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M en C. Erick Barrios Barocio.

Fis. Arnaldo Hernández Cardona.

Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias, UNAM.

Objetivo.

Estudiar el funcionamiento de rejillas de difracción y caracterizar una. Así mismo, utilizar una rejilla

de difracción para analizar las componentes de longitudes de onda de una fuente de luz.

Material.

Rejillas de difracción. 1 Láser rojo. 1 Láser de otra longitud de onda. 2 Porta lentes. 2 Porta postes

grandes con base. 2 Postes extra-grandes. 2 Postes medianos. 1 pantalla. 1 flexómetro. Papel milimétrico.

1 espectrómetro. 1 lámpara espectral.

Teoría.

Suma fasorial de ondas [1].

Consideremos una onda senoidal cuya componente de campo eléctrico esté dada por:

𝐸1 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 (1)

Donde 𝐸0 es la amplitud de

onda y 𝜔 es la frecuencia angular.

Esta onda puede representarse de

manera gráfica mediante un fasor

de magnitud 𝐸0 como en la Figura

1a. El fasor forma un ángulo 𝜔𝑡 el

eje horizontal. Su proyección en

el eje y representa 𝐸1. En

consecuencia, cuando el fasor gira, su proyección (intensidad) oscila. Consideremos una segunda onda

(Figura 1b):

𝐸2 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙) (2)

La onda resultante, suma de 𝐸1 y 𝐸2, puede representarse de marea

gráfica dibujando sus fasores como en la Figura 1c. Y el fasor resultante

(𝐸𝑅) es la suma vectorial de los dos fasores. En el caso que nos interesa

(independencia temporal) es conveniente dibujar los fasores en 𝑡 = 0

(Figura 2); a partir de la geometría de los triángulos rectángulos:

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐸𝑅/2

𝐸0 (3)

Lo cual produce:

𝐸𝑅 = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2𝐸0 cos (𝜙

2) (4)

En consecuencia, la proyección del fasor resultante a cualquier tiempo es:

𝐸𝑃 = 𝐸𝑅𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +𝜙

2) = 2𝐸0 cos (

𝜙

2) 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +

𝜙

2) (5)

Como la intensidad es: 𝐼 ∝ 𝐸𝑃2 y la mayoría de los instrumentos detectores de luz miden la intensidad

promedio en el tiempo (⟨𝑠𝑒𝑛2 (𝜔𝑡 +𝜙

2)⟩ =

1

2):

𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠2 (𝜙

2) = 𝐼𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠2 (

𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜆) (6)

ωt E1

E0

a)

ωt+φ E2

E0 b)

ωt E1

E0 c)

φ ER E2

EP

Figura 1. Representación y adición de ondas en diagramas de fasores.

E0

φ

ER

α

α α=ϕ/2

Figura 2. Suma de fasores a t=0.

EP

100

Aunque el análisis trigonométrico es útil para ciertas cuestiones, en situaciones prácticas es suficiente

limitarnos a la interpretación de fasores de 𝐸𝑅. Por ejemplo, si se quiere saber de forma rápida y sencilla

cómo es el patrón de interferencia de dos fuentes coherentes, se usan diagramas de fasores a t=0 (Figura

3) y se estudia la magnitud del fasor resultante, la cual es proporcional a la intensidad del patrón de

interferencia, a distintos valores de diferencia de fase (diferencia de camino óptico 𝛿). Mediante este

análisis, es posible ver que la intensidad es máxima cuando 𝜙 = 0,2𝜋, 4𝜋, … y es mínima cuando 𝜙 =𝜋, 3𝜋, 5𝜋, … Este tipo de análisis permite visualizar cómo será el patrón de interferencia de dos rendijas

(Figura 5a).

Usando el mismo procedimiento, podemos visualizar el patrón de interferencia causado por tres rendijas

igualmente espaciadas. Las componentes de campo eléctrico en un punto P sobre la pantalla causado por

ondas provenientes de las rendijas individuales pueden expresarse como:

𝐸1 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡

𝐸2 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙) (7)

𝐸3 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 2𝜙)

Donde ϕ es la diferencia de fase entre las ondas. El

análisis con diagramas de fasores (Figura 4), nos muestra

que la condición de máxima intensidad se presenta

cuando 𝜙 = 0,2𝜋, 4𝜋, …, los cuales son llamados

máximos primarios, que ocurren cuando los tres fasores

están alineados. Sin embargo, se encontrarán máximos

secundarios (de menor intensidad que los primarios)

cuando 𝜙 = 𝜋, 3𝜋, …, donde la onda de una rendija

cancela solamente la onda de otra, sobreviviendo una sola

onda. La interferencia destructiva ocurre cuando los tres

fasores forman un triángulo cancelándose totalmente,

estos mínimos se presentan cuando 𝜙 =2𝜋

3,

4𝜋

3, … El

patrón de interferencia que se genera se muestra en la

Figura 5b. El método de fasores toma relevancia cuando

se estudian patrones de interferencia de múltiples rendijas

(Figuras 5c, 5d, 5e).

ER=2

E0

E0 E0

φ=0

δ=0

45°

φ=45°

δ=λ/8

90°

φ=90°

δ=λ/4

180°

φ=180°

δ=λ/2

270°

φ=270°

δ=3λ/4 ER=2

E0

E0 E0

φ=360°

δ= λ

Figura 3. Comportamiento de dos fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.

Figura 5. Patrones de difracción producidos

por distintos números de rendijas.

a) 𝑁 = 2

b) 𝑁 = 3

c) 𝑁 = 4

d) 𝑁 = 5

e) 𝑁 = 10

Máx. Primario Máx. Secundario

Rendija simple

ER=3

E0

E0 φ=0

δ=0

φ=60°

δ=λ/6

φ=120°

δ=λ/3

φ=180°

δ=λ/2

φ=240°

δ=2λ/3

φ=300°

δ=5λ/6

φ=360°

δ= λ

Figura 4. Comportamiento de tres fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.

101

La rejilla de difracción.

La rejilla de difracción es un dispositivo útil para

analizar fuentes luminosas, se compone de un gran

número de rendijas paralelas igualmente espaciadas.

Una rejilla de transmisión puede hacerse cortando líneas

paralelas sobre una placa de vidrio con una máquina de

rayado de precisión. Los espacios entre las líneas son

transparentes a la luz y, en consecuencia, actúan como

rendijas individuales. Una rejilla de reflexión puede

hacerse cortando líneas paralelas en la superficie de un

material reflejante. La reflexión de la luz de los espacios

entre las líneas es especular y la reflexión de las líneas

cortadas en el material es difusa.

Una sección de una rejilla de difracción se ilustra en

la Figura 6, en ella una onda plana incide desde la izquierda, normal a la rejilla. Una lente convergente

(opcional) junta los rayos en el punto P. El patrón observado sobre la pantalla es el resultado de los efectos

de interferencia y difracción, lo cual puede ser entendido mediante fasores.

En la Figura 6, la diferencia de trayectoria δ entre rayos de dos rendijas adyacentes cualesquiera es igual

a 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃. Si tal diferencia de trayectoria es igual a una longitud de onda o algún múltiplo entero de una

longitud de onda, entonces las ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en P y se observa una

franja brillante. Por consiguiente, la condición para máximos en el patrón de interferencia en el ángulo 𝜃

es:

𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 0,1,2, … (2)

Si la radiación incidente contiene varias longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cada

longitud de onda ocurrirá a un ángulo específico para cada longitud de onda, con excepción del ángulo

𝜃 = 0, el que corresponde a 𝑚 = 0, el máximo de orden cero, que tiene la misma posición

independientemente de la longitud de onda. El máximo de primer orden (𝑚 = 1) se observa en un ángulo

que satisface la relación 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜆𝑑; el máximo de segundo orden (𝑚 = 2) se observará en un ángulo θ

más grande, y así sucesivamente.

Problemas.

1. Luz monocromática de un láser Helio-Neón (𝜆 = 632.8𝑛𝑚) incide en dirección normal sobre una

rejilla de difracción que contiene 6000 líneas por centímetro. Encontrar los ángulos a los que se observan

los máximos de primero, segundo y tercer orden.

2. El espectro del Hidrógeno tiene una línea roja a 656nm y una línea violeta a 434nm. ¿Cuál es la

separación angular entre dos líneas espectrales obtenidas con una rejilla de difracción que tiene 4500 líneas

por centímetro, para el primer, segundo y tercer orden?

3. Tres líneas espectrales discretas ocurren en ángulos de 10.09°, 13.71° y 14.77° en el espectro de

primer orden de un espectroscopio de rejilla. a) Si la rejilla tiene 3600 rendijas por centímetro, ¿cuáles son

las longitudes de onda de la luz? b) ¿A qué ángulos se encuentra estas líneas en el espectro de segundo

orden?

Figura 6. Patrón de difracción producido por una

rejilla de difracción.

d

θ

P

d

𝛿 = 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃

−2𝜆

𝑑

−𝜆

𝑑

0

𝜆

𝑑

2𝜆

𝑑

m

−2

0

−1

2

1

102

Procedimiento.

Caracterización de rendijas múltiples.

1. Usando un láser de longitud de onda conocida, iluminar

alguna de las rendijas múltiples proporcionadas y, a partir del

patrón generado y proyectado en una pantalla (colocada lejos

de las rendijas, Figura 7), deducir el número de rendijas que se

tiene.

2. Medir la separación entre máximos principales (los más

brillantes), específicamente entre el orden 𝑚 = 0 y los 𝑚 =±1. Con esta distancia y la distancia a la pantalla, calcular la

separación entre rendijas (d) haciendo uso de la ecuación (2).

Nota: No en todos los casos se puede hacer la aproximación

de ángulo pequeño.

3. Una vez calculado d, calcular la densidad de líneas por milímetro (𝜌).

4. Repetir lo anterior para todas las rejillas disponibles.

Uso de una rejilla múltiple para calcular la longitud de onda de una fuente monocromática.

1. Usando dos de las rejillas disponibles (de preferencia con 𝜌 grande), calcular la longitud de onda de

dos láseres distintos haciendo uso de la ecuación 2 para orden 𝑚 = 1 y orden 𝑚 = 2.

Uso de una rejilla múltiple para analizar una fuentes de luz.

1. Usar la rejilla de 600lineas/mm y colocarla en el

espectrómetro de la forma mostrada en la Figura 8.

2. Analizar dos fuentes de luz espectral mediante el

sistema montado en configuración de rejilla de

transmisión. Medir las posiciones angulares de las

principales líneas espectrales de la fuente para el primer

orden (m=1) y para el segundo orden (m=2).

3. Con la información anterior, calcular la longitud de

onda de las principales líneas espectrales de cada

elemento.

Nota: Antes de hacer mediciones, asegurarse de que el espectrómetro está alineado.

Datos Importantes.

1. Tabla con datos de mediciones para la caracterización de las rejillas, incluyendo d, 𝜌 e incertidumbres.

2. Tabla con datos de mediciones para el cálculo de longitud de onda de una fuente láser, incluyendo la

longitud de onda obtenida e incertidumbres.

3. Tabla de posiciones angulares medidas para las líneas espectrales de una fuente de luz y su valor de

longitud de onda correspondiente calculado, incluyendo incertidumbres (tanto para el orden 1 como

para el orden 2).

Referencias.

[1] R.A. Serway, R.J. Beichner. "Física para ciencias e ingeniería". 5° edición, McGraw-Hill. 2002

[2] https://sites.google.com/site/laboratoriodeopticabb/ Práctica 15 Rejillas de Difracción.

Rayo de

orden m=0

Rayos de

orden m=1

Rejilla de

difracción Fuente

de luz

Figura 8. Arreglo experimental para análisis

espectral con rejilla de difracción.

Figura 7. Montaje experimental.

Láser

Flexómetro

Pantalla Rejillas