cap 1 - ecuaciones lineales y matrices
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8/18/2019 Cap 1 - Ecuaciones Lineales y Matrices
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Capítulo 1: Ecuaciones Lineales y Matrices
1.1. Sistemas lineales
1.2. Matrices
1.3. Producto entre un escalar y una matriz, multiplicación de
1.4. Propiedades de las operaciones con matrices
1.5. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales
1.6. La inversa de una matriz.
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Sistemas Lineales
Una recta en el planoxy
puede representarse algebraicamente po
ecuación de la forma
1 2a x a y b
Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las vari
De manera más general, una ecuación lineal en las variables ,
define como una ecuación que se puede expresar en la forma
1 1 2 2 3 3 ....
n na x a x a x a x b
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Dos Ecuaciones Lineales con Dos incógnitas
Si considera un sistema de la forma
11 12 1
21 22 2
a x a y ba x a y b
Propiedades
1. Sia=byc=d,entoncesa+c=c+d
2. Sia=bycescualquiernumeroreal,entoncesca =cb
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Dos Ecuaciones Lineales con Dos incógnitas
2 3 1
5 7
x y
x y
Sistem
Solución Única:
los coeficientes de x y y de las
dos ecuaciones NO son proporcionales
2 3 1
4 6 7
x y
x y
2 3 1
4 6 2
x y
x y
Sin Solución: Los coeficientes de x e y de una
ecuación son proporcionales a los de la otra,
mientras que los términos independientes no lo
son
Infinito Número de Soluciones: Los coeficientesde x e y , y el término independiente de unaecuación, son proporcionales a los de la otra
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Dos Ecuaciones Lineales con Dos incógnitas
2 3 1
5 7
x y
x y
Sistema Inconsistente
Solución Única.
2 3 1
4 6 7
x y
x y
2 3
4 6
x y
x y
Sin Solución
Infinito Núme
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6/24ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Deber Nº 1.1 En parejas)
Problemas 1.1 (Pág 6) (Soluciones de sistemas de ecuaciones de 2
Nº: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Graficar las soluciones
GROSSMAN STANLEY; Algebra Lineal, Editorial Mc Graw Hill, 7ma E
México, 2012 ISBN: 9786071507600
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7/24ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
m Ecuaciones con n incógnitas
De manera más general, un sistema de m ecuaciones lineales co
incógnitas
, , … , al que podemos llamar simplemente siste
lineal
, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una coincógnitas. Un sistema lineal puede denotarse sin mediante:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
m Ecuaciones con n incógnitas
Si considera un sistema de la forma
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x y z
x y z
x y z
Determinar la solución del sistema
+ 2 + 3 = 62 − 3 + 2 = 14
3 + − = −2
3 + 2 + = 2
4 + 2 + 2 = 8 − + = 4
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Deber Nº 1.1 En parejas)
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Matrices
Matriz
Una matriz A de mx nes un arreglo rectangular de mn números dispuesto
filas
(renglones) horizontales y ncolumnas
verticales.
La i-ésima fila de A es
La j-ésima fila de A es
1 2 1i i ina a a i m
1
2 1
i
i
in
a
a j n
a
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
Aa a a a
a a a a
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Matrices
Diremos que A es m por n (que se escribe m × n). Si m = n, dec
que A es una matriz cuadrada de orden n, y que los núm
, , … , forman ladiagonal principal
de A. Nos referimnúmero , que está en la i-ésima fila (renglón) y la j-ésima colu
de A, como el i, j-ésimo elemento de A, o la entrada i, j) de
escribe como
= []
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Matrices
Sean
A= 1 2 3−1 0 1 B=
1 42 −3 C=
1
−12 D=
1 1 0
2 0 13 −1 2 E=
3
A es una matriz de 2 × 3 con = , = , = y = ;
B es una matriz de 2 × 2, con = , = , = y = −
C es una matriz de 3 × 1, con = , = − y = ;
D es una matriz de 3 × 3;E es una matriz de 1 × 1,
F es una matriz de 1 × 3. En D, los elementos = , = y forman la diagonal principal.
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Vectores y Matrices
Vector renglón de n componentes
Un vector de ncomponentes se
define como un conjunto ordenado de
nnúmeros escritos de la siguiente
manera:
1 2, , , nu x x x
Vector Columna de n co
Un vector columna de n
componentes es un conjunt
ordenado de nnúmeros esc
de la siguiente manera:
Las matrices de 1 x n; o n x 1 de denominan n-vectores y se denotan con l
minúscula
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Matrices: Tipos
Matriz cuadrada2 1 5
6 8 4
2 8 7
A
1 0 0
0 1 0
0 1 0
I
Matriz identidad
12 13
23
1
0 5
0 0 8
a a
B a
21
31 32
1 0 0
5 0
8
C a
a a
Matriz Tr
Matriz Tri
Matriz Diagonal:
Una matriz cuadrada A= [], en donde cada términof
diagonal principal es igual a cero, es decir, =0 para ≠ ,es una matriz
3 0 0
0 2 0
0 0 4
H
4 0
0 2 K
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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Matrices: Tipos
Matriz Transpuesta
: Si A= [], de m x n, la matriz = [
], de n x m, e
transpuesta de A. En consecuencia, las entradas de cada fila de son la
correspondientes en la columna de A
4 2 3
0 5 2 A
4 0
2 5
3 2
T A
6 2 4
3 1 2
0 4 3
B
6 3 0
2 1 4
4 2 3
T B
3 5 1 D
3
5
1
T D
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
=−1 3
4 0
1 2
=6 4
−3 5
4 1
= + ?
EJEMPLO
Suma de Matrices
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz sumaA+B es ma matriz m x n, dada por:
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
ij ij
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b A B a b
a b a b a b
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
Suma de Matrices
Ejercicios Clase:
A=3 1 20 5 −3
7 0 4
B=−1 2 4
2 5 8
0 1 −2
Encontrar:A+=CA-B=D
A=−1 2 4
2 7 6B=
3 2 0
0 − 3 − 1 C=
5 −1 3
1 1 2
Encontrar:A+B+CA-B+C
Ejemplo 1
Ejemplo 2
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
B=−1 2 4
2 5 8
0 1 −2
∝= 5 B=−5 10 20
10 25 40
0 5 −10
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sea A una matriz de m x n; y si α es un escalar cualquiera, el producto αA
dado por la multiplicación del escalar por cada uno de los elementos de la
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
ij
m m mn
a a a
a a a A a
a a a
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
#Columnas 1era = #Filas 2da
Multiplicación de Matrices
Sean A y B dos matrices cuyas longitudes son (m x n y (p x q respectiv
son multiplicables si el número de columnas de la primera matriz es
número de filas de la segunda; el tamaño de la matriz resultante del p
está determinado por el número de filas de la primera matriz y el nú
columnas de la segunda.
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES #Columnas 1era = #Filas
120
311
123
Primero con Primero
Segundo con Segundo
Tercero con Tercero
3
1
2
1*22*0
1*12*1
1*22*3
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES #Columnas 1era = #Filas 2da
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
= 1 2 4
2 6 0
=4 1 4
0 −1 3
2 7 5
3
1
2
=
C=1 ∗ 4 + 2 ∗ 0 + 4 ∗ 2 1 ∗ 1 + 2 ∗ −1 + 4 ∗ 7 1 ∗ 4 + 2 ∗ 3 + 4 ∗ 5 1 ∗
2 ∗ 4 + 6 ∗ 0 + 0 ∗ 2 2 ∗ 1 + 6 ∗ −1 + 0 ∗ 7 2 ∗ 4 + 6 ∗ 3 + 0 ∗ 5 2 ∗
= 4 + 8
8
1 − 2 + 2 8
2 − 6
4 + 6 + 2 0
8 + 1 8
3 + 2 + 8
6 + 6 =
12
8
27
−4
30
26
13
12
#Columnas 1era = #Fila
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
Ejemplo
A=
2 0 1
3 0 05 1 1
B=
1 0 1
1 2 11 1 0
Encontrar C=A*B
=
− =
−
=
=
− −
1. X=(3B*C) - D
2. Z=2Y-5A donde Y=C*B
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ALGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices
Tarea:
Resolver los siguientes ejercicios en grupos, y entregar
UNtrab
por grupo.
• Página 59 - Problemas 2.1: # 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53y resta de matrices)
• Página 80,81 - Problemas 2.2: # 11,13, 25, 29, 31, 34, 35,(multiplicación de matrices)