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Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la
Educación
LA INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA: EL MODELO DE MATEMÁTICAS CONSTRUCTIVAS
Coordinadora: Marisol Silva Laya
Investigador asociado: Gustavo Saldaña
Asistentes: Martha Chicharro, Olga Santillán, Linda Vázquez
SEPTIEMBRE, 2008
PRESENTACIÓN
El CIME cumple en este año 2008, 15 años ininterrumpidos de actividad pedagógica
en las escuelas. Este año son más de 400 planteles educativos en toda la República
y más de 2,500 maestros.
Esta actividad tan demandante, no nos había permitido hacer un alto en el camino
para evaluar nuestro trabajo. A iniciativa del Ing. Gustavo Saldaña Jattar, el INIDE
(Instituto de Investigación para el desarrollo de la Educación), dependencia de la
Universidad Iberoamericana se interesó en formar con el CIME un equipo de
investigación que evaluara el trabajo del CIME.
Bajo la sabia y atenta asesoría del Dr. Carlos Muñoz Izquierdo investigador emérito
del INIDE durante más de un año se trabajó en la presente investigación.
Nuestro más sincero agradecimiento para la coordinadora del proyecto: Marisol
Silva Laya, para sus asistentes: Martha Chicharro, Olga Santillán y Linda Vázquez y
para el investigador asociado por el CIME Ing. Gustavo Saldaña Jattar.
Y nuestro agradecimiento especial para Don Carlos Muñoz Izquierdo y para la
Directora del INIDE, la Mtra. Sylvia Schmelkes y para las R. Autoridades de la
Universidad Iberoamericana.
Nuestro agradecimiento a las Instituciones Educativas que participaron en esta
investigación, así como también a Ud. profesor o profesora que se interesa en el
trabajo y eficacia del CIME.
Gracias a todos.
Profr. Francisco J. Gutiérrez Espinosa
Director del CIME
INDICE INDICE II
INTRODUCCIÓN 1
OBJETIVOS ................................................................................................................................................................. 4
MARCO CONCEPTUAL 5
1. FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ............................................ 5
2. TENDENCIAS ACTUALES EN LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS .............................................................. 10
2.1. La educación matemática como proceso de “inculturación” 10
2.2. La resolución de problemas 10
2.3. Enseñanza contextualizada de las matemáticas 13
2.4. El papel del profesor 15
3. EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS........................................................................................................ 17
3.1. Factores cognitivos: habilidades de pensamiento lógico 17
3.2. Factores no cognitivos: motivación, autoconcepto y autoeficacia 21
4. MODELO DE MATEMÁTICAS CONSTRUCTIVAS CIME .................................................................................. 25
4.1. Materiales del MMC 30
DISEÑO METODOLÓGICO 32
1. PREGUNTAS .................................................................................................................................................... 32
2. HIPÓTESIS ....................................................................................................................................................... 32
3. CATEGORÍAS ANALÍTICAS .............................................................................................................................. 33
3. ENFOQUE METODOLÓGICO ............................................................................................................................ 36
4. MUESTRA Y GRUPOS DE SUJETOS .................................................................................................................... 36
4.1. Muestra de escuelas 36
4.2. Grupos de sujetos 37
5. MÉTODOS Y TÉCNICAS PARA RECOLECTAR LA INFORMACIÓN...................................................................... 38
6. ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ..................................................................................................................... 39
LOS PROCESOS: PUESTA EN MARCHA DEL MMC 41
1. LA GESTIÓN ESCOLAR..................................................................................................................................... 41
2. LA CAPACITACIÓN DE LOS MAESTROS ........................................................................................................... 41
3. LA PRÁCTICA DOCENTE.................................................................................................................................. 44
3.1. Perfil y modelo docente 45
3.2. Conocimiento e implementación del Modelo de Matemáticas Constructivas 47
4. PUESTA EN PRÁCTICA DEL LAS ETAPAS DEL MMC EN EL SALÓN DE CLASES ............................................... 52
4.1. Aprovechamiento de otras estrategias y materiales CIME 58
4.2. Otras estrategias recomendadas por CIME 65
5. SITUACIONES DE APRENDIZAJE QUE ESTIMULAN LAS HABILIDADES DE PENSAMIENTO .............................. 71
5.1. Reversibilidad 73
5.2. Flexibilidad de pensamiento 74
5.3. Pensamiento creativo 76
5.4. Aplicación a casos reales 77
5.5. Abstracción por medio del lenguaje algebraico 79
RESULTADOS: LA CONTRIBUCIÓN DEL MÉTODO DE MATEMÁTICAS CONSTRUCTIVAS AL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS 82
1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL GRUPO DE ALUMNOS ............................................................................ 82
2. APORTES DEL MMC AL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS...................................................................... 83
2.1. Motivación 83
2.2. Autoconcepto 85
2.3. Autoeficacia 87
2.4. Resolución de problemas en la prueba escrita 88
3. RELACIÓN ENTRE LOS FACTORES NO COGNITIVOS Y EL DESEMPEÑO EN LA PRUEBA ................................... 93
CONCLUSIONES 94
BIBLIOGRAFÍA 104
INDICE DE CUADROS
Cuadro 1. Fundamentos epistemológicos en la enseñanza de las matemáticas……………………... 9
Cuadro 2. Fases y etapas de Modelo de Matemáticas Constructivas………………………………... 28
Cuadro 3. Categorías analíticas y variables.…………..…………………………………………….. 34
Cuadro 4. Escuelas seleccionadas en la muestra…….……………………………………………… 37
Cuadro 5. Técnicas e instrumentos para la recolección de información…………..………...………. 39
Cuadro 6. Relación entre categorías de análisis, sujetos e instrumentos...………………….………. 39
Cuadro 7. Años de experiencia como docente de primaria……………………………………..…… 45
Cuadro 8. Opiniones de los maestros acerca de su práctica docente…………………………..……. 46
Cuadro 9. Opiniones de los alumnos acerca de la práctica de sus maestros……………………...…. 46
Cuadro 10. Antigüedad en el uso del MMC…………………………………………………………. 47
Cuadro 11. Percepción sobre la eficacia del MMC………………………………………………..… 48
Cuadro 12. Percepción de los maestros sobre su dominio del MMC…………………………….…. 48
Cuadro 13. Nivel de conocimiento de los maestros acerca de las etapas del MMC………………… 49
Cuadro 14. Desempeño docente en la aplicación del MMC, primaria baja……………………...….. 50
Cuadro 15. Desempeño docente en la aplicación del MMC, primaria alta…………………………. 51
Cuadro 16. Frecuencia de momentos registrados en clases para cada etapa………………………. 52
Cuadro 17. Importancia de que de los alumnos expliquen y razonen sus
procedimientos………………………………...…………………………………………………….. 56
Cuadro 18. Consideraciones didácticas de los docentes sobre manejo del error…………………..... 59
Cuadro 19. Apreciaciones de los alumnos sobre manejo docente del error………………..……….. 59
Cuadro 20. Consideraciones docentes sobre el tiempo para resolver dudas por antigüedad en el uso
del método CIME……………………………………………………………………………………. 63
Cuadro 21. Frecuencia de uso de estrategias constructivistas reportada por docentes……………… 65
Cuadro 22. Frecuencia de uso de estrategias constructivistas reportada por alumnos………………. 66
Cuadro 23. Consideraciones docentes sobre el peso de las estrategias de evaluación……………… 67
Cuadro 24. Consideraciones de los maestros sobre estrategias de evaluación……………………… 67
Cuadro 25. Consideraciones de los niños sobre la evaluación………………………………………. 68
Cuadro 26. Opiniones de alumnos acerca del gusto por los materiales……………………………... 69
Cuadro 27. Frecuencia del uso de materiales de acuerdo con docentes y alumnos…………………. 69
Cuadro 28. Frecuencia de demostraciones en clase con materiales del MMC……………………… 73
Cuadro 29. Percepción docente sobre la reversibilidad de pensamiento en sus alumnos…………… 74
Cuadro 30. Frecuencia de que los maestros pregunten otras formas de llegar al resultado………… 74
Cuadro 31. Frecuencia de buscar nuevas formas para obtener la solución a un problema cuando
estás resolviendo problemas de matemáticas………………………………………………………... 74
Cuadro 32. Percepción docente de la flexibilidad de pensamiento de sus alumnos, según
antigüedad en el manejo del MMC………………………………………………………………….. 75
Cuadro 33. Frecuencia de que los profesores les pidan a los alumnos que inventen problemas
matemáticos…………………………………………………………………………………………. 76
Cuadro 34. Consideraciones didácticas de los maestros sobre la aplicación a casos reales……… 78
Cuadro 35. Consideraciones docentes sobre la motivación de sus alumnos………………………… 83
Cuadro 36. Nivel de Motivación…………………………………………………………………….. 84
Cuadro 37. Opinión de indicadores de motivación………………………………………………….. 84
Cuadro 38. Nivel de autoconcepto…………………………………………………………………... 86
Cuadro 39. Opinión de indicadores de autoconcepto………………………………………………... 87
Cuadro 40. Nivel de autoeficacia……………………………………………………………............. 87
Cuadro 41. Opinión de indicadores de autoeficacia…………………………………………............. 88
Cuadro 42. Promedio de calificación obtenido……………………………………………………… 89
Cuadro 43. Porcentajes de respuestas correctas en la prueba……………………………………….. 89
Cuadro 44. Niveles de desempeño en la prueba de conocimientos…………………………………. 92
Cuadro 45. Estrategias y actitudes de los niños en la resolución de problemas…………………….. 92
INDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 1. Frecuencia de actividades de exploración………………………………………………... 52
Gráfico 2. Frecuencia de actividades observadas en clase en cada etapa del MMC………………… 58
INDICE DE FOTOGRAFÍAS
Fotografía 1. Regletas……………………………………………………………………………….. 30
Fotografía 2. Geoplano Didacta……………………………………………………………………... 31
Fotografía 3. Libro “Juguemos a contar y a medir”….……………………………………………… 31
Fotografía 4. Pizarrón de Geoplano…………………………………………………………………. 53
Fotografía 5. Relación entre el rectángulo y el triángulo……………………………………............. 55
Fotografía 6. Características del cuadrado…………………………………………………………... 55
Fotografía 7.1. Ejercicios de fracciones……………………………………………………………... 55
Fotografía 7.2. Ejercicios de fracciones……………………………………………………………... 55
Fotografía 8. Triángulos escalenos………………………………………………………………….. 57
Fotografía 9.1. Manejo del error…………………………………………………………………….. 61
Fotografía 9.2. Manejo del error…………………………………………………………………….. 61
Fotografía 10. Exploración de temas………………………………………………………………… 70
Fotografía 11. Ejercicios con regletas……………………………………………………………….. 71
Fotografía 12. Ejercicios de facciones equivalentes………………………………………………… 72
Fotografía 13. Ejercicio de flexibilidad de pensamiento……………………………………………. 75
Fotografía 14. Ejercicio del libro “Juguemos a contar y medir: 3er. grado”……..…………………. 80
INDICE DE ESQUEMAS
Esquema 1. Formación del pensamiento crítico……………………………………………………... 18
Esquema 2. Ejercicio de disfraces…………………………………………………………………… 21
Esquema 3. Categorías analíticas……………………………………………………………............. 33
1
INTRODUCCIÓN
El presente proyecto responde a un interés por valorar una alternativa para la
enseñanza de las matemáticas -el Modelo de Matemáticas Constructiva- y explorar
las posibilidades que brinda para hacer frente al grave problema registrado en el
país relativo al magro aprendizaje de nuestros alumnos en torno a esta asignatura.
El “Modelo Pedagógico-Matemático Constructivista del CIME” es una propuesta
pedagógica basada en la teoría constructivista, desarrollado por el Profr. Francisco
Gutiérrez E., difundida por el Centro de Investigaciones de Modelos Educativos
(CIME) -institución con más de veinte años de experiencia, dedicada a la
investigación y al trabajo de campo-, orientado a lograr aprendizajes significativos
que faciliten la adquisición de conocimientos para la vida y favorezcan el desarrollo
integral de los estudiantes. En la actualidad CIME trabaja con más de 400
Instituciones Educativas en 29 estados de la República Mexicana.
El tema de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha ocupado un lugar
clave en la esfera educativa y actualmente se revitaliza al tener en cuenta que las
habilidades en este campo forman parte de las competencias clave para una vida
exitosa y un buen funcionamiento en la sociedad (OCDE, 2003). En el marco del
proyecto sobre Definición y Selección de Competencias Clave (DeSeCo), se las ubica
en la categoría correspondiente al uso de herramientas interactivas que hace
referencia a la utilización eficaz de la lengua hablada y escrita, a las habilidades
para la computación y las destrezas matemáticas, en múltiples situaciones. En fin,
las habilidades matemáticas forman parte de las herramientas esenciales para el
buen funcionamiento en la sociedad y el lugar de trabajo y para participar en un
diálogo efectivo con otros.
Las distintas evaluaciones que se aplican en México para medir los logros
académicos alcanzados por los niños de primaria y de secundaria en habilidades
matemáticas, muestran sistemáticamente resultados insatisfactorios que indican
que la educación básica enfrenta limitaciones para formar las competencias que los
jóvenes requieren para desenvolverse plenamente en la sociedad. En tal sentido, los
Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (EXCALE) aplicados por el INEE1 en el
1 El Instituto desarrolló una nueva generación de pruebas nacionales para medir habilidades y conocimientos
de los estudiantes que se conocen como Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (EXCALE).
2
año 2005 para explorar los niveles de logro de alumnos de 6° de primaria y 3° de
secundaria arrojaron resultados que son preocupantes:
• En 6° de primaria, el 17.4 por ciento de los estudiantes se encuentra por debajo
del nivel de dominio básico2, mientras que más de la mitad (52.3%) alcanza
apenas el básico, del otro lado, el 23.5 por ciento alcanza el medio y sólo un 6.9
por ciento se ubica en el nivel avanzado.
• En 3° de secundaria la situación es más dramática: a nivel nacional poco más de
la mitad de los alumnos (51.1%) está por debajo del dominio básico y el 29.5
por ciento en el nivel básico; sólo un 18 por ciento está en el medio y un escaso
1.4 en el avanzado. Todas las escuelas públicas tienen grandes contingentes de
alumnos por debajo del dominio básico: las telesecundarias el 62.1 por ciento;
las secundarias técnicas 52 y las generales 50.5 por ciento.
Además, estos exámenes revelaron que:
En 6to de primaria:
• En el eje temático de Números, sus relaciones y sus operaciones, los estudiantes
muestran un mejor desempeño; dentro de este eje, el tema de mayor dificultad
es el de fracciones. Por otra parte, en el eje de Medición, los estudiantes tienen
un desempeño adecuado en el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, pero
evidencian dificultades en la conversión de unidades de medición.
• En Geometría, se observó un bajo desempeño, especialmente en habilidades
relacionadas con imaginar cuerpos e identificar sus características geométricas.
En cambio, los estudiantes no tienen dificultad para interpretar gráficas y
relacionarlas con Tablas de datos. Asimismo, tienen un desempeño aceptable al
reconocer el procedimiento para calcular promedios y al resolver problemas de
variación proporcional del tipo de valor faltante y con números naturales; sin
embargo, tienen dificultades para resolver problemas de porcentajes.
Finalmente, pueden identificar situaciones en los que interviene el azar, pero se
les dificulta el análisis de dichos eventos.
En 3ro de secundaria:
• Los estudiantes han conseguido un desarrollo insuficiente de los conocimientos y
habilidades establecidos en todas las áreas del currículum de Matemáticas. No
obstante, los alumnos muestran un desempeño aceptable en la resolución de 2 El nivel por debajo del básico, indica carencias importantes en los conocimientos, habilidades y destrezas
escolares. El básico, indica un dominio imprescindible o mínimo. El medio, hace referencia a un dominio sustancial.
El avanzado, indica un dominio muy avanzado.
3
problemas que implican operar con números naturales y, en general, en
situaciones que pueden ser resueltas con procedimientos formales de manera
directa. Por el contrario, presentan serias deficiencias ante problemas en los que
tienen que hacer razonamientos más complejos, que requieren elaborar
conjeturas, hacer generalizaciones o inferencias y vincular resultados.
• Se observó un desempeño muy deficiente de los estudiantes relacionado con: el
seguimiento de instrucciones para la construcción de Figuras y elementos
geométricos; la identificación de los cambios de longitud, área y volumen de una
Figura o cuerpo geométrico, al reducirlo o aumentarlo a escala; la solución de
problemas donde se requieren utilizar equivalencias entre unidades de medida;
y, con el uso de fracciones (INEE, 2006:22-23, 25).
Por su parte, la Dirección General de Evaluación de la SEP aplica la prueba de
Evaluación Nacional de Logro Académico de los Centros Educativos (ENLACE) para
las asignaturas de español y matemáticas. La evaluación del 2007, corroboró los
resultados del 2006: más de las tres cuartas partes (77.7%) de los niños de
primaria se hallan en un nivel insuficiente o elemental en el dominio de las
matemáticas, el 22.3 por ciento en los niveles bueno o excelente. En 3° de
secundaria se acentúan las deficiencias ya que de cada 100 estudiantes sólo 5
alcanzan satisfactoriamente los objetivos de matemáticas.
Las deficiencias en los aprendizajes reveladas por las pruebas nacionales se
corroboran con los resultados de la aplicación de las pruebas del Programa para la
Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA por sus siglas en inglés). En el 2003,
dicha prueba puso su énfasis en la evaluación de las competencias de los jóvenes
de 15 años en el área de matemáticas, y sus resultados no fueron alentadores para
México pues el desempeño de los estudiantes mexicanos se ubicó entre los últimos
4 lugares de un total de 40 países. Además, mientras que sólo el 8.2% de los
jóvenes que fueron evaluados en los demás países que forman parte de la OCDE se
encontraban en el “nivel 0” de la escala de matemáticas, el 38.1% de los mexicanos
se ubicaron en ese nivel; al tiempo que el 4% de los jóvenes de la OCDE se
ubicaron en el nivel 6 y en México el porcentaje fue 0.
Estos datos dan cuenta de las profundas carencias que enfrentan una gran cantidad
de niños de las primarias y secundarias en torno a los conocimientos, habilidades y
destrezas; mismos que no sólo son fundamentales para un buen desempeño
escolar; sino que también resultan básicas para un desempeño adecuado en otros
ámbitos de la vida. Estos resultados cuestionan la calidad de la educación que se
4
imparte y exige tomar medidas para atender adecuadamente las necesidades
educativas que presentan los alumnos de las diferentes escuelas.
El mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas es un problema central para el
sistema educativo mexicano y por ello la búsqueda de alternativas dirigidas a sacar
adelante esta tarea cobra relevancia. El presente proyecto se propone evaluar un
modelo de enseñanza de las matemáticas con el interés de rescatar sus estrategias
más eficaces para hacer frente a las dificultades que se enfrentan en este campo.
OBJETIVOS
La evaluación del Modelo de Matemáticas Constructivas del Centro de
Investigaciones de Modelos Educativos contempla el análisis en dos etapas: los
procesos y los resultados. En atención a cada una de estas etapas el proyecto
persigue los objetivos siguientes:
1. Examinar los procesos de implementación del “Modelo de Matemáticas
Constructivas”, para analizar la manera como se ponen en práctica sus
orientaciones pedagógicas e identificar los factores que facilitan u
obstaculizan su ejecución a fin de decidir estrategias para mejorar su
aprovechamiento.
2. -Valorar la contribución del “Modelo de Matemáticas Constructivas” al
aprendizaje efectivo de las matemáticas en alumnos de 6to de primaria.
3. Valorar el nivel de logro educativo en el área de matemáticas que alcanzan
los alumnos de sexto grado de primaria cuyas escuelas aplican el “Modelo de
Matemáticas Constructivas”, tomando en cuenta tanto los factores cognitivos
como los no cognitivos que intervienen en el aprendizaje.
5
MARCO CONCEPTUAL
El modelo de enseñanza de las matemáticas desarrollado por el Centro de
Investigaciones de Modelos Educativos, se sustenta en un enfoque de aprendizaje
constructivista. A fin de conocer más ampliamente las implicaciones educativas de
dicho enfoque conviene hacer un rastreo sobre las formas como históricamente se
ha abordado la enseñanza de este campo de conocimiento a fin de dimensionar la
actualidad y relevancia de la propuesta de este Centro. Para ello, en el primer y
segundo apartados, revisaremos los fundamentos epistemológicos de la enseñanza
de las matemáticas y las tendencias actuales en la didáctica del campo. El tercer
apartado se enfoca en el aprendizaje de las matemáticas y los factores de
naturaleza cognitiva y no cognitiva que involucra. Por último, con estos
antecedentes nos detenemos en el análisis del Modelo de Matemáticas
Constructivas, objeto del presente estudio.
1. FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
A lo largo de las cinco últimas décadas se han registrado cambios y avances
significativos en la enseñanza de las matemáticas, que es preciso tener en cuenta al
abordar el estudio de este campo. Durante los años sesenta y setenta tuvo lugar un
movimiento de renovación hacia la matemática moderna que, según De Guzmán
(2007), tuvo como principales características y efectos los siguientes
- Pretendió profundizar en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo
ésta a los aspectos operativos y manipulativos.
- Esto último condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través
de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra,
donde el rigor es fácilmente alcanzable.
- La geometría elemental y la intuición espacial sufrió un gran detrimento. Ya
que la geometría es, en efecto, mucho más difícil de fundamentar
rigurosamente.
- Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el
vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometría elemental
tanto abunda, y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera
tautología y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el
álgebra puede ofrecer a este nivel elemental (p.22).
6
Gascón señala que el modelo epistemológico euclidiano3 subyace a esta corriente y
le hace una severa crítica, apuntando que una de las características principales de
dicho modelo es que pretende “trivializar” el conocimiento matemático y que en
consecuencia dio origen a dos tipos de modelos docentes: el teoricismo y el
tecnicismo, “que tienen en común la trivialización del proceso de enseñanza, al
concebirlo como un proceso mecánico y trivial, totalmente controlable por el
profesor” (Gascón, 2001, p.133).
Según este autor, los modelos docentes teoricistas, ponen el acento en los
conocimientos acabados y cristalizados en teorías, al tiempo que encierran en
paréntesis la actividad matemática y sólo toma en consideración el fruto final de
esta actividad. El teoricismo identifica “enseñar y aprender matemáticas” con
“enseñar y aprender teorías acabadas”, por lo que el proceso didáctico empieza, y
prácticamente acaba, en el momento en que el profesor “enseña” (en el sentido de
“muestra”) estas teorías a los alumnos (Gascón, 1994). Este modelo docente ignora
las tareas dirigidas a elaborar estrategias de resolución de problemas complejos y,
por tanto, cuando aparece un problema que no puede resolverse mediante la
aplicación inmediata de un teorema, entonces el teoricismo trivializa los problemas
mediante la descomposición en ejercicios rutinarios lo que comporta, no sólo la
eliminación de la dificultad principal del problema sino, incluso, la desaparición del
propio problema (Gascón,1989, citado en Gascón, 2001). En contraparte, el
tecnicismo, enfatiza los aspectos más rudimentarios del momento del trabajo de la
técnica (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997 citados en Gascón, 2001). El modelo
docente tecnicista identifica implícitamente “enseñar y aprender matemáticas” con
“enseñar y aprender técnicas (algorítmicas)” por lo que constituye otra forma
extrema de trivializar el proceso de enseñanza de las matemáticas. Dado el énfasis
tan exclusivo que pone en las técnicas “simples”, el tecnicismo tiende a olvidar los
“auténticos” problemas que son aquellos cuya dificultad principal consiste en
escoger las técnicas adecuadas para construir una “estrategia de resolución”.
En síntesis, este movimiento, se propuso innovar la educación a partir del rigor
lógico y del lenguaje algebraico. Se pensaba que una fundamentación rigurosa a
partir de la teoría de conjuntos, la interpretación algebraica junto con la repetición
de ejercicios (que proponían un solo proceso, el reconocimiento de los nombres
científicos y una única respuesta) se lograría la comprensión y manejo eficaz de las
matemáticas. Sin embargo, en los años 70 se empezó a percibir que muchos de los
3 La teoría euclídea hace referencia a un conjunto de proposiciones que se deducen de axiomas trivialmente
verdaderos y que están formulados con términos perfectamente conocidos (Gascón, 2001, p.132).
7
cambios introducidos no habían resultado muy acertados. De Guzmán, advierte que
con la sustitución de la geometría por el álgebra, la matemática elemental se vació
rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de
intuición espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la
geometría de los programas educativos. Se puede decir que los inconvenientes
surgidos con la introducción de la llamada "matemática moderna" superaron con
mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir como el rigor en
la fundamentación, la comprensión de las estructuras matemáticas, la modernidad y
el acercamiento a la matemática contemporánea.
A partir de los años 70’s el fracaso de las matemáticas modernas llevó a la
convicción de que el modelo epistemológico de las matemáticas tendría que
desplazar su centro de atención de la fundamentación hacia el carácter cuasi-
empírico de la actividad matemática (Lakatos, citado en De Guzmán, 2001). Por
tanto, el modelo cuasi-empírico, se centra en la experiencia matemática y busca la
destrivialización del conocimiento matemático al enfatizar el papel esencial del
proceso de descubrimiento y la contextualización de los problemas en situaciones
reales y pone de manifiesto que no puede reducirse al estudio de este campo del
saber a la justificación de las teorías matemáticas.
Cuando este modelo cuasi experimental penetra la enseñanza de las matemáticas
provoca una tendencia a identificar el saber matemático con la actividad
matemática exploratoria y da lugar a dos nuevos modelos docentes: modernismo y
procedimentalismo. El primero identifica la actividad matemática con la exploración
de problemas no triviales4, es decir con las tareas que se realizan cuando todavía no
se sabe gran cosa de la solución; entonces se tantean algunas técnicas, se intenta
aplicar éste o aquel resultado, se buscan problemas semejantes, se formulan
conjeturas, se buscan contraejemplos, se intenta cambiar ligeramente el enunciado
del problema original, etcétera (Gascón, 2007, p. 140). Por su parte, el
procedimentalismo sitúa como principal objetivo del proceso didáctico el dominio de
sistemas estructurados de técnicas heurísticas (no algorítmicas). Mientras la
destrivialización del conocimiento matemático llevada a cabo por el modernismo se
basaba en la dificultad de descubrir la estrategia matemática adecuada para
4 Un buen ejemplo de un problema “no trivial” son los “problemas tipo olimpiadas”, los cuales, según
Callejo (citado en Gascón 2007), tienen las características siguientes (a) Para resolverlos se debe utilizar una
combinación original de técnicas; (b) Inicialmente no se sabe como atacarlos por lo que es habitual tener que
trabajar sobre ellos durante largo tiempo; (c) Aunque las técnicas y los conocimientos necesarios para resolver los
problemas “olímpicos” suelen figurar en los libros de texto y en los programas de estudio, no es habitual encontrar
problemas semejantes en los manuales; (d) Se trata de problemas que aceptan varias estrategias de resolución,
aunque algunas de ellas son muy originales.
8
abordar un problema, el procedimentalismo empieza acotando un campo de
problemas y pone el énfasis en la dificultad de elaborar y de interiorizar una
estrategia de resolución compleja útil para abordar los problemas de dicho campo
(Gascón, 2007, p. 142).
Posteriormente, la propuesta epistemológica constructivista (basada en teorías
cognitivas de Piaget, Ausbel y Vigotsky) sostiene que para abordar el problema
epistemológico es imprescindible utilizar como base empírica, al lado de los hechos
que proporciona la historia de la ciencia, los que proporciona el estudio del
desarrollo psicogenético (Gascón, 2007: 144). De este enfoque se derivan modelos
docentes constructivistas que relacionan -aunque sea parcialmente- el momento
exploratorio con el momento de la actividad matemática en el que se elaboran
justificaciones e interpretaciones de la práctica matemática.
Los modelos constructivistas se pueden clasificar en dos. El primero, llamado por
Gascón (2007) constructivismo psicológico, prioriza los procesos psicológicos sobre
la relevancia de la actividad matemática, con ello no logra vencer la
descontextualización de los problemas al utilizarlos sólo como medio para acceder a
un conocimiento. El otro, modelizacionismo, interpreta aprender matemáticas como
un proceso de construcción de conocimientos matemáticos relativos a un sistema,
que se lleva a cabo mediante la utilización de un modelo matemático de dicho
sistema. De esta forma, casi por definición, resulta que en el modelizacionismo la
descontextualización de los problemas desaparece hasta el punto de llegar a
identificarse el objetivo de la resolución de los problemas, con la obtención de
conocimientos sobre el sistema modelizado. La actividad de resolución de problemas
se engloba, por tanto, en una actividad más amplia que puede llamarse
modelización matemática. Este modelo contempla situaciones problemáticas que
abarcan momentos exploratorios y tecnológico-teóricos, dando importancia al papel
de la actividad de resolución de problemas sin olvidar el trabajo de la técnica en el
aprendizaje de las matemáticas. La unión de ambos momentos remite a un
concepto de modelización, que entraña los siguientes estadios:
a. la presentación de una situación problemática que formule preguntas y
conjeturas con poca precisión en la que se pueden detectar algunas
soluciones matemáticas,
b. la definición o delimitación del proceso a seguir, es decir, la elaboración del
modelo correspondiente,
c. el trabajo técnico dentro del modelo, su representación, su interpretación y
resultado y
9
d. el planteamiento de nuevos problemas con nuevos modelos a probar.
Según Gascón, en el modelizacionismo el objetivo de la actividad matemática -y por
tanto el de la enseñanza de las matemáticas- es la obtención de conocimientos
relativos a un sistema modelizado que, en principio, puede ser tanto matemático
como extramatemático. Los problemas sólo adquieren pleno sentido en el contexto
de un sistema; así la resolución de un problema pasa siempre por la construcción
explícita de un modelo del sistema subyacente y tiene como objetivo la producción
de conocimientos relativos a dicho sistema. Por todas estas razones, el
modelizacionismo, que como se dijo se fundamenta en la epistemología
constructivista, puede ser considerado como un constructivismo matemático.
Cuadro 1. Fundamentos epistemológicos en la enseñanza de las matemáticas
FUNDAMENTO EPISTEMOLÓGICO MODELOS DOCENTES ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Teoricista
� Enseñar y aprender matemáticas es enseñar y aprender teorías acabadas
� Proceso didáctico: empieza y acaba con lo que el profesor enseña
MODELO EUCLIDIANO • Matemática Moderna • Trivializa el conocimiento
matemático • Mayor énfasis en la
fundamentación • Rigor lógico y lenguaje
algebraico • Poca geometría
Tecnicista � Enseñar y aprender matemáticas es enseñar y
aprender técnicas
Modernismo
� Exploración de problemas no triviales � Énfasis en la dificultad de descubrir la
estrategia matemática adecuada para abordar un problema
MODELO CUASI-EMPÍRICO • Experiencia matemática • Papel esencial del proceso de
descubrimiento y contextualización de problemas en situaciones reales
• Actividad matemática exploratoria
Procedimentalismo
� Dominio de sistemas estructurados de técnicas heurísticas.
� Acota un campo de problemas y pone el énfasis en la dificultad de elaborar una estrategia de resolución útil para abordar los problemas de dicho campo
Constructivismo psicológico
� Prioriza los procesos psicológicos sobre la relevancia de la actividad matemática
� Resolución de problemas= medio para acceder a un conocimiento. MODELO CONSTRUCTIVISTA
• Que los estudiantes construyan los conocimientos matemáticos
• Base empírica: hechos de la historia de las ciencias y desarrollo psicogenético
Modelacionismo
� Aprender matemáticas = procesos de construcción de conocimientos matemáticos que requiere la utilización de modelos.
� Objetivo de la resolución de problemas = obtención de conocimientos sobre el sistema modelizado
� Combina momento exploratorio y tecnológico-teórico (justificaciones e interpretaciones de la práctica matemática)
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2. TENDENCIAS ACTUALES EN LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
2.1. La educación matemática como proceso de “inculturación”
La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las
formas propias de proceder del ambiente matemático, a la manera en que el
aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de
ver las cosas características de la escuela en la que se entronca. Como vamos a ver
enseguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la
enseñanza y aprendizaje de la matemática (De Guzmán, 2007, pp. 25-26).
Esto pasa por poner el centro en los procesos del pensamiento matemático. Una de
las tendencias generales más difundida hoy consiste más en el hincapié en la
transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática que en la
mera transferencia de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es
una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello,
se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte
colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de
resolución de problemas. Este enfoque de enseñanza de las matemáticas debiera
estar presente en las diversas actividades y situaciones didácticas que se presentan
en la escuela.
2.2. La resolución de problemas
De acuerdo con los recientes aportes de modelos epistemológicos constructivistas,
la resolución de problemas constituye una actividad privilegiada para introducir a los
estudiantes en las formas propias del quehacer de las matemáticas. Lograr que los
alumnos desarrollen estructuras de pensamiento que le permitan matematizar; es
una de las principales metas de la enseñanza matemática actual. Según Alsina
(2007, p.91) esta actividad central en el campo que nos ocupa remite a trabajar la
realidad a través de ideas y conceptos matemáticos, debiéndose realizar dicho
trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas,
formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar
semejanzas con otros problemas, y trabajando entonces matemáticamente, hallar
soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la
realidad para analizar su validez y significado.
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En tal sentido, De Guzmán (2007) afirma que la resolución de problemas tiene la
intención de transmitir, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento
eficaces en la resolución de verdaderos problemas. Por medio de este método, el
alumno podrá manipular objetos matemáticos, activará su capacidad mental,
ejercitará su creatividad, hará metacognición (reflexión sobre su propio
aprendizaje), se divertirá, se preparará para otros problemas y muy importante,
podrá adquirir confianza en sí mismo. No obstante, es importante aclarar el sentido
de esta estrategia ya que la resolución de problemas tiene múltiples usos e
interpretaciones que pueden llegar a ser contradictoria. Vilanova et al (2001)
descubre por lo menos tres aproximaciones:
a. La resolución como contexto: donde los problemas son utilizados como
vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, como una justificación
para enseñar, motivar o desarrollar actividades. Ello implica una
interpretación y aplicación mínima.
b. Resolver problemas para el desarrollo de habilidades: propuesta que invita
a la resolución de problemas no rutinarios, para el logro de una habilidad de
nivel superior, adquirida luego de haber resuelto problemas rutinarios. En
fin, las técnicas de resolución de problemas son enseñadas como un
contenido, con problemas de práctica relacionados, para que las técnicas
puedan ser dominadas.
c. Resolver problemas como sinónimo de "hacer matemática": la estrategia
asume que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la
matemática realmente consiste en visualizar problemas y soluciones. El
matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad
matemática es Polya, quien a través del libro “How to solve it” (1954),
introduce el término “heurística” para describir el arte de la resolución de
problemas.
Por su parte, Alsina (2007) hace una revisión del manejo de situaciones
problemáticas que manejan las escuelas y observa que es común que los profesores
trabajen con matemáticas exponiendo el contenido, dando ejemplos sencillos,
después haciendo ejercicios sencillos y luego complicados, para que al final, se
presente un problema. Por el contrario, actualmente se recomienda plantear
situaciones problemáticas desde el principio, para activar el interés y la mente del
estudiante. Además agrega que los problemas deben tener ciertas características
que permiten u obstaculizan el aprendizaje. Esta tendencia coincide con la tercera
situación descrita por Vilanova (2001), es decir la resolución de problemas como
sinónimo de hacer matemáticas. Para matematizar, es necesario trabajar a partir de
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la realidad para dar significado a las situaciones, apoyados de los conceptos,
esquemas y relaciones matemáticas. En este sentido, retoma la heurística como el
método de acercamiento a la realidad con una estructura matemática.
Para Polya (1965, p. 102) la heurística trata de comprender el método que conduce
a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente
útiles en este proceso. Agrega que la heurística tiende a la generalidad, al estudio
de los métodos, independientemente de la cuestión tratada y se aplica a problemas
de todo tipo. Podemos entender la heurística o las heurísticas como las acciones que
pueden resultar de utilidad para resolver problemas. En este sentido, recomendaba,
por ejemplo, hacer dibujos para ilustrar los datos, condiciones y relaciones de la
situación problemática. Según Polya (1965), para resolver un problema se necesita:
a) Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos y las
condiciones?; b) Concebir un plan: ¿conoce un problema relacionado con éste?,
¿conoce algún teorema que le pueda ser útil?, ¿podría enunciar el problema de otra
forma?, ¿ha empleado todos los datos?;c) ejecución del plan: comprobar cada uno
de los pasos, ¿puede usted ver que el paso es correcto?; d) visión retrospectiva:
verificar el resultado.
Con el fin de profundizar y aclarar las ventajas que ofrece esta estrategia en la
enseñanza de las matemáticas conviene tomar en cuenta el señalamiento que hace
Schoenfeld acerca de que las heurísticas tal como las propone Polya pueden ser
muy generales y que prácticamente cada problema podría requerir ciertas
heurísticas específicas (Barrantes, 2006). Schoenfeld (citado en Barrantes 2006 y
Vilanova et al, 2001) además de las heurísticas, propone tomar en cuenta otros
factores tales como:
1. Recursos: son los conocimientos previos que posee la persona, se refiere entre
otros a conceptos, fórmulas, algoritmos, y en general todas las nociones que se
considere necesario saber para enfrentar un problema. Un elemento clave a
tener presente es el de ver si el estudiante tiene ciertos estereotipos o recursos
defectuosos o mal aprendidos.
2. Control: que el alumno controle su proceso entendiendo de qué trata el
problema, considere varias formas de solución, seleccione una específica,
monitoree su proceso para verificar su utilidad y revise que sea la estrategia
adecuada.
3. Sistema de creencias: las creencias van a afectar la forma en la que el alumno
se enfrenta a un problema matemático. Schoenfeld plantea una serie de
creencias sobre la matemática que tiene el estudiante:
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- Los problemas matemáticos tienen una y solo una respuesta correcta.
- Existe una única manera correcta para resolver cualquier problema,
usualmente es la regla que el profesor dio en la clase.
- Los estudiantes corrientes no pueden esperar entender matemáticas,
simplemente esperan memorizarla y aplicarla cuando la hayan aprendido
mecánicamente. Esta creencia se ve con bastante frecuencia.
- La Matemática es una actividad solitaria realizada por individuos en
aislamiento, no hay nada de trabajo en grupo.
- Los estudiantes que han entendido las matemáticas que han estudiado
podrán resolver cualquier problema que se les asigne en cinco minutos o
menos.
- Las matemáticas aprendidas en la escuela tiene poco o nada que ver con
el mundo real (Barrentos, 2006).
Es necesario tomar en cuenta este elemento para entender cómo los alumnos
perciben las situaciones matemáticas. También para entender qué tipo de
argumentación matemática pueden utilizar. Así se puede pensar en dar
alternativas de solución o de respuesta. También las creencias del profesor y de
la sociedad juegan un papel decisivo en la enseñanza y sus resultados.
Esta breve revisión nos permite confirmar que esta estrategia cuando es
cuidadosamente concebida y planeada ofrece un ámbito fructífero para adentrar a
los estudiantes en los procesos de pensamiento matemático.
2.3. Enseñanza contextualizada de las matemáticas
Si bien señalamos en el apartado anterior que utilizar los problemas sólo para dar
contexto a través de situaciones estimulantes y familiares para el alumno, no cubre
totalmente la aspiraciones de “inculturarlos” en el mundo de las matemáticas; no
podemos perder de vista que las situaciones didácticas resultan de mayor interés
cuando recuperan la cotidianidad. En tal sentido, Godino y Batanero (1994) señalan
que es necesario introducir la noción de práctica significativa y explicitan que una
práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si, para la persona, esta
práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de
resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la
solución y generalizarla a otros contextos y problemas. Para estos autores, las
matemáticas tendrán un significado para el estudiante dependiendo de su uso.
Coinciden en que el significado de los objetos matemáticos debe estar referido a la
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acción (interiorizada o no) que realiza un sujeto en relación con dichos objetos.
Además, creen que es preciso diferenciar una dimensión personal e institucional
para este significado.
Alsina (2007), también hace énfasis en la importancia de darle sentido a las
actividades matemáticas de la escuela y advierte que gran parte del tiempo
dedicado a la enseñanza de la matemática se dedica a la resolución de ejercicios
rutinarios alejados de la vida cotidiana. Afirmación que ejemplifica con ejercicios
extraídos de libros de texto donde se percibe la tendencia hacia problemas muy
alejados de la realidad y de la vida cotidiana y que por tanto no permiten acercar el
interés de los estudiantes hacia la disciplina. Además, este autor alerta sobre la
existencia de cierto tipo de situaciones que parecen “realidades” pero que pueden
confundir substrayendo el interés por su conocimiento. Estas realidades
matemáticas abundan en nuestras explicaciones y forman parte prominente de
nuestros libros de texto, convirtiendo lo que debería ser una motivación para unas
matemáticas activas en un artificio para consagrar unas matemáticas pasivas
(p.87). El siguiente es un ejemplo de una situación que “parece real” pero que está
totalmente alejada de la vida actual de los alumnos y que puede tener efectos
negativos en su interés:
El representante de comercio.
Un representante de comercio, a la vez lógico y moderno, tiene a todos sus
clientes en una misma ruta rectilínea; sus distancias respectivas no
sobrepasan los 999,9 km. Nuestro señor Smith ha calculado que para ir de
un cliente a otro podría utilizar los siguientes medios:
— Sus piernas (velocidad: 6 km/h) para distancias inferiores a 1 km.
— Su viejo Ford (60 km/h) entre 1 y 9 km.
— Su avión (600 km/h) entre 10 y 90 km.
— Su cohete (6.000 km/h) entre 100 y 900 km.
Tiene como principio el no volver nunca sobre sus pasos. Según sus
cálculos, no debe, además, pasar nunca más de nueve minutos con un
mismo medio de locomoción. ¿Qué plan debe seguir el señor Smith?
En este caso, según Alsina (2007, p.89) se trata hechos no observables
directamente, sobre los que no hay ni intuición ni experiencia, que dan lugar a
ejercicios formales o modelos cuyos resultados no pueden ser contrastados (medios
de transporte que no existen, balanza que no puede fabricarse, inventos futuristas,
etcétera.
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Finalmente, Alsina propone una serie de problemas ejemplares que permiten
mostrar a la matemática como útil para la interpretación y modelización de la
realidad, capaz de sorprender y emocionar y necesaria para la toma de decisiones
ciudadanas, el siguiente es un buen ejemplo:
Localización óptima (Pólya)
Dadas tres poblaciones A, B y C cuyas distancias son conocidas,
¿cuál es el punto P cuya suma de distancias a A, B y C resulta mínima?
Idear diversas estrategias.
Por su parte Proenza y Leyva (2006), establecen cuatro tipos de situaciones que
conviene considerar en las actividades relacionadas con las matemáticas:
- Educativas y laborales: En las que la escuela se vive como un centro de
trabajo. El trabajo consistiría en proponer al alumno una tarea matemática
para encontrar una solución a un problema relacionado con su experiencia
escolar.
- Personales: son las que están relacionadas con las actividades diarias de los
alumnos. Se refieren a la forma en que una tarea afecta al individuo y su
contexto afectivo, social o extraescolar.
- Públicas: se refieren a la comunidad local o más amplia. Aquí los estudiantes
pueden observar aspectos determinados para activar la comprensión,
conocimiento de su entorno a través de las matemáticas y sus repercusiones
en la vida pública.
- Científicas: que proponen situaciones más abstractas y pueden implicar la
comprensión de procesos tecnológicos o teóricos de un problema matemático.
2.4. El papel del profesor
Un elemento fundamental es el conocimiento profundo de la materia en cualquier
postura teórica. Las matemáticas requieren de docentes que dominen las bases y
las posibilidades que éstas ofrecen, así podremos dedicar los esfuerzos docentes al
uso real, a nuevas formas de transmitir y aplicar dentro y fuera del aula los saberes
matemáticos. Para desarrollar las competencias de los estudiantes, se debe ser
competente. El maestro de matemáticas debe estar consciente y seguro de su
dominio en la materia.
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Brousseau (2000) sugiere que los maestros trabajen en formular, esquematizar,
visualizar problemas basados en la realidad próxima, relacionar y encontrar
semejanzas entre los mismos conceptos u otras áreas del conocimiento. También
pensar en evaluar las grandes competencias necesarias (argumentar, saber
representar y comunicar, resolver, usar técnicas e instrumentos matemáticos y
modelizar) para el aprendizaje de las matemáticas y que los docentes aún no
desarrollan personalmente ni en su práctica. El autor no sólo exige eso a los
enseñantes de matemáticas, sino que su labor esté ligada a la investigación en
innovación que dé alternativas de resolución y de enseñanza.
Otros autores aseguran que el papel primordial del profesor de matemáticas es
mejorar el aprendizaje de los estudiantes que tiene a su cargo, buscando
constantemente información didáctica o teórica que pueda producir un efecto
positivo en su práctica (Godino, 2003, p. 38).
Es primordial atender la formación inicial y permanente de los profesores de
matemáticas. La preparación de éstos debe tener un componente científico, un
conocimiento práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes y
saberes de la actividad matemática y un conocimiento integrado de las
repercusiones culturales de las matemáticas. Actualmente, los programas de
estudio carecen de éstos componentes y pretenden remediar esta situación con
pequeños cursos, lo cual impedirá desarrollar el pensamiento deseado para la
enseñanza y menos para la investigación en educación matemática.
Como se menciona al principio de este apartado, es importante recalcar que existen
diferentes intenciones al plantear problemas en grupo. Lo importante será que se
cumplan los objetivos reales aunque no siempre se resuelva el problema. También
estar atentos a que el ambiente de trabajo sea armónico y libre de inhibiciones o
competitividad. El docente debe ejercer un papel de facilitador, sin imponer
métodos, debe estar gustoso de escuchar las ideas de los estudiantes, de vivir el
momento de aprendizaje de sus alumnos, invitando a todos a mejorar.
En lo que toca a la didáctica de la matemática, distintos autores (Vilanova et al,
2001, De Guzmán, 2007) señalan que existe una urgente necesidad de proveer a
los docentes con mayor información acerca de “cómo enseñar a través de la
resolución de problemas”. Para impulsar el conocimiento en esta materia
recomiendan tres aspectos principales que debieran profundizarse en la
investigación: a) el rol del docente en una clase centrada en la resolución de
problemas; b) análisis detallados de lo que realmente ocurre en las clases centradas
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en la resolución de problemas -los comportamientos de los alumnos, sus
interacciones y la clase de atmósfera que existe- y c) investigación que se centre en
los grupos y las clases como un todo, y no en los individuos aislados: gran parte de
lo investigado en resolución de problemas matemáticos se ha centrado en los
procesos de pensamiento usados por los individuos mientras resuelven problemas.
Sin embargo, queda pendiente profundizar la investigación centrándose en los
grupos y en los ambientes de clase, indagando los procesos de enseñar y aprender
matemática desde la perspectiva del aprendizaje situado (Vilanova et al, 2001, p.9).
3. EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
3.1. Factores cognitivos: habilidades de pensamiento lógico
Muchos autores han escrito sobre las llamadas habilidades de pensamiento y
existen diferentes enfoques al respecto. Algunos autores han utilizado categorías
muy puntuales para referirse a ellas y otros se han abocado a describirlas como un
conjunto de funciones superiores del intelecto. Pese a que no existe un consenso
generalizado sobre el tema, actualmente hay un fuerte énfasis sobre la importancia
de su desarrollo, como parte fundamental de un cambio en la visión de los
propósitos de la enseñanza. Siguiendo a Frade (2007, p. 106), en el presente
estudio entendemos las habilidades de pensamiento como aquéllas que usamos
para analizar y procesar la información al utilizar el conocimiento en la resolución de
problemas de la vida. Antes, los propósitos fundamentales de la enseñanza estaban
enfocados a la aprehensión y memorización de conocimientos, actualmente, están
enfocados en su funcionalidad y aplicación.
El tema de las habilidades de pensamiento es particularmente relevante en las
matemáticas, por ser ésta la asignatura que primordialmente ha entrenado nuestros
procesos de lógica y razonamiento, y también debido a que las nociones más
recientes acerca del quehacer y uso de las matemáticas están encaminadas a la
resolución de problemas, como ya hemos hecho notar. Vale la pena insistir en que
"saber matemática" es "hacer matemática" y lo que caracteriza a la matemática es
precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos. Por lo tanto, como
bien apuntan Vilanova et al (2001) la idea de la enseñanza de la matemática que
surge de esta concepción es que los estudiantes deben comprometerse en
actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas y que tales
situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita conjeturar y aplicar
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información, descubrir, inventar y comunicar ideas, así como probar esas ideas a
través de la reflexión crítica y la argumentación.
La importancia de las habilidades reside precisamente en esta relación con la
resolución de problemas y su contribución a la formación del pensamiento crítico.
Según Rebollar y Ferrer (2007), el problema establece la situación hacia la cual ha
de dirigirse la actuación del sujeto y la habilidad es el modo de relacionarse el
sujeto con la situación que le posibilita darle solución.
Esquema 1. Formación del pensamiento crítico
Habilidades de pensamiento Resolución de problemas
La relación entre habilidades de pensamiento y resolución de problemas aparece así
como recíproca; sin embargo, no todos los autores coinciden con esta idea.
Rodríguez (2005) puntualiza que si bien la resolución de problemas implica el uso
de ciertas habilidades cognitivas, su sola presencia no es suficiente para suponer el
desarrollo de las mismas, específicamente el autor se refiere a que, el sólo hecho de
plantear un problema a un alumno, y éste lo resuelva correctamente, no significa
necesariamente, que él esté realmente desarrollando sus habilidades de
pensamiento, ya que la resolución mecánica de los problemas, una vez que se
tienen cierto conocimiento previo, puede realizarse con un mínimo de recursos
cognitivos.
De tal manera, que en medio de la discusión sobre el desarrollo de habilidades de
pensamiento y la resolución de problemas se encuentra prestar atención a los
procesos de resolución de los alumnos. En este contexto, la enseñanza de las
matemáticas adquiere un sentido muy diferente, centrado en el estudiante y no en
el contenido (Rodríguez, 2005).
En este sentido, el método de matemáticas que propone CIME, coincide con las
nociones más recientes sobre el quehacer y propósito de las matemáticas, que
consideran insuficiente la mecanización de los algoritmos para el desarrollo del
pensamiento lógico y tienen un mayor interés en el desarrollo de habilidades a
PROCESO
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través de los procesos de resolución de problemas. De acuerdo con esto, el modelo
CIME, propone el desarrollo de las siguientes habilidades de pensamiento:
- Reversibilidad
- Flexibilidad del pensamiento
- Pensamiento creativo
- Aplicación a casos reales (Extrapolación)
- Abstracción a través del lenguaje algebraico
Para una mejor compresión de las habilidades de pensamiento que maneja CIME,
hemos confrontado su propuesta con las definiciones de autores que han trabajado
intensamente el tema (Frade, 2007, Blanco, 1997 y Rodríguez, 2005). En
consecuencia, las habilidades que son fundamentales para este Modelo puedan
definirse como sigue:
Reversibilidad: De acuerdo con Piaget, la reversibilidad es la base de las nociones
de conservación y señala su importancia para las matemáticas al afirmar que “no
existe operación aislada porque una acción aislada es de sentido único y, por tanto,
no es una operación. Una operación es así necesariamente, solidaria de otras y su
misma naturaleza depende de esta capacidad de composición móvil y reversible en
el interior de un sistema (1971, p. 9). Más aún, Piaget asevera que la reversibilidad
constituye la ley fundamental de las composiciones propias de la inteligencia,
entendiendo por inteligencia “esencialmente, una coordinación de las acciones” (p.
8). En el marco del Modelo de Matemáticas Constructivas para estimular esta
habilidad se propone introducir a los niños en la realización de operaciones en una
dirección y en la dirección contraria: p.e. suma-resta, multiplicación-división,
potencias-raíces) o bien, plantear que descubran los elementos de una figura dada y
después pedir que construyan la figura a partir de sus elementos. Para los ideólogos
del MMC, la reversibilidad no sólo es una estrategia sino que la apropiación de ella,
es en sí misma la habilidad básica del pensamiento de la que se derivan todas las
demás, como son flexibilidad del pensamiento, memoria generalizada, capacidad de
analogía, capacidad de formulación, capacidad de definición, capacidad de síntesis,
capacidad de estimación, formación de criterios, entre otras (Gutiérrez, 2006, pp.
46-47).
Flexibilidad del pensamiento: Según Zaldívar y Pérez (1997), esta habilidad
refiere a la particularidad del proceso del pensamiento que posibilita el empleo de
los recursos cognitivos en la búsqueda de alternativas para la planeación, ejecución
y control de la actividad cognoscitiva y su resultado metacognitivamente hablando,
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se propone ser flexible. Rodríguez (2005, p. 10) ofrecen una situación matemática
que ejemplifica esta habilidad.
La resolución de la multiplicación 64 x .125 con seguridad guiará a una mayoría de
nosotros a utilizar lápiz y papel comenzando por la multiplicación de los dígitos que
representan las unidades en ambas cantidades, esto es, 5 x 4 y así sucesivamente
conforme lo prescribe el algoritmo. Sin embargo, otro camino, el que se identifica
con el cálculo mental, sugiere transformar la multiplicación en división. ¿Cómo es
posible esto? Es posible transformar en división la operación de multiplicación
inicialmente solicitada sustituyendo ciento veinticinco milésimos por una expresión
equivalente, esto es, por un octavo. Así, multiplicar 64 por un octavo es equivalente
a dividir 64 entre ocho y la respuesta, en consecuencia, es 8.
En este ejemplo, ¿qué habilidad matemática se utilizó para resolver la cuestión? La
habilidad cognitiva empleada fue la flexibilidad del pensamiento en una tarea de
cálculo mental (Rodríguez, 2005).
Al trabajar en el desarrollo de esta habilidad se busca que los niños aprendan que
hay diferentes opciones para llegar a un mismo resultado. Esta habilidad se puede
estimular en la clase a través de preguntas como: ¿quién lo hizo de otra manera?
¿A quién se le ocurre otra forma de resolverlo?, entre otras.
Pensamiento creativo: De acuerdo con el análisis de Frade (2007) –a partir de la
taxonomía de Bloom (1948)- el pensamiento creativo se encuentra dentro de las
habilidades de evaluación e implica la capacidad de proponer soluciones
alternativas, originales y nuevas. Según esta autora, supone una capacidad
metacognitiva y metanalítica: se es capaz de evaluar el propio pensamiento y el
análisis que se realiza; implica también ser osado, aventado (Frade, 2007:117).
Esta habilidad para CIME se estimula invitando a los alumnos a inventar otras
aplicaciones de un concepto o procedimiento que se está aprendiendo, a través de
ejercicios o problemas. El caso de los disfraces –propuestos por CIME- es
especialmente ilustrativo ya que pide a los alumnos que elaboren combinaciones de
operaciones originales de equivalencia para los números. Implican la construcción
creativa de estructuras matemáticas (Gutiérrez, 2006, p.44). Por ejemplo: un
disfraz del 40 elaborado por una alumna de 4to. grado es el que sigue:
21
Esquema 2. Ejercicio de disfraces
Aplicación a casos reales (extrapolación): La estrategia de extrapolación
consiste en aplicar las estructuras cognoscitivas y la información que el estudiante
ya posee a otro contexto, ya sean nuevas condiciones o diferentes dimensiones
(Saldaña, 2008). No se trata de una simple transposición de fórmulas o
procedimientos, sino de reconstrucción de los procedimientos ya utilizados, pero
ahora en nuevos contextos. El desarrollo de esta estrategia permite que los
conocimientos adquiridos se puedan generalizar, independientemente de las
circunstancias en que se apliquen. Se pretende aplicar los conceptos aprendidos en
clase a situaciones que forman parte de la realidad de los niños. Es decir, aplicación
de relaciones similares a situaciones diferentes.
Abstracción por medio del lenguaje algebraico: Desde el punto de vista de
Dieudonne (1971), la gran finalidad de la enseñanza de las matemáticas en las
sociedades modernas es llegar a la abstracción lo que implica enseñarles a ordenar
y a encadenar sus pensamientos con arreglo al método que emplean los
matemáticos, y porque se reconoce que este ejercicio desarrolla la claridad del
espíritu y el rigor del juicio (pp. 42-43). El MMC concreta este ejercicio en el uso de
símbolos y algoritmos que favorecen el paso de los niños del nivel de manipulación
de materiales hacia el nivel de abstracción, para llegar a expresar las relaciones a
través del lenguaje matemático. Esta habilidad se logra cuando el niño maneja de
manera personal los símbolos y operaciones.
3.2. Factores no cognitivos: motivación, autoconcepto y autoeficacia
Si queremos mejorar la enseñanza, se debe tomar en cuenta la motivación.
Naturalmente el ser humano cuenta con una motivación a conocer, sin embargo, es
necesario vincular el conocimiento con elementos afectivos que involucran a toda
persona a ocuparnos de algo, en este caso, de las matemáticas. Si se destruye este
vínculo afectivo o se torna negativo, se asegura el rechazo y por lo tanto, fracaso
de la apropiación del conocimiento matemático. Esto se puede lograr mediante
situaciones exploratorias que permitan la resolución de problemas de manera libre y
creativa.
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Cada vez es más evidente la enorme importancia que los elementos afectivos tienen
en los procesos de aprendizaje. Una gran parte de los fracasos matemáticos de
muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial
afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que
es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción por parte de sus
maestros. Por eso se intenta también, a través de diversos medios, que los
estudiantes perciban el sentimiento estético, el placer lúdico que la matemática es
capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo más hondamente
personal y humano. Muy acertadamente, De Guzmán (2007, p. 28) advierte que en
nuestro ambiente contemporáneo, con una fuerte tendencia hacia la
deshumanización de la ciencia, a la despersonalización producida por nuestra
cultura computarizada, es cada vez más necesario un saber humanizado en que el
hombre y la máquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación
matemática adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.
Una referencia muy importante en torno a la consideración de los factores
motivacionales y, en general, no cognitivos, en relación con el aprendizaje de las
matemáticas, lo constituye el trabajo de la OCDE en el Programa Internacional para
la Evaluación de los Estudiantes –PISA, por sus siglas en inglés-, el cual tiene como
objetivo evaluar las competencias que los estudiantes de 15 años necesitarán a lo
largo de la vida en áreas consideradas clave para el aprendizaje –lectura,
matemáticas, ciencias-. En la evaluación del 2003 -cuyo énfasis estuvo en el área
de matemáticas- este organismo se abocó analizar el enfoque con el que los
estudiantes afrontan el aprendizaje. Para ello se basó en el concepto de aprendizaje
autorregulado que hace referencia a las interacciones entre lo que los estudiantes
saben y pueden hacer, por una parte, y de su motivación y predisposición por otra
(INEE, 2007); esto remite a la interacción de un conjunto de componentes
actitudinales, motivacionales y afectivos que intervienen en el manejo y
seguimiento del propio aprendizaje.
Esta perspectiva, resulta interesante ya que no sólo se trata de conocer lo que el
alumno es capaz de hacer y demostrar en una prueba, sino ir más allá tratando de
entender como influyen otros factores no cognitivos en tal capacidad. Para el
presente estudio, resulta especialmente importante explorar la relación existente
entre factores que motivan y comprometen a los alumnos con la escuela y las
matemáticas (motivación) y las relaciones y creencias ante las matemáticas
(autoconcepto y la autoeficacia).
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PISA considera la motivación como la fuerza motriz del aprendizaje (INEE, 2007) y
explora los factores motivacionales en dos grupos, por un lado el interés y gusto por
las matemáticas o motivación intrínseca y, por el otro, la motivación instrumental o
extrínseca que es la producida por una recompensa externa por un buen
rendimiento escolar, como los elogios o las perspectivas futuras.
La motivación intrínseca tiene un gran peso en la actitud del estudiante hacia los
procesos de aprendizaje. Según PISA, en la mayoría de los estudiantes existe una
necesidad intrínseca para enfrentarse al medio ambiente lo que significa contar con
recursos motivacionales que contribuyan a una buena disposición para el
aprendizaje, por ejemplo definir sus propios objetivos, interpretar adecuadamente
el éxito o el fracaso escolar, y traducir los deseos e intereses en planes e
intenciones (Weinert, 1994, citado en el Informe PISA 2003). Las necesidades de
logro en un estudiante, se pueden identificar a partir de sus expectativas de éxito o
miedo al fracaso escolar, y de estados de motivación generados de manera
intrínseca o extrínseca. Los niveles de aprendizaje logrados están asociados
directamente con la disposición para aprender, además del dominio y utilización de
estrategias precisas (INEE, 2007).
Por su parte, la percepción de sí mismo respecto a las matemáticas -autoeficacia y
autoconcepto- también juega un papel importante en el aprendizaje de éstas. De
acuerdo con los estudios de PISA, los estudiantes forman conceptos sobre su propia
competencia y características durante sus procesos de aprendizaje. El autoconcepto
que el estudiante tenga respecto a sí mismo tiene un fuerte impacto en la manera
en que se plantea metas y objetivos, en las estrategias que usa y en sus logros de
aprendizaje (Zimmerman, 1999, citado en el Informe PISA 2003, citado en INEE,
2007). Hay dos formas de definir estas convicciones: en términos del grado en que
los estudiantes piensan que pueden resolver determinadas tareas difíciles de forma
eficaz –autoeficacia– (Bandura, 1994, citado en el Informe PISA 2003, citado en
INEE, 2007), y en términos de la percepción de lo que piensan acerca de sus
propias habilidades en matemáticas –autoconcepto– (Marsh, 1993, citado en el
Informe PISA 2003, citado en INEE, 2007). Estos dos conceptos están
estrechamente relacionados el uno con el otro.
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En el presente estudio entenderemos la autoeficacia, como la define el INEE (2007)
retomando a Bandura5 (1994); esto es, el juicio que hacen las personas de su
capacidad para llevar a cabo ciertas tareas y, por tanto, su sentido de eficacia
determina su elección en las actividades, igual que su nivel de aspiraciones, la
cantidad de esfuerzo invertido y la persistencia. La autoeficacia en las matemáticas
tiene que ver con la confianza necesaria del estudiante para superar con éxito
tareas específicas de aprendizaje. PISA parte del supuesto de que, las expectativas
de éxito en una tarea de aprendizaje están determinadas por el nivel de autoeficacia
del estudiante, cuanto más alto sea este nivel, más probabilidades de éxito y mayor
probabilidad de que se motive a realizar la tarea (INEE, 2007).
Por otra parte, el autoconcepto es definido por el INEE (2007) como la percepción
que tiene una persona sobre sí misma; en el ámbito educativo, esta percepción se
forma a través de las interpretaciones que el estudiante hace sobre las experiencias
que le ocurren y está influido especialmente por las evaluaciones que hacen de él
sus padres, otros familiares, sus profesores, sus amigos u otras personas que le
resultan significativos; involucra componentes emocionales, sociales, físicos y
académicos. En el marco de PISA, se parte de que la confianza en las capacidades
de uno mismo es altamente relevante para un aprendizaje eficaz, así como un
objetivo valioso por sí solo.
Como señalamos, PISA parte del supuesto de que estos factores no cognitivos
tienen un peso importante en la forma como el alumno se enfrenta al aprendizaje y
ello se relaciona con los resultados obtenidos en la resolución de problemas
matemáticos. En el presente estudio, realizaremos algunas exploraciones de este
tipo entre niños de 6to de primaria.
5 Bandura, (1994, citado en el Informe PISA 2003) se refiere a la autoeficacia como el sentimiento de
adecuación, eficiencia y competencia con el que se cuenta para enfrentar los retos y amenazas que, inevitablemente,
se presentan en la vida de cualquier persona. Quien se percibe como autoeficaz siente, que los acontecimientos no
dominarán inexorablemente su existencia, sino que tiene control sobre ellos y que siempre habrá la posibilidad de
cambiar, para bien, aquello que produce malestar o insatisfacción (INEE, 2007, p. 10).
25
4. MODELO DE MATEMÁTICAS CONSTRUCTIVAS CIME6
Una alternativa educativa para superar las deficiencias en los resultados de
aprendizaje de los estudiantes, que a su vez genera desgaste durante su estudio y
un impacto emocional negativo entre quienes tienen dificultad para aprenderlas, es
la propuesta por el Centro de Investigaciones de Modelos Educativos (CIME). Desde
la perspectiva de CIME, y en sintonía con las hallazgos de diversos autores (Alsina,
2007, Proenza y Leyva 2006; Godino y Batanero, 1994), su Modelo Constructivista
de Enseñanza de las Matemáticas tiene el propósito de lograr un aprendizaje de las
matemáticas amigable, interesante y divertido, al tiempo que estimula el desarrollo
de habilidades de pensamiento mediante la comprensión de los conceptos, de
manera natural y clara, y fortalece la autoconfianza al resolver problemas de
diversas formas. A tal efecto, dicho modelo contempla, entre otros, los siguientes
aspectos:
- Aprendizaje claro de los conceptos básicos.
- Desarrollo de las habilidades de pensamiento lógico.
- Confianza en sí mismos de su capacidad de aprendizaje.
- Comprensión de fórmulas y algoritmos matemáticos.
- Técnicas para despertar y mantener el interés de los alumnos.
- Métodos para una evaluación motivante y formativa.
- Secuencia y continuidad de los conocimientos matemáticos con una visión de
totalidades.
Este modelo fue diseñado inicialmente para el nivel de primaria. Actualmente, se ha
ampliado a los niveles de preescolar, secundaria, medio superior y superior. Como
modelo matemático, se fundamenta en la geometría, pero vista no como un tema
más del programa de matemáticas, sino como el punto de partida concreto que
sirve como ancla para que el estudiante acceda progresivamente al lenguaje
abstracto. El uso de los materiales, no sólo como apoyos didácticos, sino como
sistemas, permite llegar a la construcción de todos los conceptos y las relaciones
matemáticas básicas de manera integradora y continua, además de que la
combinación de ambos materiales favorece la combinación de los hemisferios
cerebrales de manera armónica.
6 Este apartado recoge ampliamente el texto de “Modelo Matemático Constructivista del CIME” elaborado
por Gustavo Saldaña, investigador y profesor del CIME.
26
Esta metodología coincide con el paradigma constructivista, revisado en el primer
apartado, en el que los niños aprenden a partir de una etapa concreta que da paso
a la etapa abstracta, a través de un proceso graduado de apropiación del
conocimiento. Con un enfoque constructivista, los procesos de enseñanza y de
aprendizaje parten de la creación de situaciones de aprendizaje (juegos, ejercicios,
problemas), para que, a través de la exploración los estudiantes generen hipótesis y
explicaciones, las presenten al grupo, las discutan y comprueben, para llegar a la
formalización de conceptos, procedimientos y fórmulas. De esta manera se llega al
desarrollo del pensamiento formal, a través de las etapas previas de la construcción
del conocimiento, según Piaget, que son la etapa concreta (manipulación y
observación) y la etapa de las operaciones concretas (verbalización y graficación),
para dar paso a la etapa abstracta, del lenguaje simbólico, representada
principalmente por el álgebra (Saldaña, s/f).
El enfoque del modelo constructivista persigue que los estudiantes construyan los
conceptos matemáticos a partir de la manipulación de los materiales concretos y de
preguntas y problemas planteados por el profesor y por ellos mismos. Por lo que se
vuelve a insistir que el dominio del docente es fundamental.
Está fundamentado en el constructivismo de Piaget, en el sentido de que el
conocimiento es siempre un proceso, lo que lleva a reconocerlo en construcción
permanente y no como un estado, como algo acabado y completo. Ese proceso que
implica el conocimiento, se va dando en la medida en que el sujeto cognoscente va
interactuando con el objeto de conocimiento, a través de acciones.
El Modelo parte del supuesto de que la acción es constitutiva de todo conocimiento.
Por medio de esquemas mentales el sujeto generaliza determinadas acciones para
repetirlas y aplicarlas a nuevos contenidos. La interacción del sujeto con el medio
nunca es pasiva, siempre se aproxima al objeto de conocimiento con una serie de
hipótesis, supuestos e interrogantes que se replantea a partir de lo que observa, es
decir procesos heurísticos.
A través de la manipulación de los materiales (regletas y geoplano) se genera la
interacción del estudiante con el objeto de conocimiento: las matemáticas, a fin de
probar sus hipótesis, validar o invalidar sus supuestos y responder a sus
interrogantes para construir sus conocimientos. La función del profesor deja de ser
la de transmitir contenidos a sus alumnos, con la típica exposición verbal, para
convertirse en guía de sus estudiantes, quien promueve la construcción y
deconstrucción de conocimientos.
27
En cuanto a la dimensión social, este modelo retoma las aportaciones del enfoque
sociocultural, cuyo principal representante es Vigotsky quien considera que la
actividad mental del niño está influida, desde el principio hasta el final, por sus
relaciones sociales con los adultos. Las principales actividades mentales son el
resultado del desarrollo social del niño, de donde surgen nuevos sistemas
funcionales cuyo origen debe buscarse en las formas de relación que el niño ha
tenido con el mundo de los adultos. Vigotsky afirma que el niño aprende a formular
sus propios deseos o intenciones, de modo ya independiente, primero con el
lenguaje externo y luego con el lenguaje interior. Llegando al final a la creación de
las formas superiores de la memoria intencional y la actividad deliberada. De esta
manera la actividad mental está tan ligada con el lenguaje que finalmente, éste se
convierte en la principal forma de actividad mental del niño, a través de la cual
construye sistemas funcionales complejos, que le permiten ir mucho más lejos de
los límites de su capacidad física y organizar formas bien definidas de
comportamiento activo y deliberado. Cuando el niño hace suyas las técnicas de
relación que le proponen los adultos, desarrolla sus capacidades, hábitos y actitudes
para modificar activamente el medio que actúa sobre él.
La verbalización recibe gran importancia en este modelo, así como la interacción del
profesor con los estudiantes a través de preguntas, indicaciones y sugerencias, para
hacer relevantes algunas situaciones o características, que quizá pasarían
inadvertidas por los estudiantes. En los intercambios de clase, los estudiantes
escuchan, observan y prueban soluciones propuestas por otros compañeros, lo que
les permite aprender de los más avanzados. Por medio de la socialización del
conocimiento, construyen un conocimiento social más complejo e integral.
CIME afirma que el lenguaje matemático se aprende en la interacción social. Como
todos los lenguajes, parte de principios convencionales. Los estudiantes aprenden el
lenguaje formal a partir de una base concreta, que está dada por la manipulación
del geoplano y las regletas, y se complementa con la verbalización en su lenguaje
natural. Una vez que se comprende el concepto, es más fácil reconocer el
convencionalismo y apropiárselo.
Los fundamentos teóricos del Modelo (paradigma psicogenético de Piaget,
sociocultural de Vigotsky, aprendizaje significativo de Ausubel) se presentan en el
Esquema Integrador de Bases Teóricas, una estructura matricial donde se muestran
los tres ejes conceptuales que lo fundamentan, en una secuencia correspondiente a
las tres etapas del proceso de construcción del conocimiento, de acuerdo a la
estructura propuesta por Piaget, aunque de manera simplificada. Estos tres ejes son
28
en primer lugar el racional, en sus etapas concreta, del pensamiento concreto y del
pensamiento formal; el segundo es el emocional, en las etapas de seguridad en uno
mismo, autoconfianza y autoestima; y el tercer eje es el motivacional, en las etapas
externa, heurística e interna.
Como puede apreciarse en el cuadro siguiente, las dos primeras etapas (la concreta
y la del pensamiento concreto) corresponden principalmente a la fase de
comprensión. Se trabaja más a nivel de la intuición, de la emoción, con
acercamientos y aproximaciones mentales, apoyados en la formación de imágenes y
esquemas mentales. La tercera etapa (del pensamiento formal) corresponde a la
fase de potenciación. Se intensifica la actividad que busca fortalecer estructuras
mentales y el desarrollo del principio de economía, para poder actuar con rapidez,
exactitud y con gran poder de generalización en cualquier tipo de problemas y
cantidades.
Cuadro 2. Fases y etapas de Modelo de Matemáticas Constructivas
EJES / ETAPAS RACIONAL EMOCIONAL MOTIVACIONAL
1ª etapa
Etapa concreta: • Exploración. • manipulación de
materiales. • Observación.
Seguridad en uno mismo: • claridad a partir de lo
concreto. • establecimiento de
relaciones. • comprobación.
Externa: • juego. • estar en actividad. • hacer, deshacer y
rehacer.
FASE DE
COMPREN
SION
2ª etapa
Etapa del pensamiento concreto: • búsqueda de
explicaciones. • verbalización. • Socialización.
Autoconfianza: • saberse capaz. • Certeza. • tener dominio sobre el
conocimiento.
Heurística: • cuestionamientos. • búsqueda y
descubrimiento. • prueba y error.
FASE DE
POTENCIACION
3ª etapa
Etapa del pensamiento formal (abstracta):
• lenguaje simbólico. • fórmulas y
procedimientos. • principio de
economía.
Autoestima: • buena imagen de uno
mismo. • sentirse bien consigo
mismo y con los demás.
Interna: • automotivación. • reto y logro. • éxito, satisfacción de
aprender. • apropiación del
conocimiento.
1º Etapa concreta: es la etapa de exploración, se da principalmente por medio del
juego, mediante la manipulación y la observación. Los materiales son muy
atractivos porque permiten estar en actividad y desarrollar la creatividad, a través
de la construcción, deconstrucción y reconstrucción. Se refuerza la seguridad en sí
mismos porque los conceptos y operaciones matemáticas tienen una referencia
29
concreta en los materiales, no se trata de fórmulas mágicas que el maestro les
presenta en el pizarrón y que deben “aprender” aunque no las entiendan, sino de
relaciones que ellos mismos descubren y comprenden. Se despierta la motivación
de los alumnos mediante el juego y se favorece la creatividad. Se aprovecha esta
situación inicial para entusiasmarlos, para destacar lo más notable de su trabajo,
para incentivar a los más tímidos o rezagados.
2º Etapa del pensamiento concreto: consiste en la búsqueda de explicaciones a
partir de las actividades, ejercicios y problemas propuestos por el profesor para
llegar a establecer los patrones y secuencias de las relaciones matemáticas, se da
principalmente a través de la verbalización y junto con la socialización, ya que la
construcción del conocimiento es un proceso personal, pero que se realiza
socialmente, en algunos temas también se da por medio de la graficación. El
alumno va adquiriendo confianza en sí mismo cuando se da cuenta de que es capaz
de descubrir conceptos y relaciones matemáticas, de comprobarlas y llegar a la
certeza de lo que está haciendo. La motivación va más lejos, a través del proceso
de investigación (los niños son investigadores natos), y consiste en la búsqueda de
diferentes caminos hasta llegar al descubrimiento; el tener errores, detectarlos y
corregirlos es parte del proceso de aprendizaje, el maestro siembra dudas,
cuestiona a los alumnos, procura no dar respuestas, sino plantear preguntas para
favorecer que ellos “descubran” los conocimientos.
3º Etapa del pensamiento formal (abstracta): consiste en la formalización de
los conocimientos por medio del lenguaje simbólico escrito (números, signos y su
acomodo), refleja los procesos mentales y constituye el cierre del proceso de
aprendizaje de cada sesión. Se manifiesta por la aplicación en los libros y cuadernos
de lo que antes fue manejado con el geoplano o las regletas, con la verbalización y
explicación que los mismos alumnos dan a sus compañeros, con sus propias
palabras, y la graficación en el pizarrón. Los alumnos aplican los conocimientos a
diversos problemas y son capaces de inventar otros. El álgebra, que constituye el
lenguaje propio de la matemática, a través del uso razonado de fórmulas,
algoritmos y ecuaciones, constituye la esencia de la fase de potenciación. Después
de haber logrado la comprensión en la fase anterior, se puede llegar al principio de
economía, que permite hacer uso del lenguaje formal de la matemática, para llegar
a los resultados con rapidez y exactitud, así como la capacidad de generalizar su
uso a todo tipo de problemas en diversidad de circunstancias. La autoestima se ve
reforzada por el éxito obtenido, por la buena autoimagen que cada quien va
construyendo. El alumno se siente bien consigo mismo y con los demás por la
sensación de seguridad en lo que uno mismo es capaz de lograr. La motivación se
30
mantiene y llega a un mayor nivel de profundidad, se transforma en una motivación
interna: la automotivación, derivada de la satisfacción que produce el superar retos
y obtener logros. El éxito y la satisfacción son los mayores motivadores que existen,
cuando son resultado de superar dificultades y poder llegar a la apropiación de los
conocimientos.
4.1. Materiales del MMC
El modelo está basado en la geometría, representada fundamentalmente por medio
de dos materiales que son el geoplano Didacta y las regletas Cuisenaire, que
favorecen la motivación y el interés de los alumnos, y les permiten llegar a los
conceptos de una manera clara y divertida, proporcionándoles seguridad y certeza,
gracias a que todos los resultados son comprobables.
Las regletas están basadas en el sistema métrico decimal y
materializan el concepto de decena. Relacionan cada
número del 1 al 10 con un tamaño y un color específico de
regleta. Así al 1 le corresponde un cubito de 1cm3, el 2 a
una regleta de 2cm3 y así sucesivamente hasta llegar al 10.
CIME señala que las regletas “construyen la noción del
número en función del contar, medir y relacionar. Siendo su
adecuado manejo una preparación magnífica para el
álgebra. Su trabajo se ubica primordialmente en el lado lineal
del cerebro”. El uso de las regletas y el geoplano apoya
principalmente la etapa concreta del método.
Con el geoplano se trabaja la geometría plana (de dos dimensiones) los conceptos
de unidad y de fracción, de igualdad y diferencia; la obtención de áreas y
perímetros de cuadrado, rectángulo, triángulos, polígonos regulares e irregulares, el
círculo, los ángulos y la trigonometría. Es un material “espacial” que favorece la
visión del lado derecho del cerebro, las habilidades de aproximación, estimación,
síntesis, así como la intuición y el acercamiento emocional. Con las regletas se
trabajan las nociones de cantidad, número y medida, así como las operaciones
básicas, de una manera concreta para irlas representando a través de formas
simbólicas congruentes con los símbolos gráficos del lenguaje algebraico.
Fotografía 1. Regletas
31
El Geoplano Didacta es un cuadrado de plástico, con dos
caras una cuadriculada y una circular. Sus medidas son 16 x
16cm. “El geoplano proporciona desde la base de la
geometría, un cimiento lógico de la estructura matemática.
Su influencia se ubica primordialmente en el lado espacial
del cerebro”.7
Adicionalmente, el método utiliza un libro diseñado ad hoc y otros materiales de
apoyo didáctico como son: el ábaco, el tangram (rompecabezas chino también
conocido como “siete mágico”) y los naipes, que sirven para realizar juegos y
problemas relacionados con temas específicos que requieran de un tratamiento
especial.
Los libros “Juguemos a contar y medir”, son libros de
matemáticas diseñados en base al modelo constructivista
CIME y estructurados de acuerdo al programa de la SEP. El
libro apoya el método en la parte formal o abstracta del
proceso.
El modelo permite rescatar el componente lúdico de las matemáticas a lo largo de
todo su aprendizaje, al mismo tiempo que mantiene constantemente la motivación a
través del reto que genera, y la satisfacción del logro. Se establece una situación de
competencia con uno mismo, para encontrar mejores formas de llegar a los
resultados correctos. Además de que siempre es posible encontrar un mayor grado
de dificultad en las operaciones y problemas matemáticos.
7 Pilar Morfin H., Francisco J. Gutiérrez E. y Eduardo Dueñez. Bloques de Información. Edit. Didacta Ayder
SCL, 4ta. edición, México 2002, p. 3
Fotografía 2. Geoplano Didacta
Fotografía 3. Libro “Juguemos a contar y medir”
32
DISEÑO METODOLÓGICO
Para cumplir con los objetivos del estudio, se diseñó una investigación evaluativa
con un importante alcance descriptivo, mediante el cual se buscó conocer
detalladamente las características presentes en la puesta en marcha de este
modelo: sus actores (directivos, maestros y alumnos), las estrategias pedagógicas,
las estrategias de capacitación y asesoría, y el aprovechamiento de los recursos
didácticos. Para tal efecto se busca dar respuesta a preguntas como las que siguen.
1. Preguntas
1. Cómo influye la gestión escolar en la puesta en marcha del MMC en las
instituciones?
2. ¿Cuán relevante y eficaz resulta la capacitación que brinda CIME para la
adecuada implementación del MMC en las escuelas?
3. ¿Qué nivel de dominio del MMC exhiben los maestros al ponerlo en práctica?
4. ¿Existen evidencias de un buen dominio de los contenidos de matemáticas
por parte de los maestros?
5. ¿Existe congruencia entre la práctica docente y el enfoque constructivista de
la enseñanza y el aprendizaje?
Adicionalmente el estudio contempla con un componente correlacional, para conocer
la relación que existe entre las variables que componen los constructos del MMC
(motivación, autoconcepto y autoeficacia) y el desempeño de los alumnos en la
solución de problemas matemáticos. Para ello se realizó un diseño cuasi-
experimental, con posprueba únicamente y grupo de control, para comparar los
constructos del MMC (motivación, autoconcepto, autoeficacia) y el desempeño en la
solución de problemas matemáticos y se sometieron a prueba las hipótesis
siguientes.
2. Hipótesis
1. La motivación, el autoconcepto y la autoeficacia de los alumnos que aprenden
matemáticas con base en el Modelo será más alta que la de aquellos que no
están expuestos al mismo.
33
2. Los alumnos que aprenden matemáticas con base en el Modelo presentan un
mejor desempeño en la solución de problemas que quienes no están
expuestos al mismo.
3. Los alumnos que presentan niveles más altos de motivación, de autoconcepto
y de autoeficacia obtienen un mejor desempeño en la solución de problemas.
4. Los alumnos de aquellas escuelas en las cuales se registra una mejor
ejecución del Modelo (clima escolar, capacitación de maestros, desempeño
docente, estrategias pedagógicas) alcanzan mejor desempeño en la solución
de problemas.
3. Categorías analíticas
Los resultados de la investigación evaluativa y las propuestas que de ésta se
derivan, suponen la descripción y el análisis de 6 categorías para cada una de las
etapas de la evaluación: 5 para los procesos de implementación del MMC, y 1 para
los resultados. El siguiente esquema presenta las categorías analíticas contempladas
en el estudio.
Esquema 3. Categorías analíticas
En el siguiente cuadro se presentan las categorías y las variables consideradas para
el análisis de los procesos y resultados.
EstrategiasPedagógicas
CIME
Desempeñodel
maestro
Capacitacióna
maestros
Climaescolar
Resultados:Calificación en
Resoluciónde problemas
Factorescognitivos
y no cognitivos
Categoríasanalíticas
EstrategiasPedagógicas
CIME
Desempeñodel
maestro
Capacitacióna
maestros
Climaescolar
Resultados:Calificación en
Resoluciónde problemas
Factorescognitivos
y no cognitivos
Categoríasanalíticas
34
Cuadro 3. Categorías analíticas y variables
Categoría
Variables
Clima escolar/ gestión escolar
1. Disponibilidad de tiempo para capacitación 2. Disponibilidad para recibir asesorías 3. Disponibilidad para incorporar los materiales que contempla el modelo.
Capacitación a maestros
1. Pertinencia de la capacitación recibida: - Responde a las necesidades de formación pedagógica de los maestros - Toma en cuenta sus intereses - Parte de sus experiencias y potencialidades. - La capacitación se lleva a cabo de acuerdo con un método constructivista
2. Eficacia de la capacitación recibida: - Los maestros comprenden las bases constructivistas del modelo - Los maestros comprenden los tres ejes que busca estimular el modelo: racional,
emocional, motivacional - Los maestros comprenden la importancia de estructurar la enseñanza en los momentos
de a) Exploración b) Verbalización y c) Formalización - Los maestros utilizan adecuadamente las regletas y las utilizan como material de
enseñanza - Los maestros utilizan adecuadamente el geoplano - Los maestros utilizan adecuadamente los libros
Desempeño del maestro
1. Edad 2. Escolaridad 3. Experiencia docente 4. Participación en la capacitación que brinda CIME 5. Sólido conocimiento de los temas de matemáticas que imparte. 6. Dominio del método CIME: - Conocimiento y uso del lenguaje - Conocimiento del momento en que se deben utilizar materiales, imágenes, algoritmos o
problemas. - Conocimiento del color, valor y letras de las regletas. - Conocimiento del uso del geoplano. - Conocimiento y manejo de trenes, disfraces, aviones. - Uso de los cuadernos de registro.
7. Planeación que considera el uso del material, conocimientos, actividades constructivistas y evaluación. Relación con contenidos de la SEP
8. Actitudes del maestro: - Percepciones sobre las contribuciones del modelo a la enseñanza de las matemáticas - Percepción sobre la facilidad para poner en práctica el modelo. - Percepciones sobre la utilidad y eficacia de los libros - Percepciones sobre la utilidad y eficacia del geoplano - Percepciones sobre la utilidad y eficacia de las regletas - Percepciones sobre la medida en la que facilita el aprendizaje de los alumnos - Expectativas de logro académico de los alumnos
Estrategias pedagógicas CIME
1. Las clases contemplan los momentos de : - Exploración - Verbalización - Formalización
2. Estrategias utilizadas en la fase de exploración: - El maestro propicia el juego o la actividad libre con los materiales: frecuencia y
aprovechamiento didáctico - El maestro propone actividades que recuperan los conocimientos previos de los alumnos:
frecuencia y aprovechamiento didáctico - Elaboración de preguntas que estimulen la exploración8
8 ¿quién puede hacer...?, ¿quién es capaz de...?, ¿quién pasa a hacer...?, ¿cuáles son las semejanzas?, ¿cuáles
son las diferencias?, ¿qué sería lo contrario?, ¿quién puede inventar un problema?, ¿de qué otra manera se podría
hacer?, ¿qué pasaría si le cambiamos...?
35
(Continuación cuadro 3) Categoría Variables
3. Estrategias utilizadas en la fase de verbalización: - Elaboración de preguntas que estimulen la verbalización9 - Otras actividades sugeridas por el maestro - Respuestas de los alumnos - Disponibilidad de los alumnos para responder - Capacidad de verbalización de los alumnos - Actitud del maestro frente a respuestas incorrectas - Actitud de los alumnos ante sus respuestas incorrectas y las de sus compañeros
4. Estrategias utilizadas en la fase de formalización: - Actividades sugeridas por el maestro para el uso de simbología (número, operaciones,
fórmulas) - Disponibilidad de los alumnos para realizar tareas que requieren abstracción - Capacidad de abstracción de los alumnos - Elaboración de preguntas que orienten la formalización10
5. Uso adecuado de: - Trenes= suma y resta - Rectángulos (Aviones) = productos - Torres = potencias - Cuadrados = producto cuadrado y raíz cuadrada - Disfraces - Reversibilidad - Solución de problemas: propuestos por el maestro, tomados de los libros, generados por
los alumnos - Otras
6. Secuencia de los temas estudiados 7. Frecuencia de los temas y ejercicios: Número de ejercicios por tema 8. Orden en el tratamiento de los temas de acuerdo con el libro “Juguemos a contar y medir”: 9. Los maestros atienden y resuelven las dudas de los alumnos 10. Los maestros relacionan los temas con situaciones cercanas a la realidad de los alumnos 11. Conclusión adecuada de un tema antes de iniciar otro 12. Estrategia de evaluación: - Oportuna corrección de trabajos y ejercicios - Tiempo dedicado a la corrección - Actividades de constatación de que los alumnos dominan las habilidades matemáticas
Factores cognitivos y no cognitivos
1. Habilidades de pensamiento 2. Motivación intrínseca: interés y gozo que los alumnos sienten por las matemáticas.
Extrínseca: expectativas sobre el uso o aplicación futura o actual de las matemáticas. 3. Auto eficacia en matemáticas: si creen que tienen la habilidad de aprender y aplicar
efectivamente situaciones relacionadas. 4. Auto concepto en matemáticas: si se sienten competentes en sus habilidades. 5. Percepciones sobre el trabajo escolar con materiales del MMC: - Gusto por las actividades con regletas - Gusto por las actividades con geoplano - Gusto por las actividades con el libro - Tipo de tareas que disfrutan hacer - Tipo de tareas que prefieren no hacer
Resultados de aprendizaje
1. Resultados de las escuelas CIME en la prueba ENLACE. 2. Habilidades de pensamiento: reversibilidad, flexibilidad, Pensamiento creativo, aplicación a
casos reales (extrapolación), abstracción a través del lenguaje algebraico 3. Habilidad de solución de problemas
9 ¿quién quiere platicar como lo hizo?, ¿cómo sabes que esto es así?, ¿para qué sirve saber esto?, ¿qué
significa lo que hiciste?, ¿alguien lo hizo de otra manera?, ¿qué relación hay entre _______ y _______ ?, ¿esto es
como...?, ¿esto es lo mismo que...?, ¿qué es lo interesante de...?, ¿esto es parte de...?, ¿esto incluye a...?, ¿cómo lo
sabes?, ¿cuál es mayor?, ¿cuál es menor?, ¿qué elementos contiene?, ¿qué sigue después de...?, ¿cuál estaba antes...?,
¿cuánto le falta para...?, ¿cómo llegaste a este resultado?, ¿puedes dividirlo en partes iguales?, ¿puedes hacerlo de
otra forma? 10
¿cómo lo puedes demostrar...?, ¿en dónde lo puedes aplicar?, ¿en qué otra área lo puedes utilizar?, ¿cómo se
puede medir esto?, ¿cómo se puede escribir lo que hiciste?, ¿cuál fue tu estrategia?, ¿quién tiene otra estrategia?
36
3. Enfoque metodológico
En el estudio se utilizó un enfoque mixto, cualitativo y cuantitativo, propio de las
ciencias sociales. El enfoque cualitativo, permitió analizar la manera en la que se
ponen en práctica las orientaciones pedagógicas del MMC para estimular el
aprendizaje de las matemáticas e identificar, mediante la observación en clase, los
factores que facilitan u obstaculizan su ejecución, con el interés de conocer la
realidad cotidiana del empleo de los materiales del MMC en clase; es decir, conocer
in situ los procesos mediante los cuales se lleva a cabo la implementación del MMC.
El enfoque cuantitativo, permitió valorar el logro educativo y el desempeño en el
área de matemáticas de la población objeto de estudio, con el fin de conocer las
generalidades y particularidades de las distintas dimensiones que componen el
esquema analítico de nuestro estudio. Se buscó describir la población estudiada en
sus dimensiones generales y las relaciones entre las variables seleccionadas.
La integración de ambos enfoques permitió describir y explicar los procesos de
implementación del MMC, y valorar la contribución del MMC en el aprendizaje de las
matemáticas.
4. Muestra y grupos de sujetos
4.1. Muestra de escuelas
La muestra está conformada por 10 escuelas particulares de la Zona Metropolitana
de la Ciudad de México que han llevado el Método de Matemáticas Constructivas
bajo los 3 criterios de selección siguientes: i) la correcta implementación del MMC y
el uso de los tres materiales básicos, ii) que sus maestros hayan tomado al menos
un curso de capacitación y, iii) que los profesores hayan recibido asesorías por parte
de CIME. Un factor determinante en la selección fue la disponibilidad de las escuelas
en términos administrativos y del calendario escolar, además del ambiente
académico e interpersonal al interior de la escuela.
Asimismo, se seleccionaron 5 escuelas particulares que fungieron como “Control”,
mismas que no han llevado hasta ahora el MMC y que cuentan con un perfil similar
37
a las 10 escuelas CIME seleccionadas. Su papel fue estrictamente el de comparación
en el desempeño logrado en la prueba de conocimientos.
El cuadro siguiente presenta las escuelas seleccionadas en la muestra y la
población:
Cuadro 4. Escuelas seleccionadas en la muestra
Escuela CIME Escuela Control
1. Comunidad Educativa Hispanoamericana 1. Escuela Ameyalli
2. Centro Escolar Akela 2. Centro Escolar Elodia Ramos 3. Centro Escolar del Paseo 3. Colegio México 4. Colegio La Salle de Seglares 4. Colegio Wilfrido Massieu 5. Colegio Gandhi 5. Colegio J. M. Luis Mora 6. Centro Pedagógico Cintrón 7. Colegio Lic. Justo Sierra Méndez 8. Centro Escolar Yaocalli 9. Centro Escolar Emma Willard 10. Colegio Tekax
4.2. Grupos de sujetos
Se definieron cuatro grupos de sujetos:
1. Alumnos de 6to. grado de primaria de las escuelas en las que se lleva el MMC:
Se tomó en cuenta a todos los alumnos y grupos de 6to grado de cada una de
las 10 escuelas (415 sujetos).
2. Alumnos de 6to. grado de primaria de las escuelas control: Se tomó en cuenta a
los alumnos de un grupo de 6to grado de cada una de las 5 escuelas control
(139 sujetos).
3. Maestros de primaria de todos los grados de las escuelas en las que se lleva el
MMC: Se tomó en cuenta a todos los maestros de cada una de las 10 escuelas
(83 sujetos).
4. Maestros que reciben los cursos de capacitación CIME: Se seleccionó a un grupo
de maestros que estaban tomando el curso básico 1 durante noviembre 2007
(24 sujetos)
38
5. Métodos y técnicas para recolectar la información
El diseño de las técnicas de investigación se llevó a cabo a partir de la investigación
documental que implicó la revisión de información generada por el Centro de
Investigación de Modelos Educativos, se analizó el Método de Matemáticas
Constructivas, se revisaron y analizaron los principales referentes conceptuales
(fundamentos epistemológicos, propuestas didácticas, factores cognitivos y no
cognitivos en el aprendizaje de las matemáticas) e investigaciones y evaluaciones
nacionales e internacionales sobre la enseñanza de las matemáticas (PISA, EXCALE,
ENLACE). Posteriormente se diseñaron y elaboraron las técnicas e instrumentos y se
pilotearon estos últimos.
El trabajo de campo se llevó a cabo durante el periodo febrero a junio de 2008. Se
aplicaron los siguientes instrumentos y técnicas:
• Cuestionarios. Se aplicaron 661 cuestionarios: 554 a alumnos de 6to grado
de primaria (415 alumnos de escuelas CIME y 139 alumnos de escuelas
control), y 107 a profesores (83 profesores de escuelas CIME y 24 profesores
que reciben la capacitación CIME).
• Observación de clases. Se llevaron a cabo 26 eventos de observación de
clases en las escuelas CIME.
• Observación de la capacitación. Se llevaron a cabo 2 eventos de
observación de cursos de capacitación de CIME.
• Prueba de conocimientos. Se aplicaron 554 pruebas de conocimientos de
problemas matemáticos CIME y tipo Olimpíadas, a los alumnos de 6to grado
de primaria (415 alumnos de escuelas CIME y 139 alumnos de escuelas
control). La prueba se aplicó hacia finales del ciclo escolar 2007-2008,
durante los meses de mayo y junio, con la intención de permitir que los
alumnos tuvieran un avance sustancial en la cobertura del programa
correspondiente a 6to grado.
El siguiente cuadro presenta los instrumentos aplicados durante el trabajo de
campo:
39
Cuadro 5. Técnicas e instrumentos para la recolección de información Técnicas e instrumento Dimensiones Cantidad
Cuestionario de alumnos de escuelas CIME Factores contextuales, motivación, autoconcepto, autoeficacia, percepción de práctica docente
415
Cuestionario de alumnos de escuela control Motivación, autoconcepto, autoeficacia 139
Cuestionario de profesores de escuelas CIME Clima escolar, dominio del MMC y percepción de eficacia
83
Cuestionario de capacitación CIME Percepción general del curso de capacitación CIME 24
Guías de observación de clases Puesta en marcha del MMC 26
Guías de observación de capacitación CIME Puesta en marcha del curso de capacitación CIME 2
Prueba de conocimientos de escuelas CIME Problemas matemáticos CIME y tipo Olimpiadas 415
Prueba de conocimientos de escuelas control Problemas matemáticos CIME y tipo Olimpiadas 139
Los instrumentos se encuentran disponibles en el anexo metodológico para su
consulta.
A continuación se presenta un cuadro resumen con las categorías de análisis, los
grupos de sujetos y los instrumentos para recolectar la información de campo:
Cuadro 6. Relación entre categorías de análisis, sujetos e instrumentos
Categoría de análisis Sujetos Instrumentos 1. Clima escolar 2. Resultados 3. Factores cognitivos y no cognitivos
Alumnos de 6to. grado de escuelas MMC
→ Cuestionario de alumnos → Prueba de conocimientos
1. Resultados 2. Factores cognitivos y no cognitivos
Alumnos de 6to. grado de escuelas control
→ Cuestionario de alumnos escuelas control
→ Prueba de conocimientos 1. Capacitación de los maestros 2. Gestión escolar 3. Estrategias pedagógicas 4. Desempeño del maestro
Profesores de todos los grados de escuelas MMC
→ Cuestionario de profesores → Guías de observación de clases
1. Capacitación de los maestros 2. Estrategias pedagógicas
Profesores que participan en la capacitación
→ Cuestionario de capacitación → Guías de observación de la
capacitación
6. Análisis de la información
Se procesó y analizó la información proveniente de los cuestionarios, la prueba de
conocimientos, las entrevistas y las guías de observación con el apoyo del Programa
Estadístico para las Ciencias Sociales (SPSS), para el análisis cuantitativo; y del
40
Programa Atlas ti, para el análisis cualitativo, de acuerdo con el nivel de medición
de las variables. A continuación se presenta una breve síntesis de los elementos
más importantes del procedimiento analítico.
1. Para el análisis de las observaciones se tomaron en cuenta las categorías
siguientes: a) Etapas del MMC: Exploración, Verbalización y Formalización, b)
Desarrollo de habilidades lógicas de pensamiento: Reversibilidad,
Flexibilidad de Pensamiento, Aplicación a casos reales, Pensamiento creativo
(creatividad), Abstracción a través del lenguaje algebraico c) Estrategias
pedagógicas: resolución de dudas, motivación, seguridad en sí mismos,
estrategias de evaluación, manejo del error, d) Manejo de materiales CIME:
regletas, geoplano, libro, e) Disciplina general.
2. El análisis estadístico abarcó la descripción de frecuencias y cruces de las variables relevantes.
a) Antecedentes personales: familiares, escolares y de contexto, hábitos de
estudio, b) Escuela. CIME y Control, c) Gestión escolar, d) Capacitación a
maestros, e) Práctica docente: se construyó una variable compuesta por 12
ítems, f) Estrategias pedagógicas CIME, g) Motivación: se construyó una
variable compuesta por 10 ítems, h) Autoconcepto: se construyó una variable
compuesta por 10 ítems, i) Autoeficacia: se construyó una variable compuesta
por 10 ítems, j) Actitud frente a la resolución de problemas: Se construyó
una variable compuesta por 10 ítems, k) Resolución de problemas en
prueba escrita.
2.1 Comparación de medias entre motivación, autoconcepto, autoeficacia,
desempeño docente y desempeño en la prueba.
2.2 Comparación entre escuelas CIME y No_CIME en torno a motivación,
autoconcepto, autoeficacia y desempeño docente.
2.3 Comparación de desempeño en la prueba por las escuelas CIME y No_CIME (T
de Student).
2.4 Comparación de las calificaciones de las escuelas CIME y No_CIME y de
ENLACE.
2.5 Comparación entre escuelas CIME apegadas al MMMC y alejadas del mismo y su
desempeño en la prueba.
41
LOS PROCESOS: PUESTA EN MARCHA DEL MMC
1. LA GESTIÓN ESCOLAR
En este ámbito se indagó cuál es el apoyo de las autoridades escolares para difundir
el Método de Matemáticas Constructivas CIME. Para ello se exploraron las opiniones
de los maestros en torno a aspectos básicos de la gestión escolar: permitir que los
docentes asistan a la capacitación CIME, solicitar las asesorías necesarias brindadas
por el personal de CIME, asegurar que todos los alumnos tengan los materiales
básicos, así como la confianza de las autoridades hacia el método como una buena
opción para mejorar el aprendizaje de las matemáticas en sus estudiantes.
La gran mayoría (98%) de los docentes reporta que cuentan con el apoyo de sus
escuelas para asistir a los cursos de capacitación que ofrece CIME. Proporciones
similares reportan que las escuelas fomentan la asistencia de asesores para apoyar
su trabajo en el aula, procuran que los alumnos cuenten con los materiales que
recomienda el método como son las regletas, el geoplano y el libro “Juguemos a
contar y medir” de CIME. Del mismo modo, el 97% de los maestros afirmó que las
escuelas sienten confianza hacia el mejoramiento del aprendizaje de los alumnos
por medio del método CIME.
2. LA CAPACITACIÓN DE LOS MAESTROS
Para facilitar la implementación del MMC en las aulas, CIME ofrece capacitación a los
maestros la cual tiene como objetivos centrales los siguientes:
• Formar a los profesores para hacer de la matemática un medio de desarrollo
de las habilidades de pensamiento y de fortalecimiento de la salud emocional
de sus estudiantes.
• Que los profesores adquieran una preparación que favorezca, entre otras
cosas: la seguridad en sí mismos, la autoconfianza y la autoestima, a través
de la convicción de saberse capaces de aprender y tener el dominio de los
conocimientos, particularmente de la matemática.
• Que los asistentes desarrollen y complementen sus habilidades como
maestros constructivistas: tener claridad de los objetivos de la educación,
42
despertar el interés, favorecer la comunicación y el trabajo en equipo, la
autoestima y el compromiso.
Actualmente, CIME cuenta con tres cursos de capacitación básica para primaria –de
diez horas cada uno-, un taller para preescolar –de quince horas-, otro más de
secundaria –de veinticinco horas-, un curso de planeación didáctica con elementos
del MMC y de la SEP –diez horas- y un diplomado –de ciento cincuenta horas-, en el
que se espera que los maestros se familiaricen o bien profundicen en el
conocimiento y dominio del Método de Matemáticas Constructivas. Adicionalmente,
en algunas ocasiones, cuando la demanda es la suficiente, se ofrece un curso de
Olimpiadas Matemáticas, en el que se trabaja con resolución de problemas y
desarrollo de habilidades en problemas del tipo de olimpiadas matemáticas.
Con el fin de averiguar si los cursos de capacitación resultan pertinentes y eficaces
con los objetivos que plantea CIME, se rastrearon las opiniones de los profesores
que estaban tomando el curso Básico 1. Al respecto, encontramos que nueve de
cada diez de los profesores encuestados opinan que el curso le ayudó a mejorar sus
estrategias pedagógicas para enseñar las matemáticas, además de que tomó en
cuenta sus conocimientos y experiencia docente. En términos de la pedagogía
constructivista que se busca propiciar por medio de los cursos de capacitación, se
observa que un 22.7% de los profesores opina que el curso que tomó no fue
suficiente para comprender mejor el enfoque constructivista, aun cuando el 90%
considera que el curso que tomó estuvo efectivamente basado en una pedagogía
constructivista.
Las opiniones en torno a la pertinencia del curso fueron bastante favorables,
giraban en torno a las bondades del MMC, su utilidad y la capacidad para lograr un
aprendizaje significativo de los alumnos, además de que los maestros consolidaran
sus competencias para favorecer el desarrollo de factores tanto cognitivos como no
cognitivos que comprende el MMC. Los maestros asistentes al curso de capacitación,
tuvieron la oportunidad de experimentar los procesos de aprendizaje y de desarrollo
de habilidades de pensamiento que fomenta CIME:
M: Vamos a jugar con regletas
¿Han escuchado del porcentaje? ¿Dónde se usa?
A: En las ofertas, en créditos
M: ¿En qué otro lugar?
A: En el contenido de la comida, en productos líquidos
M: ¿Vimos la semana pasada de dónde salió?
43
A: Sí, lo vimos con los alumnos y las regletas que es cuánto de cada 100
M: En su lado rectilíneo de su geoplano marquen el 100% ¿Quién puede
marcar el 50% con una línea? ¿Qué se toma en cuenta? ¿Los
perimetrales? ¿Cómo se hace?
A: ¡Con una liga!
M: ¡Bien!
En el ejemplo anterior se observa que la maestra que dirige el curso de
capacitación, comienza por una actividad dirigida para revisar el tema de
porcentajes, por medio de las preguntas las maestras participantes del curso van
acercándose a introducir el tema, tal y como se lleva a cabo la etapa de la
exploración.
Ahora bien, prácticamente la totalidad de los maestros de las escuelas CIME ha
tomado algún curso. El 96% tomó el curso básico 1, el 59% el curso 2, mientras
que el 39% el tercero. Vale la pena destacar que el 42% tomó el diplomado, lo que
da cuenta de un intenso interés de este grupo de maestros por capacitarse, pues
conviene advertir que éste se realiza durante los fines de semana.
La capacitación recibida fue calificada de manera óptima por lo maestros. Para más
del 95% los cursos cubrieron las expectativas, se basaron en una pedagogía
constructivista, sentaron bases para una mejor comprensión de dicho enfoque, de
igual forma ayudaron a mejorar las estrategias pedagógicas para enseñar
matemáticas y resolver problemas o dudas al respecto. A pesar de la alta
calificación, conviene tener presente que uno de cada diez maestros considera que
en los cursos no se tomaron en cuenta sus conocimientos y experiencia docente y,
en general, se advierte que tomar un curso es insuficiente para aplicar el método
CIME.
En relación con las necesidades de capacitación, 32 maestros de una muestra de 76
(42%) manifestó necesitar una mayor capacitación en temas específicos y su
tratamiento a través del MMC -operaciones matemáticas básicas, equivalencias en
el sistema métrico decimal, fracciones, productos para 5° y 6°- y la forma de
aprovechar las regletas y geoplano con dichos temas. Una menor proporción (39%)
manifiesta interés por tener más capacitación sobre las estrategias pedagógicas que
implica el método, bien sea para profundizar en éstas o para aclarar dudas que
quedaron pendientes en los cursos recibidos –pasar del hecho de que a los alumnos
sólo les interesa jugar con los materiales a su aprovechamiento didáctico-. Las
44
demandas del grupo restante (18%) se refieren a dudas en el manejo de los
materiales que comprende el MMC.
Al mismo tiempo, poco más de la mitad de los maestros encuestados (39) considera
que son necesarias las asesorías como acompañamiento al trabajo docente para
facilitar la comprensión de los temas que son claves y cómo se trabajan con los
materiales, o bien con la intención de afianzar lo aprendido en los cursos de
capacitación. Tres de cada diez maestros encuestados manifiestan tener
necesidades específicas de asesorías en ciertos temas que comprenden el programa
del curso que tienen a su cargo y su vinculación con los materiales CIME.
Una de las herramientas que CIME pone a disposición de las escuelas son las
evaluaciones bimestrales -de dos tipos, ordinarias y complementarias-. El propósito
de estas evaluaciones es monitorear el rendimiento por temas específicos, para ello
se realiza un análisis comparativo entre las capacidades de resolución de problemas
que se espera que los niños hayan desarrollado hasta ese momento y las áreas de
oportunidad, entendidas como los temas o competencias en las que se tiene que
trabajar mucho más. Estas permiten obtener información útil acerca de la
capacitación y asesoría que requieren los maestros para llegar a una
retroalimentación de los procesos de enseñanza y de aprendizaje.
De los profesores que sí recibieron capacitación, el 89.7% afirmó que las
evaluaciones bimestrales ordinarias tienen un muy alto nivel de utilidad, mientras
que con relación a las complementarias, la proporción que así lo afirmó es un tanto
menor (83.9%). En el anexo 4 se ofrece información desglosada por escuelas.
3. LA PRÁCTICA DOCENTE
La descripción de la práctica docente aborda elementos relacionados con el perfil del
grupo de maestros, sus opiniones sobre aspectos relacionados con la enseñanza de
las matemáticas (aprendizaje de alumnos, estrategias didácticas y de evaluación),
su opinión acerca de la eficacia del MMC, así como el conocimiento y aplicación del
mismo en el aula.
45
3.1. Perfil y modelo docente
Los maestros que participaron en este estudio, en su mayoría han cursado una
licenciatura (56%) o cuentan con estudios de Normal Básica completa (20%),
mientras que sólo el 13.6% cuenta con un posgrado; el resto no culminó alguna
modalidad de educación superior (10.4%). En relación con el género, no es de
sorprender que nueve de cada diez sean mujeres, hemos observado una gran
tendencia hacia la feminización de la planta docente en educación básica.
La muestra de maestros participantes en este estudio tiene una amplia experiencia
en el ejercicio de la docencia: 56% declaró dedicarse a esta labor desde hace once
años o más y, de ellos, la mayor parte (38.4%) cuenta con más de 21 años de
trayectoria docente. La quinta parte (20.5%) tiene entre 6 y 10 años dando clases y
menos de la cuarta parte tiene sólo entre 1 y 5 años.
Cuadro 7. Años de experiencia como docente de primaria
Años de experiencia %
De 1 a 5 años 23.3
De 6 a 10 años 20.5
De 11 a 20 años 17.8
21 o más años 38.4
Respecto de la práctica docente en la cotidianidad de las clases, los maestros se
perciben a sí mismos como agentes facilitadores del proceso de aprendizaje. Buena
parte de ellos expresa consideraciones en torno a la didáctica que están cercanas al
enfoque constructivista de la enseñanza y el aprendizaje.
Existe una gran aceptación entre los maestros acerca de la importancia de iniciar la
clase con actividades libres que estimulen la curiosidad y actividad mental de los
niños (98.4%); así como sobre el beneficio de los juegos en el proceso de
aprendizaje (98.5%). Esta misma tendencia se presenta entre las opiniones de
prácticamente todos los maestros acerca de la importancia de que los alumnos
expliquen y razonen sus procedimientos como una estrategia de verbalización que
facilita la asimilación –y acomodación- de nuevas ideas. Coinciden también en que
pueden relacionar los temas abordados en clases con la vida cotidiana de los
alumnos, estrategia que busca impactar en aprendizaje significativo.
46
Cuadro 8. Opiniones de los maestros acerca de su práctica docente
Consideraciones didácticas Opinión %
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 1.6 1. Al iniciar la clase, conviene que los alumnos desarrollen una actividad libre que los motive al trabajo De acuerdo / muy de acuerdo 98.4
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 1.5 2. El juego propicia la comprensión de las situaciones matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 98.5 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 1.5 3. Frecuentemente invito a mis alumnos a platicar sobre sus procedimientos
y resultados De acuerdo / muy de acuerdo 98.5 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 0.0 4. Es muy importante que los alumnos expliquen y razonen sus propios
procedimientos De acuerdo / muy de acuerdo 100.0 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 4.6 5. Por lo general, los alumnos ofrecen explicaciones válidas sobre la
solución de los problemas De acuerdo / muy de acuerdo 95.4 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 0.0 6. En lo posible trato de relacionar los temas con situaciones cercanas a la
realidad de mis alumnos De acuerdo / muy de acuerdo 100.0 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 87.5 7. Por lo general, no tengo tiempo para resolver las dudas de mis alumnos De acuerdo / muy de acuerdo 12.5 Muy en desacuerdo / en desacuerdo 60.0 8. Los alumnos generalmente no tienen idea sobre los temas a estudiar por
lo tanto se debe fijar los conceptos al principio De acuerdo / muy de acuerdo 40.0
Al explorar la disponibilidad de los maestros para resolver las dudas de los alumnos,
una alta proporción (87.5%) afirmó que sí tiene el tiempo para hacerlo.
En cambio, en torno al principio básico del constructivismo que recomienda
recuperar conocimientos previos para facilitar la asimilación de los nuevos, hay
menor coincidencia, sólo el 60% cree que los alumnos sí tienen ideas que pueden
vincularse con los diferentes temas trabajados en clase.
Como una manera de tener una aproximación más certera en este tema,
consultamos las opiniones de los alumnos sobre la práctica de sus maestros. El
cuadro siguiente recoge tales opiniones y permite hacer comparaciones entre lo que
piensan los alumnos de las escuelas CIME y los no que no.
Cuadro 9. Opiniones de los alumnos acerca de la práctica de sus maestros
Consideraciones didácticas Opinión CIME % Control %
Nunca / pocas veces 17.9 20.1 Pone ejercicios y nos anima a dar nuestras sugerencias para llegar al resultado Siempre / casi siempre 82.1 79.9
Nunca / pocas veces 14.5 38.8 Nos pasa al frente frecuentemente para explicar cómo resolvimos un problema Siempre / casi siempre 85.5 61.2
Nunca / pocas veces 9.0 20.1 Pregunta si hay otras formas de llegar al resultado Siempre / casi siempre 91.0 79.9 Nunca / pocas veces 19.0 28.8 Nos hace preguntas para ayudarnos a encontrar la respuesta Siempre / casi siempre 81.0 71.2 Nunca / pocas veces 51.6 82.0 Nos pide inventar problemas matemáticos Siempre / casi siempre 48.4 17.3 Nunca / pocas veces 73.6 79.9 Nos pone juegos y actividades libres Siempre / casi siempre 26.4 18.0
A través de las opiniones de los alumnos, se percibe un énfasis en la búsqueda de
estrategias para resolver problemas y, especialmente, en el razonamiento sobre
47
estas tareas y situaciones que dan cuenta de un trabajo estimulante en el campo de
las matemáticas. Una muestra de ello son las afirmaciones de que el maestro “pone
ejercicios y nos anima a dar nuestras sugerencias para llegar al resultado” y “nos
hace preguntas para ayudarnos a encontrar la respuesta”. Llama la atención la
diferencia en las proporciones de niños CIME y Control que están de acuerdo con
estas afirmaciones, por lo general la actitud es más favorable entre los primeros por
diferencias que pueden llegar a los veinte puntos porcentuales.
Un dato que debe tenerse en cuenta es la enorme diferencia que existe entre las
opiniones de los maestros y alumnos acerca de la puesta en práctica de juegos y
actividades libres en el salón de clases, mientras que la casi totalidad de los
maestros afirma estar de acuerdo con esta estrategia didáctica, sólo poco más de la
cuarta parte de los alumnos reconoce que se hace con frecuencia en su salón. Este
punto será retomado más adelante.
Con los datos analizados, podemos afirmar que los profesores de las escuelas de la
muestra tienen gran experiencia en el área docente de educación primaria. Afirman
que en su práctica cotidiana están atentos al proceso de aprendizaje de los alumnos
y a sus necesidades. Los maestros parecen conocer y aceptar algunos principios
constructivistas que pueden facilitar la enseñanza de las matemáticas con el modelo
propuesto por CIME.
3.2. Conocimiento e implementación del Modelo de Matemáticas Constructivas
En primer lugar, es importante considerar que la mitad de la población encuestada
tiene de 2 a 3 años trabajando con el MMC, el 27.7% cuenta con 4 años o más de
experiencia y sólo 21.5% son usuarios muy recientes del mismo, ya que han
trabajado con él un año o menos.
Cuadro 10. Antigüedad en el uso del MMC
Años %
1 o menos 21.5
De 2 a 3 50.8
4 o más 27.7
En cuanto a las percepciones de los docentes sobre el MMC, encontramos que todos
los maestros y maestras encuestados están de acuerdo en que el método MMC
facilita el aprendizaje de las matemáticas. Más del 97% piensa que los materiales -
regletas y geoplano- son útiles y eficaces, así como fáciles de aplicar en su práctica.
48
Del mismo modo, la gran mayoría (92.1%) exhibe mucha confianza en las bondades
didácticas del MMC al opinar que todos los alumnos son capaces de comprender
matemáticas a través de esta metodología.
Cuadro 11. Percepción sobre la eficacia del MMC
Utilidad del MMC %
Nulo / Deficiente 0.0 Facilita el aprendizaje de las matemáticas Suficiente /Óptimo 100 Nulo / Deficiente 2.7 Utilidad y eficacia de los libros Suficiente /Óptimo 97.3 Nulo / Deficiente 1.3 Utilidad y eficacia de las regletas Suficiente /Óptimo 98.7 Nulo / Deficiente 1.3 Facilidad para ponerlo en práctica Suficiente /Óptimo 98.7 Nulo / Deficiente 7.9 Todos los alumnos son capaces de lograr la
comprensión de las matemáticas a través de esta metodología Suficiente /Óptimo 92.1
Una gran proporción de la población afirma conocer, comprender y dominar los
distintos elementos del MMC: 98.7% comprende sus bases constructivas, el 97.4%
conoce los momentos en que se deben usar las regletas para cada tema específico.
Entre el 93% y 95% declaró manejar de forma óptima materiales tales como el libro
y el geoplano, así como los momentos en que se deben emplear materiales,
imágenes, algoritmos o problemas propuestos por el MMC.
Cuadro 12. Percepción de los maestros sobre su dominio del MMC
Elementos del dominio del MMC %
Nulo / Deficiente 1.3 Comprensión de las bases constructivas del método Suficiente /Óptimo 98.7 Nulo / Deficiente 6.7 Conocimiento del momento en que se deben utilizar materiales,
imágenes, algoritmos o problemas Suficiente /Óptimo 93.3 Nulo / Deficiente 2.6 Conocimiento de las regletas para usarlas en los distintos temas
del programa de mi grado Suficiente /Óptimo 97.4 Nulo / Deficiente 5.3 Conocimiento del geoplano para usarlo en los distintos temas del
programa de mi grado Suficiente /Óptimo 94.7 Nulo / Deficiente 5.3 Aprovechamiento del libro "juguemos a contar y a medir" Suficiente /Óptimo 94.7
Estos datos dibujan un panorama de aceptación del MMC por parte de los maestros,
se aprecia que 9 de cada 10 tienen una opinión favorable de las posibilidades de
mejorar el aprendizaje por medio de la metodología propuesta por el CIME. Los
maestros y maestras consideran tener un buen conocimiento de los principios de la
metodología constructivista que propone CIME. En general, no se registran
diferencias importantes entre las opiniones de los maestros de las diferentes
escuelas del estudio.
49
Para cotejar tales apreciaciones con la puesta en la práctica de las orientaciones del
MMC, se pidió a los maestros que definieran y explicaran las características
esenciales de cada una de sus etapas. Evaluamos si los profesores eran capaces de
nombrar y definir o describir cada una las etapas: exploración, verbalización y
formalización.
Los resultados muestran que en general hay un amplio conocimiento de las etapas
del MMC por parte de los maestros, al menos en el plano declarativo o conceptual.
La exploración es la etapa que conoce y describe de manera óptima una alta
proporción de maestros (72%), mientras que la verbalización y la formalización es
conocida de manera óptima por proporciones menores pero cercanas a la mitad de
la muestra (43.7% y 46.6% respectivamente).
Cuadro 13. Nivel de conocimiento de los maestros acerca de las etapas del MMC
Etapas Nivel de conocimiento %
Nulo 6.7 Deficiente 8.0 Suficiente 13.3
Exploración
Óptimo 72.0 Nulo 12.7 Deficiente 14.1 Suficiente 29.6
Verbalización
Óptimo 43.7 Nulo 6.8 Deficiente 12.3 Suficiente 34.2
Formalización
Óptimo 46.6
Como puede verse, el 12.7% de profesores no tiene idea alguna sobre lo que
significa la verbalización y lo mismo ocurre para la formalización con el 6.8% de los
maestros. Al explorar el peso que podría tener el factor antigüedad en el uso del
MMC sobre el dominio de sus etapas, no se halló una relación estadísticamente
significativa. En el anexo 1 se presentan los resultados a detalle por escuelas.
Es importante hacer notar la diferencia existente entre las percepciones de los
maestros sobre su nivel de conocimientos del método y el grado real mostrado en
este reactivo. Al comparar lo que declararon con lo que mostraron en el
cuestionario, resulta que más del 93% considera tener un buen manejo, sin
embargo, los datos obtenidos acerca del manejo conceptual o declarativo de sus
etapas indica que son menores las proporciones de maestros que alcanzan niveles
óptimos. De esto puede desprenderse la necesidad de incrementar la capacitación
docente y la reflexión sobre su propia práctica.
50
Con el fin de profundizar sobre el dominio de las etapas se solicitó a los maestros el
diseño didáctico de ejercicios basados en el MMC para trabajar temas específicos de
matemáticas, tal ejercicio tenía la finalidad de analizar el desempeño de los
maestros en una tarea que combina los conocimientos declarativos y
procedimentales del MMC en el ámbito de las matemáticas. Es decir, tal solicitud
tiene como objetivo valorar si los maestros tienen un buen manejo de ciertos temas
matemáticos y si pueden relacionarlos con los principios y orientaciones
pedagógicas del modelo. Para cada una de las etapas se realizó una pregunta,
correspondiente a los temas que se manejan en la primaria baja (1º, 2º y 3º de
primaria) y la primaria alta (4º, 5º y 6º).
PRIMARIA BAJA (1°, 2 Y 3°)
El cuadro siguiente arroja datos sobre el desempeño de los maestros de la primaria
baja. El primer dato que resulta relevante es que son altas las proporciones de
maestros que manejan tanto los contenidos matemáticos evaluados como los las
orientaciones pedagógicas del MMC, lo cual es más notorio en los temas de
geometría (73.2%) y el producto (70.7%). Del mismo modo, es destacable que es
muy baja la proporción de maestros que no domina los contenidos matemáticos,
oscila entre 0 y 9.8%, siendo el tema de fracciones el que registra una mayor
proporción.
Cuadro 14. Desempeño docente en la aplicación del MMC, primaria baja
Ejercicio Nivel de desempeño %
No contesta o lo hace sin sentido 14.6
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 9.8
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 29.3
¿Cómo relacionaría un diseño libre con el tema de fracciones?
Amplio conocimiento del tema y MMC 46.3
No contesta o lo hace sin sentido 14.6
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 0.0
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 14.6
Mencione 5 preguntas para favorecer la exploración del producto 18
Amplio conocimiento del tema y MMC 70.7
No contesta o lo hace sin sentido 17.1
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 7.3
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 29.3
¿Cómo logra que sus alumnos formalicen el algoritmo de las restas de transformación con
dígitos mayores en el sustraendo? Amplio conocimiento del tema y MMC 46.3
No contesta o lo hace sin sentido 4.9
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 2.4
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 19.5
Indique de qué manera puede guiar a un alumno que confunde el área y el perímetro de una figura
Amplio conocimiento del tema y MMC 73.2
51
Por último, se advierte que hay proporciones importantes de maestros que dominan
los temas, pero tienen un escaso manejo del MMC, esto es más notorio en las
preguntas relacionadas con la exploración del tema de fracciones y la formalización
del algoritmo de las restas con dígitos mayores en el sustraendo (29.3%).
Al explorar el comportamiento de esta variable de acuerdo con la antigüedad de los
maestros en el manejo del MMC, no encontramos una relación significativa, de
hecho con frecuencia los profesores que tienen entre 2 y 3 años trabajando con el
método son los que registran mayores proporciones en el dominio óptimo de éste a
diferencia de quienes tienen 4 años ó más.
PRIMARIA ALTA (4°, 5° y 6°)
El cuadro siguiente arroja datos sobre el desempeño de los maestros de la primaria
alta. A diferencia del caso anterior, en este grupo no encontramos maestros que
dominen ampliamente, y al mismo tiempo, los contenidos matemáticos y las
orientaciones pedagógicas del MMC. Del mismo modo, hay proporciones muy
elevadas de docentes que sí conocen los contenidos, pero manejan muy poco los
elementos metodológicos del MMC, lo cual constituye un gran desafío para CIME en
términos de la capacitación que necesitan los docentes. Otra situación preocupante
es que detectamos proporciones significativas de maestros que tienen un pobre
conocimiento de los contenidos matemáticos evaluados, lo cual es más notorio en
los temas de geometría tanto en su exploración, como en su formalización y el
manejo del error. En el anexo 2 se presentan los resultados a detalle por escuelas. Cuadro 15. Desempeño docente en la aplicación del MMC, primaria alta
Ejercicio Nivel de desempeño %
No contesta o lo hace sin sentido 0.0
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 31.4
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 68.6
Describa cómo lleva a cabo la exploración para que sus alumnos descubran el perímetro
Amplio conocimiento del tema y MMC 0.0
No contesta o lo hace sin sentido 0.0
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 14.3
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 85.7
Mencione 5 preguntas para verbalizar la construcción de fracciones equivalentes a tercios
Amplio conocimiento del tema y MMC 0.0
No contesta o lo hace sin sentido 0.0
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 20.0
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 80.0
Indique qué preguntas hacer para formalizar
la fórmula del área de los triángulos
Amplio conocimiento del tema y MMC 0.0
No contesta o lo hace sin sentido 0.0
Conocimiento pobre del tema, no indica actividades 40.0
Conocimiento del tema, pocos elementos del MMC 60.0
Si un alumno tiene un error en la identificación de la altura de un triángulo escaleno, ¿qué haría para que él descubra y
corrija ese error? Amplio conocimiento del tema y MMC 0.0
52
4. PUESTA EN PRÁCTICA DEL LAS ETAPAS DEL MMC EN EL SALÓN DE CLASES
A fin de profundizar en el manejo y aprovechamiento de los maestros sobre el
Método CIME, esto es, en los procesos con los cuales se lleva a cabo la
implementación real del mismo, se realizaron observaciones en las clases de
matemáticas de sexto año de primaria.
Encontramos que en general, los maestros procuran seguir la estructura de la clase
y recorren las tres etapas recomendadas por el método CIME. De las 26
observaciones realizadas en grupos de 6to grado, se obtuvieron 49 registros de
momentos en los que se dio la formalización, 48 de exploración y 39 de
verbalización. Mostrando así, un ligero énfasis en la formalización y exploración.
Cuadro 16. Frecuencia de momentos registrados en clases para cada etapa
Etapa Frecuencia (momentos)
Exploración 48
Verbalización 39
Formalización 49
En la etapa de exploración se incluyen: actividades de recuperación, juegos,
preguntas y manipulación de material. Se observó que todos los maestros utilizaron
algún tipo de actividad exploratoria. La más utilizada fue iniciar la clase recuperando
un tema anterior a través de algún ejercicio o de preguntas (33%). En segundo
lugar las actividades más utilizadas fueron el juego y las preguntas de exploración
sobre un tema nuevo (25% respectivamente). Por último, las actividades propias de
manipulación de material tuvieron la menor frecuencia (17%).
Gráfico 1. Frecuencia de actividades de exploración
A c t . d e R e c u p e r a c i ó n
3 3 %
M a n i p u l a c i ó n d e M a t e r i a l
1 7 %
J u e g o 2 5 %
P r e g u n t a s2 5 %
53
Que las actividades de manipulación de material sean menos utilizadas en la fase de
exploración, quizá se deba a que los grupos observados eran de 6° año y pudiera
ser menos atractivo para ellos las actividades de este tipo. Es posible que se deba a
que en este grado los maestros tienen una mayor preocupación por la aprehensión
del conocimiento abstracto y le dan mayor peso e importancia. A continuación se
recupera un ejemplo del manejo de la etapa de exploración en una clase de sexto
grado.
La maestra comienza preguntando: “Vamos a ver si recuerdan ¿qué es un ángulo”? Los alumnos responden: “es la abertura de dos líneas”, la maestra dibuja entonces un ángulo en el pizarrón y les dice: “ya los medimos, ya los hicimos, entonces ¿qué es un ángulo”?, los alumnos vuelven a responder pero esta vez afinan un poco más su respuesta: ¡”la abertura de dos líneas unidas por el vértice”! La maestra insiste y pregunta a un alumno diferente: “me puedes repetir ¿qué es el ángulo”?, este alumno responde escuetamente:” la línea que une”, por lo que la maestra pregunta “¿eso fue lo que dijeron”? La maestra retoma y concreta: “es la abertura de dos líneas unidas por el vértice” y pregunta nuevamente: “¿Quién más me lo puede decir”? Los alumnos contestan a coro la respuesta dada anteriormente y la maestra dice: “No sólo me lo tengo que aprender, ¡Observo! Es la abertura de dos líneas unidas por el vértice, observo y explico lo que estoy viendo”.
Como puede apreciarse, la maestra comienza la clase retomando un tema visto
anteriormente con preguntas sobre el tema, se da cuenta de que sus alumnos
tienen idea del concepto pero que todavía no lo dominan, por lo que insiste con
varias preguntas, lo dibuja en el pizarrón y les hace hincapié en que es importante
que observen y saquen sus conclusiones. Como podemos ver en la fotografía 4, la
visualización en el pizarrón de geoplano resulta útil para que los alumnos observen
e identifiquen con facilidad qué es un ángulo. En dicha fotografía, el ángulo está
representado por la liga que se encuentra dentro de dos circunferencias. El vértice
se puede apreciar en el centro del geoplano circular.
Fotografía 4. Pizarrón de geoplano
54
El siguiente es un ejemplo de exploración que corresponde al tipo de actividades
libres y juego:
La maestra dice: ¡”Afuera el geoplano y las ligas”! (revisa que todos lo tengan) a continuación pide que hagan la figura que quieran del lado cuadrado, también pide a algunos alumnos que pasen al frente y pregunta ¿“Qué hiciste”? Alumno: “Hice una estrella”. Alumno:” Yo un pentágono”. Maestra: A simple vista, ¿”Cuál creen que tenga mayor superficie”? Alumnos: (comienzan a discutir cuál creen) Maestra:”Cuenten. ¿Ven? Miden lo mismo. ¿Ven que no se calcula a simple vista”?
Se puede apreciar que la maestra comienza la clase pidiendo una actividad libre, lo
cual es recomendable para fomentar la creatividad y la motivación de los alumnos.
Es interesante resaltar que la maestra aprovecha los diseños libres de los alumnos y
los dirige hacia el tema que se trabajará en la clase, que está relacionado con el
área de las figuras.
De acuerdo con los datos arrojados por el cuestionario, la etapa de exploración es,
de cierta forma, la más dominada por de los maestros, la conocen y la pueden llevar
a la práctica; ello concuerda con los registros de las observaciones en clase.
A continuación se presentan las observaciones correspondientes a la etapa de
verbalización. Para su análisis se diferenciaron dos categorías: preguntas y
respuestas. Las preguntas son aquellas que realizaba la maestra y retaban al
alumno a elaborar, sintetizar o cuestionar el conocimiento: “¿Cómo pueden saber
cuál es la altura del triángulo escaleno?, ¿esta forma del producto 64 puede ser
cuadrada, rectangular o cúbica?”, entre otras. La categoría de respuestas se refiere
a las explicaciones con sus propias palabras sobre el proceso o estrategias que
desarrollaban los alumnos acerca del conocimiento adquirido.
La maestra recuerda a sus alumnos que los rectángulos son la base de los triángulos, una niña toma la palabra y explica en sus propias palabras mientras señala un triángulo dentro de un rectángulo: "la altura es la que va del piso al techo”.
En la fotografía 5 observamos la relación entre el rectángulo y el triángulo.
Identificar visualmente esta relación permite a los niños ubicar rápidamente cómo
sacar la altura del triángulo.
55
Fotografía 5. Relación entre el rectángulo y el triángulo
La maestra dice: “Vamos hacer un cuadrado todos, todos, y veo que tienen cuadrados de diferentes tamaños” (Pregunta cómo pueden describir un cuadrado). Pasa una alumna al pizarrón señala un cuadrado y dice que tiene 4 lados iguales y 4 ángulos rectos (varios alumnos levantan la mano). La maestra pregunta: ¿”Qué más”? Finalmente los alumnos responden: “podemos poner dos diagonales y sus lados son paralelos”.
Fotografía 6. Características del cuadrado
En una sesión de trabajo con el geoplano, la maestra les pide que construyan ejemplos de un tercio y fracciones equivalentes de éste. La maestra pidió a una niña que pasara al frente y le preguntó que ¿cómo le hizo? Ella le contestó que sólo partió los tercios a la mitad. Los contó en voz alta y luego al tapar un tercio con su mano hizo la comparación de que un tercio es igual a dos sextos. Después la maestra pidió que lo anotaran.
Fotografía 7.1. Ejercicios de fracciones Fotografía 7.2. Ejercicios de fracciones
56
En los fragmentos anteriores podemos notar cómo los alumnos son retados a
elaborar y expresar con sus propias palabras el conocimiento adquirido, lo que
también tiene la intención de hacer que dicho conocimiento sea mucho más
significativo para ellos. El recuperar verbalmente cómo se llegó a los resultados es
un proceso del pensamiento que ayuda a construir con más claridad y eficacia el
conocimiento.
En fin, CIME considera importante que los alumnos sean capaces de expresar el
procedimiento utilizado, y en ese sentido encontramos que el 85.5% de los alumnos
declaró que su maestra frecuentemente los pasa al frente a explicar como
resolvieron un problema.
Por otra parte revisando las consideraciones de los maestros al respecto,
encontramos que el 100% de ellos, está de acuerdo en que es muy importante que
los alumnos expliquen y razonen sus propios procedimientos, tal y como lo muestra
la siguiente tabla.
Cuadro 17. Importancia de que de los alumnos expliquen
y razonen sus procedimientos Opinión de los maestros %
En desacuerdo 0
De acuerdo 100
Un dato importante, es que en las observaciones realizadas se registró que las
preguntas que implicaban respuestas cortas por parte de los alumnos fueron más
promovidas (frecuentes en un 72%) que el espacio para respuestas que implicaban
un mayor desarrollo oral (del proceso) por parte de los alumnos (con un 28%).
En lo que toca a las actividades de formalización, distinguimos tres categorías
relevantes: actividades para uso de simbología, disponibilidad para realizar tareas
abstractas y estrategias de validación. Las actividades para uso de simbología se
refieren al uso adecuado de algoritmos, símbolos y lenguaje algebraico en general.
La disponibilidad para tareas abstractas comprende el tiempo que los maestros
dedican para ejercicios de formalización (resolver problemas, practicar ejercicios,
utilizar el libro CIME o de la SEP). Mientras que las estrategias de validación
consisten en actividades y preguntas que verifican si se dio el aprendizaje y
refuerzan los principales conceptos.
57
La categoría más utilizada por los maestros es la que corresponde a estrategias de
validación, cuyas actividades concentraron el 49% de los momentos de
formalización registrados.
Después la maestra pregunta ¿”Qué obtuvieron”?, una niña responde que obtuvieron 2 triángulos escalenos, pero lo dice sin mucha seguridad, por lo tanto, la maestra la invita a defender su posición y le pide que pase al frente y explique por qué dice que son triángulos escalenos, al pasar al frente, la niña señala con sus dedos que los lados del triángulo son todos diferentes y por eso los triángulos son escálenos. La niña regresa a su lugar esta vez convencida de su respuesta. La maestra escriben en el pizarrón: "Escaleno: tiene sus lados desiguales”.
Fotografía 8. Triángulos escalenos
En este fragmento la maestra busca verificar el conocimiento de sus alumnos,
impulsándolos, a través de preguntas, a estar seguros de sí mismos y sus
respuestas. Esto es fundamental en el método CIME, ya que uno de sus objetivos
principales, es que los alumnos alimenten su autoconfianza.
Como se señaló, la formalización fue la etapa más trabajada en las clases
observadas, y dentro de ésta las preguntas y actividades que verifican el
aprendizaje son las más frecuentes. En contraste, se reportan pocas actividades
para uso de simbología y disponibilidad para tareas abstractas.
En síntesis, dentro de las actividades específicas de cada etapa, hay diferencias
significativas en la frecuencia de uso, tal como puede apreciarse en el siguiente
gráfico.
58
Gráfico 2. Número de actividades observadas en clase en cada etapa del MMC
0 5 10 15 20 25 30
Exploración: Act. derecuperación
Exploración: Juego
Exploración: Manipulación dematerial
Exploración: Preguntas
Verbalización: Preguntas
Verbalización: Respuestas
Formalización: Disp. paratareas abstractas
Formalización: Actividadespara uso de simbología
Formalización: Preguntas y act.de validación
En fin, los maestros practican, en repetidas ocasiones, las actividades relacionadas
con preguntas, tanto de exploración, como de formalización y, en menor medida de
verbalización. Sin embargo, otorgan un menor espacio a estrategias que fomentan
la abstracción, la creatividad, la manipulación y reversibilidad –p.e. la elaboración
de respuestas y las tareas abstractas-.
4.1. Aprovechamiento de otras estrategias y materiales CIME
Las estrategias pedagógicas son aquellas acciones que realiza el maestro con el
propósito de facilitar la formación y el aprendizaje de los alumnos. Si bien en la
sección anterior se exploraron algunas de dichas acciones, en este apartado se
centra la mirada en ciertas estrategias dirigidas a reforzar los aprendizajes y a
fortalecer la motivación e interés de los alumnos por las matemáticas, tales como:
- Manejo del error
- Resolución de dudas
- Estrategias CIME
- Estrategias de Evaluación
- Materiales CIME
59
Manejo del error
El constructivismo propone pensar al error como ocasión para nuevos aprendizajes,
en vez de ocasión para el fracaso y el castigo. El error visto como oportunidad,
permite aprovechar la falla de los alumnos y trabajarla como área de oportunidad,
sin estigmatizarla dramáticamente. Estas fallas deben servir, para comprender la
forma correcta de llegar al resultado. Tomando en cuenta ambas formas de tratar
las fallas o equivocaciones de los alumnos definimos dos categorías para examinar
esta estrategia: a) manejo del error como oportunidad y b) manejo del error como
fracaso. El manejo del error como oportunidad coincide con la visión constructivista.
Mientras que su manejo como fracaso remite a un enfoque tradicional de reaccionar
ante éste.
En los cuestionarios de maestros encontramos que 9 de cada 10 maestros
consideran que los alumnos aprenden mucho de sus propios errores. En el mismo
sentido, hallamos que el 98.7% de los docentes, está “muy en desacuerdo” con el
enunciado que dice que las respuestas erróneas de los alumnos deben ser
ignoradas.
Cuadro 18. Consideraciones didácticas de los docentes sobre manejo del error
Manejo del error %
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 3.9 Los alumnos aprenden mucho de sus propios errores De acuerdo / muy de acuerdo 96.1
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 98.7 Las respuestas erróneas de los alumnos deben ser ignoradas De acuerdo / muy de acuerdo 1.3
Esto coincide con las apreciaciones de los niños donde se observa que no se sienten
estigmatizados por sus maestros debido a sus errores. Cabe resaltar que es mayor
la proporción de niños de las escuelas CIME que percibe en sus maestros un manejo
adecuado del error.
Cuadro 19. Apreciaciones de los alumnos sobre manejo docente del error
Manejo del error CIME (%)
Control (%)
Nunca / pocas veces 91.5 82.7 Cuando cometemos errores se molesta Siempre / casi siempre 8.5 15.8 Nunca / pocas veces 7.0 15.1 Si cometemos un error nos orienta para que
encontremos el resultado Siempre / casi siempre 93.0 83.5
Estas consideraciones reportadas por la gran mayoría de alumnos y maestros sobre
el manejo del error, coincide en buena medida con lo que se observó en las
escuelas de la muestra, donde advertimos que la mayoría de los docentes ya no
estigmatizan a los niños por sus fallas, ni los hacen sentir agobiados por ello. Sin
60
embargo, todavía hace falta hacer hincapié en el aprovechamiento del error, ya que
sólo encontramos 12 ocasiones, de las 26 clases observadas, en las que el error se
manejó como oportunidad.
Por otro lado, pese a que en general advertimos un buen manejo del error por parte
de los docentes, encontramos todavía 2 momentos en los que el error se manejó
como fracaso, a continuación se muestra un ejemplo de ello:
Los alumnos pasan al frente con sus dudas. Una alumna llamada Natalia pasa mucho y se confunde con las fórmulas. La maestra le dice: “es que no quieres leer, mientras no leas está difícil. Ayer en los ejercicios se explicó varias veces. Algo no está funcionando”. La niña regresa a su lugar y dos compañeros tratan de ayudar a Natalia, que sigue confundida. La maestra pide a Natalia que vuelva a pasar, pero la niña se niega, la maestra le pregunta “¿Por qué dudas?” Natalia no contesta. Una niña al lado de ella (tratando de ayudarla) le dice: “Mira dijo que 5”. La maestra vuelve a intervenir y le dice a Natalia: “Si no sigues las fórmulas no se puede y continúa calificando”.
Aquí observamos, que la maestra no facilita el que la niña perciba su error y pueda
rectificarlo. En realidad, no le presta mucha atención al proceso que sigue la niña y
solamente hace hincapié en que está haciendo algo mal: “Algo no está
funcionando”. La conclusión de la maestra es que el error se deriva de no seguir los
únicos procedimientos válidos, “Si no sigues las fórmulas no se puede”. En este
ejemplo parece evidente que si la niña no puede seguir las fórmulas, se debe a que
no ha comprendido aún el concepto que está detrás de ellas.
Un manejo diferente y positivo del error lo encontramos en la situación que se
presenta a continuación:
La maestra les pide que hagan una figura triangular con 2 lados iguales y 1 diferente. Los niños hacen triángulos. La maestra le pregunta a un niño si su figura ¿tiene dos lados iguales?, él no responde y ve que está mal, lo repite en el geoplano y se da cuenta de su error”.
61
Fotografía 9.1. Manejo del error Fotografía 9.2. Manejo del error
En este ejemplo observamos que la maestra al darse cuenta que el niño está
equivocado (a diferencia del ejemplo anterior) no lo regaña, ni le hace reclamo
alguno, solamente le hace una pregunta sobre su diseño en el geoplano “¿tiene dos
lados iguales?” y esa pregunta es suficiente para que el niño vea su diseño
(Fotografía 9.1) y él mismo descubra la fuente de su error. A partir de un
cuestionamiento, el niño simplemente observa su error y corrige (Fotografía 9.2).
Aquí observamos nuevamente que el uso de los materiales (en este caso el
geoplano) es de mucha ayuda para que los niños literalmente “vean” sus errores y
puedan corregirlos sin dificultades.
En el caso que a continuación presentamos observamos una situación similar a la
anterior, sin embargo, fue resuelta de forma diferente:
La maestra dice: “Vamos a hacer ahora un triángulo escaleno” (mientras monitorea, pasa a dos alumnos al frente, uno que hizo un triángulo isósceles y a otro que lo hizo correctamente) y pregunta a los demás alumnos “qué observan”. Algunos alumnos dicen que uno de los niños que está al frente, está equivocado. La maestra pregunta al alumno con el diseño equivocado: “¿Por qué te equivocaste?” (El alumno observa a su compañero y ve su diseño, no contesta, solo observa). La maestra vuelve a preguntar: “¿Qué tenías que haber hecho?” En ese momento, el alumno corrige su diseño y la maestra le cuestiona: “¿Ese podría ser un triángulo escaleno? ¿Por qué?” El alumno responde: “Sí, es un triángulo escaleno, porque sus lados son diferentes”.
En esta situación observamos que la maestra profundiza y aprovecha más el error
del alumno. Al percibir su equivocación, la maestra presta atención al proceso y
pregunta “¿Qué tenías que haber hecho?” y cuando el alumno corrige, vuelve a
interrogarlo, para cerciorarse de que está comprendido el concepto. “¿Ese podría
ser un triángulo escaleno? ¿Por qué?”.
62
Resolución de dudas
En un sentido muy parecido al de la estrategia anterior, la resolución de dudas
cobra un papel relevante en el aprendizaje. Las dudas son muy importantes porque
ayudan a identificar el grado de comprensión que han alcanzado los alumnos y son
parte fundamental de cualquier proceso de aprendizaje. Definitivamente son
indicadores y detonadores que nos permiten alcanzar nuevos conocimientos. La
sabiduría popular nos recuerda al respecto: “el que no tiene dudas, es porque no
entendió”.
Pese al carácter positivo de las dudas, éstas han permanecido en un estatus más
bien negativo al igual que el error. La relación vertical maestro-alumno, así como el
miedo al error ha contribuido a que los alumnos no sientan confianza para
preguntar y prefieran quedarse callados con ideas erróneas y/o conceptos confusos.
El tratamiento de la duda que plantea CIME es diferente y propone a los profesores
crear su clase en un ambiente adecuado de confianza y respeto, que permita a los
alumnos la posibilidad de expresar sus dudas.
Este ambiente incluye por supuesto la disponibilidad del profesor para escuchar a
sus alumnos y la creatividad para replantear las dudas, con preguntas y/o
situaciones adecuadas que los lleven a auto-solucionar sus dudas. Con los
cuestionarios y las observaciones realizadas buscamos explorar la actitud y
disponibilidad de los docentes ante las dudas de sus alumnos.
Los resultados del cuestionario indican que sólo el 12.5% de los maestros afirma
que por lo general no tiene tiempo para resolver las dudas de sus alumnos, ello nos
indica que la mayoría de los maestros considera que es importante darle tiempo a la
resolución de dudas de sus alumnos. Un dato interesante es que a mayor
antigüedad en el CIME parece que los maestros consideran más importante dar
tiempo para resolver las dudas de sus alumnos, ya que entre los maestros que
tienen un año o menos el 28.6% considera que no tiene tiempo para resolver las
dudas de sus alumnos y ese porcentaje disminuye a 0% cuando los maestros tienen
más de 5 años trabajando con el método.
63
Cuadro 20. Consideraciones docentes sobre el tiempo para resolver dudas por antigüedad en el uso del método CIME
Antigüedad en CIME
Consideraciones docentes Un año o menos
De dos a tres años
Cinco años o más Total
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 71.4 93.8 100.0 87.5
Por lo general, no tengo tiempo para resolver las dudas de mis alumnos
De acuerdo / muy de acuerdo
28.6 6.3 0.0 12.5
En contraste, en las observaciones en clase encontramos que no siempre se da el
tiempo suficiente para resolver las dudas y en algunos casos éstas todavía tienen un
estatus negativo. Para examinar esta categoría la dividimos en dos: a) resolución de
dudas adecuada, b) resolución de dudas inadecuada. En las observaciones
efectuadas registramos 14 momentos dónde la resolución de dudas era adecuada,
contra 10 momentos de resolución inadecuada. A continuación se muestran
ejemplos de ambas situaciones:
Resolución de dudas inadecuada:
El alumno preguntó: “¿El área lateral del prisma cuadrangular es el perímetro de la base por altura entre dos?” La maestra respondió: “Revisa tu resumen” (el alumno pregunta a su compañera y ella también al de atrás). Una niña pregunta ¿no hay un método para no contar tanto? La maestra responde ¿Cómo que un método para no contar tanto? (con un tono de voz un poco impaciente) Y la niña responde: No, nada”.
En estas situaciones se advierte que las maestras no dan importancia a las dudas de
sus alumnos y prácticamente las ignoran, desaprovechando con esto una gran
oportunidad para obtener un nuevo aprendizaje o para detectar confusiones. El
tiempo que esto requiere es quizá un factor en contra para desarrollar esta
práctica.
Del otro lado, también se reconocieron en las observaciones de clase, un buen
tratamiento de las dudas por parte de los docentes. A continuación algunos
fragmentos retomados de las clases observadas:
Resolución de dudas adecuada:
La clase estaba haciendo ejercicios de resolución de área de figuras irregulares propuestos por el libro CIME. El libro proponía varios pasos: poner fórmulas, sustitución, operaciones, etc. Los niños van a pasando al pizarrón a resolver los ejercicios La maestra pregunta: ¿Dudas?
64
Una Alumna:¡Sí Miss, me confunden los pasos! Maestra: ¡Ok! Karen, explica los pasos. Verifica tus resultados (la niña lo hace y lo resuelve correctamente)
En esta cita percibimos que la maestra toma en cuenta la duda de su alumna y la
ayuda a descubrir su error a través de la verbalización, éste es un procedimiento
muy acertado, ya que al explicar lo que hizo es muy probable que la misma niña
caiga en la cuenta de su error, o bien de esta manera la maestra puede detectar
qué es lo que no está comprendiendo.
Otro ejemplo: En la clase una niña dicta un problema y la maestra pide que pongan los datos en el pizarrón. Para construir la fuente con unidades, se necesitan 3 costales de cemento de $100 por costal. (Los alumnos escriben) 1 unidad cuadrada = 3 costales de cemento 4 unidades cuadradas X 3 costales es = 12 costales. 12 por 100 es igual a… La maestra interviene: “¡Bien! ¿Cómo la hacemos de manera más sencilla?” Alumnos: “Recorriendo dos lugares el punto decimal y le agregas dos ceros” Maestra: “¡Bien! Nos ahorramos el proceso que, aunque es correcto, es más trabajo”. Otra alumna: “¿Miss, esto se puede resolver con regla de 3?” Maestra: “¿cómo le harías?” (La niña pasa a explicar su proceso) La maestra dice a la clase: “Es válido lo que dice. Hay que probar formas. Si no sirve, no pasa nada y volvemos a intentar. Te escucho Dany” Dany escribe en el pizarrón: 3 = 100 12 = X Maestra: “¿Segura?” La niña rectifica y dice en voz alta: “Cada costal vale 100, entonces 3 costales es = ¿a?...300” 3 = 300 12 = X Maestra: ¡Ok! Dany: ¡Sí, da lo mismo! Maestra: ¡Felicidades!
En este caso vemos que la alumna va rezagada en relación con el grupo; sin
embargo, la maestra no se desespera y la apoya para que llegue al resultado de
una manera diferente. En esta situación se aprecia que la maestra promueve
también la flexibilidad de pensamiento y la seguridad en sí mismos.
65
4.2. Otras estrategias recomendadas por CIME
Otras estrategias que guardan relación con las recomendaciones de los métodos
constructivistas para un trabajo más eficaz en la construcción del conocimientos,
algunas de ellas son: pasar al frente a los alumnos a explicar como hicieron algo,
juegos y actividades tanto libres como dirigidas, construcción de trenes (con
regletas), invención de problemas y creación de disfraces11.
De acuerdo con las declaraciones de los maestros, la actividad más socorrida es la
de pasar a sus alumnos al frente para realizar ejercicios y tareas (96.9%), seguida
por pedir a los alumnos que expliquen sus procedimientos a los demás- mediante la
pregunta “¿cómo le hicieron?”- obtuvo un 93.8%. Dos estrategias que son centrales
en el MMC –invención de problemas y disfraces- registran alta frecuencia entre
proporciones significativas de maestros, aunque ligeramente menores a las
anteriores (76.9% y 66.7%). Dichas actividades son clave para estimular el
desarrollo de las habilidades de reversibilidad y flexibilidad de pensamiento, así
como el pensamiento creativo. Del mismo modo, más de las tres cuartas partes
afirma utilizar juegos y actividades libres (76.9%), que son claves para la etapa
concreta de exploración. En menor medida, se recurre al trabajo en equipo. Sobre el
uso de estas estrategias, el siguiente cuadro recoge las apreciaciones de los
maestros.
Cuadro 21. Frecuencia de uso de estrategias constructivistas reportada por docentes
Antigüedad en el MMC Actividades Frecuencia
1 año o menos
De 2 a 3 años
De 4 a 5 años
5 años o más
Total
Muy baja / baja 7.1 0.0 7.1 0.0 3.1 Que los alumnos pasen al frente Alta / muy alta 92.9 100.0 92.9 100.0 96.9
Muy baja / baja 0.0 12.1 0.0 0.0 6.2 Explicar a los demás cómo le hicieron Alta / muy alta 100.0 87.9 100.0 100.0 93.8
Muy baja / baja 28.6 21.2 14.3 25.0 21.5 Invención de problemas o ejercicios Alta / muy alta 71.4 78.8 85.7 75.0 78.5
Muy baja / baja 23.1 45.5 23.1 0.0 33.3 Disfraces Alta / muy alta 76.9 54.5 76.9 100.0 66.7 Muy baja / baja 21.4 12.1 50.0 25.0 23.1 Juegos y actividades Alta / muy alta 78.6 87.9 50.0 75.0 76.9 Muy baja / baja 35.7 30.3 42.9 25.0 33.8 Trabajo en equipo Alta / muy alta 64.3 69.7 57.1 75.0 66.2
11
Los disfraces son un ejercicio por medio del cual los alumnos establecen equivalencias entre operaciones y
cantidades, y empiezan a desarrollar conceptos de algebra, p.e. Disfraz del 9: ½ + .5 + 3 – 2 + 7 = 9
66
Por su parte, los alumnos confirmaron que entre las actividades más frecuentes en
clase se encuentra el pasar al frente para explicar cómo resolvieron un problema
(85.5%). Sin embargo, una opinión encontrada entre maestros y alumnos se
registra en torno a la frecuencia del invento de problemas, pues mientras que el
78.5% de los maestros afirman llevarla a cabo con alta frecuencia, sólo el 48.4% de
los alumnos lo consideró así. De igual manera, la frecuencia de juegos y actividades
en clase, aparece invertida entre alumnos y maestros. El 76.9% de los docentes de
este estudio, afirma utilizar frecuentemente juegos y actividades libres mientras que
el 73.6% de los alumnos, afirma lo contrario: que nunca o pocas veces su maestro
les pone juegos y actividades libres.
Cuadro 22. Frecuencia de uso de estrategias constructivistas reportada por alumnos
Actividades Frecuencia %
Nunca / pocas veces 14.5 Nos pasa al frente frecuentemente para explicar como resolvimos un problema Siempre / casi siempre 85.5
Nunca / pocas veces 73.6 Nos pone juegos y actividades libres Siempre / casi siempre 26.4
Nunca / pocas veces 51.6 Nos pide inventar problemas matemáticos Siempre / casi siempre 48.4
La información recabada en los cuestionarios de alumnos coinciden plenamente con
lo advertido en las observaciones de clase, donde notamos que una de las
estrategias más utilizadas fue pasar a los alumnos al frente a explicar cómo habían
resuelto algún problema o ejercicio, con menor frecuencia se observó la utilización
de disfraces, los juegos y actividades libres, la invención de problemas y el trabajo
en equipo. En el anexo 3 se presenta el desglose de respuestas por escuela.
Estrategias de evaluación
Las estrategias de evaluación consideradas en este estudio son las tareas, el trabajo
en clase, la participación y los exámenes. Como puede observarse en el cuadro
siguiente, existe una gran coincidencia en la totalidad de los maestros al otorgarle
un peso alto o muy alto a los exámenes, opinión que no mostró variaciones
considerando el tiempo que las maestras llevan usando el método. Esto se entiende
dado que el sistema que rige a todas las escuelas que participan en este estudio
sigue considerando el examen como la fuente clave de evaluación. Al respecto CIME
propone utilizar evaluaciones continuas, en lugar de un único examen “…la
aplicación de sondeos permanentes, de pruebas de destreza y conocimientos
concretos que permitan tener una imagen continua del desempeño. Más que un
67
método es un conjunto de métodos para vincular la evaluación con el aprendizaje y
transformarla en un proceso formativo” (Saldaña, 2007). La idea importante detrás
de esta recomendación es el fomento de la evaluación formativa, sin dejar de lado
la sumativa cuya expresión más frecuente es el examen bimestral o final.
Cuadro 23. Consideraciones docentes sobre el peso de las estrategias de evaluación
Estrategias de evaluación
Peso 1 año o menos
De 2 a 3 años
De 4 a 5 años
5 años o más
Total
Muy bajo / bajo 42.9% 18.2% 21.4% 25.0% 24.6% Tareas Alto / muy alto 57.1% 81.8% 78.6% 75.0% 75.4% Muy bajo / bajo 7.1% 0.0% 0.0% 0.0% 1.5% Trabajo en clase Alto / muy alto 92.9% 100.0% 100.0% 100.0% 98.5% Muy bajo / bajo 7.1% 3.0% 0.0% 0.0% 3.1% Participación Alto / muy alto 92.9% 97.0% 100.0% 100.0% 96.9% Muy bajo / bajo 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% Exámenes Alto / muy alto 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0%
Después de los exámenes, casi la totalidad de los maestros coincide en otorgarle un
peso alto o muy alto al trabajo en clase (98.5%) y la participación (96.9%). Las
tareas tienen un peso similar para una proporción ligeramente menor de maestros
(75.4%), este tipo de actividades está más relacionada con la evaluación formativa.
Al indagar sobre las posiciones de los maestros respecto de algunas consideraciones
pedagógicas involucradas en la forma de concebir la evaluación; advertimos que
más del 97% aseguró revisar oportunamente los trabajos y ejercicios de los
alumnos, estar atentos a los procesos de aprendizaje de sus alumnos y su
comprensión y dominio de los temas, lo cual refleja igualmente una alta capacidad
para reconocer las dificultades de sus propios alumnos en la comprensión de los
temas revisados. Llama la atención también, que el 76% de los profesores afirma
que los exámenes no son la forma más segura de evaluar a sus estudiantes, lo que
remite a una concepción de aprendizaje más integral, que no sólo se manifiesta en
la resolución de una prueba. Con base en la información aportada por los maestros,
se puede suponer que tienen un concepto de enseñanza cercano a los principios
constructivistas.
Cuadro 24. Consideraciones de los maestros sobre estrategias de evaluación
Actividades de la práctica docente %
En desacuerdo 0.0 Corrijo oportunamente las tareas y ejercicios de todos mis alumnos De acuerdo 100 En desacuerdo 1.3 En las clases me doy cuenta que mis alumnos comprenden lo que están
haciendo porque lo pueden expresar De acuerdo 98.7 En desacuerdo 2.6 Con el trabajo en clase me doy cuenta de los alumnos que tienen
dificultad para comprender los temas De acuerdo 97.4 En desacuerdo 76.3 Los exámenes son la forma más segura de evaluar el aprendizaje de mis
alumnos De acuerdo 23.7
68
La gran mayoría de los niños por su parte, afirma que sus maestros califican de
manera justa y añaden que sí hay una revisión sistemática de las tareas. En el
anexo 5 se presentan los resultados de estas variables desglosados por escuelas.
Cuadro 25. Consideraciones de los niños sobre la evaluación
Evaluación Opinión %
Nunca / pocas veces 3.4 Califica de manera justa Siempre / casi siempre 96.6 Nunca / pocas veces 8.0 Revisa las tareas todos los días Siempre / casi siempre 92.0
Estos resultados también coincidieron con lo observado en clase, donde una de las
actividades más reconocidas fue la realización de preguntas de formalización del
conocimiento por parte de los maestros, las cuáles les permiten evaluar el
conocimiento adquirido por parte de sus alumnos. Otra de las actividades de
evaluación observadas en clase fue trabajar con el libro CIME. Al respecto, lo más
frecuente era que los niños después de resolver el libro, pasaban a dejarlo al
escritorio para que fuera revisado por la maestra posteriormente.
Manejo de materiales didácticos
El Método de Matemáticas Constructivas recomienda el uso y manipulación de
algunos materiales didácticos para llegar más fácilmente a “hacer matemáticas” en
la escuela, con estos materiales se busca que los alumnos puedan manejar los
conceptos en una etapa concreta para posteriormente matematizar, esto es iniciar
la construcción del lenguaje formal. Los materiales son el geoplano Didacta, las
regletas Cuisenaire, y el Libro CIME. En este apartado se exploró el
aprovechamiento, frecuencia de uso y gusto por estos materiales didácticos.
Como pudimos constatar en el apartado sobre conocimiento del método, la mayoría
de los maestros (98%) consideran a los materiales eficaces para la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, así mismo, más del 90% opina que tiene un
conocimiento y aprovechamiento óptimo de los mismos.
La antigüedad en el uso del MMC parece no influir de manera decisiva en la
apreciación que tienen los maestros con respecto a su dominio de los materiales.
CIME considera que cuando los maestros empiezan a poner en práctica la
metodología, comienzan ellos mismos un proceso constructivista en la enseñanza de
69
las matemáticas, y en este proceso hay altibajos que generalmente son localizados
cuando existe una continuidad en la capacitación y el manejo del método.
En cuanto a las opiniones de los alumnos sobre los materiales, encontramos que
más del 70% expresó que le gusta trabajar con el geoplano y las regletas. Es
destacable que a la mayoría de los alumnos le guste trabajar con los materiales y
que ese es un punto a favor del método y que puede ser aprovechado por los
maestros, para la motivación y eficacia de la enseñanza. Aunque es preciso tener en
cuenta que en contraste sólo el 46.7% manifestó gusto por el uso del libro
“Juguemos a contar y medir”.
Cuadro 26 Opiniones de alumnos acerca del gusto por los materiales
Materiales Gusto %
No me gusta/ Me gusta poco 53.1% ¿Cuánto te gusta trabajar con el libro “juguemos a contar y medir”? Me gusta/ Me gusta mucho 46.7%
No me gusta/ Me gusta poco 28.3% ¿Cuánto te gusta trabajar con las regletas?
Me gusta/ Me gusta mucho 71.7%
No me gusta/ Me gusta poco 26.6% ¿Cuánto te gusta trabajar con el geoplano?
Me gusta/ Me gusta mucho 73.4%
Las opiniones de maestros y alumnos acerca de la frecuencia de uso de los
materiales difieren significativamente. Mientras que el 85.5% de los docentes afirmó
usar las regletas la mayoría de los días o todos los días, sólo el 38.6% los alumnos
confirma tal situación. En relación al geoplano la situación es similar, el 38.7% de
los alumnos declaró usarlo la mayoría o todos días, mientras que el 68% de los
maestros sostienen que lo usan prácticamente a diario. En ambos casos existe una
diferencia de más de 30% entre ambas muestras. En dónde hubo menos diferencia
entre maestros y alumnos fue en la frecuencia de uso del libro CIME donde el 80%
de los alumnos y el 94.7% de los maestros reportaron un uso casi diario.
Cuadro 27. Frecuencia del uso de materiales de acuerdo con docentes y alumnos
Materiales Frecuencia % docentes % alumnos
Ningún día/ pocos días 14.5% 61.4% Regletas La mayoría de los días/todos los días 85.5% 38.6%
Ningún día/ pocos días 32% 61.3% Geoplano La mayoría de los días/todos los días 68% 38.7%
Ningún día/ pocos días 5.3% 20.5% Libro CIME La mayoría de los días/todos los días 94.7% 79.5%
En contraste con esta información, en el registro de las clases observadas
presenciamos que en la gran mayoría de las clases (92%) se utilizó alguno de los
materiales antes mencionados. Sin embargo, es preciso tener presente que las
clases observadas estaban programadas con anterioridad y puede ser que las
70
maestras usaran los materiales motivadas por este hecho. En este contexto, parece
razonable atender a las respuestas de los alumnos, más aún porque en las sesiones
de observación se pudo verificar, que en algunos casos aunque se utilizó el
material, era evidente que la maestra y/o los niños no dominaban el color de las
regletas, lo cual indica, que no las usan con frecuencia. A continuación un ejemplo:
Las niñas pasaron a representar el trabajo que hicieron solas en su mesa. Las niñas tuvieron problemas en reconocer los valores de cada una de las regletas. Se confundieron. Los trenes fueron empleados para realizar suma de fracciones, sólo que la maestra no tuvo un buen dominio de los colores y sus valores, y cambió por otras regletas que sí conocía de memoria.
A pesar de estos casos excepcionales, durante las observaciones percibimos que en
general las maestras sí saben trabajar con los materiales y, de hecho, asistimos a
clases con un óptimo aprovechamiento de éstos. A continuación un ejemplo de
cómo una maestra utiliza el geoplano en la etapa concreta de su clase para explorar
el tema:
La clase comienza y la maestra pide a sus alumnos que saquen su geoplano del lado circular y pide que lo observen y den sus opiniones. Los niños levantan las manos. Un alumno responde: “los pivotes forman un círculo”, otro agrega: “adentro del círculo hay otro círculo chiquito”, un tercero dice: “¡hay 24 pivotes!” La maestra pregunta entonces: “¿cuánto mide el círculo?” Otro niño responde: “360°”. La maestra pregunta: “¿Mide 360° ó 24 pivotes?” El miso niño responde: “Entre pivote y pivote hay 15°”.
Fotografía 10. Exploración de temas
Por otra parte, el libro CIME se utilizó en 20 de las 26 clases analizadas. Lo que se
observó en la mayoría de las clases es que el libro se utilizaba al final como la parte
culminante del trabajo realizado; sin embargo, en algunas ocasiones advertimos
que los niños no siempre llegaban muy seguros a esta parte del proceso. En el uso
de los libros advertimos el riesgo de que responda a una fuerte imposición por parte
71
de los directivos, debido a que ellos son presionados a su vez por los padres de
familia. Esto puede ser realmente grave, si los maestros caen en el error de sólo
“llenar los libros”, como “prueba” del trabajo y de la inversión realizada en dicho
recurso.
En el manejo de materiales es necesario mencionar que en las clases observadas
cuando los niños no llevan el material para trabajar, se distraen muy fácilmente o
abiertamente interrumpen la clase con mal comportamiento e indisciplina, lo cual
puede ser otro motivo por el cual los maestros no recurran tanto al uso de regletas
y geoplano.
5. SITUACIONES DE APRENDIZAJE QUE ESTIMULAN LAS HABILIDADES DE PENSAMIENTO
A través de la observación en clases, se buscó explorar cómo se llevan a cabo
situaciones de aprendizaje que estimulan el desarrollo de las habilidades de
pensamiento. Encontramos que buena parte de los docentes intentó estimular el
desarrollo de estas habilidades, partiendo de lo concreto para llegar a lo abstracto,
a través de toda la estructura de su clase, dirigiendo sus preguntas y ejercicios en
este sentido. En estas clases los maestros evitaron dar cátedra y exposiciones, y en
su lugar trataron de proponer situaciones para que los alumnos construyeran su
conocimiento a partir de lo observado o manipulado, la siguiente situación da
cuenta de ello:
La maestra pide a los niños que realicen una figura de 8 unidades cuadradas y les pregunta: “¿pueden formar un cuadrado?”. Los niños responden que no, porque el 8 no es cuadrado, es cúbico, y porque no hay ningún número que multiplicado por sí mismo nos de 8, Los niños concluyen que la única figura que se puede formar es un rectángulo”.
Fotografía 11. Ejercicios con regletas
72
En la fotografía 12 podemos ver que con 8 unidades cuadradas (regletas blancas y
su equivalente en regletas rojas), no se puede formar un cuadrado y vemos
también cómo con esas mismas 8 unidades, lo que podemos formar es un cubo. En
este ejemplo la confrontación directa de la pregunta de la maestra “…con 8
unidades cuadradas, ¿podemos formar un cuadrado?” con los materiales, les
permite sacar sus conclusiones sobre las características geométricas del número 8,
de igual manera los niños con esta confrontación pueden descubrir del concepto de
raíz cuadrada y también de raíz cúbica.
La maestra pide que guarden su geoplano y pregunta: “¿Pueden sumar 1/3 + 2/12 + 1/6?” Pasa una niña al frente y dibuja un tercio en el pizarrón del geoplano, la maestra le pregunta: “¿cuál fue el resultado?” y la niña responde: 8/12. La maestra pregunta al grupo: “¿qué otro resultado se puede obtener?” Otro alumno responde: “con tercios y sextos”, éste pasa al pizarrón y dice que el resultado puede ser 2/3. La maestra pregunta nuevamente al grupo: “¿son iguales 2/3 y 8/12?” Algunos niños dicen que está mal y el niño que pasó al frente duda. La maestra le pide que compruebe su respuesta. El chico vuelve a fijarse y contesta seguro que sí está bien. La maestra concluye: “Así es, estas son fracciones equivalentes” y hacen juntos las fracciones en el pizarrón tomando en cuenta el 12 como máximo común divisor.
Fotografía 12. Ejercicios de facciones equivalentes
Este caso nos muestra como a partir de la pregunta “¿Pueden sumar 1/3 + 2/12 +
1/6?” la maestra confronta y reta a sus alumnos a que realicen dicha operación. La
forma en que lo plantea es interesante ya que con el sólo hecho de preguntar si
pueden hacerlo, genera una duda inicial que los alumnos deben superar a través del
pensamiento deductivo-inductivo. En este mismo fragmento, también observamos
que la maestra promueve la flexibilidad del pensamiento cuando pregunta: “¿qué
otro resultado se puede obtener?” Específicamente la habilidad de construcción del
conocimiento se da a través de la confrontación de su pregunta: “¿son iguales 2/3 y
8/12?” que los alumnos pueden resolver sencillamente con el manejo de los
materiales.
73
Aunque en las clases observadas se encontró que el manejo de los materiales puede
ser muy útil para que los alumnos obtengan sus propias conclusiones y construyan
su conocimiento, esto parece no ocurrir con la frecuencia necesaria en la
cotidianidad del aula, ya que en el cuestionario de alumnos, el 40% afirma que su
maestro “nunca” les pide demostrar un resultado usando regletas y geoplano.
Cuadro 28. Frecuencia de demostraciones en clase con materiales del MMC
Demostraciones %
Nunca/ pocas veces 40.8 Nos pide demostrar un resultado usando regletas o geoplano
Siempre/ casi siempre 59.2
Nunca/ pocas veces 14.5 Nos pasa al frente frecuentemente para explicar cómo resolvimos un problema Siempre/ casi siempre 85.5
5.1. Reversibilidad
En las 26 observaciones realizadas en clase, las estrategias dirigidas a estimular
esta habilidad junto con la aplicación a casos reales tuvieron una frecuencia menor
(menos de 10 clases). He aquí un ejemplo de la forma como un maestro lo trabaja:
Maestro: Isaac, ¿cuánto es el cuadrado de 3? Isaac: 9 Maestro: Maritza, ¿el cuadrado de 4? Maritza: 16 Maestro: José, ¿el cuadrado de 5? José no supo la respuesta, otro alumno contestó: 15 Un alumno más levantó la mano y contestó: 25 El maestro preguntó ¿por qué? El alumno respondió: porque 5X5 = 25 El maestro siguió preguntando operaciones inversas: El cuadrado de 6 El cuadrado de 7 Raíz cuadrada de 25 Raíz cuadrada de 16 Raíz cuadrada de 9
En el ejemplo anterior vemos cómo el maestro inicia su clase ejercitando la
reversibilidad de pensamiento, a través de preguntas que implican la realización de
operaciones contrarias, sin embargo fueron pocos los casos en que los profesores
plantearon situaciones que fomentaran esta habilidad.
74
En ese mismo sentido, en los cuestionarios encontramos el 35.9% de los maestros
consideraron que la reversibilidad es una habilidad que se ha desarrollado en un
nivel bajo en sus alumnos. Cuadro 29. Percepción docente sobre la reversibilidad de pensamiento en sus alumnos
Nivel %
Muy bajo / Bajo 35.9
Muy alto / Alto 64.1
Sería interesante saber si para los maestros que han sido formados con el modelo
de la matemática tradicional, el desarrollo de esta habilidad tiene alguna dificultad,
que necesite ser especialmente atendida en los cursos de capacitación del método
constructivista impartido por CIME.
5.2. Flexibilidad de pensamiento
Una de las estrategias centrales recomendadas por CIME para estimular esta
habilidad, consiste en impulsar a los alumnos a buscar diferentes formas para
resolver problemas y ejercicios matemáticos. A través del los cuestionarios de
alumnos, se pudo constatar que la gran mayoría (91%) opina que su maestro pone
en práctica esta estrategia con una alta frecuencia.
Cuadro 30. Frecuencia de que los maestros pregunten otras formas de llegar al resultado
Frecuencia %
Nunca/ pocas veces 9
Siempre/ casi siempre 91
Estos resultados a primera vista nos sugieren que los profesores en clase están
promoviendo la flexibilidad de pensamiento por medio de preguntas.
Cuadro 31. Frecuencia de buscar nuevas formas para obtener la solución a un problema
cuando estás resolviendo problemas de matemáticas
Frecuencia %
Nunca / pocas veces 42.9
Casi siempre/ Siempre 57.1
Al cuestionar a los maestros sobre la medida en la cual consideran que los alumnos
han desarrollado esta habilidad, llama la atención que el 89.1% percibe que la ha
alcanzado en un nivel alto. Esto es más notorio en los maestros que tienen una
mayor antigüedad en el manejo del método.
75
Cuadro 32. Percepción docente de la flexibilidad de pensamiento de sus alumnos, según
antigüedad en el manejo del MMC
Nivel 1 años 2 a 3 años 4 a 5 años 5 o más Total
Muy bajo/ Bajo 23.1 9.1 7.1 0 10.9
Muy alto / Alto 76.9 90.9 92.9 100 89.1
Por otra parte, en las observaciones efectuadas en grupo, advertimos que en el
50% de las clases, los maestros procuraban desarrollar esta habilidad, en sus
alumnos. Un ejemplo de flexibilidad de pensamiento en clase:
La maestra escribe en el pizarrón 810 x 12 y pregunta a sus alumnos una estrategia para resolver la operación. Pasa una niña y explica que multiplicó 810 por 10 (para ello le aumenta un cero) y luego multiplicó 810 por 2 y lo sumó, el resultado le da 9,720. Pasa otra niña a comprobar la operación haciendo el algoritmo tradicional de la multiplicación. La maestra explica la diferencia entre las dos formas de hacer la operación y alcanzar el resultado.
Fotografía 13. Ejercicio de flexibilidad de pensamiento
En este ejemplo a través de un ejercicio en el pizarrón (realizar una multiplicación),
la maestra estimula a los alumnos a buscar diferentes alternativas para solucionar
un problema, lo cual se pone de manifiesto en las dos alumnas que pasan al frente
a mostrar dos formas de obtener el mismo resultado. La primera niña que pasa a
resolver el ejercicio ya no realiza el procedimiento tradicional (algoritmo), en su
lugar utiliza una estrategia que le ahorra tiempo, dónde primero obvia una
operación (810 x 10 = 8100) únicamente aumentando un cero y lo suma al
resultado de la multiplicación de 810 x 2 = 1620, dándole como resultado final
9,720.
76
Otro ejemplo de Flexibilidad de Pensamiento:
Los alumnos preguntan: “¿Quiere decir que lo podemos presentar en una tabla como la de hoy?” Otra alumna pregunta: “Miss, ¿Si no queremos no la hacemos?” y la maestra responde: “mira pones cuántas compras y el precio, al final el total”. La alumna insiste: “¿y si no queremos así?” La maestra concluye: “recuerda que tú lo puedes presentar como quieras, el chiste es que llegues al resultado”.
En este caso podemos observar y resaltar la importancia que tiene una actitud
abierta de los profesores para que los niños desarrollen la flexibilidad: los alumnos
difícilmente se sentirán animados a buscar otros procedimientos para resolver un
problema, si saben de antemano, que serán descalificados o evaluados
negativamente si no responden de una manera específica. En el ejemplo citado,
observamos cómo la actitud abierta de la maestra motiva a los alumnos a
experimentar y a sentirse más seguros para explorar otras opciones.
5.3. Pensamiento creativo
Las observaciones en clase permitieron detectar 11 momentos significativos para
impulsar esta habilidad. El número es escaso, probablemente debido a que para
desarrollar esta habilidad se requiere siempre un poco más de tiempo y
desafortunadamente los maestros actualmente tienen una saturación de
actividades, que en ocasiones no les permite ejercitar dicha habilidad.
Que el desarrollo de esta habilidad no tenga suficiente espacio en clase, lo
confirmamos con los cuestionarios, dónde el 51.6% de alumnos refirió que su
maestra nunca o casi nunca le pide inventar problemas matemáticos.
Cuadro 33. Frecuencia de que los profesores les pidan a los alumnos que inventen
problemas matemáticos
Frecuencia %
Nueva / Pocas veces 51.6
Siempre / Casi siempre 48.4
La escuela tradicionalmente ha dejado de lado a la creatividad y se ha enfocado sólo
a la ejecución de procesos, mutilando una de las principales capacidades para la
supervivencia y desarrollo del ser humano. En una investigación en esta materia,
Blanco (1997, p.81) señalaba que es “dramático detectar que los niveles de
creatividad tienden a descender conforme se incrementa la edad. En las pruebas de
77
diagnóstico de esta habilidad, encontramos como una característica constante una
deficiencia en la creatividad a partir de cuarto año de primaria; tal parece que la
creatividad involuciona por la falta de estímulo y campo de ejercicio. Lógicamente
encontramos que la educación formal no permite crecer y, frecuentemente,
obstaculiza su desarrollo”.
De lo que observamos en clase, recuperamos un buen ejemplo donde la maestra
promueve que los alumnos inventen problemas similares a los vistos en clase y al
mismo tiempo fomenta la seguridad en sí mismos, para explorar diferentes caminos
de solución y defender sus ideas:
La maestra pide al número 14 de la lista (Selene) que invente una situación similar (a la que acaban de resolver) con una figura irregular. Pasa al pizarrón Selene y dibuja. La maestra le pregunta: “¿Qué hiciste?” Selene: “Una fuente” Maestra: “¡Bien! Eres una arquitecta muy moderna” (La niña mientras tanto divide en partes su figura, algunos de sus compañeros le dicen: ¡Así no se divide!) Maestra: “Déjenla hacer lo que ella quiere. Siempre hay gente que nos dice lo que tenemos que hacer y es mejor que nosotros decidamos”. Y le dice a Selene: “Tú decide cómo lo quieres hacer”.
Esta habilidad es quizá una de las más difíciles de desarrollar debido a que tanto
alumnos como maestros se desenvuelven en un ambiente que no la propicia, así
que romper este círculo vicioso, podría constituirse en uno de los principales retos
del CIME.
5.4. Aplicación a casos reales
En general encontramos que los maestros no utilizan muchos ejemplos en los que
se apliquen los conocimientos adquiridos con casos reales. En clase sólo se
detectaron siete momentos de este tipo; además, de las 26 clases observadas, hubo
pocas aplicaciones innovadoras, la mayor parte de los ejemplos utilizados fueron
muy típicos (fiestas y pizzas). No obstante es preciso, tener en cuenta que los
maestros parecen considerar lo contrario, ya que en el cuestionario que se les aplicó
el 100%, afirmó tratar en la medida de lo posible relacionar los temas con
situaciones cercanas a la realidad de sus alumnos.
78
Cuadro 34. Consideraciones didácticas de los maestros sobre la aplicación a casos reales
En lo posible trato de relacionar los temas con
situaciones cercanas a la realidad de mis alumnos %
En desacuerdo 0
De acuerdo 100
A continuación, se presentan algunos ejemplos dónde se utilizó de manera muy
eficaz la extrapolación del conocimiento a casos reales.
Ejemplo 1: Maestra: José Alberto, si yo te dijera que tienes que construir esa pared de ayer, (ejemplo de tarea) ¿cuánto tiempo te tardarías? Alumno: dos días. Maestra: ¿dos días? ¡Pero me urge! Se meterían los ladrones, ¿qué me sugieres? Alumno: traer a otro trabajador. Maestra: ¡Claro! Alumno: ¡es menos trabajo! (Se ríen) Maestra: esperen, dejen que nos diga cómo lo representaría ella (señala a una niña). Alumna: a más trabajadores, menos tiempo Maestra: a ver, ¿qué tipo de variación es? Alumno: no proporcional, porque cuando suben los trabajadores, baja el tiempo, es no proporcional. Maestra: es ¡inversamente proporcional! (corrige).
Ejemplo 2: La maestra pide a los alumnos que formen una figura irregular en su geoplano y les dice que imaginen que es un estacionamiento. Maestra: Necesitan saber cuánto espacio tengo, para saber cuántos coches caben. Pasa a un niño al frente a resolver el ejercicio, y comienza a verbalizar: Alumno: lo divido en figuras pequeñas… Si los cuento puedo encontrar el área Maestra: ¿qué es cada cuadrado de los que dividiste? (pregunta al grupo) Alumnos: Una unidad cuadrada (contesta la mayoría) La maestra pregunta de nuevo: ¿están de acuerdo? Alumnos: Sí (a coro) Maestra: Ahora, con la fórmula. (Lo hacen con dos triángulos. Invita a una nueva alumna a pasar al pizarrón.) Alumna: Nos da el área total de la figura. Da 9 unidades cuadradas. (Ya lo tenía hecho en su geoplano, sólo lo repitió en el pizarrón) Maestra: Imagina que cada unidad cuadrada es igual a 25 metros, ¿qué hago para saber cuánto mide en metros cuadrados? (levanta la mano un niño y la maestra asiente para que responda) Alumno: Se multiplica 25 x 9.
79
Maestra: Vamos a ver si es correcto. (Lo resuelve con todos) ¡Es correcto! 225 m cuadrados. Si un coche midiera 1 m cuadrado, ¿cuántos cabrían? Alumno: 225 autos (a coro) Maestra: Si la hora en el estacionamiento cuesta $14 y cada auto se tarda 3 horas, ¿cuánto ganaría? Es en promedio. Alumnos: Algunos van resolviendo y diciendo: 3 x 14 = 42 y luego 225 x 42 = 9450 Maestra: ¿Seguros? Revisen si esta operación está bien. Los que no traen geoplano deben hacerlo en su cuaderno ¿eh? (Verifica con todos las operaciones) Quiere decir que yo recibiría $9450 por cada 3 horas. ¿Vale la pena tener uno verdad?
Los ejemplos que acabamos de mostrar aunque son más cercanos a la realidad de
un adulto, son buenos, porque finalmente entrenan a los niños a extrapolar su
conocimiento, sin embargo, la recomendación de que los problemas y ejercicios de
aplicación a casos reales se realice con ejemplos cercanos a los niños, proviene de
que esto generaría mayor motivación e incluso comprensión, para ellos.
5.5. Abstracción por medio del lenguaje algebraico
La mayoría de los maestros ejercitaron esta habilidad a través del trabajo con las
regletas. El uso de las regletas es una poderosa herramienta para desarrollar la
habilidad de abstracción porque, tal y como lo refiere Caballero (2000), su
utilización implica el manejo de símbolos como sustitutos de objetos y relaciones.
En algunas ocasiones esta transición se concreta precisamente al resolver los
ejercicios del libro CIME. Por ejemplo, cuando los niños hacen una suma con
regletas aprenden a sustituir el color de las mismas con sus respectivos valores. La
fotografía que a continuación se presenta, ilustra como desde edades muy
tempranas los alumnos manejan la abstracción por medio de este recurso didáctico.
80
Fotografía 14. Ejercicio del libro “Juguemos a contar y medir: 3er. grado”
“La longitud y color facilitan la identificación de los números, su agrupamiento, el
descubrimiento de sus relaciones internas, su clasificación y orden (…) Las regletas,
como material de cálculo, adquieren un gran valor no sólo por la facilidad que le
brindan al estudiante para obtener la solución de una situación matemática, sino
primordialmente por brindarle un acceso claro y preciso a los procesos mentales que
llevan al lenguaje abstracto” (Gutiérrez, et al. 2006, p. 53). En las clases
observadas comprobamos el manejo de esta habilidad. Un ejemplo de lo anterior es
la notación desarrollada:
81
900 = N2 x A
900 = (10) 2 x 9
475= N2 x R +N x n + a 475= (102 x 4) + (10 x 7) + 5
816 = N2 x C + r2
420 = (N2 x R) + 2N
En estos ejemplos, las letras representan las regletas que se emplean para luego
sustituirlas a su valor numérico. Por ejemplo, la naranja se representa con la N y
tiene un valor de 10, la azul se representa con la A y tiene un valor de 9, la negra
se representa con n y tiene un valor de 7, la a es amarilla y vale 5, la R es rosa y
vale 4, mientras que la r es roja y vale 2, la C es café y vale 8. A través de estos
ejercicios matemáticos, el alumno está haciendo sus ecuaciones a partir de las
regletas y puede traducirlas al lenguaje algebraico. La riqueza didáctica de este
material es que, desde elementos concretos, se va dando la abstracción. En este
caso se estimula el ejercicio mental de representar valores numéricos con letras y,
aún cuando se conoce el valor de cada una, esto prepara al alumno para el manejo
de este lenguaje cuando tenga que enfrentarse a situaciones en las cuales los
valores sean desconocidos.
En el anexo 6 se presentan los resultados desglosados de las variables incluidas en
este apartado.
82
RESULTADOS: LA CONTRIBUCIÓN DEL MÉTODO DE MATEMÁTICAS
CONSTRUCTIVAS AL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
1. CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL GRUPO DE ALUMNOS
El análisis del aprendizaje de las matemáticas se centró, como se señaló en el
apartado sobre marco metodológico, en los alumnos de 6to grado de primaria. La
gran mayoría de estos niños (86%) tiene como máximo 12 años, lo cual da cuenta
de que se hallan en una situación reglamentaria para el nivel que cursan. El 45.1%
son hombres y 54.9% mujeres.
El capital cultural familiar con que cuentan los niños de nuestra muestra es alto,
dado que casi el 80% de los padres cuentan con educación superior, mientras que
tres cuartas partes de las madres de los niños encuestados lograron acceder a dicho
nivel. Este es un factor importante, ya que en cierta forma determina el papel que
el conocimiento y la educación tienen para la familia y la transmisión que hacen de
dicho valor a sus hijos. El 80% de los niños viven con su mamá y su papá, mientras
que el padre está ausente en un 20% de lo hogares.
Un elemento importante de rastrear fue si los niños han permanecido en la misma
escuela desde que empezaron la primaria, a lo cual el 59% así lo ha hecho,
mientras que el 17.2% cambió en primero o segundo y 15.2% en tercero o cuarto.
No hay una proporción significativa de niños que haya reprobado algún año de
primaria.
Para seis de cada diez niños, el MMC es cosa normal, dado que han trabajado con él
entre dos y cinco años, es decir que muy probablemente estén bien familiarizados
con el método y sus procesos de aprendizaje.
Finalmente, exploramos dos indicadores acerca de los hábitos de estudio de los
niños. El primero fue la frecuencia de hacer tareas, a lo cual el 53% declaró que lo
hace entre tres y cuatro veces a la semana, le sigue el 39.1% que lo hace todos los
días. El segundo de ellos fue las horas de estudio al día fuera de la escuela, donde
encontramos que el 43.1% declaró no dedicar ninguna hora al estudio de
matemáticas fuera de la escuela, mientras que el 47.5% declaró que dedica sólo
una hora y aún menos, sólo el 9.4% declaró dedicar dos horas o más.
83
2. APORTES DEL MMC AL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
2.1. Motivación
Uno de los principales intereses al realizar este estudio estaba centrado en explorar
la motivación que puede generar el MMC en los grupos de alumnos que siguen el
modelo, ya que en el mismo los factores no cognitivos –especialmente la
motivación- ocupan un lugar central. Como lo señalamos en el marco conceptual,
partimos del supuesto de que la motivación constituye una importante fuerza motriz
para el aprendizaje.
En congruencia con los fundamentos teóricos del MMC, la gran mayoría de los
maestros (94.7%) considera que con una buena motivación todos los alumnos
pueden obtener un buen rendimiento en matemáticas, con ello le otorgan una
importante función en el proceso de aprendizaje. Es también destacable el hecho de
que la mayoría de los maestros (85.5%) percibe que sus alumnos tienen interés por
esta asignatura, ello puede apreciarse en el cuado siguiente que indica que estos
docentes están en desacuerdo con la proposición que dice que los alumnos son
apáticos y no tienen interés en las matemáticas.
Cuadro 35. Consideraciones docentes sobre la motivación de sus alumnos
Consideraciones %
Muy en desacuerdo / en desacuerdo
5.3 Con una buena motivación, todos los alumnos pueden obtener buen rendimiento en matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 94.7
Muy en desacuerdo / en desacuerdo
85.5 Los alumnos son apáticos y poco participativos, no tienen interés en las matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 14.5
Al indagar las percepciones de los alumnos en esta materia, lo primero que llama la
atención es el alto porcentaje de niños de las escuelas CIME que afirman tener una
muy alta motivación por las matemáticas (51.3%), lo que contrasta con el 31.7%
de los alumnos de las escuelas control. En general, podría afirmarse que
consecuentemente con las bases conceptuales del MMC, los alumnos que aprenden
bajo este modelo se sienten motivados frente a sus procesos de aprendizaje en
matemáticas, en mayores proporciones que quienes no lo hacen.
84
Cuadro 36. Nivel de Motivación
CIME Control
Muy baja 3.9 6.5
Baja 9.4 12.9
Alta 35.4 48.9
Muy alta 51.3 31.7
Si nos detenemos en los resultados hallados en cada uno de los indicadores sobre
motivación, sobresale el 91.7% de los niños encuestados que declaró estar de
acuerdo o muy de acuerdo con que “matemáticas es una materia importante para
mí porque la necesito para lo que quiero hacer en el futuro”. Esta apreciación da
cuenta de la proyección que tiene tal asignatura en sus expectativas sobre su
desempeño futuro, lo que nos remite a una motivación extrínseca.
Cuadro 37. Opinión de indicadores de motivación
Indicadores de motivación CIME No CIME
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 8.3 13.7 Matemáticas es una materia importante para mi, porque la necesito para lo que quiero hacer en el futuro De acuerdo / muy de acuerdo 91.7 86.3
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 11.4 15.2 Me interesan las cosas que aprendo en mis clases de matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 88.6 84.8
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 13.0 18.4 Me provoca gran satisfacción llegar a resolver con éxito un problema matemático De acuerdo / muy de acuerdo 87.0 81.6
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 85.3 73.4 Me gustaría que eliminaran las matemáticas de la escuela De acuerdo / muy de acuerdo 14.7 26.6
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 29.6 44.6 Me gusta participar en clase y explicar cómo le hice para llegar al resultado De acuerdo / muy de acuerdo 70.4 55.4
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 70.0 59.7 Si no encuentro la solución a un problema, tengo la sensación de haber fracasado, de haber perdido el tiempo De acuerdo / muy de acuerdo 30.0 40.3
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 68.3 61.3 Me parecen odiosas las matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 31.7 38.7
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 36.2 48.8 Me divierten los juegos y actividades de mis clases de matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 63.8 51.2
Del mismo modo, se observan dosis importantes de motivación intrínseca que tiene
que ver con la actitud del estudiante hacia los procesos de aprendizaje. En el caso
de “Me interesan las cosas que aprendo en mi clase de matemáticas”, la proporción
que declaró estar de acuerdo o muy de acuerdo con esta afirmación alcanza al
88.6%. Si se juntan estos dos indicadores, es posible reconocer el interés que los
niños tienen desde ahora en temas relacionados con las matemáticas y el valor que
a ellas les conceden, como una herramienta valiosa para su desempeño futuro. Así
encontramos que es tal el interés que los niños muestran por su clase de
matemáticas, que el 85.3% está en desacuerdo o muy en desacuerdo con que
quitaran las matemáticas de la escuela.
85
Tres indicadores más parecen significativos para valorar los beneficios del MMC en
este ámbito, especialmente en el interés y actitud positiva hacia el aprendizaje de
esta materia. Uno es “me provoca gran satisfacción llegar a resolver con éxito un
problema matemático”, el cual es asumido por el 87% de los niños y, el otro, “me
gusta participar en clase y explicar cómo le hice para llegar al resultado” afirmado
por el 70%. Ambas situaciones dan cuenta del tipo de trabajo que se promueve en
el salón de clases, el cual busca reforzar el interés de los niños al mismo tiempo que
su autoconfianza. En un mismo sentido, se registró una alta proporción de niños
que no manifiestan miedo al fracaso o ante errores, esto es notorio en el 70% de
niños que está en desacuerdo con la proposición “si no encuentro la solución a un
problema, tengo la sensación de haber fracasado, de haber perdido el tiempo”. Vale
la pena señalar que en torno a estos indicadores se registran diferencias
significativas –que puede llegar hasta los 20 puntos porcentuales- entre los niños
que estudian en escuelas CIME y los que no, a favor de los primeros.
Estas percepciones sobre una alta motivación hacia las matemáticas entre los niños
que asisten a escuelas CIME, se confirma en las clases observadas donde
detectamos momentos significativos para la motivación de los alumnos, he aquí
algunos ejemplos:
Los niños están muy motivados, casi hasta brincan en su banca para dar su respuesta o demostrar su resultado.
Existía mucha seguridad en sí mismos, cuando aciertan en un resultado, aplauden, el trabajo en equipo fomenta muchísimo la participación, es más sencillo para los alumnos que son tímidos participar en los equipos que participar en clase.
La maestra pasa y dice a los niños: “Me da gusto que los disfraces son como de primero de secundaria”.
La maestra monitorea y va diciendo: “bien, bien, están en sexto año debemos trabajar muy bien”.
2.2. Autoconcepto
Como hemos venido señalando, un elemento importante del Método CIME es el
interés de fomentar la seguridad en los alumnos, situación que se ve reflejada en la
dimensión de autoconcepto, es decir, cómo o qué tan buenos se consideran para las
matemáticas y las vivencias que han tenido hasta ahora en su vida como
estudiantes de matemáticas. Por tal razón, exploramos lo que los niños piensan
86
acerca de sus propias habilidades matemáticas, poniendo especial atención en los
niños que estudian bajo el MMC.
Prácticamente la mitad de los niños de escuelas CIME exhibe un autoconcepto muy
alto, casi veinte puntos porcentuales por encima de lo que sucede en las escuelas
control. Es necesario hacer notar que en el caso de los niños de las escuelas control,
poco menos del 30% tiene una idea poco favorable sobre sus habilidades en
matemáticas. La diferencias entre los niños de escuelas CIME y los de control
resultan estadísticamente significativas –a favor de los primero-.
Cuadro 38. Nivel de Autoconcepto
CIME (%) Control (%)
Muy bajo 3.9 9.4
Bajo 13.0 20.1
Alto 33.5 38.8
Muy alto 49.6 31.7
Atendiendo a las diferencias entre los indicadores que comprenden esta dimensión,
es destacable el hecho de que más de las tres cuartas partes de los alumnos CIME
cree que es bueno para la matemáticas y esto se corrobora con el 85.7% de niños
que siente gran seguridad al momento de enfrentarse a un problema y dicen no
estar de acuerdo con la proposición “ante un problema complicado, me doy por
vencido rápidamente”, así como con el 69.9% de niños que está en desacuerdo con
el enunciado “me siento poco hábil para resolver problemas de matemáticas”.
Otras situaciones que son el reflejo de la confianza de los niños en sus habilidades
matemáticas y el gusto por esta materia se observa en el alto porcentaje de niños
(75.5%) que afirma “cuando me enfrento a un problema, experimento mucha
curiosidad por conocer la solución”; al mismo tiempo el 65.4% manifiesta que
aprende matemáticas rápidamente. Una proporción menor, pero significativa
(53.1%) considera que resuelve los problemas más difíciles.
Situaciones totalmente congruentes con las bases teóricas y pedagógicas del MMC
son: la confianza que sienten los niños para preguntar cuando no entienden algo en
clase, y el no sentir angustia y miedo cuando el profesor propone por sorpresa que
resuelva un problema, las cuales son experimentadas por alrededor del 70% de los
niños de las escuelas CIME. Esto sin duda refiere a un ambiente de confianza y
estímulo que alimenta su autoconcepto.
87
Cuadro 39. Opinión de indicadores de autoconcepto
Indicadores de autoconcepto Opinión CIME Control
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 21.7 39.6 Creo que soy bueno para las matemáticas
De acuerdo / muy de acuerdo 78.3 60.4
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 85.7 77.6 Ante un problema complicado me doy por vencido rápidamente
De acuerdo / muy de acuerdo 14.3 22.4
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 69.9 65.0 Me siento poco hábil para resolver problemas de matemáticas
De acuerdo / muy de acuerdo 30.1 35.0
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 24.5 29.7 Cuando me enfrento a un problema, experimento mucha curiosidad
por conocer la solución De acuerdo / muy de acuerdo 75.5 70.3
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 34.6 43.8 Aprendo matemáticas rápidamente
De acuerdo / muy de acuerdo 65.4 56.2
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 53.1 66.9 En mi clase de matemáticas, resuelvo las tareas más difíciles
De acuerdo / muy de acuerdo 46.9 33.1
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 27.2 29.5 Siento confianza para preguntar cuando no entiendo algo en mi clase de matemáticas De acuerdo / muy de acuerdo 72.8 70.5
Muy en desacuerdo / en desacuerdo 67.2 54.7 Me angustio y siento miedo cuando el profesor me propone por
sorpresa que resuelva un problema De acuerdo / muy de acuerdo 32.8 45.3
2.3. Autoeficacia
En torno a la autoeficacia, que refiere a la habilidad y competencia que los niños
piensan poseer para resolver satisfactoriamente un problema matemático,
encontramos que más de la mitad (58.9%) de los niños de las escuelas CIME se
ubica en un muy alto nivel. Nuevamente se descubrieron diferencias
estadísticamente significativas entre los niños CIME y los de escuelas control, a
favor de los primeros.
Cuadro 40. Nivel de autoeficacia
Nivel CIME Control
Muy baja 2.4 4.4
Baja 6.5 9.6
Alta 32.5 36.0
Muy alta 58.6 50.0
Los problemas en los cuales los niños expresaron tener una mayor seguridad en
términos de su eficacia fue en ubicar un punto en un plano (85.9%), seguido de la
identificación de cuerpos geométricos (84.2%), interpretación de información en
una gráfica (83%), cálculo de porcentaje (81.4%) y finalmente comparación de
fracciones (80.6%). El tema donde una menor proporción siente seguridad para
88
resolver problemas relacionados es el cálculo de área aplicado a un caso real
(59.5%).
Cuadro 41. Opinión de indicadores de autoeficacia
Indicadores de autoeficacia CIME Control
Nada seguro / no muy seguro 14.1 17.2 Ubicar un punto en un plano de una ciudad, indicando entre qué calles se encuentra Seguro / muy seguro 85.9 82.8
Nada seguro / no muy seguro 15.8 25.9 Identificar el nombre de un cuerpo geométrico a partir de sus caras y sus
bases Seguro / muy seguro 84.2 74.1
Nada seguro / no muy seguro 17.0 16.3 Interpretar la información presentada en una gráfica de barras
Seguro / muy seguro 83.0 83.7
Nada seguro / no muy seguro 18.6 27.2 Calcular el precio final de un aparato que tiene 30% de descuento
Seguro / muy seguro 81.4 72.8
Nada seguro / no muy seguro 19.4 33.1 Indicar cuál de las siguientes fracciones es mayor 2/5 y 1/3
Seguro / muy seguro 80.6 66.9
Nada seguro / no muy seguro 26.2 32.8 Resolver problemas que contengan una suma y una resta de fracciones
con diferentes denominadores Seguro / muy seguro 73.8 67.2
Nada seguro / no muy seguro 27.4 31.9 Ubicar números decimales en la recta numérica
Seguro / muy seguro 72.6 68.1
Nada seguro / no muy seguro 26.2 29.0 Resolver problemas de conversión de gramos a kilogramos
Seguro / muy seguro 73.8 71.0
Nada seguro / no muy seguro 28.5 37.6 Calcular el volumen de un prisma cuadrangular
Seguro / muy seguro 71.5 62.4
Nada seguro / no muy seguro 40.5 43.7 Calcular cuántos metros cuadrados de alfombra se necesitan para cubrir un piso Seguro / muy seguro 59.5 56.3
Como puede observarse, prácticamente en todos lo casos la mayor proporción de
niños con alto autoconcepto se presenta en las escuelas CIME, destacan aquellas
situaciones donde la diferencia ronda el 10% -comparación de fracciones, cálculo de
porcentajes, identificación de cuerpos geométricos-.
2.4. Resolución de problemas en la prueba escrita
Una de la hipótesis de este estudio sugería que el Modelo de Matemáticas
Constructivas genera diferencias significativas en el rendimiento de los estudiantes
en esta materia. Para comprobarla se aplicó una prueba con 14 problemas, los
cuales en su mayoría presentan características similares a los de la prueba ENLACE
-2007-, a excepción de 5 que son problemas “tipo olimpiadas” que son trabajados
con frecuencia en el marco del MMC. Es importante advertir que se optó por una
prueba de con un nivel de dificultad entre medio y alto.
89
Comprobamos que sí existen diferencias entre el desempeño de las escuelas CIME y
las escuelas control, pero éstas son mínimas, no se presenta una diferencia
estadísticamente significativa.
Cuadro 42. Promedio de calificación obtenido
Escuelas N° de alumnos Promedio de calificación
CIME 398 43.4
Control 111 41.3
El cuadro siguiente muestra el detalle del desempeño por ejes temáticos; en los
casos que es factible, se compara con los resultados obtenidos en la prueba de
ENLACE en el 2007 por las escuelas particulares del DF. En general, los niños de las
escuelas CIME tuvieron un desempeño relativamente mejor. Como puede
observarse en el cuadro 43, en 9 de las 14 preguntas de la prueba el porcentaje de
aprobación fue mayor en las escuelas CIME –aunque, como se dijo, las diferencias
no son muy altas-. Llama la atención que en las cuatro últimas preguntas que son
tipo “olimpiadas” los alumnos CIME obtuvieron mejores resultados, llegando incluso
a una diferencias de casi 10 puntos porcentuales.
Por otra parte si comparamos los resultados con los arrojados por la prueba
ENLACE, en la mayoría de los casos se aprecian diferencias notables, que alcanzan
incluso los 20 puntos porcentuales a favor de CIME.
Cuadro 43. Porcentajes de respuestas correctas en la prueba
Pregunta Tema Nivel de dificultad
CIME No CIME ENLACE
1 Números naturales Alto 39.8 35.5 30 2 Números naturales Medio 30.5 28 44
3 Números fraccionarios
Alto 48.6 54.2 30
4 Variación proporcional
Alto 40.1 35.5 32
5 Números fraccionarios
Alto 37.5 32.7 30
6 Geometría, figuras planas, escala
Alto 30.5 36.4 25
7 Geometría, sólidos Alto 45.3 57.9 34
8 Geometría, Sistema Métrico Decimal
Medio 79.8 82.2 61
9 Geometría, superficies
Alto 23.9 24.3 28
10 Manejo de información
Medio 73 72 53
11 Combinatoria Bajo 51.6 46.7 No Aplica 12 Teoría de Números Medio 35.3 24.3 No Aplica 13 Combinatoria Medio 43.1 41.1 No Aplica 14 Geometría Alto 29.7 28 No Aplica
90
En términos generales, se observa que el tema de mayor dominio para la población
CIME es el sistema métrico decimal con prácticamente el ochenta por ciento de
aprobación, sin embargo este dominio es menor al registrado en las escuelas control
donde el 82.2% de los niños contestaron satisfactoriamente esta pregunta. Para el
resto de los temas, la proporción de aprobación no fue mayor al cincuenta por
ciento. Por otro lado, el tema de menor dominio fue el de las superficies, igualmente
dentro de la geometría, donde sólo se registró un 23.9% de respuestas correctas,
proporción que está por debajo de los resultados de ENLACE (28%) y de las
escuelas control (24.3%).
Números naturales y fraccionarios.
En la prueba se contó con dos preguntas de números naturales, una de nivel alto y
otra de nivel medio. En la de nivel alto, se observa que la población CIME fue la que
obtuvo un mayor porcentaje de aprobación: 39.8%, cuatro puntos porcentuales por
arriba de lo que sucedió en las escuelas control, dejando a la proporción de ENLACE
diez puntos porcentuales por abajo. Por otro lado, la pregunta de nivel medio,
registró un mejor desempeño en ENLACE (44%), seguida por las escuelas CIME
(30.5%) y finalmente las escuelas control (28%).
Con relación a los números fraccionarios, ambas preguntas fueron del nivel alto. En
los resultados, se observa que las escuelas CIME -y también control- tuvieron un
mejor resultado que los obtenidos en ENLACE, con una distancia de casi 19 puntos
porcentuales.
Variación proporcional.
El mayor porcentaje de respuestas satisfactorias lo obtuvieron las escuelas CIME:
40.1%, seguido por las escuelas Control (35.5%), dejando no muy por debajo al
promedio nacional (32% en ENLACE).
Geometría.
En términos generales, se observa que las escuelas control obtuvieron un
desempeño ligeramente mayor al registrado por las escuelas CIME y aún más que el
de ENLACE. En este punto es necesario tener en cuenta que cuatro de las cinco
preguntas que comprenden este tema son de nivel alto y la otra de nivel medio de
dificultad. Como vimos, el tema del sistema métrico decimal de dificultad media, es
el más dominado a nivel general, las diferencias entre CIME y Control son mínimas,
mientras que en la prueba de ENLACE, los resultados obtenidos disminuyen en casi
veinte puntos porcentuales.
91
En segundo lugar encontramos el tema de los sólidos, donde nuevamente
encontramos que se dio un mayor nivel de respuesta en las escuelas control, que
registraron un 57.9% de aprobación, mientras que en las escuelas CIME alcanza al
45.3% y mucho más por debajo está ENLACE con el 34%. En términos de las otras
tres preguntas, que comprenden figuras planas y superficies, no existen diferencias
significativas entre CIME y control (salvo en el caso de las figuras planas donde
control está seis puntos por arriba de las escuelas CIME).
Manejo de información.
No se observan diferencias de consideración entre CIME y Control, pero sí
comparadas con ENLACE, donde la proporción disminuye en veinte puntos
porcentuales.
Preguntas del tipo de Olimpiadas.
La pregunta que presenta una mayor diferencia entre las escuelas control y las
CIME es la que refiere a la Teoría de Números, donde la diferencia es de más de
diez puntos porcentuales a favor de CIME. Le siguen los resultados encontrados en
la combinatoria, con una diferencia nuevamente a favor de CIME, de cuatro puntos
porcentuales.
Los resultados de la prueba fueron ordenados en cuatro niveles de desempeño: muy
bajo, bajo, alto, y muy alto. Vale la pena reiterar que esta prueba se ubicó en un
nivel de dificultad entre medio y alto, por lo que es importante leer la escala
desempeño en relación con tal nivel de dificultad, en tal sentido no podríamos
hablar de niveles insuficientes o elementales –como en el caso de ENALCE- dado
que 13 de las 14 preguntas superan un bajo nivel de dificultad.
En el nivel de desempeño muy alto se ubicó el 6.5% de la población CIME, tres
puntos porcentuales por arriba de lo que sucedió en el caso de las escuelas control.
En contraparte, en el nivel alto se ubicaron el 31.4% y 34.2% respectivamente para
los grupos CIME y control. Alrededor de la mitad de los niños de ambos tipos de
escuela se ubican en un desempeño bajo. Por último, alrededor de 15 de cada 100
niños tuvo un desempeño muy bajo.
92
Cuadro 44. Niveles de desempeño en la prueba de conocimientos
Nivel CIME Control
Muy alto 6.5 3.6
Alto 31.4 34.2
Bajo 46.7 47.7
Muy bajo 15.3 14.4
Al analizar el desempeño de los estudiantes resulta de gran importancia conocer
cuáles son las estrategias y actitudes que asumen ante la resolución de problemas.
El cuadro siguiente muestra algunas reacciones de los niños en este campo.
Cuadro 45. Estrategias y actitudes de los niños en la resolución de problemas
Estrategias y actitudes CIME (%)
Control (%)
Nunca / pocas veces 7.1 15.8 Trato de entender claramente el problema antes de empezar a resolverlo Casi siempre / Siempre 92.9 83.5
Nunca / pocas veces 79.7 69.1 Cuando veo los datos me resulta difícil saber cómo se relacionan Casi siempre / Siempre 20.3 30.9
Nunca / pocas veces 18.9 18.7 Busco qué operación o fórmula se puede aplicar directamente Casi siempre / Siempre 81.1 79.9
Nunca / pocas veces 23.9 29.5 Intento resolver los problemas y veo si las respuestas coinciden con lo que yo pienso Casi siempre / Siempre 76.1 69.8
Nunca / pocas veces 42.9 46.0 Busco nuevas formas para obtener la solución a un problema Casi siempre / Siempre 57.1 51.8
Nunca / pocas veces 67.9 66.2 Comienzo a realizar las primeras operaciones que se me ocurren Casi siempre / Siempre 32.1 33.1
Nunca / pocas veces 89.8 78.4 Me equivoco al hacer las operaciones (suma, resta, multiplicación o división) Casi siempre / Siempre 10.2 21.6
Nunca / pocas veces 85.7 76.3 Me equivoco al seleccionar las operaciones que se deben realizar Casi siempre / Siempre 14.3 23.0
Nunca / pocas veces 20.2 30.2 Cuando fracaso en mis intentos por resolver un problema, lo intento de nuevo Casi siempre / Siempre 79.8 69.8
Nunca / pocas veces 68.0 55.4 Cuando me bloqueo en la solución de un problema empiezo a sentirme inseguro, nervioso Casi siempre / Siempre 32.0 44.6
Lo primero que vale la pena resaltar es la importante proporción de niños de las
escuelas CIME (92.9%) que afirma tratar de entender el problema antes de
empezar a resolverlo, lo cual como señalamos en el marco conceptual, es una de las
estrategias centrales en esta materia. Llama igualmente la atención que a casi el
80% de los niños CIME no le resulta difícil saber cómo se relacionan los datos de un
problema, contra sólo el 69.1% de los alumnos de las escuelas control.
En cuanto a las operaciones matemáticas que llevan a cabo para resolver los
problemas, es notable el hecho de que casi la cuarta parte de los alumnos de las
escuelas control reconoce que se equivoca al seleccionar y hacer tales operaciones,
lo cual sólo ocurre en entre menos del 15% de sus contrapartes.
93
Las dos últimas situaciones recogidas en este cuadro están íntimamente
relacionadas con la seguridad necesaria para enfrentar las tareas donde entran en
juego el autoconcepto y la autoeficacia. En coherencia con lo descrito al inicio de
este apartado, los alumnos CIME parecen más seguros ante la tarea de resolver
problemas matemáticos. En el anexo 7 se presentan los resultados de estos
indicadores desglosados por escuela.
3. RELACIÓN ENTRE LOS FACTORES NO COGNITIVOS Y EL DESEMPEÑO EN LA PRUEBA
En este sentido, se indagó la relación entre los factores no cognitivos de los
alumnos y su desempeño en la prueba. La primera prueba que se realizó fue la
correlación de Pearson, con el interés de conocer el nivel de la relación entre los
constructos de autoconcepto, autoeficacia y motivación y el desempeño. Las
correlaciones encontradas alcanzan como máximo un nivel de correlación positiva
débil (entre 0.25 y 0.50), siendo la autoeficacia la que impacta en mayor medida el
desempeño, seguida por el autoconcepto. Lo anterior quiere decir que el desempeño
en la prueba de conocimientos recibe una influencia positiva de la autoeficacia.
Igualmente se realizó un análisis de regresión lineal múltiple por etapas para
explorar cuál de las variables consideradas tiene un mayor peso en la explicación de
la varianza de la variable dependiente. En este caso, se consideró como variable
dependiente el desempeño en la prueba de conocimientos, mientras que las
variables independientes fueron los constructos (autoconcepto, autoeficacia y
motivación). Como resultado de esta regresión, se concluye que la variable con una
mayor influencia en la variación del resultado en las pruebas de conocimientos es la
autoeficacia; pero, si a la autoeficacia se le suma el impacto del autoconcepto, la
posibilidad de cambio en el desempeño en la prueba alcanza al 12.6%.
Tal como se expuso en los sustentos teóricos del MMC, se comprobó que existe una
relación significativa entre los factores no cognitivos explorados. A tal efecto
encontramos una correlación medianamente significativa entre la motivación y el
autoconcepto: a mayor motivación mayor autoconcepto; muy similar a lo que
sucede en la relación entre autoeficacia y autoconcepto: a mayor autoeficacia
mayor autoconcepto. Lo mismo ocurre entre motivación y autoeficacia. En pocas
palabras, estos tres factores se interrelacionan y pueden operar como un sustrato
que puede potenciar el aprendizaje y, con ello, el desempeño en la realización de
tareas relacionadas con el mismo. De ahí que, el impulso de los mismos constituye
un acierto del MMC. En el anexo 7 se muestran los resultados por escuela.
94
CONCLUSIONES
1. Gestión escolar
La gestión escolar es un factor que influye significativamente en el buen
funcionamiento de un centro escolar y por tanto en el aprendizaje de sus alumnos.
El modelo de CIME procura el apoyo de directivos tanto para la adopción del MMC
como para su adecuada implementación. Ésta es una premisa básica para el buen
funcionamiento de este modelo educativo.
La primera conclusión a la que llegamos en este ámbito es que buena parte de los
docentes reportan que tienen apoyo de sus escuelas para la aplicación del MMC, ello
se confirma por el hecho de que casi la totalidad (96%) tomó el curso básico 1, que
es una condición elemental que la escuela debe cumplir para arrancar con el
modelo.
Sin embargo, hay dos elementos de apoyo básico que no están llegando a todo el
cuerpo docente. Sólo el 43% de los maestros recibe asesoría por parte del personal
de las mismas escuelas, lo cual es básico para alcanzar la autonomía en el dominio
del modelo, el resto -57%- mantiene una dependencia del personal de CIME, para
resolver las dificultades cotidianas que enfrentan en la enseñanza de las
matemáticas. Conviene que CIME ponga más atención en aquellas escuelas que aún
no se están haciendo cargo del apoyo a sus maestros para sugerir estrategias
internas que promuevan un mayor aprovechamiento y dominio del MMC.
Por otra parte, pese a que el CIME envía puntualmente las evaluaciones
bimestrales, ordinarias y complementarias, sólo alrededor de la mitad de los
maestros declaró recibirlas. La idea es que estas evaluaciones proporcionen
información útil a los maestros sobre el desempeño del alumnado para tomar
decisiones. Una recomendación clave es que CIME promueva la entrega oportuna y
el uso de éstas, ya que quienes sí las reciben las encuentran de gran utilidad. Es
prioritario fomentar su uso al interior de las escuelas.
En términos generales, se observan diferentes niveles de compromiso entre los
directivos de las diferentes escuelas, especialmente en torno a las implicaciones que
tiene para un centro escolar adoptar un enfoque constructivista, dado que éste
exige la transformación de muchos procesos que han venido desplegándose con
base en una perspectiva tradicional. En este estudio no se exploró el tipo de gestión
95
que se manifiesta en las escuelas cuyos directores han recibido capacitación sobre
el MMC, ésta sería una investigación ampliamente recomendable para CIME.
La correcta aplicación del MMC en una escuela puede verse interferida por
cuestiones administrativas como cambio de maestras de grado cuando han sido
capacitados para impartir otro, distribución discrecional de los materiales a ser
utilizados en los diferentes grados, por ejemplo, pueden decidir no llevar libros y
sólo regletas y geoplano o viceversa, o llevarlos sólo en determinados grados sin
ninguna justificación didáctica. Lo que claramente interfiere con el desarrollo óptimo
del MMC y, en consecuencia, con los resultados de aprendizaje que pueden
obtenerse.
Recomendaciones:
1. Promover y sugerir estrategias al interior de las escuelas para un mayor
aprovechamiento y dominio del MMC, que les permita lograr autonomía del
centro, en relación a las asesorías. En este sentido se recomienda ampliamente
enviar por lo menos a uno o dos de los docentes de cada escuela al Diplomado
del MMC, para así, lograr el propósito de dominio y autonomía.
2. Difundir la importancia de las evaluaciones CIME y promover su oportuna
entrega a los docentes. Una sugerencia es enviar alguna carta o boletín
informativo dirigido a los directores de cada plantel haciendo hincapié en la
utilidad de dichas evaluaciones.
3. Investigar más a fondo el impacto de la capacitación, a los directores en el MMC
para saber de qué manera puede influir en la gestión escolar.
4. Seguir insistiendo en las escuelas sobre la importancia de adquirir los materiales
completos (libro, regletas y geoplano) para una correcta implementación del
MMC. Para tal propósito, quizá puedan difundirse algunos de los resultados de la
presente investigación.
2. Capacitación La pregunta central que se buscó responder en este ámbito se centra en conocer
hasta qué punto la capacitación que imparte CIME a los maestros es pertinente y
eficaz para poner en marcha el MMC en los salones de clase.
96
Encontramos una respuesta contundente acerca de la pertinencia de la capacitación.
La gran mayoría declara que la capacitación recibida respondió a sus necesidades y
expectativas y esto se confirma por el hecho de que opinan que el curso es central
para comprender el enfoque constructivista de la enseñanza y los cursos están
basados en tal enfoque. Estas percepciones favorables de los maestros pueden
ubicarse en el terreno de la compresión de los principios pedagógicos básicos del
MMC; sin embargo, como se verá en el siguiente apartado la puesta en práctica
entraña limitaciones.
En lo que toca a la eficacia de la capacitación, los maestros consideran que hay una
mejoría de sus estrategias y prácticas constructivistas, pero no es suficiente porque
aún tienen necesidades específicas.
En cuanto a la suficiencia de los cursos recibidos, es notable que el 90% respondió
que con el curso tomado pueden aplicar el MMC, sin embargo la gran mayoría sólo
tomó el curso básico 1, que como ya se advirtió es de 10 horas. A pesar de que se
consideran capaces para ponerlo en marcha con las nociones básicas, prácticamente
la mitad reconoce que necesita capacitación sobre temas específicos. Esto permite
afirmar que la capacitación es una necesidad reconocida por los maestros para un
mejor aprovechamiento del MMC.
Por su parte, otra acción dirigida a mejorar las capacidades docentes por parte de
CIME, son las asesorías al profesorado de las escuelas. La mayoría de los profesores
ha recibido asesoría y además tienen un alto nivel de aceptación, por lo que se
recomienda continuar con esta práctica, teniendo presente que también es preciso
avanzar hacia la autonomía de las instituciones asegurando un cuerpo colegiado que
domine suficientemente esta propuesta de enseñanza.
En torno a la capacitación que ofrece CIME, vale la pena tener presente que ésta
parte del supuesto de que los maestros cuentan con un conocimiento previo de
matemáticas y de constructivismo, pero esto no siempre es cierto y se puso de
manifiesto al solicitarles el diseño de un ejercicio didáctico aplicando el MMC a un
tema concreto de la disciplina, pues hubo maestros que enfrentaron dificultades y
vacío tanto en el ámbito de los conocimientos declarativos como en los
procedimentales. Atención especial merecen los maestros de primaria alta, donde
no se registró maestro alguno en el nivel de desempeño más alto. Ello se vincula
con la necesidad expresadas de profundizare en la didáctica de temas específicos y
su vinculación con el MMC. Por tanto, en la capacitación es preciso poner más
97
atención en el dominio de contenidos matemáticos por parte de los maestros,
además de la comprensión de los fundamentos constructivistas del MMC.
Del mismo modo, es altamente recomendable conocer a la población que se va a
capacitar para partir de su conocimiento, por ello se recomienda un diagnóstico
(breve y conciso, respectando los tiempos tan ajustados). Con base en ello,
conviene orientar el contenido y las estrategias de los cursos para no presentar algo
que no entiendan o que no necesitan. Lo mismo puede aplicarse para el caso de las
asesorías, es aconsejable conocer más precisamente las “áreas de oportunidad”
antes de suponerlas. Para ofrecer una atención más efectiva.
Recomendaciones:
1. Diagnosticar con precisión las necesidades específicas de capacitación de los
maestros tanto en el dominio de los contenidos matemáticos como en su manejo
pedagógico con el apoyo del MMC. Elaborar programas concretos de formación
dirigíos a cada una de las escuelas que comprendan tanto los cursos y
diplomados como las asesorías,.
2. Continuar con el desarrollo de cursos de capacitación e insistir a las escuelas en
la importancia de que los docentes se capaciten el máximo posible, para obtener
mayores beneficios del MMC.
3. Conocer a la población que se va a capacitar o asesorar, a través de una breve
evaluación diagnóstica antes de impartir los cursos, para detectar conocimientos
previos, fortalezas y debilidades conceptuales y pedagógicas de los profesores.
3. Modelo y Práctica docente
Los resultados del análisis de la actividad de los maestros que participaron en este
estudio, permiten afirmar que estos docentes tienen una práctica cercana al modelo
constructivista, debido a que se percibe un interés explícito en lograr que sus
alumnos construyan los conocimientos a partir de situaciones y problemas
contextualizados, que inician con la exploración de los mismos. Además la mayoría
de los docentes muestran un manejo adecuado del error y les permiten a los niños
tener dudas y preguntar dentro de un ambiente de confianza, lo que provoca mayor
motivación e interés en las clases de matemáticas.
98
Algunos rasgos característicos de esta práctica docente permiten sustentar esta
afirmación en el hecho de que los maestros promueven que sus alumnos busquen
las estrategias adecuadas para resolver los problemas y que también razonen sobre
las mismas. De esta manera, se puede hablar de una aproximación a la
combinación del momento exploratorio de la actividad matemática con el
tecnológico-teórico que implica la reflexión sobre esa práctica. Los maestros con
frecuencia piden a sus alumnos la explicación verbal de la estrategia de la
resolución de problemas. Los ejercicios observados pueden catalogarse como
combinación incipiente y es preciso tomar en cuenta que se trata de alumnos de 6to
grado de primaria cuyas edades oscilan entre los 11 y 13 años.
Si bien, en una buena parte del profesorado advertimos estos rasgos que son
congruentes con el modelo constructivista, no puede pasarse por alto que aún la
recuperación de conocimientos previos para facilitar la asimilación y organización de
los nuevos, no constituye una práctica generalizada entre los profesores. De ahí que
éste elemento convendría ser trabajado tanto en las asesorías como en los cursos
de capacitación.
Aunado a lo anterior, el análisis de la puesta en marcha del MMC en los salones de
clase indica que, en efecto, los maestros intentan acercarse a la práctica
constructivista, pero todavía no alcanzan el desarrollo óptimo. La mayor fortaleza
observada en la ejecución de las etapas está en preguntas y respuestas breves.
Detectamos que en general, los docentes ofrecen un espacio breve a sus alumnos
para que lleguen a las respuestas y/o las reelaboren y dan mayor tiempo a la
emisión de preguntas tratando de incentivar la verbalización, sin embargo, no
logran que sus alumnos profundicen en sus respuestas.
De igual manera, se hallaron muchos momentos de formalización, donde la
actividad predominante fue hacer preguntas y no la expresión formal del
pensamiento. Preguntar parece ser una práctica generalizada, sin embargo, su
formulación es todavía muy superficial y los alumnos se encuentran en el mismo
nivel de razonamiento.
Con base en estos hallazgos, podemos inferir que el maestro a pesar de que está
intentando cambiar y transformar su práctica, aún no interioriza, ni hace suyo el
principio fundamental del enfoque constructivista que supone dar suficiente espacio
para que los alumnos enfrenten conflictos cognitivos, busquen respuestas y
99
construyan sus conocimientos. Desde el MMC es de suma importancia dar
oportunidades al alumno para que lo vaya haciendo.
En ese mismo sentido quizá debido a la falta de tiempo, se encontró que a pesar de
que los maestros consideran que los materiales son eficaces y en general
observamos que saben aprovecharlos didácticamente, detectamos diferencias entre
la frecuencia de uso reportada por los niños y los docentes, donde los alumnos
reportan un uso menor al esperado. Para confirmar dichas respuestas habría que
hacer una exploración más cualitativa acerca del uso de los materiales y diseñar
estrategias que permitan a los docentes mayor aprovechamiento de los mismos,
tomando en cuenta el factor tiempo.
En síntesis, detectamos que los maestros tienen interés de acercarse a la práctica
constructivista y esto se concreta en muchas acciones, pero todavía no se da la
transición para convertirse en facilitadores, que impulsan situaciones de aprendizaje
con el espacio y tiempo suficiente para que los alumnos procesen la información y
elaboren sus respuestas y sus reflexiones. En fin, sigue siendo un gran reto
pedagógico abandonar el modelo de enseñanza tradicional.
Podríamos afirmar que el modelo docente prevaleciente en estas escuelas aunque
tiene ciertos rasgos constructivistas, todavía no se aparta suficientemente del
modelo modernista, que pone el centro en la actividad exploratoria y en la
búsqueda de estrategias para resolver problemas, sin profundizar en los procesos
mentales que requiere el aprendizaje ni en la elaboración de modelos, como
expresión del dominio de este campo del conocimiento.
Aún sin restar peso a lo anterior, es preciso tomar en cuenta que estos cambios no
dependen sólo del maestro. Si bien es cierto que el docente necesita revisar y
transformar su práctica, también lo es que está expuesto a presiones y demandas
externas –administrativas- que le obligan a poner en práctica –o repetir- ciertas
dinámicas y estrategias que van en contra de un aprendizaje significativo. Ejemplo
de esto hay varios: a) la exigencia de hacer exámenes y otorgarles un alto peso en
la evaluación; b) la necesidad de atender a grupos muy grandes –hasta de 35- que
dificulta en extremo la atención personalizada y el respeto a los diferentes ritmos de
aprendizaje, c) el gran número de temas que componen cada programa, que hace
muy difícil dedicar a cada uno el tiempo suficiente, entre otros. Por lo tanto, la
adecuada implementación de un modelo de enseñanza basada en el constructivismo
requiere el compromiso y cambio de diferentes actores y componentes del currículo
100
escolar, y no sólo de la práctica docente. No se trata sólo de matemática
constructiva, sino de educación constructiva en general, lo que significa un cambio
de pensamiento y de paradigma en los sistemas educativos.
Recomendaciones:
1. Hacer hincapié, en las asesorías y capacitaciones, sobre la importancia de
recuperación de conocimientos previos para la asimilación y organización de
nuevos conocimientos.
2. Reforzar tanto en capacitación, como en las asesorías, la elaboración y
formulación de situaciones y preguntas más complejas de aprendizaje, por parte
de los docentes hacia los alumnos, e insistir en la importancia de fomentar el
espacio propicio para que los propios alumnos elaboren sus respuestas y puedan
reflexionar más profundamente sobre ellas.
3. Difundir los beneficios del aprovechamiento de los materiales CIME, para que
sean recuperados en mayor grado por los docentes.
4. Fomentar entre maestros y directivos la reflexión y análisis sobre su práctica
docente y sobre el enfoque constructivista de la enseñanza, como una manera
afianzar el compromiso de poner en marcha el enfoque constructivista, estando
conscientes de sus implicaciones.
4. Estrategias que estimulan las habilidades de pensamiento
A cerca de la promoción de las habilidades lógicas del pensamiento de los alumnos
encontramos que efectivamente son promovidas en clase, aunque todavía hace falta
un mayor énfasis en el manejo de algunas de ellas.
Sobre Reversibilidad a pesar de que ésta es considerada como la habilidad básica
del pensamiento lógico, de la cual se derivan las demás, se encontró que su
frecuencia en las clases aún es baja. Al parecer los maestros la trabajan muy poco
y lo que pudimos constatar es que se maneja más a nivel de cálculo mecánico.
Es necesario explicar que el desarrollo de esta habilidad en los niños es ante todo
un proceso personal, donde el maestro no puede decirle al alumno cómo se obtiene,
por el contrario, se debe permitir a través de situaciones didácticas que el alumno
101
llegue por sí mismo a manejarla. Es ahí donde no se ha dado el espacio para que los
niños desarrollen ese proceso de reversibilidad, mediante preguntas y respuestas.
La cuestión probablemente está, en la falta de tiempo para poder desarrollar el
diálogo que implica la reversibilidad, o bien otra hipótesis al respecto, es que debido
a que la mayoría de los profesores se formo con el método tradicional, el cuál
suponía la promoción mínima de estas habilidades, el dominio y manejo de éstas, es
un recurso que los propios profesores están desarrollando para sí mismos, a la par
que con sus alumnos, con este método.
Para estimularla se recomendaría que el CIME pusiera más ejemplos de
reversibilidad para que los maestros los tomen y los apliquen en clase. De igual
manera se sugiere que se recurra a más actividades como las propuestas en el
Manual CIME de 650 problemas, dónde hay indicaciones precisas para hacer
ejercicios en un sentido y viceversa, también se recomienda proponer el uso de
disfraces “originales” a los niños y problemas dialogados como los que son descritos
en el Manual de Notas Básicas de CIME.
Por otra parte, se encontraron mejores resultado en el manejo de otras habilidades
como son Flexibilidad y Pensamiento creativo, las cuales mostraron un mejor
manejo por parte de los docentes y mayor promoción en clase. Dentro de las
habilidades propuestas, la flexibilidad de pensamiento parece ser una fortaleza para
los docentes que cada vez están más acostumbrados a plantear a sus alumnos
“¿Quién lo resolvió de otra manera?”.
Acerca del manejo de Abstracción por medio del lenguaje algebraico, se
constató que en sí mismo el uso de las regletas constituye un avance importante en
el empleo y uso del lenguaje algebraico. Con este estudio pudimos advertir que el
manejo de las regletas en clase es fundamental para el desarrollo de esta habilidad
ya que facilita enormemente la transición de lo concreto a lo abstracto y tiene un
potencial enorme para la comprensión y manejo de incógnitas en algebra. De ahí la
importancia de hacer énfasis en que los docentes no dejen de lado el uso de esta
poderosa herramienta.
Recomendaciones:
1. Recurrir a más actividades que promuevan la reversibilidad en capacitación y
asesoría. Que se planteen más ejemplos a los docentes sobre como promoverla
en clase. De igual manera, se sugiere la recuperación del Manual CIME de 650
102
problemas y los problemas dialogados propuestos del Manual de Notas Básicas
de CIME. Así como la elaboración disfraces “originales”.
5. Resultados: El aprendizaje de las matemáticas con base en el MMC
El estudio reveló de acuerdo a como se manejo en las hipótesis iniciales, que el
MMC sí tiene un impacto significativo en la motivación, autoconcepto, y autoeficacia
de los alumnos. Este es un elemento importante, dado que estos factores funcionan
como motor positivo mejorando la disposición de los niños a aprender y
ayudándolos a realizar aprendizajes más significativos.
De acuerdo a los resultados de esta investigación se constató que la autoeficacia es
la variable que tiene mayor impacto sobre el desempeño de los estudiantes en la
prueba de conocimientos, y no se puede perder de vista que este concepto está
estrechamente relacionada con la motivación y el autoconcepto.
Los alumnos que llevan el MMC alcanzaron mejores resultados en la prueba, sin
embargo, no se encontraron diferencias significativas entre los estudiantes del
grupo control y en ese sentido probablemente no se cumpla la hipótesis para la
resolución de pruebas escritas, sin embargo, reparamos que existen diferentes
factores que influyen en estos resultados.
Por una parte están las condiciones de aplicación de la prueba que en algunos casos
se aplicó casi a la par de la prueba de Olimpiadas del Conocimiento, por lo que
quizá los alumnos se encontraban saturados de evaluaciones y al realizar una
evaluación más, cuya calificación no les representaba nada en términos formales, su
resolución pudo ser menos concentrada. Por la otra, la realización de esta
investigación permitió reconocer que no es posible valorar todos los aspectos
cognitivos de manera efectiva sólo a través de una prueba de conocimientos.
Para la realización de una evaluación más completa, sería necesario explorar más
profundamente las estrategias que utilizan los alumnos para resolver problemas y
no la simple evaluación de respuestas correctas. Una evaluación que pudiera
detectar el nivel de confianza y seguridad con la que los niños se acercan al
aprendizaje y las situaciones problemáticas en general, sería ampliamente
rescatable.
103
En este sentido, se confirmó que de las grandes fortalezas que tiene el MMC en su
aplicación y aprovechamiento en el salón de clases está la confianza, flexibilidad y
creatividad, que se maneja en las clases. Habilidades determinantes para el futuro
de los estudiantes.
En relación a la adquisición de estos recursos y habilidades, se formuló la hipótesis
de que a futuro los niños que han aprendido matemáticas bajo este modelo pueden
verse favorecidos en el dominio de las matemáticas, dado que el nivel de
aproximación que tienen los alumnos de primaria por el momento, constituirá
únicamente las bases para la comprensión, que sin embargo, podría detonarse
posteriormente. Dicho estudio quizá valdría la pena realizarlo con alumnos de
secundaria o bachillerato que se formaron con el MMC.
Recomendaciones:
1. Diseñar investigaciones sobre el desarrollo de habilidades de pensamiento y las
estrategias de resolución de problemas que utilizan los niños que aprenden
matemáticas con el MMC.
2. Continuar haciendo énfasis en la importancia de promover la motivación, la
confianza y la seguridad en sí mismos de los alumnos, como base del
autoconcepto, y la autoeficacia.
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