paso1 grupo 35

7/17/2019 Paso1 Grupo 35

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TRABAJO COLABORATIVO 1

JUAN GABRIEL NOREÑA. COD.ALEXANDER LONDOÑO MILLAN. COD.

NEHEMIAS BURGOS COD. 10005056

TUTOR:ANA ISABEL BOLAÑOS

GRUPO 299004!5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA " A DISTANCIASEPTIEMBRE DE 2015

1. R#$%&'( #) %*&+(,-+%$ /'(' -*&,)+' # '&#& # '+& # )' U*%$#(&%' N'-%*') A%#(+'

' D%&+'*-%' 3,# /,## #&-'('( '3, ,&-'( ,* '(+-,) (#)'-%*' -* P(-#&'%#*+

D%%+') # S#7')#&. E) #&+,%'*+# ## '/(+'( ') 8( ),# # (#')%'( )' )#-+,(' '* &,

/%*%;* ') (#&/#-+.

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SIMULADOR DE DE<ICIENCIAS AUDITIVAS

J,'* G'(%#) N(#7' B'))#&+#(&

En la actualidad hay dos tipos amplificadores auriculares, los primeros basados en amplificadores

operaciones los cuales amplifican cualquier sonido sin importa la frecuencia; y los que funcionan a base

de procesamiento digital de señales los cuales son mucho más eficientes y tiene la principal ventaja de

permitir que solo las frecuencias que sean deficientes sean amplificadas obteniendo de esta manera una

percepción del sonido que prácticamente es natural.

Los amplificadores de sonido a base de procesamiento digital de señales no solo marcaron una gran

mejora en la solución de problemas, si no que permitieron el estudio a fondo de los problemas de audio

de diferentes personas con diferentes tipo de enfermedad ya que esta nueva tecnologa permitió simular

de manera gráfica cada problema y de esta manera se pudo investigar y solucionar.

N#=#'& B,(&

!in lugar a dudas el enfoque principal de la lectura es la transformada de "ourier, que en este caso se

aplica a la industria pero tiene muchas aplicaciones en el campo laboral de las ingenieras como son la

electrónica, la el#ctrica como principales pero que tambi#n puede tener otros campos de aplicación.

La trasformada de "ourier la podemos anali$ar y calcular por medio de programas de como %atlab o

!cilab en los cuales se pueden visuali$ar las señales para comprobar el análisis matemático.

La utili$ación de la trasformada de "ourier nos lleva a la simplificación de esfuer$os al permitir

simplificar muchos pasos que por otros medios son más ine&actos y con un mayor grado de error, es porello que se debe aplicar no solo como un modelo matemático sino como una herramienta que nos facilita

los cálculos más precisos al ala hora de solucionar un problema.

A)#>'*#( L*7 M%))?*.

'uiero manifestar que la lectura a parte de su importancia dejo una sensación de ver como un modelo

matemático como lo es la (ransformada de "ourier es aplicable en este caso a la industria, es decir un

tpico ejemplo de las muchas aplicaciones que se pueden llevar a cabo por medio de procesamiento de

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imágenes para un análisis sencillo de "ourier y como es una herramienta no solo de cálculo y análisis

sino de procesamiento de información que nos permite apoyada en otras herramientas llegar a otra

realidad la digitali$ación, podemos darnos cuenta que el hombre tiene una capacidad inmensa para

manipular las variables presentes en la naturale$a y como el apoyo en el desarrollo tecnológico logra

facilitar lo que se propone. Lo claro es que la (ransformada de "ourier puede tratar sistemas cuasi

periódicos para una buena representación basada en las frecuencias que la componen, esta condición es

elemental cuando queremos utili$ar la (" para fines especficos, lo que nos lleva a determinar que el uso

de esta transformada nos permite simplificar esfuer$os en estudios complejos. !i nos quedamos solo

como modelo matemático y no miramos su aplicación y las facilidades que nos presta en los cálculos

muy seguramente nos estaramos perdiendo de una e&celente herramienta. Es gratificante descubrir que

la teora estudiada se vuelve práctica en la industria llevándola a cabo con las herramientas que se tiene a

disposición en el curso. Es posible el análisis y caracteri$ación matemática de muchos fenómenos de la

vida real, lo cual hace de estas t#cnicas de una herramienta muy importante para el estudio y desarrollo

en cualquier rama de la tecnologa.

2. D#+#(%*# )' -*$),-%;* # )' &#-,#*-%'

x [n ]=1,10≤n≤20

), en otro caso

C*

h [n ]=n ,−5≤n≤5

), en otro caso

La ecuación de convergencia determina que*

L(+ yn- a una entrada &n- es igual a la onvolución de &n- con la respuesta al impulso hn-

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/or lo tanto*

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

1

x n⦋ ⦌

-5 0 5

0

1

h n⦋ ⦌

I*$#(+%& &#-,#*-%' =@ /'(' +#*#( = @:

012345678910

0

1

= @

0despla$amos h 01- n muestras a la derecha.

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0si n2) o hacia la i$quierda si n3) para formar h n01-.

0creamos los intervalos y formamos los productos

v [ k ]= x [ k ] h [ n−k ]

n<9 y [ n ]=0

Para:10≤ n ≤20 y [ n ]=∑k =10

n

1=n−9

y [10 ]=1∗1=1

y [11 ]=1∗2=2

y [12 ]=1∗3=3

y [13 ]=1∗4=4

y [14 ]=1∗5=5

y [15 ]=1∗6=6

y [16 ]=1∗7=7

y [17 ]=1∗8=8

y [18 ]=1∗9=9

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y [19 ]=1∗10=10

y [20 ]=1∗11=11

Para:21≤ n ≤30 y [ n ]= ∑k =n−10

20

1=31−n

y [21 ]=31−21=10

y [22 ]=31−22=9

y [23 ]=31−23=8

y [24 ]=31−24=7

y [25 ]=31−25=6

y [26 ]=31−26=5

y [27 ]=31−27=4

y [28 ]=31−28=3

y [29 ]=31−29=2

y [30 ]=31−30=1

Para: n≥31 y [n ]=0

4bteniendo la gráfica de la señal de salida yn-.

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!eñal de salida yn-

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

y[n]

y[n]

5. Encuentre la correlación entre las secuencias*

• - 6 - 7 7 8- y

• ℎ- 6 7 9- 7 7 :-

Solución:

S#-,#*-%': > @ @ @ F 6

/ara n6) )- 7 ) 8- 6 8/ara n6< <- 7 < 8- 6 8

/ara n69 9- 7 9 8- 6 8

/ara n65 5- 7 5 8- 6 8/ara n6= =- 7 = 8- 6 8

/ara n6: :- 7 : 8- 6 8

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S#-,#*-%': ℎ@ @ 2 @ 5

/ara n6) ℎ- 6 ) 7 9- 7 ) 7 :- 6 5/ara n6< ℎ- 6 < 7 9- 7 < 7 :- 6 5

/ara n69 ℎ- 6 9 7 9- 7 9 7 :- 6 5

/ara n65 ℎ- 6 5 7 9- 7 5 7 :- 6 5

/ara n6= ℎ- 6 = 7 9- 7 = 7 :- 6 5

/ara n6: ℎ- 6 : 7 9- 7 : 7 :- 6 5

onstruimos la siguiente tabla

"ormula a aplicar

x [ n ] h [ n+k ]=¿ 1

N ∑n=0

N −1

h [ n ] x [ n−k ] Para n=0,1,2,3…

C x , h [ k ]= 1

N ∑n=0

N −1

¿

Llamada correlación cruzada entre dos señales

>ónde*

&, n 6 ?esultado de la correlación cru$ada entre las secuencias &n-, hn-.

@ 6 Longitud de las secuencias

& n- 6 !ecuencia <

h n- 6 !ecuencia 9

La señal h n-, se despla$a hacia la derecha obteniendo la suma de los productos de los correspondientes

pares de puntos. En cada despla$amiento se observa que el resultado de la correlación de las dos señales,

es igual a A), y es porque la segunda señal es una señal periódica con un mismo patrón num#rico de 5, y

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aunque se desplace hacia la derecha, sus valores siguen siendo los mismos, ya que los nBmeros que

vienen de i$quierda a derecha de la señal h n-, tambi#n son valores num#ricos de valor 5.

/or lo tanto la correlación de las dos señales & n- y h n- es*

x [n ] h [ n+k ]=¿

C x ,h [ k ]= 1

N ∑n=0

N −1

¿

C x ,h [ k ]= 1

N ∑n=0

N −1

(6 x3 )+(6 x 3 )+(6 x3 )+(6 x 3)+(6 x3 )+(6 x 3 )=90

C x ,h [ k ]=90

* 0 1 2 ! 4 5 C>=

> @* 6 6 6 6 6 6

= @* ! ! ! ! ! ! 0 90= @*1 ! ! ! ! ! ! 1 90

= @*2 ! ! ! ! ! ! 2 90

= @*! ! ! ! ! ! ! ! 90

= @*4 ! ! ! ! ! ! 4 90

= @*5 ! ! ! ! ! ! 5 90

= @*6 ! ! ! ! ! ! 6 90

C>= 90 90 90 90 90 90

4. C*&%#(# ,* &%&+#' #&-(%+ /( )' #-,'-%;* #* %8#(#*-%'&

- 6 7 <- 7 7 9- C ).:- C ).: 7 <-

Encuentre la respuesta de este sistema a la entrada

- 6 D).:-

on condiciones iniciales D7< 6 ).F: y D79 6 ).

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>E"+@++4@ A.<.< Llamamos ecuación en diferencias a una expresión del tipo

F ( y+n , yt +n−1, yt +n−2,…, yt +1 yt )=0

La solución de la misma, es toda sucesión que la cumpla.

El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de solución general. Esta solución general presenta

cierto nBmero de parámetros, que pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales, dando lugar

a las diferentes soluciones particulares.

Ghora Hamos a construir el modelo que corresponde a la siguiente situación. !upongamos que una

población de insectos crece el triple, en cada periodo de tiempo que transcurre entre dos medidas, de loque creció en el periodo inmediatamente anterior.

!i llamamos y t al nBmero de individuos en el instante t ; del enunciado del ejemplo se deduce,

yt +2− yt +1=3 ( yt +1− yt ) ,t =0,1,2,3…

Gl simplificar se obtiene*

yt +2−4 yt +1+3 yt =0

'ue es una ecuación en diferencias de segundo orden. !i por ejemplo, conocemos el nBmero inicial de

insectos, y) 6 yD) 6 <)), podemos sustituir y obtendramos.

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y2−4 y1+300=0

Lo cual nos indica que debemos saber otra medida, por ejemplo y<, para poder encontrar el resto de los

valores. En las pró&imas secciones aprenderemos a resolver este tipo de ecuaciones.

5. U*' &#7') '' /( >+ 2-&! πt ¿ &# ,#&+(' -* ,*' 8(#-,#*-%' # 20 = -#*'* #* +

0

a Ila frecuencia de muestreo es suficiente para la señalJ Dsugerencias*

/ara que se verifique el teorema de muestreo, es necesario tener más de dos muestras por periodo. Esta

se cumple si "m 29"ma&

"m 2 9K, siendo K el ancho de banda de la señal.

Entonces "m 6 9)h$ en el intervalo 0 "m9 3 " 3 "m9

"1 6 M ")CN "m,N 6 ), M <, M9, M5, M=, M:, M8

• Las señales nunca son de banda limitada y siempre hay ruido presente

• La idea es mantener el aliasing tan bajo como sea posible y tambi#n reducir la rata de muestreo al

mnimo, reducir el ancho de banda del sistema, la cual se logra reali$ando filtraje en la señal de

entrada

>onde se ha considerado 16<, la frecuencia de <) h$ muestreada a 9)h$ no es suficiente para la señal

b Encontrar las primeras seis muestras de la secuencia.

:,=,5,9,<,95

== K K N π π

/ara 1 6 < se obtiene el periodo de frecuencias de seis muestras

ODn 6 9cosDπ

2n¿ ,n

6 ),<,9,5,=,:

}9

9,

<

9,9,

<

9,

<

9,9ED −−−

=n x

c (eniendo en cuenta que la señal muestreada se representa como &n-,Icómo se representara la misma

señal retrasada en cuatro periodos de muestreoJ

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5,9,<,95

== K K N π π

/ara 1 6 < se obtiene la señal retrasada en cuatro periodo

Entonces*

ODn 6 9cosDπ

2n¿ ,n

6 ),<,9,5

}9,<

9,

<

9,9ED −−

=n x

6 Ptilice la (ransformada >iscreta de "ourier D>"(, del ingl#s >iscrete "ourier (ransform para

encontrar las muestras del espectro de frecuencia, tanto en magnitud como en fase, de la siguiente

secuencia &n- 6 Q9,0<,5R. Pna ve$ encuentre las muestras del espectro, aplique la (ransformada>iscreta de "ourier +nversa D+>"(, del ingl#s +nverse >iscrete "ourier (ransform para recuperar la

secuencia original.

D%&-(#+' %(#-+': para poder decir que se le puede aplicar la transformada discreta si la señal*

&n6 es la señal

&n6 valga cero para cualquier Dn negativo .

&n6 valga cero para cualquier valor de D@ superior nBmero de puntos puntos que queremos calcular

menos D0< .

1 n6 nBmero de periodos en la señal.

n6 es el valor de la posición de cada una de las muestras.

Ejercicio a desarrollar.

x [ n ]= {2,−1,3} como se puede notar tiene una pericidad de(3)=¿n−1=¿2−1=2

4rden 65 la sumatoria se reali$a hasta n69

D/ara 16) x (0 )=∑ x ( n ) e2πjnk

N ≡2 2 π 00 j

3=¿2e

0=¿2.1=2

x (0 )=∑ x ( n ) e2πjnk

N ≡−12 π 10 j

3=¿−1 e

0=¿−1.1=−1

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x (0 )=∑ x ( n ) e2πjnk

N ≡3 2 π 20 j

3=¿3e

0=¿3.1=3

!umatoria R / x (0 )=2+(−1)+3=4

/ara 16<

x (1)=∑ x (n ) e2πjnk

N ≡22π 01 j

3=¿2e

0=¿2.1=2

x (1

)=∑ x (n ) e

2πjnk

N

≡−12π 11 j

3 =¿−1

e

2

3πj

x (1 )=∑ x ( n ) e2πjnk

N ≡32 π 21 j

3=¿3 e

4

3πj

>e e&ponencial a trigonom#trica

−1e2

3πj

=−1[cos( 23 π )− jsen( 23 π )]=¿−1[−1

2− j

√ 32 ]=¿+

1

2+ j

√ 32

3e

4

3 πj

=3 [cos (43 π )− jsen( 43 π )]=3 −1

2−[−√ 3

2 ] =−3

2+( j3 √ 32 )

!umatoria

2+1

2

+

(−3

2

)+ j

√ 3

2

+

( j 3

√ 3

2

)=¿1+2√ 3=¿ R/1+2√ 3

/ara 169

x (2 )=∑ x (n ) e2πjnk

N ≡22π 02 j

3=¿2e

0=¿2.1=2

x (2)=∑ x (n ) e2πjnk

N ≡−12π 12 j

3=¿−1e

4

3πj

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x (2 )=∑ x (n ) e2πjnk

N ≡32 π 22 j

3=¿3 e

8

3πj

>e e&ponencial a trigonom#trica

−1e4

3πj

=−1[cos( 43 π )− jsen( 43 π )]=¿−1[−1

2+ j

√ 3

2 ]=¿ 1

2− j

√ 3

2

3e4

3πj

=3 [cos( 83 π )− jsen( 83 π )]=3[−1

2− j

√ 3

2 ]=−3

2− j

3√ 3

2

!umatoria 2+1

2−

3

2+(− j

√ 3

2 )+(− j 3√ 3

2 ) R /1−2√ 3

?espuestas de la función

x (0 )=2+(−1)+3=4

x (1 )=1−2√ 3

x (2 )=1−2√ 3

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BIBLIOGRA<A

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