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7/23/2019 Mapas de Karnaugh - Monografias

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mapas de Karnaugh

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1. Mtodo de reduccin de mapas de Karnaugh2. Mapas de Karnaugh de 5 variables3. Mapas de Karnaugh de 6 variables

Otra manera de simplificar funciones es representndolas en mapas de Karnaugh. Esto es

equivalente a resolver las simplificaciones por teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que

resulta ms fcil visualizar las simplificaciones si se presentan grficamente.

Los mapas de Karnaugh pueden aplicarse a dos, tres, cuatro y cinco variables. Para ms variables, la

simplificacin resulta tan complicada que conviene en ese caso utilizar teoremas mejor. Para

efectos de clase, veremos las simplificaciones de dos, tres y cuatro var iables.

Ejemplo 1: Simplifica la funcin de dos variables f = a'b + ab' + ab

Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de dos variables. Se representa como

una tabla. Para llenar la tabla, pongo un uno donde se intersecte el valor de la funcin. Por ejemplo,para el primer trmino de la funcin f = a'b + ab' + ab, se ha marcado en rojo donde se puso el 1 en la tabla.

Una vez hecho el mapa, debemos marcar las regiones contiguas que manejen 1s. Aqu en el dibujo vemos cmo se marcan dos regiones. Estas regiones

son las simplificaciones. Como la regin azul involucra solamente a la b, eso representa. La reginverde, por su parte, involucra solamente a la a. Para

cada regin, debemos checar qu variables involucra. En el caso de la regin azul, cubre a la b, pero con respecto a la variable a maneja tanto a como a

y por eso se descarta la a. Una vez definidas las regiones, se escribe la funcin simplificada f= b + a.

Ejemplo 2: Simplifica la funcin de tres v ariables f = a'b + ab'c + c'

Lo primero que debo de hacer es representarlo en un mapa de tres variables. Se representa como se muestra en la tabla. Para llenar la tabla, pongo un

uno donde se intersecte el v alor de la funcin. Por ejemplo, para los trminos de la funcin f = a'b +ab'c + c', se ha marcado donde se puso el 1 en la

tabla.

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Ahora debemos buscar las regiones que nos indiquen la funcin simplificada. Lo primero que debemos observar es que las regiones pueden agruparse

de los extremos del mapa, como la regin azul. Esta regin representa a c'. Ahora, v emos que queda un bit en a'bc, pero siempre conviene agruparlo lo

ms posible, en regiones cuyas celdas sean mltiplos de 2 (1, 2, 4, 8...) En este caso, la agrupamos con el 1 contiguo, para que la regin quede como a'b

La regin verde se agrupa para formar ab'. As, la funcin resultante sera f = a'b + ab' + c.

Ejemplo 3: Simplifica la funcin de cuatro v ariables f = ac'd' + a'bd + abcd + ab'cd + a'bc'd' + a'b'c'd'

Nuevamente, lo primero que hacemos es vaciar la funcin al mapa. Ntese la forma que toma el mapa.

Ahora, lo siguiente es agrupar las variables en regiones. La primer a regin, la roja, est agrupada de las esquinas. Esta agrupacin representa a c'. La

siguiente regin, la verde la agrupo con el 1 que tiene abajo. Pude haberla agrupado con el 1 a la derecha, pero hubiera significado agrupar un 1 ya

agrupado, y dejar otro 1 an no agrupado sin agrupar. As que se agrupa de esta forma, y la regin verde representa a a'bd. Los 1s que quedan hasta est

momento libre pueden agruparse juntos, en la regin azul. Esto representa a acd.

Es importante notar la regin naranja. Representa a bcd. Esta regin es una simplificacin adicional v lida, que pudo haberse manejado. En ocasiones,

habr varias formas de agrupar a los 1s. T odas son vlidas, y representan soluciones equivalentes. Sin embargo, hay que cuidar de siempre agrupar las

regiones lo ms grandes posibles, y cuidando de agrupar a los 1s de manera que se repitan lo menos posible.

MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH

El lgebra de Boole, resuelve problemas que dependiendo del nmero de trminos que tena la funcin cannica, siendo el nmero decompuertas lgicas utilizadas igual al nmero de trminos obtenidos MS UNO; por lo tanto, los c ircuitos obtenidos son de dos niveles deconmutacin con un tiempo mnimo de retardo, pero que de ninguna manera es el ms sencillo ni el ms econmico.

2.1 Generacin de MAPA DE KARNAUGH de 2 y 3 variables.

Los mapas deKarnaugh es uno de los mtodos ms prcticos. Se puede decir que es el ms poderoso, cuando el nmero de variables deentrada es menor o igual a seis; ms all, ya no es tan prctico. En general, el mapa deKarnaugh se considera como la forma grfica de unatabla de verdado como una extensin del diagrama de Venn.

Antes de explicar como se utiliza el mapa deKarnaugh en la minimizacin de funciones, veremos como se obtiene el mapa. Esto nace de larepresentacin geomtrica de los nmeros binarios. Un nmero binario de n bits, puede representarse por lo que se denomina un punto enun espacioN. Para entender lo que se quiere decir con esto, considrese el conjunto de los nmeros binarios de un bit, es decir 0 o 1. Esteconjunto puede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unidos por una lnea. Tal representacin se denomina ucubo 1.

De la Figura 2.1, se observa que el cubo 1 se obtuvo proyectando al cubo 0 y que el cubo 2 se obtendr proyectando al cubo 1.


3/23

De la Figura 2.2, se observa que al reflejarse el cubo 1 se obtiene un cuadriltero cuyosvrtices representan unnmero binario. Estosnmeros se obtienen al agregar un 0 a la izquierda de losvrtices del cubo reflejado. Del cubo 2 se observa que se obtienen 4 vrtices, loscuales corresponden a las combinaciones de dos variables (22=4), pero si se sigue la trayectoria indicada en la Figura 2.2.b, se podrobservar que al pasar de unvrtice al otro, existe un solo cambio, lo que da lugar a un cdigo especial, debido que a no sigue la formacin delcdigo binario, como se muestra en la siguiente tabla. Ms adelante le daremos un nombre a este cdigo.

A B

0 0

0 1

1 1

1 0

Ahora, si a cada vrtice del cubo 2 se le asigna un casillero, se tendr la Figura 2.3.

De la Figura 2.3.(b), si proyectamos el cubo 2, obtendremos el cubo 3, el cual se muestra en la Figura 2.4.


4/23

De la Figura 2.4.b, si seguimos la trayectoriamarcada por las flechas obtendremos la siguiente tabla, en donde de uncarcter a otro existe unsolo cambio; otra caracterstica de la tabla, es el reflejo que existe entre los caracteres 1-2 y5-6 de la columna C y el reflejo entre los caracteres 23-4-5 en la columna B. El reflejo que existe siempre es con respecto al eje central de simetra.

Ahora que tenemos el cubo 3, podemos obtener la representacin en la forma de la Figura 2.3.(a), (b) y(c), lo cual se muestra en la Figura 2.5

El levantamiento del cubo 3, a partir de la Figura 2.5, se muestra en la Figura 2.6.


5/23

Ahora, si asignamos una rea a cada punto, como se muestra en la Figura 2.7, se obtendr la representacin que se denomina mapa del cuboN,que en este caso fue desarrollado para un cubo 3. Como se tienen 8 casilleros, stos corresponden a lascombinaciones de tres variables, lacuales pueden serA, B yC, siendoAla ms significativa yC la menos significativa, por lo que la tabla funcional para presentar este mapa es

DEC

CDIGO

BINARIO GRAY

A B C G1 G2 G3

01234567

00001111

00110011

01010101

00001111

00111100

01100110

La primera tabla corresponde al cdigo binario y la otra corresponde al cdigo especial que en realidad se le conoce como cdigo de Grayocdigo reflejado. Como veremos, ambos cdigos estn implcitos en el mapa de Karnaugh.

Si observamos el mapa de la Figura 2.8.(d), cada casillero tiene asignado un nmero, el cual corresponde a un nmero del cdigo binario. De lamisma figura pero del inciso (e), si seguimos la trayectoria marcada por las flechas, cada nmero representa a un carcter del cdigo Gray.


6/23

En la tabla anterior, se muestran cada uno de los cdigos mencionados.

2.2 Procedimiento para MINIMIZAR una FUNCIN por MAPAS K

En forma definitiva, el mapa que se utilizar para la minimizacin de funciones booleanas con tres variables, ser el que se muestra en laFigura 2.9.(d). A continuacin explicaremos la forma como se utilizar en este mapa. Los pasos a seguir sern los mismos para cualquier mapa, nimporta cual sea el nmero de variables.

1. De la definicin del problema y de la tabla funcionalse obtiene la funcin cannica.

2. Los minitrminos o maxitrminos de la funcin cannica se trasladan al mapa K. Se coloca un 1 si es minitrmino y0 si es

maxitrmino.3. Se realizan los enlacesabarcando el mayor nmero de trminos bajo los siguientes criterios:

a) El nmero de trminos que se enlazan (agrupan) deben seguir la regla de formacin binaria, es decir, de 1 en 1, de 2 en 2, de 4 en 4, de 8 en 8,etc.

b) Al agrupar los trminos, se debe cuidar la simetra con los ejes centrales ysecundarios.

4. El hecho de que se haya tomado un trmino para un enlace no quiere decir que ste mismo no pueda utilizarse para otros enlaces.

5. La funcin reducida tendr tantos trminos como enlaces se hayan realizado.

6. Para obtener el trmino reducido se realizan dos movimientos sobre el mapa, uno vertical, quebarrea lasvariables ms significativ asyotro horizontal, que barre a lasvariables menos significativas.

7. Se aplican los siguientes postulados:

A . A' = 0

A . A = A

EJEMPLO 1.Disear un circuito lgico combinatorio que detecte, mediante UNOS, los nmerospares para una combinacin de 3variables de entrada.

SOLUCIN

a)Diagrama a bloques. El diagrama a bloques se presenta en la figura adjunta.

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7/23

b)Tabla funcional: Para propsitos del problema, se considera a 0 como un nmero impar:

DEC A B C Z

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

c) Funcin cannica.

Z = Sumaminitrminos (2,4,6)

d) Reduccin por mapas de Karnaugh.

La figura adjunta muestra los minitrminos de la funcin de conmutacin y los enlaces Correspondientes.

e) Obtencin de la funcin reducida.

Del mapa, figura anexa, se observa que existen dosenlaces; por lo tanto la funcin reducida tendr dos trminos, de acuerdo con el paso5 delprocedimiento de reduccin.

Para cada enlace, se realiza elbarrido para cada una de las variables. Por orden, es conveniente iniciar con lavariable de may or peso

binario, en este casoA.

Como se muestra en lafigura adjunta, una parte del enlace(1), el elemento 6, se encuentra dentro delbarrido y otra, el elemento 2, fuera de l. Estoindica que se tieneA.A', que es igual a 0, por lo que esa variable no participa, se elimina, del trmino reducido.

Para mayor claridad, tomemos la suma de los minitrminos2 y6:


8/23

A'BC' + ABC' = (A' + A)BC' = BC'

Como puede observarse, la variableAse elimina del trmino reducido.

Lafigura adjunta presenta elbarrido de B. En este caso, el enlace(1) est contenido dentro delbarrido, lo cual corresponde a B.B = B, lo quesignifica que esta v ariable forma parte del trmino reducido.

Finalmente, elbarrido de la variable C, de menor peso binario, es horizontal y se muestra en lafigura adjunta. Claramente se observa que elenlace (1) est fuera del barrido, es decir se encuentra en C', indicando que dicha variable forma parte del trmino reducido.

El trmino reducido correspondiente al enlace (1) es BC'.

Siguiendo el mismo procedimiento y apoyndonos en las3 figuras previas, se encuentra que para el enlace (2), el trmino reducido esAC'. Lafuncin reducida en este primer ejemplo es:

Z(A,B,C) = BC+AC

(1) (2)

f) El logigrama queda:

Para ver el grfico selecc ione la opcin "Descargar" del men superior

EJEMPLO 2.COLECTOR AUTOMTICO DE PEAJE.

Se han introducido colectores automticosde peaje en diversas casetas de autopistas para acelerar el f lujo de trfico. Se nos pide construir uncircuito lgico combinatorio que sea parte del colector automtico. Este circuito es para contar la cantidad de monedas que han sidocolocadas en el colector. Si se depositan 15 pesos (nicamente monedas de 5 y10 pesos), entonces se enciende una luz de pasa (colorverde) yse enva una seal al colector para recolectar las monedas; de otra manera, la luz de alto (color rojo) permanecer encendida.


9/23

SOLUCION

Examinando el planteamiento del problema, se observ a que haydosseales de entrada yuna seal de salida, las que se definen como:

C = Nmero de monedas de cinco pesos depositadasD = Nmero de monedas de diez pesos depositadasZ = Comando para la seal luminosa y el control de recoleccin

Estas variables tomarn los siguientesvalores enteros ylgicos:

0


10/23

EJEMPLO 3. Un contador digitalcontiene un registro de 3 bits. El contador cuenta desde 0 = [0 0 0] hasta 7 = [1 1 1], se restablece y empieza lacuenta nuevamente. Este contador es usado, como se muestra en el diagrama a bloques adjunto, para generar tresseales de control, C1, C2 yC3. Estas seales toman un valor de 1, de acuerdo c on las siguientes condiciones:

C1 = 1 para una cuenta de 0, 1,3, 5 y7C2 = 1 para una cuenta de 0, 3, 5 y6C3 = 1 para una cuenta de 0, 3, 4 y7

Disee un circuito lgico combinacional que genere C1, C2 yC3.

SOLUCION

a) Tabla funcional:

X3 X2 X1 mi C1 C2 C3

00001111

00110011

01010101

01234567

11010101

10010110

10011001

Para este caso en particular, no es necesario realizar la tabla funcional, ya que las condiciones del problema definen claramente para qu valoresde entrada lasfunciones de salida tienen un valor de 1; es decir, los minitrminos asociados a cadafuncin de salida. Sin embargo, por

procedimiento, siempre es conveniente realizar la tabla funcional.

b) Funciones lgicas de conmutacin de lasvariables de salida:

C1(X3,X2,X1) = Sumaminitrminos (0,1,3,5,7)

C2(X3,X2,X1) = Sumaminitrminos (0,3,5,6)

C3(X3,X2,X1) = Sumaminitrminos (0,3,4,7)

c) Lafigura adjunta muestra los mapas de Karnaugh para C1, C2 yC3.

d) De los mapasK, se obtienen las funciones reducidas siguientes:

C1=X1 + X3'X2'(1) (2)

C2=X3'X2'X1' + X3'X2X1 + X3X2X1' + X3X2'X1(1) (2) (3) (4)

C3=X2X1 + X2'X1' = X2 OEXC X1(1) (2)

De la expresin C2, se observa que no existen enlaces en el mapa. Por lo tanto, no se obtiene una funcin reducida, pero empleando el mtodoalgebraico, vemos que existe minimizacin por exclusividad.

El siguiente desarrollo muestra el procedimiento para la reduccin de C2 a expresiones de exclusividad:

C2 = X3'(X2'X1' + X2X1) + X3(X2X1' + X2'X1) = X3'(X2 OEXC X1)' + X3(X2 OEXC X1) =

= [X3 OEXC (X2 OEXC X1)]' = (X3 OEXC X2 OEXC X1)'

e) El logigrama correspondiente a las funciones reducidas C1, C2 yC3, se muestra en la siguiente figura:


2.3 MAPAS de KARNAUGH de 4 VARIABLES

Hasta ahora se ha utilizado el mapa de Karnaugh para minimizar funciones de 3 variables. A continuacin se usar el mapa de Karnaugh para 4


11/23

variables.

El mapaKpara 4 variables se obtiene proyec tando el mapa de 3 variables. Cuando el nmero devariables es par proyectamos hacia abajo ycuando es impar proyectamos hacia la derecha. La Figura 2.10.(a) muestra la proyeccin del cubo 3, para generar el cubo 4. Obsrvese que alcubo que se proyecta se le agrega un 0 a la izquierday alproyectado un 1 a su izquierda. Dentro de cada celda se indica elvalor binario asociadoa ella, el cual se obtiene sustituyendo losvalores binarios correspondientes a cadavariable.

Sustituyendo losvalores binarios por su decimal equivalente, se obtiene el mapa de Karnaugh de 4 variables, el cual se usar posteriormentepara minimizar funciones de conmutacin de 4variables. Este mapa se muestra en la Figura 2.10.(b).


Para obtener el cdigo Graypara 4variables, se traza la greca de Gray en el mapa de la Figura 2.10.(b), como se muestra en la Figura 2.10.(c). Obsrvese que se inicia en la celda0, hacia abajo hasta la celda2, a la derecha a la celda6, arriba hasta la celda4, a la derecha a la celda12,hacia abajo hasta la celda14, a la derecha a la celda10 y hacia arriba hasta la celda 8.

Siguiendo la greca de Gray de la figura adjunta, se obtiene el cdigo de Gray, como se muestra en la tabla de la Figura 2.10.(d), donde tambin sepresenta la relacin entre los cdigosbinario y de Gray.

mi D

BINARIO GRAY

A B C D G3 G2 G1 G0

0123456789101112131415

0000000011111111

0000111100001111

0011001100110011

0101010101010101

0000000011111111

0000111111110000

0011110000111100

0110011001100110


12/23

FIGURA 2.10.(d). Tabla de los CDIGOS BINARIO y GRAY

EJEMPLO 4. Utilizando el mapa de Karnaugh, determine las realizaciones mnimas de suma de productos de las siguientes funciones:

a) F(A,B,C,D) = Sumaminitrminos (0,4,6,10,11,13)

b) F(A,B,C,D) = Sum aminitrminos (3,4,6,7 ,11,12,14,15)

c) F(A,B,C,D) = Sumaminitrminos (1,3,6,8,9,11,15) + Sumaindiferentes (2,13)

SOLUCION

A continuacin se presentan los mapasKpara cada inciso, as como las funciones mnimas, siguiendo el procedimiento establecido

anteriormente.

De los mapas K, se obtienen las funciones mnimas siguientes:


13/23

EJEMPLO 5. Se desea disear un circuito lgico combinatorio de dos salidas ycuatro entradas que efecte sumas en mdulo 4. Latabla de suma en mdulo4 se muestra en la tabla siguiente. Por ejemplo, (3+3)MD 4 = 2. En consecuencia, se anota un 2 en la hilera3,columna3 de la tabla (NOTA: no se considera el acarreo), y as sucesivamente. Los nmeros de entrada se deben codificar en binario, endonde un nmero de entrada est dado por X2X1 y el otro porY2Y1. La salida tambin se codifica como un nmero binarioZ2Z1. Es decirZ2Z1 = 00 si la suma es 0; 01 si la suma es 1; 10 si la suma es 2 y11 si la suma es 3.

X0 1 2 3

Y

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Determinar las expresiones booleanas mnimas para Z2 yZ1 yrealizar el logigrama.

SOLUCION

En este caso nos podemos ahorrar la tabla funcional, puesto que podemos sustituir los valores directamente en el mapaK, de acuerdo a la tabla dla suma de mdulo 4 siguiente:

SUMAZ

Z2 Z1

0123

0011

0101

Para poder trasladar los valores de la tabla anterior a un mapaKde 4 variables, se deben invertir las columnas para X=2 yX=3, as como lasfilas paraY=2 yY=3, como se muestra en la siguiente tabla:

X

0 1 3 2

Y

0 0 1 3 2

1 1 2 0 3

3 3 0 2 1

2 2 3 1 0

Ahora, s hay coincidencia entre la tabla anterior y el mapaKde 4 variables. Lafigura anterior, muestra los valores de Z, en el mapa K, en funcide X eY:

Del mapa anterior se observ a que estn implcitasZ2 yZ1. Por tanto, para poder determinar las funciones mnimas de Z2 yZ1, lo trataremosen forma individual. Realizando los mapas para Z2 yZ1, se obtiene:


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De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones mnimas, las cuales se reducen a relaciones de EXCLUSIVIDAD. Asimismo, sepresenta el logigrama para Z2 yZ1.

Z2 = X2'X1'Y2 + X2X1'Y2 + X2'Y2Y1' + X2Y2'Y1' + X2'X1Y2'Y1 + X2X1Y2Y1 =(1) (2) (3) (4) (5) (6)

= X1'(X2'Y2 + X2Y2') + Y1'(X2'Y2 + X2Y2') + X1Y1(X2'Y2' + X2Y2) =

= X1'(X2 OEXC Y2) +Y1'(X2 OEXC Y2) + X1X2(X2 OEXC Y2)' =

Z2 = (X1' + Y1')(X2 OEXC Y2) + X1Y1(X2 OEXC Y2)' = X1Y1 OEXC (X2 OEXC Y2)

Z1 = X1Y1' + X1'Y1 = X1 OEXC Y1(1) (2)


2.4 MAPAS DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES

Recordemos que para conseguir el mapa de 5 variables, debe proyectarse el mapa de 4 variables. El abatimiento es hacia la derecha ya queel nmero de variables es impar. Lafigura adjunta muestra la proyeccin del mapa de 4 variables.

Obsrvese que al mapa que se proyecta se le antepone un 0 y al proyectado un 1. Tambin, se ha asociado a cada celda el nmero binariocorrespondiente, el cual se obtuvo asignando elvalor binario a cadavariable en dicha celda.

Sustituyendo el nmero binario de cada celda por su equivalente decimal, se obtiene el mapa de Karnaugh para 5 variables que seemplear para minimizarfunciones de conmutacin de 5 variables independientes. Lafigura adjunta presenta este mapa.


15/23

Para generar el cdigo de Graypara 5variables, se traza la greca de Graysobre el mapa Kpara 5variables y se escribe el cdigo binarioasociado a cada celda.

La figura adjunta muestra la greca de Graysobre el mapa de Karnaugh de 5 variables.

A continuacin se presentan algunos ejemplos que muestran la aplicacin del mapa para la minimizacin de funciones de conmutacin de 5variables binarias.

EJEMPLO 6.Minimice las siguientes funciones, empleando el mtodo de Karnaugh:

F1 = Sumaminitrminos (0,1,3,8,9,11,16-17,19,24,25,29-31)

F2 = Sumaminitrminos (0-4,6,9,10,15-20,22,23,25,26,31)

SOLUCION

Las siguientesfiguras presentan los mapasKpara F1 yF2:

Las funciones reducidas son:

F1(A,B,C,D,E) = C'D' + B'C'D + ABCD + A'BDE + ABD'E(1) (2) (3) (4) (5)

F2(A,B,C,D,E) = B'C' + B'E' + C'D'E + C'DE' + AB'D + BCDE(1) (2) (3) (4) (5) (6)

EJEMPLO 7 . Hay5 personas que actan como jueces en un competencia dada. Elvoto de cada uno de ellos se indica con un 1 (pasa) o 0(fracasa) en un lnea de seal. Las 5 lneas de seal son las entradas a uncircuito lgico combinacional. Las reglas de la competenciapermitenslo la disensin de unvoto. Si lavotacin es 2-3 o 3-2, la competencia debe continuar. El circuito lgico debe tener dossalidas, XY. Si elvoto es 4-1 o 5-0 parapasar, XY=11. Si elvoto es 4-1 o 5-0 parafracasar, XY=00; si elvoto es 3-2 o 2-3 para continuar,


16/23

XY=10.

Disee un circuito mnimo de suma de productos.

SOLUCION

La siguiente tabla agrupa las condiciones del enunciado:

REGLA

OPCIN

X Y

1 0

PARA PASARPARA FRACASARPARA CONTINUAR

503

412

052

143

101

100

En base a la tabla anterior, se construye la siguiente:

TABLA FUNCIONAL

DEC A B C D E X Y DEC A B C D E X Y

012

3456789101112131415

000

0000000000000

000

0000011111111

000

0111100001111

001

1001100110011

010

1010101010101

000

1011101111111

000

0000000000001

161718

19202122232425262728293031

111

1111111111111

000

0000011111111

000

0111100001111

001

1001100110011

010

1010101010101

011

1111111111111

000

0000100010111

De la tabla funcional, se obtienen las siguientes funciones de conmutacin cannicas:

X(A,B,C,D,E) = Sumaminitrminos (3,5-7,9-15,17-31)

Y(A,B,C,D,E) = Sumaminitrminos (15,23,27,19-31)

Reduciendo por mapas de Karnaugh: Para mayor claridad, se presenta a X(A, B, C, D, E) en dos mapas:


17/23

El mapa paraY(A, B, C, D, E) es:


De los mapas anteriores se tienen las siguientes funciones reducidas:

X(A,B,C,D,E) = DE + BC + AB + AC + AE + AD + CE + CD + BE + BD(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Y(A,B,C,D,E) = ABCE + ABCD + ACDE + BCDE + ABDE(1) (2) (3) (4) (5)

El logigrama se presenta en la siguientefigura:


2.5 MAPAS DE KARNAUGH DE 6 VARIABLES

Siguiendo el mismo criterio para la obtencin de los mapas anteriores, proyectando el mapa inmediatamente anterior, se obtiene el mapa Kpara6 variables:


EJEMPLO 8. Minimizar las siguientes funciones por el mtodo de Karnaugh:

a) Z = Sumaminitrminos (7,14,28,56) + Sumaindiferentes (0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)

b) Z = Prodmaxitrminos (15,30,31,60, 62,63) Prodindiferentes (0-6,8-13,16-27,29,32-55,57-59,61)

SOLUCION

Obsrvese que las funciones, en ambos incisos, son las mismas, una expresada como minitrminos y la otra como maxitrminos. Las

siguientes f iguras muestran los mapas para los incisos a) yb), respectivamente:Para ver el grfico selecc ione la opcin "Descargar" del men superior

De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones reducidas:

Z(A,B,C,D,E,F) = C' + D' + A'E' + B'F'(1) (2) (3) (4)

Z(A,B,C,D,E,F) = (C' + F') (B' + E')(A' + B' + D')(1) (2) (3)

2.6 EJERCICIOS

1.Minimice las siguientes funciones booleanas, utilizando el mtodo de Karnaugh:

a) f(A,B,C,D) = Sumaminitrminos (0,4,6,10,11,13)

b)f(w,x,y,z) = Prodmaxitrminos (3,4,5,7,11,12,14,15)

c) f(a,b,c,d) = Sumaminitrminos (3,5,7,11,15)

d) f(A,B,C,D,E) = Prodmaxitrminos (0,1,2,8,9,11,15-19,24,25,29-31)

e) f(A,B,C,D,E,F) = Sumaminitrminos (0,2,4,5,7,8,16,18,24,32,36,40,48,56)

2.Un nmero primo es aquel que slo es divisible entre si mismo y la unidad.Disee un circuito lgicomnimo que detecte todos losnmeros primos entre 0 y31. La salida F(A, B, C, D, E), dondeAes lavariable de mayor peso binario, ser igual a 1, si y slo si los cincobits de entrada representan un nmero primo. Realice el logigrama utilizando inversores y compuertasNo Y.

3. En uno de los laboratorios de una compaa qumico farmacutica se elaboran 14 distintas soluciones a partir de las componentesW, X,YyZ.Estas sustancias pesan 800, 400, 200 y100 mg, respectivamente. Las soluciones depositadas en frascos se transportan por medio de una banda hastuna bscula. Si el peso indicado en la bscula es uno de los siguientes: 200, 500, 700, 800, 1100, 1400 o 1500 mg, entonces un dispositivoelectromecnicoF, despus de agregar al compuesto la sustancia Q, sellar el frasco sobre la bscula y lo apartar de la banda; de otro modo, elfrasco permanecer abierto y la banda lo transportar hacia otra etapa del proceso. Adems, por las condiciones previas del proceso, no esposible que lleguen a la bscula ni frascos vacos, ni frascos que contengan las siguientes sustancias:WY,YZ,WX oWZ; todas las dems


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combinaciones s pueden llegar hasta la bscula.

Determinar la funcin booleana del circuito combinatorio L que acciona el dispositivo F yminimizar haciendo uso decondicionesirrelevantes. Realizar el circuito mediante inversores y compuertasNo O.

4. En la torre de control de un patio de ferrocarril,un controlador debe selec cionar la ruta de los furgones de carga que entran a una seccin del patio,mismos que provienen del puntoA, como puede verse en el tablero de control de lafigura adjunta. Dependiendo de las posiciones de losconmutadores, un furgn puede llegar a uno cualesquiera de los cuatro destinos. Otros furgones pueden llegar desde los puntos B o C.

Disee un circuito, con inversores y compuertasNo O, que reciba como entradas las seales S1 a S5, indicadores de las posiciones de losconmutadores correspondientes, y que encienda una lmpara D0 a D3, indicando el destino al que llegar el furgn proveniente deA.

Para los casos en que los furgones puedan entrar de B o C (S2 o S3 en la posicin 0), todas las lmparas de salida deben encenderse, indicandque un furgn proveniente deA, no puede llegar con seguridad a su destino .

NOTA:S1bit de mayor peso binario.

5. Un circuito lgico tiene 5 entradasA, B, C, D yE (dondeAes la de mayor peso binario). Cuatro de las entradas representan un dgito decimalen BCD (Decimal Codificado en Binario,por sus siglas eningls). La primera entrada,A, es de control.

Cuando el control est en 0 lgico, la salida Z e igual a 0si el nmero decimal es impar y1si es par.

Cuando el control est en 1 lgico , la salida Z es igual a 1cuando la entrada en mltiplo de3, en caso contrario es 0.

Considerando las condiciones irrelevantes, disee un circuito mnimo utilizando slo inversores y compuertas No O.

NOTA: Considere al 0 como un nmero par.

6. Un tcnico de un laboratorio qumico tiene 4 productosA, B, C yD. Cada producto debe encontrarse en uno cualesquiera de dosrecipientes de almacenamiento.

Peridicamente, se requiere cambiar uno o ms productos de un recipiente a otro. La naturaleza de los productos es tal, que es peligroso guardarAyBjuntos a menos que D est presente en el mismo recipiente. Tambin es peligroso almacenar B yC juntos a menos que D est presente.

Este proceso no permite que alguno de los tanques estvaco.

Obtener el circuito mnimo de la expresin de una variable Z que deber tener el valor de 0para cada situacin peligrosa de almacenamiento,utilizando slo inversores y compuertasNo O.

NOTA: Considere a A como la variable de mayor peso binario.

7. Un posicionador de eje, proporciona una seal de 4 bits que indica la posicin de un eje en pasos de 30. Utilizando el cdigo de Gray, el cual semuestra en la siguiente tabla, disee un circuito (realizacin mnima de suma de productos) que produzca una salida que indique en dnde seencuentra el eje.

POSICINDEL EJE

SALIDA DELDECODIFICADOR

POSICINDEL EJE

SALIDA DELDECODIFICADOR

0


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8. Obtener el diagrama lgico mnimo, con inversores y compuertasNo O, de un circuito de 5 entradas:Dos de datosAyB ytres de control C2,C1 yC0.

La funcin de salida depende de los ocho posibles estados de las seales de control, de acuerdo a la siguiente tabla:

CONTROL (DECIMAL) F

0 1

1 A + B

2 (A B)'

3 A OEX B

4 (A OEX B)'

5 A B

6 (A + B)'

7 0

Considere a C2 yAcomo las variables de mayor peso binario, respectivamente.

9. El sistema nervioso humano, incluyendo el cerebro, est hecho de clulas especializadas llamadasneuronas. Cada neurona tiene sinapsis

(puntos de interconex in, como se muestra en lafigura adjunta) de excitacin ysinapsis de inhibicin. Una neurona produce una salida 1 si elnmero de sinapsis de excitacin con pulsos 1excede el nmero de sinapsis de inhibicin con pulsos 1 por al menos elvalor de umbral dela neurona.

Determine la funcin booleana f(a,b,c,d,e) de emisin de pulsos a travs del canal de salida (axn) en el modelo de lafigura, bajo las siguientescondiciones:

(C1)Valor del umbral = 1 [es decir, se produce una salida 1 si el nmero de sinapsis de excitacin con pulsos 1, excede por al menos uno elnmero de sinapsis de inhibicin con pulsos 1], y

(C2) Siempre que haya al menos un pulso 1 en alguna sinapsis del puerto de excitacin, habr al menos un pulso 1 en alguna sinapsis delpuerto de inhibicin [es decir, no es posible -en este modelo restringido- que existan pulsos 1 en el puerto de excitacin si no existe al menosun pulso 1 en el puerto de inhibicin].

Minimizarf(a,b, c, d, e) haciendo uso de las condiciones irrelevante (C2). Realizar el logigrama utilizando inversores y compuertas No Y.


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10. Textura es la organizacin de una superficie como un conjunto de elementos repetidos. En un proceso automtico para clasificar tex turasartificiales, un sensor de 4 puntos (figura adjunta) enva seales a un circuito combinatorio cuya tarea es discriminar (emitiendo pulsos 1) lossiguientes elementos:

En todos los casos que inspecciona el sensor se activan al menos 2 puntos de la rejilla (es decir, no se presentan casos en los cuales se activatansolo un puntoni casos en los que no se activa ningn elemento)

Minimizar la funcin booleana f(a,b,c,d,e) a la salida del circuito discriminador, haciendo uso de las condiciones irrelevantes. Realizar elcircuito mediante inversores y compuertasNo O.

11. En una fbrica un dispositivo con 5 fotoceldas (figura adjunta), registra los caracteres formados abriendo pequeas ranuras en una tarjeta de

control. Si en la tarjeta registrada hay uno de lo s smbolos:

(Para el smbolo I son vlidas las dos posiciones), entonces el dispositivo acciona un taladro.En el proceso no hay tarjetas con alguno de los caracteres adjuntos:

(Todos los caracteres restantes si son vlidos)

Cul es la funcin booleana a la salida del dispositivo que acciona el taladro? Minimizar la funcin y realizar el logigrama utilizando sloinversores y compuertasNo Y.

12. Se desea disear e instrumentar un circuito combinatorio mnimo de dos entradas con dos bits cada una, sobre las cuales se codifican dos delos cuatro tipos de sangra existentes y a su salida se obtenga una seal que informe sobre la posibilidad o imposibilidad de latransfusin de uno de ellos sobre el otro, dadas las siguientes reglas de compatibilidad entre ellos.

Los tipos de sangre son 4:A, B,AB yO.

El tipo O puede donar a cualquier otro tipo, pero slo puede recibir de l mismo.

El tipoAB puede recibir de cualquier otro tipo pero slo puede donar aAB.

La claseApuede donar aAo aAB yrecibir deAu O nicamente.


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Por ltimo, el tipo B puede donar al mismo B o al tipo AB yrecibir de B u O.

La seal de salida deber ser 1 cuando la transfusin propuesta en las entradas sea permitida.

Realizar el logigrama utilizando inversores y compuertasNo O.

13. En un sistema de deteccin luminosa que tiene el arreglo mostrado en lafigura adjunta, se genera una seal de salida con valor de 1nicamente cuando dos fotoceldas adyacentes estn activadas, siempre y cuando la fotocelda del centro est tambin activada.

NOTA: No es posible, en este sistema, que exista una seal de salida 0 o 1 si no hay al menos tres fotoceldas activadas.

Considerando aAcomo la v ariable ms significativa, obtener el logigrama mnimo, considerando las condiciones indiferentes y utilizandoslo inversores y compuertasNo Y.

14. Un robot de juguete -llamado U-2- est diseado para ser capaz de seguir una trayectoria (previamente programada por medio de controles que elrobot tiene en la espalda) avanzando cuadro por cuadro en una rea de 5x6 cuadros. El robot U-2 puede realizar una de las cuatro accionessiguientes:

(D) Girar (sobre su eje vertical) 90a la derecha y luego avanzar al centro del siguiente cuadro si su pequeo cerebro recibe la seal binaria01.

(I) Girar90 a la izquierda y luego avanzar al centro del siguiente cuadro si su diminuto cerebro percibe la seal binaria 10.

(F) Avanzaral frente un cuadro si su cerebro rec ibe la seal 00.

(A)Haceralto si su cerebro recibe la seal 11.


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Programar el robot para que recorra el laberinto de la Figura (a). Determinar las funciones booleanas del par de estmulos binarios querecibe el minicerebro del robot durante este recorrido yminimizarlas mediante mapas de Karnaugh. (En este problema hay condicionesirrelevantes -parte de la solucin consiste en encontrarlas).

Los controles en la espalda del U-2 estn localizados en dos reas: En el reaI se indicar el cuadro inicial mediante los controles de dos posiciones a,b, c, d ye [como se muestra en la Figura (c)]; si el control a se presiona del lado derecho, el peso de la variable a se contabilizar para determinar elnmero asignado al cuadro inicial (lo mismo ocurrir para el resto de las variables). En el rea II se programa la trayectoria por medio de 30 controle

de tres posiciones cada uno.Mabel Gonzales Urmachea

Jueves, 25 de Agosto de 2011 a las 14:01 | 0

Miercoles, 13 de Octubre de 2010 a las 19:02 | 0

Mostrando 1-2 de un total de 2 comentarios. Pginas: 1

Comentarios

alejandro escamilla

hola disculpa no tendras la solucion al problema del robot?

hasan el jatib

bastante largo, pero muy explicativo

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