pensamiento variacional y tecnologias computacionales

8/6/2019 Pensamiento Variacional y Tecnologias Computacionales

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Pensamiento Variacional y

Tecnologas Computacionales


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Pensamiento Variacional y

Tecnologas Computacionales

PROYECTO

Incorporacin de Nuevas Tecnologas al Currculo

de Matemticas de la Educacin Bsica Secundaria y

Media de Colombia

Ministerio de Educacin NacionalDireccin de Calidad de la Educacin Preescolar, Bsica y Media.


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PROYECTO

Incorporacin de Nuevas Tecnologas al Currculo de

Matemticas de la Educacin Bsica Secundariay Media de Colombia

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA

Coordinadora General del Proyecto

LUIS MORENO ARMELLA

Asesor Internacional

CINVESTAV IPN, Mxico

EDITOR

Ministerio de Educacin NacionalDireccin de Calidad de la Educacin Preescolar, Bsica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.Ministerio de Educacin Nacional.

HENRY URQUINA LLANOS.Ministerio de Educacin Nacional.ERNESTO ACOSTA GEMPELER.Escuela Colombiana de Ingeniera.

Con la colaboracin de:

FABIOLA RODRGUEZ GARCA.Instituto Pedaggico Nacional.


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Diseo, Diagramacin, Preprensa digital, Impresin y terminados:ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edicin: 1.500 ejemplares

ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9

Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin escrita delMinisterio de Educacin Nacional - MEN

Derechos reservados

DISTRIBUCIN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTAImpreso en Colombia

Bogot, D.C., ColombiaAbril 2004


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INSTITUCIONESPARTICIPANTES

La implementacin nacional del proyecto Incorporacin de Nuevas Tecnologas al Currculode Matemticas de la Educacin Bsica Secundaria y Media de Colombia, y la construccindel presente documento ha sido posible gracias a la participacin de las siguientes institucioneseducativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de AntioquiaFacultad de Educacin.Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del NorteDepartamento de Matemticas.Margarita Vias de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlntico.

Universidad Distrital Francisco Jos de CaldasFacultad de Ciencias y Educacin.Martha Bonilla Estvez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogot D.C.Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogot D.C.

Universidad Pedaggica NacionalFacultad de Ciencia y Tecnologa. Departamento de Matemticas.Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogot D.C.

Universidad Pedaggica y Tecnolgica de ColombiaFacultad de Ciencias.Jos Manuel Holgun. Coordinador Departamento de Boyac.

Universidad de la AmazonaFacultad de Ciencias de la Educacin. Programa Lic. Matemticas y Fsica.Javier Martnez Plazas. Coordinador Departamento del Caquet.

Universidad Popular del CesarFacultad de Educacin. Departamento de Matemticas.lvaro de Jess Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de CaldasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales.Carlos Barco Gmez. Coordinador Departamento de Caldas.


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XII

Universidad del CaucaFacultad de Educacin. Departamento de Matemticas.Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la GuajiraFacultad de Ciencias Bsicas.Ramn Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los LlanosFacultad de Educacin.Ivonne Amparo Londoo Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del MagdalenaDepartamento de Matemticas.Pablo Gonzles. Coordinador Departamento del Magdalena.

Jess Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de NarioFacultad de Educacin. Departamento de Matemticas.Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nario.Oscar Alberto Narvez Guerrero. Coordinador Departamento de Nario.

Universidad Francisco de Paula SantanderFacultad de Ciencias Bsicas.Paulina Gmez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.Carlos Daz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del QuindoDepartamento de Matemticas.Julin Marn Gonzles. Coordinador Departamento del Quindo.Efran Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindo.

Universidad Tecnolgica de PereiraDepartamento de Matemticas.Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de SucreFacultad de Educacin.

Flix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.Jess Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de SantanderFacultad de Educacin & Escuela de Matemticas.Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.


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XIII

Universidad Surcolombiana.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.Gustavo Londoo Betancourt. Coordinador Departamento del Huila.Jaime Polana Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del TolimaFacultad de Educacin.Rubn Daro Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.Ivonne Lpez. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del ValleInstituto De Educacin y Pedagoga.Diego Garzn. Coordinador Departamento del Valle.Octavio Augusto Pabn. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.Departamento de Matemticas y Estadstica.

Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de CrdobaFacultad de Educacin.Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Crdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniera Julio GaravitoDireccin de Ciencias Bsicas.Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARAS DE EDUCACIN

Secretara de Educacin Departamento del AtlnticoYolima Fernndez Felzzola. Coordinadora Departamento del Atlntico.

Secretara de Educacin Departamento del PutumayoEdgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretara de Educacin Departamento del HuilaRafael Blanco Fernndez. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BSICA Y MEDIA

Departamento de AntioquiaColegio Santa Teresa. Medelln.Normal Superior. Envigado.Liceo Comercial Pedro Luis lvarez. Caldas.Normal Superior Mara Auxiliadora. Copacabana.


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XIV

Normal Superior Pedro Berro. Santa Rosas de Osos.Instituto Tcnico Industrial Simona Duque. Marinilla.Liceo F y Alegra la Cima. Medelln.Instituto Tcnico Industrial Jorge Elicer Gaitn. Carmen de Viboral.

Departamento del AtlnticoEscuela Normal Superior Nuestra Seora de Ftima. Sabanagrande.Instituto Pestalozzi. Barranquilla.Normal Superior Santa Ana. Baranoa.Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.Escuela normal Superior de Manat. Manat.Colegio de Bachillerato Tcnico. Santo Toms.Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de AmazonasInternado Indgena Femenino Mara Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.INEM Jos Eustasio Rivera. Leticia.

Bogot D.CCentro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).Colegio Distrital Heladia Meja.Instituto Pedaggico Nacional.Colegio Distrital de Educacin Bsica y Media General Santander.Unidad Bsica Rafael Uribe Uribe (J.M).Colegio Distrital Benjamn Herrera (J.M).Colegio Repblica de Costa Rica.

Departamento de BoyacInstituto Tcnico Rafael Reyes. Duitama.

Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodrguez. Tunja.Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquir.Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento de CaldasNormal Superior de Caldas. Manizales.Colegio la Asuncin. Manizales.Normal Superior Mara Escolstica. Salamina.Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento del CesarNormal Superior Mara Inmaculada. Manaure.Colegio Manuel Germn Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.Colegio Nacional Loperena. Valledupar.Instituto Tcnico Industrial Pedro Castro Monsalve. ValleduparInstituto Tcnico Industrial La Esperanza. Valledupar.


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XV

Departamento del CaquetColegio Juan Bautista la Salle. Florencia.Colegio Nacional La Salle. Florencia.Escuela Normal Superior. Florencia.Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del CaucaLiceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayn.Instituto Tcnico Industrial. Popayn.INEM Francisco Jos de Caldas. Popayn.Instituto Nacional Mixto. Piendam.

Departamento de CrdobaNormal Superior. Montera.Normal Superior Lcidez A. Iriarte. Sahagn.Colegio Marceliano Polo. Ceret.

Departamento de CundinamarcaInstituto Tcnico Industrial. Tocancip.Instituto Tcnico Industrial Capellana. Fquene.Instituto Tcnico Industrial. Zipaquir.Colegio Departamental San Juan de Rioseco.Normal Superior Nuestra Seora de la Encarnacin. Pasca.

Departamento de la GuajiraColegio Helin Pinedo Ros. Riohacha.Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.Colegio La Divina Pastora Riohacha.Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao.Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento del HuilaINEM Julin Motta Salas. Neiva.Liceo Santa Librada. Neiva.Normal Superior. Neiva.Normal Superior. Gigante.

Departamento del MetaNormal Superior Mara Auxiliadora. Granada.Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto Lpez.INEM Luis Lpez de Mesa. Villavicencio.Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del MagdalenaNormal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.Liceo Antonio Nario. Santa Marta.Normal de Seoritas. Santa Marta.


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XVI

Departamento de NarioINEM Mariano Ospina Rodrguez. Pasto.Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.Liceo Central Femenino. Pasto.Colegio San Bartolom de la Florida. La Florida.

Colegio Nacional Sucre. Ipiales.Normal Superior. Pasto.Colegio Mara Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de SantanderColegio Nacional de Bachillerato. Ccuta.Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Ccuta.Colegio Departamental Carlos Prez Escalante. Ccuta.Normal Superior Mara Auxiliadora. Ccuta.

Departamento del Putumayo

Colegio Alvernia. Puerto Ass.Colegio Nacional Po XII. Mocoa.Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzn.Colegio Fray Bartolom de Igualada. Sibundoy.

Departamento del QuindoInstituto Tcnico Industrial. Armenia.Normal Superior. Armenia.Colegio los Fundadores. Montenegro.Institucin Educativa Ciudadela Henry Marn Granada.Circasia.Instituto Tebaida. La Tebaida.Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de RisaraldaInstituto Tcnico Superior. Pereira.Normal Superior de Risaralda. Pereira.Instituto Tcnico Industrial Nacional. Santa Rosa.Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de SucreLiceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de SantanderINEM Custodio Garca Rovira. Bucaramanga.Centro educativo Las Amricas. Bucaramanga.Escuela Normal Superior. Bucaramanga.Instituto Santa Mara Goretti. Bucaramanga.Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.Colegio Nacional Universitario. Socorro.


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XVII

Departamento del TolimaInstituto Tcnico Industrial Jorge Elicer Gaitn Ayala. Lbano.Colegio Nuestra Seora de las Mercedes. Icononzo.Colegio Nacional San Simn. Ibagu.Normal Superior. Ibagu.

INEM Manuel Murillo. Ibagu.Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.Institucin Educativa Santa Teresa de Jess. Ibagu.

Departamento del ValleColegio Joaqun Caicedo y Cuero. Cali.Normal Superior de Seoritas. Cali.Colegio Manuel Mara Mallarino. Cali.Colegio Mayor. Yumbo.Instituto Tcnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.


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AGRADECIMIENTOS

La Direccin de Calidad de la EducacinPreescolar, Bsica y Media del Ministeriode Educacin Nacional agradece de maneraespecial:

A los nios y nias colombianas de lasdiversas regiones que sustentados en su inte-

ligencia, talento y capacidad creativa vienenaprovechando las posibilidades que brindanlas nuevas tecnologas para aprender unasmatemticas con sentido para sus vidas y quenos han permitido construir e implementarsituaciones y propuestas para el estudio de lavariacin y el cambio en el contexto escolar.

A los Coordinadores del proyecto que han

dinamizado el trabajo a nivel regional permi-tiendo la construccin de situaciones para el

trabajo de aula sobre la variacin y el cambiocon tecnologa.

A los maestros y maestras del pas que hanasumido el compromiso y reto de avanzar enel diseo, implementacin y evaluacin delas situaciones de aula sobre la variacin y elcambio con tecnologa.

A las Universidades que han asumido el lide-

razgo regional y el acompaamiento a los

procesos de desarrollo, innovacin e inves-tigacin en el uso de Nuevas Tecnologas enla Educacin Matemtica.

A las Secretaras de Educacin Departa-mentales, Distritales y Municipales quehan asumido el liderazgo y gestin de los

procesos de incorporacin de nuevas tecno-logas informticas en sus territorios.

A los Consejos Directivos y rectores de lasInstituciones educativas de bsica y mediaque han hecho posible la generacin decondiciones para la implementacin y soste-nibilidad del proyecto en sus instituciones.

A los padres de familia que consientes de lanecesidad de aproximar a las nuevas gene-

raciones en conocimientos y experiencias enpunta, han apoyado y contribuido a la incor-poracin de nuevas tecnologas en la educa-cin matemtica.

A los investigadores e innovadores quevienen aportando en la generacin de cono-cimiento y experiencias significativas sobreel uso de nuevas tecnologas en la educacinmatemtica.


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CONTENIDO

INSTITUCIONESPARTICIPANTES. .....................................................................................................XI

AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX

CONTENIDO. ..............................................................................................................................XXI

PRESENTACIN. .......................................................................................................................XXIII

INTRODUCCIN. ........................................................................................................................XXV

CAPTULO 1

LA VARIACINYEL CAMBIOALA LUZDELA HISTORIADELAS MATEMTICAS. ..............................1

1.1 Los inicios: un mundo cambiante..................................................................................1

1.2 La representacin retrica y los rudimentos del estudio de las nocionesde variable, dependencia o funcin . ...................................................................................11.3 De la retrica a la comprensin y representacin sincopada (abreviada) y laampliacin de algunas relaciones funcionales de fenmenos de variacin y cambio.. ......31.4 La transicin hacia sistemas de representacin simblica(algabraica actual)y el surgimiento de la Variable y la Funcin. .....................................................................51.5 La Consolidacin del Sistema de Representacin Simblico (algebraico actual)y de la Funcin como Representacin de Procesos de Variacin y Cambio. .....................71.6 La interaccin entre sistemas de representacin ejecutables en el estudioy comprensin sistemtica de la variacin y el cambio .....................................................9

CAPTULO 2LA VARIACINYEL CAMBIOENEL CURRCULODE MATEMTICASDE COLOMBIA. ........................11

2.1 El Movimiento Internacional de transformacin y reforma de la EducacinMatemtica. .......................................................................................................................112.2 La Renovacin Curricular de Matemticas en Colombia: impulso al estudiode la variacin y el cambio. ...............................................................................................112.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Bsicosen el Currculo de Matemtica de Colombia. ....................................................................13

CAPTULO 3

EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ...................................................................................................17

3.1 Situaciones de Variacin y Cambio. ............................................................................173.1.1 Descripcin e interpretacin de situaciones de variacin y cambiodesde un punto de vista cualitativo.. .......................................................................183.1.2 Formas de representacin cualitativa de estas situaciones. ...........................193.1.3 Formas de representacin cuantitativa de situaciones de variaciny cambio. .................................................................................................................... 19


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PENSAMIENTO VARIACIONALYTECNOLOGASCOMPUTACIONALES

3.1.4 Interpretacin de representaciones de situaciones de variacin y cambio. ...213.2 La variable y el concepto de funcin. .........................................................................213.3 La modelacin variacional: un ejemplo. .....................................................................23

CAPTULO 4

USODE TECNOLOGAS COMPUTACIONALES. ....................................................................................27

4.1 Los programas de geometra dinmica........................................................................274.2 Las calculadoras graficadoras. ....................................................................................28

CAPTULO 5

SITUACIONES DIDCTICASPARAEL DESARROLLODEL PENSAMIENTO VARIACIONAL

CON MEDIACIN TECNOLGICA. ....................................................................................................31

5.1 Propsitos y lineamientos generales ..........................................................................315.2 Momentos del trabajo de aula con tecnologa en situaciones de variaciny cambio. ...........................................................................................................................325.3 Propuesta del tratamiento didctico de las actividades ..............................................33

5.3.1 Observacin y descripcin de la situacin. ...................................................335.3.2 Prediccin de la grfica. ................................................................................335.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripcin de la variacin. .................335.3.4 Visualizacin de la grfica formada por un conjunto de valores registrados.345.3.5 Relacionar la informacin obtenida en la grfica con la informacinobtenida en la tabla. ................................................................................................345.3.6 Hacer aproximaciones de la expresin algebraica que mejor relacionalas variables. ...........................................................................................................355.3.7 Hacer el clculo de regresin .........................................................................35

5.4 Situaciones didcticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacionaly potencian el papel mediador de las nuevas tecnologas computacionales ....................35

5.4.1 Modelacin del Movimiento Pendular. .........................................................355.4.2 Simulacin del Movimiento de Aviones. .......................................................375.4.3 La funcin seno y su grfica. .........................................................................455.4.4 Estudio de la simulacin del lanzamiento de un cuerpo. ...............................485.4.5 Simulaciones en Cabri para disear otras actividades. ..................................515.4.5.1 Variacin del radio y la circunferencia .......................................................515.4.5.2 Variacin del ancho y la altura de un rectngulo con permetro fijo ..........515.4.5.3 Variacin del ancho (o el largo) y el rea de un rectngulo con

permetro fijo ..........................................................................................................525.4.5.4 Variacin del radio y el rea del crculo .....................................................525.4.5.5 Variacin del ancho (o el largo) del rectngulo inscrito en una

circunferencia y su rea ..........................................................................................525.4.5.6 Variacin de un ngulo de un trapecio inscrito en una semicircunferenciay la altura del trapecio ............................................................................................525.4.6 La derivada como razn de cambio ...............................................................53

BIBLIOGRAFA. ...............................................................................................................................63


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XXIII

PRESENTACIN

El Ministerio de Educacin Nacional, compro-metido con el mejoramiento de la calidad de laeducacin y respondiendo de manera efectiva alas necesidades, tendencias y retos actuales de laeducacin matemtica, viene adelantando desdeel ao 2000, la implementacin del proyecto

Incorporacin de Nuevas Tecnologas al Curr-culo de Matemticas de la Educacin Media

de Colombia, con el cual se viene instaurandouna nueva cultura informtica en el pas apro-vechando el potencial formativo que brindan lastecnologas computacionales, especficamentelos sistemas computacionales grficos y alge-

braicos.

La columna vertebral del proyecto ha sido laformacin permanente de los docentes, centradaen la reflexin sobre su propia prctica en el salnde clase y en las posibilidades pedaggicas y

didcticas del recurso tecnolgico. La dinmicalograda viene impulsando la consolidacin degrupos de estudio regionales con profesoresde matemticas de la educacin secundaria ymedia, de las universidades y con profesionalesde las Secretaras de Educacin, de maneraque se ha enriquecido la reflexin terica y laexperiencia prctica y se han creado condicionesde sostenibilidad a largo plazo.

Las posibilidades que brindan las tecnologascomputacionales (computadores y calculadorasgrficas y algebraicas), como instrumentosmediadores en el aprendizaje de los alumnos,en la construccin de conocimientos y en la

comprensin de lo que hacen, viene impulsandoen el pas una verdadera revolucin educativa,una oportunidad para acceder a la informaciny al conocimiento universal y la transformacinde las escuelas desde las particularidades de lasdiferentes regiones que integran el pas.

Maestros ms creativos y comprometidos con

su ejercicio profesional; estudiantes activoshaciendo matemtica y colocando en juegotodo su talento en horarios de clase y extraclase; comunidades educativas que en ejerciciode su autonoma se han cohesionado en tornoa la incorporacin de tecnologas; articulacinentre los niveles educativos bsico, medio ysuperior; en sntesis, una gama de opcionesalternativas que nos permite creer firmementeque la educacin matemtica ser cada da demejor calidad.

Las reflexiones y propuestas sobre el estudiode la variacin y el cambio con mediacin denuevas tecnologas computacionales grficasy algebraicas constituyen un aporte a la comu-nidad educativa para fortalecer los procesosde formacin de docentes, especialmente en laconstruccin de ambientes de aprendizaje contecnologa, y en una herramienta de trabajo para

promover la discusin y construccin nacionalsobre la diseminacin de la cultura informticaen la educacin matemtica colombiana.

Los autores


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INTRODUCCIN

El estudio de procesos de variacin y cambioconstituye uno de los aspectos de gran riquezaen el contexto escolar. El nfasis actual en laeducacin matemtica orientado hacia el desa-rrollo del pensamiento matemtico a partir desituaciones problemticas significativas paralos estudiantes, hacen del estudio de la varia-cin y el cambio con mediacin de herra-

mientas tecnologas computacionales grficasy algebraicas un campo de accin y formacin

potente en la educacin matemtica del pas.Atendiendo a esto, en el presente documento se

presentan ideas y propuestas sobre el desarrollodel pensamiento variacional y el uso de nuevastecnologas.

Se parte en el captulo uno de una ubicacinde la La variacin y el cambio a la luz de lahistrica de las matemticas; en un esfuerzo

de sntesis, se ubican algunos de los momentosrelevantes de su estudio desde una perspectivahistrica. El nfasis marcado en lo geomtricoy algebraico en las pocas de la antigedadclsica, la edad media y el renacimiento, hanhecho muy exigente el rastreo de la maneracomo se ha estudiado la variacin y el cambioy, naturalmente los sistemas de representacin

para ello construidos.

En el Captulo dos: La variacin y el cambio

en el Currculo de Matemticas de Colombia,se ubica a los lectores en la manera como seha incorporado en la educacin matemticacolombiana de los niveles de bsica y media elestudio de situaciones, fenmenos o procesoscambiantes o variables.

En el captulo tres: El pensamiento Variacional,se hace una aproximacin conceptual a lo quese asume en el contexto del documento porvariacin, cambio, variable, funcin, los diversossistemas de representacin y los momentos

para el estudio sistemtico y la comprensin deprocesos o fenmenos de variacin y cambio encontextos escolares.

En el captulo cuatro: Uso de TecnologasComputacionales, se reconoce el potencialmediador de los sistemas computacionalesdinmicos, grficos y algebraicos en el estudiosistemtico de procesos o fenmenos variableso cambiantes.

En el captulo 5: Situaciones Didcticas parael Desarrollo del Pensamiento Variacional conMediacin Tecnolgica se presentan diversas

situaciones didcticas que potencian el usode tecnologas computacionales dinmicas,grficas y algebraicas en el estudio de procesoso fenmenos de variacin y cambio.

El particular enfoque en el tratamiento deltema, en el sentido de reconocer y avanzar enla comprensin de la variacin y el cambio ylos sistemas de representacin a ellos conexosy, no al contrario, el partir de lo algebraico,tabular o grfico (en el mayor de los casos de

manera aislada o fragmentada), como sistemasde representacin privilegiados para modelarfenmenos o procesos cambiantes o varia-

bles, han colocado un alto grado de exigenciaal proceso de produccin de este documento.Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu-


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mentos y propuestas que se hacen, constituyen unreferente para potenciar el desarrollo del pensa-miento matemtico desde el estudio sistemtico

de procesos de variacin y cambio aprovechandoel potencial mediador de las nuevas tecnologascomputacionales en el contexto escolar.


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LA VARIACINYEL CAMBIOALA LUZDELA HISTORIADELAS MATEMTICAS1

Un mundo dinmico en permanentetransformacin ha constituido el escenario

propicio para que el hombre se sensibilice einterese por la comprensin de la variacin y elcambio en el transcurso de la historia.

La comprensin cientfica de la variacin tomauge en el periodo comprendido entre los siglos

XIV y XVII en el que se centra el inters por elestudio de las cualidades en situaciones comoel movimiento, la intensidad luminosa o laintensidad de calor, inspirados en los trabajoscientficos de Aristteles y de los filsofos esco-lsticos sobre tpicos como el infinito, el infi-nitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta,1996, Pg. 457).

1.1 Los inicios: un mundo cambiante

Desde la poca prehistrica, cuando surgieronlas primeras nociones e ideas matemticas(Collette, J.P., 2000. Pg. 4-5), la observacindel cambio en la posicin de las ramas de losrboles por la influencia del viento; el despla-zamiento de un lugar a otro para las labores derecoleccin; el desarrollo de tcnicas y herra-mientas para la caza y la pesca; la sucesin delda a la noche y su relacin con el cambio en la

posicin del sol, la luna y las estrellas; el vnculo

entre la posicin de los astros y los procesos de produccin agrcola; los aspectos cambiantesde la vegetacin y el tamao de los rebaos deanimales domesticados; el desarrollo de ritualescolectivos con largas procesiones de partici-

pantes; permite inferir, que el hombre se hizo

sensible y observ fenmenos cambiantes, queimpulsaron el desarrollo de tecnologas mate-riales y simblicas elementales (herramientas,lenguaje gestual, lenguaje verbo icnico), quesentaron las bases para el surgimiento posteriorde sistemas de representacin escritos muchoms complejos.

1.2 La representacin retricay los rudimentos del estudiode las nociones de variable,dependencia o funcin

La consolidacin de la escritura (Hacia el 3000a.C), impuls el surgimiento de diversos tipos einstrumentos de registro a travs de los cualesha sido posible conocer el saber social y culturalconstruido a partir de la antigedad.

A partir de tablillas de arcilla encontradas enexcavaciones arqueolgicas, se ha podido veri-ficar que en la poca antigua (desde la aparicinde la escritura hasta la cada del imperio romanoen el 476 d. C), la civilizacin Babilnica(ubicada en Mesopotamia hoy Irak 5000 a.C), avanz en lo que se denomina lgebra ret-rica, en la que los problemas se enunciabany solucionaban sin utilizar de manera sistem-tica notaciones algebraicas como las actuales.

De igual manera, resolvan en lenguaje verbal(oral escrito) lo que actualmente se conocecomo ecuaciones cuadrticas (por complecindel cuadrado o por sustitucin), algunas ecua-ciones cbicas y bicuadrticas y sistemas deecuaciones de varios tipos con dos incgnitas,


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que incluan generalmente una ecuacin lineal yuna ecuacin de segundo grado.

Por ejemplo, uno de los problemas consista en

conocer la longitud del lado de un cuadradocuya rea menos el lado es igual a 870, queequivale a resolver en la actualidad la ecuacin

; otro de los problemas conte-nidos en los textos babilnicos eran del tipo

, cuya solucin se basaba en la utili-zacin de una tabla que se ha encontrado, enla que se daban las combinaciones de la forma

para 1 < n < 30.

En las transformaciones algebraicas (nombre conel cual se le conocen actualmente), asumiendode manera tcita las propiedades conmutativa ydistributiva, consiguieron obtener algunas rela-ciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pg. 26

29).

La civilizacin Egipcia (3100 322 a. C aprox.),segn se ha podido encontrar en papiros comolos del Rhin y de Mosc, logr algunos avancesen el campo algebraico. A partir del abordajede problemas de la vida cotidiana, como: elreparto de panes, grano o animales, la fermen-

tacin del pan, la cantidad de granos necesarios para producir cantidades dadas de cerveza, ola cantidad de granos de una calidad necesaria

para obtener el mismo resultado con granos deotra calidad, cuya fuerza relativa al primerofuera conocida, la estimacin de la comida delos animales y el almacenamiento de productosalimenticios, etc., avanzaron en la solucinverbal de ecuaciones lineales aplicando elmtodo de la falsa posicin y en el trabajocon progresiones aritmticas y geomtricas,

empleando unos pocos smbolos (Collette, J.P.,2000. Pg. 40 58; Kline, M. 1994. Pg. 44).

Debido a lo esencial del Ro Nilo y la incidenciade sus inundaciones peridicas en la producti-vidad de su poblacin, lograron la estimacin

emprica de la duracin de un ao. A partir dela observacin de los cambios y constantes enla visibilidad de una estrella (Sirio), en relacincon la salida y ocultamiento del sol durante

determinadas pocas, estimaron y adoptaronun calendario civil con un ao de 365 das,dividido en 12 meses de 30 das, ms cincodas extras al final; la nica diferencia con elcalendario actual, es que los Egipcios, no inter-calaron el da adicional cada cuatro aos, porlo que el calendario se iba retrazando poco a

poco con respecto a las estaciones, y al cabo de1460 aos volva a la situacin inicial (Kline,M. 1994. Pg. 44 45).

La civilizacin Griega ( 2800 a. C 600 d. Caprox., ubicada en el Asia Menor en el territoriocontinental europeo que constituye la actualGrecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas,Delos y el norte de frica), que a partir del sigloVI a. C, se preocup no slo por investigar elcomo, sino sobre todo de establecer el porqu de las cosas, impuls la transformacinde las matemticas en una ciencia deductiva (almenos a partir de Pitgoras en el siglo VI a. C)(Collette, J.P., 2000. Pg. 66).

Como se ha podido encontrar a partir de loscdices bizantinos manuscritos en griego,escritos entre 500 y 1500 aos despus de quefueran escritas las obras originales griegas(Kline, M. Pg. 49), fundamentados en una escri-tura basada en un alfabeto fcil de aprender y ensistemas de numeracin en base 10 (tico oHerodiano y Jnico o Alfabtico), inven-taron procesos geomtricos ingeniosos parallegar a solucionar problemas algebraicos.

Segn algunos historiadores, especialmenteen el libro II de los elementos de Euclides, lams importante y singular obra de las mate-mticas griegas, dan a entender cierta geome-tra algebraica, en la que las construccionesgeomtricas tienen la misma funcin que las


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LA VARIACINYEL CAMBIOALA LUZDELA HISTORIADELASMATEMTICAS

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operaciones algebraicas. Euclides resuelve losprimeros teoremas con conceptos geomtricos.El concepto de magnitud se us para deter-minar cualquier objeto geomtrico, el segmento

de una lnea o bien una figura, y los teoremastratan las construcciones y las relaciones entredichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000).

En la lnea de la denominada geometra alge-braica, se destacan la demostracin de identi-dades algebraicas y la solucin de ecuacionescuadrticas, a partir de dos mtodos: el mtodode las proporciones y el mtodo de la aplicacinde las reas.

Por ejemplo, el mtodo de la aplicacin de lasreas, consista en llevar sobre una recta (como

base), con un ngulo dado, un paralelogramo quedeba ser igual (en superficie) a cualquier figurarectilnea dada. En los problemas ms difciles,el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la

base, o ser inferior a la lnea dada para un parale-logramo semejante (Collette, J.P., Pg. 79 81).

Como sealan Azcrete y Deulofeu (1996),a pesar de que las ideas de cambio o cantidadvariable no eran ajenas a los Griegos, que haban

considerado problemas sobre movimiento,continuidad o infinito desde los tiempos deHerclito y Zenn, y a los cuales dedica Arist-teles buena parte de su fsica, se puede asegurarque ni los aspectos de cambio ni los referidos almovimiento fueron estudiados desde un puntode vista cuantitativo por la ciencia griega, msque en algunos momentos muy concretos que no

pueden hacer cambiar la idea general de que elestudio de la matemtica pura prevaleci sobre lacinemtica. Esta puede ser una razn importante

para explicar por qu el concepto de funcin permaneci prcticamente en su prehistoria alfinal de lo que hemos llamado la edad antigua.

En trminos generales, sustentan Azcretey Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen

las primeras relaciones funcionales ligadas a problemas principalmente astronmicos, enforma tabulada a partir de interpolaciones gene-ralmente lineales, que alcanzan su mayor preci-

sin en el Almagesto de Ptolomeo que llega aintroducir con su tabla de cuerdas la funcinseno. No obstante, ni estas funciones tabuladasni los trabajo sobre curvas ligados al estudio delas cnicas, realizados por los Griegos, princi-

palmente por Apolonio, llevaron al parecer aningn tipo de consideracin general sobre laidea de variable o de funcin.

Algunos obstculos conceptuales que hicieronque en la poca antigua el estudio de fen-menos de cambio sea an muy reducido y quelas aproximaciones cuantitativas y cualitativasde dichos fenmenos se hallen todava total-mente disociadas y por tanto no sea posiblehablar de la formulacin explcita de nocionescomo variable, dependencia o funcin, estu-vieron relacionadas con: el uso de proporcioneso la disociacin entre nmero y magnitud, ascomo el carcter eminentemente geomtrico dela matemtica griega y a ellos cabra aadir los

problemas debidos al simbolismo, totalmenteinexistente en lo que se refiere al estableci-

miento de expresiones algebraicas, a excepcinde los interesantes intentos de Diofanto, aunqueen forma retrica, conceptualmente relacio-nado con la dependencia funcional (Azcrate J.,Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996).

1.3 De la retrica a la comprensiny representacin sincopada(abreviada) y la ampliacin dealgunas relaciones funcionales

de fenmenos de variacin ycambio.

Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales delSiglo XIV d. C, se introdujeron algunas abre-viaturas para las incgnitas y las relaciones de


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uso frecuente, pero los clculos se desarrollanen lenguaje natural, que dio origen a la deno-minada lgebra sincopada, caracterizada por elempleo de sncopas o abreviaciones.

Este periodo que comprende la poca histricade la Edad Media, se caracteriza en el campo delas matemticas por el trabajo de las rabes, queretomaron el relevo de los griegos y permitieronque el legado de estos llegara a occidente. Enrelacin con la idea de funcin, a pesar delnotable incremento en el nmero de funcionesconsideradas, que abarca, entre otras, la mayorade funciones trigonomtricas, as como lamejora de los mtodos de estudio de las mismas,ampliando y perfeccionando los sistemas deinterpolacin esenciales para la tabulacin defunciones, no es posible hablar de un cambiosustancial en el tratamiento de las mismas, nise tienen indicios que permitan pensar que losrabes avanzaron hacia el concepto general.

No obstante, es importante destacar, que unade las preocupaciones de la Edad media, fueel estudio de las cosas sujetas al cambio, y en

particular del movimiento. Las escuelas defilosofa natural de Oxford y Pars, dos de los

principales ncleos cientficos de este periodo,que tuvieron su mayor florecimiento durante elsiglo XIV y que consideraban las matemticasgriegas como un instrumento esencial parael estudio de los fenmenos de la naturaleza,hicieron grandes aportes en los que se destacanal inicio de un estudio cuantitativo del movi-miento local no uniforme, partiendo inicial-mente de las doctrinas aristotlicas.

A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo

de fenmenos adquiere gran relevancia. Seanalizan cualidades y formas, segn la termino-loga propuesta por Aristteles, de fenmenosmuy diversos como calor, luz, densidad, velo-cidad, que pueden poseer varios grados deintensidad que cambian entre dos lmites esta-

blecidos; la intensidad se considera en relacina su extensin con el tiempo o la cantidadde materia. En el transcurso de estos estudios,y al margen del valor concreto de cada uno de

ellos, empiezan a aparecer conceptos funda-mentales como cantidad variable, entendidacomo un grado de cualidad, velocidad instan-tnea o puntual, aceleracin, todos ellos nti-mamente ligados a la idea de funcin (AzcrateJ., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996)

De la escuela francesa se destaca NicolsOresme, que continuando el estudio sobre losfenmenos que cambian, abre una nueva va al

proponer una aproximacin geomtrica, frentea los estudios cinemtico aritmticos desa-rrollados hasta el momento, en su teora sobrelas latitudes de las formas (Tratado De confi-

gurationibus qualitatum et motuum), que sefundamenta en el uso de segmentos rectilneos

para representar todo lo que vara, ya que todolo medible puede imaginarse como un cantidadcontinua, pasando despus a la representacinde diversos tipos de cambio. De esta forma, porejemplo, para representar la velocidad de unmvil a lo largo del tiempo, Oresme traza unsegmento horizontal cuyos puntos representanlos sucesivos instantes de tiempo (longitud) y

para cada instante traza un segmento perpendi-cular (latitud) cuya longitud representa la velo-cidad en aquel instante.

Fig. 1. Oresme y la representacin del Cambio

La teora de las latitudes de las formas deOresme, destaca por el carcter general de los


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primeros problemas abordados, pero prontorestringe su campo con la distincin de trestipos de configuraciones, las uniformementeuniformes (de latitud constante y por consi-

guiente la lnea superior o de intensidades esuna recta paralela a la de las longitudes), lasuniformemente diformes (la variacin de laslatitudes da una lnea superior o de intensidadigual a una recta) y las diformemente diformes(la lnea superior no es una recta), descritasnegativamente como las que no pertenecen aninguna de las configuraciones anteriores. Coneste tipo de representaciones, que recuerdanmucho la llamada representacin grfica de unafuncin sobre unos ejes cartesianos, Oresme

pretende que se entienda ms fcil y ms rpi-damente la naturaleza de los cambios, ya seancuantitativos o cualitativos, de forma que sea

posible dar una representacin de todos ellos.No obstante no se puede considerar estas repre-sentaciones como la expresin de una depen-dencia en sentido actual.

1.4 La transicin haciasistemas de representacinsimblica(algabraica actual) y elsurgimiento de la Variable y laFuncin

El apogeo en el estudio sistemtico de procesosde variacin y cambio relacionados con el movi-miento, la intensidad luminosa y la intensidad decalor, se da en el periodo que va desde el SigloXV hasta el Siglo XVII, con los trabajos de Tarta-glia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis,

Newton y Leibniz, que construyeron a partirde Vieta con influencia de Napier, Descartes y

Wallis, el lgebra simblica (Sigma, 1985, Pg.43). En el lgebra simblica se usan letras paratodas las cantidades y signos para representar lasoperaciones, se utiliza el lenguaje simblico noslo para resolver ecuaciones sino tambin parademostrar reglas generales (Malisani, E. 1999,

Pg. 4). Desde distintos puntos de vista, desdeesta poca, se da paso al nacimiento primero dela geometra analtica y luego del clculo infi-nitesimal, con el consiguiente progreso para el

estudio de las funciones que permitir la apari-cin de las primeras definiciones as como eltrmino de funcin.

Los avances de Galileo sobre el estudio expe-rimental del movimiento usando ingeniososinstrumentos para tomar medidas que le permi-tieron establecer leyes entre magnitudes queson autnticas relaciones funcionales, a pesarde basarse y expresarse en la clsica teoragriega de las proporciones, resulta decisiva

para el establecimiento del concepto matem-tico de funcin.

Hasta el siglo XVII, un a funcin poda intro-ducirse utilizando una expresin verbal, unatabla, una grfica, e incluso en ciertos casosuna comparacin de carcter cinemtico.Hacia 1637, Descartes Public su trabajo La

gomtrie, libro que marca el nacimientoy expansin de la geometra analtica, que

permitir, a partir de este momento, interpretarcurvas y superficies por medio de ecuaciones,

y que un siglo ms tarde llev a la algebriza-cin de la geometra. Esta idea fundamental,afect de forma decisiva a las funciones, yaque en este mismo trabajo aparece por vez

primera el hecho de que una ecuacin enx ey es una forma para expresar una dependenciaentre dos cantidades variables, de manera quea partir de ella, es posible calcular los valoresde una variable que corresponden a determi-nados valores de otra.

Siguiendo a Azcrate y Deulofeu, para llegar alas ideas fundamentales, que permitieron conel tiempo, considerar por un lado las funcionescomo relaciones entre conjuntos de nmeros,ms que como entre cantidades, y por otrorepresentar las funcin por medio de frmulas,


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se haban producido en el campo de las mate-mticas dos avances muy importantes en lasegunda mitad del siglo XVI: los progresos reali-zados en la extensin del concepto de nmero,

con la configuracin de los nmeros reales yla primera aparicin de los nmeros imagina-rios, y la aparicin del lgebra simblica, enla que cabe destacar la introduccin de signos

para numerosas operaciones y especialmente lautilizacin de letras para representar cantidadesdesconocidas y coeficientes arbitrarios distin-guiendo claramente una cosa de otra.

Junto a Descartes, se destaca el trabajo deFermat, el cual en una publicacin pstuma de1679, escrita antes de 1637, expone los princi-

pios fundamentales del mtodo de las coorde-nadas. Al igual que Descartes, tom un eje dereferencia y en l un punto fijo, el origen desegmentos variables, a partir de cuyos extremostoma otros segmentos variables, generalmente

perpendiculares a aquellos, de manera que elextremo de este segundo segmento dibujaruna curva que depender de la relacin alge-

braica establecida entre los dos segmentosvariables. En esa memoria aparece, de manerams explicita que en Descartes, la ecuacin

de la recta, siguiendo la notacin de Vite, ascomo las ecuaciones de la circunferencia y delas dems cnicas.

Como se observa, Descartes consider sola-mente las funciones algebraicas, excluyendoincluso las curvas mecnicas que no podanser tratadas segn su mtodo de anlisis,alejando as la vinculacin de las matem-ticas con la fsica, como fruto de su parti-cular visin de aquella ciencia. No obstante,

pocos aos despus, el descubrimiento deldesarrollo de funciones en series infinitas de

potencias, debido entre otros a Newton, redujonotablemente las restricciones de Descartes,haciendo posible la representacin analtica dela mayora de funciones estudiadas en aquellos

tiempos. El desarrollo en series de potenciasde una funcin tuvo una gran importancia, a

partir de la mitad del siglo XVII, hasta el puntoque durante mucho tiempo se convirti en el

mtodo fundamental para el estudio de lasfunciones.

A manera de sntesis se puede sealar que Newton hizo grandes contribuciones al desa-rrollo del estudio de las funciones, entre las quese destacan:

- Su interpretacin geomtrico cinemticade los conceptos fundamentales del anlisismatemtico, siguiendo las ideas de Barrow,en las que tomando el tiempo como argu-mento analiza las variables dependientescomo cantidades continuas que poseen unadeterminada velocidad de cambio.

- Sus ideas sobre el clculo infinitesimal,expuestas en uno de sus trabajos principales,el mtodo de fluxiones y series infinitas,escrito en 1671 y publicado en 1736, en losque a partir de la exposicin de sus ideas

bsicas a travs de la mecnica, present losdos principales problemas del clculo infi-

nitesimal, la diferenciacin y la integracin,en trminos de movimiento, es decir dada laley para la distancia determinar la velocidad,

para el primer caso, y dada la velocidaddeterminar la distancia, para el segundo. Enefecto al determinar un movimientox = f(t)sobre le eje x, en el tiempo t, lo que carac-teriza dicho movimiento es su velocidad,es decir el valor del lmite del cociente dediferencias x / t. Esta velocidad, con lacual vara la variable x en el tiempo, es la

que Newton llama fluxin de x que repre-senta asimismo porx, y dependientes de unavariable primitiva t, el tiempo de manera quela derivada dey respecto ax es el cociente dedosfluxiones y / x, lo que en la actualidadse escribe como dy /dt: dx / dt.


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Gottfried W. Leibnitz, contemporneo y rivalde Newton, otro matemtico de la segundamitad del siglo XVII, contribuy decidida-mente el concepto de funcin. Al igual que Newton, sus primeras obras fueron dedi-cadas al estudio de las series infinitas. Hacia1673, se dio cuenta que la determinacin dela tangente a una curva depende de la raznentre las diferencias de las ordenadas y delas abscisas cuando stas tienden a cero, ascomo el clculo de las reas depende de lasuma de las ordenadas o de los rectnguloscuya abscisa tiende a cero y que ambos son problemas inversos, llegando a la mismaconclusin de Newton que se encontraba anteun mtodo de gran importancia por su gene-ralidad. Introdujo las notaciones que todava perviven para representar las diferenciales(dx, dy) y para la integral , una s estilizadaque es la inicial de la palabra suma.

El trmino funcin aparece por primera vezen un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial-mente tiene un significado muy particular,

pues se refiere a un problema de clculo deordenadas a partir de cierta propiedad de lastangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en

un sentido ms general, aunque todava pocopreciso, y referido como siempre a cuestionesde geometra diferencial. Conjuntamente conJean Bernoulli, muestra cmo el deseo paraexpresar mediante una palabra cantidades quedependen de una cierta variable se encuentratodava restringida a las expresiones analticas.En este sentido, una funcin arbitraria de x esuna cantidad formada de manera cualquieraa partir de x y de constantes, esta maneracualquiera se entiende como una expresin

algebraica o trascendente. No obstante, cabedestacarse que parece observarse una supera-cin de la concepcin cinemtica del trminovariable puesto que sta se considera ya comoun elemento genrico de un conjunto numricocualquiera.

1.5 La Consolidacin del Sistemade Representacin Simblico(algebraico actual) y de laFuncin como Representacin de

Procesos de Variacin y CambioEn los siglos XVIII y XIX con los trabajosde Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange,Fourier y de Dirichlet se consolida el sistemade representacin simblico del lgebra actualy la nocin de funcin como representacin de

procesos de variacin y cambio.

Durante el siglo XVIII el anlisis matemticova cobrando cada vez mayor importancia eindependencia como disciplina, perdiendo sucarcter geomtrico y mecnico a favor del usocasi exclusivo del lgebra.

La ampliacin del concepto de funcin comouna de las representaciones de procesos devariacin y cambio se desarroll con toda suextensin en el siglo XIX, gracias a los trabajosde Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros.

La primera definicin de funcin como unaexpresin analtica, publicada en 1718, se debea Jean Bernoulli, cuya notacin no perdur,correspondiendo a Euler (1740) la notacinf(x)utilizada hasta nuestros das. El trmino funcinse tuiliz por primera vez hacia 1698.

Euler, uno de los grandes matemticos del sigloXVIII, al inicio de su obraIntroductio in analysisinfinitorum (1748) hace un detallado estudio delconcepto de funcin y de otros relacionados coneste. Al definir las nociones iniciales se refierea los trminos constante, cantidad definida que

toma siempre un mismo valor determinado, yvariable, cantidad indeterminada, o universal,que comprende en si misma todos los valoresdeterminados (refirindose a los valores delconjunto de los nmeros complejos o a algunode sus subconjuntos). Al definir la funcin


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sigue a Bernoulli: una funcin de una cantidadvariable es una expresin analtica formadade cualquier manera a partir de esta cantidadvariable y nmeros o cantidades constantes.

Posteriormente aborda el complejo problema deestablecer qu se entiende por expresin anal-tica, enumerando en primer lugar las operacionesalgebraicas, luego las trascendentes, como laexponencial y la logartmica, para ampliar elcampo a una infinidad de otras funciones obte-nidas del clculo integral, incluyendo la integra-cin de ecuaciones diferenciales, pero sin llegara determinar claramente cul es la amplitud deltrmino.

La restriccin todava imperante en estaprimera definicin dada por Euler desapareciunos aos ms tarde. Ya durante la primeramitad del siglo XVIII haban aparecido dife-rencias de opinin sobre las maneras de repre-sentar funciones, cuando DAlembert y Eulerdieron sus soluciones al problema de la cuerdavibrante, en la llamada forma cerrada, utili-zando un par de definiciones, arbitrarias, mien-tras que Daniel Bernoulli haba encontrado una

solucin en trminos de una serie infinita defunciones trigonomtricas. Y cmo esta ltimasolucin pareca implicar el carcter peridicode la funcin, mientras que las funciones arbi-trarias de DAlembert y de Euler no eran peri-dicas necesariamente, pareca que la solucinde Bernoulli era menos General. Esta situacinfue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824(BOYER, C., 1996).

Euler al considerar que para la solucin del

problema de la cuerda vibrante deben acep-tarse funciones o curvas de forma arbitraria, esdecir, que no satisfacen ninguna ley analtica,

planta el germen de una definicin, que le lleva explicitar por vez primera la nocin generalde correspondencia entre pares de elementos,

cada uno perteneciente al conjunto en el quetoman valores las correspondientes variables.En el prefacio de su obra Institutiones calculidifferentialis publicado en 1755, aparece la

nueva definicin, que no mantiene relacin conla anterior al desaparecer la idea de expresinanaltica: Six es una cantidad variable, entoncestoda cantidad que dependa de x de cualquiermanera o que est determinada por aqul sellama funcin de dicha variable.

En la transicin al siglo XIX, Lagrange restringide nuevo el concepto de funcin al limitarlo alas llamadas funciones analticas definidas porseries de potencias, todas ellas continuas o con

un nmero reducido de discontinuidades, ya quees necesario recordar que el anlisis, o estudiode los procesos infinitos, se entenda, desde sucreacin por Newton y Leibnitz, como referidoa las llamadas magnitudes continuas.

Fourier a travs del estudio de las series trigono-mtricas, conocidas como series de Fourier, yaabordado por Daniel Bernoulli, para desarrollarfunciones arbitrarias, supuso una gran revolu-cin en su tiempo al lograr representar por medio

de funciones analticas, funciones arbitrariasformadas por leyes analticas distintas en dife-rentes intervalos de la variable independiente.Como seala Boyer (1996), para Fourier, cualquier funciny = f(x) se puede representar

por una serie de la forma:Y=1/2a

0+a

1cosx+a

2co2x+...+a

ncosnx+...+b

1senx+b

2sen2x+...+b

nsenx+...

serie que conocemos hoy con el nombre de seriede Fourier. Las representaciones por medio detales series permiten un grado de generalidad

mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones alas que se puede aplicar para estudiarlas, queel que permite la serie de Taylor. Incluso si haymuchos puntos en los que no exista la derivadade la funcin o en los que la funcin no seacontinua.


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Lejeune Dirichlet, discpulo de Fourier, quecasi siempre se refera a funciones continuaso poco discontinuas, hablaba de los desarro-llos en serie de funciones completamente

arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier,mostrando que posea ya el concepto generalde funcin. Segn Boyer (1996), Dirichlet

propuso en 1837 una definicin sumamenteamplia y general expresada de la siguientemanera: si una variabley est relacionada conotra variablex de tal manera que siempre quese atribuya un valor numrico ax hay una reglasegn la cual queda determinado un nico valordey, entonces se dice quey es una funcin dela variable independiente x. Esta definicinse acerca mucho ya a la idea moderna de unacorrespondencia general entre dos conjuntosde nmeros reales, aunque en su poca losconceptos de conjunto y de nmero realestaban lejos de tener un significado preciso.Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla

propuso lo que se llama funcin de Diri-chlet: sean a y b dos nmeros reales distintos;entonces si x es racional y = a, mientras quesix es irracionaly= b. Esta funcin es discon-tinua para todos los valores dex, y por tanto noes diferenciable para ninguno de ellos. A pesar

de que ya no existe duda sobre la generalidadde su definicin, posteriormente, formul unconjunto de condiciones, conocidas como lascondiciones de Dirichlet, que deban satisfacerlas funciones por l consideradas.

Paralelamente, hacia 1830, se desarroll lateora de funciones de variable compleja, debidaante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; coneste paso al campo complejo vienen a coincidiren cierto modo los conceptos de funcin de

Lagrange y de Fourier Dirichlet.

Posteriormente, con la introduccin de la teorade conjuntos el concepto de funcin alcanzaun nuevo grado de generalizacin. Hasta esemomento, una funcin estaba siempre en cada

punto del continuo de todos los valores realeso complejos, o cuanto menos, en cada puntoe un intervalo dado. Pero, al considerar unadefinicin en trminos conjuntistas, todas las

definiciones anteriores corresponden a casosparticulares de esta nueva generalizacin. As,se llega a plantear, que dados dos conjuntosarbitrariosA yB una funcin (o aplicacin) deAenB es una ley que a cada elementox deA hacecorresponder un solo elemento y de B; o si se

prefiere, una funcin deAenBes un subconjuntoFdel producto cartesianoA x B tal que si (x, y)y (x,z) pertenecen a Fentonces y = z. Comoratifican Azcrate y Deulofeu (1996), en estaltima generalizacin del concepto se pierdenmuchos los atributos que tenan las definicionesclsicas, como son la idea de variacin, decontinuidad, de la variable como parmetrotemporal, de dependencia, caractersticos dela mayora de problemas que generaron lanecesidad del concepto de funcin.

1.6 La interaccin entre sistemasde representacin ejecutablesen el estudio y comprensinsistemtica de la variacin y elcambio.

La transformacin en las concepciones sobre lasmatemticas a finales del siglo XIX y duranteel siglo XX, continuaron impulsando el refina-miento en sus diferentes campos y en la manerade concebir los sistemas de representacin de

procesos o fenmenos de variacin y cambio.

Los estudios sobre la variacin y el cambioagrupados en el anlisis adquirieron mayor

rigor y surgieron nuevas definiciones generalesy precisas de conceptos como funcin, lmite,integral y, finalmente, del concepto bsico demagnitud variable (se dio una definicin rigu-rosa de nmero real) (ALEKSANDROV, A. D& otros; 2003).


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Este mayor rigor se logr al mismo tiempo que sehacan nuevos hallazgos en lgebra y geometra,y culmin en su forma actual en los aos 80 delsiglo XIX gracias a los matemticos alemanes

Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso loscimientos de la teora de los conjuntos transfi-nitos, que desempean un gran papel en el desa-rrollo de las novsimas ideas de la matemtica.

La mayor precisin que adquirieron losconceptos de variable y funcin en conexincon la teora de conjuntos, fue esencial para el

posterior desarrollo del anlisis. Se paso delestudio de funciones ms generales, y en estamisma lnea se generaliz tambin el aparatodel anlisis, es decir, el clculo diferencial eintegral. Fue as como a comienzos del sigloXX, surgi la nueva rama del anlisis: la teorade funciones de una variable; ligada princi-

palmente a los matemticos franceses Borel,Lebesgue y N, N Luzn y su escuela.

Surgieron igualmente otras teoras, como lateora de aproximacin de funciones, que estudialos problemas relativos al mejor modo de repre-sentar aproximadamente funciones arbitrariasmediante funciones simples, y en particular

mediante polinomios, que proporciona mtodosgenerales para el clculo prctico de funcionesy para la sustitucin aproximada de funcionescomplicadas por otras ms sencillas.

Sobre la base proporcionada por el desarrollodel anlisis y la fsica matemtica, y junto conlas nuevas ideas de la geometra y el lgebra,ha madurado una nueva y extensa seccin de lamatemtica, el llamado anlisis funcional, quetiene un papel excepcionalmente importante en

la matemtica moderna, construido a travs delos trabajos de Hilbert, del matemtico HngaroRiesz y el matemtico polaco Banach.

La esencia del anlisis funcional se resume,en que en el anlisis clsico la variable es unamagnitud o nmero, en anlisis funcionalse considera como variable la funcin misma.

Las propiedades de una funcin particular sedeterminan, no como tales propiedades, sino enrelacin con otras funciones. Lo que se estudiano es una funcin aislada sino toda una colec-cin de funciones caracterizadas por una u otra

propiedad; por ejemplo la coleccin de todas lasfunciones continuas. Tal coleccin de funcionesconstituye lo que se denomina un espaciofuncional. Este procedimiento corresponde, porejemplo, al hecho de considerar la coleccin detodas las curvas sobre una superficie o de todoslos posibles movimientos de un sistema mec-nico dado, definindose as las propiedades delas curvas o movimientos particulares en surelacin con otras curvas o movimientos.

La transicin de la investigacin de funcionesindividuales a la investigacin de una funcinvariable es similar al paso de los nmeros desco-nocidosx, y a las variablesx, y.

Con el advenimiento desde la primera mitaddel siglo XX de las tecnologas informticas y

su evolucin hacia el uso de sistemas grficos yalgebraicos ejecutables, se a abierto un campoinfinito de experimentacin y desarrollo en elcampo de las matemticas, con importantesrepercusiones en el campo de la educacin.

Como se puede observar en captulos posteriores,la mediacin de herramientas computacionales

provistas de un sistema de lgebra simblicaejecutable, constituye un poderoso recurso en elcontexto escolar, para observar, explorar, conje-

turar, representar modelar y simular situacionesde variacin y cambio, a partir de la interaccinentre sistemas de representacin.


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LA VARIACINYEL CAMBIOENEL CURRCULODE MATEMTICASDE COLOMBIA2

2.1 El Movimiento internacional detransformacin y reforma de laEducacin Matemtica

La dcada de los aos 60 se caracteriz por ungran movimiento internacional en el campo dela educacin matemtica preocupado por actua-lizar y reorientar lo enseado tradicionalmenteen las escuelas e incorporar ciertos temas dela denominada matemtica moderna o nueva;estos temas estaban relacionados con la teorade conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores,espacios vectoriales, matrices, lgebra de Booley otros, que al no ser presentados de manera unifi-cada o coherente, hicieron que los programasde matemticas elaborados atendiendo estosnfasis, aparecieran demasiado recargados,difciles y abstractos. Como consecuencia deesto en los pases donde se adoptaron estas

medidas de manera precipitada, el nmero deestudiantes de matemticas de los dos ltimosaos de la escuela secundaria descendi seria-mente. (F. Fehr, Howard y otros; 1971)

Durante la dcada de los aos 70, en reaccinal movimiento de la matemtica moderna ysu nfasis en el carcter abstracto y formal dela matemtica escolar, surgen movimientosde vanguardia que reivindican una enseanzams real, con problemas de contenido real y el

papel de los problemas frente a lo rutinario delos ejercicios. Renuncian a los modelos tradi-cionales, entre los que incluyen las matem-ticas modernas, y se aproximan cada vez msa postulados pedaggicos y psicolgicos quevaliden su modelo de enseanza.

Uno de los movimientos surgidos comorespuesta inmediata a las deficiencias que elmovimiento de las matemticas modernas dejaen los estudiantes, es el conocido, como elregreso a lo bsico. Dicho movimiento, le dabamucha importancia al manejo de las opera-ciones fundamentales y procedimientos algo-rtmicos. Sin embargo, el regreso a lo bsicotampoco mejor el aprovechamiento de losestudiantes, ya que cuando algunos estudiantes,eran capaces de resolver operaciones, muchasveces no entendan el significado o sentido delas respuestas. Haba casos en que el estudianteencontraba la respuesta a problemas cuyosdatos no tenan sentido o eran insuficientes.

2.2 La Renovacin Curricular deMatemticas en Colombia:

impulso al estudio de lavariacin y el cambio.

En el caso colombiano, a mediados de la dcadade los aos 70s, como manera de avanzar enla construccin de un currculo que respondieraa las necesidades del pas, en el marco delPrograma Nacional de Mejoramiento Cualita-tivo de la Educacin (MEN, 2002), que tuvocomo objetivo general mejorar cualitativa ycuantitativamente la educacin sistematizando

el empleo y generacin de tecnologa educa-tiva para ampliar las condiciones de accesoa la educacin en forma equitativa, a toda la

poblacin colombiana fundamentalmente delas zonas rurales, se ciment la renovacincurricular de matemticas.


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En el contexto de la estrategia de renovacincurricular, teniendo como sustento los funda-mentos Generales del Currculo que integraronaspectos legales, filosficos, epistemolgicos,

sociolgicos, psicolgicos y pedaggicos quepermitieron proponer en la educacin: la idea dehombre que se pretenda hacer real; se concibiel conocimiento como proceso y conjunto deexperiencias durante toda la vida, transferiblesa otras situaciones y presentes en diferentescontextos; los conocimientos y verdades seconsideraron como proyectos que deben revi-sarse y corregirse permanentemente; el alumnocomo el centro del proceso y el maestro su orien-tador y animador (MEN, 1977); se construyel marco general de la propuesta de programacurricular de matemticas (MEN, 1990).

En el Marco General del Programa de Matem-ticas para la educacin Bsica, se:

Parte del reconocimiento e importancia delestudio de los diferentes aspectos de lasmatemticas como forma de contribuir deci-didamente a la educacin integral del indi-viduo

Acoge el enfoque de sistemas, que contrastacon el enfoque por conjuntos de la llamadaNueva matemtica o MatemticaModerna (New Math), con el enfoque

por habilidades algortmicas bsicas de lacorriente de Volver a lo bsico (Back toBasics), y con el enfoque de resolucin de

problemas (Problem Solving Approach).

Asume un sistema como un conjunto deobjetos con sus relaciones y operaciones

Plantean como sistemas (interrelacionados),que articulan los contenidos para la educa-cin bsica: Los numricos, Geomtricos,Mtricos, de datos, Lgicos, de Conjuntos,operaciones y relaciones y analticos.

Los sistemas analticos, se incorporan de maneraexplcita dentro de los contenidos bsicos parala educacin bsica secundaria (6 a 9), susten-tados en el reconocimiento de la importancia,

necesidad y pertinencia del estudio de situa-ciones de cambio. A este respecto fundamen-talmente proponen:

La utilizacin de las funciones, las grficasy las tablas para modelar situaciones decambio.

Que puede ser ms importante en un primer momento el anlisis cualitativo delas grficas que el trazado muy preciso degrficas a partir de frmulas o tablas.

El trabajo con situaciones de la vida real ysus modelos de puntos y lneas, modelosescalonados, modelos lineales, polinmicosde 2 y 3 grado, exponenciales, radicales ylogartmicos.

La importancia de ejercitar las traduccionesde una a otra de las distintas representacionesde una funcin.

La incorporacin de algunos temas de los quese haban venido trabajando en los programastradicionales bajo el nombre de lgebra, yque en realidad son slo el manejo de ciertas

expresiones para las funciones reales o susvalores.

A travs de la funcin lineal se cubren todoslos temas como proporcionalidad y todas susaplicaciones. Paralelamente a las funcionesse van estudiante las ecuaciones e inecua-ciones.

Como contenidos por grado para el estudio delos sistemas analticos, se proponen:

Para grado 6: Representacin en la recta numrica de

naturales y racionales positivos (No rectareal).

Relaciones mayor, menor, mayor igual,menor igual.


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LA VARIACINYEL CAMBIOENEL CURRCULODEMATEMTICAS

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Para Grado 7: Funciones crecientes y decrecientes. Corre-

laciones. Razones.

Proporciones. Representacin grfica de funciones linealesy de grfica lineal.

Ejes, cortes, intercepto. Ecuaciones lineales. Solucin de ecuaciones lineales.

Para Grado 8: Funciones lineales. Funciones de grfica lineal. La recta pendiente. Ecuaciones lineales. Funciones cuadrticas. Representacin de funciones cuadrticas. Ecuaciones cuadrticas.Para Grado 9: Funciones de grfica lineal y ecuaciones

lineales. Funciones cuadrticas y ecuaciones cuadr-

ticas. Solucin de ecuaciones cuadrticas. Factor Comn. Cuadrado perfecto. Diferencia de cuadrados. Funcin cbica y ecuaciones cbicas. Funcin exponencial. Polinomios de una variable. Operaciones +, -, x, / Sucesiones y series; lmites. Progresiones. Decimales infinitos. Inters simple; compuesto.

Como se puede observar, desde la renovacin

curricular, en lo relativo a los sistemas anal-ticos, hay un reconocimiento explcito delestudio de situaciones de cambio (enfatizandoen las provenientes de la realidad), empleandodiversos sistemas de representacin: analtico,grfico, tabular, verbal y escrito.

Durante la dcada de los 80 y mediados de los90, se continu impulsando y desarrollando enel pas la propuesta programtica para el rea dematemticas de la renovacin curricular.

2.3. Desarrollo del PensamientoVariacional: uno de losLineamientos Bsicos en elCurrculo de Matemtica deColombia

Hacia el ao 1996, en el proceso de construc-cin de lineamientos curriculares reconociendolos aportes, avances y logros de la renovacincurricular, se incorporan nuevos elementos

provenientes de las investigaciones en el campode la educacin o didctica de la matemtica,nuevos enfoques y tendencias para la orienta-cin de la matemtica en contextos escolaresy las nuevas perspectivas sobre la matemticaescolar y sus propsitos formativos. Esto lleva la construccin participativa de los Linea-mientos curriculares de matemticas (MEN,1997), en los cuales se enriquece la perspectivarespecto a la naturaleza e importancia de contri-

buir al desarrollo del pensamiento variacional.

Fundamentalmente en los lineamientos curricu-lares, se plantea como propsito central de laeducacin matemtica de los niveles de bsica ymedia contribuir al desarrollo del pensamientomatemtico a partir del trabajo con situaciones

problemticas provenientes del contexto socio-cultural, de otras ciencias o de las mismas mate-mticas. Dentro de los pensamientos se hacealusin directa al Pensamiento variacional.

Se propone el inicio y desarrollo del pensamientovariacional como uno de los logros para alcanzaren la educacin bsica, lo cual presuponesuperar la enseanza de contenidos matemticosfragmentados y compartimentalizados, paraubicarse en el dominio de un campo conceptual,


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que involucra conceptos y procedimientosinterestructurados y vinculados que permitananalizar, organizar y modelar matemticamentesituaciones y problemas tanto de la actividad

prctica del hombre, como de las ciencias y laspropiamente matemticas donde la variacin seencuentre como sustrato de ellas.

En esta forma se plantea que se ampla la visinde la variacin, por cuanto su estudio se inicia enel intento de cuantificar la variacin por mediode las cantidades y las magnitudes. En los linea-mientos se reconoce la necesidad de estudiar condetalle los conceptos, procedimientos y mtodosque involucra la variacin para poner al descu-bierto las interpelaciones entre ellos. Un primer

acercamiento en la bsqueda de las interrela-ciones permite identificar algunos de los ncleosconceptuales matemticos en los que est involu-crada la variacin:

las magnitudes; Continuo numrico, reales, en su interior los

procesos infinitos, su tendencia, aproxima-ciones sucesivas, divisibilidad;

la funcin como dependencia y modelos defuncin;

el lgebra en su sentido simblico, liberadade su significacin geomtrica, particular-mente la nocin y significado de la variablees determinante en este campo;

modelos matemticos de tipos de variacin:aditiva, multiplicativa, variacin para medirel cambio absoluto y para medir el cambiorelativo. La proporcionalidad cobra especialsignificado.

Se plantea que en la vida prctica y el mundocientfico, la variacin se encuentra en contextos

de dependencia entre variables o en contextosdonde una misma cantidad vara (conocida comomedicin de la variacin absoluta o relativa).Estos conceptos promueven en el estudianteactitudes de observacin, registro y utilizacindel lenguaje matemtico.

Abordado as el desarrollo del pensamientovariacional, se asume por principio que lasestructuras conceptuales se desarrollan en eltiempo, que su aprendizaje es un proceso que

se madura progresivamente para hacerse mssofisticado, y que nuevas situaciones proble-mticas exigirn reconsiderar lo aprendido paraaproximarse a las conceptualizaciones propiasde las matemticas.

En los lineamientos se seala que entre los dife-rentes sistemas de representacin asociados a lavariacin se encuentran los enunciados verbales,las representaciones tabulares, las grficas detipo cartesiano o sagital, las representaciones

pictricas e icnicas, la instruccional (progra-macin), la mecnica (molinos), las frmulas ylas expresiones analticas.

Orienta frente al hecho, que el estudio de lavariacin se inicie pronto en el currculo dematemticas, considerando que el significadoy sentido acerca de la variacin puede estable-cerse a partir de las situaciones problemticascuyos escenarios sean los referidos a fenmenosde cambio y variacin de la vida prctica. Seorienta respecto a que la organizacin de la

variacin en tablas, puede usarse para iniciaren los estudiantes el desarrollo del pensamientovariacional por cuanto la solucin de tareas queinvolucren procesos aritmticos, inicia tambinla comprensin de la variable y de las frmulas.En estos problemas los nmeros usados deben sercontrolados y los procesos aritmticos tambinse deben ajustar a la aritmtica que se estudia.Igualmente, la aproximacin numrica y la esti-macin deben ser argumentos usados en la solu-cin de los problemas. La calculadora numrica

se convierte en una herramienta necesaria en lainiciacin del estudio de la variacin.

Adicionalmente se seala, que la tabla se cons-tituye en un elemento para iniciar el estudiode la funcin, pues es un ejemplo concreto de


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LA VARIACINYEL CAMBIOENEL CURRCULODEMATEMTICAS

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funcin presentada numricamente. Y aunqueen algunas ocasiones enfatiza la variacinnumrica discreta, es necesario ir construyendola variacin numrica continua. As mismo,

las situaciones problemticas deben seleccio-narse para enfrentar a los estudiantes con laconstruccin de expresiones algebraicas o conla construccin de las frmulas. Acogiendo los

planteamientos de Demana (1990), se consideraque la exposicin repetida de construcciones defrmulas, como expresiones que explicitan un

patrn de variacin, ayuda a los estudiantes acomprender la sintaxis de las expresiones alge-

braicas que aparecern despus del estudio dellgebra. La tabla tambin se constituye en unaherramienta necesaria para la comprensin de lavariable, pues el uso de filas con variables ayudaa que el estudiante comprenda que una variable

puede tener un nmero infinito de valores dereemplazo. Adems, el uso de variables en latabla tambin ayuda a la escritura de las expre-siones algebraicas, tipo retrico o frmulas paradescribir la variacin o el cambio.

Otra herramienta necesaria para iniciar elestudio de la variacin desde la primaria la cons-tituye el estudio de los patrones. stos incluyen

escenarios en la vida prctica como fotografasy representaciones pictricas e icnicas. Enlas matemticas los escenarios geomtricos onumricos tambin deben ser utilizados parareconocer y describir regularidades o patrones

presentes en las transformaciones. Estas explo-raciones permiten, en una primera instancia,hacer una descripcin verbal de la relacin queexiste entre las cantidades (el argumento y el

producto terminado que se lee primero) queintervienen en la transformacin. Los contextos

de variacin deben incluir patrones aditivos ymultiplicativos.

Las tablas se pueden usar posteriormente parallevar a los estudiantes a la graficacin de situa-ciones problema de tipo concreto, aunque quede

restringida al primer cuadrante. La identifica-cin de la variable independiente y dependientees ms significativa cuando se inicia desde larepresentacin de situaciones concretas. Ms

adelante se formaliza el sistema cartesiano conel aprendizaje de su sintaxis.

Por su parte, las grficas cartesianas tambin pueden ser introducidas tempranamente en elcurrculo. Ellas hacen posible el estudio din-mico de la variacin. La relacin explcita entrelas variables que determinan una grfica puedeser iniciada con situaciones de variacin cuali-tativa y con la identificacin de nombres paralos ejes coordenados.

Los contextos de la variacin proporcionalintegran el estudio y comprensin de variablesintensivas con dimensin, as como tambinayudan al estudiante a comprender el razona-miento multiplicativo.

Particularmente la grfica tiene como finabordar los aspectos de la dependencia entrevariables, gestando la nocin de funcin comodependencia.

Los contextos donde aparece la nocin defuncin establecen relaciones funcionales entrelos mundos que cambian, de esta manera emergela funcin como herramienta de conocimientonecesaria para enlazar patrones de variacinentre variables y para predecir y controlar elcambio. Los modelos ms simples de funcin(lineal, afn, cuadrtica, exponencial...) encap-sulan modelos de variacin como la proporcio-nalidad.

Se considera en los lineamientos, que la intro-duccin de la funcin en los contextos descritos

preparan al estudiante para comprender la natu-raleza arbitraria de los conjuntos en que se ledefine, as como a la relacin establecida entreellos. Es necesario enfrentar a los estudiantes


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a situaciones donde la funcin no exhiba unaregularidad, con el fin de alejar la idea de quesu existencia o definicin est determinada porla existencia de la expresin algebraica. A la

conceptualizacin de la funcin y los objetosasociados (dominio, rango...) le prosigue elestudio de los modelos elementales, lineal,afn, cuadrtico, exponencial, priorizando enstos el estudio de los patrones que los carac-terizan (crecientes, decrecientes). La calcula-dora grfica y algebraica se constituye en unaherramienta didctica necesaria para lograr este

propsito.

En lo referente a la construccin del continuonumrico, se indica en los lineamientos que

los escenarios deben ser los numricos y losgeomtricos. Particularmente el trabajo conlas representaciones decimales, cobra especialrelevancia. Los procesos infinitos deben ser

introducidos en contextos geomtricos.En trminos generales en los lineamientoscurriculares de matemticas se hace una alusinexplcita a la promocin y desarrollo del pensa-miento variacional a partir de situaciones de larealidad, de las matemticas u otras cienciasrelacionadas con fenmenos o procesos devariacin y cambio. Propone el uso de diversossistemas de representacin en su exploracin,comprensin y estudio sistemtico.


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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL3

Como se indic en las secciones anteriores laidea de pensamiento variacional aparece expl-citamente en los Lineamientos Curricularesen Matemticas. Este trmino, pensamientovariacional, se introdujo con la intencin de

profundizar un poco ms en lo que se refiereal aprendizaje y manejo de funciones comomodelo de situaciones de cambio.

Se trata de abandonar el enfoque rgido de lossistemas y superar la enseanza de los contenidosmatemticos fragmentados y compartimentali-zados que ha gobernado por un tiempo la acti-vidad matemtica escolar. El nfasis que se quierehacer con la introduccin de esta manera de verel currculo es, como lo dicen los Lineamientos,la ubicacin en el dominio de un campo concep-tual que involucra conceptos y procedimientosinterestructurados y vinculados que permitan

analizar, organizar y modelar matemticamentesituaciones y problemas tanto de la actividad

prctica del hombre, como de las ciencias y laspropiamente matemticas donde la variacin seencuentre como sustrato de ellas (MEN, 1997).

Es decir, lo que se quiere es desarrollar una formade pensamiento que identifique de manera naturalfenmenos de cambio y que sea capaz de mode-larlos y transformarlos. Podramos introduciraqu la siguiente conceptualizacin que trata de

recoger las caractersticas descritas arriba: el pensamiento variacional es la capacidad paradarle sentido a las funciones numricas y mane-

jarlas en forma flexible y creativa, para entender,explicar y modelar situaciones de cambio, con el

propsito de analizarlas y transformarlas.

Teniendo presente este planteamiento y recono-ciendo que el significado y el sentido acerca dela variacin se establecen a partir de situaciones

problemticas cuyos escenarios sean los refe-ridos a fenmenos de cambio y variacin, lasactividades que se propongan como ejemplossern planteadas como situaciones problemaque pueden ser desarrolladas en los diferentesniveles de escolaridad y que no necesariamentesiguen una secuencia lineal de contenidos. Elnfasis del tratamiento de la situacin se har deacuerdo con el nivel apropiacin del lenguajey los conceptos por parte de los estudiantes,teniendo en cuenta las recomendacin de losLineamientos en cuanto a que el estudio de lavariacin puede ser iniciado pronto en el curr-culo de matemticas.

En lo que sigue explicaremos con ms detalle

lo que significara desarrollar el pensamientovariacional en los estudiantes. Para estodesglosaremos y describiremos los diferentesmomentos (no necesariamente consecutivos)que aparecen en el estudio de situaciones devariacin y cambio.

3.1 Situaciones de Variacin yCambio

La mayora de las situaciones de variacin ycambio de la vida diaria involucran de maneraexplcita la consideracin del tiempo. El cambioy la variacin se presentan cuando una circuns-tancia dada se transforma con el transcurso deltiempo. El poder identificar el fenmeno de


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cambio, describirlo, interpretarlo, predecir susconsecuencias, cuantificarlo y modelarlo, sonlas caractersticas del pensamiento variacionalque se pretenden desarrollar.

No estamos excluyendo de ninguna manera otrassituaciones de variacin que no involucran demanera explcita el tiempo o que no tienen quever con el tiempo. Consideraremos dos formasde modelacin de situaciones en las que inter-viene el tiempo. La primera cuando se considerael tiempo (el tiempo es un concepto fsico alque le corresponde la magnitud duracin segnFederici. Ver Sobre el anlisis dimensional),como una magnitud continua. Es decir, cuandose considera el tiempo fluyendo de manera inin-terrumpida. En estas circunstancias hablaremosde variacin continua. El modelo general parael estudio de estas situaciones es el de funcionesde variable real.

La otra forma de modelar una situacin enla que interviene el tiempo ser cuando seobserva la situacin en instantes espaciados detiempo (Algo as como cada una de las fotogra-fas consecutivas de una pelcula que registrala situacin en estudio). En este caso habla-

remos de variacin discreta. Lo que distingueesta forma de modelar de la anterior es quepodremos enumerar cada uno de los instantesobservados y por consiguiente parametrizarla situacin con los nmeros naturales. Elmodelo general para el estudio de estas situa-ciones es el de las sucesiones (funciones devariable entera).

3.1.1 Descripcin e interpretacin de situa-

ciones de variacin y cambio desdeun punto de vista cualitativo.

En una situacin de cambio, como la queestamos considerando en esta seccin, se

presentan ciertas magnitudes que pueden

cambiar o no cambiar en la evolucin de lascircunstancias iniciales. Es importante identi-ficar estas magnitudes y la relacin que existeentre ellas dentro de la situacin particular. La

identificacin de las magnitudes y la descrip-cin verbal y escrita de la manera cmo estasmagnitudes se comportan en la situacin, esel acercamiento cualitativo al fenmeno que

permitir sacar algunas conclusiones y hacer lasprimeras predicciones de lo que suceder conlos elementos involucrados con el transcursodel tiempo. Se espera que en las descripcionesde la situacin de cambio se usen expresionescomo: tal magnitud aumenta, tal magnituddisminuye, tal magnitud aumenta ms rpidoque tal otra, tal magnitud disminuye ms lenta-mente que tal otra, tal magnitud ni aumenta nidisminuye, etc.

Por ejemplo, supongamos que estamos en el proceso de llenar un balde con agua. En estasituacin de variacin estn involucradasmagnitudes como: tiempo, el volumen del balde(capacidad total), volumen de agua dentro del

balde, altura del nivel del agua en el balde,capacidad del balde y rapidez de llenado del

balde entre otras (hay ms?).

Podemos decir que las magnitudes queaumentan en la situacin son el tiempo, elvolumen de agua en el balde, la altura del niveldel agua dentro del balde; la que disminuye esla capacidad del balde y las que permanecenconstantes son el volumen del balde y la rapidezde llenado del balde. A medida que el tiempotranscurre (aumenta), la altura del nivel delagua y la cantidad de agua en el balde aumentana la vez que la capacidad del balde disminuye.

Como el volumen del balde no cambia y sucapacidad disminuye con el tiempo, llegar unmomento en el que el balde estar completa-mente lleno. Preguntas que surgen de maneranatural son: Cmo podemos medir el volumendel balde? Cmo podemos medir la rapidez


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EL PENSAMIENTO VARIACIONAL

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con que se est llenando el balde? Una vezcontestadas estas preguntas, cunto tiempotarda en llenarse el balde? Si dispongo de untiempo

pensamiento variacional y tecnologias computacionales

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