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30 de mayo del 2013

“Nos sincronizamos, ¿o qué onda?”

Manuel Cortés Barrios, Axel Jonathan Esquivias Gómez, Nicole Frangie Aldave, Daniela Gómez Gamper Salazar,

Lenin Eduardo Vázquez Toledo

Colegio Marymount

Resumen

La sincronización es un fenómeno que se presenta en sistemas de entes con

características similares, gracias a la transferencia de energía entre ellos. Dicho

fenómeno también se presentar en sistemas con un proceso oscilatorio como el ajuste

en las escalas de tiempo de sus oscilaciones. Para este proyecto, realizamos un modelo

físico con dos metrónomos (aparato usado en música para marcar el tiempo de un

obra, que funciona con un péndulo) puestos a frecuencias dadas por tiempo de 5

minutos cada ronda, con 4 repeticiones y con diferencias de frecuencia diferentes.

Describimos el comportamiento de dicho experimento con una curva exponencial

decreciente que mejor se ajustaba a las observaciones obtenidas. Medimos el tiempo

que permanecían sincronizados midiendo los lapsos en que el retraso de cada golpe de

metrónomo era menor a 0.1 segundos con el editor de audio Audacity. Concluimos que

conforme la diferencia de frecuencia entre los dos metrónomos aumenta, el tiempo

que se mantienen sincronizados se reduce, y que los golpes dados por cada

metrónomo presentaban un comportamiento en el que el retraso de cada golpe se

hacía menor mientras se sincronizaban; sin embargo, nunca llegaba a ser cero.

Introducción

La sincronización es un fenómeno natural que se presenta en diversos ámbitos en formas variadas:

cuando dos corazones de dos cuerpos laten al mismo tiempo; cuando las luciérnagas durante la noche emiten

su luz al mismo tiempo (1); después de un concierto, durante los aplausos, cuando el público adopta

colectivamente un ritmo (2); o cuando las chicharras emiten sonidos que parecen convertirse en uno solo,

como si fuese emitido por un solo bicho; o en las hembras de ciertos mamíferos, como las humanas, las cuales

por la interacción constante entre ellas y por mecanismo en sus procesos de reproducción, sus ciclos

menstruales se sincronizan (3). Este fenómeno no ocurre por causas mágicas, ni por interacción de un tercer

ente, ni por azar, ni porque los sujetos de la naturaleza se proponen entre sí “Nos sincronizamos, ¿o qué

onda?”

2

Podemos definir la sincronización como un ajuste en las escalas de tiempo de sus oscilaciones debido a

la interacción entre los componentes del sistema en un proceso oscilatorio (4). Es decir, que por interactuar en

un mismo sistema, se pueden ajustar los tiempos en los procesos que efectúan aquellos elementos que

componen al sistema. Este fenómeno también ha sido registrado en el acoplamiento rítmico en metrónomos

(5). Un metrónomo es “un aparato cuyo mecanismo de relojería, indica el grado de velocidad de la ejecución

musical, por medio del movimiento oscilatorio y regulado de un péndulo, graduado de acuerdo a una tabla

numérica grabada detrás” (6). Es una máquina que suena cada vez que pasa por el centro, en una frecuencia

dada, determinada por la posición en el péndulo del apéndice (pequeña masa ubicada en el péndulo) (7). Es

usado comúnmente con propósitos musicales para marcar el tiempo en la interpretación de una obra. El

mecanismo de escape en estos aparatos permite proporcionar energía de forma constante al aparato para

mantener su ritmo, lo que lo hace entrar en la categoría de “osciladores autopropulsados” (osciladores

proporcionados de energía constante para continuar su ciclo). La sincronización entre dos osciladores, como

en los péndulos que componen a los metrónomos, es posible gracias al paso de energía entre ellos y sus

mecanismos de autopropulsión que mantienen la energía constante en sus sistemas (8). Este acoplamiento

sucede aunque estén fuera de fase, o sea, cuando no comienzan su ciclo en el mismo momento.

Antecedentes

La investigación sobre la sincronización de dos osciladores acoplados idénticos comenzó en el siglo XVII

con el físico holandés Christiaan Huygens (9), quien nació en el año de 1629 y fue inventor del reloj de

péndulo, así como de su sistema de escape, que permitía el control del ritmo en su movimiento, fundamental

para el funcionamiento del reloj (10). Gracias a sus estudios en dinámica, determinó que la relación entre la

frecuencia de un péndulo simple (péndulo con un movimiento entre solo dos puntos), donde T es periodo, y g

es gravedad, es (11):

𝑇 = 2𝜋 ∗ 1𝑔

Dentro de sus observaciones constató que si las agujas de sus relojes tenían la misma frecuencia, estos

llegaban a sincronizarse. Huygens ilustró este fenómeno al suspender dos relojes mecánicos sobre un soporte

que a su vez se sostenía sobre dos sillas (12).

El invento del metrónomo se atribuye al inventor de origen alemán Johann Mäzel en 1812. El resultado

de su estudio estaba basado en investigaciones previas acerca de aparatos parecidos al metrónomo (13). El

más famoso de estos casos, es el del inventor Dietrich Nikolaus Winkel, quien fuera el inventor legítimo del

metrónomo, lo que sugiere que Mäzel lo copió antes de que Winkel lo publicara (13). Mäzel lo que hizo fue

3

juntar todos los conocimientos de proyectos anteriores y darlos a conocer bajo un solo nombre, el

metrónomo (13); el metrónomo es similar a los relojes de péndulo, debido a que estos funcionan con

movimientos como los observados por Huygens (13).

Hipótesis

El tiempo que tardan sincronizados dos metrónomos decrece exponencialmente conforme la

diferencia de frecuencia entre los dos metrónomos es mayor

El retraso de sonido entre los metrónomos conforme estos se sincronizan decrece exponencialmente

con un comportamiento asintótico que tiende a 0.

Objetivos

Construir un modelo físico para ilustrar el fenómeno de sincronización en osciladores autopropulsados

usando metrónomos.

Determinar el modelo matemático del tiempo que tarda la sincronización entre los metrónomos,

respecto a la diferencia de frecuencia.

Metodología

El experimento que decidimos hacer consistió en ver qué tan diferentes podían ser los componentes de

un sistema antes de que dejaran de mostrar un comportamiento sincronizado, o que no les permitiera tenerlo

o mantenerlo. Nuestro sistema fueron dos metrónomos suspendidos en una tabla y la manera de hacerlos

diferentes uno del otro, con una cualidad que nosotros podíamos controlar, fue la frecuencia a la que

golpeaban los metrónomos. Usamos dos metrónomos mecánicos de la marca Joyo, una tabla de madera y dos

latas de refresco de 600 ml.

Lo primero que hicimos fue definir qué base íbamos a usar para nuestro experimento; nos decidimos

por una tabla de madera de un ancho de ½ pulgada con un largo de 70 cm y un ancho de 33 cm. Después

colocamos dos latas de refresco debajo de la tabla para poder crear nuestra base. Colocamos cada lata a una

distancia equidistante del centro de aproximadamente 5.5cm. Finalmente con la base colocamos cada

metrónomo a una distancia de 17.5 del extremo de la tabla (Fig. 1).

4

Después, ajustamos

los dos metrónomos a una

frecuencia de 178 golpes por

minuto. Luego fuimos

ajustando la frecuencia de

uno de los dos metrónomos

para que se generara una

diferencia de frecuencias, es

decir, que si el primer

metrónomo se encontraba a

178 golpes por minuto, el

segundo le subiríamos la

frecuencia dos golpes por minuto para que quedara en 180 golpes por minuto. Por lo tanto la probamos con

diferencias de 0, 2, 4, 6 y 8 golpes por minuto. Cambiamos la frecuencia del segundo metrónomo 5 veces, dos

golpes por minuto cada vez, esto hacia que la diferencia de frecuencia se fuera haciendo más amplia. Cada

experimento con las diferentes frecuencias se llevó a cabo cuatro veces. Cada prueba duraba 5 minutos.

Podemos observar (Anexo 1) una de las cuatro grabaciones, donde no hay diferencia de frecuencia entre los

dos metrónomos. Para poder recabar neustra información utilizamos un formato que nos preguntaba el tiempo en que

estaban sincronizados y el tiempo en que no (Anexo 2).

ara poder analizar nuestros experimentos teníamos que grabar el audio de cada una de la pruebas para

poder analizarlas posteriormente. Grabamos las pruebas con una computadora y utilizamos el programa

editor de audio Audacity (14), para poder escuchar las pruebas y tener una representación visual del sonido.

Nos repartimos las grabaciones entre los integrantes del equipo y cada uno analizó una parte de las

grabaciones obtenidos de los 5 experimentos anteriormente realizados, hay que recordar que en cada

experimento fueron 4 pruebas y cada prueba fue el sonido de ambos metrónomos a distintas frecuencias

funcionando. Lo que tratamos de definir con cada prueba era cuanto tiempo estaban sincronizados los

metrónomos durante 5 minutos. Para poder empezar a escuchar las grabaciones, primero teníamos que

definir un tiempo de retraso entre los metrónomos. Esto lo decidimos ya que el retraso de tiempo nunca es 0,

y esto fue un punto importante ya que al introducir nuestras grabaciones al programa de computadora y ver el

sonido en forma de onda, nos dimos cuenta que efectivamente nunca es 0. El tiempo de retraso por el que

optamos para poder trabajar y definir en qué punto estaba sincronizado, fue de 0.1 segundos (Fig. 2), ese

Figura 1. Medidas del soporte del experimento.

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tiempo lo definimos al ver que el sonido en forma de olas ya parecían prácticamente juntos antes de ese

tiempo. En la Figura 2 podemos ver lo que veíamos nosotros al medir los lapsos que se mantenían

sincronizados. Habíamos muchas posibles maneras de medirlo, pero optamos por seleccionar el lapso de

tiempo sincronizado, veíamos el cuánto duraba, y al final sumamos todo para saber el tiempo total

sincronizado. Podemos observar (Anexo 1) una de las 4 grabaciones, donde no hay diferencia de frecuencia

entre los dos metrónomos.

Una vez que todos los integrantes del equipo terminaron de analizar sus datos, todos hicimos una tabla

donde se indicaba, por cada prueba, cuánto tiempo (en segundos) el retraso de tiempo era menor a 0.1

segundos, o bien, se encontraba sincronizado. Para ejemplificar (usar Anexo 2), el segundo intento con la

diferencia de 4 golpes por minuto entre los metrónomos vertió que el tiempo que se mantuvieron

sincronizados los metrónomos fue de 1 minuto con 37 segundos. Puede consultarse la Figura 3 para comparar

los resultados y observar las diferencias que hubo entre cada uno de los intentos en cada una de las

diferencias de frecuencia.

Se obtuvo una media del tiempo que estuvo sincronizado de cada experimento. También se encontró

su desviación estándar, que fueron 54.8 seg, 19.08 seg, 13.9 seg, 22.6 seg y 6.6 seg en las diferencias de 0, 2,

4, 6 y 8 respectivamente. Ya con los datos (en promedio y dados en segundo) pudimos procesar los datos en el

programa de Excel ajustar una ecuación con los datos. Excel aproxima una ecuación con los datos que le

viertes, y en este caso, pusimos la media de cada una de las cinco rondas.

Figura 2. El sonido generado por los metrónomos visto en el programa Audacity.

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Resultados

Los resultados finales se ilustran en la Figura 3. Podemos observar que el tiempo en que están

sincronizados los metrónomos decrece conforme fue mayor la diferencia de frecuencia entre los metrónomos.

El modelo matemático que representa el comportamiento de los metrónomos está dado por la ecuación:

𝑦 = 196.31𝑒 .

Podemos observar que existe un comportamiento asintótico de una curva exponencial decreciente

que se ajusta a los resultados que obtuvimos. Es la aproximación más cercana con la que describimos el

comportamiento que tiene al variar

las características de los

metrónomos, que eran lo que

conformaban el sistema con el que

trabajábamos. Aunque en algunos

puntos era muy grande la diferencia

que había entre el tiempo que

tardan sincronizados uno y otro

metrónomo como en la parte en la

que la frecuencia no es diferentes,

de todas formas el comportamiento

es modelable, y presentó un

comportamiento que pudo

describirse con la ecuación que

obtuvimos. En la gráfica cada tipo

de marca representa el

experimento 1, 2, 3, o 4 de cada ronda, y las marcas de cruz azul son las medias a las que se ajustó la recta.

Agregamos los números 1, 3, 5, 7 y 9 para comodidad del lector, sin embargo no tienen significado en el

experimento, porque no utilizamos esas frecuencias para medir

Conclusiones

El tiempo que se mantienen sincronizados decrece exponencialmente conforme la diferencia entre los

metrónomos es mayor. Dicho comportamiento puede representarse con un modelo matemático. La

Figura 3. Grafica de los resultados de tiempo de sincronización.

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sincronización se presenta en el retraso de los golpes de los metrónomos como un comportamiento asintótico

que efectivamente tiende a 0.

La importancia de nuestro experimento nos presenta la posibilidad de comprender otros fenómenos

similares en la naturaleza y muestra que sí es posible modelar matemáticamente comportamientos naturales

y que responden a comportamientos predecibles.

Bibliografía

(1). CASE, J. F. & HANSON, F. E. (2004) The Luminous World of John and Elisabeth Buck. Integr. Com.

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http://icb.oxfordjournals.org/content/44/3/197.full

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Phys. Rev. Focus 5, 27; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

http://physics.aps.org/story/v5/st27

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Synchronization of Reproductive Cycles; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

http://www.csrees.usda.gov/nea/animals/in_focus/reproduction_if_synchronization.html

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Berlin Heidelberg, pp. 9-19; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-72128-4_2

(5). PANTALEONE, J. (2002) Syncronization of metronomes; Department of Physics University of

Alaska; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en http://salt.uaa.alaska.edu/dept/metro.pdf

(6). GARCÍA, F. (1964) Teoría de la Música. Editorial Framong, México; pp. 121-122.

(7). GRIMES, G. (2013) How Metronomes Work; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

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(8). New York University (2013) Coupled Pendulums; Physics Department New York University;

Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

http://physics.nyu.edu/~physlab/Misc_Labs/Coupled_Pendulums.pdf

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Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia 30332, USA; Consultado en el 28 de febrero del 2013

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(10). Science Museum (2013) Huygen’s Clock. Science Museum; Consultado en el 28 de febrero del

2013 en http://www.sciencemuseum.org.uk/onlinestuff/stories/huygens_clocks.aspx?page=2

8

(11). TIPPENS, P. E. (2011) Física Conceptos y Aplicaciones; Editorial Mc Graw Hill, México; pp. 2019

(12). WARD, T. O. (2006) Design and experimental results of synchronizing metronomes, inspired by

Christiaan Huygens; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en

http://alexandria.tue.nl/repository/books/626694.pdf

(13). PÉREZ, J. (2012) El metrónomo: Origen y evolución. Sinfonía Virtual; Consultado en el 28 de

febrero del 2013 en http://www.sinfoniavirtual.com/revista/022/metronomo_origen_evolucion.php

(14). AUDACITY (2013) Acerca de Audacity; Consultado en el 6 de marzo del 2013 en

http://audacity.sourceforge.net/about/

9

Anexo 1 (Muestra de la grabación de la primera ronda en la primera frecuencia)

11

Anexo 2 (Mediciones de las grabaciones de los experimentos)

Frecuencia: 168-168 bpm Grabación: 1 Tiempo total: 5 min

Tiempo sincronizados total:3:30 Tiempo no sincronizados total: 1:30


Tiempo sincronizados total: 4:42 Tiempo no sincronizados total: 00:18



Frecuencia: 168-168 bmp Grabación: 4 Tiempo total: 5 min

Tiempo sincronizados total:2:32 Tiempo no sincronizados total: 2:28

Frecuencia: 168-170 Grabación: 2 Tiempo total: 5min












12





Frecuencia: 168-174 Grabación: 1 Tiempo total: 5 minutos









Tiempo sincronizados total: 1:23 Tiempo no sincronizados total: 4.37


Tiempo sincronizados total: 1.12 Tiempo no sincronizados total: 3:48




Tiempo sincronizados total: 1.19 Tiempo no sincronizados total: 3.41

13

Anexo 3 (Cartel presentado en el XXIV Congreso de Investigación CUAM-ACMor, 26-04-2013)

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