nuevo 2010 i_tecnicas de integracion_utp(2)

Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II

Lic. : Valverde Sandoval, Oscar G. 1

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN DIRECTA

De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente deintegración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitivade forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarlanos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

EJEMPLO: 22xdx x c, c ; porque 2D x c 2xx

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRACIÓN

P1. k f x dx k f x dx, k

Esta propiedad indica que podemos sacar un factorconstante de la integral.

P2. Si f1 y f2 están definidas en el mismo dominio, entonces

f x f x dx f x dx f x dx1 2 1 2

Esta propiedad indica la linealidad de la integración

P3. Si f1 , f2 , … y fn están definidas en el mismo

dominio, entonces

n n

i 1 i 1

k .f x dx k . f x dx , ki i i i i

Esta propiedad indica la linealidad de la integración

P4. Si k , entonces kdx k.x c, c ,

P5. dx x c, c

P6. Sea r diferente de 1 , entoncesr 1xrx dx c, cr 1

.

Tambiénr 1xrk.x dx k c, k y cr 1

P7. 11x dx dx Ln x c, cx

P8. x xe dx e c, c

P9. Ln x dx xLn x x c, c P10.

xaxa 0 a 1: a dx c, cLn a

SUG.: 'x xa a Ln a .




P11. sen x dx cos x c, c P12. cos x dx sen x c, c

P13. 2sec x dx tan x c, c P14. 2csc x dx cot x c, c

P15. sec x tan x dx sec x c, c P16. csc x cot x dx csc x c, c

P17. 1 dx arcsen x c, c21 x

P18. 1 dx arctan x c, c

21 x

P19. 1 dx arc sec x c, c2x x 1

P20. senh x dx cosh x c, c

P21. cosh x dx senh x c, c P22. 2sec h x dx tanh x c, c

P23. 2csc h x dx coth x c, c P24. sec h x tanh x dx sec h x c, c

P25. csc h x coth x dx csc h x c, c P26.

f ' x

dx Ln f x c, cf x

PRACTICA DIRIGIDA DE AULA

Calcule las integrales indefinidas que se indican, aplique las propiedades en cada caso.

1. 3x 4 dx 2. cos x 5sen x 7 dx 3.4 28x 3x 9 dx

33x

4. 2 2cot x 1 tan x dx 5. x x 3 dx 6. 4 27 dx

5 2x x

7.

sec x

dxtan x cot x 8.

3

2 dxx 9.

sen xdx

2cos x10. 2x dx 11. x 2e 3x dx 12.

26x 8x dx3 2x 2x




SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 3x 4 dxPropiedad 2: 3x 4 dx 3xdx 4dx Propiedad 4 y 6:

1 1x3x 4 dx 3 4x c, c1 1

Por lo tanto:

23x3x 4 dx 4x c, c

2

2. SOLUCIÓN: cos x 5sen x 7 dx Propiedad 3:

cos x 5sen x 7 dx cos x dx 5 sen x dx 7 dx Propiedad 11, 12 y 5:

cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7x c, c

Por lo tanto:

cos x 5sen x 7 dx sen x 5cos x 7x c, c




3. SOLUCIÓN:4 28x 3x 9 dx

33x

Efectuando la división, se obtiene:

4 28x 3x 9 8x 1 3dx x 3x dx3 33x

Propiedad 3:

4 28x 3x 9 8 1 3dx xdx x dx 3 x dx3 33x

Propiedad 6 y 7:

4 2 1 1 3 18x 3x 9 8 x xdx Ln x 3 c, c3 3 13 1 13x

Por lo tanto:

4 2 2 28x 3x 9 8x 3xdx Ln x c, c3 263x

4. SOLUCIÓN: 2 2cot x 1 tan x dx Simplificando el integrando, se obtiene:

2 2 2 2cot x 1 tan x dx cot x 1 dx csc x dx Por lo tanto, por la propiedad 14:

2 2cot x 1 tan x dx cot x c, c




5. SOLUCIÓN: x x 3 dxArreglando el integrando, se obtiene:

1/ 2 3 / 2 1/ 2

x x 3 dx x x 3 dx x 3x dx

Propiedad 3 y 6:

3 / 2 1 1/ 2 13 / 2 1/ 2 x xx x 3 dx x dx 3 x dx 3 c, c

3 / 2 1 1/ 2 1

Por lo tanto:

5 / 2 3 / 22xx x 3 dx 2x c, c5

6. SOLUCIÓN: 4 27 dx5 2x x

Arreglando el integrando, se obtiene: 4 2 5 27 dx 7 4x 2x dx

5 2x x

Propiedad 3 y 6:

5 1 2 14 2 x x5 27 dx 7 dx 4 x dx 2 x dx 7x 4 2 c, c5 2 5 1 2 1x x

Por lo tanto:

4 2 4 17 dx 7x x 2x c, c5 2x x




7. SOLUCIÓN: sec x

dxtan x cot x

Arreglando el integrando, se obtiene:

sec x sec x sec x cos x sen x

dx dx dx sen x dx2 2sen x cos xtan x cot x sen x cos x

cos x sen x

Por lo tanto, por la Propiedad 11:

sec x

dx cos x c, ctan x cot x

8. SOLUCIÓN: 2 dx3 x

Arreglando el integrando, se obtiene: 1/ 32 2dx dx 2x dx3 1/ 3x x


2 / 32 dx 3x c, c

3 x

9. SOLUCIÓN:

sen xdx

2cos xArreglando el integrando, se obtiene:

sen xdx tan x sec x dx

2cos x


sen x

dx sec x c, c2cos x




10. SOLUCIÓN: 2x dxPor lo tanto, por la Propiedad 6:

2 1x2 1x dx c x c, c2 1

11. SOLUCIÓN: x 2e 3x dx .

Por la Propiedad 3:

x 2 x 2e 3x dx e dx 3 x dx Por lo tanto, por la Propiedad 6 y 8:

2 1xx 2 x x 3e 3x dx e 3 c e x c, c2 1

12. SOLUCIÓN:26x 8x dx

3 2x 2x

Arreglando el integrando, se obtiene:

22 3x 4x26x 8x dx dx3 2 3 2x 2x x 2x

Por lo tanto, por la Propiedad 1 y 26:

22

3 23 2 3 2

3x 4x6x 8x dx 2 dx 2Ln x 2x c, cx 2x x 2x




INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolverla integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento seconoce como integración por sustitución.

PRACTICA DIRIGIDA DE AULACalcule las siguientes integrales:

1. 1 4y dy 2. 102 3x x 1 dx 3. 4 / 32x 4x 4 dx 4. x x 2 dx5. 2x 3 2xdx 6. cos 4 d 7. t 2sen 4t dt

2

8. 5cos x 2 sen x dx

9. 1 11 dx23x x

10. 32sen x 1 cos x dx 11. 3sen

θ cos θ dθ

12. 2sec 3 t

dtt

13.

y 3 dy

2 / 33 y

14.3x dx

21 2x 15. tan x dx 16. kxe dx, k

17. sec x dx 18. cot x dx 19. csc x dx 20.

3t dt

541 2t21.

2r dr

2 / 31 r 22.2x 2x dx

3 2x 3x 1

23.

24y

dy2 / 331 y 24.

3 / 2 21 t 1t dt2t t

25. 2x 1 dx

2x x 1

26. s ds2s 3 27. 1/ 22x x 9 dx 28.

2x 2 dx3x 6x 1

29.

23x 6 dx3x 6x

30. 2 3x sen x 4 dx 31. xe dx




SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 1 4y dySe expresa el integrando en la forma de potencia : 1/ 21 4y dy 1 4y dy Sea 1u 1 4y du 4dy dy du

4

De tal manera que al hacer la sustitución, queda:

3 / 2 3 / 21 1 1 u u1/ 2 1/ 21 4y dy u du u du c c, c4 4 4 3 / 2 6

Por lo tanto: 3 / 21 4y

1 4y dy c, c6

2. SOLUCIÓN: 102 3x x 1 dxSea 3 2u x 1 du 3x dx


1110 101 1 u2 3 3 2 10x x 1 dx x 1 3x dx u du c, c3 3 33

Por lo tanto:

113x 1102 3x x 1 dx c, c33




3. SOLUCIÓN: 4 / 32x 4x 4 dx Arreglando el integrando:

4 / 34 / 3 2 8 / 32x 4x 4 dx x 2 dx x 2 dx

Sea u x 2 du dx


11/ 3 11/ 34 / 3 u 3u2 8 / 3x 4x 4 dx u du c c, c11/ 3 11

Por lo tanto:

11/ 34 / 3 3 x 22x 4x 4 dx c, c11

4. SOLUCIÓN: x x 2 dxArreglando el integrando: 1/2x x 2 dx x x 2 dx Sea u x 2 du dx


5/2 3/22u 4u1/2 3/2 1/2x x 2 dx u 2 u du u 2u du c, c5 3

Por lo tanto: 5/2 3/22 x 2 4 x 2

x x 2 dx c, c5 3




5. SOLUCIÓN: 2x 3 2xdxArreglando el integrando: 1/ 22 2x 3 2xdx x 3 2x dx Sea 1u 3 2x du 2dx du dx

2


23 u 1 1 122 1/ 2 1/ 2 2 1/ 2x 3 2xdx u du 3 u u du 9 6u u u du

4 2 8 8

1 1 12 22 1/ 2 3 / 2 5 / 2 3 / 2 5 / 2 7 / 2x 3 2xdx 9u 6u u du 6u u u c, c

8 8 5 7

Por lo tanto:

3 3 13 / 2 5 / 2 7 / 22x 3 2xdx 3 2x 3 2x 3 2x c, c4 10 28

6. SOLUCIÓN: cos 4

θ dθ

Sea 1u 4

θ du 4dθ dθ du

4


1 1 1cos 4

θ dθ cos u du sen u c sen 4θ c, c

4 4 4

Por lo tanto:

1cos 4

θ dθ sen 4θ c, c

4




7. SOLUCIÓN: t 2sen 4t dt2

Sea 12u 4t du 8t dt du t dt8


t 1 1 1 12 2sen 4t dt sen 4t t dt sen u du sen u du2 2 2 8 16

t 1 12 2sen 4t dt cos u c cos 4t c, c

2 16 16

Por lo tanto:

t 12 2sen 4t dt cos 4t c, c2 16

8. SOLUCIÓN: 5cos x 2 sen x dx Sea u 2 sen x du cos x dx


6u 5 5 5cos x 2 sen x dx 2 sen x cos x dx u du c, c6

Por lo tanto:

62 sen x 5cos x 2 sen x dx c, c

6




9. SOLUCIÓN: 1 11 dx23x x

Sea 1 1 1u 1 du dx 3du dx

2 23x 3x x


3 / 21 1 u1/ 21 dx u 3du 3 u du 3 c, c

23x 3 / 2x

Por lo tanto:3 / 2

1 1 11 dx 2 1 c, c23x 3xx

10. SOLUCIÓN: 32sen x 1 cos x dxArreglando el integrando: 1/ 332sen x 1 cos x dx 2 1 cos x sen x dx Sea u 1 cos x du sen x dx du sen x dx


4 / 3 4 / 31/ 3 6u 332sen x 1 cos x dx 2 u du c 1 cos x c, c4 2

Por lo tanto:

4 / 3332sen x 1 cos x dx 1 cos x c, c2




11. SOLUCIÓN: 3sen

θ cos θ dθ

Sea u sen

θ du cos θ dθ


4u3 3sen

θ cos θ dθ u du c, c

4

Por lo tanto:

4senθ

3sen

θ cos θ dθ c, c

4

12. SOLUCIÓN: 2sec 3 t

dtt

Sea 3 2 1u 3 t du dt du dt2 t 3 t


2sec 3 t 1 2 22 2dt sec 3 t dt sec u du tan u c, c

t t 3 3

Por lo tanto:

2sec 3 t 2dt tan 3 t c, c

t 3




13. SOLUCIÓN:

y 3 dy2 / 33 y

Arreglando el integrando:

y 3 2 / 3 dy y 3 3 y dy2 / 33 y

Sea u 3 y du dy du dy


y 3 2 / 3 dy 3 u 3 u du

2 / 33 y

1/ 3 4 / 3y 3 u u2 / 3 2 / 3 1/ 3 dy 6 u u du 6u u du 6 c, c

2 / 3 1/ 3 4 / 33 y

y 3 31/ 3 4 / 3 dy 18u u c, c

2 / 3 43 y

y 3 3 31/ 3 4 / 31/ 3 4 / 3 dy 18u u c 18 3 y 3 y c, c

2 / 3 4 43 y

Por lo tanto:

y 3 3 4 / 3 1/ 3 dy 3 y 18 3 y c, c

2 / 3 43 y




14. SOLUCIÓN:3x dx

21 2x

Arreglando el integrando: 3 1/2x 3 2 dx x 1 2x dx21 2x

Sea 12u 1 2x du 4xdx du xdx

4


3 1/2x 1 u 12 2 1/2 dx x 1 2x xdx u du2 2 41 2x

3 1/2 3/2x 1 1 u u1/2 1/2 dx u u du c, c2 8 8 1/ 2 3 / 21 2x

3 1/2 3/2x 1 1 1 11/2 3/2 2 2 dx u u c 1 2x 1 2x c, c2 4 12 4 121 2x

Por lo tanto:

3 1/2 3/2x 1 12 2 dx 1 2x 1 2x c, c2 4 121 2x




15. SOLUCIÓN: tan x dxArreglando el integrando:

tan x sec x

tan x dx dxsec x

Sea u sec x du tan x sec x dx


tan x sec x dutan x dx dx Ln u c, csec x u

Por lo tanto:

tan x dx Ln sec x c, c

16. SOLUCIÓN: kxe dx, k

Sea 1u kx du kdx du dxk


1 1 1 1kx u u u kxe dx e du e du e c e c, ck k k k

Por lo tanto:1kx kxe dx e c, ck




17. SOLUCIÓN: sec x dxArreglando el integrando

2sec x sec x tan xsec x sec x tan xsec x dx dx dx

sec x tan x sec x tan x

Sea 2u sec x tan x du sec x tan x sec x dx


dusec x dx Ln u c Ln sec x tan x c, cu

Por lo tanto:

sec x dx Ln sec x tan x c, c

18. SOLUCIÓN:

cos xcot x dx dx

sen x

Sea u sen x du cos x dx


ducot x dx Ln u c Ln sen x c, cu

Por lo tanto:

cot x dx Ln sen x c, c




19. SOLUCIÓN: csc x dxArreglando el integrando:

2csc x cot x csc xcsc x csc x cot xcsc x dx dx dx

csc x cot x csc x cot x

Sea 2u csc x cot x du csc x cot x csc x dx


ducsc x dx Ln u c Ln csc x cot x c, cu

Por lo tanto:

csc x dx Ln csc x cot x c, c

20. SOLUCIÓN:

3t dt

541 2tArreglando el integrando:

3 5t 3 4dt t 1 2t dt

541 2t

Sea 14 3 3u 1 2t du 8t dt du t dt8





3t 1 1 15 5 4dt u du u du u c, c

5 8 8 3241 2t

Por lo tanto:

3 4t 1 4dt 1 2t c, c

5 3241 2t

21. SOLUCIÓN:

2r dr2 / 31 r


2r 2 / 3dr 2 r 1 r dr2 / 31 r

Sea u 1 r du dr du dr


2r 32 / 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 4 / 3dr 2 1 u u dr 2 u u du 6u u c, c

2 / 3 21 r

Por lo tanto:

2r 31/ 3 4 / 3dr 6 1 r 1 r c, c

2 / 3 21 r





3 2x 3x 1

Arreglando el integrando: 2 1/ 2x 2x 2 3 2dx x 2x x 3x 1 dx

3 2x 3x 1

Sea 13 2 2 2 2u x 3x 1 du 3x 6x dx 3 x 2x dx du x 2x dx

3


2x 2x 1 1 21/ 2 1/ 2 1/ 2dx u du u du u c, c3 2 3 3 3x 3x 1

Por lo tanto:

2 1/ 2x 2x 2 3 2dx x 3x 1 c, c3 2 3x 3x 1

23. SOLUCIÓN:

24y dy2 / 331 y


2 2 / 34y 2 3dy 4 y 1 y dy

2 / 331 y

Sea 13 2 2u 1 y du 3y dy du y dy

3


24y 1 42 / 3 2 / 3 1/ 3dy 4 u du u du 4u c, c2 / 3 3 331 y

Por lo tanto:

2 1/ 34y 3dy 4 1 y c, c

2 / 331 y




24. SOLUCIÓN:3 / 2 21 t 1t dt

2t t

Arreglando el integrando:3 / 2 3 / 221 t 1 1 1t dt t 1 dt

2 2t tt t

Sea 1 1u t du 1 dt

2t t


3 / 2 5 / 221 t 1 2 2 13 / 2 5 / 2t dt u du u c t c, c2t 5 5 tt

Por lo tanto:

3 / 2 5 / 221 t 1 2 1t dt t c, c2t 5 tt

25. SOLUCIÓN: 2x 1 dx2x x 1

Sea 2u x x 1 du 2x 1 dx


2x 1 du 2dx Ln u c Ln x x 1 c, c2 ux x 1

Por lo tanto:2x 1 2dx Ln x x 1 c, c2x x 1




26. SOLUCIÓN: s ds2s 3

Sea 1u 2s 3 du 2ds du ds2


s u 3 1 1 3 1ds du 1 du u 3Ln u c, c2s 3 2u 2 4 u 4

Por lo tanto:

s 1 3ds 2s 3 Ln 2s 3 c, c2s 3 4 4

27. SOLUCIÓN: 1/ 22x x 9 dxSea 12u x 9 du 2xdx du xdx

2


1/ 2 3 / 21 1 12 1/ 2 1/ 2 2x x 9 dx u du u du x 9 c, c2 2 3

Por lo tanto:

1/ 2 3 / 212 2x x 9 dx x 9 c, c3




28. SOLUCIÓN:2

3

x 2 dxx 6x 1

Sea 3 2 21u x 6x 1 du 3 x 2 dx du x 2 dx

3


2x 2 1 1 1 1 1 1 3dx du du Ln u c Ln x 6x 1 c, c3 u 3 3 u 3 3x 6x 1

Por lo tanto:2x 2 1 3dx Ln x 6x 1 c, c

3 3x 6x 1

29. SOLUCIÓN:23x 6 dx

3x 6x

Arreglando el integrando: 2 1\ 23x 6 2 3dx 3x 6 x 6x dx

3x 6x

Sea 3 2u x 6x du 3x 6 dx


2 1/ 23x 6 1/ 2 1/ 2 3dx u du 2u c 2 x 6x c, c3x 6x

Por lo tanto:

2 1/ 23x 6 3dx 2 x 6x c, c3x 6x




30. SOLUCIÓN: 2 3x sen x 4 dxSea 13 2 2u x 4 du 3x dx du x dx

3


1 1 1 12 3 3x sen x 4 dx sen u du sen u du cos u c cos x 4 c, c3 3 3 3

Por lo tanto:

12 3 3x sen x 4 dx cos x 4 c, c3

INTEGRACIÓN POR PARTES.

La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivadade un producto de funciones. Veamos:

Si f y g son funciones diferenciables, entonces por derivada de un producto:

'' ' ' ' ' f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x

Integrando cada término de la ecuación

f x g' x dx f x g x 'dx f ' x g x dx f x g x f ' x g x dx...... 1 Ahora, sea

u f x du f ' x dxv g x dv g ' x dx

Sustituyendo en 1 , se obtiene la fórmula de integración por partes:

udv uv vdu




PRACTICA DIRIGIDA DE AULAEn los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:

1. Ln x dx 2. 3xxe dx 3. cos x dx 4. xxe dx5. x sec x tan x dx 6. 2Ln x dx 7. 2x Ln x dx 8. xe cos x dx9. 2cos x dx 10. 3x cos 2x dx 11. 2xe 2x dx 12. xsen x dx

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: Ln x dxSea

1u Ln x du dxx

dv dx v x

.

De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene

1Ln x dx x Ln x x dx x Ln x dx x Ln x x c, cx

Por lo tanto:

Ln x dx x Ln x x c, c




2. SOLUCIÓN: 3xx e dxSea

u x du dx13x 3xdv e dx v e3

.


x 1 x 1 x 13x 3x 3x 3x 3x 3x 3xx e dx e e dx e e dx e e c, c3 3 3 3 3 9

Por lo tanto:x 13x 3x 3xx e dx e e c, c3 9

3. SOLUCIÓN: cos x dxSea 1w x dw dx 2 xdw dx 2wdw dx

2 x

Luego: cos x dx 2 w cos w dw Sea

u w du dwdv cos w dw v sen w

.


2 w cos w dw 2 wsen w sen w dw 2 wsen w cos w c, c

Como w x , concluimos que: cos x dx 2 xsen x cos x c, c




4. SOLUCIÓN: xx e dxSea

u x du dxx xdv e dx v e

.


x x x x xx e dx x e e dx x e e c, c

Por lo tanto:

x x xx e dx x e e c, c

5. SOLUCIÓN: x sec x tan x dxSea

u x du dxdv sec x tan x dx v sec x

.


x sec x tan x dx x sec x sec x dx x sec x Ln sec x tan x c, c

Por lo tanto:

x sec x tan x dx x sec x Ln sec x tan x c, c




6. SOLUCIÓN: 2Ln x dx Sea 2Ln x2u Ln x du dx

xdv dx v x

.


2Ln x2 2 2Ln x dx x Ln x x dx x Ln x 2 Ln x dx

x

Por lo tanto:

2 2Ln x dx x Ln x 2x Ln x 2x c, c

7. SOLUCIÓN: 2x Ln x dx

Sea 1u Ln x du dx

x3x2dv x dx v3

.


3 3 3x x 1 x 12 2x Ln x dx Ln x dx Ln x x dx3 3 x 3 3

Por lo tanto:

3 3x x2x Ln x dx Ln x c, c3 9




8. SOLUCIÓN: xe cos x dxSea

u cos x du sen x dxx xdv e dx v e

.


x x xe cos x dx e cos x e sen x dx Sea

u sen x du cos x dxx xdv e dx v e

.


x x x xe cos x dx e cos x e sen x e cos x dx x x x x2 e cos x dx e cos x e sen x e cos x sen x

Por lo tanto:

xexe cos x dx cos x sen x c, c2

9. SOLUCIÓN: 2cos x dxSea

u cos x du sen x dxdv cos x dx v sen x

.


2 2 2cos x dx sen x cos x sen x dx sen x cos x 1 cos x dx




2 2cos x dx sen x cos x dx cos x dx 122 cos x dx sen x cos x x sen 2x x

2

Por lo tanto:

sen 2x x2cos x dx c, c4 2

10. SOLUCIÓN: 3xcos 2x dxSea

u 3x du 3dx1dv cos 2x dx v sen 2x2

.


3 3 3 33xcos 2x dx xsen 2x sen 2x dx xsen 2x cos 2x c, c2 2 2 4

Por lo tanto:

3 33xcos 2x dx x sen 2x cos 2x c, c2 4

11. SOLUCIÓN: 2xe 2x dxArreglando el integrando:

2 1 4x 2x 2 x 2x 3 xe 2x dx e 4x 4xe dx e x 4 xe dx2 3




Calculemos la siguiente integral: xx e dx........... *Sea

u x du dxx xdv e dx v e

.

De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes en * , se obtiene

x x x x x xxe dx xe e dx xe e c x 1 e c, c

Por lo tanto:

2 1 4x 2x 3 xe 2x dx e x 4 x 1 e c, c

2 3

12. SOLUCIÓN: x sen x dxSea

u x du dxdv sen x dx v cos x

.


x sen x dx xcos x cos x dx xcos x sen x c, c

Por lo tanto:

x sen x dx xcos x sen x c, c




POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS m,n

En esta sección aprenderemos a integrar expresiones que presentan potenciastrigonométricas, es decir, integrandos con alguna de las siguientes formas:

nsen u ncos u m nsen u cos u

ntan u ncot u nsec u

ncsc u m ntan u sec u m ncot u csc u

Para tal efecto es conveniente conocer las siguientes identidades trigonométricas:

2 2sen u cos u 1 2 2cos 2u cos u sen u

2 2sen u 1 cos u 2 2cos u 1 sen u

1 cos 2u2sen u2

1 cos 2u2cos u

2

2 2sec u 1 tan u 1sen A cos B sen A B sen A B2

2 2csc u 1 cot u 1cos A cos B cos A B cos A B2

sen 2u 2sen u cos u 1sen A sen B cos A B cos A B2

Después de hacer las sustituciones trigonométricas adecuadas, el integrando quedaexpedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir ala integración por partes.

http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id30.htm

http://usuarios.lycos.es/calculoint21/id31.htm




PRACTICA DIRIGIDA DE AULAEn los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:

1. 3sen x dx 2. 3cos 4x sen 4x dx 3. 2 5cos x sen x dx4. 4cos x dx 5. 2 2cos 3x sen 3x dx 6. cos 5x sen 3x dx7. cos 3x cos 4x dx 8. 3cot x dx 9. 4sec x dx10. 3csc x dx 11. 6 4tan x sec x dx 12. 3 5tan x sec x dx13. 3sec x dx 14. 2 3tan x sec x dx 15. 6 2sen t cos t dt

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 3sen x dxArreglando el integrando:

3 2 2sen x dx sen x sen x dx sen x 1 cos x dx 3 2 2sen x dx sen x dx cos x sen x dx cos x cos x sen x dx

Sea u cos x du sen x dx




Luego:

33 cos xu2 2cos x sen x dx u du c c, c

3 3

Por lo tanto:

3cos x3sen x dx cos x c, c3

2. SOLUCIÓN: 3cos 4x sen 4x dxSea u cos 4x du 4sen 4x dx

Luego: 4cos 4x1 13 3 4cos 4x sen 4x dx u du u c c, c4 16 16

Por lo tanto:

4cos 4x3cos 4x sen 4x dx c, c16

3. SOLUCIÓN: 2 5cos x sen x dxArreglando el integrando:

22 5 2 4 2 2cos x sen x dx cos x sen x sen x dx cos x sen x sen x dx

22 5 2 2cos x sen x dx cos x 1 cos x sen x dx

2 5 2 4 2cos x sen x dx cos x 1 cos x 2cos x sen x dx 2 5 2 6 4cos x sen x dx cos x sen x dx cos x sen x dx 2 cos x sen x dx




Sea u cos x du sen x dx

Luego:

3 7 5u u 2u2 5 2 6 4cos x sen x dx u du u du 2 u du c, c3 7 5

Por lo tanto:

3 7 5cos x cos x 2cos x2 5cos x sen x dx c, c3 7 5

4. SOLUCIÓN: 4cos x dxArreglando el integrando:

22 1 cos 2x 14 2 2cos x dx cos x dx dx 1 2cos 2x cos 2x dx

2 4

1 cos 4x1 14cos x dx 1 2cos 2x dx cos 4x 4cos 2x 3 dx4 2 8

Luego:

1 14cos x dx sen 4x 2sen 2x 3x c, c8 4

Por lo tanto:

1 1 34cos x dx sen 4x sen 2x x c, c32 4 8




5. SOLUCIÓN: 2 2cos 3x sen 3x dxArreglando el integrando:

1 1 12 2 2 2 2 2cos 3x sen 3x dx 4cos 3x sen 3x dx sen 6x dx 2sen 6x dx4 4 8

12 2cos 3x sen 3x dx 1 cos 12x dx

8

Luego:

1 12 2cos 3x sen 3x dx x sen 12x c, c8 12

Por lo tanto:

1 12 2cos 3x sen 3x dx x sen 12x c, c8 96

6. SOLUCIÓN: cos 5x sen 3x dxArreglando el integrando:

1 1cos 5x sen 3x dx 2cos 5x sen 3x dx sen 8x sen 2x dx2 2

1cos 5x sen 3x dx sen 8x sen 2x dx

2

Luego:

1 1 1cos 5x sen 3x dx cos 8x cos 2x c, c2 8 2

Por lo tanto:

1 1cos 5x sen 3x dx cos 8x cos 2x c, c16 4




7. SOLUCIÓN: cos 3x cos 4x dxArreglando el integrando:

1 1cos 3x cos 4x dx 2cos 3x cos 4x dx cos 7x cos x dx2 2

Luego: 1 1cos 3x cos 4x dx sen 7x sen x c, c

2 7

Por lo tanto: 1 1cos 3x cos 4x dx sen 7x sen x c, c14 2

8. SOLUCIÓN: 3cot x dxArreglando el integrando:

3 2 2 2cot x dx cot x cot x dx csc x 1 cot x dx csc x cot x dx cot x dx Por lo tanto: 13 2cot x dx cot x Ln sen x c, c

2

9. SOLUCIÓN: 4sec x dxArreglando el integrando:

4 2 2 2 2 2sec x dx sec x 1 tan x dx sec x dx sec x tan x dx Por lo tanto: 14 3sec x dx tan x tan x c, c

3




10. SOLUCIÓN: 3csc x dxArreglando el integrando: 3 2csc x dx csc x csc x dx Aplicando integración por partes:

Sea:

u csc x du csc x cot x dx2dv csc x dx v cot x

Luego:

3 2 2csc x dx csc x csc x dx csc x cot x csc x cot x dx 3 2csc x dx csc x cot x csc x csc x 1 dx 3 3csc x dx csc x cot x csc x dx csc x dx

32 csc x dx csc x cot x csc x dx csc x cot x Ln csc x cot x k, k

Por lo tanto: 1 13csc x dx csc x cot x Ln csc x cot x c, c2 2

11. SOLUCIÓN: 6 4tan x sec x dxArreglando el integrando:

6 4 6 2 2 6 2 2tan x sec x dx tan x sec x sec x dx tan x 1 tan x sec x dx




6 4 6 2 8 2tan x sec x dx tan x sec x dx tan x sec x dx Por lo tanto:

1 16 4 7 9tan x sec x dx tan x tan x c, c7 9


3 5 2 4tan x sec x dx tan x sec x tan x sec x dx 3 5 2 4tan x sec x dx sec x 1 sec x tan x sec x dx 3 5 6 4tan x sec x dx sec x sec x tan x sec x dx

3 5 6 4tan x sec x dx sec x tan x sec x dx sec x tan x sec x dx Por lo tanto:

1 13 5 7 5tan x sec x dx sec x sec x c, c7 5

13. SOLUCIÓN: 3sec x dxArreglando el integrando: 3 2sec x dx sec x sec x dx Aplicando integración por partes:




Sea:

u sec x du sec x tan x dx2dv sec x dx v tan x

Luego:

3 2 2sec x dx sec x tan x sec x tan x dx sec x tan x sec x sec x 1 dx 3 3sec x dx sec x tan x sec x dx sec x dx

32 sec x dx sec x tan x sec x dx Por lo tanto:

1 13sec x dx sec x tan x Ln sec x tan x c, c2 2


2 3 2 3 5 3tan x sec x dx sec x 1 sec x dx sec x dx sec x dx Calculemos 5sec x dx , pues en el ejercicio 13 ya se halló 3sec x dx .

Arreglando el integrando: 5 3 2sec x dx sec x sec x dx




Aplicando integración por partes:

Sea:

3 3u sec x du 3sec x tan x dx2dv sec x dx v tan x

Luego:

5 3 3 2sec x dx sec x tan x 3 sec x tan x dx 5 3 3 2sec x dx sec x tan x 3 sec x sec x 1 dx

5 3 5 3sec x dx sec x tan x 3 sec x dx 3 sec x dx 1 35 3 3sec x dx sec x tan x sec x dx

4 4

Por consiguiente:

1 32 3 3 3 3tan x sec x dx sec x tan x sec x dx sec x dx4 4

1 1 1 12 3 3tan x sec x dx sec x tan x sec x tan x Ln sec x tan x c , c

4 4 2 2

Por lo tanto:

1 1 12 3 3tan x sec x dx sec x tan x sec x tan x Ln sec x tan x k, k4 8 8




15. SOLUCIÓN: 6 2sen t cos t dtArreglando el integrando:

21 16 2 4 2 2 2 2sen t cos t dt sen t 4sen t cos t dt sen t sen 2t dt

4 4

21 cos 2t 1 cos 4t16 2sen t cos t dt dt4 2 2

16 2 2sen t cos t dt 1 cos 2t 2cos 2t 1 cos 4t dt

32

1 cos 4t16 2sen t cos t dt 1 2cos 2t 1 cos 4t dt

32 2

16 2sen t cos t dt 3 cos 4t 4cos 2t 1 cos 4t dt

64

16 2 2sen t cos t dt 3 2cos 4t cos 4t 4cos 2t 4cos 2t cos 4t dt64

1 cos 8t16 2sen t cos t dt 3 2cos 4t 4cos 2t 2cos 6t 2cos 2t dt64 2

16 2sen t cos t dt 6 4cos 4t 1 cos 8t 4cos 2t 4cos 6t dt

128

Por lo tanto:

1 1 1 1 5t6 2sen t cos t dt sen 8t sen 6t sen 4t sen 2t c, c1024 192 128 64 128




SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

A menudo es posible hallar antiderivadas de la forma:

2 2 2 2 2 2a u du ó a u du ó u a du Donde: a 0 y u es una función de x .

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es unintegrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En lasiguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

EXPRESIÓN EN EL INTEGRANDO SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA2 2a u u a.sen

θ

2 2a u u a.tanθ

2 2u a u a.secθ

PRACTICA DIRIGIDA DE AULAEn los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:

1.dx

2 2x 4 x 2.

dz

22z 2z 5 3.dx

21 x4.

225 x dxx

5. 2x 4 dx 6.x dx

41 x7.

1 dx2x 1 8.

dx2 2x x 9 9.

dx216 9x




SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: dx2 2x 4 x

En este ejercicio la expresión dentro del radical es de la forma 2 2a u por lo quela sustitución debe ser

x 2sen

θ ,

2 2dx 2cos

θ dθ

De tal manera que:

2cosθ dθ 2cos θ dθ

dx2 2 2 2 2 2x 4 x 4sen

θ 4 4sen θ

2sen

θ 4 2sen θ

cosθ dθ cos θ dθ

dx 12 2 2 2 2 24x 4 x 2sen

θ 2 1 sen θ sen θ cos θ

Como2 2

, entonces cosθ 0

, luego

cos

θ dθ cos θ dθdx 1 1 1 2csc

θ dθ

22 2 2 24 4 4sen

θ cos θ

x 4 x sen

θ cos θ

dx 1 cot

θ c, c

2 2 4x 4 x

Como xsenθ

2 , θ ;

2 2

; hacemos un diagrama solamente para

θ 0 ;2

como ayuda:




θ

x2

24 x

Según lo cual tenemos 24 xcot

θ

x

Por lo tanto:2dx 4 x c, c

2 2 4xx 4 x

2. SOLUCIÓN:

dz

22z 2z 5 Arreglando el integrando:

dz dz dz2 2 22 2 2z 2z 5 z 2z 1 4 4 z 1

En este ejercicio la expresión en el integrando es de la forma 2 2a u por lo que lasustitución debe ser

z 1 2 tanθ

2dz 2sec

θ dθ

De tal manera que:

2 2 22secθ dθ sec θ dθ sec θ dθ

dz 1 12 2 2 48 8 sec

θ

2 22z 2z 5 1 tan

θ

4 2tan

θ

dz 1 d

θ 1 1

2cos

θ dθ 1 cos 2θ dθ

2 28 8 16sec

θ

2z 2z 5

dz 1 1 11 cos 2

θ dθ θ sen 2θ c, c

2 16 16 22z 2z 5




Como z 1tanθ

2

, entonces z 11θ tan

2

. Hacemos un diagrama:

θ

z 1

2

2z 2z 5

Según lo cual tenemos:

z 1 2 z 1sen 2

θ 2sen θ cos θ 2 4

22 2 z 2z 5z 2z 5 z 2z 5

Luego:

dz 1 z 1 z 11tan 2 c, c

2 216 2 z 2z 52z 2z 5

Por lo tanto:

dz 1 z 1 1 z 11tan c, c

2 216 2 8 z 2z 52z 2z 5

3. SOLUCIÓN: dx21 x


x sen

θ ,

2 2dx cos

θ dθ

De tal manera que:

cosθ dθ cos θ dθ cos θ dθ

dx2 2 2 cos

θ

1 x 1 sen

θ cos θ




Como2 2

, entonces cosθ 0

, luego

cosθ dθ cos θ dθ

dx θdθ θ c, c2 2 cos

θ

1 x cos

θ

Como senθ x , θ ;

2 2

; entonces θ arcsen x

Por lo tanto: dx arcsen x c, c21 x

4. SOLUCIÓN:225 x dx

x


x 5sen

θ ,

2 2dx 5cos

θ dθ

De tal manera que:

2 22 25 5sen

θ 5cos θ dθ

1 sen

θ cos θ dθ

25 x dx 5x 5sen

θ sen θ

22 cos

θ cos θ dθ cos θ cos θ dθ

25 x dx 5 5x sen

θ sen θ

Como2 2

, entonces cosθ 0

, luego

22 1 senθ dθ

2 cos

θ dθ

25 x dx 5 5 5 csc

θ sen θ dθ

x sen

θ sen θ




225 x dx 5 csc

θ sen θ dθ 5 Ln csc θ cot θ cos θ c, c

x

Como xsenθ

5 , θ ;

2 2

; hacemos un diagrama solamente para

θ 0 ;2

como ayuda:

θ

x5

22 5 x

Según lo cual tenemos 5cscθ

x ,

225 xcot

θ

x

y

225 xcos

θ

5

Por lo tanto:2 225 x 5 25 x 2 dx 5Ln 25 x c, c

x x

5. SOLUCIÓN: 24 x dxEn este ejercicio la expresión dentro del radical es de la forma 2 2a u por lo quela sustitución debe ser

x 2 tanθ

2dx 2sec

θ dθ

De tal manera que:

22 2 2 2 34 x dx 4 2tan

θ 2sec θ dθ 4 1 tan θ sec θ dθ 4 sec θ dθ

Sabemos que: 1 13sec

θ dx sec θ tan θ Ln sec θ tan θ c, c

2 2




Luego: 2x 4 dx 2sec

θ tan θ 2Ln sec θ tan θ k, k

Como xtanθ

2 , hacemos un diagrama:

θ

x24 x

2

Según lo cual tenemos 24 xsec

θ

2

Luego:2 24 x x 4 x x2x 4 dx 2 2Ln k, k

2 2 2

Por lo tanto:2 2x 4 x 4 x x2x 4 dx 2Ln k, k

2 2

6. SOLUCIÓN: x dx41 x

Sea:

2x tanθ

22xdx sec

θ dθ

De tal manera que:

2 2secθ dθ sec θ dθ

x 1 1 1 1dx d

θ θ c, c

4 2 22 2 2 21 x 1 tan

θ sec θ

Como: 2 2tanθ x θ arctan x




Por lo tanto:

2sec

θ dθ

x 1 1 2dx arctan x c, c4 22 21 x 1 tan

θ

7. SOLUCIÓN: 1 dx2x 1

Sea:

x sec

θ

dx sec

θ tan θ dθ

De tal manera que:

sec

θ tan θ dθ sec θ tan θ dθ sec θ dθ1 dx csc

θ dθ

2 2 2 tan

θ

x 1 sec

θ 1 tan θ

Luego:

1 dx Ln csc

θ cot θ c, c

2x 1

Como secθ x , hacemos un diagrama:

θ

2x 1

x

1

Según lo cual tenemos 2

xcscθ

x 1

y

2

1cotθ

x 1

Por lo tanto:

2 2

1 x 1 x 1 dx Ln c Ln , cx 1 x 1x 1




8. SOLUCIÓN: dx2 2x x 9

Sea:

x 3sec

θ

dx 3sec

θ tan θ dθ

De tal manera que:

3secθ tan θ dθ sec θ tan θ dθ

dx 12 2 2 2 2 29x x 9 sec

θ sec θ 1

3sec

θ 3sec θ 9

Luego:

tanθ dθ

dx 1 1 1cos

θ dθ sen θ c, c

2 2 29 9 9x x 9 sec

θ tan θ

Como xsecθ

3 , hacemos un diagrama:

θ

2x 9

x

3

Según lo cual tenemos 2x 9sen

θ

x

Por lo tanto:

2

2 2

dx 1 x 9 c, c9 xx x 9




9. SOLUCIÓN: dx216 9x

Sea:

4x sen

θ ,

3 2 24dx cos

θ dθ

3

De tal manera que:

4 cos

θ dθ

cos

θ dθ cos θ dθ

dx 1 1 13 d

θ

2 2 23 3 cos

θ 3

16 9x 1 sen

θ

416 9 sen

θ

3

Luego:

dx 1 θ c, c2 316 9x

Como:

3x 3xsen

θ θ arcsen

4 4

Por lo tanto:

dx 1 3xarcsen c, c2 3 416 9x




INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES,POR FRACCIONES PARCIALES

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios enfracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o unatransformada de Laplace inversa (dos de sus aplicaciones). El requisito más importantees que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado delnumerador.

Hay cuatro casos:

A. Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.B. Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.C. Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.D. Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

PROCEDIMIENTO PARA DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

PASO 1:

Siempre me debo de fijar si el grado del numerador es menor que la deldenominador. Si es mayor debo realizar una división para bajar el grado delnumerador.

PASO 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, de la

forma px q , o factores cuadráticos irreductibles, 2ax bx c , y agrupar los factoresrepetidos para que el denominador sea un producto de factores diferentes de la forma

mpx q , donde m 1 o n2ax bx c los números m y n no pueden ser

negativos.

PASO 3:

A cada factor lineal, ax b , del denominador de una fracción racional propia, le

corresponde una fracción de la forma

A

ax b, siendo A una constante a

determinar.

http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grado_del_polinomio&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Denominador

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grado_del_polinomio&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerador




A. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES EN LACUAL CADA DENOMINADOR ES LINEAL.

EJEMPLO

Determine la descomposición en fracciones parciales de24x 13x 9

3 2x 2x 3x

.

Primero: observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lotanto no tengo que hacer una división.

Segundo: factorizo el denominador

3 2 2x 2x 3x x x 2x 3 x x 3 x 1

Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

2 24x 13x 9 4x 13x 9 A B C3 2 x x 3 x 1 x x 3 x 1x 2x 3x

Después de hallar el común denominador, operamos e igualamos los numeradores.

24x 13x 9 A x 3 x 1 B.x x 1 C.x x 3 .......... *

Podemos resolverlo por el método que más nos convenga:

Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial, losvalores hallados se reemplazan en la ecuación dada en * . Es decir:

Si x 1 entonces 8 4C , de modo que C 2

Si x 3 entonces 12 12B , de modo que B 1

Si x 0 entonces 9 3A , de modo que A 3

Por lo tanto:24x 13x 9 A B C 3 1 2

3 2 x x 3 x 1 x x 3 x 1x 2x 3x




Determine la descomposición en fracciones parciales de las siguientes expresionesracionales:

1. 8x 12x x 6

2. x 29

2x 3x 4

3. x 34

2x 4x 12

4. 5x 122x 4x

5.

24x 15x 13 2x 2x 5x 6

6.

2x 19x 203 2x 3x 10x

7.24x 5x 15

3 2x 4x 5x

8. 3x 11

3 2x 4x x 6

9.

3x 12

x 1 x 2 x 5

B. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CON UNFACTOR LINEAL REPETIDO.

A cada factor lineal, ax b , que figure n veces en el denominador de una fracciónracional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

31 2 n

2 3 n

AA A A..........

ax b ax b ax b ax b

EJEMPLO

Determine la descomposición en fracciones parciales de

2x 10x 362x x 3

.

Note que hay un término lineal repetido que es 2x 3 . Entonces lo colocamos así:

2x 10x 36 A B C2 2x x 3x x 3 x 3

Si fuera al cubo el término repetido 3x 3 lo pondríamos:

2x 10x 36 A B C D3 2 3x x 3x x 3 x 3 x 3





22x 10x 36 A x 3 B.x x 3 C.x



Si x 1 entonces 25 4 4 B 1 2 1 1 , de modo que B 5

Por lo tanto:

2x 10x 36 4 5 12 2x x 3x x 3 x 3

Determine la descomposición en fracciones parciales de las siguientes expresionesracionales:

1. 2x 3

2x 1

2.

25x 42x x 2

3.

219x 50x 253 23x 5x

4. 10 x2x 10x 25

5.

2x 6

x 2 2x 1

6.

22x x2 2x 1 x 1

C. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN PARCIAL QUE CONTIENE UN FACTORCUADRÁTICO IRREDUCIBLE.

A cada factor cuadrático irreducible, 2ax bx c que figure en el denominador de

una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma Ax B2ax bx c

,

siendo A y B constantes a determinar.

EJEMPLO:

Determine la descomposición en fracciones parciales de3 24x x 15x 293 22x x 8x 4

.




Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo quetengo que realizar una división.

3 2 2 24x x 15x 29 x x 21 x x 212 23 2 3 2 22x x 8x 4 2x x 8x 4 x 4 2x 1

Observe que 2x 4 es un término cuadrático irreducible.

Luego:2x x 21 Ax B C

3 2 2 2x 12x x 8x 4 x 4


2 2x x 21 Ax B 2x 1 C x 4

Si 1x2

entonces 1 1 121 4 C4 2 4

, de modo que C 5

Si x 0 entonces 21 B 4C , de modo que B 1

Si x 1 entonces 21 A 1 25 , de modo que A 3

Por lo tanto:

3 2 24x x 15x 29 x x 21 Ax B C 3x 1 52 2 23 2 3 2 2 22x 1 2x 12x x 8x 4 2x x 8x 4 x 4 x 4

D. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES CON FACTOR CUADRÁTICOREPETIDO.

A cada factor cuadrático irreducible, 2ax bx c , que se repita n veces en eldenominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de nfracciones de la forma

3 31 1 2 2 n n

2 3 n2 2 2 2

A x BA x B A x B A x B..........

ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

,

siendo los valores de i iA , B , i 1, 2, 3, .... , n constantes reales.




EJEMPLO

Determine la descomposición en fracciones parciales de

22x 3

22x 1

.

Observe que el grado del numerador es menor que el grado del denominador y que2x 1 es un término cuadrático irreducible.

Luego:

22x 3 Ax B Cx D

2 2 2x 12 2x 1 x 1


2 22x 3 Ax B x 1 Cx D .......... +

Si x 0 entonces 3 B D , de modo que D 3 B .......... *

Si x 1 entonces 5 2 A B C D , de modo que 2A B C 2 .......... **

Si x 1 entonces 5 2 B A C D , de modo que 2A B C 2 .......... ***

Luego: De ** , *** : B 2 y de * : D 1

Además: 2A C 0 .......... ****

Si x 2 entonces reemplazando en + , se obtiene 11 5 2A 2 2C 1 .

De **** : C 2A , luego 11 5 2A 2 4A 1 , de modo que A 0 y C 0

Por lo tanto:

22x 3 Ax B Cx D 2 1

2 2 2 2 2x 1 x 12 2 2x 1 x 1 x 1




PRACTICA DIRIGIDA DE AULACalcule las integrales indefinidas que se indican.

1.2x dx

2x x 6 2.5x 2 dx2x 4

3.4x 2 dx

3 2x x 2x

4.

23x x 1 dx3 2x x

5.25x 11x 5 dx

3 2x 4x 5x 2

6.26x 2x 1 dx

34x x

7.

1 dp2p p 8.

3x 5 dx3 2x x x 1

9.3 2x x x 2 dx4 2x 3x 2

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN:2x dx

2x x 6 Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo quetengo que realizar una división.

2x x 6 x 61 12 2 x 3 x 2x x 6 x x 6

Por otra parte:

x 6 A B

x 3 x 2 x 3 x 2


x 6 A x 2 B x 3

Si x 2 entonces 4 5B , de modo que 4B5

Si x 3 entonces 9 5A , de modo que 9A5

Así:

x 6 A B 9 1 4 1

x 3 x 2 x 3 x 2 5 x 3 5 x 2




Por consiguiente:

2x 9 1 4 1 9 4 dx 1 dx x Ln x 3 Ln x 2 C, C2 5 x 3 5 x 2 5 5x x 6

Por lo tanto:2x 9 4 dx x Ln x 3 Ln x 2 C, C

2 5 5x x 6

2. SOLUCIÓN: 5x 2 dx2x 4

Observe que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Factorizando el denominador:

5x 2 5x 22 x 2 x 2x 4

Expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales:

5x 2 5x 2 A B2 x 2 x 2 x 2 x 2x 4


5x 2 A x 2 B x 2



Así:

5x 2 5x 2 A B 2 32 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 4

Por consiguiente:

5x 2 2 3 dx dx 2Ln x 2 3Ln x 2 C, C2 x 2 x 2x 4

Por lo tanto: 5x 2 dx 2Ln x 2 3Ln x 2 C, C2x 4




3. SOLUCIÓN: 4x 2 dx3 2x x 2x



4x 2 4x 23 2 x x 2 x 1x x 2x


4x 2 4x 2 A B C

3 2 x x 2 x 1 x x 2 x 1x x 2x


4x 2 A. x 2 x 1 B.x x 1 C.x x 2




Así:

4x 2 4x 2 A B C 1 1 23 2 x x 2 x 1 x x 2 x 1 x x 2 x 1x x 2x

Por consiguiente:

4x 2 1 1 2 dx dx Ln x Ln x 2 2Ln x 1 C, C

3 2 x x 2 x 1x x 2x

Por lo tanto

4x 2 dx Ln x Ln x 2 2Ln x 1 C, C3 2x x 2x




4. SOLUCIÓN:23x x 1 dx3 2x x



2 23x x 1 3x x 13 2 2x x x x 1


2 23x x 1 3x x 1 A B C3 2 2 2x x 1x x x x 1 x


2 23x x 1 A.x x 1 B. x 1 C.x

Si x 0 entonces 1 B , de modo que B 1

Si x 1 entonces 3 C , de modo que C 3

Si x 1 entonces 5 2A 2 3 , de modo que A 0

Así:

2 23x x 1 3x x 1 A B C A B C 1 33 2 2 2 2 2x x 1 x x 1 x 1x x x x 1 x x x

Por consiguiente:

23x x 1 1 3 1 dx dx 3Ln x 1 C, C3 2 2 x 1 xx x x

Por lo tanto:23x x 1 1 dx 3Ln x 1 C, C3 2 xx x




5. SOLUCIÓN:25x 11x 5 dx

3 2x 4x 5x 2



2 25x 11x 5 5x 11x 53 2 2x 4x 5x 2 x 1 x 2


2 25x 11x 5 5x 11x 5 A B C3 2 2 2x 1 x 2x 4x 5x 2 x 1 x 2 x 1


225x 11x 5 A x 1 x 2 B x 2 C x 1

Si x 1 entonces 1 B , de modo que B 1

Si x 2 entonces 3 C , de modo que C 3

Si x 0 entonces 5 2A 2 3 , de modo que A 2

Así:

2 25x 11x 5 5x 11x 5 2 1 33 2 2 2x 1 x 2x 4x 5x 2 x 1 x 2 x 1

Por consiguiente:

25x 11x 5 2 1 3 12 dx dx Ln x 1 3Ln x 2 C, C3 2 2x 1 x 2 x 1x 4x 5x 2 x 1

Por lo tanto:

25x 11x 5 1 dx 2Ln x 1 3Ln x 2 C, C3 2 x 1x 4x 5x 2





34x x



2 26x 2x 1 6x 2x 13 x 2x 1 2x 14x x


2 26x 2x 1 6x 2x 1 A B C3 x 2x 1 2x 1 x 2x 1 2x 14x x


26x 2x 1 A. 2x 1 2x 1 B.x 2x 1 C.x 2x 1

Si x 0 entonces 1 A , de modo que A 1

Si 1x2

entonces 1 B2

, de modo que 1B2

Si 1x2

entonces 3 C2 , de modo que 3C

2

Así:

2 26x 2x 1 6x 2x 1 1 1 1 3 C3 x 2x 1 2x 1 x 2 2x 1 2 2x 14x x

Por consiguiente:

26x 2x 1 1 1 1 3 1 1 3 dx dx Ln x Ln 2x 1 Ln 2x 1 C, C3 x 2 2x 1 2 2x 1 4 44x x

Por lo tanto:26x 2x 1 1 3 dx Ln x Ln 2x 1 Ln 2x 1 C, C

3 4 44x x




7. SOLUCIÓN: 1 dp2p p



1 1 1

2 2 p p 1p p p p


1 1 1 A B

2 2 p p 1 p p 1p p p p


1 A p 1 Bp

Si p 0 entonces 1 A , de modo que A 1

Si p 1 entonces 1 B , de modo que B 1

Así:

1 1 1 1 12 2 p p 1 p p 1p p p p

Por consiguiente:

1 1 1 dp dp Ln p Ln p 1 C, C2 p p 1p p

Por lo tanto: 1 dp Ln p Ln p 1 C, C2p p




8. SOLUCIÓN: 3x 5 dx3 2x x x 1



3x 5 3x 5

3 2 2x x x 1 x 1 x 1


3x 5 3x 5 A B C

3 2 2 2x 1 x 1x x x 1 x 1 x 1 x 1


23x 5 A x 1 x 1 B x 1 C x 1


Si x 1 entonces 2 4C , de modo que 1C2

Si x 0 entonces 15 A 42

, de modo que 1A2

Así:

3x 5 3x 5 1 1 4 1 13 2 2 22 x 1 2 x 1x x x 1 x 1 x 1 x 1

Por consiguiente:

3x 5 1 1 4 1 1 dx dx3 2 22 x 1 2 x 1x x x 1 x 1

Por lo tanto:

3x 5 1 4 1 dx Ln x 1 Ln x 1 C, C

3 2 2 x 1 2x x x 1




9. SOLUCIÓN:3 2x x x 2 dx4 2x 3x 2


3 2 3 2x x x 2 x x x 2 Ax B Cx D4 2 2 22 2x 3x 2 x 1 x 2x 1 x 2


3 2 2 2x x x 2 Ax B x 2 Cx D x 1

Si x 0 entonces 2 DB ..... 12

Si x 1 y de 1 obtenemos 2 D5 3 A 2 C D 6A 4C D 4 ..... 22

Si x 1 y de 1 obtenemos 1 3 B A 2 D C 6A 4C D 4 ..... 3

De 2 , 3 y 1 : D 0, B 1 3A 2C 2 ..... 4

Si x 2 entonces 4 6 2A 1 10C , de modo que 6A 5C 5 ..... 5

De 4 y 5 : A 0 C 1

Así:

3 2 3 2x x x 2 x x x 2 1 x4 2 2 22 2x 3x 2 x 1 x 2x 1 x 2

Por consiguiente:

3 2x x x 2 1 x 11 2 dx dx tan x Ln x 2 C, C4 2 2 2 2x 3x 2 x 1 x 2

Por lo tanto: 3 2x x x 2 11 2 dx tan x Ln x 2 C, C4 2 2x 3x 2




PRACTICA DIRIGIDA DE AULAINTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES,CUANDO EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES CUADRÁTICOS

1.1 dx

4 29x x 2.1 dx

3 2x x x 3.32x 9x dx

4 3 2x 2x 6x 6x 9

4.

3 dx4 2x x 1 5.

3 25z z 15z 10 dz

22z 2z 5

6.22x 3x 2 dx

3 2x 4x 6x 4

SOLUCIONARIO

1. SOLUCIÓN: 1 dx4 29x x


1 1 A B Cx D

4 2 2 22 2 x9x x x 9x 1x 9x 1


2 2 21 A.x 9x 1 B. 9x 1 Cx D x

Efectuando obtenemos 3 21 9A C x 9B D x Ax B ..... 1

Como la igualdad dada en 1 es una identidad, se tiene que:

B 1A 0 1 1 9

4 2 2 29B D 0 D 9 9x x x 9x 19A C 0 C 0

Por consiguiente: 1 1 9 1 1 dx dx 3 tan 3x C, C4 2 2 2 x9x x x 9x 1




Por lo tanto: 1 1 1 dx 3 tan 3x C, C4 2 x9x x

2. SOLUCIÓN: 1 dx3 2x x x


1 1 A Bx C

3 2 22 xx x x x x 1x x x 1


21 A x x 1 Bx C x

Efectuando obtenemos 21 A B x A C x A ..... 1


A 11 1 x 1A C 0 C 1

3 2 2xx x x x x 1A B 0 B 1

Por consiguiente:

1 1 x 1 x 1 1 2x 1 1 dx dx Ln x dx Ln x dx3 2 2 2 2x 2x x x x x 1 x x 1 x x 1

1 1 1 12 dx Ln x Ln x x 1 dx

3 2 22 2x x x x x 1

Por lo tanto: 1 1 3 32 1 dx Ln x Ln x x 1 tan 2x 1 C, C

3 2 2 3 3x x x





4 3 2x 2x 6x 6x 9


3 32x 9x 2x 9x Ax B Cx D

4 3 2 2 22 2x 2x 6x 6x 9 x 3 x 2x 3x 3 x 2x 3


3 2 22x 9x Ax B x 2x 3 Cx D x 3

Efectuando obtenemos

3 3 22x 9x A C x 2A B D x 3A 2B 3C x 3 B D ..... 1


3B D 0 B D D32 2x33 2x 9x 3 1 23A 2B 3C 9 2B 3C 9 B

4 3 2 2 22 2x 2x 6x 6x 9 x 3 x 2x 32A B D 0 A 0

A C 2 C 2

Por consiguiente:

32x32x 9x 3 1 2 dx dx4 3 2 2 22x 2x 6x 6x 9 x 3 x 2x 3

Por lo tanto:

32x 9x 3 3 7 2 21 2 1 dx tan x Ln x 2x 3 tan x 1 C, C

4 3 2 2 3 4 2x 2x 6x 6x 9




4. SOLUCIÓN: 3 dx4 2x x 1


3 3 3 Ax B Cx D

4 2 2 2 22 2x x 1 x x 1 x x 12 2 x x 1 x x 1x 1 x


2 23 Ax B x x 1 Cx D x x 1


3 23 A C x A B C D x B C D A x D B ..... 1


3B D 3 B 3 D B23A B C D 0 A C 2D 3 D23A B C D 0 A C 3 C2

3A C 0 A C A2

Así:

3 3 3 3x x3 3 x 1 3 x 12 2 2 2

4 2 2 2 2 22 2x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

Por consiguiente: 3 3 x 1 3 x 1 dx dx dx4 2 2 22 2x x 1 x x 1 x x 1




3 3 1 2x 1 1 3 1 2x 1 1 dx dx dx4 2 2 2 2 22 2 2 2x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

Por lo tanto:

23 3 x x 1 3 2x 1 2x 11 1 dx Ln tan tan C, C4 2 24 2 3 3x x 1 x x 1

5. SOLUCIÓN:

3 25z z 15z 10 dz

22z 2z 5


3 25z z 15z 10 Az B Cz D

2 2 2z 2z 52 2z 2z 5 z 2z 5


3 2 25z z 15z 10 Az B z 2z 5 Cz D


3 2 3 25z z 15z 10 A.z 2A B .z 5A 2B C .z 5B D ..... 1


5B D 10 D 10 5B D 553 25A 2B C 15 A C 2D 3 C 8 5z z 15z 10 5z 9 8z 55

2 2 22A B 1 B 9 z 2z 52 2z 2z 5 z 2z 5A 5




Por consiguiente:

18 552z 2z3 25z z 15z 10 5z 9 8z 55 5 5 4 dz dz dz dz 4 dz2 2 2 2 22z 2z 5 z 2z 52 2 2z 2z 5 z 2z 5 z 2z 5

28 472z 2 2z 23 25z z 15z 10 5 5 4 dz dz 4 dz2 2 22 z 2z 52 2z 2z 5 z 2z 5

472z 23 25z z 15z 10 5 2z 2 1 4 dz dz 14 dz 4 dz2 2 2 22 z 2z 5 z 2z 52 2z 2z 5 z 2z 5

472z 23 25z z 15z 10 5 z 12 1 4 dz Ln z 2z 5 7 tan 4 dz2 22 22 2z 2z 5 z 2z 5

Calculamos la integral:

472z 22z 2 47 14 dz dz dz

2 2 242 2 2z 2z 5 z 2z 5 z 2z 5

472z 21 47 z 1 47 z 114 dx tan C, C

2 2 264 2 32z 2z 5 z 2z 52z 2z 5

Por lo tanto:

3 25z z 15z 10 5 z 1 1 47 z 1 47 z 12 1 1 dx Ln z 2z 5 7 tan tan C, C

2 2 22 2 16 2 8z 2z 5 z 2z 52z 2z 5





3 2x 4x 6x 4


2 22x 3x 2 2x 3x 2 A Bx C

3 2 22 x 2x 4x 6x 4 x 2x 2x 2 x 2x 2


2 22x 3x 2 A x 2x 2 Bx C x 2


2 22x 3x 2 A B x 2A 2B C x 2A 2C ..... 1


A C 1 A 2 22x 3x 2 2 12A 2B C 3 C 13 2 2x 2x 4x 6x 4 x 2x 2A B 2 B 0

Por consiguiente:

22x 3x 2 2 1 1 1 dx dx 2 dx dx3 2 2 2x 2 x 2x 4x 6x 4 x 2x 2 x 2x 2

Por lo tanto:

22x 3x 2 1 dx 2Ln x 2 tan x 1 C, C

3 2x 4x 6x 4




USO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS EN EL CÁLCULO DE INTEGRALES

INDEFINIDASComo ya se ha dicho antes, de cada fórmula de derivación se deduce una fórmulacorrespondiente de integración. De las fórmulas para las derivadas de las funcionestrigonométricas inversas, obtenemos el siguiente teorema que da algunas fórmulas deintegrales indefinidas:

TEOREMA:2 2

du ua 0 : arcsen C, Caa u

En general se cumple:

22

f ' x dx f xa 0 : arcsen C, C

aa f x

Calcule las integrales indefinidas que se indican.

1.2

dx

9 x 2.2

dx

8 x 3.2

dx

1 4x4.

2

dx

9 7x 5. 2dx

16 x 1 6.

22

xdx

9 x 3 7.

2

dx

4 2x x 8.2

dx

4x 12x 9.2

x 3 dx3 2x

10.

2

x 2 dx4 2x x

11.2

2x 3 dx1 4x

12.2

2x 3 dx5 x 4x

13.

2

x dx3 2x x 14.

2

2

t dtt

15.

2

23

x dx

4 x 1




SOLUCIONARIO

1. dx29 x

SOLUCIÓN: dx dx dx xarcsen C, C2 2 2 2 39 x 9 x 3 x

2. dx28 x

SOLUCIÓN:

dx dx xarcsen C, C2 2 828 x 8 x

3. dx21 4x

SOLUCION:

dx 1 2dx 1 arcsen 2x C, C2 22 21 4x 1 2x

4. dx29 7x

SOLUCION:

dx 1 7dx 1 7xarcsen C, C2 27 7 329 7x 3 7x

5.

dx216 x 1

SOLUCION: 2 22

dx dx x 1arcsen C, C416 x 1 4 x 1




6. 22

xdx

9 x 3 SOLUCION:

2

2 22 2 2

xdx 1 2xdx 1 x 3arcsen C, C2 2 39 x 3 3 x 3

7. dx24 2x x

SOLUCION:En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el

subradical como sigue a continuación:

22 24 2x x 5 x 2x 1 5 x 1

Sustituyendo en la integral

dx dx x 1arcsen C, C2 2 54 2x x 5 x 1

8. dx24x 12x

SOLUCION:En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el


2 224x 12x 9 2x 2 2x 3 9 9 2x 3


dx dx 1 2dx 1 2x 3arcsen C, C2 2 22 2 34x 12x 9 2x 3 9 2x 3




9.2

x 3 dx3 2x

SOLUCION:

1/ 222 2 2 2 2

x 3 x 3 3 2 dx dx dx x 3 2x dx dx23 2x 3 2x 3 2x 3 2x

1/ 222

x 3 1 3 2x dx 4x 3 2x dx arcsen4 2 33 2x

Por lo tanto: 1/ 222

x 3 1 3 2x dx 3 2x arcsen C, C2 2 33 2x

10. x 2 dx24 2x x

SOLUCION:2

x 2 dx4 2x x

En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el


22 24 2x x 5 x 2x 1 5 x 1


2 2 2 2

x 1 1x 2 x 1 1 dx dx dx dx4 2x x 4 2x x 4 2x x 5 x 1




1/222 2

x 2 1 1 dx 2 x 1 4 2x x dx dx24 2x x 5 x 1

Por lo tanto: 2

2

x 2 x 1 dx 4 2x x arcsen C, C54 2x x

11. 2x 3 dx21 4x

SOLUCION:

1/ 22x 3 2x 3 1 3 22 dx dx dx 8x 1 4x dx dx2 2 2 24 21 4x 1 4x 1 2x 1 2x

Por lo tanto: 2x 3 1 32 dx 1 4x arcsen 2x C, C

2 2 21 4x

12.2

2x 3 dx5 x 4x

SOLUCION:

2

2x 3 dx5 x 4x

En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que aparece en el


22 25 x 4x 9 x 4x 4 9 x 2

2 2 2

2x 3 2x 4 1 dx dx dx5 x 4x 5 x 4x 9 x 2

1/ 22x 3 12 dx 2x 4 5 x 4x dx dx2 25 x 4x 9 x 2

Por lo tanto: 2x 3 x 22 dx 2 5 x 4x arcsen C, C

2 35 x 4x




13.2

x dx3 2x x

SOLUCION: En este caso debe "completarse cuadrados" en la expresión que

aparece en el subradical como sigue a continuación:

22 23 2x x 4 x 2x 1 4 x 1

2 2 2

x x 1 1 dx dx dx3 2x x 3 2x x 4 x 1

1/ 2

2 2

x 1 12 dx 2 x 1 3 2x x dx dx23 2x x 4 x 1

Por lo tanto: x x 12 dx 3 2x x arcsen C, C

2 23 2x x

14.2

2

t dtt

SOLUCION:

2 2 21/ 222 2 2 2 24

t t dt dt dt t t dt dtt t t t

2 21/ 2242

t 1 t dt 2 t t dt arcsen2t

Por lo tanto:

2 22 4

2

t 1 dt t arcsen t C, Ct

15. 2

23

x dx

4 x 1 SOLUCION:

2 2 3

2 23 2 3

x dx 1 3x dx 1 x 1arcsen C, C3 3 24 x 1 2 x 1




TEOREMA

12 2

dx 1 xa 0 : tan C, Ca x a a

En general se cumple:

22

f ' x dx f x1a 0 : arctan C, Ca aa f x

PRACTICA DIRIGIDA DE AULACalcule las integrales indefinidas que se indican.

1.2

9dx

9x 1 2.2

dx

x x 1 3.2

dx

x 34.

2

dx

x 2x 5 5.2

10dx

x 1 6.3

2

3x dx4x 12x 13

7.2

3x dxx 6x 12 8.

2

dx

x 9 9.2

dx

2 4x10.

2

x 2 dx5 2x

11.2

1 dx4x 4x 3 12.

4

x dx1 x

SOLUCIONARIO

1.2

9dx

9x 1SOLUCIÓN:

1

22

9dx 3dx3 3 tan 3x C, C9x 1 3x 1

2.2

dx

x x 1 SOLUCIÓN: 1

22

dx dx 2 2x 1tan C, Cx x 1 3 31 3x

2 4




3.2

dx

x 3SOLUCIÓN: 1

2

dx 1 xtan C, Cx 3 3 3

4.2

dx

x 2x 5 SOLUCIÓN:

1

22

dx dx 1 x 1tan C, Cx 2x 5 2 2x 1 4

5.2

10dx

x 1SOLUCIÓN: 1

2 2

10dx dx10 10 tan x C, Cx 1 x 1

6.33x dx

24x 12x 13 SOLUCIÓN: Dividiendo, se obtiene

3 2

2 2 2

3x x 3 23x 39 3x 9x 3 23x 39 dx 3 dx dx4x 12x 13 4 4 4 4x 12x 13 8 4 4 4x 12x 13

3 2

22 2

3x 3x 9x 3 23x 3 39 dx dx dx4x 12x 13 8 4 4 4x 12x 13 4 4 2x 3

3 2

2 2

3x 3x 9x 69 8x 12 12 117 2x 3 dx dx arctan4x 12x 13 8 4 32 4x 12x 13 16 2

2

2

33x 3x 9x 69 8x 12 207 1 117 2x 3 dx dx dx arctan2 28 4 32 8 16 24 2x 34x 12x 13 4x 12x 13




233x 3x 9x 69 207 2x 3 117 2x 32 dx Ln 4x 12x 13 arctan arctan C, C2 8 4 32 32 2 16 24x 12x 13

Por lo tanto:

233x 3x 9x 69 27 2x 32 dx Ln 4x 12x 13 arctan C, C2 8 4 32 32 24x 12x 13

7.2

3x dxx 6x 12

SOLUCIÓN:

22 2 2

3x 3 2x 6 6 3 2x 6 1 dx dx dx 9 dxx 6x 12 2 x 6x 12 2 x 6x 12 3 x 3

Por lo tanto: 2

2

3x 3 9 x 3 dx Ln x 6x 12 arctan C, Cx 6x 12 2 3 3

8.2

1 dx9 x

SOLUCIÓN:2 2 2

1 1 1 x dx dx arctan C, C9 x 3 x 3 3

9.2

dx

2 4xSOLUCIÓN:

22 2

1 1 2 1 2x 1 dx dx arctan C arctan 2x C, C2 4x 2 2 2 2 2 22 2x

Por lo tanto: 2

1 1 dx arctan 2x C, C2 4x 2 2




10.2

x 2 dx5 2x

SOLUCIÓN: En este caso se separa en dos integrales, como sigue

222 2 2 2

x 2 x 2 1 4x 2 dx dx dx dx 2 dx5 2x 5 2x 5 2x 4 5 2x 5 2x

Por lo tanto: 2 1

2

x 2 1 2 2x dx Ln 5 2x tan C, C5 2x 4 5 5

11.2

1 dx4x 4x 3

SOLUCIÓN: En este caso se "completa cuadrados" en la expresión que está en eldenominador.

2 22 2

1 1 1 2 dx dx dx4x 4x 3 22 2x 1 2 2x 1

Por lo tanto: 12

1 1 2x 1 dx tan C, C4x 4x 3 2 2 2

12.4

x dx1 x

SOLUCIÓN: Arreglando convenientemente el integrando

1 2

24 2

x 1 2x 1 dx dx tan x C, C1 x 2 21 x

Por lo tanto: 1 24

x 1 dx tan x C, C1 x 2




TEOREMA 12 2

du 1 ua 0 : sec C, Ca au u a

MISCELÁNEA DE INTEGRALES

Calcule las siguientes integrales. Use alguno de los métodos aprendidos anteriormente.

1. xe dx 2. 2

sen x dx

1 cos x 3. 1

2

x tan 2x dx

1 4x

4.

2

x dxcos x 5. 2 Ln x

dxx

6. 2

x 4 dxx 2 x 1

7. 3 2x 4 x dx 8.

2

2

x 9 dxx 2 x 5

9. 2xsen x dx10. sen 5x dx 11. 2x 1 dx 12. x 6 dx

x 1

13. x2xe dx 14.

2

x dx4 x 15.

4

1 dx1 x

SOLUCIONARIO

1. xe dxSOLUCIÓN: Sea t x , entonces 1dt dx 2tdt dx

2 x .

Luego x te dx 2 te dt Sea

u t du dtt tdv e dt v e

.




De tal modo, que aplicando la fórmula de integración por partes, se obtiene

t t t t tt e dt t e e dt t e e c, c

Por lo tanto: x x xe dx 2 x e e c , c

2. 2

sen x dx

1 cos xSOLUCIÓN: Sea u cos x , entonces du sen x dx .Luego

2 2

sen x 1 dx du arctan u c, c1 cos x 1 u

Por lo tanto:

2

sen x dx arctan cos x c, c

1 cos x

3. 1

2

x tan 2x dx

1 4x


1 11

2 2 2 2 2

x tan 2x tan 2xx 1 8x 1 dx dx dx dx tan 2x dx1 4x 1 4x 1 4x 8 1 4x 1 4x

Luego: 1

2 12 2

x tan 2x 1 1 dx Ln 1 4x tan 2x dx1 4x 8 1 4x

Ahora calculamos 12

1tan 2x dx1 4x




Sea 12

2u tan 2x du dt1 4x

.

1 3 / 22

1 1 1tan 2x dx u du u1 4x 2 3

Por lo tanto:

1

3 / 22 12

x tan 2x 1 1 dx Ln 1 4x tan 2x c, c1 4x 8 3

4. 2

x dxcos x

SOLUCIÓN: Sea 2u x du 2xdx .

2

x 1 1 1 1 dx du sec u du Ln sec u tan u c, ccos x 2 cos u 2 2

Por lo tanto: 2 2

2

x 1 dx Ln sec x tan x c, ccos x 2

5. 2 Ln x dx

x


2 Ln x Ln x2 dx dx dxx x x

1 1

2 Ln x Ln x dx 2Ln x c dx, c

x x

Ahora calculamos Ln x dx

x




Sea 1u Ln x du dxx

.

Luego: 22

2 2 2Ln x Ln xu dx udu c c , c

x 2 2

Por lo tanto: 2

1 2 1 22 Ln x Ln x

dx 2Ln x c c ; c , cx 2

2

1 2 1 22 Ln x Ln x

dx 2Ln x c; c , c , c c cx 2

6. 2

x 4 dxx 2 x 1

SOLUCIÓN:

Vamos a expresar el integrando como uma suma de fracciones parciales

2 2

x 4 A Bx C

x 2 x 1 x 2 x 1

2 x 4 A x 1 Bx C x 2

Si x 2 , entonces 22 5A A5

Si x 0 , entonces 2 94 2C C5 5

Si x 1 , entonces 4 9 23 B B5 5 5

Por consiguiente: 2 2 2

2 2 9xx 4 2 1 1 2x 95 5 5

x 2 x 1 x 2 x 1 5 x 2 5 x 1




Ahora:

2 2 2

x 4 2 1 1 2x 9 2 1 1 2x 9 dx dx dx dxx 2 x 1 5 x 2 5 x 1 5 x 2 5 x 1

2 2 2

x 4 2 1 1 2x 9 1 dx dx dx dxx 2 x 1 5 x 2 5 x 1 5 x 1

Por lo tanto:

2 12

x 4 2 1 9 dx Ln x 2 Ln x 1 tan x c; cx 2 x 1 5 5 5

7. 3 2x 4 x dxSOLUCIÓN: Arreglando convenientemente el integrando.

3 2 2 21x 4 x dx x 2x 4 x dx2

Aplicando integración por partes: Sea

2

3 / 22 2

u x du 2xdx2dv 2x 4 x dx v 4 x3

Luego:

3 / 2 3 / 23 2 2 2 2 2 21 2 4x 4 x dx x 2x 4 x dx x 4 x x 4 x dx2 3 3

3 / 2 3 / 2 3 / 2 5 / 23 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4x 4 x dx x 4 x 2x 4 x dx x 4 x 4 x c, c

3 3 3 15

Por lo tanto:

3 / 2 5 / 23 2 2 2 22 4x 4 x dx x 4 x 4 x c, c3 15

nuevo 2010 i_tecnicas de integracion_utp(2)

Documents