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ELECRTONICATRANSCRIPT
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MAPAS DE KARNAUGH DE CINCO Y SEIS VARIABLES
Tello Cordones Jossbell Fabián E-mail: [email protected]
Toalombo Chicaiza Inti Rumiñahui. e-mail: [email protected]
Viera Luna Cristian Mauricio e-mail: [email protected]
Ingeniería Mecatrónica, Sexto Nivel B, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.
Fecha de presentación: 05/06/2015
RESUMEN: El presente trabajo de investigación
está basado en el conocer métodos de simplificación de expresiones booleanas de mayor número de variables (Mapas de Karnaugh de cinco y seis variables), de los cuales se obtendrán definiciones claras y concisas con sus respectivos métodos de solución.
PALABRAS CLAVE: Expresiones booleanas, Mapa
de Karnaugh, variables.
1. INTRODUCCIÓN
El Mapa de Karnaugh es un método usado para simplificar expresiones booleanas a partir de expresiones generadas por: suma de productos y productos de suma, los cuales mediante el álgebra de Boole presentan un menor grado de dificultad en su simplificación. Este mapa muestra los posibles valores de entrada y salida de las variables presentándolos en forma de matriz de celdas, cuyo rango viene definido por el número total de posibles combinaciones de las variables de entrada. Las celdas contienen un valor binario de las variables de entrada y la simplificación de una expresión consiste en la agrupación adecuada de las celdas.
2. DESARROLLO
2.1 MAPAS DE KARNAUGH DE CINCO VARIABLES
Para la realización de un mapa de Karnaugh de cinco variables (ABCDE) se usan dos mapas de Karnaugh de cuatro variables (BCDE), a un mapa le corresponde A=0 y al otro A=1 (Tabla 1), además se aplica la adyacencia de celdas entre los dos mapas de Karnaugh de cuatro variables.
DE BC 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 0 0
10 0 0 0 1
A=0
DE BC 00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 0 0
10 0 0 0 1
A=1
Tabla 1. Mapa de Karnaugh de 5 variables
Fuente: Floyd Thomas, “Sistemas digitales principios y aplicaciones”, Ed. 9.pp 228-249. Editorial Pearson
Educación. 2006. [1]
Para desarrollar la adyacencia de celdas entre los dos mapas es necesario colocar el mapa de A=0 encima del mapa A=1. La Figura 1, muestra un ejemplo de agrupación de los dos mapas de Karnaugh de cuatro variables, en el cual tenemos:
Los 1s de la parte izquierda de A=1 y A=0, conforman un grupo de 8 bits y su término es DE’
Los 1s de la parte izquierda de A=0, forma un solo grupo de cuatro bits y su término es A’BD’
Los 1s de color gris oscuro de A=1 y A=0, forman otro grupo de cuatro bits y su término es
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B’CE Finalmente el 1 de A=1 se agrupa con un 1 de
A=0 de la parte inferior derecha. Formando un solo grupo de dos y su término es BC’D’E
Finalmente la expresión simplificada es:
X = DE’ + B’CE + A’BD’ + BC’D’E
Figura 1. Agrupación de 1s en celdas adyacentes
Fuente: Floyd Thomas, “Sistemas digitales principios y aplicaciones”, Ed. 9.pp 228-249. Editorial Pearson
Educación. 2006. [1]
2.2 EJEMPLO ILUSTRATIVO
Simplificar la siguiente expresión suma de productos de 5
variables.
X=A’B’C’D’E’+A’B’CD’E’+A’BCD’E’+A’BC’D’E’+A’B’C’D’E
+A’BCD’E+A’BCDE+AB’C’D’E’+AB’C’D’E+ABCD’E+ABC
DE+AB’CDE
Figura 2. Mapas de karnaugh del ejemplo
Fuente: Floyd Thomas, “Sistemas digitales principios y aplicaciones”, Ed. 9.pp 228-249. Editorial Pearson
Educación. 2006. [1]
La Figura 2. Muestra las agrupaciones y términos obtenidos, los cuales son:
Los 1s de la parte izquierda de A=0 conforman un grupo de 4 bits y su término es A’D’E’
Los 1s de la parte izquierda superior de A=0 y A=1, forma un grupo de cuatro bits y su término es B’C’D’
Los 1s de color gris oscuro de A=1 y A=0, forman otro grupo de cuatro bits y su término es BCE
Finalmente agrupo los 1s de A=1 de gris más claro, formando un grupo de dos y su término es ACDE
Finalmente la expresión simplificada es:
X=A’D’E’ + B’C’D’ + BCE + ABCE
3. MAPAS DE KARNAUGH DE SEIS VARIABLES
El mapa de Karnaugh de 6 variables tiene a su favor que al utilizarlo la expresión booleana se puede simplificar de una manera breve sin complicaciones ocupa 2
6=64 celdas en la siguiente figura se observa su
representación:
Figura 3 Mapa Karnaugh 6 variables (Carranza,
2013)[10]
La diferencia del mapa de 5 variables con el mapa de 6 variables que el mapa de cinco variables se genera a través de dos mapas de 4 variables [6]
“Note que ahora una casilla, además de ser adyacente en forma horizontal o vertical, es adyacente a la casilla que ocupa la misma posición en el cuadrado cercano horizontal y en el cuadrado cercano vertical (ver Figura 3).” [7]
Los mapas con seis o más variables requieren mayor cantidades de celdas y su uso resulta impráctico, para poder operar este tipo de mapas es necesario hacer uso de programas de computadora los cuales son capaces de realizar simplificaciones booleanas, con un gran número de variables simplificando el trabajo casi al 100 %.
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3.1 SIMPLIFICACION DE VARIABLES
“La simplificación de la función booleana tiene sus bases en la elección y formación de grupos de unos, ya sean estos grupos de dos, cuatro u ocho, (ver Figura 4).” [8]
“NOTA’’ Se pueden agrupar los 1 y 0 en la forma 2
n obteniendo
siempre una agrupación par
Figura 4. Ceros y unos (Fundamentos de Logica Digital,
2007)[11]
“Para obtener la función simplificada en forma de productos de sumas es consecuencia de las propiedades básicas así como de los teoremas del algebra booleana” [9] Como por ejemplo, la utilización de los teoremas del algebra booleana, entre los más útiles está la de idempotencia y absorción los cuales nos serian de mucha ayuda en el método analítico y para poder comprobar si la solución que nos brindó el mapa es correcta es decir una manera de comprobar resultados:
a+ a = a
a +a = 1
a + a*b = a
a+ a´*b = a + b
a * a = a
a* 0 = 0
a*(a + b) = a
a*(a+ b) = a*b
3.2 EJEMPLO ILUSTRATIVO Simplifique la siguiente ecuación que está dada como una suma de min términos La función es:
(1)
[5] Agrupando los unos (1s):
Tabla 2. Agrupación de variables si A=0 y B=0 Fuente: UPB seccional Bucaramanga, 2015, [4].
A=0 CD
EF 00 01 11 10
00 1 1 0 0
B=0 01 1 1 0 0
11 X X 0 1
10 X X 0 X
A'B'CE
Tabla 2. Agrupación de variables si A=1 y B=0
Fuente: UPB seccional Bucaramanga, 2015, [4].
A=1
C'E'B' CD
EF 00 01 11 10
00 1 1 0 0
B=0 01 1 1 0 0
11 1 1 0 0
10 0 0 0 1
Tabla 3. Agrupación de variables si A=0 y B=1
Fuente: UPB seccional Bucaramanga, 2015, [4].
A=0 CD
EF 00 01 11 10
C'E'A' 00 1 1 1 1
B=1 01 1 1 0 0
11 0 0 0 0
10 0 0 X X
Tabla 4. Agrupación de variables si A=1 y B=0 Fuente: UPB seccional Bucaramanga, 2015, [4].
A=1 CD
EF 00 01 11 10 00 X X 1 1 B=1 01 1 0 X 0 11 1 X X 0 CD'EF'
10 0 0 1 1 C'D'FA
CF'B
Entonces se obtiene la función simplificada:
4
K
Para resolver o simplificar una función por este método se sigue el siguiente algoritmo que es aplicable para cualquier número de variables. Del problema y de la tabla funcional que se tiene definido se obtiene la función canónica, posteriormente los mini términos o maxi términos de la función canónica se trasladan al mapa K ,entonces se coloca un 0 si es maxi termino y un 1 si es mini termino y se los enlazan tratando de que abarque el mayor número de términos siguiendo la regla de formación binaria, así: de 1en1,2 en 2,4 en 4,8 en 8;cuidando la simetría con los ejes centrales y secundarios si anteriormente se haya tomado un término para un enlace se puede volver a utilizarse el mismo en otro enlace ,la función simplificada tendrá tantos términos como enlaces realizados.[5]
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Los mapas de Karnaugh son una herramienta muy útil para lograr la simplificación de expresiones booleanas de una manera más sencilla, obteniendo expresiones simples las cuales todavía pueden ser simplificadas aún más usando algebra booleana.
Para una mayor facilidad al realizar los mapas de Karnaugh de cinco variables, es necesario colocar arriba el mapa de A=0 para observar de mejor manera los grupos a conformar.
Es estrictamente necesario agrupar los términos
siguiendo la regla de formación binaria, y cumpliendo con las reglas de simetría para poder evitar errores en los resultados obtenidos.
Es recomendable comprobar los resultados
obtenidos por mapas K, con una tabla de verdad para cerciorase lo que se obtiene como simplificación es confiable para ser aplicada.
La aplicación de los mapas de Karnaugh permite
simplificar expresiones booleanas sin necesidad de utilizar algebra booleana y reduce en gran parte el proceso analítico
Al momento de simplificar el mapa es necesario
agrupar los 1 y 0 de la forma 2n tomando en
cuenta que siempre se deben agrupar en ’pares ‘
5. REFERENCIAS [1] Floyd Thomas, “Sistemas digitales principios y aplicaciones”, Ed. 9.pp 228-249. Editorial Pearson Educación. 2006. [4] [2] Morris mano, “Diseño digital”, Ed. 3.pp 81-87. Editorial Pearson Educación. 2007. [3] Jhon wakerly, “Diseno digital – Principios y tácticas”, Ed. 3.pp 221-235. Editorial Pearson Educación. 2008.
[3] Ronald J.Tocci, Neal S. Widmer, Gregory L.Moss “sistemas digitales principios y aplicaciones”, Ed. 10.pp 36-38.Editorial Pearson Educación. 2007. [4]Algebra de Boole y simplificación lógica. Disponible en: http://clrueda.docentes.upbbga.edu.co/web_digitales/Tema_2/ejerciciost2_II.html. Revisado: 02/06/15 [5] Mapas de Karnaugh. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos14/karnaughmapa/karnaughmapa.shtml#SEIS. Revisado: 02/06/15 [6]Elo. (2013, 06 12). Revisado 06 04, 2015, disponible en http://www2.elo.utfsm.cl/~lsb/elo211/clases/c05.pdf [7] Mapas de Karnaugh (2012) disponible en: http://www.slideshare.net/yonson/mapas-de-karnaugh [8] Cecilio Blanco Viejo, electrónica Digital, Universidad de Oviedo, España, 2003 [9] Morris Mano, Diseño Digital,3° edición, Pearson Educación, México, 2003. [10] Carranza, N. (15 de 02 de 2013). electronica digital. Recuperado el 04 de 06 de 2015, de http://www.electronicadigital1.8m.net/mapas.htm
[11] Fundamentos de Logica Digital. (19 de 11 de 2007). Recuperado el 04 de 06 de 2015, de http://www.google.de/imgres?imgurl=http%3A%2F%2Fbp0.blogger.com%2F_js6wgtUcfdQ%2FR8c5wIRXcDI%2FAAAAAAAACpY%2FFCH0CmrJXPI%2Fs400%2Fmapa_de_Karnaugh_vaciado_de_tabla_de_verdad