optica

ÓPTICA ÓPTICA GEOMÉTRICA.GEOMÉTRICA.

9.1.- Introducción.9.1.- Introducción.

¿Qué se entiende por Óptica Geométrica y Óptica Física?¿Qué se entiende por Óptica Geométrica y Óptica Física? La La Óptica GeométricaÓptica Geométrica no tiene en cuenta la naturaleza no tiene en cuenta la naturaleza

ondulatoria de la luz y la representa o considera como un haz ondulatoria de la luz y la representa o considera como un haz de rayos.de rayos.

La La Óptica FísicaÓptica Física tiene el cuenta el carácter ondulatorio de la tiene el cuenta el carácter ondulatorio de la luz y es necesaria para explicar fenómenos como son las luz y es necesaria para explicar fenómenos como son las interferencias y la difracción de la luz.interferencias y la difracción de la luz.

La La Óptica GeométricaÓptica Geométrica es una aproximación válida siempre es una aproximación válida siempre que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de los obstáculos o discontinuidades a través de dimensiones de los obstáculos o discontinuidades a través de los cuales se propaga.los cuales se propaga.

• Principios de la Óptica GeométricaPrincipios de la Óptica Geométrica

1.- Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos.1.- Trayectorias rectilíneas en medios homogéneos e isótropos.

2.- Se cumple la ley de la reflexión2.- Se cumple la ley de la reflexión

3.- Se cumple la ley de la refracción3.- Se cumple la ley de la refracción

4.- Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano.4.- Rayo incidente, refractado y reflejado están en un mismo plano.

5.- Las trayectorias de la luz son reversibles.5.- Las trayectorias de la luz son reversibles.


• DefinicionesDefiniciones

– Dioptrio. Dioptrio. Formado por dos medios de distinto índice de refracción con una Formado por dos medios de distinto índice de refracción con una superficie de separación perfectamente definida.superficie de separación perfectamente definida.

– Espejo. Espejo. Cuando la superficie límite de un medio es totalmente reflejante Cuando la superficie límite de un medio es totalmente reflejante constituye un espejo.constituye un espejo.

n n’

Dioptrio esférico

n n’

Dioptrio plano

n

Espejo planoEspejo esférico

n


• DefinicionesDefiniciones

– Sistema óptico. Sistema óptico. Conjunto de Conjunto de dioptriosdioptrios y y espejos espejos dispuestos a lo largo de la dispuestos a lo largo de la trayectoria de un haz luminoso. Se puede distinguir:trayectoria de un haz luminoso. Se puede distinguir: Sistema Sistema dioptriodioptrio. Formado . Formado sólo por dioptriossólo por dioptrios.. Sistema Sistema catóptricocatóptrico. Formado . Formado sólo por espejossólo por espejos,, Sistema Sistema catadióptricocatadióptrico. Formado por . Formado por dioptrios y espejosdioptrios y espejos..

– Sistema óptico centrado. Sistema óptico centrado. Todas las superficies que lo forman, sean Todas las superficies que lo forman, sean transparentes o reflejantes son de revolución, con un eje de revolución transparentes o reflejantes son de revolución, con un eje de revolución común para todas. A este eje se le denomina común para todas. A este eje se le denomina eje ópticoeje óptico del sistema. del sistema.

Sistema óptico centrado

Eje óptico

9.2.- Estigmatismo y aplanatismo.9.2.- Estigmatismo y aplanatismo.

Condición de estigmatismoCondición de estigmatismo

• Condición de aplanatismoCondición de aplanatismo

A

B

A’

B’

O O’

9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales.9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales.

Objeto real e imagen realObjeto real e imagen real

O’O

• Objeto real e imagen virtualObjeto real e imagen virtual

O O’

9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales.9.3.- Objetos e imágenes reales y virtuales.

Objeto virtual e imagen realObjeto virtual e imagen real

O’

• Objeto virtual e imagen virtualObjeto virtual e imagen virtual

O’

O

O

9.4.- Optica geométrica paraxial.9.4.- Optica geométrica paraxial. Rayos paraxialesRayos paraxiales

La mayoría de los sistemas ópticos tienen en general un comportamiento no estigmático. Sin embargo son estigmáticos cuando los rayos que intervienen en la formación de imágenes están muy poco inclinados respecto al eje óptico. A estos rayos se les denomina como rayos paraxiales.

O

Sistema óptico no estigmáticoSistema óptico no estigmático

Sistema óptico estigmáticoSistema óptico estigmático

O O’

9.5.- Dioptrio esférico.9.5.- Dioptrio esférico.

DefiniciónDefiniciónn n’

V C

ConvexoConvexo

n n’

VC

CóncavoCóncavo

• Convenio de signosConvenio de signos

n n’

V

σ(–) σ’(+)

ε (+)

ε’(+)

s (–)

ω(–)ω’(–)

y (+)

y’(–)

s’(+)

ϕ (+)C

N

r r

(r > 0)(r > 0) (r < 0)(r < 0)


Relación entre los puntos conjugados en el Relación entre los puntos conjugados en el dioptrio esféricodioptrio esféricon n’

Vσ σ’B

h

s

C

r

d

I

O

s’

ε’d’

O’

ε

ϕ

N

s Distancia objeto

s’ Distancia imagen

• Aproximación paraxialAproximación paraxial

─ Los rayos de luz que intervienen en la formación de la imagen están muy próximos al eje óptico. Implicaciones:

La distancia VB es despreciable frente a los valores de s, s’ y r.

Los ángulos medidos en radianes se confunden con sus senos y tangentes.


Relación entre los puntos conjugados en el Relación entre los puntos conjugados en el dioptrio esféricodioptrio esféricon n’

Vσ σ’B

h

s

C

r

d

I

O

s’

ε’d’

O’

ε

ϕ

N

s Distancia objeto

s’ Distancia imagen

′−′=

−

sh

rh

nsh

rh

n

• Aproximación paraxialAproximación paraxial

Ley de refracciónLey de refracción ε′′=ε nn ( ) ( )σ′−ϕ′=σ−ϕ nn

AdemásAdemás

′−′=

−

srn

srn

1111

rnn

sn

sn −′=−′′

rhshsh =ϕ′=σ′=σ ,,

Foco objeto (F)

Distancia focal imagen (f ’ ) fss ′=′−∞= ,

rnnn

fn −′

=∞−

−′′

Focos y distancias focalesFocos y distancias focales

Distancia focal objeto (f ) ∞=′= sfs ,

rnn

fnn −′

=−∞

′

rnn

nf

−′′

=′⇒

rnn

nf

−′−=⇒


Foco imagen (F’)

n n’

V

n n’

VF

f f ’

F’

Relación entre las distancias focales

−′′

=′−′

−=

rnn

nf

rnn

nf Dividiendo

Sumando

Relación entre las distancias objeto e imagen y las focales

rnn

sn

sn −′

=−′′

1=−′−

+′

−′′

⇒s

rnn

n

s

rnn

n

nn

ff

′−=

′⇒

rff =+′⇒

1=+′′

⇒sf

sf


F F’CV

0, >>′ rnn 0, <>′ rnn

0, ><′ rnn 0, <<′ rnn

0>′f 0<′f

0<′f 0>′f

n n’

V C

n n’

VC

n n’

CV V

n n’

C F’


F’

rnn

nf

−′′

=′

F’

F’

Invariante de Lagrange - HelmholtzInvariante de Lagrange - Helmholtz

sh

sy == σω ,

Ley de refracciónLey de refracción

De la figuraDe la figura

hy

nh

yn

σσ ′′′=h

yσω =⇒

sh

sy

′=′

′′

=′ σω ,h

y σω′′

=′⇒

ωω ′′= nn

y Tamaño objeto

y’ Tamaño imagen

σσ ′′′=⇒ ynny

Invariante de Lagrange - Helmholtz


V

σ σ’

s s’

ωω’

y

y’

n n’

h

I

OO’

AumentosAumentos

Aumento lateral (Aumento lateral (ββ))

Aumento angular (Aumento angular (γγ))

yy′

=β

σσγ

′=


V

σ σ’

s s’

ω

ω’

y

y’

n n’

h

I

O

O’

A partir del invariante de Lagrange-HelmholtzA partir del invariante de Lagrange-Helmholtz

σσ ′′′= ynnyσσβ

′′=

′=

nn

yy

ComoComo yy se tienese tiene sh=σ sh ′=′σ

ComoComo se tienese tiene nn

ff

′−=

′

AumentosAumentos

γβ 1

nn′

=

ss′

=γsnsn′′

=β

sfsf′

′−=β


Aumento lateral (Aumento lateral (ββ))

Aumento angular (Aumento angular (γγ))

yy′

=β

σσγ

′=

Vσ σ’

s s’

ωω’

y

y’

n n’

hI

OO’

Dioptrio convexo

Construcción gráfica de imágenesConstrucción gráfica de imágenes

Imagen real einvertida

0,0 <>′ βs

Imagen virtual, derecha y mayor que objeto

1,0,0 >><′ ββs


n n’

F’CFy

y’

n n’

F F’C

yy’


Dioptrio cóncavo

Imagen virtual, derecha y menor que objeto

1,0,0 <><′ ββs


n n’

F’ C F

yy’

• DefiniciónDefinición

9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas9.6.- Dioptrio plano. Lámina de caras plano-paralelas

nn ′<

n n’

V

nn ′>

n n’

V

Relación entre puntos conjugadosRelación entre puntos conjugados

Caso particular del dioptrio esférico con ∞=r

rnn

sn

sn −′

=−′′

nn ′<

snn

s′

=′

nn ′>


n n’

VO’ O

s

s’

n n’

VO’

s’

s

O

snsn′′

=β

ns

ns =′′

AumentosAumentos

Aumento angular

′

=σσγ

γβ 1

nn′

=

Aumento lateral

′

=y

yβ

1=nn′

=γ

1=β


Refracción en láminas plano paralelasRefracción en láminas plano paralelas

11 sensen εε ′′= nnEn la primera superficie :En la primera superficie :

22 sensen εε nn =′′En la segunda superficie :En la segunda superficie :

e Espesor de la lámina

21 εε =


n n’ n

ε1

ε1’I1

ε2’ε2

I2

e

d

Refracción en láminas plano paralelasRefracción en láminas plano paralelas

n n’ n

ε1

ε1’

ε2’ε2

I1I2

e

d

( )nnefd ′= ,,,1εDesplazamiento del rayo:Desplazamiento del rayo:

( )2221 sen εε ′−= IId ( )111

sencos

εεε

′−′

= e

11 εε ′′= nn

( )11 εε ′−≈ e

Ley de Snell:Ley de Snell: 11 εεnn′

=′⇒

′−=nn

ed 11ε

Aprox. paraxial


n’

n

n

e

d d

Relación entre puntos conjugadosRelación entre puntos conjugados

Primera superficie:Primera superficie:n

s

n

s 11 =′′

Segunda superficie:Segunda superficie:n

s

n

s′

=′ 22

n

es′

+′= 1

ne

n

s′

+= 1

Desplazamiento imagen:Desplazamiento imagen: 2131OO sess ′−+==∆

′−=∆nn

es 1

nness

′+=′ 12


n’

nn

e

O2 O3

O1

s1

s2

s1’

s2’

Relación entre desplazamiento de imagen y rayoRelación entre desplazamiento de imagen y rayo

n’

nn

e

O1

O2

O3

Desplazamiento imagen:Desplazamiento imagen:

′−=∆nn

es 1

Desplazamiento del rayo:Desplazamiento del rayo:

′−=nn

ed 11ε

∆s

d

sd ∆= 1ε


9.7.- Espejo plano.9.7.- Espejo plano.

Ley de la reflexión (convenio de signos)

ε Ángulo de incidencia

ε’ Ángulo de reflexión

La ley de la refracción referida a ε y ε’ se cumplirá si se toma n = -n’

ε′−=ε⇒ε′′=ε sensensensen nn

n

Espejo plano

ε’

SO

εN

ε′−=ε

ε′−=ε


• Relación entre puntos conjugadosRelación entre puntos conjugados

rnn

sn

sn −′

=−′′

Caso particular del dioptrio esférico con y ∞=r nn ′−=

sn

sn ′

−=′′

n

SO

s s’

O’

ss −=′

La imagen ofrecida por un espejo plano es virtual.

SO O’


Aumento lateralAumento lateral Aumento lateral

′

=yyβ

snsn′′

=β

−=′−=′nn

ss

A

B B’

A’

Imagen de igual tamaño que el objeto situada al otro lado a la misma distancia.

1=β

9.8.- Espejo esférico.9.8.- Espejo esférico.


rnn

sn

sn −′

=−′′

Caso particular del dioptrio esférico con nn ′−=

rn

sn

sn ′

=′

+′′ 2

Espejo cóncavo

SC

I

ε ε’

O’

s’r

O

s

C

Espejo convexo

S

s

O

r

s’

Iε’

ε

O’

rss211 =+

′


Focos y distancias focalesFocos y distancias focales Distancia focal imagen (f ’ ) fss ′=′−∞= ,

rf211 =

∞−+

′


rf211 =+

∞

SC

f

F CS

f

F

2

rf =′⇒

2

rf =⇒



Aumento lateral

′

=yyβ

snsn′′

=β

• Aumento lateralAumento lateral

SFCy

y’

Espejo cóncavo

Imagen real, invertida y menor que objeto

1,0,0 <β<β<′s

nn −=′ ss′−=β


Espejo cóncavo

SFC y

y’

SCF

y’

Imagen real, invertida y mayor que objeto

1,0,0 >β<β<′s

Espejo cóncavo


1,0,0 >β>β>′s

y


CS F

Espejo convexo


1,0,0 <β>β>′s

y’y

9.9.- Lentes delgadas.9.9.- Lentes delgadas.

Definición y tipos de lentesDefinición y tipos de lentes

Lente

convergente

Lente divergente

Plano convexaBiconvexaMenisco

convergente

Plano cóncavaBicóncava Meniscodivergente


Primer dioptrio:Primer dioptrio:11 r

nn

s

n

s

n mlml −=−′

Segundo dioptrio:Segundo dioptrio:22 r

nnsn

sn lmlm −=−

′


−−=−

′ 21

1111rrn

nn

ss m

ml

O’

s’

O1’

nm nm

nl

O s1s′

2s


Focos y distancias focalesFocos y distancias focales

−−=

∞−−

′ 21

1111rrn

nnf m

ml

Distancia focal imagen (f ’ )


−−=−

∞ 21

1111rrn

nnf m

ml

−−=

′⇒

21

111rrn

nnf m

ml

−−−=⇒

21

111rrn

nnf m

ml

fss ′=′−∞= ,

f’

F

f

F’


Relación entre las distancias focales

Relación entre las distancias objeto e imagen y las focales

−−−=

−−=

′

21

21

111

111

rrnnn

f

rrnnn

f

m

ml

m

ml

ff −=′

−−=−

′ 21

1111rrn

nn

ss m

ml

−−=

′ 21

111rrn

nn

f m

ml

fss ′=−

′111


0 >′f

Lente

convergentePlano convexaBiconvexa

Menisco

convergente

Lente divergente

Plano cóncavaBicóncava Meniscodivergente

0 <′f

9.9.- Lentes delgadas.9.9.- Lentes delgadas. Focos de una lente convergente

Focos de una lente divergente

f’

F’

f

F

f’

F’ F

f


Construcción gráfica de imágenesConstrucción gráfica de imágenesLente convergente

F

F’y

y’

s

s’ Imagen real einvertida

0,0 <>′ βs


1,0,0 >><′ ββsF

F’y’

y

s’

s

9.9.- Lentes delgadas.9.9.- Lentes delgadas. Construcción gráfica de imágenesConstrucción gráfica de imágenes

Lente divergente

FF’

y

y’

s

s’


1,0,0 <><′ ββs


Aumento lateralAumento lateral

Aumento lateral

′

=yyβ

• Potencia de una lentePotencia de una lente

La potencia de una lente P se define como

Cuando la distancia focal se expresa en metros la potencia viene dada en dioptrías.f

P′

= 1

ss′

=β

ComoComo yy y ademásy además sy=θ sy ′′=θ′ θ=θ′

sy

sy =′′

ss

yy ′=′⇒

F

F’y

y’

s

s’

θθ’


Lentes delgadas acopladasLentes delgadas acopladasEn ocasiones las lentes se acoplan con distintos fines.

En este caso para cada lente se verificará que

111

111fss ′

=−′1ª lente

222

111fss ′

=−′2ª lente

Al ser delgadas y estar acopladas con lo que sumando las dos expresiones anteriores

21 ss =′

2112

1111ffss ′

+′

=−′

Llamando y quedass =1 ss ′=′2

fss ′=−

′111

donde21

111fff ′

+′

=′ 21 PPP +=⇒

n´

n n

9.10.- Prismas ópticos.9.10.- Prismas ópticos.

Expresiones fundamentalesExpresiones fundamentales

α

α

δ

1ε′2ε

2ε′1ε

N1

N2

α Ángulo de refrigencia

δ Ángulo de desviación

Refracción en caras del prisma

Ángulo de refrigencia

Ángulo de desviación ( ) ( ) ( )21212211 ε′+ε′−ε+ε=ε′−ε+ε′−ε=δ

α−ε+ε=δ 21

11 sensen ε′′=ε nn1ª Cara

22 sensen ε=ε′′ nn2ª Cara

21 ε′+ε′=α

n´

n nα

Si se mide el ángulo de desviación de un prisma en función del ángulo de incidencia se obtiene experimentalmente que

δ

ε

δ

ε1 ε2

δm Ángulo de desviación mínima

δm

ε1= ε2

1ε′2ε

2ε′1ε

N1

N2δδ

Condición de desviación mínimaCondición de desviación mínima


Condición de desviación mínimaCondición de desviación mínima

Si el ángulo de desviación es mínimo se cumple que

n´

n nα

δ

1ε′ 2ε2ε′1ε

N1 δ

21 ε=ε

α−ε=α−ε+ε=δ 121 2m

Con lo que se tiene

121 2ε′=ε′+ε′=α

Si se conoce el ángulo de desviación mínima se puede determinar el índice de refracción de un prisma

11 sensen ε′′=ε nn

21 α=ε′⇒

21

α+δ=ε⇒ m

2sen

2sen

sen

sen

1

1

α

α+δ

=ε′ε=′⇒

mnnn

21 ε′=ε′⇒


• Emergencia de la luz en un prismaEmergencia de la luz en un prisma

Para que exista rayo emergente en un prisma es necesario que

lεε ≤′2Por otro lado en la primera cara del prisma el ángulo de refracción puede tomar valores comprendidos entre

lεε ≤′1Sumando ambas expresiones

ll εεεε +≤′+′ 21

Condición que debe cumplir el ángulo de refrigencia

lε≤α⇒ 2 Condición de un prisma para

ofrecer rayos emergentes

Por tanto un prisma no ofrece rayo emergente cuando

lε>α 2 Prisma de reflexión total



Condición que debe cumplir el ángulo de incidenciaUn prisma que puede ofrecer rayos emergentes ( ) sólo lo hace para determinados ángulos de incidencia

lε≤α 2

n´

n nα

N1

N2

1

1

12

N2

2

2

9.10.- Prismas Ópticos.9.10.- Prismas Ópticos.


• Dispersión de luz en un prismaDispersión de luz en un prismaEl índice de refracción de un material depende de la longitud de onda de la luz (λ). Para muchos materiales n’ disminuye a medida que aumenta λ.

Vidrio flint de silicato

Vidrio flint de borato

Cuarzo

Vidrio crown de silicato

Violeta Rojo

Luz

BlancaRojoNaranjaAmarilloVerdeAzulVioleta

N


• Dispersión de luz en un prismaDispersión de luz en un prisma

Para los vidrios ópticos νd toma valores entre 20 y 75

νd < 50 FLINT

νd > 50 CROWN

Se caracteriza el carácter dispersivo de un material a través de

CF

dd nn

n−−=ν 1

Número de Abbe

Índices de refracciónnd Para λ=587.6 nm (amarillo)

nF Para λ=486.1 nm (azul)

nC Para λ=656.3 nm (rojo)

9.10.- Prismas Ópticos9.10.- Prismas Ópticos..• Dispersión de luz en un prismaDispersión de luz en un prisma

Un fenómeno atmosférico donde se pone de manifiesto la dispersión de la luz es la formación de arco iris.


• Dispersión de luz en un prismaDispersión de luz en un prisma

9.11.- Aberraciones.9.11.- Aberraciones.

• Definición y tipos.Definición y tipos.

Hasta ahora hemos supuesto que los rayos que intervienen en la formación de las imágenes eran paraxiales y la luz monocromática (de una sola longitud de onda). En realidad esto no es así.

Por un lado, los rayos forman ángulos grandes con el eje óptico haciendo que las imágenes formadas por los sistemas ópticos no sean geométricamente semejantes a los objetos. A estos defectos de las imágenes se les llama aberración geométrica.

Por otro lado si se emplea luz no monocromática (de varias longitudes de onda como la luz blanca) los rayos de distinta longitud de onda se dispersarán al atravesar el sistema óptico, y no convergerán en un mismo punto. A estos defectos de las imágenes se les denomina aberración cromática.

Las aberraciones geométricas a su vez se clasifican en aberración esférica, coma, astigmatismo, curvatura de campo y distorsión.


• Aberración esférica.Aberración esférica.

Es una aberración simétrica que se produce para puntos que están situados sobre el eje óptico del sistema.

Rayos periféricos

Rayos paraxiales

Lente

Círculo de confusión

mínima

Aberración esférica longitudinal

Aberración esférica

transversal


• Aberración esférica.Aberración esférica.Se puede eliminar usando diafragmas que intercepten los rayos no paraxiales. El problema es la poca cantidad de luz que entra al sistema óptico.

También se pueden eliminar usando superficies no esféricas para las lentes y los espejos. Un ejemplo es el uso de espejos parabólicos en los grandes telescopios astronómicos.


• Coma.Coma.

Es una aberración no simétrica que se produce para puntos que están situados fuera del eje óptico del sistema. Se puede eliminar usando diafragmas

Plano objeto

Plano imagen

Lente

Lente

Zona 1Zona 2

Zona 3Zona 4

Zona 1Zona 2

Zona 3Zona 4

Eje óptico

Imagen comática


• Astigmatismo.Astigmatismo.Cuando el cono de rayos que atraviesa el sistema óptico es asimétrico, la aberración óptica que se genera se denomina astigmatismo.

Eje óptico

Lente

Círculo de confusión

mínima

Objeto puntual

Plano focal

sagital

Plano focal meridional


• Curvatura de campo.Curvatura de campo.Ocurre cuando la imagen de un objeto situado en un plano normal al eje óptico se forma en una superficie curva.

Objeto plano

Imagen curvada

Lente


• Distorsión.Distorsión.

Se produce cuando el aumento lateral varía en función de la posición del punto objeto.

Imagen no distorsionada

Distorsión en barril

Distorsión en corsé


• Aberración cromática.Aberración cromática.Se produce como consecuencia de la dispersión de la luz cuando sobre el sistema óptico incide luz no monocromática.


• Aberración cromática.Aberración cromática.Se pueden corregir usando un sistema de dos lentes (acopladas o no) que están formadas por dos vidrios distintos: flint y crown.

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