En el atardecer el cielo es radiante conbrillantes rojos, rosas y naranjas. Sinembargo, no seriamos capaces de vereste atardecer si no fuera por el hechode que otra persona vierasimultáneamente un cielo azul. ¿Quécausa los hermosos colores de unatardecer, y por qué el cielo debe estarazul en otra parte para que nosotros lodisfrutemos? (© w. A.BanaszewskiA/isuals Unlimiled)

Difracción y polarización

c a p í t u l o

Líneas generales del capítulo

38.1 Introducción a la difracción

38.2 Difracción de rendijas estrechas

38.3 Resolución de abertura circulary de una sola rendija

38.4 La rejilla de difracción

38.5 (Opcional) Difracción de rayos Xpor cristales

38.6 Polarización de ondas luminosas

1211

1212 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

a)

Figura 38.1 a) Si las ondas lumino-sas no se dispersaran después de pa-sar por las rendijas, no ocurriría inter-ferencia, b) Las ondas luminosas delas dos rendijas se traslapan cuandose dispersan, llenan las regiones som-breadas esperadas con luz y producenfranjas de interferencia.

C uando las ondas luminosas pasan por una pequeña abertura, se observa un pa-trón de interferencia en lugar de un punto definido de luz. Tal conducta in-dica que la luz, una vez que ha pasado la abertura, se dispersa más allá de la

estrecha trayectoria definida por la abertura en las regiones donde se esperaría unasombra si la luz viajara en líneas rectas. Otras ondas, como las sonoras y las que seproducen en el agua, también tienen esta propiedad de dispersarse cuando pasan através de aberturas <> de bordes afilados. Dicho fenómeno, conocido como difrac-ción, sólo puede ser descrito con un modelo ondulatorio de la luz.

En el capítulo 34 aprendimos que las ondas electromagnéticas son transversales,lo cual significa que los vectores de campos eléctrico y magnético son perpendicula-res a la dirección de propagación de la onda. En este capítulo veremos que en cier-tas condiciones las ondas transversales pueden polarizarse de diversas maneras.

INTRODUCCIÓN A LA DIFRACCIÓN

En la sección 37.2 aprendimos que cuando dos rendijas se iluminan por medio deuna fuente luminosa de una sola longitud de onda se forma un patrón de interfe-rencia sobre la pantalla de observación. Si la luz viajara sólo en su dirección originaldespués de atravesar las rendijas, como se muestra en la figura 38.1a, las ondas nose traslaparían y no se observaría un patrón de interferencia. En vez de eso, el prin-cipio de Huygens requiere que las ondas se dispersen desde las rendijas, como semuestra en la figura 38.Ib. En otras palabras, la luz se desvía de una trayectoria enlínea recta y entra a la región que de otra manera estaría sombreada. Como se se-ñaló en la sección 35.1, tal divergencia de la luz a partir de su línea inicial de reco-rrido se conoce como difracción.

En general, la difracción ocurre cuando las ondas pasan por pequeñas abertu-ras, alrededor de obstáculos o por bordes afilados, como se observa en la figura 38.2.Cuando se coloca un objeto opaco entre una fuente puntual y una pantalla, no exis-ten fronteras definidas en la pantalla entre una región sombreada y una región ilu-minada. La región iluminada arriba de la sombra del objeto contiene franjas de luzbrillantes y oscuras alternándose. A este despliegue se le conoce como patrón de di-fracción.

La figura 38.3 muestra un patrón de difracción asociado con la sombra de unapequeña moneda. Hay un sitio brillante en el centro y franjas circulares se extien-den hacia afuera desde el borde de la sombra. El sitio brillante central puede expli-carse sólo por medio de la teoría ondulatoria de la luz, la cual predice interferencia

Pantalla

Fuente

Objeto opaco

Figura 38.2 La luz de una pequeña fuente pasa por el borde de un objeto opaco. Se podría esperarque no apareciese luz en la pantalla debajo de la posición del borde del objeto. En realidad, la luz sedesvía en el borde superior del objeto y entra en esta región. Debido a estos efectos, un patrón de di-fracción que consiste en franjas brillantes y oscuras aparece en la región arriba del extremo del objeto.

38.1 Introducción a la difracción

Figura 38.3 Patrón de difracción creado por la iluminación deuna pequeña moneda, con la moneda colocada a la mitad de ladistancia enire la pantalla y la fuente de luz. (P.M. Rinard, Am. J.Phys. 44:70, ¡976.)

constructiva en ese punto. De acuerdo con el punto de vista de la óptica geométri-ca (en donde la luz se ve como rayos que viajan en línea recta) se esperaría que elcentro de la sombra sea oscuro, porque esa parte de la pantalla de observación estácompletamente cubierta por la moneda.

Es interesante señalar un incidente histórico que ocurrió un poco después deque el punto luminoso central fue observado por primera vez. Uno de los defenso-res de la óptica geométrica, Simeón Poisson, argüía que si la teoría ondulatoria dela luz de Augustin Fresnel fuera válida, entonces un punto brillante central debíaobservarse en la sombra de un objeto circular iluminado por una fuente de luz pun-tual. Para el asombro de Poisson, el punto fue observado por Dominique Arago po-co tiempo después. Así, la predicción de Poisson reforzó la teoría ondulatoria en vezde desaprobarla.

En el presente capítulo enfocaremos nuestra atención a la difracción de Fraun-bofer, la cual ocurre, por ejemplo, cuando los rayos que pasan a tnwés de una ren-dija angosta son casi paralelos entre sí. Esto se puede lograr experimental mente co-locando la pantalla lejos de la abertura usada para crear la difracción, o usando unlente convergente para enfocar los rayos una vez que éstos han atravesado la aber-tura, como se indica en la figura 38.4a. Una franja oscura se observa a lo largo deleje en B = O, con franjas alternantes oscuras y brillantes ocurriendo en cualquier la-do de la franja brillante central. La figura 38.4b es una fotografía de un patrón dedifracción de Fraunhofer de una sola rendija.

Llegadade ondas

Pantalla de observación

a) b)

Figura 38.4 a) Patrón de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. El patrón se compone deuna franja brillante central flanqueada por máximos más débiles que se alternan con franjas oscuras.(Advierta que el dibujo no está a escala.) b) Fotografía de un patrón de difracción de Fraunhofer deuna sola rendija. (De M. fagnet, M. Franron yj. C. Tfíifrr, Atlas de fenómenos ópticos, Berlín. Sftringer-Vfrlag, 1962,fiata 18.)

1214 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

£ sene

Figura 38.5 Difracción de luz me-diante una estrecha rendija de anchoa. Cada parte de la rendija actúa co-mo una fuente puntual de ondas lu-minosas. La diferencia de trayectoriaentre los rayos 1 y 3 o entre los rayos2 y 4 es (a/2) sen 6. (Note que estono está dibujado a escala.)

DIFRACCIÓN DE RENDIJAS ESTRECHAS

Hasta ahora hemos supuesto que las rendijas son fuentes puntuales de luz. En la per-senté sección abandonamos esta suposición y determinamos cómo el ancho finí»de las rendijas es la base para comprender la difracción de Fraunhofer.

Podemos deducir algunos rasgos importantes de dicho fenómeno examinaix»ondas provenientes de diversas partes de la rendija, como se muestra en la figura38.5. De acuerdo con el principio de Huygens, cada parte de la rendija actúa con*una fuente de ondas luminosas. Por tanto, la luz de una parte de la rendija puedeinterferir con luz de otra parte, y la intensidad de luz resultante en una pantalla óeobservación depende de la dirección 0.

Para analizar el patrón de difracción es conveniente dividir la rendija en dos rm-tades, como se indica en la figura 38.5. Tomando en cuenta que todas las ondas evtán en fase cuando dejan la rendija, considere los rayos 1 y 3. Conforme estos do*rayos viajan hacia la pantalla de observación lejos hacia la derecha de la figura, el ra-yo 1 viaja más lejos que el rayo 3 por una cantidad igual a la diferencia de trayecto-ria (a/2) sen 6, donde a es el ancho de la rendija. De manera similar, la diferenciade trayectoria entre los rayos 2 y 4 también es (a/2) sen 8. Si esta diferencia de tra-yectoria es exactamente la mitad de una longitud de onda (lo que corresponde 2una diferencia de fase de 180°), entonces las dos ondas se cancelan entre sí y se pro-duce interferencia destructiva. Lo anterior es cierto, de hecho, para dos rayos cua-lesquiera que se originan en puntos separados por la mitad del ancho de la rendija-puesto que la diferencia de fase entre dos de dichos puntos es 180°. En consecuen-cia, las ondas provenientes de la mitad superior de la rendija interfieren destructi-vamente con ondas provenientes de la mitad inferior de la rendija cuando

a A— sen v = —2 2

o cuando

Asen 6 = —

a

Si dividimos la rendija en cuatro partes iguales y usamos un razonamiento simi-lar, encontramos que la pantalla de observación también está oscura cuando

sen 6 = —a

De igual modo, podemos dividir las rendijas en seis partes iguales y mostrar quela pantalla se oscurece cuando

3Asen 6 = —

a

Por tanto, la condición general para interferencia destructiva es

Condición para interferenciadestructiva sen e = m- m = ±1,±2,±3,...

a(38.1)

Esta ecuación proporciona los valores de 6 para los cuales el patrón de difraccióntiene intensidad luminosa cero —es decir, cuando se forma una franja oscura—. Sinembargo, dicha ecuación no indica nada acerca de la variación de intensidad lumi-nosa a lo largo de la pantalla. Las características generales de la distribución de in-

38.2 Difracción de rendijas estrechas 1215

y I sen0=A/

O senO = O

-y¡ senQ =-^

-yn sen B = -2

Pantalla de observación

Figura 38.6 Distribución de intensidad pa-ra un patrón de difracción de Fraunhofer deuna sola rendija de ancho a. Las posiciones delos dos mínimos de cada lado del máximo cen-tral están etiquetadas. (Observe que el dibujono está a escala.)

•cnsidad se muestran en la figura 38.6. Se observa una ancha franja brillante central;Banqueada por franjas brillantes mucho más débiles que se alternan con franjas os-curas. Las diversas franjas oscuras ocurren en los valores de O que satisfacen la ecua-ción 38.1. Cada pico de franja brillante se encuentra aproximadamente a la mitadentre sus mínimos limitantes de las franjas oscuras. Advierta que la franja brillantecentral es dos veces más ancha que los máximos secundarios.

Pegunta sorpresa 38.1

;Por qué, si la puerta de un cuarto adjunto está ligeramente entreabierta, se pueden escu-char los sonidos que se producen en el interior, pero no se puede ver lo que ocurre en él?

Patrón de difracción que aparece enuna pantalla cuando la luz pasa poruna rendija vertical estrecha. El pa-trón consiste en una franja brillantecentral ancha y una serie de luz me-nos intensa y al lado unas franjas del-gadas brillantes.

EJEMPLO 38.1 ¿Dónde están las franjas oscuras?

Luz de 580 nm de longitud de onda incide sobre una rendi-ja de 0.300 mm de ancho. La pantalla de observación está a2.00 m de la rendija. Encuentre las posiciones de las prime-ras franjas oscuras y el ancho de la franja brillante central.

Solución Las dos franjas oscuras que flanquean a la franjabrillante central corresponden a m= ±1 en la ecuación 38.1.Por tanto, encontramos que

A 5.80 x 10-7isen O =±- = ±

a 0.300 x 10-3= ±1.93 x 10-3

A partir del triángulo en la figura 38.6 advierta que tan 6 =yt/L. Ya que 9 es muy pequeña, podemos usar la aproxima-ción sen 8 » tan 8, de manera que sen 6 » y}/L. Por con-siguiente, las posiciones de los primeros mínimos medidosdesde el eje central están dadas por

yt » /.sen 6 = ±L- = ±3.87x 10-3ma

Los signos positivo y negativo corresponden a las franjas os-curas en cualesquiera de los lados de la franja brillante cen-tral. Por tanto, el ancho de la franja brillante central es iguala 21)1,1 = 7.74 x 10"s m = 7.74 mm. Observe que este valor esmucho más grande que el ancho de la rendija. Sin embargo,a medida que el ancho de la rendija aumenta, el patrón dedifracción se estrecha, lo que corresponde a valores más pe-queños de 6. De hecho, para valores grandes de a, los diver-sos máximos y mínimos están tan próximos que lo único quese observa es una gran área brillante central, la cual se aseme-ja a la imagen geométrica de la rendija. Dicho asunto es degran importancia en el diseño de lentes empleados en teles-copios, microscopios y otros instrumentos ópticos.

Ejercido Determine el ancho de la franja brillante de pri-mer orden (m= 1).

Respuesta 3.87 mm.

Intensidad de un patrón de difracción de una sola rendija

Podemos emplear fasores para determinar la distribución de la intensidad lumino-sa de un patrón de difracción de una sola rendija. Suponga una rendija dividida enun gran número de pequeñas zonas, cada una de ancho &y, como se observa en laSgura 38.7. Cada zona actúa como una fuente de radiación coherente y cada unacontribuye con un campo eléctrico incrementa! de magnitud AE en algún punto P

1216 CAPITULO 38 Difracción y polarización

Pantallade observación

Figura 38.7 Difracción de Frahofer mediante una sola rendija,intensidad luminosa en el punto Pla resultante de todas las magnitudesde campo eléctrico increméntales dde las zonas de ancho Ay.

Ir-

Experimento sorpresa

Haga una V con sus dedos índice ymedio. Mantenga su mano muy cer-ca de su ojo, de tal manera que estéviendo entre sus dos dedos hacia elárea brillante. Ahora junte sus dedoshasta que sólo exista una muy delga-da rendija entre ellos. Usted será ca-paz de ver una serie de líneas parale-las. Aunque las líneas parezcan estarlocalizadas en el estrecho espacio en-tre sus dedos, lo que realmente estáviendo es un patrón de difracciónque está sobre su retina.

sobre la pantalla. Obtenemos la magnitud del campo eléctrico total £en el punto Pal sumar las contribuciones de todas las zonas. La intensidad de luz en el punto Pe*proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico (véase la sección37.3).

Las magnitudes increméntales del campo eléctrico entre zonas adyacentes estánfuera de fase entre sí en una cantidad A|3, donde la diferencia de fase A|i se relacio-na con la diferencia de trayectoria A;y sen 9 entre zonas adyacentes mediante la ex-presión

2-n-A/3 = — A)1 sen 6

A(38.2)

Para encontrar la magnitud del campo eléctrico total sobre la pantalla a cual-quier ángulo 9, sumamos las magnitudes increméntales A£ producidas por cada zo-na. Para valores pequeños de 6 podemos suponer que todos los valores A£ son losmismos. Es conveniente emplear diagramas de fasores para diversos ángulos, comose muestra en la figura 38.8. Cuando 9 = O, todos los fasores se alinean como se pre-senta en la figura 38.8a, debido a que todas las ondas de las diversas zonas están enfase. En este caso el campo eléctrico total en el centro de la pantalla es £„ = A/A£,donde N es el número de zonas. La magnitud resultante E¡{ a cierto ángulo peque-ño 6 se observa en la figura 38.8b, donde cada fasor difiere en fase de uno adyacen-te en una cantidad A/3. En este caso ER es el vector suma de las magnitudes incre-

c)

0=3*

b)

Figura 38.8 Diagrama de fasores para obtener los diversos máximos y mínimos de un patrón de di-fracción de una sola rendija.

33.2 Difracción de rendijas estrechas 1217

mentales y por tanto se da por la longitud de la cuerda. En consecuencia, ER < EQ.La diferencia de fase total (3 entre las ondas de las partes superior e inferior de larendija es

2?r 2?r(3 = JVA/3 = — N Aj>sen 9 = —asen 9 (38.3)

A A

donde a = N &y es el ancho de la rendija.A medida que 0 aumenta, la cadena de fasores termina por formar la trayecto-

ria cerrada, que se presenta en la figura 38.8c. En este punto el vector suma es ce-ro, así que EH=0 corresponde al primer mínimo sobre la pantalla. Observando que0 = NA/3 = 2ir en tal situación, se ve a partir de la ecuación 38.3 que

277-2?7 = — a sen B

sen 0 = —

Es decir, el primer mínimo en el patrón de difracción ocurre cuando sen Q = A/a;lo cual concuerda con la ecuación 38.1.

A valores más grandes de B, la cadena espiral de fasores se estrecha. Por ejem-plo, la figura 38.8d representa la situación correspondiente al segundo máximo, elcual ocurre cuando fi = 360° + 180° = 540° (STT rad). El segundo mínimo (dos espi-rales completos que no se muestran) corresponde a /3 = 720° (4jr rad), lo cual satis-face la condición sen Q - 2A/O.

La magnitud ERe intensidad /totales del campo eléctrico en cualquier punto Psobre la pantalla en la figura 38.7 puede obtenerse considerando el caso límite enel cual A;y se vuelve infinitesimal (dy) y Nse aproxima a ». En este límite la cadenade fasores en la figura 38.8 se convierte en la curva roja de la figura 38.9. La longi-tud de arco de la curva es £„, ya que es la suma de las magnitudes cíe los fasores (quees la magnitud de campo eléctrico total en el centro de la pantalla). De acuerdo conesa misma figura, vemos que a cierto ángulo 6, la magnitud del campo eléctrico re-sultante sobre la pantalla E,¡, es igual a la longitud de la cuerda. Del triángulo quecontiene al ángulo /3/2, vemos que

sen — =2 R

Figura 38.9 Diagrama de fasorespara un gran número de fuentes co-herentes. Advierta que todos los ex-tremos de los fasores están sobre unarco circular rojo de radio R. La mag-nitud de campo eléctrico resultanteER es igual a la longitud de la cuerda.

donde R es el radio de curvatura. Pero la longitud del arco £0 es igual al productoRf3, donde /3 está en radianes. Combinando esta información con la expresión ante-rior se obtiene

jS . l fi , ** 03/2)1ER = 2/tsen — = 2 — sen — = £0 -2 2 °

Ya que la intensidad luminosa resultante /en el punto P sobre la pantalla es propor-cional al cuadrado de la magnitud ER, encontramos que

!máxsenJ/3/2)? (38.4)

Intensidad de un patrón dedifracción de Fraunhoferde una sola rendija

donde /máx es la intensidad en 0 = O (el máximo central). La sustitución de esta ex-presión para /3 (ec. 38.3) en la ecuación 38.4 origina

/ = /„sen (TTÍZ sen 0/A)

6/\)

1218 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

¡': " . - : • ' . • - • ' " f.i*W •';•"' i ¡ '-'Dr i • • ! " . . ' > :¿; : ;3 ! ; ' '«,,Figura 38.10 a) Una gráfica dela intensidad luminosa / yereus 0 2para un patrón de difracción deFraunhofer de una sola rendija, btFotografía de un patrón de difrac-ción de Fraunhofer de una sola ren-dija. {De M. Cagneí, M. Francon y J. CThierr, Atlas de fenómenos ópticos, Btrtí*.Sfmngfr-Verlag, 1962, piafa 18.)

A partir de este resultado vemos que los mínimos ocurren cuando

•jra sen 6~~Á

o

= m-rr

Condición para mínimosde intensidad

sen 0 = m-a

m = ±l,±2, + 3,...

esto concuerda con la ecuación 38.1.La figura 38.10a representa una gráfica de la ecuación 38.5, y la figura 38.10b

es una fotografía de un patrón de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. Ob-serve que la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en la franja brillan-te central.

EJEMPLO 38.2 Intensidades relativas de los máximos

Encuentre la relación de las intensidades de los máximos se-cundarios y la intensidad del máximo central para un patrónde difracción de Fraunhofer de una sola rendija.

Solución Para una buena aproximación, los máximos se-cundarios se encuentran a la mitad entre los puntos cero. Deacuerdo con la figura 38.10a, vemos que esto corresponde avalores /3/2 de STT/S, 57T/2, 7ir/2, . . . Sustituyendo estos va-lores en la ecuación 38.4 obtenemos para las primeras dos re-laciones

sen (5-7T/2)

57T/2

1

2577 2/4= 0.016

Lo cual significa que el primer máximo secundario (el adya-cente al máximo central) tiene una intensidad de 4.5% delmáximo central, y el siguiente máximo secundario tiene unaintensidad de 1.6% de la correspondiente al máximo central.

Ejercido Determine la intensidad, respecto al máximo cen-

/!

*máx

senOjr/2)]2 1

37T/2 J 9.V445

Respuesta 0.008 3.

Intensidad de patrones de difracción de doble rendija

Cuando hay más de una rendija presente, se debe considerar no sólo la difraccióndebida a las rendijas individuales, sino también la interferencia de las ondas que vie-nen desde las diferentes rendijas. Quizá usted observó que la línea curva disconti-nua de la figura 37.13, que indica una disminución en la intensidad de los máximos

35.2 Difracción de rendijas estrechas

de interferencia como O, aumenta. Tal disminución se debe a ta difracción. Para de-terminar los efectos de la interferencia y de la difracción simplemente combinamosla ecuación 37.12 y la ecuación 38.5:

'máx ( misen O ) sen (Trasen 0/A)

A J\ sen 0/A(38.6)

Aunque esta fórmula parece complicada, sólo representa el patrón de difracción (elfactor entre corchetes) actuando como una "envoltura" para un patrón de interfe-rencia de doble rendija (el factor coseno cuadrado), como se muestra en la figura38.11.

La ecuación 37.2 indica las condiciones para la interferencia máxima cuandod sen 8 = m\, donde d es la distancia entre las dos rendijas. La ecuación 38.1 espe-cifica que el primer mínimo de difracción ocurre cuando a sen 8 = A, donde a es elancho de la rendija. Dividiendo la ecuación 37.2 entre la ecuación 38.1 (con m = 1)es posible determinar qué máximo de interferencia coincide con el primer mínimode difracción:

dsen 9 mA

asen 0

d— = ma

(38.7)

En la figura 38.11, d/a = 18 ¿í.m/3.0 /xm = 6. Así, el sexto máximo de interferen-cia (si se cuenta al máximo central como m - 0) está alineado con el primer míni-mo de difracción y no se puede ver.

Envolventede difracción

"0/2

Figura 38.11 Efectos combinados de difracción e interferencia. Éste es el patrón que se producecuando ondas luminosas de 650 nm pasan por dos rendijas de 3.0 fim que están separadas 18 ¿¿m. Ob-serve cómo el patrón de difracción actúa como una "envolvente" y controla la intensidad de los máxi-mos de interferencia regularmente espaciados. (Fotografía cortesía de Central Sdentific Company)

CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

Pregunta sorpresa 38.2

Usando la figura 38.11 como punto inicial, haga un bosquejo del patrón de difracción e in-terferencia combinado para ondas luminosas de 650 nm que pegan sobre dos rendijas de |3.0 /j,m localizadas a 9.0 /xm de separación.

RESOLUCIÓN DE ABERTURA CIRCULAR

Y DE UNA SOLA RENDIJA

La capacidad de los sistemas ópticos para distinguir entre objetos muy próximos e*limitada debido a la naturaleza ondulatoria de la luz. Para entender esta dificultadconsidere la figura 38.12, la cual muestra dos fuentes de luz alejadas de una rendijaestrecha de ancho «. Las fuentes pueden considerarse como dos fuentes puntualesno coherentes S, y S2. Por ejemplo, podrían ser dos estrellas distantes. Si no hay di-fracción, dos puntos (o imágenes) brillantes distintos se verían sobre la pantalla deobservación. Sin embargo, debido a la difracción, cada fuente se proyecta como unaregión central brillante flanqueada por franjas débiles brillantes y oscuras. Lo quese observa sobre la pantalla es la suma de dos patrones de difracción, uno de S, y elotro de S.,.

Si las dos fuentes están separadas lo suficiente para evitar que se traslapen susmáximos centrales, como en la figura 38.12a, sus imágenes pueden distinguirse y sedice que están resueltas. Sin embargo, si las fuentes están demasiado juntas, como semuestra en la figura 38.12b, los dos máximos centrales se traslapan y las imágenesno están resueltas. Para decidir cuándo dos imágenes están resueltas a menudo seemplea el siguiente criterio:

Cuando el máximo central de una imagen cae sobre el primer mínimo de otraimagen, se dice que las imágenes están resueltas. Esta condición límite de resolu-ción se conoce como criterio de Rayleigh.

La figura 38.13 ilustra los patrones de difracción de tres situaciones. Cuando losobjetos están muy alejados, sus imágenes están bien resueltas (Fig. 38.13a). Las imá-

Rendija Pantalla de observación Rendija Pantalla de observación

a) b)

Figura 38.12 Dos fuentes puntuales alejadas de una rendija estrecha producen cada una un patrónde difracción, a) El ángulo subtendido por las fuentes en la rendija es bastante grande para que se dis-tingan los patrones de difracción, b) El ángulo subtendido por las fuentes es tan pequeño que sus pa-trones de difracción se traslapan y las imágenes no se resuelven bien. {Advierta que los ángulos estánconsiderablemente exagerados. El dibujo no está a escala.)

38.3 Resolución de abertura circular y de una sola rendija 1221

a) h)

igura 38.13 Los patrones de difracción de dos fuentes puntuales (curvas continuas) y el patrón re-ultante (curvas discontinuas) para diferentes separaciones angulares de las fuentes. En cada caso laurva discontinua es la suma de las dos curvas continuas, a) las fuentes están bastante separadas, y losairones se resuelven bien, b) Las fuentes eslán muy cercanas entre sí, de manera que la separaciónngular apenas satisface el criterio de Rayleígh, y los patrones se resuelven exactamente, c) Las fuen-cs están tan cercanas que los patrones no se resuelven. (Dt M. Cagnet, M. Fmwon \J. C. Thitrr, Atlas de fc-lómenos ópticos, Berlín, Springer-Veríag, 1962, placa 16.)

Tenes se resuelven exactamente cuando la separación angular de los objetos satisfa-:e el criterio de Rayleigh (véase la figura 38.13b). Por último, cuando los objetos es-lán tan cercanos entre sí, las imágenes no se resuelven (véase la figura 38.13c).

De acuerdo con el criterio de Rayleigh, podemos determinar la separación an-gular mínima 0míll, subtendida por las fuentes en la rendija para la cual sus imáge-nes apenas se resuelven. La ecuación 38.1 indica que el primer mínimo en un pa-rrón de difracción de una sola rendija ocurre a un ángulo para el cual

sen 0 = ~a

donde a es el ancho de la rendija. De acuerdo con el criterio de Rayleigh, esta ex-presión proporciona la separación angular más pequeña para la cual se resuelven lasdos imágenes como A « a en muchas situaciones, sen 8 es pequeño y podemos em-plear la aproximación sen 6=0. Por tanto, el ángulo de resolución límite para unarendija de ancho a es

(38.8)

donde 6m(n se expresa en radianes. Por tanto, el ángulo subtendido por las dos fuen-tes en la rendija debe ser mayor que \/a si las imágenes van a estar resueltas.

Muchos sistemas ópticos emplean aberturas circulares en lugar de rendijas. Elpatrón de difracción de una abertura circular, ilustrado en la figura 38.14, consta deun disco brillante circular central rodeado por anillos brillantes y oscuros progresi-

Figura 38.14 El patrón de difrac-ción de una abertura circular estácompuesto por un disco brillante cen-tral rodeado por anillos concéntricosbrillantes y oscuros. (De Ai. Cagnet,Af. Francon y J. C. Thierr, Atlas de fenóme-nos ópticos, Berlín, Sftringer-Vrríag, 1962, pla-ca 34.)

1222 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

vamente más tenues. Los análisis muestran que el ángulo de resolución límite de laabertura circular es

Ángulo de resolución límite parauna abertura circular

ÍU=1.22- (38.9

donde D es el diámetro de la abertura. Advierta que la ecuación 38.9 es similar a laecuación 38.8 excepto por el factor de 1.22, el cual surge de un complejo análisbmatemático de la difracción a partir de una abertura circular.

EJEMPLO 38 Límite de resolución de un microscopio

Se emplea luz de 589 nm para ver un objeto bajo un micros-copio. Si la abertura del objetivo tiene un diámetro de 0.900cm, a) ¿cuál es el ángulo de resolución límite?

Solución a) Usando la ecuación 38.9 se encuentra que el án-gulo de resolución límite es

el espectro visible. La luz violeta (400 nm) nos proporcionaun ángulo de resolución limitante de

emin = 1.2 400 x !Q-9m

0.900 x l(T2m= 5.42 x

m = 1.22Í589 x 10-9m

\0 x= 7.98x10'5 rad

Lo cual significa que dos puntos cualesquiera sobre el objetoque subtiendan un ángulo menor que esto en el objetivo nopueden distinguirse en la imagen.

b) Si fuera posible emplear luz visible de cualquier longi-tud de onda, ¿cuál sería el límite de resolución máximo de es-te microscopio?

Solución Para obtener el ángulo limitante más pequeño te-nemos que usar la longitud de onda más corta disponible en

c) Suponga que el espacio entre el objeto y el objetivo es-tá lleno de agua (n= 1.33). ¿Qué efecto tendría esto en la ca-pacidad de resolución cuando se usa luz de 589 nm?

Solución Se encuentra que la longitud de onda en el aguaes de 589 nm de luz usando la ecuación 35.7:

i • ' 1 1 i

589 nm

1.33= 443 nm

El ángulo de resolución limitante en esta longitud de onda esahora más pequeño que el que se calculó en el inciso a:

mín *•*-443 x

0.900 x 10"2m= 6.00x10'5 rad

EJEMPLO 38 Resolución de un telescopio

El telescopio Hale en Monte Palomar tiene un diámetro de200 pulg. ¿Cuál es el ángulo de resolución limitante para lu?de 600 nm?

Solución Puesto que D = 200 pulg = 5.08 m y A = 6.00 x10~7 m, la ecuación 38.9 produce

6-00*10"7™6 - 1 22 - 18min- 1.22- -1.

= 1 .44 x 10-7 rad = 0.03 s de arco

Dos estrellas cualesquiera que subtiendan un ángulo mayor oigual que dicho valor están resueltas (suponiendo condicio-nes atmosféricas ideales).

El telescopio Hale nunca puede alcanzar su límite de di-fracción porque su ángulo de resolución limitante siempre se

ajusta por borrosidad atmosférica. Tal límite de visión sueleser cercano a 1 s de arco y nunca es más pequeño que apro-ximadamente 0.1 s de arco. Se trata de una de las razones pa-ra la superioridad de las fotografías del telescopio espacialHubble, el cual contempla objetos en el espacio desde una po-sición orbital por encima de la atmósfera.

Ejercido El gran radiotelescopio en Arecibo, Puerto Rico,tiene un diámetro de 305 m y está diseñado para detectar on-das de radio de 0.75 m. Calcule el ángulo de resolución mí-nimo para este telescopio y compare su respuesta con el va-lor correspondiente al telescopio Hale.

.

Respuesta 3.0 x 10~s rad (10 min de arco), más de 10 000veces más grande (es decir, peor) que el mínimo del Hale.

EJEMPLO 38. Resolución del ojo

Calcule el ángulo de resolución limitante para el ojo huma-no, suponiendo que su resolución está limitada sólo por di-fracción.

Solución Se elige una longitud de onda de 500 nm, cercadel centro del espectro visible. Aunque el diámetro de la pu-pila varia de persona a persona, calculamos un diámetro de

38.3 Resolución de abertura circular y de una sola rendija 1223

2 mm. Se usa la ecuación 38.9 lomando A = 500 nm y D = 2mm:

A (S.OOxlO-'m0mfn = 1.22— = 1.22

D 2xlO-3m

= 3 x lO^rad = 1 min de arco

Podemos usar el resultado para calcular la distancia de se-paración mínima d entre las dos fuentes puntuales que el ojopuede distinguir si hay una distancia L desde el observador(véase la figura 38.15). Como Bmín es pequeña, vemos que

Seil VAtfn —' Vmín —" ~"~

Por ejemplo, si las fuentes puntuales están a 25 cm del ojo (elpunto cercano), entonces

d = (25 cm)(3 x l<r* rad) = 8 x 10's cm

Que es aproximadamente igual al espesor de un cabello hu-mano.

Figura 38.15 Dos fuentes puntuales separadas por una distancia dcuando se observan por medio del ojo.

Ejercido Suponga que la pupila está dilatada hasta un diá-metro de 5.0 mm y que está mirando hacia dos fuentes pun-tuales a 3.0 m. ¿A qué distancia deben estar las fuentes paraque el ojo las pueda definir?

Respuesta 0.037 cm.

APLICACIÓN Diseño de un altavoz

Las tres vías de un sistema de altavoz mostrado en la figura38.16 contienen un woofer, una bocina de rango medio y unatweeter. El pequeño diámetro del tweeter es para frecuenciasaltas, y el gran diámetro del woofer es para frecuencias bajas.La bocina de rango medio de diámetro intermedio se usapara la banda de frecuencias arriba de la frecuencia alta decorte del woofer y abajo de la frecuencia baja de corte deltweeter. El circuito conocido como malla de paso incluye fil-tros de paso bajo, de medio rango y de paso alto que envíanla señal eléctrica al altavoz apropiado. El tamaño de la aber-tura efectiva de un altavoz es aproximadamente su diámetro.Puesto que las longitudes de onda de las ondas sonoras soncomparables con los tamaños típicos de los altavoces, los efec-tos de difracción determinan el patrón de radiación angular.Será más efectivo un altavoz que radie sonido sobre un am-plio rango de ángulos de tal manera que el oyente no tengaque pararse en un punto particular en el cuarto para escucharla máxima intensidad del sonido. Con base en el patrón deradiación angular investigaremos el rango de frecuencias parael cual a 6 pulg (0.15 m) la bocina de medio rango sea la másútil.

La rapidez del sonido en el aire es de 344 m/s, y para unaabertura circular los efectos de difracción serán importantescuando A = 1.22D, donde D es el diámetro de la bocina. Portanto, se esperaría que la bocina radiara de manera no uni-forme para todas las frecuencias arriba de

344 m/s1.22(0.15 m)

= 1900Hz

Suponga que nuestros diseños especifican que la bocina demedio rango opera entre 500 Hz (la frecuencia superior de

figura 38.16 Un sistema de altavoz de audio para reproducciónde sonido con alta fidelidad. El tweeter está en la parte superior, labocina de medio rango está en el medio, y el woofer está en la parteinferior, (¡ntemational Stock Photography)

1224 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

corte para el woofer) y 2 000 Hz. Mediciones de la dispersióndel sonido radiado a una gran distancia adecuada desde el al-tavoz proporcionan los perfiles angulares de intensidad de so-nido que se muestran en la figura 38.17. Al examinar estasgráficas se observa que el patrón de dispersión para el soni-

do de 500 Hz es bastante uniforme. El rango angular escientemente grande, lo que nos permite decir que estevoz de rango medio satisface el criterio del diseño. La intsidad de un sonido de 2 000 Hz disminuye a cerca de lade su valor máximo casi 30° de la línea central.

¡i^-. :•+£-,..:,-- .-}•'•'..- •-,•;•-.

a) 500 Hz

, '

1 • • : < - , •'"*• -,

0.5

*—

-50 0 50

i ~ , í • .1 ~ -i.

i.

•i .

g (grados)

•Y..', - . • • M : -, " ¡i;, ' . - . > ! • . , -

• "1 . i- .

-'• •• .- ->.:i; :.,'- '-i:

b) 2000Hz

-50

Figura 38.17 Dispersión angular de intensidad del sonido /para un altavoz de ran-go medio en a) 500 Hz y b) 2 000 Hz.

LA REJILLA DE DIFRACCIÓN

La rejilla de difracción, un dispositivo útil para analizar fuentes luminosas, se com-pone de un gran número de rendijas paralelas igualmente espaciadas. Una rejilla detransmisión puede hacerse cortando líneas paralelas sobre una placa de vidrio conuna máquina de rayado de precisión. Los espacios entre las líneas son transparentesa la luz y, en consecuencia, actúan como rendijas individuales. Una rejilla de reflexiónpuede hacerse cortando líneas paralelas en la superficie de un material que refleja.La reflexión de la luz de los espacios entre las líneas es especular, y la reflexión delas líneas cortadas en el material es difusa. Por consiguiente, los espacios entre las lí-neas que actúan como fuentes paralelas de luz reflejada, se parecen a las rendijas enuna rejilla de transmisión. Las rejillas que tienen muchas líneas demasiado juntaspueden tener espaciamientos de rendija muy pequeños. Por ejemplo, una rendijarayada con 5 000 líneas/cm tiene un espaciamiento de rendija d= (1/5 000) cm =2.00 x 10-4 cm.

38.4 La rejilla de difracción 1225

Pantalla deobservación

8= dsend

Figura 38.18 Vista lateral de una rejilla de difracción. La separación de rendijas es d, y la diferen-cia de trayectoria entre rendijas adyacentes es dsen 6.

Una sección de una rejilla de difracción se ilustra en la figura 38.18. Una ondaplana incide desde la izquierda, normal al plano de la rejilla. Un lente convergentejunta los rayos en el punto P. El patrón observado sobre la pantalla es el resultadode los efectos combinados de interferencia y difracción. Cada rendija produce di-fracción, y los rayos difractados interfieren entre sí para producir el patrón final.

Las ondas de todas las rendijas están en fase cuando dejan las rendijas. Sin em-bargo, para alguna dirección arbitraria 0 medida desde la horizontal, las ondas de-ben recorrer diferentes longitudes de trayectoria antes de llegar al punto P. Obser-re en la figura 38.18 que la diferencia de trayectoria 5 entre rayos de dos rendijasadyacentes cualesquiera es igual a d sen 0. Si tal diferencia de trayectoria es igual auna longitud de onda o a algún múltiplo entero de una longitud de onda, entonceslas ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en el punto Py se observauna franja brillante. Por consiguiente, la condición para máximos en el patrón deinterferencia en el ángulo 0 es

^^^^^md s e n 0 = m A m = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . (38.10)

La expresión anterior puede emplearse para calcular la longitud de onda a par-tir del conocimiento del espaciamiento de la rejilla y del ángulo 0. Si la radiación in-cidente contiene varias longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cadalongitud de onda ocurre a un ángulo específico. Todas las longitudes de onda se venen 0=0, lo que corresponde a m = O, el máximo de orden cero. El máximo de pri-mer orden (m= 1) se observa en un ángulo que satisface la relación sen 9= \/d; elmáximo de segundo orden (m = 2) se observa en un ángulo 0 más grande, y así su-cesivamente.

La distribución de intensidades para una rejilla de difracción obtenida emplean-do una fuente monocromática se muestra en la figura 38.19. Advierta la nitidez delmáximo principal y la amplitud de las áreas oscuras. Lo anterior contrasta con la am-plitud característica de franjas brillantes del patrón de interferencia de doble rendi-ja (véase la figura 37.6). Ya que los máximos principales son definidos, éstos tienenmucho más brillo que los máximos de interferencia de las dos rendijas. La razón de

-2 -l

2Ad

sen 6

Figura 38.19 Intensidad versussen 8 para una rejilla de difracción.Se muestran los máximos de ordencero, primero y segundo.

Condición para el máximo deinterferencia en una rejilla

1226 CAPITULO 38 Difracción y polarización

a)

b)

Figura 38.20 a) Suma de dosonda para dos rendijas, b) Suma de dafrentes de onda de diez rendijas. Laresultante es mucho más intensa en H iso b que en el inciso a.

Experimento sorpresa

Párese a un par de metros de un fo-co. Enfrente de la luz, sostenga undisco compacto aproximadamente a10 cm de su ojo e inclínelo hastaque la reflexión del foco se localiceen el hoyo del centro del disco. Us-ted verá al espectro radiando haciaafuera del centro con luz violeta enel interior y luz roja en el exterior.Ahora aleje el disco hasta que labanda violeta esté en el extremo ex-terior. Mida con cuidado la distanciadesde su ojo al centro del disco ytambién determine el radio del dis-co. Con esta información encuentreel ángulo 8 para el máximo de pri-mer orden de la luz violeta. Ahorause la ecuación 38.10 para determi-nar el espaciamiento entre los surcosdel disco. El estándar de la industriaes 1.6 ¿¿m. ¿Qué tan cerca está us-ted?

ello se ilustra en la figura 38.20, en la que la combinación de frentes de onda miiüples para una rejilla de diez rendijas se compara con los frentes de onda para •sistema de dos rendijas. Las rejillas reales tienen miles de veces más rendijas y.tanto, los máximos son aún más intensos.

Un dibujo esquemático de un aparato sencillo utilizado para medir ángulosun patrón de difracción se presenta en la figura 38.21. Se trata de un espectróme-tro de rejilla de difracción. La luz que se analiza pasa a través de una rendija, y ••'haz de luz colimado incide sobre la rejilla. La luz difractada sale de la rejilla en ar>-gulos que satisfacen la ecuación 38.10, y con un telescopio se observa la imagen dtla rendija. La longitud de onda puede determinarse midiendo los ángulos preciso»a los cuales las imágenes de la rendija aparecen para los diversos órdenes.

Rejilla

Figura 38.21 Diagrama de un espectrómetro de rejilla de difracción. El haz colimado incidente so-bre la rejilla se difracta en los diversos órdenes a los ángulos 8 que satisfacen la ecuación d sen 8 = mÁ,donde m=0 , 1, 2,...

38.4 La rejilla de difracción 1227

EJEMPLO CONCEPTUAL 38.6 El disco compacto es una rejilla de difracción

La figura 38.22 se muestra que la luz reflejada en la super-* de un disco compacto tiene una apariencia multicolor,colores y sus intensidades dependen de la orientación del

en relación con el ojo y la fuente luminosa. Expliquefunciona.

La superficie de un disco compacto tiene una pis-lalada (con canales adyacentes que tienen una separa-

del orden de 1 ¿un). Así, la superficie actúa como unade reflexión. La luz reflejada desde las regiones entre

surcos muy próximos entre sí interfiere constructiva-sólo en ciertas direcciones que dependen de la longi-

de onda y de la dirección de la luz incidente. Cualquierin del disco sirve como una rejilla de difracción para luz

enviando diferentes colores en diferentes direcciones,distintos colores que se ven cuando se observa una sec-del disco cambian cuando la fuente luminosa, el disco o

jrvador se mueven para variar los ángulos de inciden-o difracción.

Figura 38.22 Un disco compacto observado bajo luz blanca. Loscolores que se advierten en la luz reflejada y sus intensidades depen-den de la orientación del disco en relación con el ojo y la fuente lu-minosa. (Kristen Brochmann /Fundamental Photographs)

~:=*PLO 38.7 Los órdenes de una rejilla de difracción

LEZ monocromática de un láser de helio-neón (A = 632.8 nm)oóe en dirección normal sobre una rejilla de difracción

condene 6 000 líneas por centímetro. Encuentre los án-a los cuales pueden observarse los máximos de prime-

tegundo y tercer órdenes.

ion Primero debemos calcular la separación de rendi-cual es igual al inverso del número de líneas por centí-

d =\m = 1.667 x lO-'cm = 1667 nm

6000

el máximo de primer orden (m= 1) obtenemos

A 632.8 nmsen e\ - = = 0.3796

d 1667 nm

Q,= 22.31°

Para el máximo de segundo orden (m = 2) encontramos

„„1 667 nm

02 - 49.39°

Para m = 3 encontramos que sen 0S = 1.139. Puesto quesen O no puede ser mayor que la unidad, lo cual no represen-ta una solución realista. En consecuencia, sólo se observan enesta situación los máximos de cero, primero y segundo órde-nes.

•tencia de resolución de la rejilla de difracción

*üa de difracción es más útil para medir con exactitud las longitudes de onda.l^al que el prisma, la rejilla de difracción puede emplearse para dispersar un es-••*> en sus componentes de longitud de onda. De los dos dispositivos, la rejillaear ser más precisa si uno desea disünguir dos longitudes de onda muy cercanas,

i A, y A2 son dos longitudes de onda casi iguales, de modo que una rejilla de>n apenas puede distinguirlas, la potencia de resolución fíde la rejilla se de-

wno

R =AQ — Ai AA (38.11) Potencia de resolución

A = (A] + A2)/2 y AA = A;, - A,. Así, una rejilla con una alta potencia de reso-puede distinguir pequeñas diferencias en la longitud de onda. Además, si N

1228 CAPÍTULO 38 Difracción y polarización

líneas de la rejilla se iluminan, puede mostrarse que la potencia de resolución en ladifracción de orden m-ésimo es

Potencia de resolución de unarejilla * = M» (38.12)

Por consiguiente, la potencia de resolución aumenta conforme aumenta el númerode orden y con el número creciente de rendijas iluminadas.

Observe que para m= O, R= O, lo cual significa que todas las longitudes de on-da son indistinguibles en el máximo de orden cero. Sin embargo, considere el pa-trón de difracción de segundo orden (m = 2) de una rejilla que tiene 5 000 línea*iluminadas por la fuente de luz. La potencia de resolución de una rejilla de este ti-po en el segundo orden es R = 5 000 x 2 = 10 000. Por consiguiente, para una lon-gitud de onda media de, por ejemplo, 600 nm, la mínima separación de longitud deonda entre dos líneas espectrales que se pueden resolver es AA = \/R = 6.00 x 10~:

nm. Para el máximo principal de tercer orden, R= 15 000 y AA = 4.00 X 10""2 nm, yasí sucesivamente.

Una de las aplicaciones más interesantes de la difracción es la holografía, la cualse usa para crear las imágenes tridimensionales que se encuentran prácticamente encualquier parte, desde las tarjetas de crédito hasta los timbres postales. La produc-ción de las películas de difracción especiales se analiza en el capítulo 42 de la ver-sión ampliada de este libro.

EJEMPLO 38.8 Resolución de las líneas espectrales del sodio

Cuando un elemento resalta a una temperatura muy alta, los b) Para resolver estas líneas en el espectro de segundo or-átomos emiten radiación que tiene longitudes de onda discre- den, ¿cuántas líneas de la rejilla deben iluminarse?tas. El conjunto de longitudes de onda para un elemento da-do se llama espectro atómico. Dos componentes intensos eu el Solución A partir de la ecuación 38.12 y los resultados delespectro atómico del sodio tienen longitudes de onda de inciso a, encontramos que589.00 nm y 589.59 nm. a) ¿Cuál debe ser la potencia de re-solución de una rejilla para distinguir dichas longitudes de iv = — = — = 500 líneasonda? m 2

Solución

A 589.30 nm 589.30R = — = = = 999

AA 589.59 nm - 589.00 nm 0.59

Sección opcional

38.5^ DIFRACCIÓN DE RAYOS X POR CRISTALES

En principio, la longitud de onda de cualquier onda electromagnética puede deter-minarse si se dispone de una rejilla con el espaciamiento apropiado (del orden deA). Los rayos X, descubiertos por Wilhelm Roentgen (1845-1923) en 1895, son on-das electromagnéticas de longitud de onda muy corta (del orden de 0.1 nm). Comose puede ver, sería imposible construir una rejilla que tuviera un espaciamiento tanpequeño por el proceso detallado descrito al inicio de la sección 38.4. Sin embargo.se sabe que el espaciamiento atómico en un sólido es de casi 0.1 nm. En 1913 Maxvon Laue (1879-1960) sugirió que la disposición regular de átomos en un cristal po-dría actuar como una rejilla de difracción tridimensional para los rayos X. Experi-mentos posteriores confirmaron esta predicción. Los patrones de difracción que seobservan son complicados debido a la naturaleza tridimensional del cristal. A pesar

38.5 Difracción de rayos X por cristales 1229

de eso la difracción de rayos X ha probado ser una invaluable técnica para dilucidarlas estructuras cristalinas y comprender la estructura de la materia.1

La figura 38.23 es un arreglo experimental para observar la difracción de rayosX de un cristal. Un haz colimado de rayos X incide sobre un cristal. Los haces di-fractados son muy intensos en ciertas direcciones, lo que corresponde a interferen-cia constructiva de ondas reflejadas en capas de átomos en el cristal. Los haces di-fractados pueden detectarse por medio de película fotográfica formando un arreglode puntos conocidos como patrón de Laue. La estructura cristalina se puede deduciranalizando las posiciones e intensidades de los diversos puntos en el patrón.

La disposición de átomos en un cristal de cloruro de sodio (NaCl) se muestraen la figura 38.24. Cada celda unitaria (la geometría del sólido que se repite a tra-vés del cristal) es un cubo con una longitud de arista a. Un examen detenido de laestructura de NaCl muestra que los iones se ubican en planos discretos (las áreassombreadas en la figura 38.24). Suponga ahora un haz de rayos X incidente que for-ma un ángulo 6 con uno de los planos, como se muestra en la figura 38.25. El hazpuede reflejarse tanto desde el plano superior como desde el inferior. Sin embargo,el haz reflejado desde el plano inferior viaja más lejos que el reflejado en el supe-rior. La diferencia de recorrido efectivo entre los dos haces es 2dsen 6. Los dos ha-ces se refuerzan uno con otro (interferencia constructiva) cuando tal diferencia detrayectoria es igual a un múltiplo entero de A. Esto mismo es cierto para la reflexiónde la familia completa de planos paralelos. Así, la condición para la interferenciaconstructiva (máximo en el haz reflejado) es

2ásen B= m\= 1, 2, 3,

Esta condición se conoce como ley de Bragg, en honor de W. L. Bragg (1890-1971),quien dedujo esta relación. Si la longitud de onda y el ángulo de difracción se mi-den, se utiliza la ecuación 38.13 para calcular el espaciamiento entre los planos ató-micos.

Pregunta sorpresa 38.3

Cuando usted recibe rayos X en su pecho en un hospital, los rayos pasan a través de unaserie de costillas paralelas en su pecho. ¿Las costillas actúan como una rejilla de difracciónde rayos X?

Rayo deluz incidente

Plano superior

Plano inferior

Tubode rayos X

Colimador Películafotografíe;

Figura 38.23 Diagrama esquemáti-co de la técnica empleada para obser-var la difracción de rayos X por me-dio de un cristal. El arreglo de puntosformados sobre la película se denomi-na patrón de Laue.

(38.13) Ley de Bragg

Figura 38.24 Estructura cristalinadel cloruro de sodio (NaCl). Las esfe-ras azules representan los iones Cl" ylas esferas rojas representan los ionesNa*. La longitud de la arista del cuboes a = 0.562 737 nm.

dsenO

Figura 38.25 Una descripción bidimensional de la reflexión de un haz de rayos X a partir de dosplanos cristalinos paralelos separados por una distancia d. El haz reflejado desde el plano inferior via-ja más lejos que el reflejado desde el plano superior en una distancia igual a 2d sen 0.

Para mayores detalles sobre este tema véase Sir Lawrence Bragg, "X-Ray Crystallography", Sci. Am.,219:58-70, 1968.