notas de clase algebra y trigonometria

Matematicas I

Instituto de Matematicas*

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUnviersidad de Antioquia

Medelln, 15 de noviembre de 2013

1. Sistemas numericos

Los numeros reales son utilizados en una gran variedad de problemas matematicos para re-presentar cantidades discretas y continuas como distancias, tiempos, velocidades, aceleraciones,temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que deseemos medir, podemos encontrar lossiguientes sistemas numericos:

1.1. Numeros naturales

Los numeros naturales son 1, 2, 3, . . ., surgen de la necesidad de contar o enumerar objetos,sirven para designar el numero de elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento dela aritmetica. El conjunto de los numeros naturales se denota con el smbolo N:

N = {1, 2, 3, . . .} y N0 = {0, 1, 2, . . .} = N {0}El cero (0) representa el numero de elementos del conjunto vaco y muchos autores no lo consideranun numero entero.

b b b b b b b b

0 1 2 3 n n+ 1

1.2. Numeros enteros

Los numeros enteros estan formados por los numeros naturales 1, 2, 3, . . . y por sus inversosaditivos 1,2,3, . . . El conjunto de los numeros naturales se denota por el smbolo (Z):

Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos numeros enteros siempre es un numero entero.Observemos que el conjunto de los numeros naturales es un subconjunto del conjunto de lo numerosenteros, en smbolos: N Z.

b b b b b b b b b b b b b

n 3 2 1 0 1 2 3 n*Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribucion - No comercial 2.5 Colombia.

1

2 Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia

Los numeros enteros se clasifican en enteros positivos (Z+) y en enteros negativos (Z):

Z+ = {1, 2, 3, . . .} = NZ = {. . . ,3,2,1}

y Z = Z+ Z {0}.

1.3. Numeros racionales

Los numeros raciones se pueden representar como el cociente de dos enteros, el termino racio-nal hace referencia a razon, proporcion o fraccion:

Q ={mn

: m Z, n Z, n 6= 0}

Todo entero n se puede escribir como el numero racional n/1 y en consecuencia Z Q.

b b b b b b b b

14

1 0 12

1 74

2 3

Los numeros racionales admiten una representacion decimal finita o infinita pero periodica:

9

4= 2.25 y

177

55= 3.2181818 . . . = 3.218

1.3.1. Operaciones con fraccionarios

En los numeros racionales se difinen las siguientes operaciones

Proposicion 1.1 (Operaciones con fracciones). Para todo a, b, c, d Q se cumple que:

1. ab +cd =

ad+bcbd

2. ab cd = adbcbd

3. ab cd = acbd4. ab cd = adbc

Ejemplo 1.1.

2

3[(

1

2+

3

4

)(1

5 2

)]=

2

3[5

4 9

5

]=

2

3[2536

]= 25

54

1.4. Numeros irracionales

Los numeros que no son racionales se denominan numeros irracionales. El conjunto de losnumeros irracionales se denota mediante el smbolo Q. Ejemplos de numeros irracionales sonel numero e (base del logaritmo natural), (la razon entre la circunferencia de un crculo y sudiametro) y

2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) entre otros. Las representaciones decimales

de estos numeros son siempre infinitas y no repetitivas:

1. = 3.1415926535897 . . .

2.2 = 1.4142135623731 . . .

3. e = 2.71828183 . . .

4. 4.12122122212222 . . .

Instituto de Matematicas, Universidad de Antioquia 3

b b b

0 12 2 e 3 4

2

1.5. Numeros reales

El conjunto de los numeros reales esta constituido por todos los numeros racionales e irracio-nales. As,

R = Q Q y N Z Q R.Los numeros reales los podemos considerar como puntos sobre una recta infinita: a cada

punto de la recta le corresponde uno y solo un numero real y recprocamente, a cada numero realle corresponde un punto de la recta.

b b b b b b b b

R0 1 232e 3 4

1.6. Axiomas de campo

En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto () que satisfacen las siguientespropiedades:

Propiedad 1.2 (Axiomas de campo). .

1. Para cada par de numeros reales a y b, la suma a+ b es un numero real.

2. La suma es conmutativa: a+ b = b+ a

3. La suma es asociativa: a+ (b+ c) = (a+ b) + c

4. Existe un numero real denotado por 0 (neutro aditivo) que satisface a+ 0 = a

5. Para cada numero real a, existe un unico elemento denotado por a (inverso aditivo) quesatisface a+ (a) = 0.

6. Para cada par de numeros reales a y b, el producto a b es un numero real.7. La producto es conmutativa: a b = b a8. La producto es asociativa: a (b c) = (a b) c9. 1 es el neutro multiplicativo y satisface 1 a = a para todo a R.10. Si a 6= 0, a1 es el inverso multiplicativo y satisface a a1 = 1 para todo a R.11. La producto es distributiva sobre la suma:

a (b+ c) = a b+ a c y (a+ b) c = a c+ b c

Observacion 1 (Sobre axiomas de campo). .

1. A la propiedad (28.1) se le denomina axiomas de campo de los numeros reales.

2. Los axiomas (1)-(5) hacen referencia a las propiedades que satisface la operacion suma

3. Los axiomas (6)-(10) hacen referencia a las propiedades que satisface la operacion producto

4. El axioma (11) (propiedad distributiva), relaciona las propiedades de la suma con el producto.

5. Si a 6= 0, su inverso multiplicativo a1 se denota por a1 = 1a .6. En lugar de escribir a b, se acostumbra escribir ab.7. En lugar de escribir a+ (b), se acostumbra escribir a b.

Ejemplo 1.2. Por la propiedad distribuitiva,

(a+ b)(c+ d) = a(c+ d) + b(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd.

Proposicion 1.3. Para todo a, b R se cumple que:1. a 0 = 02. si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

El inverso aditivo de todo numero real satisface las siguientes propiedades:

Proposicion 1.4 (Ley de los signos). Para todo a, b R se cumple que:

1. (1)a = a2. (a) = a

3. (a)b = a(b) = (ab)4. (a)(b) = ab

El inverso multiplicativo o recproco a1 = 1a de un numero real a 6= 0 se caracteriza por ser elunico numero que satisface

a a1 = a(1

a

)= 1.

Por ejemplo,(45

)1= 54 porque

45 54 = 1 y en general(m

n

)1=

1

m/n=

n

m

1.7. Axiomas de orden

La representacion geometrica de los numeros reales como puntos sobre una recta

Ra b

nos permite establecer de manera informal un orden en R: si a esta a la izquierda de b, se diceque a es menor que b y se escribe a < b. De manera analoga, si a esta a la derecha de b, se diceque a es mayor que b y se escribe a > b.

Esta idea intuitiva de ser mayor que (>) o menor que ( b.

2. a 0 y b > 0 = ab > 0.4. a > b y b > c = a > c.

Observacion 2 (Sobre axiomas de orden). .

1. a > b significa lo mismo que b < a.

2. Un numero real x se dice que es positivo si x > 0 y negativo si x < 0.

3. El numero cero no es positivo ni negativo.

4. Los numeros positivos estan ubicados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.

5. El conjunto formado por todos los numeros positivos se donota con el smbolo R+.

6. El conjunto formado por todos los numeros negativos se donota con el smbolo R.

7. Del axioma (1) se infiere que todo numero real es positivo, negativo o cero.

8. El axioma (3) nos dice que el producto de numeros positivos es positivo.

9. Cuando tengamos que a 0. Otros enunciados que se pueden demostrar son:

Teorema 1.6. Para todo a, b, c R se cumple que:

1. a 0 = ac < bc.2. a bc.

3. a 6= 0 = a2 > 0.4. a < b y c < d = a+ c < b+ d.

De la propiedad (3) del teorema anterior (1.6), se deduce que NO existe un numero real x talque x2 = 1. Existen numeros que satisfacen esta propiedad, no son numeros reales y se denominannumeros complejos. El conjunto de los numeros complejos se denotada por C y tanto su definicioncomo sus propiedades seran estudiadas mas adelante.

Teorema 1.7. Si a, b R y a < b, entonces b < a.

Teorema 1.8. Si a, b R y ab > 0, entonces una de las siguientes condiciones se cumple:

1. a > 0 y b > 0. 2. a < 0 y b < 0.

El smbolo a b indica que a < b o a = b. Por ejemplo 1 3 porque 1 < 3 mientras que porque = . De manera similar se define la relacion . La relacion satisface las siguientespropiedades:

Propiedad 1.9. Para todo a, b, c R se cumple que:1. Propiedad reflexiva: a a.2. Propiedad antisimetrica: a b y b a = a = b.3. Propiedad transitiva: a b y b c = a c.


1.8. Axioma de completitud

Hasta ahora hemos estudiado varios sistemas numericos:

N Z Q R CCada uno de ellos posee propiedades bien definidas. Las propiedades (axiomas) de campo y orden deR por ejemplo, son validas tambien en Q. Sin embargo, existe una propiedad (axioma) adicional quecaracteriza a los numeros reales y los diferencia de los otros sistemas numericos: se trata del axiomade completitud. La interpretacion intuitiva de este axioma dice que la correspondencia biunvocaentre numeros reales y puntos de una recta que antes mencionamos, llena completamente larecta sin que falten ni sobren puntos. Con numeros racionales por ejemplo, no logramos llenar larecta, quedan huecos como los puntos que corresponden a

2, , etc. Se dice entonces que R es

un campo ordenado y completo.

b b b b bbc bc bc

0 12 2 e 3 4

2

1.9. Exponentes y radicales

Definicion 1.1. Para todo a R y todo entero positivo n,

1. an = a a a n veces

. 2. a0 = 1, si a 6= 0. 3. an = 1an .

Ejemplo 1.3. .

1. 24 = 2 2 2 2 = 162. 43 = 4 4 4 = 64

3. 62 = 6 6 = 364. 32 = 132 =

133 =

19

Observacion 3. .

1. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar una cantidad o expresion pors misma una o varias veces. Por ejemplo, 16 es potencia de 2 porque 24 = 16.

2. La operacion cuya finalidad es hallar las potencias de un numero se denomina potenciaciono elevacion a potencias.

3. a2 se lee a elevado al cuadrado, a3 se lee a elevado al cubo, an se lee a elevado a la n.

4. En la expresion an = b, a es la base, n es el exponente y b es la potencia.

Propiedad 1.10 (Leyes de los exponentes). Para todo a, b R y m,n Z,

1. aman = am+n

2. (am)n = amn

3. (ab)n = anbn

4.(ab

)n= a

n

bn , b 6= 0.

5. am

an = amn, a 6= 0

6. am

an =1

anm , a 6= 0

Ejemplo 1.4. .

1. a2 a5 = a2+5 = a3, con a 6= 0.

2.(b4

)5= b45 = b20 =

1

b20, con b 6= 0.

3. (3x)2 = 32 x2 = 9x2.

4.z3

z5= z3(5) = z2, con z 6= 0.

La operacion inversa a la potenciacion se denomina radicacion. La radicacion nos permitecalcular la base de una potencia, conociendo el exponente y la potencia.

Por ejemplo, la operacion inversa de elevar al cuadrado un numero se denomina encontrar unaraz cuadrada del numero. Las races cuadradas de 25 son 5 y 5 porque 52 = 25 y (5)2 = 25.

El smbolo

se utiliza para designar la raz cuadrada no negativa. As,25 = 5,

36 = 6,

etc. En general, definimos la raz n-esima como se indica a continuacion:

Definicion 1.2 (Raz n-esima). Si n es un numero natural y a un numero real, definimos na

de la siguiente forma:

Si a = 0, entonces na = 0

Si a > 0, entonces na = b, si, y solo si, bn = a y b > 0.

Si a < 0 y n es impar, entonces na = b, si, y solo si, bn = a y b < 0.

Si a < 0 y n es par, entonces na no es un numero real.

Ejemplo 1.5. .

1. 532 = 2, porque 25 = 32 y 2 > 0.

2.8 = 2, porque (2)3 = 8 y 2 < 0.

3.9 no es un numero real.

Propiedad 1.11 (Propiedades de la raz n-esima). Para todo a R y n N,

1. ( na)

n= a si n

a es un numero real

2. nan = a si a 0

3. nan = a si a < 0 y n es impar

4. nan = |a| si a < 0 y n es par

Observacion 4. .

1. Afirmar quex2 = x para todo numero real x es falso.

2.x2 = |x| para todo numero real x.

Ejemplo 1.6. .

1. 3(5)3 = 5 2. (5)2 = | 5| = 5 3. 52 = 5

Propiedad 1.12 (Propiedades de la radicacion). Para todo a, b R y m,n N,

1.nab = n

a

nb

2. na

b=

na

nb

3.m

na = mn

a

Ejemplo 1.7. .


1.x2y =

x2y = |x|y 2. 4

x6y3 = 4

x4x2y3 =

4x4 4x2y3

1.10. Exponentes racionales

Definicion 1.3 (Exponentes racionales). Para todo a R y todo par de enteros positivos m yn, con n 2 para el cual na existe, definimos:

1. a1/n = na. 2. am/n = n

am = ( n

a)

m. 3. am/n = 1

am/n.

Ejemplo 1.8. . (32

243

)2/5=

(5

32

243

)2=

5(

2

3

)52 = (23

)2=

4

9

2. Expresiones polinomiales

Una expresion algebraica es una expresion que contiene letras, numeros y operaciones aritmeti-cas. Muchas expresiones del lenguaje habitual las podemos las podemos enunciar por medio deexpresiones algebraicas. Es comun usar la notacion y la terminologa de la Teora de Conjuntospara describir relaciones matematicas.

Para denotar los conjuntos se usan letras mayusculas A, S, . . . Las letras minusculas son usadaspara representar los elementos de los conjuntos.

Notacion Significadoa T a es un elemento del conjunto T

a pertenece al conjunto TS T Todo elemento de S esta en T

S es un subconjunto de T

Una letra o smbolo que represente un elemento especfico se denomina constante. Por ejemplo,5, son constantes.

Una letra o smbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variableo incognita.

Ejemplo 2.1. En la expresion Sea x un numero real, x esta representando a cualquier elementode los numeros reales.

Si x es una variable, entonces:

Monomio en x es una expresion de la forma axn, donde a R y n es un entero no-negativo.Binomio es una suma de dos monomios.

Trinomio es una suma de tres monomios.

Polinomio en x es una suma de cualquier numero de monomios en x.

Un Polinomio en x es una suma de la forma

anxn + an1xn1 + + a1x+ a0

donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente ak es un numero real. Cuando an 6= 0 decimosque el polinomio tiene grado n.

El coeficiente ak de la potencia mas alta de x es el coeficiente principal del polinomio.

Ejemplo 2.2. .


En el polinomio 8x4 + 5x2 + x 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4.La expresion x+2x21 no es un polinomio (es una expresion fraccionaria).

Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de terminos de la forma axmyn, dondea R y m y n son enteros no-negativos.Por ejemplo, 2x3y + 5xy4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4para y.

Ejemplo 2.3 (operaciones entre polinomios). .

Suma de polinomios: (x2 + y) + (8y 3x2) = 2x2 + 9yResta de polinomios: (x2 + y) (8y 3x2) = 5x2 7yMultiplicacion de polinomios

(6w 3z2)(5z + 2w2) = (6w)(5z) + (6w)(2w2) (3z2)(5z) (3z2)(2w2)= 30wz + 12w3 15z3 6z2w2

Division de un polinomio entre un monomio:

15x4y5 + 2x3y6 3x10y86x2y3

=15x4y5

6x2y3+

2x3y6

6x2y3 3x

10y8

6x2y3

=5

2x2y2 +

1

3xy3 1

2x8y5

2.1. Formulas de algunos productos de polinomios

(x+ y)(x y) = x2 y2

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(x y)2 = x2 2xy + y2

(x y)3 = x3 3x2y + 3xy2 y3

Ejemplo 2.4. .

(3a 2b)3 = (3a)3 3(3a)2(2b) + 3(3a)(2b)2 (2b)3= 27a3 3 9 2 a2b+ 3 3 4 ab2 8b3= 27a3 54a2b+ 36ab2 8b3

2.2. Factorizacion

La factorizacion es el proceso de expresar una suma de terminos como un producto. Por ejemplo

x2 25y2 = (x+ 5y)(x 5y)es la factorizacion del polinomio x2 25y2 en dos factores (x+ 5y) y (x 5y).

Proposicion 2.1. Algunas formulas de factorizacion:

1. Diferencia de cuadrados:x2 y2 = (x+ y)(x y)

2. Diferencia de dos cubos:a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)

3. Suma de dos cubos:a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)


2.3. Ecuaciones lineales y cuadraticas

Un problema registrado en una antigua tablilla babilonica dice:

Un anciano dejo al morir 65 monedas de oro, que deban repartirse entre sus 5 hijosde modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede.

Problemas como estos los podemos enunciar matematicamente por medio de variables que re-presentan las incognitas del problema y que pueden ser combinadas para formar expresiones al-gebraicas que podemos relacionar a traves de ecuaciones. Las ecuaciones que consideraremos enesta seccion son ecuaciones algebraicas. En matematicas existen otro tipo de ecuaciones que notrataremos aqu.

Definicion 2.1. Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que involucrauna o varias cantidades desconocidas, llamadas incognitas. A un valor de la incognita que verifiquela igualdad le llamaremos solucion o raz de la ecuacion.

Ejemplo 2.5.

1. En la ecuacion2y 3 = 6, (1)

y representa la incognita y la igualdad se verifica para y = 92 porque

y =9

2 2y 3 = 2 9

2 3 = 9 3 = 6

Por otra parte, y = 1 no verifica la igualdad y por tanto no es solucion porque

y = 1 2y 4 = 2 1 3 = 1 6= 6

2. La ecuacionx2 2 = 0 (2)

se verifica para x =2 y x = 2 porque

x =2

(2)2 2 = 0 y x =

2

(2)2 2 = 0

3. La ecuacionz2 + 4 = 0 (3)

se verifica para z = 2i y z = 2i porque

z = 2i z2+4 = (2i)2+4 = 4+4 = 0 y z = 2i z2+4 = (2i)2+4 = 4+4 = 0

4. La ecuacion2x 3y = 4 (4)

se verifica para x = 2, y = 0 y tambien para x = 1, y = 23 .

Observacion 5. La ecuacion (1) posee soluciones en Q y no posee soluciones enteras. La ecuacion(2) tiene dos soluciones irracionales (no posee soluciones en Q). La ecuacion (3) no tiene solucionesen R, sus soluciones son complejas. Finalmente, la ecuacion (4) es una ecuacion en dos variablesy posee infinitas soluciones.

Las ecuaciones presentadas en los ejemplos anteriores se denominan ecuaciones polinomicasporque las expresiones algebraicas que las componen son polinomios. Como ejemplos de ecuacionesalgebraicas que no son polinomicas podemos citar los siguientes:


1.x 3x = 1 2. 2

y+ yx = 2 3. 2x+ 5

x2 3 3x = 1

Las ecuaciones polinomicas se clasifican de acuerdo al grado del polinomio que la forman, comolineales, cuadraticas, cubicas, etc. La pregunta que surge ahora es:

Como hallar las soluciones de ecuaciones como las presentadas en el ejemplo (2.5)?

Definicion 2.2. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas races o soluciones.

Por ejemplo, las ecuaciones x2 x = 6 y 2x2 2x = 12 son equivalentes, ya que ambas tienenlas mismas soluciones: x = 3 y x = 2 (verificar).

Una ecuacion difcil de resolver la podemos convertir en una facil de resolverpor medio dela serie de pasos explicados en el siguiente teorema.

Teorema 2.2 (Ecuaciones equivalentes). .

1. Si cualquier expresion de una ecuacion se sustituye por una expresion igual, la ecuacionobtenida es equivalente a la original.

2. Si a los dos miembros de una ecuacion, se les suma o se les resta una expresion igual, laecuacion obtenida es equivalente a la original.

3. Si los dos miembros de una ecuacion se multiplican o dividen por una cantidad distina decero, la ecuacion resultante es equivalente a la original.

Ejemplo 2.6. Las ecuaciones (5) y (9) son equivalentes.

x

2+x 13

= 4 (5)

6 (x

2+x 13

)= 6 4 (6)

6 x2+ 6 x 1

3= 6 4 (7)

3x+ 2 (x 1) = 24 (8)5x 2 = 24 (9)

De la ecuacion (5) a la (6) utilizamos la parte (3) del teorema (2.2); para el resto de pasosutilizamos la parte (1).

Otra propiedad importante ya vista de los numeros reales que nos permitira resolver ecuacioneses la siguiente

Teorema 2.3. Para todo par de variables P y Q,

PQ = 0 P = 0 o Q = 0

2.3.1. Ecuacion lineal

Definicion 2.3. La ecuacionax+ b = 0, a 6= 0 (10)

se llama ecuacion lineal o ecuacion de primer grado en la variable x.

Es importante resaltar que la ecuacion (5.15) tiene solo una solucion y esta dada por x = ba .

Ejemplo 2.7. Resuelva la ecuacion 5x+ 3 = 25 + x.Solucion

5x+ 3 = 25 + x ecuacion original5x = 28 + x sumamos 3 a ambos lados4x = 28 sumamos x a ambos ladosx = 7 dividimos entre 4 a ambos lados


2.3.2. Ecuacion cuadratica

Definicion 2.4. La ecuacionax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 (11)

donde a, b, c son numeros reales, se llama ecuacion cuadratica o ecuacion de segundo gradoen la variable x.

Es importante mencionar que la ecuacion cuadratica (25), a diferencia de la ecuacion lineal(5.15), puede tener hasta dos soluciones y a continuacion mostraremos como hallarlas.

2.4. Solucion por factorizacion

Este metodo lo podemos aplicar a ecuaciones polinomicas (no solo cuadraticas) para las cualesel polinomio que las forma es posible factorizarlo y se basa en el teorema (2.3).

Ejemplo 2.8. Resuelva la ecuacion cuadratica x2 = 11x 30.Solucion

x2 = 11x 30 (12)x2 11x+ 30 = 0 (13)(x 6)(x 5) = 0 (14)

por lo cual

(x 6)(x 5) = 0 x 6 = 0 o x 5 = 0 (15) x = 6 o x = 5 (16)

La ecuacion tiene entonces dos soluciones: x = 6 y x = 5 (verificar).Del paso (66) al (14) factorizamos el polinomio; el paso (15) es por la propiedad de los numeros

reales que te presentamos en el teorema (2.3).

Observacion 6. El proceso de factorizacion que realizamos en el paso (14), lo podemos expresaren general como

x2 + bx+ c = (x+ r1)(x+ r2) (17)

donde r1 y r2 son dos numeros enteros tales que r1 + r1 = b y r1 r1 = c (por que?).

2.5. Solucion por completacion de cuadrados

Este metodo aparece registrado en una antiguo pergamino babilonio; actualmente se le conocecomo metodo de completacion de cuadrados y lo aplicamos cuando el polinomio que forma laecuacion no lo podemos factorizar. El metodo consiste en sumarle a ambos lados de la ecuacion

x2 + bx+ c = 0

la cantidad (b/2)2, esto hace que el polinomio resultante se pueda factorizar y as podemos aplicarel metodo de factorizacion (2.4) como mostraremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.9. Utilice el metodo de completacion de cuadrados para resolver x2 4x 1 = 0.Solucion

Observemos que no existen dos enteros r1 y r2 tales que r1 + r1 = 4 y r1 r1 = 1 y por tantoel metodo de factorizacion no nos sirve. En este caso b = 4 y:

x2 4x 1 = 0 (18)x2 4x = 1 (19)

x2 4x+ (2)2 = 1 + (2)2 sumamos (b/2)2 (20)x2 4x+ 4 = 5 (21)

(x 2)2 = 5 (22)x 2 =

5 (23)

x = 25 (24)


Las soluciones de la ecuacion vienen dadas entonces por x = 2 +5 y x = 25 (verificar).

Observacion 7. En el paso (19) aislamos las variables a la izquierda del igual y en el paso(20) sumamos la cantidad que hace que la expresion del lado izquierdo se convierta en un cuadradoperfecto.

La cantidad a sumar (b/2)2 se aplica a la ecuacion x2 + bx + c = 0. Que ocurre con el casogeneral ax2 + bx+ c = 0 con a 6= 1?Actividad 2.4. Resuelva la ecuacion 3z2 + z 12 = 0.

2.6. Formula general

La ecuacion cuadraticaax2 + bx+ c = 0 , a 6= 0 (25)

admite tres posibles tipos de soluciones (o races): dos numeros reales diferentes; un numero realdoble, o dos numeros complejos conjugados, dependiendo de que su discriminante

= b2 4ac

sea positivo, cero o negativo respectivamente. A continuacion utilizamos el metodo de comple-tacion de cuadrados para encontrar las soluciones de (25). En el caso a = 0, (25) se reduce a laecuacion lineal (5.15). Si a 6= 0, dividimos entonces ambos lados de (25) entre a

x2 +b

ax+

c

a= 0 ,

pasamos a restar el termino independiente

x2 +b

ax = c

a

y sumamos a ambos lados de la ultima igualdad la mitad del coeficiente que acompana a x elevadoal cuadrado (completamos el cuadrado):

x2 +b

ax+

(b

2a

)2= c

a+

(b

2a

)2(26)

El lado izquierdo de (26) es un cuadrado perfecto,

x2 +b

ax+

(b

2a

)2=

(x+

b

2a

)2(27)

y para el lado derecho de (26) tenemos

ca+

(b

2a

)2= c

a+

b2

4a2=4ac+ b2

4a2=

b2 4ac4a2

(28)

Al igualar (27) y (28) obtenemos (x+

b

2a

)2=

b2 4ac4a2

luego

x+b

2a=

b2 4ac4a2

= b2 4ac2a

y por tanto

x = b2ab2 4ac2a

=bb2 4ac

2a

Teorema 2.5. Las soluciones de la ecuacion cuadratica

ax2 + bx+ c = 0 (29)

con a 6= 0 estan dadas por

x =b+b2 4ac

2ay x =

bb2 4ac2a

(30)

y van a depender del signo del discrimante = b2 4ac:Si = b2 4ac > 0, la ecuacion tiene dos soluciones reales y distintas.Si = b2 4ac = 0, la ecuacion tiene solo una solucion que es real.Si = b2 4ac < 0, la ecuacion tiene dos soluciones complejas.

Ejemplo 2.10. Resuelva la ecuacion

x+ 1

3x+ 2=

x 22x 3

Solucion

x+ 1

3x+ 2=

x 22x 3 ecuacion original

(x+ 1)(2x 3) = (x 2)(3x+ 2) pasamos a multiplicar los denominadores2x2 x 3 = 3x2 4x 4 desarrollamos los productosx2 3x 1 = 0 pasamos todo al lado izquierdo

Al aplicar (30) a la ultima ecuacion con a = 1, b = 3 y c = 1 obtenemos las soluciones

x =3 +

13

2y x =

3132

.

Finalizamos esta seccion con un teorema que establece la relacion que existe entre los coeficientesa, b y c de la ecuacion (29) y las races (soluciones) de la misma.

Teorema 2.6. Si r1 y r2 son las races de la ecuacion cuadratica

ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, (31)

entonces

r1 + r2 = ba

y r1 r2 = ca

(32)

3. Solucion de problemas

Las siguientes son algunas recomendaciones para la solucion de problemas.

1. Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incogni-ta).

2. Relacione los datos conocidos con la incognita a traves de una ecuacion.

3. Resuelva la ecuacion y compruebe las soluciones obtenidas.


3.1. Problemas que conducen a ecuaciones lineales

Ejemplo 3.1. Dos ciudades A y B estan separadas entre s 9 Km. Dos autos parten en el mismoinstante de cada una de las ciudades y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 9 Km/h y elde B a 5 Km/h. Determine la distancia recorrida por el que salio de A hasta el punto P en el quese encuentran.

Solucion

1. Identificamos los datos e incognitas del problema:

VA : Velocidad (Km/h) del auto que sale de A.

VB : Velocidad (Km/h) del auto que sale de B.

x : Distancia (Km) recorrida por el auto que sale de A hasta que se encuentran.

2. Relacionamos los datos e incognitas del problema:

Distancia (Km) de A a P = x

Distancia (Km) de B a P = 9 xTiempo =

distancia recorrida

velocidad

x x9-

9 KmA B

P

3. Planteamos la ecuacion y la resolvemos:

Tiempo empleado de A a P = Tiempo empleado de B a P

x

VA=

9 xVB

x

9=

9 x5

5x = 9(9 x)5x = 81 9x14x = 81

x =81

14

Por tanto, la distancia recorrida por los autos hasta el punto de encuentro es de x = 8114 5.7857Km.

3.2. Problemas que conducen a ecuaciones cuadraticas

Ejemplo 3.2. Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3 cm en las esquinas de unapieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuales son las dimensionesde la lamina para hacer una caja que tenga un volumen de 60 cm3?

Solucion

1. Identificamos los datos e incognitas del problema:

Ancho = L cm

Largo = 2L cm

Cortes = 3 cm


2. Relacionamos los datos y las incognitas a traves de una ecuacion:

Volumen de la caja = base altura

3. Relacionamos los datos y las incognitas a traves de una ecuacion:

3(2L 6)(L 6) = 60L2 9L+ 8 = 0

(L 8)(L 1) = 0

y entonces L = 8 o L = 1. Con L = 1 no es posible construiruna caja con las dimensiones pedidas, mientras que conL = 8 s. La solucion es por tanto L = 8.


4. Ejercicios

1. Realizar las siguientes operaciones.

a)27+

521

17

b)(1 12

) (2 + 12) 74c) 2 + 12

[1 ( 12 + 1)]

d)( 15+

23 )( 34 16 )

( 67 14 )+( 14 614 )

2. Exprese el numero de la forma ab con a y b enteros.

a) 24 + 31

b)( 32)4 24

c) 52

23

d) 64 3

2 + 6432

e) (0.008)23

f )(32

)4 24

g) 34

(73

(25

)2) 1h) 12

(42 + 71

)2i) 4

[3(2)2 4(4)3]

j )2(6)(6( 27 ))

74 38

k)

[8(2 13 )

] 26

3. Si el 17% de un numero n es igual al 51% de 2500, cuanto es el valor de n?

4. En una eleccion uno de los candidatos obtuvo el 65% de los votos y saco 1500 votos mas queel otro candidato. Cuantos fueron los votos?

5. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y Brespectivamente. Al cabo de exactamente un ano se ha hecho un censo de ambas especies yse encontro que mientras la poblacion de A se incremento en el 20% la de B disminuyo enel 10% y el numero de peces de ambas especies resulto al final igual. Cual es la razon entrelas poblaciones iniciales de la especie A, con relacion a la especie B?

6. Cuando a un estanque le falta llenar el 30% de su capacidad contiene 10800 litros de aguamas que cuando estaba lleno al 30% de su capacidad. Cual es la capacidad total del estanqueen litros?

7. Resuelva lo siguiente (en (e) multiplique y simplifique).

a) 42(3 22 3 23)

b) 6 (4 (2 7 (52 5)+ 6))c) 5

(4 (5 (3 42)+ 4(3 7)))

d) 2 (2 (42 (8 + 5) 1)+ 23(1 4))e)

(2 3) (2 + 5)

f )1 +

1 + 23

g) 34 58

8. Simplifique la siguientes expresiones.

a)(2y3)(3y2)

(y2)3

b)(13x

4y3)2

c)(3x

12

)(2x

52

)d)

(x3y2)4

(y6x4)2

e)(

4a3ba2b3

)(3b2

2a2b4

)f )

(2x3)(3x2)(x2)3

g)(16a

5) (3a2) (4a7)

h)(8x4y3

) (12x

5y2)

i)(c4

16d8

) 34


j )(

3x5y4

x0y3

)2k)

(2r2s)5 (3r1s3)2l)(13x

4y3)2

m)(3y3)(2y2)

2

(y4)3

(y3)0

n)(

23

34h2

)(34

516h4t

)n)

3

16x3y8z436y4z3

o)(24

) n+1( 428n82n )29. Dados los polinomios

P (x) = 4x2 1 S(x) = 12x2 + 4Q(x) = x3 3x2 + 6x 2 T (x) = 32x2 + 5R(x) = 6x2 + x+ 1 U(x) = x2 + 2

Calcular

a) P (x) +Q(x)

b) P (x) U(x)c) P (x) +R(x)

d) 2P (x)R(x)e) S(x) +R(x) + U(x)

f ) S(x)R(x) + U(x)

10. Multiplicar:

a)(x4 2x2 + 2) (x2 2x+ 3)

b)(3x2 5x) (2x3 + 4x2 x+ 2)

11. Indica cuales de estas divisiones son exactas.

a)(x3 5x 1) : (x 3)

b)(x6 1) : (x+ 1)

c)(x4 2x3 + x2 + x 1) : (x 1)

d)(x10 1024) : (x+ 2)

12. Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican.

a)(x3 5x 1) tiene por factor (x 3)

b)(x6 1) tiene por factor (x+ 1)

c)(x4 2x3 + x2 + x 1) tiene por factor (x 1)

d)(x10

)tiene por factor (x+ 2)

13. Factorizar las siguientes expresiones sobre

a) 25x5 65x4 + 1415x2 =

b) xy 2x 3y + 6c) 25x2 1d) 36x6 49e) x2 2x+ 1f ) x2x+ 9

g) x2 20x+ 100

h) x2 + 10x+ 25

i) x2 + 14x+ 49

j ) x3 4x2 + 4xk) 3x7 27xl) x2 11x+ 30

m) 3x2 + 10x+ 3

n) 2x2 x 1

14. Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 kx+ 2 por (x 2) de de resto 4.15. Determinar el valor de m para que 3x2 +mx+ 4 admita x = 1 como una de sus races.


16. Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 4 y se anule para x = 3 yx = 5.

17. Calcule el valor de a para que el polinomio x3 ax+ 8 tenga la raz x = 2, y calcular lasotras races.

18. Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) 4x 3 = 5x+ 6b) 6(2y + 3) 4(y 5) = 0c) 15x+ 4 = 5 27xd) 53x 1 = 4 + 23xe) 3+5x5 =

4x8

f ) 13+2x4x+1 =34

g) 6 5x = 4 + 3xh) (3x 2)2 = (x 5)(9x+ 4)i) 4 53x7 = 4j ) 12x1 =

48x4

k) 32x+3 +5

2x3 =4x+64x29

l) (x 3)2 = 17

19. Resuelva la ecuacion por factorizacion.

a) 6x2 + x 12 = 0b) x(3x+ 10) = 77

c) xx+3 +1x 4 = 9x2+3x

d) 3xx2 +1

x+2 =4x24

20. Determine el valor o los valores de d que completen el cuadrado para la expresion x2+9x+d

21. Resuelva usando la formula cuadratica.

a) 6x2 x = 2 b) 5w2 10w + 2 = 0 c) 3xx2+9 = 2

22. Resuelva la ecuacion.

a) y32 = 5y

b)7 5x = 8

c) 4 + 31 5t = 0

d) x = 4 +4x 19

e)11 + 8x+ 1 =

9 + 4x

f ) 3x23 + 4x

13 4 = 0

23. Resolver las siguientes ecuaciones.

a) y2 + 4y = 21

b) x2 + 4x+ 2 = 0

c) 2t2 = 1 2td) x+ 2

x 3 = 0

e) 3 +3z + 1 = z

f )3x+ 7 +

x+ 2 = 1

g) 4 + 1x 1x2 = 0h) 23x

2 x 3 = 0i)10 + 3

t =

t

j ) x32 3x

12 = 0

k) x4 5x2 + 4 = 0l) x2 12x 316 = 0

m) x2 x = 0n) x2 +

3x 3 = 0

n) (p+ 2)2 + 7(p+ 2) + 12 = 0

o)(

mm+1

)2+ 2mm+1 = 8

p) r12 4r

14 + 4 = 0

24. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen solucion.

a)y + 1 =

y

b)z 1 = z + 1


c) x+1x1 + 4 =4x2

x21 +x1x+1

25. Resolver los siguientes problemas.

a) El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en40m y el ancho en 6m, el area se duplica. Encontrar las dimensiones del rectangulo.

b) Dos grifos llenan un tanque en 6 horas. Cuanto tiempo necesitara cada grifo, parallenarlo solo, sabiendo que uno de ellos tarda 5 horas mas que el otro?

c) Si $I se invierten a un interes compuesto del r% anual, al final de dos anos el capitalsera C = I(1 + r)2. A que interes $100, aumentara a $144 despues de dos anos?

d) Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25 por ciento de alcohol. Cuantoslitros de alcohol deben anadirse para obtener una mezcla que contenga el 50 por cientode alcohol?

e) Un objeto se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 ms .La distancia s, medida en metros, del objeto al suelo despues de t segundos es s =4.9t2 + 20t.1) Cuando estara el objeto por encima del suelo?

2) Cuando llegara al suelo?

3) Llegara el objeto a 100m de altura?

5. Funciones

El concepto matematico de funcion expresa la idea intuitiva acerca de una cantidad (variableindependiente, valor de entrada) que determina por completo a otra cantidad (variable depen-diente, valor de salida). Una funcion asigna a cada valor de entrada un unico valor de salida.Este tipo especial de relacion lo podemos encontrar en diversas situaciones de la vida diaria comopor ejemplo en un supermercado, cuando a cada producto (variable independiente) se le asigna sucosto (variable dependiente).

Las funciones estan presentes en toda la matematica y son esenciales para la formulacion derelaciones fsicas que surgen en las ciencias naturales. Pero, como se llego a esto?

Como termino matematico, el concepto de funcion fue acunado por Leibniz en una carta escritaen 1673 en la que relacionaba una cantidad a una curva. Las funciones consideradas por Leibniz,actualmente se conocen como funciones diferenciables. En 1718 J. Bernoulli considero una funcioncomo una expresion constituida de variables y constantes, y Leonar Euler a mediados del sigloXVIII utilizo la palabra funcion para describir una expresion o formula que involucrara variables,constantes y operaciones matematicas que las relacionara. A finales del siglo XIX se inicio unproceso de formalizacion en las matematicas por medio del concepto de conjunto y se atribuye almatematico aleman Johann Gustav Dirichlet (figura ??), la introduccion de la nocion moderna delconcepto de funcion.

Las funciones generalizan la nocion comun de formula matematica. Por medio de funciones seestablecen relaciones especiales entre elementos de conjuntos. Una funcion asocia a cada elementox de un conjunto, un unico elemento f(x) de otro conjunto. Esto puede realizarse por medio deuna formula, un diagrama de flechas, una regla de asociacion, una tabla de datos, etc.

x

xf )(

f

Los cientficios e ingenieros utilizan modelos matematicos con el ob-jetivo de comprender y explicar fenomenos y procesos que se presentanen el mundo real. Un modelo matematico es una descripcion matematicade un sistema. Los modelos matematicos emplean un tipo de formulis-mo matematico para expresar relaciones entre variables, parametros yentidades.

Las relaciones que se plantean en un modelo matematico se enun-cian por medio de funciones. La idea de funcion que mas adelante en laseccion (5.2) te presentaremos en detalle, la podemos ilustrar esquemati-camente como se muestra en la figura: la funcion f la podemos considerar como una maquinaen la cual un objeto x de un conjunto X es transformado en un objeto f(x) de un conjunto Y .

Antes de iniciar el estudio de las funciones, presentaremos algunas ideas relacionadas con lasdesigualdades que son utilies para hallar el dominio de algunas funciones particulares y con lainformacion que por medio de graficas una ecuacion nos puede proporcionar.

5.1. Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no son necesariamenteiguales. Como ejemplos podemos citar x < 2, a b+ c, 3x2 x+ 5 > 0, etc.

Al sustituir las variables de una desigualdad por numeros podemos obtener expresiones verda-deras o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 4x 1 > 0 obtenemos la proposicion verdadera7 > 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemos la proposicion falsa 1 > 0.

Si al sustituir un numero en una desigualdad obtenemos una proposicion verdadera, se dice quedicho numero es una solucion de la desigualdad. Resolver una desigualdad signfica encontrartodas sus soluciones.

Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x2 < 0 no posee soluciones realesporque todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero. Otras desigualdades como 1 < x < 3poseen infinitas soluciones, a saber, todo numero real x entre 1 y 3. Al conjunto formado por todaslas soluciones de esta desigualdad lo denotamos por (1, 3) y se le denomina intervalo abierto.

Si a y b son numeros reales tales que a < b, los siguientes son otros posibles tipos de intervalos:

(a, b) = {x R : a < x < b}.[a, b] = {x R : a x b}.[a, b) = {x R : a x < b}.(a, b] = {x R : a < x b}.(a,) = {x R : x > a}.

[a,) = {x R : x a}.

(, b) = {x R :< x < b}.

(, b] = {x R :< x b}.

(,) = {x : < x a+ b.c > 0 y a bc.

a > 0 = 1a> 0.

a < 0 = 1a< 0.

Ejemplo 5.1. Resuelva la desigualdad

x2 x 61 x 0 .

Solucion:

Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a

(x+ 2)(x 3)(1 x) 0 .

La imagen presentada a continuacion muestra como cambian los signos para cada una de lasexpresiones que componen la fraccion.

La solucion esta dada por el conjunto

(,2] (1, 3]Recordemos que el valor absoluto de un numero real x esta dado por

|x| ={

x si x 0x si x < 0

Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las desigualdades.

Proposicion 5.2 (Desigualdades con valor absoluto).

|x| a a < x < a

|x| a x a o x a

Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de desigualdades con valor absoluto.

Ejemplo 5.2. Encuentre los valores de x que satisfacenx+ 4x 2 < 2 (33)

Solucion:

La primera propiedad de la proposicion (5.2) nos permite escribir (33) como

2 < x+ 4x 2 < 2

que equivale a

2 < x+ 4x 2 y

x+ 4

x 2 < 2

y resolvemos cada una de estas desigualdades con el metodo grafico mostrado en el ejemplo anterior.La solucion total sera la interseccion de las soluciones de cada una de las desigualdades.

Para la primera desigualdad tenemos

0 < 2 +x+ 4

x 2 = 0 0 y verticalmente hacia abajo si k < 0.

x

y

a b

y = f(x)1

1

y = g(x)

12

y = h(x)

y = f(x)

a x b

y = g(x) = f(x) + 2

a x b

y = h(x) = f(x) 12

a x b

5.10. Traslaciones horizontales

Si h R, la grafica de y = f(xh) es igual a la grafica de y = f(x) trasladada horizontalmentea la derecha si h > 0 y horizontalmente a la izquierda si h < 0.

x

y

a b

y = f(x)

1

1

y = g(x)y = h(x)

y = f(x)

a x b

y = g(x) = f(x 3

2

)a x 3

2 b

a+ 32

x b+ 32

y = h(x) = f(x+ 3

2

)a x+ 3

2 b

a 32

x b 32

5.11. Alargamientos y encogimientos verticales

Si a R, la grafica de y = af(x) es igual a la grafica de y = f(x) alargada verticalmente sia > 1 y encogida verticalmente si 0 < a < 1.

x

y

a b

y = f(x)

y = g(x)

y = h(x)

y = f(x)

a x b

y = g(x) = 2f(x)

a x b

y = h(x) = 12f(x)

a x b

5.12. Alargamientos y encogimientos horizontales

Si c R, la grafica de y = f(cx) es igual a la grafica de y = f(x) alargada horizontalmente si0 < c < 1 y encogida horizontalmente si c > 1.

x

y

a b

y = f(x)

1

1

y = g(x)

y = h(x)

y = f(x)

a x b

y = g(x) = f (2 x)

a 2 x b12a x 12b

y = h(x) = f(1

2 x)

a 12 x b2a x 2b


5.13. Funciones inversas

1

2

3

a

bc

X Yf Dada una funcion f : X Y , estudiaremos el siguiente problema: si

conocemos el valor de salida y Y , como determinar el valor deentrada x X para el cual y = f(x)? La relacion que nos permiteresponder a este interrogante se llama funcion inversa de f y para poderladefinir, la funcion f debe cumplir ciertos requisitos como lo muestra elejemplo de la figura.

El primer inconveniente que se presenta con esta funcion es que para el valor de salida c Yno existe un valor de entrada x X para el cual f(x) = c. La otra dificultad es que para elvalor de salida b Y existen dos valores de entrada x = 2 y x = 3 para los cuales f(x) = b.La primera dificultad se presenta porque f no es sobreyectiva, la segunda porque f no es inyectiva.Para poder definir la inversa de una funcion f necesitamos que esta sea biunvoca.

Definicion 5.10 (Funcion inversa). Considera f : X Y biunvoca. La funcion inversa de f ,denotada por f1, es la funcion f1 : Y X definida por:

f1(y) = x y = f(x) (42)

Ejemplo 5.14. La funcion f : R R, dada por f(x) = 2x es biunvoca y su inversa es la funcionf1 : R R, dada por f1(x) = 12x porque

y = f(x) = 2x x = 12y = f1(y)

En particular, f1(4) = 2 porque f(2) = 2 2 = 4.Observacion 8. Considera f : X Y biunvoca.

1. f1 : Y X.2. Dominio de f1 = rango de f .

3. Rango de f1 = dominio de f .

Si nos dan una funcion f : X Y biunvoca, como determinar su inversa?. El siguienteteorema nos puede resultar util para verificar que una funcion g : Y X es la inversa de f .Teorema 5.5. Considera una funcion f : X Y biunvoca. Una funcion g : Y X es la inversade f si, y solo si se cumplen las dos siguientes condiciones:

1. g(f(x)) = x para todo x X2. f(g(y)) = y para todo y YDel teorema anterior se deduce que

Corolario 5.6. Si f : X Y es biunvoca, su inversa f1 : Y X satisface1. f1(f(x)) = x para todo x X2. f(f1(y)) = y para todo y Y


En terminos de la operacion composicion de funciones vista en el taller 4, el corolario anteriorqueda

f1 f = f f1 = idonde i es la funcion identidad i(x) = x. En el ejemplo (5.14), f(x) = 2x, f1(x) = 12x y

f1(f(x)) = f1(2x) =1

2 2x = x y f(f1(x)) = f(1

2x) = 2 1

2x = x

Los anteriores resultados nos proporcionan herramientas para hallar la inversa de una funcionf : X Y en algunos casos (no siempre es posible). A continuacion escribimos una serie de pasosque nos pueden ayudar a encontrar la inversa de una funcion:

1. Comprueba que f es biunvoca.

2. Despeja x de la ecuacion y = f(x) en terminos de y para obtener una ecuacion de la formax = f1(y).

3. Verifica las condiciones del corolario (5.6):

a) f1(f(x)) = x para todo x X b) f(f1(y)) = y para todo y Y

Ejemplo 5.15. Determinemos (si es posible) la inversa de la funcion f(x) = 2x+ 1. La funcionf es biunvoca como demostramos en el ejemplo (2.5) del Taller 4. Procedamos ahora a despejar xde y = 2x+ 1:

y = 2x+ 1 2x = y 1 x = y 12

.

Como x = f1(y), obtenemos

f1(y) =y 12

(43)

El smbolo y que denota a la variable independiente en (43) no tiene importancia, lo podemoscambiar por x,z,a,b,. . .Como se acostumbra denotar a la variable independiente con elsmbolo x, la inversa la escribimos

f1(x) =x 12

Finalmente verificamos las condiciones del corolario (5.6):

f1(f(x)) = f1(2x+ 1)

=2x+ 1 1

2

=2x

2= x

f(f1(x)

)= f

(x 12

)

= 2 (x 12

)+ 1

= (x 1) + 1 = xEjemplo 5.16. En este ejemplo vamos a hallar la inversa de la funcion f(x) = x2, x 0. Comof es biunvoca (por que?), procedamos a despejar x de y = x2:

y = x2 = x = y = +y pues x es no-negativo.Como x = f1(y), obtenemos

f1(y) =x

Continuando con la tradicion y cambiando el smbolo y por x obtenemos

f1(x) =x

Finalmente verificamos las condiciones del corolario (5.6):

1. f1 (f(x)) = f1(x2)=x2 = |x| = x porque x 0.

2. f(f1(x)

)= f (

x) = (

x)

2= x.


6. Graficas de funciones inversas

En esta seccion estudiamos la relacion que existe entra la grafica de una funcion f y la graficade su inversa f1.

Por la definicion (58) de funcion inversa

f1(b) = a b = f(a),

y por tanto el punto de coordenadas (a, b) perte-nece a la grafica de f si, y solo si el punto (b, a)pertenece a la grafica de f1. As, la grafica def1 es la misma que la de f excepto que los rolesde los ejes x e y se cambian.

Observemos que los puntos (a, b) y (b, a) sonsimetricos respecto a la recta y = x y por tantolas graficas de f y f1 son simetricas a dicharecta.

f

f1

a b

b

a(b, a)

(a, b)

x

y

y=x

Ejemplo 6.1. A continuacion graficamos las funciones inversas de los ejemplos (5.15) y (5.16)as como la inversa de f(x) = x3.

1

-1

-2

1-1-2

f

f1

y=x

Figura 12: f(x) = 2x+ 1

1

-1

-2

1-1-2

f

f1

Figura 13: f(x) = x2, x 0.

1

-1

-2

1-1-2

f

f1

Figura 14: f(x) = x3

6.1. Composicion de funciones e inversas

Teorema 6.1. Si f : X Y y g : Y X tienen inversas, entonces la funcion compuestag f : X Y tambien tiene inversa y esta dada por (g f)1 = f1 g1.

X Y X

g(f(x))

g

xf(x)

f

(g f)1 = f1 g1

Ejemplo 6.2. Consideremos las funciones f(x) = 1x y g(x) = x+ 1. Entonces

h(x) = (g f) (x) = g(f(x)) = g(1

x

)=

1

x+ 1 = h1(x) = 1

x 1Por otra parte,

f1(x) =1

x, g1(x) = x 1 = (f1 g1)(x) = f1(g1(x)) = f1(x 1) = 1

x 1

7. Ejercicios

1. Determinar los siguientes conjuntos y graficar en la recta real.

a) {x R : x > 3} {x R : x < 5}b) {x R : x < 2} {x R : x > 7}c) {x R : x < 2} {x R : x > 7}d) ({x R : x < 10} {x R : x < 2}) {x R : x 9}e) ({x R : x 10} {x R : x < 4}) {x R : x 9}f ) ({x R : x 11} {x R : x 7}) ({x R : x 1} {x R : x < 14})

2. Encontrar el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones.

a) 3x 27 > 0b) 2(x 3) + 5 < 5 xc) x3 2d) 4 95x+ 32 68e) 24 23 (x 5) < 36f ) x34 1 > x2g) x 2 < 2x 3 < x+ 2h) x3 x22 x4 4i) 13x5 + x14 x127 x > ( 13x5 (2x+ 5))

3. Encontrar el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones.

a) x+2x3 < 0

b) x(x 1)2 > 0c) 2x2 18 > 0d) (3x 1)(4x+ 5) 0e)

x 2 < 2x+ 1

f ) x2 + x 20 < 0g) x2 8x+ 16 0h) x3 x2 > 0i) x(x 8) 10j ) x2 < 10 3xk) 3x2 2x+ 5 17l) x(x+5)x3 0

m) x4 + 36 13x2

n) 6x2 + x < 1

n) 10x > x2 + 25

o) x2254x2 0

p) 7xx2 16 0

q) x+1x+3 2r) 32x+3 0t) |3x 7| 5u) 13 |6 5x|+ 2 1v) 2| 11 7x| 2 < 10w)

2x+53

< 1x ) 2|2x+3| 5y) 2 < |2x 1| 3

4. Demuestre que x2 + bx+ c 0, sic =

(b2

)2con (b, c, x R)

5. Si a, b y c > 0 y a+ b+ c = 1, demostrar que:

(1

a 1)(1

b 1)(1

c 1) 8.


6. Si f(x) = x2 x 4, encuentre f(2), f(0) y f(4).7. Si f(x) = x3 x2 + 3, encuentre f(3), f(0) y f(2).8. Si f(x) =

x 2 + 3x, encuentre f(3), f(6) y f(11).

9. Si f(x) = xx3 , encuentre f(2), f(0) y f(3).10. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.

a) f(x) =16 x2

b) f(x) = x+1x39x

c) f(x) = 4x6x2+13x5

d) f(x) =2x5

x25x+4

e) f(x) =4x3x2

f ) f(x) = 1(x3)x+3

g) f(x) =

x

x+23x2x

h) f(x) =x 22x+ 1

i) f(x) =x+ 3 +

3 x

j ) f(x) =(x 2)(x 6)

11. Si a y h son numero reales, encuentre para las funciones del numeral anterior.

a. f(a)

b. f(a)c. f(a)

d. f(a+ h)

e. f(a) + f(h)

f. f(a+h)f(a)h

12. Una empresa constructora esta tratando de decidir cual de dos modelos de grua comprar.El modelo A cuesta $100000 y requiere $8000 por ano para su mantenimiento. El modelo Btiene un costo inicial de $80000 y su mantenimiento cuesta $11000 por ano. Durante cuantosanos debe usarse el modelo A antes de que sea mas economico que B?

13. De una pieza rectangular de carton que tiene dimensiones de 20cm y 30cm, se ha de construiruna caja abierta al cortar una cuadrado identico de area x2 de cada esquina y voltear haciaarriba los lados. Exprese el volumen V en funcion de x.

14. Para ninos entre 6 y 10 anos, la estatura y (en pulgadas) es frecuantemente una funcion linealde la edad t en anos. La estatura de cierto nino es de 48 pulgadas a los 6 anos de edad y 50.0pulgadas a los 7.

a. Exprese y como funcion de t.

b. Trace la recta del inciso (a) e interprete la pendiente.

c. Prediga la estatura del nino a la edad de 10 anos.

15. Un tanque de acero parangas propano se va a construir en forma de cilindro circular recto de10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. El radio r esta por determinarse.Exprese el volumen V (en pies3) del tanque como funcion de r ( en pies).

16. Trace la grafica de las siguientes funciones lineales

a. y = x+ 3

b. y = x+ 1

c. y = x+ 1

d. y = 2x 1e. y = 2x+ 3f. y = 12x+ 3

17. Encuentre la ecuacion de la recta que satisface las siguientes condiciones


a. A(1, 4); pendiente 25b. A(4,5); que pase por B(3, 6)c. A(1, 6); interseccion con el eje x en 5d. A(3,1); paralelo a la recta 5x 2y = 4e. A(7,3); perpendicular a la recta 2x 5x = 8f. Interseccion con eje x en 6, interseccion con el eje y en 1

18. Encuentrar las forma general de na ecuacion para la medistriz del segmento AB

a. A(3,1), B(2, 6)b. A(4, 2), B(2,6)

19. La salinidad del oceano se refiere a la cantidad de material disuelto encontrado en una muestrade agua de mar. La salinidad S se puede estimar a partir de la cantidad C de cloruro en aguade mar usando S = 0.03 + 1.805C, donde S y C son medidos por peso en partes por millon.Aproxime C si S es 0.35.

20. Un estudiante universitario recibe un prestamo sin intereses de $8250 de un familiar. Elestudiante pagara $125 al mes hasta pagar la deuda.

a. Exprese la cantidad P (en dolares) pendiente de pago en terminos del tiempo t(en meses).

b. Despues de cuantos meses el estudiante debera $5000?

c. Trace en el plano tP , una grafica que muestre la relacion entre P y t para la duraciondel prestamo.

21. El propietario de una franquicia de helados debe pagar a la casa matriz $1000 por mes mas5% de los ingresos mensuales R. El costo de operacion de la franquicia incluye un costofijo de $2600 por mes por conceptos como utilidades y mano de obra. El costo de helados yabasecimientos se 50% del ingreso.

a. Exprese el gasto mensual E del propietario en terminos de R.

b. Exprese la utilidad mensual P en terminos de R.

c. Determine el ingreso mensual necesario para no perder ni ganar.

22. (a) Exprese f(x) en la forma a(x h)2 + k. (b) Use la formula cuadratica para hallar losceros de f . (c) Encuentre el valor maximo o mnimo de f(x). (d) Trace la grafica.

a. f(x) = x2 6xb. f(x) = x2 6xc. f(x) = 12x2 + 11x+ 15d. f(x) = 6x2 + 7x 24e. f(x) = 9x2 + 24x+ 16

f. f(x) = 4x2 + 4x 1g. f(x) = x2 + 4 + 9

h. f(x) = 3x2 6x 6i. f(x) = 2x2 + 16x 26j. f(x) = 2x2 4x 11

23. Encuentre la ecuacion estandar de una parabola que tiene las siguientes caractersticas.

a. Vertice (0,2), que pasa por (3, 25).b. Vertice (3, 1), intersecta en 0 el eje x.

c. Vertice (4,7), intersecta en 4 el eje y.d. Intersecta el eje x en 3 y 5, el punto mas alto tiene coordenada y en 4.e. Intersecta el eje x en 8 y 0, el punto mas bajo tiene coordenada en y en 48.


24. Una compana vende zapatos deportivos a distribuidores a razon de $40 elpar si su pedidoes de menos de menos de 50 pares. Si un distribuidor solicita 50 0 mas pares (hasta 600), elprecio por par se reduce a razon de 4 centavos por el numero pedido. De que cantidad debeser el pedido para producir la maxima cantidad de dinero para la compana?

25. Una empresa de television por cable actualmente presta servicio a 8000 familias y cobra $50por mas. una encuesta de marketing indica que cada reduccion de $5 en el cobro mensualresultara en 1000 nuevos clientes. Con R(x) denote el ingreso mensual total cuando el cobromensual es de x dolares.

a. Determine la funcion de ingreso R.

b. Trace la grafica de R y encuentre el valor de x que resulte en el maximo ingreso mensual.

26. Encuentre dos numeros reales positivos cuya suma sea 40 y cuyo producto sea un maximo.Encuentre dos numeros reales positivos cuya diferencia sea 60 y cuyo producto sea un mnimo.

27. Un objeto es proyectado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0ft/s ysu distancia s(t) en pies sobre el suelo despues de t segundos esta dada por la formulas(t) = 16t2 + v0ta. Si el objeto choca contra el suelo despues de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial

v0.

b. Encuentre su distancia maxima sobre el suelo.

28. Encontrar (f + g)(x), (f g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x) y su respectivo dominio y rango, si f yg estan dados por:

a. f(x) = x2 + 2, g(x) = 2x2 1b. f(x) =

x+ 5, g(x) =

x+ 5

c. f(x) = 2xx4 , g(x) =x+ 3

d. f(x) = xx2 , g(x) =7xx+4

e. f(x) = x2 4, g(x) = 3xf. f(x) =

x2 4x, g(x) = 2x5x

29. Encontrar (a) (f g)(x), y su dominio y rango. (b) (g f)(x), y su dominio y rango, si fy g estan dados por:

a. f(x) = |x|, g(x) = 7x2b. f(x) = x2 3x, g(x) = x+ 2c. f(x) =

x 2, g(x) = x+ 5

d. f(x) = x3 + 5, g(x) = 3x 5

e. f(x) = x2, g(x) = 1x3

f. f(x) = x+2x1 , g(x) =x5x+4

30. Resuelva la ecuacion (f g)(x) = 0.

a. f(x) = x2 2, g(x) = x+ 3b. f(x) = x2 x 2, g(x) = 2x 5

c. f(x) =x 3, g(x) = 2x14x7

31. Determinar si f es par, impar o ninguna de estas y realizar la grafica correspondiente.

a) f(x) = 5x3 + 2x

b) f(x) = |x| 8c) f(x) = 5x4 + x2 1d) f(x) = 5x7 + 9x5

e) f(x) = 7x3 4x2f ) f(x) = 3

11

g) f(x) =7x2 + 7

h) f(x) = 4x2 4x+ 9i) f(x) = 3

x5 x

j ) f(x) = x3 1xk) f(x) = |x 2|l) f(x) = x+ 3

32. Trace, en el mismo plano cartesiano, las graficas de g para los valores dados de k (Haga usode simetra, desplazamiento, elongacion, compresion y elongacion). Verifique sus resultadosgraficando en http://graph.tk/.

a) f(x) = |x|+ k; k = 3, 1, 3b) f(x) = |x k|; k = 3, 1, 3c) f(x) = 2

x+ k; k = 3, 0, 2

d) f(x) =9 x2 + k; k = 3, 0, 2

e) f(x) = 12x c; k = 3, 0, 4

f ) f(x) = 15 (x c)2; k = 3, 0, 4g) f(x) = (x+ k)3; k = 2, 1, 2h) f(x) = kx3 + 1; k = 1, 1, 4i) f(x) =

kx 1; k = 1, 19 , 4

j ) f(x) = 16 (kx)2; k = 1, 12 , 4k) f(x) = x k ; k = 2, 12 , 4l) f(x) = 25 x+ k; k = 3, 56 , 5

33. Trace la grafica de las siguientes funciones por tramos.

a) f(x) =

{3 si x 12 si x > 1

b) f(x) =

3 si x < 2x+ 1 si |x| 24 si x > 2

c) f(x) =

x+ 2 si x 1x3 si |x| < 1

x+ 3 si x 1

d) f(x) =

x 3 si x 2x2 si 2 < x < 1x+ 4 si x 1

34. Un corral se compone de cinco rectangulos congruentes, como se muestra en la siguente figura:

a. Exprese la longitud y en funcion de la longitud x.

b. Si los lados tienen un costo de $10 por pie lineal, exprese el costo C del corral en funcionde la longitud x

35. Suponga que le costo de conducir un automovil es una funcion lineal del numero x de millasrecorridas y que la gasolina cuesta $3 por galon. Cierto automovil actualmente rinde 40 millaspor galon y una afinacion que mejorara el 10% de su rendimiento cuesta $120.


a. Exprese el costo C1 de conducir sin una afinacion en terminos de x.

b. Exprese el costo C2 de conducir con una afinacion en terminos de x.

c. Cuantas millas debe recorrer el auto movil despues de afinarlo para que le costo de laafinacion se justifique?

36. El punto de congelacion del agua es de 0oC o 32oF , y el punto de ebullicion es de 100oCo 212oF

a. Exprese la temperatura Fahrenheit F como una funcion lineal de la temperatura CelciusC.

b. Que aumento de temperatura en grados F corresponde a un aumento en la temperaturade 1oC ?

37. Hace seis anos, una casa fue comprada en $179000. Este ano fue valorada en $215000. Supongaque el valor V de la casa es una funcion lineal del tiempo t(anos).

a. Exprese V en terminos de t.

b. Cuantos anos despues de la fecha de compra la casa vala $193000?

38. Determine si la funcion f es biunvoca.

a. f(x) = 2x+ 5

b. f(x) = 1x2c. f(x) = x2 5d. f(x) = x2 + 3

e. f(x) =x

f. f(x) = 3x

g. f(x) = |x|h. f(x) = 3

i. f(x) =4 x2

l. f(x) = 2x3 4k. f(x) = 1x

l. f(x) = 1x2

39. Use el teorema sobre funciones inversas para demostrar que f y g son funciones inversas unade la otra, y trace las graficas de f y g en el mismo plano coordenado.

a. f(x) = 3x 2, g(x) = x+23b. f(x) = x2 + 5, x 0; g(x) = x 5, x 5c. f(x) = x2 + 3, x 0; g(x) = 3 x, x 3c. f(x) = x3 4; g(x) = 3x+ 4

40. Encuentre la funcion inversa de f .

a. f(x) = 7 2xb. f(x) = 1x+3

c. f(x) = 4xx2d. f(x) = 5x2 + 3, x 0e. f(x) = x3 + 2

f. f(x) =x+ 4

g. f(x) = 3x 4

h. f(x) = (x3 + 1)5 + 3

i. 9 x2, 3 x 0j. x2 4x+ 3, x 2

41. La ventilacion es una forma eficiente de mejorar la calidad del aire en interiores. En restau-rantes donde no se permite fumar, las necesidades de circulacion de aire (en ft3/min) estandadas por la funcion V (x) = 35x, donde x es el numero de personas en el area de comedor.


a. Determine las necesidades de ventilacion para 23 personas.

b. Encientre V 1(x). Explique el significado de V 1.

c. Use V 1, para determinar el numero maximo de personas que deben estar en un res-taurante que tenga capacidad de ventilacion de 2350ft3/min


8. Funcion exponencial

En el primer modulo vimos que. . .

Para todo a R y todo entero positivo n,

1. an = a a a n veces

. 2. a0 = 1, si a 6= 0. 3. an = 1an .

Para exponentes racionales vimos que. . .

Para todo a R y todo par de enteros positivos m y n, con n 2 para el cual na existe,

1. a1/n = na. 2. am/n = n

am = ( n

a)

m. 3. am/n = 1

am/n.

Por lo anterior, sabemos lo que significa la expresion ax cuando el exponente es un numeroracional x = m/n, pero que significa la expresion ax cuando x no es racional? Por ejemplo,

sabemos que no existen enteros m,n tales que2 = mn . Que significa entonces 2

2? Una manera

de responder a esta pregunta es aproximando2 = 1.414213562373 . . . por medio de numeros

racionales:21.4, 21.41, 21.414, 21.4142, 21.41421, 21.414213, . . . (44)

A medida que el exponente racional x se aproxima a2, la expresion 2x se aproxima a 2

2 (ver

ejercicio (??)):

2x 22 cuando x

2. (45)

Realizaremos una tabla de valores para graficar y = 2x con algunos cuantos valores racionalesy utilizaremos la idea de aproximacion expuesta en (45) para bosquejar la grafica de f(x) = 2x

con x R (no solo racional). A esta funcion se le llama funcion exponencial de base 2.

x f(x) = 2x

-10 210 = 11024 0.0009-3 23 = 18 = 0.125

-2 22 = 14 = 0.25

-1 21 = 12 = 0.5

0 20 = 1

1 21 = 2

2 22 = 4

3 23 = 8

10 210 = 1024

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3-1-2-3-4-5

b

b

b

b

b

b

b

x

y

(-3,1/8) (-2,1/4)(-1,1/2) (0,1)

(1,2)

(2,4)

(3,8)

Observacion 9. Notemos que a medida que x crece (x ), los valores de la funcion y = 2xse incrementan arbitrariamente (y ). Por otra parte, a medida que x decrece (x ), losvalores de la funcion decrecen hasta volverse casi cero (y 0). En este caso se dice que el eje x,es decir la recta y = 0, es una asntota horizontal.

Consideremos ahora la funcion exponencial g(x) =(12

)xde base 12 . Realizaremos el mismo

procedimiento empleado para la funcion exponencial de base 2.

x g(x) =(12

)x-10

(12

)10= 1024

-3(12

)3= 8

-2(12

)2= 4

-1(12

)1= 2

0(12

)0= 1

1(12

)1= 12

2(12

)2= 14

3(12

)3= 18

10(12

)10= 11024

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3-1-2-3-4-5

b

b

b

b

b

b

b x

y

(3,1/8)(2,1/4)(1,1/2)

(0,1)

(-1,2)

(-2,4)

(-3,8)

Observacion 10. Notemos que a medida que x aumenta (x ), los valores de la funciony = 2x decrecen hasta volverse casi cero (y 0). A medida que x decrece (x ), los valoresde la funcion y =

(12

)xaumentan arbitrariamente (y ). En este caso el eje x, la recta y = 0,

es una asntota horizontal.

Definicion 8.1 (Funcion exponencial de base a). La funcion f : R R+ dada por f(x) = axcon 0 < a < 1 o a > 1 se denomina funcion exponencial de base a.

Observacion 11. .

1. En la definicion de funcion exponencial, requerimos que la base a sea un numero positivopara evitar que surgan races de numeros enteros negativos, por ejemplo (1)1/2.

2. Excluimos que la base sea a = 1 pues en ese caso f(x) = 1x = 1 no tiene inversa por no serinyectiva y necesitamos que la funcion exponencial sea biyectiva, pues su inversa nos va apermitir definir funciones logartmicas mas adelante.

3. El rango de la funcion exponencial es R+ por lo cual f(x) = ax > 0 para todo x R. Esdecir, la funcion exponencial nunca se anula o toma valores negativos.

4. Si a > 1, la grafica de f(x) = ax crece a medida que x aumenta. Se dice que la funcioncrece exponencialmente.

5. Si 0 < a < 1, la grafica de f(x) = ax decrece a medida que x aumenta. Se dice que lafuncion decae exponencialmente.

6. El eje x es una asntota horizontal de la funcion exponencial: la grafica se acerca al eje x amedida queda x crece (para 0 < a < 1) o a medida que x decrece (para a > 1) pero nuncacruza el eje x.

7. La funcion exponencial es biunvoca, en particualar:

ax1 = ax2 = x1 = x2.

8. Las propiedades estudiadas para exponentes racionales son tambien validas para exponentesreales: para todo par x1, x2 R,

ax1 ax2 = ax1+x2 y ax1

ax2= ax1x2 .


Ejercicio 8.1. Resuelve la ecuacion 54x = 56x2.

Solucion. Por la inyectividad de la funcion exponencial f(x) = 5x tenemos que

54x = 56x2 = 4x = 6x 2 = x = 1.

Ejercicio 8.2. Resuelve la ecuacion 25x = 42x+1.

Solucion. En este caso, las expresiones que forman la ecuacion no tienen la misma base y por tantono podemos aplicar la inyectividad inicialmente.

25x = 42x+1

25x =(22)2x+1

25x = 24x+2

5x = 4x+ 2

x = 2.

Ejercicio 8.3 (Crecimiento poblacional). En un cultivo de bacterias se observa que el numerode bacteras se duplica cada da. Si inicialmente haban 1000 bacterias, al octavo da cuantasbacterias habran?

Solucion. La poblacion de bacterias del problema crece exponencialmente como veremos a conti-nuacion. Supongamos que t es el tiempo en das y f(t) el numero de bacterias observadas en el dat. Entonces

f(0) = 1000 (inicio)

f(1) = 1000 2 (da 1)

f(2) = (1000 2) 2 = 1000 22 (da 2)

f(3) =(1000 22) 2 = 1000 23 (da 3)

......

f(t) = 1000 2t (da t)

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 t

f(t)

Al octavo da el numero de bacterias es

f(8) = 1000 28 = 256000.

Observacion 12. En general, si inicialmente haban A bacterias, el numero de bacterias en el dat esta dado por

f(t) = A 2t

Este modelo no es muy realista, pues por limitaciones de espacio y alimentos, una poblacion debacterias no crece de manera exponencial siempre, sin embargo es un primer ejemplo que nos puedeayudar a plantear modelos mas realistas.

A diferencia del ejemplo anterior, existen otros fenomenos observados en la naturaleza dondelas cantidades estudiadas decrecen exponencialmente con el tiempo.

Ejercicio 8.4 (Decaimiento radioactivo). El polonio 210Po es un isotopo o sustancia radioactivainestable que se va desintegrando a medida que transcurre el tiempo. La vida media del polonioes de 140 das, es decir, cada 140 das, la cantidad de polonio que haba se reduce a la mitad.Si inicialmente la cantidad de polonio es de N miligramos, cual es la cantidad de polonio en eltiempo t?

Solucion. Suponiendo que t es el tiempo en das y f(t) es la cantidad de polonio que queda en elda t. Entonces

f(0) = N (inicio)

f(1 140) = N 12

(da 140)

f(2 140) =(N 1

2

) 12= N 1

22(da 280)

f(3 140) =(N 1

22

) 12= N 1

23(da 420)

......

f(t 140) = N 12t

(da t 140)0 1 2 3

0

1

0.25

0.50

0.75

1.00

1 2 3

t 140

f(t)

Al transcurrir t das, la cantidad de polonio que queda es

f(t) = N 12t/140

= N 2t/140

9. Funcion exponencial (natural)

La funcion exponencial natural es una funcion exponencial que tiene como base a un numeroque es muy utilizado en matematicas. Este numero se denotada con la letra e, es irracional y esconocido como numero de Euler (no confunidr con la constante de Euler).

Definicion 9.1 (Numero e). El numero e se define como el valor al que se aproxima la expresion(1 +

1

n

)n(46)

cuando n se hace arbitrariamente grande (n).

En el ejercicio (??) estudiaremos un problema de interes compuesto cuya solucion conduce a laexpersion (46). Por ahora consideremos la tabla dada a continuacion, en esta se muestra el valoraproximado del numero e.

n 1n

1 +1

n

(1 +

1

n

)n1 1 2 2

2 0.5 1.5 2.25

5 0.2 1.2 2.48832

10 0.1 1.1 2.59374246

100 0.01 1.01 2.704813829

1000 0.001 1.001 2.716923932

10000 0.0001 1.0001 2.718145927

100000 0.00001 1.00001 2.718268237

1000000 0.000001 1.000001 2.718280369

1000000000 109 1 + 109 2.718281828

As, tenemos que e = 2.718281828459 . . . Observemos que 2 < e < 3.

Definicion 9.2 (Funcion exponencial natural). La funcion exponencial natural es la funcionexponencial de base e = 2.718281828459 . . .

f(x) = ex (47)

para todo x R.

Observacion 13. .

1. La funcion exponencial es biunvoca:

ex1 = ex2 = x1 = x2.

2. e0 = 1.

3. ex1 ex2 = ex1+x2 .4. e

x1

ex2 = ex1x2 .

1

2

3

4

5

6

7

-1

1 2-1-2-3x

y

f(x) = ex

Ejercicio 9.1.

Utilice la grafica de la funcion exponencial f(x) = ex para graficar:

1. f(x) = ex 2. f(x) = ex2 3. f(x) = ex 3 4. f(x) = 5 ex

Solucion. .

1

2

3

-1

-2

-3

1 2 3 4-1-2-3-4x

y

Figura 15: f(x) = ex

1

2

3

-1

-2

-3

1 2 3 4-1-2-3-4x

y

Figura 16: f(x) = ex2

1

2

3

-1

-2

-3

1 2 3 4-1-2-3-4x

y

Figura 17: f(x) = ex 3

La grafica de la figura 15 se obtuvo de reflejar la grafica de y = ex respecto al eje y. La graficade la figura 16 se obtuvo al desplazar horizontalmente 2 unidades hacia la derecha la grafica dey = ex. Finalmente, la grafica de la figura 17 se obtuvo al desplazar verticalmente 3 unidades haciaabajo la grafica de y = ex.

10. Funcion logartmicas

En el Taller 10 estudiamos la funcion exponencial de base a dada por dada por f(x) = ax con0 < a < 1 o a > 1. Entre las propiedades estudiadas vimos:

1. f : R R+

2. Si a > 1, f(x) = ax crece a medida que xaumenta. Se dice que la funcion crece exponen-cialmente.

3. Si 0 < a < 1, la grafica de g(x) = ax decrecea medida que x aumenta. Se dice que la funciondecae exponencialmente.

4. La funcion exponencial es biunvoca, en parti-cualar:

ax1 = ax2 = x1 = x2.

1

2

3

-1

1 2 3-1-2-3

y = f(x)

y = g(x)

x

y

Figura 18: f(x) = ax con a > 1 yg(x) = ax con a < 1.

Por ser biunvoca, la funcion exponencial de base a, f(x) = ax con 0 < a < 1 o a > 1 poseeinversa y esta es precisamente la funcion que estudiaremos en esta clase.

Definicion 10.1 (Funcion logartmica). La funcion logartimica de base a, con a > 0 y a 6= 1,es la funcion inversa de la funcion exponencial de base a, se denota por y = loga x y satisface

y = loga x x = ay (48)

para todo x > 0 y todo numero real y.

Ejemplo 10.1. .

1. log2 8 = 3 porque 23 = 8

2. log6 1 = 0 porque 60 = 1

3. log9 3 =12 porque 9

1/2 = 3

4. log10 0 no existe porque . . . ?

Ejercicio 10.1. Resuelva la ecuacion log3(x 4) = 2.

Solucion.

log3(x 4) = 2 = x 4 = 32 = x = 13.

Observacion 14. .

1. La base a de la funcion logaritmo y = loga(x) debe ser positiva y diferente de 1 (a > 0 ya 6= 1).

2. El dominio de la funcion logaritmo es R+ y por esto loga(x) no esta definido para x 0.

3. El rango de la funcion logaritmo es R.

4. La funcion exponencial es biunvoca, en particualar inyectiva:

loga(x1) = loga(x2) = x1 = x2.

10.1. Propiedades de las funciones logartmicas

Por la definicion de funcion inversa, f1(b) = a b = f(a), y por tanto el punto (x0, y0)pertenece a la grafica de f(x) = ax si, y solo si, el punto (y0, x0) pertenece a la grafica de f

1(x) =loga x. As, la grafica de f

1 es la misma que la de f excepto que los roles de los ejes x e y secambian.

1

2

3

4

-1

1 2 3 4-1

y = loga x

y = ax

x

y

(a) y = loga x con a > 1.

1

2

3

4

-1

1 2 3 4-1-2

y = loga x

y = ax

x

y

(b) y = loga x con a < 1.

Figura 19

Observacion 15. Observemos que los puntos (x0, y0) y (y0, x0) son simetricos respecto a la rectay = x y por tanto las graficas de y = ax e y = loga(x) son simetricas a dicha recta.

Teorema 10.1 (Propiedades). Sea a > 0, a 6= 1, x > 0, x1 > 0 y x2 > 0; entonces:

loga 1 = 0 (pues a0 = 1)

loga a = 1 (pues a1 = a)

loga ax = x

(pues f(f1(x) = x))

aloga x = x(pues f1(f(x)) = x)

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2

logax1x2

= loga x1 loga x2

loga xb = b loga x

loga x =logc x

logc a, con c > 0, c 6= 1

Observacion 16. Dos casos particulares de uso frecuente para la funcion logartimo de base a sepresentan cuando la base es el numero a = e y cuando la base es el numero a = 10.

Definicion 10.2 (Funcion logaritmo natural). La funcion logartimica f(x) = loge x que tienecomo base al numero de Euler e, se denomina funcion logaritmo natural y se denota por ln:

y = lnx x = ey (49)


Definicion 10.3 (Funcion logaritmo natural). La funcion logartimica f(x) = log10 x que tienecomo base al numero 10, se denomina funcion logaritmo comun y se denota por log:

y = log x x = 10y (50)


10.2. Ecuaciones exponenciales y logartmicas

En los siguientes ejemplos aplicamos las propiedades de los logaritmos y de las funciones expo-nenciales.


Ejercicio 10.2. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones.

1. 3x+1 = 81 2. 2x = 6 3. 3x+4 = 213x.

42. 4x 2x 12 = 0. 43. log x+ log(x+ 15) = 2. 44. log3 x+ log4 x = 4.

Solucion. .

1. . 3x+1 = 81

3x+1 = 34

x+ 1 = 4

x = 3

2. . 2x = 6

ln 2x = ln 6

x ln 2 = ln 6

x =ln 6

ln 2 2.5850

42. . 3x+4 = 213x

ln(3x+4) = ln(213x)

(x+ 4) ln 3 = (1 3x) ln 2x ln 3 + 3x ln 2 = ln 2 4 ln 3x[ln 3 + 3 ln 2] = ln 2 4 ln 3

x =ln 2 4 ln 33 ln 2 + ln 3

1.1646

43. . 4x 2x 12 = 0

(22)x 2x 12 = 0(2x)2 (2x) 12 = 0(2x 4)(2x + 3) = 0.

Luego, 2x 4 = 0 o 2x + 3 = 0, es decir2x = 4 o 2x = 3 pero como 2x > 0, en-tonces solo consideramos 2x = 4 y la unicasolucion posible es x = 2.

42. . log x+ log(x+ 15) = 2

log[x(x+ 15)] = 2

10log[x(x+15)] = 102

x(x+ 15) = 100

x2 + 15x 100 = 0(x+ 20)(x 5) = 0.

As, las soluciones son x = 20 o x = 5pero como en la ecuacion inicial se tiene laexpresion log x, entonces x > 0; luego, launica solucion posible es x = 5.

43. . log3 x+ log4 x = 4

lnx

ln 3+

lnx

ln 4= 4

lnx

[1

ln 3+

1

ln 4

]= 4

lnx =4[

1

ln 3+ 1

ln 4

] = 2.4516 . . .x = e2.4516...

x 11.6069

Ejercicio 10.3. La altura h (en pies) de un arbol de edad t (en anos) esta dada por

h =120

1 + 200e0.2t(51)

1. Determina la altura del arbol a los 10 anos.

2. A que edad el arbol medira 50 pies?

Solucion. .

1. A los t = 10 anos, la altura aproximada del arbol es h = 120/(1 + 200e0.210

) 4.28 pies.


2. Cuando sustituitmos h = 50 en (51) obtenemos

50 =120

1 + 200e0.2t

50(1 + 200e0.2t

)= 120

5 + 1000e0.2t = 12

e0.2t =7

1000

0.2t = ln 71000

= 4.9618 . . .

t =4.9618 . . .

0.2

t 24.8 anos

Ejercicio 10.4 (Grafica de funcion logartmica usando transformaciones). Determina el dominioy rango de la funcion f(x) = ln(x 1) y utiliza la grafica de y = lnx para realizar la grafica dey = f(x).

Solucion. . El dominio de f esta formado por todos los x R tales que

x 1 > 0 x > 1.

La grafica de y = f(x) se obtiene al aplicar dos transformaciones a la grafica de de y = lnx:

1

2

3

4

-1

1 2 3 4 x

y

(a) y = lnx.

1

2

3

4

-1

1 2 3 4 x

y

(b) y = ln(x 1).

1

2

3

4

-1

1 2 3 4 x

y

(c) y = ln(x 1).

Figura 20


La grafica de la figura (20b) se obtuvo al desplazar horizontalmente 1 unidad hacia la derecha lagrafica de la figura (23a). La grafica de la figura 23c se obtuvo al reflejar respecto al eje x la graficade la figura (20b). Observemos que la recta x = 1 es una asntota vertical de f(x) = ln(x 1) yque el rango de f es R.


11. Ejercicios

1. Trace la grafica de f :

a) f(x) =(25

)xb) f(x) = 5

(12

)x+ 3

c) f(x) = 3x + 9

d) f(x) = 2|x|

e) f(x) = 2(x+1)2

f ) f(x) = 3x 3x

2. Resuelva las siguientes ecuaciones para x :

a) 74x3 = 495x+6

b) 67x = 62x+1

c) 9x2

= 33x+2

d)(12

)8x= 2

e) 27x1 = 92x3

f ) 92x(13

)x+2= 27 (3x)2

g) 4x ( 12)3x = 8 (2x)2h) 10

x10x10x+10x =

13

i) Q = (1+S)n

1+(1+S)nx

j ) p = IR(I+R)x

(I+R)x1

k) abx

= (ab)x

l) 3x + 3x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 = 363

3. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) ex2

= e7x12

b) ex(x+ e) = 0

c) x2ex + 2xex = 0d) x3(4e4x) + 3x2e4x = 0

e) x2(2e2x) + 2xe2x + e2x + 2xe2x = 0

f ) (ex+ex)2(ex+ex)2

(ex+ex)2 = 0

4. Cambie a forma logartmica:

a) 57t = a+ba

b) (0, 7)t = 5, 3

c) 35 = 243

d) 32x = PFe) 95+2z = x

f ) e0,1t = x+ 2

5. Cambie a forma exponencial:


a) log2m = 3x+ 4

b) logb 512 =32

c) log4 p = 5 xd) loga 343 =

34

6. Trace la grafica de f :

a) f(x) = log(x+ 10)

b) f(x) = ln |x 1|c) f(x) = ln(e+ x)

d) log 14x

7. Resuelva para x:

a) (x)x = (x)

x

b) log(7x12)log x = 2

c) A = P (1 + T )x

d)log x = log

x

e)3(100log x + 1) = 4(10log x)

f ) ln 12 ln(x 1) = ln(x 2)g) (0, 4)1+log

2 x = (6, 25)2log x3

h) 15log x +1

log x = 1

i) xlog x = 100x

j ) log x3 12log x = 5

k) log(x+1+1)

log 3x40 = 3

l) 8(9x) + 3(6x) 81(4x) = 0m) logx log x16 2 = log x64 2n) log2(9

x1) = 2 + log3(3x1 + 1) +

log5(27x3)

8. Una suma I de dinero, se invierte a un interes compuesto a una razon de r%. El capital Cal cabo de n anos o perodos viene dado por C = I(1 + r)n.

a. Cuantos seran $1000 en 5 anos una razon igual a 6%?

b. Cual fue el interes compuesto?

c. Cuanto tiempo de requiere para que un cierto capital se duplique si invierte a unarazon del 6% anual?

d. A que razon se debe colocar ciero capital para que se duplique en 10 anos?

9. En ciertas condiciones, la presion atmosferica p (en pulgadas) a una altitud de h pies esta dadapor p = 29e0.000034h.

a. Cual es la presion a una altitud de 40, 000pies?

b. Cual es la altura a una presion de 2312 pulgadas?

10. El modelo de Jenss es generalmente considerado como la formula mas precisa para predecirla estatura de ninos de preescolar. Si y es la estatura (en centmetros) y x es la edad (enanos), entonces

y = 79.041 + 6.49x e3.2610.993x

para 1/4 x 6.Del calculo, la rapidez (en cm/ano) esta dada porR = 6.39+0.993e3.2610.993x.Encontrar la estatura y rapidez de crecimiento de un nino tpico de 1 ano de edad.

11. La relacion de Ehrenbergln(W ) = ln(2.4) + (1.84)h,

es una formula emprica que relaciona la estatura (en metros) con el peso promedio W (enkilogramos) para ninos de 5 a 13 anos de edad.


a. Exprese W como funcion de h que no contenga ln .

b. Estime el peso promedio de un nino de 8 anos de edad que mide 1.5 metros de estatura.

12. La energa E(x) de un electron despues de pasar por un material de grosor x, esta dado porla ecuacion E(x) = E0e

x/x0 , donde E0 es la energa inicial y x0 es la longitud de onda de laradiacion.

a. Exprese en terminos de E0, la energa de un electron despues de pasar por un materialde grosor x0.

b. Exprese en terminos de x0, el grosor al que el electron pierde el 99% de su energainicial.

13. Algunas instituciones de prestamos calculan el pago mensual M sobre un prestamo de Ldolares a una tasa de interes r (expresada como decimal) mediante la formula

M =Lrk

12(k 1) ,

donde k = [1 + (r/12)]12t y t es el numero de anos que el prestamo esta en efecto.

a. Encuentre el pago mensual sobre una hipoteca de vivienda de $250, 000 a 30 anos si latasa de interes es 8%.

b. Encuentre el interes total pagado en el prestamo del inciso (a).

14. Si el interes se capitaliza continuamente a razon de 4% al ano, aproxime el numero de anosnecesarios para que un deposito inicial de $6000 crezca a $25000.

15. El crecimiento en altura de arboles se describe con frecuancia con una ecuacion logstica.Suponga que la altura h (en pies) de un arbol de edad t (en anos) es

h =120

1 + 200e0.2t,

.

a. Cual es la altura del arbol a los 10 anos de edad?.

b. A que edad tandra 50 pies de altura?.

12. Polinomios

Definicion 12.1. Se dice que f es una funcion polinomial de grado n, con coeficientes reales, si

f(x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a1x+ a0 con an 6= 0.

Ejemplo 12.1. .

1. f(x) = a0 con a0 6= 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el grado de f es 0.2. f(x) = a1x+ a0 corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado de f es 1.

3. f(x) = a1x2 + a1x+ a0 es una parabola con eje vertical, el grado de f es 2.

Observacion 17. Todas las funciones polinomiales son funciones continuas (no tienen cortes niinterrupciones).

12.1. Casos especiales

El comportamiento de la grafica de una funcion polinomial dependera del grado de la funcion.Por ejemplo, para f(x) = axn tendremos las siguiente s dependiendo que el grado n sea par o impar.

Si n es un entero positivo impar (figura (21)), f es una funcion impar y la grafica de f essimetrica con respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la grafica crece con masrapidez para x > 1.

Si n es un entero positivo par (figura (22)), f es una funcion par y la grafica de f es simetricacon respecto al eje y. Observemos que a medida que el exponente aumenta, la grafica se aplanaalrededor del origen.

1

-1

1-1

f3

f5f7

y

x

Figura 21: f3(x) = x3, f5(x) = x

5, f7(x) =x7

1

-1

1-1

f2

f4

f6

y

x

Figura 22: f2(x) = x2, f4(x) = x

4, f6(x) =x6

12.2. Teorema del valor intermedio para funciones polinomiales

Como la idea en esta seccion, es tratar de caracterizar las funciones polinomiales, el siguienteresultado nos dice otra propiedad importante de las mismas.

Teorema 12.1 (Teorema del valor intermedio). Si f es una funcion polinomial y f(a) 6= f(b)para a < b, entonces f toma todo valor entre f(a) y f(b) en el intervalo [a, b]. Es decir, si k escualquier numero entre f(a) y f(b), por lo menos hay un numero c entre a y b tal que f(c) = k,

Graficamente tenemos lo siguiente:

y

xa c b

f(a)

k

f(b)

y = k

Una consequencia del Teorema del valor intermedio es que si f(a) y f(b) tienen signos contrarios(uno positivo y otro negativo), al menos hay un numero c entre a y b tal que f(c) = 0, es decir, ftiene un cero (o raz) en c.

b

b

y

xa c b

(a, f(a))

(b, f(b))

y = f(x)

b

b

y1

x1a c b

(a, f(a))

(b, f(b))

y1 = f(x1)

Ejemplo 12.2. La funcion f(x) = x4 + 3x3 2x + 1 tiene un cero entre 2 y 3. Note que alsustituir x por 2 y 3, obtenemos que f(2) = 5 y f(3) = 5.

Ejemplo 12.3. Considera la funcion polinomial f(x) = x3 x2 12x y encuentra los valores dex para los cuales f(x) > 0 y f(x) < 0. Ademas trazar la grafica de f .

SolucionNota que podemos factorizar a f(x) como

f(x) = x3 x2 12x= x(x2 x 12)= x(x+ 3)(x 4).

A partir de esta ecuacion vemos que los ceros, es decir los x tales que f(x) = 0, son los puntos3, 0 y 4, as que estos puntos nos dicen que podemos dividir el eje x en los intervalos (,3),(3, 0), (0, 4) y (4,) y de la misma manera que en desigualdades podemos resumir la situacioncon la siguiente tabla:

f(x)intervalo

(,3) (3, 0) (0, 4) (4,)x + +

(x+ 3) + + +(x 4) +

Signo f(x) + +

Concluimos que f(x) > 0 en (3, 0) y (4,) y f(x) < 0 en (,3) y (0, 4), lo cual representamosgraficamente como

y = x3 x2 12xy

x3 0 4

12.3. Propiedades de la division

Sean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), si f(x) es divisiblepor g(x).

Ejemplo 12.4. .

1. x4 81 es divisible entre x2 + 9, entre x2 9, entre x+ 3 y entre x 3. (Producto notable)

2. x6 + 27 es divisible entre x2 + 3 y entre x4 3x2 + 9. (Producto notable)

3. 7x2 + 3x 10 es divisible entre x2 x+ 10. (Division sintetica)

Teorema 12.2 (Algoritmo de la division para polinomios). Si f(x) y p(x) son polinomios y sip(x) 6= 0, entonces existen polinomios unicos q(x) y r(x) tales que

f(x) = p(x)q(x) + r(x)

donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). El polinomio q(x) se conoce comoel cociente y el polinomio r(x) se conoce como el residuo en la division de f(x) entre p(x).

A traves del siguiente ejemplo, recordemos el procedimiento de la division de polinomios.

Ejemplo 12.5. . Divide 3x4 + 2x3 x2 x 6 entre x2 + 1.

Solucion


3x4 +2x3 x2 x 6 x2 + 13x4 3x2 3x2 + 2x 4

0 2x3 4x2 x 62x3 2x

notas de clase algebra y trigonometria

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