numeroscomplejos (1)

VARIABLE COMPLEJA: NOTAS PRELIMINARES

VICTOR

1. Numeros complejos

1.1. El cuerpo de los numeros complejos. Asumimosque i2 = 1, entonces un numero complejo se representa porz = + i donde y son reales, es la parte real y es laparte imaginaria.

Se dene la suma y el producto mediante

( + i) + ( + i) = ( + ) + i( + )

( + i) ( + i) = ( ) + i( + )Cada numero complejo no nulo + i tiene un inverso

1

+ i=

i2 + 2

Si denotamos por C el conjunto de los numeros complejos, sepuede vericar que la suma y el producto dotan a C de unaestructura de cuerpo conmutativo.

La ecuacion x2 + 1 = 0 no tiene solucion en el cuerpo de losnumeros reales (porque?), pero tiene solucion en el cuerpo de losnumeros complejos, tiene 2 soluciones i y i.El cuerpo de los numeros reales puede ser visto como un sub-

cuerpo de los numeros complejos. Se tiene:

R! C; ' : ! + i 01

2 VICTOR

'(z + w) = '(z) + '(w); '(zw) = '(z)'(w)

En el cuerpo de los numeros reales R se tiene un orden compat-ible con la suma y producto. Recordemos que R es un cuerpoarquimediano, ordenado y completo.

En el cuerpo de los numeros complejos no se puede poner unorden compatible con la suma y el producto.

A modo de ejercicio demuestre que si + i con 6= 0 en-tonces:

p + i = (

s +

p2 + 2

2+ i

j j

s +

p2 + 2

2)

Si = 0 entonces: p cuando 0ip cuando < 0

1.2. Representacion geometrica. Consideremos el espaciovectorial R2 con la base canonica e1 = (1; 0); e2 = (0; 1) y elproducto interno euclideano habitual.

Cada numero complejo z = + i se puede representar comoun vector ~z con coordenadas (; ).

C$ R2; ' : + i $ (; )Se pueda notar que la suma de numeros complejos corresponde

a la suma vectores.

Si un numero complejo z = +i se multiplica por un numeroreal r ello corresponde a multiplicar el vector ~z por el escalar realr.

VARIABLE COMPLEJA: NOTAS PRELIMINARES 3

En el espacio vectorial R2 tenemos entonces un producto in-terno denotado por < (; ); (; ) >= + , una norma

k (; ) k=p2 + 2, una distancia d(!z ;!w ) =k !z !w k y

podemos tambien medir angulos entre dos vectores.

Al numero complejo z = + i le podemos asociar el numerocomplejo conjugado ez = i, claramente se tiene:

z^ + w = ez + ew; eez = zRecordemos que se dene el modulo de z como j z j= pz ez

entonces j z j=k !z k.Tenemos entonces:

(1) j z j=j ez j para cada z 2 C.(2) j z j 0 para cada z 2 C.(3) j z j= 0 si y solamente si z = 0.(4) j zw j=j z jj w j para cada z; w 2 C(5) j z + w jj z j + j w j para cada z; w 2 C.

1.3. Algunas observaciones de topologa. Siendo el planocomplejo C un espacio metrico con la distancia d(z; w) =j z w j, podemos considerar bolas abiertas, abiertos, cerrados yotros conceptos de la topologa y el analisis.

Revisemos algunos conceptos y resultados conocidos previa-mente:

Una vecindad de centro z0 2 C y radio r > 0 es un discoabierto con centro z0 y radio r, es decir

V (z0; r) = fz 2 C=jz z0j < rg

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naturalmente un disco cerrado con centro z0 y radio r, se deno-tara por

V (z0; r) = fz 2 C=jz z0j rg

Un subconjunto U C es abierto si para cada w 2 U existeuna vecindad V (w; r) tal que V (w; r) U .Un subconjunto C C es cerrado si su complemento es un

abierto.

Sea X C, z 2 C es un punto de acumulacion de Xsi y solo si cada vecindad de z contiene innitos puntos de X .Un punto z 2 C es un punto aislado de X si z tiene unavecindad cuya interseccion con X es z.

Sea fng1n=1 una sucesion de numeros reales tiene un lmitea 2 R, si para cada > 0 existe n0 2 N tal que jn aj < para cada n n0.Sea fng1n=1 una sucesion de numeros reales, la sucesion es de

Cauchy si para cada > 0 existe n0 2 N tal que jn mj < cada vez que n n0 y m n0.En R y C cada sucesion de Cauchy converge, es decir son

espacios metricos completos.

Un subconjunto A C es acotado si existe r 2 R tal queA V (0; r)Un subconjunto C C es compacto si y solamente si es

cerrado y acotado.

Una curva poligonal en C es la union nita de segmentosde lne [z0; z1] [ [z1; z2] [ ::: [ [zn1; zn].


Un subconjuntoD C es poligonalmente conexo si cadapar de puntos z1; z2 2 D pueden ser unidos por una curva polig-onal completamente contenida en D.

Un subconjunto D C abierto y no vaco es conexo si ysolamente si es poligonalmente conexo. Un subconjunto D novaco, abierto y conexo, generalmente se llama una region.

A menudo nos referiremos a los siguentes subconjuntos de C,el disco unitario D = fz 2 C= j z j< 1g, el semiplano superiorH = fz = + i= > 0g.Se propone a modo de ejercicio de repaso, revisar que propiedades

anteriores tienen o no tienen los siguentes subconjuntos del plano:

(1) C, V (z0; r), V (z0; r), D, H.(2) R, A = f1 + in=n 2 Ng, B = fz = + i= = 1g(3) = fn + im=n;m 2 Zg, S = fz = + i= j j< a; j

j< b; g, L = fz = + i= = g.(4) La sucesion fzng1n=1 con zn = 1+ i( 1n), la sucesion fzng1n=1

con zn = n + i1n, la sucesion fzng1n=1 con zn = in y la

sucesion fzng1n=1 con zn = in!.1.4. Representacion polar. Sea z = + i, si (r; ) son lascoordenadas polares de (; ) entonces:

= r cos ; = r sin

entonces podemos escribir z = r(cos + i sin ) en esta notacionr es siempre mayor o igual a cero y corresponde al modulo j z j.El angulo polar se llama el argumento del numero complejoy se denota por arg(z).

Si se consideran dos numeros complejos:

z1 = r1(cos 1 + i sin 1); z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

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mediante las formulas de adicion para sin y cos se obtiene que:

z1z2 = r1r2(cos(1 + 2) + i sin(1 + 2))

de donde se tiene que

j z1z2 j= r1r2; arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)Se puede notar que el argumento de 0 no esta denido, la

formula anterior tiene sentido si z1 y z2 son diferentes de 0. Porotra parte el angulo polar esta determinado modulo multiplosde 2.

Si z = r(cos + i sin ) , entonces zn = rn(cosn + i sinn).Si r = 1 se obtienen la conocida formula de Moivre

(cos + i sin )n = cosn + i sinn

la que permite expresar de una manera simple cosn y sinnen terminos de cos y sin .

Lo anterior permite resolver la ecuacion: zn = a, si suponemosque a = (cos + i sin) y z = r(cos + i sin ) se obtieneque rn = y n = de donde se obtiene una solucion: z =

()1n(cos n + i sin

n), sin embargo hay n soluciones dadas por:

z = ()1n [cos(

n+k

2

n)+i sin(

n+k

2

n)]; k = 0; k = 1; :::; (n1)

se puede notar que las n races son vertices de un polgono reg-ular de n lados inscrito en un crculo de radio j a j.En el caso a = 1, se trata de las races n-esimas de la unidad

si: ! = cos 2n + i sin2n , entonces ellas son 1; !; !

2; :::; !n1.Como zn1 = (z1)(zn1+zn2+ :::+z2+z+1), entonces

si ! es una raz de la unidad diferente de 1, ella satisface la


ecuacion:

1 + ! + !2 + ::: + !n2 + !n1 = 0

1.5. La esfera de Riemann. En el espacio vectorial R3 conla base canonica e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1) y elproducto interno euclideano habitual. Consideramos la esferaunitaria unitaria:

S2 = f(x1; x2; x3) 2 R3=x21 + x22 + x23 = 1gy el plano:

H = R2 = C = f(x1; x2; x3) 2 R3= x3 = 0gse puede realizar una proyeccion de : S2 f(0; 0; 1)g ! Hcon centro el polo norte n = (0; 0; 1). Un ejercicio de geometra( recta que pasa por n y (x1; x2; x3) 2 S2 hacerlo), permitedeterminar (x1; x2; x3) = (

x11x3 ;

x21x3 ; 0) = + i = z 2 C.

La transformacion ( llamada proyeccion esterograca) poneen correspondencia biyectiva C con S2 f(0; 0; 1)g y entoncesse puede identicar C [ f1g con S2 donde 1 corresponde alpolo norte n. Se puede notar ademas que el hemisferio x3 < 0corresponde al disco abierto j z j< 1 y el hemisferio x3 > 0corresponde al abierto j z j> 1.La proyeccion esterograca transforma cada lnea recta de

H = R2 = C en un crculo en S2 que pasa por el polo norte.Cada crculo en S2 corresponde a un crculo o una recta en H ,el lector puede demostrarlo rigurosamente.

Con la ayuda de la inversa de se puede calcular entre los pun-tos (x1; x2; x3) y (x

01; x

02; x

03) de la esfera S

2 donde (x1; x2; x3) =z y (x

01; x

02; x

03) = z

0, se obtiene:

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d(z; z0) =

2 j z z0 jp(1+ j z j2)(1+ j z0 j2)

d(z;1) = 2p1+ j z j2

se puede notar que d(z; z0) ! 0 si y solo si j z z0 j! 0, la

metrica d denida en S2 es llamada la metrica cordal.

Consideremos U1 = S2f(0; 0; 1)g S2, junto a la aplicacion

1 : U1 ! C denida por 1(x1; x2; x3) = x11x3 + ix2

1x3 = z 2C, notar que 1(x1; x2; x3) 6= 0.Consideremos U2 = S

2 f(0; 0;1)g S2, junto a la apli-cacion 2 : U1 ! C denida por 2(x1; x2; x3) = x11+x3+i

x21+x3

=

w 2 C, notar que 2(x1; x2; x3) 6= 0. Notar que S2 U1 \ U2.Sea 1 : U1\U2 ! 1(U1\U2) Cf0g y la trasformacion

2 : U1 \ U2 ! 2(U1 \ U2) C f0g.U1 \ U2 U1 \ U2

1(U1 \ U2) 2(U1 \ U2)

-id

?

1?

2

-

Sea z 6= 0 por 11 va en (x1; x2; x3) 2 U1\U2 y ahora por 2va en x11+x3 + i

x21+x3

= w, es decir: = 2 11 (z) = w, usandoque x21+x

22+x

23 = 1 el lector puede probar que w =

1z entonces

2 11 (z) = 1z .Lo anterior "justicara": si queremos mirar el comportamiento

en f1g en el plano complejo extendido C[f1g debemos cam-biar la variable z por la variable w = 1z .

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