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Joaquín Bernal Méndez/Ana Mª Marco Ramírez Curso 2013/2014
Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
Movimiento ondulatorio
Física I
Grado en Ingeniería de Organización Industrial
Primer Curso
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias
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Introducción: ondas mecánicas
Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia
Ondas en el agua, ondas de sonido…
Clasificación según el medio de propagación:Mecánicas: perturbación de un medio.
Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una cuerda…
Electromagnéticas: no requieren un medio.Luz, rayos X, ondas de radio…
transmiten energía
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Ondas mecánicas
La formación y propagación de una onda mecánica requiere:
Una fuente de perturbaciónEj: Piedra que cae en el agua
Un medio que pueda ser perturbadoEj: El agua
Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio
Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua
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Ondas transversales y longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
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Ondas transversales y longitudinales
Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:
Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)
Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Función de onda
Pulso que viaja en una cuerda:
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Función de ondaPulso que viaja en una cuerda:
y
yx
x
0t ( , 0) ( )y x t f x
( , ) ( )y x t f x vt
P v
t
vt
P
Px
P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x
Función de onda
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Función de onda
Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama)Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso
( , ) ( )y x t f x vt
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidales
Descripción y representaciónEcuación de onda lineal
Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Ondas sinusoidales
Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):
Tren de ondas sinusoidales o armónicas
Cada partícula de la cuerda describe un MAS
Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas
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Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud
Longitud de onda (): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):
Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio
y
x
A
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Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada partícula del medio:
Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia
Ondas sinusoidales: frecuencia y velocidad
y
t
T1
fT
vT
CUIDADO: No confundir v con vy
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Ondas sinusoidales: representación matemática
x
y
( ,0) seny x A kx
2k
Número de onda (m-1)
Constante de fase
• En t=0:
Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada y cuyo valor en x=0 es Asen()
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Ondas sinusoidales: representación matemática
En un instante t:
Signo +: onda que viaja hacia x decreciente
Signo -: onda que viaja hacia x creciente
Donde:
Entonces:
( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt
2 2kv
T T
Frecuencia angular
( , ) sen( )y x t A kx t
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Ondas sinusoidales: resumen
( , ) sen( )y x t A kx t
• Amplitud:
• Longitud de onda:
• Frecuencia:
•Velocidad de la onda:
1f
T
A
v fT
2k
22 f
T
frecuencia angular
k
número de onda
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Ecuación de onda lineal( , ) sen( )y x t A kx t
cos( )y
yv A kx t
t
22
2sen( )y
ya A kx t
t
cos( )y
kA kx tx
2
22
sen( )y
k A kx tx
2 2
2 2 2 2
1 1y y
k x t
2 2 2
2 2 2
y k y
x t
2 2
2 2 2
1y y
x v t
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Ecuación de onda lineal
Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal
Ondas armónicas son una posible solución
Solución general: onda viajera
2 2
2 2 2
1y y
x v t
( , ) ( )y x t f x vt
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Es solución de la ecuación de ondas lineal
Ecuación de onda lineal
2 2
2 2 2
1y y
x v t
2 2 2
2 2 2
y f f
x x
( , ) ( )y x t f x vt
y f f
x x
• Demostración: x vt Fase:
y f fv
t t
2 2 22
2 2 2
y f fv v
t t
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas lineales
Onda en una cuerdaOnda de sonido
Onda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Velocidad de las ondas
Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.
Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las propiedades del medio a través del que se mueven
Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad
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Velocidad de las ondas: onda en una cuerda
Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadSi usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta
Para una cuerda homogénea:
tF
tFv
dm
dL densidad de masa lineal
m
L
L
m
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Velocidad de las ondas: ondas sonoras
Bv
Módulo de compresibilidad:
Densidad de masa
PB
V V
Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:
Ondas de sonido en un fluido
v (propiedad elástica del medio)
(propiedad inercial del medio)
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Velocidad de las ondas: ondas sonoras
Bv
Medio v (m/s)
Hidrógeno (0º C) 1286
Aire (20º C) 343
Aire (0º C) 331
Agua (20ºC) 1482
Agua (0º C) 1402
BT
En un gas:
Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago
83 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz
0.33 km/sv 0.333
kms km
s
xd vt x
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Velocidad de las ondas: observaciones
La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma
La velocidad de la onda depende del medio
La longitud de onda se obtiene de:v
f
Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf
5
14821.5
10
m/scm
1/s
v
f
Agua a 20º C
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas. Ondas estacionarias.
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Onda en una cuerda: energía transmitida
Una onda que se propaga en un medio transporta energía:
Un trozo de corcho sube y baja en el aguaUn pulso en una cuerda puede levantar una masa
Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdaVamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino
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Onda en una cuerda: energía transmitida
sent t t tP F v Fv
Potencia:
Ondas lineales A<< sen tan
tant t t
y yP Fv F
t x
Válido para cualquier forma de onda
( , ) sen( )y x t A kx t
cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t 2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v
v
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Onda en una cuerda: energía transmitida
Potencia promedio:
Es la mitad de la potencia instantánea máxima
: general para ondas sinusoidales
2 2 2
0 0
1
2
1 1( , ) cos ( )
T T
mP P x t dt v A kx t dtT T
2 21
2mP v A
2 2,mP A
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Onda en una cuerda: energía transmitida
Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:
m m m
xE P t P
v
2 21
2mE A x
La energía viaja a la velocidad de la onda
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Índice
IntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaReflexión y transmisión de ondas
Reflexión totalTransmisión
Superposición de ondas. Ondas estacionarias
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Reflexión y transmisión de ondas
Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinitoVamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.Fenómenos relacionados:
Reflexión: onda que regresaEjemplo: eco
Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio
Ejemplo: luz en el agua
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo fijo
Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión total: onda en una cuerdaCuerda con extremo libre
Pulso reflejado con la misma forma que el incidente
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Reflexión y transmisión de ondas
Reflexión-transmisión: onda en una cuerdaCuerda pesadaunida a otra másligera
Cuerda ligera unida a otra máspesada
Onda reflejada no se invierte
Onda reflejada es invertida
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Reflexión y transmisión de ondas
Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente
Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante
Ejemplo: oído interno de los peces
Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante
Ejemplo: radiocomunicación
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ÍndiceIntroducciónFunción de ondaOndas sinusoidalesVelocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda: energía transmitidaOndas de sonidoEfecto DopplerReflexión y transmisión de ondasSuperposición de ondas
Principio de superposiciónInterferencia de ondas armónicasOndas estacionarias
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Superposición de ondasEn un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente
Ejemplo: varias personas hablando a la vez
Principio de superposición:
Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas
Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda
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Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen
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Superposición de ondas
Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas
Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen
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• Onda resultante con la misma f y • La amplitud depende de (diferencia de fase)
Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:
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Onda 1
Onda 2 Onda resultante
Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas
Si =0, cos()=1 y A’=2A; interferencia constructiva
Si = cos()=0 y A’=0; interferencia destructiva
1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t
Onda 2
Onda 1
Onda resultanteA
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Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia, viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas:
Nodos:
Vientres:
Superposición de ondas:Ondas estacionarias (I)
2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( De nuevo, usamos:
1
2
sen( )
sen( )
y A kx t
y A kx t
1 2 2 sen( )cos( )y y y A kx t
sen( ) 02
kx kx n x n
1 1sen( ) 1
2 2 2kx kx n x n
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Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda estacionaria en un periodo completo:
Superposición de ondas:Ondas estacionarias (II)
2
0 0
sen(2 ) sen(2 )1 1
( , ) t
T T
m F kA kx tP P x t dt dtT T
( 2 sen( )sen( ))( 2 cos( )cos( ))t t
y yP F F A kx t k A kx t
t x
2 sen(2 )sen(2 )tP F kA kx t
2 sen(2 )1 1
cos(4 ) cos(0) 02 tm F kA kxP
T
¡No se propaga!