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Operadores semi-Fredholm y Fredholmen espacios de Banach

Lucila Calderon

29 de octubre de 2012

1

INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 42.1. Definiciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Espectro de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Operadores semi-Fredholm 9

4. Operadores de Fredholm 164.1. Algebras de Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. El Espectro Esencial 205.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Trabajo final de Analisis Funcional 2

1. Introduccion

En el presente trabajo se pretende dar una pequena introduccion a la Teorıa de Operadoresde Fredholm y semi-Fredholm en los Espacios de Banach. Esta teorıa surge directamente de unproblema clasico de analısis matematico que consiste en la solucion de la ecuacion integral deFredholm.

En el primer capıtulo se introducen los operadores Semi-Fredholm, de los cuales estudiaremoslas propiedades algebraicas; y centramos su estudio en las caracterizaciones perturbativas enlas que apareceran operadores compactos, aunque en la demostracion se vera que alcanza paraoperadores nucleares. Ademas se presentara el concepto de ındice de un operador lineal.

En el siguiente capıtulo se desarrollaran las caracterısticas mas importantes de los operadoresde Fredholm y se definira el Algebra de Calkin. Al final del capıtulo se prueba que un operadorlineal acotado T es de Fredholm si y solo si T es invertible en este algebra.

Estas clases de operadores generan espectros que han sido estudiados en la ultima decada:Elespectro Esencial,que se analiza en el utimo capıtulo. La teorıa espectral de los operadores esuna parte importante del analisis funcional la cual tiene muchas aplicaciones en el bastas areasdel analisis matematico moderno.

Departamento de Matematica - UNLP 3

2 PRELIMINARES

2. Preliminares

Aqui vamos a recordar algunos conceptos y resultados del analisis funcional necesarios paraabordar el estudio de operadores de Fredholm y semi-Fredholm, ademas de algunas notaciones.Solo se demostraran algunos resultados.

2.1. Definiciones Generales

Sea X un K -Espacio vectorial , se dice que X es un Espacio Normado si esta dotado de unanorma, i.e una funcion ‖.‖ : X → R+ que cumple:

1. ‖λx‖ = 0⇔ x = 0

2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, para todo par x,y ∈ X y λ ∈ K

3. ‖λx+ y‖ ≤ ‖λx‖ ‖λy‖

La metrica resultante se define como d(x, y) = ‖λx− y‖ ∀x, y ∈ X

Definicion. Un espacio normado se dice que es un Espacio de Banach si es completorespecto a la metrica definida por la norma.

Debido a la estructura algebraica que tienen estos espacios se pueden estudiar las aplicacioneslineales entre ellos. T : X → Y . Este trabajo se concentra en el estudio de este tipo de aplicacionesque llamaremos Operadores:T : X → Y . Dichos operadores se supondran acotados (i.e ∃k >0 : ‖λTx‖ ≤ k ‖λx‖ ,∀x ∈ X).

Definicion. Sea T : X → Y un operador lineal acotado, se llama Norma de T a,

‖T‖= sup‖x‖6=0

‖Tx‖‖x‖

Definicion. Llamamos L(X,Y)= {T : X → Y / T es lineal y acotado } que es vectorial conlas operaciones usuales y es normado si definimos la norma anterior y ademas es Banach.

Si X=Y escribimos L(X):= L(X,X) y X∗ := L(X,C) denota el DUAL de X (i.e las aplicacioneslineales continuas de X a C)

Si T ∈ L(X, Y ) denotamos el dual del operador T por T ∗ ∈ L(Y ∗, X∗) (tambien se denominaconjugado), definido por

(T ∗f)(x) := f(T (x)), ∀x ∈ X y f ∈ Y ∗

Sea T un operador acotado definimos nucleo de T a ker T={x ∈ X : Tx = 0} y la Rangode T a R(T)={Tx : x ∈ X}.

Si T(X) es cerrado ⇔ T ∗(X∗) es cerrado.


2.1 Definiciones Generales

Definicion. Sea M ⊂ X,

el anulador de M es un subespacio cerrado de X∗ definido por

M⊥ := {f ∈ X∗ : f(x) = 0,∀x ∈M}.

el preanulador de M : ⊥M := {x ∈ X : f(x) = 0,∀f ∈M∗}.

Las relaciones de dualidad entre el nucleo y el rango son las siguientes:

R(T ) = ker(T ∗), ⊥ker(T ∗) = ker(T ), ¯R(T ) =⊥ ker(T ∗)y si R(T) es cerrado R(T ∗) = ker(T )⊥.

Definicion. Un operador T de dice acotado inferiormente si ∃k > 0 tal que ‖Tx‖ ≥ k ‖x‖,∀x ∈ X.

Teorema 2.1. Un operador es suryectivo (i.e acotado inferiormente) T ∗ es acotado inferior-mente.

Teorema 2.2. Sea T ∈ L(X) , X EB y supongamos que existe Y ⊂ X tal que T (X)⊕ Y escerrado y T (X) ∩ Y = {0} luego el subespacio T(X) es tambien cerrado.

Es ovbio que la suma M+N de dos subespacios de X es un subespacio lineal. Si M ∩N = {0}luego la suma se llama suma directa de M y N denotado por M ⊕N .Si M ⊕N = X, luego N es el complemento algebraico de M.

La codimension de un espacio M de X es la dimension de todo complemento algebraico Nde M, o equivalentemente la dimension del cociente X/M. Notemos que: codim M= dim M⊥,pues codim M= dim X/M=dim (X/M∗)= dim M⊥.

Una clase importante de endomorfismo son las proyecciones. Si M ⊕ N = X y x = y + zcon x ∈ X, y ∈M y z ∈ N , definimos P: X →M por Px=y. Este mapeo lineal proyecta a X alo largo de M y N.

Si X es EB y M⊕N = X y sea P una proyeccion continua, luego M se dice el complementadode N.

Teorema 2.3. Sea T ∈ L(X, Y ), X e Y EB.

1. T es inyectivo y T(X) es complementado si y solo si existe S ∈ L(X, Y ) tal queST = IX .

2. T es suryectivo y ker(T) es complementado si y solo si existe S ∈ L(X, Y ) tal queTS = IY .


2 PRELIMINARES

Definicion. Si M y N son dos subespacios cerrados de un EB X, definimosδ(M,N) := sup {dist(x,N) : x ∈M, ‖x‖ = 1}, con δ(M,N) = 0 si M = {0}.La diferencia entre M y N es definido como (M,N) := max {δ(M,N), δ(N,M)}.

Teorema 2.4. Si (M,N) < 1, luego M y N son ambos infinitos dimensionales o dim(M) =dim(N) <∞.

Definicion. Sea X EB y T : X → X un operador lineal:El ascent de T, denotado p(T), se define como

p(T ) =

mın {n : kerT n = kerT n+1} , si {n : kerT n = kerT n+1} 6= ∅∞ , si {n : kerT n = kerT n+1} = ∅

En forma similar, El descent denotado q(T), es

p(T ) =

mın {n : T n(X) = T n+1(X)} , si {n : T n(X) = T n+1(X)} 6= ∅∞ , si {n : T n(X) = T n+1(X)} = ∅

Observaciones 2.5. Obviamente, p(T ) = 0⇔ T es inyectivo.mientras q(T ) = 0⇔ T es sobreyectivo.

Definicion. Sea X un EB, y T un operador, Las deficiencias de T se definen de la siguienteforma:α(T )= dim(ker T) y β(T )= codim T(X).

Teorema 2.6. Si p(T) y q(T) son finitos entonces p(T)=q(T).

Definicion. Si T ∈ L(X, Y ), X e Y EBs, definimos el mınimo modulo de T

γ(T ) := ınfx/∈kerT

‖Tx‖dist(x,kerT )

Teorema 2.7. Sea T ∈ L(X, Y ), X e Y EBs, luego vale que:

γ(T ) > 0 si y solo si T(X) es cerrado.

γ(T ) = γ(T ∗)

Definicion. Denotaremos por

Gl(X) = {T ∈ L(X) : ∃T−1 ∈ L(X)}

Es bien sabido que si T : X → X es lineal, el hecho de ser invertible equivale a serinyectivo y equivale a ser sobreyectivo.

Lema 2.8. Supongamos que T ∈ L(X, Y )X e Y EBs, con ‖T‖ < 1. Luego I-T es invertible.


2.2 Operadores compactos

Demostracion. Tenemos

∥∥∥∥∥ n∑j=m

T j

∥∥∥∥∥ ≤ n∑j=m

‖T j‖ ≤n∑

j=m

‖T‖j, entonces

n∑j=m

T n es una serie de Cauchy en el algebra de Banach L(X), y por lo tanto hay un

S ∈ L(X) tal que S =≤n∑

j=m

T n.

Luego ST = TS =≤n∑

j=m

T n+1 = S − I, de donde se obtiene (I − T )S = S − TS = I y

S(I − T ) = S − ST = I. Por lo tanto, I-T es invertible con inverso S =≤n∑

j=m

T n.

2.2. Operadores compactos

Definicion. Sea T un operador acotado en un espacio normado X e Y. T se dice Compactosi para toda sucesion (xn) ⊂ X, T (xn) tiene una subsucesion convergente. Esto es equivalentea decir que la clausura de T (Bx), Bx la bola unitaria cerrada en X, es un conjunto compactode Y.Denotamos K (X,Y) al conjunto de los operadores compactos.

Definicion. Sea X un espacio de Banach, LF (X) = {T ∈ L(x) : R(T ) <∞} ⊂ L(X), de-nota el subespacio de operadores de rando finito.

Generalmente, al conjunto de los operadores compactos se los define como la clausura ennorma de los LF (X)

Teorema 2.9. Si T ∈ L(X, Y ), X e Y EBs, luego

T es compacto ⇔ T ∗ es compacto.

LEMA DE RIETZ: Sea Y un subespacio propio cerrado de un espacio normado X. Luegopara 0 < δ < 1, existe un vector xδ ∈ X tal que ‖xδ‖ y ‖y − xδ‖ ≥ δ, ∀y ∈ Y .

Teorema 2.10. Sea T ∈ K(X), X EB, luego α(λI − T ) < ∞ y (λI − T )(x) es cerrado∀λ 6= 0.

.

Teorema 2.11. Si T ∈ K(X), luego p(λI − T ) = q(λI − T ) <∞, ∀λ 6= 0.

Teorema 2.12. Si X e Y son EB, T ∈ L(X, Y ) es un operador compacto con rando cerrado,luego T es finito-dimensional.

Teorema 2.13. T ∈ L(X, Y ) son equivalentes:

1. T ∈ K(X, Y ),

2. ∀ε > 0, ∃M subespacio cerrado de dimension finita tal que ‖T/M‖ < ε


2 PRELIMINARES

2.3. Espectro de Operadores

Definicion. Sea T ∈ L(X), definimos el espectro de T como:

σ(T ) = {λ ∈ C : λI − T, es invertible}

Observacion 2.14. Se puede ver que σ(T ) es compacto,no vacıo y;σ(T ) ⊂ {z ∈ C : |z| < ‖T‖}

Clasificaremos el espectro en tres grupos:

Un punto λ ∈ C es autovalor de T o pertenece al espectro puntual de A, λ ∈ σp(T ), sino existe (A−λI)−1. Cada vector x ∈ X tal que (A−λI)x = 0, con λ ∈ σp(T ) se llamaautovector de A correspondiente a λ y el subespacio de X que contiene al cero y a losautovectores correspondientes a un mismo λ se llama autoespacio correspondiente a λ.

Un λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A, λ ∈ σc(T ), si R(A− λI) es denso en Xy existe (A− λI)−1 pero no esta acotado.

Un punto λ ∈ C pertenece al espectro residual de A, λ ∈ σr(T ) si existe (A − λI)−1

pero esta definido por un subconjunto no denso de X.

Proposicion 2.15. Sea X un EB.Si T ∈ L(X), entonces σ(T ) = σ(T ∗) para todoT ∗ ∈ L(X∗).

Proposicion 2.16. Sea T ∈ K(X). Dado λ ∈ σ(T ) tal que λ 6= 0, se tiene que

1. λ es un autovalor;

2. Ademas 0 6= dimker(λI − T ) = dimR(λI − T ) <∞3. R(λI − T ) es cerrado y tiene codimension finita.


3. Operadores semi-Fredholm

Definicion. Sea T ∈ L(X, Y ), X e Y espacios de Banach

• T se dice upper semi-Fredholm si tiene rango cerrado y nucleo de dimension finita.

• T se dice lower-semi-Fredholm si tiene rango de dimension cofinita.(i.e dimY/R(T )es finita)

Denotamos por φ+(X, Y ) y φ−(X, Y ) las clases de los operadores upper y lower semi-Fredholm, respectivamente.Ademas φ± := φ+ ∪ φ− es la clase de Operadores semi-Fredholm

Observacion 3.1. Las dos clases son mutuamente duales.En el siguiente sentido:

φ+(X, Y )⇔ φ−(Y ∗, X∗)φ−(X, Y )⇔ φ−(Y ∗, X∗)

Mas aun, α(T ) = β(T ∗) y β(T ) = α(T ∗)

Los operadores upper-semi-Fredholm admiten una caracterizacion similar que los ope-radores compactos.Veamoslo en el siguiente resultado.

Proposicion 3.2. Un operador T ∈ L(X, Y ) es upper-semi-Fredholm si y solo siuna sucesion acotada (xn) en X tiene una subsusecion convergente cuando (Txn) esconvergente.

Demostracion. ) Supongamos T ∈ φ+. Sea (xn) una sucesion acotada en X para laque (Txn) es convergente.Como ker(T) tiene dimension finita, existe un subespacio cerrado M de modo queX = ker(T ) ⊕M . Luego podemos escribir xn = yn + zn con (yn) y (zn) sucesionesacotadas en N(T) y M, respectivamente.Notemos que T |M es un isomorfismo, luego la sucesion (zn) es convergente. Ademascomo (yn) es acotada en un espacio de dimension finita, tiene una subsucesion conver-gente. Por lo tanto (xn) tiene una subsucesion convergente.⇐) Supongamos T /∈ φ+. Si ker(T ) tiene dimension infinita, basta encontrar una su-cesion acotada sin subsucesiones convergentes (xn) en ker(T ).Si ker(T ) tiene dimension finita, existe un subespacio cerrado M de modo que X =ker(T )⊕M . Ahora T |M es inyectiva pero no tiene inverso continuo. Luego podemosencontrar una sucecion de vectores de norma 1 (zn) en M de modo que lım

n‖Tzn‖ = 0.

La sucecion (zn) no puede tener subsucesiones convergentes: si z fuese limite de unasubsucesion de (zn), tendrıamos z ∈M ∩ ker(T ) y ‖z‖ = 1 que es imposible.

Definicion. El ındice de un operador T ∈ φ±(X, Y ) se define mediante:


3 OPERADORES SEMI-FREDHOLM

ind(T ) := dimker(T )− dimY/(R(T )) = α(T )− β(T )

Notemos que ind(T ) ∈ Z ∪ {±∞}

El ındice describe propiedades muy importantes de T, puesto que es invariante bajopequenas perturbaciones. Mas adelante veremos tales propiedades.

Proposicion 3.3. Un operador T ∈ L(X, Y ) es semi-Fredholm si y solo si lo es T ∗.En este caso,

ind(T ∗) = −ind(T )

En particular, T ∈ φ+ si y solo si T ∗ ∈ φ−, y T ∈ φ− si y solo si T ∗ ∈ φ+.

Demostracion. Como R(T ) es cerrado si y solo si lo es R(T ∗), y ademas se verifica

dimY/R(T ) = (dimY/R(T ))∗ = dimR(T )⊥ = dimker(T ∗) ydimker(T ) = dim(T )∗ = dimX∗/ker(T )⊥ = dimX∗/R(T ∗)

Con cual T* verifica que semi-Fredholm y

ind(T ) := dimker(T )− dimY/(R(T )) = dimX∗/R(T ∗)− dimker(T ∗) = −ind(T )

El resultado anterior permitira deducir por dualidad las propiedades de φ+ a partir delas φ−, y viceversa.Enunciaremos en el siguiente resultado algunas propiedades algebraicas de la clase deoperadores semi-Fredholm.

Proposicion 3.4. Sean T ∈ L(X, Y ) y S ∈ L(Y, Z), con X,Y,Z EB se verifica:

1. Si S ∈ φ−(Y, Z)y T ∈ φ−(X, Y ) entonces ST ∈ φ−(X,Z) conind(ST ) = ind(S) + ind(T );

2. Si ST ∈ φ−(X,Z), S ∈ φ−(Y, Z);

3. Si S ∈ φ+(Y, Z) y T ∈ φ+(X, Y ), ST ∈ φ+(X,Z) con ind(ST ) = ind(S)+ ind(T );

4. Si ST ∈ φ+(X,Z), entonces T ∈ φ+(X, Y ).

Demostracion. 1. T (X) y S(Y ) son complementados, son cerrados y de codimen-sion finita. Con lo cual escribimos Y = T (X) ⊕ M y Z = S(X) ⊕ N . LuegoZ = N + S(T (X)) + S(M) = ST (X) + [N + S(M)], donde N + S(M) es finitodimensional. Por lo tanto ST (X) tiene codimension finita, i.e ST ∈ φ−(X,Z).


2. Como ST (X) ⊆ S(Y ) luego codimS(Y ) ≤ codimST (X), con lo cual es finita.Ası S ∈ φ−(Y, Z)

3. Utilizamos dualidad en 1), obtenemos que T ∗ y S∗ son lower semi-fredholm yT ∗S∗ tambien. Por lo tanto ST ∈ φ+(X,Z).

4. Si ST ∈ φ+(X,Z) luego (ST )∗ = T ∗S∗ ∈ φ−(Z∗, X∗), entonces T ∗ es lowersemi-fredholm y por lo tanto T es upper semi-fredholm.

Nos falta ver que ind(ST ) = ind(S) + ind(T ):ST ∈ φ± y M := T (X)∩ker(S). Claramente M es un subespacio de T (X) de dimensionfinita, y por lo tanto complementado en T(X).Escribimos T (X) = M ⊕ N1 y kerS = M ⊕ N2. Como N2 ∩ T (X) ⊆ kerS ∩ T (X),obtenemos N2 ∩ T (X) = {0}. Elegimos un subespacio de dimension finita N3 tal que

Y = T (X)⊕N2 ⊕N3 = M ⊕N2 ⊕N3

Luego S(Y ) = S(N1)⊕ S(N3) = S(N1 ⊕N)⊕ S(N3) = S(T (X))⊕ S(N3)con lo cual obtenemos β(ST ) = β(S) + dimS(N3) = β(S) + dimN3. Por otra parte,α(S) = dimM + dimN2 y β(T ) = dimN2 + dimN3.

Vamos considerar la restriccion T := T |kerST : kerST →M . Evidentemente, kerT =

kerT y T es sobre entonces dimM = α(ST )− α(T ). De esto obtenemos

ind(ST ) = dimM + α(T )− β(S)− dimN3 =α(S)− dimN2 + α(T )− β(S)− β(T ) + dimN2 = ind(S) + ind(T ).

Corolario 3.5. Si T ∈ φ±(X), luego p(T ) = q(T ∗) y q(T ) = P (T ∗)

Demostracion. Si T ∈ φ±(X), luego T n ∈ φ±(X), y por lo tanto R(T n) es cerrado∀n. De las misma forma (T ∗)n tiene rango cerrado, y con lo cual:

ker(T n)∗ = (T n(X))⊥ y, ker(T n) =⊥ (T n)∗(X∗) =⊥ (T ∗)n(X∗)

De estas igualdades se obtiene que q(T ) = P (T ∗) yp(T ) = q(T ∗).

Teorema 3.6. T ∈ L(X, Y ). Luego tenemos que:

1. Si T ∈ φ+(X, Y ) luego existe ε > 0 tal que para todo S ∈ L(X, Y ) con‖S‖ < ε entonces tenemos que T + S ∈ φ+(X, Y ). Ademas α(T + S) ≤ α(T ) yind(T+S)=ind(T).

2. Si T ∈ φ−(X, Y ) luego existe ε > 0 tal que para todo S ∈ L(X, Y ) con‖S‖ < ε entonces tenemos que T +S ∈ φ−(X, Y ). Por otra parte β(T +S) ≤ β(T )y ind(T+S)=ind(T).



Demostracion. Probaremos el teorema solo para φ+(X, Y ), pues para φ−(X, Y ) seve por dualidad.

Supongamos que T ∈ φ+(X, Y ).Como ker(T) tiene dimension finita, admite un com-plemento. Escribimos X = ker(T )⊕M . Luego T/M es acotado con rango T(X)=T(M)entonces existe k > 0 tal que ‖Tx‖ ≥ k ‖x‖, ∀x ∈M .Sea ε := k

3. Si ‖S‖ < ε luego 0 ≤ ‖Sx‖ < k

3‖x‖ y por lo tanto:

‖(T + S)x‖ ≥ ‖Tx‖ − ‖Sx‖ ≥ 2k3‖x‖,∀x ∈M (*)

Ası la restriccion (T+S)M es acotado, i.e (T+S)M es inyectivo y (T+S)(M) es cerrado.Ahora bien, α(T ) es finita, digamos α(T ) = n. Supongamos que α(T + S) > n. Luegoker (T+S) tiene al menos n+1 vectores independientes, como ker(T + S) ∩ M =ker(T + SM = 0 en el cociente X = X/M los elementos correspondientes son tambienlinealmente independientes, pero de la descomposicion X = ker(T ) ⊕M vemos quedim(X/M)=dim ker(T)=n, contradiccion. Por lo tanto α(T + S) ≤ α(T ).

Con lo anterior vimos que dim(ker T+S) es finito no falta ver que (T+S)(X) es unsubespacio cerrado, ası T + S ∈ φ+(X, Y ).Como R(T+S)=R(T)+R(S) y como R(T) es cerrado y R(S) es finito, R(T+S) es ce-rrado.

Nos falta ver que ind(T+S)=ind(T).Para ellos supongamos que β(T ) =∞. Si x ∈M‖Tx− (T + S)x‖ = ‖Sx‖ ≤ ε ‖x‖ ≤ k

3‖x‖ ≤ 1

3‖Tx‖, usando (*) tenemos que

‖Tx− (T + S)x‖ = ‖Sx‖ ≤ ‖S‖ ‖x‖ ≤ 3‖S‖2k‖(T + S)x‖ < 1

2.

Las desigualdades anteriores muestran que la diferencia entre Y1 : (T + S)(M) eY2 : T (M) = T (X) es menor que 1

2, entonces (Y ⊥1 , Y

⊥2 ) = (Y1, Y2) <

12

y apli-cando el teorema (que va en preliminares..) obtenemos que dim(Y ⊥1 = dimY ⊥2 = β(T )pues Y2 = T (X). Ası (T+S)(X)=Y1 ⊕ W para algun subespacio W finito dimensio-nal, luego concluimos que β(T + S) = β(T ) = ∞. Por lo tanto ind(T+S)=ind(T). Siβ(T ) <∞ veremos mas adelante, mas precisamente en el teorema (4.6) que la igualdadsigue valiendo.

Corolario 3.7. El subconjunto φ±(X, Y ) de los operadores semi-Fredholm es abiertoen L(X,Y). Ademas el ındice es constante en las componentes conexas de φ±(X, Y )

Demostracion. En el teorema anterior se vio que el conjunto de los semi-Fredholmses abierto.Sea Γ una componente conexa maximal del conjunto φ±(X, Y ). Fijamos T0 ∈ Γ. Porel teorema anterior la funcion T 7→ ind(T ) es continua en Γ. Por lo tanto el conjuntoΓ1 := {T ∈ Γ : ind(T ) = ind(T0)} es cerrado y abierto a la vez, entonces Γ = Γ1


Teorema 3.8. Si X e Y son espacios de Banach entonces se cumple que:

• Si φ+(X, Y ) 6= ∅ luego φ+(X, Y ) +K(X, Y ) ⊆ φ+(X, Y )

• Si φ−(X, Y ) 6= ∅ luego φ−(X, Y ) +K(X, Y ) ⊆ φ−(X, Y )

Para demostrar este teorema vamos a utilizar el siguiente resultado:

Lema 3.9. Si T ∈ L(X, Y ) luego T ∈ φ+(X, Y ) si y solo si existe un subespacio Mfinito dimensional tal que T/M es acotado inferiormente.

Demostracion. ⇒) Si T ∈ φ+(X, Y ) sabemos que dim(ker T) es finita y comple-mentado. Escribimos X = kerT ⊕M . Luego la restriccion T/M es biyectivo, entoncesT es acotado inferiormente.⇐) Supongamos que ∃M subespacio finito dimensional tal que T/M es acotado infe-riormente. Como kerT ∩M = {0} deducimos que ker(T) es finito dimensional.Sea N el complemento de M, i.eX = N⊕M con dim(N) <∞. Luego T(X)=T(M)+T(N),con T(M) cerrado. Como T(N) es finito dimensional, luego T(X) es cerrado. Por lo tan-to T ∈ φ+.

Ahora si estamos en condiciones de demostrar el teorema (3.8).

Demostracion. Sea T ∈ φ+(X, Y ) y K ∈ K(X, Y ), por el lema anterior, ∃M1

subespacio cerrado tal que T/M1 esa acotado inferiormente. Como K es compacto porteorema (2.13) existe otro subespacio M2 finito dimesional y ε > 0 tal que ‖K/M‖ < ε.Llamemos M := M1∩M2. Claramente M es finito dimesional y cerrado. Por otro parte,

ınfx∈M,‖x‖=1

‖T +K‖ ≥ ınfx∈M,‖x‖=1

(‖Tx‖ − ‖Kx‖) ≥ ε

Luego (T+K)/M es acotado inferiormente y por el lema T +K ∈ φ+

Para demostrar que ocurre lo mismo para φ−(X, Y ) usamos dualidad, i.e se ve queT ∈ φ−(X, Y )⇔ T ∗ ∈ φ+(Y ∗, X∗). Como K∗ es compacto T ∗+K∗ ∈ φ+(X, Y ) por lotanto T +K ∈ φ−(X, Y ).

Veamos que la clase φ± es estable ante perturbacion por operadores compactos

Corolario 3.10. Si T ∈ L(X, Y ) es un operador semi-Fredholm y K ∈ L(X, Y )entonces ind(T +K) = ind(T ).

Demostracion. Por el teorema (3.8) T + K ∈ φ+. Teniendo en cuenta la corolario(3.7) la igualdad de los ındices es consecuencia de que

T + tK ∈ φ+, ∀t ∈ [0, 1].

El caso T ∈ φ− se sigue de lo anterior por dualidad.



Teorema 3.11. Sea T ∈ L(X, Y ) .Se verifica

1. T ∈ φ+ si y solo si ker(T+K) tiene dimension finita, para todo operador compactoK ∈ L(X, Y ).

2. T ∈ φ− si y solo si Y/R(T +K) tiene dimension finita para todo operador com-pacto K ∈ L(X, Y ).

Demostracion. 1. ⇒) Sabemos por la proposicion (3.8) que (T + K) es semi-fredholm con lo cual ker(T +K) tiene dimension finita.⇐) Para la vuelta vamos a necesitar la siguiente definicion:

Un operador K: X → Y de dice nuclear si podemos encontrar una sucesion (x∗n)

en X∗ y otra (yn) en Y de tal modo que∞∑n=1

‖x∗n‖ ‖yn‖ < y K(X) =∞∑n=1

〈x∗n, x〉 yn∀x ∈ X.

‖K(X)‖ ≤∞∑n=1

‖x∗n‖ ‖yn‖ y el operador K es compacto por ser limite de una

sucesion de operadores de rando finito.Ahora bien, vamos a suponer que Y/R(T +K) tiene dimension finita y T /∈ φ+.Vamos a construir un operador nuclear K: X → Y de modo que ker(T +K) tengadimension infinita.-Si ker(T ) =∞, basta tomar K = 0 y listo.-Si ker(T ) <∞, podemos encontrar un subespacio cerrado X1 de X de modo queX = ker(T ) ⊕ X1 y la restriccion TX1 es un operador inyectivo con inverso nocontinuo.Obtendremos mediante un argumento inductivo una sucesion (xn) en X1 y (x∗n)en X∗ de modo que:

〈x∗i , xj〉 = δij ∀i, j ∈ N.(I) y ‖T (xn)‖ . ‖x∗n‖ ≤ 2−n, ∀n ∈ N (II)

Como TX1 no tiene inverso continuo, existe x1 en la esfera SX1 tal que ‖T (x1)‖ ≤2−1. Ademas por el teorema de Hahn-Banach, existe (x∗1) en la esfera SX∗ tal que〈x∗1, x1〉 = 1.Supongamos que ya hemos encontrado x1, ..., xn en X1 y x∗1, ..., x

∗n en X∗ verifi-

cando las condiciones (I) y (II).

Definimos Pn : X1 → X1 mediante Pn(x) := x−i∑

j=1

⟨x∗j , x

⟩xj. Claramente Pn es

una proyeccion acotada y kerPn = span {x1, ..., xn}. Ademas,como R(Pn) tienecodimension finitita en el espacio X1, la restriccion TR(Pn) no tiene inverso conti-nuo. Luego podemos encontrar un vector xn+1 en R(Pn) verificando ‖xn+1‖ = 1y ‖T (xn+1)‖ ≤ 2−n−1 ‖Pn‖−1. Entonces elegimos f en la esfera de X∗ tal que〈f, xn+1〉 = 1 y definimos x∗n+1 := f ◦ Pn.Facilmente se prueba quex1, ..., xn+1 yx∗1, ..., x

∗n+1 en X∗ verifican las condiciones (I) y (II)


Claramente la expresion K(X) = −∞∑n=1

〈x∗n, x〉T (xn) define un operador nuclear

K: X → Y ; y como T (xn) = −K(xn), ker(T +K) tiene dimension infinita.

2. ⇒) Como T ∈ φ− y K compacto por proposicion (3.8), T+K es semi-fredholm.⇐) Vamos a repetir el mismo procedimiento que la vuelta de 1).Supongamos que T /∈ φ− y construimos un operador nuclear K: X → Y de modoque ker(T ∗ +K∗) tenga dimension infinita, luego dim(Y/R(T +K)) =∞:-Si R(T ) es cerrado, dim(Y/R(T )) =∞, basta tomar K = 0 y listo.-Supongamos que R(T ) no es cerrado. Sea (an) una sucesion de enteros definida

por (a1) := 2 y (an+1) := 2

(1 +

n∑k=1

ak

), con n ∈ N.

Encontramos inductivamente sucesiones (yk) en Y e (y∗k) en Y ∗ de modo que∀i, j ∈ N 〈y∗i , yj〉 = δij, ‖yi‖ ≤ ai y ‖y∗i ‖ = 1 y ‖T ∗(y∗i )‖ ≤ 1

2iai. Como R(T ) no

es cerrado, tampoco lo es R(T ∗), luego podemos encontrar y∗1 en Y ∗, verificando‖y∗1‖ = 1 y ‖T ∗(y∗1)‖ ≤ 1

4. Selecionamos y1 en Y tal que ‖y1‖ ≤ 2 y 〈y∗1, y1〉 = 1.

Supongamos que n > 1 y que ya hemos encontrado los vectores yk e y∗k parak < n, como la restriccion de T ∗ al subespacio {y1, ...., yn−1} tiene rango cerrado,podemos encontrar y∗n en Y ∗ de modo que 〈y∗n, yn〉 = 0 para k < n,‖y∗n‖ = 1y ‖T ∗(y∗n)‖ ≤ 1

2nanseleccionamos y ∈ Y con ,‖y‖ = 2 tal que 〈y∗n, yn〉 = 1 y

definimos yn := y −n−1∑k=1

〈y∗k, y〉 yj.

Es claro que ‖yn‖ ≤ ‖y‖(

1 +n−1∑k=1

‖yk‖)≤ 2

(1 +

n−1∑k=1

ak

)= an.Ası encontramos

las sucesiones (yk) en Y e (y∗k) en Y ∗ que necesitamos.

Como∞∑k=1

‖T (y∗n)‖ ‖yn‖ < ∞, la expresion K(X) = −∞∑n=1

〈T ∗y∗n, x〉 yn define un

operador nuclear K: X → Y , cuyo operador conjugado actua ası:

K∗(y∗) = −∞∑n=1

〈y∗, yn〉T ∗(y∗n)

Como T ∗(y∗n) = −K∗(y∗n) ∀n ∈ N, tenemos que ker(T ∗ + K∗) tenga dimensioninfinita, luego su predual Y/R(T +K) tambien tiene dimension infinita.


4 OPERADORES DE FREDHOLM

4. Operadores de Fredholm

Definicion. Sea T ∈ L(X, Y ) X e Y EB. Se dice que T es un operador de Fredholmsi

T ∈ φ(X, Y ) := φ+(X, Y ) ∩ φ−(X, Y )

Denotamos F(X,Y) el espacio de todos los operadores de Fredholm de X a Y. Y defi-nimos para n ∈ Z, el conjunto Fn = {T ∈ F (X) : ind(T ) = n}

Todas las propiedades que valen para los operadores semi-Fredhom tambıen valen paralos operadores de Fredholm. Vamos a enunciarlas, su demostracion es aplicacion de losresultados de operadore semi-Fredholm.

Proposicion 4.1. Sean X, Y, Z espacios de Banach

• Si S ∈ φ(Y, Z)y T ∈ φ(X, Y ) entonces ST ∈ φ(X,Z)con ind(ST ) = ind(S) +ind(T ).

• Si ST ∈ φ(X,Z), entonces T ∈ φ+(X, Y ) y S ∈ φ−(Y, Z).

• Si T es Fredholm, luego T ∗ tambien lo es y ind(T ∗) = −ind(T ).

• Si T ∈ F(X, Y ) y K ∈ L(X, Y ) es un operador compacto entonces T + K estambien Fredholm con ind(T +K) = ind(T ).

Proposicion 4.2. Si T : X → Y y X e Y tienen dimension finita, luego T es Fredholmy ind(T)= dim X- dim Y.

Demostracion. Es claro que T es Fredholm, pues dimension de los espacios sonfinitas.Sabemos que como X es un espacio vectorial,dim X= dim R(T)+dim ker(T) =[dim Y- dim R(T )⊥] + dim ker(T).dim Y/R(T)= dim (Y/R(T ))∗= dim R(T )⊥

Ası, ind(T):= dim ker(T)- dim Y/R(T)=dim X- dim Y.

Ahora enunciaremos una propiedad muy importante que surge de la teorıa de ındice.

Teorema 4.3. T ∈ K(X), X EB, luego λI − T es un operador de Fredholm conind(λI − T ) = 0, ∀λ 6= 0.

Demostracion. Por el teorema (2.10) λI − T es cerrado , esto implica que ker(λI −T ) tiene dimension finita y β(λI − T ) < ∞ con lo cual λI − T ∈ φ(X, Y ). Comodim[ker(λI − T ∗)] = dim[ker(λI − T )], ası ind(λI − T ) = 0.

Vamos a senalar que de los resultados anteriores son derivados de las propiedades delespectro de operadores compactos.


Definicion. Sean X,Y espacios de Banach. T ∈ L(X, Y ) se dice Atkinson a izquierdasi T ∈ φ+(X, Y ) y T(X) es complementado en X. La clase de estos operadores sedenota φl(X, Y ). El operador T se dice Atkinson a derecha si T ∈ φ−(X, Y ) y ker (T)es complementado en Y. Se denota por φr(X, Y ) a la clase de estas operaciones.

Claramente,

φ(X, Y ) ⊆ φl(X, Y ) ⊆ φ+(X, Y )φ(X, Y ) ⊆ φr(X, Y ) ⊆ φ−(X, Y )

Por otra parte,

φ(X, Y ) = φl(X, Y ) ∩ φr(X, Y )

Teorema 4.4. Sean X,Y,Z EBs, y T ∈ L(X, Y ). Las siguientes afirmaciones son equi-valentes:

1. T ∈ φl(X, Y ),

2. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IX − ST ∈ LF (X),

3. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IX − ST ∈ K(X).

Analogamente,

4. T ∈ φr(X, Y ),

5. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IY − ST ∈ LF (X),

6. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IY − ST ∈ K(X).

Demostracion. 1)⇒ 2) Supongamos que T ∈ φl(X, Y ). Sea Q ∈ L(Y ) una proyeccionde y en T(X). Como ker T es finito dimensional, ker T es complementado; entoncespodemos escribir X = kerT ⊕M . Luego la restriccion T/M : M → T (X) es biyectivo.Llamamos S0 : T (X) → M al inverso de T/M y sea S : S0Q. Claramente (IX −ST )|M = 0, ası IX − ST es operador finito dimensional.2)⇒ 3) Es claro, pues K(X) es la clausura en norma de los operadores de rango finito.3)⇒ 1) Supongamos que existe S ∈ L(Y,X) tal que IX −ST = K ∈ K(X). Luego STes un operador de Fredholm y por la proposicion (4.1) T ∈ φ+ y S ∈ φ−. Queda pordemostrar que T(X) es complementado en Y.Tenemos IX −K = ST , ası por el teorema (4.3) ST ∈ φ+ y ST tiene q:=q(ST)Sea M := (ST )q(X) y por la proposicion (4.1) (ST )q ∈ φ(X) y por lo tanto M es unsubespacio de X finito-dimensional. Sea P la proyeccion de X en M y escribimos S0 :=PS : YM . Luego S0T/M = (ST )|M = IM−K/M , KM compacto y (S0T/M)(M) = My S0T/M ∈ L(M) es suryectivo.Por el teorema (4.1), S0T/M = IM−K/M deducimos que S0T/M es tambien inyectivo.Luego (S0T/M)−1(S0T/M) = IM y por lo tanto por el teorema (2.3) T (M) = T/M(M)


4 OPERADORES DE FREDHOLM

es complementado en Y. Como T (X) = T (M) ⊕ T (I − P )(X) y T(I-P)(X) es finitodimensional se sigue que T(X) es un subespacio cerrado de Y finito dimensional y porlo tanto es complementado en Y.

Teorema 4.5. Si T ∈ L(X, Y ). Luego son equivalentes:

1. T ∈ φ(X, Y ),

2. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IX − ST ∈ LF (X) y IY − TS ∈ LF (X),

3. Existe S ∈ L(Y,X) tal que IX − ST ∈ K(X) y IY − TS ∈ K(X).

Demostracion. Es claro que la demostracion del teorema se desprende del teoremaanterior y del hecho de que φ(X, Y ) ⊆ φl(X, Y ) y φ(X, Y ) ⊆ φr(X, Y )

Teorema 4.6. Para algun T ∈ φ(X, Y ) , X e Y, EB; existe ρ := ρ(T ) > 0 tal que∀S ∈ L(X, Y ) con ‖S‖ < ρ, luego T + S ∈ L(X, Y ) y ind (T+S)= ind (T).Luego el conjunto φ(X, Y ) es abierto en L(X,Y).

Demostracion. Utilizando el teorema (4.5), existe U ∈ L(Y,X) y K ∈ K(X) talque UT = IX −K. Por el teorema (4.3) IX −K es Fredholm con indice 0, lo cual UTtambien lo es. Por la proposicion (4.1) se ve que U es Fredholm y ind T= -ind U.Tomemos ahora S ∈ L(X, Y ) tal que ‖S‖ < ρ := 1

‖U‖ . Luego ‖US‖ ≤ ‖U‖ ‖S‖ < 1,

por lo tanto por Lema (2.8) IX +US es invertible, en particular un es un operador deFredholm con indice 0.Como ind U + ind (T+S)=0, ind(T+S)=-ind U=ind(T)Por lo tanto ind (T+S)=ind (T).


4.1 Algebras de Calkin

4.1. Algebras de Calkin

Consideremos el caso X=Y, espacio de Banach y K(X)=K(X,X). Como K(X) es unideal bilatero cerrado, el cociente Cal(X) = L(X)/K(X) es un algebra de Banach conla siguiente norma cociente:∥∥∥T∥∥∥ = ınf

T∈T‖T‖, donde T := T +K(X)

Y se denomina Algebra de Calkin.La proyeccion de notara πK(x) : L(X)→ L(X)/K(X).

El interes del algebra de Calkin en teorıa de Fredholm proviene del siguiente corolario.

Corolario 4.7. (del teorema 4.5) Supongamos que T ∈ L(X).T ∈ φ(X) si y solo si T := T +K(X) es invertible en el cociente L(X)/K(X).

Esta caracterizacion de los operadores de Fredholm se conoce como La caracteriza-cion de Atkinson de los operadores de Fredholm.

Demostracion. ⇒) Supongamos que T es Fredholm, por el teorema (4.5), existe Stal que K1 = I−ST e K2 = I−TS son operadores compacto , queremos ver que T+Kes invertible en Cal(X). Aplicamos π a estos operadores y obtenemos π(I)− π(K1) =π(S)π(T ) y π(I) − π(K2) = π(T )π(S) ,π(K1) es la proyeccion sobre ker(T) y π(K2)es la proyeccion sobre R(T )⊥ los cuales son a su vez operadores compactos por tenerrango finito. Por consiguiente π(S) es la inversa de π(T ) en L(X)/K(X).

⇐)Como T es invertible ∃S ∈ Cal(X) tal que T S = I y ST = I, de aqui obtenemosque I = S(T +K) = ST + SK, entoncesI − (S +K1)S = T S +KS ⇒ I − ST = T S +KS + TK1 ∈ K(X) hacemos el mismorazonamiento para la otra igualdad y usando el teorema (4.5) vemos que T ∈ φ(X).


5 EL ESPECTRO ESENCIAL

5. El Espectro Esencial

La nocion de operadores de fredholm y semi-Fredholm son condiciones de regularidad,en el sentido en que a pesar de que el operador T no sea invertible, T verifica ciertascondiciones que lo hacen casi invertible. Por ejemplo, si T es de Fredholm, su nucleopuede ser no nulo, pero T es casi inyectivo siendo su nucleo un subespacio de dimensionfinita, mientras su rango T(X) puede no ((llenar)) X, es decir T no es sobreyectivo, peroes casi sobreyectivo, en el sentido que la codimension del rango T(X) es finita. Unanocion de regularidad produce siempre un espectro.

Para empezar recordemos que el espectro de un operador T ∈ L(X) esta definido por

σ(T ) = {λ ∈ C : λI − T, es invertible}

donde invertible significa que λI − T es biyectivo.La denominacion de espectro nace del hecho que la ecuacion (λI − T )x = y, λI − T /∈σ(T ) admite para cada y ∈ X una y solo una solucion.

Definicion. Sea T ∈ L(X) definimos:

• El espectro esencial, tambien llamado Espectro de Fredholm de T como :

σe(T ) = {λ ∈ C : λI − T /∈ φ(X)}.

• El espectro esencial upper- semi-fredholm es σuf (T ) = {λ ∈ C : λI − T /∈ φ+(X)}• El espectro esencial lowersemi-fredholm es σlf (T ) = {λ ∈ C : λI − T /∈ φ−(X)}

Observaciones 5.1. • Equivalentemente podemos definir el espectro esencial co-mo σe(T ) = σCal(X)(T ).

• Tambien se puede definir el Espectro semi-Fredholm de la siguiente maneraσsf (T ) = {λ ∈ C : λI − T /∈ φ±(X)}.

Proposicion 5.2. Sea T ∈ φ(X)

1. σe(T ) = σuf (T ) ∪ σlf (T ).

2. σsf (T ) = σuf (T ) ∩ σlf (T ).

3. σe(T ) ⊆ σ(T ).

4. σe(T ), σuf (T ) y σlf (T ) son conjuntos compactos.

5. Si K es un operador compacto σe(T +K) = σe(T ).

Demostracion. 1. λ ∈ σe(T ) ⇔ λI − T /∈ φ(X) ⇔ λI − T /∈ φ+(X) o λI − T /∈φ−(X) ⇔ λ ∈ σuf (T ) o λ ∈ σlf (T ).


5.1 Ejemplo

2. λ ∈ σsf (T ) ⇔ λI − T /∈ φ±(X) ⇔ λI − T /∈ φ+ (X) y λI − T /∈ φ−(X)⇔ λ ∈ σuf (T ) y λ ∈ σlf (T ).

3. Dado que π es morfismo, cumple que πGl(X) ⊂ G(cal), entonces σe(T ) ⊆ σ(T ).

4. λ ∈ σuf (T )⇔ λI − T /∈ φ+(X) ⇔ λI − T ∗ /∈ φ−(X)⇔ λ ∈ σlf (T ∗).5. Como σe(T ) ⊆ σ(T ) y σ(T ) es compacto, basta ver que σe(T ) es cerrado.

Para ello veamos que toda sucesion converge de σe(T ) converge a un punto enσe(T ).Sea {λn} una sucecion convergente con lım

n7→∞λn = λ. Como λn ∈ σe(T ) λnI −T /∈

φ(X) como esta es una sucesion de operadores converge a λI − T que esta enel complemento de los Fredholm, el cual es cerrado, λI − T /∈ φ(X) entoncesλ ∈ σe(T ). Con lo cual σe(T ) es cerrado y por lo tanto compacto.

La prueba de que σuf (T ) y σlf (T ) son conjuntos compactos se hace de maneraanaloga que lo anterior.

6. Por el corolario (4.6) sabemos que σe(T ) coincide con el espectro de T := T+K(X)en el algebra de Calkin.

Proposicion 5.3. Sea T ∈ φ(X),

1. λ ∈ σuf (T ) ⇔ dim (ker (T − λ)) =∞ o ran (T − λ) no es cerrado.

2. λ ∈ σlf (T ) ⇔ dim [ran (T − λ)]⊥ =∞ o ran (T − λ) no es cerrado.

Demostracion. la demostracion es directa de la definicion de operadores semi-Fredholm.

5.1. Ejemplo

Considemos el espacio X=l2(N).

Sea S:X → X el operador shift a izquierda definido como (x1, x2, x3, .....)S→ (0, x1, x2, .....)

y T:X → X el operador shift a derecha definido como (x1, x2, x3, .....)T→ (x2, x3, x4, .....).

Se puede ver muy facilmente que S∗ = T . Con esto podemos aplicar las proposiciones(2.15) y (4.1) y obtener el ındice y el espectro de forma bien sencilla.La dim(ker S)=1 y dim(coker S)=0 entonces el ind (S)=1 y el ind (T)=-1.

Ahora veremos que : σ(S) = D = {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}.σ(S) = σ(S∗) = σ(T ), como σ(T ) ⊂ {λ ∈ C : |λ| ≤ 1 = ‖T‖}.(x1, x2, x3, .....) = (λx1, λx2, λx3, .....)⇔ x2 = λx1, x3 = λx2, xn = λxn+1; y sin perdidade generalidad tomando x1 := 1,(1, λ, λ2, λ3, ...) ∈l2 es un autovector asociado a λ osea λ ∈ σ(T ), se obtiene entonces que {λ ∈ C : |λ| = 1} ⊂ σ(T ) ⊂ {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}pero σ(T ) es cerrado, σ(T ) = {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}.Ahora veamos el espectro esencial de S:Como σe(T ) ⊆ σ(T ), el σe(S) ⊆ D.Mas precisamente σe(S) = T.


REFERENCIAS

Referencias

[1] Pietro Aiena, Semi-Fredholms Operators, perturbation and localized svep. Escuela Vene-zonalana de Matematicas. Ediciones IVIC, 2007.

[2] John B. Conway, A curse in Functional Analysis.Springer-Verlag, 1985.

[3] G. Corach y E. Andruchow, Notas de Analisis Funcional, 1997.

[4] Demetrio Stojanoff, Un curso de Analisis Funcional,2011.


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