ALGUNAS NOCIONES SOBRE ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS

1. Operación 1.1 Definición: Sea ,A B dos conjuntos no vacíos, f una relación de de A

en B , decimos que f es una operación cuando a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B

la cual se representa por.

:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

Son sinónimos: Función, Relación Operacional, Trasformación, Ley de composición.

1.2 Clases de Operaciones: Éstas se clasifican de acuerdo a la forma que tenga el conjunto de partida. Es decir si

1 2 3.... ;

n iA A A A A A φ= × × × × ∀ ≠ llamamos a

:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

a. Operación Unitaria: si 1

A A= simbólicamente sería

1

1

:

( ) ; donde ; .

f A B

x f x y x A y B

→

→ = ∈ ∈

b. Operación Binaria: Si 1 2

A A A= × . Simbólicamente

1 2

1 2

:

( ) ; donde ; .

f A A B

x f x y x A A y B

× →

→ = ∈ × ∈

Donde la forma de x es un par ordenado de la forma

1 2( , )x a a= donde

1 1a A∈ ;

2 2a A∈ .

c. Operación n aria− : Si 1 2 3

....n

A A A A A= × × × × . simbólicamente sería

1 2 3

1 2 3

: ....

( ) ; donde .... ; .

n

n

f A A A A B

x f x y x A A A A y B

× × × × →

→ = ∈ × × × × ∈

Donde la forma de x es una n ada− de la forma

1 2( , ,..., ) Donde

n i ix a a a a A= ∈ .

1.3 Clases de Operaciones Binarias.

a. Operación Binaria Interna (OBI): Si f es una operación binaria (como se definió arriba) y se cumple que

1 2A A= simbólicamente

1 1 1

1 1

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y B

× →

→ = ∈ × ∈

Obvio que es lo mismo si el subíndice hubiese sido 2. b. Operación Binaria Externa (OBE): Si f es una operación binaria

(como se definió arriba) y se cumple que 1

B A= en tal caso se dirá

que f es una operación binaria externa definida en 1

A por medio de

2A a derecha, simbólicamente

1 2 1

1 2 1

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y A

× →

→ = ∈ × ∈

en forma análoga si 2

B A= en tal caso se dirá que f es una operación binaria externa definida en

2A por medio de

1A a izquierda, simbólicamente

1 2 2

1 2 2

:

( ) ; donde ; .

f A A A

x f x y x A A y A

× →

→ = ∈ × ∈

1.4 Propiedades de las OBI. Por comodidad y para que el lector no se confunda representaremos la operación OBI por ” ∗ “ y por “ ∆ ” Sean : ;A A A∗ × → : ;A A A∆ × → dos OBI, donde en A se ha definido al menos una relación de equivalencia que para nuestro caso será la igualdad; “ = “ entonces se dice que “∗ “ cumple con la propiedad: A. Interna o clausurativa si solo si para todo ,a b A∈ se cumple que

a b c∗ = donde c A∈ (Toda OBI es clausurativa) B. Asociativa si y solo si para todo , ,a b c A∈ se cumple que

( ) ( )a b c a b c∗ ∗ = ∗ ∗

C. Existencia de elemento Neutro si y solo si para todo a A∈ se cumple que existe un único elemento e A∈ que cumple con a e a∗ = (llamado Neutro a derecha ) y que además debe cumplirse que e a a∗ = (llamado neutro a izquierda).

D. Tiene la propiedad de la existencia del elemento inverso si y solo si ∗ cumple la propiedad del elemento neutro e A∈ y que para todo a A∈ se cumple que existe un único elemento ,

a A∈ llamado elemento inverso de a que tiene la característica que

,a a e∗ = (Inverso a derecha) y además ,

a a e∗ = (Inverso a izquierda)

E. Conmutativa si y solo si para todo , ;a b A a b b a∈ ∗ = ∗ . F. Distributiva: se dice que ∆ distribuye a ∗ si se cumple que para

todo ( ) ( ) ( ), , ;a b c A a b c a b a c∈ ∆ ∗ = ∆ ∗ ∆

1.5 ESTRUCTURA ALGEBRAÍCA Un conjunto A se dice que es una Estructura Algebraica si A φ≠ y en A

se define un conjunto no vacío de operaciones { }, , , , ,....∗ ⊗ ⊕ ∆� y un

conjunto no vacío de relaciones{ }, , , , , , ,...= ≤ ≥ ≅ ≠∼ �

1.6 PRINCIPALES ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Las principales Estructuras Algebraicas que se pueden definir en el conjunto A φ≠ en el cual se han definido al menos las operaciones (PO),

llamada primera y (SO) llamada segunda operación, y al menos una relación como la igualdad son: El Grupo, ;A PO ; El anillo ; ;A PO SO ; El anillo Unitario ; ;A PO SO ;

El anillo Conmutativo ; ;A PO SO ; Cuerpo ; ;A PO SO ; Campo

; ;A PO SO las cuales deben de cumplir las propiedades que se muestran

en la tabla de abajo

PROPIEDADES

GR

UP

O

GR

UP

O A

BE

LIA

NO

AN

ILL

O

AN

ILL

O C

ON

MU

TA

TIV

O

AN

ILL

O U

NIT

AR

IO

CU

ER

PO

C

AM

PO

Primera Operación (PO) x x x x x x x (PO) es Interna x x x x x x x

(PO) cumple con asociativa x x x x x x x (PO) cumple con elemento Neutro x x x x x x x

(PO) cumple propiedad de elementos inversos x x x x x x x (PO) cumple conmutativa x x x x x x

segunda Operación (SO) x x x x x (SO) es Interna x x x x x

(SO) cumple con asociativa x x x x x (SO) cumple con elemento Neutro x x x

(SO) cumple propiedad de elementos inversos en el conjuno menos el neutro de la (PO) x x (SO) cumple conmutativa x x

(SO) distribuye a (PO) x x x x x

ESPACIOS LINEALES SOBRE UN CAMPO La principal estructura que trabaja el curso de Álgebra Lineal es la de Espacio Lineal sobre un Campo, regularmente este campo será los Reales y en tal caso lo llamaremos ESPACIOS LINEALES REALES o también puede ser que el capo sea los complejos tal caso lo llamaremos ESPACIOS LINEALES SOBRE LOS COMPLEJOS. Definición: El conjunto A φ≠ en el cual se define una relación de equivalencia como la igualdad se dice que conforma un Espacio Lineal sobre el Campo K (Los Reales o los Complejos con la suma y el producto) si se cumple lo siguiente En A se define una OBI que en nuestro caso será “ ++++ ” que cumple que

;A ++++ es un Grupo Abeliano

En A se define una OBE que en nuestro caso será “ i ” en A por medio de K tal que en ;A i+,+,+,+, se cumple que si , Kα β ∈ y que ,u v A∈

entonces 1. ( ) ( ) ( ) u u uα β α β=i i i+ ++ ++ ++ +

2. ( ) ( ) ( ) u v u vα α α=i i i + ++ ++ ++ +

3. ( ) ( ) u uα β α β=i i i i

4. Si 1 es el neutro de “ i ” en el campo ;K i+,+,+,+, entonces u u=1 i

Regularmente para nosotros en el curso de Álgebra Lineal OBI es la operación “ + “ y OBE es la operación “ i ” tal cual como están definidas en el conjunto A .