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GENERALIDADES SOBRE ÓPTICA

Óptica es la rama de la Física que estudia a la luz. ¿Y qué es la luz?: enprincipio, lo que impresiona el sentido de la vista. Es un tipo de energíaemitida por algunos cuerpos en general calientes o incandescentes1, queposee la propiedad de propagarse en línea recta y ser captada por el ojo.Que la luz se propaga en línea recta se pone de manifiesto en la proyec-ción de sombras por objetos interpuestos entre una fuente y una pantalla.Hace pensar en un fluido luminoso que sale de los objetos iluminados obrillantes siguiendo trayectorias rectas o "rayos". De allí la palabra "radia-ción" con la que se bautiza a cualquier emisión de algo que sale de uncentro en trayectorias rectas2. Pronto se vio que circunscribir la luz a lasradiaciones captadas por nuestro ojo era subordinar un fenómeno a la po-sibilidad de detectarlo "a simple vista": el calor que sentimos en la manopuesta cerca de una estufa y la señal de una emisora de radio que incidesobre nuestro receptor son también radiación y aunque no impresionen lavista pueden ser estudiados como fenómenos ópticos. Inclusive hoy seestudia en óptica todo lo que se refiere a la propagación de partículas emi-tidas desde una fuente o lugar de origen, por ejemplo los electrones quesalen de un cátodo del tubo de televisión o las partículas alfa que emite untrozo de uranio: sus trayectorias pueden no ser rectas si se encuentran concampos eléctricos o magnéticos3.

La luz como fluidoEs natural concebirla así, ya que tiende a ocupar o "derramarse" sobretodo el espacio que rodea a la fuente. Newton fue el primero en dar unmodelo fluido para la luz: una lluvia de pequeñísimos corpúsculos lumino-sos que eran emitidos por la fuente (lámpara, sol o cuerpo brillante) a tre-mendas velocidades. Eran absorbidos por cuerpos opacos, penetraban encuerpos transparentes y rebotaban (se reflejaban) en superficies muy lisas

1Emiten luz también algunas fuentes frías, como las simpáticas luciérnagas, o los tubos fluo-

rescentes. Estas luminarias tienen mejor rendimiento que las llamas o las sustancias incan-descentes al no malgastar energía en producir rayos infrarrojos que no aprovechan a la vi-sión.2El concepto de que "la luz se propaga en línea recta" puede parecer tautológico ya que se

define como recta a una serie densa de puntos alineados: ¿Alineados cómo? : Pues proyec-tándolos a través de visuales, o sea utilizando a la luz como instrumento de proyección geo-métrica. Así, si la luz torciera su camino no tendríamos manera de saberlo con medios ópti-cos. Lo recto aparecería curvo y sería "rectificado" presurosamente por un mecánico munidodel instrumento más preciso: un instrumento óptico.3La espectrografía de masa usada en la separación de isótopos se basa en el estudio de

estas trayectorias.

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con las mismas leyes que él había enunciado para las partículas. Una granparte de los fenómenos ópticos más comunes como la reflexión, la refrac-ción y la marcha de rayos en anteojos y microscopios pueden explicarsecon esta imagen bajo lo que se da en llamar óptica geométrica.

La luz como ondaSin embargo hay fenómenos más finos, como el pasaje de luz a través deorificios muy pequeños o ranuras muy estrechas que desafían una propa-gación corpuscular en línea recta y exigen un modelo ondulatorio: la luz secomporta allí en vez de un corpúsculo como una onda , que también sepropaga refleja y refracta como aquél, pero que se difracta e interfiere en-tre sí dando a veces como resultado su anulación: este fenómeno se llamainterferencia y es típico de las ondas.

El éterEn 1860 se creía que una onda es una deformación que se propaga en unmedio elástico. No se habían estudiado en profundidad sino los fenómenosmecánicos. Se razonaba que para que haya onda hace falta un medio:sustancia elástica (sólida o fluida) por la que pueda propagarse la pertur-bación. El medio por el que se propaga el sonido es el aire. Las olas sepropagan en la superficie del agua. Por la vía de ferrocarril se propaga elruido del tren que se acerca. ¿Cuál era el medio de propagación de la luz?Debía existir alguno y además tener raras propiedades: llenar todo el es-pacio, inclusive el vacío interestelar a través del cual nos llega la luz de losastros. Ser tan sutil como para no producir ninguna sensación de vientosobre los objetos en movimiento. La enorme velocidad de la luz exige unmedio de tremenda elasticidad, muy superior a la del acero. Durante algúntiempo hubo muchos físicos que creyeron en ese medio, al que llamaronéter debido a su característica etérea o intangible.

La luz como onda electromagnéticaEn ese estado estaban las cosas a fines del siglo XIX: los corpúsculos deNewton habían caído en el olvido, y aunque la óptica geométrica se se-guía usando como procedimiento práctico para obtener trayectorias de "ra-yos" luminosos, se sabía que el rayo que se trazaba como una recta por unpunto era en realidad la dirección de propagación de una onda en ese me-dio que llenaba todo el espacio llamado éter. El concepto de medio mate-rial dejó paso al de campo electromagnético deducido por Maxwell a partirde sus célebres ecuaciones de la electricidad (ver más adelante). Despuésde Maxwell, se admitía que la luz era oscilación de campos eléctrico ymagnético concatenados.

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La luz como onda y partículaEn 1900 Max Planck predijo, basado en estudios anteriores sobre radia-ción del calor realizados por el austríaco Wien, que la emisión de ondaselectromagnéticas (en realidad ondas de calor, del mismo tipo que las dela luz) exigían además de la naturaleza ondulatoria una emisión disconti-nua en paquetes indivisibles o "trenes" de ondas a los que llamó "quanta" ,plural de quantum, (que significa cantidad en latín). Renacían así los cor-púsculos de Newton vestidos ahora con vibrantes ropas: aspecto de onday alma de partícula. Einstein los rebautizó "fotones". Se comportabancomo partículas de un gas especial al que le eran aplicables leyes muyparecidas a las de los gases moleculares.Planck determinó que la energía que porta cada tren de ondas o fotón esproporcional a la frecuencia de la radiación. La constante de proporcionali-dad, el “cuanto de acción de Planck” se simboliza universalmente con laletra h y vale h=6,63 x 10-34 Js

La materia y la ondaEstaba cerca el momento (1920) en que De Broglie aventurara con unprodigioso salto imaginativo lo que luego se comprobó: Cualquier partículaen movimiento, no sólo el novísimo fotón, sino también el ya conocidoelectrón y aún la letal bala de fusil, todos poseen en mayor o menor gradoesa característica dual de onda-partícula. Así una partícula en movimientoa gran velocidad pierde sus contornos nítidos, como la pelota de golf de losdibujos de historietas. La materia de contornos definidos cuando estáquieta, adquiere formas borrosas en movimiento y hasta se difracta cuandopasa por una rendija, como si fuera una onda. Los físicos sostienen hoydía que todas las partículas tienen una estructura dual materia-onda. Sinembargo, esta explicación sin duda tan útil como artificiosa, aparece cuan-do pretendemos reducir la compleja realidad de la materia y la energía aimágenes familiares de olas, bolas de billar o proyectiles.

Las imágenes de la física modernaSe admite por hoy que la materia está formada dos tipos de partículas: losleptones y los quarks. Los leptones son indivisibles (por ejemplo electro-nes y neutrinos), y su agrupamiento da por resultado quarks, partículasmenos simples (protones, neutrones, mesones, etc.) Todas esas partículasforman los átomos, que a pesar de su etimología, son divisibles. Se admitetambién que hay otras partículas más o menos elementales, cuyo inter-

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cambio genera las acciones a distancia (fuerzas como las eléctricas o gra-vitatorias, que se establecen entre cuerpos sin contacto entre sí).

Así un intercambio de fotones es el responsable de la fuerzas electro-magnéticas entre cuerpos cargados. Un intercambio de “gravitones” pro-duce la atracción gravitatoria entre masas. Los mesones son los respon-sables de la potente fuerza entre protones que mantiene la coherencia delnúcleo atómico.

En el micromundo de las partículas elementales no convienen los modelosmacroscópicos, que las imaginan con formas geométricas netas de límitesprecisos. Ni siquiera son perfectos los modelos diferenciales, que les atri-buyen propiedades distribuidas: un electrón no es una esferita cargada, sibien hasta cierto límite se comporta como tal. Tampoco es un glóbulo deelectricidad que se distribuye en el espacio, aunque quizás ésta sea unaimagen más válida que la primera. Un fotón no es una pequeña luciérnagaque avanza con la velocidad de la luz, no obstante puedan algunos fenó-menos de la óptica explicarse con esa imagen. Tampoco es una mera on-dulación electromagnética: muchas veces este modelo no basta.

Los modelos más avanzados para representar las partículas elementalesson los que les asignan propiedades cuánticas para parámetros tales co-mo su masa, energía, momento angular y magnético, momento intrínsecoo “spin”, etc. Quiere decir que los valores de masa, energía, momento, etc.no pueden variar en forma continua, sino en cantidades escalonadas múl-tiplos de un valor básico o cuánto.

El lector estará preguntándose: Pero entonces, ¿Qué es un electrón, quées un fotón? ¿Tendrá sentido seguir describiendo la realidad con esos mo-delos limitados?. Le contestamos que “no hay modelos universales” y que“algún modelo hay que adoptar, para seguir avanzando en el conoci-miento”. Pero también le advertimos que hay que tener presente que esaspartículas y ondas “no son” la realidad, sino que la representan con mejoro peor éxito.

La realidad es para el físico el fenómeno que se puede recrear con obser-vaciones y experiencias. Lo real es que una manzana cae con determi-nada ley cuando se suelta del árbol. Y que la combustión del gas naturalgenera calor, produciendo además agua y otros gases. O que al cabo de9500 años un trozo de radio se ha desintegrado a la mitad. Explicar esosfenómenos con precisión ha llevado a crear átomos, campos, gravitones,funciones que miden energía y probabilidad, partículas elementales y otras

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cosas que constantemente se van agregando a medida que se ahonda enel tema. También van desapareciendo conceptos y entes, como los cor-púsculos luminosos o el éter. Esos elementos son en definitiva construc-ciones mentales que cobran vida y mueren, y hasta a veces resucitan, co-mo personajes de una obra teatral maravillosa y compleja.

El principio de incertidumbre o indeterminación

En 1920, el eminente físico alemán Werner Heisenberg postuló el célebre“principio de incertidumbre o indeterminación”, aplicable a partículas pe-queñas en movimiento. Dicho principio reza así:

Existe un límite en la precisión con que se pueden medir simultáneamenteposición y velocidad de una partícula en movimiento, que no tiene que vercon la de los instrumentos de medida. Si queremos aumentar la certeza dellugar en que se encuentra (determinar mejor su posición, con un medidormás preciso), estaremos automáticamente perdiendo precisión en la medidade la velocidad. Viceversa, en cuanto mejoremos la determinación de la velo-cidad, estaremos perdiendo precisión en la medida de su ubicación.

Prevenimos al lector que no trate de aplicar el principio de indeterminaciónni de encontrar su explicación en el mundo de los objetos corrientes: Valesólo para partículas muy pequeñas, como electrones y otras “elementales”,que por su exiguo tamaño son afectadas por los procedimientos de ubica-ción y medida de la velocidad.

Un objeto revela su posición a un observador cuando interfiere con elagente que lo detecta: por ejemplo genera una imagen cuando es ilumi-nado.Si no queremos usar luz, debemos palparlo, o hacer que mueva un sensormecánico: de cualquier manera el objeto será influido por el procedimientode medida de su posición. ¿En qué será influido?, En que será retrasado oacelerado por la presión del chorro de luz, o desviado por el palpador. Esdecir que la velocidad del objeto es la que saldrá afectada después de suubicación.

Asimismo, para medir la velocidad de un objeto se requieren aparatos queinteractúen con él. El resultado es igualmente una alteración de la posicióndespués de la medida.

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Ahora bien, volviendo a la acción de la luz sobre un objeto, esa llamada“presión de radiación” 4es tanto mayor cuanto menor sea la longitud deonda de la radiación usada para ver, o sea cuanto menor sea su frecuen-cia. Al mismo tiempo, cabe explicar que cuanto mayor sea la frecuencia dela luz empleada para detectar el objeto, mejor definición tiene la imagenobtenida, así como se pintan mejor los detalles de un cuadro con un pince-lito fino.

El compromiso es que a pincel más fino, más fuerza perturbadora sobre elobjeto (velocidad afectada). Si queremos disminuir ese efecto, usamospincel más grueso, que empuja menos: el resultado es una imagen delobjeto más basta, se empobrece la definición de su imagen y la posiciónse conoce con menor certeza.

Para comprender el principio de incertidumbre hay que tener presente losiguiente:

• La materia en movimiento no tiene contornos netos ya que está distri-buida en el espacio en forma de onda.

• La detección de un objeto mediante la luz tiene una precisión que de-pende de la longitud de onda empleada

• Mirar (determinar posición) y medir velocidad son operaciones queafectan respectivamente la velocidad y la posición del objeto.

De tal forma, no es lo mismo mirar primero y medir después, que medirprimero y mirar después: el orden de los procedimientos altera el resultadodel par de valores empleados para caracterizar el movimiento de un objetopequeño, o sea las coordenadas posición y velocidad.

Para representar estas propiedades de las operaciones “medir” o “mirar”,se ha aprovechado el paralelismo que existe entre la acción de algunastransformaciones matemáticas que actúan sobre las funciones matemáti-cas que representan al sistema físico, de la misma forma que lo hace laobservación sobre el sistema real. Estas operaciones o algoritmos que seaplican sobre las funciones que representan al sistema, se llaman opera-dores. La similitud entre matemática y realidad es tan perfecta que permitetrabajar con el modelo matemático e inferir resultados en la realidad enbase a lo las que aparece en el papel. Por ejemplo, cualidades nada con-vencionales, como el spin de las partículas subatómicas, aparecen comonúmeros enteros en las fórmulas matemáticas, mucho más potentes y

4 Ver el desarrollo de este tópico más adelante, ubicándolo con el índice alfabético en el ca-

pítulo de radiación térmica.

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abstractas que las imágenes que invitan a pensar en un electrón como untrompo cargado.

¿Y por qué el efecto de indeterminación sólo se observa en objetos pe-queños? Porque son sensibles a la presión de radiación de los detectoresde velocidad y posición. Además a las perturbaciones ocasionadas por lossensores de velocidad: Un avión recibe la presión de radiación5 de unradar (algunas milésimas de Newton por m2) sin que se note. Su posiciónestá indeterminada en una cifra del orden de la longitud de onda de la ra-diación empleada (algunos centímetros). En cambio un electrón, partículade un tamaño de 10-15 m , debe iluminarse con una radiación del mismoorden de magnitud de longitud de onda (rayo gamma) para que pueda ser“visto”. Como resultado recibe un impacto equivalente al choque contraotro cuerpo de un tamaño parecido al propio electrón que viene a enormevelocidad. Es como si quisiéramos detectar un avión tirándole con un pro-yectil mediano: el método serviría sólo para saber donde buscar sus res-tos.

La expresión matemática del principio de indeterminación de Heisenberges sencilla: Sea ∆∆x la imprecisión en la coordenada x de una partícula quetiene una velocidad v=∆∆x/∆∆t , y ∆∆v la imprecisión en la determinación dedicha velocidad. Se cumple que el producto de ∆∆x y ∆∆v es una constanteuniversal. Si aumenta una disminuye la otra, y viceversa. En la constanteinterviene la famosa h o “cuanto de acción”, que Max Planck introdujo en1900 al estudiar la radiación térmica. (Ver el capítulo correspondiente)

Una explicación aproximada del principiode indeterminaciónEn la figura se ve el esquema de la formación deuna mancha de difracción (ver capítulo corres-pondiente) como imagen de un objeto lejano en elfoco de una lente convergente de distancia focal fy diámetro D

De acuerdo a los principios de interferencia, a ladistancia ∆∆x/2 del centro de la mancha hay anu-lación entre el frente de onda AB y el AC, desfa-sados en una longitud de onda λλ.

Por el principio de reversibilidad entre imageny objeto, un punto dentro de cualquier lugar

5 El cálculo de la presión de radiación de una onda electromagnética se encuentra cuando se

trata la radiación térmica.

∆x

f

λ

D

λ/D=∆x/2/f

AB

C

α/2

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dentro de la mancha de difracción de diámetro ∆∆x en el plano focal de lalente, produce una misma imagen en un punto alejado. Vale decir que laindeterminación en la posición de una partícula puntual observada con lalente vale ∆∆x, que de acuerdo a la fórmula aproximada de la figura será∆∆x=2.f.λλ/D

Ahora bien: Para que la partícula se vea, es necesario que un fotón impacte sobre ella y entredesviado en la lente, para poder llevar la información de ese impacto al ojo del observador o ala placa fotográfica.

Los principios de la mecánica de Newton imponen que el impulso total del sistema se man-tenga antes y después del choque, o lo que es lo mismo que la variación del impulso (masapor velocidad) antes y después del choque de la partícula proyectil (el fotón) sumada a lavariación del impulso de la partícula blanco (la que se observa) sea nula.

Supongamos que el fotón viene desde abajo perpendicularmente al plano focal y se desvíapor efectos del choque un ángulo αα/2 entrando en el borde de la lente: la variación del im-pulso del fotón vale m.∆∆vx . Pero la masa del fotón de longitud de onda λ es h/λλ/c(c=velocidad de la luz) y la variación de velocidad en el sentido horizontal es ∆∆vx=c.sen (αα/2)Para ángulos α pequeños, en los que seno y arco son equivalentes, resulta:∆∆vx ≅≅ c.αα/2 = c.D/2/fEntonces la variación del impulso del fotón por efectos del choque vale h/λλ.(D/2/f)Pero D/2/f = λλ/∆∆x , y entonces la variación del impulso vale h/∆∆x

Esa variación pero de signo contrario es la que experimenta también la partícula de masa men el eje horizontal, variando en velocidad la cantidad ∆∆vx por lo tanto: m.∆∆vx=h/∆∆x y de

aquí surge que ∆∆vx.∆∆x=h/m , que es la expresión matemática del principio de indetermi-nación.

Lo anterior muestra la vinculación del principio de indeterminación con lainteracción entre observador y objeto. Hoy se habla de la indeterminacióncomo concepto opuesto a los de determinismo y precisión absoluta en elmundo físico, dogmas de los físicos del siglo XIX. Así, a partir de la décadadel 30 se ha fortalecido la creencia de que la indeterminación tiene causasmás profundas que el acoplamiento observador-sistema. Delicados ex-perimentos con fotones y otras micropartículas desarrollados en las últimasdécadas mostrarían que la indeterminación es inherente y que la observa-ción sólo la pone de manifiesto.6

6 “Escuela de Copenhage","Experimento de Einstein-Podolsky-Rosen" y "Desigualdades de

Bell" son tópicos que los interesados en estos temas pueden consultar en libros científicos yenciclopedias de buen nivel

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PARA DISCUTIR : El principio de indeterminación tiene la forma vista siempreque se aplique a pequeñas partículas detectadas por medio de luz. Si se em-plearan otros métodos, como la detección con sensores basados en princi-pios no electromagnéticos, posiblemente se establecería un principio aná-logo aunque con una constante diferente a h, ya que la radiación electromag-nética no tendría que ver en la cuestión, y sí en cambio algunos parámetrosrelacionados con los agentes de detección y la interacción entre ellos y lapartícula.

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El ojo y la visión

El ojo es uno de los instrumentos ópticos más perfectos: una sofisticadacámara de TV alojada en un pequeño globo de dos centímetros de diáme-tro, que posee una movilidad increíble. Es capaz de enfocar objetos a unadistancia desde veinte centímetros hasta el infinito, con luminosidades quevarían de uno a un millón, mediante un mecanismo automático de acomo-dación y diafragmado. Posee un sistema óptico aplanético y acromáticode gran calidad, que supera a muchas cámaras refinadas. Se mantienesiempre limpio, lubricado y listo para funcionar. Su sistema de lentes, mástranslúcidos que el mejor cristal óptico, no se rayan ni se empañan. Losperiféricos del resto del sistema no son menos perfectos: la información encolor de alta resolución se transmite al cerebro, un microprocesador degran perfección, a través del nervio óptico, una multivia microscópica supe-rior en muchos aspectos a la fibra óptica.

Como casi todos los sentidos, la visión presenta unalto grado de integración en las funciones de todossus componentes: la captación de imágenes, la in-tensidad de la señal, la transmisión de la informacióny su decodificación por el cerebro están regidas porfunciones de control y retroalimentación distribuidas.Por ejemplo, si recibe mucha luz, la señal activa eldiafragmado automático y las señales son debida-mente atenuadas a nivel de transmisor (retina y ner-vio) y receptor (cerebro). Si hay muy poca luz, el dia-fragma se abre al máximo y la amplificación crece.La visión conjunta con los dos ojos (binocular), pro-duce la sensación de relieve o distancia, al dar in-formación de un objeto desde dos puntos de vistasimultáneamente. Esa información combinada esinterpretada por el cerebro que hace un balance en-tre los dos canales de acuerdo a la atención que le

prestemos a cada parte de la imagen7.

7Mírese un objeto lejano con ambos ojos e interpóngase la mano tapando una de las imáge-

nes, por ejemplo la del ojo derecho. El objeto se seguirá viendo con el izquierdo, pero si fija-mos la atención en la mano, que al principio aparece transparente con el objeto detrás, estase solidificará, terminando de ocultar al objeto.

VISIÓNBINOCULAR

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Constitución del ojoEl ojo consta de un globo de aproximadamente 20 mm de diámetro, for-mado por varias capas: la exterior, dura y opaca, se llama esclerótica (delgriego schlerós : duro). Interiormente el ojo está recubierto de una mem-brana negra (que evita las reflexiones internas de la luz) llamada coroides,sobre la que se adosa la retina, capa nerviosa sensible a la luz. La retinaestá formada por la prolongación de las fibras nerviosas del nervio óptico,que sale de la parte posterior en una zona insensible a la luz llamada porello “punto ciego”. La retina tiene dos tipos de formaciones celulares sensi-bles a la luz: los conos y los bastones. Los conos abundan en la partecentral de la retina, cerca de la intersección del eje óptico. Son los ele-mentos sensibles a las formas precisas y a la percepción de los colores.Los bastones forman parte del resto de la retina y son más sensibles alestímulo luminoso que los conos, pero no tienen respuesta al color. El glo-bo ocular tiene insertado en su parte anterior al cristalino, una lente con-vergente orgánica deformable, que es el objetivo del sistema. Delante delcristalino se encuentra un diafragma circular variable llamado “iris” debidoa su vistoso color. El iris forma la pupila, agujero por donde entra la luz alojo. Sobre el iris hay un casquete transparente de menor diámetro que elglobo ocular, llamado “córnea”, por el aspecto córneo que presenta en loscadáveres. El espacio entre córnea y cara anterior del cristalino está llenode una sustancia líquida muy transparente llamada “humor acuoso”,

compuesta principalmente poragua. El interior del globo ocu-lar está lleno de una sustanciagelatinosa transparente llamada“humor vítreo”. Estos tres me-dios refringentes, a saber: hu-mor acuoso, cristalino y humorvítreo, tienen diferentes índicesde refracción. El conjunto actúa

como corrector de la aberración cromática, al compensar la diferente con-vergencia de los rayos según su color8. Cuando se traten instrumentos óp-ticos, se hablará más sobre el ojo y las visión.

8Véase en el capítulo correspondiente a instrumentos ópticos cómo se corrige la diferenterefracción de rayos de distinto color mediante lentes compuestos de vidrios tipo “flint” y“crown”.

nervio óptico

retina

cristalino

córnea iris

coroides

esclerótica

músculosciliares

humor vítreo

humor acuoso

pupilaeje óptico

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La refracción de la luz y la teoría del camino másrápidoLa luz tiene la particularidad seguir el camino más rápido entre los puntosque une. Como un ciclista inteligente que sabe que va más rápido por are-na húmeda que por arena seca: Si tiene que ir desde donde pesca en laplaya hasta su carpa lejos de la orilla, irá la mayor parte del camino por laparte húmeda y se desviará para enfrentar el arduo trecho de arena floja aúltimo momento. Si la luz va por dos medios en los que tiene diferente ve-locidad uniendo dos puntos no enfrentados a la superficie de separación,elige un recorrido AB más largo en el medio más rápido de manera deaprovechar su mayor velocidad v1 para acercarse a destino lo más rápidoposible. En el medio más lento de velocidad v2 recorre una trayectoria BCmenor. En la figura, para ir de A a C tarda el menor tiempo posible, lo quese verifica para v1/v2 = sen i/sen r , que es la ley experimental que rige larefracción de la luz.

Demostración: El tiempototal que tarda en ir desdeA hasta C vale la suma delos tiempos en que reco-rre las distancias AB yBC, esto es:T = AB/v1 + BC/v2 La variación de dichotiempo debe ser nulacuando se está en el mí-nimo:o sea que debe cumplirse

dT = d(AB)/v1+ d(BC)/v2 = 0

de donde sale que:d(AB)/d(BC) = -(v1/v2) [1]

Además es AB2=AD2+BD2 y tomando un camino diferente en el qued(BD)=BB' y d(AD)=0 , es: 2.AB.d(AB)=2.BD.d(BD)+2.AD.d(AD) y como d(AD)=0queda d(AB)=BD/AD.BB'pero BD/AD = sen i por lo que d(AB)=BB'.sen i

[2]

De la misma forma es BC2=BE2+CE2 y también tomando diferencias como antes:2.BC.d(BC)=2.BE.d(BE)+2.CE.d(CE) y como d(BE)=-BB' y d(CE)=0 resultad(BC)=BE/BC.(-BB')=BB'.(-sen r)

[3]

Reemplazando [2] y [3] en [1] nos queda

ARENA SECA

ARENA HÚMEDA

v2

v1

i

r

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d(AB)/d(BC)=-(v1/v2)=-(sen i/sen r) , que es la ley de la refracción de la luzcomprobada experimentalmente.

La velocidad de la luzLa luz se mueve enorme velocidad: 300000 Km/s en números redondos.Para distancias terrestres comunes una señal luminosa establece una co-municación casi instantánea. Un hombre en la luna que hable por radiocon la tierra debe esperar entre pregunta y respuesta por lo menos dossegundos, tiempo en que tarda la onda electromagnética en ir y volver.Para las enormes distancias que se manejan en astronomía la luz, que eslo más rápido que se conoce, no lo parece tanto: tarda ocho minutos enllegarnos del sol y cuatro años desde la estrella αα Centauri. A un artefacto

de exploración en los confines del sis-tema solar, como el Explorer, habráque mandarle la orden de tomar fotosde Plutón más de cuatro horas antesdel momento de máxima aproximaciónal astro.

Estos datos no eran conocidos en1670, cuando Römer observó que elocultamiento de uno de los satélites delplaneta Júpiter aparecía en el telesco-pio 986 segundos más tarde de lo que

indicaban las tablas del Observatorio de París en un intervalo de un pocomás de seis meses9, mientras Júpiter recorría la distancia desde J1 a J2 , yla Tierra se movía desde T1 a T2. La diferencia iba desapareciendo a me-dida que la tierra se iba aproximando nuevamente al punto más cercanoJúpiter. Römer sabía como buen astrónomo y matemático que el movi-miento de los astros es uniforme y no dudó que el período de rotación delsatélite se mantenía en realidad constante10. Atribuyó el atraso y posterioradelanto del período de rotación aparente del satélite al tiempo que tardala luz en recorrer la diferencia de camino entre las dos observaciones, osea el diámetro de la órbita terrestre alrededor del sol. Este valor era apro-ximadamente conocido en la época por mediciones de paralaje: 299 millo-nes de kilómetros11. Así se calculó por primera vez la velocidad de la luz enel vacío interestelar: 299000000/986=303245.44 Km/s . Solamente usó un

9200 días exactamente

1042,5 horas

11Como se sabe, la órbita terrestre no es circular sino elíptica. El valor tomado es un valor

medio.

T1

T2

J1

J2

SOL

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anteojo, un reloj de péndulo y su cabeza. Medite el alumno si con todos losmedios modernos de que dispone ahora podría él desarrollar un métodomás simple para medir la velocidad de la luz: puede usar láseres, satélites,aviones, telescopios en órbita, todo menos consultar una base de datos enInternet.

Recién 179 años mástarde, Fizeau deter-minó la velocidad de laluz con un método di-recto: midiendo eltiempo que un destellotarda en recorrer unadistancia perfecta-mente establecida deida y vuelta. Un rayode luz potente pasapor entre los dientesde una rueda giratoriay se refleja en un es-

pejo lejano. Un observador ve el rayo reflejado que vuelve por el mismohueco que usó de ida, hasta que la velocidad de la rueda es tal que el ra-yo encuentra a la vuelta un diente en vez de un hueco. En ese momento elobservador deja de ver la imagen del foco. Si la velocidad de la rueda es nvueltas por segundo, el número de dientes (iguales en tamaño y número alde los huecos) es N. y la distancia al espejo es d , la velocidad de la luzserá el cociente del espacio 2.d y el tiempo t que tarda en pasar la ruedade un diente al hueco siguiente, siendo t=1/(2.N.n) . Entonces v=4.N.n.d .En la experiencia original, Fizeau usó una rueda de 720 dientes y el espejolejano estaba a 8333 m de la rueda. El observador dejaba de percibir elreflejo cuando la velocidad de la rueda era de 12,5 vueltas por segundo (750v/min). Así que v=4x720x12,5x8333= 300000000 m/s

Luz y electromagnetismoLas propiedades de la electricidad se pueden resumir en cuatro leyes, quefueron planteadas matemáticamente por James Clerck Maxwell (1831-1873) en base a consideraciones teórico-prácticas. Aunque no sepamos lamatemática suficiente para verlas en su forma original, las enunciaremosconceptualmente:

1) Alrededor de una carga eléctrica se establece un campo eléctrico. Suslíneas de fuerza nacen en las cargas elementales positivas y mueren

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METODO DE FIZEAU

contador de vueltas

cronógrafo

fuente de luz

espejo lejano

diafragma

bloque espejadoobservador

túnel oblicuo p/ver el reflejo

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en las cargas elementales negativas. El flujo12 del campo eléctrico esproporcional a la carga generadora (ley de Gauss).

2) Alrededor de una corriente eléctrica se establece un campo magnético,con líneas cerradas que envuelven al conductor. La circulación13 delcampo magnético a lo largo de una línea cerrada es proporcional a lacorriente que le da origen.

3) Una variación de campo magnético en el tiempo genera un campoeléctrico.

4) Una variación de campo eléctrico en el tiempo (corriente de desplaza-miento) origina un campo magnético, al igual que una corriente de car-gas.

Ondas electromagnéticasTodo proceso de realimentación entre dos fenómenos espaciales y tem-porales conduce a un fenómeno ondulatorio. Las leyes 3) y 4) implican unarealimentación entre variaciones de campo eléctrico y magnético, lo quepermite prever la existencia de ondas. Maxwell calculó su velocidad a par-tir de las mismas ecuaciones que sirven para describir matemáticamente lavibración en una cuerda de guitarra: se las llama en física "ecuaciones deondas": Su velocidad de propagación es una relación entre las constantesdieléctricas y la permeabilidad magnética del vacío y valev=1/√√ ε.µε.µ = 1/√√ 8.85x10-12x 4.ππ.10-7 = 299863392 m/s

¡El mismo valor numérico que la velocidad de la luz en el vacío! . No setrata de una casualidad. Pronto se comprendió que la luz no es más queuna clase de ondas electromagnéticas que impresionaban a nuestra vista,una banda estrecha en el amplio espectro de ondas que van desde lasondas largas de radio a las muy cortas radiaciones gamma.

12Flujo de un vector a través de una superficie es el producto de la intensidad del vector porel valor de la superficie y por el coseno del ángulo entre la dirección del vector y la normal a lasuperficie considerada. El flujo es el equivalente al caudal de un fluído que atraviesa unasuperficie cualquiera.13Circulación es una generalización del concepto de trabajo: Se define como trabajo deuna fuerza a lo largo de un camino al producto entre la proyección de la fuerza en la di-rección de su desplazamiento, y la longitud del camino recorrido. Una fuerza f que se muevea lo largo de una recta de longitud d con la que forma un ángulo αα, realiza un trabajof.d.cos(αα). El mismo concepto generalizado para un vector cualquiera (por ejemplo el campomagnético H) se llama circulación. La circulación a lo largo de un camino cerrado puede ser ono nula, dependiendo ello del tipo de campo vectorial: en el caso de una fuerza gravitatoria(peso) lo es; en el caso del campo magnético no.

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Experiencia de HertzEste físico produjo pocodespués en el laboratorioondas electromagnéti-cas estacionarias dealgunos metros de longi-tud haciendo oscilar uncircuito con capacidad yautoinducción unido auna antena dipolar frentea una placa metálica re-

flectora. Las ondas no eran visibles puesto que su longitud de onda erademasiado larga, pero sus crestas y sus nodos eran detectables con unpequeño aro interrumpido que chispeaba en el corte cuando estaba colo-cado en una cresta de campo magnético H. Se había abierto el camino dela transmisión de información por ondas "hertzianas", como se las llamó enhonor a su primer productor.

La velocidad de la luz, constante absolutaPlanteemos el modelo de luz como onda mecánica que se propaga en unmedio material llamado éter y tratemos de medir su enorme velocidad ha-ciendo el cociente entre espacio recorrido y tiempo, usando metros y relo-jes de gran precisión. Resulta lógico pensar que el éter puede estar enmovimiento con respecto a un observador. Éste debería medir una veloci-dad de la luz diferente a la que obtendría otro observador quieto con res-pecto al éter. Todo debería ocurrir como cuando se mide la velocidad delsonido en un día de viento y en otro calmo. Se obtienen diferentes resulta-dos: el sonido suma su velocidad a la del aire cuando va a favor del viento.Cuando va en contra, se restan las velocidades del sonido y la del aire.

Sin embargo con la luz no ocurre igual. Michelson realizó a fines del siglopasado una delicada experiencia de la que se deduce que no existe arras-tre de la luz por el éter en movimiento relativo con respecto al observa-dor.14 Es decir que la luz muestra la misma velocidad para cualquier obser-vador quieto o en movimiento rectilíneo uniforme: Se da la paradoja de quedos observadores en movimiento uno con respecto al otro miden la mismavelocidad para un mismo rayo de luz. Según este experimento, la imagende onda mecánica que se propaga en un medio parece ser inaplicable pa-ra el caso de la luz.

14Convendrá que el lector se entere de los fundamentos de la Experiencia de Michelson encualquier libro de Física o Enciclopedia, o más adelante en este mismo texto.

l/2

onda reflejada

onda de ida

placa reflectora

detector de campo eléctrico

HE

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La cuestión se presenta un poco más clara si prescindimos del éter y ad-mitimos que la luz es una onda o perturbación de campos eléctricos ymagnéticos, cuyas cualidades estudia la electricidad, y que tienen energíaasociada por unidad de volumen pero no tienen masa o densidad aprecia-bles.

El modelo electromagnético en la físicaRevisemos por ejemplo los conceptos de espacio y tiempo: El espacioproviene del concepto geométrico de distancia pitagórica. Se medía antañopor comparación con un patrón de longitud que se colocaba a la par delobjeto de la medición. Pero para ser más precisos ahora se lo mide porcomparación con una longitud de onda de una radiación atómica dada. Eltiempo se mide con un reloj, aparato que acumula una cuenta de sucesossupuestamente isócronos, como el vaivén de un péndulo antes, pero mo-dernamente por la vibración de un cristal o la oscilación electromagnéticade un átomo, fenómenos aparentemente mucho más precisos. ¡Longitud ytiempo se miden ahora con patrones electromagnéticos para ganar en pre-cisión! ¿No será que esos patrones nos están enmascarando las verdade-ras propiedades del espacio y del tiempo, subordinándolos al electromag-netismo?

Con criterio parecido pensemos en lo que pasaría si definiéramos el metrocomo la trescientos cuarenta ava parte de la longitud que el sonido recorreen 1 segundo: pues nada más ni nada menos que la presión atmosférica yla velocidad del viento influirían en la métrica de nuestro espacio. Con elmodelo electromagnético fue necesario, de la misma manera, que Lorentzexplicara el resultado del experimento de Michelson asignando una con-tracción al espacio como resultado de la velocidad absoluta del sistema, osea que la longitud depende del viento de éter.De paso apareció la necesidad de definir el tiempo, que quedó como va-riable dependiente de la posición y la velocidad.

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Reflexionemos un poco sobre las siguientes cuestiones:a) La observación de cualquier fenómeno se realiza mayormente con la vista: ver

algo es para nosotros sinónimo de evidencia y realidad. Prácticamente no conce-bimos efectuar una determinación o experiencia sin la percepción de imágenesópticas15.

b) La luz es un agente que permite operar delicadamente y con precisión. Práctica-mente la detección luminosa de cualquier acontecimiento influye muy poco en elsistema observado

c) Cualquier otro intento de registro de datos o acontecimientos con otros medios esgrosero comparado con los medios ópticos. En el caso de estudiar cinemática,imagínese por ejemplo la tarea de detectar la presencia de un móvil en un deter-minado punto del espacio mediante el tacto o el ruido que produce. Piénsese no-más en cómo afectaría la experiencia el roce del sensor mecánico (un palpador odirectamente nuestra mano) contra el móvil.

En resumen: la luz es cómoda, limpia y delicada. Es rápida, casi instantánea, inter-fiere muy poco con el sistema a observar y llega lejos.

Estas son las causas principales por las que la luz y en general las ondas electro-magnéticas, preferidas para detectar cualquier fenómeno, rijan la métrica y den lapauta espacio temporal de nuestro mundo.

Pero filosóficamente hablando, esa superioridad no justifica que el único modelofísico sea el electromagnético. Conceptos tales como posición, distancia o tiem-po son absolutos y no pueden depender del modelo adoptado. Si por comodidadconviniera así fuera, se debería dar un significado restringido provisorio a esosconceptos mientras nos movamos dentro del modelo electromagnético.

Veamos por ejemplo algunas consecuencias de la generalización inapropiada deun modelo fuera de su ámbito de validez:

Modelo de Galileo y Modelo de Einstein.Los físicos desde la época de Galileo y Newton hasta principios de sigloXX aplicaron al espacio la geometría de Euclides, que todos estudiamosen el colegio secundario. La distancia entre dos puntos viene dada por lalongitud del segmento que los une. Ese segmento o vector se calcula enbase a las coordenadas de los puntos respectivos por aplicación del Teo-rema de Pitágoras en el espacio. Vale lo mismo medido desde cualquiersistema de referencia: La distancia entre la esquina de Corrientes y Callaoy la de Corrientes y Rodríguez Peña es de 120m para un peatón parado opara un pasajero del colectivo que pasa raudamente a su lado en el mismoinstante: los relojes de ambos marcan exactamente las doce del mediodíaen ese momento.

15

Decir imágenes incluye a señales electromagnéticas (radio, televisión, radar, etc.)

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Ahora bien: en 1905 Einstein, generalizando el modelo electromagnéti-co de Lorentz que toma a la luz como patrón para definir longitud y tiem-po, llega a la conclusión que la distancia no es invariante para dos obser-vadores en movimiento relativo entre sí. Para el peatón, la cuadra mide120m, en cambio para el pasajero a bordo del colectivo 132 medirá algomenos (en realidad la diferencia será insignificante ya que el 132 se muevea velocidades pequeñas en comparación con la de la luz, aunque peligro-sas para autos y peatones que se atraviesen en la vía rápida). Con eltiempo pasa una cosa aún más curiosa: el pasajero ve que el reloj delpeatón atrasa con respecto al suyo (marca las doce menos una fracciónmuy pequeña). Y el peatón observa que el pasajero también tiene el relojatrasado!..

Según la célebre Teoría de la Relatividad de Einstein la distancia entredos puntos y el tiempo que marcan dos relojes en cada uno de ellos estánrelacionados entre sí a través de un nuevo concepto de distancia pitagóri-ca en cuatro dimensiones (la cuarta es el tiempo) que se llama “intervalocronotrópico”. El intervalo cronotrópico entre dos puntos, en el modelo deEinstein, es el que permanece constante para observadores en movi-miento relativo entre sí: no la distancia ni el tiempo separadamente, loscuales tienen diferentes valores para cada uno de los observadores.

Por muchos años los físicos discutieron quién tenía razón. La experienciaera muy difícil de realizar porque las diferencias cuantitativas eran insignifi-cantes. Aún hoy hay algunos que siguen discutiendo la cuestión y hacepoco se hicieron experiencias con relojes atómicos a bordo de satélitespara ver si atrasaban con respecto a los de tierra. Parece que en efecto losrelojes a bordo de los ingenios atrasaron algunas millonésimas de segun-do..., aunque algunos interpretan que la mínima diferencia está dentro delerror del método de medida.

Actualmente algunos físicos parecen no reparar en que carece de sentidocomparar una distancia y un tiempo definidos electromagnéticamente conrespecto a conceptos primarios no experimentales como son la distanciageométrica y tiempo absoluto.

Lo que ocurre con el tiempo del modelo electromagnético es que no es elmismo tiempo que transcurre inmutable desde que Dios puso en marcha elmundo: El tiempo electromagnético que figura en las ecuaciones de Lo-

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rentz16 es el que marcan los relojes que poseen los observadores. Si éstosse mueven cada uno de ellos observa que el reloj del otro comienza aatrasar (si son relojes que se rigen por fenómenos electromagnéticos, co-mo los relojes atómicos), y esto es interpretado como que el tiempo pasadiferente para cada observador. No sólo el movimiento atrasa los relojes:también la gravedad afecta al tiempo electromagnético. Este fenómenoestá relacionado con la influencia de la gravedad sobre la trayectoria de laluz, como veremos luego.

La curvatura del espacioPara saber si la arista de una regla es recta hay que mirarla tratando de alinear las visualesde sus puntos: si hay algún resalto éste saldrá a la vista, o si existe curvatura no será posiblehacer coincidir las proyecciones de sus puntos en una visual. Si bien es más propio definir ala recta con criterio geométrico, es el método óptico el más común para materializarla. Todaobservación que acuse puntos alineados se asocia con una recta, porque la experiencia co-

rriente es que la luz se propaga de esa forma.Supongamos que la luz se curvara bajo algúnefecto, por ejemplo por la gravedad. Los ra-yos salidos de un borde recto serían parábo-las, como las trayectorias de proyectiles pro-venientes de cada punto luminoso del objeto.El observador vería las imágenes de esospuntos en la prolongación de los rayos quellegan al ojo sobre una curva: la regla, en rea-lidad perfectamente recta aparecería curvadaa la vista. Y no sólo eso!... También se daría elcaso que puntos muy alejados del objeto nopodrían verse: por ejemplo en la figura el ob-servador no puede ver más allá del número 4en la escala. Ningún rayo proveniente del 5 escapaz de llegar al ojo en su movimiento para-bólico(línea punteada)

Se ha demostrado que en efecto la luz se curva bajo los efectos de la gravedad, aunquemuy levemente, como lo sospechabaNewton y lo calculó Einstein. Durante loseclipses totales de sol pueden versealgunas estrellas que en realidad estándetrás del astro. Los rayos de luz prove-nientes de las mismas pasan rasantes ala superficie del sol donde reina unagravedad intensa y se curvan, parecien-do al observador que provienen de unpunto exterior al disco solar, ocultadomomentáneamente por la luna duranteel eclipse.La Teoría de la Relatividad General de

16

En realidad el concepto de tiempo en el modelo electromagnético se debe al físico holan-dés Lorentz, ya mencionado. Einstein tomó de las ecuaciones de Lorentz la base de su céle-bre teoría de la Relatividad.

0 1 2 3

12

3

4

3

2

1

4 5 60

0

g

SOL

luna

Tierra

S

S'

Durante el eclipse de sol una estrella que está detrás de ésteen la posición S se puede ver debido a la trayectoria curvadel rayo, que creea una imagen virtual en S'

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Einstein aborda el tema de la curvatura de la luz por efecto de la gravedad introduciendo elconcepto de curvatura del espacio de cuatro dimensiones del que hablamos. Considera quela luz marcha siempre por el camino más corto, que no es entonces la recta de Euclides sinolo que él llama una línea geodésica en cuatro dimensiones

17. De existir gravedad, se agrega

al sistema una modificación a las propiedades del espacio a través de una curvatura (tam-bién en cuatro dimensiones). Un espacio curvo en tres dimensiones puede imaginarse comoel que mantiene a la luz describiendo rectas aún en presencia de campos gravitatorios, algoque surgiría si enderezáramos las parábolas de la figura anterior.

17

Esa geodésica es una generalización de una recta en un espacio de cuatro dimensiones,tres espaciales (x,y,z) y una temporal imaginaria i.t

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PERTURBACIONES Y ONDAS

PerturbaciónEntendemos por perturbación en un medio cualquier cambio local en suscaracterísticas. Por ejemplo, una elevación o depresión en la superficie delagua, una mancha de tinta sobre el papel, una deformación en una cuerdatensa, o una franja que indique la zona afectada por casos de meningitisen un mapa, son perturbaciones del estado normal (no perturbado) de ca-da uno de estos elementos: superficie de agua quieta, papel limpio, cuerdainmóvil o mapa sin marcar.

Propagación de las perturbacionesLas perturbaciones pueden en general moverse en el espacio que ocupa elmedio que afectan: se propagan. Se reconocen dos tipos de propagaciónde perturbaciones: el proceso de difusión y el proceso ondulatorio. Estosprocesos pueden coexistir simultáneamente, dando origen a un fenómeno

de propagación combinado.

DifusiónEn el proceso de difusión la perturba-ción se mueve extendiéndose por elmedio desde su origen: por ejemplose difunde una mancha de grasa enun tejido aumentando su extensiónhasta un cierto límite. También sedifunde una epidemia de cólera en lapoblación abarcando cada vez mayorárea.En la difusión puede haber o notransporte del medio de un punto aotro: La propagación de una epide-mia puede ser por contagio entre laspersonas, que forman una cadenainmóvil con un enfermo cada extre-mo; pero también puede propagarsela enfermedad porque uno de los in-fectados se mueve y contagia a supaso a otros que están quietos. Ladifusión pura es un fenómeno en elcual la perturbación en un punto si-gue con una cierta demora y una

320

250200

150100 80 50

320

270

250

180100

90

370

300

250

200

150100 80 50

300

250

200

150100 90

350

Temperaturas a los 5'

Temperaturas a los10'

Temperaturas a los15'

Temperaturas a los 20'

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cierta amortiguación las variaciones que se producen en el origen.

Por ejemplo, el calor se propaga en una barra de metal en un típico proceso de difusión sintransporte del medio (que es el metal con que está construida). Supongamos que en el ex-tremo izquierdo de la barra se enciende un mechero: el calor de la llama se comunica al me-tal de esa punta y se propaga hacia la derecha. Los puntos de la barra van aumentando detemperatura con el tiempo pero cada uno de ellos tiene una temperatura mayor que el de laderecha y menor que el de la izquierda. La temperatura es en realidad una medida macros-cópica de la agitación molecular dentro del sólido; ese movimiento o agitación molecular es elque se difunde de izquierda a derecha. Supongamos que se aumenta de golpe la temperatu-ra de la llama (abriendo toda la llave de gas del mechero). Las variaciones de temperatura dela llama llegan al extremo izquierdo después de un cierto tiempo muy amortiguadas, es decirque el salto brusco en la llama se traduce en una variación suave de temperatura en la punta:esta amortiguación o "suavizado" en la transmisión de una perturbación es típico de la propa-gación por difusión.

Propagación ondulatoriaEn el proceso de propagación ondulatoria pura en un medio perfecta-mente elástico en cambio, la perturbación en un punto no altera su forma,aunque a veces si su amplitud. Pero no hay ningún efecto de suavizado.Tampoco hay transporte neto del medio: lo que se traslada es la deforma-ción o variación de las propiedades de un punto a otro. Por ejemplo unaola en la superficie del agua tiene una aspecto invariable: si nace con unacresta abrupta seguirá así. No se irá suavizando con el tiempo18, aunqueirá menguando de altura a medida que se aleje del origen. Un flotador nose desplaza en el sentido de propagación cuando es alcanzado por la ola:solamente sube o baja.19

ONDASPerturbaciones y ondas no son sinónimos, aunque a veces así se tomen.Una onda es una sucesión de perturbaciones espaciadas igualmenteentre sí. La distancia λλ entre dos perturbaciones contiguas es la longitudde onda. La cantidad de perturbaciones que ve pasar un observadorquieto en un segundo es la frecuencia f de la onda. El tiempo que tardaen pasar una onda entera se lama período T. La velocidad v a la que sepropaga el conjunto de las perturbaciones es la velocidad del fenómenoondulatorio (luz, sonido, etc.).

18

En rigor debido a fuerzas de rozamiento en el fluído las ondas reales sufren a lo largo de surecorrido en mayor o menor grado un suavizado en sus formas. También se produce trans-porte del medio cuando la presión de radiación sea muy importante (caso del ultrasonido)19

En realidad debido a la viscosidad del agua, un flotador alcanzado por una ola describe unatrayectoria circular, desplazándose algo hacia adelante y luego hacia atrás hasta completar lacircunferencia.

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La frecuencia resulta ser lógicamente el cociente entre la velocidad depropagación y la longitud de onda, lo que se expresa así:

f = v/λ λ y también λλ = v.Tf se mide en ciclos/segundo o Hertz, que se simboliza Hz

Efecto Doppler-FizeauLa frecuencia se mantieneen todos los puntos del me-dio para un observadorquieto. Si la fuente se muevecon respecto al medio, lafrecuencia será mayor pordelante de ella y menor pordetrás. Si el observador estáen movimiento encontrarámás ondas por unidad detiempo al avanzar hacia la

fuente y menos cuando se aleja de ella. Estos fenómenos de variación defrecuencia por el movimiento de observador y/o fuente fueron estudiados ycuantificados por Doppler y Fizeau el siglo pasado, y se conocen como"efecto Doppler-Fizeau".

Debido al efecto Doppler-Fizeau, una ambulancia que se desplaza a velo-cidad V presenta al observador quieto una frecuencia f’=v/λλ’ diferente a lapropia f=v/λ.λ.Si V es la velocidad de la ambulancia y v es la del sonido en el aire quieto, resultaqueλλ’/λλ = (v-V)/v , tomando V positivo para el caso de acercamiento y negati-vo en el caso de alejamiento de la fuente.Así resulta que la frecuencia percibida seráf’= v/λλ’= v/λλ.v/(v-V)= f. v/(v-V)

Si además también el observador se mueve a velocidad V’, percibe unafrecuencia diferente a la que percibiría cuando está quieto. Se puede razo-nar que un observador en movimiento está bajo los efectos de un vientoque arrastra a las ondas hacia atrás, disminuyendo su velocidad. De talmanera para el observador en movimiento a la velocidad V’ la velocidaddel sonido es v’=v-V’ , tomando como positiva la velocidad V’ en el sentidode propagación.De tal manera, la fórmula que expresa la frecuencia percibida cuando semueven observador y fuente, resulta

V’ AM

BU

LA

NC

IA

V

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f’= f (v-V’)/(v-V)

Por ejemplo si la ambulancia, que toca su sirena a f=1000 Hz se desplaza a90 Km/h (V=25 m/s), y el observador va adelante en su bicicleta en la mismadirección a V’=7m/s , percibe un sonido de1000.(340-7)/(340-25)= 1,05714 f = 1057 Hz

Es fácil ver que cuando el ob-servador se mueve a la veloci-dad de las ondas (V’=v) la fre-cuencia se hace cero. El truenono alcanza al avión negro de lafigura, que vuela a la velocidaddel sonido. En cambio cuandola fuente se mueve a la veloci-dad de las ondas (V=v), resultaque la frecuencia f’ percibidapor el observador se hace infi-nita, y toda la energía del soni-do se acumula en una sola on-da de choque. El paracaidista, prácticamente inmóvil, ve al avión negroque se acerca, pero no oye el sonido de su turbina hasta que recibe la on-da de choque... y el avión. El caza supersónico rojo (el de abajo) vuela auna velocidad superior a la de las ondas (V>v) y produce una superficie dechoque cónica, de ángulo α (ángulo de Mach) tal que sen α = V/v.La onda puede llegar a romper los vidrios de la torre de control.

Efecto Doppler-Fizeau para la luzLa fórmula anterior vale para el caso de ondas mecánicas pero no exac-tamente para la luz (ni para ondas electromagnéticas cualesquiera). Elexperimento de Michelson-Morley (véase más adelante) reveló que un ob-servador en movimiento no detecta variación de la velocidad de la luz afavor o en contra de la velocidad de translación, es decir que no percibe un

efecto equivalente alviento del ejemploanterior. Todo pasacomo si el observa-dor estuviera quieto yla fuente se movieraen relación a él convelocidad relativa

VR=V-V’ Por ejemplo, por efecto del movimiento relativo entre ciclista y am-

V=v

V>v

αα v.t

V.t

0,3 0,2 0,1 0 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

0,08 µµm

0,16 µµm

1 0,9

Espectro de comparación

Corrimiento al rojo del espectro de un cúmulo de galaxias en laconstelación austral de La Hidra, que se aleja a 60000 km/h

60000 km/h, en un cúmulo de La Hidra

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bulancia, el faro de ésta que emite luz cuya velocidad es c=3.108 m/s, a unafrecuencia de ν=c/λ, la que es percibida por el ciclista a una frecuencia im-perceptiblemente mayor νν’=νν.c/(c-VR)20 . Así, la relación de frecuencias esνν’/νν = 1/(1-VR/c) = 1,00000006

Corrimiento al rojo.Una vez estudiado el efecto Doppler-Fizeau, se comprende que la luz deuna fuente en movimiento genere por descomposición (p.ej. al atravesarun prisma) un espectro desplazado con respecto al de otra fuente igual fija.Si se aleja, la frecuencia será menor, y el espectro se correrá hacia el rojo.Por supuesto que para velocidades terrestres el efecto será imperceptible.Pero en el cosmos, la cosa es diferente: allí la Naturaleza maneja las co-sas “a lo grande”. El astrónomo norteamericano Slipher descubrió en 1912que la mayoría de las galaxias tenían su espectro corrido hacia el rojo, loque interpretado a través del efecto Doppler es signo de que se alejan denosotros a grandes velocidades. En 1929, otro astrónomo norteamericano,Edwin Hubble, determinó que dichos corrimientos hacia el rojo crecían conlas respectivas distancias a la tierra, lo que atribuyó a velocidades de ale-jamiento proporcionales a la distancia, como si todo el universo estuvieraen continua expansión.Por ejemplo, con el potente telescopio de Monte Palomar (USA) se ha ubi-cado en la constelación austral de La Hidra un cúmulo de galaxias cuyocorrimiento es de 0,08 micrómetros desde el extremo violeta hacia el azul,es decir que para λ=0,4 µm (violeta), la radiación se corre a λλ’=0,4-0,08=0,32 mµµ Calculemos su velocidad de alejamiento en base a la fórmula vista νν’=νν.c/(c-VR),de dondeVR= c(1-ν/ν’) = c.(1-λ’/λ)= 60000 km/s , es decir el 20% de la velocidad de la luz.

Perturbaciones elásticasSi producimos una deformación en una zona de un medio elástico, éstatiende a propagarse desde ese lugar, linealmente hacia los dos costadosen un medio unidimensional (como una cuerda de guitarra), radialmente enun medio de dos dimensiones (como las olas en la superficie de un líqui-do), o espacialmente en forma de esfera de radio creciente (propagacióndel sonido y de la luz en espacios abiertos). Generalmente a partir delpunto donde nace el fenómeno (fuente) se pueden individualizar perturba-ciones que se propagan en sentidos contrarios u opuestos, que podemosllamar sentidos directo (hacia la derecha del origen) y retrógrado (hacia la

20

En realidad la fórmula exacta, que contempla la contracción del espacio y el tiempo deLorentz es la anterior por el factor [1-(VR/c)2]1/2

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izquierda del origen) en el caso de un fenómeno en una sola dimensióncomo en la cuerda de guitarra, .

La deformación del medio puede ser o bien en la dirección de la velocidad(vibración longitudinal de un resorte, vibraciones en gases, sonido), o per-pendicular a ella (vibración de cuerdas, superficies de líquidos, membranasy placas). Se habla así de perturbaciones longitudinales o transversalesrespectivamente. Como se verá luego, la luz es una vibración transversal.

En general la perturbación se extiende con amplitud decreciente en elcaso de fenómenos planos o espaciales, hasta el borde o los límites delmedio . Allí en general se refleja en dirección contraria con una perturba-ción para el mismo lado o para el lado contrario a la incidente, dependien-do alguna de las dos posibilidades de la rigidez del límite, como se explica-rá luego al tratar específicamente la reflexión.

La velocidad con que se desplaza esa deformación depende en generalde características mecánicas del medio, su estado y su extensión (elastici-dad, peso específico, cohesión, viscosidad, tensión, dimensión, etc.).

La amplitud o altura de la ola va disminuyendo con la distancia al punto deformación. Esta disminución se debe a que la energía total de la perturba-ción se conserva igual durante todo el desarrollo del fenómeno: al ser laonda cada vez más larga ya que aumenta continuamente su radio, suenergía de altura o potencial se reparte en un perímetro creciente. Por lotanto la energía (o altura) por unidad de longitud es cada vez menor. Si laperturbación es en tres dimensiones la onda es esférica y como la superfi-cie de una esfera es proporcional al cuadrado de radio, la energía específi-ca (por unidad de superficie) disminuye con el cuadrado de la distancia alorigen. En la práctica la disminución es aún mayor que la prevista en flui-dos ideales, en los que no hay pérdida de energía. En medios reales hayfuerzas de fricción interna que producen calor. El calor es una forma deenergía no recuperable que se difunde en toda la masa de fluido. Así seobserva que en realidad la amplitud decrece en mayor medida que el radioo la superficie, como sería en un medio sin fricciones internas.

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Mecanismo de propagación de las perturbaciones elásti-casPor ejemplo: una piedra que cae en la superficie del agua tranquila de unapileta forma la consabida perturbación circular de radio creciente con velo-cidad constante. La piedradesplaza al agua formando unhoyo. El líquido desplazadoempuja a las porciones conti-guas, que se elevan por enci-ma de la superficie en unacresta, transformando así eltrabajo de la piedra sobre elagua en energía potencial .Podemos explicar el desplazamiento de esa cresta circular con una cierta

velocidad, considerando que la monta-ña de líquido desciende por gravedad ydesplaza a su vez el agua sobre la quecae, deprimiéndola como lo hizo la pie-dra y transfiriendo su energía al líquidocontiguo de la misma forma. Es decirque cada partícula de líquido elevadoen una cresta genera después unaperturbación al caer. Las ondas u olasen la superficie de líquidos son fenó-menos ondulatorios gravitacionales ypor lo tanto su velocidad está relacio-

nada con las fuerzas de gravedad que actúan sobre los medios (densidady gravedad)

Principio de HuygensEste modelo de ondas en el agua sugirió a Cristian Huygens su célebreprincipio (Traité de la Lumière , 1690) que dice que "todo punto de un me-dio alcanzado por una perturbación es centro de una nueva perturbaciónsecundaria". Esta nueva perturbación, circular en el caso de ondas en lasuperficie o esférica cuando estamos en un medio de tres dimensiones,fue llamada por Huygens "perturbación secundaria" debido a que no tieneefectos visibles por si sola ya que su amplitud es muy pequeña.

En cambio cuando actúa junto a otras provenientes de puntos contiguos,suma su efecto al de las demás en una zona que se llama envolvente delas perturbaciones circulares secundarias. Esta superposición de efectos

Posiciones sucesivas de una piedra cayendo en el agua

P1

P2

P3

V

Propagación de un frente de onda

plano como envolvente de ondas

secundarias generadas en puntos

contiguos P1, P2, P3, ...

?

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en una envolvente común a todas las ondas secundarias es el frente deonda o cresta visible de la perturbación que se propaga.

El principio de Huygens no es una explicación cabal del fenómeno, perofunciona aceptando que "todo pasa como si" así fuera la cosa. En parti-cular no es evidente porqué la perturbación secundaria procede en unsolo sentido, el de avance, y no se notan los efectos de la perturbaciónretrógrada que deberían necesariamente existir en el proceso de genera-ción descripto21.

Todo pasa como si las perturbaciones secundarias reconocieran el sentidode avance del frente de onda principal y se generaran solamente en dichosentido.Recién en el siglo XIX , Kirchhoff desarrolló matemáticamente una teoríaen la que las ondas secundarias tienen amplitud máxima en el sentido dela velocidad de la perturbación principal y amplitud nula en el contrario(factor de oblicuidad). Con ello hizo más consistente el principio de Hu-ygens, aunque no más intuíble. Herramientas matemáticas como la quepreparó Kirchhoff no aportan una explicación cabal de lo que ocurre enrealidad. Sin embargo muestran que la compleja realidad de las cosas sepuede generalmente modelizar con entes abstractos.

Las ondas secundarias son sin embargo más queun mero artificio. Se ponen de manifiesto intercalan-do en el camino de las ondas principales un tabiquecon una brecha. Si la brecha es de un tamaño con-siderablemente mayor que el la longitud de onda, seobserva que las ondas se propagan detrás del tabi-

que con una pauta geométrica: el centro de perturbación y la brecha de-terminan rectas que limitan a ambos lados el camino de las ondas que pa-san. En los límites de esos frentes de onda se nota el efecto de la ondasecundaria producida por el punto del extremo (detalle aumentado en eldibujo).

21

Estas ondas retrógradas aparecen, sin embargo, cuando se impide la formación de la ondaprogresiva, por ejemplo interponiendo un obstáculo. (Véase “REFLEXIÓN DE LAS ONDAS”)

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Difracción producida por una ranuraEn cambio si la brecha es francamente menorque la longitud de onda, detrás del tabique sepropagan ondas circulares de pequeña ampli-tud con centro en el medio de la ranura. Estefenómeno se conoce como difracción produci-da por una ranura estrecha y se explica per-fectamente con el principio de Huygens. Laestrechez de la ranura hace que sólo se pro-pague detrás del tabique el efecto de una pe-queña porción del frente de onda. Éste puede

identificarse prácticamente con un punto del medio en la medida de que sehaga la ranura suficientemente angosta. Se debe notar que la longitud deonda de las ondas secundarias se mantiene, y por lo tanto también lo hacesu velocidad. Para no complicar el dibujo, en la figura no se han marcadolas ondas reflejadas por el tabique rígido, que de hecho existen y de lasque se hablará a continuación,

Reflexión de las ondasSi una onda encuentra en su camino un cambio de medio de propagación,en parte se transmite (pasa al segundo medio) y en parte se refleja sobre

esa superficie de sepa-ración. Si el segundomedio es absoluta-mente rígido, la refle-xión es total y con sen-tido contrario. El prin-cipio de Huygens ilus-tra sobre estos fenó-menos: En cada puntodel medio próximo a

esa superficie de separación se genera la famosa onda secundaria al seralcanzado por la perturbación. Como esa onda secundaria no puede for-marse libremente hacia adelante, ya que el medio no lo permite parcial ototalmente, dejan de tener amplitud nula las ondas secundarias regresivasde las que se habló al tratar el principio de Huygens, cuya existencia echá-bamos de menos... El conjunto de ondas regresivas tiene una envolvente;es el frente que retrocede, o sea la onda reflejada. Si la pared de reflexiónes plana, las ondas reflejadas parecen provenir de un punto simétrico a lafuente, con respecto a la pared reflectora. Este punto es la imagen de lafuente. Cuando una onda se refleja en un medio más rígido que el de ori-

λ λ

fuente imagen de la fuente

ondas directas

ondas reflejadas MEDIORÍGIDO

MEDIOELÁSTICO

ÓPTICA GENERAL 31

31

gen, en la reflexión cambia de signo su fase. Si el medio es menos rígi-do, la onda reflejada no experimenta cambio de fase22.

Movimiento oscilatorio de un puntoCuando un punto del medio es alcanzado por una onda, oscila a la fre-cuencia de aquélla hacia ambos lados de la posición de equilibrio. Por su-puesto que la forma de la onda puede ser cualquiera, desde la sinusoidalmás simple hasta la rectangular, pasando por un perfil caprichoso como eldel Aconcagua.Aprovechándonos de los trabajos de Jean Baptiste Fourier, quién de-mostró en 1822 que una onda de forma cualquiera podía considerarse co-mo una superposición de efectos simples sinusoidales23 , estudiaremos lacuestión matemáticamente suponiendo movimientos sinusoidales.

Ecuación del movimiento oscilatorioEl movimiento oscilatorio de un punto del medio en el que se producenondas sinusoidales, se puede hacer corresponder al extremo de la proyec-ción vertical y de un radiovector giratorio r que da una vuelta por cada os-cilación completa a lavelocidad angular ωω.

Su módulo r (la longituddel vector) es igual a lamitad de la amplitud má-xima de la oscilación. Elángulo αα que mide la in-clinación del vector se llama argumento: cero y 180º cuando está acostadohacia la derecha o izquierda, 90º y 270º cuando está hacia arriba y haciaabajo respectivamente. El argumento es función del tiempo. Esto se ex-presa poniendo αα=ωω.t siendo ωω la velocidad angular de giro del radiovec-tor. La posición del punto con respecto a la de reposo esy = r.sen αα = = r.sen ωωtEl radiovector da una vuelta entera (α=2πα=2π) en un período de tiempo T (elperíodo es la inversa de la frecuencia f=1/T).Así que es ωωT=2ππ y ωω=2=2ππ/Τ/Τ

22

La onda reflejada interfiere con la principal, creándose un sistema de ondas estaciona-rias, con puntos fijos donde no hay vibración (nodos) y puntos donde la vibración es máxima(vientres). Que el punto de reflexión sea un nodo o un vientre depende de la rigidez del medioreflector.23

Fourier demostró en que una onda de forma cualquiera puede considerarse formada poruna suma de ondas sinusoidales de amplitudes y períodos decrecientes (serie de ondas ar-mónicas).

α=ωtr

y=r.sen αα

y

tT 2T 3T

0

αΤ/(2π)

ÓPTICA GENERAL 32

32

Entonces podemos poner y = r.sen 2 2ππ/Τ./Τ.t , o sea que la ecuación de laposición de un punto que oscila es una sinusoide en el tiempo

Ángulo de faseLa diferencia entre los argumentos correspondientes a dos puntos fijos delmedio en oscilación, se mantiene constante. A esta diferencia de ángulosse la llama ángulo de fase, de desfasaje o de diferencia de fase. Podemoselegir como cero la fase del origen del movimiento, o sea la fase de lafuente en caso de haber una sola. Así, los puntos del medio donde se pro-ducen las ondas tienen una diferencia de fase con respecto al origen pro-porcional a su distancia de éste a la fuente. Si esa distancia es igual a unalongitud de onda, la diferencia de fase es 2ππ o 360º.En general entre una distancia ∆∆x y una diferencia de fase ∆φ∆φ vale la rela-ción: ∆∆x/∆∆φφ=λλ/(2ππ)

Ecuación de la ondaEs la que da la elongación (aparta-miento del punto de equilibrio) delmedio que vibra (por ejemplo la altu-ra del agua sobre el nivel medio) Di-cha elongación es una función de laposición del punto (la distancia alorigen) y del tiempo.Por ejemplo, en un medio unidimen-sional como una cuerda tensa, en laque se propagan ondas sinusoidales

de amplitud 2A a una velocidad v=λ/T y una frecuencia f=1/T , siendo tam-bién ω=2π/Τ , la ecuación de una onda sinusoidal es:y(t,x)= A sen 2π/Τ (t + x/v)

Comprobación de la fórmula:En el origen y el comienzo es x=0 t=0. Entonces y=0 (La figura empieza en el origen,lo cual está de acuerdo con el dibujo)Cuando t=19T/4 y x=4λ (último caso de la figura) resultay=A.sen 2π/T(19T/4+4T)= A.sen 2π.(35/4)= A.sen (17,5 π)= A (también de acuerdocon el dibujo)

t=4T

t=17T/4

t=9T/2

t=19T/4

x

INSTANTÁNEAS SUCESIVAS DE UNA ONDA

x

x

x

2A

x=4λ

y=A

ÓPTICA GENERAL 33

33

La ecuación de una onda es una sinusoide en el espacio que se desplaza a lavelocidad v . Esa velocidad se llama “velocidad de fase de las ondas”, paradiferenciarla de otra velocidad que describiremos luego para el caso de on-das NO monocromáticas, es decir de grupos de ondas que son superposiciónde varias ondas sinusoidales simples. Este grupo de ondas tiene una veloci-dad aparente de conjunto, llamada “velocidad de grupo” .

Refracción de las ondasYa vimos que cuando una onda incidesesgada en la superficie de separaciónentre dos medios en los que tiene dife-rente velocidad de propagación, sufre unquiebre en la dirección de su trayectoriao rayo representativo. Este fenómeno sellama refracción. Vimos también que laluz avanza por el camino más rápido yen consecuencia la dirección del rayoforma con la normal a la superficie de

separación de los medios (o interfase) un ángulo mayor en el medio enque la velocidad es mayor. La relación entre los senos de los ángulos es lamisma que la de las velocidades en los medios respectivos.

El principio de Huygens explica adecuadamente cómo se produce la re-fracción: Cada punto de la interfase tocado por el frente de onda F que sedesplaza a velocidad v1 comienza a ser centro de una nueva perturbación

que se propaga en el otro medio a velocidad v2. Al cabo de un período T la

perturbación originada en P1 forma un semicírculo C1 de radio λλ2=v2.T y el

frente de onda alcanza al punto P2. La semirecta que nace en P2 y es tan-gente a C1 es el nuevo frente de onda correspondiente al rayo refractado.Al cabo de otro período T el frente de onda del rayo incidente F alcanza alpunto P3 y mientras tanto C1 se amplió hasta C2.

Considerando los triángulos rectángulos P1 R P2 y P1 Q P2 resulta que:

RP2/P1P2 = sen î y también es QP1/P1P2 = sen r , de lo cual se deduce:

sen î/sen r = RP2/QP1 = λλ1/λλ2 = v1/v2 = índice de refracción , que es la ley que

rige el fenómeno de la refracción.

Esta ley, atribuida al físico Snell, se enuncia diciendo que los senos de losángulos de incidencia y refracción están en razón directa con las longitu-des de onda o las velocidades en los medios respectivos. Para dos mediosen condiciones físicas normales, esta razón es constante y característica

î

r

F

P1 P2

P3C1C2

λ2λ2

λ1λ1

Q

R

= v1.T

= v2.T

rayo refractado

rayo incidente

r

î

rayo reflejado

ÓPTICA GENERAL 34

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de la dupla de medios. Se la llama índice de refracción del sistema medio1

/ medio2 . Tomaremos la convención de designar medio 1 al de donde vie-ne la perturbación y medio 2 el medio hacia donde va la perturbación. Co-mo se ve en el dibujo el rayo se acerca a la normal en el medio de menorvelocidad (el 2).

En el dibujo también figura el rayo reflejado, cuyos frentes de onda son laenvolvente de las ondas secundarias en el medio superior. La suma de lasintensidades de los rayos reflejado y refractado es la intensidad del rayoincidente: esto es así en medios perfectamente pulidos (que reflejan sindispersar) y transparentes (que transmiten sin absorber), es decir en casode que no se produzcan pérdidas de energía en el proceso de refle-xión/refracción.

INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓNSe llama interferencia a la acción resultante de dos o más ondas sobre unpunto del medio. En particular es importante la interferencia de dos ondasde igual frecuencia y amplitud. Según la diferencia de fase que presentenen el punto, compondrán sus efectos de diferente manera. Si difieren en180º (ππ) , el resultado de su acción simultánea es la anulación del movi-miento oscilatorio en el punto considerado. Si no hay desfasaje o la dife-rencia de fase entre ambas perturbaciones es de un número entero devueltas, 360º, 720º, o en general 2.n.ππ (para n=1,2,3...) el resultado es un re-fuerzo de la acción conjunta. En general la resultante de la acción combi-nada de dos ondas sinusoidales de igual frecuencia en un punto se puedeexpresar como la suma vectorial de los radio-vectores representativos delmovimiento oscilatorio armónico correspondientes (cada uno con su am-plitud y su fase).

Interferencia produ-cida por dos rendijasseparadas de cortadistancia (doble ren-dija)En este caso, se produceinterferencia entre las per-turbaciones secundariasoriginadas en las rendijas,que si son equidistantes dela fuente principal F, cons-tituyen un par de fuentes INTERFERENCIA EN UNA DOBLE RENDIJA

líneas de máxima perturbación

zona central (máxima perturbación)

líneas de quietudP

Q

3 l/2

PQ

l

F

ÓPTICA GENERAL 35

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sincrónicas (que oscilan al unísono, con igual frecuencia y fase). Se verifi-ca quietud permanente en puntos tales como P, que reciben la influenciade las rendijas con diferencia de fase de 180º+ n vueltas, porque distan alas respectivas rendijas caminos diferentes en un número impar de semi-longitudes de onda (2n+1)λλ. Asimismo, hay perturbación máxima en puntoscomo Q, para los que la diferencia de caminos vale un número entero n delongitudes de onda, correspondientes a diferencias de fase de 360º.n

Experiencias con una cuba de ondas

Construcción de una cuba de on-dasUna cuba de ondas es un dispositivo muysencillo que permite ver con comodidad lasondas que se producen y propagan en la su-perficie de un líquido. Se compone de un re-cipiente rectangular de plástico o metálico, deaproximadamente 30 cm de largo x 20 cm deancho y 10 cm de profundidad y un vibradorpara producir impulsos periódicos en el líqui-do. Conviene que el borde interior de la cubase recubra con una banda de espuma degoma e, para evitar la formación de ondasreflejadas. El vibrador puede ser un alambreacerado doblado en forma de horquilla D, con

una punta en el líquido y la otra insertada en una base pesada B. El aparato se hace vibrarcomo un diapasón. Un contrapeso desplazable C sobre una rama del diapasón altera la fre-cuencia de oscilación.

ExperienciasLa cuba se llena de agua hasta un nivel un poco superior a la punta vibrante, y el conjunto secoloca bajo una fuente de luz potente de rayos paralelos (lo ideal es la luz solar) de maneraque la superficie del líquido refleje los rayos sobre una pantalla P convenientemente coloca-da, sobre la que se observarán perfectamente las perturbaciones creadas en aquella.

Del ancho de la cuba y de manera que encajen perfectamente en ella se preparan 3 tabiquest de madera o metal: el primero con una abertura de 5 mm de ancho en su parte media; elsegundo con una abertura de 50 mm y el tercero con dos aberturas de aproximadamente 5mm de ancho separadas por 1 cm . Con estos elementos se harán las siguientes experien-cias:

• Experiencia 1 - Observación de ondas circulares: Se pulsa el diapasón y se obser-van las perturbaciones circulares igualmente espaciadas. Corriendo el contrapeso se va-ría la frecuencia: hacia la izquierda aumenta (la distancia entre circunferencias contiguasdisminuye) y hacia la derecha la frecuencia disminuye (las distancia entre circunferen-cias es mayor). Se dibujará lo observado sobre la pantalla.

• Experiencia 2 - Observación de difracción de ondas producidas por una ranuraancha. Se coloca el tabique con la ranura de 50 mm se pulsa el diapasón y se observa

CUBA DE ONDAS

C

P

D

B

t

e

ÓPTICA GENERAL 36

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el dibujo de las ondas a uno y otro lado del tabique: Se dibujará lo observado sobre lapantalla con la mayor fidelidad posible.

• Experiencia 3 - Observación de difracción de ondas producidas por una ranuraestrecha . Se coloca el tabique con la ranura de 5 mm , se pulsa el diapasón y se ob-serva en la pantalla el dibujo de las ondas a uno y otro lado del tabique: Se dibujará lafigura proyectada sobre la pantalla con la mayor fidelidad posible.

• Experiencia 4 - Observación de la figura de interferencia producida por dos ranu-ras estrechas separadas por corta distancia. Se coloca el tabique con la doble ranu-ra, se pulsa el diapasón, se observará y dibujará con la mayor precisión posible lo refle-jado en la pantalla.

Experiencia de YoungA principios del siglo XIX el físico inglés Thomas Young (1773-1829) rea-lizó una célebre experiencia: Hizo dos agujeritos muy juntos con la puntade una aguja de coser sobre una tarjeta de cartón negro, y observó que laluz de una fuente lejana convenientemente filtrada para obtener un solocolor, que incidía sobre este dispositivo no producía, como era de esperar,dos manchitas o puntos de luz sobre unapantalla colocada del otro lado. Sobre lapantalla de veían una serie de manchasclaras sobre un fondo oscuro. Lo que ocu-rre aquí es un típico fenómeno de interfe-rencia y puede entenderse admitiendo quela luz está compuesta por ondas. El fenó-meno puede recrearse en el agua, me-diante la cuba de ondas, como ya se vio.

El equivalente óptico de la doble ranura dela cuba de ondas, es una doble rendija porla que pasa luz. Un dispositivo de doblerendija se prepara convenientemente ha-ciendo sobre un vidrio pintado de negro dosrayas muy próximas en la pintura con doshojitas de afeitar separadas por un papel.

La interferencia que se produce por dos rendijas paralelas y largas (sepa-radas por unas décimas de milímetro) tiene una simetría a lo largo de uneje, con el aspecto mostrado en la figura. Si el ángulo α es pequeño, o seasi la distancia D a la pantalla es grande comparada con la longitud de onday la separación x entre rendijas, se verifica para la zona oscura más próxi-ma situada a cualquiera de los lados de la franja brillante central (ver figuraadjunta):d/D = tg αα ≈≈ λλ/(2x) = sen αα , ya que el seno, el arco y la tangente de ángulospequeños son casi iguales.

D

d

λ/2

xα

zona oscura

λ

Franja brillante central

α

d

ÓPTICA GENERAL 37

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Se deduce de la cuasi igualdad anterior queλλ=2xd/DLa longitud de onda λλ de la radiación de la fuente empleada para iluminarel dispositivo de doble rendija (cuya distancia x se conoce) se determinafácilmente midiendo la distancia d entre la franja brillante central y la pri-mera zona oscura sobre la pantalla situada a la distancia D24

Por ejemplo, iluminando con luz amarilla de sodio (λ=0,59 micrones) undispositivo de doble rendija a x=0,5 mm , se obtienen sobre la pantalla queestá a 1 m , franjas separadas de zonas oscuras a una distancia 2d =λλ.D/x = 0,59.10-6.1/5.10-4 = 1,18.10-3m, o sea aproximadamente 2 mm

Efecto de obstáculos a la propagación de ondasEl efecto de interponer un objeto quecorte el paso a las ondas depende desu tamaño frente a la longitud de onday a la distancia al objeto. La aplicacióndel principio de Huygens explica quemuy cerca del escollo se note la falta

de la onda secundaria que el obstáculo no permitió que pasara en el puntodonde se encuentra. También es lógico pensar que en puntos más aleja-dos la falta de ese pequeño aporte no se note frente a la gran cantidad depequeños efectos que suministran el resto de los puntos contiguos al delobstáculo. Por ejemplo, un poste clavado en el agua cerca de la orilla ex-tiende su efecto poco más allá del lugar y no produce efectos apreciablesen las olas que llegan a la costa. En cambio un muelle flotante de exten-sión y calado mucho mayores, protege de las olas al barco amarrado y a lacosta próxima.

DIFRACCIÓNDifracción creada por orificios y ranurasCuando una onda pasa a través de orificios o ranuras de dimensiones va-rias veces superiores a las de la longitud de onda (por ejemplo algunascentésimas de milímetro en el caso de la luz) se produce un efecto llamadodifracción. Por ejemplo en una pantalla detrás de un agujero pequeñoiluminado aparece una mancha brillante central bordeada de una franjaoscura y un anillo iluminado. Es la misma imagen que se ve en un telesco-pio de una estrella lejana, producida por la concentración de los rayos pa-

24

Como las franjas están muy aproximadamente igualmente espaciadas entre sí, en realidadse mide la distancia que ocupan varias franjas, por ejemplo diez o veinte, y se divide por eldoble de ese número para obtener la distancia entre una zona clara y otra oscura.

muelle flotante

poste

costa

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ralelos en el foco del objetivo. Se explica esta figura considerando que elagujero limita un frente de onda que está formado por muchos elementosque emiten cada uno de ellos una onda secundaria: la interferencia de es-tos efectos secundarios produce el anillo alrededor de la mancha brillantecentral. (En realidad se trata de una serie de anillos de brillo decrecientecon el diámetro, de los cuales normalmente se nota claramente el prime-ro). Gracias a este fenómeno de difracción podemos "ver" una estrella, quees un punto luminoso sin extensión: No parece posible apreciar objetossin extensión (de dimensión nula) ni con la vista ni con otro instrumento dedetección. Sin embargo la vista lo puede: la imagen de un punto luminosose transforma en la retina de nuestro ojo en una mancha de difracción ex-tensa y por lo tanto visible.

La explicación del fenómeno de difracción causado por rendijas u orificios deun tamaño mediano, se comprende admitiendo que la parte de la onda que deja libre el agu-jero en cuestión emite varias ondas secundarias que inter-fieren entre sí. Podríamos pues considerar una rendija detamaño mediano como una doble rendija sin el tabique deseparación entre ambas. En efecto, los aportes de cadarendija sobre un punto de la pantalla se pueden repre-sentar por vectores elementales con una cierta diferenciade fase, dependiendo ésta de la diferencia de camino conrespecto a cada rendija. Ahora bien, suponiendo que sequitara el tabique central que separa ambas rendijas, esta-ríamos permitiendo el aporte de zonas intermedias, quellegarían con diferencias de fase también intermedias conrespecto a las extremas. El resultado es que, por ejemplo,cuando para dos rendijas se produce anulación sobre unpunto de la pantalla, si quitamos el tabique, se agreganentre los vectores extremos en oposición de fase una seriede aportes intermedios que transforman la ida y vuelta (deresultante nula) en una poligonal abierta (de resultante nonula). Esa poligonal pasa a ser arco en cuánto hagamosun análisis infinitesimal tomando un número cada vez mayor de zonas intermedias cuyosaportes serán cada vez menores. El arco, siempre de la misma longitud, se cierra en circun-ferencia completa cuando los aportes extremos están en fase, o sea que la diferencia de ca-minos es un número entero de longitudes de onda. Es decir que la condición de máximo parados rendijas se transforma en anulación si eliminamos la zona de tabique intermedia. Aleján-donos del punto de esa primera anulación, se obtienen nuevamente amplitudes crecientes,hasta que el aporte de todas las zonas puede representarse con un arco de la misma longi-tud, pero enroscado una vuelta y media. Una nueva anulación se produce cuando la diferen-cia de camino entre extremos de rendida es del doble de la longitud de onda. En ese caso elarco se enrosca dos veces sobre si mismo. El resultado sobre la pantalla es una zona bri-llante central que se va desvaneciendo, y reaparece luego con menor intensidad para volvera extinguirse. Los sucesivos anillos (en el caso de un agujero circular) o franjas (para unarendija larga) cada vez de menor brillo, son difíciles de ver pero existen y se detectan deacuerdo al modelo expuesto, por ejemplo haciendo una fotografía de gran exposición.

todos en fase

1/2 vuelta

1 vuelta(resultante nula)

1 ½ vueltaINTENSIDAD SOBRE LA

PANTALLA

ÓPTICA GENERAL 39

39

Relación entre intensidad y amplitud. La amplitud de las ondas está relacionadacon la energía que portan. Para hacer oscilar una partícula de un medio elástico hay quedesplazarla de su posición de equilibrio venciendo una fuerza que en general depende de ladistancia al punto de equilibrio (elongación). El trabajo necesario para iniciar tal movimientoes la medida de la energía vibratoria de la partícula y viene medido por el producto de fuerzaaplicada y distancia. Como aquélla depende de ésta, el producto la contendrá dos veces, esdecir que la energía dependerá de la distancia elevada a una potencia superior a la unidad.Si la masa está unida a un resorte al que hay que aplicar una fuerza proporcional a su elon-gación, entonces la energía dependerá de esa elongación al cuadrado (que es el caso máscomún). Por ese motivo, la energía de una onda está relacionada en general con el cuadradode su amplitud: aumentando la amplitud al doble, la energía crecerá cuatro veces. La luz noescapa a esta regla: la intensidad percibida es una medida de la potencia de la radiación quenos llega y depende del cuadrado de la elongación o amplitud de su correspondiente vibra-ción. Cuando analizamos, por ejemplo, que la relación entre amplitudes de las franjas deinterferencia central y la de la zona que corresponde al máximo siguiente (1½ vueltas) es de1/(3π/2) = 0,212 no debemos suponer que las intensidades respectivas están en la mismarelación, sino que vale el cuadrado de este valor. Así, si la mancha central tiene una intensi-dad evaluada en 1, la primera franja tendrá una intensidad (0,212)2=0,0449 o sea menos deun 5% del brillo de la central. Por eso es casi imperceptible a los ojos.

Color y longitud de ondaHasta ahora estudiamos los fenómenos ópticos con un modelo ondulatorioen el que el rayo poseía longitud de onda única, o mejor dicho, se repre-sentaba a la luz como una radiación simple. Pero ocurre que la luz blanca,como la que producen las fuentes más comunes (sol, llamas, lámparas deincandescencia) puede considerarse formada por una infinita cantidad deradiaciones de todas las longitudes de onda dentro del intervalo que vadesde el rojo oscuro (0,8 µµm) hasta el violeta oscuro (0,4 µµm), sin soluciónde continuidad y con una intensidad aproximadamente constante. Cadarayo de determinada longitud de onda produce una determinada sensaciónde color en nuestra vista. Se puede aproximar a una luz prácticamentemonocromática la que emite el vapor de sodio, o la que emerge despuésde hacer pasar luz blanca a través de una serie de filtros que van retenien-do las radiaciones que salen afuera de un estrecho intervalo de longitud deonda. Como los rayos, independientemente de su longitud de onda, tienenen el vacío todos la misma velocidad, no hay inconvenientes en represen-tarse un rayo de luz blanca o policromática de la manera anterior: unasuperposición de rayos de distintos colores. ¿Qué pasará en un medio re-fringente, como el agua o el vidrio?. Sabemos que allí la velocidad crececon la longitud de onda y los rayos rojos de un haz de luz blanca se mue-ven más rápido que los violeta, así que éstos se refractarán más queaquéllos cuando el rayo blanco incida sesgado en una superficie refrin-gente. También es de esperar que el rayo blanco no solo se desdoble en elespacio sino también en el tiempo, es decir que su parte roja “vaya ade-lante” y se distancie de su parte azul dentro del vidrio. En cierto modo laluz blanca dentro del vidrio se disgrega igual que un pelotón de ciclistas

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DESCOMPOSICIÓN DE LA LUZ SOLAR

VIOLETA

ROJO

EN UNA GOTA DE LLUVIA

ROJO

VIOLETA

DESCOMPOSICIÓN DE LUZSOLAR EN UNA GOTA

en el embalaje final, perdiendo así su parte más avanzada el carácter deblancura o policromatismo25.

Temas complementarios

EspectrosCuando una onda formada porvarias radiaciones simples (mo-nocromáticas) sufre refracción odifracción, se descompone en lasradiaciones que la forman dandoorigen a lo que se llama un es-pectro. El espectro de una radia-ción compuesta es una figuradonde aparecen las radiacionessimples que la componen con suintensidad, distribuidas según sufrecuencia. Todos conocemos elarco iris: es un espectro de la luzsolar descompuesta al refractarse

en las gotas de lluvia.

Los espectros pueden ser de emisión o de absorción, según provengan de radiación emitidao absorbida por la materia .

También se clasifican según su estructura en:

a) Continuos, como el arco iris, cuando provienen de la descomposición de una radiacióncompuesta por ondas cuyas frecuencias forman un intervalo sin solución de continuidad.Como se verá en el capítulo de radiación térmica, los cuerpos calientes son fuentes deradiación de espectro continuo (radiación de temperatura).

b) De bandas, cuando están formados por pedazos de espectros continuos separados porzonas oscuras. Pueden producirse al pasar luz por medios que absorben radiación dedeterminadas frecuencias, que al no integrar la luz emergente dejan oscuro el intervalocorrespondiente del espectro.

25

El tratamiento matemático revela que un grupo de ondas de diferente velocidad en un me-dio que no sea el vacío, se caracteriza por esas velocidades v de fase , diferentes paracada onda del grupo, y además por la velocidad u del grupo, tomado como “pelotón”. Larelación entre ambas es :u = v -λλ .dn/dλλ , es decir que en la generalidad de los casos la velo-cidad de grupo es menor que la de fase más rápida, (medios en los que el índice de refrac-ción crece con la longitud de onda, dn/dλ > 0 , como la luz en el vidrio). Sin embargo, haycasos en que el índice de refracción disminuye con la longitud de onda (rayos X en el vidrio,dn/dλ < 0), presentándose entonces el curioso fenómeno de que la velocidad de grupo essuperior a la de fase, es decir que el grupo de ondas se adelanta a sus propios componentes.Así se puede dar el caso de que un grupo de ondas de rayos X en el vidrio tenga mayor velo-cidad que la de la luz en el vacío, planteándose así una aparente contradicción con el postu-lado relativista que considera que energía o información no pueden viajar más rápido que laluz.

ÓPTICA GENERAL 41

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c) De rayas, cuando las radiaciones constitutivas son monocromáticas en número discreto,como la luz emitida por un tubo de neón (radiación atómica).

Rayas de FraunhoferSi se observa con atención el espectro solar y los de otros cuerpos celestes con luzpropia, se observan una serie de rayas negras distribuídas sobre la banda colorea-da. El físico alemán Fraunhofer, en 1814 detectó y catalogó más de 500 de ellas enel espectro solar. La ubicación de las rayas negras en los espectros estelares coin-ciden con las rayas brillantes de los espectros de emisión atómica de los elementospresentes en sus atmósferas, los que por estar más fríos que la fuente, absorbenen la misma frecuencia que emiten cuando están excitados. En el espectro solar esfácil ver las rayas negras del sodio (en el amarillo), la del helio (en el verde), las delhidrógeno (en el azul), etc. Fraunhofer llamó a las más notables con letras de la A ala G

Redes de difracciónLas redes de difracción son dispositivos que sirven para producir espectros dedifracción más intensos que los de una simple ranura. Se basan en la acción con-junta de una gran cantidad de ranuras estrechas que suman o potencian sus

efectos de difracción en la forma que se explicará.

Redes: Se forma una red de difracción de transmisión (o transparencia) rayandoun vidrio o película transparente a la radiación con una gran cantidad de trazosparalelos muy juntos (algunas decenas por mm) de ancho uniforme b a igual dis-tancia a por los que no pasa la luz, separados por zonas lisas de ancho (a-b) porlas que la radiación se transmite a través de la película. El rayo incidente en el sur-co se refleja en gran parte y el resto se refracta en otra dirección que la de los ra-yos que pasan por las zonas lisas. Así el surco constituye un obstáculo equivalentea una barra que, sin llegar a ser opaca, es mucho menos transmisora de luz. A ladistancia a se la llama constante de la red. Su inversa es la cantidad de rayas porunidad de longitud.

a

b

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Funcionamiento: El efecto de una red se com-prende a partir de la difracción producida por ca-da una de las rendijas cuyo efecto individual yavimos y supondremos conocido por el lector. Losaportes de varias rendijas en una dirección desalida caracterizada por el ángulo α , se sumanvectorialmente como indica la figura que repre-senta una de tres rendijas. Consideremos inci-dencia normal al plano de la red. Así resulta:φφ1/x1=2.π/λπ/λ de donde φφ1=2.π/λπ/λ.x1 y también

φφ2=2.π/λπ/λ.x2

x1=(a-b).sen(αα) ; x2= b.sen(αα)

φφ1=2.π/λπ/λ.(a-b).sen(αα) y también

φφ2=2.π/λπ/λ.b.sen(αα)

El vector amplitud aportado por cada rendija tieneuna intensidad igual a la cuerda del arco correspondiente a φφ1 o sea 2.r.sen(φφ1/2) y su argu-

mento es φφ1/2 . Cada aporte tiene un valor vectorial Ai de manera que:

A1 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [φφ1/2]

A2 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [(φφ1/2)+φφ1+φφ2]

A3 = módulo 2.r.sen(φφ1/2), argumento [(φφ1/2)+2(φφ1+φφ2)]

La suma vectorial A1+A2+A3 es la amplitud Aαα para la dirección α considerada.

Red de N rendijas: Para una red de N rendijas podemos generalizar el resultado diciendoque el módulo se mantiene y los argumentos suce-sivos forman una serie cuyo último término es[(φφ11/2/2)+(+(N-1)(φ)(φ11+φ+φ22) ) ]

Si nos fijamos en la figura vemos que la resultantees equivalente a la de tres fuentes sincrónicas sim-ples (tipo Young) separadas por una distancia a ,cada una de ellas con un módulo Ai correspondiente

a la de una ranura de ancho finito (a-b). Se com-prende que el fenómeno es equivalente a una multi-plicación de ambos efectos (el de las N fuentes y elde una ranura), de manera que basta que uno solode ellos sea nulo para que la amplitud del otro re-sulte multiplicada por cero cuando dan el efectoresultante.

x1x2

b

(a-b)

PRINCIPIO DE LA RED DE DIFRACCIÓN

φ1

φ2φ1

φ2

φ1 Aα

A1

A2A3

ÓPTICA GENERAL 43

43

En particular el fenómeno de N fuentes sincrónicas se traduce en una poligonal de lado Aque puede ser abierta o cerrada. Si tomamos la de N=4 veremos que la primera configura-ción abierta máxima posible es una línea recta de longitud 4A con desfasaje nulo entre cadalado. Podemos formar con esos cuatro lados un cuadrado (polígono cerrado con lados a120º), que es la primera configuración cerrada (resultante nula) que obtendremos al ir au-mentando paulatinamente el desfasaje. La segunda configuración con resultante nula se ob-tiene con un desfasaje entre lados de 180º. Entre ambas se pasa (aumentando gradualmenteel ángulo) por un máximo relativo de resultante próxima al valor A con un desfasaje de 135ºentre componentes. Luego se llega otra vez a resultante nula con un desfasaje de 180º. Lapróxima configuración nula es para desfasaje = 270º, pero se pasa antes por un máximo re-lativo de amplitud del orden de a para desfasaje cercano a 225º. Con 360º de desfasaje seobtiene un máximo absoluto de amplitud 4A y argumento 0º. En general puede demostrarseque para N lados se obtienen una serie de N-2 máximos relativos de amplitudes bastante

menores y N-1 anulaciones o ceros entre dos máximos absolutos de amplitud NA . El cua-drado de esta variación de amplitud es la intensidad del sistema de fuentes sincrónicas, quequeda modulada por la intensidad propia de la rendija de ancho (a-b) que como se sabe es

una función del tipo sen2(∆φ∆φ/2)/(∆φ∆φ/2)2 . En la figura se ha dibujado la intensidad debida acuatro fuentes sincrónicas y el efecto de modulación ejercido sobre ellas por la intensidad deuna rendija.

Máximos y mínimos del espectro creado por una red: El sistema de fuentes sincrónicasequidistantes tiene máximos absolutos o principales cuando (x1+x2)= a.sen(αα) = k.λλ , para

k=1,2,3... y (N-1) ceros (mal llamados mínimos en algunos libros) entre dos máximos abso-lutos, lo que puede ponerse como:(x1+x2) = a.sen(αα) = (k.N+1).λλ /N El valor del entero k es el orden del espectro. Por supuesto quesen (a)<= 1 por lo tanto k<=a/λλ .

Por ejemplo en una red de 100 líneas por mm ¿cual es el orden de espectro mayor posiblepara luz blanca?

a=0,01 mm-1 .Tomando el rojo (λλ=0,4µµm) como radiación más desviada será

∆φ=0

∆φ=90

∆φ=135

∆φ=180

∆φ=225

∆φ=270

∆φ=360

A

∆φ

π π-4 -2 0 2 4π π

A

∆φ

π π-4 -2 0 2 4π π

6

6 π

π

π

π-6

-6

ÓPTICA GENERAL 44

44

kmáx=int(a/λλ)=int(0,01x103/0,4)=2

Para la rendija de ancho (a-b) los ceros se producen cuando x1 = (a-b).sen(αα) =k'.λ λ (k'=entero)

Entonces en una red no habrá máximos principales cuando k'=(a-b)sen(αα)/λ λ a pesar deexistir la condición de máximo k=a.sen(αα)/λλ , es decir que para relaciones k/k' = a/(a-b) denúmeros enteros faltará el espectro de orden k

Por ejemplo para la red de cuatro rendijas de la figura no existe espectro de tercer orden.Esto significa que k/k´=3/1 , pero 3/1=6/2=9/3=a/(a-b), es decir que cuando la parte opaca dela red tenga un ancho de la tercera parte de la distancia entre trazos, no aparecerán los es-pectros de órdenes tercero, sexto, noveno, etc.

Fabricación: Se pueden construir redes de difracción colocando alambres muy finos equi-distantes y paralelos en una abertura, como un enrejado. También rayando un vidrio con unapunta fina de diamante. Las redes de este último tipo pueden servir como matriz para produ-cir redes más baratas y menos durables estampándolas sobre gelatina que luego endurece yreproduce el mismo dibujo pero con montañas en vez de surcos opacos. También se cons-truye una red fácilmente tomando una foto a una distancia conveniente de una serie de trazosnegros dibujados sobre un papel blanco. Con este método del dibujo también se construyenorificios pequeños y rendijas estrechas para estudiar la difracción

Espectros de redes yde prismasEn los espectros producidospor las redes de difracción,el seno del ángulo α dedesviación es proporcional ala longitud de onda, lo cualpermite medirla mirando elcolor correspondiente sobrela graduación en la regla ycalculando al conocertg(αα)=h/d.En cambio en los prismas desustancias refringentes, amayor longitud de onda me-nor es la desviación, y lafunción que relaciona ambasno es simple. Por ejemplo laparte violeta de un espectrode prisma es mucho másextensa que la roja. Los

espectroscopios de prisma poseen una graduación o escala que se ve superpuesta al espec-tro y que se calibra con las rayas características de espectros de emisión de elementos co-nocidos.

Redes de reflexiónAdemás de las redes de difracción por transmisión se pueden fabricar redes que funcionanpor reflexión, rayando un espejo metálico con trazos paralelos. La onda reflejada se comporta

rojo

violeta

prisma

red

espectro de primer orden

espectro de primer orden

espectro de segundo ordenespectro de tercer orden

espectro de segundo ordenespectro de tercer orden

r

v

violeta

rojo

DESCOMPOSICIÓN DE LA LUZ BLANCA POR DISPERSIÓN EN UNA RED

Y POR REFRACCIÓN EN UN PRISMA

franja blanca central

regla

regla

colimador

h d

ÓPTICA GENERAL 45

45

como la que pasa por una red de transparencia. Las redes de reflexión no filtran ningunaradiación, no así las que tienen como soporte materiales refringentes como el vidrio, opacopara los rayos ultravioleta o los infrarrojos.

Dispersión y poder separador de una redInteresa que los dispositivos para producir espectros destinados al análisis de radiacionescompuestas tengan una dispersión adecuada al intervalo investigado y además puedan sepa-rar dos rayas de frecuencias muy próximas. La primera cualidad se mide por el coeficiente dedispersión angular dαα/dλλ . El poder de resolución entre dos rayas de longitudes de onda λλ yλ+λ+dλλ tiene una medida adecuada en el cociente λ/λ/dλλ , siendo dλλ el intervalo de longitud deonda que puede distinguirse con la vista entre los dos máximos.

Dispersión angular: Puesto que para un máximo es sen(αα)=k.λλ /a , diferenciando esta ex-presión es cos(αα).dαα = k/a.dλλ o sea dαα/dλλ=k/a/cos(αα)

Se ve que la dispersiónangular depende solamentede a , que es la distanciaentre dos trazos (constantede la red)

Poder separador: Dos ra-diaciones de frecuenciasmuy próximas producen alpasar por un dispositivo deanálisis espectral dos fran-jas sobre una pantalla quese distinguirán una de laotra en la medida que susmáximos estén separadospor una zona de menorbrillo que contraste lo sufi-ciente como para diferen-ciarse de aquellos.La vista puede distinguir

diferencias de brillo o luminosidad del 20%, o sea que para que dos máximos puedan verseseparados deben tener un brillo Io igual a 1,2 veces el de la zona que los separa, de intensi-dad I. Traducidas estas cifras de brillo o intensidad a amplitud a través de la relación cuadrá-tica que vincula a ambas, podemos poner que:(Io/I)=1,2=(Ao/A)2 de donde A = 0,91 Ao y también I = 0,83 Io

Se toma como criterio práctico lo que se observa en la figura anterior, en la que I=0,8 Iocuando el máximo de una curva coincide con el mínimo de la otra: en tal caso se puedendistinguir los dos máximos separados.

Para un máximo absoluto de orden k vale sen(αα)=k.λλ /a

El mínimo próximo a dicho máximo se debe encontrar, según dijimos, en la dirección(αα+dαα) es decir que sen(αα+dαα)=( kN+1).λλ /N/a

Io

Influencia de la separación de los máximos en elpoder de resolución de una red

IoI

I

ÓPTICA GENERAL 46

46

Haciendo d(sen(αα))=sen(αα+dαα)-sen(αα)=cos(αα).d(αα)=(kN+1).λλ /N/a-k.λλ /a=λλ /a/N por lo qued(αα)=λλ /a/N/cos(αα) ;

Utilizando la fórmula de la dispersión angular dαα/dλλ=k/a/cos(αα) hallada antes, esdλλ=[dλ/λ/dαα]..d(αα)=a.cos(αα)/k.λλ /a/N/cos(αα)=λλ /k/N

Es decir que el poder separador λλ /dλλ es proporcional al número total de rayas de la red y alorden del espectro.

Ejemplo: El sodio emite luz amarilla que está formada por dos emisiones próximas de longi-tudes de onda 5890Å y 5896Å .¿Se podrá separarlas con una red de N=1000 líneas cona=2µµm en un espectro de primer orden?

El dλλ debe ser inferior a 5896-5890=6Ådλλ=λλ /k/N=5900Å/1/1000=5,9 : está justo en el límite de resolución.

¿Qué diferencia angular habrá entre las dos líneas?Para λλ=0,5896 µµm es sen(α+δαα+δα))=λλ1/a=0,5896/2 de donde αα+δαδα=17,1455º

para λλ=0,5890 µµm es sen(a)=λλ2/a=0,5890/2 de donde αα=17,1276º

δαδα=0,0179º

Si se pudiera proyectar las rayas sobre una pantalla a 5 m de distancia, se verían a una dis-tancia de 1,542 m y 1,5408 m de la raya central, es decir estarían separadas por un pocomás de 1 mm.

Interferencia creada por películas delgadas. Todos vimos el aspecto de las manchas de aceite en el pavi-mento un día de lluvia: unas líneas cerradas de brillantes colo-res. Sobre el pavimento húmedo el aceite flota en el agua,extendiéndose en capas muy finas, de espesor del orden deltamaño de las moléculas. Pues bien, este efecto, como tam-bién el de las coloraciones que presentan las delgadas pare-des de las pompas de jabón, se explican por la interferenciaentre dos rayos de luz blancos que recorren caminos diferen-tes: uno a través de la película y el otro fuera de ella. Según lafigura, el rayo Nº2 incide sobre el rayo Nº1, que sale despuésde haber penetrado en la capa de aceite, y haberse reflejadoparcialmente en el agua. El efecto de ambos rayos (1+2) apartir del punto de salida B presenta al observador el colorcorrespondiente a la longitud de onda que resulta reforzadapor interferencia constructiva entre ambos rayos

26.

26 Esa diferencia de caminos debe considerarse medida en longitudes de onda, y no es igual ala diferencia geométrica entre la longitud del segmento AB y la poligonal CDB , ya que en elrecorrido AB por el aire la luz es más rápida que dentro del aceite (recorrido CDB).Además debe tenerse en cuenta en el cálculo del desfasaje, que el rayo Nº2 cambia de fase180º después de la reflexión en B, por ser el aceite más denso que el aire, de la misma mane-ra que una onda mecánica cambia de fase al reflejarse en un medio más denso (por ejemplouna cuerda con un extremo fijo).

1

2

AGUA

ACEITE

AB

C

D

frente de onda

1+2

e

observador

PAVIMENTO

ÓPTICA GENERAL 47

47

Cara semiplateadaRayo I

Rayo II

observador

INTERFERÓMETRO DEMICHELSON

aspecto de los anillos

espejo desplazablecon tornillo

micrométrico

espejo fijo albastidor del aparato

lámpara confiltro

monocromador

Interferometría de MichelsonEs la que se produce entre dos rayos provenientes de fuentes sincrónicas que recorren dife-rentes caminos. El célebre interferómetro de Michelson se basa en este principio para detec-tar pequeñisismas diferencias de longitud entre sus brazos. Fue usado uno de grandes di-mensiones para verificar si la luz es o no arrastrada por el éter.Así funciona: Un rayo monocromático proveniente de una fuente se desdobla en dos rayossecundarios (rayos I y II) mediante un espejo semitransparente colocado a 45º con respecto ala dirección del rayo principal. Los rayos secundarios I y II recorren caminos perpendicularesde ida y vuelta, reflejándose en sendos espejos perpendiculares, y se reúnen nuevamente enel punto de partida sobre el espejo semitransparente. Desde allí siguen juntos hasta el ojo delobservador. Uno de los espejos (cualquiera de los dos) tiene un movimiento micrométrico, demanera de poder variara voluntad la relaciónde caminos entre losdos rayos. Si los cami-nos se diferencian enun número impar desemilongitudes de on-da, los rayos al juntarseinterfieren negativa-mente. Cuando lafuente de luz no espuntual sino extensa, lainterferencia que seobserva consiste enuna serie de anillosluminosos concéntricos,separados por franjasoscuras: Los anilloscambian de diámetro amedida que la diferen-cia de camino de losdos rayos varía (moviendo el tornillo). Una franja oscura es reemplazada por otra brillantecuando una de las ramas cambia su longitud en un cuarto longitud de onda con respecto a laotra.

¿Por qué en general se ven ani-llos en el caso de una fuenteextensa? : He aquí la explicación:El observador ve dos imágenessuperpuestas de la fuente (que deordinario consiste en una lámparacon un filtro esmerilado). Puedeentenderse que si esas imágenesvirtuales están a distinta distancia,cosa que en general ocurre, yaque es difícil regular los brazos ala misma longitud, los rayos quealcancen al observador sobre uncono de ángulo α interferirán, dan-do un máximo si la diferencia de

camino es un número entero de longitudes de onda, y habrá anulación para direcciones que

αα

d d/cosαα

fuente I

fuente II

observador

r

Condición para anillo brillante nλ=d/[1-(r/L)2]1/2

L

ÓPTICA GENERAL 48

48

importen una diferencia de camino de un número impar de semilongitudes de onda. En lafigura, para el radio del anillo brillante r/L=sen(α)α) debe ser la diferencia de camino para esadirección αα un número entero n de longitudes de onda, o sea nλλ= d/cos(α)α).

De ambas sale que: 1-d2/λλ2n2=(r/L)2=sen2(αα) o también r=L[1-d2/λλ2n2]1/2 . Si d=0 (las dosimágenes de la fuente se superponen exactamente) es sen(αα)=1 de donde αα=90º y tambiénr=L , vale decir que se ve un plano iluminado sin anillos oscuros.

Experimento de Michelson y Morley.A fines del siglo XIX los físicos creían en la existencia del éter, ese medio sutil y a la vez tre-mendamente elástico, capaz de transmitir perturbaciones a enorme velocidad. Si el universoestaba inmerso en un mar de éter, era lógico plantearse cómo se movía la tierra con respectoa ese medio. Michelson ideó una experiencia para poner de manifiesto el “viento de éter”que soplaría sobre un observador en movimiento. Si se consideraba que el éter estaría“quieto” con respecto al universo, la velocidad del viento de éter mediría la velocidad absolutade traslación del observador. Así pensó que su interferómetro colocado en una corriente deéter, la detectaría a través de la diferencia de camino que recorrerían el rayo que tiene ladirección de la velocidad de esa corriente, y el rayo que corre perpendicular a aquél.Para el dibujo adjunto, sea v la velocidad del aparato con respecto al éter (contraria a la velo-cidad del viento), y c la velocidad de la luz con respecto al éter. Mientras el rayo perpendicu-

lar a la dirección de vva y viene al espejo 1 ,transcurre un tiempo t1y en ese lapso el es-pejo a 45º se movió untrecho de longitud v.t1.El camino que sigue elrayo 1 es la suma delas dos hipotenusasiguales (línea roja pun-teada).Así podemos poner queese camino tiene unalongitud:

[v2.t12+4.ll2]1/2

y el tiempo t1 es igual aesa longitud divido lavelocidad c del rayo,

así que:

t1=[v2.t12+4.ll2]1/2/c

de donde c2.t12=v2.t1

2+4.ll2 y también

t12(c2-v2)=4.ll2 , y por fin resulta:

t1=2ll/(c2-v2)1/2

Esta expresión puede ponerse en forma más útil, dividiendo numerador y denominador por lavelocidad de la luz, c:

t1=2ll/c/(12-[v/c]2)1/2

V

v.t1

INTERFERÓMETRO EN MOVIMIENTO a velocidad v con respecto al éter

ll

espejo 1

espejo 2

observador

ÓPTICA GENERAL 49

49

El rayo que tiene la dirección de v va y vuelve desde el espejo a 45º hasta el espejo 2 que

también está a la distancia ll del primero. Para cubrir ese camino de ida y vuelta de longitud l

emplea otro tiempo t2 que supondremos diferente a t1, ya que el aparato está en movimiento:t2 será la suma del tiempo de ida en contra del viento, a la velocidad c-v , más el tiempo devuelta a favor del viento, a la velocidad c+v, es decir

t2=ll/(c-v)+ll/(c+v)=2llc/(c2-v2) = 2ll/c/(1-[v/c]2)A la relación entre velocidad del aparato y velocidad de la luz se la designa universalmentecon la letra griega “beta” Así es β=v/c y entonces:t1=2l/c/(1-ββ2)1/2

t2=2l/c/(1-ββ2)Calculando la relación entre t1 y t2, se tiene t1/t2=(1-ββ2)-1/2 que es mayor que la unidad. Es

decir que t1>t2, salvo en el caso que elaparato este quieto, o sea que v=0. Sólo enese caso es t1=t2

Ahora bien, dado que es muy difícil cons-truir un aparato de brazos exactamenteiguales, para el cual se vería interferenciaconstructiva (luz) para el caso de velocidadde traslación nula (v=0), Michelson conside-ró que, lejos de ser un inconveniente, unapequeña diferencia entre ellos daría unafigura de anillos que podría compararseinmediatamente con la que surge de rotar el

aparato 90º. En tales condiciones, se permutarían los caminos 1 por los 2 y los anillos cam-biarían de lugar, de haber como se suponía, una diferencia de recorridos.Un corrimiento de ¼ de franja es perfectamente apreciable, así que la diferencia de recorri-dos podía ser del orden de la cuarta parte de la longitud de onda de la luz empleada. Con luzamarilla , de λλ=0,5.10-6m, debe ser c(t1-t2)=1,25.10-7

Ahora bien , siendo c(t1-t2)=2l.[1/(1-ββ22)-1/(1-ββ2)1/2]≈≈l.ββ2

De esta última expresión deducimos la longitud de los brazos del interferómetro que puededetectar una relación de velocidades ββ dada:l=1,25.10-7/ββ2

Se presenta ahora la cuestión de estimar el valor de la relación de velocidades ββ=v/c quesería probable encontrar en un laboratorio terrestre. Michelson razonó que la velocidad detraslación de la tierra alrededor del sol en algún momento sería contraria o a favor del éterfijo. Como se sabe, la tierra gira alrededor del sol cubriendo una órbita aproximadamentecircular de una longitud de 960 millones de kilómetros por año. Esto nos da una velocidadpromedio de v=960x109 /(365.24.3600)= 30441 m/s con lo cual, para c=3.108 m/s resulta:ββ = 30441/3.108 = 0,0001ββ2=10-8

l=1,25.10-7/10-8=12,5mConsecuentemente, el aparato construido por Michelson en 1881 tenía brazos de aproxima-damente esa longitud.

Resultado del experimento de Michelson y Morley El esperado corrimiento de franjas al girar el aparato 90º, no se observó en ningún mo-mento, en ninguna época del año, a cualquier altitud sobre el nivel del mar. Era preciso ad-mitir (y explicar) que la diferencia entre t1 y t2 no se producía. Es decir, había que explicar la

v

ÓPTICA GENERAL 50

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igualdad entre los miembros de una expresión que se había planteado inicialmente como

desigualdad, a saber t1≠≠t2Explicación de Anton LorentzNo se puede forzar una desigualdad en igualdad, a menos que cambiemos algo en las fór-mulas. Veamos...la velocidad de la luz es la misma en ambos miembros: no parece tenersentido el asignar a la luz propiedades direccionales, así que c queda igual en ambos miem-bros. Lo mismo pasa con la relación ββ=v/c , que debemos admitir no nula. Lo único que po-dría pasar es que las longitudes l no fueran iguales, en cuyo caso podríamos escribir l1 y l2 ,así:2l1/c/(1-ββ2)1/2=2l2/c/(1-ββ2) y también l1/l2=1/(1-ββ2)1/2>>1 de donde l1>l2Hemos asignado diferentes longitudes a los brazos del interferómetro. Pero ello no respondea la ya conocida dificultad de construir los brazos exactamente iguales: No. No es eso lo quehemos representado al poner l1 y l2. Es algo mucho más significativo. En estas fórmulas lalongitud l1 es siempre la del brazo perpendicular a la velocidad, y l2 es siempre la del brazoen el sentido de la velocidad. Quiere decir que cuando se rota el aparato, las longitudes delos brazos cambian: el brazo más largo (l1) se acorta cuando se lo ubica en contra de la co-rriente.Esta interpretación del resultado del experimento de Michelson fue propuesta a fines del siglopasado por el físico holandés Anton Lorentz. Al principio fue muy criticada. Se dijo que erauna explicación “ad hoc”, (como si las explicaciones no fueran hechas a propósito de algo).Con el tiempo y hasta nuestros días no se encontró nada mejor, y hoy se sigue hablando dela “contracción de Lorentz” como el efecto aparente del movimiento sobre la longitud de loscuerpos.De acuerdo a Lorentz, todos los cuerpos se acortan en el sentido de la velocidad con que semueven. La contracción es imperceptible para velocidades de traslación normales, y aún paragrandes velocidades (aviones, satélites, cohetes). Sólamente algunos cuerpos celestes leja-nos parecen alejarse de nosotros a grandes velocidades, cercanas a la de la luz. En estecaso v/c tiene un valor significativo y la contracción sería apreciable. Sin embargo, la obser-vación directa de cuerpos animados de grandes velocidades no revela contracción debido aque el aspecto visual de un objeto en movimiento tiene información no instantánea de todossus puntos: la luz de las regiones más lejanas del cuerpo llegan después que las más cerca-nas, compensando así una posible visión del acortamiento.

La física electromagnética después de Michelson y laTeoría de la Relatividad de Einstein

La experiencia de Michelson prueba que la velocidad de la luz esconstante para cualquier observador en reposo o movimiento. Es decir quepor medios ópticos no puede detectarse el movimiento del observador conrespecto a algo fijo, como el éter. El hecho que un mismo rayo de luz, porejemplo el proveniente de una estrella lejana, acuse una misma velocidadpara dos observadores distintos con movimiento relativo entre sí, exige nosólo la contracción del espacio sino también que el transcurso del tiempose modifique con la velocidad y sea propio de cada observador algo queLorentz llamó tiempo local. Las fórmulas clásicas de la física de Galileo, enparticular el teorema de adición de velocidades27, no ponen de manifiesto 27 El teorema de adición de velocidades de Galileo, dice que la velocidad absoluta de un sis-tema que se mueve dentro de otro que a su vez se desplaza (por ejemplo si caminamos enun tren en movimiento) es la suma de ambas velocidades. El teorema modificado arroja un

ÓPTICA GENERAL 51

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esta independencia de la velocidad de la luz como constante para cual-quier observador y deben ser cambiadas por otras, numéricamente muyparecidas aunque conceptualmente distintas. La diferencia entre las fór-mulas clásicas (transformaciones de Galileo) y las nuevas fórmulas surgi-das después del experimento de Michelson (transformaciones de Lorentz),reside en el omnipresente término [1/(1-ββ2)1/2] ya visto antes, además de lapresencia de una variable “tiempo” propia para cada observador. Quedeclaro para esta concepción pre-relativista que de ninguna manera la físicaclásica deja de ser válida, sino que el nuevo enfoque es necesario comoun complemento, más que una modificación sustancial, para entenderciertas cuestiones derivadas de la óptica electromagnética.

La posición de Albert Einstein con respecto a este nuevo panorama esfilosóficamente distinta. Para él no se trata de un mero juego de ecuacio-nes que explican con mayor precisión fenómenos finos, sino que las ecua-ciones de Lorentz representan un universo en el que tiempo y espacio de-penden del observador, sin cabida para los conceptos absolutos tradicio-nales. Se apoya en que la física debe basarse exclusivamente en observa-ciones y propiedades de las que se sabe algo con certeza, por ejemplo laconstancia de la velocidad de la luz. Entonces, todas las ecuaciones quecontienen términos absolutos, como velocidad absoluta, o coordenadas ensistemas privilegiados fijos, deben considerarse como asociados a un ob-servador más, que no tiene privilegios, que con su tiempo y su espaciotrata de formular leyes generales aplicables a cualquier sistema. Desde elpunto de vista cuantitativo, la posición de Lorentz o la de Einstein sonequivalentes. Sin embargo, Einstein enriqueció a la física electromagnéticacon la aplicación de nuevas herramientas como el cálculo tensorial (ini-cialmente creado para el representar el estado de tensión y deformaciónen los materiales) y las aplicaciones de modelos con geometrías no eucli-dianas, ambos de moda a fines del siglo pasado. Así es muy elegante yconcisa la formulación de sus “Teorías de la Relatividad general y espe-cial” hechas con el nuevo arsenal matemático, aunque también herméticapara los que no dominan las nuevas técnicas.

resultado menor que la suma. La diferencia en menos es apreciable para velocidades impor-tantes con respecto a la de la luz.

ÓPTICA GENERAL 52

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Polarización de lasondasSi una onda es transversallos puntos del medio vibranteoscilan perpendicularmente ala dirección de propagaciónde la perturbación. Cuando elfenómeno transcurre en elespacio, la vibración puede

ser en cualquiera de las infinitas direcciones sobre el plano perpendicularcoincidente con el frente de onda: por ejemplo una cuerda de guitarrapuede vibrar en dirección arriba/abajo o derecha/izquierda y también endirección oblicua, dependiendo de cómo se la pulse. Diremos que una on-da está polarizada cuando se puede reconocer una dirección fija de vibra-ción. Si en cambio la vibración de cualquiera de los puntos del medio serealiza en una dirección que cambia constantemente, la onda será NO po-larizada.

Las ondas en el agua de pequeña magnitud 28están polarizadas enla dirección arriba/abajo (vertical): no puede haber movimientos hacia loscostados porque son ondas producidas por fuerzas gravitacionales(siempre verticales). En las ondas longitudinales el medio vibra en direc-ción adelante/atrás o sea que no tiene sentido hablar allí de polarización.Son ondas longitudinales las que se producen en los gases (sonido) y enel interior de los cuerpos elásticos.

Para polarizar según una dirección una onda no polarizada, (quevaría constantemente su plano de vibración), se deben eliminar o filtrar losrayos que no tengan la dirección de vibración elegida. En una cuerda vi-brante esto se puede realizar restringiendo la libertad de movimiento de lacuerda con una guía o plantilla como se muestra en la figura.

Polarización de la luzEn al caso de la luz algunos cristales naturales como el cuarzo (SiO2) o laturmalina (SiO2)x(Al2O3)y producen sobre el rayo luminoso un efecto equi-valente al de una plantilla sobre la perturbación de la cuerda: lo polari-zan29. El hecho de que la luz sea polarizable, es decir que adquiera pro-

28

No son un buen ejemplo las grandes olas, en las que el agua se mueve también haciaadelante-atrás, además de arriba-abajo, dando por resultado un movimiento elíptico.29

Estas sustancias son birrefringentes: producen dos rayos refractados por cada rayo inci-dente. Estos rayos refractados están polarizados totalmente en planos perpendiculares. Laturmalina tiene la propiedad adicional de ser dicroica: absorber casi completamente uno deellos, dejando pasar solamente el otro (dicroísmo). El Polaroid (patentado por Poaroid-Land)

sin polarizar

polarizado

amplitud nula

polarizadores cruzados

ÓPTICA GENERAL 53

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î

rrayo refractado polarizado parcialmente

rayo incidente sin polarizar rayo reflejado polarizado totalmente

α=90

î

º

piedades dependientes del plano elegido, indica que es una onda trans-versal. Si un rayo polarizado en un plano se hace pasar por un polarizadordispuesto para que lo oriente en un plano perpendicular, no pasa onda al-guna a través del dispositivo (polarizadores cruzados).

Polarización de la luz por reflexión en dieléctricosLa luz se polariza porreflexión en mediosaisladores como vidrio,agua, superficies pinta-das brillantes, etc. No sepolariza en cambiocuando se refleja enmetales u otras sustan-cias conductoras puli-das. La polarización delrayo refractado es siem-pre parcial, es decir quetiene un plano prefe-

rente de vibración pero no absoluto. El rayo reflejado también se polarizaen general parcialmente. Solamente lo hace totalmente cuando forma conel refractado un ángulo recto.

Es decir que la polarización del rayo reflejado es total (no tiene compo-nentes que vibren en otro plano que el del dibujo) cuando a=90º cumplién-dose entonces la siguiente:

Ley de Brewster: Cuando el índice de refracción es igual a la tangente delángulo de incidencia, el rayo de luz reflejado en una sustancia aisladora estátotalmente polarizado.

En efecto es en la figura: î+r=90º, sen r=sen(90º-i)=cos î ,de donde n= sen î/sen r = sen î/cos î = tg î

La polarización por reflexión en dieléctricos se explica por la naturaleza electromagnéti-ca de la luz, que está formada por ondas transversales de campo eléctrico y magnético per-pendiculares entre sí, y por las reglas de la reflexión y refracción de estos campos. Loscampos de un rayo no polarizado (en negro) cambian permanentemente su plano de vibra-ción, lo que se indica en la figura por la circunferencia en perspectiva (elipse) surcada de

es una sustancia orgánica polarizante dicroica con la que se pintan láminas transparentestransformándolas en polarizadores como un cristal de turmalina.

ÓPTICA GENERAL 54

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radios en todas direcciones. El rayo verde totalmente polarizado presenta su campo eléctricoen el plano del dibujo y el magnético saliendo del papel

30.

¿Cómo puede saberse si un rayo de luz está polarizado total o parcial-mente? La luz polarizada aparece igual a nuestros ojos que la sin polari-zar, como la que proviene directamente de una luminaria cualquiera. Sinembargo un rayo totalmente polarizado en un plano no puede polarizarseen un plano perpendicular (polarizadores cruzados) ya que se extingue.Para saber si un rayo posee algún grado de polarización basta observar sicambia su intensidad al tratar de repolarizarlo según varias direcciones.Esto puede lograrse con una turmalina o con un espejo (de vidrio, no demetal), elemento este que oficia de analizador.

Luz polarizada naturalLos reflejos de superficiesaisladoras brillantes (vidrio,pintura, plásticos, etc.) sonde luz parcialmente pola-rizada, según se explicó.Ello permite atenuarlos ha-ciéndolos pasar por anali-zadores cruzados (atenua-

ción de reflejos en imágenes fotográficas).

También está parcialmente polarizada en un plano vertical la luz diurna dela tarde que proviene del cielo sobre el horizonte norte o sur en atmósferasópticamente no vacías (con polvo o nieblas). Esto se debe a la re-emisiónde luz por las partículas del medio iluminadas por los rayos solares hori-zontales. Por ser la luz una onda transversal, dichos rayos solares tienenun sentido de vibración perpendicular a la dirección del rayo y excitan aátomos y moléculas del medio a vibrar en el mismo plano. El observadorde la figura recibe la re-emisión de esas partículas en forma de luminosi-dad polarizada verticalmente.

30 La polarización de la luz se descubrió antes que el electromagnetismo. Se asignó arbitra-riamente entonces como plano de vibración de la luz polarizada a lo que ahora se sabe quees el plano en que vibra el campo magnético H. El campo eléctrico E vibra en un plano per-pendicular al anterior.

rayo de luz solar (no polarizado)

partícula del medioque vibra en plano vertical y emite

un rayo horizontal polarizado verticalmente

HORIZONTE

ATARDECER EN LA PLAYA Y LUZ POLARIZADA

a

ÍNDICE

GENERALIDADES SOBRE ÓPTICA......................................1

LA LUZ COMO FLUIDO..........................................................1

LA LUZ COMO ONDA.............................................................2

El éter ...................................................................................................... 2

La luz como onda electromagnética ...................................................... 2

La luz como onda y partícula ................................................................. 3

La materia y la onda................................................................................ 3

Las imágenes de la física moderna........................................................ 3

El principio de incertidumbre o indeterminación .................................. 5

El ojo y la visión.................................................................................... 10Constitución del ojo ............................................................................. 11

La refracción de la luz y la teoría del camino más rápido................... 12

La velocidad de la luz ........................................................................... 13

Luz y electromagnetismo ..................................................................... 14Ondas electromagnéticas .................................................................... 15

Experiencia de Hertz........................................................................ 16La velocidad de la luz, constante absoluta ........................................... 16El modelo electromagnético en la física ............................................... 17Modelo de Galileo y Modelo de Einstein. ............................................. 18

PERTURBACIONES Y ONDAS ............................................22

Perturbación.......................................................................................... 22

Propagación de las perturbaciones ......................................................... 22

b

Difusión............................................................................................... 22

Propagación ondulatoria...................................................................... 23

ONDAS.................................................................................. 23Efecto Doppler-Fizeau......................................................................... 24Efecto Doppler-Fizeau para la luz........................................................ 25Perturbaciones elásticas...................................................................... 26

Mecanismo de propagación de las perturbaciones elásticas............. 28

Principio de Huygens ........................................................................... 28Difracción producida por una ranura.................................................... 30Reflexión de las ondas ........................................................................ 30Movimiento oscilatorio de un punto...................................................... 31

Ecuación de la onda ........................................................................ 32Refracción de las ondas ...................................................................... 33

INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN......................................................... 34Interferencia producida por dos rendijas separadas de corta distancia(doble rendija) ..................................................................................... 34Experiencias con una cuba de ondas .................................................. 35Experiencia de Young ......................................................................... 36Efecto de obstáculos a la propagación de ondas ................................. 37

DIFRACCIÓN......................................................................................... 37Difracción creada por orificios y ranuras .............................................. 37Color y longitud de onda...................................................................... 39

Temas complementarios.................................................................. 40Rayas de Fraunhofer ....................................................................... 41

Redes de difracción............................................................................. 41Interferometría de Michelson............................................................ 47Experimento de Michelson y Morley. ................................................ 48La física electromagnética después de Michelson y la...................... 50Teoría de la Relatividad de Einstein ................................................. 50

Polarización de las ondas .................................................................... 52Polarización de la luz .......................................................................... 52

Polarización de la luz por reflexión en dieléctricos............................ 53ÍNDICE .............................................................................................. a

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ÓPTICA GEOMÉTRICA

GeneralidadesLa óptica geométrica es una técnica que se basa en el modelo corpus-cular de Newton, que reconoce que la luz se comporta como un fluidoformado por corpúsculos luminosos de tamaño despreciable frente ala de los objetos involucrados en los fenómenos estudiados1. Esoscorpúsculos portadores del efecto luminoso, brotan de las fuentes siguien-do trayectorias rectas hasta que interactúan con la materia con las mismasleyes de la mecánica que las partículas materiales.

Así la reflexión es equivalente a un choque elástico de las partículascontra una superficie (sin pérdida de energía), la absorción equivale a unchoque inelástico con la materia (con pérdida de energía), la transmisiónequivale a la penetración en el medio, que puede ocurrir con o sin refrac-ción (cambio de dirección en la trayectoria por efecto del medio) y con osin absorción (dependiendo de la transparencia del medio).Para la mayoría de las aplicaciones de óptica importa saber trazar la mar-cha de estas trayectorias, llamadas rayos, desde la fuente a la imagen.

La fuente de los rayos es en general un objeto iluminado o con luz propiadesde donde se comienza el estudio de la trayectoria, y la imagen es ellugar donde se reúnen los rayos en algún punto de su camino, (imagenreal) , o el lugar desde donde parecen provenir (imagen virtual).

Reversibilidad de los caminos ópticosAl igual que para partículas materiales, las trayectorias que siguen los ra-yos luminosos pueden estudiarse prescindiendo de su sentido, es decirque la trayectoria es la misma si la luz va o viene2. Por esta razón se diceque los caminos ópticos son reversibles, y serán los mismos si permuta-

1Si los objetos son muy pequeños, por ejemplo del orden del micrometro, comienzan a apare-

cer fenómenos explicables con la teoría ondulatoria de la luz a través de los modelos conoci-dos como “óptica física”2En el estudio del movimiento de partículas, la variable tiempo, de la que dependen las suce-

sivas posiciones de las partículas, puede variarse en ambos sentidos fin que por eso varíe laforma de la trayectoria. No todos los procesos admiten este principio de reversibilidad en elestudio de sus evoluciones. Las evoluciones de sistemas reales en general exigen que se losestudie con un sentido único de avance en la variable tiempo (Ver el capítulo de Termodiná-mica).

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56

mos el origen de los rayos (la fuente o el objeto) por su destino (general-mente una imagen real).

REFLEXIÓN DE LA LUZ

Así como una bola de billaren su carrera rectilínea rebotasobre la banda lisa de la me-sa, la luz se refleja en super-ficies pulidas3, siguiendo lassiguientes dos leyes:

1. El rayo incidente I, la normal n al plano de reflexión ΠΠ en el punto deincidencia P y el rayo reflejado R, los tres están en un mismo plano ΣΣ

2. El ángulo αα que forma la normal n con el rayo incidente I (ángulo deincidencia) es igual al que forma la normal n con el rayo reflejado R(ángulo de reflexión).

Estas dos leyes permiten predecir el camino de los rayos en la reflexión dela luz.

Espejos planosSi la superficie reflectora es un plano, por reflexión de un objeto se obtieneuna imagen virtual y simétrica con respecto al espejo. Por ejemplo, en lafigura se ve que el rayo reflejado R que sale de la fuente F, parece prove-nir desde un punto F’ detrás del espejo. Ese punto F’ se llama “imagen dela fuente F” , y para el observador se comporta como otra fuente que está“del otro lado del espejo”. Es una imagen virtual porque no es accesible alobservador. Veremos luego que en otro tipo de espejos y en ciertas condi-

3Superficies pulidas significa que poseen irregularidades menores que el tamaño de las par-

tículas luminosas. Considerando que el tamaño de las partículas luminosas de Newton tienenque ver con la longitud de onda de la radiación correspondiente, se puede hablar de ¼ de lalongitud de onda de la radiación de la que se trate. Por ejemplo, para reflejar el amarillo(λ=0,59x10-6m), se necesitará un pulimento que deje irregularidades del orden de 1/8 de mi-crón

O

I

Objeto O e imagen I en un espejo plano

P Q

P’Q’

Representación en el plano de reflexión Σ

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αα αα I

n R

F

F’

ciones se producen imágenes del lado del observador, las que por seraccesibles4 se llaman “imágenes reales”.

Para el estudio de la marcha de los rayos generalmente se trabaja sobre elplano de reflexión Σ como plano de dibujo. En la figura, los extremos dellápiz P y Q tienen imágenes P’ y Q’ que limitan la imagen virtual del lápiz.Cada punto del objeto lápiz tiene un correspondiente punto imagen, cuyoconjunto forma una imagen virtual completa del lápiz.

Reflexión en espejos planosque forman un ángulo diedroSe forman varias imágenes, por refle-xiones sucesivas. En algunos libros fi-gura la siguiente fórmula para hallar lacantidad N de imágenes de un objetocuando el ángulo que forman los espe-jos es α(º):N = INT (360/α360/α) - 1(5)

Por ejemplo, en la figura se ve que dosespejos planos perpendiculares muestranN=(360/90-1)=3 imágenes, además del propio objeto.No siempre se cumple exactamente esta fórmula. Invitamos al lector a in-vestigar sobre la validez de la misma.

Aplicación de propiedades de espejos planos colocados en ángulo:

La escuadra de agrimensorCualquier rayo reflejado sucesivamente en dos espejos planos a 45º for-ma siempre un ángulo de 90º con el incidente.

4Se pueden recoger proyectadas sobre una pantalla.

5La función INT(x) , muy usada en los lenguajes de programación, significa la parte entera de

x

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plomada

Demostración:En la figura, por estarlos espejos a 45º, susnormales también loestán y entonces,considerando el trián-gulo ABC es: α+β = α+β = 45ºConsiderando ahorael triángulo ABD esγ=180º-2(α+β)=90º ,que vale para cual-

quier valor del ángulo de incidencia del rayo sobre el primer espejo

La propiedad enunciada se aplica para definir ángulos rectos sobre un te-rreno plano horizontal mediante un siste-ma de espejos a 45º dispuestos sobre unarmazón y sostenidos mediante un man-go. Este aparato se llama “escuadra dereflexión” o “escuadra óptica de agrimen-sor”

Cómo se procede:El observador sostiene el aparato con elmango en posición vertical (siguiendo laplomada) y observa detrás del aparato elposte rojo de referencia.

El ayudante, sosteniendo verticalmente un poste verde, se va moviendosiguiendo las indicacionesdel observador hasta queéste tiene un panorama co-mo el de la figura: Ve di-rectamente el poste rojosobre y debajo del conjuntode espejos. Al mismo tiem-po ve la imagen del posteverde y al ayudante que losostiene por reflejo en losdos espejos, como se indicaen la figura de la derecha.

α

β

γ

A

B

CD

45º 90º

ayudante conposte verde

observador

poste rojo fijo

espejo Nº 1

espejo Nº2

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Le indica al ayudante que se vaya desplazando hasta que la imagen delposte verde se ubica en línea vertical con el poste rojo.En esas condiciones el poste rojo, la prolongación de la plomada y el posteverde determinan sobre el terreno dos segmentos que están en ángulorecto.

Nótese que aunque se rote el conjunto de los dos espejos con el mangocomo eje vertical, siempre se mantienen perpendiculares los rayos inci-dente y reflejado, es decir γ=90º

Reflexión en superficies de forma cualquieraSea una superficie continua de forma cualquiera y una fuente puntual P: sepueden trazar los rayos reflejados considerando que la superficie está for-mada por mosaicos planos muy pequeños, sobre los que incide y se reflejaun solo rayo. Las normales en el punto de incidencia se indican en rojopunteado. Así se ve que de un punto P se pueden obtener varias imáge-nes P’(virtual), P”(real). También puede ser que las imágenes no conser-ven la forma de los objetos o incluso no haya imágenes en absoluto.

Espejos esféricos de pequeña curvaturaResulta particularmente útil y relativamente sencillo el estudio de la refle-xión de la luz desde el punto de vista de la óptica geométrica en superfi-cies esféricas internas (cóncavas) o externas (convexas). El trazado de lamarcha de los rayos está completamente definido en el caso de espejosesféricos de pequeña curvatura, ya sea cóncavos o convexos. Un espejoesférico de pequeña curvatura posee como superficie reflectora un cas-quete esférico de pequeño radio r comparado con el radio R de la esferaque lo genera. Para fijar ideas numéricamente , un espejo es de pequeñacurvatura cuando el radio de curvatura de la esfera es por lo menos sieteveces el radio del espejo, es decir si R/r ≥ 7Con esta limitación es más fácil el estudio de la reflexión porque así valenciertas simplificaciones que expondremos en seguida.

Espejos cóncavosSe definen en un espejo esférico cóncavo (ver figuras)• El radio R de la esfera generadora del espejo.• El centro B de la superficie reflectora circular de radio r, generada por una

esfera de radio R=AO=BO• El eje principal, que es la normal al espejo que pasa por el centro B. Como

toda normal pasa por el centro de la esfera O

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• La profundidad del “plato” a (flecha correspondiente al arco de círculo que re-presenta al espejo en el dibujo)

• La distancia focal FB , cuyo concepto explicaremos en seguida.

Un rayo incidente paralelo al eje principal se refleja en un punto A del es-pejo formando un ángulo ω con la normal. El rayo reflejado forma con lanormal otro ángulo del mismo valor ω y corta al eje principal en un punto F.En el triángulo isósceles AFO es AF=FO. Podemos imaginarnos el dibujocorrespondiente a un espejo de muy pequeña curvatura, en el que el án-gulo ωω tienda a un valor casi nulo. En tal caso el segmento AF se recuestasobre BF y ambos tienden a superponerse. De tal manera es AF≈≈BF , conlo que BF≈≈FO

Foco principal. Distancia focal:Podemos decir entonces que en un espejo de pequeña curvatura, el puntoF donde se cortan con el eje los rayos reflejados que inciden paralelos al

eje principal, divide al radiode curvatura en dos partesprácticamente iguales. Esepunto F que equidista delespejo y del centro O sellama foco principal delespejo. La distancia f=FBdel foco principal al espejose llama “distancia focal”.

¿Qué error se comete en un es-pejo cóncavo al aproximarBF=AF?. Veamos: La profundidaddel cuenco del espejo es a, talque (R-a)2 + r2 = R2 , es decir R2-2aR+a2+r2=R2 de donde

r

RR=7r

GRAN CURVATURA PEQUEÑA CURVATURA

r

foco secundario

foco principal

plano focal

O

distancia focal

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a2-2Ra+r2=0 De esta ecuación de segundo grado en a se deduce que a1,2=R±±(R2-r2)1/2 .De las dos soluciones elegimos la menor o sea a1=R-(R2-r2)1/2 , que corresponde al casqueteesférico, o sea el espejo

6.

Si R/r=7 es a =7.r-(48)1/2.r = 0,072 r , o sea que la profundidad del “plato” es del orden del 7%

de su radio. El ángulo ω es tal que sen(ω)=r/R o sea que

ω ω = arc sen(1/7) = 8,213ºAdemás es 2.AF.cos(ωω)=R de donde AF=R/cos(ωω)/2=R/cos(8,213º/2) = R/1,9795 = 0,5052.RPor otra parte es BF+FO=R pero como FO=AF esBF=R-AF=0,4948.R , es decir que el error cometido al suponer que AF=BF es de 0,005 en0,5 (1%)

Focos secundarios. Plano focalLos rayos reflejados en un espejo esférico cóncavo de pequeña curvaturaque provengan de un haz de rayos paralelos que formen un cierto ángulocon el eje principal, se cortan en un punto llamado foco secundario. Losdiferentes focos secundarios correspondientes a haces de diferente incli-nación están todos sobre un plano. Dicho plano es perpendicular al ejeprincipal y por supuesto pasa por el foco principal. Se lo llama “plano fo-cal”. Sobre el plano focal se forman las imágenes de objetos muy alejadosdel espejo, como veremos a continuación.

Espejos de gran curvatura - Aberración de esfericidad:En la medida de que un espejo se alejede la condición de pequeña curvatura(R>=7r), se producirá con más notorie-dad un efecto conocido como aberra-ción de esfericidad: Los rayos reflejadosde un haz paralelo no concurren todosa un mismo punto, sino que los que in-ciden en la periferia se cortan con el ejeóptico más cerca del espejo que loscentrales, formando cerca de lo que

sería el foco en un espejo de pequeña curvatura, una superficie puntiagu-da llamada “cáustica”7.

6La otra solución corresponde a la profundidad del resto de la esfera, es decir a2= 2R-a1

7Cáustico (del griego χαυστικε) significa quemante. Si colocamos un papel en la zona de

formación de la cásutica de un espejo cóncavo de gran curvatura colocado al sol, dejará unamarca quemada en él con la forma de la “cáustica”.

ABERRACIÓN DE ESFERICIDAD

cáustica

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Carácter, tamaño y posición de las imágenes en espejosesféricos de pequeña curvatura:Refiriéndonos a la figura, vemos que de un punto cualquiera de los tresobjetos, (se toma el extremo superior de los mismos) se conoce con certe-za el recorrido de cuatro rayos. Con dos de ellos basta para determinar elpunto imagen.

Esos rayos son:1. el que va al centro O de la esfera, que se refleja simétricamente con

respecto al eje principal del espejo2. el que pasa por el centro C del espejo, que se refleja sobre si mismo3. el que pasa por el foco F, que se refleja paralelo al eje principal4. el que incide paralelo al eje principal, que se refleja pasando por el foco

F

Los objetos son los números derechos y con color cargado, y sus respecti-vas imágenes son los números de color diluido. Se reconoce de la figura

que:1. Un objeto (número 1) colocado más allá del centro de la esfera da una

imagen real de menor tamaño e invertida, entre el foco y el centro.2. En virtud del principio de reversibilidad de los caminos ópticos, es su-

perfluo hacer el dibujo con el número 2, porque sabemos que invirtien-do objeto por imagen del número 1 , el camino de los rayos no cambia.Pero de todas maneras, la figura muestra a un objeto (número 2) colo-cado entre centro O y foco F , que da una imagen real de mayor tama-ño e invertida más allá del centro (entre el centro y el infinito). Esa ima-gen es tanto más grande y tanto más lejana cuánto mas cerca del focoesté el objeto.

3. Un objeto (número 3) colocado entre el espejo y el foco da una imagenvirtual (detrás del espejo), de mayor tamaño y derecha, tanto más gran-de y tanto más lejana cuánto más cercano al foco esté el objeto.

F

O real

real

virtual C

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Generalización del estudio de la formación de imágenesen espejos cóncavos esféricos de pequeña curvatura -MappingAcabamos de ver cómo los espejos cóncavos esféricos de pequeña cur-vatura pueden dar dos tipos de imágenes de objetos, según que éstos es-tén entre el espejo y el foco, o entre el foco y el infinito. En el primer casodan imágenes virtuales, del otro lado del espejo. Las imágenes virtualesson derechas y de mayor tamaño que el objeto. En el caso de que el ob-jeto se encuentre más allá del foco, las imágenes correspondientes sonreales e invertidas. Mayores que el objeto cuando éste se encuentra entreel foco y el centro de curvatura y menores cuando el objeto está entre elcentro y el infinito.

En todos los casos los espejos esféricos cóncavos de pequeña curvaturatransforman la geometría del espacio objeto en espacio imagen8 con lassiguientes propiedades:

a) Las rectas del espacio objeto siguen siendo rectas en el espacio ima-gen (sea esta real o virtual)

b) Los ángulos no se conservan. Por ejemplo en la figura un ángulo rectodel cuadrado objeto pasa a ser un ángulo agudo u obtuso del romboideimagen. Sin embargo las rectas perpendiculares al eje principal semantienen con esa misma propiedad a través de la transformación. Las

8En los medios de habla inglesa se llama “mapping” a la transformación de un espacio en

otro.

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O F C

A A’

B

B’

Transformación producida por un espejo convexo

rectas paralelas al eje principal se transforman en rectas que pasan porel foco y viceversa.

c) Las dimensiones no se conservan: pueden ser mayores o menores,según ya se dijo. La escala de los objetos varía, como a través de unaperspectiva

Nótese que en las figuras anteriores se ha dibujado el espejo cóncavo co-mo si fuera un espejo plano. Con este artificio estamos admitiendo de quesu curvatura es despreciable respecto a sus dimensiones y no tenemosque preocuparnos por dibujarlo con la curvatura verdadera que nos daríael centro O (según la línea de raya-punto): En la medida de que el espejotenga una curvatura apreciable en el dibujo, no pasarán por el foco los ra-yos reflejados de los que son paralelos al eje principal. (Origen de las lí-neas cáusticas . Ver aberración de esfericidad)

Espejos convexos:Un espejo esférico convexo está formado por un casquete esférico consu cara convexa reflectora.

Se define en un espejo convexo:1. El centro del espejo C2. El centro de curvatura O de la esfera que lo genera, de radio OC3. El foco F (virtual), que es el lugar de donde parecen provenir los rayos

reflejados de un haz incidente paralelo al eje principal.4. La distancia focal CF

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Con idéntico razonamiento al empleado para los espejos cóncavos, se demuestraque el foco está aproximadamente en la mitad del segmento OC. Es entoncesOF≈FCLa imagen de objetos formada por espejos esféricos convexos de pequeña curva-tura es siempre virtual, y está entre el espejo y el foco F(que también es virtual). Enel dibujo se ve un damero y su imagen. De un punto A se logra la imagen A’ tra-zando dos cualesquiera de los siguientes rayos:

1. El rayo que sale de A hacia el espejo paralelo al eje principal se refleja como siproviniera del foco F

2. El rayo que sale de A hacia el centro del espejo C , que se refleja formando unángulo igual al de incidencia, simétricamente al eje principal. La prolongacióndel rayo reflejado corta al rayo del punto a) en A’ (imagen virtual de A)

3. Un rayo de dirección AF (no dibujado) que se refleja paralelo al eje principal.Su prolongación corta a cualquiera de las prolongaciones de los otros en A’

4. Un rayo AO, que por estar en dirección al centro O se refleja sobre si mismo.Su prolongación determina el punto A’ al cortar la prolongación de cualquierade los otros rayos.

Como se ve en la figura, en los espejos convexos el espacio de los objetos setransforma mediante una perspectiva de escasa profundidad en un espacioimagen virtual entre espejo y foco. Se conservan en la transformación lasrectas y la perpendicularidad al eje principal9.

Fórmulas de los espejos esféricos: Sean y e y’ los tamaños de objeto eimagen, y sean x y x’ sus respectivas distancias al espejo, tratándose deespejos cóncavos. Se verifica por semejanza de triángulos ABC y DECque:y’/y=x’/x 1o sea que el tamaño de la imagenes proporcional a la distancia a laque se forma.Además, por semejanza entretriángulos GCF y EDF resultaGC/DE=FC/FD . Pero CF=f ,GC=y , DE=y’ , FD=x’-f , y enton-ces podemos poner la anteriorrelación así:y/y’=f/(x’-f)

2 9Los espejos convexos usados como retrovisores dan una visión engañosa del camino, de

exagerada perspectiva y poca profundidad. Un vehículo puede estar relativamente cerca pordetrás y nos parece muy lejos, por ser su imagen muy pequeña. En espejos retroscópicosconviene usar los planos o convexos de muy escasa curvatura.

y

y’

C F O

x

x’

f A

B

D

E

G

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De 1 y 2 sale f=(x/x’).(x’-f)=(xx’-fx)/x’ , de dondef(x’+x)=xx’ 3La 3 suele ponerse en la siguiente forma:1

f

1

x

1

x'= +

Esta expresión se debe a Descartes y se conoce bajo el nombre de fór-mula de los focos conjugados.

AplicacionesEjemplo 1: ¿A qué distancia x’ de un espejo cóncavo de f = 0,5 m se forma laimagen de mi cara, que mide y=0,25m, si miro el espejo colocado frente a él ax=0,3 m de distancia? ¿De qué tamaño y’ me veo?

Solución:1/x’=1/f-1/x=(1/0,5)-(1/0,3)=-1,333 de donde x’=-0,75El valor negativo de x´ debe interpretarse de acuerdo a la figura de la que se dedujo la fór-mula de Descartes. En ella se toma como positivas las distancias medidas delante del espejo,o sea que una distancia negativa significa que la imagen se forma detrás del espejo (virtual).

Veamos ahora el tamaño y posición bajo el cual me veo: y’=y.x’/x=0,25x(-0,75)/0,3=-0,625El signo negativo significa imagen derecha (igual posición que el objeto), ya que enla deducción de la fórmula habíamos tomado y’ positivo con imagen invertida.

Respuesta: me veo auna distancia d=x-x’=0,3+0,75=1,05 m ,con un tamaño de0,625 m y derecho. Elángulo bajo el cualveo mi cara será a tal

quetg(αα)=y’/d=0,625/1,05=0,595 , de dondeαα=30,76ºSi hubiera usado unespejo plano, me hu-biera visto a 0,6m dedistancia (más cerca)

con un tamaño de 0,25m , y vería mi cara bajo un ángulo β β =arc tg(0,25/0,6) =22,6º

α ββ

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Ejemplo 2: Se dispone de un telescopio (ver aparatos ópticos) cuyo espejo cón-cavo tiene una distancia focal f=3 m . Se desea fotografiar el sol, para lo cual secoloca un filtro muy oscuro en la marcha de los rayos. La imagen del sol se formaprácticamente en el plano focal del espejo. Allí se coloca una película fotográficaadecuada durante el tiempo necesario para obtener una impresión de esa imagen.Se da como dato que la tierra dista del sol 110 veces el diámetro solar D. ¿Dequé tamaño es la fotografía del sol?Solución: Que la imagen del sol se forma en el foco no hay duda, ya que 1/x’=1/f-1/x , y la distancia x del telescopio al sol es tan grande que 1/x resulta un valordespreciable frente a 1/x’10. Así podemos poner 1/f≈≈1/x’ de donde x’≈≈fTambién, de acuerdo a lo dicho es x=110.D , y=D , y’/y=x’/x de dondey’=D.f/(110.D)=f/110Respuesta: La imagen obtenida es un disco de f/110 = 3/110 = 0,0273 m , o sea27 mm. La foto llena casi completamente una diapositiva de 35 mm. Se puede em-plear un proyector de imágenes (ver aparatos ópticos) y observarla amplificada enuna pantalla.

Espejos parabólicosUna parábola que gira alrededor de sueje genera una superficie llamada “para-boloide”. Un espejo cóncavo en forma deparaboloide cumple exactamente, cual-quiera sea su abertura, sin ningún tipo deaberración de esfericidad, lo que los es-pejos cóncavos esféricos aproximan enla medida de que sean de pequeña cur-vatura, a saber: que los rayos que inci-den paralelamente al eje principal sereflejan pasando por un mismo punto F(foco).

Esto se debe a una propiedad geométrica dela parábola, que desarrollaremos a continua-ción para los que deseen saber algo más.

La ecuación de la parábola de la figura es y2=2pxSea un punto P de la curva, de coordenadas x,yDiferenciando la ecuación es 2y.dy=2p.dx , de don-de dy/dx=p/y , pero por la propiedad geométrica dela derivada es tg(ββ)=p/yAhora bien, de acuerdo a la figura, la recta de pen-diente 2ββ que pasa por P deberá cortar al eje x enun punto F cuya abscisa xF no debe depender de

10

Otra manera de ver las cosas: los rayos del sol llegan paralelos a la tierra, en cuyo caso, laimagen se forma en el foco.

Propiedades de los espejos parabólicos

α α

ββ y

y2=2px

x F

p/2

ββ

2ββ

P

Aplicación de los espejos parabólicos alos faros de automóviles

luz alta luzbaja

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variable alguna, si es que es un punto fijo. Veremos si es cierto:

De acuerdo a la figura debe ser:y/(x-xF)=tg(2ββ) de donde (x-xF)=y/tg(2ββ) y entoncesxF = x-y/tg(2ββ) = y2/2p-y/tg(2ββ) (1)

Pero sabemos por trigonometría que tg(2ββ)=2.tg(ββ)/(1-tg2(ββ)) y como tg(β)=p/y nos quedatg(2ββ)=2p/y/(1-p2/y2)=2py/(y2-p2) (2)Reemplazando (2) en (1) resulta:xF = y2/2p-(y/tg(2ββ) = y2/2p-(y2-p2)/2p = p/2Es decir que la distancia del foco al vértice de la parábola es igual a la mitad del pará-metro p

Aplicaciones: Los faros de automóviles poseen un espejo parabólico, en cuyofoco se coloca el pequeño filamento de la lámpara correspondiente a la “luz larga”.Se produce así un haz de rayos paralelos horizontales de gran alcance. El fila-mento de la “luz baja” está un poco fuera del foco y hacia abajo, para producir unhaz algo convergente y descendente sobre el camino.

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REFRACCIÓN DE LA LUZ

Descripción del fenómeno y leyesCuando un rayo de luz atraviesa la interfase entre dos medios de dife-rente densidad11cambia de dirección, quebrando su trayectoria. A éste fe-nómeno se lo llama “refracción de la luz”. La refracción está general-mente acompañada poruna reflexión, ambasparciales.La intensidad del rayorefractado I1 más la inten-sidad del rayo reflejado I2es igual a la intensidad Idel rayo incidente12. Enlos capítulos sobre ondasy óptica física, se ha ex-plicado suficientemente elfenómeno combinado dereflexión/refracción13.Ahora nos interesaaprender a manejarlo en la construcción de imágenes, con las técnicas dela óptica geométrica.

Refracción simple: La luz se acerca a la normal en el medio más denso14,cumpliendo la ley de Snell:sen(i)1/sen(r)2=n1,2

11

En general a mayor densidad del medio es menor la velocidad de la luz en él.12

De cómo se reparte la potencia (o la intensidad, que le es proporcional) del rayo incidenteentre los rayos reflejado y refractado, diremos por ahora que la intensidad del rayo refractadoes mayor cuánto menos refractado esté, o sea cuando la incidencia se acerque a la normal dela superficie de separación. Consecuentemente la proporción de luz reflejada aumenta con elángulo de incidencia.13

Se recuerda que la explicación de la refracción encaja en el modelo ondulatorio de la luz, elque da cuenta de que en el medio más denso la luz tiene menor velocidad que el de menordensidad o en le vacío. Asimismo debe recordarse que un rayo de luz cumple el principio delcamino más rápido para ir de un punto a otro, avanzando mayor trecho por el medio másveloz. (Ver capítulos correspondientes a ondas y electromagnetismo)14

La densidad óptica a que se alude es inversamente proporcional a la velocidad de la luz enese medio material; está relacionada aproximadamente en forma directa con la densidadmaterial (masa/volumen)

î

r

î

rayo incidente rayo reflejado

rayo refractado

I

I1

I2

MEDIO MÁSDENSO

MEDIO MENOS DENSO

INTERFASE

normal

ÓPTICA GEOMÉTRICA 70

70

donde î es el ángulo de incidencia, r es el de refracción y n12 es el índicede refracción del sistema 1,2 . Si el medio 2 es el vacío, o en la prácticael aire atmosférico, en tal caso n2,1 es el índice absoluto de la sustancia15.Si el índice n es mayor que 1 es porque sen(î) es mayor que sen(r), y porlo tanto î>r , es decir que cuando n>1 se está considerando un pasaje deluz del medio menos denso al más denso e inversamente, cuando n<1 ladirección del rayo es del medio más denso al menos denso.

Ejemplo: ¿A qué profundidad se ve desde arriba a un pez que nada a 15 cm debajode la superficie? - Dato: el índice de refracción aire/agua vale 4/3Solución: teniendo en cuenta que α y β son ángulos pequeños, sus respectivosseno, tangente y arco son prácticamente iguales. Así entonces es:naire/agua=sen(αα)/sen(ββ)=4/3 ≅≅ tg(αα)/tg(ββ) =(d/h’)/(d/h)= h/h’h’= n.h = 3/4x15 cm = 11,25 cm

Respuesta: Por efectos de la refracción, el pez se ve 3,75 cm más arriba de lo querealmente está.

NOTA: La óptica física nos enseña que la trayectoria de la luz es diferente para cadacolor en los medios transparentes. Como se estudió oportunamente, esto se debe aque la velocidad de los rayos en los medios materiales (no en el vacío) depende de surespectiva longitud de onda. Así los rayos violeta se refractan más que los rojos.Lo anterior equivale a decir que cada color tiene un índice de refracción propio paracada sistema de dos medios. Así, para simplificar el estudio y siempre que no se digalo contrario, se estudiarán los fenómenos de refracción con luz monocromática, estoes de un solo color. Se elige preferentemente el amarillo, de longitud de onda λλ≅≅0,59µµm, que por estar en medio del espectro puede tomarse como representante de una radia-ción blanca.

15

Cuando se menciona un índice de refracción para una sustancia determinada sin mencionar

d

h

αα

ββ

h h’

ÓPTICA GEOMÉTRICA 71

71

Reflexión totalEn el caso de pasar el rayo del medio más denso al menos denso sepuede presentar el fenómeno de reflexión total del rayo incidente, cuan-do î supere un cierto valor (ángulo límite). En efecto, la fórmula de Snell(de los senos) no admite matemáticamente un seno mayor que 1, y por lotanto no tiene solución para un ángulo de incidencia mayor a îlímite, para elcual el correspondiente rayo refractado alcance 90º, o sea cuando el rayorefractado se acueste sobre el plano de separación de ambos medios. Ental caso será sen(r)=1 y entonces î=îlimite , tal que sen(îlimite)==sen(90º)x n2,1 =n2,1

(Nótese que n2,1 esmenor que 1 yaque estamos con-siderando un pa-saje de rayo desdemedio más denso(agua) a menosdenso (aire).

La imposibilidadmatemática de quesen(r) supere a launidad se traduceen la realidad porausencia de rayorefractado cuandoî>îlimite . El principiode conservaciónde la energía nospermite poner enausencia de rayorefractado I=Ireflejado , o sea que prevé un rayo reflejado de igual intensidadal incidente. Ésto es lo que en realidad ocurre: la superficie de separaciónde ambos medios se comporta como un espejo perfecto para î>îlimite

Ejemplo: Para el sistema agua-aire es n=3/4 y entonces îlímite=arc.sen(0,75)=48,59º. Un buzoque mira hacia arriba ve el mundo de afuera del agua a través de una ventana circular, fuera

la otra, se trata del índice absoluto de esa sustancia (con respecto al vacío)

97,18º

R

ÓPTICA GEOMÉTRICA 72

72

de la cual observa el fondo de arena amarilla reflejado en la superficie16

. Ello se debe a quelos rayos provenientes del fondo como el R , no pueden salir del agua al incidir sobre la su-perficie bajo un ángulo mayor que el límite. Esa ventana es la base de un cono dentro del cualestán las imágenes de todo lo que está sobre la superficie: la obra muerta del barco, los pája-ros, la parte de arriba del muelle. El ángulo de ese cono es el doble de îlímite. Fuera de la ven-tana, además del fondo y los objetos en él (como por ejemplo el ancla del dibujo), se vendirectamente los objetos sumergidos (casco del barco y parte sumergida del muelle)

Prismas de reflexión total: Un pris-ma de vidrio(nvidrio/aire=2/3) cuya basees un triángulo rectángulo isóscelessirve para reflejar la luz, como lo ha-ría un espejo plano a 45º. En efecto,en el prisma de la figura el rayo pe-netra perpendicularmente a la cara 1por lo que no se refracta, y cuando

llega a la cara 2 sufre una reflexión total, ya que αα=45º>arc.sen(2/3)=41,81º .Los prismas de reflexión total reemplazan con ventajas a los espejos planos devidrio plateado o aluminizado, que se deterioran con facilidad. En cambio son máspesados y voluminosos. Colocando un prisma de reflexión total de manera que laluz entre y salga de la cara 2, sirve como inversor de imágenes, al efectuar unadoble reflexión interna (ver “prismáticos” en el capítulo de instrumentos ópticos).

Refracción en lámina de caras paralelasUn rayo de luz que atraviesauna lámina de caras para-lelas sufre un desplaza-miento sin cambio de direc-ción.En la figura, se tiene:∆∆=e/cos(r).cos(φφ+r)pero φ φ =(90º-î) entonces∆∆=e.cos(90º-i+r)/cos(r), osea∆∆ = e.sen(î-r)/cos(r)Ejemplo: ¿Qué desplaza-

miento de imagen produce un vidrio de ventana de 1 cm de espesor sobreun rayo que incide a 45º?

16

En realidad la imagen del fondo reflejada fuera del círculo se ve claramente sólo cuando lasuperficie del agua está muy tranquila. Si está agitada por el viento, por ejemplo, se puedever la luz exterior pero no la forma de los objetos sobre el agua dentro del círculo; y afuera deéste, el reflejo del fondo se observará más o menos distorsionado por la superficie reflectorairregular. Si el fondo es tan profundo que la luz no llega a iluminarlo, su imagen alrededor dela ventana es negra.

αα=45º

1 2

î

r r

î

e ∆∆

φφ

ÓPTICA GEOMÉTRICA 73

73

Solución: î=45º . Para el sistema vidrio aire es:n=sen(î)/sen(r)=3/2 de dondesen(r)=2/3xsen(i)=0,4714 ; de aquí sale quer=arc.sen(0,4714)=28,126ºEntonces î-r=45-28,126=16,874º y así es∆∆ = e.sen(î-r)/cos(r) = 1xsen(16,874º)/cos(28,126º)=0,33 cm

Refracción en láminas de caras no paralelas (cuñas yprismas)Una lámina de caras planas no paralelas desvía la dirección de un rayoque la atraviesa. Si la lámina es de caras planas no paralelas, estas for-man un ángulo diedro ω .Se denomina al sistema de caras no paralelas cuña o prisma, según queel ángulo respectivo ωω sea pequeño (ωω<5º) o más grande. Si ωω es pequeño(cuña) se pueden hacer algunas simplificaciones en las fórmulas del pris-ma que se verán a continuación (ver más adelante al tratar lentes)

Fórmulas del prismaComo se ve en el dibujo, el ángulo dedesviación se obtiene llevando el rayoincidente I sobre el refractado R, me-diante los siguientes movimientos:• una rotación i1 en el sentido horario• una rotación ω en el sentido antiho-rario• una rotación i2 en el sentido horario

Asignando el signo positivo al sentidohorario, se tiene:δδ=i1+i2-ωω (17)

Estudio de la variación de la desviación δδ . Condición dedesviación mínimaLos ángulos de entrada (i1) y salida (i2) están relacionados entre sí. Analicemos loque pasa en la condición de la figura, que es asimétrica, es decir i1>r2, y por lotanto r1>i2:

17

La fórmula vale como caso particular en una lámina de caras paralelas en la que ω=0 y δ=0Ello implica que debe ser i1=- i2 , es decir que los ángulos de entrada y salida son iguales y desentido contrario.

ω ω

ωω δδ

r2

î1 r1

î2

n1

n2

I

R

V

ÓPTICA GEOMÉTRICA 74

74

Al aumentar i1 aumenta r1 en menor proporción (los senos no son proporcionales alos ángulos)Si aumenta r1 disminuye r2 en la misma medida, ya que la suma de ambos (r1+r2)es constante e igual al ángulo del diedro ωωAl disminuir r2 también lo hace i2 de acuerdo a la ley de Snell. Pero como r2 es me-nor que r1 , se acerca más a la perpendicular de la cara de salida. Cuando un rayose acerca a la perpendicularidad, el refractado también, y sus variaciones de direc-ción tienden a igualarse. Quiere decir que el rayo refractado R variará menos queel I cuando se modifique la dirección del rayo interno V, por estar más cerca de lanormal a la cara.Es decir que si el ángulo de incidencia i1 aumenta, disminuye cada vez menos elángulo de salida i2 por estar cada vez más cerca de la normal, y la desviación, quees la suma de ambos, va en aumento. En virtud del principio de reversibilidad delos caminos ópticos, se pueden permutar los ángulos de subíndice 1 por los desubíndice 2 , y razonar que la desviación aumenta cuando aumenta la asimetría dela marcha de rayos en el prisma.Este aserto lleva implícito que la desviación disminuye cuando se tiende a la sime-tría, situación para la cual la desviación pasa por un mínimo.En esta condición de simetría y desviación mínima, se cumple que i1=i2=îe r2=r1=r por lo que ωω=2.r , y la fórmula δδ=i1+i2-ω ω se transforma en:δδmínimo= 2i-ω ω = 2(i-r)i=(δδmín+ωω)/2Ahora bien, siendo n=sen(i)/sen(r), de las anteriores resulta

)2

sen(

)2

minsen(

nω

ω+δ

=

Ejemplo: Se tiene un prisma de base equilátera de una sustancia desconocida. Sedetermina experimentalmente que δmin=30º ¿Cuál es su índice de refracción?

Respuesta 1,286)sen(30º

)2

6020ºsen(

n =

+

=

A continuación se presenta el cálculo de los ángulos de los rayos refractados porun prisma de vidrio para ángulos de incidencia crecientes, llevado a cabo con pla-nilla electrónica. Se trata de un prisma de vidrio (n=1,5), de base equilátera(ω=60º).Como se ve en el gráfico correspondiente, la mínima desviación δδmin=37º se obtie-ne para r1=r2=30º e i1=12=48º

ÓPTICA GEOMÉTRICA 75

75

CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN EN UN PRISMA

î1 (º) r1(º) r2(º) i2(º) δ(º)

30 19,47122063 40,52877937 77,09581152 47,09581152

32,5 20,98967692 39,01032308 70,76766111 43,26766111

35 22,48144954 37,51855046 65,99745467 40,99745467

37,5 23,9438363 36,0561637 61,99016611 39,49016611

40 25,37399394 34,62600606 58,46556117 38,46556117

42,5 26,76893149 33,23106851 55,28805247 37,78805247

45 28,1255057 31,8744943 52,38130648 37,38130648

47,5 29,440419 30,559581 49,69847594 37,19847594

50 30,71022077 29,28977923 47,20931516 37,20931516

52,5 31,93131269 28,06868731 44,89377279 37,39377279

55 33,09995909 26,90004091 42,73847466 37,73847466

57,5 34,21230312 25,78769688 40,73464052 38,23464052

60 35,26438968 24,73561032 38,87676961 38,87676961

62,5 36,2521959 23,7478041 37,16176355 39,66176355

65 37,17166971 22,82833029 35,58830851 40,58830851

67,5 38,01877691 21,98122309 34,15641657 41,65641657

70 38,78955642 21,21044358 32,86706695 42,86706695

72,5 39,48018311 20,51981689 31,72191178 44,22191178

75 40,08703691 19,91296309 30,72302513 45,72302513

77,5 40,60677584 19,39322416 29,87268324 47,37268324

ÓPTICA GEOMÉTRICA 76

76

DESVIACIÓN EN UN PRISMA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ángulo de incidencia i1 en grados

ángulosde losrayos

r1 r2 i2 δ δ

ÓPTICA GEOMÉTRICA 77

77

LENTESEstamos ahora en condiciones de estudiar las propiedades ópticas de unaserie de formas de vidrio y otras sustancias refringentes, limitadas por dossuperficies esféricas. Tales formas, con simetría de revolución18 sobre uneje, se llaman genéricamente lentes.

Tipos de lentesLas figuras muestran los tipos de lentes posibles, formados con combina-ciones de dos caras esféricas de distinta curvatura. Como caso particularestán las lentes con caras de igual curvatura en el caso del tipo bicóncavay biconvexa, y las que tienen una cara de curvatura nula (cara plana, o deradio de curvatura infinito). Las lentes que tienen dos caras de curvaturacontraria (una cóncava y otra convexa), se llaman “meniscos”, por la simi-litud de forma con esa parte de las articulaciones del cuerpo humano.

18

Se dice que una lente es un cuerpo de revolución porque puede considerarse generadopor una curva que gira alrededor de un eje de simetría. Se puede tallar una cara de la lentehaciendo girar una pieza de vidrio sobre un eje, desbastando el material con una herramientaque se desplaza en un arco de circunferencia, produciendo un casquete esférico.

biconvexa

cóncavo convexamenisco divergente

bicóncava

plano convexa

plano cóncava

cóncavo convexa(menisco convergente)

ÓPTICA GEOMÉTRICA 78

78

Efecto de las lentesPara estudiar el efecto re-fractante de una lente sobrelos rayos de luz, considere-mos una sección plana centralde la misma como formadaspor pequeños prismas, de losque conocemos sus propie-dades ópticas. Por ejemplo,sabemos que los prismasdesvían los rayos incidentessobre una de las caras haciala base del triángulo, y por lotanto podemos deducir que

las lentes que tienen la parte central más gruesa que la periferia desvíanlos rayos que inciden sobre una de sus caras hacia adentro (son conver-gentes). Asimismo las lentes con los bordes más gruesos que el centroserán divergentes, ya que los prismas elementales están colocados al re-vés que en el caso ante-rior.

Se reconoce en una lentecualquiera, que para fijarideas se ha dibujado bi-convexa (convergente):• Los radios R1 y R2 de

las esferas generado-ra de las caras de lalente.

• El centro O de la lente• El eje principal, (señalado en punto y raya) que es la normal a las caras

que pasa por el cetro O• El diámetro D de la lente (en la figura se acota D/2).• El espesor máximo εε de la lente, suma de las flechas correspondientes

a los arcos que generan sus caras.• El foco F y la distancia focal f=OF . Se llama foco F de una lente al

punto donde el rayo refractado proveniente de un rayo paralelo al ejeprincipal corta al mismo. En las lentes existen dos focos: uno del ladode donde provienen los rayos, llamado foco objeto; otro del lado haciadonde van los rayos: es el foco imagen.

DESCOMPOSICIÓN DE UNA LENTE EN PRISMAS ELEMENTALES

i1i2

ω

δR2 R1

F

D/2δ

α

αβ

β

f

o

ε

ÓPTICA GEOMÉTRICA 79

79

Lentes delgadasAl igual que con los espejos, se emplean en óptica sobre todo “lentes del-gadas”, cuyo espesor εε máximo sea mucho menor que el radio r de la len-te. Se considera que el centro de la lente delgada está en un plano equi-distante de los focos, por lo tanto la distancia focal es única.La marcha de lo rayos en lentes delgadas siguen reglas sencillas, quepermiten hacer las construcciones con facilidad:• El rayo que incide paralelamente al eje principal se refracta pasando

por el foco imagen.• El rayo que incide pasando por el foco objeto se refracta saliendo pa-

ralelamente al eje principal.• El rayo que incide sobre el centro de la lente sigue su camino sin

cambio de dirección19.• Rayos paralelos que incidan sobre la lente formando cualquier ángulo

con el eje principal, se refractan cortándose en un punto de un planoperpendicular al eje principal que pasa por el foco. Dicho plano se llama“plano focal”

Distancia focal de una lentedelgada - en función de la cur-vatura de sus caras y del índi-ce de refracción del material.Vamos a hallar una relación entre ladistancia focal de una lente delgada yla curvatura20 de sus caras. Es dato elmaterial y su índice de refracción con

respecto al vacío.Dibujemos entonces una lente biconvexa convergente, cuyas caras tienenradio de curvatura R1 y R2, como se muestra en la figura. Consideremosun rayo paralelo al eje principal que alcanza a la lente justo en el extremode esta, refractándose hacia el foco F.Supongamos que dicha lente es delgada, esto es que los radios de suscaras R1 y R2 son considerablemente mayores que el diámetro D de la

19

En rigor, la parte central de la lente es una lámina de caras paralelas, que como ya se vióproduce un desplazamiento paralelo del rayo. Sin embargo en una lente delgada este efectose desprecia en mérito a esa condición (ε<<r)20

La curvatura es la inversa del radio de curvatura, así gran curvatura significa pequeño radio,y viceversa.

eje principal

plano focal

εε

r

f

ÓPTICA GEOMÉTRICA 80

80

lente. Quiere decir que todos los ángulos marcados en el dibujo (ωω, i1, i2,

δδ) son pequeños. Se ve en la figura que i1+i2-ωω=δδ y sabemos además

que:sen(i1)/sen(r1) = sen(i2)/sen(r2) = n

Pero por tratarse deángulos pequeños,el arco y el senotienen valores muyparecidos, por loque se puede poner

aproximadamenteque :i1/r1 = i2/r2 ≈≈ n (

21)

Es decir que congran aproximación ,por tratarse de una

lente delgada es i1 = n.r1 y además i2 = n.r2Sabemos por otra parte del estudio de la refracción en un prisma quer1+r2= ωωCon todos estos datos, vamos a tratar de buscar una relación donde inter-vengan la distancia focal f y los radios R1 y R2.Entonces fijémonos en la figura y hagamos intervenir a la distancia focal f através del ángulo de desviación δδ. Podemos poner que :D/2/f = tg(δδ)≈≈ δ δ =i1+i2−ω−ω = n.(r1+r2)−ω−ω =

n ω−ωω−ω = ω.ω.(n-1)

De aquí sale que1

f

2. .(n 1)

D=

−ω

Esta fórmula contiene alíndice de refracción n y elángulo ω junto con eldiámetro de la lente D. En realidad estamos muy cerca de tener lo que

21

Estas fórmulas valen muy aproximadamente para cuñas (prismas de pequeño ángulo ω), ypara pequeños ángulos de incidencia.

i1

i2

ωω

ω δr1 r2

R1R2

normal 1 normal 2

i1i2

ω

δR2 R1

F

D/2δ

α

αβ

β

f

o

ε

ÓPTICA GEOMÉTRICA 81

81

buscamos. Vienen en nuestra ayuda los ángulos α y β, cuya suma es ω(Todos ellos son ángulos pequeños).Ponemos entonces:α+β = ωα+β = ω o también sen(α)α)+sen(β) β) ≈≈ ωω , pero es sen(α) α) = D/2/R2 y

sen(β) β) = D/2/R1o sea ω ω = D/2.(1/R2+1/R1) lo que reemplazado en la anteriornos da la relación buscada:

1

f(n 1).

1

R

1

R2 1= − +

La anterior fue deducida para una lente biconvexa (y por lo tanto convergente). Sinembargo, vale para cualquier lente teniendo en cuenta la convención de signosadoptado para la medida de los ra-dios de curvatura R , a saber: positivopara caras convexas y negativo paracaras cóncavas.

Ejemplo: Un menisco de vidrio co-mún (n=1,5) tiene una la cara conve-xa de 3m de radio y la cóncava de2m de radio, es decir R2=-2m yR1=3m . Sabemos a priori que serádivergente, por tener la cara cóncavamás curvada que la convexa, peroaunque no lo advirtiéramos, el cálculo nos lo dirá.Reemplazando valores en la fórmula, se tiene:

1

f(n 1).

1

R

1

R2 1= − + =

−+ = −

0

1

2

1

30 083,5 •

( ), de donde f=-12 m (el valor

negativo significa que el foco es virtual, que corresponde a lentes divergentes)Si la cara más curvada fuera la convexa, el resultado del cálculo cambiaría designo manteniendo el mismo valor: la lente sería convergente.

F1

F2Obj1 Obj2

I m g v 2

Imgr1

plano de la lente

eje principal

centro de la lente

plano focal

ÓPTICA GEOMÉTRICA 82

82

Formación de imágenes en lentes

5

F1

1 2

1

3

3

5

2

4

9 8 7 6

6

7

F2

TRANSFORMACIÓN DEL ESPACIO POR UNA LENTE CONVERGENTE

va a imagen delpunto 4 en el infinito

viene deimagen delpunto 4 en elinfinito

Lentes convergentes: Las lentes convergentes transforman el espacioen forma muy parecida a lo que lo hacen los espejos cóncavos:Objetos entre el foco y el infinito dan imágenes reales e invertidas, mayo-res o menores según su distancia a la lente.Objetos entre el foco y la lente dan imágenes virtuales derechas y mayo-res.

Para las construcciones de imágenes se utiliza desde cada punto del ob-jeto:1. El rayo que incide sobre la lente paralelamente al eje principal, que

sale refractado pasando por el foco imagen.2. El rayo que pasa por el centro de la lente, que no sufre desviación ni

desplazamiento, por ser una lente delgada.3. El rayo que pasa por el foco objeto e incide sobre la lente, refractándo-

se paralelamente al eje principal.

En la figura, se ve que la transformación o “mapping” no conserva losángulos ni las distancias pero sí la perpendicularidad con el eje principal.El punto Nº4 no tiene imagen por estar sobre el plano focal, pero puedeconsiderarse que tiende a formar dos imágenes en puntos muy alejados:

ÓPTICA GEOMÉTRICA 83

83

una real a la izquierda y otra virtual a la derecha sobre los extremos de unarecta infinita que pasa por el foco F2

Lentes divergentes: Transforman el espacio en forma similar a los es-pejos convexos: de un objeto hay una imagen virtual entre el foco objeto Fy la lente. En este cono se instalan las imágenes de todo el semi espacioentre la lente y el infinito. Los ángulos no se conservan y la métrica del es-pacio transformado tampoco. Las rectas se transforman en rectas, cam-biando la dirección, salvo las perpendiculares al eje. Por ejemplo, un seg-mento AB con dirección hacia el foco virtual F’ se transforma en otro A’B’paralelo al eje principal.En el capítulo de instrumentos ópticos se verán las aplicaciones más co-munes de lentes y espejos formando parte de los aparatos.

F F’

A’

A

B’

B

Transformación del espacio por una lente divergente

Fórmulas de las len-tesEn una lente delgada con-vergente o divergente, elrayo que pasa por el centrode la lente no sufre desvia-ción, así que los tamañosde objeto y e imagen y’ es-tán en relación con sus res-pectivas distancias a la

lente (x y x’).

Resulta así y

y'

x

x'= , igual que para los espejos.

De acuerdo al dibujo, razonando sobre la flecha de tamaño y cuya imagenreal tiene tamaño y’, por semejanza de triángulos A’B’F2 y COF2 resulta:

F1

F2

y’

y

x’ x

f

A

B

C

O

f

A’

B’

ÓPTICA GEOMÉTRICA 84

84

f/y = (x’-f)/y’ y empleando la relación entre tamaño y distancia, se trans-forma enf/x =(x’-f)/x’=1-f/x’de donde f(1/x+1/x’)=1 , quedando finalmente:1

f

1

x

1

x'= + válida para imágenes reales.

(Fórmula de los focos conjugados de Descartes))La fórmula anterior se ha deducido para imágenes reales, asignando signo positivo a su ta-maño y’ y a su abscisa x’ . De tal manera, el signo negativo de y’ corresponde a una imagenderecha de lado del objeto (imagen virtual, que se produce cuando el objeto está entre el focoy la lente, es decir para x<f)

Problema de aplicación: Se coloca un objeto de y=0,5m de altura a unadistancia de x=2m de un ojo normal, cuyo cristalino tiene f=0,0200m enreposo. Averiguar carácter, tamaño y posición de la imagen. Analizar elefecto de acomodación del cristalino.Datos adicionales: Se considerará para simplificar al cristalino como únicoelemento refringente del ojo22, equivalente en reposo a una lente planoconvexa de índice de refracción n=1,3 y único radio R=0,006m (el radio dela cara plana es infinito). Su diámetro vale aproximadamente D=0,010m ysu espesor e=4mm

Solución: Aplicando la fórmula de la distanciafocal en función de los radios de curvatura y elíndice de refracción, se tiene para la distanciafocal del cristalino lo siguiente:1/f=(n-1)/R=0,3/0,006=50 de donde f=0,02mDe acuerdo a esto, es 1/x´=1/f-1/x=50-0,5=49,5de donde x’=0,0202m , es decir que la imagen seforma a dos décimas de milímetro más atrás queel fondo del ojo. Para una visión nítida del objeto,el cristalino debe alterar la curvatura de sus carasa través de la presión de los músculos ciliares, demanera de crear una imagen exactamente ax’=0,0200 m

Ello se cumple para 1/f=1/x+1/x’=1/2+1/0,02=50,5 de donde f=0,0198m , es decir que mercedal esfuerzo de acomodación, el cristalino acorta su distancia focal en dos décimas de milíme-tro. Si consideramos que después de la deformación el cristalino sigue siendo plano convexo,su nuevo radio de curvatura seráR=(n-1)f=0,3x0,0198=0,00594m , es decir que variará imperceptiblemente apenas 60 micro-nes. La correspondiente variación de diámetro D es del mismo orden.

22

Como se sabe, esto no es realmente así, sino que existen tres elementos refringentes en elojo: el espacio entre la córnea y la cara plana anterior del cristalino relleno de humor acuoso(n=1,3), el cristalino (n=1,4) y el espacio entre cara posterior del cristalino y retina (interior delglobo ocular) relleno del humor vítreo (n=1,3). Esta combinación de medios hace del ojo unsistema óptico prácticamente acromático

D

e

20 mm

GLOBO OCULAR Y CRISTALINO

ÓPTICA GEOMÉTRICA 85

85

El tamaño de la imagen en la retina es y’ = x’/x.y = 0,0008m (menos de 1 mm dealtura)Sabemos que la imagen sobre la retina es real e invertida, ya que el objeto está entre el focoy el infinito. Consecuentemente con esto, el cálculo arroja un valor de x’ positivo que corres-ponde a imagen real, e y’ positivo, que corresponde a imagen invertida.

Lentes escalonadas de FresnelSe puede reducir drásti-camente el volumen (yconsecuentemente el pe-so) de una lente con ca-ras de gran curvatura,dividiéndola en varios ani-llos concéntricos y quitán-doles espesor, aplicán-dolos después sobre unasuperficie plana. En 1820, el físico francés Fresnel llevó a la práctica esaidea, creando lentes de corta distancia focal (pequeño diámetro de suscaras) mucho más ligeras que las equivalentes lentes convencionales. Re-sultan apropiadas para paralelizar los rayos de una fuente (proyectores,faros). Se encuentran actualmente en las librerías lentes de Fresnel deplástico flexible moldeadas con una gran cantidad de escalones (10 o máspor centímetro). Se las conoce como “page size magnifiers” (lupas tama-ño página)

Cálculo del ahorro de peso:Para un faro costero se desea construir unalente de vidrio (n=1,5), de diámetro D=1m conuna distancia focal f=2m. Si diseñamos unalente plano convexa, será1/f=(n-1)/R o sea que el radio de curvatura de lacara convexa de la lente resulta:R=(n-1).f = (1,5-1).2=1mLa profundidad del casquete es a=R-[R2-(D/2)2]1/2=1-(1-0,25)1/2=0,134mEl volumen de vidrio necesario para el lenteserá, de acuerdo a la fórmula de la figura:Vol=1/6.ππ.a.(3/4D2+a2)=ππ/6.0,134.(3/4+0,018)=

0,0539m3

Si esta lente se transforma en una de Fresnel equivalente de la mitad de espesor (1 escalón),tendrá un volumen V-V’ , siendo V’ el volumen del cilindro de altura a/2 y base D’ tal que:a/2=R-[R2-(D’/2)2] , de donde (D’/2)2=R2-R+a/2=0,067m , y así tenemosD’=0,518mEntonces V’=ππ.(D’/2)2.a/2=0,014m3O sea que con un sólo escalón se logra una reducción de volumen (y de peso) del 26%

LENTE ESCALONADA DE FRESNEL

R

D

a

a = R - [R2-(D/2)2]1/2

Vol=1/6ππa(3/4D2+a2)

a/2

D’

a

a

ÍNDICE

ÓPTICA GEOMÉTRICA ............................................................................... 55

GENERALIDADES ............................................................................................ 55REVERSIBILIDAD DE LOS CAMINOS ÓPTICOS ..................................................... 55REFLEXIÓN DE LA LUZ............................................................................. 56

Espejos planos ........................................................................................... 56Reflexión en espejos planos que forman un ángulo diedro ................................... 57

Reflexión en superficies de forma cualquiera .............................................. 59Espejos esféricos de pequeña curvatura...................................................... 59Espejos cóncavos ....................................................................................... 59

Foco principal. Distancia focal:........................................................................... 60Focos secundarios. Plano focal ........................................................................... 61

Espejos de gran curvatura - Aberración de esfericidad:.............................. 61Carácter, tamaño y posición de las imágenes en espejos esféricos de pequeñacurvatura: .................................................................................................. 62

Generalización del estudio de la formación de imágenes en espejos cóncavosesféricos de pequeña curvatura - Mapping.......................................................... 63

Espejos convexos: ...................................................................................... 64Espejos parabólicos ................................................................................... 67

REFRACCIÓN DE LA LUZ........................................................................... 69

DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO Y LEYES ............................................................ 69Reflexión total ............................................................................................ 71Refracción en lámina de caras paralelas .................................................... 72Refracción en láminas de caras no paralelas (cuñas y prismas) .................. 73

Fórmulas del prisma ........................................................................................... 73Estudio de la variación de la desviación δ . Condición de desviación mínima ....... 73

CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN EN UN PRISMA..................................... 75

LENTES........................................................................................................... 77

TIPOS DE LENTES ............................................................................................ 77Efecto de las lentes..................................................................................... 78Lentes delgadas.......................................................................................... 79

Distancia focal de una lente delgada - en función de la curvatura de sus caras y delíndice de refracción del material. ........................................................................ 79

Formación de imágenes en lentes ............................................................... 82Fórmulas de las lentes................................................................................ 83Lentes escalonadas de Fresnel.................................................................... 85

ÍNDICE ...........................................................................................................A

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 86

86

INSTRUMENTOS ÓPTICOS

Lupa o microscopio simpleConsta de una lente convergente, con un armazón que la separa una dis-tancia focal del objeto. La marcha de los rayos está indicada en el dibujo.El objeto es visto por el observador bajo el ángulo α, gracias al acerca-

miento que le permite la lupa. Sin la lente, la visión nítida del objeto seríaimposible a la distancia f (mucho menor que la distancia de visión nítida(δ ≅ 0,25 m)

El aumento A de la lupa viene dado por el cociente entre tamaños angula-res con y sin el aparato. Sin el aparato, el ángulo β bajo el cual es posiblever al objeto de tamaño y (aproximando el arco a la tangente cuando setrata de ángulos pequeños) resulta ser, β ≅ y/δ , mientras que con la lupase ve bajo el ángulo α ≅ y/fAsí resulta A ≅≅ α / βα / β = δδ/f (f medido en m). Es decir que el aumento de unalupa es inversamente proporcional a su distancia focal y directamente pro-porcional a la distancia de visión nítida, que depende del observador y seestima en 25 cm para un ojo normal1. La inversa de la distancia focal deuna lente se llama “potencia” de la lente en cuestión. La potencia de unalente se mide en “dioptrías” para f medido en m . Por ejemplo, un anteojo

1Los miopes tienen una distancia de visión nítida menor, que puede llegar a menos de 10 cm

, por lo que pueden ver con claridad objetos mucho más pequeños que un ojo normal..

f

f

α

ojo del observador

imagen sobre la retina

cristalino

lente

objeto

y

LUPA O MICROSCOPIO SIMPLE

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 87

87

de lectura para una persona de 50 años tiene en general una potencia (malllamada aumento) igual a 1,25 dioptrías, o sea f=0,8 m

Ejemplo: se examina una arañita de 1 mm de largo con una lupa de 2 cmde distancia focal. La arañita se ve bajo un ángulo de 0,001/0,02 = 0,05radianes , es decir con el mismo tamaño aparente que vemos una ovejade 1 metro de largo a 20 metros de distancia. Sin la lente no podríamosacercarnos a menos de 25 cm del animalito, y lo veríamos bajo una ángulode 0,001/0,25 = 0,004 , es decir con el mismo tamaño que vemos a laoveja a 250 m de distancia

Proyector de imágenes:Este aparato produce sobre una pantalla una imagen real ampliada de unobjeto fuertemente iluminado. Consta de un soporte para el objeto, una

fuente de luz potente que lo ilumina y una lente o grupo de lentes L con-vergentes colocadas a una distancia x del objeto, algo mayor que su propiadistancia focal f. Para concentrar la luz sobre el objeto se dispone entrelámpara y objeto de un grupo de lentes llamada “condensador” y a vecestambién de un espejo cóncavo detrás de la lámpara. Lámpara y condensa-dor se refrigeran mediante un ventilador, para alargar la vida útil de la lám-para y para evitar que el conjunto irradie demasiado calor sobre el objeto.El aumento lineal (no angular) que produce el aparato proyector está enrazón directa a la distancia entre lente de proyección L y pantalla e inver-samente proporcional a la distancia focal f de la lente de proyección LEn efecto, de acuerdo a la figura es y’/y = x’/x pero como el objeto estámuy cerca del plano focal de la lente L, resulta x≅f de dondeA = y’/y ≅≅ x’/f

y’

y

f f

x x’

PROYECTOR DE IMÁGENES

sistemacondensador

lente de proyección L

ventilador

espejo

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 88

88

Por ejemplo:1) ¿A qué distancia x’ debe colocarse la pantalla para ver una diapositivacomún (y=35 mm) con un tamaño de y’=2 m, contando con una lente deproyección de 50 mm de distancia focal?Respuesta : y’/y= 2/0,035 = 57,14x’/f ≅≅ 57,14 , de donde x’= 0,05 x 57,14 = 2,857 m2) ¿Dónde debe colocarse la diapositiva?: En tales condiciones, y para unenfoque perfecto, la diapositiva no estará exactamente en el plano focal dela lente, sino un poco más lejos, ya que y’/y = (x’-f)/f =x’/x , de donde1/f=1/x+1/x’ (fórmula de los focos conjugados de Descartes).De ésta se deduce que 1/x=1/f-1/x’=1/0.05-1/2,857=19,65 y entoncesx=1/19,65=0,0508 m , es decir que la diapositiva debe colocarse 8 déci-mas de milímetro más alejada de la lente que su plano focal.

El proyector de imágenes funciona al revés de una máquina fotográfica:los rayos recorren el camino inverso: de la foto hacia donde estaba el ob-jeto. Los fotógrafos utilizan un proyector con iluminación controlada parahacer ampliaciones fotográficas, proyectando la imagen del negativo sobreun papel sensible en vez de una pantalla, logrando así un positivo amplia-do.

Microscopio compuestoEs una combinación de proyector y lupa. Una imagen real proyectada yampliada del objeto a través de una lente (objetivo) se observa a través deuna lupa (ocular), lográndose así una doble amplificación. El ocular y elobjetivo son lentes convergentes de distancia focal parecida y relativa-mente pequeña comparada con la longitud L del tubo sobre el que vanmontados. Se tiene que L=x’+focu y también x’=L-focu

El aumento del microscopio compuesto se calcula como para cualquierinstrumento óptico, por la relación de tamaños aparentes del objeto con ysin aparato. Mirando a través del aparato, el tamaño aparente es γγ , siendotg(γ)=y’/focu , y además resulta que:tg(β)β)=y’/(x’-fobj)= y’/(L-focu-fobj)≅≅ y/fobj

De todo ello se deduce quetg(γ)γ)=y(L-focu-fobj)/fobj/focu

Como siempre, sin el aparato, o sea a simple vista, se ve el objeto bajo elángulo αα tal que tg(α)α)=y/δδ

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 89

89

El aumento vale:A=tg(γ)γ)/tg(α)α)=(L-focu-fobj)/fobj/focu.δδ

Si consideramos que la longitud L del tubo es bastante mayor que las dis-tancias focales del objetivo y del ocular, podemos poner en forma aproxi-mada que A=L.δδ/(fobj.focu), fórmula que nos dice que el aumento del mi-croscopio es proporcional a la longitud del tubo e inversamente propor-cional al producto de las distancias focales del objetivo y del ocular. A pe-sar de la fórmula, no se puede construir un microscopio de cualquier au-mento con sólo alejar los lentes que lo constituyen. Hay dos limitacionesfundamentales para alcanzar aumentos mayores que 1000 veces: el pri-mero es la difracción de la luz, que no puede reproducir detalles de tamañomenor que su longitud de onda (medio micrómetro). El segundo es la lumi-nosidad de la imagen real y’ que no debe ser inferior a la de la sensibilidaddel ojo. Como depende de la iluminación del objeto y va disminuyendo conel cuadrado de la distancia x’ , la mayor distancia debe compensarse conmayor iluminación del objeto. Ésta tiene como límite el calentamiento ex-cesivo del objeto, generalmente una preparación delgada que se observapor transparencia, como una diapositiva. Al igual que en el proyector dediapositivas, existe generalmente un aparato de iluminación con su lámpa-ra (generalmente de menor potencia), condensador y espejo. En los mi-croscopios comunes la imagen observada, invertida con respecto al objeto,muestra generalmente una pequeña parte del mismo, con una visión sinprofundidad, nítida solamente para la parte del objeto que está en el planoΠΠ de enfoque, de manera que acercando o alejando aparato mediante un

y’

y

fobj fobj

x x’ focu

γγ

L

γγ β

PLANO ΠΠ

MICROSCOPIO COMPUESTO

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 90

90

mecanismo de tornillo micrométrico al objeto, se puede examinar a éstepor capas, si es suficientemente transparente2.

Ejemplo 1: Se dispone de dos lentes iguales de f=0,03 m y un tubo deL=0,15 m de largo. ¿Cuántos aumentos tendrá el microscopio formado porel conjunto de los tres elementos mencionados?Respuesta: A=(L-focu-fobj)/fobj/focu.δ = δ = (0,15-0,03-0,03)/(0,03)2x0,25 = 25veces

Ejemplo 2: Especificar la distancia focal de las lentes necesarias paraconstruir un microscopio de A=400 aumentos con un tubo de L=20 cmEn principio tomemos lentes de igual distancia focal3, o seafobj=focu=f<<L con lo cual podemos usar la fórmula simplificada A=L.δδ/f2

y entonces f2=L.d/A=0,2x0,25/150=0,00125 m2 . Extrayendo la raíz cua-drada, obtenemos f=0,011 m (4)

Anteojo astronómico, o de KeplerEste aparato entra dentro de la categoría genérica de los telescopios(τελε=lejos y σχοπειν=mirar). Su principio óptico se basa en observar con

un ocular idéntico al de un microscopio (de distancia focal lo más pequeñaposible), la imagen real de un objeto muy alejado, creada por una lenteconvergente de gran distancia focal (un teleobjetivo).

2Para ver un preparado biológico, se incluye en parafina al tejido a observar para hacerlo

manejable y consistente. Luego se lo corta en fetas muy finas, que se colorean y se colocanentre dos vidrios (porta y cubre objeto), pegados con bálsamo de Canadá. Se forma así unaverdadera diapositiva que se observa por transparencia.3Los microscopios compuestos tienen en general el objetivo de un poco menor distancia focal

que el ocular.4Es prácticamente imposible lograr una distancia focal tan pequeña con una sola lente. En

cambio se dispone para tal fin un conjunto de lentes que dan un efecto combinado de distan-cia focal pequeña: son los oculares u objetivos compuestos, que se detallan en otra parte deeste capítulo.

α

fobj

focu

β

y’

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 91

91

En el dibujo se ve que el tamaño y’ de la imagen real de un objeto lejanocreado por una lente convergente es tanto mayor cuánto mayor es su dis-tancia focal fobj.En efecto, por formarse la imagen prácticamente en el plano focal, resultay’/fobj=tg(αα) de donde y=fobj.tg(αα) . El ángulo αα bajo el cual se ve el objetoa simple vista es en general sumamente pequeño. En el caso de un astrocomo el sol o la luna, ese ángulo vale medio grado. En el caso de una es-trella, su valor es casi cero, por lo cual una estrella se sigue viendo comoun punto aún con el telescopio más potente5.

El aumento del telescopio de Képler resulta serA=tg(ββ)/tg(αα)=(y’/focu)/(y’/fobj)=fobj/focu

El largo del aparato vale L=fobj+focu , de todo lo cual se deduce que paraobtener un buen anteojo astronómico se necesita un ocular potente, unobjetivo de gran distancia focal y un tubo un poquito más largo que losreúna. Para mejorar su portabilidad, el tubo se fabrica en dos o tres partesde igual longitud y diámetros decrecientes, que se meten unas adentro deotras. Este montaje propio de los telescopios, se ha extendido a otros apa-ratos no ópticos, que sin embargo se denominan “telescópicos”6 por analo-gía. Son ejemplos de ello las antenas retráctiles, tubos de conducción delíquidos, amortiguadores y suspensiones elásticas, etc.

La imagen que se ve a través de un anteojo astronómico está invertida conrespecto a la posición del objeto. Esto, que no es inconveniente para ob-servaciones astronómicas, es incómodo en las terrestres. Para evitarlo, losanteojos de Képler para observación terrestre agregan un sistema de in-versión de la imagen. Hay dos tipos de sistemas de inversión: con lenteso por reflexión.

5Con o sin telescopio una estrella (no un planeta) se ve en rigor como una mancha de difrac-

ción con anillos, como la creada por un orificio circular. El brillo de esta mancha es mayormirando a través del aparato, ya que su objetivo colecta mucha más luz que la pupila. Por esacausa se ven también a través de un telescopio muchas mas estrellas que a simple vista. Encambio en el caso de un objeto cuya imagen no se reduce a una mancha sino a una formadefinida, el brillo depende del “foco” y puede ser menor a través del aparato que a ojo desnu-do. Véase más adelante las consideraciones sobre objetivos y “foco”.6En rigor debería llamárselos “de tipo telescópico”. “Antena telescópica” puede inducir a error,

interpretándose una antena direccional, para captar señales remotas. “Antena retráctil tipotelescópica” es más adecuado.

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 92

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a) Con un par de lentes convergentes iguales separados por su distanciafocal, que se intercala en el interior deltubo, frente al ocular.b) Con dos prismas de reflexión totalcolocados de manera de dar vuelta lamarcha de los rayos, el primero de iz-quierda a derecha, el segundo de arribaa abajo, como se indica en la figura.Este sistema se emplea en los binocula-res vulgarmente llamados “prismáti-

cos”, formados por dos telescopios acodados simétricos colocados consus ejes ópticos perfectamente paralelos, uno para cada ojo. En este casose aprovecha la ida y vuelta que crea la reflexión de los rayos en los pris-mas para alojar el anteojo en un tubo acodado, más corto que el del ins-trumento equivalente con par de inversión lenticular.

Ejemplo:

Calcular la distancia focal necesaria del objetivo de un anteojo de Képlerque permita ver la forma de un cráter de 500 metros de diámetro en laluna. Se dispone de un ocular de focu=1 cm de distancia focal.Solución: Para distinguir la forma7 de algún objeto hay que verlo bajo unángulo de por lo menos 0,1º (6’) . Como la luna está aproximadamente a300000 Km de distancia, el tamaño angular (o aparente) del cráter será de500/300000000=1,7 x 10-6 y el aumento necesario será A=tg(0,1º)/(1,7x10-

6)= 1027 veces .La distancia focal del objetivo necesario será fobj= Axfocu= 0,01m x 1027 =10,27 m

Consideraciones sobre objetivos y oculares usa-dos en instrumentos ópticos:En general los objetivos y oculares usados en instrumentos ópticos decierta calidad no son lentes simples, sino sistemas de varias lentes combi-nadas que, si se eligen convenientemente, mejoran las características quepueden lograrse con una única lente de distancia focal equivalente.

7Se puede ver un objeto brillante o que presente contraste sin precisar su forma con aumen-

tos mucho menores. Por ejemplo un “sputnik” de 50 cm de diámetro en órbita a 400 Km dealtura se puede ver como un punto brillante al reflejar el sol en su superficie bruñida. En reali-dad no vemos su forma sino una mancha de difracción.

B I N O C U L A R E S “ P R I S M Á T I C O S ”

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 93

93

Aberraciones de las lentes

a) Aberración cro-mática: en los vi-drios de las len-tes, los rayos serefractan máscuanto menor seasu longitud deonda. De un ob-jeto policromáticoiluminado con luzblanca se producen, pues, una imagen de cada color sobre sendos pla-nos a diferente distancia de la lente. El efecto sobre uno de ellos es unaimagen nítida rodeada de otras de color, más difusas (aberración cro-mática). Hay materiales que “abren” más los colores como el cristal, yotros menos como el vidrio común. En ello está la clave de la correc-ción de la aberración cromática: Dos lentes adosadas de distintosmateriales elegidos adecuadamente disminuyen la aberración cromáti-ca, al hacer converger rayos de distintos colores en un mismo punto.

b) Aberración de esfericidad: Los rayos refractados por lentes gruesasno concurren todos al mismo punto, sino que los que pasan por la peri-feria de la lente se cortan más cerca de ésta que los centrales. El efectoes que los rayos refractados dibujan en lo que vendría a ser el foco, unalínea en vez de un punto8. Para disminuir la aberración cromática pue-den eliminarse los rayos periféricos con diafragmas, de los que habla-remos luego, y también pueden usarse lentes compuestas: variaslentes delgadas poco convergentes colocadas sucesivamente dan co-mo resultado un conjunto de corta distancia focal con menor aberraciónde esfericidad que una sola lente gruesa. En cambio, una desventaja delos sistemas compuestos es la mayor pérdida de luz por sucesivas re-flexiones y absorciones en las caras e interior respectivamente de losvarios componentes.

ObjetivosLos objetivos de los instrumentos ópticos deben captar la mayor cantidadde luz del objeto, para crear una imagen lo más brillante posible. Como ya

8Esta forma puntiaguda se llama “cáustica”, por su efecto quemante sobre un papel. Si los

rayos paralelos incidentes sobre una lente gruesa forman un ángulo con el eje principal, laimagen es un punto con un apéndice, llamado “coma” por su parecido con el signo.

cristal

vidrio

R

V

R

V

R

V

R

V

CORRECCIÓN DE LA ABERRACIÓN CROMÁTICA

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 94

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se mencionó, no toda la luz que incide en una lente se transmite9, sino queparte se refleja, restando luminosidad a la imagen. Para menguar esteefecto se emplean a veces lentes recubiertas de una película delgadaantireflejo, que interfiere negativamente por reflexión en la longitud deonda que más interesa transmitir (generalmente el amarillo, para la cual elojo es más sensible). La luz reflejada en este caso es azul violácea (tona-lidad de algunos objetivos fotográficos). Para que la cantidad de luz queproviene del objeto sea máxima, en el caso de telescopios y cámaras foto-gráficas, el tamaño, abertura o diámetro de un objetivo debe ser el mayorposible, compatible con la calidad de la imagen y con el costo10.

Se llama “relación de abertura” o vulgarmente “foco” F de un objetivo, ala relación entre diámetro libre d que deja el diafragma (en caso de que nolo haya, directamente el diámetro de la lente) y distancia focal f .

Así entonces F=d/f

A mayor “foco” aumenta la luminosidad o brillo de la imagen producida,pero también la aberración de esfericidad o cáustica, creada mayormentepor los rayos desviados por la periferia de la lente. A menor valor del “foco”

se obtiene unaimagen más oscu-ra y más nítida.También con me-nor valor de focoaumenta el inter-valo de distanciasen las que puedeestar el objeto pa-ra dar una imagennítida: a este inter-

valo se lo denomina “profundidad de campo”. Para elegir las cualidadesmás convenientes de la imagen es deseable contar con una regulación delfoco, bien anteponiendo al objetivo distintas pantallas intercambiables conagujeros de diámetro fijo, o con un diafragma de abertura variable forma-

9Por luz transmitida se entiende la que no se absorbe ni refleja, es decir la que atraviesa el

medio de refracción.10

Recordemos que las aberraciones de esfericidad y cromáticas, que disminuyen la calidadde la imagen, aumentan con el diámetro y el grueso de la lente. El costo de pulido de las su-perficies y de los tratamientos para minimizar aberraciones también aumentan con el tamañode las lentes, que a menudo se componen de varios elementos precisamente para disminuiraberraciones.

EFECTO DE LADIAFRAGMACIÓN

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 95

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do por sectores, como los que se usa en las cámaras fotográficas (dia-fragma iris)

En fotografía se usan los valores normalizados de “focos” dados porlas siguientes relaciones:

1:1,2 1:2,8 1:3,5 1:5,6 1:8 1:16 1:22El valor 1:1,2 es del foco de la lente sin diafragmar. Los otros se logran

cerrando el diafragma, generalmenteformado por sectores que se van su-perponiendo, dejando una aberturaaproximadamente circular en el cen-tro.

El ojo humano tiene un objetivo, elcristalino de curvatura variable, dedistancia focal f=24 mm en reposo.Regula su “foco” con el diámetro del

iris, de acuerdo al estímulo luminoso que recibe. Con luz normal, la pupilade un ojo típico adopta un diámetro de 3mm , que dividido por la distanciafocal da para el “foco” un valor de 1:8

Aplicación: En el telescopio visto antes, si deseamos que la imagen delobjetivo de 10,27 m de distancia focal produzca una imagen de igual brilloque el de la imagen retiniana del ojo , se requerirá construirlo de una diá-metro 8 veces menor que su distancia focal, o sea 1,28 m . Con estas di-mensiones nada despreciables veríamos a través del aparato objetos nopuntuales con el mismo brillo que a ojo desnudo. En cambio, como ya seexplicó en la nota 4, los objetos celestes muy alejados darán puntos de unbrillo independiente del “foco” F y dependiente del diámetro d del objetivo.

OcularesAdemás de la de producir una imagen virtual de gran tamaño aparente, unbuen ocular debe conducir la mayor cantidad de luz al ojo del observador.Para ello es importante que sea de pequeño tamaño, del orden de la pupi-la, a la que debe estar lo más próximo posible, para que la luz no se dis-perse antes de entrar en el ojo.

Sólo se usan oculares de una sola lente (de potencia limitada) en los ins-trumentos baratos. Los instrumentos más o menos elaborados tienenoculares compuestos de varias lentes de pequeña convergencia individual,que hacen que los rayos no incidan muy sesgados sobre las superficies

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 96

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refringentes, minimizándose así la cantidad de luz reflejada y las aberra-ciones de esfericidad.

Anteojo “holandés” o de GalileoAtribuido a la inventiva de Galileo, parece que en realidad el sabio lo copiódel telescopio que traían los marinos holandeses que llegaban a Italia. Coneste instrumento se pudieron hacer las primeras observaciones astronómi-

cas. Consta de un objetivo y un ocular, el primero convergente y de grandistancia focal, similar al de un anteojo astronómico, pero a diferencia deéste, su ocular es divergente11. El esquema indica que los rayos que iríana formar la imagen real y’ provenientes del objetivo son interceptados porel ocular divergente. Entonces llegan al observador paralelos o ligeramentedivergentes, formando un ángulo β con el eje de aparato, como prove-nientes de una imagen virtual grande y alejada.

El aumento del anteojo de Galileo esA=tg(ββ)/tg(αα)=(y’/focu)/(y´/fobj)=fobj/focu , igual a la fórmula del anteojo as-tronómico.

A diferencia de lo que ocurre en el anteojo astronómico, la imagen que seve en el anteojo de Galileo no está invertida sino que es derecha (tiene lamisma posición que el objeto), y ello se logra con sólo dos lentes, sin parde inversión alguno.

Esta cualidad, más la de su longitud menor que el telescopio de Képlerequivalente, lo hace el instrumento preferido para moderados aumentos

11

No son fáciles de fabricar lentes divergentes potentes de buena calidad (con escasa abe-rración de esfericidad) debido a que, a diferencia de los lentes convergentes, poseen mayorespesor en la zona periférica, donde la desviación de los rayos es mayor, alejándose de lacondición de lente ideal delgada

α β

fobj

focu

y’

L

ANTEOJO DE GALILEO

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 97

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(rara vez mayor que 5). Ideal para salas de teatro, se construyen en parespara visión binocular. Son los “gemelos de teatro”.

La longitud del anteojo de Galileo vale LG=fobj-focu. Entonces paraA=fobj/focu será LG=focu(A-1), en cambio para el anteojo de Képler resultaLK=fobj+focu=focu(A+1). Por ejemplo para A=3 y focu=0,05m esLG=0,05x2=10 cm contra LK=0,05x4=20 cm , o sea que para un aumentode 3 veces, suficiente para ver bien el escenario, el largo del instrumentode Galileo es exactamente la mitad que el de Képler12

Telescopios reflectoresEn ellos, la imagen real de un objeto lejano producida por un espejo esfé-rico cóncavo de pequeña curvatura, se examina con un ocular común.Hay varias disposiciones para evitar que el observador intercepte los rayosde entrada.

Damos aquí la clásica disposición de Newton13: A una distancia menorque la focal del espejo cóncavo, un pequeñoespejo plano que forma un ángulo de 45º con eleje óptico desvía los rayos que van a formar laimagen hacia un costado del tubo, donde se laexamina con un ocular cuyo eje óptico es per-pendicular al del tubo. El pequeño espejo a 45ºy sus soportes interceptan una parte desprecia-ble del flujo luminoso de entrada.

El aumento de un telescopio reflector tiene lamisma expresión que la de un telescopio re-fractor (el que tiene una lente como objetivo), asaber A=fobj/focu . El espejo objetivo convienepues que sea de muy pequeña curvatura, o searadio R grande, ya que fobj=R/2

12

Un anteojo de 20 cm de largo es demasiado voluminoso para el atuendo de una función degala. Uno de 10 cm cabe en un bolso de dama.13

Se usan disposiciones más elaboradas que la de Newton, como las de Cassegrain ySchmidt, que el lector podrá ver en otros libros de óptica más completos que éste.

Telescopio reflector de Newton

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 98

98

Algunos detalles sobre telescopios reflectoresLos espejos de los telescopios reflectores se fabrican a partir de un bloquede vidrio lo más homogéneo posible, sobre el que se produce una conca-vidad por desgaste con materias abrasivas. Si se sigue una técnica ade-cuada, girando el bloque al azar a tiempo que se desgasta mediante idas yvenidas en el sentido del diámetro, se obtiene un cuenco esférico casiperfecto, que se retoca y luego se pule con abrasivos muy finos hasta de-jarlo brillante. Acto seguido se coloca la pieza en un ambiente al vacío enel que desde un crisol calefaccionado se evapora aluminio: éste se con-densa sobre el vidrio frío en una película brillante muy reflectora14. Una vezaluminizado, el espejo se monta en una caja lleva con el espejo a 45º y elobjetivo15.

Los telescopios reflectores poseen las siguientes ventajas frente a los re-fractores:• Ausencia de aberración cromática (la luz no se descompone por refle-

xión)• Una sola superficie de pulimento (menor costo que las dos superficies

de una lente de igual abertura y distancia focal y la mitad de defectos)• Mayor rigidez que una lente, al poderse tallar sobre un bloque robusto:

menor deformación mecánica a igualdad de tamaño. Esto hace quepuedan hacerse espejos de hasta 6 m de diámetro en una sola pieza.

También tienen sus inconvenientes:• Los soportes para el montaje del espejo auxiliar a 45º (generalmente

tres varillas a 120º) producen algunas alteraciones en la imagen.• Las corrientes de aire de convección dentro del tubo abierto crean de-

formaciones móviles en la imagen debida a la refracción en un mediono homogéneo en movimiento.

• La zona nítida de la imagen en el plano focal del espejo es mucho másreducida que en un buen objetivo refractor.

• La disposición de Newton obliga a mirar de costado, inconveniente enla observación terrestre.

Los telescopios reflectores son los preferidos en astronomía. Los másgrandes de una sola pieza son: el de 6 m de Zelenchukskaya (ex URSS) 14

La capa de aluminio es delicada y de nada se marca. La grasitud de los dedos la atacaenegreciéndola. Se va oxidando lentamente y al cabo de un tiempo el espejo debe ser re-aluminizado. (Un par de años en climas secos)15

Los aficionados a la astronomía se fabrican su propio telescopio. Para más detalles, véaseel precioso libro “El Telescopio del Aficionado”, de Jean Texereau (Colección “Ciencia Joven”EUDEBA)

INSTRUMENTOS ÓPTICOS 99

99

y el de Monte Palomar (California, USA) de 5 m de diámetro y 17 m dedistancia focal. Recuérdese que del diámetro del objetivo depende el flujoluminoso colectado, y el aumento depende de la distancia focal.

En Bosque Alegre (Pcia.de Córdoba), la Universidad de esa provinciaopera un telescopio reflector de 1,20 m de diámetro de origen alemán,montado en 1926 y remozado recientemente con un sistema orientador porcomputadora y de visión televisiva de tecnología rusa.

Desde 1990 está en órbita el telescopio espacial Hubble (USA), que día adía nos transmite increíbles imágenes de lejanas galaxias. Éstas se formanen el foco de su espejo, libres de las perturbaciones atmosféricas queempobrecen las observaciones terrestres.

Actualmente se construyen telescopios de enormes superficies reflectoras,pero no de una sola pieza sino formada por muchos espejos planos pe-queños, que se orientan independientemente con actuadores individualescomandados por una computadora. Se pueden corregir así los efectos derefracción de las turbulencias atmosféricas, mediante técnicas de “ópticaadaptativa” que se esbozan a continuación.

detalle de espejoindividual conactuadores

computadoradeprocesamientode imagen

terminales de observación

cámara de TV

interface deposicionamiento

superficie reflectoraformada por espejos deposicionamientoindividual

TELESCOPIO CON CORRECCIÓN DE IMAGEN COMPUTARIZADA

INSTRUMENTOS ÓPTICOS100

100

Óptica Adaptativa

Mediante un programa que analiza la imagen de un objeto celeste de forma cono-cida, la computadora optimiza la nitidez de la imagen hasta que concuerde con laforma de referencia, modificando de manera diferencial la orientación de cada unode los espejos. El objeto de referencia es en general una estrella que se encuentreen la zona observada, la que se debe ver como un punto.

Cabe citar entre este tipo de telescopios el del observatorio de MaunaKea, en Hawaii (USA) que tiene una superficie reflectora de 10 m de diá-metro, formado por 36 espejos hexagonales ensamblados, cada uno deellos con movimiento independiente mediante un posicionador.

a

a

ÍNDICEINSTRUMENTOS ÓPTICOS......................................................................... 86

LUPA O MICROSCOPIO SIMPLE.......................................................................... 86PROYECTOR DE IMÁGENES: ............................................................................. 87

Por ejemplo: .............................................................................................. 88MICROSCOPIO COMPUESTO.............................................................................. 88ANTEOJO ASTRONÓMICO, O DE KEPLER ........................................................... 90

Ejemplo: .................................................................................................... 92CONSIDERACIONES SOBRE OBJETIVOS Y OCULARES USADOS EN INSTRUMENTOS

ÓPTICOS: ........................................................................................................ 92ANTEOJO “HOLANDÉS” O DE GALILEO ............................................................. 96TELESCOPIOS REFLECTORES ............................................................................ 97

Óptica Adaptativa .................................................................................... 100

ÍNDICE ............................................................................................................. A

LUMINOTECNIA 101

NOCIONES DE LUMINOTECNIA

GeneralidadesSe llama luminotecnia a la técnica que estudia el uso y aprovechamientoracional de la luz. Ciencias auxiliares de la luminotecnia son la óptica, laelectricidad, la ergonomía1 y la economía.

Vimos que luz es una estrecha banda de radiación electromagnéticaque impresiona nuestra vista. Las fuentes de radiación se caracterizan porsu potencia radiante y por la manera en que distribuyen la radiación en elespacio. En el caso de la luz, esa potencia y distribución se valoran a tra-vés de la respuesta de nuestra vista, que transforma la potencia de lasondas que recibe (estímulo o excitación o intensidad) en sensación lumi-nosa.

Ley de Weber-FechnerPara la vista, como para cualquier otro senti-do (oído, tacto, etc.), la relación entre estí-mulo y sensación no es lineal. Es decir quea doble estímulo no hay doble sensación, sinomenor.

Se admite que en un individuo medio se cum-ple la ley de Weber-Fechner: La variación de

la sensación es inversa a la intensidad preexistente. Así si estamos reci-biendo un estímulo de intensidad I que varía en dI , obtendremos una va-riación de sensación dS=dI/I, de donde S=ln(I)+ln(K). La sensación no sehace presente (es decir que se mantiene S=0) hasta que el estímulo supe-ra un cierto valor umbral Iu , así entonces resulta ln(K)=-ln(Iu) de dondeS=ln(I/Iu). Asimismo sacando antilogaritmos es I=Iu.e

S

Ejemplo:Sea S1 la sensación con I1=10.Iu (diez veces el umbral). Entonces S1=ln(10)=2,30Cuando la sensación se hace doble, es decir cuando I2=2.I1 resultaS2=ln(2.10)=ln(20)=2,99 (30% mayor).

Gracias a este tipo de respuesta logarítmica nuestros sentidos (y la vista en parti-cular) pueden adaptarse a grandes variaciones en los estímulos. Por ejemplo poder

1 Técnica que estudia cómo adaptar el medio y las condiciones de trabajo a la fisiología ypsicología humanas.

Sensación

Intensidad del Estímulo Iumbral

LUMINOTECNIA 102ver con la luz de la luna y también ver a pleno sol, que representa un estímulocien mil veces mayor.

Fuentes de luzLas fuentes de luz o luminarias pueden tener luz propia o bien re-emitir laluz que reciben de otra fuente. Pueden ser puntuales (una arco voltaico),lineales (un filamento incandescente) o extensas (un tubo fluorescen-te), según emitan desde un punto, una línea o una superficie.

Podemos considerar a una fuente luminosa como un conjunto de gene-radores que emiten ondas electromagnéticas de diversas longitudes deonda, de las cuales solo algunas aprovechan a nuestra vista. El rendi-miento lumínico de una fuente de luz está relacionado2 con la proporciónde potencia emitida en la banda de 0,4 a 0,8 µµm frente a la potencia con-sumida total.

Conviene también considerar a la luz emitida como un fluido que brotade la fuente según una forma de distribución propia, así como en un rega-dor la cantidad de agua y la distribución en el espacio dependen del caudalde la fuente y de la forma del pico.

Magnitudes y unidades fundamentalesLa magnitud fotométrica fundamental enluminotecnia es el flujo luminoso ΦΦ, quemide la cantidad de luz por unidad detiempo que incide sobre una superficie. Elflujo es el equivalente del caudal en unsurtidor. El flujo total ΦΦτοταλτοταλ de una lumina-ria es la cantidad total de luz por unidad detiempo que emite. El flujo luminoso esuna valoración óptica de la potencia elec-tromagnética recibida o emitida, y tiene quever con la sensación de iluminación que la luz produce en un ojo normal.El flujo luminoso mide en LUMEN (símbolo=Lm)

La intensidad I de la fuente según una dirección determinada en el espa-cio, es el flujo por unidad de ángulo sólido en esa dirección.

2 Esta relación entre potencia y sensación luminosa, que no es lineal, depende de la res-

puesta del sentido de la vista

n

r

∆∆sANGULO SÓLIDO∆Ω=∆s.cos(α)/r2

αα

LUMINOTECNIA 103

SÓLIDO FOTOMÉTRICO

Ángulo sólido: Se llama ángulo sólido, por analogía con el ángulo ordina-rio (relación entre arco y radio), a la relación adimensional entre superficiede la calota esférica y el cuadrado del radio de la esfera correspondiente.Si se trata de una superficie pequeña ∆∆s cuya perpendicular forma un án-gulo α con la dirección de r, ella subtiende un ángulo sólido que vale∆Ω∆Ω=∆∆s.cos(αα)/r2 .La unidad del ángulo sólido es el estereorradián, equivalente a una su-perficie de un metro cuadrado a la distancia de 1 metro. El ángulo sólidocorrespondiente a una superficie esférica completa vale ΩΩesf=4ππr22//r22=4π=4π

En la figura, la pequeña superficie ∆∆s recibe un pequeñoflujo ∆φ∆φ de la fuente que está a la distancia rLa intensidad I de la fuente en esa dirección vale puesI=∆φ/∆Ω ∆φ/∆Ω

La intensidad de una luminaria se mide en CANDELAS.(I[Cd])Para reproducir una intensidad relaciona-da con la candela, imagínese un crisol nototalmente lleno con platino a la tempe-ratura de fusión3(1769ºC) que deja salir laluz de la cavidad por una tapa con unaventana de 1 cm2 de superficie. Esaventana emite perpendicularmente una

intensidad de 60 Cd1 Cd = 1Lm/sr (lu-men por estereorra-dián)

La intensidad de una fuente a una distanciagrande en comparación con su extensión, es un valorque depende de la dirección entre el punto consideradoy la fuente. Por ejemplo, en una lámpara de incandes-cencia colgada de un portalámparas común, la intensi-dad es nula hacia arriba, por la sombra que proyecta la

3 Debe quedar una cavidad vacía entre el platino y la tapa, donde se homogeneiza la radia-ción. Se obtiene así un radiador de “cuerpo negro”, independiente del poder emisivo del plati-no en fusión.

60

cd

Pt )cos(.s

r..I

2

r

cos.s2 α∆

φ∆=

φ∆=

∆Ωφ∆

=α∆

LUMINOTECNIA 104rosca de la lámpara y el portalámparas. Hacia abajo la intensidad tiene unvalor máximo, mayor que en la dirección horizontal determinada por losdos soportes del filamento, que también proyectan algo de sombra. Haciaadelante y hacia atrás del dibujo la intensidad es también máxima. Si re-presentamos la intensidad con flechas de largo proporcional a su valor se-gún la dirección, podremos dibujar un sólido representativo de la misma,que en luminotecnia se llama “sólido fotométrico”

El sólido fotométrico de una luminaria para la víapública tiene una forma alargada en el sentido dela calle. Esto se logra modificando la distribuciónpropia de la lámpara (usualmente una de vapor demercurio de alta presión) mediante un reflector su-perior y una cubierta refractora de vidrio por deba-jo.

La iluminación E es el cociente entre flujo y área iluminada o sea (ver lafórmula anterior): E=∆φ/∆∆φ/∆s=I.cos(αα)/r2

La iluminación se mide en LUX . 1 Lx= 1 Lm/m2 (E[Lx])E depende de la intensidad de la fuente en la dirección considerada, ladistancia a la fuente y la inclinación de los rayos con respecto a la nor-mal a la superficie.

TABLA DE ILUMINACION RECOMENDADA SEGÚN ACTIVIDADESLugar o Actividad Iluminación

recomendada (Lx)Vía pública, playas, pasillos de poco tránsito 5 a 20Pasillos y otros lugares de paso. Depósitos 20 a 50Salas de espera o de trabajo no continuo 50 a 100Aulas, bibliotecas, talleres de montaje 100 a 500Salas de dibujo, talleres mecánicos y costura 500 a 1000Quirófanos, mecánica de precisión 1000 a 5000

El umbral de una vista normal es de 10-10 Lx. La luna llena produce 0,25Lx. A pleno sol se obtienen 105 LxEsta relación de intensidades (sol/luna) de 1015 representa para la vistauna relación de sensación de ln(1015)=34 veces

LUMINOTECNIA 105

Se llama brillo b de una superficie emisora para una dirección dada, alcociente entre intensidad y el área de esa superficie proyectada normal-mente en la dirección del observador. La superficie emisora puede tenerluz propia o bien estar iluminada por otra fuente. El brillo se mide en Cd/m2

(candela por metro cuadrado). Un submúltiplo de esa unidad se llama“Stilb”.1 sb = 10-4 Cd/m2 = 1 Cd/cm2. Por ejemplo, el brillo de la unidad patrón deplatino fundido de 60 Cd vale 60 sb

El brillo es la intensidad específica de una fuente en una dirección dada. Es proporcional(aunque no linealmente) al estímulo luminoso que recibe el ojo. El mismo brillo crea sensa-ciones diferentes según la zona de la retina donde se produzca la imagen. La sensación esmayor cuánto más cerca de la fóvea se instale la imagen. Por ese motivo, y además por elefecto protector de los arcos superciliares sobre los rayos que superen un cierto ángulo con lahorizontal, (efecto visera), las fuentes brillantes de iluminación deben colocarse de maneraque sus rayos lleguen al ojo formando un ángulo mayor que 15º con la horizontal.El deslumbramiento (o encandilamiento) es el efecto de saturación y bloqueo de la percep-ción visual que crean imágenes de brillo superior a un valor crítico (aproximadamente 1 Sb)que se produzcan cerca de la fóvea. El deslumbramiento es tanto mayor cuánto más con-traste haya entre objeto brillante y fondo. Las luces largas de los autos en la carretera produ-cen deslumbramiento, debido a su intenso brillo (alrededor de 5 Sb), a su horizontalidad y alcontraste con la oscuridad reinante. Para moderar su efecto conviene desviar ligeramente lavista de los faros del vehículo que se acerca por la mano contraria, apartando así su imagende la zona más sensible del ojo.

El flujo conservativoSi se considera que el medio no absorbe luz (por ejemplo una atmósferadiáfana), el flujo de luz es conservativo, vale decir que no se consume enningún punto. Si en cambio hay nieblas, humos o en general medios ab-sorbentes, el flujo total se va consumiendo en tales medios y su valormengua al irse alejando de la fuente. En general en luminotecnia se admi-te, salvo casos muy especiales, que el flujo se conserva, es decir que losmedios conductores de la luz son perfectamente transparentes.

Variación de la iluminación con la distancia y elángulo de incidencia de los rayosLo común es que los haces de las luminarias sean más o menos di-vergentes a partir de la fuente. Que el flujo de luz se conserve significa queen caso de haces divergentes, la iluminación irá disminuyendo con la dis-tancia, ya que la cantidad de luz constante se distribuye en una superficiecada vez mayor. En caso particular de una fuente que emita hacia todoslados con igual intensidad y cuyo flujo total valga ΦΦtotal , produce sobre es-

LUMINOTECNIA 106feras de radio r concéntricas con esa fuente una iluminación que disminuyecon el cuadrado de la distancia, a saber E=ΦΦt/(4ππr2)

Si la normal a la superficie S que recibe los rayos forma con los mismos unángulo α, la iluminación disminuye con esa inclinación, ya que el mismoflujo se reparte en una mayor superficie S’=S/cos(αα), y de acuerdo a estoes E=ΦΦt/(4ππr2)/cos(αα)En el caso límite que α=90º, los rayos pasan rasantes a la superficie y éstano es iluminada ya que no recibe flujo.

A la relación Ime=ΦΦt/(4π)π) se la llama intensidad media esférica de lafuente, y corresponde a la intensidad de una fuente que tuviera el mismoflujo total que la fuente en cuestión, pero con igual intensidad en todos lossentidos. En otras palabras, si la fuente tuviera una distribución de flujopareja, radiaría una intensidad igual a la media esférica hacia todos lados.Como en general las fuentes no producen una distribución uniforme (véaseel ejemplo de la lámpara incandescente), su intensidad en algunas direc-ciones es mayor que la Ime y en otras menor

Ejemplo: Una lámpara incandescente que con-sume una potencia eléctrica de 40 W emite, se-gún el fabricante, un flujo total de 430 Lm.1º) ¿Cuál es su intensidad media esférica?Respuesta 1: Ime = ΦΦtotal/(4ππ) = 430/12,57 = 34,21Cd2º) Suponiendo que hacia abajo de la lámpara laintensidad sea un poco superior a la media, estoes 40 Cd ¿a qué distancia de la lámpara podrécolocarme con un libro para poderlo leer con unailuminación aceptable de 50 Lx?Respuesta 2: No puedo colocarme justo debajode la lámpara porque proyectaría la sombra de micabeza sobre el papel, así que me pondré hacia un lado, con lo cual αα=30º. Así resultaráE=Iαα.cos(αα)/r2 , pero I30º<Imáx , y entonces tomaré I30º=35 Cd . Entonces r2=I30º.cos(αα)/E o sear2=35.cos(30º)/50 de donde r2=35.0,866/50=0,61 , resultandor=0,78 mConsideraciones: Colocándole a la lámpara una pantalla podremos evitar que el flujo haciaarriba se pierda. Supongamos que con este medio se puede tener un flujo útil de un 50%más, esto es:1,5x430=645 Lm. En esas condiciones I30º=1,5x35=52,5 Cd y de tal manera será r2=1,5x0,61de donde r=0,95 m (la lámpara se podrá alejar unos 15 cm)O bien, dejándola donde está, se obtendrá una iluminación 1,5 veces mayor, de 75 Lx, quepermite leer más cómodamente.

Variación de la iluminación con la distanciaLa ley de la inversa del cuadrado de la distancia vale solamente para luminariasque emiten según un sólido fotométrico divergente en todos los sentidos

α

IααImáx

LUMINOTECNIA 107(en ancho y en alto, por decirlo de alguna manera), por ejemplo una pirá-mide o un cono. Si el sólido tiene límites paralelos en algún sentido (porejemplo en alto), el flujo irá distribuyéndose en superficies proporcionales ala distancia a la fuente (no al cuadrado). Si, por último, el sólido fotométricotiene todas sus caras paralelas (un prisma o un cilindro), como en el casode un faro que emite rayos paralelos, la iluminación no variará con la dis-tancia sino que se mantendrá constante4. Puede incluso imaginarse unaluminaria que emita un haz convergente, lo que producirá hasta el cruce delos rayos una iluminación que aumenta con la distancia. Si la convergenciaes perfecta, como en el caso de un espejo elíptico que concentra los rayosproveniente de uno de sus focos en el otro, la iluminación en el foco seráigual a la que tendría a distancia nula de la fuente5.

Medida de la IluminaciónEl método más preciso es elde comparación. Es fácildeterminar la igualdad de ilu-minación entre dos superficiesadyacentes del mismo color ytextura, por ejemplo dos vi-drios esmerilados. Uno deellos recibe la iluminación E2

que se trata de medir, bajo elángulo αα con respecto a lanormal. El otro vidrio de refe-rencia recibe la iluminación E1

de una fuente patrón de in-tensidad Ip conocida. Estalámpara se puede mover a lolargo de un tubo cerrado pintado interiormente de negro mate, para que lasuperficie de referencia reciba exclusivamente la luz de la lámpara patrón.Ésta se desliza hasta la distancia r posición para la cual las dos superficiespresenten igual iluminación. (El observador ve la imagen de la superficiede referencia reflejada en el espejo a 45º, junto a la superficie que recibe lailuminación E2. En tal caso es E1=E2 y como los rayos de la fuente patrón 4 Éste último caso es el de la luz solar, cuyos rayos son sensiblemente paralelos para distan-cias normales. En la cima del Everest el sol es mas fuerte que en la depresión del Mar Muer-to, pero no a causa de la distancia de estos dos puntos al sol, que es prácticamente la misma,sino a causa del menor espesor de atmósfera que tiene que atravesar (unos 8000 metros).5 Esta iluminación no es infinita, como se desprende de las fórmulas, porque éstas valen para

fuentes puntuales fuera de las mismas. En realidad, dado que las fuentes puntuales son unaentelequia y sólamente existen fuentes extensas, la iluminación a distancia nula de la fuenteequivale al brillo de la misma.

Ip

luz

r

vidriosesmerilados

espejo a 45ºE1

E2

imagen del vidrioesmerilado cuyailuminación es E1

FOTÓMETRO DECOMPARACIÓN

αα

LUMINOTECNIA 108son perpendiculares a la superficie de referencia, se verificará queE2=E1=Ip/r

2 . El método de comparación es difícil de aplicar con fuentes dedistinto color.

Otro método para medir iluminación emplea fotómetros absolutos. Sonaparatos que traducen iluminación en señal eléctrica (diferencia de poten-cial o corriente). Se calibran por comparación con fuentes de iluminaciónpatrón.

El de fotocelda emplea un dispositivo que aprovecha el efecto fotoeléc-trico, esto es el de emisión de electrones por los metales alcalinos (porejemplo potasio) iluminados por luz visible6. Los electrones arrancados conuna determinada energía cinética forman una nube fuera del metal alcalino(que entonces queda con carga positiva). La nube electrónica es captadapor un electrodo de un metal no emisor (por ejemplo platino), que adquierecarga negativa. El conjunto está encerrado en una ampolla de alto vacío.Los electrodos se conectan a una pila con el negativo sobre el metal alca-lino (fotocátodo) y el positivo sobre el alambre de platino. La muy débil co-rriente que se establece cuando incide luz sobre el fotocátodo es amplifi-

cada conveniente-mente y medida conun galvanómetro.Otro dispositivo es elque emplea el efectofotovoltaico, equiva-lente al efecto fotoe-léctrico pero en vezde saltar los electro-nes en el vacío, lohacen en una interfa-se semiconductora deóxido/metal (por ejem-plo óxido de co-bre/cobre). Estos dis-positivos fotovoltaicos(como los generado-res solares) producen

6Estos electrones son arrancados del seno del metal alcalino en un proceso cuántico: un fotónextrae un electrón si tiene suficiente energía cinética como para vencer la energía potencialque lo retiene al metal (potencial de extracción); de lo contrario sólo produce calor. Esto expli-ca que no haya emisión alguna por debajo de cierta frecuencia, que depende del potencial deextracción propio del metal.

luz

luz

galvanómetrograduado en

Lux

Cu2O

Cu

Fotómetros absolutos

n

galvanómetrograduado en

Lux

fotorresistor de S Cd

luz

pila

depósito interiorde metal alcalino

contacto al fotocátodo

Aro de Pt (ánodo)

Amplificador

LUMINOTECNIA 109una señal muy potente que no necesita posterior amplificación.También se usan fotorresistores, construidos con sustancias que, comoel sulfuro de cadmio, aumentan su conductividad eléctrica con la ilumina-ción (incidencia de fotones).

La respuesta de los fotómetros absolutos depende del color, ademásde la intensidad. (Véase nota (4) al pie). A diferencia de nuestra vista quetiene alta sensibilidad al amarillo, los elementos fotoemisores, que emitenen base a transferencia de energía entre fotón y electrón, tienen mayorsensibilidad a los fotones más energéticos, o sea de mayor frecuencia7.Esto obliga a intercalar filtros correctores, que mengüen los tonos azulesa favor de los de menor frecuencia.

Rendimiento de las luminariasSe llama rendimiento de una luminaria a la razón entre flujo total emitidoy potencia total consumida. Por ejemplo, una lámpara eléctrica incan-descente de 40W , 220V emite un flujo de 430 Lm, y por lo tanto su rendi-miento es 430/40=10,75 Lm/W. Un tubo de luz fluorescente de 36 W emiteun flujo de 2200 Lm, y tiene por lo tanto un rendimiento mucho mayor, de61 Lm/watt. El mayor rendimiento de un tubo fluorescente frente a unalámpara de incandescencia radica en que el primero emite mucho menosrayos calóricos (invisibles) que ésta.

Una lámpara incandescente es una fuente térmica, que emite radiaciónproveniente de la agitación molecular estadística, cuya medida macroscó-pica es la temperatura del filamento. El tubo fluorescente genera rayosultravioleta (invisibles) por radiación atómica (no térmica) del vapor demercurio a baja presión que lo llena. Esa radiación ultravioleta excita lafluorescencia (radiación fría visible) de compuestos fosforados que recu-bren el interior del tubo.

Por una razón que se verá al estudiar la radiación térmica, una fuente tér-mica aumenta su rendimiento lumínico con la temperatura de trabajo: porejemplo se usa en norteamérica alimentar algunas instalaciones de lám-paras de incandescencia con mayor tensión que la nominal (por ejemplo250 volt en vez de los 220 normalizados). Como resultado las lámparastrabajan a mayor temperatura produciendo individualmente un mayor flujoluminoso, lo cual permite usar menos unidades para el mismo propósito.Se ahorra energía y se abaratan las instalaciones. La vida media de laslámparas es menor, y hay que reponerlas más seguido (mayor costo de 7 La energía E de un fotón es proporcional a la frecuencia ν de la radiación asociada. E=h.ν(h es la constante de Planck)

LUMINOTECNIA 110mantenimiento y reposición). Sin embargo el ahorro de energía compensacon creces el costo de reposición.

RENDIMIENTO DE ALGUNAS FUENTES DE LUZ en Lm/WLámpara incandescente común 12Lámpara de cuarzo-halógeno incandescente 18Lámpara de gas de mercurio alta presión 52Tubo fluorescente 60Lámpara de vapor de sodio de alta presión 81Lámpara de vapor de sodio de baja presión 130

Problema de aplicación:Anteproyecto de iluminación de una playa de estacionamiento de 100x100metros al aire libre, en la que debe existir una iluminación mínima de 20Lx. Se dispone de lámparas de mercurio de alta presión que emiten unflujo total de 20000 Lm consumiendo una potencia de 400 W c/u.

Solución:Los artefactos de lámparas producen sobre el suelo una iluminación variable entreun máximo y un mínimo. Con muchos artefactos dispuestos apropiadamente sereduce este efecto. Sin embargo es razonable suponer en este caso que para lo-grar una iluminación mínima de 20 Lx se deban hacer los cálculos con una ilumi-nación promedio dos a tres veces mayor, pongamos unos 50 Lx

El flujo total que se necesita sobre la superficie S de la playa (ΦΦu flujo útil) es iguala dicha superficie multiplicado por el nivel E de iluminación promedio, suponiendoque los rayos llegan perpendicularmente al suelo.Así es ΦΦu = E.S = 50Lx.10000m2 = 500000 Lm.

Ahora bien, consideremos que las lámparas están montadas en artefactos quecanalizan los rayos hacia el suelo, absorbiendo un 10% del flujo (en el vidrio y en el

espejo del artefacto). Además de estamerma del 10% en el aprovechamientode la luz, se debe considerar que losartefactos perimetrales envían parte desu flujo fuera de los límites de la playa,que supondremos sin paredes latera-les. Este efecto es particularmenteimportante en superficies de gran rela-ción perímetro/área (rectángulos alar-gados), que no es el caso de nuestraplaya cuadrada. Por ahora no tendre-mos en cuenta esta cuestión, sobre laque volveremos una vez calculados elnúmero y distribución de luminarias.

100 m

20 m

LUMINOTECNIA 111

Entonces, en concepto de pérdidas, en cada artefacto (de una lámpara) se pierde20000x0,1=2000 Lm, con lo que el flujo emitido por cada luminaria que efectiva-mente llega al suelo esΦΦc/u=20000-2000=18000 Lm

Lo anterior equivale a decir que sólo el 90% de la luz producida es emitida real-mente por el artefacto. El 10% es absorbido por los medios refringentes y reflecto-res.

La cantidad de artefactos necesarios resulta asíΦΦu/ΦΦc/u = 500000/18000 = 27,78

Se propone instalar 30 artefactos con el arreglo de la figura. La distancia entre ar-tefactos es de aproximadamente 20 m.

Con esta disposición, la cantidad de artefactos sobre el perímetro de la playa, cuyoflujo cae parcialmente fuera del recinto, resulta ser de 14 sobre un total de 30 arte-factos

Estimando que sólo el 60% del flujo emitido por esos 14 artefactos cae dentro delos límites de la playa, la playa recibirá entonces un flujo real de :14x18000x0,6 + 16x18000 = 18000 x 24,4 = 439200 Lm, lo que arroja una ilumi-nación media de:439200/10000=44 Lx , es decir un poco menos de lo calculado inicialmente.

El consumo de potencia eléctrica para toda la instalación de alumbrado resulta:30 artefactos x 400 W = 12000 W

RADIACIÓN TÉRMICA 112

RADIACIÓN TÉRMICASe llama radiación térmica a la energía electromagnética emitida por loscuerpos a causa de su temperatura8. Como se sabe, calor y luz son par-tes del espectro electromagnético, que va desde las ondas largas deradio a las muy cortas radiaciones gamma, pasando por las ondas infra-rrojas, las luminosas y las ultravioleta.

Los cuerpos cuya temperatura va desde 100 a 5000ºC radian principal-mente en la zona del infrarrojo, el visible y algo en el ultravioleta.

Existe una relación entre el color aparente de la radiación emitida y latemperatura de los cuerpos emisores.

Temperatura en ºC Color de la luz Ejemplo<500 infrarrojo ceniza caliente500 rojo oscuro rescoldo600 rojo estufa de cuarzo700 rojo claro carbón bien encendido800 anaranjado carbón en un hogar900 anaranjado brillante carbón en la fragua1000 amarillo hierro antes de fundir1500 amarillo brillante hierro fundido2500 blanco amarillento filamento de lámpara3000 blanco flash fotográfico5000 blanco solar luz solar7000 blanco azulado luz de la estrella Sirio

No todos los cuerpos radian de la misma manera. Los cuerpos opacos deaspecto negro, como el hollín o el carbón de leña, son los que más absor-ben cuando están fríos. Por eso aparecen negros: Absorben toda la luzque incide sobre ellos, reflejando nada o muy poco. Examinando la super-ficie de un trozo de carbón o de hollín al microscopio observamos queestá formada por pequeñas cavernas de grafito, que es brillante. Sin em-bargo la luz no se refleja en el carbón porque los rayos quedan aprisiona-dos y se extinguen después de múltiples reflexiones en esos hoyos degrafito brillante.

8 No debe considerarse radiación térmica a la radiación atómica, generada por saltos electró-nicos discretos, ni a la fosforescencia y fluorescencia. Estos tipos de energía radiante (luzfría, como la de los tubos fluorescentes) no provienen de la agitación térmica estadística delas moléculas, y producen espectros discontinuos de rayas o de bandas en vez de los espec-tros continuos de los cuerpos calientes.

RADIACIÓN TÉRMICA 113

Por ese mismo motivo, una pequeña ventana en una cavidad fría se pre-senta siempre oscura desde afuera, como las ventanas de los edificiosdurante el día. Aunque el interior de las habitaciones estén iluminadas porla luz que entra por esas ventanas y no sean precisamente oscuras, apa-recen así porque los rayos que entran por la ventana estrecha difícilmentesalen de la gran cavidad que hay detrás, en cuyas paredes se irán absor-biendo.

Los cuerpos cuya superficie esoscura o negra también son losque más radian cuando estáncalientes: Un trozo de carbónencendido tiene un rojo másvivo que un trozo de hierro me-tido en él, a pesar de estar am-bos a la misma temperatura.Una cavidad en un trozo dehierro al rojo aparece más bri-llante que el resto de la pieza.Asimismo, las superficies quemenos absorben cuando están

frías son las brillantes o espejadas y también son las que menos radiancuando están calientes9. Un automóvil claro al sol se calienta menos queuno oscuro, pero también se enfría más lentamente cuando cae el sol.

Para explicar estos hechos podemos imaginar que la materia radia porquesus átomos o moléculas, que tienen cargas eléctricas, vibran a causa de laagitación térmica. Una carga eléctrica oscilante emite radiación elec-tromagnética: es una pequeña antena de un emisor monocromático (deuna sola frecuencia). Si cada partícula de la materia radiante emite en unasola frecuencia, se puede imaginar que la radiación policromática de uncuerpo es el resultado estadístico de toda esta infinidad de pequeñosemisores elementales cada uno con frecuencia propia.

La radiación que emiten los osciladores que tapizan las paredes interioresde una cavidad cerrada sufre una suerte de “homogeneización” , ya quese establece un equilibrio entre radiación emitida y absorbida para cada

9 Una plancha eléctrica , que presenta una superficie pulida, radia muy poco aunque esté muycaliente: la planchadora debe humedecerse el dedo con saliva y tocarla para saber si está apunto. En cambio sentimos la radiación sobre la mano al acercarla a la plancha negra de losbifes, que está sobre la hornalla a la misma temperatura.

De día, los vanos abiertos de los edificiosaparecen negros. El agujero (no pasante) enun bloque de hierro al rojo es más brillanteque el propio bloque

RADIACIÓN TÉRMICA 114color (o intervalo de longitud de onda). El interior de la cavidad está surca-da de una radiación homogénea e isótropa10 cuya composición en colorresponderá a la cantidad de osciladores que aportan cada color en parti-cular.

Si practicamos una abertura muy pequeña en esa cavidad, saldrá y entraráradiación en una medida que no afectará el equilibrio interno de la misma:el observador verá la abertura como un agujero. Negro si el interior estáfrío, de color si está caliente. Se comprende así que una abertura en unacavidad sea equivalente a la superficie de un cuerpo negro y sea mejoremisor o receptor de radiación que cualquier otra superficie no cerrada,que por esa condición no favorezca la homogeneización de la radiación.

Generalmente las superficies de los cuerpos comunes no absorben total-mente la radiación que incide sobre ellas y por lo tanto no son absoluta-mente negras aunque a veces puedan aparecer así a la vista porque ab-sorben los rayos visibles, pero reflejan o transmiten otras radiaciones invi-sibles. Se las denomina genéricamente superficies de “cuerpo gris”. Porlas razones ya apuntadas una superficie de “cuerpo gris” absorberá y emi-tirá menos que una superficie de cuerpo negro. La relación entre esa me-nor cantidad de radiación absorbida o emitida según los casos, frente a lade un cuerpo negro en las mismas condiciones, se llama emisividad delcuerpo gris, y vale menos que la unidad. La emisividad de un espejo per-fecto es nula.

El estudio experimental de la distribución de la energía radiante de loscuerpos a través del análisis de sus espectros, permite inferir datos sobreesa “colonia de osciladores” que la produce. En base a datos muy preci-sos sobre la distribución de energía espectral de los ópticos alemanesLummer y Prigsheim en el siglo pasado, se elaboraron una serie de teo-rías que culminaron con la hipótesis formulada por Max Plank en 1900, asaber: que la luz y la radiación en general se emite por pequeños paquetesindivisibles en vez de un flujo continuo de ondas.

He aquí los hechos:El espectro de la radiación emitida, que se obtiene haciendo pasar la luzpor un prisma o red de difracción, presenta una apertura de la radiación

10

Homogéneo se aplica a las cosas cuyas propiedades son iguales en todos sus puntos, oseaque son independientes de su situación. Por ejemplo es homogénea una mezcla de pintura ycolor cuando el tono es el mismo en toda la masa. Isótropo se aplica a las cosas cuyas pro-piedades son independientes de la dirección en el espacio, por ejemplo no es isótropo laconstitución de un tejido con fibras en una dirección preferente.

RADIACIÓN TÉRMICA 115según su longitud de onda o frecuencia. Si esa apertura o descomposición

de la luz se realiza con un prisma, su desviación será aproximadamenteproporcional a la frecuencia νν de la radiación considerada. Si se usa unared de difracción11, la desviación es proporcional a la longitud de ondaλλ=c/ννSe comprende que la intensidad de cada color en un espectro será propor-cional a la cantidad de osciladores que lo emitan, o sea que la densidad deenergía en el espectro representa la distribución de la cantidad de oscila-dores que emiten la correspondiente longitud de onda, característica deese color.

La densidad de energía espectralse estudia paseando un pequeño detector de radiación (radiómetro) sobrela proyección del espectro del cuerpo emisor.Un detector adecuado es un alambre recubierto de hollín12, que absorbetoda la radiación incidente, como ya se explicó. Toda la energía captadapor el alambre negro se transforma en calor y la temperatura del alambreaumenta proporcionalmente al calor recibido, o sea a la energía de la pe-queña banda del espectro abarcado por el delgado hilo. Se sabe que la

resistenciaeléctrica de losmetales es pro-porcional a su

temperatura,así que midien-do la resisten-cia del alambredetector, colo-cándolo en una

11

Lo ideal es una red de reflexión, que no absorbe radiación alguna.12

Se pasa el alambre frío por una llama reductora, depositándose el carbono sin quemarsobre el mismo.

fuenteeléctrica y

amplificador

hilo dePlatino

recubiertode negro de

humo

prisma

Indicador dedensidad de

radiación

movimiento de barrido del detectorsobre el espectro

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 µµm

UVUV IRIR γ γ X

5000 ºK

3000 ºK

RADIACIÓN TÉRMICA 116de las ramas de un puente de Wheatstone, se sabrá su temperatura y porende la intensidad específica para ese color.

Si representamos en ordenadas la indicación del aparato y en abscisas lalongitud de onda, obtendremos una curva de distribución acampanada.En la figura, la curva amarilla corresponde a un cuerpo cuya superficie tie-ne aproximadamente 5000ºK (como el sol) y la curva anaranjada a uno de3000ºK (como el de un flash fotográfico o una lámpara halógena).

En la época anterior a Planck, los físicos Stephan, Wien, Boltzmann yotros, estudiando atentamente las curvas correspondientes a cuerpos ne-gros a diferentes temperaturas, establecieron las siguientes leyes empíri-cas:

LEYES DE LA RADIACIÓN TÉRMICA

a) La potencia electromagnética total de radiación emitida por la superficiedel cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura ab-soluta. (Ley de Stephan, de la cuarta potencia). Se demuestra matemática-mente que esa potencia está medida por el área encerrada entre la curva y eleje de abscisas. Esa ley se expresa por la fórmula P[W]=S[m2].σσ.T4 , donde Ses la superficie radiante en m2, T su temperatura absoluta superficial y σσ unaconstante que vale σσ=5,86x10-8 [W/m2/ºK4]

b) El máximo de la curva se encuentra en una longitud de onda que se va co-rriendo hacia longitudes de onda cada vez más cortas a medida que la tempe-ratura crece (notemos que a 3000ºK está en 0,95 µm y a 5000ºK está a 0,55µm). La relación matemática encontrada es que esa longitud de onda λmáx, pa-ra la cual corresponde el máximo de intensidad específica, es inversamenteproporcional a la temperatura absoluta T de la superficie radiante.(Ley deldesplazamiento del máximo, de Wien, que se expresa λλmáx=b/T , para un va-lor de la constante b=2,9x103[µµm.ºK])

c) La máxima intensidad específica es proporcional a la quinta potencia de latemperatura absoluta. Es decir que si la ordenada máxima a 3000ºK vale 1, laordenada máxima a 5000ºK valdrá (5000/3000)5=12,8 veces más. (Ley de laquinta potencia de Wien).

RADIACIÓN TÉRMICA 117

PRESIÓN DE RADIACIÓNLa luz produce una presión sobre las superficies en las que incide (siem-

pre que éstas no sean transparentes), de la misma forma que un chorro de aguaejerce presión sobre la pared contra la que choca. El origen de la fuerza se puedeatribuir a la variación de la cantidad de movimiento de las partículas luminosas quevienen con velocidad c y se estrellan contra el receptor.

Se demuestra en electricidad que la energía por unidad de volumen deun campo electromagnético vale numéricamente lo mismo que la presión de ra-diación que ejerce sobre una superficie que la absorba totalmente. Así un haz deluz de potencia P que incide sobre una superficie S durante un tiempo t a la veloci-dad c , ocupa un volumen S.c.t y tiene una energía por unidad de volumen igual aP.t/(S.c.t)=P/S/c, y este es precisamente el valor de la presión de radiación. Lafuerza que ejerce sobre el receptor es F=P/c (13)

El mismo Wien, que conocía que la radiación ejercía presión sobre loscuerpos, asimiló una cavidad radiante a un globo lleno de gas caliente, eimaginó como podría evolucionar en un ciclo de Carnot. Mezclando elsegundo principio de la termodinámica con la presión de radiación,aparecen naturalmente las leyes de Stephan (de la cuarta potencia), la deldesplazamiento y la de la quinta potencia.

También por analogía formal, la curva acampanada de radiación muy si-milar a la distribución de energía cinética de las moléculas de un gas, lesugirió que se trataba de un fenómeno de distribución de energía de mu-chas partículas, similar a la estudiada a fines del siglo pasado por el inglésMaxwell y el austríaco Boltzmann, aplicable a gases ideales (Teoría ci-nética de los gases).

Wien y otros físicos de la época pensaron que las energías de la colecciónde osciladores que tapizaban las paredes de un cuerpo emisor podrían

tener una distribución de energíasimilar a la de un gas, y aplicán-doles la ley de distribución deMaxwell llegaron nuevamente ala ley de la cuarta potencia, la deldesplazamiento y la de la quintapotencia.

13

Si la superficie en la que inciden las ondas es un espejo, las ondas cambian de velocidadde c a –c, siendo doble la variación de la cantidad de movimiento con respecto a la absorciónen un cuerpo negro. Resulta así que la presión de radiación sobre un espejo perfecto vale2P/c

Experimental

Maxwell

I

λ λ

RADIACIÓN TÉRMICA 118Sin embargo la curva de Maxwell, que se ajusta bastante bien a la curvaexperimental para longitudes de onda pequeñas, se aparta de ella paralongitudes de onda grandes: sus ordenadas, que representan la intensidadespectral, son menores que la experimental. Para “curar” ese defecto,Planck modificó la fórmula de Maxwell restando la unidad en el denomi-nador: ese uno no tiene peso en el valor del denominador cuando el expo-nente hc/(kλλT) es grande, o sea cuando λλ es pequeña. En cambio, el unotoma importancia para λλ grandes, reduciendo el valor del denominador ypor lo tanto aumentando el valor de U.

Esta inocente corrección, que es casi rutinaria para un matemático acos-tumbrado a ajustar curvas, tiene un sentido físico muy profundo pues per-mite el desarrollo de la fórmula en una serie de potencias de la energíabásica h.c/λ . λ . Veamos....

La ley de Maxwell, derivada de la de los gases moleculares es:

La ley de distribución de la densidad de potencia, retocada por Planck,

resulta:La densidad de potencia significa “la potencia por unidad de superficie pa-ra un color del espectro correspondiente a la longitud de onda λ”14

• U es la densidad de potencia para la longitud de onda [m] , expresada en[W/m2/m]

• es la longitud de onda del color o el lugar del espectro elegido (en m)• c es la velocidad de la luz en m/s (c=3.108 m/s)• e es un número irracional, base de los logaritmos naturales (e=2,71828...)• T es la temperatura absoluta del cuerpo negro• k es la constante universal de los gases para una molécula, es decir• k=R/Na=8,3J/ºK/mol/6,02.1023 (se la conoce como “constante de Boltzmann”

14 El color en este caso es una radiación de color puro, representado por un intervalo de lon-gitud de onda infinitésimo.

1e

1c.hU

Tk

hc5

2

−•

λ=

λ

Tk

hc5

2

e

1c.hU

λ

•λ

=

RADIACIÓN TÉRMICA 119• h es la constante de Planck, que salió experimentalmente de las mediciones

de radiación al aplicar la fórmula de los gases. h = 6,63.10-34 J.s

Para que aparezca clara la suma de una serie geométrica de razón r, de laforma 1/(1-r), la fórmula anterior puede ponerse bajo la forma U = [hνν2/l3.e-

hνν/k/T] [1/1-e-hνν/k/T]

El primer corchete es la fórmula de distribución de la energía del tipo deMaxwell, válida para moléculas gaseosas.

El segundo corchete es la suma de una serie geométrica de razón e-hνν/k/T

es decir1+e-hνν/k/T+e-2hνν/k/T+e-3hνν/k/T+.....

En todas las fórmulas de distribución, las energías de las partículas (molé-culas, osciladores, o la partícula de que se trate) van en el numerador delexponente: en el caso de la radiación estas energías valen pues hνν, 2hνν,3hνν,...

El producto de ambos corchetes da una suma de distribuciones del tipoMaxwell, donde no tienen cabida las energías que no sean múltiplos de unvalor fundamental hνν

FotonesLa fórmula de Planck revela así que la potencia específica de radiación Use puede expresar en una suma de términos de energías que son múlti-plos de una cantidad fundamental hνν

Resulta apropiado entonces admitir que esa emisión escalonada provienede los aportes individuales de los radiadores elementales, que por lotanto tampoco pueden variar su energía en forma continua.

Si aplicamos las leyes estadísticas de los gases de Maxwell a la colec-ción de osciladores elementales que conforman la superficie radiante, apa-rece que cada oscilador elemental puede radiar solamente una energíamúltiplo de una cantidad básica o “cuanto” igual a la constante de Planckmultiplicada por la frecuencia de oscilación: Así será que Eosc=n.h.νν, sien-do n=1,2,3... (un número entero).

Por otra parte, la interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico dada porEinstein (véase lo dicho al ocuparnos de los fotómetros absolutos), exigeque también la absorción de luz se efectúe en forma discontinua. Es

RADIACIÓN TÉRMICA 120decir que se emiten y se reciben gránulos de energía radiante. Parece ló-gico entonces admitir que la luz que viaja de la fuente al receptor mantieneen el camino esa identidad granular o “cuántica”.

Estos cuantos de luz son la reencarnación del corpúsculo luminoso deNewton, ahora con característica ondulatoria. Einstein los bautizó “foto-nes”. Se puede imaginar a los fotones como partículas con una longitudde onda asociada, o bien como trenes discretos de ondas. Son la menorcantidad de energía radiante que se puede crear, mandar y recibir en unadeterminada frecuencia.

A los fotones en una cavidad radiante se le aplica la fórmula distribu-ción de Planck y su conjunto puede ser entendido como un “gas” de par-tículas cuyas propiedades son algo diferentes a las de las moléculas: tie-nen todos la misma velocidad (la de la luz), poseen una frecuencia asocia-da, que es la que se distribuye estadísticamente; su número no es cons-tante, como ocurre en un botellón de gas, sino que depende de la tempe-ratura de la cavidad.

Problemas

1) Presión de radiación:Si un receptor de radiación de superficie S (una placa solar) recibe unapotencia radiante W (Watt), está sujeto a una fuerza F=W/c , y sobre élactúa una presión de radiación de P=F/S=W/c/S¿Qué fuerza actúa sobre una placa solar de 6 m2 de superficie, que absor-be totalmente una potencia específica de 1000 W/m2?Respuesta: F=W/c=6000 N.m/s/3.108m/s=2.10-5N (2 miligramos, fuerzacapaz de inclinar los platillos de una balanza de precisión)

2) Ley de Stephan¿Qué potencia eléctrica se necesita para mantener un filamento de tungs-teno de una pequeña lamparita de linterna a 2000ºC?. Las dimensiones delfilamento son d=0,1 mm de diámetro y l=30mm de longitud. (Como se sa-be, el filamento está dentro de una ampolla de vidrio al vacío) . Dato adi-cional: el tungsteno es un cuerpo gris de emisividad a=0,3Respuesta: si consideramos que toda la energía se disipa por radiación,debemos igualar la potencia eléctrica a la radiante. La superficie S delalambre es la que radiará la energíaEntonces S=ππ.d.l=3,14x0,1x30=9,4 mm2 La temperatura absoluta del filamento es T=2000+273=2273ºK y la poten-cia radiante vale:

RADIACIÓN TÉRMICA 121P=σσ.S.a.T4=5,86x10-8 [W/m2/ºK4].9,4.10-6 m2.22734=14,7 WSi quisiéramos obtener una luz más brillante, podríamos aumentar la co-rriente que circula por el filamento y calentarlo hasta 3000ºC, en cuyo casola potencia aumentaría dramáticamente, ya que depende de la cuarta po-tencia de la temperatura absoluta:P=σσ.S.a.T4=5,86x10-8 [W/m2/ºK4].9,4.10-6 m2.32734=63,2 W

3) Ley del desplazamientoa) ¿Qué temperatura tiene un horno cerrado cuya radiación presenta unmáximo en una longitud de onda de 3 µm?Respuesta: T = b/λλmáx = 2,9x103[µµm.ºK])/3µµm = 966ºK = 694ºCb) ¿Qué temperatura tiene la superficie de una estrella cuyo espectro tieneun máximo en el azul, para λ=0,45 µmRespuesta: T= b/λλmáx = 2,9x103[µµm.ºK])/0,45µµm = 6444ºK = 6171ºC

4) Fotones¿Cuántos fotones por segundo recibe un ojo normal bajo la iluminaciónumbral de 10-10 Lx?Supóngase radiación amarilla de sodio, cuya longitud de onda valeλλ=0,59.10-6 m con una frecuenciaνν = c/λ λ = 3.108 [m/s]/0,59.10-6[m] = 5,1.1014 Hz .La energía del fotón será:ε ε = h.ν ν = 6,63.10-34 J.s . 5,1.1014 (1/s)=3,38.10-19 J

Respuesta: Una iluminación de 10-10Lx equivale a la que produce unalámpara de sodio de baja presión que emite 4650 Lm y consume 35 W,con una Ime=4650/4/ππ=370 Cd a una distancia r tal que E=Ime/r

2 , de donder2=Ime/E=370/10-10=3,7.1012 resultando así r=1923 Km !..A esa distancia, los 35 W de la lámpara se distribuyen en una superficie4ππr2=4,65.1013m2 , lo que nos da una densidad de potencia de35/4,65.1013m2 = 7,53.10-13 W/m2 Considerando que la pupila del ojo bajo luz débil tiene una superficie de 10mm2 , recibirá una potencia cien mil veces menor, o sea 7,53.10-18 W/m2 ,y esto equivale a 7,53.10-18 / 3,38.10-19 = 22 fotones por segundo

RADIACIÓN TÉRMICA 122

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN YMATERIA

La radiación interacciona con la materia principalmente de dos maneras:dispersión y absorción.

En el proceso de dispersión los fotones chocan con los átomos de la ma-teria en forma elástica y salen en determinada dirección, según las leyesdel choque elástico de Newton15. La reflexión de la luz sobre un espejopuede entenderse como una dispersión ordenada.

La absorción de los fotones puede ser parcial o total. Si es parcial, losfotones que no son absorbidos se dispersan. Si es total, no hay radiacióndispersa (cuerpo negro). En el caso de la absorción, la energía de los foto-nes generalmente se transforma en calor en el seno del medio absorbente.

Hay procesos en los que se absorben fotones de una longitud de onda yse reemiten fotones de otra longitud de onda siempre mayor a la primera.Son ejemplos de este fenómeno la fluorescencia y la fosforescencia.

En algunas oportunidades una radiación muy energética, como la de losrayos gamma, arranca electrones de la materia, los que salen disparadosa enormes velocidades. El fotón gamma pierde energía en el choque y setransforma en un fotón de menor frecuencia, por ejemplo un rayo X. Dichasinteracciones se conocen bajo el nombre de Efecto Compton, en honor asu descubridor.

A su paso por un medio absorbente la radiación va perdiendo intensidad, ysi consideramos que la amplitud del haz es proporcional al número de fo-tones que lo componen, el proceso de absorción a través del medio co-rresponde a un flujo de fotones que va disminuyendo por los que quedanretenidos por la materia.

Amplificación de la radiaciónPuede considerarse que la amplificación de una radiación es un procesoformalmente inverso al de la absorción. En la amplificación se van agre- 15 En cualquier tipo de choque (elástico o inelástico) se conserva la cantidad de movimientodel sistema antes y después del choque. Así se cumple que la suma del producto de las ma-sas de los cuerpos intervinientes por sus repectivas velocidades se mantiene constante antesy después de la interacción.

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 123gando fotones a lo largo del camino del haz. Ese agregado correspondedesde el punto de vista energético, a la entrega de potencia externa al haz,manteniendo la frecuencia. En radiotecnia se practican procesos de ampli-ficación de señales eléctricas, manteniendo su forma, mediante circuitoscon válvulas o transistores que agregan esa potencia a las corrientes eléc-tricas que se terminan radiando en forma de ondas.

Sin embargo, la amplificación directa del haz de ondas una vez emitidas estambién posible, haciendo atravesar las mismas por un medio con propie-dades de absorción negativa. Por supuesto que un medio normal, un vi-drio o un gas, no amplifica sino que absorbe. Sus átomos se van cargandode energía vibratoria a costa de la del haz. Pero esa energía es desorde-nada y termina en radiación térmica. Pero si el medio normal se acondicio-na convenientemente cargándolo de energía ordenada (no energía térmi-ca, por supuesto), podría invertirse la transferencia desde la materia a laradiación, inyectando fotones de la misma frecuencia en el haz y lograndola amplificación deseada. La carga de energía ordenada se realiza con unaradiación exterior de energía E2 que eleva a los átomos del medio absor-bente desde el nivel normal no excitado Eo hasta un estado electrónico deenergía más alto E1 y menor que E2 . Este proceso se da en llamar “inver-sión del medio por bombeo de energía” y “radiación de bombeo” a laradiación con la que se lleva a cabo , aludiendo a la elevación de la ener-gía como si fuera un fluido mediante una bomba. Lógicamente, la radiaciónde bombeo debe ser siempre de una energía superior a la que se pretendellegar, para que la transferencia sea posible.

Luz coherenteLos átomos liberan energía en forma de fotones de una frecuencia ν ν talque ν ν = (E1-Eo)/h , al pasar del estado excitado al estado normal. Este pro-ceso ocurre con una cierta probabilidad cuando otro fotón de esa frecuen-cia alcanza al átomo y gatilla la emisión del fotón almacenado. Como con-secuencia, los fotones que circulan por el medio van arrancando estadísti-camente más fotones de la misma frecuencia a su paso por los átomosexcitados. El resultado es el engrosamiento del flujo con una cantidad cre-ciente de fotones que viajan todos juntos, en lo que podría llamarse un ra-yo de múltiple radiación en fase. Este tipo de rayo, de fotones de la mismafrecuencia (monocromático) y con la misma fase (todos vibrando al uníso-no) se da en llamar “rayo de luz coherente”.

LÁSERUn dispositivo que amplifique con este principio se llama LÁSER, sigla deLight Amplifier by Stimulated Emision of Radiation

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 124

Las fuentes de luz coherente LASER aprovechan este principio de amplifi-cación, reinyectando la potencia de salida en la entrada para lograr que elsistema, de dimensiones apropiadas, oscile con una frecuencia propia deresonancia coincidente con la de la radiación atómica amplificada. Sedrena una pequeña cantidad de esa radiación hacia afuera, en lo queconstituye la emisión aprovechable de la fuente.

Un láser común es el de helio neón: un tubo conteniendo una mezcla apropiadade estos dos gases se excita mediante una corriente eléctrica. El paso de la co-

rriente eleva el nivel energético de los átomos de helio a un nivel excitado EHe, vol-viendo al nivel normal EoHe al emitir un fotón de frecuencia ννHe=EHe-EoHe/h (luz ver-de, como la de los tubos de neón de los anuncios). Alguno de esos fotones“verdes” interaccionan con los átomos de neón, elevándoles la energía a un estadoexcitado ENe . Se obtiene así una población de átomos de neón con un porcentajeelevado de átomos excitados (población invertida, según la jerga de los especia-listas). Un átomo de helio excitado que pase espontáneamente al nivel normal,genera un fotón de frecuencia ννNe=ENe-EoNe/h (luz rojo anaranjada del neón). Enun medio no excitado, este fotón “rojo” saldría del sistema como luz. Pero en unapoblación invertida existe la probabilidad de que colisione con un átomo de neónexcitado, del que arrancará otro fotón igual, que correrá junto a él en concordanciade fase. El proceso puede repetirse con este último fotón, y así sucesivamente a lolargo del camino recorrido por la radiación, obteniéndose una suma de fotones deigual frecuencia y todos juntos, es decir en fase. Como vimos este tipo de rayo mo-nocromático múltiple se llama “luz coherente”. La potencia de ese rayo va aumen-tando con el camino recorrido, en este caso la longitud del tubo que contiene a losdos gases. Para que exista oscilación del sistema, debe reinyectarse radiacióncoherente y dimensionar el tubo para que resuene a esa frecuencia. Lo primero selogra mediante dos espejos colocados en cada extremo del tubo y perfectamentealineados con éste, que devuelvan gran parte de la radiación al sistema. La reso-nancia del tubo se logra ajustando la distancia entre los espejos a un número ente-ro de longitudes de onda, para que se forme una onda estacionaria. Una pequeñaparte de la luz se extrae del sistema haciendo a uno de los espejos ligeramentetransparente.

He He’ Ne

Ne’ hνν

3hνν 2hνν

4hνν 5hνν

FUENTE DE A.T.

espejo regulableespejo regulablesemitransparente

RADIACIÓNLASER

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 125Un dispositivo de luz LASER de Helio-Neón produce una radiación compuesta dedos longitudes de onda: una visible, de color rojo, de λλ=0,633 µµm y otra infrarrojade λλ=1,15 µµm

Hay láseres de estado sólido, en los que la amplificación fotónica se realiza entredos semiconductores, resonando la radiación entre dos superficies espejadas mi-croscópicas. Generalmente se emplean conectados a una fibra óptica (un hilo devidrio muy transparente) para transmitir información codificada por pulsos (luz-oscuridad).

ATENCIÓNLa luz laser concentra un flujo luminoso considerable en un haz muy fino,cuya intensidad depende de la potencia del dispositivo. Los hay desde la exi-gua potencia de 4.10-3 W (punteros señaladores de λλ=0,65 µµm) hasta los infra-rrojos de miles de W (haces para cortar o soldar metales). Debe siempre te-nerse mucha precaución en el manejo de las fuentes LASER, aún las de pe-queña potencia, pués ésta se concentra en una superficie muy pequeña en laretina, pudiendo llegar a destruir las células sensibles de ésta.

Nunca dirigir punteros, aparatos de demostración o de laboratorio con luzLASER directamente hacia los ojos de las personas. Si se deben hacer expe-riencias en las que la dirección del haz no sea controlable, deben proveerseanteojos especiales a todas las personas presentes.

Equivalencia entre masa y energíaVimos que la radiación en general y la luz en particular, ejercen presiónsobre la materia. La electricidad explica este hecho a través de la interac-ción de una onda electromagnética y una superficie receptora S. La onda

de velocidad c tiene unavalor de campo eléctricoEE que crea sobre el re-

ceptor una carga superfi-cial DD . El producto E.DE.Dda el valor de la fuerzasobre la superficie S . Asíentonces F=E.D.E.D.S .

Por otra parte sabemosque desde el punto de

vista de la mecánica clásica, una fuerza se produce por la variación de lacantidad de movimiento en el tiempo para un sistema de masa m y velo-cidad v, es decir F=∆∆(mv)/∆∆t

c.t

Superficieabsorbente

F=E.DE.D.S

E E

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 126Tiene sentido suponer que la fuerza eléctrica se puede asimilar a una va-riación de la cantidad de movimiento de la luz, considerada como algomaterial de masa m que se mueve a la velocidad c. Esta cantidad de mo-vimiento pasa a ser cero después de la interacción durante un tiempo t ,suponiendo que la radiación se absorbe totalmente en el receptor. Así quela variación de esa cantidad de movimiento será m.c/t en caso de absor-ción completa de la radiación.Entonces pondremos E.DE.D.S=m.c/tEn electromagnetismo se estudia que el producto E.DE.D es la energía E porunidad de volumen V de campo electromagnético. En este caso el volu-men en cuestión tiene una base S y una altura c.t , así que resulta queE.DE.D=E/(S.c.t)De estas fórmulas resulta que E/(S.c.t)=m.c/(S.t) y entonces E=mc2

La fórmula anterior sale de equiparar los principios de la mecánica deNewton con el electromagnetismo clásico. Expresa una equivalencia entreuna masa asociada a la radiación y la energía radiante que ella lleva.

La masa electromagnéticaLos físicos de fines de siglo XIX reconocieron que una carga eléctricapura q distribuida según una esfera de radio r, posee algo semejante a lamasa cuando está en movimiento uniforme. En efecto, la carga en movi-miento con velocidad v es una corriente eléctrica (corriente de convec-ción) y como tal genera un campo magnético alrededor de ella. Si se cal-cula la energía E de ese campo magnético en todo el espacio de permea-bilidad µµ que rodea a la carga en movimiento16, aparece que esa energíaes proporcional al cuadrado de la velocidad v según la fórmula:E = ½[µµ.q2/(6.ππ.r)]v2

Lo que figura entre corchetes se asimiló, por comparación con la fórmulaque da la mecánica para la energía cinética Ec=½. m.v2 , a algo que fun-ciona como masa. Se la llamó “masa electromagnética” correspondientea una carga en movimiento. Reemplazando en la fórmula anterior el valorde la carga del electrón q=1,6x10-19C y el valor de su masa m=9.10-31 Kg,se obtiene para el vacío (µµ=4.ππ.10-7) un valor del radio del electrónre=1,89x10-15 m, lo que está de acuerdo con la teoría atómica.

16 Este cálculo se realiza suponiendo que la corriente q.v/dx produce un campo magnéticoelemental ∆H dado por la ley de Biot–Savart (véase el capítulo correspondiente de electrici-dad). El campo posee una energía diferencial por unidad de volumen igual a ½ m ∆H2 , queintegrada a todo el espacio que rodea la carga, desde r hasta infinito, produce la expresióndada.

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 127Si se considera que el campo magnético se instala en el espacio en formainstantánea, la masa electromagnética es independiente de la velocidad dela carga, de acuerdo a la fórmula recién vista. En cambio, si se supone,como hizo Lorentz en su “teoría del electrón”, que la velocidad con que seestablece y propaga el campo es la de la luz, la masa electromagnéticaaparece dependiente de la velocidad de traslación de la carga. Esta de-pendencia se comprobó experimentalmente para electrones a grandesvelocidades, según se explica luego.

De acuerdo a su Teoría de la Relatividad, que es un modelo eminente-mente electromagnético de la física, Einstein postula que la equivalenciaentre masa y energía es válida en forma absolutamente general: Cualquierfenómeno que implique variación de masa, debe estar acompañado porla correspondiente variación de energía de signo contrario. Así, los prin-cipios de conservación de la masa y de la energía, hasta ese momentoseparados e independientes, pasaron a formar parte de un principio deconservación único: el de la masa-energía.

El principio de conservación de masa-energíaSe comprueba este principio en las reacciones nucleares: por ejemplo en un pro-ceso de fisión típico, un núcleo atómico de 92U

235 de masa M=235 UMA es impac-tado por un neutrón de baja energía cinética17 (on1) y se fragmenta en dos núcleoscuyas respectivas masas en reposo son M1=98,7 UMA (41Nb99) y M2=133,21 UMA(51Sb133) y en dos neutrones rápidos. Los neutrones tiene una masa en reposoigual a 1 UMA=1,67.10-27 Kg.La suma de la masa de los productos de la reacción en reposo es un poco menorque la de los que le dieron origen (masa del núcleo original más el neutrón queofició de proyectil).Así entonces M+m > (M1+M2+2m). La diferencia de masa ∆∆M = M-M1-M2-3m =235-98,59-133,21-3 = 0,2 UMA aparece principalmente en forma de energía cinéti-ca Ec de los fragmentos18, que salen disparados con enorme velocidad, portandoen total una energía cinética ∆∆Ec de acuerdo a la equivalencia dada, es decir∆∆Ec=∆∆M.c2= 0,2.1,67.10-27Kg.(3.108)2m2/s2=3.10-11JProblema: El reactor nuclear de la central de Atucha produce una energía térmicade 850.106 Watt. ¿Qué cantidad de materia “consume” por año?Respuesta: La energía en un año es de850.106 watt.(24.60.3600)seg/año=4,4.1015 Joule, lo que equivale a una masa de4,4.1015/c2=0,049 KgEstos 49 gramos se transforman íntegramente en igual cantidad de energía eléctri-ca que la que aproximadamente se consume en nuestro país durante los tres me-ses de verano.

17 Los neutrones de alta energía tienen baja probabilidad de producir fisión.18 En menor medida, aparece también como energía radiante (fotones gamma)

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 128

Variación de la masa con la velocidad19

Partiendo de la fórmula E=m.c2 se deduce que la masa m asociada a la radiación,debe depender de la velocidad.En efecto, derivando la expresión anterior es dE=d(mc2)=c2.dm (ya que c esconstante).Ahora bien, sabemos por mecánica elemental que la variación de energía de unsistema es igual al trabajo de las fuerzas exteriores, así es:dE=f.dx,con la definición de fuerza que dio Newton: la variación de la cantidad de movi-miento:f = d(mv)/dt = m.dv/dt+v.dm/dtSi consideramos que la masa no varía con el tiempo, resulta la conocida fórmulaf=m.dv/dt (fuerza = masa x aceleración), pero no es éste nuestro caso, ya que es-tamos buscando una variación de la masa con la velocidad. Así que nos quedamoscon la expresión general de la fuerza:f=m.dv/dt+v.dm/dtDe lo anterior surge que dE=m.dv/dt.dx+v.dm/dt.dx, pero como dx/dt=v, resultadE=m.v.dv+v2.dmDamos ahora un salto en el vacío, uniendo esta última expresión, derivada de lamecánica clásica, con la expresión anterior de la variación de energía electromag-nética dE=c2.dm , y ponemos:c2.dm=m.v.dv+v2.dm de dondedm(c2-v2)=m.v.dv , o sea dm/m = v.dv/(c2-v2)= -½ d(c2-v2)/(c2-v2)

Integrando ambos miembros quedaln m = - ½ ln(c2-v2)+ln kde donde, sacando antilogaritmos esm=k/(c2-v2)1/2 ,lo que nos dice que la masa depende de la velocidad absoluta de traslación v

¿Qué significado físico tiene la constante de integración k?. Veamos...; si la veloci-dad es nula, podemos llamar a la masa “en reposo” colocándole un subíndice ade-cuado, por ejemplo m(v=0)= mo . Así mo=k/c de donde k=mo.c, y reemplazando enla fórmula anterior esm=mo.c/(c2-v2)1/2=mo/(1-ββ2)1/2 Recordemos que ββ=v/c , es la relación entre velo-cidad de traslación y la de la luz.

¿De qué manera varía la masa aparente m de una carga con su velocidad de tras-lación v?. Examinemos la fórmula anterior, escrita en forma más elegante:

19 Este tema requiere el uso de conceptos de cálculo diferencial básico, como derivaciones eintegraciones simples y desarrollos en serie de potencias. Para los que no conocen estasherramientas, las demostraciones no aparecerán claras. Sin embargo pueden aprender lasconclusiones.

2

o

c

v1

mm

−

=

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 129

Vemos así que la masa aumenta con la velocidad. Cuando la velocidad es nula(v=0) es m = mo (masa en reposo). Mientras la velocidad de traslación de la cargasea muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz c, el denominador esmuy poco menor que 1, o sea m es levemente mayor que la masa en reposo mo.En cambio, a velocidades muy altas, por ejemplo a la mitad de la velocidad de laluz c, el denominador vale (1-0,25)1/2=0,866 y por lo tanto m=1,154 mo, es decirque la masa aumenta más del 15%. La fórmula es válida hasta el límite v=c , valorpara el que el denominador se anula y la masa se hace infinita.

El valor imaginario para el denominador cuando v>c puede interpretarse como laimposibilidad de que cargas en movimiento puedan alcanzar velocidades de trasla-ción mayores que la de la luz.

Lo anterior está relacionado con la expresión de la energía cinética de una masa mvariable con la velocidad v de acuerdo a la fórmula vista m = mo/(1-ββ2)½

Cuando una carga de masa asociada m pasa del reposo a la velocidad v, aumentasu energía en una cantidad igual a su energía cinética. Ésta vale entonces:Ec= mc2-moc2 = mo.c

2 [(1-ββ2)-½ -1]Si desarrollamos (1-ββ2)-½ en serie de potencias20 resulta que:(1-ββ2)-½ = 1 + ½ ββ2 + 3/8

ββ4 +..., de lo que se deduce que Ec = ½.mo.v2 + 3/8. mo.v4/c2

+ ...

El primer término de la serie es el de la mecánica clásica. Los siguientes dancuenta de la influencia del ingrediente electromagnético agregado a la mecánica.

La variación de la masa con la velocidad propuesta por Lorentz para su modelo deelectrón en movimiento presenta ecuaciones del mismo tipo a la recién vista, aun-que más complejas, ya que consideran que la medición de la masa es a través deuna aceleración, la cual puede ejercerse en cualquier dirección con respecto a lavelocidad. Si esa fuerza se ejerce perpendicularmente a la velocidad, como en elcaso de una carga que atraviesa un campo magnético, la trayectoria circular quedescribe la partícula corresponde a una masa que concuerda con la apuntada.

r F

v

SSobre un electrón de carga -q que atraviesa uncampo magnético B perpendicular a la velocidad vaparece una fuerza que a su vez es perpendicular alcampo y a la velocidad, cuya expresión es F=-qB∧∧v(fuerza de Lorentz). Por efecto de la misma, lapartícula cargada curva su trayectoria según unacircunferencia de radio r tal que parece dotada deuna masa m de acuerdo a la ecuación F=mv2/r .Dicha masa transversal aumenta con la velocidadsegún la ecuación m=mo/(1-ββ2)1/2

B

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA 130Lorentz la llama “masa transversal”, para distinguirla de la “masa longitudinal”que sale al considerar aceleraciones de la misma dirección que la velocidad.

La comprobación de la variación de la masa con la velocidad se ha llevado a cabocon electrones disparados mediante potenciales del orden del millón de volt. Alcan-zan entonces velocidades importantes y su desviación por campos magnéticos queobran perpendicularmente a esta velocidad revelan un aumento de su masa trans-versal de acuerdo a la fórmula vista.

Ejemplo: Un electrón es acelerado con un potencial de 106 volt. ¿Qué velocidadalcanza? ¿Qué masa transversal presenta a esa velocidad?Respuesta:A un potencial acelerador de V=106 volt la energía del electrón de masa en reposomo=9.10-31 Kg y carga q=1,6.10-19 vale V.q . Esa energía debe ser igual a la ener-gía cinética de la partícula , que según vimos vale mo.c

2 [(1-ββ2)-½ -1]Así entonces es V.q=mo.c

2 [(1-ββ2)-½ -1], de tal manera (1-ββ2)½ = (V.q/mo/c2+1)-1 =

0,50625 , de donde 1-ββ2 = 0,2563 y entonces ββ=v/c=0,8623, es decir v=0,8623.c(¡casi el 90% de la velocidad de la luz!)A esa velocidad su masa transversal vale m = 1/(1-ββ2)-½ .mo= 1,98.mo

, es decir¡casi el doble que su masa en reposo!

20

Se puede desarrollar con la fórmula del binomio de Newton, a saber(a+b)n==Σi=o,1,2..Cn,i.a

i.b(n-i) , con Cni=n!/(n-i)!/i!

a

NOCIONES DE LUMINOTECNIA.............................................................. 101

GENERALIDADES .......................................................................................... 101Ley de Weber-Fechner.............................................................................. 101

Ejemplo: .......................................................................................................... 101FUENTES DE LUZ ........................................................................................... 102MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES................................................. 102

Lugar o Actividad ............................................................................................ 104Iluminación...................................................................................................... 104recomendada (Lx) ............................................................................................ 104

EL FLUJO CONSERVATIVO.............................................................................. 105VARIACIÓN DE LA ILUMINACIÓN CON LA DISTANCIA Y EL ÁNGULO DE INCIDENCIA

DE LOS RAYOS............................................................................................... 105Variación de la iluminación con la distancia ............................................ 106Medida de la Iluminación......................................................................... 107Rendimiento de las luminarias.................................................................. 109

RADIACIÓN TÉRMICA .............................................................................. 112

Temperatura en ºC Color de la luz Ejemplo........................................ 112La densidad de energía espectral.............................................................. 115Fotones.................................................................................................... 119

Problemas ........................................................................................................ 120

INTERACCIÓN ENTRE RADIACIÓN Y MATERIA ................................ 122

LUZ COHERENTE ........................................................................................... 123LÁSER ..................................................................................................... 123Equivalencia entre masa y energía ........................................................... 125La masa electromagnética ........................................................................ 126El principio de conservación de masa-energía .......................................... 127Variación de la masa con la velocidad...................................................... 128