introducci¶on. conjuntos

1

Indice

Tema 1.

1. Introduccion.

2. Conjuntos.

- Las nociones de elemento de un conjunto, el contenido, el pertenece.

- El conjunto vacıo, el conjunto partes de un conjunto.

3. Operaciones con conjuntos.

- La union, la interseccion, la diferencia y diferencia simetrica. El comple-mento.

- El producto cartesiano de conjuntos.

- Familias indexadas. Operaciones con familias indexadas.

4. Propiedades.

- La propiedad asociativa, conmutativa y distributiva.

- La ley de idempotencia, de simplificacion y las leyes de Morgan.

5. Funciones.

- Definicion y ejemplos de funciones: la funcion identidad y las funcionesconstantes.

- Aplicacion inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

- Composicion de funciones. La propiedad asociativa y el elemento neutro(por un lado).

- Las inversas laterales. La funcion inversa (y relacion con las aplicacionesbiyectivas).

- La imagen inversa.

6. La nocion de cuerpo.

- Definicion de operacion interna. propiedades de una operacion interna.

- La nocion de grupo y de grupo abeliano.

- Mas de una operacion interna. La nocion de anillo.

- Anillos conmutativos, anillos unitarios. Anillos de division.

2 Tema 0

- Cuerpos.

- El anillo de congruencias modulo n, (Zn,+, )

7. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

- Definicion y ejemplos. Conjunto de soluciones de un sistema de ecua-ciones lineales.

- S.E.L compatible, determinado e indeterminado, E.E.L incompatible.

- Sistema de ecuaciones lineales equivalentes. Transformaciones elemen-tales.

- El metodo de Gauss.

Bibliografıa del Tema 1

Tema 2.

1. Introduccion.

2. Espacios vectoriales.

- Definicion y ejemplos.

- Propiedades de los espacios vectoriales.

3. Subespacio vectorial.

- Definicion y ejemplos.

- Caracterizaciones.

4. Operaciones con subespacios

- La interseccion. La suma. La suma directa. Propiedades.

5. Base de un espacio vectorial

- Subespacio generado por un subconjunto de vectores. Combinacion lin-eal. Propiedades.

- Sistema de generadores. Conjunto de vectores independientes. Base deun espacio vectorial. Ejemplos.

- Teorema de existencia de base. Lema de Zorn.

- Coordenadas.

6. Dimension de un espacio vectorial

Curso de Algebra y Geometıa (2004-2005) 3

- Teoremas de Steinitz o teorema del intercambio.

- Dimension de un espacio vectorial. Ejemplos.

7. Ecuaciones de un subespacio de Kn

- Ecuaciones vectoriales, parametricas, continuas y cartesianas. Ejemplos.

Bibliografıa del Tema 2

Tema 3.

1. Introduccion.

2. Aplicaciones Lineales.

- Definicion y ejemplos. La aplicacion lineal asociada a una matriz.

- Propiedades.

- Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismos y automor-fismo de espacios vectoriales. Espacios vectoriales isomorfos.

3. Nucleo e imagen de una aplicacion lineal.

- La imagen y la imagen inversa de un subespacio por una aplicacion lineal.

- Ker(f) e Im(f) para f aplicacion lineal.

- Primera caracterizacion de monomorfismo y epimorfismo. (Dualidad)

4. Fabricacion de aplicaciones lineales

- Como fabricar aplicaciones lineales.

- caracterizacion de una aplicacion lineal a partir de la imagen de una base.

- Segunda caracterizacion de monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo.

5. Matriz asociada a una aplicacion lineal

- El isomorfismo “coordenado”. Si B es base de V , fB .

- La matriz (el isomorfismo) de cambio de base. (de B a B′, CB′B).

- Matriz asociada a aplicaciones lineales de Kn en Km, Af , (respecto delas bases canonicas).

- Matriz asociada a aplicaciones lineales de V en W respecto de bases B

(de V ) y B′ (de W ), AfB′B .

- Relacion al cambiar de base, AfB′B = CB′B′A

f

B′BCBB

4 Tema 1

6. Nuevos espacios vectoriales

- El producto cartesiano de espacios vectoriales. Propiedad fundamentalde Producto cartesiano.

- La suma directa externa de espacios vectoriales. Propiedad fundamentalde la suma directa externa. (Dualidad)

- El espacio vectorial cociente. Base del espacio vectorial cociente. Propie-dad fundamental del cociente.

- El espacio vectorial HomK(V, W ). Relacion con el espacio vectorial delas matrices triangulares.

- Relacion entre la composicion de aplicaciones lineales y el producto desus matrices asociadas.

- El espacio vectorial HomK(V, V ). Relacion con el espacio vectorial de lasmatrices cuadradas.

- El espacio vectorial HomK(K, V )

- El espacio vectorial dual, V ∗ = HomK(V,K).

- El segundo dual, V ∗∗. Monomorfismo canonico de V en V ∗∗.

7. Rango de una aplicacion lineal


TEMA 1.

1. INTRODUCCION

Comenzamos este primer tema con una breve introduccion a la teorıa deconjuntos, ya que esta es necesaria a lo largo de la asignatura. Seguidamenteintroduciremos la nocion de cuerpo lo que nos permitira hacer un estudio generalde los sistemas de ecuaciones lineales y su resolucion. Este estudio es necesario yaque cuando entremos propiamente en el mundo del algebra lineal la mayorıa delos problemas van a consistir, en ultimo termino, en la resolucion de un sistema deecuaciones lineales (S.E.L). Damos en este primer capıtulo nociones generales sobreS.E.L e introducimos el metodo de Hermite-Gauss, que a la vez de no necesitaruna teorıa subyacente complicada, es efectivo a la hora de resolver este tipo desistemas de ecuaciones.

2. CONJUNTOS.

En este capıtulo vamos a dar, sin ser muy estrictos, algunas nociones nece-sarias para la comprension de la asignatura.

2.1. Def: Se define un conjunto como una coleccion de objetos. Unconjunto quedara determinado por una propiedad que caracterice a los elementosque lo forman.

2.2. Ejemplos.

(a) El conjunto de los numeros naturales, N.

(b) El conjunto de los numeros naturales que son pares.

(c) A = {1, 2, a};B = {a, b, c}; C = {2, 3, 5, 7, 11}.

2.3. Notacion: En general, los conjuntos los denotaremos por letrasmayusculas mientras que los elementos seran denotados por letras minusculas.

2.4. Def: Diremos que un elemento a pertenece a un conjunto X, y lodenotaremos por a ∈ X, si a es uno de los miembros de X. Si a no es miembro deX diremos que a no pertenece a X y lo denotaremos por a 6∈ X.

6 Tema 1

2.5. Def: Sean X, Y dos conjuntos. Diremos que X es un subconjunto deY , y lo representaremos por X ⊂ Y , si todo elemento de X es elemento de Y , esdecir,

X ⊂ Y ⇐⇒ ∀a ∈ X, ⇒ a ∈ Y

2.6. Def: Sean X,Y dos conjuntos. Diremos que X es igual a Y , y lorepresentaremos X = Y , si X ⊂ Y e Y ⊂ X.

2.7. Def: Definimos el conjunto vacıo como aquel que carece de elementos,lo representamos por ∅.

2.8. Def: Dado un conjunto X definimos el conjunto partes de X, y lo re-presentamos por P(X) como el conjunto que tiene por elementos los subconjuntosde X.

2.9. Ejemplo. Para A = {1, 2, a}, se tiene que

P(A) = {∅, {1}, {2}, {a}, {1, 2}, {1, a}, {2, a}, {1, 2, a}}.

Observar que si un conjunto X tiene n elementos, P(X) tiene 2n elementos.

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS

3.1. Def: Dados dos conjuntos X, Y , se define la union de X con Y yse representa por X ∪ Y a un nuevo conjunto que tiene por elementos tanto loselementos de X como los de Y .

X ∪ Y = {z | z ∈ X o z ∈ Y }

3.2. Def: Dados dos conjuntos X, Y , se define la interseccion de X con Y

y se representa por X ∩ Y a un nuevo conjunto que tiene los elementos que estantanto en X como en Y .

X ∩ Y = {z | z ∈ X y z ∈ Y }


3.3. Def: Dados dos conjuntos X, Y , se define la diferencia de X con Y yse representa por X−Y al conjunto formado por los elementos de X que no estanen Y . Es decir,

X − Y = {z ∈ X | z 6∈ Y }

3.4. Def: Dados dos conjuntos X,Y , se define la diferencia simetrica de X

con Y y se representa por X4Y al conjunto formado por los elementos de X queno estan en Y junto con los de Y que no estan en X. Es decir,

X4Y = (X ∪ Y )− (Y ∩X) = (X − Y ) ∪ (Y −X)

3.5. Def: Dados dos conjuntos X, Y , con X subconjunto de Y se defineel complemento de X en Y y se representa por X al conjunto formado por loselementos de Y que no estan en X. Es decir,

X = {z ∈ Y | z 6∈ X}

Observar que X = Y −X.

3.6. Def: Dados dos conjuntos X, Y se define el producto cartesiano deX e Y y se representa por X × Y como un nuevo conjunto formado por todos lospares (x, y) en donde x ∈ X e y ∈ Y .

X × Y := {(x, y) | x ∈ X e y ∈ Y }

Observar que si X tiene n elementos e Y tiene m elementos, X × Y tiene nm

elementos.

3.7. Ejemplo. Dados A = {1, 2, a} y B = {a, b, c} se tiene que

A×B := {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (a, a), (a, b), (a, c), }

3.8. Def: Dados n conjuntos X1, X2, . . . , Xn se define el producto carte-siano de los Xi con i = 1, 2, . . . , n y se representa por X1×X2× . . .×Xn = Πn

i=1Xi

como un nuevo conjunto formado por todas las n-uplas (x1, x2, . . . , xn) en dondexi ∈ Xi con i = 1, 2, . . . , n .

Πni=1Xi := {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ Xi con i = 1, 2, . . . , n}

8 Tema 1

4. PROPIEDADES

(i) Propiedad conmutativa: X ∪ Y = Y ∪X; X ∩ Y = Y ∩X.

(ii) Propiedad asociativa: (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)

(X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z).

(iii) Propiedad distributiva:(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)

(X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z)

X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)

X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z).

(iv) Propiedad Idempotente: X ∪X = X; X ∩X = X.

(v) Leyes de simplificacion: (X ∪ Y ) ∩X = X; (X ∩ Y ) ∪X = X.

(vi) Leyes de Morgan: (X ∪ Y ) = X ∩ Y ; (X ∩ Y ) = X ∪ Y .

5. FUNCIONES

5.1. Def: Dados dos conjuntos no vacıos X, Y , se define una funcion f deX en Y , y se representa por f : X → Y , como un subconjunto F ⊂ X ×Y tal quepara todo x ∈ X existe un unico y ∈ Y con (x, y) ∈ F (este elemento y no es masque lo que usualmente llamamos f(x)).

Observacion: Una aplicacion no es mas que una regla por la cual a cadaelemento de X se le asigna un y solo un elemento de Y .

5.2. Ejemplos.

? Sea f : N→ N definida por f(n) = 2n + 1.

? Sea X un conjunto no vacıo y x0 un elemento de X. entonces tenemos dosaplicaciones naturales:

– La aplicacion identidad. IdX : X → X definida por IdX(x) = x paratodo x ∈ X.

– La aplicacion constante. fx0 : X → X definida por f(x) = x0 para todox ∈ X.

5.3. Def: Diremos que una aplicacion f : X → Y es inyectiva si f(x) = f(y)implica que x = y.


5.4. Def: Diremos que una aplicacion f : X → Y es sobreyectiva si paratodo y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y.

5.5. Def: Diremos que una aplicacion f : X → Y es biyectiva si es a la vezinyectiva y sobreyectiva.

5.6. Ejemplos.

(1). La aplicacion f : R→ R definida por f(x) = 2x + 1 es biyectiva.

(2). La aplicacion g : N → N definida por g(x) = 2x + 1 es solo inyectiva. Noexiste ningun natural n tal que f(n) = 4.

(3). La aplicacion h : R→ R definida por h(x) = x2 no es ni inyectiva ni sobreyec-tiva. h(2) = h(−2) por lo que no es inyectiva y no existe ningun elementox ∈ R tal que f(x) = −1, por lo que no es sobreyectiva.

5.7. Def: Sean X, Y, Z tres conjuntos y f : X → Y y g : Y → Z dosaplicaciones. Se define la composicion de f con g y se representa por g ◦ f comola aplicacion g ◦ f : X → Z definida por g ◦ f(x) := g(f(x)) para todo x ∈ X.

5.8. Lema. La composicion de aplicaciones es asociativa.

Nota: la composicion de aplicaciones no es necesariamente conmutativa, peroposee una especie de elemento unidad. Si f : X → Y es una aplicacion IdY ◦f = f

y f ◦ IdX = f , en donde IdX (resp. IdY ) denotan la aplicacion identidad en X

(Resp. en Y ).

5.9. Def: Sean X e Y dos conjuntos y f : X → Y una aplicacion. Diremosque f es inversible si existe una aplicacion g : Y → X tal que f ◦ g = IdY yg ◦ f = IdX .

5.10. Proposicion. Sean X, Y dos conjuntos no vacıos y f : X → Y unaaplicacion. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) f es biyectiva.

(2) Existe una aplicacion g : Y → X tal que f ◦ g = IdY y g ◦ f = IdX .

Es mas, la aplicacion g es unica, por lo que la denotaremos por f−1.

5.11. Def: Sean X,Y dos conjuntos no vacıos y f : X → Y una aplicacion.dado un subconjunto Y ′ de Y se define la imagen inversa de Y ′ y se denota porf−1(Y ′) como:

f−1(Y ′) := {x ∈ X | f(x) ∈ Y ′}

10 Tema 1

Nota: para esta definicion no hace falta que f sea biyectiva y tenga inverso,f−1(Y ′) es solo una notacion (puede que mala) que no es la aplicacion inversa.

6. LA NOCION DE CUERPO

6.1. Def: Sea R un conjunto no vacıo. Una operacion interna en R, quedenotaremos por ∗, es una aplicacion del producto cartesiano R×R en R.

6.2. Ejemplos conocidos: La suma o el producto usuales en N, Z, Q, Ro C. La union y la interseccion en el conjunto de partes de un conjunto, P(X).

6.3. Propiedades. Sea R un conjunto no vacıo y ∗ una operacion en R.Diremos que ∗ es:

– Asociativa: para todo x, y, z ∈ R se verifica que (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

– Conmutativa: para todo x, y ∈ R se verifica que x ∗ y = y ∗ x.

– Existencia de elemento neutro: se dice que ∗ posee elemento neutro si existee ∈ R tal que para todo x ∈ R, x ∗ e = e ∗ x = x

Nota: El elemento neutro de existir es unico.

– Existencia de inverso (u opuesto): si ∗ es una operacion que posee elementoneutro, digamos e, se dice que x ∈ R posee inverso (u opuesto) si existe y ∈ R talque x ∗ y = y ∗ x = e.

Se dice que ∗ posee inverso si todo elemento de R posee inverso.

6.4. Ejercicio. Di que propiedades verifican las operaciones dadas en(6.2.).

6.5. Def: Sea G un conjunto y ∗ una operacion en G. se dice que (G, ∗) esun grupo si ∗ es asociativa, posee elemento neutro y todo elemento posee inverso. Sedice que (G, ∗) es un grupo abeliano (o conmutativo) si ademas, ∗ es conmutativa.

6.6. Ejemplos. (Z, +), (Q,+), (R, +), (C, +), (Q − {0}, ), (R − {0}, )son grupos abelianos. El conjunto de aplicaciones biyectivas en un conjunto conal menos 3 elementos es un grupo no abeliano. (Q, ) no es un grupo.

Estamos acostumbrados, cuando trabajamos con las operaciones usuales enconjuntos de “numeros” o en ciertas estructuras algebraicas (como puede ser elconjunto de las matrices) trabajar no con una unica operacion, sino con varias


que interrelacionan (normalmente la suma y el producto). Siguiendo esta ideal seintroduce la nocion de anillo:

6.7. Def: Sea R un conjunto no vacıo con dos operaciones “+” y “ ” a laprimera operacion se la suele denominar suma y a la segunda producto. Diremosque (R, +, ) es un anillo si:

– (R, +) es un grupo abeliano.

– la segunda operacion es asociativa.

– Se verifican la propiedad distributivas: para todo x, y, z ∈ R

(x + y)z = xz + yz z(x + y) = zx + zy.

Nota: Al neutro de la suma se le denotara por 0.

6.8. Lema. Sea (R, +, ) un anillo. Entonces para todo x ∈ R se tiene que0x = x0 = 0.

? Diremos que un anillo (R, +, ) es unitario si la segunda operacion poseeelemento unidad. A la unidad se la denotara normalmente por 1.

? Diremos que un anillo (R, +, ) es conmutativo si la segunda operacion esconmutativa.

? Diremos que un anillo (R, +, ) es de division si todo elemento no nulo deR tiene inverso.

? Diremos que un anillo (R, +, ) es un cuerpo si es un anillo de divisionconmutativo.

Nota: Un anillo (R, +, ) es un cuerpo si y solo si:

– (R, +) es un grupo abeliano.

– (R∗, ) es un grupo abeliano. (R∗ := R− {0})Nota: Un cuerpo se comporta exactamente como Q, los numeros racionales

o R, los numeros reales, es decir, en un cuerpo podemos sumar, restar, multiplicary dividir (eso si, por elementos no nulos).

6.9. Ejemplos. Z,Q,R o C son anillos unitarios. 2Z := {2x | x ∈ Z} es unanillo no unitario. El conjunto de matrices cuadradas sobre un anillo cualquiera,con su suma y su producto usual es un anillos, que denotamos por Mn(R) con R

un anillo (observar que este ultimo anillo no es conmutativo para n > 1).

12 Tema 1

6.10. Ejemplo. Los anillos realmente no tienen que ser de “numeros”.Sea X un conjunto no vacıo y denotemos por P(X) el conjunto de partes de X.Entonces (P(X),4,∩) tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

Nota: el anillo anterior no es un cuerpo salvo que X tenga un unico elemento.

6.11. Ejemplo: los anillos modulo n Sea n un numero natural yconsideremos Zn := {0, 1, 2, . . . , n−1}. Observar que Zn tiene n elementos. Dadosa, b ∈ Zn definimos:

– La suma de a y b como el resto de dividir a + b por n.

– El producto de a y b como el resto de dividir ab por n.

Entonces (Zn,+, ) tiene estructura de anillo conmutativo y unitario. Es mas,se demostrara en la asignatura de introduccion al algebra que si n = p es unnumero primo, (Zp,+, ) es un cuerpo (con p elementos).

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sea K un cuerpo (se puede tener en mente el cuerpo de los racionales, de losreales o de los complejos). A los elementos del cuerpo los llamaremos escalares.

7.1. Definicion. Por una ecuacion lineal en las variables x1, x2, . . . , xn (conn incognitas) entenderemos una expresion de la forma

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

en donde a1, a2, . . . an, b ∈ K son llamados los coeficientes de la ecuacion. Unsistema de m ecuaciones lineales con n incognitas sera una expresion:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

en donde m es el numero de ecuaciones y n el numero de incognitas.


Se dice que λ1, λ2, . . . , λn ∈ K (en este orden) es una solucion del sistema si:

a11λ1 + a12λ2 + . . . + a1nλn = b1

a21λ1 + a22λ2 + . . . + a2nλn = b2

am1λ1 + am2λ2 + . . . + amnλn = bm

Es decir, si al “sustituir” cada una de las variables por los valores dados todas lasigualdades se satisfacen.

Al conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales se ledenominara el conjunto solucion del sistema, que denotaremos por S.

7.2. Un sistema de ecuaciones lineales se dira que es incompatible si no poseesoluciones, compatible determinado si su conjunto solucion posee un unico elementoy compatible indeterminado si posee mas de un elemento.

Nota: Al trabajar en el cuerpo de los racionales, de los reales, o de loscomplejos, un sistema de ecuaciones lineales puede tener o 0 soluciones, o unasolucion o infinitas soluciones. En general esta propiedad no es cierta. Hay cuerposen donde un sistema de ecuaciones lineales (un sistema compatible indeterminado)puede tener un numero finito de soluciones, es decir, mas de una y menos deinfinitas.

Ejemplo en Z7, la ecuacion x + y = 1 tiene por conjunto de soluciones

S = {(0, 1), (1, 0), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}.

7.3. Diremos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si poseenel mismo conjunto de soluciones.

Nos vamos a centrar ahora en “manipular” sistemas de ecuaciones lineales,pasando de un sistema a otro equivalente, y mas simple, hasta obtener uno quenos permita calcular su conjunto solucion.

7.4. Teorema. Las siguientes manipulaciones en un sistema de ecuacioneslineales proporcionan sistemas de ecuaciones lineales equivalentes:

(i) Intercambiar la ecuacion i-esima por la j-esima.

(ii) Multiplicar una de las ecuaciones lineales por un escalar no nulo.

14 Tema 1

(iii) Sumarle a la ecuacion i-esima la ecuacion j-esima multiplicada por un escalar.

7.5. Metodo de Gauss. Vamos a dar en este apartado un “algoritmo”que nos va a permitir encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:Sea

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

un sistema de ecuaciones lineales.

Paso 1 Nos fijamos en la primera columna y nos quedamos con una ecuacionque tenga coeficiente no nulo. Cambiamos esta ecuacion por la que este en primerlugar.

Paso 2 Multiplicamos la primera ecuacion, que ahora tiene coeficiente en laprimera variable no nulo, por el inverso de este coeficiente. Ası obtenemos unanueva primera ecuacion con coeficiente uno en la primera variable.

? Si en el primer paso cambiamos una ecuacion con coeficiente uno, nos ahor-ramos este segundo paso.

Paso 3 Restamos a la ecuacion i-esima la ecuacion primera multiplicada por elcoeficiente primero de esta ecuacion i-esima. Nos queda un nuevo sistema (equiv-alente al primero) que en la primera columna tiene un uno en la primera ecuaciony un cero en todas las demas.

Paso 4 Nos olvidamos de la primera ecuacion y repetimos el proceso con lasecuaciones restantes.

Pasa 5 Terminado el proceso resuelvo el sistema (hacia arriba).

Visto que la explicacion de este algoritmo es “molesta” veamos un ejemplopractico del mismo:

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

3x + 2y + 5z = 10

x + y + z = 3

2x + 4y + z = 7

Paso 1 Cambio la segunda ecuacion por la primera. Podıa pasar directa-mente al paso dos, pero entonces aparecerıan decimales, que son mas molestos


para trabajar.x + y + z = 3

3x + 2y + 5z = 10

2x + 4y + z = 7

Paso 2 No hace falta.

Paso 3 Resto a la segunda ecuacion la primera multiplicada por tres y a latercera ecuacion la primera multiplicada por dos:

x + y + z = 3

−y + 2z = 1

2y − z = 1

Paso 4 Trabajo ahora con las dos ultimas ecuaciones:

Paso 1 No hace falta.

Paso 2 Multiplico la segunda ecuacion por −1.

x + y + z = 3

y − 2z = −1

2y − z = 1

Paso 3 A la tercera ecuacion le resto la segunda multiplicada por dos.

x + y + z = 3

y − 2z = −1

3z = 3

Paso 5 De la ultima ecuacion, z = 1. Sustituyo en la segunda ecuacion z = 1y obtengo y = 1. Sustituyo z = 1 e y = 1 en la primera ecuacion y obtengo, x = 1.Luego era un sistema compatible determinado. Unica solucion x = 1, y = 1, z = 1.

Nota: Naturalmente los sistemas de ecuaciones lineales del examen seranmas difıciles.

7.6. Una vez terminado el algoritmo de Gauss nos vamos a encontrar con unsistema de ecuaciones en forma “triangular”.

16 Tema 2

a11x1 +a12x2 +a13x3 + . . . +a1(n−1)xn−1 +a1nxn = b1

a22x2 +a23x3 + . . . +a2(n−1)xn−1 +a2nxn = b2

+a33x3 + . . . +a3(n−1)xn−1 +a3nxn = b3

a(n−1)(n−1)xn−1 +a(n−1)nxn = bn−1

a(n−1)nxn = bn

? La solucion del sistema se obtiene “despejando las variables de abajo paraarriba”.

BIBLIOGRAFIA

[1] E. Hernandez: “Algebra y Geometrıa”, Addison-Wesley, 1994.

[2] M. Castellet, I. Llerena: “Algebra lineal y Geometrıa”, Reverte, 1991.

[3] Seymour Lipschutz: “Algebra Lineal”, McGraw-Hill, 1993.

[4] David C. Lay: “Algebra Lineal y sus aplicaciones”, Addison Wesley Long-man, 1999.

Nota: En general cualquier libro sobre Algebra Lineal o Geometrıa trataraestos temas.


TEMA 2.

1. INTRODUCCION

En este tema vamos a introducir la nocion de espacio vectorial dando losejemplos mas relevantes de los mismos. Aparecera la nocion de subespacio vectorial(que entre otras cosas seran nuevos ejemplos de espacios vectoriales), ası comola obtencion de nuevos subespacios a partir de unos dados “lo que llamaremosoperaciones entre subespacios”. Apareceran los conceptos de subespacio generado,sistema generador y conjunto de vectores independientes, que nos llevaran a ladefinicion de bases de un espacio vectorial y por el teorema de invariabilidad delnumero de elementos entre distintas bases de un espacio vectorial, obtendremosla nocion de dimension de un espacio vectorial. Concluiremos obteniendo nuevosejemplos de espacios vectoriales a partir de otros, la suma directa de espaciosvectoriales, el producto de espacios vectoriales y el espacio vectorial cociente.

2. ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIO VECTORIAL. EJEMPLOS

2.1. Def: Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacıo con dos operaciones,una interna + : V × V → V y otra externa K× V → V tal que:

? La operacion interna (tambien llamada suma) tiene estructura de grupo abeliano,es decir,

(1.1) Propiedad asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ V .

(1.2) Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V tal que ∀ v ∈ V , 0+v = v+0 =v.

(1.3) Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V, ∃ − v ∈ V tal que (−v) + v =v + (−v) = 0.

(1.4) Propiedad conmutativa: u + v = v + u ∀ u, v ∈ V .

? La operacion externa (producto por escalares) verifica,

(2.1) λ(u + v) = λu + λv ∀ u, v ∈ V, λ ∈ K.

(2.2) (λ + µ)v = λv + µv ∀ v ∈ V, λ, µ ∈ K.

(2.3) 1v = v ∀ v ∈ V .

18 Tema 2

(2.4) λ(µv) = (λµ)v ∀ v ∈ V, λ, µ ∈ K.

Nota: A los elementos de V los llamaremos vectores. A los elementos del cuerpolos llamaremos escalares.

2.2. Ejemplos.

1-. Sea K un cuerpo. Entonces, para cada n ∈ N, Kn con la suma y productopor escalares “usuales” tiene estructura de espacio vectorial sobre K:

Kn := {(λ1, λ2, . . . , λn) | λi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n}

? Suma por componentes:

(λ1, λ2, . . . , λn) + (µ1, µ2 . . . , µn) := (λ1 + µ1, λ2 + µ2, . . . , λn + µn)

? Multiplicacion por escalares:

µ(λ1, λ2, . . . , λn) := (µλ1, µλ2, . . . , µλn)

Nota: Si n = 1 tenemos que K es un espacio vectorial sobre sı mismo. R2 yR3, en donde R es el cuerpo de los numeros Reales son espacios vectoriales que yase conocen (estudiados en fısica).

2-. El conjunto {0} es espacio vectorial para cualquier cuerpo K, con la unicasuma y multiplicacion por escalares posible:

0 + 0 = 0 y λ0 = 0 para todo λ ∈ K.

3-. R es espacio vectorial sobre Q con la suma y productos usuales.

4-. En R3 cualquier “recta” o cualquier “plano” que pase por el origen decoordenadas. Ejemplo:

W := {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + x = 0}

5-. Dado R el cuerpo de los reales (o cualquier cuerpo K), el anillo de poli-nomios con coeficientes en R (en K).

6-. El conjunto de sucesiones de numeros reales es un espacio vectorial real.


7-. Si [a, b] es un intervalo de R. El conjunto de aplicaciones continuas de[a, b] en R es un espacio vectorial real.

8-. El conjunto de las matrices de tamano n×m sobre los reales es un espaciovectorial real.

2.3. Propiedades de los espacios vectoriales. Sea V un espaciovectorial sobre un cuerpo K. Sean u, v ∈ V y λ, µ ∈ K. Entonces:

(i) 0v = 0.

(ii) λ0 = 0.

(iii) (−λ)v = −(λv) = λ(−v).

(iv) λv = 0 implica que λ = 0 o v = 0.

(v) λv = λu y λ 6= 0 implica que u = v.

(vi) λv = µv y v 6= 0 implica que λ = µ.

Demo:(i). Vamos a jugar con el hecho de que 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.2).

0v = (0 + 0)v = 0v + 0v

por tanto, si restamos en ambos lados 0v, es decir, sumamos el opuesto de 0v, yaplicamos la propiedad asociativa, tenemos que:

0 = 0v + (−0v) = (0v + 0v) + (−0v) = 0v + (0v + (−0v)) = 0v + 0 = 0v.

(ii). Es una demostracion bastante simetrica. Vamos a jugar con el hecho deque 0 + 0 = 0 y la propiedad (2.1).

λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0

por tanto, si restamos en ambos lados −λ0, es decir, sumamos el opuesto de λ0, yaplicamos la propiedad asociativa, tenemos que:

0 = λ0 + (−λ0) = (λ0 + λ0) + (−λ0) = λ0 + (λ0 + (−λ0)) = λ0

(iii). (iv). (v) y (vi) pueden ser encontrados en [3, Teorema 3.1].

20 Tema 2

3. SUBESPACIO VECTORIAL

3.1. Def: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Se dice que unsubconjunto W de V es un subespacio vectorial de V , y lo denotaremos W ≤ V ,si W con la suma y el producto inducido tiene estructura de espacio vectorial.

Nota: Tenemos entonces que para que un subconjunto W de un espacio vectorialV sobre un cuerpo F sea un subespacio vectorial debe de cumplir:

? La suma de V tiene sentido en W . Es decir, al sumar vectores de W no nos“salimos” de W :

∀ w1, w2 ∈ W =⇒ w1 + w2 ∈ W

? La multiplicacion de V tiene sentido en W . Es decir, al multiplicar unescalar de K por un vector de W no nos “salimos” de W :

∀ w ∈ W, λ ∈ K =⇒ λw ∈ W

Y ademas se verifiquen las 8 propiedades de espacio vectorial, a saber:

Respecto de la suma:

(1.1) Propiedad asociativa: (w1 + w2) + w3 = w1 + (w2 + w3) ∀ w1, w2, w3 ∈ W .

(1.2) Existencia de elemento neutro, es decir, exista un elemento en W que hagade neutro.

(1.3) Existencia de elemento opuesto, es decir, para cada elemento de W exista otroelemento de W que haga de neutro.

(1.4) Propiedad conmutativa: w1 + w2 = w2 + w1 ∀ w1, w2 ∈ W .

Respecto del producto por escalares tenemos: si λ, µ ∈ F y w1, w2 ∈ W ,

(2.1) λ(w1 + w2) = λw1 + λw2.

(2.2) (λ + µ)w1 = λv + µw1.

(2.3) 1w1 = w1.

(2.4) λ(µw1) = (λµ)w1.

Nota: La idea de que W sea subespacio vectorial es que podamos restringirlas operaciones de V a W y con estas operaciones W tenga estructura de espaciovectorial.


No obstante, la propiedad (2.3) se verifica para todo elemento de V , por tantotambien se verificara para todo elemento de W . Por la misma razon siempre severifican: (1.1), (1.4), (2.1), (2.2) y (2.4). Es mas, si suponemos que se verifican (1)y (2), y W 6= ∅, dado w ∈ W y 0 ∈ F, por (2), 0w = 0 ∈ W , con lo que si que existeel elemento neutro en W , es mas, es el mismo que en V . Y (−1)w = −w ∈ W , conlo tambien tenemos el opuesto de cada elemento de W . Por tanto, y resumiendola informacion tenemos:

3.2. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea W unsubconjunto de V . Las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) W es un subespacio vectorial de V .

(2) i-. W 6= ∅.ii-. Para todos w1, w2 ∈ W se tiene que w1 + w2 ∈ W .

iii-. Para todos w ∈ W , λ ∈ K se tiene que λw ∈ W .

(3) i-. W 6= ∅.ii-. Para todos w1, w2 ∈ W , λ ∈ K se tiene que λw1 + w2 ∈ W .

3.3. Lema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea W unsubespacio vectorial de V . Entonces V y W tienen el mismo elemento neutro parala suma, es decir, 0 ∈ W .

3.4. Ejemplos.

1-. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces tenemos lossubespacios triviales: {0} y V .

2.- Dado un v ∈ V tenemos que {λv |λ ∈ K} es un subespacio vectorial.

3-. Sea R3 con las operaciones usuales de suma y producto por escalares.Entonces

W = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}

es un subespacio vectorial.

4-. Sea R4 con las operaciones usuales de suma y producto por escalares.Entonces

W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t = 0}

es un subespacio vectorial de R4.

22 Tema 2

4. OPERACIONES CON SUBESPACIOS

En este apartado vamos a obtener nuevos subespacios vectoriales a partir deun otros dados.

4.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean W1,W2 dos sub-espacios de V . Nos planteamos encontrar un nuevo subespacio de V que sea elmas grande contenido tanto en W1 como en W2.

Es claro que el conjunto mas grande contenidos en ambos es la interseccion.Veamos que este es a la vez el subespacio mayor.

4.2. Proposicion. La interseccion de dos subespacios vectoriales es unsubespacio vectorial.

Demo. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean W1,W2 dossubespacios de V . Dados w1, w2 ∈ W1 ∩ W2 y λ ∈ K, se tiene que λw1 + w2 ∈W1, ya que este es un subespacio (de igual forma λw1 + w2 ∈ W2) por lo queλw1 + w2 ∈ W1 ∩W2, lo que demuestra que W1 ∩W2 es un subespacio vectorialde V .

Este mismo resultado se tiene para una familia arbitraria de subespacios.

4.3. Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seanWi una familia de subespacios vectoriales de V , con i ∈ I. Entonces ∩i∈IWi es unsubespacio vectorial de V . Es mas ∩i∈IWi es el subespacio mayor de V contenidoen todos los Wi.

4.4. Cabe preguntarse ahora la pregunta “dual”. Sea V un espacio vectorialsobre un cuerpo K y sean W1,W2 dos subespacios de V . Nos planteamos encon-trar un nuevo subespacio de V que sea el mas pequeno que contiene tanto a W1

como a W2. Cabrıa pensar que este es la union, pero no es cierto. Veamos uncontraejemplo:

? En R2 consideramos W1 = {(x, 0) | x ∈ R}, W2 = {(0, x) | x ∈ R} tenemosque (1, 0) ∈ W1 ∪W2, (0, 1) ∈ W1 ∪W2 pero (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) /∈ W1 ∪W2

4.5. La suma de subespacios: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoK y sean W1,W2 dos subespacios de V . Se define la suma de W1 y W2, que serepresenta por W1 + W2 como el conjunto

W1 + W2 := {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}


es decir, el conjunto de todos los vectores de V que se pueden expresar como sumade un vector de W1 y un vector de W2.

4.6. Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seanW1, W2 dos subespacios de V . Entonces W1 +W2 es un subespacio de V . Es mas,W1 + W2 es el menor subespacio de V que contiene tanto a W1 como a W2.

4.7. Si nos encontramos con una familia de subespacios, tambien podemosconstruir este subespacio. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seanWi, con i ∈ I, una familia de subespacios de V . Se define la suma de los Wi querepresentamos por

∑Wi como:

∑Wi = {

∑wi | con wi ∈ Wi, i ∈ I, todos nulos, salvo un numero finito}

Nos encontramos aquı tambien, que∑

Wi es el menor subespacio de V quecontiene a todos los Wi.

4.8. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean W1, con i ∈ I, unafamilia de subespacios de V . Diremos que la suma de los Wi es directa si:

(∑

i∈I−{k}Wi) ∩Wk = 0 ∀ k ∈ I.

5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

En este apartado vamos a introducir el concepto de base en un espacio vec-torial. Vamos a dar distintas caracterizaciones de base y vamos a demostrar,haciendo uso del Lema de Zorn, que todo espacio vectorial posee una base.

5.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea S un subconjunto deV . Nos planteamos ahora encontrar el menor subespacio de V que contiene a S

(antes buscabamos el menor subespacio que contenıa a una serie de subespacios).Caso de que exista, lo denotaremos por < S >, llamado el subespacio generadopor S.

5.2. Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea S

un subconjunto de V . Entonces existe el subespacio generado por S.

Demo: Consideremos ∆ = {Wi | Wi subespacio de V que contiene a S} (in-dizado en el conjunto I) el conjunto de todos los subespacios de V que contienen

24 Tema 2

a S. ∆ es no vacıo, ya que V ⊂ ∆. Consideremos W := ∩i∈IWi, la interseccion detodos los subespacios de V que contienen a S. Es claro que W es un subespacio deV (la interseccion de subespacios es un subespacio) que contiene a S y claramentesi U es un subespacio de V que contiene a S, U ∈ ∆ y por tanto W ⊂ U , por loque W es el menor.

La proposicion anterior nos demuestra que el subespacio generado por cual-quier conjunto S siempre existe. No obstante no nos da un camino para averiguarquien es. Veamos que podemos construir de forma explıcita el subespacio vectorialgenerado por un conjunto S.

5.3. Def: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea S unsubconjunto de V . Se define una combinacion lineal de elementos de S comocualquier expresion:

λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk con vi ∈ S, λi ∈ K, i = 1, 2, . . . , k

En ocasiones tambien se le denomina combinacion lineal al vector v que define lacombinacion lineal, v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk.

Nota 1: Observar que siempre podemos considerar que en una combinacionlineal no se repiten vectores de S, ya que en caso de que se repitieran por laspropiedades de espacio vectoriales, los podrıamos agrupar (propiedad segunda dela operacion externa).

Nota 2: De ahora en adelante, cuando nos interese, supondremos que en unacombinacion lineal no se repiten los elementos.

5.4. Lema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea W unsubespacio de V . Entonces toda combinacion lineal de elementos de W pertenecea W .


un subconjunto de V . Entonces < S > es el conjunto de todas las combinacioneslineales de elementos de S.

Demo: Sea U el conjunto de todas las combinaciones lineales. Es trivial quela suma de dos combinaciones lineales y que el producto de un escalar por unacombinacion lineal es una combinacion lineal. Por tanto U es un subespacio de V .Es mas, si W es un subespacio de V que contiene a S y λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk

es una combinacion lineal de elementos de S ⊂ W , λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk ∈ W


(por el lema anterior). Por tanto U ⊂ W lo que demuestra que U es el menorsubespacio de V que contiene a S, es decir, U =< S >.

5.6. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoK. Se dice que un subconjuntoG es un sistema de generadores de V si < G >= V .

5.7. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Se dice que un subcon-junto S es un conjunto de vectores linealmente independientes de V si para todoss1, s2, . . . , sk ∈ S distintos, y λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tales que

λ1s1 + λ2s2 + . . . + λkss = 0

se tiene que λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Es decir, la unica combinacion lineal deelementos de S que es nula es la que tiene todos los escalares cero. Un conjuntode vectores S que no sea linealmente independiente se dira que es linealmentedependiente.


un subconjunto de V . Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) S es un conjunto de vectores independientes.

(ii) Para cada s ∈ S se tiene que s /∈< S − {s} >.

Demo: Nombremos los elementos de S = {v1, v2, . . . , vm, . . .}. Supongamos queexisten unos escalares, λ1, λ2, . . . , λn, λn+1 ∈ F tales que

λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn + λn+1v = 0.

Tenemos dos posibilidades:

(a). Si λn+1 6= 0. Entonces, si despejamos λn+1v tenemos:

λn+1v = −λ1v1 − λ2v2 − . . .− λnvn

y si ahora multiplicamos toda la igualdad por λ−1n+1 tenemos que:

v = − λ1

λn+1v1 − λ2

λn+1v2 − . . .− λn

λn+1vn

una contradiccion ya que v no era combinacion lineal de elementos de S. Portanto, este caso (a) no puede darse.

26 Tema 2

(b). Tenemos entonces que λn+1 = 0. Pero entonces la combinacion linealanterior es: λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn = 0, lo que implica, al ser S un conjuntode vectores independientes, que λi = 0, para i = 1, 2, . . . , n. Por tanto TODOSlos escalares son cero, lo que prueba que S ∪ {v} es un conjunto de vectoresindependientes.

Nota: Observar que esta proposicion nos dice que si un conjunto de vectoreslinealmente independiente de V no genera todo V , podemos anadir un nuevo vectory tener un nuevo conjunto de vectores linealmente independientes mayor.

5.9. Lema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea S unconjunto de vectores independientes de V y G un conjunto de generadores de V .Entonces:

(i) 0 /∈ S.

(ii) Si S′ ⊂ S, entonces S′ es un conjunto de vectores linealmente independientesde V .

(iii) Si G ⊂ G′, entonces G′ es un conjunto de generadores de V .

Demo: (i) es trivial.

En primer lugar vamos a nombrar los elementos de cada uno de estos conjun-tos. Sea S = {v1, v2, . . . , vk} y T = {{v1, v2, . . . , vk, vk+1, . . . , vn}

(ii). Consideremos una combinacion lineal de elementos de S igual a cero,λ1v1 + λ2v2 + . . . + λkvk = 0, con λi ∈ K. Tenemos que demostrar que la unicaposibilidad para que esto suceda es que todos los escalares son nulos. Consideremosentonces una combinacion lineal de elementos de T simplemente sumando el vectornulo de la siguiente forma, 0 = λ1v1+λ2v2+. . .+λkvk+0vk+1+. . .+0vn. Aplicandoahora que T es un conjunto de vectores independientes tenemos que λi = 0, parai = 1, 2, . . . , n, lo que demuestra el apartado.

(iii). Se deja como ejercicio.

5.10. Def: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Diremos que unsubconjunto B de V es una base de V si es un conjunto de generadores de V quees linealmente independiente.

Nota: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea B = {ei}i∈I unabase de V (puede que infinita). Tenemos entonces que todo elemento de V seescribe como combinacion lineal de elementos de B. Por tanto para cada v ∈ V

existen unos elementos de B, eα1 , eα2 , . . . , eαn ∈ B y λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tales que


v =∑n

i=1 λieαi. Para no preocuparnos de cuales seran los elementos de B que

entraran en la combinacion lineal de un v, escribiremos

v =∑

i∈I

λiei

y supondremos casi todos los λi son ceros (todos menos un numero finito). No soncero exactamente los de la combinacion lineal que nos daba v.

5.11. Ejemplos:

i) SeaK un cuerpo y consideremosKn con su suma y producto usual. Entonces

B = {(1, 0, . . . , 0, 0), (0, 1, . . . , 0, 0), . . . , (0, 0, . . . , 0, 1)}

es base de Kn, llamada la base canonica de Kn.

ii) Sea R el cuerpo de los reales y R[X] el espacio vectorial de los polinomiosreales. Entonces B es base de R[X]

B = {1, X, X2, . . . , Xn, . . .}

iii) No se conoce ninguna base para el espacio vectorial de las sucesiones denumeros reales.

iv) No se conoce ninguna base de R como Q-espacio vectorial.

5.12. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea B unsubconjunto de V . Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) B es una base de V .

(ii) B es un subconjunto maximal de vectores independientes de V .

(iii) B es un conjunto minimal de generadores de V .

Demo.

5.13. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Sea S

un conjunto de vectores independientes de V y G un sistema de generadores de V

tales que S ⊂ G. Entonces existe una base B de V tal que S ⊂ B ⊂ G.

5.14. Para demostrar este teorema tenemos que hacer uso del Lema de Zorn.Por ello vamos a recordar algunas nociones:

28 Tema 2

Sea (X,≤) un conjunto ordenado. Se dice que un subconjunto Y de X es unacadena si es un subconjunto totalmente ordenado de X. Se dice que un conjuntoordenado (X,≤) es inductivo si X es no vacıo y toda cadena de X admite elementomaximal.

5.15. Lema de Zorn. Todo conjunto inductivo posee elementos maximales.

Nota: Aunque se le llame Lema de Zorn, realmente no es un lema, ya queno posee demostracion, sino que es un axioma “hay matematicos que se lo creen(muchos) y matematicos que no se lo creen (pocos)”. Si se ha demostrado queeste axioma es equivalente al Lema de Zermelo, al axioma de eleccion o al hechode que un producto infinito de conjuntos no vacıos es un conjunto no vacıo.

Demo de 5.13. Consideremos ∆ el conjunto de todos los subconjuntoslinealmente independientes de X que contienen a S y estan contenidos en G. Esdecir:

∆ = {S′ ⊂ X | S ⊂ S′ ⊂ G y S′ es un conjunto de vectores independientes de V }

? Tenemos que ∆ es claramente un conjunto ordenado por la inclusion. Esmas, es no vacıo ya que S ∈ ∆

? Veamos que es un conjunto inductivo: Sean {S′i}i∈I una cadena en ∆.Consideremos S′ = ∩iS

′i. Veamos que S′ es un elemento maximal para la ca-

dena: por reduccion al absurdo, si S′ fuera linealmente dependientes, existirıanx1, x2, . . . , xn en §′ y λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tales que

∑λixi = 0 con algun λi 6= 0

pero al ser {S′i}i∈I una cadena existe un i tal que x1, x2, . . . , xn ∈ S′i lo que esuna contradiccion. Por tanto S′ es un conjunto de vectores independientes, quecontiene a S y esta contenido en G, es decir, S′ ∈ ∆ es un mayorante para lacadena.

? Por el Lema de Zorn, sea B un elemento maximal en ∆. Veamos que B

es una base para V . Por definicion es un conjunto de vectores independientes.Por otro lado, supongamos que existe un elemento de g ∈ G que no pertenece a< B >, entonces S′ ∪ {g} serıa un conjunto de elementos independientes, lo quenos lleva a contradiccion con la maximalidad de S′. Por tanto G ⊂< B > y ası,V =< G >⊂< B >⊂ V , por lo que V =< B > como querıamos demostrar.

5.16. Corolario. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces:

(i) Todo conjunto de vectores independientes se puede completar hasta obteneruna base de V .


(ii) Todo conjunto de generadores de V contiene una base de V .

Nota: Despues de este corolario, la Proposicion 5.12. tiene una demostracionmucho mas facil (trivial).

5.17. Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seaB = {ei}i∈I una base de V . Entonces para cada v ∈ V existe solo una combinacionlineal de elementos de B que da v.

Demo: Por la propia definicion de base sabemos que cada vector de V seescribe como combinacion lineal de elementos de B. Veamos que esta combinacionlineal es unica. Supongamos que

∑

i∈I

λiei =∑

i∈I

µiei,

Recordamos que solo un numero finito de escalares son no nulos. Entonces tene-mos que

∑i∈I(λi − µi)ei = 0 y al ser B una familia de vectores linealmente

independientes, λi = µi.

5.18. Def: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea B = {ei}i∈I

una base de V . Supongamos que I es un conjunto totalmente ordenado. Se definelas coordenadas de un vector v respecto de la base “ordenada” B como (λi)i∈I conλi ∈ K (casi todos nulos) tales que v =

∑i∈I λiei.

5.19. Ejemplos:

1-. Sea R3 y B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} la base canonica de R3. Entoncesdado un vector v = (λ1, λ2, λ3) ∈ R3 se tiene que sus coordenadas respecto de B

son (λ1, λ2, λ3).

2-. Sea R3 y B′ = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Entonces las coordenadas delvector (7, 5, 3) respecto de B′ son (3, 2, 2), ya que

(7, 5, 3) = 3(1, 1, 1) + 2(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0)

Nota: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea B = {ei}i∈I unabase de V . Si las coordenadas de un vector v respecto de B son (λi)i∈I , pordefinicion, el vector v =

∑i∈I λiei.

30 Tema 2

6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL.

En esta seccion vamos a demostrar que el numero de elementos de una baseen un espacio vectorial V es un invariante del espacio vectorial.

6.1. Teorema de Steinitz 1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoK, B = {ei}i∈I una base y v un vector no nulo de V con coordenadas respecto deB, (λi)i∈I . Entonces para cada k ∈ I tal que λk 6= 0 se tiene que si cambiamos ek

por v obtenemos una nueva base de V , es decir:

Si λk 6= 0 =⇒ B′ = (B − {ek}) ∪ {v} es una nueva base de V.

Demo. Vamos a empezar suponiendo que k = 1 en caso contrario reor-denamos la base B y colocamos el vector ek en primer lugar. Sabemos quev =

∑i∈I λiei, por lo que, como ya sabemos, podemos despejar e1:

e1 = v −∑

i>1

λ−11 λiei

? Veamos que B′ es un conjunto de vectores independientes, si

0 = µ1v +∑

i>1

µiei =∑

i∈I

µ1λiei +∑

i>1

µiei = µ1λ1e1 +∑

i>1

(µ1λi + µi)ei

Como B es una base de V , todos los coeficientes son cero. Ası, µ1λ1 = 0, ycomoλ1 6= 0, µ1 = 0 y entonces µ1λi + µi = 0 implica µi = 0 para todo i ∈ I. Esdecir B′ es un conjunto de vectores independientes de V .

? Veamos que B′ es un sistema de generadores de V . Dado w ∈ V , como B

es una base de V existen γi ∈ K, casi todos nulos, tales que

w =∑

i∈I

γiei = γ1e1 +∑

i>1

γiei = v −∑

i>1

γ1λ−11 λiei +

∑

i>1

γiei

= v +∑

i>1

(γi − γ1λ−11 λi)ei ∈< B′ >

con lo que queda demostrado el Teorema

6.2. Teorema de Steinitz 2. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoK, sea B = {ei}i∈I una base y X = {w1, w2, . . . , wn} un conjunto de vectores


independientes de V . Entonces existen n elementos de B tales que si cambiamosestos elementos por X obtenemos una nueva base de V .

Demo. Vamos a hacer la demostracion por induccion a n.

Si n = 1 tenemos que W = {w1} un vector independiente, y por tanto nonulo, ver (5.9.). Por lo que por el teorema anterior (alguna de las coordenadas dew1 respecto de B sera no nula) existe un ei ∈ B que al cambiarlo por w1 nos dauna nueva base.

Supongamos que el resultado es cierto para n − 1. Si consideramos X ′ ={w1, w2, . . . , wn−1}, tenemos, otra vez por (5.9.) que es un conjunto de vectoresindependientes, por lo que por la hipotesis de induccion existen n − 1 elementosde B que al cambiarlos por X nos da otra base de V , haciendo una reordenacionen B supongamos que son los n− 1 primeros. Por tanto

B′ = {w1, w2, . . . , wn−1, en, en+1, . . .}

es base de V . Sea ahora wn

Nota: tenemos que conseguir cambiarlo por un elemento de B′ distinto dew1, . . . , wn−1, por lo que no podemos aplicar simplemente el caso n = 1. Es mas,no hemos usado que X es un conjunto de vectores independientes, solo que sonvectores no nulos (si no se usan todas las hipotesis es facil que no este bien hecho).

Como B′ es base de V , sean (λi)i∈I las coordenadas de wn respecto de B′.

wn = λ1w1 + λ2w2 + . . . + λn−1wn−1 + λnen + λn+1en+1 + . . .

Observar, que como X es un conjunto de vectores independientes, no puedesuceder que λs = 0 para todo s ≥ n (tendrıamos λ1w1 +λ2w2 + . . . +λn−1wn−1−wn = 0, una combinacion lineal de elementos de X nula con escalares no nulos).Por tanto, existe λr 6= 0 con r ≥ n y por el Teorema de Steinitz 1 podemos cambiarwn por este er, lo que completa el Teorema.

6.3. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entoncessi una base de V tiene n elementos, todas las bases de V tienen n elementos.

Demo. Sea B = {e1, e2, . . . , en} una base de V y B′ otra base de V . EntoncesB′ es un conjunto de vectores independientes de V , por lo que si tuviera mas den elementos podrıamos cambiar estos elementos por elementos de B, lo cual es

32 Tema 2

absurdo. Por tanto #B′ ≤ #B. Como ahora B′ tambien es finita, aplicando elmismo resultado #B ≤ #B′. Por lo que #B′ = #B.

Este mismo teorema es cierto para bases con cualquier cardinal, aunque lastecnicas son distintas y no vamos a demostrarlo.

6.4. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entoncessi una base de V tiene cardinal X , todas las bases de V tienen cardinal X .

6.5. Def: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Se define ladimension de V y se representa por dimK V como el cardinal de cualquier base deV .

6.6. Ejemplos:

1-. Sea K un cuerpo y (Kn,+, ) con su estructura usual de K espacio vectorial.tenemos entonces que una base de Kn, la base canonica, es

B = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}

por tanto dimK(Kn) = n.

2-. Sea K un cuerpo y consideremos V el espacio vectorial de las matrices detamano n×m sobre K. Entonces dimK(V ) = nm.

3-. Sea V = Kn[X] el espacio vectorial de todos los polinomios de gradomenor o igual a n. Entonces dimK(Kn[X]) = n. Una base {1, X,X2, . . . , Xn}.

4-. Hay que tener cuidado, ya que dimC(C) = 1 pero dimR(C) = 2. Esdecir, C considerado como C espacio vectorial tiene dimension 1, mientras que Cconsiderado como espacio vectorial sobre R tiene dimension 2.

5-. V = K[X] el espacio vectorial de los polinomios reales tiene dimensionnumerable, dimR(R[X]) = ℵ0

6-. R como espacio vectorial sobre los racionales Q tiene dimension ℵ1, esdecir, tiene cardinal no numerable.

Nota: Aunque no se conoce ninguna base de R como espacio vectorial sobreQ, si se conoce su dimension, ℵ1.

7-. El espacio vectorial de todas las sucesiones de numeros reales tambientiene dimension ℵ1.


6.7. Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seaW ≤ V . Supongamos que dimK(V ) = n. Entonces dimK(W ) ≤ n y se da laigualdad si y solo si V = W .

7. ECUACIONES DE UN SUBESPACIO.

7.1. Sea V el espacio vectorial (Kn,+, ) con su suma y producto usual ysea W un subespacio de W . Sabemos que W tiene una base con menos de n

elementos, por tanto tiene sistemas de generadores un numero finito de elementos.Sea G = {w1, w2, . . . , wk} un sistema de generadores de W .

w1 = (a11, a12, . . . , a1n), w2 = (a21, a22, . . . , a2n), . . . , wk = (ak1, ak2, . . . , akn)

? Se definen las ecuaciones vectoriales para W como la expresion:

(X1, X2, . . . , Xn) = λ1(a11, a12, . . . , a1n) + λ2(a21, a22, . . . , a2n) + . . . +

+ . . . + λk(ak1, ak2, . . . , akn)

Nota: Todo vector de W se pone como combinacion lineal de elementos de G,por lo que (X1, X2, . . . , Xn) representa cualquier vector de W cuando λ1, λ2, . . . , λk

se van sustituyendo por valores de K.

? Se definen las ecuaciones parametricas para W como la expresion:

X1 = λ1a11 + λ2a21 + . . . + λkak1

X2 = λ1a12 + λ2a22 + . . . + λkak2

...

Xn = λ1a1n + λ2a2n + . . . + λkakn

? Si en las expresion anterior vamos despejando los parametros y sustituyendo-los en las demas expresiones, es decir, vamos “deshaciendonos” de los parametros,nos encontramos con las ecuaciones continuas para W .

? Una expresion “bonita” de la anterior se la denomina ecuaciones cartesianasde W .

Nota: Como claramente no ha quedado claro, veamos un ejemplo:

34 Tema 2

♦ Sea R el cuerpo de los reales y consideremos W el subespacio de R3 generadopor los vectores {(1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 3)}. Entonces:

? Ecuaciones vectoriales:

(x, y, z) = λ(1, 2, 3) + µ(1, 1, 0) + γ(0, 1, 3)

? Ecuaciones parametricas:

x = λ + µ

y = 2λ + µ + γ

z = 3λ + +3γ

? Ecuaciones continuas: Despejamos λ de la primera ecuacion λ = x − µ ysustituimos en las demas ecuaciones

y = 2x− µ + γ

z = 3x− 3µ + 3γ

despejamos µ en la primera ecuacion, µ = 2x + γ − y y sustituimos en la ultimaecuacion

z = 3x + 3y − 6x− 3γ + 3γ

en este punto, o antes, deben de desaparecer los parametros, por lo que

z = −3x + 3y Ecuacion continua.

? Si lo trasladamos todo a un lado se le denomina ecuaciones cartesianas

3x− 3y + z = 0

Nota: En la primera ecuacion (x, y, z) recorrıa todos los vectores de W , porlo que en la ultima ecuacion lo que obtenemos es la relacion existente entre x, y, z

para que el vector (x, y, z) ∈ W . Ası,

W = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x− 3y + z = 0}

♦ Sea (R4, +, ) con la suma y producto usuales y sea U el subespacio de V

generado por {(4, 0, 6, 2), (6, 0, 9, 3)}.


? Ecuaciones vectoriales de U

(x, y, z, t) = λ(4, 0, 6, 2) + µ(6, 0, 9, 3)

? Ecuaciones parametricas de U :

x = 4λ + 6µ

y = 0

z = 6λ + 9µ

t = 2λ + 3µ

? Ecuaciones continuas de U : despejamos λ de la primera ecuacion y sustitu-imos en las demas, λ = 1

4x− 32µ

y = 0

z =32x− 18

2µ + 9µ =

32x

t =12x− 6

2µ + 3µ =

12x

Se han ido ya todos los parametros, por lo que estas son las ecuaciones continuas.

? Ecuaciones cartesianas: y = 0; 3x− 2z = 0; x− 2t = 0.

Por tanto U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y = 0; 3x − 2z = 0; x − 2t = 0}. En estecaso, U queda definido por un sistema de tres ecuaciones lineales.

36 Tema 3

BIBLIOGRAFIA

[1] F. M. Hall: ”An introduction to Abstract Algebra”, Cambridge UniversityPress, 1980.

[2] M. Spivak: ”Calculus, Calculo Infinitesimal”, Editorial Reverte, S. A., 1992.

[3] P. Alberca, D. Martın: ”Metodos Matematicos”, Ediciones Aljibe, 2001.


Tema 3.

1. INTRODUCCION

En este tema vamos a estudiar aplicaciones entre espacios vectoriales. Resul-tados relevantes y que han de saberse son:

? La forma de “fabricar” aplicaciones lineales, y el hecho basico de que unaaplicacion lineal queda determinada una vez que se conoce la imagen de una base.

? Calculo de la matriz asociada a un cambio de base y como esta es una matrizinversible. Es importante el hecho de que esta matriz transforma las coordenadasde un vector respecto de la primera base en coordenadas de ese mismo vectorrespecto de la segunda base.

? Calculo de la matriz asociada a una aplicacion lineal respecto de dos bases.Es importante el hecho de que esta matriz transforma las coordenadas de un vectorrespecto de la primera base en las coordenadas de la imagen de este vector respectode la segunda base.

? La relacion existente entre dos matrices asociadas a una misma aplicacionlineal entre distintas bases.

? Calcular el rango de una aplicacion lineal y de una matriz.

? Comprender la estructura del espacio vectorial producto directo, suma di-recta, espacio vectorial cociente y espacio vectorial dual, ası como sus propiedadesfundamentales.

2. APLICACIONES LINEALES

2.1. Def: Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y seaf : U → V una aplicacion. Se dice que f es una aplicacion lineal si verifica:

(1) f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2) para todo u1, u2 ∈ U .

(2) f(λu) = λf(u) para todo λ ∈ K y u ∈ U .

2.2. Ejemplos:

? Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Entonces la apli-cacion constante a cero es una aplicacion lineal: sea f : U → V tal que f(u) = 0

38 Tema 3

para todo u ∈ U . Entonces

f(u1) + f(u2) = 0 + 0 = 0 = f(u1 + u2)

λf(u) = λ0 = 0 = f(λu).

? Sea f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (x + y, 2x + y − z).

f(x, y, z) + f(a, b, c) = (x + y, 2x + y − z) + (a + b, 2a + b− c)

= (x + y + a + b, 2x + y − z + 2a + b− c);

f((x, y, z) + (a, b, c)) = f(x + a, y + b, z + c)

= (x + a + y + b, 2(x + a) + y + b− z − c).

Luego f(x, y, z) + f(a, b, c) = f((x, y, z) + (a, b, c)), y

f(λ(x, y, z)) = f(λx, λy, λz) = (λx + λy, 2λx + λy − λz);

λf(x, y, z) = λ(x + y, 2x + y − z) = (λx + λy, 2λx + λy − λz).

Luego f(λ(x, y, z)) = λf(x, y, z), lo que implica que f es una aplicacion lineal.

? Sean Kn y Km espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Consideremos A ∈Mm×n(K). Entonces la aplicacion f : Kn → Km definida por:

f(x1, x2, . . . , xn) = A

x1

x2...

xn

es una aplicacion lineal. Es claro, ya que por las propiedades del producto dematrices tenemos que:

f((x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)) = f(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

= A

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn

= A

x1

x2...

xn

+ A

y1

y2...

yn

= f(x1, x2, . . . , xn) + f(y1, y2, . . . , yn)


y

f(λ(x1, x2, . . . , xn)) = A

λx1

λx2...

λxn

= λA

x1

x2...

xn

= λf(x1, x2, . . . , xn)

Luego es una aplicacion lineal.

2.3. Proposicion. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo Ky f : U → V una aplicacion lineal. Entonces:

(i) f(0) = 0.

(ii) f(−u) = −f(u).

(iii) f(u1 − u2) = f(u1)− f(u2)

(iv) f(λ1u1 + λ2u2 + . . . + λnun) = λ1fu1) + λ2f(u2) + . . . + λnf(un)

Demo: (i). f(0) = f(0.0) = 0.f(0) = 0.

Las demas propiedades se siguen de la definicion.

2.4. Def: Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K yf : U → V una aplicacion lineal. Entonces:

? Si f es inyectiva se dice que f es un monomorfismo de espacios vectoriales.

? Si f es sobreyectiva se dice que f es un epimorfismo de espacios vectoriales.

? Si f es biyectiva se dice que f es un isomorfismo de espacios vectoriales.

? A una aplicacion lineal f : V → V se la denomina un endomorfismo (esdecir, si tiene el mismo dominio que co-dominio).

? Un endomorfismo biyectivo se le denomina un automorfismo.

2.5. Diremos que dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo Kson isomorfos si existe un isomorfismo de espacios vectoriales f : V → W .

Nota: Observar que entonces V y W son el “mismo” espacio vectorial, launica diferencia entre ellos es el nombre de sus elementos.

3. NUCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACION LINEAL.

Asociada a una aplicacion lineal f : U → V nos vamos a encontrar variossubespacios interesantes:

40 Tema 3

3.1. Proposicion. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismocuerpo K y sea f : V → W una aplicacion lineal. Sea X un subconjunto de V .Entonces

f(< X >) =< f(X) >,

en donde <—> denota el subespacio generado por “—”.

Demo. Sea v ∈< X >, tenemos entonces que existen λ1, λ2 . . . , λn ∈ K talesque v = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn, por lo que

f(v) = f(λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn)

= λ1f(x1) + λ2f(x2) + . . . + λnf(xn) ∈< f(X) >

Luego f(< X >) ⊂< f(X) >. Por otro lado, si f(v) ∈< f(X) > existenλ1, λ2 . . . , λn ∈ K tales que

f(v) = λ1f(x1) + λ2f(x2) + . . . + λnf(xn)

= f(λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn) = f(< X >)

Por lo que < f(X) >⊂ f(< X >), y tenemos la igualdad.

3.2. Proposicion. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismocuerpo K y sea f : V → W una aplicacion lineal. Sea U un subespacio de V ,entonces f(U) es un subespacio de W .

3.3. Def: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Ky sea f : V → W una aplicacion lineal. Se define la imagen de f y se representapor Im(f) como f(V ).

Nota: Observar que la imagen de una aplicacion lineal es un subespacio delcodominio de f , en este caso W .

3.4. Proposicion. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismocuerpo K y sea f : V → W una aplicacion lineal. Sea U un subespacio de W ,entonces

f−1(U) = {v ∈ V | f(v) ∈ U}es un subespacio de V .

Demo: dados u1, u2 ∈ f−1(U) y λ ∈ K, se tiene que

u1 + u2 ∈ f−1(U)

λu1 ∈ f−1(U)

ya que

ya que

f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2) ∈ U

f(λu1) = λf(u1) ∈ U


3.5. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f : V → W

una aplicacion lineal. Se define el nucleo de f y se representa por Ker(f) como:

Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0} = f−1(0)

Nota: por la proposicion anterior, el nucleo de una aplicacion lineal es un sube-spacio de V .

3.6. Ejemplo: Consideremos la aplicacion lineal del ejemplo 2.2., es decir,sea f : R3 → R2 definida por f(x, y, z) = (x + y, 2x + y − z). Entonces

Ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 |f(x, y, z) = (0, 0)}

Por lo que nos aparecen las ecuaciones:

x + y = 0

2x + y − z = 0

si las resolvemos: x = −y y z = 2x + y = −2y + y = −y. Ası,

Ker(f) = {(λ,−λ,−λ) |λ ∈ R} y una base {(1,−1,−1))}

3.7. Proposicion. Sea K un cuerpo, V y W dos espacios vectoriales sobreK y f : V → W una aplicacion lineal. Entonces:

(i) f es inyectiva (es decir, un monomorfismo) si y solo si Ker(f) = 0.

(ii) f es sobreyectiva (es decir, un epimorfismo) si y solo si Im(f) = W .

Demo: (i). Supongamos que f es un monomorfismo (inyectiva). Dado v ∈Ker(f), tenemos, por definicion de Ker(f), que f(v) = 0. Pero tambien sabemosque f(0) = 0, por lo que f(0) = 0 = f(v) lo que implica, al ser f inyectiva, quev = 0. Hemos demostrado que el unico vector de V que esta en el nucleo de f esel vector cero, es decir, Ker(f) = 0.

Supongamos ahora que Ker(f) = 0 y sean v1, v2 ∈ V tales que f(v1) = f(v2).Tenemos entonces que 0 = f(v1)−f(v2) = f(v1−v2), por lo que v1−v2 ∈ Ker(f) =0 y por tanto v1 = v2.

(ii). Es evidente.

42 Tema 3

4. COMO “FABRICAR” APLICACIONES LINEALES

4.1. Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpoK. Sean BV = {v1, v2, . . . , vn} una base de V y {w1, w2, . . . , wn} un conjunto devectores de W . Entonces existe una unica aplicacion lineal f : V → W tal que:f(vi) = wi para i = 1, 2, . . . , n.

Demo: Supongamos que existe una aplicacion lineal que verifica que f(vi) =wi. Tenemos entonces que dado un vector v ∈ V , v se puede escribir como unaunica combinacion lineal de elementos de BV , por lo que existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ Ktales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn, ası,

f(v) = f(λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn) = λ1f(v1) + λ2f(v2) + . . . + λnf(vn)

y por tanto solo hay una forma de definir f , luego, de haber una aplicacion linealque verifique esto, esta es unica.

Definamos entonces la aplicacion lineal ası: dado v ∈ V ,

v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn

de forma unica, y por tanto podemos definir

f(v) := λ1f(v1) + λ2f(v2) + . . . + λnf(vn).

Ahora solo tenemos que demostrar que esta f ası definida es una aplicacion lineal.

Dados v, v′ ∈ U y γ ∈ F , existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ K, µ1, µ2, . . . , µn ∈ K talesque

v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn

u′ = µ1v1 + µ2v2 + . . . + µnvn

y por tanto

v + v′ = (λ1 + µ)v1 + (λ2 + µ2)v2 + . . . + (λn + µn)vn

γv = (γλ1)v1 + (γλ2)v2 + . . . + (γλn)vn

Si aplicamos ahora nuestra definicion de f :

f(v + v′) = f(λ1 + µ)v1 + (λ2 + µ2)v2 + . . . + (λn + µn)vn

= (λ1 + µ)f(v1) + (λ2 + µ2)f(v2) + . . . + (λn + µn)f(vn)

= λ1f(vv1) + . . . + λnf(vn) + µ1f(v1) + . . . + µnf(vn)

= f(v) + f(v′)

f(γv) = (γλ1)f(v1) + (γλ2)f(v2) + . . . + (γλn)f(vn) = γf(v).


Por lo que queda demostrado el Teorema.

Nota: Si el conjunto {v1, v2, . . . , vn} no es una base no podemos afirmar queexista o que no exista una aplicacion lineal que verifique el teorema anterior.

4.2. Corolario. Una aplicacion lineal queda determinada una vez que seconoce la imagen de una base.

4.3. Ejemplo. Sea K un cuerpo. Consideremos los siguientes conjuntosB := {(1, 2, 3), (1, 0, 2), (0, 0, 4)} ⊂ K3 y {(2, 2), (4, 4), (8, 8)} ⊂ K2. Determinarsi existe una aplicacion lineal f : K3 → K2 tal que f(1, 2, 3) = (2, 2), f(1, 0, 2) =(4, 4) y f(0, 0, 4) = (8, 8).

En primer lugar se comprueba que B es una base: es facil ver que es unconjunto de vectores independientes, por lo que tres vectores independientes enR3 son base.

En segundo lugar se escribe cualquier vector de K3 como combinacion linealde elementos de B.

(x, y, z) = λ(1, 2, 3) + µ(1, 0, 2) + γ(0, 0, 4)

de donde:λ =

y

2µ =x− y

2γ =

z

4− y

8− x

2

Tercer paso:

f(x, y, z) =f(y

2(1, 2, 3) + (x− y

2)(1, 0, 2) + (

z

4− y

8− x

2)(0, 0, 4))

=y

2(2, 2) + (x− y

2)(4, 4) + (

z

4− y

8− x

2)(8, 8)

=(2z − 2y, 2z − 2y).

4.4. Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismocuerpo K y sea f : V → W una aplicacion lineal. Las siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) f es inyectiva.

44 Tema 3

(ii) Ker(f) = {0}.(iii) Si S es un conjunto de vectores independientes de V , f(S) es un conjunto de

vectores independientes de W .

(iv) Si B es una base de V , f(B) es un conjunto de vectores independientes de W .

(v) Existe una aplicacion lineal g : W → V tal que g ◦ f = IdV .


(i) f es sobreyectiva.

(ii) Im(f) = W .

(iii) Si S es un sistema de generadores de V , f(S) es un sistema de generadoresde W .

(iv) Si B es una base de V , f(B) es un sistema de generadores de W .

(v) Existe una aplicacion lineal g : W → V tal que f ◦ g = IdW .


(i) f es biyectiva.

(ii) Ker(f) = {0} y Im(f) = W .

(iii) Si B es una base de V , f(B) es una base de W .

(iv) Existe una aplicacion lineal g : W → V tal que f ◦ g = IdW y g ◦ f = IdV .

5. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACION LINEAL.

En esta seccion vamos a ver que hay una relacion muy estrecha entre lasaplicaciones lineales y las matrices.

5.1. Teorema. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seaB = {v1, v2, . . . , vn} una base de V . Entonces la aplicacion que a cada vector deV lo manda a sus coordenadas respecto de la base B es un isomorfismo de espaciosvectoriales, es decir:

fB : V → Kn definida por f(v) = (λ1, λ2, . . . , λn)


en donde (λ1, λ2, . . . , λn) son las coordenadas del vector v respecto de B (es decir,v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn) es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demo: La demostracion es similar a la dada en (4.1.). Es mas, fB es la unicaaplicacion lineal tal que fB(vi) = ei, con ei el termino i-esimo de la base canonicade Kn.

5.2. Matriz asociada a un cambio de base. Sea V un espacio vectorialsobre un cuerpo K. Sean B y B′ dos bases de V . Nos va a interesar ver larelacion existente entre las coordenadas de un vector v respecto de la base B y lascoordenadas de v respecto de la base B′.

Sea B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1, u2, . . . , un} las bases anteriores. Supon-gamos que:

v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn,

entonces las coordenadas de v respecto de B son (λ1, λ2, . . . , λn),

y quev = µ1u1 + µ2u2 + . . . + µnun,

entonces las coordenadas de v respecto de B′ son (µ1, µ2, . . . , µn). Veamos larelacion existente entre (λ1, λ2, . . . , λn) y (µ1, µ2, . . . , µn).

Escribamos cada elemento de la base de B como combinacion lineal de B′.

v1 =λ11u1 + λ12u2 + . . . + λ1nun

v2 =λ21u1 + λ22u2 + . . . + λ2nun

...

vn =λn1u1 + λn2u2 + . . . + λnnun

Tenemos entonces que:

v =λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn

=λ1(λ11u1 + λ12u2 + . . . + λ1nun)+

+λ2(λ21u1 + λ22u2 + . . . + λ2nun)+...

+λn(λn1u1 + λn2u2 + . . . + λnnun)

46 Tema 3

Luego si lo escribimos como combinacion lineal de elementos de B′ tenemos que

v =(λ1λ11 + λ2λ21 + . . . + λnλn1)u1

+(λ1λ12 + λ2λ22 + . . . + λnλn2)u2

...

=(λ1λ1n + λ2λ2n + . . . + λnλnn)un

Esto tiene una representacion en forma de matriz muy sencilla.

5.2.1 Def: Definimos CB′B la matriz de cambio de base de la base B a labase B′ como:

CB′B :=

λ11 λ21 . . . λn1

λ12 λ22 . . . λn2...

......

λ1n λ2n . . . λnn

Nota: Observar que las columnas de la matriz CB′B son las coordenadas de losvectores de la base B respecto de la base B′ y que:

CB′B

λ1

λ2...

λn

=

µ1

µ2...

µn

Nota: Es decir, la matriz CB′B transforma las coordenadas de un vector v respectode la base B en las coordenadas del mismo vector v respecto de la base B′.

Nota: Si calculamos CB′B y CBB′ tenemos que:

CB′BCBB′

λ1

λ2...

λn

=

λ1

λ2...

λn

y CBB′CB′B

λ1

λ2...

λn

=

λ1

λ2...

λn

con lo que las matrices CB′B y CBB′ son inversibles, con inversas la una de la otra.

5.2.2 Ejemplo. Consideremos en R3, B = {(1, 3, 5), (0, 0, 1), (1, 1, 0)} yB′ = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 0, 1)}, dos bases. Calcula la matriz de cambio de basede B a B′ y la de B′ a B. Primero se calculan las coordenadas de los vectores


de la base B respecto de la base B′ (se plantean los sistemas de ecuaciones y seresuelven).

(1, 3, 5) = (−1)(1, 1, 1) + 2(1, 2, 3) + 0(1, 0, 1)

(0, 0, 1) = (−1)(1, 1, 1) +12(1, 2, 3) +

12(1, 0, 1)

(1, 1, 0) = 2(1, 1, 1) + (−12)(1, 2, 3) + (−1

2)(1, 0, 1)

Por tanto: CB′B =

−1 −1 2

2 12 − 1

2

0 12 − 1

2

Calculemos el otro cambio de base: calculamos las coordenadas de los vectoresde la base B′ respecto de la base B.

(1, 1, 1) = 0(1, 3, 5) + 1(0, 0, 1) + 1(1, 1, 0)

(1, 2, 3) =12(1, 3, 5) +

12(0, 0, 1) +

12(1, 1, 0)

(1, 0, 1) = (−12)(1, 3, 5) +

72(0, 0, 1) +

32(1, 1, 0)

Por tanto: CBB′ =

0 12 − 1

2

1 12

72

1 12

32

Nota: Observar que son matrices una inversa de la otra.

CB′BCBB′ =

−1 −1 2

2 12 − 1

2

0 12 − 1

2

0 12 − 1

2

1 12

72

1 12

32

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

CBB′CB′B =

0 12 − 1

2

1 12

72

1 12

32

−1 −1 2

2 12 − 1

2

0 12 − 1

2

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

48 Tema 3

5.3. Matriz asociada a una aplicacion lineal de Kn en Km re-

specto de las bases canonicas. Consideremos K un cuerpo y f : Kn → Km

una aplicacion lineal. Veamos que f puede verse como una matriz de tamano m

por n, que llamaremos la matriz asociada a f respecto de las bases canonicas yque denotaremos por Af ∈Mm×n(K). Es mas, Af no es mas que las coordenadasde las imagenes de cada vector de la base canonica de Rn en columnas, es decir, si

f(1, 0, . . . , 0) = (λ11, λ12, . . . , λ1m)

f(0, 1, . . . , 0) = (λ21, λ22, . . . , λ2m)...

...

f(0, 0, . . . , 1) = (λn1, λn2, . . . , λnm)

Entonces:

Af =

λ11 λ21 . . . λn1

λ12 λ22 . . . λn2...

......

λ1m λ2m . . . λnm

Ahora tenemos que f(x1, x2, . . . , xn) = Af

x1

x2...

xn

5.3.1 Ejemplo: Sea f : R2 → R3 con f(x, y) = (2x + 3y, x − y, 4x − y).Entonces la matriz asociada a f respecto de la base canonica es:

f(1, 0) = (2, 1, 4)

f(0, 1) = (3,−1,−1)y Af =

2 31 −14 −1

Nota:

2 31 −14 −1

(xy

)= (2x + 3y, x − y, 4x − y), por lo que si que hemos

conseguido dar a f una “forma matricial”.

5.4. Matriz asociada a aplicaciones lineales generales. Sean V

y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea f : V → W una aplicacionlineal.


Sean B = {v1, v2, . . . , vn} base de V y B′ = {w1, w2, . . . , wm} base de W yconsideremos los isomorfismos:

fB : V → Kn

que asocia a cada vector de V sus coordenadas respecto de la base B y,

fB′ : W → Km

que asocia a cada vector de W sus coordenadas respecto de la base B′.

Por tanto tenemos el siguiente diagrama:

Y la aplicacion lineal

fB′ ◦ f ◦ f−1B : Kn → Km.

5.4.1 Def: Se define la matriz asociada a f respecto de las bass B y B′ y serepresenta por Af

B′B como la matriz asociada a la aplicacion lineal fB′ ◦ f ◦ f−1B .

Nota Importante: Por construccion la matriz asociada a f respecto de lasbases B y B′, es decir, Af

B′B , transforma las coordenadas de un vector v ∈ V

respecto de la base B en las coordenadas de f(v) en la base B′.

5.4.2 Algoritmo: para calcular la matriz asociada a f respecto de lasbases B y B′.

Se calculan las imagenes por f de los elementos de la base de B y se escribencomo combinacion lineal de elementos de B′ (es decir, se calculan sus coordenadasrespecto de B′). Es decir:

f(v1) = λ11w1 + λ12w2 + . . . + λ1mwm

f(v2) = λ21w1 + λ22w2 + . . . + λ2mwm

...

f(vn) = λn1w1 + λn2w2 + . . . + λnmwm

50 Tema 3

Entonces estas coordenadas puestas en columnas nos dan la matriz que buscamos:

AfB′B =

λ11 λ21 . . . λn1

λ12 λ22 . . . λn2...

... . . ....


∈Mm×n(K)

5.4.3 Ejemplo: Se considera la aplicacion lineal f ;R3 → R4 definida por

f(x, y, z) = (2x + 3y, 3y + 4z, 4z + 5x, x + y + z)

Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases

B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} ⊂ R3

B′ = {((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1)} ⊂ R4

Sea calcula:

f(1, 1, 1) = (5, 7, 9, 3) = 5(1, 0, 0, 0) + 7(0, 1, 1, 0) + 2(0, 0, 1, 0) + 3(0, 0, 0, 1)

f(1, 1, 0) = (5, 3, 5, 2) = 5(1, 0, 0, 0) + 3(0, 1, 1, 0) + 2(0, 0, 1, 0) + 2(0, 0, 0, 1)

f(1, 0, 0) = (2, 0, 5, 1) = 2(1, 0, 0, 0) + 0(0, 1, 1, 0) + 5(0, 0, 1, 0) + 1(0, 0, 0, 1)

Luego la matriz asociada a f respecto de las bases B y B′ es:

AfB′B =

5 5 27 3 02 2 53 2 1

Nota: Si tomamos el vector (3, 2, 1) ∈ R3 tenemos que sus coordenadasrespecto de la base B son:

(3, 2, 1) = 1(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0).

Tenemos que las coordenadas de f(3, 2, 1) = (12, 10, 19, 6) respecto de la base B′

son:

f(3, 2, 1) = 12(1, 0, 0, 0) + 10(0, 1, 1, 0) + 9(0, 0, 1, 0) + 6(0, 0, 0, 1).


Por tanto se tiene que:

AfB′B

111

=

5 5 27 3 02 2 53 2 1

111

=

121096

Para terminar la seccion vamos a estudiar que relacion existe entre las matricesasociadas a una misma aplicacion lineal cuando cambiamos de base.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y f : V → W unaaplicacion lineal. Sean B y B dos bases de V y B′ y B′ dos bases de W . Tenemosentonces Af

B′B , la matriz asociada a f respecto de las bases B y B′, y Af

B′B, la

matriz asociada a f respecto de las bases B y B′. Nos preguntamos que relacionexiste entre estas matrices. La respuesta es facil: Af

B′B = CB′B′Af

B′BCBB , ya

que:

Todas las relaciones existentes entre las distintas aplicaciones quedan refle-jadas en el siguiente diagrama conmutativo:

52 Tema 3

Nota: Recordamos que la matriz CBB es inversa de la matriz CBB .

6. NUEVOS ESPACIOS VECTORIALES

6.1. Producto directo de espacios vectoriales Sean {Vi}i∈I unafamilia de espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea Πi∈IVi el producto carte-siano (de estos conjuntos). Entonces las siguientes operaciones (operaciones porcomponentes) dan estructura de espacio vectorial sobre K a Πi∈IVi, llamado elproducto directo de los espacios vectoriales Vi.

? Dados (vi)i∈I , (wi)i∈I definimos la suma como

(vi)i∈I + (wi)i∈I := (vi + wi)i∈I

? Dados (vi)i∈I y λ ∈ K definimos la multiplicacion por escalares como:

λ(vi)i∈I := (λvi)i∈I

6.1.1 Proposicion. Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobreun cuerpo K. Entonces Πi∈IVi, con las operaciones anteriores, tiene estructura deK-espacio vectorial.

6.1.2 Def: Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpoK y sea V = Πi∈IVi el producto directo de los espacios vectoriales Vi. Se define laproyeccion “canonica” de V en Vk, con k ∈ I, como:

πk : V → Vk

(vi)i∈I 7→ vk.

Es facil ver que para cada k ∈ I, πk es un epimorfismo de espacios vectoriales.

6.1.3 Propiedad fundamental del producto cartesiano de espacios

vectoriales. Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpoK y sea V = Πi∈IVi el producto directo de los espacios vectoriales Vi. Entoncespara cada espacio vectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : W → Vi

existe una unica aplicacion lineal f : W → V tal que para cada k ∈ I el siguientediagrama es conmutativo:


Es mas, Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K Y ρi : V → Vi sonuna familia de epimorfismos de espacios vectoriales tales que para cada espaciovectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : W → Vi existe una unicaaplicacion lineal f : W → V tal que para cada k ∈ I el diagrama anterior esconmutativo, entonces V es isomorfo a Πi∈IVi.

Demo: Vamos a suponer en principio que existe esta aplicacion lineal y vamosa demostrar que entonces solo se puede definir de una unica manera, por lo quedemostraremos que, caso de existir, es unica. Luego veremos que la unica posibleverifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe f : W → Πi∈IVi tales que πk ◦ f = fk tenemosentonces que dado w ∈ W , fk(w) = πk(f(w)), por lo que la coordenada k-esimade f(w) es fk(w). Ası, f(w) = (fi(w))i∈I .

2-. Comprobemos entonces que la aplicacion f : W → Πi∈IVi definido porf(w) = (fi(w))i∈I es una aplicacion lineal que verifica el enunciado:

? ¿Es lineal?

f(λw1 + w2) = (fi(λw1 + w2))i∈I = (λfi(w1) + fi(w2))i∈I

= λ(fi(w1))i∈I + (fi(w2))i∈I = λf(w1) + f(w2)

? ¿Hace conmutativo los diagramas? Pues claro

πk ◦ f(w) = πk((fi(w))i∈I))fk(w).

Veamos ahora que todo espacio vectorial con estas propiedades es isomorfo alproducto cartesiano de los {Vi}i∈I . Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo Ky gi : V → Vi son una familia de epimorfismos de espacios vectoriales tales quepara cada espacio vectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : W → Vi

existe una unica aplicacion lineal f : W → V tal que para cada k ∈ I el diagrama

54 Tema 3

es conmutativo.

Si consideramos ahora W = Πi∈IVi y fi = Πi las proyecciones canonicastenemos que aplicando varias veces esta propiedad fundamental tenemos:

En donde f ◦ g = IdV y g ◦ f = IdΠVi lo que demuestra que tanto f como g

son isomorfismos, y por tanto V y Πi∈IVi son espacios vectoriales isomorfos.

6.2. Suma directa externa de espacios vectoriales Sean {Vi}i∈I

una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea⊕

i∈I Vi el subconjuntode Πi∈IVi de todos los vectores con solo un numero finito de entradas no nulas, esdecir ⊕

i∈I

Vi = {(vi)i∈I ∈ Πi∈IVi | vi = 0 para casi todo i}

6.2.1 Proposicion. Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobreun cuerpo K. Entonces

⊕i∈I Vi es un subespacio vectorial de Πi∈IVi, llamado la

suma directa externa de los espacios vectoriales Vi.

Demo: Es claro que si sumo dos vectores con un numero finito de coordenadasno nulas, me da un vector con un numero finito de coordenadas no nulas, y que simultiplico un vector con un numero finito de coordenadas no nulas por un escalar,


obtengo un vector con el mismo numero de coordenadas no nulas. Es decir, ⊕i∈IVi

es un subespacio vectorial del producto directo de espacios vectoriales.

Nota: Si #I < ∞ se tiene que la suma directa de espacios vectoriales y elproducto directo de espacios vectoriales es la misma cosa.

6.2.2 Def: Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpoK y sea ⊕i∈IVi la suma directa de estos espacios vectoriales. Entonces para cadak ∈ I se define la inclusion canonica de Vk en ⊕i∈IVi y se representa por

ρk : Vk → ⊕i∈IVi

como ρk(vk) = (xi)i∈I en donde xi = 0 si i 6= k y xk = vk. Es decir, el vector deΠi∈IVi que tiene todas las coordenadas cero, salvo la k que vale vk. Es claro queρk es un monomorfismo de espacios vectoriales.

6.2.3 Propiedad fundamental de la suma directa de espacios vec-

toriales. Sean {Vi}i∈I una familia de espacios vectoriales sobre un cuerpo Ky sea ⊕i∈IVi la suma directa de estos espacios vectoriales. Entonces para cadaespacio vectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : Vi → W existeuna unica aplicacion lineal f : ⊕i∈IVi → W tal que para cada k ∈ I el siguientediagrama es conmutativo:

Es mas, Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K Y gi : Vi → V sonuna familia de monomorfismos de espacios vectoriales tales que para cada espaciovectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : Vi → W existe una unicaaplicacion lineal f : V → W tal que para cada k ∈ I el diagrama anterior esconmutativo, entonces V es isomorfo a ⊕i∈IVi.

Demo: Vamos a suponer en principio que existe esta aplicacion lineal y vamosa demostrar que entonces solo se puede definir de una unica manera, por lo que

56 Tema 3

demostraremos que, caso de existir, es unica. Luego veremos que la unica posibleverifica lo que queremos.

1-. Supongamos que existe f : ⊕i∈IVi → W tales que f ◦ ρk = fk ten-emos entonces que dado vk ∈ Vk, fk(vk) = f(ρk(vk)), por lo que f((vi)i∈I) =f(

∑i∈I(ρi(vi))) =

∑i∈I fi(vi). Observar que, aunque no lo parezca, por definicion

de suma directa esta es una suma finita (en espacios vectoriales no podemos sumarun numero infinito de vectores).

2-. Comprobemos entonces que la aplicacion f : ⊕i∈IVi → W definido porf((vi)i∈I) =

∑i∈I fi(vi) es una aplicacion lineal que verifica el enunciado:

? ¿Es lineal?

f(λ(vi)i∈I + (v′i)i∈I) = f((λvi + v′i)i∈I) =∑

i∈I

fi(λvi + v′i)

= λ∑

i∈I

fi(vi) +∑

i∈I

fi(v′i) = λf((vi)i∈I) + f((v′i)i∈I)

? ¿Hace conmutativo los diagramas? Pues claro

f ◦ ρk(vk) = fk(vk).

Veamos ahora que todo espacio vectorial con estas propiedades es isomorfo alproducto cartesiano de los {Vi}i∈I . Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo Ky gi : Vi → V son una familia de monomorfismos de espacios vectoriales tales quepara cada espacio vectorial W y cada familia de aplicaciones lineales fi : Vi → W

existe una unica aplicacion lineal f : V → W tal que para cada k ∈ I el siguientediagrama es conmutativo:

Si consideramos ahora W = ⊕i∈IVi y fi = ρi las inclusiones canonicas tene-mos, aplicando varias veces esta propiedad fundamental:


En donde g ◦ f = IdV y f ◦ g = Id⊕Vilo que demuestra que tanto f como g

son isomorfismos, y por tanto V y ⊕i∈IVi son espacios vectoriales isomorfos.

6.3. Espacio vectorial cociente Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo K y sea W un subespacio vectorial de V .

? Podemos entonces definir una relacion de equivalencia en V . Dados v1, v2 ∈V diremos que v1 esta relacionado con v2 y lo representaremos por v1 ≈ v2 si

v1 ≈ v2 si y solo si v1 − v2 ∈ W.

Veamos que “≈” es una relacion de equivalencia en V :

– Reflexiva: para todo v ∈ V , v − v = 0 ∈ W , por lo que v ≈ v.

– Transitiva: dados v1, v2, v3 ∈ V tal que v1 ≈ v2 y v2 ≈ v3, se tiene quev1 − v2 ∈ W y v2 − v3 ∈ W . Por tanto v1 − v3 = (v1 − v2) + (v2 − v3) ∈ W . Portanto v1 ≈ v3.

– Simetrica: Dados v1, v2 ∈ V tal que v1 ≈ v2, se tiene que v1 − v2 ∈ W .Por tanto el opuesto de este elemento tambien cae en W , por lo que v2 − v1 =−(v1 − v2) ∈ W . Ası, v2 ≈ v1.

? Consideremos el conjunto cociente V/ ≈, que es este caso denotaremos porV/W ,

V/W := {[v] |v ∈ V }.Nota 1: Dado v ∈ V ,

[v] = {u ∈ V | v − u ∈ W} = {v ∈ V | v = u + w, con w ∈ W}= {v + w ∈ V | w ∈ W} = v + W.

Nota 2: [0] = W .

? Vamos a definir una estructura de K espacio vectorial en este conjuntocociente.

58 Tema 3

– La suma: dados [v1], [v2] ∈ V/W ,

[v1] + [v2] := [v1 + v2]

– El producto por escalares: dados [v] ∈ V/W y λ ∈ K,

λ[v] := [λv]

Nota: Cuando se define una operacion en un conjunto cociente, y esta sedefine a partir de representantes, lo primero que hay que comprobar es que estabien definida, es decir:

¦ Si [v1] = [v′1] y [v2] = [v′2], entonces [v1 + v2] = [v′1 + v′2]

¦ Si [v1] = [v′1] y λ ∈ K, entonces [λv1] = [λv′1]

Veamos entonces que estan bien definidas:

¦1 Sea v1, v′1, v2, v

′2 ∈ V tales que [v1] = [v′1] y [v2] = [v′2] tenemos entonces

que v1 − v′1 y v2 − v′2 ∈ W por tanto

v1 − v′1 + v2 − v′2 = v1 + v2 − (v′1 + v′2) ∈ W

es decir, [v1 + v2] = [v′1 + v′2].

¦2 Sea v1, v′1 ∈ V tales que [v1] = [v′1] y sea λ ∈ K tenemos entonces que

v1 − v′1 ∈ W . Por tanto

λ(v1 − v′1) = λv1 − λv′1 ∈ W

por tanto [λv1] = [λv′1].

? Veamos que con estas operaciones (V/W,+, ) tiene estructura de K espaciovectorial:

– Es claro que la suma es asociativa:

[v1] + ([v2] + [v3]) = [v1 + (v2 + v2)] = [(v1 + v2) + v3] = ([v1] + [v2]) + [v3]

– Es claro que la suma es conmutativa:

[v1] + [v2] = [v1 + v2] = [v2 + v1] = [v2] + [v1]


– Es claro que [0] ∈ V/W es el elemento neutro de la suma:

[v1] + [0] = [v1 + 0] = [v1] = [0 + v1] = [0] + [v1]

– Dado [v] ∈ V/W es claro ahora que su opuesto es [−v]:

[v] + [−v] = [v − v] = [0] = [−v + v] = [−v] + [v]

Es igualmente claro que se verifican las 4 propiedades relativas al productoexterno:

– λ([v1] + [v2]) = [λ(v1 + v2)] = [λv1 + λv2] = λ[v1] + λ[v2].

– (λ + µ)[v] = [(λ + µ)v] = [λv + µv] = λ[v] + µ[v].

–1[v] = [1v] = [v].

–λ(µ[v]) = [λ(µv)] = [(λµ)v] = (λµ)[v].

Nota: trabajar con el espacio vectorial cociente es facil, Es simplemente ponerclases a los vectores.

6.3.1 Proposicion (Base del espacio vectorial cociente). Sea V unespacio vectorial sobre un cuerpo K y sea W un subespacio de V . ConsideremosV/W el espacio vectorial cociente.

Sea B′ = {vα}α∈A una base de W , por tanto es un conjunto de vectoresindependientes de V y sea B una base de V que contenga a B′, es decir B ={vα}α∈A ∪ {ei}i∈I .

Nota: Es claro que dado vα ∈ B′, [vα] = [0] (ya que vα ∈ W ). Por tantoestos vectores no van a poder estar en la base de V/W . Veamos entonces que elconjunto de vectores que se han anadido si forman una base de V/W , es decir,B = {ei}i∈I es base de V/W

¦ ¿Son generadores? Dado [v] ∈ V/W , tenemos que v =∑

µαvα +∑

λiei ypor tanto

[v] = [∑

µαvα +∑

λiei] =∑

µα[vα] +∑

λi[ei] =∑

µα[0] +∑

λi[ei]

=∑

λi[ei]

¦ ¿Son independientes? Si∑

λi[ei] = [0], entonces∑

λiei − 0 ∈ W y portanto

∑λiei =

∑µαvα por tanto, al ser B base de V , λi = µα = 0 ∀α ∈ A, i ∈ I.

60 Tema 3

6.3.2 Corolario. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K de di-mension n. Sea W un subespacio vectorial de dimension m. Entonces

dimK(V/W ) = n−m.

6.4. El espacio vectorial “Hom” Sean V y W dos espacios vectorialessobre un cuerpoK. Veamos que podemos dotar de estructura deK espacio vectorialal conjunto de todos los homomorfismos de V en W .

HomK(V, W ) = {f : V → W | con f una aplicacion lineal de V en W}? Definimos la suma:

(f + g)(v) = f(v) + g(v) ∀v ∈ V

? Definimos el producto externo:

(λf)(v) = λf(v) + g(v) ∀v ∈ V

Nota: Para esta estructura de espacio vectorial, solo nos hacia falta que W fueraun K espacio vectorial (ver el ultimo ejercicio de la relacion 3).

6.4.1 Proposicion. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpoK y sea HomK(V, W ). Supongamos que dimK(V ) = n y dimKW = m. EntoncesHomK(V, W ) es isomorfo, como espacio vectorial a Mm×n(K). Es mas, si B ={v1, v2, . . . , vn} es una base de V y B′ = {w,.w2, . . . , wm} es una base de W , laaplicacion:

ΨB′B : HomK(V,W ) → Mm×n(K)f 7→ Af

B′B

en donde AB′Bf denota la matriz asociada a f respecto de las bases B y B′, es un

isomorfismo de espacios vectoriales.

Demo: Recordamos que para calcular la matriz asociada a f respecto de lasbases B y B′ se calculan las imagenes por f de los elementos de la base de B yse escriben como combinacion lineal de elementos de B′ (es decir, se calculan suscoordenadas respecto de B′). Es decir:

f(v1) = λ11w1 + λ12w2 + . . . + λ1mwm

f(v2) = λ21w1 + λ22w2 + . . . + λ2mwm

...

f(vn) = λn1w1 + λn2w2 + . . . + λnmwm


Entonces estas coordenadas puestas en columnas nos dan la matriz que buscamos:

AfB′B =

λ11 λ21 . . . λn1

λ12 λ22 . . . λn2...

... . . ....


∈Mm×n(K)

Es claro, que ΨB′B(f+g) = ΨB′B(f)+ΨB′B(f) y que ΨB′B(λf) = λΨB′B(f),es decir, ΨB′B es un homomorfismo de espacios vectoriales.

? Veamos que ΨB′B es inyectiva. Sea f ∈ HomK(V, W ) tal que ΨB′B(f) =Af

B′B = 0. Entonces, por construccion, las coordenadas de las imagenes de cadaelemento de B respecto de B′ son cero (si Af

B′B = 0, f manda los vectores de labase B a cero) por lo que f es nula, i.e., f es inyectiva.

? Veamos que ΨB′B es sobreyectiva. Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), seaf = fB′ ◦A ◦ f−1

B , entonces, otra vez por construccion, ΨB′B(f) = A.

6.4.2 Corolario. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K.Supongamos que dimK(V ) = n y dimKW = m. Entonces dimK(HomK(V,W )) =nm.

Nos vamos a encontrar con una relacion todavıa mas estrecha entre el espaciovectorial Hom y las matrices:

6.4.3 Proposicion. Sean V , W y U tres espacios vectoriales de dimensionesfinitas (n,m y s respectivamente) sobre un cuerpo K con bases B, B′ y B′′ (resp.).Sean f : V → W y g : W → U dos aplicaciones lineales con matrices asociadasrespecto de estas bases Af

B′B y AgB′′B′ . Entonces

Ag◦fB′′B = Ag

B′′B′AfB′B

es decir, la matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases B y B′′ es el productomatricial de las dos anteriores.

6.4.4 Corolario. Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre uncuerpo K y sea B una base de V . Entonces la aplicacion

ΨBB : HomK(V, V ) → Mn(K)f 7→ Af

BB

es un isomorfismo de anillos. Es decir, es una aplicacion lineal que va bien con lasuma, la multiplicacion por escalares y con el producto.

62 Tema 3

Nota: Esto tiene implicaciones importantes. Por ejemplo, Demostrar queel producto de matrices es asociativo o distributivo es complicado, con este coro-lario se vuelve trivial. Si tengo A,B, C ∈ Mn(K) como ΨBB es biyectiva existeaplicaciones lineales fA, fB y fC de V en V tales que Ψ(fA) = A, Ψ(fB) = B yΨ(fC) = C. Es mas,

(fA + fB) ◦ fC = fA ◦ fC + fB ◦ fC

lo que implica, si aplicamos Ψ en ambos lados de la igualdad que

(A + B)C = AC + BC.

La propiedad asociativa es equivalente.

6.5. El espacio vectorial dual. Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo K. Se define el espacio vectorial dual y se denota por V ∗ como

V ∗ = HomK(V,K).

6.5.1 Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seaB = {v1, v2, . . . , vn} una base de V . Entonces B∗ = {f1, f2, . . . , fn} ⊂ V ∗ endonde para cada i ∈ {1, 2, . . . , n},

fi(ej) ={

1 si i = j0 si i 6= j

es una base de V ∗.

6.5.2 Ejemplo. Sea V = R” y consideremos B = {(1, 1), (0, 1)} basede V . Calcula la base dual de B y da las coordenadas de f ∈ V ∗ definido porf(x, y) = 5x + 7y respecto de esta base dual.

Buscamos dos aplicaciones lineales f1, f2 ∈ V ∗ tales que:

f1 : R2 → R(1, 1) 7→ 1(1, 0) 7→ 0

f2 : R2 → R(1, 1) 7→ 0(1, 0) 7→ 1

Tenemos entonces que dado (x, y) ∈ R2 se tiene que (x, y) = y(1, 1)+(x−y)(1, 0).Por tanto,

f1(x, y) = f1(y(1, 1) + (x− y)(1, 0)) = yf1(1, 1) + (x− y)f1(1, 0) = y

f2(x, y) = f2(y(1, 1) + (x− y)(1, 0)) = yf2(1, 1) + (x− y)f2(1, 0) = x− y


Luego esta es la base dual. Es mas, por lo anterior

f = f(1, 1)f1 + f(1, 0)f2 = 12f1 + 5f2.

6.5.3 Corolario. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K dedimension finita, V y V ∗ son isomorfos.

Nota: Si V tiene dimension infinita, V nunca es isomorfo a V ∗. Por ejemplo,si dimK(V ) = ℵ0, y dimK(V ∗) = ℵ1.

Podemos preguntarnos ahora que sucede si hacemos el dual del dual de unespacio vectorial, es decir V ∗∗, que normalmente se llama el bi-dual, o segundodual de V . Veamos que en general V es isomorfo a un subespacio de V ∗∗.

6.5.4 Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y seaV ∗∗ el segundo dual de V . Entonces la aplicacion Φ : V → V ∗∗ definida por

Φ : V → HomK(V ∗,K)v 7→ Φv : V ∗ → K

f 7→ f(v)

es un monomorfismo de espacios vectoriales. Es mas, Φ es un isomorfismo deespacios vectoriales si y solo si dimK(V ) < ∞

7. RANGO DE UNA APLICACION LINEAL

Durante esta seccion todos los espacios vectoriales que aparezcan seran dedimension finita. Por lo que nos permitira trasladar propiedades de aplicacioneslineales a matrices y viceversa.

7.1. Def: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y seaf : V → W una aplicacion lineal. Se define el rango de f , y se representa porRang(f), como:

Rang(f) := dimK(Im(f))

Nota: Recordamos que dados V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpoK, f : V → W una aplicacion lineal y B = {v1, v2, . . . , vn} una base de V , setiene que f(B) = {f(v1), f(v2), . . . , f(vn)} es un sistema de generadores de Im(f),por lo que para calcular una base de Im(f) solo tendremos que quedarnos con unconjunto maximal de vectores independientes de f(B).

64 Tema 3

7.2. Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K yf : V → W una aplicacion lineal. Entonces:

(i) Se verifica la formula de las dimensiones:

dimKKer(f) + dimK Im(f) = dimK V

(ii) Existe B una base de V y B′ una base de W tal que la matriz asociada a f

respecto de estas bases es

AfB′B =

(Idr 00 0

)

en donde r = Rang(f). Es mas, si la matriz asociada a f respecto de dos

bases B y B′ es de la forma(

Ids 00 0

)entonces s = Rang(f).

Demo. Vamos a demostrar el apartado (ii), ya que en la demostracionquedara patente (i). La forma de demostrarlo va a ser constructiva, por lo que nosva a dar un algoritmo que podremos aplicar a un caso concreto.

1-. Calculamos el nucleo de f y obtenemos una base de el (teoricamente lopodemos hacer porque hemos demostrado que todo espacio vectorial posee base).Sea {v1, v2, . . . , vs} una base de Ker(f).

2-. Por ser {v1, v2, . . . , vs} base de Ker(f), es un conjunto de vectores inde-pendientes de V , por lo que podemos completar hasta obtener una base de V (loselementos con los que completamos los colocamos delante de la base del Ker(f)).Sea B = {vs+1, vs+2, . . . , vn, v1, . . . , vs} base de V .

3-. Veamos que la imagen de los vectores que hemos anadido, es decir,{f(vs+1), f(vs+2), . . . , f(vn)} es base de Im(f). Sabemos que

f(B) = {f(vs+1), f(vs+2), . . . , f(vn), f(v1), . . . , f(vs)}es un sistema de generadores de Im(f). Pero como v1, v2, . . . , vs ∈ Ker(f), se tieneque f(v1) = f(v2) = . . . = f(vs) = 0, por lo que {f(vs+1), f(vs+2), . . . , f(vn)} esun sistema de generadores de Im(f). Veamos que son independientes. Supongamos

0 = λs+1f(vs+1) + . . . + λnf(vn) = f(λs+1vs+1 + . . . + λnvn)

por lo que λs+1vs+1 + . . . + λnvn ∈ ker(f) y por tanto se puede escribir comocombinacion lineal de elementos de la base de Ker(f). Ası,

λs+1vs+1 + . . . + λnvn = λ1v1 + . . . + λsvs


y al ser B una base de V todos los λi son cero, como querıamos demostrar.

4-. Por ser {f(vs+1), f(vs+2), . . . , f(vn)} base de Im(f), es un conjunto devectores independientes de W , por lo que podemos completar hasta obtener unabase de W . Sea B′ = {f(vs+1), f(vs+2), . . . , f(vn), w1, w2, . . . , wk}

5-. Veamos que la matriz asociada a f respecto de las bases B y B′ es de laforma que queremos.

f(vs+1) = 1f(vs+1) + 0f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 0f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

f(vs+2) = 0f(vs+1) + 1f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 0f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

...

f(vn) = 0f(vs+1) + 0f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 1f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

f(v1) = 0f(vs+1) + 0f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 0f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

f(v2) = 0f(vs+1) + 0f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 0f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

...

f(vs) = 0f(vs+1) + 0f(vs+2) + 0f(vs+3) + . . . + 0f(vn) + 0w1 + . . . + 0vk

por lo que su matriz asociada es AfB′B =

(Ids 00 0

)en donde r = n − s =

dimK Im(f). Es mas,

dimKKer(f) + dimK Im(F ) = s + (n− s) = n = dimK V.

Veamos por ultimo que si tengo B = {v1, v2, . . . , vn} base de V y B′ ={w1, w2, . . . , wm} de W tales que la matriz asociada a f respecto de B y B′ es

de la forma(

Ids 00 0

)entonces s = Rang(f). Al ser la matriz asociada esta,

f(B) = {f(v1), f(v2), . . . , f(vn)} = {w1, w2, . . . , ws}, por tanto {w1, w2, . . . , ws}es un sistema de generadores de Im(f) y ademas son independientes, al estarcontendidos en una base de W . Ası, es base de Im(f) por lo que s es la dimensionde la imagen, es decir, s = Rang(f).

Nota: Recordamos que dada una matriz A ∈ Mm×n(K), con K un cuerpo,

66 Tema 3

podemos construir la aplicacion lineal, fA : Kn → Km definida por

fA((x1, x2, . . . , xn)) = A

x1

x2...

xn

y que la matriz asociada a esta aplicacion lineal respecto de las bases canonicas esprecisamente A. Es decir, si C es la base canonica de Kn y C ′ es la base canonicade Km, entonces Af

C′C = A.

7.3. Corolario. Sea K un cuerpo y A ∈Mm×n(K). Entonces existen dos

matrices inversibles, P ∈ Mn(K) y Q ∈ Mm(K) tales que QAP =(

Idr 00 0

).

Demo: Consideramos la aplicacion lineal fA : Kn → Km, entonces, por el teoremaanterior, existe B base de Kn y B′ base de Km tales que la matriz asociada

a fA respecto de estas bases es de la forma(

Idr 00 0

). Ahora, aplicando la

relacion existente entre dos matrices asociadas a un mismo endomorfismo respectode distintas bases tenemos que

(Idr 00 0

)= AfA

B′B = CB′C′AfA

C′CCCB = CB′C′ACCB .

Por tanto Q = CB′C′ y P = CCB son las matrices inversibles, al ser matrices decambio de base, que nos demuestran el corolario.

Nos va a interesar definir una cierta relacion de equivalencia en el conjuntode las matrices de tamano m× n sobre un cuerpo K.

7.4. Def: Sea K un cuerpo y sean A,B ∈ Mm×n(K). Diremos que A esuna matriz equivalente a B, y lo representaremos A ≡ B, si existen dos matricesinversibles, P ∈Mn(K) y Q ∈Mm(K) tales que QAP = B.

7.5. Lema I. La relacion “ser equivalente a” es una relacion de equivalenciaen Mm×n(K).

Demo: Veamos que esta relacion verifica las propiedades reflexiva, transitivay simetrica.

– Reflexiva. Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), A = IdmAIdn, por tantoA ≡ A.


– Transitiva. Sean A, B,C ∈ Mm×n(K) tales que A ≡ B y B ≡ C. Tenemosentonces que existen matrices Q1, Q2 ∈ Mm(K) y P1, P2 ∈ Mn(K) inversiblestales que Q1AP1 = B y Q2BP2 = C. Entonces (Q2Q1)A(P1P2) = C con Q2Q1

y P1P2 matrices inversibles al ser producto de dos matrices inversibles. Por tantoA ≡ C

– Simetrica. Supongamos que QA ≡ B, entonces existen matrices inversiblesQ ∈Mm(K) y P ∈Mn(K) tales que QAP = B. Entonces Q−1BP−1 = A con loque B ≡ A.

7.6. Teorema. Sea K un cuerpo y sean A,B ∈Mm×n(K). Entonces A esequivalente a B si y solo si A y B son matrices asociadas un mismo endomorfismorespecto de distintas bases.

La demostracion de este Teorema la vamos a dividir en una serie de proposi-ciones que tendran interes por sı mismas.

7.6.1 Proposicion I Sea K un cuerpo y sean A,B ∈ Mm×n(K). Supon-gamos que A y B son matrices asociadas a una misma aplicacion lineal respectode bases distintas. Entonces A ≡ B.

Demo: Sea f : V → W una aplicacion lineal y sean B, B bases de V yB′, B′ bases de W tales que A = Af

B′B y B = Af

B′B. Entonces, existen matrices

de cambio de base, Q = CB′B′ y P = CB,B , y por tanto inversibles, tales queCB′B′ACBB = B. es decir, A y B son matrices equivalentes.

Nota: Si nos damos cuanta, parece que hemos obtenido algo mas. No soloA y B son matrices equivalentes, sino que las matrices P y Q que aparecen sonmatrices del cambio de base. Como veremos a continuacion este no es un hechosorprendente.

7.6.2 Proposicion II Sea K un cuerpo y sean P ∈ Mn(K). Entonces P

es una matriz inversible si y solo si P es una matriz de cambio de base (es decir,existen B y B′ bases de Kn tales que CB′B = P ).

Es mas, si C es la base canonica de Kn y P es una matriz inversible, B ={Pe1, Pe2, . . . , P en} es base de Kn y CCB = P .

Demo: Ya sabemos, que P = CB′B es la matriz de cambio de base entre B

y B′, entonces P es inversible con inversa CBB′ (el cambio opuesto).

Veamos el recıproco, que es el interesante. Supongamos que P es una matrizinversible. Tenemos entonces que la aplicacion lineal fP : Kn → Kn tiene por

68 Tema 3

inversa a fP−1 : Kn → Kn ya que fP ◦ fP−1 = IdKn = fP−1 ◦ fP . Por tanto, fP esun isomorfismo de espacios vectoriales y ası, si consideramos C = {e1, e2, . . . , en}la base canonica de Kn,

B := fP (C) = {Pe1, P e2, . . . , P en}

es base de Kn. Por ultimo CCB , la matriz de cambio de base de B a C, es P

(como C es la base canonica, la matriz de cambio de base de B a C es tomar losvectores de B y ponerlos en columnas, pero Pe1 es la primera columna de P , Pe2

la segunda, etc).

Nota: La matriz de cambio de base de C a B es CBC = P−1.

7.6.3 Proposicion III Sea K un cuerpo y sean A y B dos matrices equi-valentes de Mm×n(K). Entonces fA : Kn → Km es una aplicacion lineal que tienepor matriz asociada tanto a A como a B.

Demo: Por definicion existen dos matrices inversibles P ∈ Mn(K) y Q ∈Mm(K) tales que QAP = B. Sean

fA : Kn → Km, C = {e1, e2, . . . , en} y C ′ = {e′1, e′2, . . . , e′m}

en donde fA es la aplicacion lineal asociada a A, y C y C ′ son las bases canonicasde Kn y Km respectivamente. Entonces, como ya sabemos,

AfC′C = A.

Por otro lado, como P es una matriz inversible,

B = fP (C) = {Pe1, P e2, . . . , P en}

es base de Kn y CBC = P−1, ver (7.6.2). De forma similar, como Q−1 es unamatriz inversible,

B′ = fQ−1(C ′) = {Q−1e′1, Q−1e′2, . . . , Q

−1e′m}

es base de Km y CB′C′ = Q (es decir, si las coordenadas de un vector v respectode la base canonica son λ1, λ2, . . . , λn, entonces las coordenadas de v respecto deB′ son fQ(λ1, λ2, . . . , λn).

Por ultimo, calculemos la matriz asociada a fA respecto de las bases B y B′:dado el vector Pei, las coordenadas de fA(Pei) respecto de la base canonica de


Km son APei, por lo que sus coordenadas respecto de B′ son QAPei, es decir,Bei, la columna i-esima de la matriz B. Ası, la matriz asociada a fA respecto deB y B′ es precisamente B.

7.7. Def: Sea K un cuerpo y A ∈Mm×n(K). Se define el rango de A, y serepresenta por Rang(A) como el rango de la aplicacion lineal asociada fA.

7.8. Proposicion. Sea K un cuerpo y A ∈ Mm×n(K). Entonces el rangode A coincide con el numero maximo de columnas linealmente independientes dela matriz A.

Demo: Recordamos que dada una aplicacion lineal f : V → W , si B es unabase de V , f(B) es un sistema de generadores de Im(f). Por tanto si consideramosC la base canonica de Kn, fA(C) son precisamente las columnas de A, por loque una base de Im(fA) estara compuesta por un numero maximo de vectoresindependientes dentro de fA(C).

Nota: El rango de una matriz en la forma(

Idr 00 0

)es precisamente r.

7.9. Teorema. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K yf : V → W una aplicacion lineal. Sea B una base de V y B′ base de W . EntoncesRang(Af

B′B) = Rang(f). Es decir, el rango de f coincide con el rango de cualquiermatriz asociada a f .

Demo: La relacion existente entre f y su matriz asociada respecto de lasbases B y B′ queda expuesta en el siguiente diagrama conmutativo:

Veamos que la aplicacion fB′ |Im(f)) : Im(f)) → Im(fAf

B′B) es un isomorfismo

de espacios vectoriales, por lo que

Rang(f) = dimK(Im(f)) = dimK(Im(fAf

B′B) = Rang(Af

B′B)))

i-. Dado y ∈ Im(f), tenemos que ver que fB′(y) ∈ Im(fAf

B′B). Por definicion

existe x ∈ V tal que f(x) = y. Por tanto y = fB′ ◦ f(x) = fAf

B′B◦ fB(x) ∈

Im(fAf

B′B).

ii-. Como fB′ era un isomorfismo de espacios vectoriales,, cuando restringimosa Im(f), seguimos teniendo que verifica la condicion de aplicacion lineal, y que esinyectiva.

70 Tema 3

iii-. Veamos por ultimo que es sobreyectiva. Dado w ∈ Im(fAf

B′B), existe

u ∈ Kn tal que fAf

B′B(u) = w y como fB es un isomorfismo, existe v ∈ V tal

que fB(v) = u. Por tanto w = fAf

B′B◦ fB(v) = fB′ ◦ f(v), lo que demuestra el

teorema.

7.10. Corolario. Dos matrices A,B ∈ Mm×n(K) son equivalentes si ysolo si tienen el mismo rango.

Demo: Si A y B son equivalentes, estan asociadas a un mismo homomor-fismo y por tanto el rango de ambas coincide con el rango de este homomorfismo.Recıprocamente, si A y B tienen el mismo rango, digamos r, entonces por (7.3.),

A es equivalente a una matriz de la forma(

Idr 00 0

)en donde r, por la impli-

cacion anterior, es el rango de A. De forma similar, B es equivalente a(

Idr 00 0

)

y por tanto, como ser equivalente a es una relacion de equivalencia, A y B sonequivalentes.

7.11. Proposicion. Sea K un cuerpo y A ∈ Mn(K). Entonces A esinversible si y solo si Rang(A) = n.

Demo: Si A es inversible, existe A−1Mn(K) tal que AA−1 = Idn = A−1A.Entonces A es equivalente a la matriz identidad y por tanto Rang(A) = n.Recıprocamente, si Rang(A) = n existen matrices inversible P y Q tales queQAP = Idn y por tanto A = Q−1P−1 que es inversible al ser producto de matri-ces inversibles.

7.12. Sea K un cuerpo y A ∈ Mm×n(K). En lo que sigue veremos queRang(A) coincide con el maximo numero de filas linealmente independientes deA (que a su vez coincidıa con el maximo numero de columnas independientes deA). Para la demostracion de este Teorema vamos a introducir la nocion de matriztranspuesta.

7.12.1 Def: Sea K un cuerpo y A ∈ Mm×n(K). Al elemento que ocupael lugar (i, j) en la matriz A lo vamos a denotar por A(i, j). Se define la matriztranspuesta de A y se representa por At, como la matriz que verifica:

At(i, j) := A(j, i).

Observar que At ∈Mn×m(K).


Veamos un ejemplo: si A =(

1 2 34 5 6

)entonces At =

1 42 53 6

.

Nota: Las filas (resp. columnas) de A se transforman en columnas (resp.filas) de At.

7.12.2 Proposicion. Sea K un cuerpo, A,B ∈Mm×n(K), C ∈Mm×n(K),D ∈Mn×s(K) y E ∈Mn(K). Entonces:

(i) (A + B)t = At + Bt (en este caso ambas matrices tienen el mismo tamano).

(ii) (CD)t = DtCt.

(iii) (At)t = A.

(iv) Idtn = Idn

(v) (E−1)t = (Et)−1 (en este caso E es una matriz inversible y cuadrada).

Demo: (i). Sean A,B ∈Mm×n(K). Entonces:

(A+B)t(i, j) = (A+B)(j, i) = A(j, i)+B(j, i) = At(i, j)+Bt(i, j) = (At+Bt)(i, j)

(ii). Sea C ∈∈Mm×n(K) y D ∈Mn×s(K). Entonces

CD(i, j) =n∑

r=1

C(i, r)D(r, j) y DtCt(i′.j′) =n∑

r=1

Dt(i′, r)Ct(r, j′)

Luego,

DtCt(j, i) =n∑

r=1

Dt(j, r)Ct(r, i) =n∑

r=1

D(r, j)C(i, r) =

n∑r=1

C(i, r)D(r, j) = CD(i, j)

es decir, (CD)t = DtCt.

(iii) y (iv) son triviales.

(v). Tenemos que EE−1 = Id = E−1E. Por tanto, si “transponemos” enesta igualdad obtenemos:

Id = (Id)t = (EE−1)t = (E−1)tEt

Id = (Id)t = (E−1E)t = Et(E−1)t

72 Tema 3

es decir, (E−1)t es la inversa de Et.

Nota: Una aplicacion de un anillo en si mismo, en este caso el anillo de lasmatrices cuadradas de orden n, con las propiedades (i), (ii) y (iii) se la denominainvolucion.

7.12.3 Proposicion. Sea K un cuerpo y sea A ∈ Mm×n(K). EntoncesRang(A) = Rang(At).

Demo: Sabemos, que dada a ∈ Mm×n(K) existen p ∈∈ Mn(K) y Q ∈Mm(K) tales que QAP =

(Idr 00 0

). Entonces, por (7.12.2),

P tAtQt = (QAP )t =(

Idr 00 0

)t

=(

Idr 00 0

)

lo que demuestra que Rang(At) = r.

7.13. Teorema. Sea K un cuerpo y A ∈ Mm×n(K). Entonces Rang(A)coincide con el maximo numero de filas linealmente independientes de A (que a suvez coincidıa con el maximo numero de columnas independientes de A).

Demo: Tenemos entonces que el rango de A coincide con el rango de At.Pero el rango de At es el numero de columnas independientes de At, que no esmas que el numero de filas independientes de A.

8. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

En la seccion anterior hemos demostrado que dada una matriz A ∈Mm×n(K)en donde K denota un cuerpo existen matrices inversibles P ∈ Mm(K) y Q ∈Mn(K) tales que

PAQ =(

Idr 00 0

)

Pero para encontrar estas matrices, tenemos que construir una aplicacion linealy ciertos matrices de cambio de base. Veamos en esta seccion un metodo directopara abordar este problema.

8.1. Def: Sea K un cuerpo y A ∈Mm×n(K). Las siguientes manipulacionessobre A se dice que son transformaciones elementales.

Tipo I. Intercambiar dos filas o dos columnas de A.


Tipo II. Sumar a una fila (resp. columna) otra fila (resp. columna) multiplicadapor un escalar.

Tipo III. Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo.

En el siguiente teorema se demuestra que hacer transformaciones elementalesen una matriz no es mas que multiplicar esta, a derechas o a izquierdas, por unamatriz conveniente (la matriz identidad a la que previamente se le ha hecho elmismo cambio).

8.2. Teorema. Sea K un cuerpo y sea A ∈Mm×n(K). Entonces:

(i1). Sea I(i↔j) la matriz que obtenemos al intercambiar la fila i por la fila j enla matriz identidad. Entonces I(i↔j)A es la matriz que obtenemos al intercambiarla fila i por la fila j en A. Notar que I(i↔j) es inversible con inversa ella misma,es decir, (I(i↔j))2 = Id.

(i2). Sea I [i↔j] la matriz que obtenemos al intercambiar la columna i por lacolumna j en la matriz identidad. Entonces AI [i↔j] es la matriz que obtenemosal intercambiar la columna i por la columna j en A. Notar que I [i↔j] es inversiblecon inversa ella misma, es decir, (I [i↔j])2 = Id.

(ii1). Sea I(i+λj) la matriz que obtenemos al sumar a la fila i la fila j multipli-cada por λ ∈ K en la matriz identidad. Entonces I(i+λj)A es la matriz que obten-emos al sumar a la fila i la fila j multiplicada por λ ∈ K en A. Notar que I(i+λj)

es inversible con inversa I(i−λj), es decir, I(i+λj)I(i−λj) = I(i−λj)I(i+λj) = Id.

(ii2). Sea I [i+λj] la matriz que obtenemos al sumar a la columna i la columna j

multiplicada por λ ∈ K en la matriz identidad. Entonces AI [i+λj] es la matriz queobtenemos al sumar a la columna i la columna j multiplicada por λ en A. Notarque I [i+λj] es inversible con inversa I [i−λj], es decir, I [i+λj]I [i−λj] = I [i−λj]I [i+λj] =Id.

(iii1). Sea I(i→λi) la matriz que obtenemos al multiplicar la fila i por 0 6=λ ∈ K en la matriz identidad. Entonces I(i→λi)A es la matriz que obtenemosal multiplicar la fila i por λ en A. Notar que I(i→λi) es inversible con inversaI(i→λ−1i), es decir, I(i→λi)I(i→λ−1i) = I(i→λ−1i)I(i→λi) = Id.

(iii2). Sea I [i→λi] la matriz que obtenemos al multiplicar la columna i por0 6= λ ∈ K en la matriz identidad. Entonces AI [i→λi] es la matriz que obtenemosal multiplicar la columna i por λ en A. Notar que I [i→λi] es inversible con inversaI [i→λ−1i], es decir, I [i→λi]I [i→λ−1i] = I [i→λ−1i]I [i→λi] = Id.

74 Tema 3

Demo: Es una mera comprobacion.

Nota: El producto de matrices inversibles es inversible. Si A,B ∈ Mn(K)son inversibles con inversas A−1 y B−1 entonces (AB)−1 = B−1A−1.

8.3. Teorema. Sea K un cuerpo y sea A ∈Mm×n(K). Entonces haciendo

transformaciones elementales en A obtenemos una matriz tipo A′ =(

Idr 00 0

).

Es mas, como hacer transformaciones elementales es multiplicar por matrices in-versible, A′ es equivalente a A y por tanto r = Rang(A).

Demo: La demostracion de este teorema es precisamente el algoritmo quenos permitira abordar un caso particular. Sea A = (aij), entonces:

1-. Si A = 0 no tenemos nada que demostrar. En caso contrario existe unaij 6= 0. haciendo cambios en filas y en columnas colocamos este elemento en ellugar (1, 1). (transformaciones tipo I.

2-. Multiplicamos la fila 1 (o la columna 1) por un escalar adecuado para queen el lugar (1, 1) aparezca el uno. Transformacion tipo III.

3-. Haciendo transformaciones tipo II, hacemos ceros en la primera columnay despues en la primera fila.

4-. Obtenemos una matriz en la forma(

1 00 A′

). repetimos entonces los

pasos de 1 a 3 en A′.

Nota: Aplicando los dos teoremas anteriores, (8.2.) y (8.3.), para obtener lasmatrices P y Q, solo tenemos que ir apuntando, convenientemente, las transfor-maciones elementales que vamos haciendo. Por tanto, si colocamos la matriz A,la matriz identidad de tamano n y la matriz identidad de tamano m en la forma:

Idm AIdn

y al hacer en A un cambio por filas, lo hacemos en toda la fila, y si al hacer enA un cambio por columnas lo hacemos en toda la columna, las matrices que nosaparecen al terminar este proceso seran precisamente Q y P . Es decir,

QAP =(

Idr 00 0

)

8.4. Corolario. Sea K un cuerpo y sea A ∈ Mm×n(K) una matrizinversible. Entonces haciendo cambios solo por filas (o solo por columnas) podemoscalcular la inversa de A.


Bibliografıa

P. Alberca, D. Martın: “Metodos Matematicos”, Ediciones Aljibe, 2001.

E. Hernandez: “Algebra y Geometrıa”, Addison-Wesley, 1994.

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introducci¶on. conjuntos

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