variable continua

105 Funciones de densidad de probabilidad

Diego Andrs Alvarez MarnProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

2Contenido

FDP uniforme FDP beta FDP exponencial FDP normal

FDP lognormal

FDP gamma

FDP Weibull

FDP Rayleigh

FDP Maxwell

3Sobre la seleccin de las FMPs/FDPs

La eleccin de una FMP/FDP para representar un fenmeno de inters prctico debe estar motivada tanto por la compresin de la naturaleza del fenmeno en s, como por la posible verificacin de la FMP/FDP seleccionada a travs de la evidencia emprica.

4FDP Uniforme ~U(a,b)La variable aleatoria toma valores sobre un intervalo de manera que la medida de probabilidad se encuentra uniformemente distribuda sobre ese intervalo. Esto es, la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma.

5FDP Uniforme ~U(a,b)Momentos de la FDP:

Ejemplo: redondeo del peso de una persona:

67 kg significa un peso entre 66.5 kg y 67.5 kg

El error de redondeo se encuentra distribudo uniformemente en el rango [-0.5kg, 0.5 kg]

6FDP Uniforme ~U(a,b)

7Principio de indiferencia de Laplacehttp://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference

El principio de indiferencia (tambin llamado el principio de razn insuficiente) es una regla para asignar probabilidades epistmicas. Suponga por ejemplo que existen n>1 eventos mutuamente exclusivos y exhaustivos. El principio establece que si no se puede distingir estos n eventos, entonces a cada evento se le debe asignar una probabilidad igual a 1/n.Ejemplo: La direccin segn la cual las ondas producidas por un terremoto pueden aproximarse a una estructura pueden considerarse en ausencia de informacin en contra, que se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 360).

8FDP Uniforme con MATLAB

y = unifpdf(x,a,b); = fX(x;a,b)

p = unifcdf(x,a,b); = FX(x;a,b)

x = unifinv(p,a,b); = FX

(-1)(p;a,b)

[m,v] = unifstat(a,b) ; = media y varianza

9Ejemplo FDP Uniforme

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FDP Beta ~ B(,)

La FDP Beta se utiliza para representar variables fsicas cuyos valores se encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita ej: distribucin de artculos defectuosos sobre un intervalo de tiempo.

Como es una FDP muy flexible, generalmente se utiliza para la descripcin emprica de datos

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FDP Beta ~B(,)

14

La FDA Beta ~B(,)

15

La FDP Beta de cuatro parmetros~B(,,a,b)

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FDP Beta con MATLAB

y = betapdf(x,,); = fX(x;,)

p = betacdf(x,,); = FX(x;,)

x = betainv(p,,); = FX

(-1)(p;,)

[m,v] = betastat(,); = media y varianza

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FDP Beta de 4 parmetros con MATLAB

y = betapdf((x-a)/(b-a),,)/(b-a);= fX(x;,)

p = betacdf((x-a)/(b-a),,); = FX(x;,)

x = a+betainv(p,,)*(b-a); = FX

(-1)(p;,,a,b)

18

FDP Beta con EXCEL

p = DISTR.BETA(x;;;a;b) = FX(x;,,a,b)

x = DISTR.BETA.INV(p;;;a;b) = FX

(-1)(p;,,a,b)

19

Ejemplo: FDP beta

Para planear las direcciones de las pistas de los aeropuertos, se debe estudiar las dispersiones de contaminantes de aire procedentes de los alrededores. Aqu la direccin predominante y la variacin de estas son crticas.

En el siguiente programa simulamos tales direcciones del viento. Qu opina usted del modelo de la FDP beta para representar las direcciones del viento?

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Ejemplo FDP Beta

Resultado de la ejecucin:

21

Observe que en este caso la FDP beta no es satisfactoria ya que existe una discontinuidad en la representacin del viento que viene del este.

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FDP exponencial

Con la FDP exponencial se modela el lapso de tiempo entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante.

Ejemplo: intervalo de tiempo entre los arribos de vehculos a un punto

En forma ms general se usa para modelar tiempos entre los arribos en lneas de espera en un proceso de Poisson homogneo.

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FDP exponencial

La FDP exponencial se puede entender como la contraparte continua de la FMP geomtrica, la cual describe el nmero de ensayos de Bernoulli requeridos para que un proceso discreto cambie de estado. La FMP exponencial describe el tiempo para que un proceso continuo cambie de estado.

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Ejemplos FDP exponencial Distancia entre grietas Distancia entre animalitos pisados en una carretera. Distancia entre las mutaciones en una cadena de ADN Vida til de equipamiento electrnico Tiempo hasta qie una partcula radioactiva decae o el

tiempo entre los ruidos de un contador geiger Dinero que las personas tienen en sus bolsillos Cantidad de tiempo (empezando ahora) hasta que el

siguiente terremoto ocurra Tiempo que se debe esperar (desde ahora) antes de la

siguiente llamada telefnica (entre las 2:30 y las 3:00 pm) Duracin de una conversacin telefnica

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FDP exponencial ~ Exp()

La FDP es:

La FDA es:

26

Parametrizacin alternativa de la FDP exponencial

La FDP es:

La FDA es:

Es decir

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Interpretacin del parmetro

=1/ Tiempo medio de falla (mean time to failure - MTTF): es el periodo o lapso promedio entre dos eventos independientes de Poisson.Ejemplo: tiempo promedio entre fallas/arribos:

5 segundos/vehculo. =1/ es la frecuencia de falla o promedio

de sucesos por unidad de tiempoEjemplo: frecuencia de fallas/arribos:

0.2 vehculos/segundo.

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Interpretacin del parmetro

In real-world scenarios, the assumption of a constant rate (or probability per unit time) is rarely satisfied. For example, the rate of incoming phone calls differs according to the time of day. But if we focus on a time interval during which the rate is roughly constant, such as from 2 to 4 p.m. during work days, the exponential distribution can be used as a good approximate model for the time until the next phone call arrives

29

FDP exponencial ~ Exp()

30

Algunas frmulas FDP exponencial Funcin cuartil:

Media:

Si usted recibe en promedio dos llamadas telefnicas por hora, se espera que usted tenga que esperar media hora por cada llamada

Varianza:

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FDP exponencial con MATLAB

y = exppdf(x,1/); = fX(x;)

p = expcdf(x,1/); = FX(x;)

x = expinv(p,1/); = FX

(-1)(p;)

[m,v] = expstat(1/) ; = media y varianza

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FDP exponencial con EXCEL

y = DISTR.EXP(x;;FALSO) = fX(x;)

p = DISTR.EXP(x;;VERDADERO) = FX(x;)

x = DISTR.GAMMA.INV(p;1;1/) = FX

(-1)(p;)

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Ejemplo 1: FDP exponencialSe sabe que la cantidad de tiempo que un empleado postal gasta con su cliente sigue una FDP exponencial, con un tiempo promedio de 4 minutos por cliente

Cual es la probabilidad que un empleado postal emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente seleccionado al azar?

34

Ejemplo 1: FDP exponencialCual es la probabilidad que un empleado postal emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente seleccionado al azar?

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Ejemplo 1: FDP exponencialEl 75% de los clientes son atendidos en cuanto tiempo?

36

Ejemplo 2: FDP exponencial

En promedio, un circuito de un computador dura 10 aos.

El tiempo que los componentes electrnicos duran siguen una distribucin exponencial. Cul es la probabilidad que ese tipo de circuitos duren ms de 7 aos?

37


En promedio, un circuito de un computador dura 10 aos.

Cunto es el tiempo de duracin de 80% de los circuitos?

38


Cul es la probabilidad que una parte de computador dure entre 9 y 11 aos?

39


Suponga que la longitud de una llamada telefnica se modela como una variable aleatoria que sigue una distribucin exponencial. Suponga que el tiempo promedio de una llamada telefnica es 6 minutos. Si una persona llega al telfono pblico justo antes que usted, ms o menos cunto tiempo le tocar esperar? Cul es la probabilidad que le toque esperar ms de seis minutos?

40

Deduccin de la FDP exponencial

41

Notas FDP exponencial

Debido a la propiedad de estacionaridad y de independencia del suceso de Poisson, la PDF exponencial denota la probabilidad que no ocurra ningn suceso en un intervalo cualquiera de longitud t, comience o no en el tiempo 0. En resumen, los tiempos de interarribos de un proceso de Poisson son independientes y se distribuyen exponencialmente.

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Propiedad de la falta de memoriaCuando una variable aleatoria es exponencial, entonces la FDP obedece:

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Propiedad de la falta de memoria

44

Ejemplo

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FDP normal o gausiana X~N(,)

Es la ms importante y la ms abusada de las FDPs

Las FDPs de muchas estadsticas muestrales tienden hacia la FDP normal conforme crece el tamao de la muestra.

46


La FDP normal fue descubierta por Abraham de Moivre en 1733 tomando un lmite de la FMP binomial, sin embargo comnmente se conoce como FDP gausiana ya que Karl Friedrich Gauss la cit en un artculo en 1809.

Abraham de Moivre (1667 1754), matemtico francs descubridor de la distribucin normal

47


La FDP:

La FDA:

debe integrarse numricamente, ya que no tiene solucin analtica

48


Media:

Varianza:

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Ejemplos de aplicacin

La resistencia a la compresin del concreto Coeficiente de inteligencia ~N(=100,=15)

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Propiedades de la FDP gausiana

fX(x) es simtrica alrededor de x=, la cual es al

mismo tiempo la media, mediana y moda de la distribucin, de hecho:

Los puntos de infleccin de fX(x) ocurren en

x=+ y x=-

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Dominio de la FDP normal

Tericamente el dominio de la FDP normal fX(x)

es (-,). En la prctica puede ser til suponer que cierta

variable, tal como la carga, el peso o el tiempo se limitan fsicamente a valores no negativos. Por lo tanto, es importante observar las colas para entender mejor como manejar el dominio terico (-,).

53

La FDA normal estndar

donde,FDP normal estndar: observe que es equivalente a F

X(x;0,1)

Cambio de variables:

54

Transformacin a la FDA normal estndar

es una variable aleatoria normalmente distribuda ~N(=0,=1)

por lo tanto,

55

Formulacin alternativa de la FDA normal estndar

La FDA normal estndar se puede escribir como:

donde la funcin erf est dada por:

NOTA: esta funcin ya est programada en MATLAB (erf)y en MS EXCEL (=ERF)

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Probabilidades bajo la FDP normal

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FDP normal con MS EXCEL

p = DISTR.NORMAL(x;;;FALSO) = fX(x;;)

p = DISTR.NORMAL(x;;;VERDADERO) = FX(x;;)

x = DISTR.NORMAL.INV(p;;) = FX

(-1)(x;;)

p = DISTR.NORMAL.ESTAND(z) = FX(p;0,1)

z = DISTR.NORMAL.ESTAND.INV(p) = FX

(-1)(p;0,1)

z = NORMALIZACION(x;;)

58

FDP normal con MATLAB

y = normpdf(x,,); = fX(x;,)

p = normcdf(x,,); = FX(x;,)

x = norminv(p,,); = FX

(-1)(p;,)

[m,v] = normstat(,); = media y varianza

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Dibujando la FDP normal con MATLAB dentro de los lmites especificados

p = normspec(specs,mu,sigma)

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Ejemplo: FDP normalUna fbrica de tornillos debe producir un tornillo con especificacin del dimetro igual a 2cm0.1cm. Si el dimetro de los tornillos se distribuyen segn ~N(2.02cm, 0.06cm), cul es la probabilidad de que un tornillo en la etapa de control de calidad sea desechado?

61

Dibujo de probabilidad normal en MATLAB con normplot

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_probability_plot

Este es un test visual de normalidad.

62

Ejemplo 1: FDP normalLa resistencia de un cilindro de concreto se distribuye segn una FDP normal con media 220 kgf/cm2 y una desviacin estndar de 20 kgf/cm2.

Encuentre: La probabilidad que f'c sea menor que 200kgf/cm2

64

Ejemplo 1: FDP normalLa resistencia de un cilindro de concreto se distribuye segn una FDP normal con media 220 kgf/cm2 y una desviacin estndar de 20 kgf/cm2.

Encuentre: La probabilidad que f'c sea a lo ms 250kgf/cm2

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Ejemplo 1: FDP normalLa probabilidad que f'c est entre 210 y 240kgf/cm2:

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Ejemplo 2: FDP normal La demanda mensual de un producto sigue una

FDP N(=200 unidades,=40 unidades). Qu tan grande debe ser el inventario

disponible a principios de un mes de modo que la probabilidad de existencia de un producto sea de al menos 95%?

67

Ejemplo 2: FDP normal

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Teorema del lmite central

69

Convergencia en distribucin

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Este teorema ser vlido incluso si los sumandos de X

i no son i.i.d., aunque algunas

restricciones con respecto a los grados de dependencia y la tasa de crecimiento de los momentos deben ser an impuestas.

Por ejemplo, puede que las variables aleatorias X

i no sean idnticamente distribudas, siempre

y cuando cada variable individual tenga poco efecto sobre la suma.

71


Puesto que la variable aleatoria en muchos fenmenos se origina a partir de variaciones aditivas, no es sorprendente que los histogramas que aproximan la FDP normal se observen frecuentemente en la naturaleza y que esta FDP se adopte a menudo como modelo en la prctica.

72

Ejemplo del teorema del lmite central

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Ejemplos: el teorema del lmite central en la vida prctica

La prueba del ICFES (como suma de puntos). Las cargas muertas y vivas de una estructura

(se consideran como la suma de muchas fuerzas relativamente pequeas, suponiendo que ninguna de ellas domina al total).

La longitud total es la suma de las diferentes partes individuales: la longitud total de una distancia, el tiempo total gastado repitiendo varias operaciones idnticas en un programa de construccin suponiendo que los tiempos son independientes.

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La combinacin lineal de variables aleatorias normales tambin es normal

Ejemplo:

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Deduccin de la FDP normal

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variable continua

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