notas aclaratorias sobre rango de matrices, soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

8/12/2019 Notas aclaratorias sobre Rango de Matrices, Soluciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Notas aclaratorias sobre Rango de Matrices,

Soluciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Esto son solo unas notas para aclarar errores comunes en estos temas, y para acelerar la

resolucin de problemas.

NOTAS ACLARATORIAS SOBRE EL RANGO DE UNA MATRIZ

DEFINICION

Se define el rango de una matriz como el orden del mayor menor con determinante no nulo.

El rango de una matriz ser, como mximo, igual a la menor de las dimensiones de la matriz.

Matriz 3x3como mximo, ser rango 3. El rango podr ser 0, 1, 2 o 3. Matriz 3x4como mximo, ser rango 3. El rango podr ser 0, 1, 2 o 3. Matriz 5x7como mximo, ser rango 5. El rango podr ser 0, 1, 2, 3, 4 o 5. Matriz 5x2como mximo, ser rango 2. El rango podr ser 0, 1 o 2.RANGO DE MATRICES: PROCEDIMIENTO HACIA ARRIBA

El procedimiento es:

Comprobamos si el rango es cero, Rango(A) =0?

Si NINGUN elemento de la matriz es distinto de cero, si todos los elementos son cero,entonces el rango es cero: rango(A)=0

Si ALGUN elemento de la matriz es distinto de cero, si al menos un elemento esdistinto de cero, entonces el rango ser mayor o igual que uno. Rango(A) 1.

Si el rango es mayor o igual que uno (Rango(A) 1), porque sabemos que no es rango cero

(rango(A) 0), comprobamos si el rango es uno Rango(A) =1?

Si NINGUN determinante de los menores de orden 2 es distinto de cero, si todos losdeterminantes de los menores de orden 2 son cero, entonces el rango es uno:

rango(A)=1.

Si ALGUN determinante de los menores de orden 2 es distinto de cero, si eldeterminante de alguno de los menores de orden 2 es distinto de cero, entonces el

rango ser mayor o igual que dos: Rango(A) 2

Si el rango es mayor o igual que dos (Rango(A) 2) porque sabemos que el rango no es uno

(rango(A) 1), comprobamos si es rango 2 Rango(A) =2?

Si NINGUN determinante de los menores de orden 3 es distinto es cero, si todos losdeterminantes de los menores de orden 3 son cero, entonces el rango es dos:

rango(A)=2.


rango ser mayor o igual que tres: Rango(A) 3

Seguimos el procedimiento, y si llegamos hasta la menor de las dimensiones de la matriz,mximo rango posible, entonces ese es el rango de la matriz. No podemos seguir ascendiendo.
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Si el rango es mayor o igual que tres (Rango(A) 3) porque sabemos que no es rango 2

(rango(A) 2), y la menor dimensin de la matriz es 3, entonces el rango es 3: Rango(A) =3. Ya

no podemos seguir ascendiendo.

RANGO DE MATRICES: PROCEDIMIENTO HACIA ABAJO

El procedimiento es:

Vemos el mximo rango que puede tener la matriz. Por ejemplo, una matriz 3x3 o 3x4, tiene

como mximo rango 3.

Comprobamos si tiene el mximo rango posible. En nuestro caso, comprobamos si es rango 3.

Rango(A) =3?


rango es 3: Rango(A) =3

Si NINGUN determinante de los menores de orden 3 es distinto es cero, si todos losdeterminantes de los menores de orden 3 son cero, entonces el rango de la matriz

ser menor o igual que dos: rango(A) 2.

Si el rango es dos o menor (rango(A) 2) puesto que ya se ha comprobado que NO es rango 3

(rango(A) 3), entonces comprobamos si es rango 2. Rango(A) =2?


rango es dos: Rango(A) =2

Si NINGUN determinante de los menores de orden 2 es distinto es cero, si todos losdeterminantes de los menores de orden 2 son cero, entonces el rango ser menor o

igual que uno: rango(A) 1.

Si el rango es menor o igual que uno (rango(A) 1) puesto que ya se ha comprobado que no es

rango 2 (rango(A) 2), entonces comprobamos si es rango 1. Rango(A) =1?

Si ALGUN elemento es distinto de cero, el rango es uno. Rango(A) =1. Si NINGUN elemento es distinto de cero, si todos los elementos son cero, el rango de

la matriz es cero: rango(A)=0. Ya no podemos seguir descendiendo.


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Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por rangos y determinantes

Para un sistema de ecuaciones lineales, sea:

A = matriz de coeficientes A* = matriz ampliada N = numero de incgnitas del sistema

Se cumple siempre que rango(A*) rango(A). El rango de la matriz ampliada es mayor o igual

que el rango de la matriz de coeficientes.

Se sabe que

Si rango(A) rango(A*) tenemos un SISTEMA INCOMPATIBLE (SI), NO tiene solucin. Si rango(A)=rango(A*)=N, tenemos un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (SCD),

tiene solucin UNICA. Si rango(A)=rango(A*)


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En estos sistemas, ocurre siempre que rango(A*) = rango(A). Siempre tienen solucin (solucin

nica o infinitas soluciones).

Para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incgnitas, tenemos los siguientes casos

N Rango(A) Rango(A*) CLASIFICACION SOLUCIONES

3 1 1 SCI INFINITAS (BIPARAMETRICO)

3 2 2 SCI INFINITAS (UNIPARAMETRICO)

3 3 3 SCD SOLUCION UNICA (0,0,0)

Para el caso SCD de un Sistema Homogneo, la solucin nica, llamada solucin trivial, siempre

es:

X = 0 Y = 0 Z = 0

En los casos SCI, hay que resolver en funcin de los parmetros.

RESOLUCION DE SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS (SCD)

Todos los Sistemas Compatibles Determinados (SCD), que tienen solucin nica, los podemos

resolver por la Regla de Cramer. En la Wikipedia viene muy bien explicada la regla de Cramer

para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incgnitas y tambin para sistemas de 3 ecuaciones con 3

incgnitas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

RESOLUCION DE SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS (SCI)

Los Sistemas Compatibles Indeterminados, que tienen infinitas soluciones, se pueden resolver

de la siguiente manera.

CASO rango(A)=rango(A*) =2


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Ejemplo

Sea el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas:

2 x + 2y + 3z = 1

2 x + 2y + 4z = 2

4 x + 4y + 6z = 2

Comprubese con los rangos que estamos ante en un SCI uniparametrico.

( )

( |)El menor de orden 2 de color rojo, que esta en la matriz de coeficientes, tiene determinante

distinto de cero.

Entonces eliminamos la tercera fila o ecuacin, porque esta fuera de este menor, y pasamos a

parmetro la variable X, porque la primera columna o columna para la variable X esta fuera de

este menor.

As pues, pasamos a parmetro la variable X (x=) y rearmamos el sistema de ecuaciones.

2 + 2y + 3z = 1

2 + 2y + 4z = 2

Pasamos el parmetro a los trminos independientes.

2y + 3z = 1-2

2y + 4z = 2-2

Este sistema resultante, en matriz ampliada 2X3, seria as


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Resolvemos por Cramer, como viene en la Wikipedia para los sistemas de 2 ecuaciones y dos

incgnitas, arrastrando el parmetro en los clculos.

La solucin es:

x= y=-1- z=-1

AVISO: Si hiciramos esto escogiendo un menor de orden 2 con determinante nulo, no

podramos resolver por Cramer, puesto que estaramos dividiendo entre cero. Si lo

quisiramos hacer por Gauss, tampoco hallaramos una solucin. ES NECESARIO BUSCAR UN

MENOR DE ORDEN 2 CON DETERMINANTE NO NULO para realizar todo el procedimiento.

CASO rango(A)=rango(A*) =1


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Comprubese con los rangos que estamos ante en un SCI biparametrico.

(

)

( |)

El elemento de la primera fila y primera columna, marcado en rojo, es distinto de cero. Se

eliminan la segunda y tercera filas. Se pasan a parmetros las variables Y y Z (Y = , Z = )

puesto que el elemento que hemos escogido es el de la columna de la variable X. Rearmamos

el sistema. Recurdese que solo nos queda una de las ecuaciones.

2x + 2+3 = 1

Despejamos X y damos la solucin completa

y = z =

ACLARACION SOBRE EL RANGO DE LA MATRIZ AMPLIADA

He visto muchas veces como, cuando se sabe que el rango de la matriz de coeficientes es 2 ytoca hallar el rango de la matriz ampliada, los alumnos calculan el determinante de los 4

menores de orden 3 que se pueden encontrar en la matriz ampliada. Es decir, para una matriz

ampliada como la siguiente:

( |)

realizan todos estos clculos para comprobar si el rango es 3

| |

| |

| |

| |


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Realizar el primero de ellos es innecesario. El primero es el determinante de la matriz de

coeficientes. Si ya se sabe que la matriz de coeficientes es de rango 2, es porque su

determinante es cero. Pero realizar los otros tres tambin es una perdida de tiempo. Se debe

de hacer lo siguiente:

1. Se busca en la matriz de coeficientes un menor de orden 2 cuyo determinante seadistinto de cero.

2. Se orla este menor. Es decir, se toman sus columnas enteras y se le aade la columnade trminos independientes, construyendo una matriz 3x3.

3. Si el determinante de esta matriz es cero, el rango de la ampliada es 2. Si eldeterminante de esta matriz es distinto de cero, el rango de la ampliada es tres.

Vamos a ver dos ejemplos.

( |)El menor de orden 2 de color rojo tiene determinante no nulo. Tan solo necesitamos saber si el

siguiente determinante es o no es nulo para hallar el rango de la matriz ampliada.

| |Hemos compuesto la matriz con la primera y segunda columna de la matriz de coeficientes,

ms la columna de trminos independientes.

Otro ejemplo.

( |)

El menor de orden 2 de color rojo tiene determinante no nulo. Tan solo necesitamos saber si el

siguiente determinante es o no es nulo para hallar el rango de la matriz ampliada.

| |

Hemos compuesto la matriz con la primera y tercera columna de la matriz de coeficientes, ms

la columna de trminos independientes.

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