oscilaciones

UNIDAD 3: OSCILACIONES

3.1 Oscilaciones. Generalidades.

Movimiento en estudio: movimiento periódico, es el movimiento de un cuerpo que se repite

regularmente, el cuerpo regresa a una posición dada después de un intervalo fijo.

Ejemplos: El péndulo de un reloj, trampolín, una cuerda vibrante de una guitarra, cuerpo unido a un

resorte ideal, etc.

Característica del movimiento: Tienen una formulación matemática común y se expresan muy

fácilmente a partir de funciones seno y coseno. Se estudiara solamente las ondas mecánicas y su

descripción.

Donde:

Fext = Fuerza externa.

Fr = Fuerza restauradora (opera en una dirección que restablece el sistema a su posición de equilibrio)

Algunas variables:

A: Amplitud del movimiento (m, cm, etc.)

ING.SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1

Posición de equilibrio

X = 0

FextFr

x

Fr Fextx

T: Periodo (tiempo necesario para completar un ciclo) (segundos)

f: Frecuencia (Numero de ciclos por unidad de tiempo)

f = 1T[H z]o Hertz ,1H z=1ciclo /seg.

3.2 El Oscilador Armónico Simple

F = Fuerza restauradora

F x=−kx

k = Constante del resorte

x = Desplazamiento

U x=12

kx 2 Energía Potencial Elástica

“Un cuerpo de masa m sujeto a un resorte ideal de constante k y que puede moverse libremente en una

superficie horizontal sin fricción constituye un ejemplo de oscilador armónico simple”

Aplicando la 2a ley de Newton

∑ F x=ma x

F x=ma x

−kx=m d 2 xdt 2


Estirado

Fx = -kxax = -avx = 0

a)

Relajado

F

v

Fx = 0ax = 0vx = -v

b)

FComprimido

Fx = +kxax = +avx = 0

c)

Relajado vd)

Fx = 0ax = 0vx = v

x = -A x = 0 x = +A

0=m d 2 xdt2 kx (dividiendo por m)

0m=m

md 2 xdt 2 kx

m

0=d 2 xdt 2 kx

m

d 2 xdt 2 kx

m=0 Ecuación de movimiento del Oscilador Armónico Simple

Funciones seno y coseno

3.3 Movimiento Armónico Simple

Resolver la Ecuación de movimiento de un Oscilador Armónico Simple.

d 2 xdt2 kx

m=0

d 2 xdt2 =− k

m x

Se requiere que x(t) sea función cuya 2a derivada sea negativa de la función con un factor constante

k/m, las funciones seno y coseno poseen esta propiedad.

ddt

cos wt=−sen wt dt wt =−wsen wt

d 2

dt 2 cos wt= ddt

−wsenwt

d 2

dt 2 cos wt=−w coswt dt wt

d 2

dt 2 cos wt=−w2 cos wt

La siguiente función coseno es una solución de la ecuación diferencial:


x t =Acos wt Desplazamiento.

Donde: A, w y Φ son constantes

A: Amplitud (valor máximo de la posición de la partícula, ya sea en la dirección x positiva o negativa).

w: Frecuencia angular (rad/s) (es una medida de lo rápidamente que ocurren las oscilaciones).

t: Tiempo.

Φ: Angulo de fase (Nos dice en que punto del ciclo el movimiento estaba en t = 0).

Sustituyendo t = 0 y x = x0 , obtenemos:

x 0=A cos

Características de Φ:

a) Si Φ = 0, x0 = Acos 0 = A, y la partícula parte del desplazamiento positivo máximo.

b) Si Φ = π, x0 = Acos π = -A, y la partícula parte del desplazamiento negativo máximo.

c) Si Φ = π/2, x0 = Acos (π/2) = 0, y la partícula parte del origen.

Encontrando las constantes

dxdt

=−wAsenwt

dx2

dt 2 =−w2 Acoswt

De la ecuación diferencial tenemos:

dx2

dt 2 =− km x

−w2 Acoswt=− km Acos wt


w2= km , w= k

m

El periodo es igual a:

T=2w

T= 2

km

T= 2

km , T=2 m

k, T=2 m

k

Entonces:

f = 1T ,

f = 1

2mk

, f = 12 k

m

w=2 f o w=2T

Relación existente entre el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula oscilante.

x t =Acos wt Desplazamiento

v t=dxdt

v t=ddt

Acos wt

v t =−wAsen wt Velocidad

a t =dvdt

a t =ddt

−wAsenwt


a t=w2 Acos wt Aceleración

Desplazamiento máximo (Amplitud máxima) = x max=A

Rapidez máxima (Amplitud de velocidad) = vmax=wA o vmax= km

A

Aceleración máxima (Amplitud de la aceleración) = amax=km

A

Características:

Cuando el desplazamiento alcanza su máxima amplitud en ambas direcciones, xmax=±A v t=0

porque en ese instante cambia de dirección.

Cuando el desplazamiento es cero, xmax=0 , v t=v max y a t=0, porque F r=0


La rapidez crece para acercar a la partícula a la posición de equilibrio y luego disminuye conforme se

aleja del desplazamiento máximo-positivo.

Si conocemos la posición y la velocidad iniciales x0 y v0 del cuerpo oscilante, se puede determinar la

amplitud A y el angulo de fase Ф así:

v0x es la velocidad en t = 0, sustituyendo v = v0x y t = 0

v0x=−wAsen

v0x

x0=−w A sen

Acos

v0x

x0=−w tan

=tan−1−v0x

wx0 Angulo de fase en M.A.S.

Como encontramos la amplitud A?

xo=A cos

xo2=A2 cos2 *

v0x

w=−w Asen

w

v0x2

w2 =A2 sen2 **

De la ecuación ** le sumamos la ecuación *, entonces:

v0x2

w2 =A2 sen2A2cos2− xo2

xo2

v0x2

w2=A2 sen2cos2

A= x02

v0x2

w2Amplitud en M.A.S.


Ejemplo #1: El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1.50 kg. En un resorte esta dado

por la ecuación x t =7.40cmcos [4.16 s−1t−2.42 rad ] . Calcule: a) el tiempo que tarda una

vibración completa, b) la constante de la fuerza del resorte, c) la rapidez máxima de la masa, d) la

fuerza máxima que actúa sobre la masa, e) la posición, velocidad y aceleración de la masa en t = 1.00

seg.

Solución:

a) T = ?

T=2w , T= 2

4.16 rad / s , T=1.51 seg. R/

b) k = ?

w2= km , k=mw2 , k=1.50kg 4.16 rad / s 2 , k=25.9 N /m R/

c) vmax =?

v max= km

A , v max= 25.9 N /m1.50 kg. 0.0740 m , vmax=0.307m / s R/

d) Fmax =?

F max=−kx , F max=−25.9 N /m0.0740 m , F max=−1.92 N , Fmax /masa=1.92 N R/

e) x(t) = ?

x t =7.40cmcos [4.16 s−1t−2.42 rad ]

x t=1 s=7.40cmcos [4.16 s−11s −2.42 rad ]

x t=1 s=−1.25 cm R/

v(t) = ?

v t=−wAsenwt−

v t=1 s=−4.16 s−17.40cm sen [4.16 s−11 s−2.42 rad ]

v t=1 s =−30.34cm / s R/


a(t) = ?

a t =w2 Acos wt−

a t=1 s=4.16 s−12740 cmcos[ 4.16 rad /s 1 s −2.42 rad ]

a t=1 s =21.56 cm / s2 R/

3.4 Energía en el Movimiento Armónico Simple

Energía mecánica total se conserva

E=KU=cte En ausencia de fuerzas resistivas.

U=12

kx2

U=12

k [Acos wt2]

U=12

kA2cos2wt Energía potencial elástica.

K=12

mv 2

K=12

m [−wAsen wt2]

K=12

m w2 A2 sen2wt , pero w2= km , k=mw2 , entonces:

K=12

kA2 sen2wt Energía cinética.

E=KU

E=12

kA2 sen2wt12

kA2 cos2wt

E=12

kA2 sen2 wtcos2wt

E=12

kA2 constante.

Por ultimo, podemos usar el principio de conservación de la energía para obtener la velocidad para una

posición arbitraria al expresar la energía total en alguna posición arbitraria:

E=KU


E=12

mv212

kx2

12

kA2=12

mv212

kx2

kA2=mv2kx2 despejando la velocidad tenemos:

v2= kA2−kx2

m

v=± km A2−x 2 o v=±w A2−x 2 si x = 0 , vmax.


3.5 Aplicaciones del Movimiento Armónico Simple.

3.5.1 El Péndulo Simple

El péndulo simple es otro sistema mecánico que exhibe movimiento periódico. Esta formado por una

pesa semejante a una partícula de masa m suspendida por una cuerda ligera de longitud L e

inextensible.

Queremos determinar el periodo (T) del movimiento.


La fuerza restauradora es:

F R=−mgsen

F R , sino que F R sen

Pero que ocurre para ángulos pequeños:

senG⇔R son casi iguales

para 5o

sen5o≡ 5o5/57.3

0.0871≡0.0872

para 3o

sen3o≡3o3 /57.3

0.0523≡0.0523

Entonces:

F R=−mg , x=longitud dearco , x=L para ángulos pequeños se da un movimiento lineal.

F R=−mg xL


F R=−mgL x Criterio igual al M.A.S.

Pero F R=−kx ;k=mgL

El periodo de un oscilador armónico es:

T=2 mk

entonces:

T=2 mm g /L

T=2 Lg

Periodo de un péndulo simple

No depende de la masa de la partícula.

3.5.2 El Péndulo Físico

Definición: “Todo cuerpo rígido montado de modo que oscile en un plano vertical alrededor de un eje

que cruza por él es un péndulo físico”


z=Torca restauradora del desplazamientoangular es :

z=−mgdsen

Para desplazamientos angulares pequeños: sen≡

z=−mgd

La ecuación de movimiento es:

∑=I entonces:

−mgd =I

−mgd =I d 2dt2

d 2dt 2 =− mgd

I

Si comparamos esto con la ecuación del M.A.S, vemos que el papel de (k/m) en el sistema masa-resorte

lo desempeña aquí la cantidad (mgd/I). Por lo tanto, la frecuencia angular está dada por:

km=mgd

I

k= m2 gdI

pero:


w2 m=m2 gdI

w= mgdI

tambien:

T=2w

El periodo de este cuerpo rígido es:

, T=2 Imgd

El momento de Inercia es:

I=T 2 mgd42

Si el sólido rígido tiene forma definida, hay que buscar en tablas cual es el valor del momento de

inercia.

El péndulo físico incluye el péndulo simple como un caso especial. Si colocamos el pivote lejos del

objeto, usando una cuerda sin peso de longitud L, tendríamos:

I=mL2 y d =L entonces:

T=2 Imgd

, T=2 m L2

m gL, T=2 L

gPeriodo de un péndulo simple.

Si la masa de un péndulo físico estuviera concentrada en la distancia correctamente escogida L, el

péndulo simple resultante tendría el mismo periodo que el péndulo físico original.

T=2 Lg

P.S.

T=2 Imgd

P.F.

T=T

2 Lg=2 I

mgd

Lg

2

= Imgd

2

Lg= I

mgd


L= Imd Punto llamado Centro de oscilación del péndulo físico y depende de la ubicación del pivote.

3.5.3 El Oscilador Torsional o Péndulo Torsional

Al girar el disco (horario o anti horario), el alambre ejercerá una torca restauradora sobre el disco y

tenderá a devolverlo a la linea de referencia a su posición de equilibrio.

En pequeñas torsiones se observa que la torca restauradora es proporcional al desplazamiento angular.

z=−k Ecuación que describe el M.A.S.

Donde:

k: Constante Torsional (depende de las propiedades del alambre).

θ: Desplazamiento angular.

Aplicando la 2a ley de Newton para el movimiento rotacional.

∑z=I z

z= I d 2dt2

−k =I d 2dt 2

d 2dt 2 =− k

I Relativa a la ecuación M.A.S.

=m coswt Desplazamiento angular.


m=Amplitud maxima angular.

w=Frecuenia angular.

w≠d dt

El periodo de oscilación es:

T=2 Ik

Ejemplo #1: Una esfera solida de 95.2 kg con 14.8 cm de radio esta suspendida de un alambre vertical

conectado al techo de un cuarto. Se requiere un par de 0.192 N.m para hacer girar la esfera por un

angulo de 0.850 rad. Determine el periodo de oscilación cuando se suelta a la esfera de esta posición.

R/ 12.1 seg.

Datos:

m = 95.2 kg.

R = 14.8 cm

z=0.192 N.m

θ = 0.850 rad.

T = ?

El periodo es:

T=2 Ik

Encontrando la constante k:

=Mgd

k=Mgd

=k

k= , k=0.192 N.m

0.850 rad , k=0.226 N.m


Encontrando el momento de inercia del solido rígido por tabla:

I=25

MR2 (Esfera solida)

I=2595.2kg 0.148m2 , I=0.834 kg.m2

Entonces el periodo sera:

T=2 Ik

T=2 0.834 kg.m2

0.226 N.m

T=12.1 seg.

3.6 Oscilaciones Amortiguadas

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta este punto, han sido para sistemas ideales,

es decir, sistemas que oscilan indefinidamente bajo la acción de solo una fuerza , una fuerza

restauradora lineal. En muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas, por ejemplo la fricción,

retardan el movimiento. En consecuencia la energía mecánica del sistema disminuye en tiempo y existe

una reducción en la amplitud. Esta perdida de la amplitud recibe el nombre de amortiguamiento y al

movimiento se le llama Movimiento Armónico Amortiguado.

El amortiguamiento se debe a la fricción, resistencia del aire y fuerzas externas.

Cuando el movimiento de un oscilador se reduce por la acción de una fuerza externa, se indica que el

oscilador y su movimiento están amortiguados.

En este proceso, aparecerá una fuerza retardadora (amortiguadora)

F A v

F A=−bv


Cuerpo unido a un resorte y sumergido en un liquido viscoso.

Donde:

F A=Fuerza amortiguadora

b=Coeficiente de amortiguamiento y depende de las caracteristicas del liquido. [ Nm/ s

]o [kg /s ]

F R=−kx


∑ F=ma x

F RF A=ma x

−kx−bv=ma x

ma xbvkx=0

m d 2 xdt 2 b dx

dtkx=0 Al resolver esta ecuación diferencial:

x t =Ae−bt2m cos w ' t Posición de la partícula respecto al tiempo

Donde la frecuencia angular del oscilador amortiguado es:

w '= km− b

2m 2

Si b = 0, no hay amortiguamiento.

Si b es pequeña pero no cero

w '≡w

Ahora la energía mecánica total es:

E t=12

k A2 e−bt

m

Tanto la amplitud (A) como la energía mecánica (E) decrecen en forma exponencial con el tiempo.


3.7 Oscilaciones Forzadas

Hemos visto que la energía mecánica de un oscilador amortiguado decrece en el tiempo como resultado

de la fuerza resistiva. Es posible compensar esta disminución de energía si se aplica una fuerza externa

que realice trabajo positivo sobre el sistema.

Un ejemplo común de un oscilador forzado es un oscilador amortiguado movido por una fuerza externa

que varíe periódicamente. F t =Fo senw f t

Donde:

wf = frecuencia angular de la fuerza de excitación (es variable)

mientras que la la frecuencia natural w es fija.(por los valores de k y m)

Fo = una constante.


∑ F=ma x

F o sen w f t−b dxdt

−kx=m d 2 xdt 2

Después de un cierto tiempo cuando la energía transferida por ciclo por la fuerza externa sea igual a

la cantidad de energía mecánica transformada a energía interna por ciclo se alcanzara una situación

estable en la que las oscilaciones continuaran con amplitud constante.

x t =Acos w f t

Donde


A=F o/m

w f2 −w 22 bw f

m 2

Para un amortiguamiento pequeño, la amplitud es grande cuando la frecuencia de la fuerza de

excitación es cercana a la frecuencia natural de oscilación ( w f≡w ).

El considerable aumento en amplitud cerca de la frecuencia natural se denomina resonancia.

Destrucción del puente Tacoma debido a la resonancia.


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