lenguas. De esta forma, donde sea posible producirrepresentaciones semióticas, se le llamará sistema semiótico.

Generalmente se ha reducido el empleo de las representaciones semióticas a la funciónde expresión y se les subordina al funcionamiento de las representaciones mentales. Eneste sentido se ha admitido que las representaciones semióticas son expresiones fiablesde las representaciones mentales, planteándose la hipótesis de una correspondencia di-recta que va de lo mental a lo externo, es decir las representaciones externas como unaforma de comunicación de las ideas internamente producidas por un sujeto.

Sin embargo, se propone que la vía contraria, es decir, la que plantea que las representa-ciones semióticas son fundamentales para la producción y modificación de las represen-

187

Anexo

taciones mentales, también debe de ser tenida en cuenta. Esta dualidad es importante enel sentido que las representaciones semióticas deben considerarse como herramientaspara pensar y no únicamente como medio para comunicar las ideas que se producen.Esto en términos de lo propuesto por Duval (1999) es “no hay noesis sin semiosis”60 .

Desde el punto de vista de la construcción y aprendizaje de los conceptos matemáticos nopuede dejarse de lado esta situación, dado que la naturaleza abstracta de sus objetoshace que no sea posible acceder a éstos independientemente del recurso a un lenguaje, aunas figuras, a esquemas, a símbolos, en general a algún registro semiótico particular. Loanterior sumado a que por un lado, las representaciones semióticas de los objetos mate-máticos son no-analógicas, y por otro porque dependiendo del registro donde se produz-ca dicha representación puede pasar a ser puramente computacional.

Esta situación hace que en la mayoría de los casos, las personas confundan los objetosmatemáticos con la representación que de ellos se hace, es decir, se termina estudiando larepresentación y no lo representado (objeto matemático). En realidad, según Duval (1999,2004), sólo hay un medio para diferenciar un objeto de su representación: es necesariodisponer de otra representación semiótica del objeto representado y reconocerla comouna misma representación.

En este sentido, para el aprendizaje de los objetos matemáticos es indispensable apelar ala noción de múltiples registro de representación semiótica, que a su vez presupone laconsideración de tres actividades cognitivas fundamentales. En primer lugar la construc-ción de una marca o conjunto de marcas perceptibles, actividad llamada de formacióndeterminada por ciertas reglas de conformidad61 . En segundo lugar, la transformación delas diferentes representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias del registrosemiótico, actividad de tratamiento. Y por último la activad cognitiva de conversión, quepermite convertir las representaciones producidas de un registro semiótico de represen-tación en otro. Esta actividad de conversión no es trivial ni cognitivamente neutra, puesplantea no sólo la pregunta general del papel de la semiosis en el funcionamiento delpensamiento, sino también las condiciones para diferenciar entre representante y repre-sentado cuando se refiere a un concepto matemático.

La actividad de formación en un registro de representación semiótica está definida comola recurrencia a unos signos que cumplen la función de actualizar o sustituir la visión deun objeto. Los actos más elementales de la formación son, según los registros, la designa-ción nominal de los objetos, la reproducción de su contorno percibido o la codificación derelaciones. Las reglas de la actividad de formación son llamadas, reglas de conformidad,

_____________________________________________________

60 Duval (1999, p 14) llama noesis a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto, la discriminación de unadiferencia o la comprensión de una inferencia. Y semiosis a la aprehensión o producción semiótica.

61 Las reglas de conformidad son aquellas que definen un sistema de representación. Estas se refieren esencialmente a: 1) la deter-minación de unidades elementales. 2) las combinaciones admisibles de unidades elementales para formar unidades de nivelsuperior y 3) las condiciones para que una representación de orden superior sea una producción pertinente y completa. Duval(1999, p. 43)


2

188

que permiten no sólo la comunicabilidad sino también la utilización de los medios de tra-tamiento que ofrece el registro semiótico empleado. Estas reglas son las que definen unregistro y, en consecuencia, los tipos de unidades constitutivas de todas las representa-ciones posibles del mismo. Además permiten identificar un conjunto de elementos físicoso de trazos como una representación de algún objeto en un registro semiótico, es decir,permiten el reconocimiento de las representaciones como representación en un registrodeterminado, Duval (1999).

La actividad de tratamiento es la transformación de una representación inicial en otrarepresentación terminal del mismo registro, es decir, es la transformación de una repre-sentación en otra al interior de un mismo registro semiótico de representación. Las reglasde la actividad de tratamiento son llamadas, reglas de expansión, reglas cuya aplicaciónproduce una representación en el mismo registro que la representación de partida. Duval(1999).

La actividad de conversión es la transformación de la representación de un objeto, de unasituación o de una información dada en un registro, en una representación de este mismoobjeto, de la misma situación o de la misma información en otro registro. La actividad deconversión es una transformación, externa a un registro de partida, en otro registro dellegada. Generalmente a esta actividad se le ha llamado traducción, ilustración, transposi-ción, interpretación, codificación, entre otras, Duval (1999).

La conversión requiere que se perciba la diferencia entre el contenido de una representa-ción y lo que se está representando, sin ésta percepción es prácticamente imposible oincomprensible la actividad de conversión. A diferencia de las otras dos actividades enesta actividad se da el problema que con frecuencia no existen reglas claras para la con-versión de un registro en otro, incluso, aunque puedan estar bien definidas las reglas deconversión, las dificultades y las ambigüedades no desaparecen por ello, pues, las reglasde conversión no son las mismas según el sentido en el que se efectúe el cambio de regis-tro, esto implica la unicidad en la aplicación de estas reglas.

Un aspecto generalizado del álgebra escolar, ha sido el estudio de las problemáticas quese presentan cuando se trata de traducir problemas dados en algún registro de represen-tación para expresarlos en otro registro. En particular, el transito de una situación presen-tada en lenguaje natural al lenguaje simbólico algebraico es una tarea que no es ni senci-lla ni inmediata de resolver, pues, existen grandes diferencias entre estos dos registros.

En este sentido el lenguaje algebraico, como lenguaje formal, presenta una característicafundamental y es que, a diferencia del lenguaje natural, este no requiere de la atencióncontinua a un referente para su compresión y significación, posibilitando la manipulaciónalgorítmico - sintáctica con altos grados de generalidad, sin apelar al campo de lo semántico.

De allí que la escuela, en la mayoría de los casos, plantee que la situación de convertir unproblema, presentado en lenguaje natural, a un sistema de ecuaciones lo haga a partir de

189

Anexo

“palabras claves” explicitas en el enunciado al margen de las interrelaciones que estasproponen, para luego pasar al álgebra como la manipulación algorítmica de los símbolosalgebraicos a partir de las reglas de las operaciones aritméticas. Esto da a entender queplantear una ecuación a partir de un enunciado presentado en lenguaje natural, se puedehacer dejando de lado las relaciones implícitas que permiten construir la ecuación.

Por tanto, la actividad conceptual matemática no puede ser aislada de la actividad semió-tica ya que ésta aparece ligada al descubrimiento de una invarianza entre representacio-nes semióticas heterogéneas. De esta forma, es necesaria la coordinación de múltiplesregistros de representación semiótica, lo que implica seleccionar las unidadessignificantes62 de cada registro y ponerlos en correspondencia. El discernimiento de lasunidades significantes de una representación y por tanto la posibilidad de una aprehen-sión de lo que ella representa, depende del reconocimiento de un campo de variacionesposibles relativo a la significancia en el registro, es decir, es necesario poder explorartodas las variaciones posibles de una representación en un registro, haciendo la previsióno la observación de las variaciones correspondientes de las representaciones en otro re-gistro. De esta manera es posible determinar la congruencia o no entre los registros derepresentación analizados63 , Duval (1999; 2004).

A partir de esta interpretación de los trabajos de Duval, aquellos sistemas semióticos quepermitan las tres actividades cognitivas anteriores: Formación, tratamiento y conversiónse denominarán Registro de representación semiótica. Para este trabajo el interés estarácentrado particularmente en los siguientes registros: el lenguaje verbal, el simbólico-ana-lítico, los gráficos cartesianos, los gráficos geométricos y los sistemas numéricos. No obs-tante, se pueden tener sistemas semióticos de representación que no sean registros derepresentación semiótica, esto es, algunos sistemas semióticos que no permitan las tres oalguna de las actividades cognitivas; los siguientes pueden ser algunos de ellos: los ges-tos, las fotografías, los mapas, las caricaturas y muy especialmente los diagramas de rela-ciones tales como los diagramas de árbol, diagramas de venn, diagramas de flujo entreotros.

De esta forma se le puede llamar representación a cualquier construcción particular quese produzca en algún sistema semiótico de representación, sin embargo, en la mayoría delos casos, para este módulo el término representación se refiere a la construcción que seproduzca en alguno de los registros arriba mencionados.

A manera de ejemplo, 23 +x es una representación del objeto matemático función linealen el registro simbólico-analítico, y la siguiente figura representa el mismo objeto en el

_____________________________________________________

62 Puede entenderse por unidad significante aquellos elementos que determinan el contenido en un registro de representación.63 La congruencia en dos registros de representación se determina con base en tres criterios: posibilidad de correspondencia se-

mántica de las unidades significantes, univocidad semántica Terminal y orden del arreglo de las unidades que componen cadauna de las dos representaciones. Duval (1999, p 52)


2

190

registro gráfico-cartesiano, pero adicionalmente es la misma representación anterior

( 23 +x ) en un registro diferente.

Así las cosas, los sistemas semióticos se pueden clasificar según sean analógicos o noanalógicos o según sean registros o no registros (Ver los siguientes esquemas). En el cua-dro que aparece a continuación se clasifican los sistemas de representación que se usa-rán frecuentemente en el módulo.

SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN

No analógicos Analógicos

Lenguaje verbal

Sistemas de numeración

Simbólico-analítico Gráfico-

cartesiano

Gráfico-geométrico

Gestos

Diagramas de relaciones

Caricaturas

Fotos

Mapas Cartográfico

No icónicos Icónicos

191

Anexo

SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN

Registros No Registros

Lenguaje verbal

Sistemas de numeración

Simbólico-analítico

Gráfico-cartesiano

Gráfico-geométrico

Gestos

Diagramas de relaciones

Caricaturas

Fotos

Mapas

Mapas Cartográficos

Sistemas de representación semióticos

No analógicos Analógicos No icónicos icónicos Registros

- Lenguaje Verbal - Sistemas de

numeración - Simbólico- analítico

- Gráfico-cartesiano. - Gráfico-

geométrico

- Planos. - Mapas-

cartográficos

No Registros - Gestos.

- Diagramas relacionales.

- Caricaturas. - Fotografías.


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