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Matemática
Para grado 10º y 11º
Programa de Bachillerato a Distancia
www.bachilleratohumanista.com
2
Tabla de Contenido
Resolución de Triángulos ........... 25 Funciones ........... 33 Función Lineal ........... 40 Función Afín ........... 43 Función Cuadrática ........... 45 Introducción al Cálculo ........... 52 Cálculo de Límite ........... 57 Derivada de un punto ........... 60 Introducción a la Física ……… 67
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Matemática para grado 10° y 11°
Núcleo 1
Trigonometría
Razones Trigonométricas
Seno
Coseno
Tangente
4
Cosecante
Secante
Cotangente
Razones trigonométricas en la circunferencia
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
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Signo del seno y el coseno
6
Ángulos notables
Ángulos complementarios
7
Ángulos suplementarios
8
Ángulos que difieren en 180°
9
Ángulos opuestos
10
Ángulos negativos
11
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º
12
Ángulos que suman en 270º
13
Ángulos que suman en 270º
14
Ángulos que difieren en 270º
15
Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
La palabra trigonometría procede del griego y significa ―estudio de las relaciones numéricas
entre las medidas de un triángulo‖. El seno, el coseno y la tangente son tres razones
trigonométricas.
¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?
I. Definiciones
Dado un triángulo con ángulo recto en B, consideremos uno de sus ángulos agudos, por
ejemplo . El lado BC es el cateto opuesto al ángulo y el lado AB es el cateto contiguo al
ángulo .
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Podemos definir las tres razones siguientes:
- seno (sen) :
- coseno (cos) :
- tangente (tg) :
Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo
deben estar expresadas en las mismas unidades.
Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo de la figura 1, obtenemos:
; ;
Propiedades
Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a
, obtenemos:
; ; Si comparamos con las expresiones para el ángulo , observamos que: ; ;
Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno
de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de
la tangente del otro.
Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios,
podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de
uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios
(67° + 23° = 90°).
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Ejemplo 1
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en E, tal que EL = 12 y EM = 5,
con las longitudes expresadas en centímetros. Queremos calcular los valores exactos de ,
y .
Solución: para calcular los valores exactos de y , necesitamos calcular la longitud de la
hipotenusa, ML, del triángulo. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el
teorema de Pitágoras:
LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM = = 13.
Por definición: ; y sustituyendo resulta: .
Igualmente: : y sustituyendo resulta: .
Finalmente: ; y sustituyendo resulta: . Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo , por
ejemplo, a partir de .
Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12 13 o
( 12 13 ) ; en algunas calculadoras, la tecla equivale a la tecla o
.
Ejemplo 2
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en P, tal que HP = PR = 1 cm. Como este triángulo además de ser rectángulo es isósceles, sabemos que . Queremos
calcular los valores exactos del seno, coseno y tangente de estos ángulos de 45º.
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Solución: por definición, .
Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:
HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues .
Entonces , y por tanto, .
Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos y son
complementarios y miden 45°, se deduce que y por tanto que .
Por definición, . Así pues ; de donde se deduce que .
En resumen: y .
Funciones Trigonométricas
f(x) = sen x
Dominio:
19
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: sen(−x) = −sen x
f(x) = cos x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Par: cos(−x) = cos x
20
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: tg(−x) = −tg x
21
f(x) = cotg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: cotg(−x) = −cotg x
22
f(x) = sec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(−x) = sec x
23
f(x) = cosec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: cosec(−x) = −cosec x
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras 1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m.
¿Cuánto mide otro cateto?
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3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a
la suma de los cuadrados de los dos menores.
Determinar si el triángulo es rectángulo.
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Núcleo 2 Resolución de Triángulos Rectángulos, Acutángulos y
Obtusángulos
Se conocen la hipotenusa y un cateto
2. Se conocen los dos catetos
27
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
28
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Ejercicios
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el
triángulo.
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sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el
triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el
triángulo
30
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el
triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
31
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el
triángulo
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el
triángulo.
32
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el
triángulo.
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el
triángulo.
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Núcleo 3
Funciones
Funciones
Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es función del segundo.
Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos
calcular la temperatura.
Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para
los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable
está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a
introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones
raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias
veces a lo largo de su dominio de definición).
I. ¿Está siempre definida una función?
Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variable x, tomada del
conjunto D (una parte o subconjunto de los números reales), un único valor y, al que llamamos
imagen.
Si f es una función, entonces escribimos y = f(x).
Ejemplo:
Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número
de litros (y) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos (x) según
la fórmula y = 50 – 0,1x. Si f es una función que relaciona x con y, podemos escribir: f(x) = 50 –
0,1x.
Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de
valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notación Df =
[0, 500].
Una función no está definida para valores que:
—hacen cero su denominador;
—hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo.
Ejemplos:
La función inversa o recíproca (y = 1/x) está definida para todos los números reales, excepto para
el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es: .
La función raíz cuadrada ( ) está definida para cualquier número real positivo y para el
cero: .
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Calcular un valor y
Para calcular un valor de la variable dependiente y correspondiente a un valor de x, sustituimos
dicho valor de x y efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las
operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes.
Finalmente, efectuamos las sumas y restas.
Por ejemplo, para calcular el valor y correspondiente a x = 5 en una función f definida en R por:
f(x) = 4(x – 3)2 – 1, procedemos así: f(5) = 4(5 – 3)
2 – 1 = 4 · 2
2 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15.
Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores a x y obtenemos los
correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora.
Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable
independiente x, así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de
valores de x. Los valores de la variable x y los de la variable dependiente y se pueden presentar en
dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el
1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:
Calcular el valor de x que corresponde a un valor de y dado
Para calcular el valor del original o antecedente x de una función f, correspondiente a un número
real a, resolvemos la ecuación f(x) = a.
Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afín f, definida en R como f(x) = 2x – 1, se
convierte en calcular los valores de x tales que 2x – 1 = 3.
Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o
incluso no tener ninguno.
Por ejemplo, para la función cuadrática definida en R, y = x2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin
embargo –4 no tiene antecedentes.
Sentido de variación de una función
Sea una función f y un intervalo I incluido en el dominio de definición de f.
Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) < f(b), entonces f es
creciente en I (también decimos que f mantiene el signo).
Si para cada par de números a y b del intervalo I tales que a < b tenemos f(a) > f(b), entonces f es
decreciente en I (f invierte el signo).
Ejemplo:
Dada la función afín f, definida en [–1, 5] como f(x) = –2x +3, para cualquier pareja de números
reales a y b tales que -1 < a < b < 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las
imágenes):
36
2 > -2a > -2b > -10;
5 > -2a + 3 > -2b + 3 > -7;
es decir, 5 > f(a) > f(b) > -7.
Puesto que el signo está invertido, f es decreciente en el intervalo [-1, 5].
Podemos resumir esta información en una tabla de variación:
Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es
positiva, la función es creciente.
Un operador es una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una
función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que
vamos obteniendo.
Ejemplo:
La función f está definida en como f(x) = –2x2 + 3. La descomponemos en operadores:
Si 1 < a < b, tenemos que: , entonces y .
Por lo que f(a) > f(b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la función f es
decreciente en el intervalo .
Hallar el signo de una función
Para hallar la parte del dominio de definición de una función en la que dicha función es positiva o
nula, resolvemos la inecuación . La función tendrá signo negativo en el resto del dominio.
Nota: una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la función y = -2x + 20, definida
en [5, 10]) o negativa y creciente (como la función y = 2x + 1, definida en [-10, -5].
Recuerda —Los valores de la variable x que hacen que se anule el denominador de una función deben ser
excluidos del dominio de definición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz
cuadrada, solo están permitidos valores positivos.
—Una función es creciente en un intervalo cuando los valores y para cualquier par de números a
y b de dicho intervalo están en el mismo orden que a y b. Si el orden es el inverso, la función es
decreciente.
—No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación.
Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.
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Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que
efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución,
sino que es preciso efectuar operaciones.
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5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos
de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
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Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica
una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos
que se consideren.
Funciones en valor absoluto .
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores
de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por
todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que
cero.
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Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como
índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de
cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número
real x le hace corresponder la potencia ax se llama función
exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la
exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
41
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
Función Lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
42
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de
abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta
con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta
con la parte positiva del eje OX es obtuso.
43
Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
44
Función Afín
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta
con el eje de ordenadas.
45
Ejemplos de funciones afines
Representa las funciones:
1 y = 2x - 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
46
2y = -¾x - 1
x y = -¾x-1
0 -1
4 -4
Función Cuadrática
Son funciones polinómica es de segundo grado, siendo su gráfica
una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
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1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que
tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
48
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
49
Función Exponencial
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número
real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial
de base a y exponente x.
x y = 2x
-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
50
x y = 2x
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
51
Propiedades de la función exponencial
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a >1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
52
53
Núcleo 4
Introducción al Cálculo
Límite
Límite, en matemáticas, valor que toma una expresión cuando una de sus variables tiende hacia un
valor dado, que generalmente es infinito.
Cálculo 1 INTRODUCCIÓN
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables,
pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes,
áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya
cantidades que varíen de forma continua.
2 EVOLUCIÓN HISTÓRICA
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y
conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor
infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento'
para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos.
Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea
impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y
Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron
el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos).
Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron
Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos,
lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su
teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas
sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.
54
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso
impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban
todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el
filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas
vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis
Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo
propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se
supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables,
aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los
infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las
aplicaciones del cálculo.
Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan
las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a
x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
55
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se
acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L ,
cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero,
existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los
valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se
cumple que |f(x) - L| <ε .
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos,
por pequeño que sea su radio , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos
elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno
de L , Eε(L).
56
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por
la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que si x
(a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por
la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que si x (a, a
+ δ), , entonces |f (x) - L| <ε .
El límite de una función en un punto si existe, es único.
57
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la
derecha cuando x tiende a 2 es 4 .
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo
que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Ejemplo
Dada la función:
Hallar .
Como no coinciden los límites laterales , la función no tiene límite en x = 0.
58
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales,
exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele
cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al
que tienden las x.
No podemos calcular porque el dominio de definición está en el
intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca
al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a
3 como queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de
unión de los diferentes trozos.
59
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1 .
60
Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se
sustituyen las x por ∞.
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞
según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces :
.
Cálculo de límites cuando x -∞
61
No existe el límite, porque el radicando toma valores
negativos.
Derivada de un Punto
Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del
límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la
variable tiende a cero .
62
Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
63
Calcular la derivada de en x = −5.
Hallar la derivada de en x = 1.
64
Determinar la derivada de en x = 2.
Calcula el valor de la derivada en x = 2.
Hallar la derivada de en x = 3.
65
66
Núcleo 5
Introducción a la Física
Vector
Vector, en matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por
ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial
sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos
orientados, como en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de
aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad
vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.
El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este
diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a,
u , indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera
navegando en aguas tranquilas; el vector b, o , representa la deriva o empuje de la corriente
durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia
propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u . Utilizando vectores, se puede resolver
gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de
varias fuerzas.
Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se
explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la
dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una
escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo
anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por
cada km. Por tanto, el vector mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río
es de 6 km/h, y se representa con el vector que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre
una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del
vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector,
es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del
vector c, u (en este caso, unos 6,4 km).
67
Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente
utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo
de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general;
también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un
vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su
utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales)
aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.
Masa
Masa, propiedad intrínseca de un cuerpo, que mide su inercia, es decir, la resistencia del cuerpo a
cambiar su movimiento. La masa no es lo mismo que el peso, que mide la atracción que ejerce la
Tierra sobre una masa determinada (véase Gravitación). La masa inercial y la masa gravitacional son
idénticas. El peso varía según la posición de la masa en relación con la Tierra, pero es proporcional a la
masa; dos masas iguales situadas en el mismo punto de un campo gravitatorio tienen el mismo peso.
Un principio fundamental de la física clásica es la ley de conservación de la masa, que afirma que la
materia no puede crearse ni destruirse. Esta ley se cumple en las reacciones químicas, pero no ocurre
así cuando los átomos se desintegran y se convierte materia en energía o energía en materia (véase
Energía nuclear; Rayos X: Producción de pares).
La teoría de la relatividad, formulada inicialmente en 1905 por Albert Einstein, cambió en gran medida
el concepto tradicional de masa. La relatividad demuestra que la masa de un objeto varía cuando su
velocidad se aproxima a la de la luz, es decir, cuando se acerca a los 300.000 kilómetros por segundo;
la masa de un objeto que se desplaza a 260.000 km/s, por ejemplo, es aproximadamente el doble de
su llamada masa en reposo. Cuando los cuerpos tienen estas velocidades, como ocurre con las
partículas producidas en las reacciones nucleares, la masa puede convertirse en energía y viceversa,
como sugería la famosa ecuación de Einstein E = mc2 (la energía es igual a la masa por el cuadrado de
la velocidad de la luz).
Fuerza 1 INTRODUCCIÓN
Fuerza, en física, cualquier acción o influencia que modifica el estado de reposo o de movimiento de un
objeto. La fuerza que actúa sobre un objeto de masa m es igual a la variación del momento lineal (o
cantidad de movimiento) de dicho objeto respecto del tiempo. Si se considera la masa constante, para
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una fuerza también constante aplicada a un objeto, su masa y la aceleración producida por la fuerza
son inversamente proporcionales. Por tanto, si una fuerza igual actúa sobre dos objetos de diferente
masa, el objeto con mayor masa resultará menos acelerado.
Las fuerzas se miden por los efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o cambios
de movimiento que producen sobre los objetos. Un dinamómetro es un muelle o resorte graduado para
distintas fuerzas, cuyo módulo viene indicado en una escala. En el Sistema Internacional de unidades,
la fuerza se mide en newtons: 1 newton (N) es la fuerza que proporciona a un objeto de 1 kg de masa
una aceleración de 1 m/s2.
2 FUERZA RESULTANTE
La fuerza es una magnitud vectorial, puesto que el momento lineal lo es, y esto significa que tiene
módulo, dirección y sentido. Al conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo se le llama sistema de
fuerzas. Si las fuerzas tienen el mismo punto de aplicación se habla de fuerzas concurrentes. Si son
paralelas y tienen distinto punto de aplicación se habla de fuerzas paralelas.
Cuando sobre un objeto actúan varias fuerzas, éstas se suman vectorialmente para dar lugar a una
fuerza total o resultante. Si la fuerza resultante es nula, el objeto no se acelerará: seguirá parado o
detenido o continuará moviéndose con velocidad constante. Esto quiere decir que todo cuerpo
permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe sobre él una
fuerza resultante no nula. Por ejemplo, si una persona empuja un triciclo con una fuerza de magnitud
igual a la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del triciclo, las fuerzas se compensarán,
produciendo una fuerza resultante nula. Eso hace que se mueva con velocidad constante. Si la persona
deja de empujar, la única fuerza que actúa sobre el triciclo es la fuerza de rozamiento. Como la fuerza
ya no es nula, el triciclo experimenta una aceleración, y su velocidad disminuye hasta hacerse cero.
3 ACCIÓN Y REACCIÓN
Una fuerza es siempre una acción mutua que se ejerce entre dos objetos (fuerzas exteriores) o entre
dos partes de un mismo objeto (fuerzas interiores). Así, un objeto experimenta una fuerza cuando otro
objeto lo empuja o tira de él. Si una bola de billar golpea a otra que está en reposo y ambas se
mueven después de chocar es porque existen fuerzas que actúan sobre cada una de las bolas, ya que
las dos modifican sus movimientos. Por sí mismo, un objeto no puede experimentar ni ejercer ninguna
fuerza.
Las fuerzas aparecen siempre entre los objetos en pares de acción y reacción iguales y opuestas, pero
que nunca se pueden equilibrar entre sí puesto que actúan sobre objetos diferentes. Véase Mecánica.
Esta acción mutua no siempre se ejerce entre dos objetos en contacto. En muchas ocasiones parece
tener lugar “a distancia”; éste es el caso de un objeto atraído por la Tierra, y viceversa, con una fuerza
que es el peso del objeto. Entonces se habla de campos de fuerzas, y en el caso concreto del objeto
69
atraído por la Tierra se habla del campo gravitatorio terrestre; las cargas eléctricas se atraen o se
repelen debido a la presencia de un campo eléctrico.
Velocidad
Velocidad, variación de la posición de un cuerpo por unidad de tiempo. La velocidad es un vector, es
decir, tiene módulo (magnitud), dirección y sentido. La magnitud de la velocidad, conocida también
como rapidez o celeridad, se suele expresar como distancia recorrida por unidad de tiempo
(normalmente, una hora o un segundo); se expresa, por ejemplo, en kilómetros por hora o metros por
segundo. Cuando la velocidad es uniforme —constante— se puede determinar sencillamente dividiendo
la distancia recorrida entre el tiempo empleado. Cuando un objeto está acelerado, su vector velocidad
cambia a lo largo del tiempo. La aceleración puede consistir en un cambio de dirección del vector
velocidad, un cambio de su magnitud o ambas cosas.
Aceleración
Aceleración, se conoce también como aceleración lineal, y es la variación de la velocidad de un objeto
por unidad de tiempo. La velocidad se define como vector, es decir, tiene módulo (magnitud),
dirección y sentido. De ello se deduce que un objeto se acelera si cambia su celeridad (la magnitud de
la velocidad), su dirección de movimiento, o ambas cosas. Si se suelta un objeto y se deja caer
libremente, resulta acelerado hacia abajo. Si se ata un objeto a una cuerda y se le hace girar en círculo
por encima de la cabeza con celeridad constante, el objeto también experimenta una aceleración
uniforme; en este caso, la aceleración tiene la misma dirección que la cuerda y está dirigida hacia la
mano de la persona.
Cuando la celeridad de un objeto disminuye, se dice que decelera. La deceleración es una aceleración
negativa.
Un objeto sólo se acelera si se le aplica una fuerza. Según la segunda ley del movimiento de Newton,
el cambio de velocidad es directamente proporcional a la fuerza aplicada (véase Mecánica). Un cuerpo
que cae se acelera debido a la fuerza de la gravedad.
70
La aceleración angular es diferente de la aceleración lineal. La velocidad angular de un cuerpo que gira
es la variación del ángulo descrito en su rotación en torno a un eje determinado por unidad de tiempo.
Una aceleración angular es un cambio de la velocidad angular, es decir, un cambio en la tasa de
rotación o en la dirección del eje.
Mecánica 1 INTRODUCCIÓN
Mecánica, rama de la física que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las
fuerzas. Las descripciones modernas del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de
magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza. Sin
embargo, hasta hace unos 400 años el movimiento se explicaba desde un punto de vista muy distinto.
Por ejemplo, los científicos razonaban —siguiendo las ideas del filósofo y científico griego Aristóteles—
que una bala de cañón cae porque su posición natural está en el suelo; el Sol, la Luna y las estrellas
describen círculos alrededor de la Tierra porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza en
círculos perfectos.
El físico y astrónomo italiano Galileo reunió las ideas de otros grandes pensadores de su tiempo y
empezó a analizar el movimiento a partir de la distancia recorrida desde un punto de partida y del
tiempo transcurrido. Demostró que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente
durante su caída. Esta aceleración es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se
tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). El matemático y físico británico Isaac Newton
mejoró este análisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración. Para los objetos
que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido
sustituidas por la teoría de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas,
las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida
diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el
estudio de las causas del cambio en el movimiento).
2 LAS TRES LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Con la formulación de las tres leyes del movimiento, Isaac Newton estableció las bases de la dinámica.
71
2.1 La primera ley
La primera ley de Newton afirma que si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un objeto es
cero, el objeto permanecerá en reposo o seguirá moviéndose a velocidad constante. El que la fuerza
ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está
sometido a ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento seguirá desplazándose a
velocidad constante.
2.2 La segunda ley
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total y la aceleración. Una fuerza neta ejercida sobre un
objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de
la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la
masa m del objeto F = maEn el Sistema Internacional de unidades (conocido también como SI), la
aceleración a se mide en metros por segundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza
F en newtons. Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una
aceleración de 1 metro por segundo cada segundo; esta fuerza es aproximadamente igual al peso de
un objeto de 100 gramos.
Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos
masa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar la
velocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta
sorprendente, y tiene consecuencias profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional
estén determinadas por una misma cosa. Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un
punto determinado está en un campo gravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Einstein
hizo de esto una de las piedras angulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la
gravitación actualmente aceptada.
2.3 Rozamiento
El rozamiento, generalmente, actúa como una fuerza aplicada en sentido opuesto a la velocidad de un
objeto. En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es
casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de
contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto —esto es, la
superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se
tocan realmente— es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie
de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita
fuerza para hacer que se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular
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entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del
objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente
vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La fuerza de rozamiento es
proporcional a la fuerza perpendicular total.
Cuando hay rozamiento, la segunda ley de Newton puede ampliarse a
Sin embargo, cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, el valor del rozamiento depende de
la velocidad. En la mayoría de los objetos de tamaño humano que se mueven en agua o aire (a
velocidades menores que la del sonido), la fricción es proporcional al cuadrado de la velocidad. En ese
caso, la segunda ley de Newton se convierte en
La constante de proporcionalidad k es característica de los dos materiales en cuestión y depende del
área de contacto entre ambas superficies, y de la forma más o menos aerodinámica del objeto en
movimiento.
2.4 La tercera ley
La tercera ley de Newton afirma que cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este otro objeto
ejerce también una fuerza sobre el primero. La fuerza que ejerce el primer objeto sobre el segundo
debe tener la misma magnitud que la fuerza que el segundo objeto ejerce sobre el primero, pero con
sentido opuesto. Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a
un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza
igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su
aceleración será menor.
La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el producto de la masa
por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser
constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero,
por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre
el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema
tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande
y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño.
Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es
cero.
73
Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en
rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da
vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se
conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos
extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el
patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe
aumentar para mantener constante el momento angular.
7 ENERGÍA
La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la mecánica,
debe suministrarse energía para realizar trabajo; el trabajo se define como el producto de la fuerza por
la distancia que recorre un objeto en la dirección de la fuerza. Cuando se ejerce una fuerza sobre un
objeto pero la fuerza no hace que el objeto se mueva, no se realiza trabajo. La energía y el trabajo se
expresan en las mismas unidades, como por ejemplo julios o ergios.
Si se realiza trabajo para elevar un objeto a una altura superior, se almacena energía en forma de
energía potencial gravitatoria. Existen muchas otras formas de energía: energía potencial eléctrica y
magnética, energía cinética, energía acumulada en muelles estirados, gases comprimidos o enlaces
moleculares, energía térmica e incluso la propia masa. En todas las transformaciones entre un tipo de
energía y otro se conserva la energía total. Por ejemplo, si se ejerce trabajo sobre una pelota de goma
para levantarla, se aumenta su energía potencial gravitatoria. Si se deja caer la pelota, esta energía
potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. Cuando la pelota choca contra el suelo, se
deforma y se produce fricción entre las moléculas de su material. Esta fricción se transforma en calor o
energía térmica.
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos
sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde
al incremento de x (Δx).
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Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h],
que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes
a los puntos de abscisas a y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y
se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y
la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx,
esto es:
Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta
secante a la función f(x) , que pasa por los puntos de abscisas a y
a+h.
75
ya que en el triángulo PQR resulta que:
Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x 2 − x en el intervalo [1,4].
El índice de la bolsa de Madrid pasó c ierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa
de variación media mensual.
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite,
si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable
tiende a cero.
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Hallar la derivada de la función f(x) = 3x 2 en el punto x = 2.
Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
77
Interpretación Física de la Derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el
tiempo transcurrido (Δt).
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt
tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
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La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en
segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
79
A continuación ejercicios resueltos de cálculo de derivadas de
funciones para una mejor comprensión del tema:
1
2
3
4
5
6
80
7
8
9
Calculo mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1
2
81
3
4
5
6
7
82
Calculo mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
3
83
Derivada de las funciones exponenciales:
1
2
3
4
5
Calculo de la derivada de las funciones logarítmicas:
84
1
2
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
3
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
4
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos:
85
5
Aplicando las propiedades de los logarítmos obtenemos: