ontrol del stock de fármacos en farmacia...
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Control del Stock de Fármacos en Farmacia
Hospitalaria Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Química
Escuela Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
Inmaculada Castillo Durán
Tutora: Ascensión Zafra Cabeza
Fecha: 02/02/2015
ÍNDICE DE CONTENIDO CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN ........................................................................ 5
1.1. Objetivos y motivación del Proyecto ................................................... 5
1.2. Resumen del proyecto ........................................................................... 6
CAPÍTULO 2: REVISIÓN DE COSTES HOSPITALARIOS Y SU GESTIÓN .... 8
2.1. Los costes hospitalarios ....................................................................... 8
2.1.1. COSTES DE ALMACENAMIENTO .................................................... 8
2.1.2. COSTES DE LANZAMIENTO DE PEDIDO ....................................... 9
2.1.3. COSTES DE ADQUISICIÓN ............................................................. 9
2.1.4. COSTES DE RUPTURA DE STOCK ................................................. 9
2.2. Métodos de reducción de costes ........................................................ 10
2.2.1. MÉTODO ABC ................................................................................. 10
2.2.2. CLASIFICACIÓN VEN ..................................................................... 11
2.2.3. MÉTODO FIFO ................................................................................ 12
2.2.4. MÉTODO LIFO ................................................................................ 12
2.2.5. SISTEMAS DE COSTE MEDIO ....................................................... 12
2.2.6. SISTEMAS DE COSTE ESTÁNDAR ............................................... 12
2.2.7. SISTEMAS DE COSTE DE REPOSICIÓN ...................................... 12
2.2.8. SISTEMAS DE COSTES REALES .................................................. 12
2.2.9. SISTEMAS DE COSTE DE VALOR AÑADIDO ............................... 13
CAPÍTULO 3: INTRODUCCIÓN A LA DEMANDA ......................................... 14
3.1. Introducción ......................................................................................... 14
3.2. Métodos simples de estimación de la demanda esperada ............... 15
3.2.1. MEDIA SIMPLE ............................................................................... 15
3.2.2. MEDIA MÓVIL ................................................................................. 16
3.2.3. MEDIA MÓVIL PONDERADA .......................................................... 17
3.2.4. MÉTODO DE RANDOM WALK O PASEO ALEATORIO ................. 17
3.2.5. SUAVIZADO EXPONENCIAL .......................................................... 18
3.2.6. MODELO MULTIPLICATIVO DE HOLT-WINTERS ......................... 20
3.2.7. MODELO DE BOX-JENKINS .......................................................... 23
CAPÍTULO 4: CONTROLADOR PID APLICADO AL CONTROL DE STOCK EN FARMACIA HOSPITALARIA .................................................................... 25
4.1. Introducción ......................................................................................... 25
4.2. Sintonización PID ................................................................................. 26
CAPÍTULO 5: MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS ......................................................................................................................... 31
5.1. Introducción ......................................................................................... 31
5.2. Sistemas de gestión de stocks ........................................................... 31
5.2.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................. 31
5.2.2. SISTEMAS DE REVISIÓN CONTINUA ........................................... 31
5.2.3. SISTEMAS DE REVISIÓN PERIÓDICA .......................................... 33
5.2.4. SISTEMAS MIXTOS O DE MÍNIMO-MÁXIMO ................................ 35
5.3. MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS ......... 37
5.3.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................. 37
5.3.2. MODELOS ESTÁTICOS .................................................................. 37
5.3.3. MODELOS DINÁMICOS .................................................................. 47
CAPÍTULO 6: CONTROLADOR PREDICTIVO GENERALIZADO APLICADO AL CONTROL DE STOCK EN FARMACIA HOSPITALARIA ......................... 58
6.1. Introducción ......................................................................................... 58
6.2. Selección del Modelo ........................................................................... 62
6.3. Descripción de la función de coste .................................................... 62
6.4. Trayectoria de referencia .................................................................... 62
6.5. Restricciones........................................................................................ 63
6.6. Aplicación del Control Predictivo Generalizado ............................... 64
6.6.1. SIMULACIONES .............................................................................. 64
6.6.2. CONCLUSIONES ............................................................................ 69
CAPÍTULO 7: CONCLUSIONES ..................................................................... 70
CAPÍTULO 8: BIBLIOGRAFÍA ........................................................................ 71
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Esquema del Proyecto ........................................................................ 7 Figura 2: Método ABC ...................................................................................... 11 Figura 3: Aplicación media simple .................................................................... 15 Figura 4: Aplicación media móvil ...................................................................... 17 Figura 5: Aplicación método Random Walk...................................................... 18 Figura 6: Aplicación alisado exponencial ......................................................... 20 Figura 7: Diagrama de bloques PID ................................................................. 25 Figura 8: Sistema sin controlar ......................................................................... 26 Figura 9: Situación inicial para todo el rango de datos ..................................... 27 Figura 10: Sintonización inicial PID 60 días ..................................................... 27 Figura 11: PI con SS=60 .................................................................................. 28 Figura 12: PI con SS=65 .................................................................................. 28 Figura 13: PI con SS=55 .................................................................................. 29 Figura 14: PI para 30 días ................................................................................ 29 Figura 15: PI para 30 días con SS=55 ............................................................. 30 Figura 16: Sistema de revisión continua .......................................................... 32 Figura 17: Sistemas de revisión periódica ........................................................ 34 Figura 18: Sistemas mixtos .............................................................................. 36 Figura 19: Modelo de cantidad fija de pedido ................................................... 48 Figura 20: Modelo de cantidad fija de pedido con simultaneidad en el consumo y el reaprovisionamiento .................................................................................. 49 Figura 21: Modelo básico de período fijo ......................................................... 50 Figura 22: Modelo básico de cantidad fija de pedido con demanda aleatoria y tiempo de suministro constante ........................................................................ 52 Figura 23: Esquema básico control predictivo .................................................. 61 Figura 24: Simulación con lambda=gamma=1 ................................................. 64 Figura 25: Simulación con retraso del proveedor en la entrega ....................... 65 Figura 26: Simulación con retraso de proveedor en la entrega y N=Nc=3 ....... 66 Figura 27: Simulación sintonizada con menor error en la salida ...................... 67 Figura 28: Simulación con incremento del 50% en la demanda ....................... 68 Figura 29: Simulación con incremento del 50% en la demanda y cambio en el stock de seguridad ........................................................................................... 69
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CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
1.1. Objetivos y motivación del Proyecto La gran cantidad de medicamentos necesarios para el correcto funcionamiento de un hospital supone un gran coste para la Administración.
La falta de instrumentos, criterios técnicos y la poca confiabilidad de las fuentes de información ocasionan problemas como:
- Constante escasez de medicamentos de uso común. - Sobrestock de medicamentos. - Abastecimiento desigual como consecuencia de la distribución no
acorde a las necesidades de cada prestador. - Prescripción ineficaz. - Forzosa adaptación a presupuestos limitados, lo cual origina el
abastecimiento de insumos que no concuerdan con las necesidades. - Supresión o distorsión de la demanda por la falta de atención con
medicamentos, lo cual aleja a la población de los establecimientos prestadores de salud.
Todos estos problemas dan lugar a sobrecostes los cuales se desean reducir en la medida de lo posible.
Las farmacias hospitalarias deben en todo momento suministrar al hospital de los medicamentos que vayan siendo necesarios. La cantidad de fármacos que puede manejar un hospital es muy elevada y variada.
Una medida conservadora y poco eficiente puede ser el mantener un volumen de stock alto en almacén de todos los medicamentos. Ello conlleva un alto coste de stock, espacio… teniendo que tener en cuenta la caducidad de ellos. En el otro extremo se sitúa la actitud de almacén nulo, donde a medida que se vayan necesitando se van solicitando a los laboratorios. Esta medida es imposible de aplicar dada la urgencia que supone aplicar algunos medicamentos en el instante en que se soliciten.
Nótese que se ha de contemplar los tiempos y costes de envío.
Este trabajo pretende dar una visión sobre técnicas de optimización aplicables a la farmacia hospitalaria.
Se ha hecho un estudio del arte sobre las técnicas de gestión de costes hospitalarios, así como para la estimación de demandas de medicamentos a lo largo del tiempo.
Adicionalmente, se han programado bajo el entorno Matlab controladores para mantener el stock en torno al stock de seguridad, satisfaciendo demandas y minimizando costes. Como se puede observar, la optimización dependerá de la importancia que se otorgue a cada uno de estos factores.
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1.2. Resumen del proyecto En capítulo 2 expone una revisión de los costes hospitalarios así como métodos para la reducción de estos. También se exponen técnicas para estimar la demanda futura de medicamentos.
En el capítulo 3 se describen, mostrando los resultados obtenidos para datos de un medicamento proporcionados por el Hospital Reina Sofía de Córdoba, técnicas tradicionales de cálculo de la demanda esperada, base para el cálculo del stock que se necesita mantener en almacén para un correcto funcionamiento del hospital.
El capítulo 4 muestra el uso de un controlador PID de forma que el stock siga a un stock de seguridad propuesto.
Tras hacer un barrido de las técnicas de optimización de costes y de los modelos de control de inventarios existentes, se propone en el capítulo 6 otra técnica de control para gestionar el stock de forma que no se produzcan rupturas: el controlador predictivo generalizado.
Por último en el capítulo 7 se muestran las conclusiones y líneas futuras de trabajo.
De forma gráfica la estructura del proyecto es la que sigue:
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Figura 1: Esquema del Proyecto
CONTROL DEL STOCK DE FÁRMACOS EN FARMACIA
HOSPITALARIA
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 2: REVISIÓN DE COSTES Y SU GESTIÓN
Costes Almacenamiento, pedido, adquisición y ruptura
GestiónABC, VEN, LIFO, FIFO, Coste
Medio, Coste Estándar, Coste de Reposición, Costes Reales,
Coste de Valor Añadido
CAPÍTULO 3: ESTIMACIÓN DE DEMANDA
Introducción
Métodos
Media Simple, Media Móvil, Media Móvil Ponderada, Random Walk, Suavizado
Exponencial.
CAPÍTULO 4: CONTROLADOR PID
Diagrama bloques
Sintonización
CAPÍTULO 5: MODELADO DEL SISTEMA
Gestión Determinista
Modelos Estáticos
Modelos Dinámicos
Gestión no Determinista
Revisión Continua
Revisión Periódica
CAPÍTULO 6: CONTROLADOR GPC
Introducción
Modelo
Función de Coste
Trayectoria de referencia
Restricciones
Aplicación
CAPÍTULO 7: CONCLUSIONES
CAPÍTULO 8: BIBLIOGRAFÍA
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CAPÍTULO 2: REVISIÓN DE COSTES HOSPITALARIOS Y SU GESTIÓN
2.1. Los costes hospitalarios Los costes a los que se debe hacer frente para un correcto funcionamiento de un almacén hospitalario se pueden clasificar como:
2.1.1. COSTES DE ALMACENAMIENTO: Estos costes incluyen todos los gastos directamente relacionadas con la titularidad de los productos almacenados tales como:
1. Gastos financieros de las existencias. 2. Gastos de almacén. 3. Seguros. 4. Deterioros y pérdidas.
La inversión en inventarios lleva asociado un capital inmovilizado no sólo en stocks, sino en espacio, edificios, equipos, etc., necesarios para asegurar un correcto almacenamiento y manipulación.
Otro grupo de costes derivados del almacenamiento incluye impuestos, seguros sobre los materiales y edificios, personal, depreciación, energía, deterioro, pérdida y robo, etc. Se presenta a continuación una clasificación general de estos costos:
A. Costes directos de almacenaje:
o Costes fijos: Personal. Vigilancia y seguridad. Cargas fiscales. Mantenimiento de almacén. Alquileres. Amortización almacén. Amortización de estanterías y equipos de
almacenamiento. Gastos financieros de almacenamiento.
o Costes variables:
Energía. Agua. Mantenimiento de estanterías. Materiales de reposición. Reparaciones. Deterioros y pérdidas de productos almacenados. Gastos financieros de almacenamiento.
B. Costes directos de mantenimiento de stocks:
o Costes fijos:
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Personal. Seguros. Amortización equipos de manutención. Amortización equipos informáticos. Gastos financieros de almacenamiento.
o Costes variables:
Energía. Mantenimiento equipos de almacenamiento. Mantenimiento equipos informáticos. Reparación equipos de almacenamiento. Comunicaciones.
C. Costes indirectos de almacenamiento:
De administración y estructura. De formación y del personal.
2.1.2. COSTES DE LANZAMIENTO DE PEDIDO: Incluye todos los costes derivados de la realización del pedido. Estos costes son independientes de la cantidad comprada y están únicamente relacionados con el hecho de lanzar el pedido. Sus componentes son:
A. Costes implícitos de pedido: Costes de conseguir “lugar” en el almacén, costes de transporte, costes de supervisión y seguimiento de la necesidad de lanzar un pedido.
B. Costes Administrativos vinculados al circuito de pedido.
C. Costes de Recepción e Inspección.
2.1.3. COSTES DE ADQUISICIÓN: Es la cantidad total invertida en la compra. Se deben tener en cuenta los posibles descuentos por cantidad que a veces ofrecen los proveedores y que harán que en algunas ocasiones exista una componente evitable de este tipo de costes.
2.1.4. COSTES DE RUPTURA DE STOCK: Costes que provoca el agotamiento de existencias y dependen de las consecuencias de la ruptura. Son consecuencia de una mala gestión de stock. Puede producir los siguientes perjuicios:
A. Pérdida de continuidad de un tratamiento.
B. Abastecimientos de medicamentos de mayor precio (mayorista, oficina de farmacia).
C. Gastos administrativos.
Este tipo de costes es el de más difícil evaluación.
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Una buena herramienta de control, permitirá reducir ampliamente estos costes debido al hecho de que se evitará realizar pedidos y por tanto almacenar productos innecesarios. Esta herramienta será capaz de pronosticar, cuándo, qué y cuánto pedir.
2.2. Métodos de reducción de costes Existen métodos de valoración de stocks de gran utilidad a la hora de reducir los costes como son:
2.2.1. MÉTODO ABC Este método se basa en el hecho de que unos pocos productos normalmente corresponden a la mayor parte del valor del inventario total.
Mediante este método se divide el inventario en tres grandes grupos usando como criterio el valor anual de los artículos, de forma que:
- Grupo A: un pequeño porcentaje de artículos, en torno al 10-20%, representa un elevado valor de porcentaje acumulado del valor anual, sobre un 50-70%. Cuando se trata de este tipo de productos, se debe controlar su stock detalladamente, reducir todo lo posible las existencias y minimizar el stock de seguridad.
- Grupo B: un porcentaje intermedio de productos (20-30%) está asociado a un valor porcentual también intermedio (20-30%). Se debe mantener un sistema de control de stock aunque mucho menos estricto que en el caso anterior. No es fácil la tarea de fijar políticas de compra para estos artículos, ya que se encuentran en el centro de los extremos. Por lo tanto, deberán fundamentarse en relación a la importancia relativa de los artículos. Así, las políticas más adecuadas quedarán determinadas de la siguiente forma:
1. Si los artículos de clase B, representan solamente un 20% del consumo total, las políticas descritas relativas a la clase C, serán las más adecuadas.
2. Pero si representan un 40% del consumo total, deberán adoptarse las políticas recomendadas para la clase A, pero aplicando controles menos estrictos.
3. En resumen, el factor más importante a tener en cuenta, lo constituye la importancia que tienen los artículos de la clase B respecto del inventario total.
- Grupo C: un porcentaje elevado de artículos (50-70%) representa un reducido porcentaje del valor anual acumulado.
Para determinar la importancia de cada artículo, se clasifican los inventarios de la siguiente forma:
- Para cada artículo, se determina la cantidad de unidades consumidas promedio, durante un período de tiempo determinado, y el precio promedio y se multiplican dichos valores.
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- Ordenar los artículos en orden descendente según los valores hallados tras haber realizado la operación anterior.
- Obtener el porcentaje representado por cada artículo respecto al total de artículos.
- Calcular el porcentaje acumulado de cada artículo. - Hasta el 80%, representarán los artículos de clase A, del 80 al 95%
representarán los artículos de clase B y del 95 al 100% será artículos de clase C.
La representación gráfica vendría a ser la siguiente:
Figura 2: Método ABC
2.2.2. CLASIFICACIÓN VEN De acuerdo con su repercusión sobre la salud, este sistema clasifica los medicamentos como:
- Vitales: Constituyen el grupo de medicamentos indispensables. Su carencia o existencia parcial puede ocasionar graves consecuencias, puesto que se compromete la vida del paciente o en el caso de una enfermedad grave, su recaída.
- Esenciales: Medicamentos requeridos para tratar enfermedades frecuentes. Su urgencia es menor a las anteriores y la gravedad de las patologías es también menor.
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- No esenciales: como su propio nombre indica, su ausencia no origina un agravamiento de los problemas de salud, su cronicidad, acción incapacitante o limitante.
2.2.3. MÉTODO FIFO El método FIFO (First In First Out) es un método de valoración de existencias en el que se asume que los primeros productos en entrar en el almacén son los primeros en salir de él. Este criterio es muy lógico y responde al movimiento real de un almacén de productos perecederos y con una fecha de caducidad relajada en el envase.
2.2.4. MÉTODO LIFO El método LIFO (Last In First Out) es un método de valoración de existencias que asume que los últimos productos en entrar en el almacén son los primeros en salir de él. Su uso se basa en el principio de que los precios de los productos suben continuamente en el tiempo debido a la inflación. Mediante este método se consigue reducir el pago de impuestos.
2.2.5. SISTEMAS DE COSTE MEDIO La valoración de stocks según este método calcula el coste del stock como un promedio de los costes de adquisición de distintos lotes. El promedio puede ser tanto ponderado como no ponderado.
2.2.6. SISTEMAS DE COSTE ESTÁNDAR Este método establece un coste estándar para el producto, independiente de la valoración de las compras. Este coste estándar puede ser tanto un coste histórico como un coste previsto.
2.2.7. SISTEMAS DE COSTE DE REPOSICIÓN Mediante este sistema el stock se valora atendiendo al coste que supondría reponer el producto. Se fija por tanto en el coste de reposición del producto.
2.2.8. SISTEMAS DE COSTES REALES Para este sistema es necesario mantener un seguimiento pormenorizado de qué productos se han comprado y qué productos han salido del almacén, y a qué precio. Si esta información se mantiene se puede calcular el valor efectivo del producto almacenado.
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2.2.9. SISTEMAS DE COSTE DE VALOR AÑADIDO Los sistemas de Valor Añadido se utilizan para abordar algunos problemas especiales que aparecen cuando lo almacenado ha sido procesado de algún modo, es decir, intentan reflejar los costes de procesamiento y los gastos generados.
Estas formas de clasificar los medicamentos pueden ser de gran ayuda, sobre todo a la hora de establecer el stock de seguridad.
Si bien, el factor que ayudará de forma más clara a la reducción de los costes es la estimación de la demanda futura. Se describen a continuación distintas técnicas simples para ello haciendo uso de los datos suministrados por el Hospital Reina Sofía como se apuntó anteriormente.
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CAPÍTULO 3: INTRODUCCIÓN A LA DEMANDA
3.1. Introducción A la hora de conocer el stock que se debe mantener en el almacén es crítico conocer con que demanda nos vamos a encontrar en el futuro. Es decir, el factor clave para la estimación del stock necesario es el conocimiento de la demanda futura. La demanda futura es imposible de calcular pero sí es posible realizar estimaciones en base a datos históricos.
A partir del cálculo de la demanda media, del riesgo de ruptura y del consecuente nivel de servicio, se puede establecer un stock que nos permita cubrir la demanda, de todas formas, es claro que la demanda es una variable aleatoria de la que se puede llegar a tener mucho desconocimiento en la mayoría de las ocasiones, por tanto, estos datos, sólo serán útiles a la hora de establecer un stock de seguridad. El cálculo del riesgo de ruptura y del nivel de servicio a partir de la demanda media se realizaría de la siguiente forma:
servicioNivelrupturaRiesgototalFrecuencia
acumuladaFrecuenciaservicioNivel
acumuladaFrecuenciaDemandaFrecuenciamediaDemanda
_100_
100*)_
_(_
)_
(*_
−=
=
=
En estas fórmulas se refiere a frecuencia como la frecuencia de aparición de las distintas demandas. Es claro, que para tener un riesgo de ruptura nulo, o un nivel de servicio del 100%, sería necesario que se hubiera mantenido en almacén un stock igual a la demanda máxima que apareció en el período del cual contamos con datos, lo cual no garantiza que en el período siguiente, con este stock calculado, podamos cubrir la demanda.
En muchas ocasiones, sobre todo cuando no es crítico que existan existencias en almacén, se recurre a cálculos sencillos para estimar la demanda futura como son el cálculo de la media para el período del cual contamos con datos históricos, el suavizado exponencial o métodos más complejos como es el caso del Método Multiplicativo de Holt-Winters o el método de Box Jenkins que tienen en cuenta la tendencia, la estacionalidad y la aleatoriedad de la muestra de datos con la que contamos.
Estos métodos pueden ser útiles a la hora de establecer un stock de seguridad para cada medicamento, si bien, existen otros muchos factores que influyen en la elección de este stock de seguridad como son los diferentes costes y el hecho de que pueda ser sustituido por otro medicamento, para lo que es necesario un gran conocimiento del uso del medicamento en cuestión y de su urgencia.
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3.2. Métodos simples de estimación de la demanda esperada Como se apuntó anteriormente, el factor más determinante para la reducción de los costes de inventario es el conocimiento de la demanda futura. A continuación se presentan métodos muy simples de estimación de la demanda esperada en los que únicamente se tiene en cuenta el consumo anterior y no se tienen en cuenta los costes, los tiempos de suministros…. Estos métodos, se utilizan frecuentemente en ocasiones donde no es tan importante la existencia de stock en almacén, es decir, se podrían usar en este caso para medicamentos que no sean de vital importancia o puedan ser sustituidos por otros.
3.2.1. MEDIA SIMPLE En este método todas las demandas tienen el mismo peso relativo. Se calcula como:
P = (d1 + d2 + ..... + dk)/ k
Donde, di, i=1 hasta k, es la demanda de todos los períodos anteriores y k= número de períodos.
Para nuestro caso concreto, este método nos proporciona un valor de 12 unidades. Si representamos mediante gráfico los datos de demanda de dicho medicamento (en azul) y el stock a mantener (en rojo) obtenido mediante este método obtenemos:
Figura 3: Aplicación media simple
Este gráfico representa en el eje de abscisas la cantidad demandada del medicamento y en el eje de ordenadas los días.
Como se puede observar si mantenemos en almacén la cantidad recomendada por este método para estos datos de demanda, se producirían numerosas rupturas.
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Dem
anda
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Aunque pudiera resultar inútil, este método puede ser utilizado en ocasiones en que un medicamento pueda ser sustituido por otros muchos en cuyo caso el hecho de contar siempre con un stock elevado de dicho medicamento puede no ser la mejor opción desde el punto de vista económico tanto más cuando se trate de medicamentos perecederos.
3.2.2. MEDIA MÓVIL
En este caso el promedio se “mueve” en el tiempo en el sentido de que, al transcurrir un período, la demanda del período más antiguo se descarta y se agrega la demanda para el periodo más reciente. Se calcula mediante la fórmula:
MMS = ΣDt / n
En donde, Dt es la demanda de cada uno de los n períodos anteriores y “t” va desde 1 hasta “n” períodos.
Hay que prestar especial atención a la elección del número “n”.
Este método se puede utilizar cuando la demanda no presenta tendencia ni estacionalidad.
Las limitaciones de este método son:
Es un método válido sólo a corto plazo. La adaptación de la previsión a variaciones eventuales es lenta. Una variación brusca de la ley (en forma de escalón o rampa) puede
tener una respuesta tardía por parte de la previsión. A todos los valores históricos se les da el mismo peso.
Si hacemos la representación gráfica de este método para los primeros 20 días el resultado es el que sigue:
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Figura 4: Aplicación media móvil
Al igual que en el caso anterior, en este gráfico se representa en el eje de abscisas la cantidad demandada de dicho medicamento y en el eje de ordenadas los días. En color azul se representa la demanda diaria y en color rojo la demanda que se prevé mediante este método.
Mediante este método también se producirían numerosas rupturas si el resultado de la media móvil de los períodos anteriores da lugar a un valor menor que la cantidad real necesaria para el período actual. Del mismo modo, se almacenaría una cantidad elevada en caso en que el resultado de la aplicación de la media móvil de los períodos anteriores da lugar a un valor mayor que la cantidad real necesaria para el período actual.
3.2.3. MEDIA MÓVIL PONDERADA Se aplica cuando no se quiere que todos los “n” períodos tengan la misma importancia en la previsión. La ecuación viene dada por:
MMP = Σ Ct * Dt 0 <= Ct <= 1
Se tiene que escoger con mucho criterio los valores de los coeficientes pues de ellos depende el éxito del modelo. Y éste es por tanto, un gran inconveniente pues dicha elección es bastante compleja.
Las ventajas e inconvenientes de este método son similares a los de los caso anteriores.
3.2.4. MÉTODO DE RANDOM WALK O PASEO ALEATORIO Este método es muy sencillo tanto de aplicación como de concepto ya que supone que la demanda prevista para el siguiente período será igual a la demanda del último período, por tanto, el stock a mantener en almacén será
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Dem
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igual a la demanda del período anterior. Este método daría lugar al siguiente gráfico:
Figura 5: Aplicación método Random Walk
En el eje de ordenadas se representa la demanda del medicamento en cuestión y en el eje de abscisas los días. Como se observa cuando se origina una demanda se cuenta en almacén con una cantidad de medicamento igual a la cantidad demandada en el período anterior. Si nos basamos en este método para el cálculo del stock necesario y el día pasado la demanda fue menor que la demanda actual se producirá una ruptura de stock. Por otro lado, si la demanda si la demanda fue mayor tendremos un sobrecoste en cuanto al almacenamiento de dicho medicamento al igual que ocurría en los métodos anteriores.
3.2.5. SUAVIZADO EXPONENCIAL Mediante este método, la previsión de la demanda se determina, a partir de la expresión:
ttt DaaDD ˆ)1(ˆ1 −+=+
donde:
a = Constante prefijada y que varía entre 0 y 1.
Según este método, la predicción de la demanda en el período t+1 es una suma ponderada de la última observación y de la previsión anterior. Si en la expresión anterior se sustituye D̂ t por:
11ˆ)1(ˆ
−− −+= ttt DaaDD
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Cant
idad
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Se obtiene:
22
11ˆ)1()1(ˆ
−−+ −+−+= tttt DaDaaaDD
Y si se repite este proceso indefinidamente se llega a una expresión en la que la predicción en t+1 es una suma ponderada de las observaciones llevadas a cabo en períodos anteriores:
...)1()1()1(ˆ3
32
211 +−+−+−+= −−−+ ttttt DaaDaaDaaaDD
En dicha expresión, se aprecia como las observaciones más próximas a t+1 tienen mayor ponderación y ésta disminuye cuando se distancian las observaciones con respecto al momento para el que se realiza la predicción.
La característica más importante de este método es que en vez de conceder igual importancia a todas las observaciones, se da mayor ponderación a las más recientes. Un inconveniente es la necesidad de tener que elegir la constante “a”. Si se eligen valores altos de “a” las predicciones incluirán rápidamente los cambios que se produzcan, mientras que para valores de “a” pequeños la respuesta será más lenta. Si se dispone de datos históricos se puede elegir “a” de forma que se minimice el valor de MCE (Media del Cuadrado del Error). La Media del Cuadrado del Error se calcula como:
n
rMCE
n
tt∑
== 1
2
Por lo tanto, es necesario ir realizando dos cálculos simultáneos, por un lado el cálculo de la media del cuadrado del error (MCE) que nos permite elegir el valor de la constante a y por otro el cálculo de la estimación de la demanda con este valor de la constante a. Este tipo de método, al igual que los anteriores, se puede utilizar cuando la demanda no presenta tendencia ni estacionalidad observables, y se considera que la demanda es estable, pero se desconoce el valor del nivel. En caso de aplicar este método a los datos de demanda del medicamento y utilizando un valor de 0.7 para el factor a, el resultado se muestra en el gráfico siguiente:
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Figura 6: Aplicación alisado exponencial
3.2.6. MODELO MULTIPLICATIVO DE HOLT-WINTERS Este método considera, como se apuntó anteriormente, los tres factores que influyen en el cálculo de la demanda esperada: porción constante, tendencia y estacionalidad. El modelo parte de lo siguiente: dt = ( a + bt) ct + εt donde los parámetros son:
a= porción constante
b= pendiente de la componente de tendencia
ct= factor estacional para el período t
εt= aleatoriedad no controlable
El procedimiento para llegar a los pronósticos consiste, en términos generales, en estimar los parámetros del modelo y usarlos para generar el pronóstico. De esta forma, la componente constante se estima en forma independiente de la tendencia y los factores estacionales, por lo que se llama constante no estacional. Del mismo modo, el factor de tendencia debe ser independiente de los factores estacionales. Los factores estacionales se pueden ver como un porcentaje de las componentes constante y de tendencia para el período t.
Si la demanda en un período dado de una estación es menor que la componente de tendencia constante, el factor estacional será mayor que uno y, si la demanda es mayor, será mayor que uno. El número de factores estacionales debe ser igual al número de estaciones al año. Para pronosticar, se obtienen estimaciones iniciales de las componentes del modelo y se actualizan utilizando suavizado exponencial.
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Se exponen a continuación las variables y el procedimiento de utilización de dicho método.
Variables:
dt = demanda en el periodo t M = número de estaciones o meses en el año P = número de periodos de datos disponibles; P= mM, donde m es el número de años completos de datos disponibles Kt = estimación para el término constante a calculado en el periodo t Tt = estimación del término de tendencia b calculada en el periodo t
Et= estimación de la componente estacional para el período t
Procedimiento:
Teniendo en cuenta las variables anteriormente mencionadas, la ecuación anterior se convierte en:
dt = (Kt + Tt) Et + εt
Entonces los pasos serán los siguientes:
1.- Calcular del valor inicial de kt (término constante “a” calculado en el periodo t). Una estimación natural es el promedio global (D) de los datos de una o más estaciones completas. (No debe usarse una parte de una estación: si se usa sólo los primeros 9 datos de un conjunto de 12, puede obtenerse una mala estimación, porque una demanda mayor o menor en el primer trimestre no refleja la demanda promedio). El promedio de uno o más años históricos completos nos proporciona una estimación inicial de “a”. Este promedio incluye la demanda más baja del principio, lo mismo que la demanda más alta del final de los datos históricos. Cuando hay tendencia, la porción constante del proceso en el tiempo T debe corregirse. Por lo tanto para calcular kt, la estimación de a, se necesita Tt, la estimación de “b”.
1.1 Calcular el valor de Tt (término de tendencia “b” calculada en el período t)
Se requieren al menos dos años completos de datos para calcular Tt; con menos datos no se verá la diferencia entre la tendencia y la componente estacional. Para ello se calcula la demanda promedio para cada uno de los dos últimos años y se resta el promedio del más antiguo del promedio del más reciente. El resultado es el crecimiento en los dos años, que debe convertirse en un crecimiento estacional dividiendo entre M, el número de estaciones por año.
Entonces para obtener el crecimiento por período se tiene:
Tt = (d2-d1)/M
El promedio global se obtiene:
21
∑=
=P
tdt
PD
1
1
Ahora ya se puede estimar el valor del término constante:
TtPDkt2
)1( −+=
2.- Estimación de la componente o factor estacional para el período t, Et.
Una vez que se tiene kt y Tt, una estimación del factor estacional parecería ser la demanda en el período dividida entre el término constante. Sin embargo, debe corregirse por la parte de tendencia de la constante.
La estimación para la porción constante, kt, se calculó de manera que reflejara el proceso en el tiempo T. Intuitivamente la porción constante del proceso en P-1 debe ser más pequeño en Tt, y más pequeño en 2Tt en P-2. En general una estimación de la porción constante del proceso para el período t (t<P) es la estimación de la constante períodos, esto es Kt-Tt*(P-t). Una vez hecho el ajuste por tendencia, se puede dividir la demanda real entre este valor ajustado, para obtener una estimación del factor estacional. Se calculan los factores estacionales usando la fórmula:
Et = dt / Kt – Tt (P-l)
Luego se promedian los factores estacionales para la misma estación de cada año para eliminar el ruido; el resultado es el promedio “pt”.
3.- Normalización de factores estacionales.
Los factores estacionales, sin embargo, no necesariamente suman M. Para normalizarlos primero se determina R, que es el cociente de dividir la duración de la estación entre la suma de los factores estacionales:
∑+−=
=P
IMPtEtMR /
Esta razón se multiplica por los factores estacionales que se tienen para obtener nuevos factores:
Nt= RxEt t = P- M+l, P- M+2,.....,P
El número de nuevos factores siempre es el mismo que los períodos en la estación.
3.- Cálculo del pronóstico.
Con estos factores se calcula el pronóstico aplicando la fórmula siguiente:
Pron= (kt*t*Tt)*Nt
22
Donde N es el factor estacional normalizado.
3.2.7. MODELO DE BOX-JENKINS Es una metodología que se utiliza ampliamente para obtener el proceso ARIMA más apropiado. Se centra principalmente en determinar cuál es el modelo probabilístico que mejor rige el comportamiento de la serie de datos.
Un proceso ARIMA es un modelo matemático que se usa para pronosticar valores. La simplicidad de los modelos ARIMA, por tratarse de una suma lineal de términos, supone una gran ventaja frente a otros modelos tradicionales. Asimismo, existe amplia variedad de procesos ARIMA, por lo que generalmente es posible encontrar un proceso que se ajuste adecuadamente a la serie temporal en cuestión. El esquema general del modelo ARIMA es el siguiente:
qtqttptptt bbXaXaX −−−− ++++++= εεε ...... 1111
Donde el acrónimo ARIMA proviene de los procesos que combinan: p términos de un proceso autorregresivo (AR) y q términos de un proceso de medias móviles. El autorregresivo modela la influencia de los valores Xt-p anteriores a Xt. Por otro lado, el proceso de medias móviles modela la influencia del ruido E en valores anteriores de la serie. La letra I se corresponde con el proceso de integración que reestablece, una vez ha sido determinado el modelo y los coeficientes del mismo, las características originales de la serie temporal. Esta integración hace referencia a la diferenciación que se realiza en la primera etapa de la metodología de Box-Jenkins que se mostrará más adelante. La metodología de Box-Jenkins conlleva un proceso iterativo que permite reflexionar acerca de los datos de la serie temporal y encontrar un modelo que se ajuste adecuadamente. La metodología constaba inicialmente de tres etapas: selección del modelo, estimación de los parámetros y validación del modelo. Estudios posteriores añadieron una etapa preliminar de preparación de los datos y una etapa final de aplicación del modelo en el pronóstico de valores de la serie temporal. A continuación se describe el proceso iterativo: 1.- Preparación de los datos: se trata de comprobar que la serie temporal a estudiar sea estacionaria y, en caso contrario, transformarla y diferenciarla para que lo sea. Las transformaciones consisten en la aplicación de raíces cuadradas y logaritmos neperianos a los datos de tal modo que la varianza de la serie se estabilice (sea estacionaria) ante cambios de nivel de las series. La diferenciación consiste en filtrar la tendencia (esto es, el cambio a largo plazo de la media de la serie) para el período de observación dado, mediante la aplicación de diferencias entre valores contiguos (diferenciación de primer orden) o entre diferencias (diferenciación de orden n), de tal modo que la media de la serie se estabilice (sea estacionaria); generalmente basta con llegar a una diferenciación de orden 2 para la serie se estabilice. 2.- Selección del modelo: el estudio de regularidades en la serie, para poder identificar el modelo ARIMA que mejor se ajuste a la estacionalidad de la misma, se realiza a partir de las funciones de autocorrelación simple y parcial, y se compara su forma con unos patrones gráficos, eligiendo el modelo que más se acerque a unos de dichos patrones.
23
La función de autocorrelación mide la correlación entre los valores de la serie distanciados por un período de tiempo r. Es decir, dada la serie temporal [x1,x2,…,xn], se puede obtener el coeficiente de correlación de las parejas de datos (xi,xk), tal que la diferencia de k-i es igual a r, el cual se denomina coeficiente de autocorrelación de orden r. De este modo, en caso de existir estacionalidad en la serie temporal, se observará una correlación entre los valores separados entre sí por los períodos estacionales ri existentes (el coeficiente de autocorrelación en dichos casos será muy distinto a cero). La función de autocorrelación parcial proporciona la correlación entre parejas de valores separados un período de tiempo r, pero habiendo eliminado el efecto debido a la correlación producida por retardos anteriores a r. 3.- Estimación de los parámetros: consiste en la obtención de los parámetros y coeficientes con el modelo seleccionado en la etapa anterior de la metodología. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste a la serie temporal fuese un autorregresivo de orden 1, se trataría de calcular la pendiente A1 y la constante c de la ecuación anterior. 4.- Validación del modelo: consiste en analizar los residuos resultantes del modelo (diferencia entre el valor real observado y el valor que arroja el modelo) con el fin de verificar que el modelo se ajusta adecuadamente a la serie temporal. Por ejemplo, en el caso de que el modelo que mejor se ajuste a la serie temporal fuese un autorregresivo, sería necesario aplicar un contraste de normalidad a los residuos para comprobar que efectivamente se trata de un ruido blanco. 5.- Aplicación del modelo: ser recurre a la simulación computacional para pronosticar valores futuros de la serie temporal, una vez se ha deshecho la transformación y diferenciación inicial para desestabilizar la serie.
24
CAPÍTULO 4: CONTROLADOR PID APLICADO AL CONTROL DE STOCK EN FARMACIA HOSPITALARIA
4.1. Introducción La Farmacia Hospitalaria de un medicamento se puede modelar como un sistema destacando las siguientes variables:
- Entrada: Demanda - Salida: Stock - Parámetro: Stock de seguridad
Este capítulo implementa en la herramienta Simulink de Matlab un controlador convencional PID para el control del stock de un medicamento.
Este sistema se puede escribir en forma matemática como:
Stock(t+1)=Stock(t)-Demanda(t)+Pedidos(t+td)
siendo td el retraso de los proveedores.
Figura 7: Diagrama de bloques PID
Como se observa en el diagrama, se considera que la función de transferencia que modela el sistema es simplemente un tiempo muerto y una ganancia que se ha tomado unitaria pues representa el efecto de los pedidos sobre el inventario. El hecho de modelar el sistema con un simple tiempo muerto supone un gran error dado que no tiene en cuenta las posibles pérdidas y deterioros, la capacidad máxima del almacén, el lote más económicamente
25
rentable que podemos pedir al proveedor, etc. Sin embargo nos puede servir para comparar de forma somera ambos controladores.
Antes de proceder a la sintonización del PID, se adjunta a continuación la respuesta del sistema con el PID sin sintonizar:
Figura 8: Sistema sin controlar
4.2. Sintonización PID En este apartado se procede a sintonizar mediante Ziegler-Nichols el controlador utilizado para modelar nuestro sistema.
En primer lugar, el controlador proporcionado por Simulink es un controlador PI cuyos parámetros son:
P: 0.06769
I: 0.58998
D: 0
Podemos observar el compartimiento de este controlador en el siguiente gráfico:
0 20 40 60 80 100 120 140-1000
-500
0
500
1000
1500
26
Figura 9: Situación inicial para todo el rango de datos
Se puede observar cómo se produciría alguna ruptura, suponiendo un stock de seguridad de 45 unidades y sin tener en cuenta la acción del controlador. Probamos entonces a implementar el PID suponiendo únicamente un período de 60 días:
Figura 10: Sintonización inicial PID 60 días
Como se puede observar en el gráfico, simulando 60 días, existen también algunas rupturas ya que el stock queda por debajo de la demanda en algunas ocasiones.
Para que esto no ocurra, probamos un aumento en el stock de seguridad, hasta 60 unidades de forma que el resultado es el que sigue:
0 20 40 60 80 100 120-20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tiempo (días)
Can
tidad
(uds
)
Stock de seguridadPedidos entrantesPedidos a realizarDemandaStock
27
Figura 11: PI con SS=60
Se observa también en este caso como, al final del período simulado se produciría una ruptura. Además, por supuesto, los costes serían mayores dado que la cantidad a mantener en almacén es mayor que en el caso anterior.
Si aumentamos aún más el stock de seguridad, el resultado es prácticamente el mismo como se puede observar en el siguiente gráfico:
Figura 12: PI con SS=65
Para un stock de seguridad de 55 unidades, el resultado es el que sigue:
0 10 20 30 40 50 60-20
0
20
40
60
80
100
Tiempo (Días)
Can
tidad
(Uds
)
Stock de SeguridadPedidos entrantesPedidos a realizarDemandaStock
0 10 20 30 40 50 60-20
0
20
40
60
80
100
Tiempo (Días)
Can
tidad
(Uds
)
Stock de SeguridadPedidos entrantesPedidos a realizarDemandaStock
28
Figura 13: PI con SS=55
Al igual que ocurría en el caso anterior, se producirían rupturas al final del período.
En las simulaciones anteriores se ha podido observar además que el stock queda a menudo por debajo del stock de seguridad lo cual debe ser evitado ya que dicho stock de seguridad se fija con ese objetivo.
Teniendo en cuenta un período de 30 días, el resultado sería:
Figura 14: PI para 30 días
Queda claro que en este caso, si se podría disminuir el stock de seguridad de forma considerable teniendo en cuenta estos datos, pero el número de rupturas aumentaría evidentemente puesto que estos datos de demanda no representan de forma fiable la realidad al ser demasiado escasos. Si se revisara el stock de
0 10 20 30 40 50 60-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tiempo (Días)
Can
tidad
(Uds
.)
Stock de SeguridadPedidos entrantesPedidos a realizarDemandaStock
0 5 10 15 20 25 30-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tiempo (Días)
Can
tidad
(Uds
.)
Stock de SeguridadPedidos entrantesPedidos a realizarDemandaTiempo
29
forma frecuente, con el consecuente incremento en el coste, si sería útil disminuir el stock de seguridad. Es decir, si vamos a revisar el inventario cada 30 días, en este caso, podríamos fijar un stock de seguridad de 30 unidades sin riesgo de ruptura.
Probamos distintos valores del stock de seguridad y llegamos a la conclusión que el stock mínimo en este caso, con el conjunto total de los datos con los que contamos, es de 55 unidades, tal y como se puede observar en la figura siguiente:
Figura 15: PI para 30 días con SS=55
Se podría probar con un controlador PID con una constante derivativa pequeña de forma que el tiempo de establecimiento y el sobrepico sean pequeños pero daría lugar a un gran ruido lo que se traduciría en un coste mayor de adquisición de los medicamentos.
Del mismo modo se podría pensar en hacer uso de un controlador anticipativo que sea capaz de compensar el tiempo muerto pero para ello es necesario contar con una representación de la evolución de la demanda lo suficientemente exacta. Si bien, se pueden usar modelos que representen la evolución de la demanda, estos nunca lo harán de forma exacta, debido a lo cual se desecha la opción del uso de un controlador anticipativo.
Como alternativa a estos problemas se opta por el uso de un Controlador Predictivo basado en Modelos que se expone a continuación. Este controlador tendrá en cuenta los costes en que se incurre en un sistema de control de inventarios para obtener como salida la cantidad más económicamente rentable a pedir.
0 5 10 15 20 25 30-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Tiempo (Días)
Can
tidad
(Uds
.)
Stock de SeguridadPedidos entrantessPedidos a realizarDemandaStock
30
CAPÍTULO 5: MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS
5.1. Introducción Se expondrán en este punto distintas formas de modelar el proceso que nos ocupa de control de inventarios con objeto de utilizar uno de ellos en el controlador predictivo generalizado expuesto en el Capítulo 6. No obstante, en primer lugar se hará un resumen de los distintos sistemas de gestión de stocks en el que se detallan los sistemas de revisión periódica, los sistemas de revisión continua y los sistemas mixtos o de mínimo-máximo.
5.2. Sistemas de gestión de stocks
5.2.1. INTRODUCCIÓN Existen tres preguntas básicas que es necesario responder para optimizar el control de stocks. Estas son:
- ¿Cuál debe ser el tamaño del lote a pedir?
- ¿Cuándo (frecuencia) deben realizarse dichos pedidos?
- ¿Con qué frecuencia debe comprobarse el nivel de stocks existente?
La respuesta a estas pregunta está basada en la determinación de los costes implicados lo cuales deben expresarse en función de la variable a determinar para poder obtenerla a partir de la minimización de la expresión del coste total. El modelo del caso real elaborado dependerá del conocimiento de la demanda. Si la demanda es conocida con exactitud, los costes serán más fácilmente calculables de forma que podremos obtener de forma sencilla el resultado que minimice el coste total. Si, por el contrario, lo que se conoce es la distribución de la demanda, se determinarán los costes esperados para cada posible decisión y se escogerá aquella que minimice el coste total esperado. Si además de tener incertidumbre en la demanda se tiene incertidumbre en el tiempo de suministro el problema se torna más complicado.
5.2.2. SISTEMAS DE REVISIÓN CONTINUA Estos sistemas consisten desde el punto de vista teórico, en realizar una revisión continua del nivel de stock para determinar cuándo debe realizarse un pedido. En artículos de alto movimiento la revisión es más costosa, sin embargo, en artículos de bajo movimiento aunque la revisión es menos costosa la información acerca de daños o pérdidas puede demorarse. Una de las características más importantes de este tipo de sistemas es que se requiere menor inventario de seguridad.
Un error muy típico cuando se utiliza este sistema es considerar el nivel de inventario como las existencias físicamente presentes en el momento de control, pues a éstas habrá que sumar las cantidades ya solicitadas y
31
pendientes de recibir, y restar los pedidos pendientes, es decir los pedidos solicitados que aún no han sido servidos.
De este modo, si denominamos, NI al nivel de inventarios, S a las existencias existentes físicamente en el momento de control, PR a los pedidos ya realizados y pendientes de recibir y PP a los pedidos pendientes de realizar, entonces, la ecuación que relaciona a estas variables es la que sigue:
PPRPENI −+= Una vez observado el nivel de inventarios, éste se compara con una cantidad previamente establecida y que se denomina punto de pedido, Pp y se emite un pedido de una cantidad constante cuando NI<Pp. Una vez transcurrido el tiempo de suministro, esta cantidad llegará a almacén.
Este sistema implica utilizar un modelo de cantidad fija de pedido, que veremos en un capítulo posterior, en el cual se determina el tamaño del lote óptimo a pedir que minimiza los costes.
Las principales características del modelo de revisión continua son:
- El tamaño del lote pedido no varía, el momento de solicitud del lote depende del punto de pedido R.
- Los intervalos de tiempo entre cada pedido son variables.
- Es un sistema ágil para detectar posibles faltantes en el inventario, dada su revisión continua.
- Debe proporcionar cobertura de la demanda sólo durante el tiempo de reaprovisionamiento.
- Generalmente requiere de un menor inventario de seguridad.
Figura 16: Sistema de revisión continua
32
Este tipo de política de revisión es muy adecuada para los casos en los cuales no es previsible determinar un período fijo entre cada pedido como es el caso de los artículos que presentan demandas muy variables.
La cantidad mínima que se debe mantener en inventario se corresponde con la cantidad necesaria para cubrir el período de abastecimiento.
Este tipo de sistemas está experimentando gran auge dado que cada vez es más sencillo lograr una buena comunicación entre el almacén y los proveedores.
El diagrama de flujos asociado a esta política de revisión es el que sigue:
No
Sí
5.2.3. SISTEMAS DE REVISIÓN PERIÓDICA En estos casos se verifica el nivel de inventario, en intervalos de tiempo fijo llamado “período de revisión”, y se realiza un pedido si el nivel de stock en almacén es inferior que un cierto nivel predeterminado. El tamaño del pedido es la cantidad requerida para aumentar el stock una cantidad predeterminada. En artículos de alto movimiento, la revisión es menos costosa por ser menos frecuente. Sin embargo, en artículos de bajo movimiento la revisión es más
Cálculo del lote económico
Cálculo del punto de pedido
Espera de llegada de inventario
Llegada de inventario
Cálculo del nivel de inventario
Se realiza pedido del tamaño del lote económico
¿Es NI≤Ppi?
33
costosa aunque existe un menor riesgo de falta de información acerca de pérdidas o daños. Requiere de un mayor inventario de seguridad. Se puede representar este sistema como sigue:
Figura 17: Sistemas de revisión periódica
Las características de este sistema de revisión son las siguientes:
- No tiene punto de pedido.
- Posee un nivel de inventario meta.
- El período entre pedidos es fijo.
- La cantidad a pedir es variable en la mayoría de las ocasiones.
- Proporciona cobertura de la demanda durante el tiempo del período más el tiempo de aprovisionamiento.
- No detecta con facilidad las faltas de inventario.
- Requiere de un mayor stock de seguridad.
Este tipo de política de revisión es muy adecuada para los casos en los cuales es previsible determinar un período fijo entre cada pedido como en el caso de artículos que presentan demanda constante.
Este caso se puede resumir mediante el siguiente diagrama:
34
Sí
No
5.2.4. SISTEMAS MIXTOS O DE MÍNIMO-MÁXIMO Uno de los problemas que presenta el sistema de revisión periódica es que, en el caso de que la demanda sea demasiado lenta, los pedidos emitidos serán muy pequeños y por tanto no serán muy económicos, además, con frecuencia serán incluso innecesarios, pues en el caso mencionado, el nivel medio de stock mantenido puede ser bastante elevado, lo cual constituye otra desventaja del sistema de revisión periódica. Para paliar estos problemas se utilizan métodos de revisión que combinan características de los métodos de revisión continua y de los métodos de revisión periódica. En estos sistemas, la revisión del nivel de stock se realiza cada vez que transcurre un tiempo fijo, al igual que en el sistema de revisión periódica, pero sólo se realiza un pedido si, en dicho instante, el nivel de stock es igual o inferior a un determinado nivel mínimo de stock.
Cálculo del tiempo óptimo entre pedidos, T*
Cálculo de NImax
Espera de llegada de inventario Llegada de inventario
Observar el nivel de inventario
Se realiza pedido Q=NImax-NI
¿Ha transcurrido T*?
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Figura 18: Sistemas mixtos
A continuación se expone el diagrama de flujo de este sistema:
Sí
No
No
Cálculo del tiempo óptimo entre pedidos, T*
Cálculo de NImax
Espera de llegada de inventario Llegada de inventario
Observar el nivel de inventario
Se realiza pedido Q=NImax-NI
¿Es NI≤NImax?
¿Ha transcurrido T*?
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5.3. MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS
5.3.1. INTRODUCCIÓN Podemos dividir los modelos de gestión de inventarios en dos grandes grupos, modelos estáticos y modelos dinámicos. En los modelos estáticos, la variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en los modelos dinámicos la variable tiempo es fundamental y de ella dependen las restantes variables, además, la variable tiempo se considera como una variable continua.
Si bien en el caso que nos ocupa la variable tiempo juega un papel fundamental, en este apartado serán desarrollados tanto los modelos estáticos como los dinámicos de los cuales elegiremos uno para la aplicación del controlador GPC desarrollado en el capítulo siguiente.
5.3.2. MODELOS ESTÁTICOS Estos modelos se pueden clasificar a su vez en dos grandes grupos, los modelos deterministas en los que todos los datos del problema se conocen con certeza y modelos en los no se conocen con certeza todos los datos del problema que son los que se denominan modelos no deterministas.
5.3.2.1. Modelos deterministas
A.- Modelo estático determinista de lote económico sin ruptura y con entrega inmediata. Los supuestos en que se fundamenta este modelo son los siguientes:
1.- El horizonte temporal que afecta a la gestión de stock es ilimitado.
2.- La demanda es continua, conocida y homogénea en el tiempo.
3.- El período de entrega es constante y conocido.
4.- No se aceptan rupturas de stock.
5.- El coste de adquisición es constante y no depende del tamaño del lote.
6.- La entrada del lote al sistema es instantánea una vez transcurrido el período de entrega.
7.- La demanda debe ser satisfecha siempre.
Bajo estas hipótesis, lo que resulta más económico es organizar los pedidos de manera que se produzca la entrada de un lote al sistema en el momento en que el nivel de stock sea nulo; por tanto las órdenes de emisión de los pedidos se han de realizar en instantes en que el nivel de stock sea el mínimo imprescindible para satisfacer la demanda durante el período de entrega.
Los datos de partida son:
d= tasa de demanda
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Cu=coste unitario de compra
Cp=coste de orden o pedido
Ca= coste de almacenamiento
Cr=coste de ruptura
l=plazo de entrega
Las variables son:
Qo=cantidad a pedir o tamaño del pedido
To=instante del pedido inicial o duración del ciclo o tiempo entre pedidos
La duración del ciclo vendrá dado por:
To=Q/d
El coste total del ciclo será la suma del coste de orden de pedido, el coste de compra y el coste de almacenamiento, estos es:
CT=Cp+Cu*Q+Ca(Q2/2d)
El coste total por unidad de tiempo, vendrá dado por la ecuación:
C(Q)= (Coste de ciclo/Tiempo de ciclo)=
= (dCp/Q)+Cud+(Ca*Q/2)
Derivando la ecuación anterior respecto de Q e igualando a cero, se obtiene el tamaño óptimo de pedido, que viene dado por la fórmula de Wilson:
CadCQ P2* =
El tiempo óptimo entre pedidos será: d
QT*
0* =
El costo mínimo será:
CaDCuCT ***2=
Si Q* debe ser un entero, se toman las siguientes decisiones:
- Valores grandes: redondear. - Valores pequeños: ajustar según la siguiente ecuación:
Q*(Q*-1)<2DCL/CP<Q*(Q*+1)
Resuelta la cuestión de la cantidad óptima a emitir, queda saber cuándo deberán realizarse las distintas emisiones. Ello se resuelve solicitando un pedido cuando las existencias en almacén alcancen el nivel correspondiente al denominado Punto de Pedido, PP. Dicho concepto suele definirse frecuentemente, como el nivel de inventario necesario para soportar la
38
demanda durante el tiempo de suministros, TS, cuando, en realidad, debería definirse en función de la demanda a cubrir hasta que llegue el próximo lote, lo cual no es lo mismo. Para que sea correcta la primera definición, es necesario que TS sea inferior al tiempo que existe entre la recepción de dos pedidos consecutivos. En caso contrario, si realizamos dicho cálculo mediante la formulación mencionada, el nivel de existencias resultante, sería superior al nivel máximo de stocks que puede producirse en realidad, por lo que, no se realizaría nunca un pedido. Para estos casos, es muy conveniente ver cuántos períodos de reaprovisionamiento están incluidos dentro del tiempo de suministro, para lo cual se haría el cociente TS/TR, donde TS es el tiempo de suministro y TR el tiempo de reaprovisionamiento. Si denominamos E[TS/TR] a la parte entera de dicho cociente, el intervalo de tiempo que hay que emplear en la formulación será igual a TS-E[TS/TR]TR, por lo que la expresión más general del punto de pedido en el tipo de modelo planteado será:
PP= (TS-E [TS/TR] TR) D/θ
siendo θ el horizonte temporal a considerar.
B.- Modelo estático determinista de lote económico, sin ruptura y sin entrega inmediata. En este caso, el plazo de espera (l) es mayo que cero. Para tomar la decisión de cuando realizar un pedido nos fijamos en la duración del ciclo.
o Si el plazo de entrega es inferior a la duración del ciclo, es decir, l<To, el pedido se realiza cuando el nivel de inventario sea l*d.
o Si el plazo de entrega es superior a la duración del ciclo, es decir, l>To, se calcula el plazo de entrega efectivo como: le=l-nTo, siendo le<To y por tanto el pedido se realiza cuando el nivel de inventario sea le*d.
C.-.Modelo estático determinista de lote económico, con ruptura y con entrega inmediata. En este modelo, se permite que el nivel de inventario sea nulo durante un cierto tiempo. Cuando se recibe el pedido, se satisface primero la demanda pendiente. El hecho de que el inventario pueda llegar a ser nulo, introduce en la función de costes, el coste de ruptura. Por tanto el coste total será:
CT=CuQ+Ca(s2/2d)+Cr(Q-S)2/2d
El coste total por unidad de tiempo es:
C(Q,S)=(dCp/Q)+Cud+CaS2/2Q+Cr(Q-S)2/2Q
En este caso, la solución óptima vendrá dada por las siguientes ecuaciones:
CaCrCaCrdCpQ )(2* +
= )(
2*
CaCrCadCpCrS
+=
39
La tasa de ruptura, r, viene dada por la ecuación:
CaCr
Crr+
=
Como se observa, si r~1, Cr es mucho mayor que Ca, y por tanto, casi no se permiten rupturas.
D.- Modelo estático determinista de lote económico, sin ruptura y con descuento por cantidad. En ocasiones, el precio del producto comprado varía con la cantidad. Si el coste de compra va a variar en función de la cantidad comprada, éste debe estar incluido en la fórmula de costes totales:
CT = Cp(D/Q)+kCu(Q/2)+DCu
Con una tarifa de esta naturaleza el coste de compra de cada unidad viene afectado por una rebaja, que depende de la cantidad Q pedida. De tal forma que:
0<Q<Q1 descuento nulo Q1≤Q<Q2 descuento r1 Q2≤Q<Q3 descuento r2 . . . . . . . . . . . . . . .
De este modo, la función de costes será una función definida por tramos con la siguiente expresión:
Cp(D/Q)+(kQ/2+D)Cu Qϵ]0;Q1[ Cp(D/Q)+(kQ/2+D)Cu(1-r1) Qϵ[Q1,Q2[ Cp(D/Q)+(kQ/2+D)Cu(1-r2) Qϵ[Q2,Q3[
En forma general, se puede escribir el costo unitario como:
C1 0≤Q≤q1
Cu(Q) C2 C1≤Q≤q2 (C1>C2>…Cm+1)
Cm+1 Q≥qm
El coste total por unidad de tiempo viene dado por:
Ci(Q)=dCp/Q+Cid+CaQ/2 i=1,…,m+1
40
El tamaño óptimo de pedido es:
CadCpY 2
=
Si qi-1<Y<qi, el valor óptimo Q* corresponde a:
min {Ci(Y), Ci+1(qi),…,Cm+1(qm)}
En el caso de que existan dos costes unitarios, se pueden dar tres situaciones:
1. q<Y ->-> Q*=Y 2. Y<q<Q’ ->-> Q*=q 3. q>Q’ ->-> Q*=Y
Siendo Q’ el valor correspondiente a C2(Q’)=C1(Y).
El procedimiento es el siguiente:
1.- Hallar el Q óptimo para cada descuento, según la fórmula de Wilson. 2.- Calcular el costo total para cada Q óptimo. 3.- La política óptima será la que tenga costo total mínimo.
E.- Modelo estático determinista de lote económico, sin ruptura y con varios artículos y límite de almacenamiento. El planteamiento general se describe con el siguiente conjunto de ecuaciones:
∑∑ ++=i
iiii
i
ip
iii QCadCu
QCd
QC )2
()(min
∑ ≤i
ii SQS
0≥iQ
Siendo Si el espacio unitario ocupado por el artículo i y S el espacio total disponible.
El procedimiento de cálculo, si las tasas de demanda son constantes para todos los artículos y el número de pedidos no puede superar un valor P, es el siguiente:
1.- Calcular λ óptimo, siendo λ la tasa de pedidos. Este cálculo se realiza mediante las siguientes fórmulas:
CadiDiCpQi
**2**2* λ−=
41
∑ =+− 0* PQidi
Siendo, la última ecuación, la que lleva implícito, la capacidad de almacenamiento. 2.- Una vez calculado, λ óptimo, se recalculan los valores de Qi*.
5.2.2.2. Modelos no deterministas En los modelos deterministas de inventarios se requiere que se conozca con certeza la demanda durante cualquier período, o que se pueda aplicar la aproximación a los modelos que cumplen con un coeficiente de variación pequeño. Pero en general, las demandas son de tipo probabilístico y dependen de cierta distribución, de esta forma se presentan a continuación los modelos de inventario probabilísticos más usados, llevando en cada caso una metodología de pasos para poder generalizar a diferentes tipos de distribuciones.
A.- Modelo estocástico de revisión continua Se distinguen, a su vez, entre dos modelos:
A.1.-. Modelo Probabilista:
Este modelo tiene las siguientes características:
- Refleja la naturaleza probabilística de la demanda:
1. Supone que la demanda xL durante el tiempo de entrega (efectivo) L sigue una distribución normal con media µL y desviación estándar σL.
2. Si la demanda por unidad de tiempo tiene media D y desviación típica σ
µL=DL σL2= σ2L
- Considera el nivel de servicio y el inventario de seguridad (SS).
- Se determina SS, tal que la probabilidad de agotamiento no exceda un valor predeterminado α
P(xL≥SS+ µL)≤α P(z≥SS/ σL)≤ α
- Nivel de servicio=1-Probabilidad de que se agoten las existencias (α). - Un nivel de servicio mayor produce un mayor inventario de seguridad.
1. Cuanto mayor sea el inventario de seguridad, mayor es el punto de pedido.
Los datos de partida para este modelo son los siguientes:
- L plazo de entrega (u.t) - Dl demanda aleatoria durante el plazo de entrega.
42
- f(d) función de densidad de la demanda aleatoria (con media μD) - cP coste de orden o pedido. - Ca coste de almacenamiento. - Cr coste de ruptura o carencia.
En este modelo los costes vienen caracterizados por:
- Coste de pedido por unidad de tiempo: cP (μD/Q) - Coste de inventario por unidad de tiempo: Ca(Q/2+R- μDl)
1. Inventario medio: semisuma de inventario al inicio y al final del ciclo.
2. Inventario inicial (Q+R- μDl), final (R- μDl). - Coste de ruptura por unidad de tiempo:
∫∞
−R
Dr dxxfRx
Qc )()(µ
1. Cantidad de producto faltante (si Dl>R) por ciclo
∫∞
−R
dxxfRx )()(
2. Producto faltante por unidad de tiempo
∫∞
−x
D dxxfRxQ
)()(µ
- Coste total esperado por unidad de tiempo:
∫∞
−+−++=R
DrDa
DP dxxfRx
QClRQC
QCRQC )()()
2(),( µ
µµ
Derivando este coste total e igualando a cero:
rDRa C
QCdxxfµ
*
*
)(∫∞
= a
RrPD
C
dxxfRxCCQ
∫∞
−+
=*
))()((2 *
*
µ
Para resolver este modelo se usa un proceso iterativo que converge si existe solución factible.
Un método es partir del menor valor de Q posible (número esperado de ruptura=0) y punto de pedido (R=0). Actualizar usando alternativamente las ecuaciones anteriores hasta que la diferencia entre dos puntos de pedido es menor que la tolerancia.
El algoritmo de resolución, denominado Algoritmo de Hadley-Whitin, es el siguiente:
1.- Solución inicial: a
pDi C
CQ
µ2= y R0=0
2.- Cálculo de Ri a partir de Qi
43
rDRa C
QCdxxfµ
*
*
)(∫∞
=
3.- Comparar criterio de parada <∈− −1ii RR
4.-Cáculo de Qi+1 a partir de Ri
a
RrPD
C
dxxfRxCCQ
∫∞
−+
=*
))()((2 *
*
µ
A.2.- Modelo Probabilizado o con stock de seguridad.
En este caso, es necesario introducir unos parámetros nuevos, que serán:
- l=plazo de entrega. - Dl=Demanda aleatoria durante el plazo de entrega (con media µl) - α=máxima probabilidad permitida de agotar existencias durante el plazo
de entrega.
Además, será necesario introducir ciertas variables que son:
- B=Stock de seguridad, es decir, nivel de inventario con el que la probabilidad de ruptura es < α.
- Se debe verificar, en este caso, que:
P{Di>B+µi}≤ α
Teniendo en cuenta estas consideraciones, el punto de pedido será: B+ µi
Un caso particular se da si la demanda sigue una distribución normal, es decir, Di~N(µi,σi), en cuyo caso,
P{Dl- µl>B}≤α; P{z>(B/σl)}≤α; (B/σl)≥zα; B≥zα σl
Si la demanda está expresada por unidad de tiempo con media d y desviación típica σ
dll =µ ll2σσ =
En este caso, la solución es similar al caso determinista, esto es:
CadCQ P2* =
dQT
*
0* =
44
B.- Modelo estocástico de revisión periódica
Una desventaja del modelo de revisión continua es que ocasiona un costo en tiempo y dinero, y mucho más cuando se trata de muchos artículos, es por esta razón que conviene utilizar una política de revisión periódica, la cual permita que en los inventarios se revisen ciertos puntos fijos en el tiempo, por ejemplo, una vez cada cuatro semanas y los pedidos se colocan en ese tiempo, si se requiere inventario.
En general se distinguen dos modelos, los modelos estocásticos de revisión periódica de un solo período y los modelos estocásticos de revisión periódica multiperíodo.
Los modelos estocásticos de revisión periódica de un solo período se caracterizan porque los pedidos se realizan una sóla vez en todo el período dividen a su vez en dos modelos:
- B.1. Modelos estocásticos de revisión periódica de un solo período
El pedido se realiza una vez en todo el período. Se utiliza fundamentalmente en productos estacionales que caducan al final de la estación. Los datos de partida para este modelo son:
1. D demanda aleatoria [unidades] 2. f(d) función de densidad 3. F(d) función de distribución 4. cp, ca, cu, cr costes de pedido, almacenamiento, compra y
ruptura 5. q0 inventario inicial [unidades]
Estos modelos se dividen a su vez en otros dos modelos, en función de que exista o no coste de pedido, teniendo:
Modelo de un solo período sin coste de pedido: Considera demanda instantánea al recibir un pedido. Se pueden dar dos situaciones:
Si se pide más que la demanda (D<Q) hay coste de almacenamiento.
Si se pide menos que la demanda (D>Q) hay coste de ruptura.
Por tanto el coste total esperado por ciclo viene dado por:
∫∫∞
−+−+−=Q
QdxxfQxCrdxxfxQCaqQCuQCE )()()()()()]([
00
Y la cantidad óptima será:
CaCrCuCrQDPQF
+−
=≤= )()( **
45
Y entonces, el pedido óptimo en unidades será Q*-q0.
La cantidad óptima para el caso de funciones discretas viene dado por:
)()1()1( *** QFCaCrCuCrQDPQF ≤
+−
≤−≤=−
Modelo de un solo período con coste de pedido: Los distintos costes vendrán dados por: Coste esperado por ciclo (€):
Cp+Cu(Q-q0)+L(Q) si Q>q0
C(Q)=
L(q0) si Q=q0
Coste esperado de almacenamiento y ruptura (€):
∫∫∞
−+−=Q
QdxxfQxCrdxxfxQCaQL )()()()()(
0
Para determinar la conveniencia o no de realizar un pedido, nos basamos en la siguiente fórmula:
Cp+Cu(Q-q0)+L(Q)≤L(q0)
Que reordenando queda:
Cp+CuQ+L(Q)≤Cuq0+L(q0)
La obtención de la función viene dado por la misma ecuación que en el caso de modelo de un solo período sin coste de pedido, es decir:
CaCrCuCrSF
+−
=)(
Entonces la política óptima de pedidos viene dada por:
S si q0<s (pedir S-q0)
Q*=
q0 si q0≥s (pedir 0)
46
5.3.3. MODELOS DINÁMICOS La característica principal que diferencia los modelos estáticos de los modelos dinámicos es que en estos últimos la variable tiempo juega un papel fundamental y de ella dependen las restantes variables del problema.
Por otro lado, si se trata de un modelo determinista, al igual que en el caso estático, la demanda diaria será continua y discreta, el coste de emisión del pedido será independiente del tamaño del lote y el coste de almacenamiento será proporcional a la cantidad almacenada y al tiempo en almacén. Sin embargo, si se trata de un modelo probabilista la demanda, por lo general, será variable siguiendo una determinada ley de probabilidad al igual que ocurre con el tiempo de suministro. Esto dará lugar a que si se trabaja con sus valores medios exista riesgo de ruptura de stocks y por lo tanto será necesario la creación de un stock de seguridad si se quiere limitar dicho riesgo. El valor que se elija para este stock de seguridad dependerá de la forma en que se mida la demanda máxima probable y el riesgo, con los costes que supone, de una ruptura de stocks. Estos costes deben ser comparados con los que supone mantener un stock adicional. Para estudiar de forma clara la ruptura sobre las diferentes políticas sería necesario poder asignar un coste a cada ruptura lo cual es bastante complicado. Debido a ello se suele recurrir a lo que se denomina nivel de servicio, NS y se compara los coste que este implica con el de otros niveles de servicio para escoger el que se considere más adecuado. Este nivel de servicio se puede medir de distintas maneras, por ejemplo:
- Cociente entre el número de períodos en los que no se produce ruptura y en número total de períodos considerados.
- Cociente entre el número de unidades servidas sin retraso y el número de unidades total demandadas.
También se puede hablar de riesgo de ruptura en lugar de nivel de servicio considerando que este riesgo de ruptura es el número de períodos en que se produce ruptura frente al número de períodos totales considerados o número de unidades servidas con retraso frente al número de unidades total solicitadas.
5.3.3.1. Modelos deterministas Los puntos clave en que se fundamentan estos modelos son los siguientes:
- La demanda diaria se considera continua y uniforme.
- El coste de emisión del pedido se considera independiente del tamaño del pedido.
- El coste de almacenamiento se considera proporcional a la cantidad almacenada y al tiempo en almacén.
Bajo estos supuestos se pueden identificar dos grandes grupos, los modelos de cantidad fija de pedido en los que el objetivo de cálculo es el lote óptimo a pedir y los modelos de período fijo en los que es el tiempo óptimo entre pedidos el objetivo de cálculo.
47
En los modelos de cantidad fija de pedido se supone que siempre se pide una misma cantidad Q* conocida como lote económico. Además, se considera que el pedido se realiza cuando el almacén alcance un determinado nivel de inventarios conocido como punto de pedido. En los modelos de período fijo la clave está en cuanto pedir ya que el tiempo entre pedidos está fijado.
Se desarrollan a continuación dichos modelos.
A. Modelos de cantidad fija de pedido.
En estos modelos se utiliza la fórmula de Wilson para calcular el lote óptimo Q* al igual que en el caso del modelo estático determinista. Además se considera que el pedido se debería realizar de forma que llegara completo, de una sola vez en el instante en que se hace cero el nivel de stock en almacén, evitando las rupturas de stock. Por tanto, el nivel de stock varía con el tiempo según se observa en la siguiente gráfica:
Figura 19: Modelo de cantidad fija de pedido
Como se puede observar la diferencia básica con el modelo estático es que el pedido se realiza en el punto de pedido, en lugar de en Q/2.
En estos casos en que la ruptura de stock no está permitida los costes a considerar serán únicamente los de emisión del pedido, posesión y adquisición.
A.1.- Modelo básico de cantidad fija de pedido con simultaneidad en el consumo y el reaprovisionamiento del inventario.
La diferencia con el modelo anterior está en que el pedido no llega completo de una vez sino que lo hace por lotes a un ritmo constante p que se suele denominar tasa de entrega. Esta tasa debe ser superior a la demanda diaria a la que denominaremos d. De esta forma, el nivel de stocks irá aumentando
48
durante todo el período de entrega a razón de p-d productos por unidad de tiempo.
La representación gráfica de este caso es la que sigue:
Figura 20: Modelo de cantidad fija de pedido con simultaneidad en el consumo y el reaprovisionamiento
El stock máximo que se alcanzará será inferior al Q solicitado, ya que, durante las t unidades de tiempo en que se ha estado recibiendo Q, parte del mismo se habrá estado consumiendo de forma simultánea.
A.2.-. Modelo de cantidad fija de pedido con posibilidad de descuentos en el coste de obtención.
En estos casos en los que el coste de obtención de un medicamento puede descender cuando la cantidad pedida sea superior a un determinado valor, es necesario tener en cuenta esta diferencia a la hora de determinar el tamaño del pedido.
Se tratará entonces de una función por partes con una discontinuidad de salto que se produce al llegar a una determinada cantidad establecida por el proveedor.
B.- Modelo básico de período fijo
Estos casos se fijan en cuanto pedir ya que el tiempo entre pedidos se considera constante y conocido. El tamaño del pedido se calcula de forma que se llegue a un cierto nivel máximo de stocks que no permita rupturas.
49
La representación gráfica de estos casos es la que sigue:
Figura 21: Modelo básico de período fijo
5.3.3.2. Modelos no deterministas La demanda por lo general será variable siguiendo una determinada ley de probabilidad al igual que ocurrirá con el tiempo de suministro. Esto da lugar a que si se trabaja con sus respectivos valores medios como en el caso de los modelos estáticos, exista riesgo de ruptura y por tanto será necesaria la creación de un stock de seguridad si se quiere limitar dicho riesgo.
El valor escogido para ese stock de seguridad dependerá de la forma en que se mida la demanda máxima probable y el riesgo, con los costes que supone, de una ruptura de stocks que se esté dispuesto a asumir. Estos costes deben ser comparados con los que supondría mantener un stock suplementario. Para estudiar de forma clara la ruptura sobre las diferentes políticas sería necesario poder asignar un coste a cada ruptura lo cual es bastante complicado. Debido a ello se suele recurrir a lo que se conoce como nivel de servicio y se comparan los costes que este implica con el de otros niveles de servicio para escoger el que se considere más adecuado. Este nivel de servicio se puede medir de diversas maneras por ejemplo como el cociente entre el número de períodos en los que no se produce ruptura y el número total de períodos considerados o el cociente entre el número de unidades servidas sin retraso y el número de unidades total demandadas.
También se puede hablar de riesgo de ruptura en lugar de nivel de servicio considerando que este riesgo de ruptura es el número de períodos en que se produce ruptura frente al número de períodos totales considerados o número de unidades servidas con retraso frente al número de unidades servidas totales.
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A.1. Modelo básico de cantidad fija de pedido con demanda aleatoria y tiempo de suministro constante.
En el modelo básico se realiza un pedido cuando el nivel de stocks en almacén alcanza un valor igual al punto de pedido, es decir, cuando se disponga de inventarios suficientes para satisfacer un cierto nivel de demanda durante el tiempo de suministro.
Teniendo en cuenta lo anterior y llamando d a la demanda media diaria, el
punto de pedido sería: TSpdPp ×= . En este caso, la ruptura sólo se podría dar a partir del momento de emisión del pedido y si se quiere disminuir este riesgo es necesario añadir un stock de seguridad, SS. Por tanto, la expresión del punto de pedido pasa a ser:
TSpdSSPp ×+=
siendo TRTRTSETSTSp ]/[−= donde TS es el tiempo de suministro, TR es el tiempo de reaprovisionamiento y E[TS/TR] es la parte entera del cociente TS/TR.
Y llamando TSD a la demanda media durante el tiempo de suministro, obtenemos:
TSDSSPp +=
Esto implica un aumento en el coste de posesión en cpSS en cada unidad de tiempo, pero el tamaño del lote óptimo a pedir no variará ya que los costes no dependen de Q.
Teniendo en cuenta que la demanda utilizada es la demanda media, el término
D/θ que aparece en la expresión θCpCeD /2 , que define a Q* se puede sustituir por d obteniéndose:
CpdCeQ /2* =
donde Ce es el coste unitario de emisión del pedido y Cp es el coste unitario de posesión.
La representación gráfica de este caso sería:
51
Figura 22: Modelo básico de cantidad fija de pedido con demanda aleatoria y tiempo de suministro constante
Se puede observar en la figura que la demanda es variable pudiendo darse el caso de que el stock de seguridad sea utilizado antes de la llegada del reaprovisionamiento (punto A), cumpliendo así que se pueda hacer frente a la ruptura de stocks cuando la demanda sea superior a la media durante el tiempo de suministro. La forma de calcular el stock de seguridad y el punto de pedido dependerá de que la demanda siga o no alguna distribución aleatoria concreta.
A.2. Modelo básico de cantidad fija de pedido con demanda constante y tiempo de suministro aleatorio.
Anteriormente hemos considerado que lo que variaba era la demanda. En este caso lo que varía será el tiempo de suministro.
Como la variable fundamental sigue siendo la demanda durante el tiempo de suministro el procedimiento a seguir será análogo de forma que el punto de pedido se define de la misma forma, como: TSDSSPp += . La diferencia estriba en que en este caso el punto de pedido o demanda máxima aceptable durante el tiempo de suministro se define como maxmax TSdDTS ×= siendo TSmax el valor máximo de TS que se deberá cubrir con el stock de seguridad. Por tanto:
cSTdDDSSDPp pTSTSTS +×=→+== maxmax , de donde )( max pSTTSdSS −= . En este caso se considera que el tiempo de suministro no sea superado un determinado número de veces ya que es el que introduce la aleatoriedad en DTS.
52
A.3. Modelo básico de período fijo con demanda variable y tiempo de suministro constante.
Este tipo de modelos se centra en el cálculo del período óptimo, T*, entre dos pedidos consecutivos. El pedido a realizar junto al stock con el que se contaba en el momento en que se realiza el pedido, NI, deben cubrir la demanda que se produzca durante T*+TS, DT*+TS; por lo tanto NITSTdQ −+= )*( , donde d es la demanda por unidad de tiempo. Se ve claramente que la cobertura frente a las rupturas durante T*+TS dependerá del valor que se tome para d en la expresión anterior.
Generalmente se supone una d máxima, dmax, que no sea superada un determinado número de veces denominado nivel de servicio deseado. Es este caso, el stock de seguridad necesario sería la diferencia entre el Qmax obtenido con esta demanda y el Q calculado a partir de la demanda media, d , es decir:
)]([])([])([ *max
**maxmax TSTddNITSTdNITSTdQQSS +−=−+−−+=−=
Para el cálculo de dmax se usará un procedimiento u otro dependiendo de si se conoce o no la función de distribución de la demanda.
A.4. Modelo básico de período fijo con demanda constante y tiempo de suministro variable.
En estos casos para calcular un stock de seguridad se opera de la misma forma pero teniendo en cuenta que ahora la variable aleatoria es el tiempo de suministro, TS.
Por tanto, para un cierto nivel de servicio deseado, NSD, habrá que considerar un valor máximo del tiempo de suministro, TSmax que no sea sobrepasado en un porcentaje de veces igual al indicado para NSD. De esta forma, el lote a pedir vendría dado por: NITSTdQ −+= )( *
max y el stock de seguridad vendría definido como:
)(])([])([ max*
max*
max pp STTSdNISTTdNITSTdQQSS +=−+−−+=−=
A.5. Aleatoriedad en la demanda y en el tiempo de suministro.
Cuando tanto la demanda como el tiempo de suministro están sujetos a variaciones significativas en torno a sus valores medios, el cálculo del stock de necesario se complica considerablemente. Este tipo de casos se suele resolver recurriendo a la simulación y aplicando métodos como el Método de Montecarlo.
Si aplicamos el método de Montecarlo a los datos de los que contamos y tomamos el tiempo de suministro como el tiempo transcurrido entre dos
53
entradas consecutivas lo cual es conocido, el resultado se muestra en las siguientes tablas:
54
Medicamento 4
Demanda Frecuencia Frecuencia acumulada
Probabilidades acum. Intervalos
Demanda Media
0 59 59 0,5043 0-50 0 3 2 61 0,5214 51-52 0,0513 4 3 64 0,5470 53-54 0,1026 6 1 65 0,5556 55-56 0,0513 7 1 66 0,5641 56-57 0,0598 8 1 67 0,5726 57-58 0,0684 9 1 68 0,5812 58-59 0,0769 10 1 69 0,5897 58-59 0,0855 11 2 71 0,6068 59-60 0,1880 12 1 72 0,6154 60-61 0,1025 13 1 73 0,6239 62-63 0,1111 14 1 74 0,6325 63-64 0,1196 15 2 76 0,6496 64-65 0,2564 16 2 78 0,6667 65-67 0,2735 17 2 80 0,6838 67-68 0,2906 18 2 82 0,7008 68-70 0,3077 19 3 85 0,7265 71-72 0,4872 20 2 87 0,7436 73-74 0,3418 21 4 91 0,7778 75-77 0,7179 22 1 92 0,7863 78-79 0,1880 23 1 93 0,7949 79-80 0,1966 26 3 96 0,8205 81-82 0,6667 27 3 99 0,8461 83-85 0,6923 28 1 100 0,8547 85-86 0,2393 29 2 102 0,8718 87-88 0,4957 31 1 103 0,8803 88-89 0,2649 32 3 106 0,9059 90-91 0,8205 33 1 107 0,9145 91-92 0,2821 34 1 108 0,9231 92-93 0,2906 37 1 109 0,9316 93-94 0,3162 40 1 110 0,9402 94-95 0,3419 41 1 111 0,9487 94-95 0,3504 43 1 112 0,9573 95-96 0,3675 44 1 113 0,9658 96-97 0,3761 46 2 115 0,9829 97-98 0,7863 58 1 116 0,9914 98-99 0,4957 62 1 117 1 99-100 0,5299 117 0
55
En este gráfico aparecen las distintas demandas dadas en el período del cual contamos con datos así como su frecuencia de aparición. Aparece también la frecuencia acumulada como suma de las frecuencias anteriores y el cálculo de la probabilidad acumulada que se calcula como el cociente de la probabilidad acumulada entre la frecuencia total. Aparecen también unos intervalos que se definen a raíz de los datos de probabilidades acumuladas obtenidos y en la última columna de la tabla aparece la demanda media calculada como producto de la demanda por la frecuencia dividido entre la frecuencia total.
De la misma forma se opera con los distintos tiempos entre la recepción de dos pedidos consecutivos para los datos con que contamos, obteniéndose los siguientes resultados:
Tiempo de suministro Frecuencia
Frecuencia acumulada
Probabilidades acum. Intervalos
Tiempo de suministro medio
2 2 2 0,125 0-12 0,2353
4 2 4 0,25 13-24 0,4706
5 1 5 0,3125 25-30 0,2941
6 3 8 0,5 31-48 1,0588
7 3 11 0,6875 49-65 1,2353
8 2 13 0,8125 66-77 0,9412
10 1 14 0,875 78-83 0,5882
12 2 16 1 84-100 1,4118
Para los tiempos de suministros obtenidos se asignan valores de la demanda y se calcula el producto de dichos valores que será lo que se denomine demanda media para el tiempo de suministro. Se calcula después, el sumatorio de la demanda media total para dar lugar a lo que sería el stock de seguridad a mantener que nos proporciona este método. La asignación de los valores se ha hecho de forma aleatoria y por tanto, el resultado del método no es del todo preciso ya que para que esto fuera así sería necesario un estudio de la distribución de los valores antes de realizar la asignación.
TS medio Demanda Demanda para TS
0,2353 59 13,8827 0,4706 3 1,4118 0,2941 4 1,1764 1,0588 6 6,3528 1,2353 7 8,6471 0,9412 8 7,5296 0,5882 9 5,2938 1,4118 10 14,118 Total 58,4122
56
Por tanto, lo que el método de Montecarlo sugiere sería mantener un stock de 60 unidades siempre en almacén, lo cual es muy costoso sobre todo desde el punto de vista de costes de almacenamiento, puesto que para este caso concreto, la demanda sólo supera ese valor en una ocasión, manteniéndose muy por debajo la mayoría de los días.
Es necesario apuntar, que en este caso concreto se ha considerado que la demanda sigue la forma de una distribución normal, lo cual no siempre será así. El inconveniente principal de este método es que es necesario conocer la función de distribución tanto de la demanda como de los tiempos de suministro para que su aplicación sea efectiva.
57
CAPÍTULO 6: CONTROLADOR PREDICTIVO GENERALIZADO APLICADO AL CONTROL DE STOCK EN FARMACIA HOSPITALARIA
6.1. Introducción El Control Predictivo Generalizado se ha convertido en uno de los métodos más populares de Control Predictivo basado en Modelos tanto en el ámbito industrial como en el ámbito académico debido tanto a los buenos resultados que proporciona como a su robustez.
La idea básica de un controlador GPC es calcular una secuencia de señales futuras de control tal que se minimice una función de coste definida sobre un horizonte de predicción. Esta función de coste viene dada por:
∑ ∑= =
−+∆++−+=2
1 1
2221 )]1()[()]()(ˆ)[(),,(
N
Nk
N
ku
C
ktukktrtktykNNNJ λδ (2)
donde N1 y N2 son los horizontes de coste mínimo y máximo,respectivmente (este último también se conoce como horizonte de predicción u horizonte de salida), Nu es el horizonte de control y r(t+k) es la trayectoria de referencia. δ(k) y λ(k) son las secuencias de ponderación. Se puede tomar δ(k) igual a 1 y actuar sobre el valor de λ(k) sin perder generalidad. Se trata pues de que la salida del sistema y(t+j) se aproxime lo más posible a la referencia w(t+j).
Antes de minimizar la función de coste se obtiene la predicción óptima de y(t+k) para los valores de k entre N1 y N2. Considérese la siguiente ecuación diofántica:
)()(1 11 −−− +∆= zFzAzE kK
k (3)
)(~)(1 11 −−− += zFzAzE kK
k
Los polinomios Ek y Fk están definidos con grados k-1 y na (grado del polinomio A) respectivamente. Para calcularlos se divide 1 entre Ã(z-1) hasta que el resto pueda ser factorizado como z-kFk(z-1). El cociente de la división es entonces el polinomio Ek(z-1).
Si se multiplica la ecuación (1) por se obtiene:
)()()1()()()()()(~ 11111 ktezEdktuzBzEktyzEzA kkk ++−−+∆=+ −−−−−
(4)
Teniendo en cuenta la ecuación (3), la ecuación (4) se puede escribir como:
)()()1()()()())(1( 1111 ktezEdktuzBzEktyzFz kkkk ++−−+∆=+− −−−−−
que reordenando queda como sigue:
)()()1()()()()()( 1111 ktezEdktuzBzEtyzFkty kkk ++−−+∆+=+ −−−−
∆− kk zzE )( 1
58
Dado que el grado del polinomio Ek(z-1) es igual a k-1, los términos de ruido están todos en el futuro y por tanto, la mejor predicción de y(t+k) será:
)()()1()()()(ˆ 111 tyzFdktuzBzEkty kk−−− +−−+∆=+
Es decir:
)()()1()()(ˆ 11 tyzFdktuzGkty kk−− +−−+∆=+
con
El objetivo del GPC es obtener el conjunto de señales de control u(t), u(t+1),…,u(t+N) que minimicen la función de coste (2). Hay que tener en consideración que el proceso tiene un retardo de d períodos de muestreo con lo que la salida sólo se verá influenciada por la señal u(t) tras el instante d+1.
Esto significa que si tomamos N1<1+d los términos de la ecuación (2) sólo dependerán de las señales de control pasadas y si tomamos N1>1+d, los primeros puntos de la secuencia de salida, que además serán los mejor estimados, no se tendrán en cuenta. Es por esto, que los horizontes se definen como:
N1=1+d
N2=d+N
Nu=N
El conjunto de las k predicciones óptimas se puede escribir como:
)()()()()1(ˆ 11
11 tyzFtuzGtdty dd
−+
−+ +∆=++
)()()1()()2(ˆ 12
12 tyzFtuzGtdty dd
−+
−+ ++∆=++
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
)()()1()()(ˆ 11 tyzFNtuzGtNdty NdNd−
+−
+ +−+∆=++
que en forma matricial queda:
(5)
donde:
)1()()()( 11 −∆++= −− tuzPtyzFGuy
...)()()( 22;
11,0,
111 −−−−− ++== zgzggzBzEzG kkkk
59
++
++
++
=
)(ˆ
.
.
.)2(ˆ)1(ˆ
tNdty
tdty
tdty
y
−+∆
+∆∆
=
)1(...
)1()(
Ntu
tutu
u
=
−−
.
.....................0...0...0
021
01
0
ggg
ggg
G
NN
−−−−
−−−
=
−−−
−−
−−+
−+
−
NNNNd
d
d
zzgzggzG
zzggzGzgzG
zP
)...)((...
))(())((
)(
)1(1
110
1*
2110
12
01
1
1
=
−+
−+
−+
−
)(...
)()(
)(
1
12
11
1
zF
zFzF
zF
Nd
d
d
Se observa cómo los últimos términos de la ecuación (5) sólo dependen del pasado por lo que se pueden agrupar en f dando lugar a:
fGuy +=
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos escribir la función de costes de forma matricial como:
uurfGurfGuJ TT λ+−+−+= )()(
que agrupando términos queda como sigue:
021 fbuHuuJ T ++=
con
60
)(2 IGGH T λ+=
Grfb T)(2 −=
)()(0 rfrff T −−=
El mínimo de J se puede calcular igualando a cero el gradiente, lo que conduce a:
TbHu 1−−=
Esta ecuación da la expresión de la secuencia de control que minimiza la función de coste.
Sólo se calculará el primer elemento de la secuencia, que será el que se aplique como señal de actuación. Si expandimos los términos de la ecuación anterior obtenemos:
)( 1−∆+−= kuPFyrHGu
donde HG es la primera fila de la matriz H-1G.
El esquema general de funcionamiento de un controlador predictivo generalizado es el que sigue:
Figura 23: Esquema básico control predictivo
Vamos a proceder por tanto a desglosar los distintos elementos para nuestro caso concreto de control de inventario.
61
6.2. Selección del Modelo
De los modelos expuestos en el capítulo 5 de este proyecto desechamos los modelos estáticos puesto que el tiempo juega un papel fundamental y más cuando, como es en este caso, se refiere al movimiento del stock de medicamentos en un almacén hospitalario.
Por otro lado, la demanda de dichos medicamentos será desconocida a priori y por tanto, debemos rechazar también los modelos dinámicos deterministas, por tanto, escogeremos un modelo dinámico no determinista o probabilístico.
Dado que es muy importante en el caso de los medicamentos, detectar posibles rupturas, desechamos también los sistemas de período fijo de pedido.
Elegiremos entonces un sistema de cantidad fija de pedido, que por un lado es más costoso en cuanto a que requiere una revisión continua pero por otro lado no se producirán pedidos antieconómicos pues los pedidos se retrasarían hasta que los inventarios lleguen al punto de pedido. Además, se detectan antes las rupturas dado el carácter continuo de la revisión por lo que es necesario un menor volumen de stock.
6.3. Descripción de la función de coste
Como se apuntó anteriormente, el algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en la aplicación de un conjunto de señales de control tal que se minimice la ecuación:
[ ] [ ]∑∑==
−+∆++−+=uN
j
N
Nju jtujjtwtjtyjNNNJ
1
22
21 )1()()()(ˆ)(),,(2
1
λδ
Esta es la llamada función de coste donde )(ˆ tjty + es la predicción óptima de la salida del proceso j pasos hacia delante de la salida del proceso con datos conocidos hasta el instante t, N1 y N2 son los horizontes mínimo y máximo de coste respectivamente, Nu es el horizonte de control, δ(j) y λ(j) son las secuencias de ponderación y w(t+j) es la futura trayectoria de referencia.
Como se apuntó anteriormente, al tener el proceso un retardo de d períodos de muestreo, la salida sólo se verá influenciada por la señal u(t) después del instante d+1. Los valores de N1, N2 y Nu que marcan los horizontes de predicción y control pueden ser definidos como N1=d+1, N2=d+N y Nu=N. No tiene sentido hacer N1<d+1 ya que los términos de la ecuación anterior sólo dependerán de las señales de control pasadas. Por otro lado, haciendo N1>d+1 los primeros puntos de la secuencia de salida, que serán los mejor estimados, no se tendrán en cuenta.
6.4. Trayectoria de referencia Para que el Control Predictivo Generalizado se pueda considerar de forma óptima para controlar el proceso es necesario conocer un conjunto de señales futuras de referencia.
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Dentro de los cálculos del GPC se obtiene un vector de trayectoria de referencia ym que es la diferencia entre la salida medida del proceso y(t) y el valor de la referencia actual ym. De forma práctica, esto se obtiene por medio de una ecuación diferencial de primer orden dada por:
mmm yktykty )1()1()( αα −+−+=+
para k=1,2,…,N2 donde α es el factor de peso de la curva exponencial )10( <≤ α y )()( tytym = . Si 0=α se tendrá que .,)( 2Nkykty mm ≤∀=+ Un
valor más grande que cero del factor de peso lleva a un crecimiento exponencial lento de la trayectoria de referencia.
Si se considera que en el tiempo t se genera un cambio de referencia ym como se muestra en la siguiente figura, el controlador deberá predecir dentro de un intervalo determinado por N1 y N2 una señal de control para el momento actual con las restricciones impuestas por Nu (después de Nu las predicciones son iguales a cero) y además considera como se sigue a la señal de referencia. Estos serán por tanto los parámetros de ajuste del controlador.
6.5. Restricciones La capacidad del GPC para producir un control estable se debe a la suposición hecha acerca de las acciones de control futuras en la que después del intervalo Nu, los incrementos de control proyectados se consideran nulos. Es decir:
,0)1( =−+∆ ktu uNk >
Por tanto, la función de coste obtendrá un cálculo sobre )(tu∆ desde k=1 hasta k=Nu. Si Nu es igual a 1, los cálculos se reducirán considerablemente.
Existen tres tipos de restricciones que se deben considerar en el cálculo de la señal de control óptima a aplicar:
Restricción en la amplitud de la señal de control
UtuU ≤≤ )( t∀
En nuestro caso, se refiere al tamaño de los pedidos.
Restricción en la velocidad de cambio de la señal de control
ututuu ≤−−≤ )1()( t∀
En nuestro caso hará referencia al tiempo entre pedidos.
Restricción en la salida
ytyy ≤≤ )( t∀
En el caso que nos ocupa esta restricción hace referencia a la cantidad almacenada.
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El cálculo de la señal de control consistirá en minimizar la función de coste sujeta a las restricciones escritas anteriormente. La señal de control óptima se calcula con la ayuda de la función quadprog de Matlab.
6.6. Aplicación del Control Predictivo Generalizado Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente sobre el Control Predictivo Generalizado, se aplica dicho controlador en la optimización del stock del almacén para los datos con los que contamos. En el apéndice se muestra el código utilizado en Matlab para realizar dichas simulaciones.
6.6.1. SIMULACIONES La primera simulación que se realiza se basa en los datos de demanda del año anterior de un medicamento, donde existe un único proveedor y se supone que no se tiene retardo en la entrega. El horizonte de control así como el de predicción se han establecido inicialmente iguales a 1, es decir, N=Nc=1 y gamma y lambda se consideran de la misma forma, iguales a 1. Se establece el stock de seguridad en 25 unidades de forma que podemos ver la respuesta del controlador en la siguiente figura:
Figura 24: Simulación con lambda=gamma=1
Como se puede observar, el controlador predictivo consigue mantener el stock del medicamento en las unidades que se le exigen, pidiendo al proveedor un número de unidades iguales a las demandas. Esta simulación sería el caso
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ideal en el que la demanda real diaria sea igual que la estimada, y no exista retardo.
Se realiza seguidamente una simulación en la cual se considera que existe un retardo en la entrega por parte del proveedor de dos días. El resto de parámetros tienen los mismos valores que en la simulación anterior. El resultado se puede observar en la siguiente figura:
Figura 25: Simulación con retraso del proveedor en la entrega
Como puede observarse, existen días en los cuales el stock queda por debajo del stock de seguridad. Se procede entonces a sintonizar dicho controlador.
En primer lugar se opta por incrementar tanto el horizonte de control como el de predicción que se establecen ahora en 3. El resultado se puede ver en la siguiente figura:
65
Figura 26: Simulación con retraso de proveedor en la entrega y N=Nc=3
Como se puede observar en la gráfica, se cumple que el stock quede igual o por encima del stock mínimo de seguridad en el almacén, pero se podría optimizar más si se consiguiera que el stock estuviese aún más próximo al stock de seguridad. Se procede entonces a sintonizar el controlador predictivo con los siguientes parámetros:
- N=5
- Nc=5
- Lambda= 0.000001
- Gamma=1.7
El resultado se puede observar en la siguiente figura:
66
Figura 27: Simulación sintonizada con menor error en la salida
La simulación siguiente pone de manifiesto cómo se comportaría el controlador ante cambios en la demanda estimada, es decir, se expone en la siguiente simulación como responde el controlador ante un cambio en la demanda del 50% manteniendo los parámetros de sintonización en los mismos valores que tenían en la simulación anterior.
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Figura 28: Simulación con incremento del 50% en la demanda
Como se puede observar, ante cambios bruscos en la demanda, existen días en los que el stock queda por debajo del stock de seguridad establecido. En caso de que se trate de un producto crítico, se podría solucionar incrementando el stock de seguridad como se puede observar en la siguiente figura donde se ha incrementado el stock de seguridad hasta 30 unidades para garantizar esta restricción.
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Figura 29: Simulación con incremento del 50% en la demanda y cambio en el stock de seguridad
En este caso, ya se observa cómo se cumple de forma clara la restricción del stock de seguridad y por tanto, se supone capacidad para satisfacer la demanda claramente.
6.6.2. CONCLUSIONES Tal y como se ha comentado, el stock de seguridad influye fundamentalmente en los costes de adquisición y almacenamiento del medicamento en cuestión y por supuesto, en el riesgo de ruptura.
En cuanto al esfuerzo de control, se llega a la conclusión de que debe ser un valor bajo entre cero y uno, excluidos ambos, para que se tenga un control eficaz. Ello conlleva que los pedidos puedan realizarse en el momento que se necesite.
Por otra parte, como se apuntó anteriormente, en cuanto al error en la salida, conviene desde el punto de vista económico, que adopte un valor elevado para que el stock se mantenga lo más cercano posible al stock de seguridad, con objeto de reducir costes.
Tanto el valor del horizonte de control como el valor del horizonte de predicción que se elijan dependerán del retraso de los proveedores. En cualquier caso, estos valores deben ser siempre superiores al mayor retraso existente en el sistema.
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CAPÍTULO 7: CONCLUSIONES Es base de un buen funcionamiento del hospital contar con las existencias justas y necesarias en todo momento. Si bien existen métodos tradicionales tal y como se ha expuesto en el CAPÍTULO 3 de este proyecto (en el apartado de cálculo de la demanda esperada) que permiten un cálculo del stock necesario, dicho cálculo es aproximado y además conlleva una gran carga de trabajo. Por supuesto, estos cálculos no tienen en cuenta los costes asociados.
El Controlador PID reduciría esta carga de trabajo bastante en cuanto al seguimiento de un stock de seguridad impuesto, si bien no tendrá en cuenta las restricciones necesarias para que este control sea el óptimo.
Se mostró por tanto, en el CAPÍTULO 6, como el Controlador Predictivo Generalizado permite incorporar las restricciones de capacidad de almacenamiento, tamaño de pedido…, lo que conlleva que se pueda conseguir un control más preciso en torno al punto óptimo de operación que será aquel en el que el stock siga a la demanda teniendo en cuenta tanto las características de almacenamiento como la minimización de los costes descritos en el CAPÍTULO 2 de este proyecto.
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CAPÍTULO 8: BIBLIOGRAFÍA E. Fernández Camacho, Carlos Bordons Alba. Model Predictive Control. Ed.Springer. 2004.
Heikki Rasku, Juuso Rantala, Hannu Koivisto. Model reference control in inventory and supply chain management. Ed. Springer. 2006.
Cgae An, Hansjörg Fromm. Supply chain management on demand. Ed. Springer. 2005.
Lee Krajewski, Larry Ritzman, Manoj Malhotra. Administración de Operaciones. Ed. Prentice Hall. 2008
Max Muller. Fundamentos de Administración de Inventarios. Ed. Norma. 2005
D.W. Clarke, C.Mohtadi,P.S. Tuffs. Generalized Predictive Control. Artículo académico.
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APÉNDICE: CÓDIGO MATLAB
Controlador GPC
Na =size(A,2)-1; Nam =size(Am,2)-1; Nb =size(B,2)/entradas-1; Nbm =size(Bm,2)/entradas-1; G =zeros(sum(N),sum(Nu)); yGPC =0*ones(salidas ,puntos); uGPC =zeros(entradas,puntos); ureal=0*ones(entradas,puntos); ref=ones(salidas,puntos); z=zeros(salidas,1); Avir=[A z]-[z A]; Amvir=[Am z]-[z Am]; offsetcoste=zeros(1,puntos); offsetcosteacum=zeros(1,puntos); for j=1 : salidas, for k=1 : entradas, G(Nacum(j)+1:Nacum(j+1),Nuacum(k)+1:Nuacum(k+1)) =... bloqueg (Bm(j,(k-1)*(Nbm+1)+1+dm(j):k*(Nbm+1)),Amvir(j,:),N(j),Nam,Nu(k)); end end H=(G'*G + L); cal_a2; for bucle = (max(max(Na,Nb),max(Nam,Nbm)))+1:puntos bucle f=zeros(sum(N),1); facum= zeros(sum(Nyd),1); for j=1 : salidas, yaux=flipud(yGPC(j,bucle-Nam:bucle)'); IncU=fliplr(uGPC(:,bucle-Nbm:bucle)); for l=1 : Nyd(j), aux=0; for k=1 : entradas, aux = aux + Bm(j,(k-1)*(Nbm+1)+1:k*(Nbm+1))*IncU(k,:)'; end facum(Nydacum(j)+l) = facum(Nydacum(j)+l)-Amvir(j,2:Na+2)*yaux + aux; yaux=[facum(Nydacum(j)+l);yaux(1:Nam)];
72
IncU=[zeros(entradas,1),IncU(:,1:Nbm)]; end end for j=1 : salidas, f(Nacum(j)+1:Nacum(j+1))=... facum(Nydacum(j)+dm(j)+1:Nydacum(j)+dm(j)+N(j))-demanda_real(bucle); end w=[]; for iw=1:salidas w=[w;refy(iw,bucle)*ones(N(iw),1)]; end cal_b2; h=G'*(f-w); h=beta1*h; options = []; options.solver = 'quadprog'; x = H \ (G'*(w-f)); aux=quadprog(H,h,Ar,br,lob,upb,x); uGPC(:,bucle)=aux(1:Nu:entradas*Nu); ureal(:,bucle)=ureal(:,bucle-1)+ uGPC(:,bucle); for j=1 : salidas, yaux=flipud(yGPC(j,bucle-Na:bucle)'); aux=0; IncUp=fliplr(uGPC(:,bucle-Nb:bucle)); for k=1 : entradas, aux = aux + B(j,(k-1)*(Nb+1)+1:k*(Nb+1))*IncUp(k,:)'; end yGPC(j,bucle+1) = -Avir(j,2:(Na+2))*yaux + aux-demanda_real(bucle); end end
Simulación del Sistema
clear all; close all; npi=1; r1=2; costes_p=[0 0]; tiempos_p=[r1 0]; nacciones=0; nvar=nacciones+npi;
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load asunv6; entradas=nvar; salidas=1; sg=medicamento(4).stock_alerta; sg=25; stock_ini=sg; A=[1 1;]; beta1=1; beta2=1; N =3*ones(salidas,1); Nc=3; puntos=117; TT=puntos; i=4; demanda_real=medicamento(i).demanda(1:TT)'; refy=[0*ones(1,1) sg*ones(1,puntos+1); zeros(1,puntos+2) ]; refy(1,:)=refy(1,:)+[demanda_real(1,:) demanda_real(117) demanda_real(117)]; de=zeros(nvar,1); de(1:nvar)=r1; d=[0;0]; dm=d; Nacum=[0; cumsum(N)]; Nyd=N+dm; Nydacum=[0; cumsum(Nyd)]; for i=1:nvar Nu(i)=Nc; end Nuacum=[0; cumsum(Nu)']; lambda = [1*ones(entradas,1)]; for j=1:entradas for i=Nuacum(j)+1:Nuacum(j+1) L(i,i) = lambda(j); end end restry=0; ymin=0; ymax=70;
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restrU=0; Umax=[1000 1000 1000 1000 1000 1000]; Umin=[0 0 0 0 0 0]; restru=0; umax=[500; 500;500;500;500;500]; umin=[0;0;0;0;0;0]; Am=A; B=zeros(salidas,entradas*(r1+1)); B(1,nacciones+1:nacciones+npi)=1; B(1,entradas*(r1+1))=1; Bm=B; gpchospital_PFC; pintasim1hospital_PFC; Representación gráfica
figure subplot(3,1,1); plot(demanda_real,'b','LineWidth',2); title('Demanda de medicamento'); grid on; axis([0 TT -1 100]) yGPC(1,1:TT)=yGPC(1,1:TT); box on subplot(3,1,2); hold on; plot(0:puntos-1,25,'m:','LineWidth',3); plot(0:TT,[yGPC(1,1:TT+1)],'r','LineWidth',2); axis([0 TT -1 100]) title('Stock del medicamento');ylabel('Unidades') grid on; grid on; subplot(3,1,3); plot(0:TT,[uGPC(1,1) uGPC(1,2:TT) uGPC(1,TT)],'r','LineWidth',2); hold on; hold on; grid on; axis([0 TT -1 100]) title ('Pedidos a proveedor') xlabel('Dias')
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