notas algebra

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Universidad Nacional Aut ´ onoma de M ´ exico Facultad de Ciencias ´ ALGEBRA PARA LA F ´ ISICA REPORTE DE ACTIVIDAD DOCENTE QUE PARA OBTENER EL T ´ ITULO DE: Matem ´ atico P R E S E N T A: MARCO ANTONIO ACEVEDO CARDONA M. EN C. ERICK JAVIER L ´ OPEZ S ´ ANCHEZ 2013

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Universidad Nacional Autonomade Mexico

Facultad de Ciencias

ALGEBRA PARA LA FISICA

REPORTE DE

ACTIVIDAD DOCENTE

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

Matematico

P R E S E N T A:

MARCO ANTONIO ACEVEDO CARDONA

M. EN C. ERICK JAVIER LOPEZ SANCHEZ

2013

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Agradecimientos

Agradezco de manera especial a mi director de este libro, Dr. Erick JavierLopez Sanchez, por el apoyo y las ensenanzas, por su paciencia al explicarme lamisma cosa hasta que las entendı, sin molestarse ni quejarse; por el apoyo durantela realizacion de este material.

A mis sinodales, el Mat. Julio Cesar Guevara Bravo, el M. en C. Jose AntonioGomez Ortega, el Mat. Antonio Garcıa Flores y el M. en C. Sergio HernandezZapata, por la revision, comentarios y sugerencias que enriquecieron el libro.

No puedo dejar de agradecer a mis papas, Jose Luis y Norma, por el apoyomoral y economico que sin condiciones me otorgaron durante toda la licenciatura.A toda mi familia Luis Guillermo y Oscar Eduardo.

A la Dra. Bibiana Obregon, que siempre ha creıdo en mi y por su valiosaamistad que me ha brindado en tiempos difıciles.

A mis amigos, Alberto, Ernesto, Odın, Ricardo, Beatriz y Elisa, por sus co-mentarios oportunos de algunos ejercicios descritos en este material.

Este trabajo no habrıa sido posible sin el apoyo de Esther Anahi, con suapoyo, preguntas sobre LATEX, ideas de redaccion y de demostraciones, fueron degran ayuda, ¡gracias!

Por ultimo a mis amigos que laboran en el Instituto de Biologıa, Daniel Juarez,Daniel Perez y Oscar Hernandez; que siempre me han alentado y brindado suapoyo en lo laboral y academico.

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Introduccion

Generalmente los alumnos que ingresan a la universidad y en particular a ca-rreras de ciencias basicas como Fısica, llegan con deficiencias en Matematicas,mas especıficamente en Algebra. Los estudiantes de la licenciatura en Fısica seencuentran con el problema de que los libros y/o materiales didacticos existen-tes para la ensenanza del Algebra tienden a ser muy generales, ya que presentanresultados con demostraciones que omiten algunos pasos que los autores los con-sideran obvios, e incluyen pocos ejemplos ilustrativos, por lo que los alumnos sedesesperan, se decepcionan y llegan a abandonar la materia o/y la reprueban.

El objetivo de este trabajo es presentar un texto de apoyo en el cual se explicandetalladamente los procesos de demostracion, por mas sencillas que parezcan, parafacilitar el entendimiento sobre los mecanismos mediante los cuales se demuestranresultados, lo que le sera util al alumno para el estudio de otras materias incluidasen el tronco comun de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Desafortunadamente el plan de estudios 2002 de Fısica no contempla las asig-naturas de Algebra Superior I y II que sı contemplaba el plan 1968. En lugar deello, se propuso mezclar algunos de los temas de las dos asignaturas en una sola,a la cual se le llamo simplemente Algebra. En esta nueva asignatura, los temascontemplados no satisfacen plenamente los requerimientos que se necesitan en ma-terias de semestres posteriores. El material presentado en las dos asignaturas deAlgebra Superior es mas completo que el de Algebra y sı llega a satisfacer dichosrequerimientos. Entre los temas que se suprimieron en la nueva materia esta elde vectores y sus propiedades, necesarios para un mejor entendimiento y desem-peno del estudiante en el Algebra Lineal, asignatura en la cual los profesores quela imparten, inician suponiendo que los alumnos tienen pleno conocimiento delos espacios vectoriales; tema fundamental para el estudio del producto tensorial.Tambien estas definiciones son de gran ayuda para entender los temas presen-tados en materias posteriores propias de la Fısica, tales como Mecanica Clasica(por ejemplo, en la segunda ley de Newton F =ma, cuando la masa m no es ho-mogenea), Mecanica de Fluidos (tensor de esfuerzos, ecuaciones de Navier-Stokes,etc.), Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) o Mecanica Cuantica (opera-

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dores, espacios duales, etc.). Por lo que, sin el tema de los espacios vectoriales, eltemario de Algebra carece de las bases teoricas para la licenciatura de Fısica.

Al escribir estas notas para el curso de Algebra para la carrera de Fısica que seimparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM, tuve en mente los objetivos decubrir el temario de la materia poniendo ejemplos tanto numericos como aplicadosa la Fısica y desglosando algunas demostraciones que se presentan.

Ası que propuse ejercicios para que el estudiante al terminar cada seccion,pueda aplicar las definiciones y/o los teoremas anteriormente expuestos para re-solverlos.

Decidı incluir Espacios Vectoriales porque es un tema muy importante en laFısica, ademas en los cursos de Algebra Lineal I y II suele omitirse; en ocasionespor la falta de tiempo y por lo extenso del temario, o bien, porque el profesorsuele darlo por visto, ya que debio verse en materias mas basicas como AlgebraSuperior; y en las materias de Algebra Superior I y II es parte del sus temariospero no profundizan con el pretexto de que lo veran mas adelante en AlgebraLineal.

El conjunto de las matrices, el conjunto de soluciones a los sistemas de ecua-ciones lineales, el conjunto de los numeros complejos y el de los polinomios, sonejemplos de espacios vectoriales. Este enfoque es gracias al capıtulo de EspaciosVectoriales. Ası, el estudiante podra observar que los vectores no son solo puntosen Rn.

En mi experiencia, los estudiantes suelen tener complicaciones en el tema deFunciones, que tambien se ven en otras materias como Calculo Diferencial y Geo-metrıa Analıtica. Ası que en este trabajo se exponen como relaciones entre con-juntos de numeros, se analizan y se muestra su clasificacion tratando de que sevea la utilidad de entender conceptos como inyectividad, suprayectividad, etc., enFısica. Por ejemplo, la funcion exponencial tiene su dominio en todos los reales, sinembargo, en un problema de decaimiento radiactivo el dominio real es el tiempocero, que indica el momento en el que se empezo a medir la actividad radiactivadel elemento. Ası que el dominio fısico sera de cero a infinito.

En ese mismo ejemplo, la imagen de la funcion exponencial es en realidadlos reales positivos, o lo que es lo mismo, el intervalo abierto: (0, ∞). Pero conla restriccion anterior, la funcion se convierte en no suprayectiva si la imagen serestringe al intervalo (0, A], donde A es la actividad medida al tiempo cero. Esano suprayectividad puede ser removida al redefinirse el codominio como la imagen.

Algunos ejemplos que explique, estan relacionados con el Calculo Diferencial eIntegral I; la cual es uno de los cursos que se imparte en la Facultad de Ciencias,con el fin de que el estudiante vea la relacion del Algebra con otras materias oareas. Por ejemplo, con el tema de Aproximacion de Raıces se trata de relacionaruna aplicacion de polinomios en computacion, ya que se puede utilizar una compu-

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tadora para realizar los calculos, que aveces se complican. Pero estos ejemplos norequieren un conocimiento extenso sobre estas materias o areas.

Para muchos estudiantes el curso de Algebra constituye uno de sus primeroscursos de matematicas reales, ası que como parte de la formacion, en el mis-mo material didactico se solicita a los estudiantes que no solo realicen calculosmatematicos, sino tambien que desarrollen demostraciones, con tecnicas como lainduccion matematica por ejemplo, tecnicas por construccion o directas. En estasnotas tambien intente alcanzar un equilibrio entre la practica y la teorıa.

Incluı una pequena seccion de Calculo Combinatorio, para ser mas especıfico,Permutaciones, la cual lo utilice para dar la definicion formal de la funcion deter-minante. Con esto pretendo que el formalismo expuesto ayude al estudiante, yaque al momento de que el escribe las respuestas en un examen suele dar muchasvueltas. Sin embargo se puede omitir la seccion de Permutaciones, y se podra op-tar por mostrar una definicion equivalente del determinante, como por ejemplo,el desarrollo por menores, tomando como base el determinante de una matriz de2 × 2.

Decidı escribir estas notas para cubrir el temario de Algebra y para que elestudiante tenga un material de consulta y apoyo. Este material podra ser util aotros profesores de la Facultad de Ciencias que imparten el curso.

Este trabajo se podrıan utilizar como base para los cursos de Algebra SuperiorI y II, completandolo al agregar los temas faltantes para estos cursos.

En cada capıtulo, las definiciones, los ejemplos, los teoremas y algunas ecua-ciones estan numeradas consecutivamente a partir del numero 1. Las referenciasa los mismos; fuera o dentro del capıtulo, se llevan a cabo por la notacion c.#,donde c es el capıtulo correspondiente y # es el lugar que ocupa en la numeracionrespectiva en el capıtulo c. De esta forma, el ejemplo 2 del capıtulo 3 tiene la nu-meracion 3.2. Ademas en la version digital, cada referencia (definicion, teorema,ejemplo, etc.) tiene una liga para que con un clic se vaya a la pagina en donde seencuentra enumerada dicha referencia.

El enfoque que utilice al hacer el trabajo pretende ser de un aprendizaje gra-dual, es decir, los dos primeros capıtulos tienen los conceptos basicos que se vanutilizando en los capıtulos posteriores. Tambien, por ejemplo, para resolver unsistemas de ecuaciones son necesarios los capıtulos de matrices y determinantes,los cuales tienen las definiciones y teoremas requeridos para los sistemas de ecua-ciones. Ası mismo para el capıtulo de polinomios se necesita el capıtulo de losnumeros complejos.

Como en la mayorıa de los textos, la notacion en las definiciones, teoremas,proposiciones, etc., la he resaltado con el fin de atraer la atencion del estudiantey que este sea capaz de recordarla con mayor facilidad. Ademas, en el capıtulode sistemas de ecuaciones desarrolle una notacion para referirme a las ecuaciones

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lineales (en), a los sistemas de ecuaciones (Em,n) y los homogeneos (Hm,n), entreotros (la notacion se explica en el apartado en el que se empieza a usar).

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Indice general

1. Conjuntos 11.1. Notacion de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Funciones 112.1. Relaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . 192.5. Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Cardinalidad de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8. Funciones entre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Espacios Vectoriales 353.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Subespacio vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Bases y Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Matrices 574.1. Definicion y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. La matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6. Forma escalonada reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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x INDICE GENERAL

4.7. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.9. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10. Calculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Determinantes 815.1. El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2. Calculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3. Calculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6. Sistemas de ecuaciones lineales 1016.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Soluciones de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3. Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4.1. El espacio de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5. Sistemas no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.6. Criterios de existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.7. Resolucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.8. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7. Numeros complejos 1317.1. El campo de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2. El conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3. El modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.4. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.5. Representacion polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6. Teorema de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.7. Raıces de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8. Polinomios 1518.1. Los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3. El algoritmos de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4. Teorema del residuo y del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.5. Division sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.6. Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.7. Factorizacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.8. Aproximacion de raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

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Capıtulo 1

Conjuntos

El concepto de conjunto como objeto abstracto no se comenzo a emplear enmatematicas sino hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobrela nocion de infinito. En los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann secomenzo a tener ideas relacionadas con una vision conjuntista en la matematica.Las contribuciones de Richard Dedekind al algebra estaban formuladas en termi-nos de conjuntos, que aun prevalecen en la matematica moderna; por ejemplo, enlas relaciones de equivalencia, particiones, funciones, etc., y el mismo explico lashipotesis y operaciones relativas a conjuntos que necesito en su trabajo. Ası, eneste capıtulo desarrollaremos las operaciones que Dedekind desarrollo.

La teorıa de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmentea Georg Cantor. [Eug52]

1.1. Notacion de conjunto

Definicion 1.1 (Conjunto y elementos). Un conjunto es una lista, coleccion o unaclase de objetos que estan bien definidos. A los objetos les llamaremos elementosdel conjunto. Ademas denotaremos a los conjuntos con letras mayusculas, y a suselementos (cuando estos sean letras) con minusculas.

Definicion 1.2 (Pertenencia). Diremos que un elemento x pertenece a un con-junto A si este esta en el conjunto, y lo denotaremos x ∈ A. De lo contrariodiremos que x no pertenece a A, denotado por x ∉A.

Ejemplo 1.3. A = a, e, i, o, u, B = las personas que viven en la tierra, N =los numeros naturales1, Z = los numeros enteros, Q = los numeros racionales, R =

1Aquı N = 0, 1, 2, . . .

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2 CAPITULO 1. CONJUNTOS

los numeros reales y C = los numeros complejos, son ejemplos de conjuntos. Sepuede encontrar o construir una infinidad de conjuntos.

Definicion 1.4 (Extension y comprension). Diremos que un conjunto A esta de-finido de manera extensiva si lista a todos sus elementos explıcitamente, o bien,diremos que esta definido de manera comprensiva si se especifica una propiedadque todos sus elementos poseen.

Ejemplo 1.5. Sea A = 2, 4, 6, 8 un conjunto, el cual esta definido de ma-nera extensiva, pero a su vez, tambien podemos definirlo como sigue, A = n ∈N ∣n es par y n ≤ 8, y de esta forma decimos que esta en su forma comprensiva.

Observacion 1.6. ¿Cualquier coleccion es un conjunto? Para contestar a la pre-gunta hagamos el siguiente razonamiento.

Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sı mismos. Lapregunta es: ¿C ∈ C?

Supongamos que la respuesta es sı. Si C pertenece a C (C ∈ C), entonces Cpertenece a sı mismo; por lo tanto no puede estar en C, que esta definido comoel conjunto de conjuntos que no estan en sı mismos, por lo tanto C ∉ C.

Por otro lado, supongamos que la respuesta es no, es decir, C no pertenece a C(C ∉ C), entonces C no esta en sı mismo, por lo tanto debe pertenecer al conjuntode los conjuntos que no estan en sı mismos, es decir, a C, por lo que C ∈ C, y esuna contradiccion.

En este sentido el conjunto C no tiene elementos bien definidos, por lo que nocumple con la Definicion 1.1.

Por lo tanto no cualquier coleccion es un conjunto.

1.2. Subconjunto

Definicion 1.7 (Subconjunto). Sean A, B dos conjuntos. Diremos que B es unsubconjunto de A (denotado por B ⊆A), si cada elemento x ∈B tambien x ∈A.Si existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, diremos que B no esun subconjunto de A (denotado por B ⊈A).

Ejemplo 1.8. Sean A = 1, 3, 5, B = 1, 2, 3, 4, 5. Entonces utilizando laDefinicion 1.7 tenemos que A ⊂ B. Sabemos tambien que N ⊆ Z y al igual queR ⊆ C.

Definicion 1.9 (El conjunto vacıo). El conjunto que no contiene elementos esllamado vacıo. Lo denotaremos con ∅ = .

Teorema 1.10. El conjunto vacıo es un subconjunto de cualquier conjunto.

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1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 3

Definicion 1.11 (Igualdad de conjuntos). Sean A, B dos conjuntos. Diremosque A es igual a B (denotada por A =B) si y solo si A ⊆B y B ⊆A.

Definicion 1.12 (Subconjunto propio). Sean A, B ≠ ∅. Diremos que B es unsubconjunto propio de A (denotado por B ⊂ A), si B es un subconjunto de A yB no es igual a A.

Definicion 1.13 (Conjunto finito e infinito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es finitosi el numero de elementos es igual a n ∈ N, de lo contrario diremos que A esinfinito.

Esta definicion es provisional, ya que en el Capıtulo 2 se dara una mas formal.

Ejemplo 1.14. Sea A = los dıas de la semana y B = x ∈ N ∣x es par ¿Cual delos conjuntos es finito y cual es infinito?.

Solucion de 1.14: Si contamos el numero de elementos de A, resulta que hay 7elementos, por lo que A es un conjunto finito.

Ahora si suponemos que B es finito. Entonces podemos decir que existe k ∈ Ntal que el numero mayor2 de B es de la forma 2k, pero como k + 1 ∈ N entonces2(k + 1) es par, pero 2(k + 1) ∉ B, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto B esinfinito.

1.3. Operaciones y propiedades

En esta seccion daremos las operaciones basicas sobre los conjuntos y suspropiedades.

Definicion 1.15 (Union de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos que launion de A y B (denotada por A∪B) es el conjunto cuyos elementos pertenecena A o B, en otras palabras, A ∪B = x ∣x ∈A o x ∈B.

Proposicion 1.16 (Propiedades de la union). Sean A, B y C conjuntos. Laoperacion union cumple las siguientes propiedades:

1. A ⊆A ∪B y B ⊆A ∪B.

2. A ∪B =B ∪A (conmutatividad).

3. (A ∪B) ∪C =A ∪ (B ∪C) (asociatividad).

2Si a y b son numeros enteros, decimos que a es mayor que b (b ≤ a) si a − b es un numeronatural.

Page 14: Notas algebra

4 CAPITULO 1. CONJUNTOS

Definicion 1.17 (Interseccion de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremosque la interseccion de A y B (denotada por A∩B) es el conjunto cuyos elementospertenecen a A y B, en otras palabras, A ∩B = x ∣x ∈A y x ∈B.

De manera similar a la union de conjuntos, la interseccion tiene las siguientespropiedades.

Proposicion 1.18 (Propiedades de la interseccion). Sean A, B y C conjuntos.La operacion interseccion cumple las siguientes propiedades:

1. A ∩B ⊆A y A ∩B ⊆B.

2. A ∩B =B ∩A (conmutatividad).

3. (A ∩B) ∩C =A ∩ (B ∩C) (asociatividad).

Definicion 1.19 (Conjuntos ajenos). Sean A, B conjuntos. Diremos que sonajenos si no tiene elementos en comun, es decir, si A ∩B = ∅ entonces A y Bson ajenos.

Proposicion 1.20. Sean A, B y C conjuntos. Si B ⊆ A y C ⊆ A entonces(B ∪C) ⊆A.

Demostracion. Sea x ∈ (B ∪C). Utilizando la Definicion 1.7 debemos llegar a quex ∈ A. Ası que por definicion tenemos que x ∈ B o x ∈ C. Si x ∈ B entonces x ∈ Aporque B ⊆ A. Si x ∈ C entonces x ∈ A porque C ⊆ A. Por lo tanto (B∪C) ⊆ A.

La Proposicion 1.20 se puede esquematizar con el diagrama de Venn mostradoen la Figura 1.1.

Figura 1.1: Esquematizacion de la Proposicion 1.20.

Proposicion 1.21. Sean A, B y C conjuntos. Si A ⊆ B y A ⊆ C entoncesA ⊆ (B ∩C).

Page 15: Notas algebra

1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 5

Demostracion. Sea x ∈ A, entonces x ∈ B ya que A ⊆ B, ademas x ∈ C porqueA ⊆ C, lo que nos lleva a que x ∈ B y x ∈ C, por la Definicion 1.17 tenemos quex ∈ (B ∩C). Por lo tanto A ⊆ (B ∩C).

La Proposicion 1.21 tambien se puede esquematizar con el diagrama mostradoen la Figura 1.2.

Figura 1.2: Esquematizacion de la Proposicion 1.21.

Proposicion 1.22 (Distribucion de la union e interseccion). Sean A, B y Cconjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C).

2. A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C).

Demostracion. La idea para la demostracion de este inciso es probar la doblecontencion, es decir, para 1, que A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) y (A∩B)∪(A∩C) ⊆A ∩ (B ∪C) y por la Definicion 1.11 tendremos la igualdad.

1. ⊆). Sea x ∈ (A ∩ (B ∪C)), entonces x ∈ A y x ∈ (B ∪C), pero por definicionx ∈ B o x ∈ C, con esto tenemos dos casos:

a) Si x ∈ B y x ∈ A entonces x ∈ (A ∩B). Luego x ∈ ((A ∩B) ∪ (cualquierconjunto)), en particular con (A∩C) tenemos que x ∈ ((A∩B)∪(A∩C)).

b) Si x ∈ C y como x ∈ A entonces x ∈ (A∩C). Luego x ∈ ((A∩C)∪(cualquierconjunto)), en particular con (A∩B) tenemos que x ∈ ((A∩B)∪(A∩C)).

Por lo tanto (A ∩ (B ∪C)) ⊆ (A ∩B) ∪ (A ∩C).⊇). Del inciso 1 de la Proposicion 1.18 tenemos que (A∩B) ⊆ A y (A∩C) ⊆ A;y aplicando la Proposicion 1.20 tenemos que (A∩B)∪(A∩C) ⊆ A. Por otrolado, (A ∩ B) ⊆ B, y en general, (A ∩ B) ⊆ (B ∪ (cualquier conjunto));en particular para el conjunto C, es decir, (A ∩ B) ⊆ (B ∪ C), y de igual

Page 16: Notas algebra

6 CAPITULO 1. CONJUNTOS

manera (A ∩ C) ⊆ C, y en general (A ∩ C) ⊆ (B ∪ C); por lo que tenemos(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A y (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ (B ∪ C), ası aplicando laProposicion 1.21, tenemos que (A ∩B) ∪ (A ∩C) ⊆ (A ∩ (B ∪C)).Por lo tanto A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C).

2. Dado que la demostracion es muy similar a la del inciso anterior, se quedacomo ejercicios para el estudiante.

Definicion 1.23 (Complemento de un conjunto). Sea X el conjunto universal ysea A un conjunto. Diremos que el complemento de A (denotado por Ac), es elconjunto de todos los elementos x ∈ X y x ∉ A; es decir, Ac = x ∣x ∈ X y x ∉A.

Notemos que el complemento de un conjunto se define respecto a un conjuntouniversal del cual se estan tomando los conjuntos, en este caso, el conjunto A. Estoes, que el conjunto X contiene a cualquier conjunto, en particular al conjunto A,es decir, A ⊆X.

Proposicion 1.24 (Propiedades del complemento). Sea A un conjunto, X elconjunto universal, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. (Ac)c =A. 2. A ∪Ac =X. 3. A ∩Ac = ∅.

Demostracion. 1. Por demostrar (Ac)c = A. Sea x ∈ (Ac)c si y solo si x ∉ Acpor definicion de complemento, si solo si x ∈ A por definicion de pertenencia.Por lo tanto (Ac)c = A.

2. Por demostrar A ∪ Ac = X. La demostracion se deja al estudiante, y solodebe utilizar la definicion de complemento y union de conjuntos.

3. Por demostrar A ∩ Ac = ∅. Sea x ∈ A ∩ Ac entonces x ∈ A y x ∈ Ac pordefinicion de interseccion, pero esto nos lleva a una contradiccion, con loque podemos concluir que x ∈ ∅. Por lo tanto A∩Ac ⊆ ∅. Ademas ∅ ⊆ A∩Acpor la definicion.

Ahora, teniendo ya las operaciones de union, interseccion de conjuntos y elcomplemento, podemos unir estas operaciones y obtener una proposicion, que seutiliza para muchos conceptos del algebra.

Proposicion 1.25 (Leyes de D’Morgan). Sean A y B conjuntos. Entonces secumplen las siguientes propiedades:

Page 17: Notas algebra

1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 7

1. (A ∪B)c =Ac ∩Bc. 2. (A ∩B)c =Ac ∪Bc.

Demostracion. La demostracion la haremos por doble contencion, para poder usarla Definicion 1.11.

1. ⊇). Sea x ∈ (Ac ∩ Bc), entonces x ∈ Ac y x ∈ Bc por la Definicion 1.17,entonces x ∉ A o x ∉ B por la Definicion 1.23, entonces x ∉ (A ∪B) por laDefinicion 1.15, y por ultimo tenemos que x ∈ (A ∪ B)c por la Definicion1.23.

⊆). Ahora, sabemos que A ⊆ A∪B y que B ⊆ A∪B por la Proposicion 1.16,entonces (A ∪ B)c ⊆ Ac y (A ∪ B)c ⊆ Bc (la demostracion de estas conse-cuencias es sencilla, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante),aplicando la Proposicion 1.21 tenemos que (A ∪B)c ⊆ (Ac ∩Bc).Por lo tanto (A ∪B)c = Ac ∩Bc.

2. Demostrar que dos conjuntos son iguales se puede hacer no solo por doblecontencion, se puede hacer utilizando las proposiciones ya vistas. La demos-tracion de este inciso se queda como ejercicio para el estudiante.

Definicion 1.26 (Diferencia entre conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos quela diferencia entre A y B (denotada por A −B) es el conjunto cuyos elementosx tales que x ∈A y x ∉B; es decir, A −B = x ∣x ∈A y x ∉B.

Observacion 1.27. Notemos que el orden en como se escriben los conjuntosinfluye en el resultado, esto es, que la diferencia entre conjuntos no es conmutativa.En otras palabras A − B ≠ B − A. El estudiante puede verificar que esto pasautilizando la definicion.

Observacion 1.28. Notemos que si utilizamos la Definicion 1.23 en la Definicion1.26 tenemos que A −B = A ∩Bc. Esto es muy util en la siguiente proposicion.

Proposicion 1.29. Sean A, B y C conjuntos. Entonces A−(B∩C) = (A−B)∪(A −C).

La demostracion se efectuara por medio de igualdades de conjuntos, dado quelas proposiciones que se utilizaran ya fueron demostradas por doble contencion.Pero tambien se puede hacer la demostracion usando la doble contencion.

Page 18: Notas algebra

8 CAPITULO 1. CONJUNTOS

Demostracion. Sean A, B y C conjuntos.

A − (B ∩C) = A ∩ (B ∩C)c Definicion 1.28.

= A ∩ (Bc ∪Cc) Proposicion 1.25.

= (A ∩Bc) ∪ (A ∩Cc) Proposicion 1.22.

= (A −B) ∪ (A −C) Definicion 1.26.

Por lo tanto se vale la igualdad.

Ejercicios

1. De tres conjuntos cualesquiera y muestre que la Proposicion 1.25 se vale conlos conjuntos dados.

2. De conjuntos cualesquiera y obtenga los conjuntos de acuerdo a las opera-ciones definidas.

3. Demuestre que la Observacion 1.29 se cumple. Hint: demuestre la doblecontencion.

1.4. Conjunto potencia

Definicion 1.30 (Conjunto potencia). Sea A un conjunto. El conjunto potenciade A (denotado por P (A) o bien, 2A), es el que esta formado por todos lossubconjuntos posibles de A.

Ejemplo 1.31. Sean A = a, b y B = 1, 2, 3.Entonces

P (A) = a, b, a, b, ∅.Y para B

P (B) = 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, ∅.

Observacion 1.32. Si A posee n elementos, entonces P (A) tendra 2n elementos.Pero si es infinito entonces P (A) sera infinito. La demostracion de este hecho serealizara como un ejemplo de la seccion 2.9 del Capıtulo 2.

Observacion 1.33. Del ejemplo 1.31, observamos que A, B son subconjuntos desus conjuntos potencia, respectivamente. Esto es porque A = A y por la Definicion1.11 tenemos que A ⊆ A; es decir, A es un subconjunto de P (A). Por lo tantoA ∈ P (A).

Page 19: Notas algebra

1.4. CONJUNTO POTENCIA 9

Ejercicios

1. Demostrar el inciso 2 de la Proposicion 1.22.

2. Demostrar el inciso 2 de la Proposicion 1.24.

3. Demostrar el inciso 2 de la Proposicion 1.25.

4. Sean A, B conjuntos. Demostrar que (A∪B)c ⊆ Ac. Hint: considere el hechode que A ⊆ (A ∪B).

5. Sean A, B conjuntos. Demostrar que Ac ⊆ (A∩B)c. Hint: considere el hechode que (A ∩B) ⊆ A.

6. Calcule el conjunto potencia de A = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Page 20: Notas algebra

10 CAPITULO 1. CONJUNTOS

Page 21: Notas algebra

Capıtulo 2

Funciones

El concepto de funcion como un objeto matematico independiente, capaz de serestudiado por sı solo, surgio hasta los inicios del calculo en el siglo XVII. Rene Des-cartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de funcion comouna dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular creo losterminos “funcion”, “variable”, “constante” y “parametro”. La notacion f(x) seutilizo por primera vez con Clairaut, y por Euler en la obra Commentarii impresaen San Petersburgo en 1736. [CR96]

2.1. Relaciones entre conjuntos

Definicion 2.1 (Pareja ordenada (Kuratowski)). Sean a y b ∈ A. Diremos queuna pareja formada por los elementos a y b es el conjunto a, a, b = (a, b).

Observacion 2.2. De la definicion anterior podemos concluir que si dos parejasson iguales, entonces sus elementos son iguales de acuerdo a sus posiciones; esdecir, si (a, b) = (c, d) entonces a = c y b = d. El estudiante debe ser capaz dehacer la demostracion.

Ahora con los pares ordenados ya definidas, podemos enunciar ternas ordena-das o triadas ordenadas de la manera siguiente:

(a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)) = a, a, b, a, b, c

y ası, se pueden construir las n−adas ordenadas.

Observacion 2.3. Si A = a, b entonces (a, b) = a, a, b ⊆ P (A) y tambien(b, a) = b, a, b ⊆ P (A). Ahora bien si B = x, y, z entonces (x, y, z) =x, x, y, x, y, z ⊆ P (B) y ası con cualquier triada que se pueda generar.

11

Page 22: Notas algebra

12 CAPITULO 2. FUNCIONES

Por lo que una pareja o triada ordena de un conjunto A es un subconjunto delconjunto potencia de A.

Ejemplo 2.4. Sean C = 1, 9, 72, D = 72, 72, 1, 72, 1, 9 ⊆ P (C) yE = 72, 9, 1, 72, 1, 9 ⊆ P (C). ¿Que triadas ordenadas son los conjuntosD y E? D es la triada (72, 1, 9), por definicion. E no es una triada porque ningunode estos tres elementos: 72, 1, 9; aparece tres veces en los elementos de E paradefinir al primer elemento de la triada, y ninguno aparece solo una vez para definiral tercer elemento.

Definicion 2.5 (Producto cartesiano). Sean A y B conjuntos. El producto car-tesiano de A con B (denotadas por A ×B), es el conjunto de todas las parejasordenadas, tales que la primer entrada es un elemento de A y la segunda es unelemento de B, es decir, A×B = (a, b) ∣a ∈A y b ∈B. Se denota a A×A =A2.

Observacion 2.6. Ası como el conjunto potencia tiene 2n elementos, donde n es elnumero de elementos de un conjunto. El producto cartesiano de A con el mismotiene n2 parejas ordenas, el producto A3 tiene n3 parejas, y ası sucesivamente,donde n es el numero de elementos de A.

Para mostrar que A2 tiene n2 parejas supongamos que A = a1, . . . , an, en-tonces las parejas ordena que podemos formar son (a1, ), . . . , (an, ), y hay nparejas con a1 como primer elemento, n con a2 como primer elemento, etc.

Entonces, sumando el numero total de las parejas tenemos:

n + ⋅ ⋅ ⋅ + n = n(1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶n−sumandos

) = n(n) = n2.

Por lo tanto hay n2 parejas ordenadas.Ahora para mostrar que hay n3 triadas ordenadas en A3, utilicemos que una

triada ordenada la podemos definir como (a, (b, c)) = (a, b, c) como ya se habıadicho y ademas aplicaremos la idea anterior.

Como ya mostramos que hay n2 para A2 entonces tenemos que las triadas quepodemos formar con los elementos de A son (a1, ( , )), . . . , (an, ( , )), y hay n2

triadas ordenadas con a1 como primer elemento, n2 con a2 como primer elemento,etc.

Ası, sumando el numero total de las triadas ordenadas tenemos:

n2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n2 = n2(1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶n−sumandos

) = n2(n) = n3.

Por lo tanto hay n3 triadas ordenadas.Si el conjunto A es infinito, entonces el numero de parejas ordenadas tambien

sera infinito.

Page 23: Notas algebra

2.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 13

Por ejemplo, sea A = 1, 2, el A2 tiene 4 parejas ordenas, las cuales son(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Ejemplo 2.7. En este ejemplo veremos un conjunto que es utilizado en otrasareas de las matematicas, el plano cartesiano.

1. Sea A = 1, 2 y B = a, b, c, entonces

A ×B = (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c).

2. Sea N el conjunto de los numeros naturales, entonces

N ×N = (a, b) ∣a, b ∈ N = N2.

3. Sea R el conjunto de numeros reales, entonces

R ×R = (a, b) ∣a, b ∈ R = R2,

a este conjunto lo definimos como el plano cartesiano.

Definicion 2.8 (Relacion). Sean A y B conjuntos. Una relacion entre A y B esun subconjunto R del producto cartesiano A ×B.

Ejemplo 2.9. En este ejemplo veremos que es lo que sucede cuando uno de losconjuntos es vacıo.

1. Sean A = ∅ y B un conjunto cualquiera. Entonces A × B = ∅ por lo quela unica relacion posible es R = ∅. Esto sucede porque el conjunto vacıo notiene elementos, si fuera diferente del vacıo entonces la Definicion 2.5 no serıacorrecta, y ademas porque el vacıo es subconjunto de cualquier conjunto.

2. Sean A = a y B = b. Entonces A ×B = (a, b) con lo que tenemos dosrelaciones, las cuales son R1 = ∅ y R2 = (a, b).

3. Sean A = 1, 2 y B = a, b. Entonces

A ×B = (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)

con lo que hay 16 relaciones posibles entre A y B, cada relacion Ri ⊆P (A × B). Como ejercicios, el estudiante debera obtener las 16 relacionesaquı mencionadas.

4. Sea Z ×Z. Entonces una relacion del producto cartesiano anterior serıa R =(m, n) ∣m − n es divisible por 3. Diremos que a se divisible por b, cona, b ∈ Z, si existe k ∈ Z tal que a = bk.

Page 24: Notas algebra

14 CAPITULO 2. FUNCIONES

Definicion 2.10 (Dominio, codominio e imagen). Sea R ⊆ A ×B una relacion.El dominio de R (denotado por DR), es el conjunto de todos los elementos deA para los que existe un elemento en B de tal forma que (a, b) ∈ R; es decir,DR = a ∈A ∣∃b ∈B tal que (a, b) ∈R.

El codominio (o contradominio) de R (denotado por CR), es el conjunto B.La imagen de R (denotado por ImR), es el conjunto de todos los elementos

de B tales que existe un elemento en A de forma tal que (a, b) ∈ R; es decir,ImR = b ∈B ∣∃a ∈A tal que (a, b) ∈R.

Ejemplo 2.11. Sean A = a, b y B = 1, 2, 3. Sea R = (a, 1), (a, 3) unarelacion, entonces el dominio de R es DR = a y la imagen ImR = 1, 3.

Definicion 2.12 (Relacion de equivalencia). Sean R una relacion de A × A.Diremos que R es de equivalencia si se cumplen:

1. Para todo a ∈A la pareja (a, a) ∈R (reflexiva).

2. Si (a, b) ∈R entonces (b, a) ∈R (simetrica).

3. Si (a, b) y (b, c) ∈R entonces (a, c) ∈R (transitiva).

Ejemplo 2.13. Sean A = N.

1. Sea R = (x, y) ∣x = y, R es reflexiva porque x = y, que es lo mismo quex = x por lo que (x, x) ∈ R. Tambien es simetrica porque si (x, y) ∈ Rimplica que x = y pero y = x con lo que implica que (y, x) ∈ R. Y por ultimoes transitiva ya que si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, por una parte implica quex = y y por la otra y = z con lo que tenemos que x = z, entonces (x, z) ∈ R.Por lo tanto R es de equivalencia.

2. Sea R = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), R no es reflexiva porque (x,x) ∉ R,con x ≠ 1,2. No es simetrica porque (x, y) ∉ R para x, y ≠ 1,2. No estransitiva porque (x, y) ∉ R para x, y ≠ 1,2.

Ejercicios

1. Utilizando solo la Definicion 2.1, demostrar que (a, b) = (c, d) si y solo sia = c y b = d.

2. Obtenga las 16 relaciones del inciso 3 del Ejemplo 2.9 .

3. Demuestre que la R relacion del inciso 4 del Ejemplo 2.9 es de equivalencia.

4. Obtenga el dominio e imagen de la relacion del inciso 4 del Ejemplo 2.9.

Page 25: Notas algebra

2.2. FUNCIONES 15

2.2. Funciones

A grandes rasgos, una funcion es una regla de correspondencia que asigna acada elemento de un conjunto, un elemento de otro. Pero con el paso de estaseccion veremos las definiciones correctas para el concepto de funcion. Mientrasveamos un pequeno ejemplo, para una regla de correspondencia. [Mic93]

Ejemplo 2.14. 1. La regla que asigna a todo numero su cuadrado.

2. La regla que le asigna a cada x un numero y = x + 1

x + 2.

Definicion 2.15 (Funcion). Sean A y B conjuntos distintos del ∅. Diremos queuna relacion f es una funcion que va de A hacia B (denotada por f ∶ A → B)si:

1. Para todo x ∈A existe y ∈B tal que (x, y) ∈ f , y

2. A cada elemento x ∈ A le corresponde uno y solo un elemento y ∈ B; esdecir, si (x, y1) y (x, y2) ∈ f implica que y1 = y2.

Existen varias definiciones para el concepto de “funcion”, como la que enun-ciaremos a continuacion.

Definicion 2.16. Una funcion f es una coleccion de pares ordenados (nume-ros), los cuales deben cumplir que, si (x, y1) y (x, y2) ∈ f con x, y1, y2 en unconjunto, entonces y1 = y2.

Con la definicion de lo que es una funcion y con la Definicion 2.10 podemosdecir que el conjunto A es el dominio y B es el codominio de f . Pero daremos unadefinicion mas formal del dominio de f .

Definicion 2.17 (Dominio de una funcion). Si f es una funcion, el dominio def (denotado por Df ; o bien, Domf), es el conjunto de todos los a ∈A para losque existe algun b ∈B tal que f(a) = b esta bien definido.

Ejemplo 2.18. La funcion

h(x) = 1

x+ 1

x + 1,

tiene sentido si se hace la restriccion de que x debe ser distinto de 0,−1; o bien,podemos escribir de una manera mas explıcita h ∶ R − −1,0→ R.

Si no se hiciera la restriccion dirıamos que f no es un una funcion.

Ejemplo 2.19. Sean f, g, h ∶ R → R dadas por las reglas de correspondencia,

f(x) = x2 − 2x + 4, g(x) = √x y h(x) = 1

x.

Page 26: Notas algebra

16 CAPITULO 2. FUNCIONES

Solucion de 2.19: De las tres reglas dadas solo f es funcion, ya que g no esta de-finida para los numeros negativos y h no tiene sentido cuando x = 0.

Para que g fuese una funcion bien definida, se deberıa restringir el dominiocomo sigue g ∶ [0, ∞)→ R.

De la misma manera se debe hacer para h y deberıa de quedar como h ∶R − 0→ R.

Ası, las tres reglas son ahora funciones.

Definicion 2.20 (Imagen de una funcion). Sea f una funcion; la imagen de f(denotada por Imf) es el conjunto de todos los elementos en B tales que existea ∈A con f(a) = b; es decir, Imf = b ∈B ∣∃a ∈A, tal que f(a) = b ⊆B.

Ejemplo 2.21. Del Ejemplo 2.19 podemos ver que la funcion g tiene el dominioDg = [0, ∞) y una imagen Img = [0, ∞). Ası mismo la funcion h tiene Dh = R−0y Imh = R − 0.

Definicion 2.22 (Igualdad de funciones). Sean f ∶ A → B y g ∶ C → D dosfunciones. Diremos que f y g son iguales si y solo si se cumple lo siguiente

1. A =C y B =D, 2. f(x) = g(x) para toda x ∈A.

Ejemplo 2.23. Sean f ∶ [0, 2π] → [−1, 1] con la regla f(x) = sin(x + π2) y

g ∶ [0, 2π]→ [−1, 1] con la regla g(x) = cos(x).Es facil ver que f = g, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante.

Definicion 2.24 (Suma, resta, multiplicacion y division de funciones). Sean f ∶A→B y g ∶C →D funciones, definimos las siguientes operaciones:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x),

2. (f − g)(x) = f(x) − g(x),

3. (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x),

4. (f

g)(x) =

f(x)g(x)

con g(x) ≠ 0.

Observacion 2.25. De las operaciones anteriores y de la Definicion 2.15 podemosconcluir que x debe estar tanto en A como en C; es decir, Df+g = Df−g = Df ⋅g =A ∩C, ası Df/g = (A ∩C) − x ∣ g(x) = 0.

Ejercicios

1. Demuestre que las funciones f y g del Ejemplo 2.23 son iguales.

2. Como en la Observacion 2.25, piense y discuta cual puede ser el codominiopara las operaciones de la Definicion 2.24.

Page 27: Notas algebra

2.3. COMPOSICION DE FUNCIONES 17

2.3. Composicion de funciones

Otra operacion entre funciones que es igual de importante como las definidasanteriormente, es la composicion de funciones, la cual es la aplicacion sucesiva defunciones a ciertos elementos de un conjunto; es decir, elementos del domino paraser precisos.

Definicion 2.26 (Composicion de funciones). Sean f ∶ A → B y g ∶ B → Cfunciones. Diremos que la composicion de g con f (denotado por g f) es lafuncion (g f)(x) = g(f(x)) para toda x ∈A. Leeremos el sımbolo g f como fseguida de g.

Ejemplo 2.27. Sean f ∶ R → R con f(x) = x2 + 1 y g ∶ R → R con g(x) = 3x + 2.Obtener la composicion de f g y g f .

Solucion de 2.27: Lo primero es ver si la composicion de las funciones es posible,esto es, utilizar la Definicion 2.26. Resulta que las funciones estan definidas enR, tanto en el dominio como en el codominio, por lo que sı se puede realizar lacomposicion.

Ahora procedemos a obtener las reglas de correspondencias para cada compo-sicion.

Sea x ∈ R, entonces

(g f)(x) = g(f(x)) Definicion 2.26

= g(x2 + 1) sustituyendo el valor de f(x)= 3(x2 + 1) + 2 sustituyendo el valor de g(x)= 3x2 + 5 aritmetica.

Por lo tanto (g f)(x) = 3x2 + 5.Se queda como ejercicio para el estudiante obtener la regla de correspondencia

para (f g)(x).

Observacion 2.28. Sea f ∶ A→ B una funcion, donde A,B son conjuntos finitos.Dado que son conjunto finitos podemos listar las correspondencias de los elementosde A con los elementos de B, esto lo representaremos como sigue:

f = (a1 a2 . . . anb1 b2 . . . bm

) .

Page 28: Notas algebra

18 CAPITULO 2. FUNCIONES

Ejemplo 2.29. Sean A = a1, a2, a3, B = b1, b2 y C = c1, c2, c3 conjuntos,sean f ∶ A→ B y g ∶ B → C, dadas por

f = (a1 a2 a3b1 b1 b2

) , g = (b1 b2c2 c3

) ,

entonces la composicion g f ∶ A→ C esta dada por

g f = (a1 a2 a3c2 c2 c3

) .

Definicion 2.30 (La funcion identidad). Sea A ≠ ∅. Diremos que la funcionidentidad IA ∶A→A esta dada por IA(x) = x para toda x ∈A.

Teorema 2.31. Sea f ∶ A → B una funcion. Entonces f IA = f y IB f = fcon IA, IB las funciones identidades en A y B, respectivamente.

Demostracion. Sean f ∶ A → B, IA ∶ A → A y IB ∶ B → B funciones, con IA(x) =x ∈ A, IB(y) = y ∈ B y f(z) ∈ B.

Es facil ver que, las funciones f IA = f y IB f = f tiene los mismos dominiosy codominios. Solo falta ver que las reglas de correspondencias son las mismas(por la Definicion 2.22). Sea x ∈ A, entonces

(IB f)(x) = IB(f(x)) Definicion 2.26.

= f(x) definicion de IB.

Ahora tenemos

(f IA)(x) = f(IA(x)) Definicion 2.26.

= f(x) definicion de IA.

Por lo tanto son las mismas funciones.

Proposicion 2.32 (Asociatividad de la composicion). Sean A, B, C y D ≠ ∅,conjuntos y sean f ∶ A → B, g ∶ B → C y h ∶ C → D funciones. Entoncesh (g f) = (h g) f .

Demostracion. El estudiante debe ser capaz de hacer la demostracion, y se puedebasar en la anterior, por lo que se queda como ejercicio.

Page 29: Notas algebra

2.4. FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS 19

Ejercicios

1. Obtener la regla de correspondencia para la composicion f g del Ejemplo2.27.

2. Demuestre la Proposicion 2.32, utilizando las Definiciones 2.22 y 2.26.

2.4. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyec-

tivas

Las funciones pueden ser clasificadas, segun ciertas propiedades que cumplan.La clasificacion de funciones son tres, las inyectivas, suprayectivas y biyectivas.Daremos las definiciones de cada una a continuacion.

Definicion 2.33 (Funcion inyectiva). Sea f ∶ A → B una funcion. Diremos quef es inyectiva, si f(x) = f(y) con f(x) y f(y) ∈ B entonces x = y con x yy ∈A; o bien, si x, y ∈A tales que x ≠ y, se sigue que f(x) ≠ f(y).

Definicion 2.34 (Funcion suprayectiva). Sea f ∶ A → B una funcion. Diremosque f es suprayectiva, si para todo y ∈ B existe un x ∈ A tal que f(x) = y; obien, si Imf =B.

Definicion 2.35 (Funcion biyectiva). Sea f ∶ A → B una funcion. Diremos quef es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo 2.36. Sea f ∶ R → R una funcion dada por f(x) = x2. ¿Es biyectiva lafuncion f(x)?

Solucion de 2.36: Por la Definicion 2.35, hay que ver si f es inyectiva y supra-yectiva.

Por un lado, f no es inyectiva, ya que f(−1) = f(1) = 1 pero −1 ≠ 1.Por otro lado, f no es suprayectiva, ya que no existe un x ∈ R tal que f(x) =

−1 ∈ R; es decir, Imf = [0,∞) ⊆ R.Por lo tanto f no es biyectiva.

Ejemplo 2.37. Sea f ∶ R → R una funcion dada por f(x) = ax + b con a, b ∈ R ya ≠ 0. ¿Es biyectiva la funcion f(x)?

Solucion de 2.37: Hay que mostrar que f(x) es inyectiva y suprayectiva, paramostrar que es una funcion biyectiva.

Page 30: Notas algebra

20 CAPITULO 2. FUNCIONES

Demostracion. Por un lado, f es inyectiva.Sea x1, x2 ∈ R y f(x1) = f(x2). Por demostrar que x1 = x2. Tenemos:

f(x1) = ax1 + b Sustitucion de f(x1).= ax2 + b = f(x2) Hipotesis y sustitucion de f(x2).

ax1 + b = ax2 + b Transitividad de la igualdad.

Por lo tanto

x1 = x2 Aritmetica.

Por otro lado, f es suprayectiva.Sea y ∈ R. Por demostrar que existe x ∈ R tal que f(x) = y. Procedemos

a encontrar al elemento x, ayudandonos con lo que debe cumplir, por lo quetenemos:

y = f(x)= ax + b Sustitucion de f(x).

y = ax + b Transitividad de la igualdad.

Despejando x, tenemos

x = y − ba

Aritmetica.

La fracciony − ba

esta bien definida, porque a, b ∈ R y ademas a ≠ 0. Por lo tanto

f es suprayectiva, con lo que nos lleva a que f es biyectiva.

Observacion 2.38. Sea A ≠ ∅ un conjunto. Es facil ver que la funcion IA esbiyectiva, lo cual el estudiante puede hacer la demostracion.

Proposicion 2.39. Sean f ∶ A → B y g ∶ B → C dos funciones inyectivas.Entonces g f ∶A→C es inyectiva.

Demostracion. Sea f ∶ A → B y g ∶ B → C funciones inyectivas. Sea g f ∶ A → Cuna funcion y sean a1, a2 ∈ A.

Supongamos que g(f(a1)) = g(f(a2)). Por demostrar que a1 = a2.Como g es inyectiva (es decir, si g(b1) = g(b2) entonces b1 = b2) tenemos que

f(a1) = f(a2), pero ademas f es inyectiva, entonces a1 = a2.Por lo tanto g f es inyectiva.

Page 31: Notas algebra

2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 21

Proposicion 2.40. Sean f ∶ A → B y g ∶ B → C dos funciones suprayectivas.Entonces g f ∶A→C es suprayectiva.

Demostracion. Sean f ∶ A → B y g ∶ B → C dos funciones suprayectivas. Pordemostrar que g f ∶ A→ C es suprayectiva, es decir, para toda c ∈ C existe a ∈ Atal que (g f)(a) = c.

Sea c ∈ C. Por demostrar que existe a ∈ A tal que (g f)(a) = c.Como g es una funcion suprayectiva, entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c.

Por otro lado, f es tambien una funcion suprayectiva, entonces para toda b ∈ Bexiste a ∈ A tal que f(a) = b.

Por lo tanto, sustituyendo b = f(a) en g(b) = c, tenemos que g(b) = g(f(a)) = cy por la Definicion 2.26 tenemos que g(f(a)) = c = (g f)(a).

Por lo tanto existe a ∈ A tal que (g f)(a) = c.

Ejercicios

1. Demuestre la Observacion 2.38 utilizando las definiciones correspondientes.

2. Demuestre que si f, g son dos funciones biyectivas, entonces gf es biyectiva.

3. Sean f ∶ A→ B y g ∶ B → C funciones tales que g f es inyectiva. Demuestreque f es inyectiva.

4. Sean f ∶ A → B y g ∶ B → C funciones tales que g f es suprayectiva.Demuestre que g es suprayectiva.

2.5. Funciones invertibles

De la clasificacion de las funciones, se puede desprender una clasificacion mas,las que son invertibles. Las funciones que tienen inversa, cumplen que son biyec-tivas. Ası que daremos la teorıa de las funciones invertibles a continuacion.

Definicion 2.41 (Inverso derecho). Sea f ∶ A → B una funcion. Si existe unafuncion g ∶B →A tal que g f = IA diremos que g es inverso derecho de f .

Definicion 2.42 (Inverso izquierdo). Sea f ∶ A → B una funcion. Si existe unafuncion h ∶B →A tal que f h = IB diremos que h es inverso izquierdo de f .

Definicion 2.43 (Funcion invertible). Sea f una funcion. Diremos que f esinvertible si posee inverso izquierdo y derecho.

Page 32: Notas algebra

22 CAPITULO 2. FUNCIONES

Teorema 2.44 (Unicidad de la funcion inversa). Sea f ∶ A → B una funcioninvertible. Si g y h son funciones de B en A inversas derechas e izquierdas,entonces g = h.

Demostracion. Sean g ∶ B → A tal que g f = IA y h ∶ B → A tal que f h = IB,es obvio que h y g tiene los mismos dominios y codominios. Entonces veamos quetienen la misma regla de correspondencia. Tenemos:

g = g IB Teorema 2.31.

= g (f h) sustitucion de IB.

= (g f) h Proposicion 2.32.

= IA h sustitucion de IA.

= h Teorema 2.31.

Por lo tanto g = h.

Definicion 2.45 (La funcion inversa). Sea f ∶ A → B una funcion invertible.Por el Teorema 2.44 diremos que g ∶ B → A es la funcion inversa de f y ladenotaremos con f−1 = g.

En ocasiones el Teorema 2.44 no se cumple, esto es porque la funcion dadano tiene inversa izquierda o derecha, pero tambien se puede ver porque la dichafuncion no es biyectiva, lo cual veremos en los siguientes teoremas, pero antes,tenemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.46. Sea f ∶ N → N dada por f(n) = n2 y g ∶ N → N dada por g(n) =⟦√n⟧ (donde ⟦n⟧ es la funcion mayor entero). Entonces tenemos que g f = IZ,sin embargo, f g ≠ IZ. Veamos por que.

Por un lado, tenemos:

(g f)(n) = g(f(n)) = g(n2) = ⟦√n2⟧ = ⟦∣n∣⟧ = n = IZ.

Observese que√n2 = ∣n∣, por la definicion del valor absoluto, y ademas como n ≥ 0

tenemos que ∣n∣ = n.Por otro lado:

(f g)(n) = f(g(n)) = f (⟦√n⟧) = (⟦

√n⟧)2 ;

es decir, si n = 2 entonces (f g)(n) = 22 = 4 ≠ n.

Ejemplo 2.47. Sea f ∶ [0,∞) → [0,∞) dada por f(x) = x2. Verificar que f−1 ∶[0,∞)→ [0,∞) dada por f−1(x) = √

x es la funcion inversa de f .

Page 33: Notas algebra

2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 23

Solucion de 2.47: Por la Definicion 2.45 tenemos que probar que f f−1 = I[0,∞)

y que f−1 f = I[0,∞).Por un lado, sea x ∈ [0,∞), entonces (f f−1)(x) = f(f−1(x)) = f(√x) =

(√x)2 = x; ası que f f−1 = I[0,∞).Por otro lado, sea x ∈ [0,∞), entonces (f−1 f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(x2) =√x2 = ∣x∣; pero como 0 ≤ x, entonces ∣x∣ = x; es decir (f−1 f)(x) = x, ası que

f−1 f = I[0,∞).

Ahora, los siguientes teoremas nos ayudaran a ver si una funcion dada tie-ne inversa izquierda, derecha o ambas, como lo hemos mencionado arriba, y laexistencia de la inversa dependera de si es biyectiva.

Teorema 2.48. Sea f ∶A→B una funcion. f tiene inverso derecho si y solo sies inyectiva.

Demostracion. ⇐) Sea f ∶ A → B una funcion inyectiva. Por demostrar que ftiene inverso derecho.

Como f es inyectiva tenemos que si b = f(a1) = f(a2) ∈ B entonces a1 = a2 ∈ A.Definamos ahora g ∶ B → A tal que para algun b ∈ B g(b) = a1. Entonces a1 =g(b) = g(f(a1)) = (g f)(a1), pero tambien a2 = g(b) = g(f(a2)) = (g f)(a2),con lo que g esta bien definida, por lo que g es el inverso derecho de f , ya queg f = IA.⇒) Sea g ∶ B → A el inverso derecho de f y sea f(a1) = f(a2) ∈ B. Por

demostrar que a1 = a2 ∈ A.Entonces tenemos:

a1 = IA(a1) Definicion 2.30.

= g(f(a1)) Definicion 2.41.

= g(f(a2)) hipotesis.

= IA(a2) Definicion 2.41.

= a2 Definicion 2.30.

Ası a1 = a2. Por lo tanto f es inyectiva.

Teorema 2.49. Sea f ∶ A → B una funcion. f tiene inverso izquierdo si y solosi es suprayectiva.

Demostracion. ⇒) Sea f ∶ A → B una funcion, sea g ∶ B → A la inversa izquierdade f y sea b ∈ B tal que g(b) = a para algun a ∈ A. Por demostrar que f essuprayectiva, es decir, existe a ∈ A tal que f(a) = b para toda b ∈ B.

Page 34: Notas algebra

24 CAPITULO 2. FUNCIONES

Como g es la inversa izquierda de f , tenemos que f g = IB. Entonces b =IB(b) = (f g)(b) = f(g(b)) = f(a), por lo que f(a) = b. Por lo tanto f essuprayectiva.⇐) Sea f ∶ A → B suprayectiva, es decir, para toda b ∈ B existe a ∈ A tal que

f(a) = b. Por demostrar que f tiene inverso izquierdo.Sea g ∶ B → A una funcion tal que g(b) = a para alguna b ∈ B y a ∈ A. Entonces

tenemos que b = f(a) = f(g(b)) = (f g)(b), por lo tanto f g = IB. Ası que g esla inversa izquierda de f .

Corolario 2.50. Sea f ∶ A → B una funcion. f es invertible si y solo si esbiyectiva.

Demostracion. La demostracion se deja al estudiante y solo debe aplicar algunosteoremas de esta seccion.

Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes incisos, muestre que la funcion g es la inversade f .

a) Sea f ∶ (−∞,0]→ [0,∞) dada por f(x) = x2; g ∶ [0,∞)→ (−∞,0] dadapor g(x) = −√x.

b) Sea f ∶ R→ R dada por f(x) = ax+ b; g ∶ R→ R dada por g(x) = x − ba

.

c) Sea f ∶ (0,∞) → R dada por f(x) = log2 x; g ∶ R → (0,∞) dada porg(x) = 2x.

2. Demuestre el Corolario 2.50.

2.6. Cardinalidad de un conjunto

En secciones anteriores, hemos hablado implıcitamente del numero de elemen-tos de un conjunto, como en la Observacion 1.32. Saber el numero de elementoses de gran utilidad, por ejemplo; el conjunto solucion de un sistema de ecuacioneslineales puede tener mas de una solucion, y como se vera en el Capıtulo 6, a partirde dos soluciones se podra describir el resto de los elementos del conjunto.

Definicion 2.51 (Cardinalidad de un conjunto). Sea A ≠ ∅. Diremos que lacardinalidad o el numero cardinal de A (denotado por #A) es el n ∈ N, para elcual existe una funcion biyectiva f ∶ In →A donde In = 1, 2, . . . , n.

Page 35: Notas algebra

2.7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 25

Definicion 2.52 (Conjuntos equipotentes). Sean A y B conjuntos distintos del∅. Diremos que A y B son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad siexiste una funcion f ∶A→B; o bien, f ∶B →A biyectiva.

Ejemplo 2.53. Sea A = N y B = 3x ∣x ∈ N. Entonces, el conjunto A tienela misma cardinalidad que B, ya que existe una funcion f ∶ A → B dada porf(x) = 3x, la cual es biyectiva, como ya se habıa mostrado.

Ejercicios

1. Demuestre que los siguientes conjuntos tienen la misma cardinalidad

a) N,

b) Z,

c) n2 ∣n ∈ Z,

d) 2n ∣n ∈ Z.

2.7. Conjuntos finitos e infinitos

En el Capıtulo 1 se dio la Definicion 1.13, la cual define a un conjunto finitoe infinito. Ahora ampliaremos esa definicion y separaremos esa idea muy generalen definiciones mas precisas.

Definicion 2.54 (Conjunto finito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es finito (denotadopor #A <∞), si existe una funcion f ∶ In →A biyectiva.

Definicion 2.55 (Conjunto infinito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es infinito(denotado por #A =∞), si no existe una funcion f ∶ In →A biyectiva.

Definicion 2.56 (Conjunto infinito numerable y no numerable). Sea A ≠ ∅.Diremos que A es infinito numerable si existe una funcion f ∶ N → A biyectiva.Si no existe tal funcion, diremos que A es no numerable.

Observacion 2.57. De las definiciones 2.54 y 2.56 podemos concluir que si A esfinito, entonces le podemos llamar tambien finito numerable.

Proposicion 2.58. Sean A, B conjuntos y sea f ∶A →B una funcion. Si f esinyectiva entonces #A ≤ #B. Si f es suprayectiva entonces #A ≥ #B.

Demostracion. Sea A = a1, . . . , an con ai distintas con #A = n.Los elementos f(a1), . . . , f(an) ∈ B son distintos ya que si i ≠ j y f(ai) = f(aj)

tendrıamos que ai = aj porque f es inyectiva, esto nos llevarıa a una contradiccionpor la construccion de A. Por lo tanto B tiene al menos n elementos.

Page 36: Notas algebra

26 CAPITULO 2. FUNCIONES

Ahora sea B = b1, . . . , bm con bi distintas con #B =m.Como f es suprayectiva tenemos que existen ai ∈ A tales que f(ai) = bi, los m

elementos ai son distintos entre sı, ya que si ai = aj tendrıamos que f(ai) = f(aj);es decir, bi = bj, lo que nos llevarıa a una contradiccion por la construccion de B.Por lo tanto A tiene al menos m elementos.

Ejemplo 2.59. Es facil ver que el conjunto N es infinito numerable, ya que existeuna funcion biyectiva que es IN ∶ N→ N con la regla IN(n) = n.

Ejercicios

1. Demuestre que los siguientes conjuntos son infinitos numerables.

a) Z = . . . , −1, 0, 1, . . ., b) Q = pq∣p ∈ Z ,0 ≠ q ∈ N.

2. Piense y comente como podrıa mostrar que el conjunto I (el conjunto denumeros irracionales) es infinito no numerable.

2.8. Funciones entre conjuntos finitos

Como se menciono en la Observacion 2.28, escribir funciones entre conjuntosfinitos, es basicamente escribir quien esta relacionado con quien. Tambien lasfunciones entre conjuntos finitos cumple las mismas operaciones, propiedades yteoremas que las funciones entre conjuntos infinitos.

Tomando las bases ya vistas en las secciones previas solo queda hacer ejerciciospara afirmar los conocimientos adquiridos, pero ahora sera tomando en cuenta alos conjuntos finitos, ası sera mas facil entender lo que se ha visto hasta ahora.

Ejercicios

Para los siguientes incisos, considere A, B y C conjuntos finitos y distintos delvacıo. Sean f ∶ A → B y g ∶ B → C dos funciones, y sea g f ∶ A → C el resultadode la composicion de f con g. De las reglas de correspondencia de f y g tales que:

1. f es inyectiva y g f no sea inyectiva.

2. g es suprayectiva y g f no sea suprayectiva.

3. f es inyectiva, g es suprayectiva y g f no es inyectiva ni suprayectiva.

Page 37: Notas algebra

2.9. INDUCCION MATEMATICA 27

4. f no es suprayectiva, g no es inyectiva y g f es biyectiva.

Hint: recuerde la notacion utilizada en la Observacion 2.28 y que los conjuntosson finitos.

2.9. Induccion matematica

Cuando un enunciado requiere ser demostrado y estan involucrados los nume-ros naturales, hay un tipo de tecnica para demostrar dicho enunciado, se llamainduccion matematica.

Definicion 2.60 (Principio de induccion). Sea M ⊆ N tal que se cumplen losiguiente:

1. 1 ∈M , 2. Si n ∈M entonces n + 1 ∈M .

Entonces M = N.

En otras palabras lo que nos dice el principio es que si un subconjunto M ⊆ Ncontienen al 1 y contiene a n + 1 cada vez que n ∈ M , entonces M es todo elconjunto de numeros naturales.

Este principio lo utilizaremos para demostrar enunciados en los cuales inter-vengan los numeros naturales. Ası, el principio de induccion lo podemos traduciren lo siguiente:

Definicion 2.61 (Equivalencia del principio de induccion). Sea P (n) un enun-ciado, con n ∈ N. Los siguientes pasos son necesarios y suficientes para efectuarla demostracion:

1. Se demuestra la validez de P (1),

2. Supongase que P (n) es valida (hipotesis de induccion), por demostrar P (n+1) es valido.

Habiendo establecido la teorıa veamos unos pequenos ejemplos.

Ejemplo 2.62. Demostrar por induccion matematica que P (n) ∶=n

∑i=1

i = n(n + 1)2

.

Solucion de 2.62: Como demostraremos el enunciado por induccion matematica,el segundo paso se puede dividir en dos para que se tenga mas claro que es lo quese esta haciendo.

Page 38: Notas algebra

28 CAPITULO 2. FUNCIONES

1. Por demostrar para P (1), lo cual es claro, ya que1

∑i=1

i = 1 = 1(1 + 1)2

.

2. Supongamos que el enunciado P (n) es valido, es decir;n

∑i=1

i = n(n + 1)2

.

3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P (n + 1). En este ejemplo em-pezamos por la hipotesis de induccion, tenemos:

n

∑i=1

i + (n + 1) =n+1

∑i=1

i sumar n + 1 a la H.I.

= n(n + 1)2

+ (n + 1) igualdad de la H.I.

= n(n + 1)2

+ 2(n + 1)2

= n(n + 1) + 2(n + 1)2

= (n + 1)[(n + 1) + 1]2

= (n + 1)(n + 2)2

por aritmetica.

Por lo tanto se cumple P (n + 1).Con esto se termina la demostracion del enunciado P (n).

Ejemplo 2.63. Sea P (n) ∶= 1 + nx ≤ (1 + x)n; con −1 ≤ x ∈ R. Demuestre queP (n) es valido para cualquier n ∈ NSolucion de 2.63: La demostracion se hara con induccion matematica.

1. Por demostrar que P (1), lo cual es claro, ya que 1 + 1x = (1 + x)1.

2. Supongamos que el enunciado P (n) es valido, es decir; 1 + nx ≤ (1 + x)n.

3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P (n + 1). Empezamos por lahipotesis de induccion, tenemos:

(1 + x)n(1 + x) = (1 + x)n+1 multiplicar a la H.I por (1 + x).≥ (1 + x)(1 + nx) porque 0 ≤ 1 + x.

= 1 + nx + x + nx2 por aritmetica.

≥ 1 + nx + x porque 0 ≤ nx2.= 1 + (n + 1)x por aritmetica.

Page 39: Notas algebra

2.9. INDUCCION MATEMATICA 29

y tenemos que:

(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x, transitividad.

por lo tanto se cumple el enunciado P (n + 1).

Con esto se termina la demostracion del enunciado P (n).

Ahora vamos a demostrar lo que se afirmo en la Observacion 1.32 y la demos-tracion se realizara por induccion sobre el numero de elementos del conjunto.

Ejemplo 2.64. Sea A un conjunto con n elementos. Por demostrar que P (A)tiene 2n elementos.

Solucion de 2.64:

1. Por demostrar que si A tiene un elemento, entonces P (A) = 2.

Supongamos que A = a1, entonces P (A) = ∅, a1, con lo que P (A)posee 2 = 21 elementos.

2. Supongamos que la afirmacion es valido para un conjunto A = a1, . . . , ande n elementos.

3. Debemos mostrar que se cumple para un conjunto A = a1, . . . , an+1 den + 1 elementos.

Sea ai ∈ A un elemento arbitrario. Es claro que A−ai posee n elementos ypor la hipotesis tenemos que P (A−ai) posee 2n elementos. Sea N ∈ P (A)cualquier subconjunto. Para el subconjunto N , N ∈ P (A − ai) si y solo sipasa una de las dos cosas siguientes:

a) N permanecio igual en A − ai, es decir; ai no era elemento de N ,

b) N proviene de cierto conjunto N ′ = N∪ai, es decir; ai era un elementode N .

Conforme se hace variar a los subconjuntos de A y de acuerdo con las op-ciones anteriores obtendremos a todos los subconjuntos de A − ai. Por loque P (A) tendra 2 por el numero de elementos de P (A − ai), es decir,2 ⋅ 2n = 2n+1.

Por lo tanto se cumple la afirmacion dada en la Observacion 1.32.

Page 40: Notas algebra

30 CAPITULO 2. FUNCIONES

Ejercicios

Demostrar los siguientes ejercicios:

1. P (n) ∶=n

∑i=1

6i = 3n(n + 1).

2. P (n) ∶=n

∑i=1

1

(2i − 1)(2i + 1) = n

2n + 1.

3. P (n) ∶=n−1

∑i=0

(a + id) = n[2a + (n − 1)d]2

; con a, b ∈ R.

4. P (n) ∶=n−1

∑i=0

5i = 5n − 1

4.

5. P (n) ∶=n

∑i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)6

.

6. P (n) ∶=n

∑i=1

1

n(n + 1) = n

n + 1.

7. P (n) ∶=n

∑i=1

i3 = [n(n + 1)2

]2

.

8. P (n) ∶= 2n < n2 + 2

9. P (n) ∶= n! ≥ 2n; donde n! = 1⋯n es el factorial de un numero y 0! = 1.

10. P (n) ∶= zn = (r(cos θ + i sin θ))n = rn(cos(nθ) + i sin(nθ)), donde i2 = −1.

11. P (n) ∶=n

∑i=1

ai =(a1 + an)n

2; donde ai+1 − ai = r para toda i, con ai ∈ R.

12. P (n) ∶=n−1

∑i=0

xi = xn − 1

x − 1; donde 1 ≠ x ∈ R.

Aplicacion hacia la Fısica

Ejemplo 2.65. Supongamos que la respiracion de un corredor se puede modelarcomo una funcion seno, donde la inhalacion es la parte positiva de la funcion y laexhalacion es la parte negativa. Si se coloca un sensor de flujo de aire en la bocay nariz del corredor, solo se registrara que el aire paso por el sensor, pero no se

Page 41: Notas algebra

2.9. INDUCCION MATEMATICA 31

sabra si inhalo o exhalo, ası que solo se veran en el registro valores positivos. Sehace la medicion durante 18.85s (≈ 6πs). La grafica de estos resultados (mostradaen un osciloscopo) se puede ver como la grafica de la composicion de dos funciones:la del seno con la de valor absoluto.

1. Realiza esa composicion definiendo adecuadamente esa funcion composicion(resultado de componer las dos funciones, seno y valor absoluto) y esbozala grafica correspondiente, donde la amplitud es de 1.5lt de aire.

2. ¿Cual es el dominio, la imagen y el codominio de la funcion composicion, esdecir, la que se registra en el osciloscopio?

3. ¿Cuales deben ser los dominios y las imagenes de las funciones que se recu-peran a partir de los datos obtenidos?

Solucion de 2.65:

1. Para realizar la composicion de las funciones sin(x) y el ∣x∣, debemos definirlos dominios y codominios de cada una. Ası tenemos, f(x) = sin(x) esta de-finida como f ∶ [0, 6π] → [−1, 1], la funcion g(x) = 3

2 ∣x∣ esta definida como

g ∶ [−1, 1]→ [0, 32]. Observamos que el 1.5 que aparece en la funcion g es la

amplitud solicitada por el problema.

Ya definidas las funciones, podemos realizar la composicion, la cual esg(f(x)) = 3

2 ∣ sin(x)∣ y esta definida por g f ∶ [0, 6π]→ [0, 32].

La grafica correspondiente se muestra en la Figura 2.1.

2. El dominio de la composicion es Dgf = [0, 6π], aunque el dominio pudohaber sido R, pero no se puede hablar de un tiempo negativo.

El codominio de la composicion es Cgf = [0, 32], e igual que el domino, este

pudo haber sido R.

La imagen de la composicion es Imgf = [0, 32], y como se puede observar,

el codominio e imagen son iguales, pero no necesariamente debe ocurrir.

3. El dominio e imagen de la funcion f son: Df = [0, 6π] y Imf = [−1, 1], y eldominio e imagen de la funcion g son: Dg = [−1, 1] e Img = [0, 6π].

Ejemplo 2.66. En cierta region siberiana de cultivo de hortalizas se encontro queuna roca contiene un material radiactivo y esta afectando a una poblacion debacterias haciendolas mutar, y con ello se altera un ciclo de vida para plantas

Page 42: Notas algebra

32 CAPITULO 2. FUNCIONES

y animales que ahı habitan. El material radiactivo tiene una constante de de-caimiento de 4/dıa, y su actividad al tiempo que la descubrieron era de 50mr(mili-roentgen). Se sabe que las bacterias dejan de mutar cuando la radiacion quereciben es menor a 10mr.

1. ¿Cuanto tiempo debe transcurrir para que las bacterias dejen de mutar?(La actividad de la roca radioactiva se puede expresar como una funcion deltiempo f(t) = 50e−4t).

2. ¿Les conviene seguir considerando a esa region como cultivable? Justifiquesu respuesta.

3. Encuentre el dominio e imagen de f(t) y f−1(t).

Solucion de 2.66:

1. Dado que las bacterias dejan de mutar cuando reciben menos de 10mr, portanto, la funcion que nos fue proporcionada la igualamos a esa cantidad.Entonces tenemos 10 = 50e−4t. Por lo que tenemos que despejar al tiempode la ecuacion. Ası, utilizamos la funcion inversa, que es ln(t). Por lo tantot = −1

4 ln (15) ≈ 0.4023594781. La Figura 2.2 muestra la solucion que se obtu-

vo.

2. Es conveniente seguir considerando la region cultivable, ya que el tiemponecesario para que las bacterias dejen de mutar es de 0.4023594781 dıasque es aproximadamente 9.6566274744 hrs, por lo que, la region no que-dara danada.

3. Tomando a f(t) = 50e−4t, tenemos que el dominio es Df = [0, ∞) y laimagen es Imf = (0, 50]. La funcion inversa de f esta dada por f−1(t) =−1

4 ln ( t50), entonces tenemos que el dominio Df−1 = (0, 50] y la imagen es

Imf−1 = [0, ∞).

Page 43: Notas algebra

2.9. INDUCCION MATEMATICA 33

Figura 2.1: Grafica g(f(x)) = 1.5∣ sin(x)∣ para el Ejemplo 2.65.

Figura 2.2: Grafica f(t) = 50e−4t para el Ejemplo 2.66.

Page 44: Notas algebra

34 CAPITULO 2. FUNCIONES

Page 45: Notas algebra

Capıtulo 3

Espacios Vectoriales

Muchos conceptos comunes de la fısica, tales como la fuerza, la velocidad yaceleraciones, involucran una magnitud (el valor de la fuerza, velocidad o ace-leracion) y una direccion. Cualquier entidad que involucre magnitud y direcciones comunmente llamada vector, y en su mayorıa estan representadas por flechas.[Har04]

Pero veremos que en ocasiones no se representaran como flechas, esto dependemucho del conjunto que se este considerando. Con base en lo anterior surge laidea de espacio vectorial.

3.1. Definiciones basicas

En todas las definiciones, trataremos con conjuntos que son distintos del vacıo,y le daremos operaciones binarias que se pueden tomar como funciones del pro-ducto cartesiano sobre el mismo conjunto.

Definicion 3.1 (Espacio vectorial, vectores). Sea V ≠ ∅ con la suma (denotadapor +) definida como + ∶ V × V → V con +(u,v) = u + v y una multiplicacionescalar (denotada por ⋅) definida como ⋅ ∶ R × V → V con ⋅(c,u) = cu donde ces un numero real. Diremos que V es un espacio vectorial sobre R (denotado por(V,+, ⋅)) si se cumple lo siguiente:

Para todo u, v y w vectores en V , a y b ecalares en R

1. Si u, v ∈ V , entonces u + v ∈ V (cerradura de la suma).

2. Si u ∈ V y c ∈ R, entonces cu ∈ V (cerradura de la multiplicacion escalar).

3. u + v = v +u (conmutatividad).

4. (u + v) +w = u + (v +w) (asociatividad de la suma).

35

Page 46: Notas algebra

36 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

5. Existe un elemento en V , denotado 0, tal que u + 0 = 0 + u = u (neutroaditivo).

6. Existe un elemento en V , denotado −u, tal que u + (−u) = (−u) + u = 0(inverso aditivo).

7. (a + b)u = au + au (distributividad).

8. a(u + v) = au + av (distributividad).

9. (ab)u = a(bu) (asociatividad del producto).

10. 1u = u.

A los elementos de V les llamaremos vectores, y a los elementos que estan en Rles llamaremos escalares.

Para mostrar que un conjunto con dos operaciones es un espacio vectorial,necesitamos conocer como estan dadas las operaciones, es decir, su regla de co-rrespondencia.

Ejemplo 3.2. Sea S = 0, 1, y sea la suma y la multiplicacion escalar la de losnumeros reales. Surgen las preguntas ¿es la suma es cerrada? ¿es la multiplicacionescalar cerrada?

Solucion de 3.2: Para ver si la suma es cerrada en el conjunto S, consideramostodos los posibles casos que son: 0+ 0 = 0, 0+ 1 = 1 y 1+ 1 = 2. Ya que 1+ 1 = 2 noes un elemento de S, entonces la suma no es cerrada en S.

Para determinar si la multiplicacion escalar es cerrada, con la misma idea quecon la suma, tomamos los casos posibles que son: 0 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0 y 1 ⋅ 1 = 1. Porlo tanto la multiplicacion escalar es cerrada en S.

Con el paso del capıtulo, veremos mas ejemplos de espacios vectoriales. Enotros capıtulos, como el de matrices o sistemas de ecuaciones, veremos que esosobjetos son tambien un espacio sobre los numeros reales. Mientras consideremosotros que son clasicos en matematicas.

Ejemplo 3.3. Sea V = 0, el cual consta solo del numero real cero. V es unespacio vectorial bajo las operaciones comunes de los numeros reales como lasuma y la multiplicacion. Al conjunto V se le llama el espacio vectorial trivial.

El siguiente ejemplo involucra el conjunto de todas las funciones que va delos numeros reales a los reales (ver [Mic93]), este conjunto es extremadamenteimportante en muchas areas de las matematicas, como por ejemplo, en el analisismatematico.

Page 47: Notas algebra

3.1. DEFINICIONES BASICAS 37

Ejemplo 3.4. Sea F el conjunto de todas las funciones que van de los reales alos reales, es decir, F = f ∣ f ∶ R → R. Entonces F es un espacio vectorial sobrelos numeros reales.

Solucion de 3.4: Para mostrar que F es un espacio vectorial hay que utilizar laDefinicion 3.1

1. Hay que mostrar que la suma de funciones es cerrada. La suma de funcioneses la funcion definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x ∈ R.

Sean f, g ∈ F . Entonces f + g ∈ F ya que para cualquier x ∈ R tenemos quef(x), g(x) ∈ R, por lo que f(x) + g(x) ∈ R, por lo que (f + g)(x) esta biendefinida.

2. Hay que mostrar que la multiplicacion escalar es cerrada. El producto deun real c por f ∈ F es la funcion definida como (cf)(x) = c[f(x)] para todox ∈ R.

Sea f ∈ F . Entonces cf ∈ F ya que para cualquier x ∈ R tenemos quef(x) ∈ R, por lo que c[f(x)] ∈ R, por lo que (cf)(x) esta bien definida.

3. Ahora hay que mostrar que para cualquier f y g ∈ F tenemos que f+g = g+f .

Sea x ∈ R. Tomando la definicion de la suma de funciones, tenemos quef(x) + g(x) = g(x) + f(x), ya que f(x), g(x) ∈ R, y los numeros reales sonconmutativos, por lo tanto f + g = g + f .

4. Ahora debemos mostrar la asociatividad de la suma, es decir, para cualquierf , g y h ∈ F tenemos que (f + g) + h = f + (g + h).Sea x ∈ R. Tomando la definicion de la suma de funciones, tenemos que; porun lado [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x), por elotro [f +(g+h)](x) = f(x)+(g+h)(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)], ademas comof(x), g(x) y h(x) ∈ R, y los numeros reales son asociativos, por lo tanto(f + g) + h = f + (g + h).

5. Debemos mostrar que existe una funcion f ∈ F tal que f +g = g = f +g; paraalguna g ∈ F .

Proponemos que la funcion f sea la funcion cero, 0; es decir, f(x) = 0(x) = 0,para toda x ∈ R, ademas 0(x) ∈ R. Por lo tanto para cualquier funcion g ∈ Ftenemos que (0 + g)(x) = 0(x) + g(x) = g(x) = g(x) + 0(x) = (g + 0)(x).

6. Aquı hay que mostrar que existe una funcion f ∈ F tal que g + f = 0 = f + g;para alguna g ∈ F , donde 0(x) = 0 en los numeros reales.

Page 48: Notas algebra

38 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Proponemos que la funcion f sea la funcion −g; definida como −g(x) =−[g(x)], para toda x ∈ R, ademas −[g(x)] ∈ R. Por lo tanto para cualquierfuncion g ∈ F tenemos que [g+(−g)](x) = g(x)−g(x) = 0(x) = −g(x)+g(x) =[−g + g](x).

7. Ahora hay que mostrar una de las dos propiedades de la distributividad, esdecir, para a y b ∈ R, y para f ∈ F se tiene que (a + b)f = af + bf .

Sea x ∈ R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemos que[(a+b)f](x) = (a+b)f(x), ademas f(x) ∈ R y como los numeros reales tienela propiedad distributiva, entonces (a+ b)f(x) = af(x)+ bf(x). Por lo tanto(a + b)f = af + bf .

8. Ahora hay que mostrar la otra propiedad de la distributividad, es decir, paraa ∈ R, y para f y g ∈ F se tiene que a(f + g) = af + ag.

Sea x ∈ R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemos que[a(f + g)](x) = a[(f + g)(x)], ahora aplicando la definicion de la suma defunciones tenemos, a[(f + g)(x)] = a[f(x) + g(x)], como f(x) y g(x) ∈ R ylos numeros reales tiene la propiedad distributiva, entonces a[f(x)+g(x)] =af(x) + ag(x). Por lo tanto a(f + g) = af + ag.

9. Casi para terminar, hay que mostrar la asociatividad de la multiplicacionescalar, es decir, para a y b ∈ R, y para f ∈ F se tiene que (ab)f = a(bf).Sea x ∈ R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemosque [(ab)f](x) = (ab)f(x) y como f(x) ∈ R, y como los numeros reales sonasociativos con el producto, entonces (ab)f(x) = a(bf(x)) = [a(bf)](x). Porlo tanto (ab)f = a(bf).

10. Para terminar, hay que mostrar que para cualquier f ∈ F y para 1 ∈ R setiene que 1f = f .

Sea x ∈ R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalas, tenemosque (1f)(x) = 1f(x) y como f(x) ∈ R entonces 1f(x) = f(x). Por lo tanto1f = f .

Por lo tanto (F,+, ⋅) es un espacio vectorial sobre R.

Ejemplo 3.5. Sea el C[0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas1 defi-nidas en el intervalo cerrado [0,1]. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial. Lademostracion es practicamente la misma que en el ejemplo anterior.

1La continuidad de una funcion, puede pensarse como la grafica de f en el plano cartesianoque no tiene hoyos. Se puede ver la definicion forma de continuidad en [Mic93].

Page 49: Notas algebra

3.1. DEFINICIONES BASICAS 39

Ejemplo 3.6. Sea V = x ∣x = (x,x2), x ∈ R. ¿Es V un espacio vectorial con lasuma de dos elementos de V como un elemento de la forma (x + y, x2 + y2) y lamultiplicacion escalar de un elemento de R con uno de V es un elemento de laforma (ax, ax2)?

Solucion de 3.6:

1. La suma definida en V no es cerrada, ya que para cualesquiera x = (x, x2)y y = (y, y2) en V , el elemento x + y = (x + y, x2 + y2) no esta en V porque(x + y)2 ≠ x2 + y2.

2. La multiplicacion escalar definida en V no es cerrada, ya que para cualquierx = (x, x2) en V y a ∈ R, el elemento ax = (ax, ax2) no esta en V porque(ax)2 ≠ ax2.

3. La suma es conmutativa porque para cualesquiera x = (x, x2) y y = (y, y2)en V , tenemos que (x + y, x2 + y2) = (y + x, y2 + x2), ya que x y y ∈ R.

4. La suma es asociativa porque para cualesquiera x = (x, x2), y = (y, y2) y z =(z, z2) en V , tenemos que (x+[y+z], x2+[y2+z2]) = ([x+y]+z, [x2+y2]+z2),ya que x, y y z ∈ R.

5. El elemento neutro aditivo esta en V , el cual es 0 = (0, 0).

6. El elemento inverso aditivo no esta en V , porque −x deberıa ser (−x, −x2),pero (−x)2 ≠ −x2.

7. La primera de las dos propiedades distributivas se cumple, porque paracualquier x = (x, x2) en V y para a y b ∈ R tenemos que ([a+b]x, [a+b]x2) =(ax + bx, ax2 + bx2) = (ax, ax2) + (bx, bx2).

8. La otra de las propiedades distributivas se cumple, porque para cualesquierax y y en V y para a ∈ R tenemos que (a[x + y], a[x2 + y2]) = (ax + ay, ax2 +ay2) = (ax, ax2) + (ay, ay2).

9. La asociatividad de la multiplicacion escalar se cumple, porque para cual-quier x en V y a y b ∈ R tenemos que ([ab]x, [ab]x2) = (a[bx], a[bx2]), porla asociatividad de los numeros reales.

10. Por ultimo, 1x = x para cualquier x = (x, x2) en V , porque 1x = x y 1x2 = x2.

Pero como la suma y la multiplicacion escalar definida en V no es cerrada entonces(V, +, ⋅) no es un espacio vectorial.

Page 50: Notas algebra

40 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Antes de seguir viendo ejemplos de espacios vectoriales, enunciemos un teoremaque nos dara algunas propiedades elementales de los vectores.

Teorema 3.7. Sea v ∈ V un espacio vectorial y Sea c ∈ R. Entonces:

a) 0u = 0.

b) c0 = 0.

c) Si cu = 0, entonces c = 0 o u = 0.

d) (−1)u = −u.

Demostracion. Sea u ∈ V un espacio vectorial y c ∈ R.

a) Por el inciso 7 de la Definicion 3.1 tenemos que 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u. Como0u tiene inverso aditivo, −0u, entonces 0u + (0u + (−0u)) = (0 + 0)u + (−0u) =0u + (−0u) = 0. Por lo tanto 0u = 0.

b) Por el inciso 8 de la Definicion 3.1 tenemos que c0 = c(0 + 0) = c0 + c0. Comoc0 tiene inverso aditivo, entonces c0 + (−c0) = c0 + (c0 + (−c0)) = 0.

c) Sea c ∈ R y sea u ∈ V . Supongamos que cu = 0. Si c = 0 ya no hay nada quedemostrar porque se reduce al inciso anterior, por lo que supongamos que c ≠ 0.Por demostrar que u = 0.

Por el inciso 10 de la Definicion 3.1 y por el inciso a), tenemos que

u = 1u = (c1

c)u = (1

c) (cu) = (1

c)0 = 0.

Por lo tanto u = 0.

d) Ahora por el inciso 10 de la Definicion 3.1 tenemos que 1u = u, entoncesu + (−1u) = 1u + (−1u) = (1 + (−1))u = 0u = 0. Por lo tanto (−1)u es el inversode u. Supongamos que v es un inverso de u. Entonces u + v = u + (−1)u = 0.Agregando v en ambos lados, tenemos que (v+u)+v = (v+u)+(−1)u; es decir,0+ v = 0+ (−1)u, por lo tanto v = (−1)u. Por lo tanto, (−1)u es el inverso de uy (−1)u = −u.

Para aplicar el teorema anterior veamos un ejemplo.

Ejemplo 3.8. Sea u un vector en el espacio vectorial V , y sean a, b ∈ R. Demuestreque si au = bu con u ≠ 0, entonces a = b.

Page 51: Notas algebra

3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 41

Solucion de 3.8: Sean u ∈ V un espacio vectorial, y sean a, b ∈ R. Supongamos queau = bu con u ≠ 0. Por el inciso 6 de la Definicion 3.1, el elemento bu tiene inversoaditivo −bu. Tenemos au + (−bu) = au + (−1)bu = au + (−b)u, por el inciso 8, elinciso d) del Teorema 3.7, tenemos (a + (−b))u = (a − b)u. Ahora, agregamos −bua ambos lados de la ecuacion au = bu nos da au+ (−bu) = (a− b)u = bu+ (−bu) = 0.Por lo tanto (a − b)u = 0 y como u ≠ 0 entonces (a − b) = 0. Por lo tanto a = b.

Ejercicios

1. Demuestre que C[0, 1] definido en el Ejemplo 3.5 es un espacio vectorial.

2. Sea V = 0. Demuestre que V es un espacio vectorial con la multiplicacionescalar y suma definida como los numeros reales.

3. ¿Existen espacios vectoriales sobre R con exactamente dos y tres elementos?

4. Demuestre que R2 es un espacio vectorial sobre R. Con la suma definida como(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), y la multiplicacion escalar α(a1, a2) =(αa1, αa2).

3.2. Subespacio vectoriales

El concepto de espacio vectorial esta aplicado a conjuntos, pero en los conjuntostenemos subconjuntos. Entonces ¿que sucedera con el concepto de espacio vectorialsi se aplica a un subconjunto? Bueno, surgira el concepto de subespacio vectorialy desarrollaremos toda la teorıa sobre el en esta seccion. Tambien veremos queen la mayorıa de los caso, es conveniente mostrar que un conjunto V distinto delvacıo es un subespacio en lugar de mostrar que es un espacio vectorial.

Definicion 3.9 (Subespacio vectorial). Sea V un espacio vectorial. Sea S ⊂ Vcon S ≠ ∅. Decimos que S es un subespacio vectorial de V , si bajo las mismasoperaciones de V , S es un espacio vectorial.

Antes de considerar unos ejemplos de subespacios vectoriales, unas observa-ciones simplificaran el trabajo, ya que son muchas propiedades a demostrar paraun espacio vectorial. Ası, tenemos el siguiente teorema y en la demostracion delmismo, solo mostraremos las propiedades 5 y 6, ya que si u + v pertenecen a S,entonces, ya que u+v = v+u estan en V entonces u+v representan el mismo vectoren S, es decir, se cumple la propiedad 3. Por lo que, de manera similar, podemos

Page 52: Notas algebra

42 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

ver que u+ (v+w) = (u+v)+w en S, se cumple la propiedad 4 y de 7 a la 10. Porlo que en realidad solo habra que mostrar cuatro de las diez propiedades; que sonla 1, 2, 5 y 6.

Teorema 3.10. Sea V un espacio vectorial sobre R y S ⊂ V con S ≠ ∅. EntoncesS es un subespacio de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

a) 0 ∈ S.

b) Si u y v ∈ S, entonces u + v ∈ S.

c) Si c ∈ R y u ∈ S, entonces cu ∈ S.

Demostracion. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S ⊂ V con S ≠ ∅.⇒) Sea S un subespacio de V . Como S es un subespacio de V , entonces se

cumplen las diez propiedades de la Definicion 3.1, por lo que las condiciones a),b) y c) quedan demostradas.⇐) Supongamos que cualquier u, v ∈ S y c ∈ R se cumplen las condiciones a),

b) y c). Como ya lo habıamos notado, necesitamos solo mostrar la propiedad 6,ya que la 1, 2 y 5 son nuestra hipotesis.

P6. Por demostrar que para cada u ∈ S, existe un elemento −u ∈ S tal queu + (−u) = 0.

Sea u ∈ S. Entonces (−1)u ∈ S por c). Pero por el Teorema 3.7 tenemos que(−1)u = −u. Por lo tanto, −u ∈ S y por b) tenemos que u + (−u) = 0 conu + (−u) ∈ S.

Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 3.11. Cualquier espacio vectorial V , es un subespacio de sı mismo y elconjunto 0 es tambien un subespacio de V . Pero estos subespacios no son muyinteresantes.

Definicion 3.12 (Subespacio vectorial propio). Sea S un subespacio vectorial deV . Decimos que S es un subespacio propio si S ≠ V y S ≠ 0.

Ahora veamos unos ejemplos de espacios vectoriales propios.

Ejemplo 3.13. Sea V = R2 y S = x ∣x = (x, nx) con x ∈ R y para algun n ∈ Z.¿Es S un subespacio vectorial de V bajo las operaciones definidas en el ejercicio4 de la seccion anterior?

Solucion de 3.13: Para mostrar que S es un subespacio vectorial utilizaremos elTeorema 3.10.

a) El 0 ∈ S, ya que 0 = (0, 0) = (0, n0) para alguna n ∈ Z.

Page 53: Notas algebra

3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 43

b) Sean x y y ∈ S. Por demostrar que x + y ∈ S.

Sean x = (x, nx) y y = (y, ny) para alguna n ∈ Z, entonces x + y = (x + y, nx +ny) = (x + y, n[x + y]) con x + y ∈ R, por lo que x + y ∈ S.

c) Sea x ∈ S y a ∈ R. Por demostrar que ax ∈ S.

Sea x = (x, nx) para alguna n ∈ Z, entonces ax = (ax, anx) = (ax, n[ax]) conax ∈ R, por lo que ax ∈ S.

Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 3.14. Sea D[0, 1] el conjunto de todas las funciones que son derivable enel intervalo [0, 1]. Como sabemos, toda funcion que es derivable es continua (ver[Mic93]), por lo que D[0, 1] ⊂ C[0, 1]. Demostrar que D[0, 1] es un subespaciode C[0, 1].Solucion de 3.14: Sea x ∈ [0, 1]. El conjunto D[0, 1] no es vacıo, ya que 0(x) = 0esta en el.

Sean f(x), g(x) ∈D[0, 1]. Debemos mostrar que f(x)+g(x) y cf(x) pertene-cen a D[0, 1] para algun c ∈ R.

Como sabemos, [f(x)+g(x)]′ = f ′(x)+g′(x) y [cf(x)]′ = cf ′(x) (ver [Mic93])donde la coma (prima) denota la derivada de una funcion. Vemos que, tantof(x) + g(x) como cf(x) son derivables, entonces f(x) + g(x), cf(x) ∈D[0, 1].

Por lo tanto D[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].

Ejemplo 3.15. Sea I[0, 1] el conjunto de todas funciones f ∈ C[0, 1] tales que

∫1

0f(x)dx = 0. Demuestre que I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].

Solucion de 3.15: Sea x ∈ [0, 1]. Si f es continua, entonces ∫1

0f(x)dx existe.

Por lo tanto, I[0, 1] es un subconjunto de C[0, 1]. Ademas, I[0, 1] no es vacıo,ya que y = f(x) = 2x − 1 ∈ I[0, 1].

Primero, 0 ∈ I[0, 1] ya que ∫1

00(x)dx = ∫

1

00dx = 0.

Ahora, sean f(x) y g(x) ∈ I[0, 1] y sea c ∈ R. Entonces ∫1

0f(x)dx = ∫

1

0g(x) = 0.

Como sabemos, ∫1

0[f(x) + g(x)]dx = ∫

1

0f(x)dx + ∫

1

0g(x) = 0 + 0 = 0 y

tambien ∫1

0cf(x)dx = c∫

1

0f(x)dx = c0 = 0 (ver [Mic93]). Vemos que, tanto

f(x) + g(x), cf(x) ∈ I[0, 1]. Por lo tanto I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].

Page 54: Notas algebra

44 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicios

1. ¿El conjunto de todas las funciones f(x) ∈ C[0, 1] tal que ∫1

0f(x)dx = 1

es un subespacio de C[0, 1]? Justifique su respuesta.

3.3. Generadores

En ocasiones nos podemos encontrar preguntas como ¿cual es espacio o subes-pacio vectorial mas pequeno, en cuestion del numero de elementos, sin considerarel V = 0? Para ello podremos considerar los que estan formados por un ciertoconjunto y escribir al resto en funcion del conjunto. Para ello tenemos la siguientedefinicion.

Definicion 3.16 (Combinacion lineal). Sean u1, . . . , un vectores del espacio vec-torial V sobre R y c1, . . . , cn escalares, donde n ∈ N. Una combinacion linea delos vectores ui y los escalares ci tiene la forma c1u1 +⋯ + cnun.

Ejemplo 3.17. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) = 4x − 3 y h(x) = 2x2 + 4x − 1, y paracualquier c1, c2 ∈ R, tenemos que h(x) = c1f(x) + c2g(x); es decir, h(x) es unacombinacion lineal de los vectores f(x) y g(x) del espacio vectorial C[0, 1]; y eneste caso c1 = 2 y c2 = 1.

Definicion 3.18 (El espacio generado). Sean u1, . . . , un vectores del espacio vec-torial V . Diremos que el espacio generado por ui (denotado por Su1, . . . , un)es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores ui.

Ası, por definicion, todo miembro del conjunto Su1, . . . , un se puede escribircomo una combinacion lineal de los vectores ui y escalares ci ∈ R.

Antes de considerar algunos ejemplos mas, mostraremos que si u1, . . . , , un sonvectores de un espacio vectorial V , entonces Sui es un subespacio de V .

Teorema 3.19. Sea u1, . . . , un un conjunto de vectores de V , con V unespacio vectorial. Entonces

a) Su1, . . . , un es un subespacio de V , y

b) Su1, . . . , un es el subespacio vectorial con al menos n + 1 elementos de Vque contiene a u1, . . . , un.

Demostracion. Sean ui ∈ V , con V un espacio vectorial sobre R. Su1, . . . , unno es vacıo, ya que cada ui esta en el conjunto; es decir, como 1 ⋅ ui = ui entoncescada ui pertenece a Su1, . . . , un, por definicion.

Page 55: Notas algebra

3.3. GENERADORES 45

a) El vector 0 pertenece a Su1, . . . , un porque por el Teorema 3.7 inciso a)tenemos que 0 = 0 ⋅ u1 +⋯ + 0 ⋅ un, es decir, 0 es una combinacion lineal de losvectores ui.

Por demostrar, si u, v ∈ Su1, . . . , un, entonces u + v ∈ Su1, . . . , un.

Sean u, v ∈ Su1, . . . , un, entonces por definicion u = a1u1 + ⋯ + anun y v =b1u1+⋯+bnun. Sumando ambos vectores tenemos u+v = (a1+b1)u1+⋯+(an+bn)un. Por lo que u + v es una combinacion lineal de u1, . . . , un. Por lo tantou + v ∈ Su1, . . . , un.

Ahora, por demostrar que, si u ∈ Su1, . . . , un y c ∈ R, entonces cu ∈ Su1, . . . ,un.

Sea u ∈ Su1, . . . , un y sea c ∈ R, entonces por definicion, u = a1u1 + ⋯ +anun. Multiplicando tenemos que cu = c(a1u1 + ⋯ + anun) = (ca1)u1 + ⋯ +(can)un. Por lo que cu es una combinacion lineal de u1, . . . , un. Por lo tantocu ∈ Su1, . . . , un. Por lo tanto Su1, . . . , un es un espacio vectorial.

b) Ahora vamos a mostrar que Su1, . . . , un es el subespacio con al menos n+ 1elementos de V .

Podemos ver que Su1, . . . , un contiene a los vectores 0 y ui para todo i ∈1, . . . , n. Sea U un espacio vectorial que contiene a ui. Como U es cerradobajo la suma y multiplicacion escalar, U contienen a todas las combinacioneslineales a1u1 +⋯ + anun de ui.

Por lo tanto Su1, . . . , un ⊂ U . Ası Su1, . . . , un es el subespacio con almenos n + 1 elementos de V .

Por lo tanto se cumple el teorema.

Ejemplo 3.20. Sea f(x) = x2 + 1 y g(x) = 4x − 3. Entonces Sf(x), g(x) =h(x) ∣h(x) = ax2 + bx+ c; a, b, c ∈ R, que es el espacio generado por las funcionesf(x) y g(x) ∈ C[0, 1].

Ejemplo 3.21. Sea h(x) = 12x + 3 ∈ C[0, 1]. Determinar si h(x) esta o no enSf(x), g(x) donde f(x) = 2x2 − 1 y g(x) = −x2 + 2x + 1 ∈ C[0, 1].

Solucion de 3.21: Para determinar si h(x) ∈ Sf(x), g(x) debemos determinarsi existen escalares a, b ∈ R tales que 12x + 3 = a(2x2 − 1) + b(−x2 + 2x + 1).

Pero esto es equivalente a

12x + 3 = (2a − b)x2 + 2bx + (−a + b).

Page 56: Notas algebra

46 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Igualando los terminos del mismo grado, tenemos que

2a − b = 0

2b = 12

−a + b = 3

Ası, tenemos que b = 6 y a = 3. Por lo tanto h(x) = 3f(x) + 6g(x).

Ejercicios

1. Exprese las siguientes funciones como una combinacion lineal de f(x) =x2 − 3x + 1, g(x) = 3x2 − 5

a) h1(x) = −4x2 − 7x − 2,

b) h2(x) = −4x + 11,

c) h3(x) = 18x2 − 8x − 8,

d) h4(x) = −19x2 + 5x − 10.

2. Sean U y V dos subespacios del espacio vectorial W , tales que U ∩ V ≠ ∅.Demuestre que U ∩ V es un subespacio vectorial de W .

3. Demuestre que S = (1, 0), (0, 1) es un generador para R2.

3.4. Bases y Dimensiones

Los conceptos de independencia y dependencia lineal, ası como las de base ydimension, son tan importantes para cualquier espacio vectorial. Ası, desarrolla-remos la teorıa de estos conceptos, pero primero veamos la definicion de indepen-dencia lineal.

Definicion 3.22 (Linealmente independientes). Sea B = u1, . . . , un un con-junto de vectores del espacio vectorial V sobre R. Diremos que el conjunto B es li-nealmente independiente, si c1u1+⋯+cnun = 0, se tiene que c1 =⋯ = cn = 0 ∈ R.

Si el conjunto B de la Definicion 3.22 no es linealmente independiente, es decir,si existe ci ≠ 0, entonces diremos que el conjunto es linealmente dependiente.

Ejemplo 3.23. Consideremos las funciones descritas en el Ejemplo 3.20. Lascuales son f(x) = x2+1 y g(x) = 4x−3 ∈ C[0, 1]. Demostremos que son linealmenteindependiente.

Page 57: Notas algebra

3.4. BASES Y DIMENSIONES 47

Solucion de 3.23: Sea la funcion cero h(x) = 0. Sean a, b ∈ R. Entonces porla Definicion 3.22, tenemos af(x) + bg(x) = 0, entonces desarrollando tenemos(a)x2 + (4b)x + (a − 3b) = 0. A h(x) se puede ver como h(x) = 0x2 + 0x + 0, por loque obtenemos

a =0

4b =0

a − 3b =0

Por lo tanto a = b = 0. Ası el conjunto f(x) y g(x) es linealmenteindependiente.

Ejemplo 3.24. Sea B = a = (1, 0), b = (0, 1), c = (2, 3). Es claro que, si(0, 0) = α ⋅ a + β ⋅ b + γ ⋅ c entonces, α = −2, β = −3 y γ = 1. Por lo tanto B eslinealmente dependiente. (Ver el Ejercicio 4 de la seccion 1 de este capıtulo.)

Ejemplo 3.25. Si consideramos el conjunto Sf(x), g(x) de Ejemplo 3.20, po-demos ver que el conjunto 1, x, x2 genera a Sf(x), g(x) y ademas es lineal-mente independiente.

Otra forma de comprobar que un conjunto de vectores es linealmente indepen-diente, es mostrando que los vectores generados se escriben de manera unica. Locual formaliza el siguiente teorema.

Teorema 3.26. Sea S = v1, . . . , vn un conjunto de vectores de un espaciovectorial V sobre R. S es linealmente independiente si y solo si para cada vectoru ∈ V la representacion u = a1v1 +⋯ + anvn es unica.

Demostracion. ⇒) Sea S = v1, . . . , vn un conjunto linealmente independien-te. Supongamos que existen dos combinaciones lineales para un vector u ∈ V .Entonces tenemos que a1v1 + ⋯ + anvn = u = b1v1 + ⋯ + bnvn. Entonces 0 =(a1 − b1)v1 + ⋯ + (an − bn)vn, pero como S es linealmente independiente tenemosque ai − bi = 0 para toda i ∈ 1, . . . , n.

Por lo tanto ai = bi. Ası, solo existe una representacion para u.⇐) Supongamos que para un u ∈ V , u tiene dos combinaciones lineales distin-

tas, es decir, u = a1v1 +⋯+anvn = b1v1 +⋯+ bnvn; con ai ≠ bi y ai, bi ∈ R para todai ∈ 1, . . . , n. Por demostrar que S no es linealmente independiente.

Como v tiene dos combinaciones lineales, entonces 0 = u + (−u) = (a1 − b1)v1 +⋯ + (an − bn)vn, entonces 0 ≠ (ai − bi) para toda i ∈ 1, . . . , n porque ai ≠ bi, porlo que S no es linealmente independiente.

Page 58: Notas algebra

48 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Hemos dado ya las definiciones de generado por un conjunto de vectores y laindependencia lineal de los mismos. Para unir estas dos ideas veamos la siguientedefinicion.

Definicion 3.27 (Base para un espacio V ). Sea B un conjunto de vectores de unespacio vectorial V sobre R. Decimos que B es una base para V si todo elementode V se puede expresar de manera unica como una combinacion lineal de loselementos de B.

La definicion anterior, no nos ayuda para decidir si un conjunto B es o no unabase para un espacio vectorial V . Por ello necesitamos el siguiente teorema.

Teorema 3.28. Sea B un conjunto de vectores de V un espacio vectorial sobreR. El conjunto B es una base para V si y solo si B es linealmente independientey el espacio generado es V .

Demostracion. Sea V un espacio vectorial y sea B un subconjunto de V . Por laDefinicion 3.18 tenemos que B genera a V si y solo si cada elemento de V se puedeescribir como una combinacion lineal de los elementos de B. Por el Teorema 3.7,B es linealmente independiente en V si y solo si la representacion de cualquierelemento de V como combinacion lineal de B es unica. Por lo tanto, B es unabase para V si y solo si B es linealmente independiente que genera a V .

Ejemplo 3.29. Sea H = (2, 1), (1, 2) un conjunto de vectores de R2. Demostrarque H es una base para R2.

Solucion de 3.29:

1. Hay que mostrar que H es linealmente independiente.

Sean a1, a2 ∈ R. Por demostrar que a1 = a2 = 0. Entonces 0 = (0, 0) =a1(2, 1)+a2(1, 2), realizando las operaciones de suma y multiplicacion esca-lar tenemos, (0, 0) = (2a1+a2, a1+2a2); igualando entrada a entrada tenemosque:

0 =2a1 + a20 =a1 + 2a2

Despejando a a2 de la primer ecuacion

0 =a1 + 2(−2a1)0 =a1

Page 59: Notas algebra

3.4. BASES Y DIMENSIONES 49

Sustituyendo el valor de a1 en la segunda ecuacion

0 =a2

Por lo tanto H es linealmente independiente.

2. Ahora hay que mostrar que H genera a R2, es decir; para cualquier x ∈ R2,existen a1, a2 ∈ R tales que x = a1(2, 1) + a2(1, 2).Sea x = (x1, x2) en R2. Entonces (x1, x2) = a1(2, 1) + a2(1, 2), realizandolas operaciones de suma y multiplicacion escalar tenemos, (x1, x2) = (2a1 +a2, a1 + 2a2); igualando entrada a entrada tenemos que:

x1 =2a1 + a2x2 =a1 + 2a2

Despejando a a2 de la primer ecuacion

a2 =x1 + 2a1

Sustituyendo a a2 en la segunda ecuacion y realizando las operaciones tene-mos:

x2 =2x1 − 3a1

Despejando a a1 tenemos:

a1 =2x1 − x2

3

Por ultimo, sustituyendo a a1 en la ecuacion a2 = x1 + 2a1, tenemos:

a2 =2x2 − x1

3

Por lo tanto H es una base para R2.

Las demostraciones para el teorema y corolario se omitiran, pero se puedenconsultar en [Har04], o bien en [Fra02]. Y en el fondo tiene que ver con el numerode elementos de la base, ya que no todo conjunto con una infinidad de elementospuede ser una base.

Page 60: Notas algebra

50 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Teorema 3.30. Sea B = u1, . . . , up una base para un subespacio U de unespacio vectorial V . Entonces cada subconjunto de U que contiene mas de pelementos es linealmente dependiente.

Corolario 3.31. Sean B1 = u1, . . . , up y B2 = v1, . . . , vm dos bases paraun subespacio U de un espacio vectorial V . Entonces m = p.

La dimension de un espacio vectorial es muy importante porque nos dice cuan-tos vectores se necesitan para generar un espacio. Por ejemplo, si se considera elespacio en el que vivimos, podemos decir que tiene tres dimensiones, o bien, si seconsidera el tiempo, entonces tiene cuatro. Este espacio se puede considerar comoel clasico espacio R4.

Definicion 3.32 (Dimension de un espacio V ). El numero de elementos en unabase para un espacio vectorial V es la dimension de V (denotado por dim(V )).Ası, si la base B para V tiene un numero finito de elementos, diremos que Vtiene dimension finita. De lo contrario diremos que V tiene dimension infinita.

Ejemplo 3.33. Sea H = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) un conjunto de vectoresde R3. Demostrar que H es una base para R3 y obtener su dimension.

Solucion de 3.33: El estudiante debera probar que el conjunto H es una basepara R3. Ası, la dimension de R3 es 3 porque el conjunto H tiene 3 elementos.

Ejercicios

1. Demuestre que el conjunto B descrito en el Ejercicio 3.29 es linealmenteindependiente.

2. De una base para el conjunto S = h(x) ∈ C[0, 1] ∣h(x) = ax3 + bx2 + cx +d; a, b, c, d ∈ R. Hint: Observe el Ejemplo 3.29

3. ¿Se puede dar una base para C[0, 1]? Si es posible, ¿que dimension tiene?Si no es posible, ¿que puede concluir acerca de C[0, 1]?

4. Considere a V = R sobre Q. Demuestre que V es un espacio vectorial sobreQ con las operaciones usuales de los numeros reales. ¿Que dimension tieneV ?

5. Realice la demostracion del Ejemplo 3.33.

6. De una base para Rn, con n ∈ N. ¿Cual es la dimension de Rn? Hint: Observeel Ejemplo 3.33.

Page 61: Notas algebra

3.4. BASES Y DIMENSIONES 51

Aplicaciones hacia la Fısica

Cinematica: tiro parabolico

Ejemplo 3.34. Ya que la velocidad es un vector, se requiere conocer la velocidadinicial v0 si suponemos que el jugador tiene t segundos para encestar, ¿cual es lanueva velocidad a la que debe lanzar el balon a un angulo de θ? Expresa a v0 enterminos de a, l h y el angulo inicial θ Se pantea la velocidad con componentes

Figura 3.1: Basquetbolista a punto de encestar.

v = (vx, vy) y sabemos que ∣v∣ =√v2x + v2y, con θ = tan(vy

vx).

Las ecuaciones de movimiento de la cinematica son:

y = y0 + v0yt +ayt2

2(3.1)

x = v0xt (3.2)

v0x = v0 cos(θ) (3.3)

v0y = v0 sin(θ) (3.4)

v2y − v20y =2aysy (3.5)

vy − v0y =ayt (3.6)

donde ay es la aceleracion en y, en este caso es la aceleracion de la gravedad g yva dirigida hacia abajo, y ax = 0 porque no hay gravedad “horizontal”; sy = y − y0es el desplazamiento en y.

De la figura 3.1, debemos calcular el tiempo que tarda en llegar a la distanciahorizontal l, sabiendo que la componente horizontal de la velocidad no cambia

Page 62: Notas algebra

52 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

porque no hay gravedad en esa direccion:

vx = v0x = v0 cos(θ) = lt

Ası que:

v0 =l

t cos(θ) (3.7)

En la referencia [RR95] se explica la forma de encontrar tanto el angulo comola velocidad inicial a partir del angulo que forma la lınea recta que une el balonen la mano del basquetbolista y la canasta con la horizontal.

Ejercicio:

1. La distancia de 3 puntos es de 6.7m, la altura de la canasta es de 3m. Si eljugador lanza el balon a una altura de 1.9m del suelo, ¿cual es la velocidadque debe imprimir el jugador para encestar 3 puntos, ya que su equipopierde 28-30 y quedan 3s para que termine el partido? considera el angulode maximo desplazamiento.

Electrostatica

Ejemplo 3.35. Se tienen 3 cargas q, −q y 2q puestas en los vertices de un trianguloequilatero. Calcula elcampo electrico en el centro del triangulo y la fuerza sobrela carga q. Usando la Ley de Coulomb, la fuerza que siente una carga qi debido a

Figura 3.2: Sistema de 3 cargas electricas puntuales.

otra carga q2 esta dada por la formula:

F =Kq1q2r2

r (3.8)

donde r es un vector unitario en la direccion de la lınea recta que une a las cargas.

Page 63: Notas algebra

3.4. BASES Y DIMENSIONES 53

El campo electrico E debido a una carga puntual q esta dado por la formula:

E =K q

r2r (3.9)

Ası que para calcular la fuerza que siente q debido a −q y a 2q es la suma de lasfuerzas individuales: primero calculamos la fuerza que siente q debido a −q, paraeso requerimos el vector unitario.

La distancia que hay entre q y −q es l, y esta sobre el eje x, ası que el vectorunitario es i, como estas dos cargas tienen signos contrarios, entonces se atraen,por lo que el vector fuerza Fq,−q en q esta dirigido hacia −q, por lo tanto es positiva:i = (1,0)

Fq,2q =Kq2

l2(1,0) (3.10)

Recordando que el signo es mera convencion para saber si las cargas se atraen ose repelen. La distancia que hay entre q y 2q es l, pero esta vez tiene una direccion

Figura 3.3: Sistema de 3 cargas electricas puntuales.

diferente, tiene componenetes en x y en y, ya que esa lınea forma un angulo de60° con la horizontal, las componentes del vector fuerza seran:

Fq,2q =K2q2

l2(− cos(60°),− sin(60°)) (3.11)

Ası que la fuerta neta que siente q es F = Fq,2q + Fq,−q y esta dada como:

F = (Kq2

l2−K 2q2

l2cos(60°),0 −K 2q2

l2sen(60°))

Finalmente:

F =Kq2

l2(1 − 2 cos(60°),−2 sen(60°))

Para calcular el campo electrico total se debe calcular el campo de cada carga enese punto como vector y despues sumar vectorialmente. Primeramente se deter-

Page 64: Notas algebra

54 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Figura 3.4: Sistema de 3 cargas electricas puntuales.

mina el centro del triangulo. Como ahora nos interesa el triangulo que se formaal cortar el angulo de 60° en dos partes iguales, el cateto adyascente sera l/2, y elcateto opuesto le llamaremos b y a la hipotenusa, que en realidad es la distanciaentre las cargas y el punto de interes sera d. Ası:

cos(30°) = l/2d⇒ d = l

2 cos(30°)

Por otro lado,

sin(30°) = bd⇒ b = d sin(30°) = l sin(30°)

2 cos(30°) = l

2tan(30°)

Por lo tanto, el centro tiene coordenadas:

c(xc, yc) = ( l2,l tan(30°)

2) (3.12)

Ası que otra forma de ver la distancia de cualquiera de las cargas al centro es:

d = l

2

√1 + tan(30°) (3.13)

La magnitud del vector unitario en esa direccion es 1, ası que rq = c(xc, yc)/d.Usamos la expresion (3.9) para calcular el campo debido a cada carga:

Eq =Kq

d2⋅ l2⋅ 1

d(1, tan(30°)).

El vector unitario para −q sera r−q = c(xc,−yc)/d.Ası que el campo de esa carga es:

E−q =Kql

2d3(1, − tan(30°)).

Page 65: Notas algebra

3.4. BASES Y DIMENSIONES 55

Por ultimo, para el campo debido a la carga 2q tenemos:

E−q =K2ql

2d3(0, −1).

Ası que, sumando componente a componente, se tiene que

Etot = Eq + E−q + E2q

= (K ql

2d3+K ql

2d3+ 0, K

ql

d3tan(30°) −K ql

2d3tan(30°) −K ql

d3)

=K ql

d3(1, −1).

Ası que el campo resultante tiene magnitud

∣E∣ =K ql

d3

y direccion θ = −45°.

Page 66: Notas algebra

56 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

Page 67: Notas algebra

Capıtulo 4

Matrices

Los arreglos rectangulares de numeros reales (tambien llamado conjuntos devectores de Rn) son utiles en muchas areas tanto de la fısica como en las ma-tematicas, por ejemplo, para el calculo de cambio de bases entre vectores; o bien,para funciones entre espacios vectoriales.

4.1. Definicion y operaciones

Definicion 4.1 (Matriz y sus elementos). Sean aij ∈ R con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤m,donde n, m ∈ N. Diremos que los aij son los elementos de una matriz A, y ası unamatriz es un arreglo rectangular denotada con A = (aij). El numero n nos dicecuantos renglones y m cuantas columnas tiene la matriz A. El conjunto de todaslas matrices con elementos en R y de n renglones y m columnas es denotado porMn×m(R).

Ejemplo 4.2. Los siguientes arreglos son ejemplos de matrices.

1. A =⎛⎜⎝

1 23 0−1 4

⎞⎟⎠

,

2. B = (2 1 0 −3),

3. C =⎛⎜⎝

−√

2 π e3 1

2 00 0 0

⎞⎟⎠

,

4. D = (13).

Como podemos ver, cada matriz tiene distinto tamano. La matriz A ∈M3×2(R),B ∈M1×4(R) y ası sucesivamente para las otras dos matrices.

Observacion 4.3. Ya que una matriz puede tener cualquier numero de renglonesy columnas, entonces los numeros reales se pueden denotar en forma de matrizcomo (a) ∈M1×1(R).

57

Page 68: Notas algebra

58 CAPITULO 4. MATRICES

Definicion 4.4 (Igualdad de matrices). Sean A y B dos matrices. Diremos queA y B son iguales (denotado por A = B) si y solo si tiene el mismo tamano yaij = bij para cada i y j.

Ejemplo 4.5. Sean las matrices A = (2 13 4

) y B = (2 1 03 4 0

).

Tenemos que la matriz A ≠ B ya que no tienen el mismo tamano, es decir, notienen el mismo numero de renglones y columnas.

Definicion 4.6 (Suma de matrices). Sean A y B matrices en Mn×m(R). Lasuma de A con B (denotado por A +B) es la matriz que se obtiene al sumar loselementos correspondientes de las matrices. La operacion suma se puede ver comouna funcion definida de la siguiente forma

+ ∶Mn×m(R) ×Mn×m →Mn×m(R)

con la regla de correspondencia

+(A,B) = ([aij + bij]).

Nota: No se pueden sumar matrices con diferentes tamanos.

Ejemplo 4.7. Sean A =⎛⎜⎝

2 1 0 3−1 0 2 44 −2 7 0

⎞⎟⎠

y B =⎛⎜⎝

−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5

⎞⎟⎠

, entonces la

suma es C = A +B =⎛⎜⎝

−2 4 5 41 2 2 37 0 3 5

⎞⎟⎠

.

Definicion 4.8 (Multiplicacion escalar). Sea A ∈Mn×m(R) y α ∈ R. La multi-plicacion escalar de A con α (denotado por αA) es la matriz que se obtiene almultiplicar cada elemento de A por α. Al igual que la suma, podemos definir lamultiplicacion escalar como una funcion de la siguiente forma

⋅ ∶ R ×Mn×m(R)→Mn×m(R)

con la regla de correspondencia

⋅(α,A) = (αaij).

Ejemplo 4.9. Sea A =⎛⎜⎝

4 21 3−1 0

⎞⎟⎠

, entonces 2A =⎛⎜⎝

8 42 6−2 0

⎞⎟⎠

y (−1)A =⎛⎜⎝

−4 −2−1 −31 0

⎞⎟⎠

.

Page 69: Notas algebra

4.1. DEFINICION Y OPERACIONES 59

Observacion 4.10. Si B es una matriz, −B denotara a la multiplicacion escalar(−1)B. Si A y B son dos matrices, entonces A−B se define como la suma A+(−B) =A + (−1)B.

Antes de dar una definicion para la multiplicacion de dos matrices, debemosdar una pequena definicion la cual involucra a los elementos del producto carte-siano, tambien llamados vectores del espacio vectorial Rn.

Definicion 4.11 (Producto punto). Sean a = (a1, . . . , an) y b = (b1, . . . , bn)dos vectores de Rn. Diremos que el producto punto de a con b (denotado por a ⋅b)es el numero real que se obtiene de sumar todos los productos de cada entradacorrespondiente; es decir, es la funcion definida de la siguiente manera

⋅ ∶ Rn ×Rn → R

con la regla de correspondencia

⋅(a, b) =n

∑i=1aibi.

Una vez definido el producto punto, ya podemos definir la multiplicacion dematrices.

Definicion 4.12 (Multiplicacion de matrices). Sean A ∈ Mn×r(R) y B ∈Mr×m(R). La multiplicacion de A con B (denotado por AB) es la matriz enMn×m(R) cuyos elementos cij son el resultado del producto punto del i-esimorenglon de A con la j-esima columna de B, es decir, es la funcion

⋅ ∶Mn×r(R) ×Mr×m(R)→Mn×m(R)

con la regla de correspondencia

⋅(A, B) = (r

∑k=1aikbkj)

para cada i = 1, . . . , n y j = 1, . . . , m.

Ejemplo 4.13. Sea A = (1 2 42 6 0

) y B =⎛⎜⎝

4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2

⎞⎟⎠

.

Si tomamos el segundo renglon de A y la tercer columna de B tenemos que elelemento c23 = (2 ⋅ 4) + (6 ⋅ 3) + (0 ⋅ 5) = 26.

Entonces el producto AB = (12 27 30 138 −4 26 12

).

Page 70: Notas algebra

60 CAPITULO 4. MATRICES

Observacion 4.14. La multiplicacion de matrices no siempre es conmutativa, esdecir; AB ≠ BA. Es facil ver que no se cumple la conmutatividad y el estudiantepodra hacer una demostracion con dos matrices de M2×2(R) cualesquiera.

Teorema 4.15. Sean A, B y C matrices y sean a, b ∈ R. Supongamos quelas matrices tiene los tamanos adecuados para efectuar las operaciones. Entoncestenemos las siguientes igualdades:

1. A +B =B +A,

2. A + (B +C) = (A +B) +C,

3. A(BC) = (AB)C,

4. A(B +C) =AB +AC,

5. (B +C)A =BA +CA,

6. a(B +C) = aB + aC,

7. (a + b)C = aC + bC,

8. (ab)C = a(bC),

9. a(BC) = (aB)C =B(aC).

La demostracion de este teorema se deja como un ejercicio para el estudiante.Solo debe ocupar las definiciones que hemos dado antes. Puede comenzar con unamatriz de 2 × 2, pero se debe hacer la demostracion para cualquier tamano de lasmatrices.

Con todas estas definiciones se puede ver a las matrices como un espaciovectorial sobre los numeros reales, y el estudiante debe verificar esta afirmacion.

Ejercicios

1. Sea A, B ∈ M2×2(R). ¿Como deben ser las matrices A y B para que AB =BA? Hint: Utilice la Definicion 4.4 y vea como deben ser los elementos delas matrices.

2. Demuestre el Teorema 4.15.

4.2. La matriz transpuesta

Siguiendo con nuestro estudio de las matrices, tenemos una operacion (funcion)que transforma una matriz de tamano n ×m en una de m × n. Ası, esta funcion(la transpuesta) vincula a dos espacios vectoriales.

Definicion 4.16 (La transpuesta de A). Sea (aij) = A ∈Mn×m(R). La matriztranspuesta de A (denotada por At) es la matriz que se obtiene de cambiar el i-esimo renglon por la i-esima columna, o bien, cambiar a la j-esima columna por

Page 71: Notas algebra

4.3. MATRICES ESPECIALES 61

el j-esimo renglon, ası At ∈Mm×n(R). Se puede ver a la operacion transpuestacomo

t ∶Mn×m(R)→Mm×n(R)con la regla de correspondencia

t(A) = t((aij)) = (aji).

Ejemplo 4.17. Sea A =⎛⎜⎝

1 22 51 0

⎞⎟⎠

. Entonces At = (1 2 12 5 0

).

Teorema 4.18. Suponiendo que los tamanos de las matrices A y B son losadecuados para poder ejecutar las operaciones y α ∈ R, tenemos:

1. (At)t =A,

2. (A +B)t =At +Bt,

3. (αA)t = αAt,

4. (AB)t =BtAt.

Ejemplo 4.19. Sean A = (3 41 −3

) y sea α = 4. Entonces αAt = ( 9 312 −9

) y

(αA)t = ((9 123 −9

))t = ( 9 312 −9

). Entonces, podemos decir que el inciso del teorema

anterior es valido para una matriz de 2 × 2.

Ejercicios

1. Demuestre el Teorema 4.18. Hint: Utilice la Definicion 4.16.

4.3. Matrices especiales

Ahora veamos unas matrices, las cuales se pueden comparar con los vectoresidentidad y nulo de Rn con las operaciones previamente dadas.

Definicion 4.20 (Matriz cuadrada). Sea A ∈Mn×n(R) un matriz. Diremos queA es cuadrada de orden n, o simplemente de orden n.

Ejemplo 4.21. Las siguientes matrices son cuadradas de orden 2 y 3, respecti-vamente.

Page 72: Notas algebra

62 CAPITULO 4. MATRICES

1. A = (1 23 4

),2. B =

⎛⎜⎝

1 2 34 5 67 8 9

⎞⎟⎠

.

Definicion 4.22 (Matriz identidad). Sea A ∈Mn×n(R) una matriz cuadrada deorden n. Diremos que A es la matriz identidad de orden n (denotada por In) sicumple que aij = 1 con i = j y aij = 0 con i ≠ j.

Ejemplo 4.23. Las siguientes matrices son identidad de orden 2 y 3, respectiva-mente.

1. I2 = (1 00 1

),2. I3 =

⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

.

Teorema 4.24. Sea A ∈Mn×m(R). Entonces InA =A y AIm =A, donde In yIm son las matrices identidad de orden n y m, respectivamente.

Demostracion. La demostracion de este teorema no es difıcil, solo se debe usarlas definiciones 4.12 y 4.22, ası que el estudiante debe ser capaz de realizarla.

Definicion 4.25 (Matriz cero). La matriz cuyos elementos son todos iguales acero se llama matriz cero. Denotaremos a dicha matriz como 0n×m para denotara la matriz cero con n renglones y m columnas.

Si 0n×m y A ∈Mn×m(R) son matrices, es facil ver que A+0n×m = A. Por lo tanto,en esta ecuacion, la matriz 0n×m se comporta exactamente igual que el numero 0que en la ecuacion a + 0 = a de los numeros reales.

Como ya se sabe que algunas propiedades de los numeros reales no son vali-das para las matrices, serıa malo suponer que cualquier matriz cero hereda laspropiedades del numero real cero. Como por ejemplo

1. Si ab = ac y a ≠ 0, entonces b = c. (A este resultado se le conoce como la leyde la cancelacion para la multiplicacion.)

2. Si ad = 0, entonces a = 0 o bien d = 0.

Como veremos en el siguiente ejemplo, los anteriores resultados para los numerosreales no siempre son verdaderos para las matrices.

Ejemplo 4.26. Sean las matrices A = (0 10 2

), B = (1 13 4

), C = (2 53 4

) y D =

(3 70 0

).

Page 73: Notas algebra

4.3. MATRICES ESPECIALES 63

En este caso, AB = AC = (3 46 8

).

No obstante tenemos que A ≠ 02×2, ası que es incorrecto cancelar a A enambos lados de la ecuacion y escribir B = C. Por lo tanto la ley de cancelacion noes valida, en general para las matrices.

Ademas AD = 02×2, pero A ≠ 02×2 y D ≠ 02×2, por lo que el resultado 2 no esvalido para las matrices.

Teorema 4.27. Sea A una matriz cualquiera y 0 la matriz cero. Suponiendo lostamanos son tales que las operaciones indicadas se pueden efectuar, tenemos

1. A + 0 = 0 +A =A,

2. A −A = 0,

3. 0 −A = −A,

4. A0 = 0; 0A = 0.

Demostracion. La demostracion se queda como ejercicio para el estudiante, y solodebe usar las definiciones adecuadas, procediendo por igualdades.

Definicion 4.28 (Diagonal principal). Sea A una matriz cuadrada de orden n.Diremos que los elementos, a11, . . . , ann estan en la diagonal principal de A.

Definicion 4.29. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que los ele-mentos aij con i > j estan debajo de la diagonal principal. Y los elementos aijcon i < j diremos que estan arriba de la diagonal.

Definicion 4.30 (Matriz diagonal). Sea A una matriz cuadrada de orden n.Diremos que A es diagonal si todos sus elementos que no estan en la diagonalprincipal son iguales a cero.

Ejemplo 4.31. Las siguientes matrices son diagonales.

1. A = (1 00 1

),2. B =

⎛⎜⎝

1 0 00 −3 00 0 2

⎞⎟⎠

, 3. C =⎛⎜⎝

0 0 00 1 20 0 2

⎞⎟⎠

.

Definicion 4.32 (Matriz triangular). Sea A una matriz cuadrada de orden n.Diremos que A es una matriz triangular si todos los elementos debajo (o arriba)de la diagonal son cero.

Ejemplo 4.33. Las siguientes matrices son ejemplos de matrices triangulares.

Page 74: Notas algebra

64 CAPITULO 4. MATRICES

1. A = (1 10 1

), 2. B = (−1 0−3 2

),3. C =

⎛⎜⎝

1 0 02 0 01 5 3

⎞⎟⎠

.

Definicion 4.34 (Matriz simetrica y antisimetrica). Sea A una matriz cuadradade orden n. Diremos que A es simetrica si A =At. Y si A = −At diremos que esantisimetrica.

Ejemplo 4.35. Sea B una matriz de orden n. Demuestre que BBt es simetrica.

Solucion de 4.35: La demostracion se hara mediante las propiedades de la funciontranspuesta. Sea B una matriz de orden n. Por demostrar que BBt = (BBt)t.

(BBt)t = (Bt)tBt por el inciso 4 del Teorema 4.18.

= BBt por el inciso 1 del Teorema 4.18.

Por lo tanto BBt es simetrica.

Definicion 4.36 (Submatriz). Sea A ∈Mn×m(R). Diremos que B es una subma-triz de A, si B se obtiene de suprimir cualquier numero de renglones y columnasde la matriz A.

Ejemplo 4.37. Sea A =⎛⎜⎝

1 2 3 45 4 3 23 1 3 1

⎞⎟⎠

, entonces la submatriz B que resulta de

eliminar el primer renglon y la primer y tercer columnas es B = (4 21 1

).

Ejercicios

1. Demuestre el Teorema 4.24.

2. Demuestre el Teorema 4.27.

3. Demuestre que, si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que AB =BA, entonces (A +B)2 = A2 + 2AB +B2.

4. Sea A una matriz de orden n. Demuestre que B + Bt es simetrica y queB −Bt es antisimetrica.

Page 75: Notas algebra

4.4. OPERACIONES ELEMENTALES 65

4.4. Operaciones elementales

Las operaciones que se realizan a los renglones de una matriz son muy utilespara el calculo de la matriz inversa o para obtener una matriz equivalente (locual se vera en las futuras secciones). Pero para ello necesitamos primero lasdefiniciones correctas y ver unos ejemplos.

Definicion 4.38 (Operaciones elementales). Sea A ∈Mn×m(R) una matriz. Lasoperaciones elementales por renglones en la matriz A son:

1. Intercambiar los renglones i-esimo y j-esimo de A, y lo denotamos por Pij.

2. Multiplicar el i-esimo renglon de A por α ∈ R con α ≠ 0, denotado porMi(α).

3. Sumar α veces el i-esimo renglon al j-esimo de A, denotado por Aij(α).

Ejemplo 4.39. Sea A =⎛⎜⎝

1 2 34 5 67 8 9

⎞⎟⎠

. Aplicando solo operaciones elementales, ob-

tenga una matriz triangular.

Solucion de 4.39: Partiendo de la matriz original A y aplicando las operaciones

elementales necesarias tenemos, A =⎛⎜⎝

1 2 34 5 67 8 9

⎞⎟⎠

A12(−4)ÐÐÐÐ→ A′ =

⎛⎜⎝

1 2 30 −3 −67 8 9

⎞⎟⎠

A13(−7)ÐÐÐÐ→

A′′ =

⎛⎜⎝

1 2 30 −3 −60 −6 −12

⎞⎟⎠

A23(−2)ÐÐÐÐ→ A′′′ =

⎛⎜⎝

1 2 30 −3 −60 0 0

⎞⎟⎠

. Por lo tanto la matriz A′′′

es la

matriz triangular buscada.

Ejercicios

1. Encuentre una matriz diagonal partiendo de A =⎛⎜⎝

1 2 32 5 31 0 8

⎞⎟⎠

.

2. Encuentre una matriz triangular partiendo de A =⎛⎜⎝

1 6 42 4 −1−1 2 5

⎞⎟⎠

.

Page 76: Notas algebra

66 CAPITULO 4. MATRICES

4.5. Matrices equivalentes

En muchas ocasiones, trabajar con una matriz resulta difıcil, por ejemplo, siesta tiene a todos sus elementos distintos de cero, para simplificar el trabajo sebusca una matriz que sea manejable. La equivalencia de matrices se puede pensarcomo la igualdad entre dos matrices, salvo que una de ellas tendrıa que ser masmanejable que otra.

Definicion 4.40 (Matrices equivalentes). Sean A y B matrices en Mn×m(R).Diremos que A y B son equivalentes (denotado por A ∼ B) si se puede obteneruna partiendo de la otra mediante un numero finito de operaciones elementales.

Ejemplo 4.41. En la Solucion de 4.39 tenemos que A ∼ A′ ∼ A′′ ∼ A′′′

.Tambien las dos matrices siguientes son equivalentes, pues la segunda se ob-

tiene de la primera sumando el tercer renglon al segundo.

⎛⎜⎝

1 3 2 40 1 2 32 1 3 4

⎞⎟⎠∼⎛⎜⎝

1 3 2 40 1 2 32 2 5 7

⎞⎟⎠.

Ejercicios

1. Encuentre una matriz equivalente tal que tenga ceros en la primer columna,partiendo del segundo renglon, es decir, el unico elemento distinto de cerode la primer columna es a11; para cada una de las siguientes matrices:

a) A = (1 0 1 03 1 3 1

).

b) B = (−1 2 32 1 3

).

c) C =⎛⎜⎝

1 0 1 03 1 3 12 2 2 2

⎞⎟⎠

.

d) D =⎛⎜⎜⎜⎝

1 2 32 3 43 4 54 5 6

⎞⎟⎟⎟⎠

.

4.6. Forma escalonada reducida

Definicion 4.42 (Matriz escalonada reducida). Sea A ∈Mn×m(R). Diremos queA esta en su forma escalonada reducida si cumple las siguientes condiciones:

Page 77: Notas algebra

4.6. FORMA ESCALONADA REDUCIDA 67

1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen enla parte inferior de A.

2. El primer numero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cual-quier renglon cuyos elementos no son todos cero es 1.

3. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces elprimer 1 en el renglon de abajo esta mas hacia la derecha que el primer 1en el renglon de arriba.

4. Cualquier columna que contiene el primer 1 de un renglon, tiene ceros enel resto de sus elementos. El primer numero diferente de cero en un renglon(si lo hay) se llama pivote para ese renglon.

Ejemplo 4.43. Las siguientes matrices estan en la forma escalonada reducida.

1. A =⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

,

2. B =⎛⎜⎝

1 0 0 00 1 0 00 0 0 1

⎞⎟⎠

,

3. C = (1 0 0 50 0 1 2

),

4. D =⎛⎜⎝

1 0 2 50 1 3 40 0 0 0

⎞⎟⎠

.

Definicion 4.44 (Matriz escalonada). Sea A ∈Mn×m(R). Diremos que A esta ensu forma escalonada si se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 de la Definicion 4.42.

Ejemplo 4.45. Las siguientes matrices estan en su forma escalonada.

1. A =⎛⎜⎝

1 2 30 1 50 0 1

⎞⎟⎠

,

2. B =⎛⎜⎝

1 −1 6 40 1 2 −80 0 0 1

⎞⎟⎠

,

3. C = (1 0 2 50 0 1 2

),

4. D =⎛⎜⎝

1 3 2 50 1 3 60 0 0 0

⎞⎟⎠

.

Ejemplo 4.46. Describir de manera explıcita todas las matrices escalonadas re-ducidas de M1×2(R).

Solucion de 4.46: Sea α ∈ R. Aplicando la Definicion 4.42 deducimos que todaslas matrices tienen una de estas tres formas:

Page 78: Notas algebra

68 CAPITULO 4. MATRICES

1. (1 α), 2. (0 1), 3. (0 0).

Ejercicios

1. Describa de manera explıcita todas las matrices escalonadas reducidas deM2×2(R). Hint: hay cuatro formas que describen a las matrices escalonadasreducidas.

4.7. Rango de una matriz

El rango de una matriz, en el fondo es la dimension del espacio generado porlos renglones de la matriz, ya que los renglones los podemos ver como los vectoresde Rm. Ya hemos definido las operaciones suma y multiplicacion escalar para R2

en el Ejercicio 4, de la seccion 1 del Capıtulo 3 , que en esta seccion se utilizara.Pero se definiran nuevamente.

Definicion 4.47 (Suma, multiplicacion escalar e igualdad de R2). Sea a = (a1, a2)y b = (b1, b2) dos vectores en R2; y sea α ∈ R. La suma de a+b es (a1+b1, a2+b2)y la multiplicacion escalar de αa es (αa1, αa2). Y decimos que a es igual a b

(denotado por a = b) si y solo si a1 = b1 y a2 = b2.

La definicion anterior se puede extender para el espacio vectorial Rn, ası queno se tiene que definir la suma o multiplicacion escalar para cada n ∈ N.

Definicion 4.48 (Rango de una matriz). Sea A ∈ Mn×m(R). Diremos que elrango de A (denotado mediante r(A)) es el numero de maximo de rengloneslinealmente independientes.

Ejemplo 4.49. Sea A = (2 1 00 1 1

). Entonces el r(A) = 2, ya que si tomamos una

combinacion lineal de los renglones y es igualada al vector 0 = (0, 0, 0), tenemos:

α1(2, 1, 0) + α2(0, 1, 1) = (0, 0, 0) Definicion 3.22.

= (2α1, α1, 0) + (0, α2, α2)= (2α1, α1 + α2, α2) Definicion 4.47.

Page 79: Notas algebra

4.7. RANGO DE UNA MATRIZ 69

Por lo tanto tenemos

0 = 2α1

0 = α1 + α2

0 = α2 Definicion 4.47.

Lo que nos lleva a que α1 = 0 = α2. Por lo tanto el rango de la matriz A es 2.

Obtener el rango de una matriz suele ser algo complicado, ya que si la ma-triz es bastante grande, se complica determinar el numero maximo de rengloneslinealmente independientes. Ası, para simplificar el calculo del rango, tenemos lossiguientes teoremas.

Teorema 4.50 (El rango y las operaciones elementales). Las operaciones elemen-tales no alteran el rango de un matriz.

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del teorema anterior.

Corolario 4.51 (El rango de matrices equivalentes). Sean A y A′ matrices enMn×m(R) tales que A ∼A′. Entonces r(A) = r(A′).

Observacion 4.52. Debido al Corolario 4.51 concluimos que el rango de unamatriz A es el numero de renglones distintos de cero de la matriz escalonadareducida de A.

Ejemplo 4.53. De la Solucion de 4.39 tenemos que el r(A) = 2 = r(A′′′). Es facilverificar que los renglones 1 y 2 de A son linealmente independientes y que losrenglones 1, 2 y 3 de A no lo son.

Las demostraciones de los teoremas o corolarios fueron omitidas, pero se pue-den consultar en [Fra02]; o bien, en [How84].

Ejercicios

1. Encuentre el rango de las siguientes matrices:

a) A =⎛⎜⎜⎜⎝

1 −1 2 02 −1 −3 10 1 −1 11 2 1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

,b) B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 −1 −1 02 −1 1 03 −2 1 −11 1 5 02 1 7 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Page 80: Notas algebra

70 CAPITULO 4. MATRICES

4.8. Matrices elementales

En secciones previas se definieron las operaciones elementales, estas nos lle-varan a otro tipo de matrices, las cuales seran definidas a continuacion.

Definicion 4.54 (Matriz elemental). Sea A una matriz cuadrada de orden n. Di-remos que A es elemental si es posible obtenerla a partir de la matriz In medianteuna sola operacion elemental.

Ejemplo 4.55. Las siguientes matrices son elementales.

1. (1 00 −3

), la cual se obtuvo por aplicar M2(−3) a la matriz I2.

2.

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

, la cual se obtuvo por aplicar P24 a la matriz I4.

3.⎛⎜⎝

1 0 30 1 00 0 1

⎞⎟⎠

, la cual es de aplicar A31(3) a la matriz I3.

Teorema 4.56. Sea A ∈ Mn×m(R) y sea B que resulta de aplicar una solaoperacion en los renglones de A. Si E es la matriz elemental que se obtiene alejecutar la misma operacion en los renglones de In, entonces B =EA.

Se omitira la demostracion del teorema, pero la idea de la demostracion estener tres casos, es decir, uno por cada operacion elemental. Suponiendo que B seobtuvo a partir de A aplicando una operacion elemental, aplicar las definicionesde igualdad y de multiplicacion de matrices.

Ejemplo 4.57. Sea la matriz A =⎛⎜⎝

1 0 2 32 −1 3 61 4 4 0

⎞⎟⎠

y aplicamos la operacion A13(3),

obtenemos la matriz B =⎛⎜⎝

1 0 2 32 −1 3 64 4 10 9

⎞⎟⎠

. Por otro lado tenemos que la matriz

elemental correspondiente a la operacion que aplicamos a A es E =⎛⎜⎝

1 0 00 1 03 0 1

⎞⎟⎠

. Con

esto tenemos que EA = B (el estudiante debe hacer los calculos para comprobarla igualdad).

Page 81: Notas algebra

4.9. MATRICES INVERTIBLES 71

Ejercicios

1. Sea A =⎛⎜⎝

4 3 14 8 91 2 1

⎞⎟⎠

, expresar a A como:

a) E2(E1B), b) E3(E2(E1B)), c) E4(E3(E2(E1B))).

(donde Ei son matrices elementales, B es una matriz que el estudiante elijapero que sea equivalente con A, ademas B; en el inciso c); debera ser unamatriz triangular superior).

4.9. Matrices invertibles

Ası como en las funciones, el concepto de invertible esta presente en las matri-ces, y en esta seccion se desarrollara la teorıa respecto a este concepto. Ademasen los cursos de Algebra Lineal, las funciones y las matrices seran relacionadas.

Otra forma de resolver el Ejemplo 4.26, es ver que la matriz A no es invertible,y al final de la seccion el alumno observara la facilidad del ejemplo mencionado.

Definicion 4.58 (Matriz invertible). Sea A una matriz cuadrada de orden n.Diremos que A es invertible si existe una matriz B de orden n tal que AB =BA = In. A la matriz B se le llama la inversa de A.

Ejemplo 4.59. La matriz B = (3 51 2

) es la inversa de A = ( 2 −5−1 3

) ya que:

AB = ( 2 −5−1 3

)(3 51 2

) = (1 00 1

) = I2

y ademas

BA = (3 51 2

)( 2 −5−1 3

) = (1 00 1

) = I2.

Ejemplo 4.60. Sea A = (a bc d

) una matriz de orden 2. Si ad − bc ≠ 0 y B =

1

ad − bc (d −b−c a

) una matriz de orden 2, entonces AB = BA = I2. Por lo tanto, la

matriz B es una formula para calcular la inversa de A.

Page 82: Notas algebra

72 CAPITULO 4. MATRICES

Teorema 4.61 (Unicidad de la matriz inversa). Si B y C son inversas de lamatriz A de orden n, entonces B =C.

Demostracion. Sea A una matriz de orden n invertible. Supongamos que B es talque AB = BA = In y que C es tal que AC = CA = In. Por demostrar que B = C.

Multiplicando por C a BA = In tenemos que (BA)C = InC = C pero (BA)C =B(AC) = BIn = B. Por lo tanto B = C. Es analogo si se multiplica por C aAB = In.

Como consecuencia del teorema anterior, denotaremos a la matriz inversa deA como A−1.

Teorema 4.62. Sean A y B matrices cuadradas de orden n invertibles, entonces

1. AB es invertible, 2. (AB)−1 =B−1A−1.

Demostracion. Sean A y B matrices cuadradas de orden n invertibles. Si podemosmostrar que (AB)(B−1A−1) = (B−1A−1)(AB) = In, entonces habremos demostra-do que AB es invertible.

Entonces sean A−1 y B−1 las matrices inversas, entonces

In = AA−1 porque A es invertible.

= AInA−1 Teorema 4.24.

= A(BB−1)A−1 porque B es invertible.

= (AB)(B−1A−1) Teorema 4.15.

En forma analoga tenemos que (B−1A−1)(AB) = In.

Ejemplo 4.63. Sean A = (1 21 3

), B = (3 22 2

) y AB = (7 69 8

). Aplicando la

formula que se obtuvo en el Ejemplo 4.60, obtenemos A−1 = ( 3 −2−1 1

), B−1 =

( 1 −1−1 3

2

) y (AB)−1 = ( 4 −3−9

272

). Ademas B−1A−1 = ( 4 −3−9

272

).

Ası como existe la potencia de numeros reales, la hay en las matrices. Es muyutil cuando se necesita obtener la inversa de una matriz que es la multiplicacionde ella misma.

Definicion 4.64 (Potencias en matrices). Sea A una matriz cuadrada de ordenn y s ∈ N. Definimos As = AA⋯A´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

s−factores. Tambien, si A es invertible, A−s = (A−1)s =

A−1A−1⋯A−1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶s−factores

. Ademas A0 = In.

Page 83: Notas algebra

4.9. MATRICES INVERTIBLES 73

Teorema 4.65. Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces

1. Para todo k ∈ R con k ≠ 0, kA es invertible y (kA)−1 =1

kA−1.

2. A−1 es invertible y (A−1)−1 =A.

3. As es invertible y (As)−1 = (A−1)s para s ∈ N.

Demostracion. Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible. Tomando la ideadel Teorema 4.62 para demostrar cada inciso tenemos

1. Sea 0 ≠ k ∈ R.

(kA) (1

kA−1) = 1

k(kA)A−1

= (1

kk)AA−1 Teorema 4.15.

= In porque A es invertible.

En forma similar, (1

kA−1) (kA) = In.

2. Como AA−1 = A−1A = In, se sigue que A−1 es invertible y ademas (A−1)−1 =A.

3. Se hara por induccion sobre s ∈ N.

a) Por demostrar que A0 es invertible. Por definicion A0 = In, In es inver-tible porque InIn = In, por lo que I−1n = In.

b) Supongamos que se cumple para s, es decir, As es invertible y (As)−1 =(A−1)s.

c) Por demostrar que se cumple para s + 1, es decir, As+1 es invertible y(As+1)−1 = (A−1)s+1. Como A y As son invertibles, por el Teorema 4.62tenemos que AAs = As+1 es invertible y ademas

(As+1)−1 = (AAs)−1

= (As)−1A−1

= (A−1)sA−1 Hip. Ind.

= (A−1)s+1 Definicion 4.64.

Con esto se termina la demostracion.

Page 84: Notas algebra

74 CAPITULO 4. MATRICES

Teorema 4.66. Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es tambien unamatriz elemental.

Demostracion. Sea E una matriz elemental de orden n. Entonces In se puedeobtener aplicando una sola operacion elemental de E, digamos e0. Sea E0 la matrizque resulta de aplicar e0 a la matriz In. Entonces por el Teorema 4.56 tenemosque E0E = In.

Para completar la demostracion, basta con probar que EE0 = In.Puesto que E0 es una matriz elemental, existe una operacion elemental, diga-

mos e1, que al aplicarsela a E0 da como resultado In. Sea E1 la matriz que resultaaplicar e1 a In. Entonces por el Teorema 4.56 tenemos que E1E0 = In. Multipli-cando por E1 a E0E = In tenemos que E1E0E = E1, es decir; E = E1, ası tenemosque E1E0 = EE0 = In. Por lo tanto E es invertible.

Ejemplo 4.67. Sea E = (1 0α 1

). Entonces E−1 = ( 1 0−α 1

).

Entonces EE−1 = ( 1 0−α 1

)(1 0α 1

) = (1 00 1

) = E−1E.

Observacion 4.68. Del Ejemplo 4.67 y del Teorema 4.66 tenemos que si E esuna matriz elemental de orden n, la cual se obtuvo de aplicar una de las siguientesoperaciones Pij, Mi(α) o Aij(α). La matriz E−1 es una matriz elemental de ordenn que se obtiene de aplicar una de las siguientes operaciones Pji, Mi ( 1

α) o Aij(−α).

Teorema 4.69. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es invertible,entonces At es invertible y (At)−1 = (A−1)t.

Demostracion. Sea A una matriz de orden n invertible, es decir, existe B = A−1

tal que AB = BA = In. Por el Teorema 4.18 tenemos que (AB)t = BtAt = Iny (BA)t = AtBt = In, por lo que At es invertible y Bt es la inversa, es decir,(At)−1 = Bt = (A−1)t.

4.10. Calculo de la inversa de una matriz

Como ya habıamos mencionado, la ley de la cancelacion no aplica a las matri-ces, pero se puede hacer un tipo de cancelacion siempre y cuando la matriz seainvertible, ahora veremos como obtener la matriz inversa de una matriz A.

Teorema 4.70. Sea A una matriz de orden n. Si A es equivalente a In entoncesA es invertible.

Page 85: Notas algebra

4.10. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 75

Demostracion. Supongamos que A es equivalente a In, es decir; A se puede reducira In mediante una sucesion finita de operaciones elementales, digamos E1, . . . , Ek.Por el Teorema 4.56, tenemos Ek . . .E1A = In. Por el Teorema 4.66, E1, . . . , Ekson invertibles. Ası, A = E−1

1 . . .E−1k In = E−1

1 . . .E−1k , por lo que A es un producto

de matrices invertibles. Por lo tanto A es invertible.

La demostracion anterior nos da una forma de encontrar la matriz inversa deuna matriz.

Ejemplo 4.71. Encuentre la matriz inversa de A =⎛⎜⎝

1 2 32 5 31 0 8

⎞⎟⎠

.

Solucion de 4.71: Se quiere transformar a A en la matriz identidad medianteoperaciones elementales, y al mismo tiempo, aplicar las mismas operaciones ele-mentales a I3 para obtener A−1. Esto se puede lograr escribiendo la matriz I3 ala derecha de A y aplicando las operaciones en los renglones de las dos matriceshasta que el lado izquierdo se haya transformado en I3. Ası, la matriz tendra laforma (I3 RRRRR A

−1). Entonces

A =⎛⎜⎝

1 2 32 5 31 0 8

RRRRRRRRRRR

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

A12(−2)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 30 1 −31 0 8

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 00 0 1

⎞⎟⎠

A13(−1)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 30 1 −30 −2 5

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 0−1 0 1

⎞⎟⎠

A23(2)ÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 30 1 −30 0 −1

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 0−5 2 1

⎞⎟⎠

M3(−1)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 30 1 −30 0 1

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 05 −2 −1

⎞⎟⎠

A32(3)ÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 30 1 00 0 1

RRRRRRRRRRR

1 0 013 −5 −35 −2 −1

⎞⎟⎠

A31(−3)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 2 00 1 00 0 1

RRRRRRRRRRR

−14 6 313 −5 −35 −2 −1

⎞⎟⎠

A21(−2)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 0 00 1 00 0 1

RRRRRRRRRRR

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

⎞⎟⎠

Por lo tanto, A−1 =⎛⎜⎝

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

⎞⎟⎠

.

Dada una matriz, muy frecuentemente, no se sabe si es invertible o no. Si setrata de aplicar el procedimiento anterior a una matriz que no es invertible enton-ces sera imposible reducir el lado izquierdo a In mediante operaciones elementales.Ası que en algun momento durante el proceso, aparecera un renglon de ceros enel lado izquierdo. Lo que podemos concluir es que la matriz no es invertible.

Page 86: Notas algebra

76 CAPITULO 4. MATRICES

Ejemplo 4.72. Sea la matriz A =⎛⎜⎝

1 6 42 4 −1−1 2 5

⎞⎟⎠

.

Solucion de 4.72: Entonces tenemos

A =⎛⎜⎝

1 6 42 4 −1−1 2 5

RRRRRRRRRRR

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎟⎠

A12(−2)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 6 40 −8 −9−1 2 5

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 00 0 1

⎞⎟⎠

A13(1)ÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 6 40 −8 −90 8 9

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 0−1 0 1

⎞⎟⎠

A23(1)ÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 6 40 −8 −90 0 0

RRRRRRRRRRR

1 0 0−2 1 0−1 1 1

⎞⎟⎠

Ası la matriz no es invertible, ya que el tercer renglon es igual a ceros.

Ejercicios

1. Calcule la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices (si las hay):

a) A = ( 2 −3−4 5

).

b) A = (2 −41 3

).

c) A =⎛⎜⎝

2 4 64 5 63 1 −2

⎞⎟⎠

.

d) A =⎛⎜⎝

1 −3 42 −5 70 −1 1

⎞⎟⎠

.

2. Demuestre que Mn×m(R) es un espacio vactorial. Hint: recuerde que no esnecesario mostrar todas las propiedades del espacio vectorial.

3. ¿Es el conjunto de todas las matrices un espacio vectorial sobre R con lasoperaciones definidas en este capıtulo? Hint: El conjunto de todas las ma-trices M(R) contiene a Mn×m(R); es decir, Mn×m(R) ⊂M(R).

Aplicaciones hacia la Fısica

Las transformaciones de Galileo

Una transformacion de Galileo es un cambio de coordenadas y velocidadesque dejan fijas las ecuaciones de Newton. La condicion anterior equivale a que latransformacion entre las coordenadas de un sistema de referencia y otro sistemaque se mueve respecto al primero sea tambien una transformacion de Galileo.

Page 87: Notas algebra

4.10. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 77

Tambien permiten relacionar las observaciones que se realizan del movimientode una partıcula desde dos sistemas de referencia.

Galileo propuso que si se tiene un sistema S en reposo y uno en movimiento S′,a velocidad constante v respecto del primero a lo largo del sentido positivo del ejex. Si las coordenadas de un punto del espacio para el sistema S son P = (x, y, z)y para el sistema S′ son P = (x′, y′, z′), se establece un conjunto de ecuacionesde transformaciones de coordenadas. Por lo que si se desea hallar las coordenadasde S′ a partir de S se tienen las ecuaciones:

x′ =x − vty′ =yz′ =z

En cuanto al tiempo, tenemos

t′ = t

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial como:

⎛⎜⎜⎜⎝

x′

y′

z′

t′

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 −v0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

xyzt

⎞⎟⎟⎟⎠

Las transformaciones de Galileo para la posicion se pueden derivar respectoal tiempo para obtener las relaciones de transformacion para la velocidad, y siderivamos nuevamente, obtendremos las de la aceleracion.

u′ = dx′

dt= d(x − vt)

dt= u − v Para la velocidad.

a′ = du′

dt= d(u − v)

dt= a Para la aceleracion.

Las ecuaciones anteriores son las transformaciones mas simples de Galileo,pero en general se consideran del tipo anterior pero en cualquier direccion, comose muestra en la Figura 4.1.

Las transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz, dentro de la teorıa de la relatividad especial,son un conjunto de ecuaciones que dan cuenta de como se relacionan las medidas

Page 88: Notas algebra

78 CAPITULO 4. MATRICES

Figura 4.1: Cambio de coordenadas en distintos sistemas de referencias.

de una magnitud fısica obtenidas por dos observadores diferentes, de manera si-milar que las transformaciones de Galileo, pero permiten preservar el valor de lavelocidad de la luz constante para todos los observadores. Estas ecuaciones esta-blecen la base matematica de la teorıa de la relatividad especial de Einstein, ya quelas transformaciones de Lorentz precisan el tipo de geometrıa del espacio-tiemporequeridas por la teorıa de Einstein (matematicamente el conjunto de todas lastransformaciones de Lorentz forman el grupo de Lorentz).

Una de las consecuencias de que en mecanica relativista no exista un tiempoabsoluto, es que tanto el intervalo de tiempo entre dos sucesos, como las distanciasefectivas medidas por diferentes observadores en diferentes estados de movimientoson diferentes. Eso implica que las coordenadas de tiempo y espacio medidas pordos observadores difieran entre sı. Sin embargo, debido a la objetividad de larealidad fısica las medidas de unos y otros observadores son relacionables porreglas fijas: las transformaciones de Lorentz para las coordenadas.

Para examinar la forma concreta que toman estas transformaciones de lascoordenadas se consideran dos sistemas de referencia S y S′. Supongamos quecada uno de ellos representa un mismo punto P (representable por un instante detiempo y tres coordenadas espaciales) por dos sistemas de coordenadas diferentes,es decir, PS = (t, x, y, z) y PS′ = (t′, x′, y′, z′).

Puesto que los dos conjuntos de cuatro coordenadas representan el mismopunto, estas deben estar relacionadas de algun modo. Las transformaciones deLorentz dicen que si el sistema S′ esta en movimiento uniforme a velocidad v alo largo del eje x del sistema S y en el instante inicial (t = t′ = 0) el origen de

Page 89: Notas algebra

4.10. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 79

las coordenadas de ambos sistemas coinciden, entonces las coordenadas atribuidaspor los dos observadores estan relacionadas por las siguientes expresiones:

x′ = x − vt√1 − v2

c2

t′ =t − vx

c2√1 − v2

c2

y′ = y z′ = z

Donde c es la velocidad de la luz en el vacıo. Las relaciones anteriores se puedenescribir tambien en forma matricial:

⎛⎜⎜⎜⎝

ct′

x′

y′

z′

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

ctxyz

⎞⎟⎟⎟⎠

Donde γ = 1√1 − v2

c2

y β = vc

.

La transformacion de Lorentz anterior toma esa forma por el supuesto de queel origen de coordenadas de ambos sistemas de referencia sea el mismo para t = 0;si se elimina esta restriccion la forma de las ecuaciones se complica. Si, ademas,se elimina la restriccion de que la velocidad relativa entre los dos sistemas sede segun el eje x y que los ejes de ambos sistemas de coordenadas sean paralelos, lasexpresiones de la transformacion de Lorentz se complican mas aun, denominandosela expresion general transformacion de Poincare.

Page 90: Notas algebra

80 CAPITULO 4. MATRICES

Page 91: Notas algebra

Capıtulo 5

Determinantes

Permutacion

Esta seccion puede ser omitida por el estudiante, pero sin ella, serıa imposible lacomprension y la definicion de la funcion determinante para las matrices cuadradasde orden n.

Definicion 5.1 (Permutacion). Una permutacion de un conjunto de enteros I =1, . . . ,n es un arreglo de enteros sin repeticion. Para denotar una permutaciongeneral del conjunto se escribira σi = (j1, . . . , jn), donde σi(1) = j1 es el primerentero de la permutacion, σi(2) = j2 es el segundo entero de la permutacion, yası sucesivamente. Y el numero de permutaciones para el conjunto I es de n!.

Ejemplo 5.2. Sea I = 1, 2, 3, las permutaciones de I son σ1 = (1, 2, 3), σ2 = (2,1, 3), σ3 = (3, 1, 2), σ4 = (1, 3, 2), σ5 = (2, 3, 1) y σ6 = (3, 2, 1).

Definicion 5.3 (Inversion). Se dice que ocurre una inversion en la permutacionσi = (j1, . . . , jn) siempre que un entero se encuentre precedido por un enteromayor, es decir, siempre que ji > jk con i < k.

El Algoritmo 5.1 sirve para calcular el numero de inversiones en una permu-tacion.

Definicion 5.4 (Permutaciones pares o impares). Se dice que una permutacionσi es par si el numero de inversiones es un numero par, de lo contrario se diceque la permutacion es impar.

Ejemplo 5.5. Utilizando el Algoritmo 5.1, calcular el numero de inversiones ydecir si es una permutacion par o impar:

σ1 = (6,1,3,4,5,2) = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 es una permutacion par,

81

Page 92: Notas algebra

82 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Algoritmo 5.1: Calcula el numero de inversiones de una permutacion

Data: σi una permutacionResult: numero de inversiones

1 numeroInversion ∶= 0, n ∈ N;2 foreach s ∈ 1, . . . , n − 2 do3 foreach h ∈ s + 1, . . . , n do4 if js ≥ jh then5 numeroInversion+ = 1;

6 return numeroInversion;

σ2 = (2,4,1,3) = 1 + 2 + 0 = 3 es una permutacion impar.

Definicion 5.6 (Producto elemental). Sea A ∈Mn×n(R). Un producto elementalde A se define como cualquier producto de n elementos de A, donde todos losfactores pertenecen a columnas y renglones diferentes.

Ejemplo 5.7. Encontrar todos los productos elementales de las siguientes matri-ces:

1. A = (a11 a12a21 a22

).2. B =

⎛⎜⎝

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

⎞⎟⎠

.

Solucion de 5.7:

1. Puesto que cada producto elemental tiene dos factores, y ademas cada factorpertenece a un renglon diferente, un producto elemental se puede escribircomo: a1 a2 donde los espacios en blanco designa los numeros de las colum-nas. Puesto que cada factor pertenece a una columna diferente, los numerosde las columnas deben ser 1 2 o 2 1, por lo tanto los unicos productoselementales son: a11a21 y a12a21

2. De la misma forma que en el inciso anterior, tenemos que a1 a2 a3 es unproducto elemental; y de igual forma en los espacios se debera poner loselementos de las permutaciones del conjunto 1,2,3, por lo tanto tenemoslos siguientes productos:

a11a22a33,

a12a21a33,

a13a21a32,

a11a23a32,

a12a23a31,

a13a22a31.

Page 93: Notas algebra

5.1. EL DETERMINANTE 83

Observacion 5.8. Una matriz A ∈Mn×n(R) posee n! productos elementales, loscuales son de la forma a1j1⋯anjn , donde σi = (j1, . . . , jn) es una permutacion delconjunto 1, . . . , n.

Definicion 5.9 (Producto elemental con signo). Sea A ∈Mn×n(R), un produc-to elemental con signo de A es un producto elemental multiplicado por 1 o −1,es decir, ±a1j1⋯anjn. Si la permutacion asociada σi = (j1, . . . , jn) es par semultiplicara por 1 al producto elemental, y se multiplicara por −1 si σi es impar.

Observacion 5.10. Es facil ver que si A ∈Mn×n(R) entonces A, At tiene el mismonumero de productos elementales con signo.

Ejemplo 5.11. Tomando los productos elementales del inciso a) del Ejemplo 5.7,tenemos lo siguiente:

Prod Elem. Perm Asoc. Par o impar Prod. Elem. signo

a11a22 σ1 = (1,2) par a11a22a12a21 σ2 = (2,1) impar −a12a21

Esto quiere que decir que el producto elemental a11a22, tiene asociada la per-mutacion σ1 = (1, 2), la cual es par, y por lo tanto el producto elemental con signoes a11a22.

Ahora tomamos los productos elementales del inciso b), y obtenemos:

Prod Elem. Perm Asoc. Par o impar Prod. Elem. signo

a11a22a33 σ1 = (1,2,3) par a11a22a33a11a23a32 σ2 = (1,3,2) impar −a11a23a32a12a21a33 σ3 = (2,1,3) impar −a12a21a33a12a23a31 σ4 = (2,3,1) par a12a23a31a13a21a32 σ5 = (3,1,2) par a13a21a32a13a22a31 σ6 = (3,2,1) impar −a13a22a31

5.1. El determinante

El determinante de una matriz, es una funcion entre dos espacios vectoriales,uno es el de las matrices y el otro es el de los numeros reales. Si hubiesemos definido

Page 94: Notas algebra

84 CAPITULO 5. DETERMINANTES

matrices con entradas de numeros complejos entonces el determinante serıa unafuncion entre las matrices y los complejos, y como se vera, los numeros complejoses un espacio vectorial. Esta idea del determinante suena algo descabellada peroen realidad es de lo mas comun en matematicas.

5.1.1. Definicion y propiedades

Definicion 5.12 (El determinante). Sea A ∈ Mn×n(R). El determinante de lamatriz A (denotado por det(A)) se define como la suma de todos los produc-tos elementales con signo (vease la Definicion 5.9) de A. Dicho de otra forma,tenemos que

det ∶Mn×n(R)→ Rcon la regla de correspondencia

det(A) =n!

∑i=1

±a1σi(1)⋯anσi(n).

Observacion 5.13. Del Ejercicio 5.11 podemos concluir que el determinante deuna matriz A ∈M2×2(R) es det(A) = a11a22 −a12a21, y tambien podemos decir quedet(A′) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 parauna matriz A

′ ∈M3×3(R).Hay definiciones equivalentes sobre el determinante de una matriz, y con el

paso de algunos teoremas podremos definir de manera adecuada. Mientras veremosalgunas propiedades.

De la Observacion 5.10 obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 5.14 (El Determinante y la Transpuesta). Sea A ∈Mn×n(R) entoncesdet(At) = det(A).

La idea para la demostracion de este teorema es utilizar el hecho de que eldeterminante es la suma de los productos elementales con signo, pero cada pro-ducto tiene elementos de cada columna y de cada renglon. En este caso, lo unicoque pasa es que los factores apareceran en distinto orden y solo el producto queno cambia es el que tiene a los elementos aii.

Ejemplo 5.15. Sea A = (1 25 3

). Calcular el determinante de A y At.

Solucion de 5.15: Primero calculemos At = (1 52 3

). Ahora utilizando la formula

de la Observacion 5.13 tenemos que det(A) = (1)(3)− (5)(2) = −7 y por otro ladodet(At) = (1)(3) − (2)(5) = −7.

Page 95: Notas algebra

5.1. EL DETERMINANTE 85

Ahora veamos un ejemplo el cual nos dara pauta para poder enunciar unteorema, el cual involucra la suma de matrices.

Ejemplo 5.16. Sean A = (3 12 5

) y B = (3 11 3

), la suma de A y B es A + B =

(4 33 8

). Uno podrıa pensar que el determinante de la suma de dos matrices es

igual a la suma de los determinantes de las dos matrices, ası como en el productoescalar de una matriz con un escalar, pero en realidad no es ası. Para que estosea cierto, las matrices A, B deberıan tener una caracterıstica que mas adelantese mencionara. Por ahora tenemos que det(A) = 1, det(B) = 8 y det(A +B) = 23,por lo tanto det(A +B) ≠ det(A) + det(B) en general.

A pesar de este resultado, existe una relacion importante que involucra la sumade dos matrices y que en ciertas circunstancias es muy util.

Ejemplo 5.17. Sean A = (a11 a12a21 a22

) y A′ = (a11 a12a′21 a′22

). Aplicando la formula de

la Observacion 5.13 tenemos que:

det(A) + det(A′) = (a11a22 − a12a21) + (a11a′22 − a12a′21)=a11(a22 + a′22) − a12(a21 + a′21)

Pero por otro lado tenemos que:

a11(a22 + a′22) − a12(a21 + a′21) = det [a11 a12

a21 + a′21 a22 + a′22] .

Por lo que:

det [a11 a12a21 a22

] + det [a11 a12a′21 a′22

] = det [ a11 a12a21 + a′21 a22 + a′22

] .

Como se menciono en el ejemplo anterior, tenemos el siguiente teorema parala suma de matrices, el cual es mucho mas general. Y la demostracion es aplicarla misma idea que la del ejemplo.

Teorema 5.18. Sean A, A′

y A′′

matrices en Mn×n(R), tales que solo difierenen el i-esimo renglon. Supongamos que el i-esimo renglon de A

′′

se obtiene de lasumar los renglones i-esimos de A y A

. Entonces det(A′′) = det(A)+det(A′).

Page 96: Notas algebra

86 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Ejemplo 5.19. SeanA′′ =

⎛⎜⎝

1 7 52 0 3

1 + 0 4 + 1 7 − 1

⎞⎟⎠

,A =⎛⎜⎝

1 7 52 0 31 4 7

⎞⎟⎠

yA′ =

⎛⎜⎝

1 7 52 0 30 1 −1

⎞⎟⎠

.

Por un lado el det(A) = −49, el det(A′) = 21 y el det(A′′) = −28, por lo tantodet(A′′) = det(A) + det(A′).

El Teorema 5.18 se cumple para ciertas matrices y la operacion suma, peroel siguiente teorema se cumple para cualesquiera dos matrices y la operacionmultiplicacion.

Teorema 5.20. Sean A y B matrices en Mn×n(R) entonces el det(AB) =det(A) ⋅ det(B).

Ejemplo 5.21. Sean A = (3 12 1

) y B = (−1 35 8

), entonces tenemos que AB =

(2 173 14

). Obteniendo el determinante de cada matriz, tenemos det(A) = 1, det(B) =

−23 y det(AB) = −23.

Ejemplo 5.22. El objetivo del ejemplo es mostrar que si la forma escalonadareducida R de una matriz cuadrada no tiene renglones que tengan solamenteceros, y ası, R debe ser la matriz identidad.

Consideremos la siguiente matriz de 3 × 3, y supongamos que tiene la formaescalonada reducida

R =⎛⎜⎝

r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

⎞⎟⎠

O el ultimo renglon de la matriz R esta compuesta solo de ceros o no lo esta.Si no lo esta, entonces la matriz no tiene renglones de ceros, y por consecuencia,en cada uno de los tres renglones el primer elemento distinto de cero es 1. Yaque estos unos aparecen progresivamente a la derecha, a medida que se recorre lamatriz de arriba hacia abajo, estos unos deben aparecer en la diagonal principalde R. Puesto que los demas elementos que pertenecen a la misma columna decualquiera de estos unos son ceros, ası R debe ser I3. Por lo tanto o R tiene unrenglon de ceros o bien, R = I3.

El ejemplo anterior nos ayudara para la demostracion del siguiente teorema,el cual es de gran utilidad para determinar si una matriz es invertible o no.

Teorema 5.23 (Criterio de la inversa de una matriz). Una matriz A ∈Mn×n(R)es invertible si y solo si det(A) ≠ 0.

Page 97: Notas algebra

5.1. EL DETERMINANTE 87

Demostracion. ⇐) Sea A ∈ Mn×n(R) invertible, entonces por definicion tene-mos que In = AA−1, ası aplicando el determinante tenemos que det(In) = 1 =det(AA−1) = det(A)det(A−1) y a su vez aplicamos el Teorema 5.20. Por lo tantodet(A) ≠ 0.⇒) Supongamos que det(A) ≠ 0. El proposito es mostrar que A es equivalente

por renglones renglones a la matriz In y ası aplicar el Teorema 4.70.Sea R la forma escalonada reducida de A. Dado que R se puede obtener de la

aplicacion de una sucesion finita de operaciones elementales en los renglones de Acomo en el Ejemplo 5.22, es posible encontrar matrices elementales E1, . . . , Ek ta-les que Ek⋯E1A = R, o bien, A = E−1

1 ⋯E−1k R. Aplicando el determinante tenemos

quedet(A) = det(E−1

1 )⋯det(E−1k )det(R)

Y por la hipotesis de que det(A) ≠ 0 tenemos que det(R) ≠ 0. Por lo que Rno tiene renglones iguales a cero. Por lo tanto R es equivalente a In. Ası, A esinvertible.

El teorema anterior nos da un criterio para ver si una matriz A es invertible,ası, nos ahorrarıamos mucho tiempo en vez de solo aplicar operaciones elementaleso algun otro algoritmo, y despues de mucho tiempo darnos cuenta que en la matrizno posee una matriz inversa.

El siguiente corolario es una consecuencia directa del Teorema 5.23 y la apli-cacion del Teorema 5.20, ası que la demostracion se le deja al estudiante como unejercicio.

Corolario 5.24. Sea A ∈Mn×n(R) invertible, entonces det(A−1) =1

det(A).

La demostracion no es difıcil, por lo que el estudiante debe ser capaz de hacerla.Solo aplique los teoremas antes vistos.

Ejercicios

1. Demuestre el Corolario 5.24.

2. Encuentre el numero de inversiones de cada una de las siguientes permuta-ciones del conjunto 1, 2, 3, 4, 5 y clasifıquelas en par o impar.

a) (3, 4, 1, 5, 2). b) (4, 2, 5, 3, 1). c) (5, 4, 3, 2, 1).

3. Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices, suponiendoque k ∈ R.

Page 98: Notas algebra

88 CAPITULO 5. DETERMINANTES

a) A = ( 1 2−1 3

),

b) B = (k − 1 24 k − 3

),

c) C =⎛⎜⎝

1 0 34 0 −12 8 6

⎞⎟⎠

,

d) D =⎛⎜⎝

k −3 92 4 k + 11 k2 3

⎞⎟⎠

.

4. Para que valores de λ ∈ R, el det(A) = 0. Suponga que A = (λ − 1 −21 λ − 4

).

5. Verifique el Teorema 5.14 con la matriz A =⎛⎜⎝

1 2 7−1 0 63 2 8

⎞⎟⎠

.

6. Utilizando el Teorema 5.23, determine cuales de las matrices siguientes soninvertibles:

a) A =⎛⎜⎝

1 0 03 6 70 8 −1

⎞⎟⎠

, b) B =⎛⎜⎝

0 7 50 1 −10 4 2

⎞⎟⎠

.

7. Sin realizar calculos, demuestre que det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

b + c c + a b + aa b c1 1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= 0, con a, b, c ∈

R.

8. ¿Para que valor(es) de k ∈ R no es invertible A? Suponiendo que A =

(k − 3 −2−2 k − 2

).

5.2. Calculo de determinantes

Una de las formas mas sencillas para calcular el determinante de una ma-triz, es llevar a la matriz a su forma escalonada. Este metodo es de importanciaporque evita los calculos tan extensos que se requieren para aplicar directamen-te la definicion. Ası que consideremos dos clases de matrices para las cuales susdeterminantes se pueden calcular facilmente, independientemente de sus tamanos.

Teorema 5.25 (Determinante nulo). Sea A ∈Mn×n(R). Si A tiene un rengloncompuesto solamente de ceros, entonces el det(A) = 0.

Page 99: Notas algebra

5.2. CALCULO DE DETERMINANTES 89

Demostracion. Sea A ∈ Mn×n(R) tal que el renglon ri = (0, . . . , 0). Por la Defi-nicion 5.12 tenemos que cada producto elemental con signo de A tiene la forma(±)a1 ⋯an , pero el ai = 0. Dado que el det(A) es la suma de todos los productoselementales con signo, obtenemos que det(A) = 0.

Ası, toda matriz que se pueda reducir a una matriz con un renglon igual acero, su determinante sera cero, y con ello no habra necesidad de hacer calculostan extensos y concluir lo mismo.

Como ya se ha visto en el capıtulo anterior, consideremos una matriz triangu-lar, la cual es otra clase de matrices; y para esta matriz se puede determinar eldeterminante de una forma facil.

Ejemplo 5.26. Calcule el det(A) si

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Solucion de 5.26: El unico producto elemental de A que es diferente de cero es,a11a22a33a44. Esto lo obtenemos de considerar el producto elemental de la formaa1j1a2j2a3j3a4j4 . Dado que a12 = a13 = a14 = 0, debemos tener que j1 = 1 paraque el producto elemental se distinto de cero. Si j1 = 1 entonces j2 ≠ 1 ya quetodos los factores deben pertenecer a columnas distintas. Ademas a23 = a24 = 0,debemos tener que j2 = 2 para que el producto elemental sea distinto de cero.Aplicando el mismo razonamiento, tenemos que j3 = 3 y j4 = 4. Dado que el signode la permutacion (1, 2, 3, 4) es par, entonces a11a22a33a44 es el unico productoelemental con signo, con esto tenemos que det(A) = a11a22a33a44.

Con un argumento analogo aplicado a cualquier matriz triangular, se puedeproducir la demostracion del siguiente teorema.

Teorema 5.27. Sea A ∈ Mn×n(R). Si A es triangular, entonces el det(A) =a11⋯ann.

Ejemplo 5.28. Calcular el determinante de A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2 7 −3 8 30 −3 7 5 10 0 6 7 60 0 0 9 80 0 0 0 4

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. Con la apli-

cacion del teorema anterior tenemos que det(A) = (2)(−3)(6)(9)(4) = −1296.

Teorema 5.29 (Determinante y Operaciones Elementales). Sean A y A′ matricescuadradas de orden n.

Page 100: Notas algebra

90 CAPITULO 5. DETERMINANTES

1. Si A′ es el resultado de multiplicar un renglon de A por un α ∈ R, entoncesdet(A′) = αdet(A).

2. Si A′ es el resultado de intercambiar dos renglones de la matriz A, entoncesel det(A′) = −det(A).

3. Si A′ es el resultado de sumar un multiplo de un renglon a otro, es decir, elrenglon j de A′ es de la forma αi + j, entonces det(A′) = det(A).

Para la demostracion, solo se debe aplicar las definiciones del determinante yla de operaciones elementales, notando que forma tiene los productos elementalesde las matrices.

Observacion 5.30. Lo que nos dice el Teorema 5.14 es que el Teorema 5.29tambien es valido para las columnas y no solo para los renglones de una matriz.

Ejemplo 5.31. Sea A =⎛⎜⎝

1 2 30 1 41 2 1

⎞⎟⎠

y suponiendo que el determinante de A es

igual a −2, calcular los determinantes de:

1. A1 =⎛⎜⎝

4 8 120 1 41 2 1

⎞⎟⎠

,

2. A2 =⎛⎜⎝

0 1 41 2 31 2 1

⎞⎟⎠

,

3. A3 =⎛⎜⎝

1 2 3−2 −3 21 2 1

⎞⎟⎠

.

Solucion de 5.31: De un vistazo rapido a todas las matrices nos podemos darcuenta que se puede utilizar el Teorema 5.29, y ası calcular los determinantes.

1. Como se puede observar, la matriz A1 es el resultado de multiplicar por 4 alprimer renglon de A, es decir; (4,8,12) = 4 ⋅ (1,2,3). Por lo tanto tenemosque el det(A1) = 4 ⋅ det(A) = 4(−2) = −8.

2. Ahora, la matriz A2 es el resultado de intercambiar el renglon 1 por el renglon2 de la matriz A. Ası el det(A2) = (−1) ⋅ det(A) = (−1) ⋅ (−2) = 2

3. Por ultimo tenemos que la matriz A3 se obtiene de sumar dos veces el renglon3 al renglon 2 de la matriz A, es decir; (−2,−3,2) = 2 ⋅ (1,2,1) + (0,1,4),sabiendo esto tenemos que det(A3) = det(A) = −2

Page 101: Notas algebra

5.2. CALCULO DE DETERMINANTES 91

El siguiente ejemplo ilustra el uso de los Teoremas 5.14 y 5.29.

Ejemplo 5.32. Sea A =⎛⎜⎝

1 −2 7−4 8 52 −4 3

⎞⎟⎠

. Calcular el determinante de la matriz A.

Solucion de 5.32: El determinante de la matriz A es igual a 0, ya que la segundacolumna es igual a dos veces la primer columna, es decir, (−2,8,−4) = −2⋅(1,−4,2)+

(0,0,0), por lo que la matriz A se obtiene de la matriz A′ =⎛⎜⎝

1 0 7−4 0 52 0 3

⎞⎟⎠

y el

determinante de A′ es igual a 0.

Observacion 5.33. De la Definicion 4.8 y con la aplicacion del Teorema 5.29podemos obtener la siguiente formula para el determinante de una matriz por unescalar y la cual es

det(αA) = αn ⋅ det(A).

Ejemplo 5.34. Sea A = (3 12 2

). El determinante de A es igual a 4, ahora calcu-

lamos el de 5A = (15 510 10

) el cual es igual a 100 = 52 ⋅ 4 = 52 ⋅ det(A).

Ya hemos establecido los teoremas necesarios, ahora podemos dar un metodoalternativo para calcular el determinante. Este metodo evitara efectuar un grannumero de operaciones requeridas para el calculo del determinante. La idea basicade este metodo consiste en aplicar las operaciones elementales en los renglones(o columnas) de una matriz A, para transformarla en una matriz R con la formaescalonada. Como ya hemos visto, la forma escalonada de una matriz es triangularsuperior, dicha forma nos indica que debemos aplicar el Teorema 5.27 tomando encuenta tambien el Teorema 5.29. Veamos como utilizar esta idea con el siguienteejemplo.

Ejemplo 5.35. Calcule el determinante de A =⎛⎜⎝

0 1 53 −6 92 6 1

⎞⎟⎠

.

Solucion de 5.35: Para llevar a la matriz A a su forma escalonada tenemosque aplicar el Teorema 5.29, para al final aplicar el Teorema 5.27. El estudiante

Page 102: Notas algebra

92 CAPITULO 5. DETERMINANTES

debera ser capaz de obtener una matriz escalonada, y proponemos la siguiente

solucion: det(A) = (−3)(−55)det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 −2 30 1 50 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= (−3)(−55)(1).

Ejemplo 5.36. Calcule el determinante de A =⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Solucion de 5.36: De un vistazo, podemos ver que el segundo renglon de A esmultiplo del primero. Ası que aplicando A12(−2) tenemos la matriz

A ∼⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

⎞⎟⎟⎟⎠.

Por lo tanto det(A) = 0 por la aplicacion del Teorema 5.25.

Observacion 5.37. Del ejemplo anterior, observamos que si una matriz cuadradacontiene un renglon que es combinacion lineal de otros dos, es posible obtener unrenglon de ceros. Ası el estudiante puede comprobar que las siguientes matricescontienen una combinacion lineal de otros dos.

1.⎛⎜⎝

3 7 91 3 25 13 13

⎞⎟⎠

, 2.⎛⎜⎝

4 4 49 2 517 10 13

⎞⎟⎠

.

Tambien existe otro forma de calcular determinantes. Para establecer estaforma hay que ver mas definiciones y teoremas. Incluso, estas definiciones nosllevaran a un metodo para calcular la matriz inversa de A.

Definicion 5.38 (El menor del elemento aij de A). Sea A ∈ Mn×n(R). Dire-mos que el menor del elemento aij (denotado por Mij) es el determinante de lasubmatriz que se obtiene al suprimir el i-renglon y la j-columna de A.

Definicion 5.39 (El cofactor del elemento aij de A). Diremos que el numero(−1)i+jMij (denotado por Cij) se llama cofactor del elemento aij de la matrizA.

Page 103: Notas algebra

5.2. CALCULO DE DETERMINANTES 93

Ejemplo 5.40. Sea A =⎛⎜⎝

8 1 45 2 63 1 4

⎞⎟⎠

.

El menor del elemento a11 es:

M11 = det [2 61 4

] = 8 − 6 = 2.

El cofactor del elemento a11 es:

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 2.

De forma analoga, el menor del elemento a32 es:

M32 = det [8 45 6

] = 48 − 20 = 28.

El cofactor del elemento a32 es:

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −28.

Observacion 5.41. De nuestro ejemplo anterior, observamos que el cofactor y elmenor de un elemento aij difiere solo en el signo, es decir, Cij = ±Mij, ya que elsigno esta relacionado con el renglon y columna del elemento aij.

Ejemplo 5.42. Calcule el determinante de la matriz A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎟⎠

.

Como ya sabıamos de secciones pasadas, el determinante de A esta definidopor la siguiente formula:

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32− a12a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Pero esta ecuacion puede ser escrita de la siguiente forma:

det(A) = a11(a22a33 − a23a32)+ a21(a13a32 − a12a33)+ a31(a12a23 − a13a22).

Page 104: Notas algebra

94 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Pero podemos observar que el cofactor del elemento a11 de la matriz A esC11 = a22a33 − a23a32, ademas C21 = a13a32 − a12a33 y C31 = a12a23 − a13a22, por lotanto el determinante se puede escribir como:

det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31.

A esta forma de calcular el determinante se le conoce como desarrollo porcofactores a lo largo de la primer columna.

Teorema 5.43 (Desarrolo por cofactores). Sea A ∈ Mn×n(R). Diremos que eldesarrollo por cofactores para calcular el det(A) a lo largo del i-esimo renglonesta dado por

det(A) =n

∑k

aikCik.

Ejemplo 5.44. Calcule el det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 2 11 2 41 5 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦, usando el desarrollo por cofactores a lo

largo del renglon 1.

Solucion de 5.44: Por el Teorema 5.43 tenemos que:

C11 = (−1)1+1M11 = det [2 45 1

] = 2 − 20 = −18

C12 = (−1)1+2M12 = (−1)det [1 41 1

] = (−1)(1 − 4) = 3

C13 = (−1)1+3M13 = det [1 21 5

] = 5 − 2 = 3 Definicion 5.39.

Por lo que el determinante nos queda:

det(A) = 4C11 + 2C12 + 1C13

= 4(−18) + 2(3) + 3

= − 72 + 6 + 3

= − 63 Teorema 5.43.

Page 105: Notas algebra

5.2. CALCULO DE DETERMINANTES 95

En general, la mejor tactica para calcular un determinante mediante el desa-rrollo por cofactores consiste en desarrollarlo a lo largo del renglon o columna queposea el mayor numero de ceros.

Incluso, el calculo de los determinantes mediante el desarrollo por cofactoresno suele ser tan eficiente como la reduccion de la matriz en su forma triangular,en ocasiones es posible combinar metodos para producir una tecnica de calculomas eficaz. El siguiente ejemplo ilustra la idea de desarrollar el determinante a lolargo de una columna que posee el mayor numero de ceros.

Ejemplo 5.45. Consideremos la matriz A =⎛⎜⎜⎜⎝

3 4 2 71 5 1 82 1 0 33 4 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

. Para calcular el deter-

minante de A, podemos intentar llevar a dicha matriz a su forma escalonada, perotal vez el numero de operaciones elementales que debemos aplicar sea seis, queson el numero de elementos que hay debajo de la diagonal principal. Sin embargo,lo que es seguro es que podemos aplicar tres operaciones para que una columnaque tenga al menos tres ceros.

Aplicando las operaciones elementales A12(−3), A32(−2) y A42(−3), a la matrizA; obtendremos la siguiente matriz

A′ =⎛⎜⎜⎜⎝

0 −11 −1 −171 5 1 80 −9 −2 −130 −11 −2 −23

⎞⎟⎟⎟⎠.

Por lo que el det(A), aplicando el Teorema 5.43 a lo largo de la primer columna,es:

det(A) = −det⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−11 −1 −17−9 −2 −13−11 −2 −23

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= −88.

La formula del Teorema 5.43 es igual a cero cuando los elementos son mul-tiplicados por cofactores diferentes a los que le corresponden, es decir, a11C31 +a12C32 + a13C33 = 0, para una matriz de orden 3.

Para mostrar que esto es verdad, consideremos una matriz A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎟⎠

y la matriz A′ =⎛⎜⎝

a11 a12 a13a21 a22 a23a11 a12 a13

⎞⎟⎠

.

Page 106: Notas algebra

96 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Ahora consideremos los cofactores C ′

31, C′

32 y C ′

33 de los elementos del tercerrenglon de A′. Dado que los dos primeros renglones de A y A′ son iguales, y almomento de calcular los cofactores de las matrices solo incluyen a los elementosde los dos primeros renglones, obtenemos que C31 = C ′

31, C32 = C ′

32 y C33 = C ′

33.Como la matriz A′ tiene dos renglones iguales (por su construccion), entonces

det(A′) = 0.Por otro lado, si calculamos el det(A′) mediante un desarrollo por cofactores

a lo largo del tercer renglon obtenemos:

det(A′) = a11C ′

31 + a12C ′

32 + a13C ′

33

= a11C31 + a12C32 + a13C33

Pero el det(A′) = 0 tenemos

a11C31 + a12C32 + a13C33 = 0

La idea anterior se puede utilizar para hacer una demostracion en general delTeorema 5.43, para ser mas formales en el aspecto matematico.

Ejercicios

1. Calcule el determinante de la matriz A del Ejemplo 5.44 utilizando el Teo-rema 5.43 pero a lo largo de la primer columna.

2. Utilizando el desarrollo por cofactores, calcular el determinante de A =⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

⎞⎟⎟⎟⎠

. Verifique que el determinante es igual si A se lleva a la

forma escalonada.

3. Suponga que det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a b cd e fg h i

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= 5, calcular los siguientes determinantes

a) det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

d e fg h ia b c

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

b) det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−a −b −c2d 2e 2f−g −h −i

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

c) det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a + d b + e c + fd e fg h i

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

d) det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a b cd − 3a e − 3b f − 3c

2g 2h 2i

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

Page 107: Notas algebra

5.3. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 97

4. Utilizando el desarrollo de cofactores, muestre que

det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0 a130 a22 a23a31 a32 a33

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= −a13a22a31

5.3. Calculo de la inversa de una matriz

Para dar una formula para la matriz inversa de A, debemos dar las definicionesnecesarias, junto con otro tipo de matrices que no se dio anteriormente.

Definicion 5.46 (Matriz de cofactores de A). Sea A = (aij) una matriz cuadradade orden n, y Cij es el cofactor de aij. Diremos que la matriz

CA =⎛⎜⎝

C11 . . . C1n

⋮ . . . ⋮Cn1 . . . Cnn

⎞⎟⎠

es la matriz de cofactores de A.

Definicion 5.47 (La matriz adjunta de A). Sea A una matriz cuadrada de ordenn y CA su matriz de cofactores. Diremos que la matriz adjunta de A (denotadapor adj(A)) es la matriz Ct

A.

Ejemplo 5.48. Calcule la matriz de cofactores y la adjunta de la matriz A =⎛⎜⎝

3 2 11 4 3−4 0 1

⎞⎟⎠

.

Solucion de 5.48: Utilizando la Definicion 5.39, el estudiante debera obtener lossiguientes cofactores: C11 = 4, C12 = −13, C13 = −16, C21 = −2, C22 = 7, C23 = −8,C31 = 2, C32 = −8 y C33 = 10. Por lo que tenemos que la matriz de cofactores quebuscamos es:

CA =⎛⎜⎝

4 −13 −16−2 7 −82 −8 10

⎞⎟⎠.

Ahora la matriz adjunta que buscamos es:

CtA =

⎛⎜⎝

4 −2 2−13 7 −8−16 −8 10

⎞⎟⎠.

Page 108: Notas algebra

98 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Teorema 5.49. Sea A ∈ Mn×n(R) una matriz. Si A es invertible, entonces

A−1 =1

det(A)adj(A).

La demostracion del teorema anterior no se hara, pero la idea basica es mostrarque A ⋅ adj(A) = det(A)In, esto puede ser algo misterioso, pero si se piensa en laformula del teorema e intentamos despejar a la adj(A), podremos multiplicaren ambos lados por A. Una vez mostrado A ⋅ adj(A) = det(A)In, bastara conmultiplicar en ambos lados por A−1 y despejar para obtener la formula deseada.

Ejemplo 5.50. Calcule la matriz inversa del Ejemplo 5.48 utilizando la formuladel Teorema 5.49.

Solucion de 5.50: Primero debemos ver que la matriz A sea invertible, paraello utilizamos el Teorema 5.23. Entonces, calculando el determinante tenemosque det(A) = 2 (aquı el estudiante debera ser capaz de llegar a este resultado).Como ya hemos calculado la matriz adjunta de A, podemos aplicar la formula delTeorema 5.49.

Por lo tanto tenemos que

A−1 = 1

det(A)adj(A) =⎛⎜⎝

2 −1 1−13

272 −4

−8 −4 5

⎞⎟⎠.

Notemos que para matrices de orden mayor que 3×3, el metodo para encontrarla matriz inversa descrito en la seccion 4.10 es operacionalmente mayor que eldescrito por la formula del Teorema 5.49. Dicha formula es util para el estudio delas propiedades de la matriz inversa.

Ejercicios

1. Utilizando el Teorema 5.49, calcule la inversa de las siguientes matrices:

a)⎛⎜⎝

1 −1 00 1 02 0 1

⎞⎟⎠

, b)⎛⎜⎝

2 0 11 1 −43 7 −3

⎞⎟⎠

.

2. ¿Para que valores de λ la matriz A no admite una inversa?

Page 109: Notas algebra

5.3. CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 99

a)⎛⎜⎝

1 1 λλ 0 −16 −1 0

⎞⎟⎠

, b)⎛⎜⎝

3 λ λ1 −1 03 −2 0

⎞⎟⎠

.

Page 110: Notas algebra

100 CAPITULO 5. DETERMINANTES

Page 111: Notas algebra

Capıtulo 6

Sistemas de ecuaciones lineales

En los capıtulos anteriores ya se ha dado las definiciones basicas necesariaspara resolver sistemas de ecuaciones lineales, los cuales se utilizan en muchasareas de la fısica, ya que son utiles para modelar los fenomenos como sistemas deecuaciones, los cuales se presenta en la vida cotidiana.

6.1. Definiciones basicas

Una recta en el plano cartesiano puede ser representado algebraicamente me-diante una ecuacion de la forma a1x1 +a2x2 = b en donde ai, b ∈ R. Generalizando,tenemos la siguiente definicion.

Definicion 6.1 (Ecuacion lineal). Diremos que una ecuacion lineal en las varia-bles x1, . . . , xn (denotada por en) es aquella que se puede expresar de la forma

a1x1 +⋯ + anxn = b,

con ai y b ∈ R.

Ejemplo 6.2. Las siguientes son ecuaciones lineales:

5x + 3y = 7 y = 17

2x + z + 1

3x1 − 2x2 − x3 + 2x4 = a para algun a ∈ R

πx1 + γx2 = δ para algun π, γ, δ ∈ R.

Se puede observar que en una ecuacion lineal no aparecen productos o raıcesde ninguna variable, es decir, no hay xa para alguna a ∈ Q con a ≠ 1. En otras

101

Page 112: Notas algebra

102 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

palabras, todas las variables estan elevadas a la potencia 1, y no aparecen comoargumentos de funciones trigonometricas, logarıtmicas o exponenciales, es decir;cos(x), ln(x) o ex.

Ejemplo 6.3. Las siguientes ecuaciones no cumplen con la Definicion 6.1

4x + 3

2y5 = 2,

y2 − sin2 x = 0,

3x + 2y − z + xz = 4,

√x1 + 2x2 + x3 = 1.

Definicion 6.4 (Solucion de una ecuacion lineal). Sea s ∈ Rn. Diremos que ses una solucion a la ecuacion lineal en si se satisface la ecuacion al substituirx1 = s1, . . . , xn = sn.

Definicion 6.5 (Espacio solucion de una ecuacion lineal). Diremos que el espaciosolucion (denotado por Sen) es el conjunto formado por todas las soluciones a unaecuacion lineal en.

Ejemplo 6.6. Encontrar el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecua-ciones:

1. 4x + 2y = 1 2. x1 − 4x2 + 7x3 = 5

Solucion de 6.6:

1. Podemos asignar un valor arbitrario a x e intentar despejar y, o bien, escogerun valor para y y despejar a x. Tomando el primer camino, asignamos a xun valor arbitrario t, con esto obtenemos que:

x = t, y = 2t − 1

2

Estas formulas describen el conjunto solucion en terminos de un parametroarbitrario t. Ası, las soluciones numericas especıficas se pueden obtener dan-do valores especıficos a t. Por ejemplo, si t = 3 se obtiene la solucion x = 3,y = 11

2 , y si t = −12 obtenemos la solucion x = −1

2 , y = −32 .

Si seguimos el segundo camino, y le asignamos a y un valor arbitrario t,obtenemos

x = 1

2t + 1

4, y = t

Estas formulas son diferentes de las primeras, pero describen al mismo con-junto solucion a medida que t varia sobre todos los numeros reales posibles.

Page 113: Notas algebra

6.2. SOLUCIONES DE UN SISTEMA 103

2. Siguiendo la idea anterior, el alumno podra ser capaz de obtener la soluciona la ecuacion lineal, pero debe dar dos valores arbitrarios a dos variables almismo tiempo.

Definicion 6.7 (Sistema de ecuaciones lineales). Diremos que un sistema de ecua-ciones lineales es un conjunto dem ecuaciones lineales en las variables x1, . . . , xn(denotado por Em,n), es decir, un sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma:

a11x1 +⋯ + a1nxn = b1⋮ ⋱ ⋮ ⋮

am1x1 +⋯ + amnxn = bmEjemplo 6.8. Sean x, y, z ∈ R, los siguientes conjuntos de ecuaciones son dossistemas, el primero es un sistema de dos ecuaciones con dos variables y el segundoes uno de tres ecuaciones con tres variables.

x + 3y = 83x + 4y = 1

2x + 4y + 5z = 14x + 10y + 5z = 63x + y + z = 5

Ejercicios

1. Encontrar las ecuaciones que describen al conjunto solucion del inciso 2. delEjemplo 6.6.

6.2. Soluciones de un sistema

Definicion 6.9 (Solucion de un sistema de ecuaciones lineales). Sea s ∈ Rn.Diremos que s es una solucion al sistema de ecuaciones lineales Em,n si s essolucion a cada una de las ecuaciones.

Ejemplo 6.10. El siguiente sistema de dos ecuaciones con tres incognitas E2,3

12x1 − 3x2 + 9x3 = − 3

3x1 + x2 + 9x3 = − 4

tiene la solucion x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, dado que estos valores satisfacen las dosecuaciones. Sin embargo, x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 no es una solucion ya que estosvalores solamente satisfacen la primera de las dos ecuaciones del sistema.

Page 114: Notas algebra

104 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se podrıa pensar que todos los sistemas de ecuaciones tienen solucion, pero enrealidad no es ası. Con el paso de unas definiciones y/o teoremas veremos cuandoun sistema de ecuaciones tiene o no solucion.

Ejemplo 6.11. Consideremos el siguiente sistema E2,2:

4x + 4y =4

2x + 2y =6

Si multiplicamos a la primer ecuacion por1

4y a la segunda ecuacion del sistema

por1

2, el sistema resultante es:

x + y =1

x + y =3

lo cual se contradicen entre sı, ya que estamos diciendo que 1 = 3, lo cual no escierto.

Definicion 6.12 (Sistemas inconsistente y consistente). Si un sistema de ecua-ciones lineales Em,n no tiene soluciones, diremos que Em,n es inconsistente. Siexiste al menos una solucion, se dira que Em,n es consistente.

Ası, el sistema E2,2 del Ejemplo 6.11 es inconsistente, ya que no hay una parejaordenada que satisfaga las dos ecuaciones lineales al mismo tiempo.

Observacion 6.13. Supongamos que tenemos un sistema de dos ecuaciones li-neales con dos variables (como sabemos estas ecuaciones representan rectas en elplano cartesiano), entonces una de las tres posibilidades siguientes ocurre,

1. El sistema no tiene solucion, porque las rectas son paralelas y no existe unainterseccion.

2. El sistema tiene una unica solucion, ya que existe una interseccion entre lasrectas.

3. El sistema tiene una infinidad de soluciones, y ocurre cuando las rectas sonla misma pero con distinta ecuacion lineal.

Aun cuando solo se considero un caso en particular de un sistema E2,2 en laobservacion anterior, la idea se puede extender para un sistema Em,n.

El empleo de dos subındices para los coeficientes de las variables en un Em,n dela Definicion 6.7 es util porque se adoptara para determinar la colocacion de loscoeficientes en el sistema. Ası, el primer subındice del coeficiente aij nos indica laecuacion a la que pertenece aij, y el segundo nos indica a que variable multiplica.

Page 115: Notas algebra

6.2. SOLUCIONES DE UN SISTEMA 105

Definicion 6.14 (Matriz aumentada del sistema). Sea Em,n un sistema de ecua-ciones lineales. Diremos que la matriz aumentada tiene la siguiente forma:

⎛⎜⎝

a11 . . . a1n b1⋮ ⋱ ⋮ ⋮

am1 . . . amn bm

⎞⎟⎠

y esta formada por los coeficientes de las variables xi; es decir, aij y los terminosindependientes bj.

Ejemplo 6.15. Consideremos el siguiente sistema E3,3:

2x1 + x2 + 3x3 =8

2x1 + 3x2 − 4x3 =4

3x1 − 6x2 − 8x3 =0

La matriz aumentada para el sistema E3,3 es⎛⎜⎝

2 1 3 82 3 −4 43 −6 −8 0

⎞⎟⎠

.

La idea basica para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en reem-plazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solucion,pero que el nuevo sistema sea mas facil de resolver. En sı, la idea es utilizar lasoperaciones elementales de matrices (vease la seccion 4.4) y la matriz aumentadapara el sistema dado originalmente.

Ejemplo 6.16. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales E3,3

2x + y − 3z = − 2

x + 3y − 9z = − 6

4x + 2y − 3z =2

Solucion de 6.16: Lo que primero haremos sera obtener la matriz aumentada para

el sistema E3,3, la cual es la siguiente A =⎛⎜⎝

2 1 −3 −21 3 −9 −64 2 −3 2

⎞⎟⎠

. Ahora si aplicamos las

siguientes operaciones elementales A13(−2), A12(−12), M3(1

3), M2(25) y M1(1

2) en

el mismo orden, obtenemos la siguiente matriz A′ =

⎛⎜⎝

1 12 −3

2 −10 1 −3 −20 0 1 2

⎞⎟⎠

Page 116: Notas algebra

106 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ası, hemos simplificado el sistema dado E3,3 por uno que es mas simple. Elnuevo sistema de ecuaciones es E

3,3:

x + 1

2y − 3

2z = − 1

y − 3z = − 2

z =2

Ahora, a simple vista, tenemos que z = 2, y este valor se podra substituir en lasecuaciones anteriores para ası obtener los valores de x, y.

Para el valor de y, tenemos que y − 3(2) = −2 con lo que y = 4. Y para el x,tenemos x+ 1

2(4)− 32(2) = −1, por lo tanto x = 0. Por lo tanto s = (0,4,2) es solucion

a E′

3,3. Es facil ver que s tambien es solucion a E3,3 y el estudiante podra hacerlo,y solo debe seguir la Definicion 6.9.

Ahora, en el siguiente ejemplo, solucionaremos un sistema de dos ecuacioneslineales con dos variables. Ası, tambien, podremos observar cuando un E2,2 tienesolucion unica.

Ejemplo 6.17. Consideremos el siguiente sistema E2,2 con la forma:

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

Primero consideremos, si a12 = 0, podemos despejar x = b1a11

y podemos usar este

valor para obtener y de la segunda ecuacion.

Si a22 = 0, entonces x = b2a21

y podemos usar el valor para obtener y de la

segunda ecuacion.Si a12 = a22 = 0, entonces E2,2 solo tiene una variable, la cual es x.Supongamos que a12 y a22 son distintas de cero. Ahora multiplicando por a22

la primer ecuacion y por a12 a la segunda, obtenemos el siguiente sistema E′

2,2:

a11a22x + a12a22y =a22b1a12a21x + a12a22y =a12b2

Ahora restando ambas ecuaciones en E′

2,2, obtenemos:

(a11a22 − a12a21)x = a22b1 − a12b2.Supongase que a11a22 − a12a21 ≠ 0. Por lo que podemos dividir, ası

Page 117: Notas algebra

6.3. SISTEMAS EQUIVALENTES 107

x = a22b1 − a12b2a11a22 − a12a21

Y por ultimo podremos substituir el valor de x en alguna de las dos ecuacionesde E′

2,2.

Observacion 6.18. En el ejemplo anterior, hemos supuesto que a11a22 − a12a21 ≠0, lo cual nos dice que solo hay una unica solucion. Pero si esta diferencia esigual a cero, puede ocurrir una de las siguientes cosas, que tenga una infinidadde soluciones o no tenga ninguna. Y tambien con el paso de unas definicionespodremos asociar esta diferencia con el determinante de 2× 2 para una matriz A.

Ejercicios

1. Considere el siguiente sistema E2,2

6x − 4y = 16

12x + 3y = 21

Son verdaderos o falsos los siguientes enunciados:

a) El sistema E2,2 es inconsistente.

b) Una solucion a E2,2 es (−1, 2).c) En la recta x = 2 se encuentra una solucion.

d) Las ecuaciones son equivalentes.

2. Encuentre las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas. En cada caso,calcule el valor de a11a22 − a12a21

a) x − 3y = 4− 4x + 2y = 6

b) 5x − 7y = 4− x + 2y = −3

c) 2x − y = −35x + 7y = 4

d) 2x − 8y = 5− 3x + 12y = 8

6.3. Sistemas equivalentes

En la seccion anterior, utilizamos la equivalencia de sistemas de ecuacioneslineales que no habıamos dado una definicion formal. La idea de la equivalenciase puede deducir de las matrices.

Page 118: Notas algebra

108 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definicion 6.19 (Sistemas equivalentes). Sean Em,n y E′k,n

dos sistemas de

ecuaciones lineales. Diremos que los sistemas son equivalentes si tiene el mismoconjunto solucion.

Si en la definicion anterior consideramos el concepto de matriz, obtenemos losiguiente.

Definicion 6.20 (Sistemas equivalentes (en forma matricial)). Sean Em,n, E′m,n

dos sistemas de ecuaciones. Sean A y A′ las matrices aumentadas correspondien-tes. Diremos que los sistemas son equivalentes si A es equivalente por renglones(o columnas) a A′.

Podrıamos pensar que la Definicion 6.20 es menos general que la 6.19, pero enrealidad son igual de generales, ya que si la matriz A′ tiene r-renglones iguales acero, es decir, m−r = k-renglones distintos de cero, en realidad tenemos el sistemade ecuaciones E′

k,n. Ası, el numero de ecuaciones puede cambiar de un sistema aotro.

Es conveniente destacar que cuando un sistema de ecuaciones es equivalentea otro, el numero de variables no cambia. Si esto no sucede, entonces la solucionpara un sistema no satisfarıa al otro.

Ejemplo 6.21. Sea E3,3 el sistema

x1 − x2 + 2x3 = −2

3x1 − 4x2 + 2x3 = 3

2x1 + 2x2 + 3x3 = 2

y E′

3,3 el sistema

x1 − x2 + 2x3 = −2

−x2 − 4x3 = 9

4x2 − x3 = 6

Los sistemas de ecuaciones anteriores son equivalentes, ya que para pasar de E3,3

a E′

3,3, realizamos las siguientes operaciones: restamos 3e13 a e23 y 2e13 a e33 paraobtener e′23 y e′33 , respectivamente.

Si, ahora pensamos en la forma matricial de los sistemas de ecuaciones, tendrı-amos que aplicar las siguientes operaciones elementales a la matriz A del sistemaE3,3; A12(−3) y A13(−2), para ası obtener la matriz A′ del sistema E′

3,3.

Page 119: Notas algebra

6.4. SISTEMAS HOMOGENEOS 109

Ejemplo 6.22. Sea E3,3 el siguiente sistema de ecuaciones

2x1 + x2 − 3x3 = − 2

2x1 − 4x2 + 2x3 =3

6x1 + 3x2 − 9x3 = − 6

4x1 + 2x2 − 3x3 =2

y sea E′

3,3 el siguiente sistema

2x1 + x2 − 3x3 = − 2

2x1 − 4x2 + 2x3 =3

4x1 + 2x2 − 3x3 =2

Los anteriores sistemas de ecuaciones son equivalentes, porque el segundo sistemase obtuvo al suprimir e33 del primer sistema, ya que e33 = 3e13. Si pensamos en lasmatrices de cada sistema, podemos observar que la matriz para E′

3,3, tendra un elultimo renglon igual a ceros, y para obtener dicha matriz, se deberıa aplicar lasoperaciones A13(−3) y P34 a la matriz del sistema E3,3.

Ejercicios

Encuentre un sistema de ecuaciones lineales equivalente, que sea mas facil deresolver.

1. 3x + 2y + z = 15x + 3y + 4z = 2x + y − z = 1,

2. 2x − 5y + 4z + u − v = −3x − 2y + z − u + v = 5x − 4y + 6z + 2u + v = 10,

3. x +my + z = 1mx + y + (m − 1)z =mx + y + z =m + 1,

4. x + y + 2t = 33x − y + z − t = −15x − 3y + 2z − 4t = 82x + y + z + t = 2.

6.4. Sistemas homogeneos

Un tipo especial de sistema de ecuaciones es el homogeneo, el cual consiste enque el vector b = 0 ∈ Rn. En ocasiones el sistema es facil de resolver, pero en otras,no tanto.

Page 120: Notas algebra

110 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definicion 6.23 (Sistema de ecuaciones homogeneo). Sea Em,n un sistema deecuaciones lineales. Diremos que el sistema Em,n es homogeneo (denotado porHm,n) si bi = 0 para toda i = 1, . . . , m.

Definicion 6.24 (Solucion trivial). Sea Hm,n un sistema homogeneo. Diremos

que el vector 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn es la solucion trivial para el sistema Hm,n.Dicha solucion siempre satisface las ecuaciones de Hm,n.

Ejemplo 6.25. Sea H2,2 el siguiente sistema:

3x + 4y =0

x − y =0

Entonces, una solucion para el sistema, es (0, 0) = 0, ya que al substituir 0 encada una de las ecuaciones, se satisfacen.

Ejemplo 6.26. Consideremos el siguiente sistema H3,3:

x1 + 2x2 − x3 =0

3x1 − 3x2 + 2x3 =0

−x1 − 11x2 + 6x3 =0

El estudiante debe ser capaz de obtener las operaciones para llegar al siguientesistema equivalente H ′

3,3:

x1 − 1

9x3 =0

x2 −5

9x3 =0

Por lo que, el vector (−19x3,

59x3, x3) define las soluciones para H ′

3,3. Estas solucio-nes son infinitas, ya que se le puede dar cualquier valor a x3. Si x3 = 0, se obtienela solucion trivial. Si x3 = 1, tenemos la solucion (−1

9 ,59 , 1), etc.

6.4.1. El espacio de soluciones

Definicion 6.27 (Espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones). Sea Em,nun sistema de ecuaciones lineales. El espacio de soluciones para el sistema Em,nes el conjunto SEm,n = Se1n ∩⋯ ∩Semn .

Ejemplo 6.28. Consideremos el Ejemplo 6.26. El conjunto solucion para H3,3

esta definido por SH3,3 = s ∈ R3 ∣ s = (−19t,

59t, t) , t ∈ R.

Page 121: Notas algebra

6.4. SISTEMAS HOMOGENEOS 111

Observacion 6.29. El espacio de soluciones para Hm,n es no vacıo, ya que almenos esta la solucion trivial en SHm,n , ademas es un espacio vectorial.

Ejemplo 6.30. Resuelva el siguiente sistema H2,3:

x + y − z =0

4x − 2y + 7z =0

De igual forma que en los sistemas anteriores, obtenemos la matriz aumentada, la

cual es (1 1 −1 04 −2 7 0

). Ası, aplicando operaciones elementales a la matriz aumen-

tada, obtenemos la siguiente matriz (1 0 56 0

0 1 −116 0

). Por lo que la solucion al siste-

maH2,3 esta dada por (−56z,

116 z, z); o bien, SH2,3 = s ∈ R3 ∣ s = (−5

6z,116 z, z) , z ∈ R.

Ejemplo 6.31. Sea SHm,n el espacio solucion para el sistema Hm,n. Demuestreque:

1. SHm,n ≠ ∅. 2. Si α ∈ R, a, b ∈ SHm,n , entoncesαa + b ∈ SHm,n .

Solucion de 6.31: Sea Hm,n un sistema homogeneo, sea SHm,n el espacio solucion.

1. Se desea demostrar que SHm,n ≠ ∅, pero esto es cierto ya que como se men-ciono en la Definicion 6.24, entonces 0 ∈ SHm,n .

2. Sean a, b ∈ SHm,n , y sea α ∈ R. Por demostrar que αa + b ∈ SHm,n ; es decir,que αa + b es solucion al sistema Hm,n.

Por la Definicion 6.9, se tiene que ver que αa + b satisfaga cada una de lasecuaciones del sistema Hm,n.

Sin perdida de generalidad, consideremos una de las ecuaciones de Hm,n,que denotaremos como hin, para alguna i = 1, . . . , m. Substituyendo αa + ben hin, tenemos:

ai1(αa + b) +⋯ + ain(αa + b)= ai1(αa) + ai1(b) +⋯ + ain(αa) + ain(b) dist. de R= α(ai1(a)) +⋯ + α(ain(a)) + ai1(b) +⋯ + ain(b) asoc., conmut. de R= α(ai1(a) +⋯ + ain(a)) + (ai1(b) +⋯ + ain(b)) dist. de R= α ⋅ 0 + 0 porque a, b ∈ SHm,n .

Por lo que αa+b es solucion para hin, con ello tenemos que αa+b es solucional sistema Hm,n, por lo tanto αa + b ∈ SHm,n .

Page 122: Notas algebra

112 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicios

Encuentre todas las soluciones (el conjunto solucion si lo hay) de los siguientessistemas homogeneos. Hint: Utilice las operaciones elementales sobre las matricesaumentadas de cada sistema para obtener un sistema equivalente que sea masfacil de resolver.

1. 2x − y = 03x + 4y = 0,

2. x + y − z = 02x − 4y + 3z = 0− x − 7y − 6z = 0,

3. x − 3y = 0− 2x + 6y = 0,

4. x + y − z = 02x − 4y + 3z = 0− 5x + 13y − 10z = 0.

6.5. Sistemas no homogeneos

Ya hemos definido un sistema de ecuaciones. En la Definicion 6.7 manejamos;de manera implıcita, el sistema en una forma “expandida”, despues hemos dadouna definicion en la cual utilizamos el concepto de matriz (la aumentada para elsistema Em,n). En la siguiente definicion utilizaremos, de igual forma, el conceptode matriz y tambien el de n−ada para simplificar aun mas la definicion de unsistema de ecuaciones.

Definicion 6.32 (Sistema de ecuaciones lineales (matrices y vectores en Rn)).Sea Em,n un sistema de ecuaciones. Diremos que la matriz del sistema es la quese forma con los coeficientes de las variables, es decir A = (aij). Tambien diremos

que las variables estan representadas por la matriz x =⎛⎜⎝

x1

⋮xn

⎞⎟⎠

(o bien, el vector en

Rn). Y los terminos independientes estan representados por la matriz b =⎛⎜⎝

b1⋮bm

⎞⎟⎠

(o bien, el vector en Rm). Ası diremos que el sistema Em,n se puede escribir como

Ax = b.

Page 123: Notas algebra

6.5. SISTEMAS NO HOMOGENEOS 113

Ejemplo 6.33. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones E2,2:

3x + 2y = 4

2x − 4y = 1

Entonces podemos escribir el sistema E2,2 como:

(3 22 −4

)(xy) = (4

1) .

Si aplicamos el producto de matrices a A y x, obtenemos las ecuaciones linealesoriginales, es decir, antes de reescribir el sistema.

Definicion 6.34. Sea Em,n un sistema de ecuaciones lineales. Diremos que Em,nes no homogeneo si b ≠ 0, donde 0 ∈Mm×1(R).

Ejemplo 6.35. Los siguientes sistemas son no homogeneos:

1. (3 2 81 4 −2

)⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠= (2

4). 2.

⎛⎜⎝

4 5 13 4 21 8 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

329

⎞⎟⎠

.

Definicion 6.36 (Sistema homogeneo asociado). Sea Em,n un sistema no ho-

mogeneo de la forma Ax = b. Diremos que el sistema homogeneo asociado deEm,n (denotado por HEm,n) es de la forma Ax = 0.

Teorema 6.37. Sean x1 y x2 en SEm,n para un sistema no homogeneo Em,n.Entonces x1 −x2 es una solucion al sistema homogeneo asociado de Em,n.

Demostracion. Sea Em,n un sistema de ecuaciones lineales no homogeneo, y seanx1 y x2 soluciones a Em,n. Debemos probar que la diferencia es una solucional sistema homogeneo asociado HEm,n , entonces x1 − x2 debe satisfacer HEm,n alsubstituir la diferencia.

Consideremos que el sistema Em,n esta en la forma Ax = b y HEm,n tiene laforma Ax = 0. Entonces tenemos que:

Ax1 = bAx2 = b Porque x1, x2 ∈ SEm,n .

Page 124: Notas algebra

114 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Restando ambos sistemas tenemos:

Ax1 −Ax2 = b − b= 0 Resta de matrices.

= A(x1 − x2) Distributiva de matrices.

Por lo tanto x1 − x2 es solucion a HEm,n .

Corolario 6.38. Sea Em,n un sistema no homogeneo. Sean x y y soluciones

para Em,n, ademas x es una solucion particular. Entonces existe una solucion h

a HEm,n tal que y = x +h.

La demostracion de este corolario se queda como un ejercicio para el estudiante.Solo debe aplicar el Teorema 6.37 para determinar la existencia de h.

Ejemplo 6.39. Encuentre todas las soluciones al sistema no homogeneo E3,3

x1 + 2x2 − x3 = 2

2x1 + 3x2 + 5x3 = 5

−x1 − 3x2 + 8x3 = −1

usando los resultados anteriores.

Solucion de 6.39: Consideremos la matriz aumentada de E3,3, la cual es:

⎛⎜⎝

1 2 −1 22 3 5 5−1 −3 8 −1

⎞⎟⎠

El alumno debe ser capaz de obtener la siguiente matriz⎛⎜⎝

1 0 13 40 −1 7 10 0 0 0

⎞⎟⎠

, apli-

cando operaciones elementales a lo largo de los renglones.

Ası tenemos que x1 = 4 − 13t, x2 = −1 + 7t y x3 = t, para cualquier t ∈ R, conesto tenemos que la soluciones son y = (x1, x2, x3) = (4 − 13t, −1 + 7t, t), del lacual podemos descomponer en x = xp + xh con xp = (4, −1, 0) y xh = t(−13, 7, 1).Por ejemplo si t = 1 otra solucion al sistema E3,3 serıa y = (−9, 6, 1).

Page 125: Notas algebra

6.6. CRITERIOS DE EXISTENCIA DE SOLUCIONES 115

Ejercicios

1. Utilizando la Definicion 6.32, realice una demostracion alterna del Ejemplo6.31.

2. Pase los siguientes sistemas a su forma matricial y n−adas.

a) 3x + 2y − z = 4x − y + 3z = 02x + y − 4z = 8,

b) x + 7y − 4z = 13x − y − 2z = 34x − y − 8z = 11.

3. Muestre que la solucion xh del Ejemplo 6.39 es solucion al sistema ho-mogeneo asociado de E3,3, para alguna t ∈ R.

4. Demuestre el Corolario 6.38

6.6. Criterios de existencia de soluciones

Como ya se definio, los sistemas de ecuaciones consistentes son aquellos quetiene al menos una solucion. Ahora veremos que hay una subclasificacion de estossistemas.

Definicion 6.40 (Sistemas consistentes determinados e indeterminados). SeaEm,n un sistema de ecuaciones lineales. Diremos que Em,n es determinado siposee una unica solucion. Y diremos que Em,n es indeterminado si posee unainfinidad de soluciones.

Antes de dar un criterio para la existencia de soluciones, el siguiente lema nossera de utilidad para la demostracion de dicho criterio.

Lema 6.41. Sea Em,n. Existe una solucion x1 ∈ Rn al sistema Em,n, si y solo

si, x1 es tambien solucion al sistema E′m,n representado por SAx = Sb, donde

S es una matriz invertible.

Demostracion. ⇒) Sea Em,n un sistema de ecuaciones lineales. Sea x1 una solucional sistema Em,n y sea S ∈ Mm×m(R) una matriz invertible. Entonces como x1 essolucion, se satisface la igualdad al substituir la solucion, es decir,Ax1 = b, entoncesmultiplicar por S tenemos que SAx1 = Sb, por lo tanto x1 es solucion al sistemaE′

m,n representado por SAx = Sb.⇐) Sea E′

m,n un sistema de ecuaciones lineales. Sea x1 una solucion al sistemaE′

m,n y sea S ∈ Mm×m(R) una matriz invertible. Entonces como x1 es solucion,

Page 126: Notas algebra

116 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

entonces se da la igualdad al substituir x1 en SA(x1) = Sb, como S es invertibleentonces S−1SA(x1) = S−1Sb, ası tenemos que x1 es solucion al sistema Em,n, yaque la multiplicacion nos da ImA(x1) = Imb, lo que es lo mismo A(x1) = b.

Teorema 6.42 (Existencia de soluciones). Sea Em,n un sistema de ecuaciones.Tiene una solucion si y solamente si el rango de la matriz del sistema A es igualal rango de la matriz aumentada A′. Si A y A′ tiene el mismo rango r, entoncesr de las variables pueden expresarse como una combinacion lineal de los elementos

de b, y el resto n − r variables se le pueden asignar valores arbitrarios.

Demostracion. Sea Em,n un sistema, y sean A y A′. Supongamos que r(A) = r.Transformando a la matriz A en una matriz escalonada reducida mediante

operaciones elementales. Entonces los primeros r-renglones de A son diferentes de0. Ahora supongamos que los primeros elementos que diferentes de cero, de losr-renglones, estan en las columnas k1, . . . , kr, respectivamente. Como a la matrizescalonada reducida de A se puede obtener mediante la multiplicacion de unamatriz invertible S entonces multiplicamos al sistema por S, lo cual nos da elsistema SAx = Sb.

Ahora, los ultimos (m − r)-renglones de la matriz SA son iguales a 0, por loque los ultimos (m − r)-renglones de SAx son iguales a 0. Por lo tanto si Ax = bes consistente, los ultimos (m−r)-renglones de Sb estan necesariamente formadospor ceros.

Ahora, consideramos que los ultimos (m− r)-renglones de Sb son ceros y seanb1, . . . , br los elementos de Sb distintos de cero. Denotaremos por pij el elementoque se encuentra en la i−esimo renglon y la j−esima columna de SA. Entonces elsistema de ecuaciones SAx = Sb proporciona el siguiente conjunto de r ecuaciones:

xk1 + p1k1+1xk1+1 +⋯ + p1nxn = b1xk2 + p2k2+1xk2+1 +⋯ + p2nxn = b2⋮ ⋮ ⋱ ⋮ = ⋮

xkr + prkr+1xkr+1 +⋯ + prnxn = br

donde p1kj = 0 para j = 2, . . . , r; p2kj para j = 3, . . . , r . . . , pr−1kj = 0 para j = r.Ası las variables xk1 , . . . , xkr pueden ser expresadas como una combinacion lineallas variables xj restantes y de las constantes br, y aplicando el Lema 6.41, tenemosque esta combinacion es una solucion al sistema.

Ahora tenemos que los ultimos (m − r)-renglones de SA estan compuestos deceros y que el sistema Ax = b tiene una unica solucion si y solamente si las ultimas(m − r)-renglones de Sb, entonces si Ax = b tiene una solucion, SA y SA′ tiene elmismo rango, puesto que SA′ es la matriz SA con la columna b. Ası, si Ax = btiene una solucion, A y A′ tiene el mismo rango r. Recıprocamente, si A y A′

Page 127: Notas algebra

6.6. CRITERIOS DE EXISTENCIA DE SOLUCIONES 117

tienen el mismo rango r, SA y SA′ tienen el mismo rango y de aquı que SA′ tienem−r-renglones iguales a cero, y el sistema Ax = b tiene una solucion. Por lo tanto,el sistema Em,n tiene solucion si y solamente si A y A′ tiene el mismo rango.

Ejemplo 6.43. Considere el sistema E3,4 dado por:

x − y + 2z +w = 2

3x + 2y +w = 1

4x + y + 2z + 2w = 3

Determine si existe una solucion, y si sı, obtenga un sistema equivalente que seamas facil de resolver, mediante operaciones elementales.

Solucion de 6.43: Escribamos el sistema E3,4 en su forma matricial, lo cual tene-mos:

⎛⎜⎝

1 −1 2 13 2 0 14 1 2 2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

xyzw

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎝

213

⎞⎟⎠

Consideremos la matriz aumentada A′ del sistema. Aplicando operaciones elemen-tales, llevaremos a A′ a una matriz escalonada reducida y simultaneamente a Aen una matriz escalonada reducida.

A′ =⎛⎜⎝

1 −1 2 1 23 2 0 1 14 1 2 2 3

⎞⎟⎠

∼⎛⎜⎝

1 0 45

35 1

0 1 −65 −2

5 −10 0 0 0 0

⎞⎟⎠

Por lo tanto, el rango de ambas matrices es 2. Por lo tanto es sistema E3,4 esconsistente indeterminado. Ası un sistema equivalente a E3,4 es de la forma:

⎛⎜⎝

1 0 45

35

0 1 −65 −2

5

0 0 0 0

⎞⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

xyzw

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎝

1−10

⎞⎟⎠

dando las ecuaciones

x = −4

5z− 3

5w + 1

y = 6

5z+ 2

5w − 1

Page 128: Notas algebra

118 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Cuando estos valores de x y y se substituyen en las ecuaciones del sistema original,las ecuaciones se reduciran a identidades. Tambien se puede dar valores arbitrariosa z y w, ası, el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

Ejercicios

Utilice el Teorema 6.42 para determinar si existe una solucion para los siguien-tes sistemas. Si sı hay solucion, aplique operaciones elementales a los renglones dela matriz aumentada para encontrar un sistema equivalente mas facil de resolvery de la solucion.

1. 6x + 4y + 3z − 84w = 0x + 2y + 3z − 48w = 0x − 2y + z − 12w = 04x − 4y − z − 24w = 0,

2. x + y + 2z = 9x + y − z = 02x − y + z = 3x + 3y + 2z = 1,

3. 3x − 2y + z + 6 = 02x + 5y − 3z − 2 = 04x − 9y + 5z + 14 = 0,

4. 4x + 7y − 14z = 102x + 3y − 4z = −4x + y + z = 6,

5. 2x − y − 2z = 0x − 2y + z = 02x − 3y − z = 0,

6. 4x − y + z = 52x − 3y + 5z = 1x + y − 2z = 25x − z = 2.

6.7. Resolucion de sistemas

Ya hemos resuelto varios sistemas de ecuaciones lineales, y en esencia hemosocupado las operaciones elementales e intentado dejar el sistema dado en uno masfacil de resolver, de tal forma que una variable sea facil de determinar para despuessubstituirla en las demas ecuaciones. Ahora daremos el algoritmo de eliminacionde Gauss1-Jordan2 para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

1Carl Frederich Gauss (1777-1875). Se le suele llamar “el prıncipe de las matematicos”. Hizoimportantes contribuciones a la teorıa de los numeros, a la teorıa de funciones, a la probabilidady la estadıstica. Descubrio un metodo para calcular las orbitas de los asteroides; fue el autor dedescubrimientos basicos en la teorıa de electromagnetismo e invento el telegrafo.

2Camille Jordan (1838-1922). Fue profesor en la Ecole Polytechnique de Parıs. Fue pioneroen varias ramas de las matematicas, incluyendo la teorıa de las matrices. Es famoso, por elteorema de las curvas de Jordan, el cual afirma que “una curva cerrada simple (tal como una

Page 129: Notas algebra

6.7. RESOLUCION DE SISTEMAS 119

Pseudo-Algoritmo 6.44 (Eliminacion de Gauss-Jordan). Sea A ∈Mm×n(R) lamatriz aumentada para un sistema Em,n. El objetivo es obtener una matriz A′

en su forma escalonada reducida de la matriz A.Etapa 1: Localizar en el extremo izquierdo la columna de la matriz A que no

conste exclusivamente de ceros.Etapa 2: Si es necesario, intercambiar el renglon superior con otro renglon,

de tal manera que el elemento que esta al inicio de la columna encontrada en laEtapa 1 sea diferente de cero.

Etapa 3: Si el elemento que ahora esta al comienzo de la columna que seha encontrado en la Etapa 1 es a ≠ 1, entonces, aplicar la operacion elementalMi (1

a), para que el primer elemento sea 1.

Etapa 4: Sumar multiplos adecuados del primer renglon a los renglones sub-secuentes, de tal forma que en la columna localizada en la Etapa 1, todos loselementos despues del primero sean cero.

Etapa 5: Cubrir el primer renglon y la columna encontrada en la Etapa 1 ycomenzar de nuevo en la Etapa 1 aplicada a la submatriz resultante. Proseguirde esta manera hasta que la matriz A este en su forma escalonada y pasar a laEtapa 6.

Etapa 6: Comenzado por el ultimo renglon, y avanzando hacia arriba, sumarmultiplos adecuados de cada renglon a los renglones superiores de el, de tal maneraque se obtenga una matriz en su forma escalonada reducida A′.

Ejemplo 6.45. Consideremos la siguiente matriz⎛⎜⎝

0 0 −2 0 7 122 4 −10 6 12 282 4 −5 6 −5 −1

⎞⎟⎠

, la

cual es la aumentada para un sistema E3,5. Aplicando el algoritmo de la elimina-cion de Gauss-Jordan, resolveremos el sistema.

Primero, localicemos la columna extrema izquierda que no conste de ceros, lacual es C1 = (0, 2, 2).

Segundo, como el primer elemento de C1 es cero, necesitamos intercambiar elprimer renglon con el renglon que tenga el primer elemento distinto de cero, elcual es el segundo renglon. Por lo que, aplicamos la operacion elemental P21 a losrenglones, por lo que la matriz resultante es:

⎛⎜⎝

2 4 −10 6 12 280 0 −2 0 7 122 4 −5 6 −5 −1

⎞⎟⎠

Tercero, como el primer elemento de C1 = (2, 0, 2) es 2, aplicamos la operacion

circunferencia o un cuadrado) divide al plano en dos regiones conexas ajenas”. [How84]

Page 130: Notas algebra

120 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

M1 (12), por lo que, obtenemos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 6 140 0 −2 0 7 122 4 −5 6 −5 −1

⎞⎟⎠

Cuarto, ahora se debemos hacer a todos los elementos de bajo de primer ele-mento de C1 = (1, 0, 2), ası, aplicamos la operacion A13(−2), por lo tanto obtene-mos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 6 140 0 −2 0 7 120 0 5 0 −17 −29

⎞⎟⎠

Quinto, obtenemos la submatriz que se obtiene de cubrir el primer renglon, ybuscamos la primer columna extrema izquierda que no conste de ceros, la cual esC3 = (−2, 5).

Como el primer elemento es −2, entonces hay que aplicar la operacion M2 (−12)

y obtenemos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 6 140 0 1 0 −7

2 −60 0 5 0 −17 −29

⎞⎟⎠

Ahora hay que hacer ceros de bajo del primer elemento de C3 = (1, 5), por loque aplicamos la operacion A23(−5), con ello obtenemos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 6 140 0 1 0 −7

2 −60 0 0 0 1

2 1

⎞⎟⎠

Obtenemos la submatriz que se obtiene de cubrir el primer y segundo renglon.Buscamos la primer columna extrema izquierda que no conste de ceros, la cual esC5 = (1

2).

Aplicamos la operacion M3(2), lo cual nos da la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 6 140 0 1 0 −7

2 −60 0 0 0 1 2

⎞⎟⎠

Esta ultima matriz esta en su forma escalonada, con lo que procedemos con elPaso 6.

Sexto, tomando el ultimo renglon, sumamos multiplos adecuados para obte-ner ceros en las posiciones restantes de C5. Aplicando las operaciones A32 (7

2) y

Page 131: Notas algebra

6.7. RESOLUCION DE SISTEMAS 121

A31(−6) obtenemos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 −5 3 0 20 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2

⎞⎟⎠

Y por ultimo, tenemos que hacer ceros en las otras posiciones de la columnaC3, ası que aplicamos la operacion A21(5), con lo que obtenemos la matriz

⎛⎜⎝

1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2

⎞⎟⎠= A′

Ası la matriz A′ es la forma escalonada reducida de la matriz A. Por lo que elsistema E3,5 esta resuelto.

Ejemplo 6.46. Considere el siguiente sistema de ecuaciones E4,6

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

Resuelva el sistema utilizando la eliminacion de Gauss-Jordan.

Solucion de: 6.46 La matriz aumentada del sistema E4,6 es

⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 0 2 0 02 6 −5 −2 4 −3 −10 0 5 10 0 15 52 6 0 8 4 18 6

⎞⎟⎟⎟⎠

Aplicando las operaciones A12(−2) y A14(−2) obtenemos la matriz

⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 0 2 0 00 0 −1 −2 0 −3 −10 0 5 10 0 15 50 0 4 8 0 18 6

⎞⎟⎟⎟⎠

Ahora aplicamos las siguientes operaciones M2(−1), A23(−5) y A24(−4) tenemos

⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 0 2 0 00 0 1 2 0 3 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 6 2

⎞⎟⎟⎟⎠

Page 132: Notas algebra

122 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Por ultimo, aplicamos P34, y despues M3 (16), obtenemos la matriz escalonada

siguiente

⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 −2 0 2 0 00 0 1 2 0 3 10 0 0 0 0 1 1

3

0 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

Ahora para obtener la matriz en su forma escalonada reducida aplicamos A32(−3)y A21(2), obtenemos la matriz en su forma escalonada reducida siguiente

⎛⎜⎜⎜⎝

1 3 0 4 2 0 00 0 1 2 0 0 00 0 0 0 0 1 1

3

0 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

Por lo que el sistema correspondiente es

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 1

3

Como nos podemos dar cuenta, la ultima ecuacion se suprimio del sistema original.Despejando las variables x1, x3 y x6, obtenemos

x1 = −3x2 − 4x4 − 2x5

x3 = −2x4

x6 = 1

3

Par terminar, si a las variables x2, x4 y x5 se les asignan valores arbitrarios r,s y t ∈ R, respectivamente, el conjunto de soluciones quedara definido por lassiguientes igualdades x1 = −3r − 4s − 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t y x6 = 1

3 .

A menudo es mas conveniente resolver un sistema de ecuaciones lineales lle-vando la matriz aumentada a la forma escalonada, en vez de seguir adelante hastaobtener la forma escalonada reducida. Cuando aplicamos este ultimo metodo, elsistema de ecuaciones correspondiente se puede resolver mediante una tecnicaconocida como substitucion en reversa.

El siguiente teorema toma un sistema de ecuaciones lineales especifico, es decir,cuando el sistema tiene el mismo numero de variables que ecuaciones, y nos dauna otro criterio de la existencia junto con la solucion en especifico.

Page 133: Notas algebra

6.7. RESOLUCION DE SISTEMAS 123

Teorema 6.47. Sea En,n un sistema de ecuaciones lineales. Si la matriz de coe-ficientes A del sistema es invertible, entonces el sistema tiene una unica solucion

dada por x =A−1b.

Demostracion. Sea En,n y sea A la matriz de coeficientes invertible. Para mostrarque existe la solucion, consideramos el sistema como sigue:

Ax = b(A−1A)x = A−1b Porque A es invertible.

Por lo tanto x = A−1b existe, ya que A−1b existe.Para mostrar la unicidad, supongamos que existe dos soluciones x1 y x2. Por

el Teorema 6.37 tenemos que x1 − x2 es solucion al sistema homogeneo asociadode En,n, es decir A(x1−x2) = 0. Como A es invertible, entonces multiplicamos porA−1 al sistema homogeneo asociado, lo cual nos da:

(A−1A)(x1 − x2) = A−10

x1 − x2 = A−10 Porque A−1A = In.

= 0 Porque A−10 = 0.

Por lo tanto x1 = x2.Ejemplo 6.48. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales E2,2 de laforma

2x1 − 5x2 = 2

−x1 + 3x1 = 3

Utilizando el Teorema 6.47 se puede resolver el sistema. Para saber que lamatriz de coeficientes de E2,2 es invertible, aplicamos el Teorema 5.23, con loque el det(A) = 1, por lo tanto A es invertible. Aplicando ahora el Teorema 5.49

tenemos que A−1 = (3 51 2

).

Por lo tanto

x = (3 51 2

)(23) = (21

8)

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del Teorema 6.47, peroaplicado a un sistema Hn,n. Ası la demostracion se queda como un ejercicio parael estudiante.

Corolario 6.49. Sea Hn,n un sistema de ecuaciones lineales homogeneo. Si lamatriz de coeficientes A del sistema es invertible, entonces el sistema solo tienea 0 = (0, . . . , 0) como solucion.

Page 134: Notas algebra

124 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicios

1. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando losteoremas y la eliminacion de Gauss-Jordan.

a) 3x + 1y = 35x + 2y = 1,

b) 2x − 3y = 04x + 4y = 3,

c) 3x1 + 4x2 = 45x1 + 6x2 = 9,

d) x + y + 3z = 0

3x + 2y − z = 85x − 4y − 3z = 0,

e) x + 2y + 3z = 12x + 5y + 3z = 0x + 8z = 4,

f ) x + 6y + 4z = 12x + 4y − z = 1− x + 2y + 5z = 1,

2. Demuestre el Corolario 6.49, utilice el Teorema 6.47.

6.8. La regla de Cramer

En esta ultima seccion, veremos otra forma de resolver un sistema de ecuacio-nes lineales En,n. Primero tomamos en cuenta el concepto de matriz (la aumenta-da) para resolver dicho sistema, despues consideramos matrices (la de coeficientes,las variables x y los terminos independientes b) para dar una representacion ma-tricial, luego consideramos un sistema con n variables y n ecuaciones junto consu representacion matricial para aplicar el criterio de la inversa de la matriz decoeficientes y obtener una solucion al sistema. Ahora aplicaremos el concepto dedeterminantes a la matriz de coeficientes y a la matriz b. Ası, el siguiente teoremanos da la relacion entre las matrices de coeficientes y su determinante.

Teorema 6.50 (Regla de Cramer). Sea En,n un sistema de ecuaciones lineales.Sea A la matriz de coeficientes de En,n tal que det(A) ≠ 0, entonces el sistematiene una unica solucion de la forma

x1 =det(A1)det(A)

, . . . , xn =det(An)det(A)

donde Aj es la matriz que se obtiene de remplazar los elementos de la j-esima

columna de A por los elementos de b.

Page 135: Notas algebra

6.8. LA REGLA DE CRAMER 125

Para la demostracion del teorema, como se sabe que si det(A) ≠ 0 es invertibleentonces tenemos una solucion unica, ası que solo nos faltarıa mostrar que lasolucion tiene la forma que nos dice el teorema.

Demostracion. Sea En,n un sistema de ecuaciones lineales. Sea A la matriz decoeficientes de En,n. Supongamos que det(A) ≠ 0, entonces por el Teorema 5.23tenemos que A es invertible, y aplicando el Teorema 6.47 tenemos que x = A−1b,pero por el Teorema 5.49 tenemos que

x = 1

det(A)adj(A) ⋅ b

= 1

det(A)CtA ⋅ b por Definicion 5.47.

= 1

det(A)⎛⎜⎝

C11 ⋯ Cn1⋮ ⋱ ⋮

C1n ⋯ Cnn

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

b1⋮bn

⎞⎟⎠

Ahora multiplicando las matrices CtA y b, tenemos

= 1

det(A)⎛⎜⎝

b1C11 +⋯ + bnCn1⋮

b1C1n +⋯ + bnCnn

⎞⎟⎠

Por lo que cada elemento de x tiene la forma xj =b1C1j +⋯ + bnCnj

det(A) .

Ahora, considerese la matriz Aj =⎛⎜⎝

a11 . . . a1j−1 b1 a1j+1 . . . a1n⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 . . . anj−1 bn anj+1 . . . ann

⎞⎟⎠

. Da-

do que Aj difiere de A unicamente en la columna j, los cofactores de los elementosb1, . . . , bn de Aj son iguales a los cofactores de los elementos de la j-esima columnade A. Por lo que el desarrollo por cofactores del det(Aj) a lo largo de la j-esimacolumna esta dado por

det(Aj) = b1C1j +⋯ + bnCnj

Por lo tanto xj =det(Aj)det(A) .

Ejemplo 6.51. Sea E3,3 un sistema de ecuaciones lineales dado por

x1 + 2x3 = 6

−3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

−x1 − 2x2 + 3x3 = 8

Resuelva el sistema E3,3 utilizando la Regla de Cramer.

Page 136: Notas algebra

126 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Solucion de 6.51: Primero obtengamos las matrices que la Regla de Cramerrequiere, las cuales son cuatro, una de ellas es la matriz de coeficientes y el restolas que determinan la solucion.

A =⎛⎜⎝

1 0 2−3 4 6−1 −2 3

⎞⎟⎠

A1 =⎛⎜⎝

6 0 230 4 68 −2 3

⎞⎟⎠

A2 =⎛⎜⎝

1 6 2−3 30 6−1 8 3

⎞⎟⎠

A3 =⎛⎜⎝

1 0 6−3 4 30−1 −2 8

⎞⎟⎠

Ası, det(A1) = −40, det(A2) = 72, det(A3) = 152 y det(A) = 44, aplicando laformula para encontrar la solucion tenemos que x1 = −40

11 = −1011 , x2 = 72

44 = 1811 y

x3 = 15244 = 38

11 .

Observacion 6.52. Para resolver un sistema de En,n mediante la Regla de Cra-mer, se necesitan calcular n+1 determinantes para las matrices en Mn×n(R). Parasistemas con mas de tres ecuaciones, la eliminacion de Gauss-Jordan requiere efec-tuar menos operaciones ya que solamente se necesita reducir la matriz aumentadaa su forma escalonada reducida. Sin embargo, la Regla de Cramer proporcionauna formula para cada elemento de la solucion.

Ejercicios

1. Sea Hn,n un sistema de ecuaciones lineales homogeneo. Sea A la matriz decoeficientes de Hn,n invertible. Utilizando la Regla de Cramer, muestre quela unica solucion de Hn,n es 0.

2. Resuelva cada uno de los siguientes sistema con la Regla de Cramer.

a) 3x1 − 4x2 = −52x1 + x2 = 4,

b) 4x1 + 5x2 = 211x1 + x2 + 2x3 = 3x1 + 5x2 + 2x3 = 1,

c) x + y − 2z = 12x − y + z = 2x − 2y − 4z = −4,

d) 2x1 − x2 + x3 = 84x1 + 3x2 + x3 = 86x1 + 2x2 + 2x3 = 15.

Page 137: Notas algebra

6.8. LA REGLA DE CRAMER 127

3. Sea En,n sistema con coeficientes enteros y constantes enteras, es decir, A ∈Mn×n(Z) y b ∈Mn×1(Z). Demuestre que si det(A) = 1, entonces la soluciontiene elementos enteros, es decir x ∈Mn×1(Z).

Aplicacion hacia la Fısica

Circuitos electricos

Para resolver circuitos electricos se deben tomar en cuenta una serie de conven-ciones, ası como la ley de Ohm: “El voltaje en un elemento electrico es proporcionala la corriente que pasa por el”:

V = RI (6.1)

Las reglas de Kirchhoff que dicen:

1. La suma de las corrientes en un nodo es cero.

2. La suma de los voltajes en una malla es cero.

Lo que nos dice la primera ley es que toda la corriente que entra a un nodo estoda la que va a salir de ese nodo, es la conservacion de la carga. La segunda hacealusion a la conservacion de la energıa.

Las convenciones que se deben seguir son:

1. El sentido de la corriente que se elija para una malla debe ser el mismo paratodas las demas, y comunmente se usa el antihorario.

2. Las corrientes salen del polo positivo de las fuentes y entran por el polopositivo de los demas elementos electricos.

Ejemplo 6.53. Considere el circuito de la Figura 6.1. Calcular:

1. la intensidad de la corriente por la resistencia de 4Ω,

2. la diferencia de potencial en bornes de ab, fc y ed.

Solucion de 6.53:

1. El sentido de la intensidad por la resistencia de 4Ω no se conoce, ya queε1 tiende a que la corriente circule de a a b, y ε2 tiende a lo contrario. Porconsiguiente, supondremos un sentido arbitrario y se elige el que se presentaen la propia figura del circuito.

Page 138: Notas algebra

128 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Figura 6.1: Circuito para el Ejemplo 6.53.

Segun la primera ley de Kirchhoff:

I2 = I1 + I3 En el nodo f . (6.2)

Segun la segunda ley de Kirchhoff:

Malla fcbaf 3 − 2I2 − 5I2 − 4I3 = 0 (6.3)

Malla fcdef 3 − 2I2 − 5I2 + 2 − 1I1 = 0 (6.4)

El sistema de ecuaciones que resulta es:

I1 + 7I2 =5

7I2 + 4I3 =3

I2 − I3 − I1 =0

Al quedarnos con la matriz aumentada y realizar operaciones elementalespor renglon, llegamos a la solucion

⎛⎜⎝

1 7 0 50 7 4 3−1 1 −1 0

⎞⎟⎠

A13(1),A21(−1),M2(17)

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 0 −4 20 1 4

737

0 8 −1 5

⎞⎟⎠

A23(−8)ÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 0 −4 20 1 4

737

0 0 −397

117

⎞⎟⎠

M3(−397),A31(4),A32(−

47)

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→⎛⎜⎝

1 0 0 3439

0 1 0 11271911

0 0 1 −1139

⎞⎟⎠

Ası que: I1 = 0.872A, I2 = 0.590A y I3 = −0.282A. La corriente por la resis-tencia de 4Ω vale 0.282A y su sentido es de a a b; el signo menos nos indicaque el sentido de la corriente es contrario al que se habıa supuesto.

Page 139: Notas algebra

6.8. LA REGLA DE CRAMER 129

2. Las diferencias de potencial (D.d.p) o caıdas de tension en ab, fc y ed debende ser iguales. Usando la Ley de Ohm (6.1) se tiene:

a) D.d.p en bornes de ab = 4Ω × 0.282A = 1.13V.

b) D.d.p en bornes de fc = −3V + (2 + 5)Ω × 0.590A = 1.13V.

c) D.d.p en bornes de ed = 2V − (1Ω × 0.872A) = 1.13V.

Ejemplo 6.54. Hallar las intensidades de corriente de I1, I2 y I3 por las ramasdel circuito representado en la Figura 6.2. Suponga tambien, que los sentidos decirculacion que se indican.

Figura 6.2: Circuito para el Ejemplo 6.54.

Solucion de 6.54: Segun la primera ley de Kirchhoff:

En el nodo d I1 + I2 + I3 = 0. (6.5)

Segun la segunda ley de Kirchhoff:

La malla abdca ∶ 15 − I1 − 9.5I1 + 10 + 0.5I3 = 0 (6.6)

Page 140: Notas algebra

130 CAPITULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Antes de continuar, veamos que en la rama dc, el sentido de d a c es contrario alsupuesto para las corrientes I2; por consiguiente, al pasar por la baterıa se eleva latension en el valor de su fem, de 10V, y lo mismo ocurre en su resistencia interna,en la que sube su tension en 0.5I2.

La malla cdfec ∶ − 10 − 0.5I2 + 1.4I3 − 3 + 0.1I3 = 0 (6.7)

Tambien, observemos:

1. En la rama cd, el sentido de c a d es el mismo que el se supone para lacorriente I2, por consiguiente, existe una caıda de tension en la baterıa enel valor de su fem, de 10V, y otra caıda en bornes de su resistencia interna,0.5I2.

2. En dfe, el sentido de d a f y de f a e es contrario al que se supuso paraI3; por tanto, sube la tension en 1.4I3, vuelve a subir en 0.1I3 y cae en 3V,debido a la fem de la baterıa.

El sistema de ecuaciones que resulta es:

I1 + I2 + I3 =0

10.5I1 − 0.5I2 =25

−0.5I2 + 1.5I3 =13

Usamos la Regla de Cramer para resolver este sistema. Entonces sean:

D =RRRRRRRRRRRRRR

1 1 110.5 −0.5 0

0 −0.5 1.5

RRRRRRRRRRRRRR= −21.75

El determinante de la matriz de coeficientes y

D1 =RRRRRRRRRRRRRR

0 1 125 −0.5 013 −0.5 1.5

RRRRRRRRRRRRRR, D2 =

RRRRRRRRRRRRRR

1 0 110.5 25 0

0 13 1.5

RRRRRRRRRRRRRR, D3 =

RRRRRRRRRRRRRR

1 1 010.5 −0.5 25

0 −0.5 13

RRRRRRRRRRRRRR.

Los valores de los determinantes son: D1 = −43.5, D2 = 174 y D3 = −130.5. Conesto las corrientes quedan como:

I1 =−43.5

−21.75= 2A; I2 =

174

−21.75= −8A; I3 =

−130.5

−21.75= 6A.

El signo negativo que aparece en I2 indica que el sentido de circulacion de dichaintensidad es contrarıa a la que se habıa supuesto.

Page 141: Notas algebra

Capıtulo 7

Numeros complejos

Para este capıtulo supondremos que el estudiante tiene una cierta familiaridadcon las principales propiedades de los numeros reales. El conjunto de los numerosreales fue el resultado de la busqueda de un sistema (con ciertas reglas) queincluyeran a los racionales, y que ademas proporcionara soluciones a las ecuacionespolinomiales de la forma x2 − 2 = 0.

Se hizo una consideracion similar, la cual dio origen a la extension de losnumeros reales. A principios del siglo XVI, Geronimo Cardano1 considero ecuacio-nes cuadraticas (y cubicas) tales como x2 + 2x + 2 = 0 que no son satisfechas por

ningun numero real. La formula cuadratica (−b±√b2 − 4ac)/2a da expresiones bien

definidas para las dos soluciones a la ecuacion con la forma ax2 + bx + c = 0, peroesta formula podra requerir raıces cuadradas de numeros negativos, por ejemplo−1 ±

√−1 para la ecuacion x2 + 2x + 2 = 0. Cardano noto que si estos “numeros

complejos” son tratados como numeros ordinarios con la regla√−1 ⋅

√−1 = −1

estos resolvıan las ecuaciones.En el siglo XVIII, con los trabajos de Leonhard Euler se revelo una profunda

relacion entre los numeros complejos y las funciones trigonometricas, es decir,eiθ = cos(θ) + i sin(θ).

No fue hasta los trabajos de Casper Wessel (1797), Jean Robert Argand (1806),Karl Friedrich Gauss (1831) y William R. Hamilton (1837), que se clarifico elsignificado de los numeros complejos y se comprendio que no tenıan nada de

1Geronimo Cardano (1501-1576) fue un medico notable, ademas de un celebre matematicoitaliano del Renacimiento, un astrologo de valıa y un estudioso del azar. Filosofo y destacadoenciclopedista, fue autor de una de las primeras autobiografıas modernas. Nacido en Pavıa,Italia, era hijo ilegıtimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matematicas que fueamigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, entro en la Universidad de Pavıa y estudio medicina enPadua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputacioncomo medico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en lascortes (atendio al Papa y al arzobispo escoces de St. Andrews).

131

Page 142: Notas algebra

132 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

“imaginario” en ellos (aunque el termino se emplea aun).

7.1. El campo de los complejos

Lo primero que haremos sera definir a los numeros complejos y mostrar quetienen propiedades que son adecuadas para que las manipulaciones algebraicasusuales se cumplan. La idea basica de los numeros complejos se le atribuye aJean Robert Argand, quien sugirio usar puntos en el plano para representar a losnumeros complejos, pero esta idea ya no es utilizada comunmente.

Definicion 7.1 (Numeros Complejos). Sea i ∶=√−1. Diremos que el conjunto de

los numeros complejos (denotados por C) es z ∣ z = x + yi, tal que ;x,y ∈ R.

La definicion anterior es la notacion estandar, pero en ocasiones se podra es-cribir un numero complejo z = (x, y) donde x, y ∈ R, es decir, como puntos enel plano cartesiano R2. Identificaremos a los numeros reales x con puntos en eleje x, ası x y (x,0) representaran al mismo punto (x,0) en R2. Tambien el eje ysera llamado el eje imaginario y el punto (0,1) sera denotado por i, por lo tantoi = (0,1). Notese tambien que i2 = i ⋅ i = −1.

Definicion 7.2 (Parte real e imaginaria de los numeros complejos). Sea z ∈ C conz = x + iy. Diremos que la parte real de z (denotada por Re(z)) es x y la parteimaginaria (denotada por Im(z)) es y. Dicho en forma de funciones, tenemosque

Re ∶ C→ R; Re(z) = xy ademas

Im ∶ C→ R; Im(z) = y.

Definicion 7.3 (Igualdad de numeros complejos). Sean z, w ∈ C. Diremos quez y w son iguales si y solo si Re(z) =Re(w) y Im(z) = Im(z).

La definicion anterior se obtiene de la igualdad entre parejas ordenadas y elconsiderar a los numeros complejos como puntos en el plano cartesiano de numerosreales.

Definicion 7.4 (Suma de numeros complejos). Sean z, w ∈ C con z = z1 + z2i,w = w1 +w2i . La suma de z con w es el numero complejo z +w = (z1 +w1) +(z2 +w2)i. Dicho en forma de funcion, la suma es

+ ∶ C ×C→ C

+(z, w) = (z1 +w1) + (z2 +w2)i.

Page 143: Notas algebra

7.1. EL CAMPO DE LOS COMPLEJOS 133

Definicion 7.5 (Multiplicacion escalar). Sea z ∈ C con z = z1 + iz2 y sea c ∈ R.La multiplicacion escalar esta dada por cz = cz1 + icz2. Dicho en la forma defuncion, la multiplicacion escalar es

⋅ ∶ R ×C→ C;

con la regla⋅(c,z) = cz.

Ejemplo 7.6. Sea z = 1+3i y w = 4+2i. Entonces z+w = (1+3i)+(4+2i) = 5+5i.Ahora Re(z +w) = 5 e Im(z +w) = 5. Podrıamos decir que Re(z +w) = Re(z) +Re(w) y de igual forma Im(z + w) = Im(z) + Im(w). Pero la demostracion sequeda como un ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 7.7. Sea z = 1 + 9i y c = 3. Entonces la multiplicacion escalar es 3z =3 + 27i.

Definicion 7.8 (Multiplicacion de numeros complejos). Sean z, w ∈ C con z =z1+z2i y w =w1+w2i. La multiplicacion de z con w es el numero complejo z ⋅w =(z1w1 −z2w2)+ (z1w2 +z2w1)i. Dicho en forma de funcion, la multiplicacion es

⋅ ∶ C ×C→ C

con la regla⋅(z,w) = (z1w1 − z2w2) + (z1w2 + z2w1)i

Ejemplo 7.9. Sean z = 3 + i8 y w = 1 + i2. Entonces z ⋅ w = (3 + 8i)(1 + 2i) =(3 − 16) + (6 + 8)i = −13 + 14i.

Por abuso de la notacion, se omitira el punto entre los numeros complejoscuando se este multiplicando. La formula para la multiplicacion de dos numeroscomplejos se puede obtener si se considera la ley distributiva y asociativa de losnumeros reales. Ası, surge una proposicion para los numeros complejos, que seobtiene de las propiedades de los numeros reales.

Proposicion 7.10 (Leyes conmutativa, asociativa y distributiva). Sean z, w,s ∈ C con z = z1 + z2i, w = w1 + w2i y s = s1 + s2i, entonces se cumplen losiguiente:

1. zw =wz (conmutativa).

2. z(ws) = (zw)s (asociativa).

3. z(w + s) = zw +zs (distributiva).

Page 144: Notas algebra

134 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Demostracion. Sean z, w, s ∈ C. Las demostraciones se deben hacer por igualda-des, aplicando las propiedades de los numeros reales.

1. Conmutativa. Sean z = z1 + z2i y w = w1 +w2i, entonces

zw = (z1 + z2i)(w1 +w2i) Por hipotesis.

= (z1w1 − z2w2) + (z1w2 + z2w2)i Definicion 7.8.

= (w1z1 −w2z2) + (w2z1 +w1z2)i= (w1z1 −w2z2) + (w1z2 +w2z1)i conmutativa de + y ⋅ en R.

= (w1 +w2i)(z1 + z2i) Definicion 7.8.

= wz Hipotesis.

2. Se deja como ejercicio para el estudiante.

3. Se deja como ejercicio para el estudiante.

Definicion 7.11 (Identidad de la suma). Diremos que 0 = 0 + 0i es la identidad

de la suma, ya que para todo z ∈ C, se tiene que z + 0 = 0 + z = z.

Definicion 7.12 (Inverso de la suma). Sea z ∈ C con z = z1 + z2i. Diremosque el inverso de z bajo la suma es −z ∈ C con −z = −z1 − z2i, de forma quez + (−z) = (−z) + z = 0.

Definicion 7.13 (Identidad de la multiplicacion). Diremos que 1 ∈ C con 1 =1 + 0i es la identidad de la multiplicacion, tal que para todo z ∈ C, se tiene quez ⋅ 1 = 1 ⋅ z = z.

Proposicion 7.14 (Leyes de cancelacion). Sean z, w, s ∈ C. Se cumple los si-guientes enunciados:

1. Si z +w = z + s, entonces w = s.

2. Si zw = zs y z ≠ 0, entonces w = s.

Demostracion. 1. Esta demostracion se queda como ejercicio para el estudian-te. Solo debe utilizar la definicion de la suma y de igualdad de numeroscomplejos.

Page 145: Notas algebra

7.1. EL CAMPO DE LOS COMPLEJOS 135

2. Sean z, w y s ∈ C tales que zw = zs. Debemos mostrar que w = s.

zw = zs De la hipotesis.

0 = zw − zs Definicion 7.12.

= z(w − s) Proposicion 7.10

Si z ≠ 0, entonces tenemos las siguientes ecuaciones que se obtienen de hacerla multiplicacion indicada. Sea h1 = w1 − s1 y h2 = w2 − s2

0 = z1h1 − z2h20 = z2h1 + z1h2 Definicion 7.8.

Despejando h1 de la primer ecuacion, tenemos

h1 =z2h2z1

Aritmetica.

Substituyendo el valor de h1 en la segunda ecuacion, tenemos

0 = z2 (z2h2z1

) + z1h2

= h2 (z22 + z21z1

)

= h2(z21 + z22) Aritmetica.

Entonces, tenemos

h2 = 0 Porque z ≠ 0.

= w2 − s2

Por lo tanto w2 = s2, y sustituyendo h2 en h1, tenemos

h1 = 0 Porque z ≠ 0.

= w1 − s1

Por lo tanto w1 = s1. Por lo tanto w = s.

El estudiante podra suponer que w − s ≠ 0 y llegara a que z = 0, lo cual esequivalente a lo que se ha hecho anteriormente.

Page 146: Notas algebra

136 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Definicion 7.15 (Division de numeros complejos). Sea z, w ∈ C con z = z1 +z2iy w = w1 +w2i con w ≠ 0. Diremos que la division de z entre w (denotada por

z/w) es el numero complejo s =z1w1 + z2w2 + (z2w1 − z1w2)i

w21+w2

2

. Dicho en forma

de funcion, tenemos que

/ ∶ C ×C→ C;

con la regla

/(z,w) =z1w1 + z2w2 + (z2w1 − z1w2)i

w21+w2

2

Ejemplo 7.16. Sean z = 3 + i y w = 2 + 2i. Entonces

z/w = (6 + 2) + (2 − 6)i22 + 22

= 8 − 4i

8= 1 − 1

2i.

Observacion 7.17. De la Definicion 7.15 podemos decir que zw−1 = z

w, ası,

diremos que z−1 = 1

z.

Ejercicios

1. Demuestre el inciso 2. y 3. de la Proposicion 7.10. Hint: proceda por igual-dades como en la demostracion de 1.

2. Demuestre que Re(z+w) = Re(z)+Re(w) y que Im(z+w) = Im(z)+Im(w)para cualesquiera z,w ∈ C.

3. Demuestre que existe una identidad unica para la suma de numeros com-plejos.

4. Demuestre que existe una identidad unica para la multiplicacion de numeroscomplejos.

5. Demuestre que existe un unico inverso para la suma de numeros complejos.

6. ¿Es C un espacio vectorial sobre R? ¿Es posible dar una base para C? Si esposible, ¿cual es y que dimension tiene? Si no es posible, ¿por que?

Page 147: Notas algebra

7.2. EL CONJUGADO 137

7.2. El conjugado

Definicion 7.18 (El conjugado de un numero complejo). Sea z ∈ C con z =z1 + z2i. Diremos que el conjugado de z (denotado por z) es el numero complejoz = z1 − z2i. En su forma de funcion tenemos que

∶ C→ C; z = z1 − z2i.Dado que los complejos son una extension de los numeros reales, entonces

diremos que R ⊂ C, ası que los reales se podran escribir en su forma complejacomo x = x + i0 para algun x ∈ R.

Observacion 7.19. Supongamos que z, z ∈ C, si multiplicamos ambos numeros,obtenemos que z ⋅ z = z21 + z22 + 0i = z21 + z22 . Por lo tanto podemos expresar a la

division en terminos del conjugado de un complejo como sigue z/w = zw

ww.

Ejemplo 7.20. Sea z = 3 − 4i, entonces z = 3 + 4i. Ahora si w = 1 + 2i entoncesw = 1 − 2i. Si multiplicamos ambos conjugados, tenemos z ⋅w = (3 + 4i)(1 − 2i) =11 − 2i. Si multiplicamos z ⋅w = 11 + 2i y le aplicamos el conjugado tenemos z ⋅w= 11 − 2i.

El ejemplo anterior nos hace pensar que z ⋅w = z ⋅ w, por lo que tenemos lasiguiente proposicion que nos da algunas propiedades de la conjugacion de losnumeros complejos.

Proposicion 7.21. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumplen los siguientes enuncia-dos:

1. z +w = z +w.

2. z ⋅w = z ⋅w.

3. (z

w) =

z

w.

4. z = z si y solo si z ∈ R.

5. Re(z) =(z + z)

2y

Im(z) =(z − z)

2i.

6. z = z.

Demostracion. Solo se mostrara el inciso 2. Los demas se quedan como ejerciciospara el estudiante.

2. Sean z = z1 + z2i, w = w1 +w2i ∈ C. Entonces tenemos

z ⋅w = (z1 + z2i)(w1 +w2i)= (z1w1 − z2w2) + (z1w2 + z2w1)i Definicion 7.8.

= (z1w1 − z2w2) − (z1w2 + z2w1)i Definicion 7.18.

Page 148: Notas algebra

138 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Por otro lado

z ⋅w = (z1 + z2i)(w1 +w2i)= (z1 − z2i)(w1 −w2i) Definicion 7.18.

= (z1w1 − z2w2) − (z1w2 + z2w1)i Definicion 7.8.

Por lo tanto z ⋅w = z ⋅w.

Ejercicios

1. Demuestre los incisos 1, 3, 4, 5 y 6 de la Proposicion 7.21. Hint: Utilice lasdefiniciones y procesa por igualdades.

2. Muestre que la Proposicion 7.21 se cumple para los complejos z = 2 + 3i yw = 4 + 9i.

7.3. El modulo

Como ya hemos mencionado, los numeros complejos son una extension de losnumeros reales, y como la definicion de los complejos nos dice que un complejo esz = z1 + z2i con z1, z2 ∈ R, podemos considerar a los complejos como el productocartesiano R2. Con esta idea, podemos definir el modulo de un numero complejo.

Definicion 7.22 (El modulo de un numero complejo). Sea z ∈ C con z = z1+z2i.Diremos que el modulo de z (denotado por ∣z∣) es el numero real ∣z∣ =

√z21+ z2

2.

Dicho en forma de funcion, tenemos que

∣ ∣ ∶ C→ R; ∣z∣ =√z21+ z2

2.

Ejemplo 7.23. Sea z = 3+2i ∈ C. El modulo de z es ∣z∣ =√

32 + 22 =√

9 + 4 =√

13.Ahora si multiplicamos a z con su conjugado z, tenemos que z ⋅ z = 9 + 4 = 13.

El ejemplo anterior nos hace pensar que z ⋅z = ∣z∣2, lo cual es cierto. Por lo quetenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 7.24. Sea z ∈ C. Entonces z ⋅ z = ∣z∣2 y en consecuencia, si z ≠ 0

entonces z−1 =z

∣z∣2.

Page 149: Notas algebra

7.3. EL MODULO 139

La demostracion de la proposicion anterior se deja como un ejercicio para elestudiante.

Como ya hemos mencionado, los numeros complejos pueden ser vistos como elplano cartesiano. Ası, tambien se puede ver un complejo como una pareja ordena.Si consideramos el segmento de recta A0, donde A es el punto que representa aun complejo y 0 al punto origen, se formara un angulo con el ejex. Con esta ideatenemos la siguiente definicion.

Definicion 7.25 (Argumento de un numero complejo). Sea z ∈ C con z = z1+z2i.Diremos que el argumento de z (denotado por arg(z)) es θ ∈ [0, 2π) ⊂ R tal que

tan(θ) =z2

z1. Dicho en forma de funcion, tenemos

arg ∶ C→ [0, 2π); arg(z) = θ.

Ejemplo 7.26. Sea z = 3+ 3i un complejo. Entonces tan(θ) = 3

3= 1, despejando2

el angulo, tenemos θ = π4

.

Como hemos definido, el argumento de un numero complejo esta entre el in-tervalo 0 ≤ θ < 2π, ası cada uno de los numeros complejos distinto de cero tieneun argumento bien definido sin ambiguedad. Sin embargo, es claro que podemosagregar multiplos enteros de 2π a θ, y ası, obtener el mismo numero complejo.Por lo que arg(z) = θ + 2πn, para un n ∈ Z.

Ası como, existen propiedades del conjugado de un numero complejo, haypropiedades para el modulo.

Proposicion 7.27. Sean z, w ∈ C. Entonces ∣z ⋅ w∣ = ∣z∣∣w∣ y arg(z ⋅ w) =[arg(z) + arg(w)](mod 2π).

La demostracion de esta proposicion se dejara al estudiante, pero despues dever la seccion de Representacion Polar de un numero complejo. Ya que con la de-finicion le sera mas facil de realizar dicha demostracion. Ademas de la proposicionque nos da una propiedad del modulo, tenemos las siguientes.

Proposicion 7.28. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumplen las siguientes igualdades:

2Recuerde que las funciones inversas son arc cos(θ), arcsin(θ) y arctan(θ) par cos(θ), sin(θ)

y tan(θ), respectivamente. No se confunda con cos−1(θ) =1

cos(θ), por ejemplo.

Page 150: Notas algebra

140 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

1. Si z ≠ 0,entonces ∣w/z∣ = ∣w∣/∣z∣.

2. ∣Re(z)∣ ≤ ∣z∣ y ∣Im(z)∣ ≤ ∣z∣.

3. ∣z∣ = ∣z∣.

4. ∣z +w∣ ≤ ∣z∣ + ∣w∣.

5. ∣z −w∣ ≤ ∣∣z∣ − ∣w∣∣.

Demostracion. Solo se demostrara el inciso 4 y 5, y las demas se queda comoejercicio para el estudiante.

4. Sean z, w ∈ C. Tenemos que

∣z +w∣2 =(z +w)(z +w) Proposicion 7.24.

=(z +w)(z +w)=zz +ww +wz + zw Proposicion 7.21

Pero wz es el conjugado de zw por la Proposicion 7.21

=∣z∣2 + ∣w∣2 + 2Re(zw) Proposicion 7.21.

≤∣z∣2 + ∣w∣2 + 2∣zw∣ Por el inciso 2.

=∣z∣2 + ∣w∣2 + 2∣z∣∣w∣ Proposicion 7.27.

Pero ∣z∣2 + ∣w∣2 + 2∣z∣∣w∣ = (∣z∣ + ∣w∣)2. Por lo tanto ∣z +w∣ ≤ ∣z∣ + ∣w∣.

5. Sean z, w ∈ C. Aplicando el inciso anterior a los complejos w y z−w, tenemos∣z∣ = ∣w+ (z −w)∣ ≤ ∣w∣+ ∣z −w∣, entonces ∣z∣− ∣w∣ ≤ ∣z −w∣. Haciendo lo mismopero para los complejos z y w− z, tenemos que ∣w∣− ∣z∣ ≤ ∣w− z∣. Por un lado∣w∣− ∣z∣ = −1(∣z∣− ∣w∣), por otro ∣w−z∣ = ∣z−w∣, por lo que ∣z−w∣ ≤ −(∣z∣− ∣w∣).Por lo tanto ∣z∣ − ∣w∣ ≤ ∣z −w∣ ≤ −(∣z∣ − ∣w∣).

Ejercicios

1. Demuestre la Proposicion 7.24.

2. Demuestre los incisos 1, 2 y 3 de la Proposicion 7.28.

3. Sean z = 9 + 2i y w = 2 + 5i. Obtenga el modulo y el argumento de z + w,z −w, w − z, zw, z/w y w/z.

4. Muestre que la Proposicion 7.28 es valida para los complejos z = 1 + 2i yw = 4 + 3i.

Page 151: Notas algebra

7.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 141

7.4. Ecuaciones de segundo grado

Como hemos mencionado antes, el uso de los numeros complejos nos permi-te sacar raıces cuadradas de numeros reales negativos, pero para todo numerocomplejo siempre es posible obtener su raız.

Proposicion 7.29. Sea z ∈ C. Entonces existe w ∈ C tal que w2 = z. (Como enlos numeros reales, −w tambien satisface la ecuacion.)

Demostracion. Sea z = z1+z2i ∈ C con z1, z2 ∈ R. Se quiere encontrar w = x+yi ∈ Ctal que z1 + z2i = (x + yi)2 = (x2 − y2) + 2xyi, por lo que tenemos que resolverlas ecuaciones x2 − y2 = z1 y 2xy = z2. Las soluciones existe, ya que se puedenrepresentar graficamente en le plano R2 las ecuaciones y observar que hay dosintersecciones.

Sabemos que (x2+y2)2 = (x2−y2)2+4x2y2 = z21+z22 , por lo que x2+y2 =√z21 + z22 .

Entonces sumando 0 = z1 − z1 a esta ultima ecuacion en el lado derecho, tenemos

que x2 =z1 +

√z21 + z222

y y2 =−z1 +

√z21 + z22

2. Ahora, haciendo

α =

¿ÁÁÀz1 +

√z21 + z222

y β =

¿ÁÁÀ−z1 +

√z21 + z22

2

donde√zj denota la raız cuadrada de numeros reales positivo. Por lo tanto si

z2 > 0, tenemos que x = α y y = β, o bien, x = −α y y = −β, si z2 < 0, tenemos quex = −α y y = β, o bien, x = α y y = −β. Por lo tanto la solucion a la ecuacion esw = ±(α + µβi), donde µ = 1 si z2 ≥ 0 y µ = −1 si z2 < 0.

Observacion 7.30. De la construccion de α y β en la demostracion anterior,podemos concluir:

1. Las raıces cuadradas de un numero complejo son reales si y solo si el numerocomplejo es real y positivo.

2. Las raıces cuadradas de un numero complejo son complejas de la formaz = 0 + iz2 con z2 ∈ R si y solo si el numero complejo es real y negativo.

3. Las raıces cuadradas coinciden si y solo si el numero complejo es 0 = z.

Observacion 7.31. Se puede mostrar que para una ecuacion de la forma az2 +

bz + c = 0, con z, a, b, y c ∈ C, tiene soluciones de la forma z = −b ±√b2 − 4ac

2a,

donde√u es la raız cuadrada del complejo u, utilizando la Proposicion 7.29.

Page 152: Notas algebra

142 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Ejemplo 7.32. Resuelva w2 + i = 0 para z ∈ C.

Solucion de 7.32: Tenemos que w2 = −i, entonces sustituyendo en la formulatenemos que

√z1 + z2i = ±(α + µβi). Haciendo z1 = 0 y z2 = −1. Tenemos que

w = ±(√

2

2−

√2

2i).

Ejercicios

1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

a) z2 = 3 + 4i.

b) (z + 1)2 = 3 + 4i.

c) z4 = i. Hint: haga w = z2 y re-suelva.

2. Simplifique las siguientes expresiones:

a)√

1 +√i. b)

√1 + i. c)

√√−i

7.5. Representacion polar

Como ya se ha definido los conceptos de Modulo (tambien llamado normao valor absoluto) y Argumento de un numero complejo, podemos hablar de surepresentacion en coordenadas polares.

Definicion 7.33 (Coordenadas polares de un numero complejo). Sea z ∈ C. Larepresentacion polar de z es de la forma ρ(cos(θ) + i sin(θ)), donde ρ = ∣z∣ yθ = arg(z).

Ejemplo 7.34. Sea z = 1 + i, entonces ∣z∣ =√

2 y arg(z) = π4 por lo que z =

√2(cos(π

4) + i sin(π

4)). El estudiante ya debe ser capaz de obtener el modulo y

argumento del complejo z.

Ahora si consideramos la funcion exponencial de un numero real x, en sudesarrollo como polinomio de Taylor, que es

ex = 1 + x

1!+ x

2

2!+⋯

Page 153: Notas algebra

7.5. REPRESENTACION POLAR 143

(dicho polinomio se obtiene de un estudio de calculo real como en [Mic93]). Siconsideramos x = yi para algun y ∈ R tenemos que

eyi = 1 + yi1!+ (yi)2

2!+⋯ = (1 − y

2

2!+ y

2

4!+⋯) + i(y − y

3

3!+ y

5

5!+⋯)

pero como se ve en [Mic93], las series

(1 − y2

2!+ y

2

4!+⋯) = cos(y) , (y − y

3

3!+ y

5

5!+⋯) = sin(y),

por lo que tenemos la siguiente definicion, y es facil ver que ex+yi = exeyi, ya quesolo se aplican leyes de los exponentes de los numero reales.

Definicion 7.35 (La funcion ez). Sea z ∈ C. Diremos que la funcion exponenciales

e ∶ C→ C

con la regla de correspondencia

ez = ex(cos(y) + i sin(y))

Ejemplo 7.36. Sea z = 1 + π4 i, entonces

ez = e1+π4 i = e(cos(π4) + i sin(π

4)) = e(

√2

2+

√2

2i) .

El numero

√2

2se obtiene de evaluar al coseno y seno en el punto

π

4.

Al igual que en las propiedades de las leyes de los exponentes en los numerosreales, hay propiedades que se cumplen con la definicion anterior, y son utiles parademostrar teoremas del area de Variable Compleja, como se estudia en

Proposicion 7.37. Sea z, w ∈ C. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. ez+w = ezew.

2. ez nunca es 0.

3. ∣ez ∣ = ex, donde z = x + yi.

4. eπi2 = i, eπi = −1, e

3πi2 = −i y

e2πi = 1.

5. ew = 1 si y solo si w = 2nπi conn ∈ Z.

Demostracion. Solo se mostrar el primer inciso, los demas se dejan como ejerciciospara el estudiante, y solo debera aplicar las definiciones correspondientes.

Page 154: Notas algebra

144 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

1. Sean z = z1 + z2i y w = w1 + w2i. Entonces z + w = (z1 + w1) + (z2 + w2)i ytenemos

ez+w = ez1+w1(cos(z2 +w2) + i sin(z2 +w2))= [ez1(cos(z2) + i sin(z2))][ew1(cos(w2) + i sin(w2))]= ezew

Por la igualdad de sin(x + y) y cos(x + y) y las leyes de los exponentes.

Ejercicios

1. Demuestre la Proposicion 7.27, utilizando la representacion polar de unnumero complejo.

2. Demuestre los incisos faltantes de la Proposicion 7.37.

3. Demuestre que la funcion ez es biyectiva definida como e ∶ C−0→ C−0.

4. Sean sin(z) ∶= eiz − e−iz

2iy cos(z) ∶= e

iz + e−iz2

, con z ∈ C. Demuestre que 1 =sin2(z) + cos2(z).

7.6. Teorema de Moivre

Con la representacion polar de un numero complejo se simplifican las opera-ciones de multiplicacion y division, ya que si consideramos la Proposicion 7.27,tenemos que dichas operaciones quedan definidas como sigue.

Proposicion 7.38 (Multiplicacion y division en forma polar). Sean z = ρ[cos(θ)+i sin(θ)] y w = µ[cos(λ) + i sin(λ)] complejos. Entonces la multiplicacion y di-vision de z y w estan dadas por

z ⋅w = ρµ[cos(θ +λ) + i sin(θ +λ)]

yz

w=ρ

µ[cos(θ −λ) + i sin(θ −λ)]

con µ ≠ 0.

Page 155: Notas algebra

7.6. TEOREMA DE MOIVRE 145

Esta proposicion puede ser demostrada utilizando las igualdades de la suma deangulos de las funciones trigonometricas. Ası que, la demostracion se deja comoun ejercicio para el estudiante.

Si consideramos la multiplicacion de z ∈ C consigo mismo, tenemos que z2 =ρ2(cos(2θ) + i sin(2θ)). Ahora si multiplicamos a z2 con z, tenemos que z3 =ρ3(cos(3θ)+i sin(3θ)). Entonces como podemos suponer zn = ρn(cos(nθ)+i sin(nθ)).A esta formula se le conoce como la formula de D’Moivre.

Teorema 7.39 (De Moivre). Sea z ∈ C y sea n ∈ N. Entonces zn = ρn[cos(nθ)+i sin(nθ)], con ρ = ∣z∣ y θ = arg(z).

La demostracion de este teorema se hace por induccion sobre n, para la cualse sugiere que empiece desde n = 2 para que la idea que se aplica al demostrarpara dicha n sea aplicada para cuando n = k + 1. El estudiante debe demostrarel teorema, y se debe acordar de las igualdades de la suma de angulos para lasfunciones seno y coseno.

Ejemplo 7.40. Sea z = −1

2+ i

√3

2, entonces la representacion polar es

z = cos(2π

3) + i sin(2π

3) .

Elevando z a la 5 potencia, tenemos

z5 = cos(10π

3) + i sin(10π

3) .

Ejercicios

1. Demuestre la Proposicion 7.38.

2. Demuestre por induccion sobre n el Teorema 7.39.

3. Para cada uno de los siguientes numeros complejos, eleve cada uno a lacuarta, quinta y sexta potencia.

a) z = 3 + 8i

b) w = 9 + 2i

c) w + z

d) w/ze) z/wf ) wz

Page 156: Notas algebra

146 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

7.7. Raıces de numeros complejos

Como ya habıamos visto, las raıces cuadradas de un complejo, pero si ahoraqueremos sacar las raıces n-esimas, ¿como le debemos hacer?

Bueno la idea es utilizar la formula de D’Moivre para resolver las raıces. Esdecir, queremos resolver zn = w para z, cuando w esta dado. Supongamos quew = r[cos(θ) + i sin(θ)] y que z = ρ[cos(ψ) + i sin(ψ)].

Entonces por la formula de D’Moivre zn = ρn[cos(nψ) + i sin(nψ)], como larepresentacion polar es unica, tenemos que ρn = r = ∣w∣ y que nψ = θ + 2kπ dondek ∈ N.

Por lo que tenemos

z = n√r [cos(θ + 2kπ

n) + i sin(θ + 2kπ

n)] .

Cada uno de los valores de k = 0, 1, . . . , n − 1 da un valor diferente de z. Porlo que hay exactamente n raıces n-esimas de cada numero complejo.

Ejemplo 7.41. Sea z3 = 1. Pero la representacion polar de 1 = (cos 0 + i sin 0).Entonces las raıces terceras son

z = cos(2kπ

3) + i sin(2kπ

3) , y k = 0, 1, 2.

Esto es,

z = 1,−1 + i

√3

2,−1 − i

√3

2.

Por lo que tenemos el siguiente corolario que formaliza la idea de obtener lasraıces n-esimas de un numero complejo dado.

Corolario 7.42 (Las raıces n-esimas de z). Sea z = ρ[cos(θ)+i sin(θ)] complejo,con ρ ≠ 0. Entonces las raıces n-esimas de z estan dadas por n numeros complejosde la forma

zk = n√ρ [cos(

θ + 2kπ

n) + i sin(

θ + 2kπ

n)]

para cadak = 0, 1, . . . , n − 1.

Observacion 7.43. Si consideramos a z = 1, las n raıces de 1, son 1 y n − 1puntos que estan igualmente espaciados alrededor del cırculo unitario. Dicho deotra forma, se forma un n polıgono de radio 1.

Page 157: Notas algebra

7.7. RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS 147

Ejercicios

1. Escriba en terminos de sin(θ) y cos(θ) usando la formula de D’Moivre acos(3θ) y sin(3θ), y cos(4θ) y sin(4θ).

2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

a) z5 − 2 = 0,

b) z6 + 8 = 0,

c) z4 + 3 − 2i = 0,

d) z3 − 4 − i = 0,

e) z6 − i = 0,

f ) z10 − i − 3 = 0.

Aplicacion hacia la Fısica

Ondas

Una onda esta definida por algunos parametros como la longitud de onda λ,que es la distancia entre cresta (el punto mas alto de la onda) y cresta, valle (puntomas bajo de la onda) y valle. La amplitud A, que es la distancia entre cero y laaltura de la cresta (o la profundidad del valle, ver figura 7.1). El periodo T quees el tiempo que tarda en repetirse el patron, que es lo mismo que el tiempo quetarda en recorrer un punto en la onda una distancia λ; y la frecuencia ν, que esel inverso multiplicativo del periodo (ν = 1/T ). [HE86]

Figura 7.1: Onda.

Como puede observarse en la figura 7.1, la onda puede representarse por unafuncion tipo senoidal.

Ondas planas

Una onda plana es un plano que se desplaza en direccion k perpendicular alplano. Si r es un vector que representa un punto en el plano que se desplaza (verfigura 7.2).

Page 158: Notas algebra

148 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Figura 7.2: (a) Onda plana que viaja en direccion k. (b) Muestra los valles y las crestasde una onda plana.

La funcion de onda para este caso esta dada por [HE86]:

ψ(r, t) = Aei(k⋅r+ωt) (7.1)

donde k es el numero de onda (una frecuencia espacial, k = 2π/λ) y ω es lafrecuencia angular (ω = 2π/ν), mismos que cumplen la relacion

v = ωk

(7.2)

con v la velocidad de la onda. [HE86]

Ondas esfericas

Si se considera una fuente puntual ideal de luz, la radiacion que emana de ellalo hace radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Entoncesse tiene una onda esferica (ver figura 7.3).

La funcion de onda para este caso esta dada por [HE86]:

ψ(r, t) = (Ar) eik(r∓vt) (7.3)

donde v esta dada por la ecuacion (7.2). [HE86]

Page 159: Notas algebra

7.7. RAICES DE NUMEROS COMPLEJOS 149

Figura 7.3: Onda esferica.

Ondas cilındricas

Una onda cilındrica se puede obtener haciendo pasar una onda plana a travesde una rendija, como se muestra en la figura 7.4(a). Si el cilindro se ubica comolo indica la figura 7.4(b), sa funcion de onda esta dada por [HE86]:

ψ(r, t) ≈ ( A√r) eik(r∓vt) (7.4)

Figura 7.4: (a) Onda plana que viaja en direccion k. (b) Muestra los valles y las crestasde una onda plana.

Page 160: Notas algebra

150 CAPITULO 7. NUMEROS COMPLEJOS

Como se puede observar, la funcion que representa a una onda, cualquiera quesea la geometrıa de esta (de las aquı presentadas), siempre lleva el termino de laexponencial imaginaria, ¿Puede explicar porque?

Como se explico anteriormente, la onda puede representarse con una funcionsenoidal, ası que la onda real esta representada por la parte real de la exponencialimaginaria, pero se usa esta forma compleja por las propiedades derivativas de lafuncion exponencial. [HE86]

Ejercicios

1. Grafique las funciones de onda dadas por las ecuaciones (7.1), (7.3) y (7.4)en dos casos:

a) Para t = 3s, x ∈ (0,22]m,

b) Para x = 1m, t ∈ [0,20]s.

usando los valores:

a) r = (x,0,0), r = ∣r∣,b) k = (3.8,0.4,1.1), k = ∣k∣,c) ν = 6Hz.

Page 161: Notas algebra

Capıtulo 8

Polinomios

En este capıtulo veremos otro objeto de estudio, que es importante en ma-tematicas y que tambien es utilizado en muchas areas de la fısica. Los polinomiosson utiles para la aproximacion de funciones como el sin(x), o bien, ex, ası comose vio en la seccion anterior, la funcion exponencial esta escrita en forma de poli-nomio como se ve en [Mic93]. Esta forma de escribir a la funcion exponencial es degran ayuda y tiene muchas aplicaciones en la vida. Por ejemplo, una calculadorautiliza el desarrollo en forma de polinomio de la funcion sin(x) para calcular elresultado, ya que las unicas operaciones que hace una calculadoras son sumas ymultiplicaciones.

8.1. Los polinomios

Como se ha visto en el capıtulo de Sistemas de Ecuaciones, un polinomio tienesu estructura muy parecida a la de una ecuacion linea, solo que, el grado de lasvariables no es 1.

Definicion 8.1 (Polinomio, coeficiente y grado). Diremos que un polinomio convariable x tiene la forma p(x) = anxn +⋯+a1x1 +a0, con ai ∈ R tal que an ≠ 0y n ∈ N. A los terminos ai les llamaremos coeficientes del polinomio. El numeron es el grado del polinomio (denotado por gr(p)).

Definicion 8.2 (Termino independiente y polinomio cero). El termino a0 sepuede escribir de la forma a0x0. A este termino le llamaremos independiente. Elpolinomio cero o nulo es de la forma p(x) = 0 = 0(x), con 0 ∈ R.

Definicion 8.3 (El conjunto de polinomios). Diremos que el conjunto de polino-mios con coeficientes reales y variable x (denotado por R[x]) es el conjunto

p(x) ∣ gr(p) <∞.

151

Page 162: Notas algebra

152 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Ejemplo 8.4. Los siguientes son polinomios con variable x de grado 5, 6, 7 y 8,respectivamente

p(x) = 3 + x + x3 + 4x5,

g(x) = 1 − x6,

h(x) = x + 25x

2 + x4 + x7,

f(x) = 37 + 4x4 + 1

2x6 + x8.

Observacion 8.5. A los polinomios se les puede pensar como funciones con va-riable x, ası que cuando se hable de p(x) cuando x = 3, sustituiremos el valor dex en el polinomio, es decir, p(3) = an(3)n + an−1(3)n−1 +⋯.

8.2. Operaciones

Tambien se puede pensar a los polinomios como si tuvieran una infinidad determinos. Si tenemos un polinomio p(x) de grado n, podemos decir que a partirdel termino n + 1, el polinomio tendra coeficientes iguales a cero, por ejemplo2−5x2 = 2−x5+0x3+⋯. Con esta idea, es facil definir la suma y el producto entrepolinomios.

Definicion 8.6 (Suma de polinomios). Sean g(x) y p(x) ∈ R[x] con grado n ym, respectivamente. La suma de g(x) con p(x) (denotada por g(x) + p(x)) esel polinomio de la forma

g(x) + p(x) =k

∑i=0

(gi + pi)xi

con k = maxn,m.

Ejemplo 8.7. Sean g(x) = 5 + x + 3x2 y p(x) = 1 + 2x2 + 4x3 + 3x6, entonces lasuma de g(x) + p(x) = 6 + x + 5x2 + 4x3 + 3x6.

Observacion 8.8. De la Definicion 8.6, si p(x) es un polinomio, entonces −p(x)es el polinomio inverso aditivo, y cumple que p(x) + (−p(x)) = 0. Esto no secumple, para el inverso multiplicativo, ya que no hemos definido polinomios degrado menor que cero.

Definicion 8.9 (Multiplicacion de polinomios). Sean g(x) y p(x) ∈ R[x] congrado n y m, respectivamente. La multiplicacion de g(x) con p(x) (denotadapor g(x)p(x)) es el polinomio de la forma

g(x)p(x) =k

∑i=0gix

ip(x)

Page 163: Notas algebra

8.2. OPERACIONES 153

con k = maxn,m; o bien,

g(x)p(x) = g0p0 + (g0p1 + g1p0)x + (g0p2 + g1p1 + g2p0)x2 +⋯

g(x)p(x) =k

∑i=0

(i

∑h=0ghpi−h)xi

con k = maxn,m.

Observacion 8.10. Como hemos dicho antes, si consideramos a los polinomioscomo una funcion, y tomamos a x como una variable de los R o C, la Definicion8.9 se puede obtener de aplicar la ley distributiva, conmutativa y asociativa deestos conjuntos.

Ejemplo 8.11. Sea g(x) = 1 − x3 y p(x) = 1 + x + x2, entonces g(x)p(x) = 1(1 +x + x2) − x3(1 + x + x2) = 1 + x + x2 − x3 − x4 − x5.Definicion 8.12 (Multiplicacion escalar). Sea p(x) ∈ R[x] y sea c ∈ R. Entoncesla multiplicacion escalar esta dada por

(cp)(x) = c[p(x)] =n

∑i=0

(cai)xi.

Tambien la multiplicacion escalar se puede ver como una funcion como

µ ∶ R ×R[x]→ R[x];con la regla de correspondencia

c[p(x)] =n

∑i=0

(cai)xi.

Ejercicios

1. Sume y multiplique cada uno de los siguientes polinomios.

a) g(x) = 8 + 4x4 + 9x6 + 317x

10, p(x) = 4 + 4x3 + 8x5

b) g(x) = 9 + x9, p(x) = 3 + x4 − x5c) g(x) = 4

15x2, p(x) = αx3 − βx5

d) g(x) = 16x4 + x8 − x9, p(x) = 1 + x3 − 4x5

2. Demuestre que el conjunto R[x] es un espacio vectorial con la suma y lamultiplicacion escalar definidas. Hint: recuerde que no es necesario mostrartodas las propiedades de la Definicion 3.1.

3. ¿Es posible dar una base para R[x]? Si es posible, ¿cual es y que dimensiontiene? Si no es posible, ¿por que?

Page 164: Notas algebra

154 CAPITULO 8. POLINOMIOS

8.3. El algoritmos de la division

Ası como en los numeros enteros, en los polinomios existe la propiedad dedivisibilidad sobre R y la cual es analoga a la de los enteros. Ası que tenemos elsiguiente teorema.

Teorema 8.13 (Algoritmo de la division). Sean g(x) y f(x) polinomios de R[x].Existen q(x), r(x) ∈ R[x] unicos, tales que f(x) = g(x)q(x)+r(x), donde r(x)puede ser el polinomio cero o de un grado menor que el grado de g(x).

Demostracion. Sean f(x) = a0 + ⋯ + anxn y g(x) = b0 + ⋯ + bmxm con gm ≠ 0 dospolinomios. Debemos mostrar que existen los polinomios q(x) y r(x) tales quef(x) = g(x)q(x) + r(x).

Si f(x) es el polinomio cero, o bien, si el grado de f(x) es menor que el gradode m, tenemos que f(x) = 0 ⋅ g(x) + f(x).

Supongamos por tanto que n ⩾m. Entonces podemos formar la suma siguiente

f(x) − anbmxn−mg(x) = f1(x).

Ası, f1(x) ∈ R[x] de grado menor que n. Por lo que procedemos medianteinduccion. Supongamos que el algoritmo es valido para todos los polinomios degrado menor que n. Por lo que f1(x) = q1(x)g(x) + r(x), donde r(x) es cero ode grado menor que n. Entonces podemos substituir f1(x) en la diferencia antesescrita, por lo que tenemos

f(x) − anbmxn−mg(x) = q1(x)g(x) + r(x)

f(x) = [anbmxn−m + q1(x)] g(x) + r(x)

= q(x)g(x) + r(x)

y ası, f(x) tiene la representacion deseada.Ahora solo nos falta mostrar que son unicos los polinomios q(x) y r(x). Para

ello, supongamos que existen otros polinomios tales que f(x) = q1(x)g(x)+ r1(x),donde r1(x) es cero o de grado menor que n. Por lo que tenemos

f(x) = q(x)g(x) + r(x)= q1(x)g(x) + r1(x) Substitucion

Restando f(x) − f(x)

0 = q(x)g(x) − q1(x)g(x) + r(x) − r1(x)0 = g(x)[q(x) − q1(x)] + r(x) − r1(x) Distributiva de R.

g(x)[q1(x) − q(x)] = r(x) − r1(x)

Page 165: Notas algebra

8.4. TEOREMA DEL RESIDUO Y DEL FACTOR 155

El segundo multiplicando de esta ecuacion es cero o de grado menor que n, por loque q1(x) − q(x) = 0, es decir, q1(x) = q(x) y r(x) = r1(x).

Ejemplo 8.14. Sean f(x) = x4 + x3 − x2 − x − 1 y g(x) = x2. Entonces seanq(x) = x2 + x − 1 y r(x) = −x − 1, por lo que f(x) = g(x)q(x) + r(x).

Ejemplo 8.15. Sean f(x) = x4 + x3 − x2 − x − 1 y g(x) = x2 − 1. Entonces seanq(x) = x2 + x y r(x) = −1, por lo que f(x) = g(x)q(x) + r(x).

Este algoritmo se puede ver como una division normal de numeros reales, soloque, en el caso de los polinomios utilizamos las leyes de los exponentes y la leydistributiva.

Definicion 8.16 (Cociente y residuo). Considere el algoritmo de la division. Elpolinomio q(x) se llama el cociente y el r(x) es el residuo.

Ejercicios

Exprese los siguientes polinomios utilizando el algoritmo de la division y elpolinomio g(x) = x3 − 1.

1. f(x) = x4 + 4x3 − x − 8,

2. f(x) = x8 − x7 + x6 − x5 + x + 9,

3. f(x) = 13x

4 − x2 + 19,

4. f(x) = ax4 − b.

8.4. Teorema del residuo y del factor

Los siguientes teoremas son una consecuencia inmediata del Teorema 8.13 ylos cuales son utiles para encontrar una factorizacion de un polinomio p(x).

Teorema 8.17 (Del Residuo). Sea p(x), g(x) ∈ R[x] con g(x) = x−a. Cuandose divide el polinomio p(x) entre x − a, el residuo es p(a).

Demostracion. Sea p(x) y g(x) = x−a. Entonces por el Teorema 8.13, tenemos queexisten polinomios q(x) y r(x) tales que p(x) = (x−a)q(x)+r(x), donde r(x) = r,ya que r(x) es de grado menor que g(x). Entonces p(a) = (a − a)q(a) + r = 0 + r.Por lo tanto el residuo es p(a).

Teorema 8.18 (Del Factor). Sea p(x), g(x) ∈ R[x] con g(x) = x − a. El poli-nomio p(x) es divisible entre x − a si y solo si p(a) = 0. Ası, decimos que x − aes un factor de p(x).

Page 166: Notas algebra

156 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Demostracion. Sean p(x) y g(x) = x−a ∈ R[x], por el Teorema 8.13, tenemos quep(x) = (x − a)q(x) + r.⇒) Supongamos que p(x) = (x−a)q(x). Si x = a, entonces p(a) = (a−a)q(a) = 0

por lo que el residuo es p(a) = 0.⇐) Supongamos que p(a) = 0, como p(x) = (x − a)q(x) + r entonces tenemos

que p(x) = (x − a)q(x) con lo que (x − a) es un factor de p(x).

Ejercicios

1. Compruebe que es valido el Teorema 8.18 con los siguientes polinomios

a) f(x) = x3 − 1 y g(x) = x − 1. b) f(x) = x6 − 1 y g(x) = x − 1.

2. Compruebe que es valido el Teorema 8.17 con los siguientes polinomios

a) f(x) = x4 + x3 − x2 − x − 1 yg(x) = x + 1.

b) f(x) = x8 − x7 + x6 − x5 + x + 9 yg(x) = x − 1

8.5. Division sintetica

Para encontrar con mayor facilidad el cociente q(x) y el residuo r(x), cuandose divide un polinomio f(x) entre el polinomio x − a, introduciremos el metodode la division sintetica.

Sea f(x) = a0 + a1x +⋯ + anxn y q(x) = b0 + b1x +⋯ + bn−1xn−1 entonces

f(x) = (x − a)q(x) + r= (r − ab0) + (b0 − ab1)x +⋯ + (bn−2 − abn−1)xn−1 + bn−1xn

Igualando los coeficientes de f(x) cuando se expresa en estas dos formas, tenemosque

an = bn−1, an−1 = bn−2 − abn−1, . . . , a0 = r − ab0Para realizar los calculos podemos arreglar a los coeficientes como lo muestra

el Cuadro 8.1

an an−1 . . . a1 a0 aabn−1 . . . ab1 ab0

bn−1 = an bn−2 = an−1 + abn−1 . . . b0 = a1 + ab1 r = a0 + ab0

Cuadro 8.1: Division sintetica

Page 167: Notas algebra

8.6. RAICES DE POLINOMIOS 157

Ası, listando simplemente los coeficientes y realizando multiplicaciones y sumassencillas, puede leerse el cociente y el residuo directamente de la ultima lınea.Veamos un ejemplo.

Ejemplo 8.19. Encontrar el cociente y residuo al dividir el polinomio f(x) =3x3 −4x+2 entre g(x) = x+3. Aplicando la division sintetica, se tiene: lo cual nos

3 0 −4 2 −3−9 27 −69

3 −9 23 −67

Cuadro 8.2: Division sintetica de f(x)/g(x)

proporciona que q(x) = 3x2 − 9x + 23 como cociente y r(x) = −67 como residuo.

Ejercicios

Encontrar el cociente y residuo de

1. f(x) = −x4 + 7x3 + 10x2 − 5 entre g(x) = x − 2,

2. f(x) = 3x5 + 6x3 − 3x entre g(x) = x + 1,

3. f(x) = x4 − 8x3 + x2 − 1 entre g(x) = x − 1

4. f(x) = x6 + 8x5 − 4x4 − 5x + 9 entre g(x) = x + 3.

8.6. Raıces de polinomios

Cuando se considera un polinomio p(x) y es igualado a un valor de c ∈ R, esdecir, p(x) = c, este se convierte en una ecuacion de grado n. Ahora nos interesasaber para que valores de x ∈ R o C, la ecuacion se satisface.

Definicion 8.20 (Raıces de un polinomio). Sea p(x) ∈ R[x]. Sea a ∈ R o C.Diremos que a es una raız de p(x) si p(a) = 0.

Las raıces se pueden ver como las intersecciones sobre el eje x del plano carte-siano, cuando estas son reales. Cuando son complejas se pueden considerar comotraslaciones del eje x a la curva descrita por el polinomio.

Ejemplo 8.21. Sea f(x) = x2 − 1, entonces una raız para el polinomio f(x) es 1,ya que f(1) = 12 − 1 = 1 − 1 = 0, pero tambien −1 es una raız.

Page 168: Notas algebra

158 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Como se puede observar, en el ejemplo anterior, el polinomio tiene dos raıces,y el grado del polinomio es 2. Entonces esto nos da pie para enunciar el teoremafundamental del algebra.

Teorema 8.22 (Fundamental del Algebra). Sea p(x) ∈ R[x] y p(x) ≠ a0 cona0 ∈ R. Sea n el grado de p(x), entonces el polinomio p(x) tiene n raıces.

El teorema anterior es equivalente con el siguiente teorema.

Teorema 8.23. Sea p(x) ∈ R[x] de grado n, entonces tiene al menos n raıces.

Observacion 8.24. Como ya se sabe, la formula general de segundo grado, da lasraıces para un polinomio de grado 2. Como un buen ejercicio, el estudiante puedeobtener esta formula, considerando un polinomio f(x) = ax2 + bx + c. La idea esutilizar el algoritmo de la division, para expresar a f(x) de la forma (x−h)(x+h),donde h esta en terminos de los coeficientes de f(x).

Ejemplo 8.25. Sea p(x) = x2 + 2x + 1, entonces sus raıces son x1 = −1 y x2 =−1. Como estas raıces son iguales, entonces podemos decir que este polinomiosolo tiene una raız, pero tambien se puede interpretar como dos raıces que soniguales.

Observacion 8.26. Ya se vio que el algoritmo de la division sintetica nos ayudaa encontrar el cociente y el residuo de un polinomio f(x) dividido entre x − a,pero si se considera el Teorema 8.18, tenemos que si el residuo r(x) = 0, entoncesdiremos que x = a es una raız del polinomio f(x), ya que cuando se sustituye aen el polinomio nos da cero, es decir, f(a) = 0.

Hasta ahora solo hemos dicho que la division sintetica y el Teorema 8.18 nosayudan a encontrar las raıces cuando dividimos un polinomio p(x) entre (x − a),pero la pregunta que surge es ¿que a ponemos en el polinomio (x−a)? El siguienteteorema nos da la respuesta cuando el polinomio cumple ciertas condiciones, y ası,con la division sintetica podemos saber si a es una raız de p(x).

Teorema 8.27 (Raıces racionales). Sea c/d ∈ Q tal que m.c.d(c,d) = 11, es unaraız racional para el polinomio p(x) ∈ Z[x], entonces c divide a a0 y d divide aan.

Demostracion. Sea p(x) = a0 +a1x+⋯+anxn, con ai ∈ Z. Como c/d ∈ Q es raız dep(x), entonces

a0 + a1(c/d) +⋯ + an(c/d)n = 0,

1m.c.d denota el maximo comun divisor de c y d como se puede ver en [Eug52]

Page 169: Notas algebra

8.6. RAICES DE POLINOMIOS 159

y de aquı que el entero

a0dn + a1cdn−1 +⋯ + an−1cn−1d + ancn = 0.

Por lo que d(a0dn−1 + a1cdn−2 +⋯ + an−1cn−1) + ancn = 0, ası d divide a ancn, perom.c.d(cn, d) = 1 (ver [Eug52]), entonces d divide a an.

En una forma semejante, tenemos que a0dn + c(a1dn−1 +⋯ + ancn−1) = 0, ası cdivide a a0dn, pero m.c.d(c, dn) = 1, entonces c divide a a0.

Corolario 8.28. Todos las raıces racionales de un polinomio p(x) ∈ Z[x] conp(x) = a0 + a1x +⋯ + an−1xn−1 +xn son enteras y divisores de a0.

El corolario se sigue inmediatamente del Teorema 8.27. La demostracion sedeja como un ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 8.29. Encontrar una de las raıces del polinomio p(x) = 6x4 − 7x3 +6x2 − 1. De acuerdo con los teoremas o corolarios vistos, las raıces posibles son±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6. Aplicando la division sintetica y el Teorema 8.18, tenemosque ±1/2 es una raız de p(x), ya que por el Cuadro 8.3, tenemos que el residuo escero.

6 −7 6 0 −1 1/23 −2 2 1

6 −4 4 2 0

Cuadro 8.3: Division sintetica de p(x) y x − 12

Por lo que p(x) = (x − 12)(6x3 − 4x2 + 4x + 2).

Ejercicios

1. Obtenga la formula general de segundo grado, considerando un polinomiof(x) = ax2 + bx + c. Hint: puede utilizar el algoritmo de la division sinteticao bien completar el cuadrado perfecto.

2. Utilice la formula del inciso anterior, para obtener las raıces de los siguientespolinomios.

a) f(x) = x2 − x − 1

b) f(x) = x2 + 2x + 1

c) f(x) = 4x2 − 5x − 9

d) f(x) = 2x2 − 9x + 1

Page 170: Notas algebra

160 CAPITULO 8. POLINOMIOS

3. Resuelva el inciso anterior utilizando el Teorema 8.27, o bien, el Corolario8.28.

4. Demuestre el Corolario 8.28, aplicando el Teorema 8.27.

5. Encuentre las raıces de los siguientes polinomios utilizando el Teorema 8.27o el Corolario 8.28:

a) p(x) = x4 + 9x3 + 28x2 + 36x + 16,

b) p(x) = 9x4 + 12x3 + 10x2 + x − 2,

c) p(x) = x3 − 25x − 48,

d) p(x) = 2x3 + 3x3 + 3x + 1.

8.7. Factorizacion de polinomios

Ası como en los numeros enteros existen los numeros primos2, hay un conceptoparecido pero aplicado a los polinomios, el cual se llama polinomio irreducible.

Definicion 8.30 (Polinomio irreducible). Sea p(x) ∈ R[x]. Diremos que p(x) esirreducible sobre R si no existen q(x) y g(x) ∈ R[x] tal que p(x) = g(x)q(x).

Observacion 8.31. Esta definicion no contradice el Teorema 8.22, ya que si unpolinomio es irreducible sobre R, no implica que sea irreducible sobre C, peroen este caso se obtendra un polinomio p(x) ∈ C[x], es decir, un polinomio concoeficientes en los numeros complejos. Ası tenemos que existe otra equivalenciadel Teorema 8.22.

Teorema 8.32 (Fundamental del Algebra). Sea p(x) ∈ C[x] de grado n ∈ N.Entonces p(x) tiene n raız en C.

Observacion 8.33. Tomando en cuenta el Teorema 8.32 podemos observar queel conjunto R[x] ⊂ C[x], ası, ninguno de los teoremas vistos se contradice.

Ejemplo 8.34. Un polinomio irreducible sobre R es p(x) = 2x2 + 1, pero p(x) se

puede expresar como (x − i√

22 ) (x + i

22 ) sobre C. Otro polinomio irreducible es

de grado uno, y es de la forma (x−a) = p(x). Ası, cuando hablemos de polinomiosirreducibles, solo hablaremos de los que son irreducibles sobre R.

El siguiente teorema se enunciara sin una demostracion formal, pero la idea esque se debe aplicar el algoritmo de la division y obtener una representacion parael polinomio g(x).

2Los numeros primos son aquellos que son solo divisibles entre el 1 y sı mismo [Eug52].

Page 171: Notas algebra

8.7. FACTORIZACION DE POLINOMIOS 161

Teorema 8.35. Sea f(x), g(x) y p(x) ∈ R[x] polinomios, con p(x) irreduciblesobre R. Si p(x) es un factor de f(x)g(x), entonces p(x) es un factor de g(x)o de f(x).

Ejemplo 8.36. Sean f(x) = x2 + 2x + 1, g(x) = 2x3 − 2x2 + x − 1 y p(x) = 2x2 + 1.Entonces tenemos que f(x)g(x) = 2x5+2x4−x3−x2−x−1. Utilizando el algoritmode la division, tenemos que f(x)g(x) = (2x2 + 1)(x3 + x2 − x − 1).

Teorema 8.37 (Factorizacion unica). Sea p(x) ∈ R[x] de grado n ∈ N. Entoncesp(x) puede expresarse como un elemento de R multiplicado por un producto depolinomios irreducibles sobre R. La descomposicion es unica excepto el orden enque se presenten los factores.

Demostracion. Sea p(x) ∈ R[x]. Primero demostraremos que es posible la des-composicion. Si p(x) es un polinomio irreducible, la descomposicion esta hecha.Ahora, supongamos que p(x) no es irreducible y de grado mayor que 1, ası quep(x) = g(x)h(x), donde g(x) y h(x) son de grado menor que p(x). Ası, la demos-tracion se hara por induccion.

Supongamos que la descomposicion es posible para todos los polinomios degrado menor que el grado de p(x), por lo que tenemos: g(x) = cp1(x)⋯pr(x) yh(x) = c′p′1(x)⋯p′s(x) donde c,, c′ ∈ R y pi(x), p′i(x) ∈ R[x] son irreducibles.Entonces tenemos:

p(x) = g(x)h(x) = cc′p1(x)⋯pr(x)p′1(x)⋯p′s(x)

Por lo tanto la descomposicion se realiza. Ahora solo falta probar que la des-composicion es unica. Supongamos que existe otra descomposicion, es decir,

p(x) = cp1(x)⋯pn(x) = dq1(x)⋯qm(x)

Puestos que estos polinomios son irreducibles, entonces c = d y puesto que pi(x)es irreducible, entonces pi(x) divide a algunos qi(x), pero como pi(x) y qi(x) sonirreducibles, entonces el cociente es e ∈ R, por lo que pi(x) = qi(x). Dividiendoentre e, obtenemos

p′(x) = p2(x)⋯pn(x) = q1(x)⋯qi−1(x)qi+1(x)⋯qm(x)

Ası, p′(x) es un polinomio de grado menor que el grado de p(x). Con esto, sepuede hacer una hipotesis de induccion para ver que la descomposicion es unicapara todos los polinomios de grado menor que p(x). Por lo tanto, la descompo-sicion de p′(x) es unica con n = m y los conjuntos de polinomios son iguales.Entonces tenemos que la descomposicion es unica para p(x).

Page 172: Notas algebra

162 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Ya que hemos dicho que un polinomio se puede descomponer o factorizar enproductos de polinomios irreducibles, pero ¿que polinomios irreducibles debemosponer para encontrar la factorizacion de p(x)?. Bueno pues la respuesta esta dadapor el siguiente teorema.

Teorema 8.38. Sea p(x) ∈ C[x] de grado n. Supongamos que r1, ⋯, rn son lasraıces de p(x), entonces p(x) = an(x − r1)⋯(x − rn).

La demostracion del teorema se puede hacer por induccion sobre el grado delpolinomio, ya que si p(x) es de grado 1, entonces tiene la forma deseada, porlo que habrıa que suponerse que el teorema es valido para polinomios de gradomenor que k y demostrar para los de grado k + 1. Veamos un ejemplo de comodescomponer un polinomio en factores irreducibles.

Ejemplo 8.39. Sea p(x) = 2x4 − 6x3 − 3x2 − 3x− 2 ∈ C[x]. Factorizar el polinomiop(x) en factores irreducibles. Como ya hemos visto, la division sintetica y el teo-rema de las raıces racionales, podemos encontrar las raıces de p(x). Por lo tanto

tenemos que x1 = 1, x2 = 2, x3 = i√

2

2y x4 = −i

√2

2. Las raıces x3 y x4 se pueden

obtener de la formula general de segundo grado.

Por lo tanto tenemos que p(x) = (x − 1)(x − 2) (x − i√

22 ) (x + i

22 ). Aquı el

estudiante debe ser capaz de obtener al menos las raıces x1 y x2.Tambien el polinomio se podrıa poner con polinomios irreducibles sobre R de

la siguiente forma p(x) = x(x − 1)(x − 2)(2x2 + 1).

Ejercicios

1. Sea p(x) ∈ R[x]. Demuestre que si z ∈ C es una raız para p(x), entonces ztambien es una raız para p(x).

2. Encuentre la factorizacion de los siguientes polinomios sobre los numerosracionales y sobre los complejos. (Recuerde que las raıces de los polinomiosson las raıces de la unidad sobre los complejos)

a) x3 − 1,

b) x4 − 1,

c) x5 − 1,

d) x6 − 1.

3. De una forma general de los polinomios irreducibles de grado n = 2.

4. De una factorizacion para los siguientes polinomios en C[x].

Page 173: Notas algebra

8.8. APROXIMACION DE RAICES 163

a) x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4,

b) x4 + 2x3 − x2 − 4x − 2,

c) x3 − 7x2 + 15x − 9,

d) 8x4 − 4x3 − 6x2 + 5x − 1,

e) x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1,

f ) x6 − 2x4 − 4x2 + 8.

8.8. Aproximacion de raıces

Ya hemos hablado de la teorıa de las raıces de un polinomio, y hemos dicho queun polinomio tiene raıces racionales o enteras, es decir, a ∈ Q o Z, pero ¿que sucedecuando las raıces no son enteras o racionales y son reales? Por ejemplo, la soluciondel polinomio x2 − 3 = 0, pero en este ejemplo es facil ver que la solucion es ±

√3

y que a su vez es un numero real. Hay polinomios en los cuales no se ve tanrapidamente una solucion y mas cuando estas son reales.

El metodo de Newton-Raphson es iterativo que nos permite aproximar lasraıces para un polinomio p(x) = 0, partiendo de una raız inicial. Ası, construimosuna sucesion de aproximaciones. Para ello debemos dar un teorema.

Teorema 8.40 (Derivada de un polinomio). Sea p(x) = a0 +a1x +⋯+anxn unpolinomio en C[x]. Entonces la derivada de p(x) (denotada por p′(x)) es

p′(x) =n

∑i=1iaix

i−1.

Definicion 8.41 (Metodo de Newton-Raphson). Sea x0 ∈ C y sea p(x) ∈ C[x].La sucesion que se aproximan a una raız del polinomio esta dada por

xi+1 = xi −p(xi)p′(xi)

.

Este metodo no solo se puede aplicar a los polinomios, tambien se puede aplicara cualquier tipo de ecuacion, solo hay que igualar a cero dicha ecuacion.

Ejemplo 8.42. Consideremos la ecuacion ex = 1

x. En este caso, es imposible

despejar a la variable x, pero si se hacen las graficas de cada una de las funciones,

y = ex, y = 1

xen un intervalo x ∈ [0,4], se puede observar que las curvas se

intersectan en un punto del intervalo, por lo que hay una solucion, es decir, hayuna raız para x.

Para aplicar el metodo de Newton-Raphson, consideramos los siguientes pasos:

1. Expresamos la ecuacion en la forma p(x) = 0, e identificamos la funcion, la

cual es p(x) = ex − 1

x.

Page 174: Notas algebra

164 CAPITULO 8. POLINOMIOS

2. Calculamos la derivada de p(x), la cual es p′(x) = ex + 1

x2.

3. Construimos la sucesion de aproximaciones que es

xi+1 = xi −exi − 1

xi

exi + 1x2i

.

4. Tomamos una estimacion inicial de la solucion. En este caso podemos tomarpor ejemplo x0 = 1, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde elpunto de vista practico, si deseamos aproximar la solucion con 6 decima-les, podemos detener los calculos cuando dos aproximaciones consecutivascoincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendrıamos

x0 = 1

x1 = 0.53788284

x2 = 0.56627701

x3 = 0.56714258

x4 = 0.56714329

x5 = 0.56714329

Por lo que podemos tomar como solucion a x5.

Ejemplo 8.43. Sea p(x) = x3 + 2x2 + 7x − 20, utilizando el metodo de Newton-Raphson obtendremos una de las raıces. Entonces

1. Calculamos la derivada de p(x) que es 3x2 + 4x + 7 = p′(x).

2. Construimos la sucesion de aproximaciones que es

xi+1 = xi −x3 + 2x2 + 7x − 20

3x2 + 4x + 7

3. Tomamos una estimacion inicial de la solucion. En este caso podemos tomarpor ejemplo x0 = 1, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde elpunto de vista practico, si deseamos aproximar la solucion con 2 decima-les, podemos detener los calculos cuando dos aproximaciones consecutivascoincidan hasta el decimal 3. En nuestro caso, obtendrıamos

x0 = 1

x1 = 1.714285

x2 = 1.585701369

x3 = 1.580148781

Page 175: Notas algebra

8.8. APROXIMACION DE RAICES 165

Ejercicios

Calcule una de las raıces de los siguientes polinomios utilizando el metodo deNewton-Raphson.

1. p(x) = 7x3 − 2,

2. p(x) = 3x4 + 4x3 − 3x2 + x − 3,

3. p(x) = 9x3 − 2x2 + x − 19,

4. p(x) = 5x5 − 2x3 − 13.

Aplicacion hacia la Fısica

Ejemplo 8.44. El medicamento administrado a un paciente produce una concen-tracion en la corriente sanguınea dada por c(t) = Ate− t3 miligramos por mililitro,t horas despues de inyectarle A unidades. La maxima concentracion segura es de1mg/ml.

1. ¿Que dosis debera inyectarsele al paciente para alcanzar la maxima concen-tracion segura, y cuando se presenta esa concentracion?

2. Una cantidad adicional del medicamento debera administrarse al pacientedespues de que la concentracion disminuya a 0.25mg/ml. Determina, conuna aproximacion al minuto mas cercano, cuando debe aplicarse la segundainyeccion.

Solucion de 8.44:

1. Para determinar el valor de A y de t, debemos tomar que la concentracionsegura es de 1mg/ml, por lo que debemos encontrar un maximo para lafuncion c(t), y esto se puede hacer usando el criterio de maximos y mınimosque se ve en [Mic93].

Por lo tanto obtenemos la derivada de c(t) que es c′(t) = Ae−t3 (1 − t

3).

Supongamos que A ≠ 0. Ahora igualando a cero a la c′(t), tenemos quet = 3hrs. Ya que tenemos el valor de t, lo substituimos en la funcion para

encontrar el valor de A, ası tenemos, c(3) = 3Ae−1, por lo tanto A = e3

.

Ası la funcion que modela la concentracion en la corriente sanguınea es

c(t) = e3te−

t3 . La Figura 8.1 representa la concentracion, y podemos observar

que tiene un maximo cuando t = 3.

Page 176: Notas algebra

166 CAPITULO 8. POLINOMIOS

2. Como ya tenemos la funcion que modela exactamente la concentracion, de-bemos aproximar el valor de t con la dicha funcion para que la concentracionsea 0.25mg/ml. Entonces utilizaremos el metodo de la Definicion 8.41.

Entonces tenemos que 0 = e3te−

t3 − 1

4= f(t) y calculamos la derivada de f(t),

la cual es f ′(t) = e

3e−

t3 [1 − t

3]. Ahora tomando como t0 = 5 calculamos el

valor buscado (existen dos valores posibles como se observa en la Figura 8.1,pero consideraremos la que mayor a t = 3, ya que se le inyectara una dosisextra cuando disminuya la concentracion):

tn+1 = tn −e3tne

−tn3 − 1

4

e3e

−tn3 [1 − tn

3]

t0 = 5

t1 = 10.3087992038135

t2 = 11.0214000687461

t3 = 11.0775713306088

t4 = 11.0779035751036

t5 = 11.0779035866691

t6 = 11.0779035866691

Por lo tanto tenemos que t = 11.0779035866691hrs = 11hrs 4min para quela concentracion sea 1

4mg/ml.

Page 177: Notas algebra

8.8. APROXIMACION DE RAICES 167

Figura 8.1: Grafica de la concentracion del Ejemplo 8.44.

Page 178: Notas algebra

168 CAPITULO 8. POLINOMIOS

Page 179: Notas algebra

Bibliografıa

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[CR96] JOHN Fritz COURANT Richard. Introduccion al calculo y al analisismatematico. Limusa, Mexico, 1996.

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169

Page 180: Notas algebra

170 BIBLIOGRAFIA

[SD69] KRANE Robert SCHAUM Daniel, HALLIDAY David. Teorıa y proble-mas de fısica general. Mc Graw Hill, Mexico, 1969.

Page 181: Notas algebra

Indice alfabetico

conjunto, 1ajeno, 4cardinalidad, 24complemento de, 6

propiedades, 6comprension, 2diferencia de, 7disjunto, 4elemento, 1equipotente, 25extension, 2finito, 25finito e infinito, 3igualdad de, 3infinito, 25

numerable, 25interseccion de, 4

distribucion, 5propiedades, 4

leyes de D’Morgan, 6pertenencia, 1potencia, 8subconjunto, 2

propio, 3union de, 3

propiedades, 3universo, 6vacıo, 2

determinantede una matriz, 84desarrollo por cofactores, 94

divisible, 13

ecuacion lineal, 101espacio solucion, 102solucion de, 102

espacio vectorial, 35base de, 48combinacion lineal, 44

dependiente, 46independiente, 46

dimension de, 50el generado por ui, 44subespacio, 41subespacio propio, 42vector, 35

funcion, 15biyectiva, 19composicion de, 17

asociatividad, 18dominio, 15identidad, 18igualdad, 16imagen, 16inversa de, 22

derecho, 21izquierda, 21

invertible, 21unicidad, 22

inyectiva, 19operaciones de, 16Spivak, 15suprayectiva, 19

171

Page 182: Notas algebra

172 INDICE ALFABETICO

matriz, 57adjunta de, 97antisimetrica, 64aumentada de un sistema, 105cero, 62cofactor del elemento, 92cuadrada, 61de cofactores, 97diagonal, 63diagonal principal, 63elemental, 70elementos, 57

arriba y debajo, 63equivalente, 66escalonada, 67escalonada reducida, 66identidad, 62igualdad de, 58inversa, 71

determinante de, 87invertible, 71la transpuesta, 60

propiedades, 61menor del elemento, 92multiplicacion de, 59multiplicacion escalar, 58operaciones elementales, 65potencia de, 72rango de, 68simetrica, 64submatriz, 64suma de, 58triangular, 63

numeros complejos, 132argumento de, 139asociativa de, 133conmutativa de, 133De Moivre, 145distributiva de, 133

division de, 136forma polar, 144

el conjugado, 137propiedades, 137

el modulo de, 138en coordenadas polares, 142igualdad entre, 132ley de cancelacion, 134multiplicacion de, 133

forma polar, 144identidad, 134

multiplicacion escalar de, 133numero de Euler, 143raız n-esima de, 146raız cuadrada de, 141real e imaginaria, 132suma de, 132

identidad, 134inverso, 134

pareja ordenada, 11permutacion, 81

calculo de inversiones, 82inversion en la, 81par o impar, 81

plano cartesiano, 13polinomios, 151

algoritmo de la division, 154aproximacion de raıces, 163cero, 151cociente y residuo, 155coeficientes de, 151derivada de, 163el conjunto de, 151grado de, 151irreducibles, 160multiplicacion de, 152multiplicacion escalar de, 153raıces de, 157raıces enteras, 159

Page 183: Notas algebra

INDICE ALFABETICO 173

suma de, 152termino independiente, 151teorema de factorizacion unica, 161teorema de raıces racionales, 158teorema del factor, 155teorema del residuo, 155teorema fundamental del algebra, 158

principio de induccion, 27equivalencia, 27

producto cartesiano, 12producto elemental, 82

signo de, 83producto punto, 59

relacion, 13codominio, 14de equivalencia, 14dominio, 14imagen, 14

sistema de ecuaciones lineales, 103consistente

determinado e indeterminado, 115consistente e inconsistente, 104eliminacion de Gauss-Jordan, 119equivalentes, 108

matricial, 108espacio de soluciones, 110homogeneo, 110homogeneo asociado, 113matrices y n−adas, 112regla de Cramer, 124solucion de, 103solucion trivial, 110

Page 184: Notas algebra

174 INDICE ALFABETICO

Page 185: Notas algebra

Indice de figuras

1.1. Esquematizacion de la Proposicion 1.20. . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Esquematizacion de la Proposicion 1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Grafica g(f(x)) = 1.5∣ sin(x)∣ para el Ejemplo 2.65. . . . . . . . . . 332.2. Grafica f(t) = 50e−4t para el Ejemplo 2.66. . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. Basquetbolista a punto de encestar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Sistema de 3 cargas electricas puntuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3. Sistema de 3 cargas electricas puntuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4. Sistema de 3 cargas electricas puntuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1. Cambio de coordenadas en distintos sistemas de referencias. . . . . 78

6.1. Circuito para el Ejemplo 6.53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2. Circuito para el Ejemplo 6.54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1. Onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.2. (a) Onda plana que viaja en direccion k. (b) Muestra los valles y las

crestas de una onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.3. Onda esferica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.4. (a) Onda plana que viaja en direccion k. (b) Muestra los valles y las

crestas de una onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.1. Grafica de la concentracion del Ejemplo 8.44. . . . . . . . . . . . . . 167

175