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NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
* Introducción
* Probabilidad
* Espacio muestra
* Evento
* Conjuntos
* Probabilidad en conjuntos
* Teorema de Bayes
* Distribución de probabilidad
Título del Recurso: Nociones de probabilidad.
Propósito: Conocer y comprender las nociones generales de la probabilidad y su
aplicabilidad en la función policial.
Dirigido a: Discentes de la Universidad Nacional Experimental de la Seguridad
(UNES) (Siempre se muestra así)
Palabras Claves: Estadística, probabilidad, conjuntos.
Tabla de Contenido:
Duración de la Navegación: Cuarenta y cinco (45) minutos, aproximadamente.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Autor: Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES)
Diseñadora Instruccional: Marcos Vásquez.
Edición y Montaje: Carleidys Landaeta - [email protected]
Experto en Contenido: Marcos Vásquez y Migdalys Marcano
Fecha de creación: Noviembre del 2011
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
En la vida cotidiana aparecen muchas
situaciones en las que los resultados
observados son diferentes aunque las
condiciones iniciales en las que se produce la
experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al
lanzar una moneda unas veces resultará cara y
otras veces cruz. Estos fenómenos,
denominados aleatorios, se ven afectados por la
incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como
"probablemente...", "es poco probable que...",
"hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar
con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas
estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la
probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones
alcanzadas y las inferencias realizadas.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
PROBABILIDAD
La probabilidad es la posibilidad
numérica de que ocurra un evento. La
probabilidad de un evento es medida
por valores comprendidos entre 0 y 1.
Entre mayor sea la probabilidad de
que ocurra un evento, su probabilidad
asigna estará más próxima a 1. La
probabilidad de certeza es 1. La
probabilidad de una imposibilidad es
0. Esto se podría expresar así:
Por tanto,
en donde es algún evento.
La probabilidad de que el sol salga mañana es muy alta – muy cercana a 1. La
probabilidad de que se aumento el sueldo en un 50% o más, estando en el otro
extremo, está muy cerca de cero.
El proceso que produce un evento en denominado experimento. Un experimento
es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido.
Lanzar un dado (mitad de un par de dados) es un experimento. Un resultado bien
definido en un número de 1 a 6. Un experimento puede consistir en revisar un
producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El
resultado es o (1) defectuoso o (2) no defectuoso.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio
muestral. El espacio muestral para lanzar un dado es:
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
mientras que el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda al
aire es:
La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio
muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número
entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:
De manera informal o clásica podemos calcular la probabilidad de un experimento
A de la siguiente forma:
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3 al lanzar
un dado?; que caiga un número menor a 3 significa un 1 o un 2 y como la cantidad
de resultados posibles es 6 (El número de lados de un dado), entonces el nuestra
probabilidad seria:
No siempre se conoce la cantidad total de resultados posibles de un experimento
o la cantidad de resultados contenidos del mismo, es por ello que podemos definir
la probabilidad a partir de un número de experimentos seguidos realizados de la
siguiente forma (llamada empírica o por frecuencias relativas):
Por ejemplo: Si se quiere tener una idea de cuál es la probabilidad de que
eligiendo un o una discente de la universidad al azar, éste o ésta tenga ojos
claros, se puede tomar a 50 discentes al azar y contar cuántos o cuántas tienen
ojos claros. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que:
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Si en vez de examinar a 50 discentes hubiéramos examinado a 200, la exactitud
esperable sería mayor. Por ejemplo quizás entre los 200 discentes habría 53 con
ojos claros, y entonces:
ESPACIO MUESTRAL
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el
nombre de espacio muestral.
Algunos ejemplos de espacio muestral son:
1) Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que
sale, el espacio muestral es:
Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E.
2) Si el experimento consiste en tomar una lapicera y medirla, el espacio
muestral es:
Vemos que el espacio muestral no tiene por qué ser un conjunto finito. Como en
este caso el resultado puede ser cualquier número real positivo, E tiene infinitos
elementos.
3) Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver
con qué letra empieza el título, el espacio muestral es:
Vemos que los resultados posibles del experimento, es decir, los elementos del
espacio muestral, no tienen necesariamente por qué ser números. En este caso
son letras.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
4) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio
muestral es:
Aunque también podríamos haber respondido si
consideráramos como un resultado posible el caso en que la moneda caiga de
canto.
Vemos que el conjunto de resultados posibles para un
experimento es subjetivo. Generalmente
adecuamos el espacio muestral a lo que
consideramos posible o no posible, y a los
fines del experimento. Por ejemplo, en este
caso una solución posible es definir
y determinar que si cae de canto,
se tira nuevamente.
EVENTO
Un evento (también llamado suceso) del espacio muestral es un subconjunto de
éste. Algunos ejemplos pueden ser:
1) En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio muestral es:
Cualquier subconjunto de E es un evento, por lo tanto ejemplos de eventos de
este experimento pueden ser:
{1}
{6}
{3, 4}
{4, 5, 6}
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{1, 3, 5}
{2, 4, 6}
También podemos expresar estos subconjuntos por comprensión:
"que salga un número par"
"que salga un número impar"
"que salga un número mayor que 3"
Y no olvidemos los siguientes subconjuntos:
{}
Dicho evento es conocido como "evento nulo", " evento falso" o " evento
imposible". Además de la notación {} se puede usar la alternativa .
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral
(recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo). Dicho suceso
es conocido como " evento verdadero", " evento forzoso" o " evento cierto".
2) En el experimento de tomar una lapicera y medir su longitud en cm.:
Ejemplos de eventos (es decir, subconjuntos de E) pueden ser:
{15}
{14.2}
{17.3333333...}
3) Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces
podríamos definir:
El experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale.
El espacio muestral es
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
El evento A es Vemos que . Como dijimos antes, un
suceso es un subconjunto del espacio muestral.
CONJUNTOS
Como los eventos son conjuntos, operar con eventos es operar con conjuntos.
1) Intersección de conjuntos
Dados A y B dos conjuntos, es el conjunto que ocurre cuando suceden
simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B".
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los eventos:
A: que salga menos de 4
B: que salga más de 2
Con lo cual queda:
2) conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Son los conjuntos cuya intersección es nula. Dados los conjuntos A y B, son
disjuntos
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los sucesos:
A: que salga 1 ó 2
B: que salga más de 4
Con lo cual queda:
Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.
3) Unión de conjuntos
Dados A y B dos conjuntos, es el conjunto que resulta cuando ocurre A, B,
o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Ejemplo:
Se tira un dado, y se definen los sucesos:
A: que salga menos de 4
B: que salga 2 ó 6
Con lo cual queda:
4) Complemento de los conjuntos
Dado un conjunto A, su "complemento" es el conjunto que contiene los elementos
que no están en A. El complemento de A se escribe o bien y se llama
"complemento de A", "A negado" o bien "no A".
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Ejemplo:
Si arrojo un dado, y el conjunto A es que salga un 4, entonces el conjunto es
que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.
Expresados como conjuntos quedan:
Observamos que:
Así como A es un subconjunto de E, también es un subconjunto de E.
, es decir, la unión de A y forma E. Esto es lógico: O llueve o
no llueve. No hay ninguna otra posibilidad.
. Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden
ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Con frecuencia se desea determinar la probabilidad de algún evento, dado que
antes otro evento ya hay ocurrido. Lógicamente, esta es llamada probabilidad
condicional. Se denota como y se lee la “probabilidad de A dado B”.
Esta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A, dado que
se conoce que el evento B ya ha ocurrido:
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Antes de ver algunas probabilidades
para conjuntos definamos de forma
axiomática la función de probabilidad.
Sea E un espacio muestral, y A un
evento cualquiera. Se llama función de
probabilidad sobre el espacio muestral
E a P(A) si satisface los siguientes
axiomas:
Si A y B son subconjuntos de E y (Los eventos son disjuntos)
entonces
Ahora veamos algunas propiedades de la probabilidad en conjuntos:
a) Probabilidad de la unión de conjuntos:
Dados dos conjuntos A y B contenidos en el espacio E, entonces:
Véase que si los conjuntos son disjuntos ( ) entonces la expresión
queda como el tercer axioma.
b) Probabilidad de la intersección de conjuntos:
Para esta probabilidad vamos a usar la definición de probabilidad condicional:
I. Observación
II. Experimentación
III.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
IV. Teoría
TEOREMA DE BAYES
En el año 1763, dos años
después de la muerte del
reverendo Thomas Bayes (1702-
1761), se publicó una memoria
en la que aparece, por vez
primera, la determinación de la
probabilidad de las causas a
partir de los efectos que han
podido ser observados
(Probabilidad condicional). El
cálculo de dichas probabilidades
recibe el nombre de teorema de Bayes.
El teorema dice lo siguiente: Si B1, B2,…, Bn son eventos mutuamente
excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir , entonces
Veamos un ejemplo: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la
posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro
médico, de todos los fumadores de quienes de quienes se sospecha que tenían
cáncer pulmonar, el 90% (P=0.9) lo tenía mientras que únicamente el 5%
(P=0.05) de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de
0.45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar,
seleccionado al azar, sea fumador?
Sean B1 y B2 los eventos “el paciente es fumador” y “el paciente no es fumador”.
Se suponen que las probabilidades para estas dos alternativas son 0.45 y 0.55
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
respectivamente. Si un paciente tiene o no cáncer pulmonar puede estar afectado
por cualquiera de las dos alternativas y que constituyen la evidencia experimental.
Se sabe que y . Se desea determinar la probabilidad
de seleccionar un fumador, puesto que el paciente tiene cáncer, o .
Así por el teorema de Bayes tenemos:
Así, la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado
aleatoriamente sea fumador, es de 0.9364.
VARIABLES ALEATORIAS
Vamos a llamar variable aleatoria a una variable cuyo valor sería el resultado de
un determinado experimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experimento
consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será
el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio
muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma
cada valor.
Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadas
conclusiones.
Para el caso del dado, podemos escribir "la probabilidad de que al tirar el dado
salga un número mayor que 3" simplemente como P(X > 3), habiendo antes
definido X como el número que saldría si tiráramos el dado.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para
designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por
ejemplo, si X es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado,
podemos decir que
El cálculo combinatorio es una herramienta matemática que, dada una
determinada cantidad de elementos, permite calcular de cuántas formas posibles
podemos tomar una parte de ellos y/u ordenarlos.
Por ejemplo, si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese
mazo, nos puede interesar calcular cuántas manos distintas podría recibir. Es
decir, cuántas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre
52.
Veamos cada modelo de calcular las combinatorias:
PERMUTACIÓN
Se tienen n elementos, y se desea ver
de cuántas formas se los puede
ordenar. Es decir, los elementos son
siempre los mismos, y cada forma
posible sólo difiere de las demás en el
orden en que se toman los elementos.
Fórmula:
donde n es la cantidad de elementos a ordenar
Ejemplo:
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
¿De cuántas formas se pueden ordenar los elementos {a,b,c}?
abc, acb, bac, bca, cab, cba (6 formas)
VARIACIÓN
Es como la permutación, pero no se usan los n elementos sino que se usan
solamente k de ellos. Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el orden,
sino cuáles de los n elementos se eligen (naturaleza).
Fórmula:
donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad de elementos que se
eligen. Se lee: "variaciones de n elementos tomados de a k".
Ejemplo:
Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿De cuántas formas se puede tomar 2 de ellos,
sin repetir ninguno, y teniendo en cuenta el orden?
Comencemos por aclarar que:
1) tener en cuenta el orden significa que "ab" ¹ "ba"
2) tener en cuenta la naturaleza significa que elegir al a y al b no es lo mismo que
elegir al a y al c.
Entonces las variaciones en este caso son:
ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
VARIACIÓN
Consiste en tomar k elementos entre n que hay en total, sin importar en qué orden.
Es decir, importa la naturaleza ("cuáles") pero no importa el orden. Observamos
que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden; las variaciones
distinguen "ab" de "ba", en cambio para las combinaciones "ab" = "ba", y sólo
importa el hecho de que fueron "a" y "b" los elementos elegidos.
Fórmula:
donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad que se toman.
Ejemplo:
Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿Cuántas formas posibles hay de elegir 2?
Comencemos por aclarar que como son combinaciones, no tenemos en cuenta el
orden, con lo cual "ab" = "ba". Además recordamos que por tratarse de
combinación simple, no se puede elegir 2 veces el mismo elemento. Entonces en
este caso las combinaciones son:
ab, ac, ad, bc, bd, cd.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS
Comparemos ahora el
ejemplo del dado con este
otro: haremos el
experimento de elegir una
naranja al azar en una
verdulería, y llamaremos Y
al peso de la naranja
elegida. Si pensamos en
los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria Y, veremos que no
solamente son infinitos sino que además dado un valor posible no hay un
"siguiente" porque entre cualquier valor y aquel al que consideráramos su
"siguiente" hay infinitos valores posibles. La variable aleatoria X es discreta. La
variable aleatoria Y es continua.
En principio definiremos las variables aleatorias discretas y continuas así:
Variable aleatoria discreta: aquella tal que la cantidad de valores
posibles que puede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras
palabras, aquella cuyos valores posibles son todos puntos aislados
del conjunto de valores posibles. Dicho incluso de una tercera forma:
aquella tal que si tomamos dos cualesquiera de sus valores posibles,
hay entre ellos una cantidad finita de valores posibles.
Variable aleatoria continua: aquella que no es discreta, es decir,
aquella tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no
numerable.
¿A qué nos referimos con infinito numerable y no numerable?
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
a)
b)
c)
d)
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales tiene una cantidad finita pero
numerable de elementos, porque sus elementos se pueden enumerar. En cambio,
el conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita no numerable de
elementos, porque sus elementos no se pueden enumerar.
Veamos un problema:
1) Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas o
continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias.
a) El número que sale al tirar un dado.
b) La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas.
c) La cantidad de accidentes por mes.
d) Peso de una naranja.
e) Diámetro de una arandela.
f) El país donde nació una persona.
g) La edad de una persona.
Resolución:
Discreta. La cantidad de resultados es finita.
Discreta. La cantidad de resultados es finita.
Discreta. Aunque la cantidad de resultados es infinita, porque no hay un
valor máximo posible, es numerable, porque los resultados se pueden
enumerar. Otra forma de ver que es discreta: todos los resultados son puntos
aislados.
d) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no
podemos enumerar todos los resultados). Otra forma de ver que es
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
e)
f)
g)
continua: los resultados no son puntos aislados, sino que forman un continuo (por
ejemplo, un segmento de recta).
Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no
podemos enumerar todos los resultados).
Discreta. La cantidad de resultados es finita. Observemos que las
variables que no son numéricas por lo general son discretas.
Puede ser discreta o continua. Si tomamos la edad como la cantidad entera
de años que ha vivido la persona, entonces es discreta. Si tomamos la
edad como un número real de años que ha vivido la persona (ejemplo: 5,37 años)
entonces es continua.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una variable aleatoria tal que
todos sus valores posibles
son equiprobables es un
caso muy particular. En
general, cada uno de los
valores posibles puede tener
distinta probabilidad. Por eso
nos interesa estudiar cómo
se distribuyen las
probabilidades en los distintos valores posibles de la variable.
Al conjunto de valores posibles, y la relación entre ellos y sus respectivas
probabilidades, se lo conoce como distribución de probabilidad.
Notemos que:
1) la probabilidad de un determinado valor no puede ser menor que cero.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
2) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1, porque al hacer el
experimento siempre sale uno de los resultados posibles.
La distribución de probabilidad se puede expresar de diversas formas.
Generalmente se usa la función de densidad de probabilidad.
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Esta función le asigna a cada valor posible de la variable aleatoria un número real
que consiste en la probabilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir con las
2 condiciones que enunciamos antes:
a) no puede ser negativa en ningún punto
b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1.
Puede pensarse que la condición "a" es insuficiente, porque la probabilidad no
solamente no puede ser menor que cero, sino tampoco mayor que uno. Pero
agregar esa condición sería redundante, porque la condición "b" garantiza que eso
no puede ocurrir, ya que si la probabilidad para un valor fuera mayor que 1, como
ninguna probabilidad puede ser negativa entonces la suma daría necesariamente
mayor a 1.
En variables aleatorias discretas la función de densidad se define así:
es una función que a cada valor posible le asigna su probabilidad.
es una función de densidad de probabilidad discreta si y solo si cumple con:
1)
2)
Veamos algunas funciones de distribución comunes:
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
BERNOULLI
Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los
resultados se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El
experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de
"éxito").
Distribución:
"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?"
Si
es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p
es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n
experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito p.
POISSON
"¿Cuál es la probabilidad de obtener x eventos en el intervalo estudiado?"
Si bien el proceso de Poisson trabaja con los parámetros (longitud del intervalo)
y (intensidad), la distribución de Poisson usa solamente el parámetro
Como es la longitud del intervalo, y es la cantidad esperada de eventos por
unidad de tiempo, entonces m resulta ser la media. Es decir que esta distribución
tiene la característica de que su media resulta valer directamente lo mismo que
valga el parámetro .
Si
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
es decir: X es una variable Poisson con media .
es decir: X es la variable que representa la cantidad de eventos obtenidos en un
intervalo de longitud e intensidad . Entonces:
NORMAL
Cuando la función de densidad es la siguiente:
la distribución se llama "Normal" (o de "Gauss").
La gráfica de esta función de densidad se conoce con el nombre de "campana de
Gauss" A primera vista podemos observar:
A diferencia de todas las distribuciones que vimos anteriormente, es no-nula
para todos los números reales.
Tiene 2 parámetros, y .
El parámetro puede ser cualquier número real, y es, directamente, la media de la
distribución.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
El parámetro puede ser cualquier número real positivo, y es, directamente, el
desvío estándar de la distribución.
La notación significa que la variable aleatoria tiene una distribución
normal con parámetros y , o dicho de otra forma, que la variable aleatoria
tiene una distribución normal, cuya media es , y cuya varianza es .
Cuando y , la distribución se llama normal estándar. Se puede
demostrar que si es cualquier variable aleatoria normal, y tomamos la variable
aleatoria , entonces resulta ser una variable aleatoria normal estándar.
Es decir: Lo cual puede ser demostrado mediante
un simple cambio de variables. Esto nos permite, dada cualquier variable aleatoria
normal, encontrar una variable aleatoria normal estándar, que es la que
encontraremos en las tablas.
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Si es el promedio de una muestra de tamaño n de una población con media y
desviación estándar , entonces la variable aleatoria tiene una
distribución aproximadamente normal estándar, bajo las siguientes condiciones:
Si , la distribución de es aproximadamente normal estándar
sin importar la distribución de las .
Si , la distribución de es aproximadamente normal solamente
si la distribución de las no difiere mucho de la distribución normal
(por ejemplo: si es simétrica).
Si la distribución de las es normal, la distribución de es normal sin
importar el valor de n.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
REFERENCIAS
Spiegel, M (2006). Probabilidad y estadística. México. Editorial McGraw-
Hill.
Devore, J (2008). Probabilidad y estadística. México. Editorial Cengage
learning Editores.
Mayer, P (1992). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Editorial
Alhambra Mexicana.
Zylberberg, A (2005). Probabilidad y estadística. Buenos Aires – Argentina.
Editorial Nueva Librería.