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Tema 2: Probabilidad

2

◼ ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Probabilidad y Estadística?

◼ ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme un atasco cuando voy a clase?

◼ Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso los que hayáis visto poco de la materia en cursos anteriores, tenemos una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

◼ En este tema vamos a: Ver qué entendemos por probabilidad.

Mostar algunas reglas de cálculo.

Ver algunos ejemplos de probabilidad.

3

◼ Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el sucesoal realizar un experimento repetidas veces.

◼ Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. En este caso es personal.

En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a ver qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos.

Nociones de probabilidad

OSTEOPOROSIS

OSTEOPENIA

NORMAL

0 10 20 30 40 50

Porcentaje

CLASIFICACION OMSCLASIFICACION OMS

469 46,9%

467 46,7%

64 6,4%

1000 100,0

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

Total

Válidos

Frecuencia Porcentaje

4

Sucesos◼ Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son

posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S); algunos libros lo representan como .

◼ Se llama suceso a un subconjunto ( ) de dichos resultados.

◼ Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, , al formado por los elementos que no están en A

◼ Se llama suceso unión de A y B, de la forma A U B (A+B), al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.

◼ Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B

S espacio muestral

S espacio muestral

A

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

UNIÓN INTERS.

A

A

5

◼ Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)

P(S)=1

0≤P(A) ≤1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

◼ Ø es el conjunto vacío.

◼ Podemos imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)

Definición de probabilidad

S espacio muestral

100%

B

E espacio muestral

A

6

EJEMPLOS

B

E espacio muestral

A

P(A)=3/9=1/3S espacio muestral

A

B

P(B)=5/9

P(AUB)=6/9=2/3

P(AB)=2/9

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=4/9

P(A)=3/9=1/3

P(B)=2/9

P(AUB)=5/9

P(AB)=0

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=7/9

P(A)=3/9=1/3S espacio muestral

A

B

P(B)=2/9

P(AUB)=3/9=1/3

P(AB)=2/9

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=7/9

P(B)=?

P(A)=?

P(AUB)=?

P(AB)=?

P(A’)=?

P(B’)=?

P(B)=?

P(A)=?

P(AUB)=?

P(AB)=?

P(A’)=?

P(B’)=?

P(B)=?

P(A)=?

P(AUB)=?

P(AB)=?

P(A’)=?

P(B’)=?

7

A

Probabilidad condicional

◼ Se llama probabilidad de A condicionada a B, o

probabilidad de A sabiendo que ocurrio B:

E espacio muestral

B

◼ Error frecuentíiiiiiisimo:

No confundan probabilidad condicional con intersección.

En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…

◼ En P(A∩B) con respecto a P(E)=1

◼ En P(A|B) con respecto a P(B)

P(A | B) =P(AÇB)

P(B)

8

EJEMPLOS

B

E espacio muestral

A

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=5/9

P(AUB)=6/9=2/3

P(AB)=2/9

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=4/9

P(A)=3/9=1/3

P(B)=2/9

P(AUB)=5/9

P(AB)=0

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=7/9

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=2/9

P(AUB)=3/9=1/3

P(AB)=2/9

P(A’)=6/9=2/3

P(B’)=7/9

P(A|B)=2/5 P(B|A)=2/3

P(A|B)=0 P(B|A)=0

P(A|B)=1 P(B|A)=2/3

P(A|B)=? P(B|A)=?

P(A|B)=0 P(B|A)=0P(A|B)=? P(B|A)=?

P(A|B)=? P(B|A)=?

9

Intuir la probabilidad condicional

B

A

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10

P(A∩B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10

P(A∩B) = 0,08

10

Intuir la probabilidad condicional

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10

P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25

P(B) = 0,10

P(A∩B) = 0

11

◼ Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teoría mediante aplicación de los axiomas. Sin embargo, es más cómodo conocer algunas reglas de cálculo:

P(A’) = 1 - P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(AB) = P(A) P(B|A)

= P(B) P(A|B)

◼ Prob. de que ocurran A y B es la prob. de A y que también pase B sabiendo que ya ocurrio A.

Algunas reglas de cálculo prácticas

12

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

TotalEjemplo (I)

◼ Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una

mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla.

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga

osteoporosis?

◼ P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%

Noción frecuentista de probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no tenga

osteoporosis?

◼ P(No Osteoporosis)=1-P(Osteoporsis)=1-64/1000=0,936=93,6%

13

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

TotalEjemplo (II)

◼ ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

P(OsteopeniaUOsteoporosis)=P(Osteopenia)+P(Osteoporosis)-P(Osteopenia∩Osteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531

◼ Son sucesos disjuntos

◼ Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø

◼ ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?

P(OsteoporosisUMenopausia)=P(Osteoporosis)+P(Menopausia)-P(Osteoporosis ∩ Menopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703

◼ No son sucesos disjuntos

◼ ¿Probabilidad de una mujer normal?

P(Normal)=469/1000=0,469

P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469

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Ejemplo (III)

◼ Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

◼ ¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058

◼ Otra forma:

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

058,01000/58697

58

1000

697

)|()()(

===

== MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP

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Ejemplo (III)

◼ Si tiene osteoporosis… ¿probabilidad de menopausia? P(Menopausia|Osteoporosis)=58/64=0,906

◼ ¿Probabilidad de menopausia y no osteoporosis? P(Menop ∩ No Osteoporosis) = 639/1000=0,639

◼ Si no tiene osteoporosis… ¿probabilidad de no menopausia? P(No Menopausia|NoOsteoporosis)=297/936=0,317

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

)()()(

)()/(

)()/(

BPAPBAP

EPAEP

APEAP

=

=

=

Eventos Independientes:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (AE) = (EA) y despejamos a P(AE), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

)A P( )E/A P(

)()/()(

)(

)()/(

)(

)()/(

=

=

=

=

EPEAPEAP

AP

AEPAEP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD

P(E)P(A))A P( )E/A P(

)()()()/()(

==

== EPAPEPEAPEAP

)()(

)()(

)(

)()/(

)()(

)()(

)(

)()/(

EPAP

APEP

AP

AEPAEP

APEP

EPAP

EP

EAPEAP

==

=

==

=

Probabilidad Condicional.

Si A y B son independientes:

PROBABILIDAD

Ejemplo:Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3E: que al lanzar un dado salga un impar

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

Ω = 1,2,3,4,5,6A = 3, E = 1,3,5, (AE) = 3,P(A) = 1/6

P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)= 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD

Otra forma de calcular las probabilidades de laintersección y las probabilidades condicionales,de dos eventos A y B, tal que

A AC = Ω

B BC = Ω

es elaborando primero la tabla de número deelementos de los eventos y después la tabla desus probabilidades.

PROBABILIDAD

B Bc Total

A AB ABc A

Ac AcB AcBc Ac

Total B Bc Ω

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A N(AB) N(ABc) N(A)

Ac N(AcB) N(AcBc) N(Ac)

Total N(B) N(Bc) N(Ω)

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A P(AB) P(ABc) P(A)

Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac)

Total P(B) P(Bc) P( Ω)

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

Probabilidades condicionales:

P(A/B) = P(A B)/P(B)

P(B/A) = P(A B)/P(A)

P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc)

P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)

P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)

P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%de la población y los hombres el otro 50%. Sesabe que el 20% de las mujeres y el 5% dehombres están sin trabajo. Un economistaestudia la situación de empleo, elige al azar unapersona desempleada. Si la población total esde 8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la personaescogida sea ?:

PROBABILIDAD

a).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que está empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea DesempleadoE: Que sea Empleado

PROBABILIDAD

DesempleadosD

EmpleadosE

Total

MujeresM

800 3200 4000

HombresH

200 3800 4000

Total 1000 7000 8000

Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

D E Total

M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5

H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5

Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1

Tabla de Probabilidades

P(M) = .50

P(H) = .50

P(E) = .875

P(D) = .125

P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571

P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05

P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8

P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8

P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2

PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes

En el ejemplo anterior se tiene queP(M) = .50P(H) = .50P(E) = .875P(D) = .125P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375

PROBABILIDAD

Por tanto los eventos M y E ,

D y H,

M y D,

E y H

son dependientes.

PROBABILIDAD

1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( \ ) ( \ )... ( \ ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A −=

1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A=

Ley general Multiplicativa para n

eventos

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

Probabilidad total.-

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos(mutuamente excluyentes), que forman unapartición de Ω. Esto es Ai Aj = paratoda i y toda j, y además

Ω = A1 A2 A3 An

PROBABILIDAD

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

Y sea E otro evento tal que E Ω y E Ai

PROBABILIDAD

A1

A2

A3

A4

A5

A6

An

E

E

Entonces

E = Ω E = (A1 A2 A3 An) E

= (A1 E) (A2 E) (A3 E)

(An E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos,se tiene que:

P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)

Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i ≠ j

PROBABILIDAD

Como (Ai E) = (E Ai) entonces

P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +

P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtienesu producción con tres máquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del número total de artículosproducidos.

Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas máquinas son 3%, 4% y5%. Si se selecciona un artículo al azar,

¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo seadefectuoso ?

PROBABILIDAD

Sea

D el evento: Que sea un artículo defectuoso.

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +

P(D/M3) P(M3)

= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

PROBABILIDAD

M1

M2

M3

D

ND

D

ND

D

ND

P(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An

es una partición de un espacio muestral Ω. En cadacaso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2,A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E

cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

PROBABILIDAD

)/()()/()()/()(

)/()()/(

2211 nn

Ii

iAEPAPAEPAPAEPAP

AEPAPEAP

+++=

P(E)

)/()()/(

ent onces

:es E de compl et a adprobabi l i d l a Como

2211

Iii

nn

AEPAPEAP

))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)

=

+++=

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtienesu producción con tres máquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del número total de artículosproducidos.

Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas máquinas son 3%, 4% y5%. Supóngase que se selecciona un artículoal azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál seríala probabilidad de que el artículo haya sidoproducido por la máquina M1?

PROBABILIDAD

Sea

D: Que el artículo sea defectuoso

ND: Que el artículo no sea defectuoso

M1: Que haya sido producido por la máquina 1



P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

PROBABILIDAD

M1

M2

M3

D

ND

D

ND

D

ND

P(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

PROBABILIDAD

4054.037.

)03)(.50(.

)(

)/()(

)/()()/()()/()(

)/()()/(

11

332211

111

===

++=

DP

MDPMP

MDPMPMDPMPMDPMP

MDPMPDMP

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Para un experimento que consta de k eventos sucesivos

donde:

el primer evento puede resultar de m1 maneras distintas,

el segundo evento puede resultar de m2 maneras distintas

.

.

.

El k-ésimo evento puede resultar de mk maneras distintas.

El número total de resultados para el experimento completo está dado por:

m1 • m2 • ... • mk

1/2

47

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEOEjemplo 1:

En un sorteo cada participante debe elegir en orden cuatro imágenes de

entre 25. Durante el sorteo se descubren una por una cuatro imágenes

imágenes (sin repetición) y ganan quienes acierten a las cuatro en el mismo

orden en que salieron. ¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

Ejemplo 2:

En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números del 1 al 25.

Durante el sorteo se seleccionan cuatro números con repetición y ganan

quienes acierten a los cuatro números en el mismo orden en que salgan.

¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?

No. de resultados = (25) (25) (25) (25) = 254 = 390,625

No. de resultados = (25) (24) (23) (22) = 303,600

Nótese que en este caso, si n es el número total de elementos diferentes disponibles

y r es el número de objetos que se seleccionarán con repetición, entonces el número

total de resultados posibles es: nr.

PERMUTACIONESSi se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las permutaciones son

subconjuntos de r objetos, en donde una permutación es distinta de

otra si difiere en al menos un elemento o en el orden de estos. Condición: r < n.

Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas.

Para escoger el 2do. elemento hay (n-1) formas distintas.

Para escoger el 3er. elemento hay (n-2) formas distintas.

. . .

Para escoger el r-ésimo. elemento hay [ n - ( r-1 ) ] formas distintas,

o bien, (n-r+1).

Por el principio fundamental del conteo, el número total de

permutaciones es:P(n,r) = n (n-1) (n-2) ... (n-r+1)

Que también se puede expresar de la forma:

)!(

!),(

rn

nPrnP n

r−

==

Permutaciones simples:

PERMUTACIONES

Si en las permutaciones n = r entonces: P(n,n) = n!

¿de cuántas maneras se puede acomodar una reunión de cinco

personas en una fila de cinco sillas?

Permutaciones circulares:

n objetos pueden distribuirse en un círculo de (n-1)(n-2)...(3)(2)(1)

formas distintas

¿de cuántas maneras se puede acomodar una reunión de cinco

personas en una mesa redonda?

)!1( −= nPCn

5 4 3 2 1

(5-1)!=4!= 25

5!=120

Nótese que la primera persona puede colocarse en cualquier lugar, por lo que de las P(n,r) hay

que desechar las que son iguales, por lo que PCn = n! / n = (n-1)!

50

Ejemplo

Cinco personas se proponen para la mesa directiva de una asociación civil,

Estas ocuparán los puestos de : presidente, vicepresidente, secretario,

tesorero y vocal que se elegirán en forma sucesiva al puesto. Los candidatos

son A, B, C, D, E.

El primer puesto que se va a seleccionar es el de presidente. Este puede

elegirse de 5 candidatos a saber. A, B, C, D y E.

51

El esquema combinatorio se presenta en la figura 4.1 en donde el número de

individuos elegibles se va reduciendo en una unidad cada vez que se elige un puesto.

Se va creando lo que en estadística se conoce como espacio muestral que significa el

número de combinaciones que son elegibles. Es notorio que la selección de una

etapa condiciona a la selección de la siguiente esto se llama probabilidad

condicional. Así la cantidad de maneras en que se combinan 4 individuos para

elegir al vicepresidente después que se eligió el presidente es de: m1 ×m2 = 5× 4

= 20 = n12 y la probabilidad será.

20

1

4

1

5

1)|( ==pvP

Figura 4,1. Combinaciones de 5 unidades tomadas de 5 posibles

Presidente Vicepresidente Secretario Tesorero Vocal

Candidato p v s t a

A 1 1 1

B 1 1 1 1 1

C 1

D 1 1 1 1

E 1 1

Elegibles 5 4 3 2 1

Espacio Muestral 5 20 60 120 120

En general: 120FACT(B25)12345!);( ===== nPnnP nn

52

La Figura 4,2 muestra las 20 combinaciones posibles para ocupar puestos

de presidente y vicepresidente.

El número de combinaciones posibles para ocupar los puestos de presiente,

vicepresidente y secretarios serían:

Y la probabilidad correspondiente es:

( ) ( ) 60345211 ==−−= nnnnpvs

60

1

3

1

4

1

5

1)||( ==svpP

A estas alturas el estudiante puede percibir el esquema algebraico que

gobierna la teoría de las permutaciones y de las probabilidades

condicionales.

Figura 4,2. Combinaciones del presidente elegido con 4 candidatos elegibles.

Presidente + Vicepresidente

A B C D E Combinaciones

A AB AC AD AE 4

B BA BC BD BE 4

C CA CB CD CE 4

D DA DB DC DE 4

E EA EB EC ED 4

Combinaciones 4 4 4 4 4 20

53

Quedarán las combinaciones para los dos últimos puestos. El esquema

generalizado para permutaciones es:

Léase n! como n factorial.

La figura 4,3 muestra las

120 combinaciones

posibles de 5 para 5. Esto

es, dos condiciones de

ordenamiento de 5

posibles cada una.

( )( )

!

1...21);(

n

nnnnnP

=

−−=Figura 4,3. Combinaciones de 5 puestos para 5 candidatos. P(5; 5)

Presidente + Vicepresidente + Secretario+Tesorero+Vocal

A B C D E Combinación

ABCDE BACDE CABDE DABCE EABCD 5

ABCED BACED CABED DABEC EABDC 5

ABDCE BADCE CADBE DACBE EACBD 5

ABDEC BADEC CADEB DACEB EACDB 5

ABECD BAECD CAEBD DAEBC EADBC 5

ABEDC BAEDC CAEDB DAECB EADCB 5

ACBDE BCADE CBADE DBACE EBACD 5

ACBED BCAED CBAED DBAEC EBADC 5

ACDBE BCDAE CBDAE DBCAE EBCAD 5

ACDEB BCDEA CBDEA DBCEA EBCDA 5

ACEBD BCEAD CBEAD DBEAC EBDAC 5

ACEDB BCEDA CBEDA DBECA EBDCA 5

ADBCE BDACE CDABE DCABE ECABD 5

ADBEC BDAEC CDAEB DCAEB ECADB 5

ADCBE BDCAE CDBAE DCBAE ECBAD 5

ADCEB BDCEA CDBEA DCBEA ECBDA 5

ADEBC BDEAC CDEAB DCEAB ECDAB 5

ADECB BDECA CDEBA DCEBA ECDBA 5

AEBCD BEACD CEABD DEABC EDABC 5

AEBDC BEADC CEADB DEACB EDACB 5

AECBD BECAD CEBAD DEBAC EDBAC 5

AECDB BECDA CEBDA DEBCA EDBCA 5

AEDBC BEDAC CEDAB DECAB EDCAB 5

AEDCB BEDCA CEDBA DECBA EDCBA 5

24 24 24 24 24 120

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de

r objetos, en donde se permite la repetición y además se permite: r <

n, r > n ó r = n

Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas.

Para escoger el 2do. elemento nuevamente hay n formas distintas.

Para escoger el 3er. elemento también hay n formas distintas.

. . .

Para escoger el r-ésimo. elemento hay n formas distintas,

Por el principio fundamental del conteo, el número total de

permutaciones es:

lo que también se expresa de la forma:rn

r nPR =

PR(n,r) = n•n .... •n =nr

r veces

Nótese que en este caso, después de observar cada resultado se devuelve el elemento al conjunto, y

para el siguiente ensayo hay otra vez n resultados posibles; por lo que se dice que se toman muestras

con reemplazo.

PERMUTACIONESPermutaciones con grupos de objetos iguales:

Si en un conjunto de tamaño n, existen

m1 objetos iguales

m2 objetos iguales

....

mk objetos iguales,

donde m1+m2+..+mk=n

El número de permutaciones de n objetos es:

! ... ! !

!

21

, . . ,, 21

k

n

mmmmmm

nP

k=

¿cuántos códigos diferentes de siete letras pueden formarse con tres letras X,

dos letras Y y dos letras Z?210

!2 !2 !3

!77

2,2,3 ==P

Ejemplo:

56

◼ EJEMPLO 1

◼ Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar?

◼ Resolución:

◼ Importa el orden de colocación, se cogen todas las letras y deben ser letras distintas…

◼ Luego son permutaciones ordinarias

◼ P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

◼ EJEMPLO 2

◼ Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una lista?

◼ Resolución:

◼ Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir alguno de ellos…

◼ Luego son permutaciones ordinarias

◼ P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 manera distintas de ordenarlos.

57

◼ EJEMPLO 3

◼ Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una mesa circular?

◼ Resolución:

◼ Importa el orden de colocación, tomo los 6, y no hay repetición …

◼ Luego son permutaciones ordinarias, pero no vale la posición relativa

◼ Pn-1 = (n – 1)! = (6 – 1)! = 5 ! = 120

◼ EJEMPLO 4

◼ Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres?

◼ Resolución:

◼ Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )…

◼ Luego son variaciones ordinarias

◼ V24,6 = 24! / (24-6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96.909.120

◼ Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24. Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6 pupitres, uno para cada alumno.

58

Permutaciones: r elecciones de n posibles.

Del ejercicio donde “Cinco personas se proponen para la mesa directiva de

una asociación civil”: Ahora suponga que únicamente los puestos de

Presidente y vicepresidente deben elegirse de los cinco candidatos propuestos.

En este caso se denotará como r la cantidad de elementos que deben elegirse

de los n candidatos posibles. Esta proposición se denota como:

( )!!

),(rn

nrnP

−=

En este ejemplo será:

2045

123

12345)2,5( ==

=P

Notará que el divisor cancela las elecciones que no pueden efectuarse. La

probabilidad para las combinaciones es:

20

1

4

1

5

1

)2;5(

1) ó ;5( ====

PvpnP

59

Permutaciones: Elección con interés en la posición

Se presenta nuevamente la figura 4-2 modificada para que el estudiante

tome en cuenta que no hay ninguna preferencia en la posición en que los

candidatos ocupan los puestos de presidente o vicepresidente.

Las combinaciones con letra de color azul sobre la diagonal de la matriz de

combinaciones se repite en posición invertida en las letras de color verde

en la parte inferior de la diagonal de la matriz.

Notará que la diagonal no es elegible pues un candidato no puede ser

presidente y vicepresidente.

Permutaciones en donde sí interesa la posición en la selección del candidato

puesto que no ocuparía el mismo puesto.

Figura 4,4. Combinaciones de r = 2 puestos en n = 5 posibles

Presidente + Vicepresidente

A B C D E Combinaciones

A AB AC AD AE 4

B BA BC BD BE 4

C CA CB CD CE 4

D DA DB DC DE 4

E EA EB EC ED 4

Combinaciones 4 4 4 4 4 20

Ejercicio:

60

En la sala de espera de un médico obstetra hay un sofá con

capacidad para 4 personas. En este momento hay 10 personas en la

sala de espera: ¿De cuántas formas se pueden haber sentado esas 10

personas en el sofá.

Solución:

La primera plaza puede ocuparse por cualquiera de las 10

personas y cuando esto se ha hecho hay 9 formas de ocupar la

segunda plaza, 8 para la tercera y 7 para la cuarta. Por tanto, el

número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4 es:

10 9 8 7 =5.040.

En general, el número de ordenamientos de n objetos diferentes

tomados de r en r sin que la posición interese es:

n(n − 1)(n – 2)…(n – r + 1) = nPr.

61

Permutaciones con repeticiones.

Las permutaciones de n objetos del

mismo tipo en donde en donde una

característica se repite x veces, otra

lo hace y veces y así con otras.

Suponga que en una fabrica textil

hay 6 máquinas ovilladoras: Las

máquinas A, B y C producen

ovillos rojos = 1, las máquinas D y

E ovillos verdes = 2 y la máquina G

ovillos blancos = 3. Con

regularidad se toman muestras de

6 unidades. ¿De cuántas maneras

se pueden arreglar las muestras

para que cada una de las máquinas

esté representada?

Hay situaciones en que los eventos se repiten dentro de un esquema de

permutaciones.

( )( )( )60

1223

123456

!!!

!),,;(

=

=

=bvr

nbvrnP

Fig. 4,5. Permutaciones de 6 máquinas en tres grupos r = 3, v = 2, b = 1.

Muestra Arreglo Muestra Arreglo Muestra Arreglo

1 111223 21 123111 41 213121

2 111232 22 123112 42 213211

3 111322 23 123121 43 221113

4 112123 24 123211 44 221131

5 112132 25 131122 45 221311

6 112213 26 131212 46 223111

7 112231 27 132112 47 231112

8 112312 28 132121 48 231121

9 112321 29 132211 49 231211

10 113122 30 211123 50 232111

11 113212 31 211132 51 311122

12 113221 32 211213 52 311212

13 121123 33 211231 53 311221

14 121132 34 211312 54 312112

15 121213 35 211321 55 312121

16 121231 36 211322 56 312211

17 121312 37 212113 57 321112

18 121321 38 212131 58 321121

19 122113 39 212311 59 321211

20 122131 40 213112 60 322111

62

Nueve jóvenes que salen de la última clase de la facultad y deciden ir

a ver una obra de teatro. En la boletería consiguen 9 asientos

seguidos. En encargado de comprar los boletos se da cuenta que el

primer asiento tiene el número 31 y hace la siguiente pregunta a sus

compañeros con el objetivo de que hombres y mujeres queden en

lugares alternos:

¿De cuántas formas nos podemos sentar de manera que las mujeres

ocupen los asientos pares?.

Solución.

Los hombres pueden estar sentados de 5P5 formas y las mujeres

de 4P4. Cada ordenación de los hombres puede asociarse con

cada ordenación de las mujeres. Así pues, el número de

ordenaciones pedido es:

(5 4 3 2 1)(4 3 2 1) = 120 24 = 2.880 = (5P5) (4P4) = 5! 4!.

COMBINACIONESSi se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las combinaciones son

subconjuntos de r objetos, en donde una combinación es distinta de

otra si difiere en al menos un elemento, sin importar el orden de éstos.Condición: r < n.

Que también se puede expresar de la forma:

)!( !

!),(

rnr

nCrnC

r

nn

r−

===

El número total de permutaciones es:)!(

!),(

rn

nPrnP n

r−

==

Pero como para cada combinación

hay r! permutaciones, se tiene que:n

r

n

r CrP !=

)!(

!

!

1

! rn

n

rr

PC

n

rn

r−

==Despejando:

COMBINACIONES

650,12)!21(!4

!25

)!425(!4

!25

4

2525

4 ==−

==

C

Ejemplo 1:

En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números

distintos del 1 al 25. Durante el sorteo se sacan cuatro números

sin repetición y ganan quienes acierten a los cuatro números sin

importar el orden en que salgan. ¿cuántos posibles resultados

puede tener el sorteo?

Puesto que no importa el orden en que salen los

números, se trata de combinaciones:

COMBINACIONES

De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto por 3

hombres y tres mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres

35)!37(!3

!7

3

77

3 =−

==

C

1. Los 3 hombres se pueden elegir de 35

formas distintas.

10)!35(!3

!5

3

55

3 =−

==

C

2. Las 3 mujeres se pueden elegir de 10

formas distintas.

Ejemplo 2:

3. Por el principio fundamental del conteo, el

número de comités distintos es de:350 5

3

7

3 =CC

COMBINACIONES

)!1( !

)!1(

)!]1([ !

)!1(1

−

−+=

−−+

−+== −+

nr

rn

rrnr

rnCCR rn

r

n

r

Combinaciones con repetición:

Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, se forman conjuntos de

r objetos, en donde se permite la repetición, sin importar el orden de

los elementos; aquí también, una combinación es distinta de otra si

difieren en al menos un elemento, y además se permite: r < n y r >

n.

En una urna se tienen seis esferas diferentes ¿Cuántas combinaciones

de cuatro esferas, con repetición, se pueden formar?

126!5 !4

!9

)!16( !4

)!146(6

4 ==−

−+=CR

126!4)-9( !4

!99

4

146

4

6

4 ==== −+ CCCRo bien:

NÚMEROS COMBINATORIOS

Propiedades de los números combinatorios

)!(!

!

rnr

n

r

n

−=

+

−=

+

−=

r

n

r

n

r

n

rn

n

r

n

1

1 ;

Ejemplos:

210210

4

10

610

10

6

10

=

−=

5670126

5

8

4

8

5

9

+

=

nnn

n

n=

=

=

=

1 ;1

0

0 ;1

0 ;1

Ejemplos

68

Suponga que en una fabrica textil hay 6 máquinas ovilladoras: Las máquinas A, B y

C producen ovillos rojos = 1, las máquinas D y E ovillos verdes = 2 y la máquina G

ovillos blancos = 3. Con regularidad se toman muestras de 6 unidades. ¿De

cuántas maneras se pueden arreglar las muestras para que cada una de las

máquinas esté representada?

Personal del departamento de control de la calidad, toma de la cadena

transportadora, cada determinado tiempo, 10 ovillos sin considerar preferencias

para analizar cada ovillo.

¿De cuantas maneras se combinan las 10

muestras de manera que ninguna tenga

defectos?

( ) ( ) ( )( )1

1...9101

1...910

!010!0

!1010

0

0;10 =

=

−=

=C

DIAGRAMAS DE ÁRBOLEs una técnica gráfica para encontrar el número de posibles resultados

para un experimento que consta de eventos sucesivos.

Al lanzar una moneda tres veces, los posibles

resultados en serie se pueden contar en este árbol.

A

S

A

S

A

S

A

S

A

S

A

S

A

S

AAA

AAS

ASA

ASS

SAA

SAS

SSA

SSS

Ejemplo:

70

◼ Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición.

◼ En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos.

◼ En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de orden, importando el conjunto de dichos elementos.

◼ En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto.

Las claves de la Combinatoria

71

Resumen: de Permutaciones y Combinaciones.

Notación de Permutaciones:

Notación: Cuándo se toman r

objetos a la vez de n disponibles

Las permutaciones de n objetos del

mismo tipo en donde en donde una

característica se repite x veces, otra lo

hace y veces y así con otras.

Las permutaciones circulares se

calculan mediante:

Las combinaciones se denotan y

calculan mediante:

!);( nPnnP nn ==

( )!!

);(rn

nPrnP rn

−==

!!

!);;( .

yx

nPyxnP yxn ==

( )!1);( −== nPcircularesnP circularesn

( )

( )!!

!;

rnr

nCrnC

n

r

rn−

=

==

tema 2: probabilidad · nociones de probabilidad osteoporosis osteopenia normal 0 10 20 30 40 50...

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