ondas 2017

Ondas-2017

Oscilaciones

Ondas

Óptica

Miguel Bustamante S.

Miguel Bustamante Página 1

https://sites.google.com/site/miguelbustamantesep/

Ondas-2017

IndiceMovimientos periódicos, y fenómenos periódicos......................................................................3

Movimientos periódicos..........................................................................................................3Periodo Espacial.....................................................................................................................6Onda Plana...........................................................................................................................12Ondas Esféricas....................................................................................................................12Ondas Cilíndricas..................................................................................................................14Ondas vectoriales y escalares..............................................................................................14

Interludio matemático:................................................................................14 Oscilador armónico Simple: Resorte...................................................................................16Péndulo simple o péndulo matemático.................................................................................18Una masa y dos resortes......................................................................................................21

Analicemos el movimiento horizontal:.................................................................21 Sistemas de dos masas y tres resorte: Oscilaciones longitudinales.................26 Sistemas de N masas y N+1 Resortes...............................................................27

La cuerda..........................................................................................................................30Membrana rectangular.....................................................................................................36

Oscilaciones no Armónica.........................................................................................................40Oscilaciones, no armónicas..................................................................................................40

Péndulo simple (matemático)...........................................................................................40Puntos de estabilidad.......................................................................................................41Un resorte mas real..........................................................................................................45

Interferencia..............................................................................................................................47 Aplicación de interferencia: Interferometría.....................................................................51 Interferencia de mas fuentes...........................................................................................52Difracción..........................................................................................................................56Difracción por rendija múltiples........................................................................................59 Difracción por una abertura rectangular..........................................................................61Difracción por una abertura circular.................................................................................64

La luz........................................................................................................................................70Leyes de óptica.....................................................................................................................72 Principio de Fermat..............................................................................................................73

Reflexión y Refracción: Aplicaciones........................................................................................77 Superficies reflectoras: Espejos..........................................................................................77Espejos.................................................................................................................................79

Espejos esféricos.............................................................................................................80Convención de los signos:.......................................................................................83

Refracción: Medios ópticos...................................................................................................84Lentes........................................................................................................................................87Composición de Lentes.............................................................................................................90


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Movimientos periódicos, y fenómenos periódicos

En este capítulo, va,os a entran al mundo de los fenómenos con periodicidad tanto espacial como temporal. Vamos a definir nuevos términos para entender el mundo de las “ondas”.

Movimientos periódicos.En las antiguas civilizaciones (Egipcia, Zaumeria, Griega), la Astronomía fue unos de los desarrollos importantes. Tanto así, que la confección de los calendario [1] fue debido a la observación de los astros y los eventos repetitivos de los fenómenos en el firmamento: El Solsale cada “24 horas”, la órbita de la luna es de “28 días”, el movimiento de la Tierra en torno al Sol es de “365 días”. Todos estos fenómenos tiene en común que repiten cada cierto tiempo. Vamos a definir el primero concepto: Periodo.


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Según los anterior, el periodo de la rotación de la tierra es de “24 horas”, el periodo detraslación de la Tierra en torno al sol es de “365 días”. En una representación gráfica, la función f(t) puede ser discreta y periódica (figura 1 ).

La función en este ejemplo .es f (t)=Ceil(10 sin (2t )) , donde la función ceil (t)

toma la parte entera del número. El periodo de esta función es T=π s. Como podemos ver, el periodo es una variable temporal, por tanto se mide en unidades de tiempo, como el segundo en el sistema internacional.

Definamos un nuevo concepto: frecuencia.


Periodo: Es el tiempo mínimo que tiene un proceso repetitivo en llegar al mismo estado inicial, completar un ciclo. Es decir, si un fenómeno esta descrito por la función f(t) aun tiempo t, en un tiempo T (periodo) va estar en el mismo estado que f(t), es decir f(t+T)=f(t); pero en un tiempo nT, también va estar en el mismo estador, es decir

f(t)=f(t+nT)con n entero ( n∈ℤ ).

Figura 1: Función periódica, con periodo

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La frecuencia, tiene como unidad el [1/s] que es conocido por “hertz” (1 hertz=1/s). Pero también se habla de [rpm] (revoluciones por minuto). En un auto, el “tacómetro” mide larevoluciones del motor, que es un de 3000 a 4000 [rpm]; otro ejemplo son los latinos del corazón que es reposo puede ir de 70 a 80 latidos por minuto.

Existe otro término, con el que se confunde pero que están relacionado: frecuencia angular w. La frecuencia angular se define como w=2π f y las unidades son [rad/s]. Este valor se relaciona cuantos ciclos da en una unidad de tiempo.

Sin embargo, existe otro tipo de periodicidad: la espacial.

Periodo EspacialEl dominio ahora no es el tiempo, sin el espacio. El periodo espacial es la mínima distancia de una función G(x) que está en el mismo estado de G(x), es decir G(x)=G(x+λ) , donde

es el periodo espacial conocido como “longitud de onda”. La unidad de este parámetro es el m, cm,

mm, etc

Veamos un ejemplo de periodo espacial: Supongamos la función f (x)=e−cos (3 x) (figura 2).

En este caso, el periodo corresponde a =2/3.


Figura 2: Función periódica en el espacio

Frecuencia: Se define como el inverso del periodo T 1/T . La frecuencia corresponde al número de ciclos (eventos) que ocurren en una unidad de tiempo.

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Mas ejemplo de esto, podemos encontrarlo en las calles, como los pasos de cebra (figura 3)

Ahora, vamos a definir un nuevo termino: Amplitud

En una representación, vemos que la amplitud es la magnitud desde el punto de equilibrio a la cima (figura 4) y otro conepto de amplitud que se habla es la magnitud cima a sima (peak to peak).


Figura 3: Paso de Cebra

Amplitud: En física la amplitud (del latín amplitūdō) de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o señal electromagnética es una medida de la variación máxima del desplazamiento u otra magnitud física que varía periódica o cuasiperiódicamente en el tiempo. Es la distancia entre el punto más alejado de una onda y el punto de equilibrio o medio.[3]

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La unidades de la amplitud va a depender del fenómeno. Puede ser como longitud de voltaje(volt), corriente (A), como dimensiones espaciales (m, cm. km), como la altura de un ola.

Comentarios finales

En la naturaleza existen varios fenómenos que se repiten en unperiodo T. Estos fenómenos se pueden describir con matemáticasadecuada. Sin embargo, estas magnitudes son abstracciones de unevento que vemos que se repite, pero que no es exactamenteperiódico. Veamos el caso de un péndulo matemático. El periodo de

un péndulo matemático es T=2π√ Lg

, donde L es el largo del

péndulo, g la aceleración de gravedad (g=9.8 m/s2). Según esta expresión de Perido T es independiente del angulo de desviación inicial. Sin embargo, para ángulo mayores que 30° comienza a haber una diferencia con la expresión del periodo. De hecho, se puede calcular que el periodo para ángulos superiores depende del ángulo inicial. Por tanto, la expresión que dimos como periodo es una aproximación válido para ángulo de desplazamiento inicial menores a 30°[2].


Figura 4: Ondas, con amplitud y amplitud peak to peak

Figura 5: Péndulo simple

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En la gráfica 6 se puede apreciar la diferencia


Figura 6: Periodo del pendulo simple, considerando el ángulo inicial

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[1] “Descubren en Escocia el calendario más antiguo del mundo.” Prensa Latina, 2013.

[2] J. B. Marion and J. B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté, 1996.

[3] “Amplitud (física) - Wikipedia, la enciclopedia libre.” [Online]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_(física). [Accessed: 03-Jan-2017].


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Fundamentos matemáticos de las OndasEn los capítulos previos se ha estudiado un campo en que la geometría euclidiana ha

dado una buena descripción junto con la hipótesis de Fermat. Sin embargo, la luz es una onda y necesita de otras matemáticos para poder tener un mejor entendimiento de este y de otros fenómenos.

Para comenzar debemos definir que es una onda.La onda es una función matemática (r,t) que debe satisfacer la siguiente ecuación

diferencial:

∇2−

1

v2

∂2

∂2 t

=0

La Ecuación FM.1 es conocida como la ecuación de onda y (r,t) representa lafunción solución de esta ecuación. La función (r,t) puede ser incluso una función vectorial,no solo escalar.

Supongamos que tenemos una función f(r), con segunda derivada existente.Definamos (r,t)=f(r-vt). Si aplicamos el laplaciano a f(r-vt), se obtiene

∇2 f r−v t = f r−v t ; si derivamos f(r-vt) dos veces con respecto al tiempo se obtiene

que ∂

2 f∂

2 t=v2 f r−v t Al remplazar en FM.1, se obtiene que es igual a cero. Por tanto una

función f(r), con segunda derivada existente cumple con la ecuación de onda y podemosllamarla “onda”.

Supongamos que tenemos una función del tipo f(x-vt)= ex−vt2

2 En t=0, está centrado

en el origen. En t=1, se ha desplazado; t=4 ha avanzado más.


FM.1

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supongamos esta vez, que f(x-vt) es una función sinosoidal, del tipof(x-vt)=Asin(k(x-vt)). La función Sin(x) es periódica; la función f(x,t) es periódica en el espacioy en el tiempo.

Periódica en el espacio es f(x+λ-vt)=f(x-vt). Esto implica que el armuento de la funciónsin(k(x+λ-vt)=sin(k(x-vt)). La conclusión es que |kλ=2πLa magnitud λ se denominalongitud de onda y k es el número de onda.

Supongamos que es periódica en el tiempo, es decir f(x-v(t+T))=f(x-vt). Esto implicaque |kvT|=2πdefinimos w=kv, y llamamos a T el periodo temporal y w es la frecuenciaangular. La frecuencia asociada a una onda es el inverso del periodo, es decir =1/T.

La unidad de T es el segundo o cualquier unidad de tiempo, la unidad de la frecuenciaes 1/seg, y se denomina Hertz; corresponde a los batidos por segundo de un eventorepetitivo.

Supongamos ahora que tenemos dos ondas que se mueven en direcciones opuestas,f(x-vt) y g(x+vt). La función f(x)=exp(-x2/2) y g(x)=x*exp(-x2)


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La función que se ha graficado es h(x,t)=f(x-t)+g(x+t); con velocidad v=1. Comovemos ha medida que las perturbaciones se acercan la función resultante es la suma de lasdos ondas. Sin embargo, pasado un lapso de tiempo las ondas permanecen de igual formauna vez que se cruzaron. Estas es una de las características de las ondas. La informaciónno cambia al interactuar con otra perturbación, permanece inalterable.

En general, la función de onda con que vanos a trabajar tiene la forma analítica f(x-vt)=Asin(k(x-vt));una función que va prestar muchos servicios en el entendimiento de lasondas. Sobre la base de lo anterior, la función f(x) tiene una representación compleja quetiene como mérito el usar las propiedades de los complejos en el desarrollo matemático delproblema; f(x-vt) se puede escribir como: f(x-vt)=Aeik(x-vt+).

Definamos (x,t)=k(x-vt). De la ecuación anterior se desprende ∣∂

∂ t x

∣=w , que es el

cambio de fase en el tiempo; ∣∂

∂x t

∣=k . De las

expresiones anteriores, podemos obtener que

∂x∂t

=

−∂

∂ tx

∂

∂x

Onda Plana.Vamos a estudiar los tipos de ondas.Supongamos que tenemos un vector r, y unvector r0.

Una onda plana se caracteriza por que l producto interno de (r-r0)*k=0, o una expresiónequivalente r*k=a, donde a es una constante. La ecuación r*k=a, describe la ecuación de unplano. Esto s denomina una onda plana. El avance del “plano” está en la dirección del vectork .

Ondas EsféricasSupongamos que tenemos una fuente puntual de onda. La propagación se realiza en

todas direcciones, como una esfera que aumenta de radio. Como existe una gran simetría


r-r0.

r0

r

X

Y

Z

k

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en la propagación (se asume un medio isotrópico), la función de onda debe serindependiente de la distribución angular. La expresión del laplaciano (ver tablas matemáticas)se reduce a :

∇2=1

r2

∂

∂r r2 ∂

∂r

Si aplicamos la ecuación de onda, desarrollando e igualamos a la ecuación FM.2 se obtieneque :

1r∂

2 r

∂2 r

=1

v2

∂2

∂t2

La ecuación FM.3 se puede rescribir como:∂

2 r

∂r2=

1

v2

∂2 r

∂ t2

Pero, sabemos que la funciones que satisfacen la ecuación de onda son del tipo f(r-vt) óg(r+vt) ; por tanto r(r,t)=f(r-vt) ó r(r,t)=g(r+vt). Así, la inda esférica tiene una estructura deltipo

r , t =c1

f r−v t r

c2

g rv t r

En una dimensión, vamos a suponer que f(x-vt)=sin(x-vt). Por tanto la onda(x,y)=sin(x-vt)/x. En un gráfico de posición, para distintos tiempo se vería.

La función de onda disminuye su amplitud a medida que avanza, a la razón de 1/x.En visión de una onda de agua en un estanque;


FM.2

Curva 1/x

Función f(x-vt)/x

FM.3

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La amplitud de la onda que se propaga en el estanque va disminuyendo, como

aumenta el radio de la onda.

Ondas CilíndricasEn este caso el laplaciano se puede escribir, independiente del ángulo de z.

∇2=

1r∂

∂rr∂

∂r

Aplicando las matemáticas previas se obtiene que la función de onda es del tipo:

r−v t ≈A

rek r−vt

Recordemos que eia=cos(a)+isin(a). La representación compleja tiene la ventaja de una mejormanipulación matemática. A es la amplitud inicial de la onda.

Una visión de una onda cilíndrica será:

Ondas vectoriales y escalaresHasta el momento, hemos hablado de ondas escalares, pero si la amplitud A fuese un

vector, la función sería una función vectorial y también cumple con la condición de laecuación de onda.


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Interludio matemático:

Cuando escribimos una onda de la forma f(x,t)=sin(k(x-vt)) o f(x,-vt)=cos(k(x-vt)),también podemos escribrila de de la forma f(x-vt)=e i(k(x-vt)), ya que la parte real o imaginaria dela solución compleja, son soluciones de la ecuación de onda.


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Equivalencias Matemáticas.

.Coordenad

asCartesianas(Referencia)

Cilíndricas Esféricas

x,y,z x=rcos(), y=rsin(),z=z

x=rcos()sin(),y=rsin()sin(),z=rcos()

Elemento de camino dr

dxi+dyj+dzk kdzrdrdr ˆˆˆ ˆ)(ˆˆ drsinrdrdr

Elemento de área

dxdy, dydz, dzdx

rdrd,drdz,rddz rdrd,rdrsin()d,dr rsin()d

Elemento de Volumen

dxdydz rdrddz r2drdsin()d

Gradiente

A k

zj

yi

xˆˆˆ

zA

zA

rrA

rˆˆ1

ˆ)(

ˆ

)(

1ˆ)(1

ˆ)( Arsin

Ar

rAr

LaplacianoA2 2

2

2

2

2

2

z

A

y

A

x

A

z

Azr

A

rr

Ar

rr

11

A

sin

AsinA

rsinr

rsinr )(

1)()(

)/

1 22

Rotor xA

zyx AAAzyx

kji

ˆˆˆ

ArAAzr

rz

rr

r

ˆˆˆ

ArsinrAAr

rrsinsinr

r

r )(

ˆ

)(

ˆ

)(

ˆ2


x

Y

Z

x

Y

Z

P

P

(

(

(

Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas

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Oscilador y osciladores armónicos

En este nuevo capítulo, vamos a estudiar los movimientos ondulatorios. Queremos que, a partir de las ecuaciones de la dinámica de Newton deducir las funciones que describen la cinemática.

Oscilador armónico Simple: Resorte.Vamos a estudiar un tipo de movimiento, que es la base de las posteriores análisis de

otros sistemas dinámicos. Este movimiento es el que describe una masa conectado a unresorte horizontal, con una elongación inicial y/o velocidad inicial.

Al desplazar una distancia x hacia la derecha la masa M, el resorte ejerce una fuerza de tipo -kx, en el sentido izquierdo. Al soltar la masa, la fuerza que actúa sobre el resorte es


MasaM.

Resorte de constante K

Direcciòn d la fuerza del resorte al estirarse una distancia x

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del tipo -kx. Utilizando la segunda ley de Newton, podemos igualar esta fuerza a la masa M por la aceleración, que es la segunda derivada de la posición inicial. Estya igualdad se puedeescribir de la forma:

md2 x

dt2=−kx⇔m

d2 x

dt2kx=0

Suponiendo soluciones del x(t)=X0eiwt, se obtiene que w=(k/m)0.5 y se conoce w comola velocidad angular. El periodo del movimiento es T=2π/w. La solución completa esx(t)=Asin(wt)+Bcos(wt). Dependiendo de las condiciones iniciales, se imponen los valoresde A y B.

Este tipo de ecuación es conocido como ecuación de armónico simple; las funcionessin(wt) y cos(wt) son funciones armónicas. La solución que que es desplazada una distanciaX0 del origen y parte del reposo tiene la forma X0cos(wt).

sEn la gráfica se presentan soluciones típicas del armónico simple.

Dejo al lector resolver el problema cuando el resorte está colgando con una masa M,desplazado de punto natural de equilibrio del resorte.


OS.1

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Péndulo simple o péndulo matemático.Supongamos esta vez que tenemos una partícula de masa m, colgando en presencia

de gravedad de un hilo de largo L.Se sabe que al desplazar o da un impulso, el péndulo oscila. Vamos a dar una

explicación de este fenómeno.

Analicemos las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m cuando se desplazaun ángulo .

Descomponiendo las fuerzasactuando sobre la partícula, obtenemoslas siguientes ecuaciones:T-Mgcos()=0

Mgsin=−Md2 x

dt2

Pero x=l, arco. La ecuación anterior sepuede expresar como:

Mgsin=−M ld2

dt2

La ecuación anterior se puede escribir como: Mgsin M ld2

dt2 =0 Esta ecuación se

puede expresar de la forma d2

dt2 gl

sin=0 La ecuación diferencial OS.2 no tiene

una solución conocida analíticamente. Sin embargo, suponiendo que el ángulo dedesplazamiento es pequeño, podemos aproximar sin(x)x. En ese caso la ecuación OS.2 se

puede escribir como d2

dt2 gl=0 que tiene la misma estructura analítica que OS.1

Sabemos que la soluciones son de la forma (t)=Asin(wt)+Bcos(wt), donde w=(g/l)0.5. En estaaproximación T=2π(l/g)0.5, para ángulos pequeños.

Podemos concluir, que un péndulo simple para ángulo pequeños se comporta comoun oscilador armónico simple.

Escribamos, sin la aproximación, la ecuación de la energía. Suponiendo que el cerode energía potencia está en el punto de donde cuelga el péndulo y no habiendo roce, laecuación de la energía queda -mg(l-lcos())+1/2mv2=-mg((l-lcos()). De la ecuación de la


i

j

T

Mg

OS.2

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energía se resume a lgcos()+v2/2=lgcos(0). Pero a su vez, v=dx/dt; y x=l. Despejando lavelocidad en la ecuación de conservación se tiene que: v=2lg cos 0−cos

Pero v=ld/dt, y nos queda la igualdad d dt

= 2glcos 0 −cos .

El periodo T, es el tiempo que demora en llegar al mimo punto en el espacio. Como existesimetría en el problema, este tiempo T es el doble que demora en llegar al lado opuesto delpunto inicial. La expresión se debe integrar de 0 hasta -0 y multiplicar por 2 para obtener elperiodo.

T=2 l2g∫ 0

−0 d

cos 0 −cos

la expresión OS.4, se puede expandir considerando las siguientes equivalenciastrigonométricas:1. cos()=1-2sin(/2) y2. sin(/2)=sin(/2)sin(/2)

La expresión OS.4 se escribe como:

T =2 lg∫

− /2

/2d

1−sin/2 2sin 2

En este nueva expresión, es el ángulo inicial o de desequilibrio. Expandiendo Laexpresión del periodo, se obtiene

T =2 lg1

14sin/2 2

9

64sin/22...

El periodo en función del ángulo a un largo fijo.


OS.4

OS.3

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El gráfico del periodo de un péndulo de largo l en función del ángulo inicial, se observaque con respecto a la ecuación tradicional del periodo. Recordemos que la soluciónencontrada es solo una aproximación de la ecuación original.

El periodo versus el largo para distintos ángulos iniciales.


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Nótese que la separación comienza para ángulo sobre los 45 grados. A medida que se máslargo el péndulo, mayor diferencia con la ecuación tradicional.

Una masa y dos resortes

Supongamos que tenemos una masa M, conectados a dos resorte de constante k1 yk2 en ausencia de gravedad.

La masa se puede mover tanto en el eje vertical como horizontal.

Analicemos el movimiento horizontal:

Debemos suponer que la masa se desplaza un distancia x, para el lado derecho.

Las fuerzas actuando sobre la masa M: son La fuerza del resorte K1 y la fuerza del resorte k2. Esta fuerza es: F=-K2x-K1x, ya que el resorte K2 fue estirado y tiende a volver a su punto de equilibrio; el resorte K1, fue comprimido y tiende a regresar al punto de equilibrio.Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos que:

Md2 xdt2 =−K2K1 x


K2 K1

M

x

K2 K1

ML

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La solución de esta ecuación es conocida, y con una frecuencia angular dew=((K2+K1)/M)0.5.

Esta ves realizamos un desplazamiento en la dirección vertical. El incremento es de Y

es muy pequeño.

Si el ángulo es pequeño, podemos dibujar las fuerzas actuando sobre la masa M

La fuerza neta es igual F=-(K1+K2)((L2+y2)0.5-L)sin(), Pero sin()=y/(L2+y2)0.5. La

expresión F=-(K1+K2)(y-1) y es igual a:

−K1K2 y−1 =Md2 y

dt2

Nuevamente la frecuencia de oscilación vertical, en esta aproximación es w=((K1+K2)/M)0.5

Sin embargo, el movimiento no está contenido en los ejes; es una combinación lineal de ambos movimiento.

Supongamos que desplazamos una distancia vertical 1, y damos una velocidad tangencial 1.


K1

x

L

M

K2

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Analicemos el siguiente siguiente sistema:

El objeto en el interior tiene una masa M. Los resortes verticales son iguales y poseenuna constante elástica igual K', y los horizontales a K.

Según los análisis previos, en el eje horizontal, la frecuencia horizontal de movimientoviene determinada por la ecuación :


K K

K'

K'

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x2KM

x=0

y la frecuencia angular es w=(2K/M)0.5.

Análogamente, en la dirección vertical la ecuación es: y2K 'M

y=0 y la frecuencia es

w'=(2K'/M)0.5.

Supongamos que tenemos las mismas condiciones del caso anterior. La solución, enla aproximación es X(t)=sin(wt) e Y(t)=-cos(w't).

Para la w'=w, se obtiene la siguiente órbita:

W'=W es una órbita circular.

W'=2W


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Orbitas

X

Y

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En un cambio de órbita.

W'=4w

Como vemos la relación ente las frecuencias cambia el tiempo de órbita que describela masa m. Estas figuras son conocidas por la “figuras de Lisayoux”


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Orbitas

X

Y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Orbitas

X

Y

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Sistemas de dos masas y tres resorte: Oscilaciones longitudinales.

Estudiemos el siguiente sistema de masas y resortes de igual constante k.

La posición del cuerpo uno está descrito por la variables x1, la del cuerpo 2, por x2 en torno al punto de equilibrio de cada resorte.

La fuerza sobre el cuerpo 1 es: F1=-kx1-k(x1-x2). El resorte entre las masas, ejerce una fuerza que depende del movimiento de ambas masas. Si x1 y x2, tienen la misma distancia de, en la misma dirección, este resorte no ejerce fuerza sobre las masas, sólo los resortes delos extremos.

La fuerza actuando sobre el cuerpo 2 es F2=-kx2-k(x2-x1). La ecuaciones diferenciales acopladas son:

m x1kx1k x1−x2 =0

m x2kx2k x2−x1 =0

Sumando las ecuaciones OS.5a y OS.5b y llamando Y=X1+X2; obtenemos unaecuación de oscilador armónico simple

Ykm

Y=0

Esta ecuación tiene como frecuencia angular w=(k/m)0.5.

Si esta ves, restamos, y llamamos X=X1-X2, se obtiene la siguiente ecuación

X3km

X =0

La frecuencia angular de esta ecuación diferencial es w'=(3k/m)0.5. Según estos resultados,la ecuación general de Y(t)=Acos(wt)+Bsin(wt); la ecuación general de X(t)=A'cos(w't)+B'sin(w't). Recordemos Y(t))=x1(t)+x2(t) y X(t)=x2(t)-x1(t). Sumando Y(t)+X(t) nos da x2(t)=Acos(wt)+Bsin(wt)+A'cos(w't)+B'sin(w't). En el caso de x1(t)=A'cos(w't)+B'sin(w't)-Acos(wt)-Bsin(wt).

Supongamos que x1(0)=1 y x2(0)=0, ambos partiendo del reposo. Según estassoluciones analíticas se tiene que x1(t)=1/2cos(wt)+1/2cos(w't) y x2(t)=1/2cos(wt)-1/2cos(w't).

Si k=m, tenemos w=1 y w'=31/2. La ecuaciones graficadas en el función de tiempo dan


1

OS.5a

2

OS.5b

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Nótese que cuando la posición de x1 está en cero, la posición de x2 tiene una máximaamplitud y así sucesivamente.

Desde el punto de la energía La energía se va traspasando de una masa a otra; laenergía total del sistema se conserva, pero está oscilando de una masa a otra.

Sistemas de N masas y N+1 Resortes.

Supongamos que tenemos N masas de valor m, y resortes de constante k, separadospor una distancia a, todos conectados como se observa en la figura.

Escribamos la ecuación de la masa j. Las fuerzas actuando sobre la masa j son:

F=-k(xj-xj+1)-k(xj-xj-1). En la masa de inicial (j=1) las fuerzas está dada por la expresión F1=-kx1-k(x2-x1). La ecuación genérica que describe el comportamiento cinético de la partícula jes:


m

k

j

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xjkmxj−xj−1

kmxj−xj1 =0

Vamos a suponer que la solución xj(t) tiene la siguiente forma:

xj(t)=X0ei(wt+j). Remplazando en la ecuación anterior se obtiene la relación

-w2eij+k/m(eij-eij-1)+k/m(eij-eij+1)=0

dividiendo por eij podemos obtener la relación -w2+k/m(2-ei(j-1-ij)-ei(j+1-j))=0

Vamos a suponer que j=j, es decir j veces un valor . Esto nos lleva a que la ecuación

anterior se puede escribir como:

−w2

km1−e−i

−e i=0

Simplificando, se tiene que w frecuencia angular (w=2πf, f frecuencia) depende de este

factor de la forma:

w=2 km∣sin

2∣

Aún no sabemos que es , pero de la ecuación inicial, sabemos que xj(t)=X0ei(wt+j). La

periodicidad de xj(t) es aj=a2π/. Si asumimos una

estructura analítica del tipo wt+Kx, en este caso x=aj

e K=2π/λy =2πa/λ=Ka. Remplazando en la

ecuación OS.6, se tiene que

w=2 km∣sin

Ka2

∣

Esta es una relación muy interesante. Nos dice como se relaciona el número de ondaK, con la frecuencia angular. Cuando estábamos estudiando las ondas que se propagan en

un medio, la velocidad de propagación se obtenía del producto λf=v, donde v es la velocidad ,

f es la frecuencia y λ es la longitud de onda. Esta relación es equivalente a w/K=v.

Despejando w, da que la frecuencia angular es proporcional al número de onda K, w=Kv Siembargo la relación OS.7, no es lineal. Esto nos indica que la velocidad de propagación de


OS.6

2(k/m)0.5

2πa

Relación w v/s K

OS.7

Ondas-2017

las ondas cambia dependiendo del número de onda (longitud de onda); no todas las ondastienen la misma velocidad sin que cambia. Este tipo de relación, donde la velocidad depropagación cambia según el número de onda (longitud de onda) se denominan relación dedispersión. Una consecuencia de esta relación es el fenómeno de refracción. Las ondasluminosas dentro de un cristal tiene distintas velocidades, y es por eso que los índices derefracción cambian para cada “color” (longitud de onda).

.

Para este caso la velocidad de las ondas longitudinales viene dado por al expresión:

vK = f=wK=

2K k

m∣sin

Ka2

∣

Para números de ondas pequeños (K pequeño) la relación se comporta como conocemos,pero el incremento de K, cambia esta relación.


Ondas-2017

Cuerda, membrana cuadrada y membrana circular.

Estamos en condiciones de estudiar algunos sistemas reales como son las cuerdas y membranas de los instrumentos musicales. Estos nos servirá para entender los principios de los sonidos y escalas musicales.

La cuerda

Supongamos que tenemos una cuerda sometida a una tensión T, que puede estar

dado por el diagrama siguiente

Para proseguir debemos tener ciertas hipótesis:


Masa M

Ondas-2017

1. Despreciamos la carga que implica la atmósfera ambiente ; es decir, se supone que la cuerda opera en el vacío.

2. Se supone que no hay pérdidas de energía ni en la cuerda si es el mecanismo de su movimiento a través de la atmósfera.

3. Se supone que la cuerda está muy tensa entre los dos puntos 0 y 1.4. Se suponen movimientos de pequeña amplitud.5. Se desprecian deformaciones y fuerzas debida a la gravedad.6. Se define la cuerda como un cuerpo cuyas dimensiones transversales son pequeñas

frente a su longitud. Las componentes de esfuerzo que se ejercen sobre una sección normal a su longitud suelen poderse integrar para formar como una fuerza cortante y un momento flector. Para la cuerda, se supone que

7. la fuerza y el momento flector se anulan, quedando la dirección dirigido axialmente.

Analicemos microscópica la región dentro del recuadro.

Sobre la base del diagrama , la fuerza vertical en el tramo x es F(sin(1)-sin(2)). Para ángulo muy pequeños, sin()tang(). En el punto A, tenemos la siguiente relación:

F tang1=F∂ y∂x A

La fuerza neta actuando en el tramo se escribe como:

F∂ y∂x B

−F∂ y∂x A

Escribiendo una expansión de Taylor de primer orden de ∂ y∂x B

en torno a A, se tiene

que :∂ y∂x B

=∂ y∂x A

∂

∂x∂ y∂x

x . Remplazando la expresión en (*) se tiene que la fuerza

vertical es igual a F y=F∂

2 y∂x2 x . Pero, según la segunda ley de Newton, la fuerza se

iguala a la masa por la aceleración. Anotamos m como la masa en el tramo AB. La igualdad

obtenida es: Fy=F∂

2 y∂x2 x= m

∂2 y∂ t2 o que es lo mismo

Ecu 1: ondas

, donde


A

B

F

F

1

2

x

(*)

C.1∂2 y∂x2 −

F∂

2 y∂ t2 =0

Ondas-2017

=dm/dx (densidad lineal). Como notamos la ecuación obtenida tiene la estructura de la

ecuación de onda; y la velocidad de propagación es v= F

.

Para resolver esta ecuación, se utiliza el método de variables separadas . Se asume que y(x,t)=Y(x)T(t), donde Y(x) es una función de la posición y T(t) del tiempo. Remplazando en la ecuación C.1 se obtiene las siguientes relación diferencial

T(t)Y''(x)=1/v2 T''(t)Y(x).

Las funciones X(x) y T(t) son independientes una de la otra, por tanto se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales por cada función:

Y''(x)=k'Y(x) y T''(t)=k'/v2 T

Si k'=-c2 entonces la ecuación tiene la forma:

Y''(x)=-c2Y(x) T''(t)=-c2/v2T

La solución general de C.2 es de la forma Y(x)=A'sin(cx)+B'cos(cx).; y la solución de

C.3 tiene la forma T(t)= Acos F

ctBsin F

ct . La solución es X(x)T(t).

Si las condiciones de la cuerda son Y(0,t)=0 y Y(L,t)=0, Esto implica que B'=0, y queY(L)=Asin(cL)=0; esto implica cL=nπcon n natural. El valor c es un número que depende den, de la forma cn=nπ/L. La solución general es entonces de la ecuación diferencial:

Ecu 2: solución ecuación de ondas

con 0<x<L.

La condiciones extremas de la cuerda impone la solución. En la serie, el primertermino es cuando n=0, que no contribuye a la solución, el segundo es cuando n=1, ycorresponde a la función sin(π/Lx), con n=2, la función es sin( 2π/Lx), etc...

La situación inicial es cuando t=0, y corresponde cuando Y x ,0 =∑n=0

∞

An sin n

Lx

Esta situación es la condición inicial, la configuración inicial de la cuerda. Supongamos quela cuerda tiene la condición inicial que se ve en la figura:


C.3

C.2

Y x , t =∑n=0

∞

An cos F

cn t Bn sin F

cn tsinn

Lx

Ondas-2017

Si además suponemos que partió del reposo, la derivada de la posición con respecto

al tiempo es cero, lo cual se obtiene que ∂ y∂ t

x ,0

=0=2

L∑n=0

∞

nBn sinn

Lx ⇒Bn=0

Los coeficientes de la serie, An se calculan como

An=!L∫

0

L /22Hx

Lsin n

xLdx∫

L/ 2

L2HL

LL−x sin

n x

Ldx=

8H

2 n2

sinnx

La expresiòn de An se puede reducir como A2i−1=8H

22i−1 2

−1i−1y resto cero.

La solución se reduce a :

Y x ,0 =∑n=1

∞

An sinn x

L

Grafiquemos la solución, pero con distintos n. el valor de H=1

Observe que la cada onda contribuye a la suma total. Vamos a graficar con distintascontribuciones de la suma de los n impares que contribuyen a la onda total.


H

L

Ondas-2017

Illustration 1: Grafico de la serie con distintos Terminos

Como vemos, a medida que sumamos más contribuciones la función tiene la forma dela situación inicial.

Las amplitudes An están relacionadas con la frecuencias de oscilación de la cuerda.Mientras mayor el valor sea el valor de An, mayor importancia tiene dentro de la onda

Pero, esta solución es cuando t=0. En particular, y sabiendo que la velocidad inicial decuerda es cero. La ecuación solución en función de tiempo es:

Y x , t =∑n=0

∞

An cos F

cn t sinn

Lx

Supongamos que la velocidad de la velocidad de propagación es 100. Grafiquemosla solución de la cuerda con los extremos fijos para distintos tiempos.


0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

4

6

8

Ondas-2017

Este gráfico es el resultado de la solución de la ecuación diferencial de la cuerda, conlos bordes fijos.

Veamos el caso de un extremo libre. La situación con extremo libre, implica que lafuerza en ese extremo es cero. En forma matemática se puede expresar como:

Ecu 3

Esto implica de la solución general 2, el termino A=0 y B debe ser distinto de cero.De la ecuación 3, se tiene que el valor de k debe satisfacer

kn=π

2L(2n−1)


∂ y∂ x x=L

=0

Ondas-2017

La solución de onda en estas circunstancias es:

y (x ,t )=∑n

An sin(kn x )(Cnsin(kn v t)+ Dn cos (kn vt ))

Membranas

Membrana rectangular

Supongamos que tenemos una membrana de dimensiones conocidas. En un punto(x,y) del plano de la membrana se ejerce una tensión constante S. Tomemos un elementode la membrana, un elemento de área dxdy. Observemos este elemento de área desde elpunto de vista de x.

En forma a náloga se puede estudiar desde el punto de vista de y. La ecuación parael elemento de área de la membrana e igualando a la masa del elemento de área (segundaley de Newton), nos da la ecuación:

Sdy∂² w∂x²

dxS dx∂ ² wdy²

dy=∂² w∂ t²

dxdy

o su expresión equivalente S∂ ² w∂x²

S∂ ² wdy²

=∂² w∂ t²

. Tenemos una ecuación de la forma

∇ ² w=1c²

∂² w∂ t²

donde c=S/Vamos a suponer que la solución es la separación de

variables w=TXY. Esto implica que X''/X=-2, Y''/Y=-2 y T''/(c2T)=-2-2. Por tantoX=Asin(x)+Bcos(x), Y=Hsin(y)+Dcos(y) y T=Esin(c( t)+Fcos(c(t). Es ta es lasolución general de la membraba rectangular de dimensiones a pot b. Las condiciones debordes son:w(x,0,t)=0w(0,y,t)=0w(x,b,t)=0w(a,y,t)=0


w w+w',xdx

w',x+w'',xdx dx

w',x

Ondas-2017

w(x,y,0)=f(x,y) configuración inicial y w'(x,y,0)=0 (No hay velocidad inicial.

Imponiendo las condiciones iniciales se tiene la solución particular es:

w=∑n=1

∞

∑m=1

∞

Amn cos ct m²a²

n²b²sin

m xa

sinn y

b

En este caso A jk=4ab∫0

a

∫0

b

f x , y sinj x

asin

k yb

dxdy y la frecuencia temporal

viene dada por la expresión f=c2 m²

a²

n²b²

Representamos los modos normales de vibración:Para n=1, m=1n=2, m=1


Ondas-2017

n=2,m=3

Membrana circular.La ecuación siguen siendo válida, pero debe expresarse en otras coordenadas,

coordenadas cilíndricas ∂ ² w∂ t²

=c²∂ ² w

∂ r2

1r∂w∂r

1r²

∂ ² w∂ ² La solución de este tipo de

ecuaciones es de la forma w=RT. Esto implica que cada función debe satisfacer lassiguientes ecuaciones diferenciales:

T ' 'c² T

=− ²=R' 'R

1r

R 'R

1r² ' '

Así, T(t)=Asin(cλt)+Bcos(cλt) . Ahora, r²1R r²R' 'rR ' =

− ' '

=my ²

Así Hsin(Dcos() . Por las condiciones geométricas es una función

periódica; por tanto =n=0,1,2,3.... y la ecuación R es r²1R r²R' 'rR ' −n²=0 La

solución de esta ecuación es R=AJn(λr)+BYn(λr), donde Jn e Yn son las funciones deBessel. Por las condiciones de frontera, en r=0, implica B=0 (Yn, r0).

R= Jn r =∑k=0

∞−1 k

k !nk1 r2n2k

Existe además la condición de contorno que Jn(λia)=0, que impone condiciones a λ


Ondas-2017

La solución general es

w=∑=1

∞

∑n=0

∞

A ' J ni r cosncosci t

Veamos las ceros de la función de Bessel: Si la membranas tienes una radio a,busquemos los valores ia que sean las raíces de Jn(ia)

Bessel Raíces 1 2 3

J0(ia)=0 2.4048 5.5201 8.6537

J1(ia)=0 3.8317 7.0156 10.1735


Ondas-2017

Oscilaciones no Armónica

Hemos estudiado hasta el momento, los sistema armónicos, es decir sistema cuya frecuencia es independiente tanto de la velocidad como de la posición. En este sesión, vamos a ver sistema oscilante, pero no armónicos, y las soluciones aproximada que se tiene.

Oscilaciones, no armónicasLas oscilaciones armónicas son la consecuencias de una fuerza del tipo lineal F=−kr . Como sabemos, una fuerza del tipo armónico tiene asociado un potencial armónico del tipo

U (r )=12

k r2 , y que la fuerza es conservativa.

Sin embargo, existen sistema sometidas a fuerzas del tipo conservativo, que no son armónicos, y justamente es lo que vamos a estudiar en este capítulo.

Péndulo simple (matemático).

En el capítulo de oscilación armónica, vimos y se discutió que el periodo depende del ángulo inicial, como se observa en la figura 7. Este es un ejemplo de una oscilación no armónica.


Ondas-2017

El periodo de la ecuación viene dado por la expresión

T =2 lg∫

− /2

/2d

1−sin/2 2sin 2

que es una expansión en el ángulo , tiene la forma

T =2 lg1

14sin/2 2

964

sin/22...

Es claro, que no es armónico mas si oscilante.

Puntos de estabilidad

En el potencial elástico U (r )=12

k r2 , corresponde a una parábola cuyo vértice es un

mínimo. Cuando se saca del equilibrio, el sistema oscila en torno este punto mínimo, que corresponde a una fuerza neta igual a cero.

Supongamos que tenemos un potencial no elástico del tipo U(x). La expansión de taylor del postencial en torno de un punto x0 viene dado por la expresión

U (x 0)+dUdx x0

(x−x 0)+12

d2Udx2

x 0

(x−x0)2+.. .


Figura 7: Perido en función del largo, y del ángulo inicial.

Ondas-2017

La fuerza conservativa se obtiene a partir del potencial, con la expresión F=− ∇U . En elcaso de U(x), corresponde a la derivada del potencial (primer termino de la serie). Cuandox0 corresponde a un punto de equilibrio, la fuerza en ese punto es cero. Si la expasión detaylor es en torno del punto de equilibrio, la expresión del potencial, tiene la forma

U (x 0)+12

d2Udx2

x 0

(x−x 0)2+.. . (ona 1)

ya que la derivada del potencial U(x) es cero.

La expansión de la ecuación (ona 1) corresponde a un polinomio de grado 2, que es unaparábola.

Veamos un ejemplo de un potencial U (x )=4 cos2(2 x) (Figura 8).

En este potencial existen máximo y mínimos. En el caso de los mínimo, es cuando la función

cos2(2 x )=0 , es de decir, los ceros son del tipo 2xn=(2n−1)π/2 , con n∈ℕ .Los

máximo corresponde a 2xm=mπ con m∈ℕ

Tanto el máximo como el mínimo con puntos donde la fuerza es cero (derivada del potenciales igual a cero). Sin embargo, los máximo representa punto inestables; cualquierperturbación en este punto lo saca del equilibrio. Por otro lado, los mínimos (

xn=(2n−1)π /4 ), son puntos estables, ya que una perturbación “pequeña” (x en torno de


Figura 8: Potencial U(x)

Ondas-2017

x0) hace que oscile en torno al punto mínimo. La estabilidad está relacionado con el signo dela segunda derivada. Cuando el signo es positivo, es estable el punto, si es negativo esinestable. Esta se relaciona con la dirección de la rama de la parabola asociada a laexpansión de taylor en torno al punto de equilibrio.

Un ejemplo de los anterior, para n=1 el punto de equilibrio x1=π /4 . La expansión

de taylor en torno de este punto es U (x )=16(x− π4)

2

, que corresponde a una parábola,

cuyo mínimo en el punto x1, y con las ramas hacia arriba.

La constante elástica a asociado a la expansión de Taylor en torno al mínimo es K=∂

2U∂ x2

x1

Por tanto, recordando la ecuación diferencial del armónico simple asociado a un resorte yuna masa,

x+w2 x=0 , donde w=√ Km

. Esta frecuencia es válida solo para x en torno del punto de

equilibrio. Como se observa en el gráfico, si x se aleja del punto de equilibrio, el periodo vaa depender de la posición inicial o de otra condición inicial.


Figura 9: Potencial U, y expansión de Taylor al grado 2.

Ondas-2017

Veamos desde el punto de la energía. Asumiendo que se conserva, ET=U (x )+Ek ( x) ,

donde ET es la energía total. Si desplazamos del punto de equilibrio una distancia u y con

velocidad incial cero, la energía total cumple ET=Ei(u)=U (u)=U (x )+Ek ( x) . Procedemos

como se hizo en el péndulo matemático, lo cual se obtiene que

dt=dx

√ 2m

[ Ei(u)−U (x)]→T=4∫x1

u dx

√ 2m

[ E i(u)−U (x )]=4√ m

2∫x1

u dx

√Ei(u)−U (x)

Para ilustrar en un ejemplo, la expresión anterior tiene la forma

T (u)=2√m2∫x1=π/4

u dx

√cos2(2 u)−cos2

(2x )

Para u cercano a x1, el periodo debe ser mas o menos constante, pero a medida que sealeja del equilibrio el periodo depende de u, como se observa en el gráfico 10

Para los valores cercanos a /4, el periodo es 0.78 x2√m , que es independiente de u.

Un punto que se quiere hacer notar. Este potencial es dependiente de una variable. La fuerza también lo

va a ser. En este caso la fuerza, si actúa en una dirección, tiene la forma f (x)=16 cos(2 x)sin(2 x) i

. Al graficar la componente en función de x, y tomando el primer término de la serie se obtiene que entorno del equilibrio se comporta como una fuerza restauradora lineal (figura 11).


(ona 2)

Figura 10: Periodo T en función de la perturbación u

Ondas-2017

Un resorte mas real

Como vimos en el capítulo de oscilaciones armónicas, la fuerza de un resorte es proporcionala la elongación. El potencial asociado es una parábola. Sin embargo, los resortes reales no son tan lineales como uno piensa.

En un estudio de deformación del resorte en función de la fuerza aplicada, se puede

obtener una relación del tipo f (x)=−Kx− x2 donde K es la constante elástica y un

numero pequeño.

Supongamos que K=10 y =0.1, la curva que se obtiene es:


Figura 11: Representación de la componente de la fuerza y la aproximación lineal

Figura 12: Fuerza y aproximación lineal

Ondas-2017

El potencial asociado a esta fuerza esta dado por la expresión U (x )=12

K x2+

x3

3.

Aplicando la ecuación ona 2, con los valores anteriores se obtiene la siguiente relación (ver figura 13)


Figura 13: Periodo en función de la perturbación y la posición inicial u

Ondas-2017

Interferencia y difracciónEn este capítulo, estudiaremos un fenómeno inherente a las ondas: la interferencia y

difracción. Solo la teoría ondulatoria puede explicar los fenómenos que vamos a discutir.Aunque lo estudiamos previamente, la óptica geométrica de la luz es aplicable solo conobjeto cuya longitud era muy superior a la longitud de onda de la luz. Cuando las longitudesson comparables, la óptica geométrica ya no es aplicable.

Interferencia

¿Que es la interferencia? Para poder entender la interferencia, primero debemosacordar ciertas notaciones. Del capítulo anterior, sabemos que podemos escribir una ondacomo r,tei(k(r-vt)). El usar complejo y funciones de ondas sinusoidales ayudará a facilitarel concepto.

Una fuente puntual sinusoidal, propaga ondas en todas la direcciones.

Lasondas sepropagan entodas lasdirecciones.

Supongamosque tenemos


Ondas-2017

dos fuentes de ondas sinosoidales, que están separados por una distancia d. Cada fuenteproducirá ondas,

Como vemos en distintos colores, la fuentes producen ondas desde su origen. Sinembargo, lo que se observa es la suma de las funciones y no las ondas separadas.

Esta imagen es la suma de las funciones en cada punto del espacio. Observe que enciertas regiones , la ondas se anulan de modo que la función sea cero;en otros puntos sesuman, siendo máximo.Cuando observamos que existe un patrón de aniquilación y/o de suma de intensidadeshablamos de interferencia. Analicemos desde otro punto de vista el problema:


Ondas-2017

Supongamos que tenemos las fuentes sincronizadas esperadas por una distancia d yse simbolizan por puntos.

En el esquema laslíneas azules corresponde ainterferencia constructiva.

Cada fuente se puededescribir como (r,t)=Iei(k(r-vt)) .

Definimos R1 es elvector de una fuente al puntoP, y R2, de la segunda fuente.Según el álgebra vectorial, seobtiene la relación D+R1=R2,o lo que es equivalente D=R2-R1. La onda resultante en elpunto P, es la suma de lasondas, es decir (r,t)=1(R1,t)+2(R2,t)

Vamos a definir intensidad como el cuadrado de onda para un r y t dado. Sin embargo,como son funciones que dependen del tiempo, es mejor usar el promedio d un periodo; es

decir =1T∫0

T

r , t2 dt

De la ecuación ID.1 se obtiene que

=1T∫0

T

1 r , t 2 r , t 2 dt=E0122

e ik⋅r1ei k⋅r 22

La función de onda podemos separarlos en e iwt eikr. La parte real de eiwt al calcular elpromedio temporal, aporta ½.

La expresión tiene la forma de I==I0 eik(r2+r1) (cos(/2))2. La Suposición es que las fuentes emisoras son de igual intensidad, esto implicanecesariamente que el resultado para es =4Icos2(/2), donde =k r1−r2 Esteúltimo termino es de interés ya que produce el fenómeno de interferencia. El máximo deintensidad se produce cuando cos()=1; esto implica que =2πm de lo cual se obtiene que2πm/k=mλ. Lo que implica que r2-r1=mλ

Desde el punto de vista analítico r1 es la distancia desde la fuente al punto, que se

puede escribir como r1= yd2

2

x2 y de forma análoga r2= y−

d22

x2


Interferencia constructiva

D

PR1

R2

ID.1

Ondas-2017

Por tanto la condición de interferencia se produce lineas hiperbólicas de máximo. En estecaso, como ambas fuentes están sincronizadas, con m=0 es la linea que divide en doszonas iguales el campo y corresponde a una interferencia constructiva.

La condición para producir mínimos es que cos( )=0, es decir =π/2*(2k+1) con kentero. Por tanto la relación para los mínimos (interferencia destructiva) es r2-r1=(k+1/2)λ.Esta ecuación también corresponde a hipérboles nodales. En una representación gráfica seobserva los nodos (interferencia destructiva) y los antinodos (interferencia constructiva).

La líneas azules representan la interferencia constructivas, zonas de máximaintensidad, y las lineas punteadas negras, son la lineas de nodales de interferenciadestructiva.

La intensidad de la onda a una distancia d va a estar descrita por la ecuación


M=0M=-1

M=-2

M=1

M=2

K=1K=-1

D Y

s

Ondas-2017

I=4I0 cos2

Yds

Esta ecuación asume que sin()es decir s es mucho mayor que D (s>>D), y podemostomar estas aproximaciones. El gráfico de intensidad a una distancia s es:

Aplicación de interferencia: Interferometría.

Medición de escalón microscópicoSupongamos que queremos medir el espesor de un escalón cuyas dimensiones son

del orden de los micrones o menores.


ID.2

Nodos

Máximos

H

Ondas-2017

En realidad queremos medir la altura H.Supongamos que los rayos luminosos inciden sobre la muestra, formando un ángulo

de respecto a la vertical.

Según la ecuación de interferencia nodal r2-r1=(m+1/2)λComo estamos hablando demagnitudes pequeñas, la distancia de observación son mucho más grandes que H, lo cualse puede considerar para los cálculo como infinito; los rayos A y B salen paralelos. La diferencia de camino es r2-r1=Hsin()=(m+1/2)λ . Pero como el ángulo es pequeño,sin()tang(). Tangente del ángulo es la distancia Y divido por L, La ecuación para medir Hes H=λ /2L/Y, para m=1, el primer linea nodal. Es decir el reflejo de la luz en el escalón va aproducir lineas negras en la imagen que se observa con el microscopio. Midiendo ladistancia entre las lineas y sabiendo la longitud de onda de la lámpara podemos obtener H.

Interferencia de mas fuentes.

Supongamos que tenemos N fuentes en fase, separadas por una distancia D.


D

D

P

S

R1R2

R3

L

H

A

B

Y

Ondas-2017

Suponiendo que el punto P esta muy lejano (S>>D), La suma de las ondas en el punto, la N fuentes se puede escribir de la forma:

E=∑i=0

N

E0 r ei kr i−wt

Factorizando por E0(r)ei(kr1-wt), la expresión anterior toma la forma:

E=Eor ei kr 1−wt ∑

j=0

N−1

e ik r j 1−r1

Si recordamos la serie ∑j=0

N

ei j=

e i N−1

e i−1

=ei N−1/2 sinN /2

sin/2donde es igual a kD/2 sin().

ya que rj+1-r1 es igual a iD/2sin().

La intensidad de la onda es I=I0

sinNkD/2sin 2

sinkD/2sin2Grafiquemos esta función:

Para N=2, N=3, N=4


Ondas-2017

Según el gráfico y la función, la intensidad de la onda en los máximos va proporcionala N2 número de fuentes. Los máximos se dan cuando kD/2sin()=mπ, otros máximoscomienzan a aparecer, de menos intensidad. Veamos otro gráfico con n mayores


Ondas-2017

la intensidad de los máximos ha aumentado, como N2. Nótese los máximos que haycon N=7, vecino al máximo central.

Para un N=50, se tiene el siguiente gráfico.


Ondas-2017

Los máximos son más intensos y los máximos secundarios se agrupan en torno a lmáximo central.

Supongamos que tenemos N=10, pero D=1, y el otra secuencia con D=0.5, D=2

Nótese el efecto el cambio de la intensidad al cambiar la distancia entre la fuentes.


Ondas-2017

Difracción

Para comenzar a hablar de difracción, debemosentender el principio de Huygens. El principio de Hueygensseñala que un frente de onda se debe a la suma de ondasesféricas cuya distancia entre ellas tiende a cero pero conun número infinitos de estas ondas. En las palabras deHuygens: “De cada punto de onda en un frente de ondaprimario sirve como fuente de onditas esféricas secundariastales que el frente de onda primario un momento más tardees el envolvente de estas onditas. Además, las onditasavanzan con una rapidez y frecuencia igual a la ondaprimaria en cada punto del espacio.”

Un frente de onda es la suma de ondas de tipo esférico, formando un nuevo frente.

Supongamos que tenemos una rendija muy pequeña, en dondeincide un frente de onda plano. Al efectuar el experimento, siendo elancho de la abertura, del orden de la longitud de onda, se producedifracción, como se observa en la figura. Esto se explica por elprincipio de Huygens, ya que al al ser más pequeño la abertura, lafuente se asemeja a una fuente puntual.

Sin embargo, al observa la intensidad a una distancia alejadade este fuente tiene un comportamiento distinto.

En el desarrollo de interferencia de N fuentes, el patrón se obtenía de una sumadiscreta de fuentes.


Frente de onda.

D

Ondas-2017

En la difracción, la suma pasa a ser una suma de elementos muy discretos,infinitesimales.

E=∑i=0

N

E0 r ei kr i−wt

≈E0 e i kr 0−wt ∫0

Dek r

rdx Del gráfico anterior, podemos obtener

r=xsin(), suponiendo que el punto de observación en muy lejano, r es una constante quedenotaremos R; r=xsin(). La integral que se obtiene es:

E=E0 e ikr0−wt 1R

sin D k/2sin D k/2 sin

Calculando el promedio en el tiempo, y llamando I0 la constante que acompaña a la función,se obtiene la expresión:

I=I0

sinD k/2sin2

D k/2sin2

Si sin(), entonces la expresión se puede aproximar (aproximación de Fraunhofer) a la

siguiente expresión I=I0

sinD k/22

D k/22. El gráfico que se obtiene es:


ID.4

Ondas-2017

La intensidad de difracción de la rendija simple está en el centro y máximo menores En la aproximación de Fraunhofer, cuando D/k/2 es igual nπ se producen mínimos.

Para obtener los máximos debemos, derivar la expresión ID.4; de la cual se obtieneque se tiene que resolver la ecuación: x-tan(x)=0, donde x=D/2k sin(). en el gráfico de tan(x)y x, observamos la existencia de varios máximos.


Ondas-2017

Los máximos en la difracción por una rendija están cuando x=1.4303π,2.5490π,3.4707π,...Dejo al lector el buscar otras raíces de la función.

Difracción por rendija múltiples

Supongamos que se tiene un arreglo como se dibuja, N rendijas de ancho D,separadas distancia A

Cada rendija se comporta como la rendija anterior, pero además se va a porducirinterferencia. Veamos un esquema:


Ondas-2017

Suponiendo que el punto P está muy lejano, de modo que los rayos se puedenconsiderar paralelos . En el punto P, la onda se puede escribir de la forma.

E=E0∑k=1

N −1

∫−D /2Ak

D /2AkeiKxsin −wt

rdx En este caso, nuevamente r para una distancia grande es

una constante r R. La expresión de la integral, sabemos que se obtiene:

E=E0 e−iwt∑k=1

N−1

sin

eiKak=E0 e−wti sin

sin N alfa sinalfa

donde =D/2Ksin() y =Ka/2sin(). La

intensidad a una gran distancia, la intensidad es:

I=I0sin

2

sinN alfa sinalfa

2

Si tenemos dos fuentes (N=2), 4 fuentes y seis fuentes, y suponiendo que a es igual a 10D,


D

A

P

Ondas-2017

Veamos con distintos valores de a.

Los máximos están van disminuyendo el valor, debido a ala función sin( lafunción envolvente.

Difracción por una abertura rectangular.


Ondas-2017

Supongamos que tenemos el siguiente montaje. En este caso la integral que debemos

calcular es bidimensional.

E=E0 ∫−a /2

a /2

∫−b /2

b /2e i kr−wt

rda

Vamos a suponer que la distancia entre la rendija la proyección de la imagen esmucho mayor que las dimensiones de a y b. en esta caso, r=(X2+(Y-y)2+(Z-z)2)0.5. Como estámuy alejado, r se puede aproximar a la siguiente expresión r=R(1-2(Yy+Zz)/R2)0.5

E=E0e i wt−kr

R∫−a /2

a /2

∫−b /2

b/2

ei kYykZz rdYdZ

Esta integral da como resultado:

E=E0

Rsin

alfa alfa

sin

donde =kaZ/(2R) y =kbY/(2R). La intensidad en el plano YZ, será

E=I 0sinalfa

alfasin

2

El diagrama de intensidad es:


a

bR

ID.5

Ondas-2017

Un máximo central, y máximo menores. El máximo principal se produce en el punto(0,0). Los máximos secundarios se produce cuando tiene un valor igual (2k+1)π/2.

Los cero de la función se producen cuando es igual a kπ con k entero.


Ondas-2017

Difracción por una abertura circular.

Supongamos ahora que en vez de una abertura rectangular, tenemos una aberturacircular de radio a.

La onda plana incidiendo sobre la abertura, es recortada . En el punto de la pantallaP la onda incidente se puede escribir como:

E=E0

ewt−kR

R∫0

a

∫0

2

ek q/R cos − dd

Por equivalencias matemáticas, que no vamos a detallar en este apunte, la integralanterior se puede expresar como:

E=E0ewt−kR

R2∫

0

a

J 0k q /R d

En la expresión aparece una nueva función J0(x). Estas funciones funciones sonconocidas como las funciones de Bessel. Al desarrollar la integral, utilizando propiedades delas funciones de Bessel, se obtiene que la intensidad a una distancia muy lejana, es igual:

I=I02J1ka sin

ka sin2

Como vemos en el gráfico de la intensidad, existen también máximos y mínimos. Nótese queel máximo central es cuando I(0) ; los mínimos es cuando J1(x)=0. La primera raíz de estafunción es cuando x=3.83. Esto implica que el radio de la imagen, del primer mínimo escuando kar/R=3.83; es to implica que el radio es: r=1.22 Rλ/(2a)


ID.6

R

Z

Y

z

y

a

P

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Los máximos secunradio están localizados cuando ddu

J1u

u=0 . Por razones de

equivalencia matemáticas los ceros corresponde a los ceros de J2(u)=0 y esto ocurre cuandou=kar/R=5.14, 8.42, 11.6.

Nótese que hemos analizado la difracción de una abertura circular. Cualquier fuenteque emita luz, y cuyas ondas interactúen con una abertura circular producirá un patrónsimilar, particular el iris del ojo.


Ondas-2017

Supongamos que usted se encuentra en una carretera en una noche oscura. Estacarretera es recta. A lo lejos se ve un luz, ¿Cuantas luces usted ve? En verdad usted vesolamente una fuente luminosa. A medida que se acerca usted comienza a notar querealmente son dos luces, hasta que pasa en frente de usted y ve que es un vehículo. Enresumen, en un comienzo usted ve una fuente, y posteriormente dos fuentes. Como cadafuente emite fuentes de ondas planas (muy alejados de la apertura), producen difracción.

Fuentes muy lejanas

La linea roja representa la suma de las dos intensidades, las lineas azul y verde son lasfuentes por separado.Distancia media. Se observa una distinción entre las fuentes.


Ondas-2017

Ya totalmente resuelto


Ondas-2017

En un momento, al acercarse el vehículo somos capaces de distinguir los dos focos;podemos resolver las fuentes.

Se observa que ha medida que se acerca las fuentes, llega un punto en dondepodemos resolver y distinguir estas fuentes. Esta capacidad se llama resolución. Laresolución depende de la abertura de diafragma o pupila.

Sabemos que el fenómeno de difracción depende la longitud de onda de la fuente. Dela ecuación ID.6 podemos obtener, para fuentes muy alejadas (sin(que λD. Elpoder de resolución de los sistemas se define como: 1/. Este es el criterio de LordRayleigh, que es cuando el primer mínimo coincide con el el disco. En una imagen, escuando

Este fenómeno es necesario tenerlo presente cuando se trabaja con fotografía. Laabertura del diafragma para la resolución de la imagen.

Funciones de BesselLas funciones de Bessel, son las solución de la siguiente ecuación diferencial

x2y''+xy'+(x2-n2)y=0, con n0. Y se anotan como Jn(x).


D

Abertura

Imágenes resueltas Imágenes superpuestas

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La expresión de serie de la función Jn(x) es:

Jn x =∑k=0

infinito−1k x /2n2k

k!nk1En el caso de J0(x), tiena la siguiente expresión J0(x)=1-x2/(22)+x4/(2242)+...y J1(x)=x/2-x3/(224)+x5/(22426)+...

En el gráfico siguiente se observan estas funciones:

Grafiquemos J1(x)/x y (J1(x)/x)2.


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Óptica GeométricaEn este nuevo capitulo, estudiaremos las propiedades de luz. Pero antes de comenzar aestablecer las leyes de la “óptica geométrica' debemos entender que es la luz.

La luz Para comenzar a entender que es la luz, debemos recordar las ecuaciones de

Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell son:

∇⋅E=

0 Expresión diferencial de la ley de Gauss

∇⋅B=0 Ausencia de monopolos magnéticos

∇ x E=−∂ B∂ t

∇ x B=J 0∂E∂ t

0 0

nótese que las ecuaciones OG.5 y OG.4 relacionan los cambios en el tiempo de loscampo con la derivadas en el espacio. Es decir, si un campo cambia en el tiempo, el otrocampo va a cambiar en el espacio.

Supongamos que estamos en el espacio, libre de fuentes de carga eléctrica y libre defuentes de corriente. Le ecuación ecuaciones de Maxwell OG.3 y OG.4 se escribe como:

∇ x E=−∂ B∂ t

y ∇ x B=∂ E∂ t

00

Derivemos la expresión OG.3' respecto al tiempo nos queda:


OG.1

OG.2

OG.3

OG.4

OG.3'

OG.4'

Ondas-2017

∇ x∂ E∂ t

=−∂2 B

∂ t 2 Pero la derivada parcial del campo eléctrico con respecto al tiempo

según la ecuación OG.4' es igual al rotor del campo B. Remplacemos esta condición en

OG.5 obteniéndose ∇ x ∇ x B1

0 0

=−∂2B

∂ t 2

Esta ecuación se puede escribir como ∇ x ∇ x= ∇ ∇⋅−∇2

Pero la divergencia de B es cero, por tanto solo sobrevive según las condiciones ellaplaciano de B

−∇2 B

100

=−∂ B∂ t

La ecuación OG.6 se puede escribir como:

∇2 B− 00

∂B∂ t

=0

La ecuación OG.7 es la expresión de la ecuación de onda para el campo magnético. Por la

ecuación OG.3, el campo eléctrico también cumple con esta ecuación: ∇2 E−0 0

∂ E∂ t

=0 .

Lo interesante de este resultado es que una perturbación electromagnética, se puedepropagar en el espacio, en ausencia de un medio físico. Hasta fines del siglo 19, se pensabaque para que la luz se propagara en el espacio debía existir un medio llamado éter. Por losexperimentos de Michelson, se demostró que éter no existe, y por la teoría deMaxwell,demostró que no era necesario este material, las ondas se propagan en el espacio“vacío”.

La luz se propaga desde el sol, en el vacío. Por otros fenómenos de difracción einterferencia que discutiremos después, la luz se comporta como una onda.

Otra cualidad que tiene la luz es que son campos eléctricos y magnéticos que sepropagan, pero no arbitrariamente. Por la ecuación GO.3, el campo magnético esperpendicular al campo eléctrico, o el campo eléctrico es perpendicular al campo magnético.

En la ecuación de onda OG.6, la velocidad de propagación en el medio esta dado por la

formula C=1/()=299792458x108 m/seg.


OG.5

OG.6

OG.7

Ondas-2017

Definamos el vector de Poyntig como S=ExB. Este vector, por la definición esperpendicular a E y B. Pero, como se dijo los campos son perpendiculares entre si.

Lo interesante es que l vector de Poyting, indica la dirección de la propagación del flujoenergético de la onda. Mientas no existe un obstáculo la onda se propagará en línea recta.

Este es uno de los principio de la óptica geométrica. La luz se propaga en línearecta. Esto se comprueba cuando los objetos son de dimensiones muy superiores a lalongitud de onda de la Luz.

Leyes de óptica En el estudio de la luz, antes que apareciera la teoría electromagnética, se conocían

ciertos comportamientos que pasaron a ser leyes naturales. En óptica geométrica seresumen:

1. La luz se propaga en linea recta. Un fuente luminosa irradia en todas la direcciones y ladirección es en línea recta en un medio isotópico y homogéneo.

La ley de reflexión: Se tiene un has incidente sobre una superficie que tiene la propiedad

de reflejar la luz. El ángulo saliente s, es igual al ángulo incidente i. Es decir :

is


i s

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2. La ley de Snell. Este ley es muy interesante. Se produce cuando la luz pasa de unmedio óptico a otro. Recordemos cuando niños y jugábamos con un tenedor, agua y unvaso. Nos llamaba la atención como la imagen del tenedor se quiebra. Esta observaciónfue cualificada y se dedujo una ley al respecto.

Supongamos que tenemos dos medio ópticos distintos, y hacemos incidir una has deluz sobre la superficie., pero de modo que se pueda trasmitir por el medio.

La ley de Snell dice:

nisin(i)=ntsin(t).

Donde ni, nt son los “índices de refracción” delos materiales.

Estos índices caracterizan óptimamenteal material y está relacionado con la velocidadde propagación de la luz en el medio.

Principio de FermatLas leyes vista anteriormente sobre la base de un principio: el principio de Fermat.

Este señala: “La luz recorre un camino, modo que el tiempo sea mínimo”.

Veamos una aplicación:

Supongamos que tenemos una fuente P a una altura h, u observador en un punto Q, ala misma altura y has que se refleja en el punto X.

La velocidad de propagación de la luzes v. La distancia total que debe recorrer el hasdel segmento PXQ. El tiempo es t=(d1+d2)/V.Para minimizar el tiempo debemos minimizarla distancia PXQ.

Escribamos d1=(X2+H2)0.5 y d2=((D-

x)2+H2)0.5. El ángulo sin()=X/(X2+H2)0.5 y

sin()=(D-X)/((D-x)2+H2)0.5.


i

t

P Q

H H

d1d2

X

D

Ondas-2017

La función que debemos minimizar y encontrar el valor de X es:

t x =1Vx2

H2

D− x2H 2

V

Si graficamos esta función con d=5, H=1, se observa que la función posee un mínimo.

Es este mínimo es que nos interesa. Al derivar la expresión se obtiene que :

dtdx

=x

x2h2

D− x

D−x 2h2=0 . Sin embargo, el primer sumando es sin() y el segundo

corresponde a sin( deben ser iguales., lo que implica que

Si derivamos y evaluamos en X=D/2, obtenemos un mínimo. En esta condición, el ángulo

es igual al , cumpliendo con la ley de reflexión.

Una demostración geométrica es:

Dibujamos la imagen especular de Q, auna distancia H. Los puntos PQQ',pertenecen a los lados de unrectángulo. La diagonal que une P y Q'pasa por el centro de masa del cubo.Geométricamente la distancia máscorta entre los puntos P y Q' es ladiagonal. Por tanto el tramo del puntomedio a Q es igual de P al puntomedio, y por tanto los ángulos soniguales.


P Q

H H

d1d2

X

D

H

Q'

Ondas-2017

Esto demuestra la ley de reflexión.

Veamos la ley de Snell.

Supongamos que tenemosuna señorita que se estáahogando en el mar a una distanciaH de la playa. El salvavidas está auna distancia H' . El bañista semueve a una velocidad Va en laarena y en el agua Vw.

El bañista en la arena solopuede correr en linea recta, y nadaren linea recta. La cuestión que elbañista debe llegar en el menortiempo posible.

La distancia del salvavidas a la bañista es:

d x = D2x 2

L−x 2D ?2

Peo el tiempo está dado por la ecuación:

t x =x2D2

VaL−x 2

D ?2

Vw

Derivando la expresión OG.8 e igualando a cero (buscando mínimo) podemos obtener una relación entre los ángulos incidentes.

dtdx

=x

x2D2

1Va

−L− x

L−x 2D ' 2

1Vw

=0 .

Pero sin(i)=x

x2D2

y sin(t)=

L−x

L−x 2D ?2

, La expresión OG.8 se puede

escribir de la forma:


Salvavidas

Bañista

D

L

X

i

tD'

OG.8

OG.9

Ondas-2017

sin i 1

Va=sin t

1Vw

. Si multiplicamos esta igualdad por la velocidad C, que es la

velocidad del “bañista en el vacío”. Esta expresión tiene la forma:

sin i CVa

=sin tC

Vw

Definimos ni=C/Va y nt=C/Vw

La expresión OG.10 se puede escribir como: sin i ni=nt sin t

La expresión OG.11 es la ley de Snell.

La ley de reflexión, y la de Snell son consecuencia de del cambio de velocidad de unmedio óptico y que la luz minimiza el tiempo entre dos puntos.


OG.10

OG.11

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Reflexión y Refracción: Aplicaciones

En este capítulo estudiaremos las aplicaciones de los principios mencionados. Muchos de nuestra vida cotidiana está rodeado por artefacto que usan y aplican estos principios.

Superficies reflectoras: Espejos.Supongamos que tenemos una superficie reflectora (Espejo).Si tenemos una fuente P a una distancia s de un plano reflector, los rayos reflejados

saldrán en líneas recta, cumpliendo el principio de reflexión.

El objeto emite rayos y sonreflejados, de modo que cumpla con elprincipio de reflexión. Los rayos reflejadosproducen una imagen para un observadordel objeto de modo que el objeto seobserva a una distancia S pero del otrolado (P').


Espejo

Fuente luminosa

Rayos de Luz

S SPP'

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Acordemos una nomenclatura para la descripción de estos fenómenos. La distancia dela superficie reflectora al objeto, en un sentido opuesto a la luz incidente, la distancia serápositiva.

La imagen P' del objeto la llamaremos, “imagen virtual” ya que la luz no procederealmente del objeto virtual. En este caso la distancia del objeto y de la imagen virtual son lamisma.

Un fenómeno de este tipo, son las imágenes múltiples. Supongamos una fuenteP un espejo que forma un ángulo de 90°

Como observamos la imagen de P es P'. lo interesante de este espejo compuesto, esque la imagen que s observa no está invertida ya que se ha reflejado 2 veces.

Recordemos que si tenemos un objeto que emite luz frente a un espejo la imagen quese forma es el reflejo especular del objeto.


P

P''

P'

Fuente de Luz

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Espejos Analicemos una de las consecuencia de la ley de reflexión sobre superficie curvas; en

particular superficies esferoides. Supongamos que tenemos una superficie elipsoidal y que una fuente está en uno de

los focos.

Una de las características de la superficie elipsoidal es que en cualquier punto que se refleje un rayo, el rayo reflejado este en la dirección del otro foco. Todo Rayo reflejado en la superficie interior pasa por el orto foco F'. Supongamos que el foco F, donde este la fuente es alejada hasta infinito; se obtiene una superficie parabólica de modo que los rayos de unafuente que este en infinito son reflejado y concentrado en un punto.


F F'

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Este tipo de de espejos es que se observa en las antenas d microondas o radios telescopios. Sin embargo, para el ámbito comercial estos diseños son caros, y se usan aproximaciones de espejos esféricos.

Espejos esféricos

Supongamos que tenemos una superficie esférica.

La ecuación de esta curva esta descrita por la ecuación y2+(x-R)2=R2. Despejemos x; dando como resultado x=R(R2-y2)0.5. En una expansión en serie en función de y , tomando la forma la serie

x=y2

2R

y4

23 2 ! R3

1∗3∗y3

233 ! R5...

Tomando el primer termino, podemos despejar y encontrar la ecuación y en función de x: y2=2Rx. el foco de esta parábola es f=R/2.

Los demás términos son despreciable para los efectos prácticos.


Y

X

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En una superficie esférica cóncava de modo que todos los rayos que provienen de infinito sean reflejado y se intercepten en un sólo punto que denotamos como f.

La distancia del punto f al espejo lo llamaremos la distancia focal con f=R/2.

Supongamos que la fuente está a una distancia s del borde del espejo.

Tenemos las siguiente relación:

M=h 'h=−s '

s


S P

A

C

S0

S1

R

H

H'

Imagen real

R

P

P'

f

Eje óptico: eje de simetría

RR.1

Ondas-2017

El signo menos aparece por la inversión de la imagen. Escribamos el tangente de .Se obtiene:

tang =h

s−R RR.2 y también tang =−h

'R−s '

.RR.3.

Dividiendo RR.2 por RR.1 se obtiene:h 'h=−R−s '

s−R=−s '

s

De la relación RR.4 se obtiene:

1S0

1S1

=2R

Esta ecuación es que la relaciona las distancias de la fuentes y convergencia de los rayos luminosos a un foco dado. El foco del espejo es f=R/2.


RR.4

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Convención de los signos:

Para entender los signos, existe una convención de signo para el foco, S0, S1.

Tabla Convenciones de signos para e espejos esféricos.Cantidad Signos

+ -

S0 Izquierda de V, objeto real Derecha de V, objeto virtual

S1 Izquierda de V, imagen real Derecha de v, imagen virtual

f Si el centro de curvatura se localizan frente al espejo (Espejos cóncavos)

El centro de curvatura se localiza atrás del espejo (Espejos convexos)

R C a la derecha de V, convexo C a la izquierda V, cóncavo

y0 Arriba del eje objeto derecho Debajo del eje, objeto invertido

y1 Arriba de eje, imagen derecha

Debajo del eje, imagen invertida.

Espejos Cóncavo. Observemos la formación de una imagen virtual cuando el objeto está dentro de la región del foco y el espejo, en un espejo cóncavo.


FC O Imagen virtual

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Veamos un espejo convexo , donde se forma la imagen.

Para saber que forma va a tener la imagen y donde se va formar usando argumentos geométricos, podemos utilizar los siguientes pasos:

1. El rayo 1 se traza paralelo al eje óptico, partiendo de la cabeza del objeto y se refleja por el punto focal F.

2. el segundo, el rayo 2, se traza desde la cabeza del objeto a través del punto focal. Por lo tanto, es reflejado, paralelo al eje óptico.

3. El tercero, el rayo 3, se traza desde la cabeza del objeto pasando por el centro de curvatura, C, reflejándose sobre si mismo.

Refracción: Medios ópticosSupongamos que tenemos un cambio de medios óptico, como por ejemplo vidrio aire

o agua. En este caso se aplica el principio de Snell.


1

32

Ondas-2017

La imagen visto desde un observador del medio óptico derecho la ve más cerca que larealidad. Esto se debe al cambio de dirección de la luz al pasar de un medio a otro. En la tabla siguiente se presentan algunos indices de refracción de sustasncias sólidas y líquidas.

Tabla de indice de refracción de sustancias sólidas y líquidas.Sustancia Sólido 20 °C n Sustancias líquidas 20

°Cn

Diamante (C) 0,002 Benceno 0,002

Fluorita (CaF2) 0,001 Disulfuro de Carbono 0,002

Cuarzo fundido (SiO2) 0,001 Tetracloruro de Carono 0,001

Vidrio Crown 0,002 Alcohol Etílico 0,001

Hielo (H2O) 0,001 Glicerina 0,001

Poliestireno 0,001 Agua 0,001

Cloruro de sodio 0,002 Aire Gases 0 °C 1 Atm 0,001

Curcón 0,002 CO2 Gas, 0 °C 1 Atm 0,001

Supongamos que tenemos un interfaz de forma circular.

Según el diagrama, la distancia L' se puede escribir como:L'= R2

S '−R22R S '−Rcos y L= R2SR2

−2RSRcos . La longitud del camino óptico es n'L'+nL. Minimizando el camino óptico con respecto al ángulo . De esta operación se obtiene la siguiente expresión:

nR SR sin

2L−

n ' RS '−Rsin

2L '=0

De la ecuación RR.5 se deduce la ecuación de la interfase de medios:nL

n 'L '

=1R

n ' S 'L '

−nSL


RR.5

RR.6

Ondas-2017

Este relación es exacta, pero un poco complicada. En la aproximación paraxial, elángulo se considera pequeño, cos() 1 y sin() . Las aproximaciones implica que LS

y que L'S'. La expresión RR.6 se escribe nS

n 'S '

=n '−n

R. Notemos que si S tiende a

infinito, la imagen se en el medio prima (') se forma a una distancia S'=n'/((n'-n)R). Definimoscomo f'=n'/((n'-n)R) en el medio '. Si la fuente está en S' en infinito, la imagen se concentraen S=n/(R(n'-n)): el foco es f=n/(R(n'-n)).


S' S

HRL' L

it

Ondas-2017

Lentes e instrumentos Ópticos.

En este capítulo estudiaremos los lentes y la combinación de estos para producir instrumentos ópticos, tales como los telescopios y microscopios.

Lentes.Supongamos que tenemos un material de indice de refracción n', en un medio de

refracción n, con las dimensiones que muestra la figura. En el lado izquierdo está la fuente, y la fase izquierda tiene un radio de curvatura R; el lado derecho, un radio de curvatura R'. en la condiciones del dibujo, el R se considera positivo, al igual que R'.


Dibujo 1: Esquema de un lente grueso

S0 S

1D-S

1 S2

D

Indice n'

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Como hemos visto del capitulo anterior la relación entre las distancia S0 y S1, estádad por la expresión, en una aproximación paraxial.

nS¿

n 'S1

=n '−n

R

Sin embargo, la imagen virtual formada dentro del medio, también cumple con la ecuaciónanterior, es decir

n 'D−S1

nS2

=n−n '

R'

Sumando las ecuaciones L.1 y L.2, obtenemos la expresión:nS0

nS2

n 'D

S1D−S1=n '−n

1R−

1R '

La expresión L.3 es para un “lente” grueso. Sin embargo, los lentes conocidocorresponde a D pequeños, y una aproximación válida es D cercano a cero. En estaaproximación, la expresión L.3 toma la forma:

1S0

1S2

=n '−n

n

1R−

1R '

Nótese que la expresión L.5, corresponde a la ecuación deducida para los espejos, yse aplica para lentes delgados. El foco del lente es :

f =

nn '−n1R−

1R

'

La curvatura R es importante para definir el foco del lente, ya que la combinación deradio de curvatura caracteriza en parte al lente. Por ejemplo si R=R', el foco tiende a infinito.En caso de los lentes que son diseñados para un medio atmosférico , n es iguala a 1(n=1.0005). La fórmula del foco es para este tipo de lente:

f =

1n '−11R−

1R

'


L.1

L.2

L.3

L.5

Ondas-2017

Veamos los tipos de lente, cambiando las curvaturas R y R'. Tipo de lentes R R'

Positivo Negativo

Positivo positivo

Negativo Negativo

Negativo Positivo

Cuando los lentes tienen unfoco positivo, podemos decir que sonlentes convergentes, si tiene un foconegativo, son lentes divergentes.Veamos en un esquema este último.

La distancia del foco es virtual;corresponde a la intersección de losrayos.


f

Ondas-2017

Veamos como se ve un objeto, de acuerdo a estos lentes.

Nótese que la imagen es virtual, no real

Composición de Lentes

Hasta el momento hemos deducido la ecuación de un lente y hemos conocido laecuación de un espejo. Sin embargo la combinación de estos dan como resultadosinstrumentos ópticos , como el telescopio y/o microscopio, lupas compuestas etc.

Supongamos que tenemos dos lentes de distintos focos separados a una distancia D.

La flecha es la imagen vista de de un observador del lado izquierdo de la figura.Nótese que la imagen está aumentada con respecto a la imagen original. El observador ve la


D

f1, foco f2, foco

Ondas-2017

imagen aumentada. Este es el funcionamiento básico del microscopio. Este modelo esbásico. El microscopio real usa mas de un lente.

La ecuación del conjunto esta dado por la siguientes ecuaciones.

El primer lente cumple con la fórmula

1S

1S '

=1f 1

El segundo lente, con la ecuación:1

D−S '

1S ' '

=1f 2

Sumando las ecuaciones L.6 y L./ nos da como resultado:1S

1S ' '

=1f 1

1f 2

−D

S ' D−S '

si los lentes están en contacto, la distancia D se puede considerar como D=0; laecuación L.8 tiene la forma

1S

1S ' '

=1f 1

1f 2

El foco de los lentes combinados cumple con 1F=

1f 1

1f 2

.

El aumento que experimenta una imagen es:

h: Altura original del objeto.h': Altura aparente del primer lenteh'': Altura aparente del segundo lente

Luego, el aumento es:h 'h

h ' 'h '

=h ' 'h

=SS '

D−S 'S ' '

. Si D=0, obtenemos la ecuación de

un lente.


L.6

L.7

L.8

Ondas-2017


ondas 2017

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