Universidad Autónoma de ChiriquíExamen Parcial # 2, fis 307 A

Participante: ___________________________________________ Cédula: ____________________________ Fecha: __________________________1) Considera una partícula con masa m en un campo gravitatorio constante, restringida a moverse sobre un espiral con

ecuación R = constante, y z=kθ, con k una constante. Calcula y resuelve las ecuaciones de Hamilton.

2) Dos masas m1 y m2 están conectadas a través de un muelle sin masa de constante k y tamaño en reposo L. El sistema

se mueve libremente en el plano R2. Escribe el hamiltoniano del sistema y demuestra que hay tres coordenadas

cíclicas. ¿Con qué cantidades conservadas corresponden estas simetrías? ¿Cuál es la cuarta cantidad conservada? (Pista: describe el sistema en términos de la posición del centro de masa y las posiciones relativas)

3) Considera el lagrangiano de un oscilador armónico amortiguado L=12m q2 e2 γt−1

2k2q2e2 γt, con γ una constante

positiva. Deriva las ecuaciones del movimiento e interpreta cada término con el formalismo lagrangiano. Determina la forma del hamiltoniano.

4) Un sistema está descrito por el lagrangiano L=12m ( x2+ y2 )−1

2A (x2+ y2 )−Bxy , con A y B constantes positivas.

Aplica el cambio de coordenadas θ=1√2

(x+ y) φ=1√2

(x− y )

e interpreta el sistema a través de la nueva forma del lagrangiano. Demuestra que el hamiltoniano se descompone en

dos partes H θ y Hφ que dependen sólo de θ y de φ respectivamente. Utiliza los corchetes de Poisson para

demostrar que ambas son cantidades conservadas. Define la cantidad l=m(θ pφ−φ pθ) y demuestra que l se

conserva en el caso que B=0 . Interpreta las cantidades H θ y Hφ y l y comenta porqué están conservadas.