calculo variacional

Cálculo de Variaciones

René J. Meziat y Jorge Villalobos

Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes

Problemas Geométricos

Braquistocrona: encontrar la curva que se recorre en el menor tiempo posible por una partícula que parte del reposo bajo la acción de la gravedad

Catenaria: encontrar la curva (fija en dos extremos) que da la mínima superficie de revolución

Métodos del Cálculo de Variaciones (1)

En su forma unidimensional el problema se puede ver como: Se tiene una función Definida en un camino y = y(t)

entre dos valores t1 y t2

Se quiere encontrar un camino y(t) tal que la integral de línea I de f entre t1 y t2 tenga un valor estacionario

Se consideran, solamente, variaciones entre caminos para los que y(t1) = y1 y y(t2) = y2

dttyyfI

dt

dyy

t

t

2

1

,,


f debe ser estacionario para el camino correcto relativo a cualquier camino vecino

Tomamos un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal : {y(x,)} con y(x,0) el camino correcto, y se utiliza una función (x) llamada variación, que toma el valor 0 en x = x1 y x = x2

Ahora I es un funcional de

xxyxy 0,,

dxxxyxyfIx

x2

1

,,,,


La condición para obtener un punto estacionario es

Que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial para y

00

d

dI

0

y

f

dx

d

y

f

Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1)

La variación de I con respecto a se puede escribir como:

0

;,;,

2

1

2

1

2

1

2

1

dxxy

f

dx

d

y

f

dxdx

xd

y

fx

y

f

dxy

y

fy

y

f

dxxxyxyfd

d

d

dI

x

x

x

x

x

x

x

x

Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2)

Por lo tanto la variación de I con respecto a es

Puesto que (x) es arbitrario obtenemos las ecuaciones diferenciales de Euler- Lagrange

0

2

1

dxxy

f

dx

d

y

f

d

dI x

x

0

y

f

dx

d

y

f

Métodos del Cálculo de Variaciones

Sistemas de Varias Variables f puede depender de varias variables independientes yi y sus derivadas

Para este caso se debe cumplir el sistema de las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange Las soluciones de éstas

ecuaciones representan curvas para las que la variación del integrando I es cero

dxxxyxyxyxyfI 2

1 2121 ;,,;,,

0

ii y

f

dx

d

y

f

Solución de Problemas Geométricos

Braquistocrona (1) Si v es la velocidad de la partícula, el tiempo que le toma caer una longitud ds es ds/v

El problema es, entonces, encontrar el mínimo de

Si se mide x hacia abajo desde 1 podemos escribir

Además

dxgx

yt

2

1

2

12 2

1

2

112 v

dst

gxv 2

dxydxdx

dydydxds 2

222 11

Solución de Problemas Geométricos

Braquistocrona (2) Identificamos f como

La ecuación de Euler-Lagrange es

Que tiene como solución (parametrizada) la cicloide

ayx

y

yd

f

dx

d

dy

f

2

1

1

0

2

2

2/121

x

yf

sin

cos1

ay

ax

Solución de Problemas GeométricosCatenaria (1) Tenemos una curva fija en

dos extremos (x1,y1) y (x2,y2) queremos que el área que se genera al dar una revolución alrededor del eje y sea mínima

El área del segmento sombreado de la figura es 2xds =

El área total está dada por la integral de la derecha, este es el integrando del problema variacional

2

2

1

122

1

yxf

dxyxx

x

dxyx 212

Solución de Problemas GeométricosCatenaria (2) Las ecuaciones de Euler-

Lagrange nos dan la ecuación diferencial

Que tiene solución

Esta es la ecuación de una catenaria

La gráfica de la curva es (en el plano xy)

a

byax

ax

a

dx

dy

cosh

22

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)

Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir

de un potencial escalar):El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea

donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento.T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto

I se conoce como la acción o integral de acción

,2

1

dtLIt

t

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)

El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos

qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas

Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas

Este es un problema variacional

0;,;,2

111 dttqqqqLI

t

t nn

Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)

En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son

Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad

Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Los momentos generali-zados se definen como

0

ii q

L

dt

d

q

L

ii q

Lp

Ventajas de la Formulación Variacional

Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas.

El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo.

Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas

La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional

Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una

coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva)

Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas

generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría

cte,0 jj p

dt

dp

Ejemplos FísicosOscilador Armónico (1)

Masa m conectada a un resorte de constante k.

La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte

La energía cinética T y la energía potencial U son

El Lagrangiano del sistema es

La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es

txm

k

dt

txd

xmkxx

L

dt

d

x

L

kxxmUTL

tkxUtxmT

2

2

22

22

0

2

1

2

1

2

1;

2

1

Ejemplos FísicosOscilador Armónico (2)

La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es

La amplitud A del movimiento y la fase dependen de las con-diciones iniciales del sistema

Para = 1/s, A = 1m y = /2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2s

m

k

tAtx

sin

Ejemplos FísicosPéndulo Simple

Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy

La coordenada generalizada es el ángulo de l con respecto al eje y



La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es

Para ángulos pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico

tl

g

dt

td

mlmglL

dt

dL

mgllm

UTL

mglUlm

T

sin

0sin

cos2

cos;2

2

2

2

22

22

Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono

(1) Masa m restringida a moverse en la superficie interior de un cono de ángulo medio . La partícula está sujeta a una fuerza gravitacional.

Las coordenadas generalizadas son: la distancia r al eje z y el ángulo con el eje x. La altura z = r cot



cot

csc22

22222222

mgrmgzU

rrm

zrrm

T

cotcsc2

1 2222 mgrrrmL

Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono

(2) Para la coordenada tenemos es una coordenada cíclica mr2 es el momentum angular del

sistema que debe conservarse

Para la coordenada r tenemos

La gráfica es para r2=1 r(0)=1

cte

0

2

mrL

L

dt

d

0cossinsin 22 grr

00 r

Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro

(1) El punto de soporte de un péndulo simple de longitud b se mueve sobre un aro (sin masa) de radio a que rota con velocidad angular constante .

La coordenada generalizada es el ángulo que hace el péndulo con el eje y

La energía cinética T y la potencial U son (tomando U=0 en el centro del círculo)

El Lagrangiano del sistema

cossin

sin22

cossin

sin22

2

1

2

1

2222

2222

22

btamg

tabbam

L

btamgU

tabbam

ymxmT

Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro

(2) La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es

Que se reduce a la ecuación del péndulo simple si tomamos = 0

Tomando = 1/s, b = 2a = 1m y g = 10 m/s2, (0) = 0,

Vs. t x(t), y(t) (paramétrico)

sin

sincos

0

2

b

gb

gt

b

a

0t

Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (1)

Dos masas iguales se ponen en una cuerda, una a a, la otra a 2a. El extremo O de la cuerda está fijo

Las coordenadas generalizadas son los ángulos y de la figura

La energía cinética y potencial del sistema son

El Lagrangiano del sistema

coscos2

cos2

1

coscos2

cos2

1

222

222

mga

maL

mgaU

maT

a

a

Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (2)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para y son

Tomando: a = 0.5 m, g = 10 m/s2, (0) = 0, ’(0) = 0, (0) = 0.5 rad y ’(0) = 0

Vs. t

Vs. t

cossinsin

cossinsin222

2

aaga

aaga

Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos

La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos.

Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema

Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son

Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…

xxxLL ;,~

x

LL

xA

AAA

3,2,1,0~~

Principio Variacional en Elasticidad

En elasticidad se puede aplicar un principio variacional sobre el siguiente planteamiento

La energía de carga es, en general, un término no convexo que favorece la formación de microestructuras en el material Microestructura: estructura

observada en un espécimen con una magnificación óptica ~ x25 a x1500

La energía de superficie es una función que penaliza cambios fuertes en la función que minimiza la energía total

superficie de energía

carga de energíadominio del

geometría

mínE

Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (1)

¿Qué características debe tener el integrando (Lagrangiano) para que existan minimizadores para I en un espacio de funciones? D. Hilbert, 1900

I debe ser débil inferiormente semicontinuo Requisito: convexidad de f en la derivada de y(x). Tonelli,

1930. Si el integrando f no es convexo en la derivada no

se puede garantizar la existencia de minimizadores de I. Dacorogna, 1980 Las ecuaciones de Euler-Lagrange no son un método

efectivo para buscar estos minimizadores

Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (2)

El principio variacional para la elasticidad es no convexo, el término de la energía de superficie hace que el problema tenga solución

La no convexidad de la energía de carga es la responsable de la formación de la microestructura en el material

Se presenta a continuación el método de los momentos Permite encontrar la solución de algunos problemas

variacionales no convexos En caso que el problema no tenga solución, da información

sobre el comportamiento de las sucesiones minimizantes

Problema de BolzaBalance de Energía Para una Barra

Simplificación de un problema de balance energético para una barra unidimensional de longitud 1 Energía de superficie = 0

La barra está bajo el efecto de algunas cargas externas u(x) es la deformación que

experimenta el punto x sobre la barra

u’(x) la deformación unitaria

010

11

0

222

uu

dxxuxuuI

:s.a

Problema de BolzaDificultad y Motivación

El balance energético que propone el problema de Bolza impone condiciones difíciles de cumplir I(u) 0 u(x) 0 u’(x) ±1

Estas condiciones no son compatibles

La ecuación de Euler-Lagrange para u presenta soluciones inestables al utilizar los métodos numéricos convencionales

Además esta ecuación no caracteriza el minimizador

010

11

0

222

uu

dxxuxuuI

:s.a

132

xu

xuxu

Problema de BolzaRelajación

Encuentra la solución o, en caso que esta no exista, da información sobre las sucesiones minimizantes de problemas no convexos Problema variacional

problema de optimización No convexidad en la derivada

se remplaza el integrando por su envolvente convexa

Los minimizadores de esta relajación convexa son los límites débiles de las sucesiones minimizantes del problema original

dxxyyfuI

dxxyyfuI

dxxyyfuI

cxy

xy

,,mín

,,mín

,,

Relajación

Problemas Variacionales No Convexos

Relajación Convexa La relación entre el problema original y el relajado es

Sea un una sucesión minimizante de I, entonces ella converge débilmente a un minimizador de

Teorema de Caratheodory: Dada una función f coerciva y continua f: n su envolvente convexa está definida como

el óptimo se obtendrá en una combinación convexa de n+1 puntos a lo sumo.

yIyI

yxyinfmín

uun

n

I

tt

nncn

k kk

tftftf

1

11min


Relajación en Medidas (1) Para lograr la relajación convexa del funcional I se introduce un nuevo funcional Ĩ en medidas

es una familia de medidas de probabilidad x parametrizada por los puntos x del dominio del problema (medida de Young)

Cada medida parametrizada debe cumplir

x

dxdxxyfI

x

x

:

;,~

xdxy


Resultados de Relajación (Pedregal)

El teorema de Caratedory implica que el mínimo de Ĩ se obtiene en las medidas óptimas x* que determi-nan la envolvente convexa de f(y*,y’*;x) respecto a

y*(x) es minimizador de Ī Además se tiene que:

Notación: * solución buscada

*

*

*

;,*;*,*

x

xcc

dxy

dxxyfxxyxyf

IIIyyy

~minmininf


Relajación en Medidas (Pedregal) La medida de Young óptima * contiene la información sobre el comportamiento límite de las sucesiones minimizantes de

Si todos los miembros x* de * están soportados en un único punto, I tiene minimizador en el espacio de funciones correspondientes y

Si alguna de las medidas óptimas parametrizadas x* tiene soporte en dos o más puntos, I no tiene solución. Pero el soporte de cada x* nos indica los valores que puede tomar el gradiente y’*(x) en cada x y para cualquier sucesión minimizante un de I

** xdxy


Relajación Semidefinida (Meziat) Problema variacional generalizado:

f puede ser no convexo sobre pero debe tener estructura polinomial

Si f tiene esta estructura su envoltura convexa está dada por :

x

x

x x

dxy

yxyyxy

dxdxxyfI

1100

a.s

;,~ 1

0

n

k

kk xyaxxyf

2

0

,;,

n

kkkc xmxyaxxyf

2

0

**,;,*


Relajación Semidefinida (Meziat) (2) Con m*(x) la solución al programa matemático:

Las nuevas variables de diseño deben formar una matriz de Hankel, ya que mk(x) representa el momento de orden k de la medida parametrizada

La matriz H(x) es cuadrada (n+1)(n+1), simétrica y los elementos sobre las diagonales secundarias coinciden

0

a.s

,min2

0

xH

xmxyan

kkk

xmk

0

1

21

121

1

nnn

n

n

mmm

mmm

mm

xH


Relajación Semidefinida (Meziat) (3) El problema variacional original se transforma en un problema de optimización (se ha discretizado x)

Este problema se resuelve con métodos de optimización numérica

De los momentos algebraicos mk(xi) se puede extraer la información sobre el soporte y los pesos en los que está soportada la medida en cada xi. Soporte unitario (1 = 1 para todo x)

implica que el problema original tiene solución

Soporte doble (1 < 1 para algún x) implica que el problema original no tiene solución

0

a.s

,min

110

1

2

0

xH

xxmyxy

xxmxxya

j

i

jji

i

N

i

n

kikiik

m

ii

itiitii

xx

xxxxxu

12

21

1

*21


Relajación Semidefinida (Meziat) (4) Los puntos de soporte de la medida t1 y t2 se encuentran a partir de los tres primeros momentos; son las raíces del polinomio P(x) Soporte unitario (t1 = t2 para

todo xi): el problema tiene solución

Soporte doble: el problema no tiene solución

Los pesos 1,2(xi) se encuentran con

ii

iii

ii

iii

xtxt

xtxmx

xtxt

xmxtx

12

1*1

2

12

*12

1

ii

iii

ii

ii

itiitii

xtxt

tt

xmxmxm

xmxm

tP

xx

xxxxxu

21

2

*3

*2

*1

*2

*1

12

21

1

1

1

*21


Comportamiento de las Sucesiones Minimizantes

Soporte unitario: Las sucesiones minimizantes {un} para I no presentan alternancia en la derivada Si esto se presenta para todo

punto de la malla, I tiene minimizador yi* = u’*(xi)

Soporte doble: Las sucesiones minimizantes presentan alternancia en la derivada entre los valores t1 y t2. El problema I carece de solución. La alternancia entre los valores

t1 y t2 está regida por los pesos 1 y 2 respectivamente

ii

yi

xuy

xi

*

*

itiitii xxxxx21 21*

Problema de BolzaSolución con Medidas (1)

Problema de Bolza: No convexo en u’(x)

Tiene forma polinomial en la variable derivada

El problema relajado en momentos es

242

1

0

222

21,,

010

.a.s

1

uuxf

uu

dxxuxuuI

0

1

0

.a.s

21~

432

321

21

1

0 1

0 1

1

0

242

xmxmxm

xmxmxm

xmxm

xH

dssm

dssmxu

dxxuxmxmmI

x

Problema de BolzaSolución con Medidas (2)

Los momentos que se encuentran son

Que llevan a

La sucesión minimizante tiene la forma

11 2

1

2

1* x

m1

m4

m2

m3

Envolvente Convexa de una Función

Una función es convexa si cumple la desigualdad de Jensen

La envoltura convexa es la máxima función convexa que acota inferiormente a la función

En la gráfica se ve, en rojo, la envoltura convexa de

(1-u’(x)2)2.

La línea azul muestra una violación de la desigualdad de Jensen

0

1

,,

1

1

11

1

i

k

nk

kk

kk

aa

afafaaf

R

calculo variacional

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