nivelacion por minimos cuadrados

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TRIANGULACIÓN: MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

UAP-Escuela de Civil

COMPENSACIÓN DE CIRCUITOS DE NIVELACIÓN DE PRECISIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

INTRODUCCIÓN

El establecimiento de un Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo (SPLCA), comprende dos etapas, una en la que se define la posición de los Puntos de Control y Apoyo (PCA) en planta mediante los llamados Procedimientos Topográficos de Planimetría, y la otra en la que se determina su elevación o cota siguiendo un Procedimiento Topográfico de Altimetría, mediante la operación de Nivelación o Control Vertical (Pérez, 1995). Ambas etapas deben comprobarse y compensarse antes de efectuar otros cálculos con la información obtenida con ellas. Los Procedimientos Topográficos de Planimetría comúnmente empleados en trabajos topográficos ordinarios son: el de Poligonales (Abiertas o Cerradas), Cuadrícula Rectangular, Triangulación y Trilateración. Independientemente, de cuál de estos procedimientos se emplee para la definición de los PCA en planta, su nivelación invariablemente se hace por Nivelación Diferencial.

Con el uso actual de instrumentos topográficos modernos, tales como teodolitos, medidores electrónicos de distancias (MED), estaciones totales, niveles automáticos, de precisión y de rayo láser, y los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS), entre otros, las mediciones tanto lineales como angulares y, como consecuencia, el posicionamiento de puntos, pueden hacerse con altas precisiones. No obstante, los errores siempre están presentes y el trabajo de comprobación y distribución de los mismos debe realizarse ineludiblemente. En tales casos deben emplearse preferentemente metodologías acordes a dichas precisiones. En el presente trabajo se sistematiza y generaliza una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados. La metodología se describe para el caso general en que se compensan n circuitos de manera simultánea y al final se expone un ejemplo en el que se aplica dicha metodología para la compensación simultánea de tres circuitos.

Triangulación: Método de Mínimos Cuadrados

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I) OBJETIVOS Y FINALIDAD:

OBJETIVOS:

Desarrollar de manera sistematizada una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión.

Empleando la teoría de mínimos cuadrados y generalizarla, de modo que sea aplicable por cualquier Procedimiento Topográfico de Planimetría.

Posibilitar la elaboración de un programa de computadora para la realización de los cálculos.

Aprender los procedimientos mediante los cuales se determina la los cálculos.

Conocer y aprender el manejo de información de la obra.

Establecer las aplicaciones prácticas, de esta actividad, en el desarrollo o ejercicio profesión.

FINALIDAD:

Que el estudiante tenga conocimientos previos sobre el levantamiento de estructuras especiales.

El estudiante sepa utilizar los diversos conocimientos para levantar una estructura.

Que el estudiante se adecue a los términos.


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II) FUNDAMENTO TEÓRICO:

1. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA

1.1. Comprobación y compensación ordinaria

Desde el punto de vista de su comprobación y compensación, en la nivelación se pueden tener uno de dos casos; el primero se presenta cuando se debe determinar la elevación de un PCA a partir de otro de elevación conocida, en cuyo caso, la comprobación puede realizarse haciendo el trabajo en campo por los métodos de "ida y vuelta", "doble altura de aparato" o "doble punto de liga"; en cualquier caso, se tiene de hecho un doble recorrido, por lo que la compensación se hace asignando la mitad del error a cada uno. El otro caso se presenta cuando debe determinarse la cota de varios puntos intermedios localizados entre dos de cota conocida; en tal caso, la comprobación se hace calculando la diferencia entre la cota de llegada y la previamente conocida para el punto final, y la distribución del error se hace proporcionalmente a los desniveles, a las distancias horizontales o al número de puntos de liga entre cada par consecutivo de PCA en el recorrido. (Pérez, 1995)

Aunque los resultados obtenidos de la compensación dependen del criterio de proporcionalidad elegido, éstos son adecuados para los trabajos que no requieren de altas precisiones. Con la aplicación de la teoría de mínimos cuadrados, por otra parte, se garantiza que las correcciones obtenidas sean las mínimas y más probables.1.2. Circuitos de nivelación

Moffit y Bouchard (1982) y Wolf y Brinker (1994), coinciden en definir como un Circuito de Nivelación al Trabajo Topográfico de Nivelación en el que se parte de un PCA o de un Banco de Nivel (BN) de cota conocida, se determina la cota a una serie de PCA o BN intermedios y se regresa al punto de partida o se llega a otro de cota conocida para comprobar. Cuando se regresa al punto de partida se habla de un circuito cerrado, en tanto que cuando se llega a otro distinto se tiene un circuito abierto.

En cualquiera de los cuatro Procedimientos Topográficos de Planimetría, se pueden definir circuitos para la nivelación de los PCA; así por ejemplo, los PCA establecidos mediante una Poligonal Cerrada o sobre un cuadro principal de Cuadrícula Rectangular se pueden nivelar como circuitos cerrados y los PCA establecidos con una Poligonal Abierta o sobre el trazo de cuadros secundarios en una Cuadrícula Rectangular se nivelan como circuitos abiertos. Por otra parte, los PCA establecidos con Triangulación o Trilateración se pueden nivelar como circuitos cerrados o abiertos o bien, con una combinación de ellos.


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La teoría de mínimos cuadrados establece que los valores más probables de los errores accidentales que ocurren en cualquier tipo de mediciones, son aquellos que hacen mínima la suma de sus cuadrados; por lo cual, partiendo del supuesto de que en un trabajo de nivelación dado se han eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones o errores gruesos, esta teoría puede aplicarse para el cálculo de las correcciones que se le deben asignar a los desniveles. (Kissam, 1976)

La metodología es aplicable a cualesquiera circuitos abiertos y/o cerrados o bien a una combinación de ellos, ya que es posible la compensación simultánea de n circuitos. La distribución del error se hace con base en la condición que impone la teoría de mínimos cuadrados, e involucrando una ponderación que puede calcularse proporcional a la distancia horizontal o al desnivel entre los PCA o BN consecutivos sobre el circuito de nivelación. Cuando los PCA que conforman el circuito se establecen mediante Poligonales, Triangulación o Trilateración, puede emplearse cualquiera de los criterios para el cálculo del factor de ponderación, dado que tanto las distancias como los desniveles resultan heterogéneos; en tanto que en el caso en que los PCA sean establecidos por Cuadrícula Rectangular (tanto en los cuadros principales como en los secundarios), se deben emplear los desniveles para el cálculo de dicho factor, debido a que las distancias entre PCA resultan muy similares y no sería, por ello, conveniente su empleo.

Evidentemente, cuando se emplea la distancia para el cálculo del factor de ponderación, ésta ha de ser la correspondiente al recorrido de nivelación, misma que puede determinarse con la fórmula de estadia simple, si se hace el trabajo de nivelación en campo por el método de los tres hilos.

1.3. Sistematización de la información y obtención de las ecuaciones de condición

Primeramente debe hacerse un esquema de conjunto de los n circuitos a compensar simultáneamente, señalando en él, la ubicación de los PCA y un sentido definido para cada circuito de nivelación (indicado con flechas que conectan los PCA).


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III) EQUIPOS:

TEODOLITO.-Teodolito digital electrónico NUEVO marca SOKKIA modelo DT610, lectura electrónica en sus ángulos horizontal y vertical de 5" (CINCO SEGUNDOS), abertura del objetivo de 35 mm, aumentos del lente de 26x, imagen directa, plomada óptica, pantalla de cristal liquido con 2 líneas de 8 dígitos, teclado, iluminación interna y adaptador para distanció metro, protección contra agua y polvo especificación IP66, funcionamiento con pilas alcalinas tamaño C, para duración de hasta 100 horas continuas

Sirve para medir distancias horizontales, verticales.

JALONES.-Los jalones se utilizan para marcar puntos fijos en el levantamiento de planos topográficos, para trazar alineaciones, para determinar las bases y para marcar puntos particulares sobre el terreno. Normalmente, son un medio auxiliar al teodolito, la brújula, el sextante u otros instrumentos de medición electrónicos como la estación total

TRIPODE: Instrumento que sirve de soporte para el nivel de ingeniero, costa de unos tornillos a sus costados los cuales nos permiten poder agrandarlos o achicarlos según sea la medida del usuario.

CINTA: sirven para medir longitudes de una alineación; cinta métrica de metal de 50m

CECTOR, LAPIZ, LIBRETA TOPOGRAFICA.

IV) PROCEDIMIENTO:

Primeramente hacemos el reconocimiento del terreno Marcamos los cuatro puntos fijos (A,B,C,D) Visamos desde el punto A en sentido anti horario y así sucesivamente con

los demás puntos. (Anotamos los ángulos). Medimos la base fija AB, dos veces (de ida y vuelta), sacamos el promedio

y es la verdadera distancia. Luego procedemos a hacer los respectivos cálculos.

V) TABULACION DE DATOS:


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Los datos obtenidos en el terreno son los siguientes:- CALCULOS Y RESULTADOS:

-

Azimut AB =231

Empleando la formula =log sen(α+1``) - log senα, hallamos los deltas:

1 = log sen(49º45’13.5’’) - log sen(49º45’12.5’’) = 1.7822x10-6

2 = log sen(48º48’14.75’’) - log sen(48º48’13.75’’) =1.8429 x10-6





Nº ANGULO

1 49º45’12.5’’

2 48º48’13.75’’

3 41º15’18.75’’

4 39º14’07.5’’

5 56º12’06.25’’

6 42º34’27.5’’

7 33º10’52.5’’

8 47º17’07.5’’

358º17’26’’

7






Angulo (10-6)

2(10-

12)

Log sen (<impar)

Log sen (<par)

1 49º45’12.5’’ 1.7822 3.1763 -0.11732 --2 48º48’13.75’’ 1.8429 3.3965 -- -0.123513 41º15’18.75’’ 2.4004 5.7620 -0.18084 --4 39º14’07.5’’ 2.5783 6.6479 -- -0.198935 56º12’06.25’’ 1.4094 1.9864 -0.08039 --6 42º34’27.5’’ 2.2917 5.2522 -- -0.169707 33º10’52.5’’ 3.2198 1.0367 -0.26178 --8 47º17’07.5’’ 1.9439 3.7787 -- -0.13386

∑T 358º17’26’’ 4.0367 -0.64034 -0.62601

CALCULO DE AZIMUTES Y RUMBOS DE LOS LADOS DEL CUADRILATERO:

Azimut AB=231ºAzimut BC=320º23’54’’Azimut CD=44º39’26.58’’Azimut DA=148º27’05’Azimut AB=231

ANGULOS INTERNOS:

<A=97º27’05.13’’<B=90º36’05.32’’<C=95º44’28.1’’<D=76º12’21.45’’

DETERMINACION DE ERRORES (E):

E1= 6153.75E2= 787.5


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E3= -86.25E4= 0.0143248

DIFERENCIAS TABULARES (D):

D1=(1 -2) + (3 -4) + (5 -6) + (7 -8)= 1.549x10-7

D2=(1 -2) - (5 -6)= 8.216x10-7

D3=(3 -4) - (7 -8)= -10x10-7

D4=∑2

= 4.03678552x10-11

CALCULO DE COEFICIENTE (K):

A = xE1D1+ E2D2+ E3D3 = 3.122609x10-4

B= xD2

1 + xD2

2 + xD2

3 = 7.0019428x10-3

K4=

E 4−AD 4−B = 3.53249282x10-8

K3=14(E 3−K 4D 3 )= 106.8324085

K2=14(E 2−K 4D 2 )= 124.3173191

K1=14(E 1−K 4D 2)=762.3785755

COMPENSACION DE LOS ANGULOS (CORRECCIONES):

V1 = K1 + K2 +1x K4= 1516.2658333V2 = K1 + K2 - 2x K4= 235.6625263V3 = K1 + K3 +3x K4= 1717.162006V4 = K1 + K3 - 4x K4= -41.59036529V5 = K1 - K2 + 5x K4= 1135.38701V6 = K1 - K2 - 6x K4= -171.5103411V7 = K1 - K3 +7x K4= 1792.956788V8 = K1 - K3 - 8x K4= -31.13514778

ANGULOS CORREGIDOS:


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Nº ANGULO Nº ANGULO1 50º10’28.77’’ 5 56º31’02.19’’2 48º52’09.41’’ 6 42º31’35.99’’3 41º43’55.91’’ 7 33º40’45.46’’4 39º13’25.91’’ 8 47º16’36.36’’

∑T= 360

VI) CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que, la teoría de mínimos cuadrados con sus ventajas intrínsecas, puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en trabajos de nivelación topográfica, si los recorridos se manejan como circuitos, lo cual es particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder compensar n circuitos simultáneamente; además, la metodología aquí generalizada es aplicable independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee para el establecimiento en planta del Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo.

La sistematización y generalización de la metodología presentada, posibilita la elaboración de un programa de computadora que agilice la realización de los cálculos, lo cual es muy recomendable, pues su ejecución manual es muy laboriosa; esta tarea será motivo en un trabajo próximo es esta temática.

VII) BIBLIOGRAFIA.

Hernández Saucedo, F. R. y Pérez Nieto, S. 1996. Triangulación de Precisión y su compensación Planialtimétrica por Mínimos Cuadrados. Dirección de Difusión Cultural de la Universidad Autónoma Chapingo. En prensa. Chapingo, Méx.

Kissam, C.E. P. 1976. Topografía para Ingenieros. Primera edic. Ed. McGraw-Hill de México S. A. de C. V. México, D. F.

Moffitt, F. H. y Bouchard, H. 1982. Surveying. Seventh Edition. Harpper


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& Row Publishers.New York, U.S.A.

Pérez Nieto, S. 1989. Información básica para la planeación del riego en el Campo Experimental de la Universidad Autónoma Chapingo; Tesis profesional. Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.


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