Optimización de Energética del Horno de Arco Eléctrico para la Producción de Acero

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA

E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS.

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

DORA ELENA LEDESMA CARRIÓN

DIRECTOR DE TESIS: Dr. RODOLFO CLEMENTE MORALES DÁVILA

MÉXIC D.F 2008

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRA EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA METALÚRGICA

P R E S E N T A:

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3

4

RESUMEN

La producción de acero empleando el horno de arco eléctrico (HAE) guarda un crecimiento constante a nivel mundial y en México es la ruta predominante en la producción de acero. Un proceso real para producir aceros involucra complejos y acoplados fenómenos fisicoquímicos, tales como, oxidación, decarburación, defosforación, formación de escoria, desulfuración, entre otros, los cuales han sido estudiados ampliamente por muchos años, resultando en un fuerte conocimiento básico. La interrelación entre los principales fenómenos dentro de un sólo modelo ha sido hecho para el proceso de conversión a oxígeno BOF (convertidor básico al oxígeno, CBO). Sin embargo, debido a la diferente naturaleza de los procesos CBO y HAE, se requiere un modelo válido para éste último. Escasos modelos matemáticos han sido reportados en la literatura y, además, la descripción que hacen es superficial. El modelo general consta de tres módulos siendo el primero de ellos el objetivo de ésta tesis. Dicho módulo consiste de dos secciones, una que trabaja las ecuaciones de balance de masa estática y energía, y la otra que minimiza el costo por tonelada de acero (métodos de optimización lineal (Método simplex, Multiplicadores de Lagrange, Método de la gran M, Simplex modificado, entre otros.)).

Los balances de masa y energía son establecidos usando un conjunto de ecuaciones lineales. Las entradas a resolver del sistema de ecuaciones toman en cuenta: 1) procesos químicos: de materias primas como chatarra, reducción directa de hierro (RDH), coque, ferroaleaciones, la composición deseada de acero y escoria; 2) procesos físicos: niveles de energía requeridos, reducción de pérdidas energéticas, transformaciones de fase. Las salidas son, por tonelada de acero, consumo específico de energía (energía eléctrica, gas, caucho, coque, etc.), cantidad óptima de materias primas (que depende de su calidad) que satisfagan costos, cantidad de oxígeno y composición química. Objetivo

El objetivo del presente trabajo es crear un modelo matemático representativo del proceso de aceración para obtener las cantidades de materias primas y consumo de energía eléctrica óptimos para fabricar una tonelada de acero de la composición específica.

Las aportaciones son: 1) La conceptualización matemática de un problema

inicial estático en un problema de programación lineal, para después, en investigaciones posteriores, extenderlo a un problema general dinámico usando técnicas de programación dinámica, técnicas heurísticas, entre otras. 2) Para realizar 1) se supone un sistema no seccionado, esto es, las reacciones no son focalizadas en la carga para la reducción de hierro (RDH), sino tomando en cuenta toda la carga metálica, como una gran olla que produce, entre otras cosas, acero, gases, escoria, esta última funciona como aislante térmico durante la fusión protegiendo los electrodos de grafito. 3) La linealización de las reacciones químicas, y en general,

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las ecuaciones de balance, y su relación con el consumo de la energía eléctrica y gas. Su relación con la inyección de oxígeno y partículas de carbono, recurriendo a un pre-proceso de datos. 4) La producción de acero se debe no solo a la reducción en el RDH, sino a la carga completa: chatarra, hierro esponja, ferroaleantes, hierros ligeros. El trabajo de Geiger se centra en el HRD (ó DRI en inglés). 5) Las partículas de carbono inyectadas no sólo sirven como combustible sino que intervienen en los procesos de aceración. Análogamente, con la inyección de oxígeno. Esto se toma en cuenta en la obtención de las entalpías, las cuales intervienen en las ecuaciones de balance de energía. Por la conceptualización y la manera en la que intervienen las fuentes energías externas, se acoplan tres ecuaciones en el balance de energía. 6) Se trabajó con la función beneficio en vez de la de costos para ligar la composición de la carga metálica, óxidos de calcio y magnesio, y ferroaleantes con la composición del acero deseado.

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ABSTRACT

Optimization techniques have been applied to steelmaking process. Linear objective function is maximizing profit such that linear restrictions must be satisfied.

Profit is the difference between the cost of buying or producing something and

the price that it is sold for. Information about costs and incomes are provided by client (steel corporations).

Restrictions are balances of energy, mass, C, Fe, Si and Al, CaO and MgO,

oxygen, etc. Energy balance consists in three connecting equations. These equations link

enthalpies of chemical reactions, O2 and C injections with electric consume. That mathematical model links metallic charge, ferroalloys and additives

composes, i.e., raw maters with desired steel.

The mathematical model takes account environment aspects such that slag cost, fume cost, CO cost, i.e., residual maters.

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AGRADECIMIENTOS Agradezco a mis padres y hermanos por motivarme y apoyarme en mi proyecto de vida sin cuestionarme o juzgarme. Por su amor y respeto. Agradezco al Instituto Politécnico Nacional y a la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas por su política en apoyo a la aplicación directa del conocimiento. Al Dr. Rodolfo Morales Dávila por proponerme el tema y la dirección de esta tesis reflejo de su amplia experiencia en el área. Al CONACyT por su apoyo económico. A los Drs. Francisco Caleyo Cereijo, José Javier Castro Arellano, Alejandro Cruz Ramírez, Federico Chávez Alcalá y Jesús Gilberto Godínez Salcedo, por tomar parte de su valioso tiempo y proporcionarme sus comentarios y observaciones para mejorar este trabajo.

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ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE TABLAS ÍNDICE DE FIGURAS NOMENCLATURA ABSTRACT RESUMEN INTRODUCCIÓN I.1 Introducción……………………………………………………….15 I.2 Justificación………………………………………………………16 I.3 Problemática…………………………………………………… 16 I.4 Objetivo general………………………………………………….16 I.5 Objetivos específicos…………………………………………….16 I.6 Breve estado del arte……………………………………………16 I.6.1 General……………………………………………………………16 I.6.2 Estado del arte…………………………..……………………….18 I.7 Desarrollo conceptual inicial……………………………………20 I.8 Requerimientos…………………………………………………..21 I.9 Diseño teórico…………………………………………………….21 1.10 Datos necesarios y datos suficientes………………………….21 I.11 Parámetros constantes………………………………………….21 I.12 Parámetros variables…………………………………………….21

CAPITULO I ANTECEDENTES (HISTÓRICOS) 1.1 Horno de arco eléctrico HAE (electric arc furnace, EAF) …..22 1.1.1 Generalidades…………………………………………………...22 1.1.2 Ventajas que tiene la fabricación de acero en horno de arco

eléctrico…………………………………………………………..24

1.1.3 Materias primas empleadas para la fabricación de acero en hornos eléctricos………………………………………………..24

1.2 Fabricación de acero en horno eléctrico básico con doble escoria…………………………………………………………….26

1.3 Principales fases de la operación con doble escoria………..27 1.4 Empleo del oxígeno en los HAE……………………………….33 1.5 Diferentes métodos de elaboración de aceros en HAE de

revestimiento básico…………………………………………….33

1.6 HAE con revestimiento ácido (fuera de uso)…………………35 1.6.1 Esquema general del proceso (HAE con revestimiento ácido,

fuera de uso)……………………………………………………..35

9

1.6.2 Fases importantes de una colada (HAE con revestimiento ácido, fuera de uso)……………………………………………..35

1.6.3 Medida de la viscosidad de la escoria………………………...39 1.6.4 Modificaciones a la composición de la escoria en los HAE con

revestimiento ácido al aumentar la temperatura del baño (fuera de uso)…………………………………………………….39

CAPITULO II ESQUEMATIZACIÓN PRIMARIA 2.1 Datos de entrada y salida………………………………………41 2.2 Balance de masa………………………………………………..42 2.3 Balance de energía……………………………………………..42 2.4 Composición química…………………………………………..43 2.5 Fuentes energéticas…………………………………………….43 2.6 Función de consumo energético………………………………43 2.7 Función de beneficios………………………………………….43 2.8 Termodinámica del proceso……………………………………44

CAPITULO III FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 3.1 Panorama del enfoque de modelado en la investigación de

operaciones………………………………………………………45

3.1.1 Definición del problema y recolección de datos……………..45 3.1.2 Formulación de un modelo matemático………………………45 3.1.3 Obtención de una solución a partir del modelo……………...47 3.1.4 Prueba del modelo………………………………………………49 3.1.5 Preparación para aplicar el modelo…………………………...50 3.1.6 Implantación……………………………………………………..50 3.2 Modelo de programación lineal………………………………..50 3.2.1 Forma estándar del modelo……………………………………51 3.2.2 Terminología para las soluciones del modelo……………….52 3.2.3 Supuestos en PL………………………………………………...53 3.3 Solución de problemas de PL: Método Simplex…………….53 3.3.1 Esencia del método simplex…………...………………………53 3.3.2 Preparación para el método simplex………………………….55 3.3.3 Álgebra del método simplex……………………………………57 3.3.4 Rompimiento de empates en el método simplex……………61 3.4 Análisis postóptimo……………………………………………..63 3.4.1 Reoptimización………………………………………………….63 3.4.2 Precios sombra………………………………………………….64 3.4.3 Análisis de sensibilidad…………………………………………65 3.4.4 3.5

Programación lineal paramétrica………………………………66 Multiplicadores de Lagrange…………………………………...66

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CAPITULO IV MODELADO 4.1 Determinación de las ecuaciones a acoplar……………….…69 4.2 Determinación de función objetivo……………………………74 4.3 Determinación de restricciones………………………………..74 4.4 Determinar algoritmo a aplicar…………………………………79 4.5 Preparación del Tableau inicial………………………………..79 4.6 Sensibilidad y la variación de parámetros……………………86 4.7 Ajustes y extensiones al modelo………………………………86

CAPITULO V RESULTADOS 5.1 Resultados Primarios…………………………………………...90 5.2 Resultados Secundarios………………………………………104

CAPITULO VI ANÁLISIS DE RESULTADOS 6.1 Análisis de resultados primarios……………………………..114 6.2 Análisis de resultados secundarios………………………….114

CONCLUSIONES……………………………………………………………….117 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………….118

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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Datos de entrada para el modelo de programación lineal de optimización.

41

Tabla 2 Análisis postóptimo para programación lineal.

63

Tabla 3. Entalpías de reacciones para el ejemplo prototipo.

73

Tabla 4. Variables de decisión para el problema prototipo con la codificación de la prueba de consistencia.

75

Tabla 5. Tableau inicial. 80Tabla 6. Sistema de escorias para la oxidación y reducción del FeO.

88

Tabla 7a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema prototipo

92

Tabla 7b. Cantidades de C respecto a la variación de la carga de coque. Se referencia el porcentaje del costo/beneficio con 0% coque (Cmax 4 Kg/ton acero deseado)

97

Tabla 7c. Cantidades de C de todas sus fuentes respecto a la variación de la carga de coque. Se referencia el porcentaje del costo/beneficio con 0% coque (Cmax 4 Kg/ton acero deseado)

98

Tabla 7d. Cantidades de Fe en ganga 98Tabla 7e. Condensado de corridas variando el % Fe en ganga

99

Tabla 7f. Condensado de corridas variando el % Fe en ganga (continuación)

101

Tabla 8. Condensado de resultados de las corridas (aisi 304)

104

Tabla 9a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema aisi 304

105

Tabla 9b. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema aisi 304 (continuación)

107

Tabla 10. Comparativo entre los aceros deseados prototipo y aisi 304

115

12

ÍNDICE DE TABLAS (continuación) Tabla 11. Condensado de resultados de requerimientos de C, O2 y Ee de las corridas prueba para el problema aisi 304

115

Tabla 12. Condensado de resultados de requerimientos de C, O2 y Ee de las corridas prueba para el problema acero prototipo 1010.

116

13

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Diagrama de fase binario FeO SiO2. Note que con temperaturas crecientes hay un aumento progresivo de SiO2 y disminución de FeO.

40

Figura 2. Esquema general de modelado 42Figura 3. Esquema del proceso energético considerado.

44

Figura 4. Esquema del proceso iterativo de pivoteo.

54

Figura 5. Algoritmo simplex. Diagrama de flujo para llevar a cabo la búsqueda de soluciones óptimas para un problema de PL.

61

Figura 6. Materias primas y flujos de energía en el horno de arco eléctrico.

69

Fig. 7. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque,que a su vez se relaciona con la inyección de partículas de C. Ver tabla 7b. No se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

90

Fig. 8. Los costos óptimos no son afectados significativamente con la variación de la cantidad de C suministrado al sistema a través de la carga de coque y la inyección de partículas de C. No se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

90

Fig. 9. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque,que a su vez se relaciona con la inyección de partículas de C. Ver tabla 7c. Se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

91

Fig. 10. Impacto en los beneficios debido a la variación Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. Ver tabla 7e y 7f.

91

Fig. 11. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. No hay cambios apreciables en beneficios ya que se supone que el mínimo beneficio es cero.

110

14

ÍNDICE DE FIGURAS (continuación) Fig. 12. Impacto en los costos debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. No hay cambios apreciables en beneficios ya que se supone que el mínimo beneficio es cero.

111

Fig. 13. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. En el límite de 13 Kg el beneficio es positivo, en cargas menores el costo superan la factibilidad de producir el acero.

111

Fig. 14. Impacto en los costos debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. En el límite de 13 Kg el costo de materias primas balancea la producción del acero deseado, en cargas menores el costo superan la factibilidad de producir el acero.

112

Fig. 15. Impacto en los beneficios debido a la variación del %Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%.

112

Fig. 16. Impacto en los costos debido a la variación del %Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%.

113

Fig. 17. Impacto en los %costos debido a la variación del %Fe en la carga metálica y ferroalentes. Se toma en cuenta las cotas de las restricciones de Fe y ferroalentes.

113

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NOMENCLATURA Para el modelo de Morales at el.: Xj

i es la fracción de masa de la especie i en la fase j. Wsl masa del residuo (slag). WFA masa de las ferroaleaciones. WSCR masa de la chatarra (scrap). ∆Hlosses energía perdida. EE energía eléctrica Ci costo de material o energía por tonelada de acero. Para el modelo del presente trabajo: x0 fume FeO en gas producto final x1,acero C C en el acero x2,acero Si Si en el acero x3,acero Mn Mn en el acero x4, acero S S en el acero x5, acero Fe Fe en el acero x6, acero imp impurezas en el acero x7, DRI imp Impurezas en el DRI x8,DRI FeO FeO en el DRI x10,DRI Fe3C Fe3O en el DRI x12, DRI CaO CaO en el DRI x51,DRI MgO MgO en el DRI x13,DRI Fe Fe en el DRI x14,DRI SiO2 SiO2 en el DRI x16,DRI Al2O3 Al2O3 en el DRI x18,DRI S S en el DRI x19,scr1 imp Impurezas en el scrap1 x20,scr1 C C en el scrap1 x21,scr1 Si Si en el scrap1 x22,scr1 Mn Mn en el scrap1 x23,scr1 S S en el scrap1 x24,scr1 Fe Fe en el scrap1 x25,scr2 imp Impurezas en el scrap2 x26,scr2 C C en el scrap2 x27,scr2 Si Si en el scrap2 x28,scr2 Mn Mn en el scrap2 x29,scr2 S S en el scrap2 x30,scr2 Fe Fe en el scrap2 x31,slag FeO FeO en el slag

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Para el modelo del presente trabajo: x33,slag SiO2 SiO2 en el slag x35,slag CaO CaO en el slag x52,slag MgO MgO en el slag x36,slag S S en el slag x37,slag Al2O3 Al2O3 en el slag x39,coque S S en el coque x40,coque C C en el coque x41,FeSi Cantidad de FeSi x43, C en FeMn C en el FeMn x44, FeMn cantidad de FeMn x46, CaO cantidad de CaO adicionada x53, MgO cantidad de MgO adicionada x50,CO CO residuo del proceso x47,Ee Cantidad de energía eléctrica en KWh x48,Eo2 Cantidad de oxígeno inyectado neto x49,Ecpart Cantidad de partículas de C inyectadas x33,slag SiO2 SiO2 en el slag x35,slag CaO CaO en el slag x52,slag MgO MgO en el slag x36,slag S S en el slag x37,slag Al2O3 Al2O3 en el slag x39,coque S S en el coque x40,coque C C en el coque x41,FeSi Cantidad de FeSi x43, C en FeMn C en el FeMn x44, FeMn cantidad de FeMn x46, CaO cantidad de CaO adicionada x53, MgO cantidad de MgO adicionada x50,CO CO residuo del proceso NOTA: Se usa los nombres en inglés ya que son más cortos.

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INTRODUCCIÓN I.1) INTRODUCCIÓN

La producción de acero se lleva a cabo en diferentes tipos y capacidades de hornos, los dos grandes tipos principales son el BOF (convertidor básico a oxígeno, CBO) y el EAF (horno de arco eléctrico, HAE). Actualmente éste último se ha establecido como el predominante en el uso de las nuevas tecnologías de aceración, por lo que nos enfocamos en él al aplicar las técnicas de optimización propias de la administración en la toma de decisiones ejecutivas de las grandes empresas, desarrolladas a partir de la segunda guerra mundial y aplicadas en la distribución, transporte, transbordo y calendarización de suministros para las tropas, entre otras aplicaciones. Por lo que son técnicas ampliamente probadas en la solución de problemas reales. Aquí se acoplarán ecuaciones de balance de masa y energía con la función de beneficios para saber si la carga metálica puede producir de manera óptima (minimizando costos y maximizando beneficios) el acero deseado.

Por lo anterior es crucial establecer las reacciones químicas que se llevan a

cabo en el proceso de aceración para obtener las entalpias de reacción. Luego, hay que hacer consideraciones de en dónde se llevan a cabo dichas reacciones, que parte de la carga metálica involucra y en cuánto contribuye cada una.

La homologación de unidades debe ser cuidada ya que aunque el método nos

permite mezclar variables de diferente naturaleza, lo que hagamos debe tener interpretación coherente y congruente.

Aquí se hizo el supuesto que las reacciones no están focalizadas en el hierro

para reducción directa (HRD), DRI en sus siglas en inglés. Sino que también intervienen los otros hierros presentes en la carga metálica, así como los ferroaleantes, los formadores de escoria, el oxígeno y partículas de carbono inyectadas. Todo como un único sistema, una gran olla sujeta a los procesos físico-químicos.

Información sobre las cotas de energía, inyección de partículas, oxígeno, e

insumos son tomados de las referencias bibliográficas. Como tales, son datos de entrada no datos de salida o resultados[1-13]. Las consideraciones hechas para linealizar son propias de la conceptualización para llegar a la forma estructural de un modelo propio de la programación lineal y sólo se revisó lo propuesto por otros autores con modelos no lineales y que solamente toman en cuenta una parte de la problemática en la producción de acero, por ejemplo, la inclinación de los inyectores, la función consumo de energía eléctrica como función del consumo de gas, la curva de velocidades en la inyección de partículas de carbono, las diferentes escorias formadas por diferentes aditivos[11-42]. A continuación se exponen las ideas más relevantes de algunos autores:

El modelo de optimización que presenta A. Ioanas[9] et al considera el

proceso de precalentado tomando en consideración dos aspectos termo-tecnológicos: la transferencia de calor entre fluidos y partículas y la transferencia de

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calor entre la capa gaseosa y una superficie de intercambio, cuantificando los termo-gradientes. La función criterio que utiliza es la calidad/precio, Q/P, que se transforma a una matriz calidad-economía que considera tres vectores: el de parámetros técnicos, ti, el de parámetros económicos, ej, y el de pesos, pk. Los relaciona de la siguiente forma:

∑∏ ===== lkmjnipetPQQ kji ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1;~ ,

Que en términos económicos se conoce como una función Cobb-Douglas linealizada, donde t y e tienen el mismo peso (o contribuyen de igual manera en la etapa i). Un ejemplo de parámetro técnico es el revestimiento del contenedor, refractario u olla, el ángulo óptimo de inclinación de los inyectores, la velocidad de entrada de las partículas de carbono, etc. Parámetros económicos pueden ser, el tipo de cambio, escenarios de inflación, precios de equilibrio de mercado, etc. Y los pesos son la importancia relativa o la contribución de cada parámetro en el todo. Este modelo reporta como resultado que el precalentamiento no tiene un incremento uniforme existiendo un área preferencial que conserva alta la temperatura, por lo que las reacciones serían diferenciadas o escalonadas.

Este modelo basa su hipótesis en que el horno se eficiente (se consume más energía si se intenta alcanzar la temperatura de fusión en un s al precalentarlo y no toma en cuenta el gasto de energía para lograrlo, esto es, el consumo total de energía eléctrica y gas.

Construir un modelo que tome en cuenta el máximo de variables posibles (mensurables y/o manipulables) que describan de manera adecuada (factible) los fenómenos físico-químicos que ocurren dentro de un horno de arco eléctrico tomando en cuenta las restricciones energéticas, químicas, térmicas, técnicas y económicas ha sido objeto de investigación desde hace tiempo, quedando mucho que explorar. Acoplando técnicas de optimización, propias de la toma de decisiones ejecutivas y la simulación matemática de fenómenos físico-químicos, que den como resultado una apropiada aproximación a la realidad, validando la información experimental con la estimada por el modelo, será de gran utilidad en la toma de decisiones a corto, mediano y largo plazo cuando se trabaja bajo prospectivas. I.2) JUSTIFICACIÓN

El uso de energías alternas en el proceso de obtención de acero en un horno de arco eléctrico no ha sido desarrollado y existen escasas publicaciones donde combinen técnicas de optimización en el proceso del HAE para la toma de decisiones o evaluación de políticas que cumplan con las restricciones y objetivos de manera óptima.

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El reducir un 5% el consumo de energía eléctrica en una jornada en la operación del HAE representa un gran ahorro económico en la industria. I.3) PROBLEMÁTICA Los principales obstáculos a vencer son la información avalada por parte de la industria u organismo reconocido, la linealización del proceso de aceración y las hipótesis para lograrlo. El modelo de Geiger[17] considera que las reacciones se realizan zonalmente, esto es, en el hierro esponja, en la chatarra o en la escoria, no lo considera como un solo sistema donde los subsistemas interactúan intercambiando energía. Además, considera como balance de energía la suma de las fuentes energéticas igualándola a la energía termoquímica y luego igualándola a un estimado de la cantidad de energía para obtener el acero. Esta última cota es subestimada por él al considerar sólo el Fe en el hierro esponja. 1.4) OBJETIVO GENERAL

Modelación para la optimización de Energética del Horno de Arco Eléctrico para la Producción de Acero. Estos cálculos servirán de base para estimar los valores esperados del consumo de energía. 1.5) OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Las metas son: 1) determinar las ecuaciones del modelo y, 2) determinar los valores óptimos de los parámetros de entrada que alimentaran el modelo general dinámico. 1.6) BREVE ESTADO DEL ARTE A continuación se plasma los resultados de la revisión bibliográfica. 1.6.1) GENERAL

Se parte de modelos previos no publicados en 2001[1] y del trabajo de investigación nivel maestría[16] que proporcionan la idea central de aplicar las metodologías de optimización al área de la metalurgia. Se establecen las ecuaciones de balance de masa y energía en un horno de arco eléctrico que emplea como materia prima hierro esponja y chatarra para la producción de una tonelada de acero líquido. Los modelos relacionan lo anterior con los insumos, los costos de producción y la eficiencia térmica del proceso para predecir el comportamiento fisicoquímico de la fusión, esto es, la calidad del acero (acero deseado). En el presente trabajo se somete a estudio: hierro esponja (light “fluffy” scrap), chatarra (coarse scrap), hierro ligero (slag formers), fino (fine scrap), ferroaleantes y formadores de escoria. Así mismo, se trató de extender las fuentes energéticas, pero se llegó a la conclusión de que el gas para el precalentamiento del horno y del generador de energía eléctrica están considerados en los costos de la energía eléctrica (en kilowatt-hora). Los

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electrodos no son fuente de energía, sino que son parte del sistema: gas-electricidad-electrodo-arco eléctrico. Esto está de acuerdo con la transformación energética y sí fue posible linealizarlas haciendo un paso previo a la optimización. Los costos, en general, no son lineales, ya que conllevan una parte denominada costos variables debido a las fluctuaciones de mercado. Aquí se trabajó en términos de ganancias. 1.6.2) ESTADO DE ARTE

Partiendo del modelo de programación lineal que utilizaron Morales et al[1,2,16] basado en el de Geiger[17], que en términos generales es el siguiente: Función Objetivo: ( )ECOQUECOQUEFAFALIMELIMESCRDRIDRI EECCWCWCWWCWC +++++= minmin sujeta a: Relaciones: Fe: 0=+−−++ gas

gasFesl

slFest

stFeFA

FAFeSCR

SCRFeDRI

DRIFe WXWXWXWXWXWX

Si, Al: ( ) ( ) 0=−++∑ ∑ slsliFA

FAiSCR

SCRiDRI

DRIi WXWXWXWX

CaO, MgO: ( ) ( )∑ ∑ =−+ 0slslMOLIME

LIMEMODRI

DRIMO WXWXWX

O2: gasCO

slSiO

slFeOblown

DRISiO

DRIFeO OOOOOO ++=++

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I) Restricción de masa. Ecuación de balance de masas: Total: gasslstslCOQUE

blownOLIMEFASCRDRI WWWWWWWWWW +++=+++++

2

II) Restricción de energía. Ecuación de balance de energía: ∑ ∑∑ =Δ+Δ+Δ EEHHH lossesrgi III) restricciones de composición química:

max≤+ CRAPimpurezasSRIimpurezasD

stCOQUECOQUESSCR

SCRCDRI

DRIC WWXWXWX 001.0≤++

stCOQUE

COQUECSCR

SCRCDRI

DRIC WWXWXWX 001.0≥++

21

stDRIDRIFeOCOQUE

COQUECSCR

SCRCDRI

DRIC WCpctwtWXWXWXWX

100**

85.7112

+≥++

slDRIDRIFeOCOQUE

COQUECSCR

SCRCDRI

DRIC WCpctwtWXWXWXWX

100**

85.7112

+≥++

FAWSCRWDRIW

FA

SCR

DRI

maxmaxmax

≤≤≤

donde Xj

i es la fracción de masa de la especie i en la fase j. Wsl masa del residuo (slag). WFA masa de las ferroaleaciones. WSCR masa de la chatarra. ∆Hlosses energía perdida. EE energía eléctrica Ci costo de material o energía por tonelada de acero.

Una primera modelación extendió la función objetivo que minimiza costos a una de maximización de beneficios, esto para trabajar de manera explícita la composición del acero deseado.

Como una segunda propuesta de mejora en el modelo sobre las fuentes energéticas se tomó los resultados publicados por M. Campolo et al[3] sobre la simulación de inyector supersónico de oxígeno que inyecta partículas de C dentro de los deshechos para un horno eléctrico con capacidad de 120 ton. Esto lo logran usando un modelo simplificado de dinámica de fluidos e información publicada por otros investigadores sobre técnicas numéricas. Uno de los resultados es que la velocidad axial de las partículas en su distribución % vs velocidad, su envolvente es una función χ2, lo que además de poder tomar como valores fijos, el promedio, podría aplicar la distribución completa si fuera necesario. Otro resultado interesante es que la eficiencia de transporte del C (energética) en el horno mejora notablemente tomando en cuenta la exposición de las partículas a altas temperaturas y condiciones de oxidación.

La velocidad de inyección de las partículas de C por minuto es sostenido los

primeros 10 minutos. Después decrece de manera caso lineal. El tiempo máximo generalmente reportado es de 25 minutos para todo el proceso y el mínimo de 10. Aquí se integró la función de comportamiento para obtener las cotas para la inyección de carbono. La primera es una función constante de 0 a 10 minutos y la segunda es una recta con pendiente decreciente, de 10 a 25 min. Se deja al cliente

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el establecimiento de los tiempos mínimo y máximo del proceso, así como la densidad del flujo.

La segunda propuesta de mejora quedó absorbida dejando abierta al cliente la opción de establecer las cotas de energía, resolviendo el problema de no linealidad. Además, después de examinar detenidamente el problema, el gas natural sólo sirve para generar energía eléctrica, por lo que es una transformación de energía (el gas sirve para encender el generador eléctrico y éste último calienta el horno) y no una superposición o suma de ellas (el gas no calienta el horno independientemente al generador eléctrico) las que dan lugar a las entalpías del sistema (al calentar el horno se llevan a cabo las reacciones químicas).

Para el cliente meticuloso, podría modelar las tasas de los flujos de entalpía de la salida de gas y la transferencia de calor en los sistemas de enfriamiento, usando el propuesto por Kirschen et al[5] usando para su simulación modelos para la turbulencia, transferencia de calor y cinética de reacción química, llegando a una excelente aproximación. Al usar dicho modelo se obtienen los siguientes resultados: El consumo de energía decrece en un 44% KWh/ton, el costo de producción decrece en 4.3 Eur/ton con una producción de 800,000 ton por año; la productividad se incrementa en 5.6 ton/h. Usa parámetros constantes para definir cada etapa del proceso dejando como variables las referentes al consumo de energía y las de producción/costo. 1.7) DESARROLLO CONCEPTUAL INICIAL

Aplicando el método científico, la hipótesis de trabajo será establecer el modelo primario estático y lineal, para después ir haciendo mejoras conceptuales verosímiles[25] que permitan validar el modelo. Los datos que no se obtengan mediante experimentación se tomarán de referencias bibliográficas. Se tiene que tomar en cuenta los siguientes conceptos: 1) El porcentaje de metalización viene expresado por:

[ ]

100% 30

total

en

FeCFeFeFe

ónmetalizaci+

=

Fe0 es la cantidad total de hierro libre valencia 0. 2) La basicidad del material es la razón de alcalinos y óxidos de alcalinoterreos respecto a otros óxidos no ferrosos (excluye óxidos de manganeso), esto es,

nF

ATA

OXOAlSiOOXMgOCaOBasicidad++

++= +

322

23

3) El porcentaje de reducción:

( )100

///

Re%min

min

eralren

renDRIeralren

FeOFeOFeO

stadoduccióndee−

=

O/Fer en mineral = 48/111.7= 0.4297. 1.8) REQUERIMIENTOS

Este modelo no requiere de equipo y software sofisticado ya que es un modelo pequeño. Con una PC con procesador arriba de pentium 3, Software MS 4.0, o en su defecto Fortran 99, Mathematica 5.2, Excel solver XP/vista/2008. Aquí se mostrarán los resultados usando el solver del Excel 2007 en Windows vista. 1.9) DISEÑO TEÓRICO El cuerpo del programa lineal (no-lineal ó dinámico) de optimización consta de una función objetivo, sujeta a un grupo de relaciones y/o ecuaciones que son las restricciones de políticas, restricciones fenomenológicas (esto es, relacionadas con los procesos fisicoquímicos), restricciones de presupuesto, restricciones espacio-temporales (no son obligatorias), entre otras. Para encontrar solución deben cumplirse ciertas condiciones de convergencia, como son, las condiciones Kuhn-Tucker, el principio de Bellman y las condiciones de factibilidad en general. 1.10) DATOS NECESARIOS Y DATOS SUFICIENTES Debido a la naturaleza del modelo, se requieren datos publicados por revistas, empresas o gobiernos, algunos estarán avalados y otros no y se tomarán con las debidas reservas[26-40]. Esto último no impactará gravemente a los resultados ya que se aplican pruebas de sensibilidad que respaldan los resultados. 1.11) PARÁMETROS CONSTANTES Coeficientes de costos unitarios, coeficientes de restricciones. Coeficientes establecidos a través de escenarios: óptimo, pésimo y/o promedio ponderado. Las cotas de las restricciones y de las variables de decisión. El tipo de cambió se tomó a agosto de 2008. Esto puede ser cambiado a la cotización del día de la corrida o toma de decisión. 1.12) PARÁMETROS VARIABLES Variables de decisión, variables de holgura complementaria, cotas en las restricciones.

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CAPITULO I ANTECEDENTES[45] HISTÓRICOS 1.1) HORNO DE ARCO ELÉCTRICO

Se ha utilizado principalmente para fabricar aceros de alta calidad. A partir de mediados del siglo XX, es también utilizado para la fabricación de importantes cantidades de acero de calidad corriente. 1.1.1) Generalidades. A finales del siglo antepasado, los aceros finos de alta calidad se fabricaban en hornos de crisol. Como los crisoles se manipulaban a mano y eran de pequeña capacidad (~ 30 Kg), si se quería fabricar lingotes de gran tamaño había que emplear hornos capaces de calentar de 30 a 100 crisoles a la vez, por lo que había la necesidad de desarrollar nuevos procedimientos. Uno de los problemas a vencer era alcanzar temperaturas del orden de 1650 °C. Con ayuda de un generador de corriente eléctrica, se alcanza temperaturas superiores a 3000 °C en el arco eléctrico, por lo que se pensó en implantar este conocimiento.

En 1878, William Siemens patentó el primer horno de arco eléctrico con electrodos horizontales para fabricar acero y, en 1879, patentó un segundo con electrodos verticales, uno superior que atravesaba la bóveda y otro inferior que atravesaba la solera del horno. En ambos casos la energía eléctrica era suministrada por un dinamo.

Con el segundo de éstos hornos con electrodos verticales en 1880 logró fundir en presencia de los participantes en el Congreso de Electricidad de Londres, 10 Kg de acero en una hora, 4 Kg de platino (funde a 1773 °C) en 15 minutos y una pequeña cantidad de wolframio (funde a 3410 °C). Siemens no llegó a industrializar sus ensayos.

En Francia, Paul Heroult se especializó en la construcción de hornos de arco fijo eléctricos, con un electrodo vertical y solera conductora. Luego comenzó a interesarse en la fabricación de acero obteniéndolo en 1900 industrialmente al hacer el horno basculante en vez de fijo para facilitar la salida del acero y la separación de la escoria.

En los primeros hornos eléctricos de Siemens y Heroult, y en la mayoría de los que luego se han utilizado en el siglo XX, el calor necesario en la operación es suministrado por el arco que salta entre los electrodos y la chatarra.

Paul Girod en 1908 construyó diversos hornos de arco con electrodos verticales y solera conductora. También construyó hornos con 2 y 3 electrodos bastante parecidos a los de Heroult. Su taller se transformó en la Sociedad Ugine, que es la primera empresa siderúrgica de Francia dedicada a la fabricación de acero en horno eléctrico.

Stassano en 1898 construyó un horno de arco para la reducción directa de los minerales de hierro, que trabajó con poco éxito. En 1908, construyó un horno con

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dos electrodos horizontales para fabricar acero por afino de fundición y chatarra, empleando métodos similares a los de Girod y Heroult.

Su horno se caracterizaba por ser de arco horizontal y calentamiento indirecto. En ocasiones, los electrodos eran horizontales y otras veces eran ligeramente inclinados. Empleó diversos dispositivos para dar movimientos de giro al horno que, por su gran complicación, tuvo que abandonar. Después de la segunda guerra mundial se abandonó la tecnología de Stassano.

Todos los hornos eléctricos en la actualidad son muy similares a los construidos por Heroult. Tienen 3 electrodos verticales y el arco salta sobre aquéllos y la chatarra.

Los hornos de arco rápidamente sustituyen a los de crisol (completamente abandonados en 1950). Al principio la capacidades eran de 100, 500 y 1000 Kg, en 1975 ya era de 400 toneladas.

En 1962 se inició un notable aumento en la potencia de los transformadores que se empleaban en los hornos eléctricos de arco. Se comenzaron a emplear con extraordinario éxito los denominados “hornos eléctricos de ultra potencia” (Utra high power, UHP). Eran hornos de 50 a 150 tons de capacidad, a los que se acopló transformadores con una potencia unas dos veces superior a la que hasta entonces se utilizaba, obteniéndose resultados excepcionales. Al aumentar la potencia eléctrica de los hornos de acero y reducir la duración de las coladas los costos disminuyen. En los años 70´s se montan hornos eléctricos de 30 a 400 tons para fabricar aceros al carbono en competencia, en precio, con los aceros fabricados en hornos Siemens y en convertidor, que anteriormente se consideraban como procesos más baratos. Desde esa época hay muchos hornos eléctricos que funcionan con una sola escoria, fabrican aceros al carbono de muy buena calidad y de bajo precio. Con esta nueva clase de hornos UHP, se pretendía conseguir la fusión de las chatarras cumpliendo los siguientes requisitos:

1) En el menor tiempo posible 2) Trabajando con la mayor potencia útil utilizable, y 3) Consiguiendo las menores paradas o periodos sin corriente en los hornos.

En los años 1940 a 1950, la duración de la fusión era de 2 a 3 hrs y la potencia

de los transformadores era de unas 350 KVA/t en los hornos pequeños (menores de 15 tons) y de 250 KVA/ton en los de mayor capacidad. Los hornos UHP la duración de la fusión que para los aceros al carbono y una sola escoria varia de 1 a 1 ½ hrs y la de la colada de 2 a 3 hrs, utilizando potencias de 650 KVA/ton en los hornos pequeños y 500 KVA/ton en los mayores de 50 tons. Al señalar las duraciones de las coladas hay que tener en cuenta que cuando se fabrica acero de muy alta calidad y en especial los de alta aleación, se trabaja con doble escoria. Cuando se fabrican aceros al carbono o de baja aleación, se emplean hornos UHP y una sola escoria.

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El consumo de energía ha disminuido de 500 KWh/ton a 350 KWh/ton. El consumo de electrodos ha subido a unos 6 Kg/ton y el de oxígeno, que se emplea para oxidar el baño en la primera parte de la operación, ha aumentado de 3 a 6 Nm3/ton. Generalmente se usan electrodos de grafito que admiten densidades de corriente variables de 10 a 40 A/cm2 y, en rara vez, electrodos de carbono amorfo de inferior calidad, que trabajan con densidades muy bajas que oscilan de 5 a 15 A/cm2. 1.1.2) Ventajas que tiene la fabricación de acero en horno de arco eléctrico. Una de las principales ventajas de los hornos eléctricos es que su instalación es mucho más sencilla y menos costosa que la de cualquier otro horno de los utilizados para fabricar acero.

Es mucho más fácil montar hornos eléctricos que los costosos Siemens o convertidores. Cuando algunos grupos industriales quiere independizarse en el suministro de aceros, en general, lo más sencillo para ellos es montar hornos eléctricos de arco y algún tren de laminación.

Además, el aprovisionamiento de materias primas es más libre y relativamente más sencillo. El horno eléctrico se carga con chatarra, que puede adquirirse en mercados muy diversos.

Estas circunstancias hacen que el horno eléctrico sea la instalación más

asequible para ser montada por industrias en crecimiento, que quieran trabajar libres de la influencia de los grandes grupos siderúrgicos. En países que cuentan con minerales ricos y gas natural se montan siderúrgicas para fabricar hierro esponja, hornos eléctricos para fabricar acero y laminación. Se evitan los hornos altos y convertidores que tienen un costo de instalación mucho más elevado.

En los convertidores Bessemer y Thomas, y en los hornos Siemens, no era posible fabricar, en la primera mitad del siglo XX, aceros de muy alta calidad. Sólo empleando chatarra muy pura y seleccionada se fabricaba en los hornos Siemens aceros de alta calidad. El horno eléctrico de revestimiento básico fue la única alternativa para fabricar industrialmente aceros de alta calidad empleando chatarra corriente. En los hornos eléctricos es fácil obtener aceros con porcentajes de fósforo y azufre muy bajos (S < 0.020% y P < 0.020%). Bessemer, Thomas y Siemens, S ≈ 0.040% y P ≈ 0.040%. Como esas impurezas están presentes en los aceros rebajan sensiblemente su calidad.

Por otra parte, el contenido en nitrógeno de los aceros de horno eléctrico es del orden de 0.0120%, que es una cifra que coincide a la cota inferior (0.0120 – 0.02%), que corresponde a los aceros Bessemer y Thomas. 1.1.3) Materias primas empleadas para la fabricación de acero en hornos eléctricos. La principal materia prima empleada para la fabricación de acero en horno eléctrico básico es la chatarra de hierro dulce o de acero. Como elementos de adición auxiliares se cargan, también en los hornos eléctricos, pequeñas cantidades de fundición, de mineral de hierro y de ferroaleantes. Para la formación de escoria se

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añade caliza, cal, arena, espato flúor y coque, y al final del proceso se añade ferrosilicio, ferromanganeso, aluminio, carburo de calcio y silicio-calcio, como elementos desoxidantes y auxiliares del proceso.

A continuación se sita algunas técnicas para eliminar impurezas y la posibilidad de adaptarlos o no a los diferentes métodos de fabricación:

Defosforación: El fósforo se elimina por oxidación del acero fundido en presencia de una escoria oxidada y muy básica. No se podía eliminar en el convertidor Bessemer porque, al ser su revestimiento ácido, no se podían utilizar escorias básicas que reaccionarían con el revestimiento ácido y lo destruirían. En los hornos básico Thomas, Siemens y eléctricos es posible utilizar escorias básicas y con ellas eliminar bien el fósforo y obtener sin gran dificultad porcentajes de fósforo inferiores a 0.020%.

Desulfuración: La eliminación de azufre se realiza por la acción de una escoria bien desoxidada, muy básica y reductora, que puede estar formada principalmente con cal y un cierto porcentaje de carburo de calcio.

El azufre no se podía eliminar en el convertidor Bessemer y sólo parcialmente en el Thomas y en los hornos Siemens, porque en esos procesos el ambiente y la escoria son oxidantes, y en ningún momento del proceso se puede mantener la escoria suficientemente desoxidada para conseguir una fuerte eliminación del azufre. Ahora se lleva a cabo en el horno olla y es posible bajar el contenido en azufre hasta 0.015 – 0.001%.

Desoxidación: En los hornos una gran parte de la eliminación del oxígeno se consigue por la adición de elementos desoxidantes, como el ferrosilicio, ferromanganeso o aluminio, pero este sistema de desoxidación que se emplea normalmente, al final de la operación en todos los procesos de fabricación del acero, solamente es eficaz para la fabricación de acero corriente. En la fabricación de aceros de calidad, esa forma de desoxidar tiene el inconveniente de dejar gran cantidad de partículas microscópicas sólidas en el baño metálico (SiO2, MnO o Al2O3), que luego aparecen en el acero en forma de inclusiones no metálicas. Por lo tanto, siempre interesa limitar en lo posible el empleo de un exceso de desoxidantes y evitar que el baño de acero en la última fase del proceso se encuentre muy oxidado. Cubriendo el baño con escorias bien desoxidadas y fuertemente reductoras, que actúen en forma un poco similar a un papel secante en los hornos eléctricos básicos, es posible eliminar por difusión una buena parte del oxígeno que contiene el acero fundido. Luego, los desoxidantes no tienen que neutralizar más que un porcentaje de oxígeno relativamente bajo y, por ello, la cantidad de inclusiones que aparecen en estos aceros es pequeña.

En los hornos eléctricos, la acción de los desoxidantes se realiza sobre un baño de acero que está mucho menos oxidado que en los convertidores o en los hornos Siemens y por lo tanto, la formación de partículas sólidas no metálicas será menor que en aquellas otras instalaciones. Ese proceso de desoxidación no se

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puede seguir en los convertidores ni en los hornos Siemens, porque esos procesos son fuertemente oxidantes. La acción desoxidante que realiza la escoria reductora del horno eléctrico es una de las ventajas más notables de este proceso, que permite fabricar, con relativa facilidad, aceros limpios y de alto grado de pureza. 1.2) FABRICACIÓN DE ACERO EN HORNO ELÉCTRICO BÁSICO CON DOBLE ESCORIA.

Ha sido el más clásico y más empleado durante los primeros 50 años del funcionamiento de esta instalación. Este procedimiento es el más empleado para fabricar aceros de alta calidad o alta aleación. En grandes rasgos el proceso consiste de:

Fundir la chatarra, luego crear una escoria oxidante sobre el baño metálico, que servirá para oxidar el carbono, silicio, manganeso y fósforo hasta que esos elementos queden reducidos a límites muy bajos.

Por la acción de esa primera escoria oxidante se consigue eliminar una gran parte del fósforo que contienen las cargas y, luego, por la acción de la segunda escoria reductora se puede eliminar gran paste del azufre.

En esta última fase, y antes de colar el acero a las lingoteras o en la colada continua, es necesario eliminar el oxígeno que contiene el baño fundido, que en el enfriamiento y solidificación crearía porosidades muy perjudiciales. Eso se consigue por la acción de la escoria reductora y añadiendo desoxidantes como el ferrromanganeso, el ferrosilicio, aluminio y carburo de calcio que en cantidades adecuadas sirven para encajar exactamente el acero en la composición deseada.

La primera fase del afino oxidante se hace de acuerdo con las siguientes reacciones: 2 FeO + Si = SiO2 + 2 Fe FeO + Mn = Fe + MnO FeO + C = Fe + CO

La eliminación del fósforo se consigue, también por oxidación, en la primera fase del proceso con escoria básica y oxidante. El anhídrido fosfórico formado se combina con la cal y da fosfato tricálcico, que sale del horno al desescoriar. Ese afino del fósforo se realiza de acuerdo con las siguientes reacciones: 2 P + 5 FeO = P2O5 + 5 Fe P2O5 + 3 CaO = (P2O5) 3 CaO P2O5 + 4 CaO = (P2O5) 4 CaO

El azufre se elimina en la segunda fase del proceso con escoria básica reductora. Se combina con la cal y se forma sulfuro de calcio que pasa a la escoria. Se producen las siguientes reacciones:

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FeS + CaO + C = CaS + Fe + CO

El oxígeno residual disuelto en el baño se elimina al final del proceso, como se ha indicado. Una parte es absorbido por la escoria reductora y otra parte por la adición de desoxidantes como el Si, Mn, C, Al y CaC2. La desoxidación se realiza de acuerdo con las siguientes reacciones: 2 FeO + Si = 2 Fe + SiO2 FeO + Mn = Fe + MnO FeO + C = Fe + CO 3 FeO + 2 Al = 3 Fe + Al2O3 3 FeO + CaC2 = 3 Fe + CaO + 2 CO

Destacamos que este proceso se caracteriza por trabajarse con dos escorias diferentes. 1ª. Escoria básica y oxidante que al final de las fase oxidante tiene la siguiente composición aproximada: CaO 40%, SiO2 15%, FeO 15%, trabajando con esa escoria, se oxidan y disminuyen los porcentajes de Si, C y Mn del baño de acero y se elimina parte del fósforo que contiene las cargas. 2ª: Escoria desoxidada básica de la siguiente composición aproximada: CaO 60%, SiO2 20%, FeO 0.5%, CaC2 15%, se elimina el azufre y se desoxida en parte el acero.

Por lo tanto, la eliminación de las impurezas en las dos fases del proceso empleando escorias diferentes y adecuadas: una para eliminar el fósforo y otra para eliminar el azufre. 1.3) PRINCIPALES FASES DE LA OPERACIÓN CON DOBLE ESCORIA.

Resumiendo el proceso de fabricación de acero en horno eléctrico con doble escoria:

1) Carga del horno 2) Conexión de la corriente eléctrica 3) Fusión de la carga 4) Período oxidante o de afino 5) Desescoriado 6) Período desoxidante 7) Colada del acero 8) Inspección del horno, acondicionamiento y reparación de la solera y de los

refractarios si es necesario

Carga del horno. La operación se inicia al introducirse en el horno la chatarra y algo de cal o caliza. Los hornos tienen bóveda desplazable y la carga se hace con cestas que introducen la chatarra por la parte superior del horno. Luego se vuelve a poner la bóveda en su lugar, se conecta la corriente eléctrica, salta el arco y se inicia la fusión.

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Generalmente, cuando interesa fabricar aceros de calidad se recomienda que la composición media del acero, en el momento de fundir, tenga un contenido en carbono ligeramente superior en 0.25 a 0.50% al porcentaje de carbono que se desea que tenga el baño al final de la fase oxidante (generalmente 0.10%) pues es muy recomendable que durante esta fase se produzca un vigoroso hervido del baño que favorezca la eliminación de gases e impurezas. Cuando se efectúa ese barboteo, que es debido al desprendimiento del óxido de carbono producido al oxidarse el carbono, se dice que el baño trabaja.

Si el contenido en carbono de la chatarra que se ha cargado es inferior a las cifras que se han señalado, se suele añadir a la carga o al baño, cuando esta terminado de fundir, coque o lingote de fierro en cantidad conveniente para elevar un poco el contenido de carbono de la carga y hacer posible el hervido y que es una fase muy importante de la operación. Experimentalmente se ha comprobado que, si se funden mezclas de chatarra de bajo contenido de carbono (0.08%) y sin que se produzca el hervido, se continúa la operación al final del proceso, aunque éste se lleve con las mayores precauciones, se suele obtener acero de baja calidad.

Conexión de la corriente eléctrica. Se hace cuando se ha completado la carga de la chatarra y otras adiciones al horno.

Fusión de la carga. En los primeros momentos de esta fase hay una gran oscilación y movimiento de los electrodos, debido a que el salto del arco entre los electrodos y la chatarra es irregular, ya que la chatarra, al fundir, deja espacios vacíos debajo de los electrodos. Continuamente funciona el regulador, que actúa automáticamente sobre los electrodos haciéndoles subir y bajar para mantener todo el tiempo cerrado el arco y con la intensidad conveniente, de forma que los electrodos estén siempre separados de la chatarra a la distancia adecuada para la buena marcha del proceso.

En cuanto se observa que hay acero fundido debajo de los electrodos formando un pequeño charco, debe de añadirse una pequeña cantidad de cal o caliza para cubrir el baño metálico. A partir de ese momento, el movimiento de los electrodos es más regular que al principio y se suele conectar entonces el mayor voltaje, que suele variar desde 160 V en los hornos pequeños, hasta 350 V en los grandes, para que se efectúe la fusión en el menor tiempo posible.

Período oxidante o de afino. Desde que se forma el primer charco del metal fundido, el baño comienza a ser oxidado por la acción del oxígeno del aire y del óxido de fierro que contiene la chatarra. Luego, cuando todo el metal se encuentra en estado líquido, o un poco antes, se suele introducir en el horno una cierta cantidad de mineral de hierro que acentúa la oxidación de la escoria y, por lo tanto, del metal. A partir de 1950, en vez de mineral se inyecta oxígeno.

El baño comienza a trabajar o hervir debido a la oxidación del carbono que da lugar a un desprendimiento gaseoso de CO. Al mismo tiempo se va formando una pequeña cantidad de escoria negra con cal, un poco de sílice y óxido de fierro. Esa

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escoria, que cubre el baño metálico, es en realidad la que sirve, como vehículo del óxido de hierro, para la oxidación del acero durante esta fase de la operación. La oxidación de los diferentes elementos se realiza de acuerdo con las siguientes reacciones: Fe + ½ O2 = FeO Si + 2 FeO = 2 Fe + SiO2 2 P + 5 FeO = 5 Fe + P2O5 Mn + FeO = Fe + MnO C + FeO = Fe + CO

Para acelerar la oxidación del baño, en los casos que sea necesario, se añade a lo largo de esta fase pequeñas cantidades de mineral de Fe o se inyecta oxígeno. Asimismo, se hacen adiciones de cal y caliza para facilitar la formación de escoria.

En el baño metálico primero se oxida el Fe por ser el más abundante, también el Si, P, Mn, C y algunos otros elementos fácilmente oxidables que pueden existir en las cargas. El óxido de carbono escapa en forma de gas y quedan los demás óxidos de P, Si, Mn, etc., que son sólidos, mezclados entre la escoria y el baño. Estos últimos, por tener menor densidad que el acero fundido, tienden a subir a la parte superior del baño y a combinarse con la cal de la escoria, formando compuestos más o menos estables. En esta fase se elimina el fósforo en la escoria en forma de fosfato tricálcico y tetracálcico, de acuerdo con las siguientes reacciones: P2O5 + 3 CaO = (P2O5) 3 CaO P2O5 + 4 CaO = (P2O5) 4 CaO

Desescoriado. Al final del primer período del afino, la escoria oxidante negra y espesa que cubre el baño es eliminada. La escoria es extraída por medio de barras refrigeradas con agua quedando el baño metálico muy oxidado, con muy bajos porcentajes de C, Mn, Si y P.

En la siguiente fase de trabajo, esa primera escoria oxidada es reemplazada por la segunda escoria reductora. Esta posibilidad de cambio del carácter de la escoria es una de las principales características y ventajas de este proceso de fabricación de acero.

Período desoxidante. Esta etapa es empírica ya que se emplean métodos, sistemas y técnicas variables en unos y otros casos. En todos los casos se cubre el baño metálico con una escoria desoxidante preparada fundamentalmente con tres partes de cal y una de espato flúor a la que se añade como elemento desoxidante una parte de coque o grafito. A veces se añade un poco de carburo de calcio o silicocalcio y también, en algunos casos, ferrosilicio en polvo en pequeñas cantidades.

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En esta fase se consigue reducir una parte del contenido inicial de oxígeno del

acero por simple contacto del baño metálico con la escoria fuertemente reductora que cubre el metal (cuando se deja enfriar al aire tiene un color blanco). Esa escoria también desulfura el baño metálico.

Carburación del baño metálico. Antes de hacer las adiciones de los elementos que forman la segunda escoria, se acostumbra añadir al baño desnudo coque o trozos de electrodos de grafito reducidos a tamaño de granos de arroz que realizan dos funciones. Añadido en cantidades convenientes, sirve para elevar el contenido en carbono del metal hasta una cantidad ligeramente inferior a la señalada en la especificación del acero que se desea fabricar, además, esas adiciones al aumentar el carbono del baño metálico realizan una parcial desoxidación que facilita la acción desoxidante de la escoria. Al tener el acero más carbono baja su contenido de oxígeno.

Cuando se fabrican aceros de bajo contenido en carbono, como no es necesario este aumento del contenido en carbono, se añade la segunda escoria formada generalmente con cal, espato y una limitada cantidad de coque que realizará una gran parte de la desoxidación del baño metálico.

Desoxidación parcial por adición de desoxidantes. Otro método que pude se utilizado es la desoxidación parcial previa con adición de ferromanganeso, ferrosilicio o aluminio al baño desnudo antes de hacer alguna otra adición. En este caso, el baño absorbe un porcentaje variable de manganeso o de silicio, que realizan una parcial acción desoxidante. Si las adiciones de ferrosilicio se hacen después de que el baño esté suficientemente desoxidado (por contacto con la escoria reductora), es posible obtener acero de mejor calidad desoxidado en el mayor grado posible con la escoria, ya que ésta quita una gran parte de las impurezas (óxidos) sin introducir otras impurezas o materias no metálicas en el baño, lo cual es una gran ventaja.

Las cantidades de ferrosilicio y ferromanganeso que se suelen añadir para realizar esa primera desoxidación inicial, suelen ser las necesarias para que el acero quede con un 30 a 60% del silicio y manganeso que se señala en las especificaciones, haciéndose las restantes adiciones de estas ferroaleaciones cuando el proceso está más avanzado y el contenido de oxígeno del baño metálico es muy pequeño.

Atenciones para mantener la escoria bien desoxidada. La escoria reductora o segunda escoria suele tardar de 15 a 40 min en formarse, es decir, en cubrir bien el baño y en tener la viscosidad adecuada en todas las partes del horno. Cuando esa escoria comienza a reaccionar con los óxidos de acero, el baño tiende a oxidar la escoria y ésta a desoxidar el baño. A partir de este momento, la principal preocupación del encargado del horno debe ser mantener la escoria desoxidada para así favorecer la desoxidación y la desulfuración del baño de acero. Si se logra mantener la escoria desoxidada, se tiene garantía de que está desoxidando el baño de acero.

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El contenido en óxido de fierro de la primera escoria oxidante oscila entre 12 y

25% (FeO), y el de la segunda escoria un poco después de haberse formado de 6 a 12%, bajando luego rápidamente. A los 10 min el contenido de FeO es de ~2%, sigue bajando hasta que a los 30 min oscila entre 0.5% y 1%. El porcentaje de carburo de calcio que conviene contenga la escoria debe ser superior a 2% y suele oscilar entre 0.5 y 2.5%. El carburo no puede existir en la escoria en presencia del FeO. Por lo tanto, la existencia de carburo en la escoria es una garantía de que ésta se encuentra desoxidada. La presencia de carburo en la escoria se detecta al introducir una barra rodeada por escoria en agua y detectar el fuerte olor a acetileno que desprende.

Ya que el carburo de calcio que contiene la escoria sólo desoxida la capa de acero superficial que está justo en contacto con la escoria, es difícil conseguir una intensa y rápida acción desoxidante en todas las partes de un baño metálico cuando el acero está sin movimiento. Para evitar este inconveniente se recomienda remover de vez en cuando la escoria y el acero con una barra de hierro para que así, al acentuarse el contacto de la escoria con el acero, se acelera la acción desoxidante. El carburo reacciona con el FeO y MnO del baño y completa la desoxidación si el contacto se verifica durante un tiempo suficiente. La labor desoxidante de la escoria es lenta y la desoxidación final debe hacerse siempre con cantidades adicionales de ferroaleaciones.

Desoxidación. Normalmente, el principal agente desoxidante en la segunda escoria es el carburo de calcio que se forma al reaccionar la cal con el carbono: CaO + 3 C = CaC2 + CO A veces, el carburo de calcio se añade directamente para formar la escoria. El carburo desoxida la escoria al reaccionar con los óxidos de fierro y manganeso metal, desprendiéndose óxido de carbono y formándose cal según las reacciones: FeS + CaO + Ca = CaS + Fe + CO 3 FeS + 2 CaO + CaC2 = 3 CaS + 2 CO + 3 Fe 3 MnS + 2 CaO + CaC2 = 3 CaS + 2 CO + 3 Mn

Como el carburo de calcio que contiene la escoria se gasta en esas reacciones, es necesario hacer durante el proceso frecuentes adiciones de carbón pulverizado para que, al reaccionar la cal con el carbono, se forme constantemente nuevo carburo de calcio y continúe su acción desoxidante y desulfurante. En ocasiones, como se ha indicado antes, se añade directamente a la escoria el carburo de calcio. La desoxidación por el Si, Mn o Al se realiza al final de esta fase, cuando se hacen las adiciones del ferromanganeso y aluminio: Si + 2 FeO = SiO2 + 2 Fe Mn + FeO = MnO + Fe 2 Al + 3 FeO = Al2O3 + 3 Fe

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El control del grado de basicidad, de desoxidación y de viscosidad de la

escoria se determina observando su color y aspecto. Se muestrea introduciendo barras de fierro en la que queda adherida la escoria. Al principio de la fase desoxidante el color de la escoria después de enfriarse es negro, lo que indica que todavía contiene óxidos y, por lo tanto, la escoria está oxidada. A medida que transcurre el tiempo varía el color, que va pasando de negro a pardo, luego pasa a un color gris y más tarde a blanco. Esta evolución en el color indica la variación en la composición. La escoria negra indica presencia de óxidos y la blanca pulverulenta, que esta desoxidada.

Acción del carburo de calcio. El principal objetivo de esta fase es formar lo más rápidamente posible una escoria fuertemente reductora que contenga carburo de calcio. Al aumentar un cierto porcentaje de ese compuesto, hay garantía de la ausencia de óxidos en la escoria durante toda esta fase reductora o desoxidante. El carburo no puede existir en presencia del FeO porque reacciona rápidamente según: C2Ca + 3 FeO = 3 Fe + CaO + 2 CO C2Ca + 3 MnO = 3 Mn + CaO + 2 CO

Una escoria que contenga carburo está libre de óxidos.

Adición de elementos especiales y desoxidantes. Cuando se ha hecho ya la segunda escoria reductora, se ha comprobado su aspecto al enfriarse y se han recibido ya los análisis finales del laboratorio, se efectúan las últimas operaciones antes de hacer la colada del acero a la cuchara. Primero se hacen las adiciones finales de las distintas ferroaleaciones para encajar los diversos elementos en las especificaciones requeridas. Se vigila y comprueba la desoxidación completa del baño, añadiendo si es preciso ferrosilicio o algún otro desoxidante (aluminio) que al mismo tiempo controla el tamaño del grano.

El grado de desoxidación del acero se hace sacando pequeñas muestras con una cuchara y colándola a lingotillos de prueba. Observando la solidificación y luego la fractura, se puede tener una idea clara del grado de desoxidación.

Se ha de observar si la temperatura del acero es correcta, haciendo en caso contrario el ajuste final de ella. Esto es importantísimo y el acerista debe vigilar el proceso ya que si no cuela a la temperatura conveniente no obtendrá acero de buena calidad.

Utilización de escoria blanca formada con una calidad de ferrosilicio superior a lo normal. Cuando se fabrican aceros bajos en carbono (C < 0.10%), la segunda escoria no se prepara a base de carburo principalmente, sino que se emplea más cantidad de ferrosilicio que la normal y sólo una pequeña cantidad de carburo de calcio. Esta escoria poco carburada se emplea para evitar que en la presencia de importantes cantidades de carburo aumente el contenido de carbono en el baño. La desoxidación es como sigue:

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2 FeO + Si = 2 Fe + SiO2, y la desulfuración 2 CaO + Si + 2 FeS = 2 CaS + SiO2 + 2 Fe, esta escoria se utiliza para obtener aceros bajos en carbono como los aceros de cementación.

Colada del acero. Tomando en cuenta todo lo anterior y teniendo el baño metálico la temperatura correcta, el acero se encuentra listo para la colada. Se abre y vuelca el baño metálico y la escoria a la cuchara. Re revisa el horno para dar inicio a una nueva colada.

Inspección del horno, acondicionamiento y reparación de la solera y de los refractarios si es necesario. De la misma manera que todos los procesos siderúrgico, después de terminada una colada es necesario inspeccionar el estado del material refractario de la solera, paredes y bóveda del horno. Generalmente, se procede a reacondicionar la solera con adiciones de dolomía o magnesia calcinadas para igualar su superficie, suprimiendo agujeros, rellenando erosiones, etc. 1.4) EMPLEO DEL OXÍGENO EN LOS HAE

El empleo de oxígeno en los EAF ha tenido una difusión extraordinaria ya que se usa para dos fines diferentes: A) Inyección de oxígeno entre los trozos de chatarra en la primera parte del proceso, antes de la fusión. Así se favorece la combustión de gases que se producen en la cámara del horno, se mejora el rendimiento térmico del proceso y se acelera la primera etapa de fusión de las cargas. B) Inyección de oxígeno en el baño fundido. Así, se acelera la oxidación de las impurezas, principalmente la eliminación del carbono y se reduce la duración del período oxidante.

El empleo de oxígeno reduce el consumo de energía eléctrica, aumenta el

consumo de electrodos sensiblemente y acorta la operación. 1.5) DIFERENTES MÉTODOS DE ELABORACIÓN DE ACEROS EN HAE DE REVESTIMIENTO BÁSICO Según sean las circunstancias que concurren en el proceso, como por ejemplo las materias primas que se van a emplear, la calidad que se desea obtener, el precio que se quiere alcanzar, etc., se emplean diversos procesos de trabajo que tienen cada uno de ellos algunas ventajas particulares, por ejemplo:

1º. Con doble escoria. Este método es el más empleado para fabricar aceros de media y gran aleación. Es la marcha clásica del EAF empleada durante muchos años para fabricar aceros de muy alta calidad. En esta marcha el fósforo es oxidado en el primer período oxidante y, al sacar del horno la escoria oxidada que se forma sobre el arco, se elimina esa impureza. Luego, al baño desnudo se le añade coque, cal y un poco de espato flúor. Se forma una escoria básica y reductora con carburo

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de calcio, que elimina el azufre con gran facilidad, a la par que desoxida el acero. Este proceso se sustituyó luego por el tercero de abajo. 2º. Oxidante parecido al del horno Siemens. Es el proceso de más corta duración es usado en los modelos UHP para fabricar aceros al carbono baratos en comparación a los aceros Siemens o con los de convertidor LD. Se emplea una sola escoria de carácter oxidante, similar a la que se emplea en los Siemens, el afino es más ácido y la marcha de trabajo es parecida a la que se utiliza en ese proceso. Operando de esta forma se elimina el fósforo y un poco de azufre. Cuando se desea fabricar acero de calidad debe evitarse que la chatarra contenga un alto porcentaje de azufre (< 0.040%) porque en este proceso no es fácil su eliminación. Como este proceso es muy rápido, el costo de fabricación es bajo. 3º. Proceso oxidante parecido al Siemens, pero al final con rápida y breve formación de escoria reductora. Este proceso es parecido al 2º, con la única diferencia de que al final del proceso se forma rápidamente, en unos 10 min, una escoria reductora que, sin mantenerse largo tiempo como en el caso de las dos escorias, sirve para producir una desoxidación y desulfuración sensible en el baño. En este proceso se forma primero una limitada cantidad de escoria oxidante que luego, por adición de coque, cal y desoxidantes, se transforma en escoria reductora. Con este proceso bien llevado, es posible fabricar con éxito aceros de mediana aleación y alta calidad. Cada día es más utilizado, con este fin, este método cuya duración es sensiblemente menor que la que corresponde al 1º, al que sustituye con bastante frecuencia por ser más económico. Como en este proceso se elimina el fósforo, las materias primas deben ser bajas en este elemento. Ocasionalmente en este proceso se elimina rápidamente al principio la primera escoria oxidante con la que marcha el fósforo que había en las cargas. 4º. Formando solamente escoria reductora (refusión). Este método consiste, esencialmente, en una simple refusión. En cuanto funde la carga, se prepara una escoria desoxidada con adiciones de cal y coque, y algunas veces algo de polvo de ferrosilicio, siliciocalcio o carburo de calcio. Se utiliza mucho este procedimiento para refundir chatarras aleadas, que se sabe son puras en fósforo y que se emplean para aprovechar al máximo los elementos de aleación que contienen y son bajos en fósforo. De esta manera se fabrican aceros de composición similar a la de la chatarra cargada o de composición parecida. El cromo, manganeso, tungsteno y vanadio que contienen las chatarras, se oxidan siempre en los procesos 1º y 2º, pasan a las escorias oxidadas que se forman y se pierden. En cambio, el níquel, molibdeno y cobalto no se oxidan. Para evitar la pérdida de esos metales con la escoria oxidada se emplea este procedimiento, en que únicamente se forma escoria reductora y no hay pérdida de elementos de aleación de alto precio.

5º. Una escoria que comienza oxidante y finaliza reductora. Se usa principalmente para la fabricación de aceros inoxidables altos en cromo y de bajo contenido de carbono cuando se utiliza como carga un fuerte porcentaje de chatarras de los mismos o parecidos aceros inoxidables que se quieren fabricar. Se comienza el proceso con escoria fuertemente oxidante. Se emplea oxígeno para

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conseguir oxidar y rebajar el carbono, pero en esa fase se oxida también el cromo, que pasa a la escoria. Al terminar esa fase, después de haber rebajado el contenido de carbono, se añade coque y cal a la escoria que, al cabo de un rato se vuelve reductora. En esas condiciones, el óxido de cromo se reduce y pasa de la escoria al baño. Se pasa de un baño metálico que al fundir era alto en carbono (C = 0.35%) y alto en cromo (Cr = 13 a 18%), a un baño de C = 0.08% y Cr = 13 a 18%. 1.6) HAE CON REVESTIMIENTO ÁCIDO (Dejaron de usarse definitivamente a mediados de la década de 1990 - 2000) Se empleaban para fabricar piezas de acero moldeado. Se utilizaban pequeños hornos de 400 Kg a 2 tons de capacidad de colada. Llegaban a utilizarse también hornos hasta de 10 tons fabricándose aceros de 0.20 a 0.30% de carbono. El trabajo que se realizaba en estos hornos era prácticamente una simple refusión de chatarra, de hierro o acero. Un poco antes de colar se añadían cantidades precisas de ferromanganeso y ferrosilicio y a veces un poco de fundición para encajar los contenidos en silicio, manganeso y carbono. Estos hornos se diferenciaban de los básicos en que la solera se preparaba con arena siliciosa aglomerada con arcilla, o con arena preparada con piedra siliciosa molida y de la siguiente aproximada composición: SiO2 ≈ 95%, Al2O3 ≈1.5%, Fe2O3 ≈ 2.5%. En cuanto a la instalación eléctrica, era la misma que la de los hornos básicos, aunque a causa de la mayor resistencia eléctrica de la escoria ácida, se tendía a usar en el arco tensiones de trabajo algo más elevadas que en el caso de hornos de revestimiento básico. En este proceso era necesario utilizar chatarras bastante puras, ya que debido al carácter ácido y oxidante del proceso, no era posible eliminar el fósforo ni el azufre que contienen las cargas. Durante la operación aumentaba ligeramente los porcentajes de esas impurezas. 1.6.1) ESQUEMA GENERAL DEL PROCESO (HAE con revestimiento ácido en desuso). Se carga primero la chatarra y generalmente no se hacen adiciones para formar la escoria. Esta se forma espontáneamente con los óxidos formados al oxidarse el silicio y el manganeso, y al tomar algo de sílice del revestimiento. En el caso de que las chatarras no estén oxidadas, se añade mineral o cascarilla de laminación para acentuar la oxidación. Si el contenido en carbono de la carga es bajo y hay sospecha de que, por esta circunstancia, el hervido (oxidación del carbono) no sea vigoroso, se añade algo de hierro o coque, según convenga. Al avanzar el proceso primero se oxidan el silicio y casi a la vez el manganeso. Luego, cuando se han eliminado esos elementos y la temperatura es suficientemente elevada, comienza a eliminarse el carbono. Entonces, a veces se añade algo de mineral para acelerar la oxidación y se inicia la ebullición que es la fase más importante del proceso. Esa ebullición es menor al avanzar la operación

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cuando disminuye el poder oxidante de la escoria y, además, no queda ya casi carbono por eliminar. Entonces, se añade ferrosilicio y ferromanganeso para desoxidar el acero y encajar el análisis de la colada, y al cabo de unos 10 minutos se cuela el acero. Es interesante indicar que este proceso ácido se caracteriza porque el revestimiento, y en especial la solera, toman parte en la operación, cediendo sílice a la escoria. En la última parte de la colada algunas veces, si la temperatura es muy elevada y el acero tiene suficiente carbono, se produce una reducción de la sílice de la solera con incorporación del silicio al acero, produciéndose una desoxidación automática del metal. 1.6.2) FASES MÁS IMPORTANTES DE UNA COLADA (para el HAE con revestimiento ácido, fuera de uso). Las fases más importantes del proceso son:

1ª.) Carga del horno 2ª.) Conexión de la corriente eléctrica 3ª.) Fusión de la carga 4ª.) Oxidación del silicio y manganeso 5ª.) Oxidación del carbono (hervido de baño) 6ª.) Adición de desoxidantes 7ª.) Colada 8ª.) Reparación de la solera del horno

Las fases 1ª.), 2ª.) y 3ª.) son análogas a las que corresponden al horno eléctrico básico. 4ª Oxidación del silicio y manganeso. En esta fase las transformaciones fundamentales son: oxidación del baño metálico por medio del oxígeno de la cámara del horno, del mineral, de la cascarilla o del óxido de la chatarra. A partir de mediados del siglo XX se inyecta oxígeno para acelerar la fase de afino. La oxidación del fierro viene dada por: 2 Fe + O2 = 2 FeO Esta oxidación es la primera en producirse debido a la gran cantidad de hierro que contienen las cargas. Luego, el óxido de fierro oxida el silicio y el manganeso: 2 FeO + Si = SiO2 + 2 Fe FeO + Mn = MnO + Fe Para que la marcha del proceso sea normal, es necesario que la primera escoria sea de carácter oxidante y esté constituida principalmente por óxido de fierro y sílice, con pequeños porcentajes de óxido de manganeso y cal. Al principio de la operación, las escorias del horno eléctrico ácido deben tener aproximadamente la siguiente composición:

39

SiO2 ≈ 40%, FeO ≈ 35%, MnO ≈ 12% y CaO ≈ 3% Al sacar una muestra de esa escoria, se ve que es de color negro y de bastante peso específico por su alto contenido en óxido de fierro. Si la escoria está poco oxidada, será de color verde claro, y entonces es necesario añadir mineral o cascarilla de laminación para aumentar su contenido en óxido de fierro. Conviene cuidar que no sea demasiado oxidante porque puede atacar exageradamente el revestimiento del horno. Para evitarlo se añade arena. Al principio del proceso, además de una escoria negra y oxidante es necesario que el baño tenga al menos 0.20% de carbono más que el contenido en carbono del acero que se desea obtener. Si se cumple lo anterior (escoria oxidante y exceso de carbono) será posible el hervido del baño (oxidación del carbono), que es una fase necesaria para obtener acero de buena calidad. El hervido del baño es necesario para uniformizar la composición y la temperatura del baño y para facilitar la eliminación de gases. Si no se cumplen estas condiciones será necesario añadir fundición para aumentar el carbono del baño y añadir mineral para aumentar el FeO de la escoria. El contenido en carbono del acero se puede conocer, aproximadamente estudiando la composición de las cargas o, en la misma planchada, sacando una muestra del acero del baño metálico y analizándola rápidamente.

5ª Oxidación del carbono. El carbono no suele comenzar a oxidarse intensamente hasta que se ha eliminado la mayor parte del silicio y del manganeso, y se alcanza ya en el baño una temperatura relativamente elevada (~ 1602 °C), siendo necesario además que haya suficiente porcentaje de FeO libre en la escoria para que se realice la eliminación del carbono. El hervido del baño y que es debido al desprendimiento de CO es como sigue: C + FeO = CO + Fe Se suele añadir algo de mineral porque, al avanzar la operación, disminuye el porcentaje de FeO de la escoria y el porcentaje de carbono del acero, y la reacción se va haciendo cada vez con más dificultad. Otras veces puede ocurrir que es bajo el FeO que contiene la escoria y ya no puede reaccionar con el carbono del baño. El contenido de FeO depende mucho del Mn en la escoria y en el acero. El MnO reemplaza al FeO y reduce el poder oxidante de la escoria. NOTA: Variación de la composición de la escoria. Una vez iniciada la operación, a la vez que se elimina el silicio, manganeso y carbono, se modifica la composición de la escoria. Durante la operación aumenta progresivamente y automáticamente el porcentaje de SiO2 desde 40 a 55% aproximadamente y, el del FeO disminuye de 35 a 16%. El porcentaje de MnO suele variar menos, aumentando, por ejemplo, de 10 a 15%, y también aumenta ligeramente el

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porcentaje de CaO, ya que durante el proceso de trabajo se suele añadir un poco de cal para aumentar la fluidez de la escoria. Además, así se favorece la oxidación del baño de acero, ya que al combinarse la cal con la sílice deja FeO libre y todo ello ayuda a la eliminación del carbono en la última parte de la operación. El color de la escoria sirve para indicar su grado de oxidación. Una escoria negra contiene de 30 a 40% de FeO, y una escoria gris guisante, de 10 a 20% de FeO y 50% de SiO2. Como el FeO del acero es proporcional al FeO de la escoria, observando el color de la escoria podemos conocer el grado de oxidación del acero. Cuando la escoria es verde guisante, es señal de que el baño contiene poco oxígeno, ya que si contuviera mucho, este oxígeno pasaría a la escoria y ésta sería negra (mucho porcentaje de FeO), en lugar de verde guisante. Al variar los contenidos de FeO y SiO2 de la escoria se modifica la viscosidad lo mismo que el color. Al principio la escoria es bastante fluida, negra y de alto porcentaje de FeO; al final, a pesar de ser su temperatura más elevada, es más viscosa, de color gris guisante, alta en sílice y de bajo porcentaje de FeO. Si se conoce la viscosidad se puede conocer aproximadamente la composición. 6ª Adición de desoxidante y recarburación si es necesario. Cuando se ha oxidado gran parte del carbono disminuye la ebullición del baño y al cabo de un rato, si se ha llevado bien el proceso, ya no conviene prolongarlo porque se ha oxidado suficiente el C, Si y Mn, y se ha alcanzado una temperatura conveniente. Entonces, deben de hacerse las adiciones convenientes de ferromanganeso y ferrosilicio, que sirven para desoxidar el acero y además obtener la composición deseada. La desoxidación se produce de acuerdo a: Mn + FeO = MnO + Fe Si + 2 FeO = SiO2 + 2 Fe Algunas veces, cuando la temperatura en el horno es muy elevada y el porcentaje de óxido de hierro del baño y de la escoria se reduce a cifras muy bajas, i.e., cuando disminuye mucho el carácter oxidante de la escoria, la sílice y el óxido de manganeso de la escoria pueden reducirse de acuerdo con las siguientes reacciones, que se producen cuando el contenido de C y Mn son suficientemente elevados: SiO2 + 2 C = Si + 2 CO MnO + C = Mn + CO SiO2 + 2 Mn = Si + 2 MnO El silicio formado por la reducción de la sílice pasa al metal y desoxida automáticamente el baño de acero. En el horno ácido estas reacciones (en especial la primera) ocurren cuando se llegan a alcanzar muy altas temperaturas y el contenido en C del acero es todavía bastante elevado. La segunda y tercera reacciones se producen preferentemente cuando el contenido en manganeso de las cargas es bastante elevado. Cuando se

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sobrepasa los 1640 °C, esas reacciones son muy difíciles de evitar, ya que el porcentaje de oxígeno libre en el baño y en la escoria es muy pequeño. Cuando no se quiere que se suceda, se pueden evitar esas reacciones por adiciones de mineral y cal en cantidades adecuadas. 7ª Colada del acero. En general, es conveniente dejar que pase un tiempo desde que se hacen las adiciones hasta que se cuela el acero, para que los sílicatos complejos se fierro y manganeso formados suban en el baño por su menor densidad y se unan a la escoria. Entonces, si la temperatura es la conveniente y la escoria apropiada verde y viscosa, se puede efectuar la colada del acero a la cuchara. 8ª Reparación de la solera del horno. En este proceso se produce un desgaste sensible de la solera del horno. Por ello, al terminar cada colada suele ser necesario repararla, adicionando arena siliciosa para recubrir las erosiones y zonas que más hayan sufrido en la operación. Debe destacarse que el desgaste del revestimiento en estos hornos ácidos es mucho más fuerte que el que sufren normalmente los hornos Siemens y los eléctricos básicos. 1.6.3) MEDIDA DE LA VISCOSIDAD DE LA ESCORIA. Se puede tener una idea del contenido de SiO2 de la escoria midiendo su viscosidad (viscosímetro Herty). Se cuela la escoria líquida en el embudo del aparato y se mide el avance de la escoria hasta que se para, al solidificarse. Así, se conoce el grado de viscosidad. Los porcentajes de SiO2 que corresponden a diferentes longitudes de avance de la escoria en la parte recta del viscosímetro se dan en tablas, y algunos valores son: SiO2 ≈ 60% avance 1.57”; 50% para 4.72” y 40% para 5.80”. 1.6.4) Modificaciones a la composición de la escoria en los HAE con revestimiento ácido (fuera de uso) al aumentar la temperatura del baño. Las variaciones que experimenta la composición de las escorias se aproximan bastante a los valores que corresponden al equilibrio de sus principales constituyentes, que son los óxidos FeO, MnO y SiO2. Al estudiar el diagrama de equilibrio binario FeO - SiO2, ver figura 1, se puede observar que con temperaturas crecientes hay un aumento progresivo de SiO2 y disminución de FeO, que es precisamente lo que ocurre con la escoria del horno eléctrico ácido al avanzar el proceso y aumentar la temperatura. Así el equilibrio señala aproximadamente para: 1600 °C SiO2 ≈ 47% FeO ≈ 53% 1670 °C SiO2 ≈ 55% FeO ≈ 45% Si se considera el mismo ternario con un contenido fijo de MnO (p.ej., 15%), la curva nos señala, aproximadamente: 1600 °C MnO = 15% SiO2 + FeO = 85% SiO2 = 85 x 60/100 = 51% FeO = 34%

1670 SiO Al cocorresbaño.camboxidasu po

Figuraprogre

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42

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43

CAPITULO II ESQUEMATIZACIÓN PRIMARIA[41,42,43] En este capítulo se empieza el modelado del problema a resolver, esto es, se

racionaliza el proceso de aceración tomando un prototipo o caso especial para luego extender la metodología. 2.1) DATOS DE ENTRADA Y SALIDA

Lo primero que se debe pensar después de observar el proceso de fabricación de acero es determinar quiénes serán nuestras variables de entrada y cuales las de salida. Tomando como ejemplo la producción de acero grado 1010:

DRI  %  SCRAP1  %  SCRAP2  % Slag (form. de espuma)  % 

Impureza  0.1  Impurezas  0.3  Impurezas  0.4  FeO  15 

FeO  15  C  0.4  C  0.1  SiO2  28 

Fe3C  5  Si  0.2  Si  0.25  Al2O3  2 

      Mn  0.5  Mn  0.5  CaO  54.84 

      S  0.02  S  0.03  MgO  0 

ganga     Fe  98.58  Fe  98.72  S  0.16 

CaO  1                   

MgO  0  Total =  100  Total =  100  Total =  100 

SiO2  5  FeMn     FeSi  %  ACERO  % 

Al2O3  3  C  4  FeSi  100  obtenido    S  0.01  FeMn  96        C  0.1 

otros,Fe  70.89        Total =  100  Si  0 

      Total =  100  CaO, MgO  %  Mn  0.15 

Total =  100  Fume  %  CaO  100  S  0.02 

Carga coque  %  10  Kg/ton acero  MgO  0  Fe  99.33 

S  0.6  FeO  100  CO  100%  Impurezas  0.4 

C  99.4  FeO, O  22.27% C  42.88%  trazas  0 

      FeO, Fe  77.73% O  57.12%  P  0 

Total =  100            Ni  0 

        CO2  100%  Sn  0 

  eficiencia térmica =  83%   C  27.29%  Cr  0 

  eficiencia eléctrica =  90%   O  72.71%  Mo  0 

            V  0 

           Impurezas+trazas  0.4 

            Total =  100 

Tabla 1. Datos de entrada para el modelo de programación lineal de optimización.

Aquí los datos de entrada son los porcentajes de las composiciones del hierro de reducción directa (DRI), las chatarras (scraps), la escoria deseada (slag) a partir de los aditivos, los ferroaleantes, la carga de coque y el acero que deseamos y esperamos obtener así como los residuos gaseoso. Los datos por determinar, o de salida, serán las cantidades de las variables de entrada para producir una tonelada

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de acero, la cantidad de combustibles gastados (energía eléctrica, partículas de C, oxígeno). De tal manera que el consumo energético y las cantidades de cada componente maximicen los beneficios de la empresa, esto es, lo que queda de la diferencia ingresos (por ventas) – egresos (costos de producción). NOTA: Aquí se consideró la mano de obra como un costo fijo y constante, por lo que no afecta a la función a maximizar. Definimos nuestro sistema bajo estudio con el diagrama siguiente:

Figura 2. Esquema general de modelado

2.2) BALANCE DE MASA

Para establecer el balance de masa primero hay que determinar qué entra al sistema que sale. Las masas entrantes son las provenientes del DRI, las scrap1 y scrap2, oxígeno inyectado, partículas de carbono inyectado, coque, ferroaleantes y aditivos. Las masas que sales son las que se forman en la escoria a partir de los formadores y aditivos, CO, O2, acero. La energía eléctrica aquí no participa. 2.3) BALANCE DE ENERGÍA

Muy relacionada con el balance anterior está el balance de energía. Es aquí donde cobra relevancia la determinación de las reacciones que se considerarán a

Datos de entrada

Datos de salida

Procesamiento primario de datos para que el sistema sea consistente y congruente Determinación de entalpías, balances, precios, cotas

resultados coherentes

Datos de balances, costos, ventas, cotas

Modelo a probar de Programación lineal

fin

sí no

MÉTODO SIMPLEX, Multiplicadores de Lagrange

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partir del tipo de horno de arco eléctrico y su proceso de fabricación como se expuso en los antecedentes.

El cálculo de entalpías a la temperatura de 1600 °C y las entalpías de reacción, fueron calculadas a partir de las capacidades caloríficas tomadas de las tablas de Barin, así como las entalpías de transformación y estándar. Se compararon con los programas BASEDAT y REACCION[45] para corroborar los cálculos hechos en Excel en la fase del tratamiento previo de datos de entrada.

Como energías de entrada están las entalpías de los componentes del DRI, scrap1, scrap2, O2 (incluyendo el inyectado), C (coque + partículas inyectadas), entalpías de reacción (endógenas y exógenas), energía eléctrica. Las de salida son las del acero (incluyendo los residuos gaseosos) y la escoria y las pérdidas térmicas.

Se debe tomar en cuenta la eficiencia térmica y eléctrica en el proceso. Estos son considerados como datos de entrada. 2.4) COMPOSICIÓN QUÍMICA Es de primordial importancia establecer las composiciones químicas ya que afectan todos los cálculos. Por esta razón se pensó que el usuario de este modelo fuera un experto, el cual establecería en la fase de preparación de datos los datos de entrada de acuerdo a su experiencia. Por lo tanto, nos independizamos de detalles de proceso de fabricación, sólo interesa determinar las reacciones que se lleven a cabo, esto es, se dejó abierto el programa tanto como se pudo para satisfacer a la mayoría de los clientes. El cliente fijará las cotas de los insumos, las del producto deseado, los consumos energéticos y los precios. 2.5) FUENTES ENERGÉTICAS

Como fuentes energéticas se establecieron en principio en 3: inyección de oxígeno, inyección de partículas de carbono y energía eléctrica. Estas pueden extenderse si se tienen los datos. Cabe señalar que hay que considerar las eficiencias térmicas y eléctricas, así como las de las otras fuentes a considerar. 2.6) FUNCIÓN DE CONSUMO ENERGÉTICO Algunos autores como Köhle prefieren ajustar los consumos energéticos empíricamente mediante el modelado de este rubro. En nuestro modelo esto no es necesario y aún así puede entrar en la fase de preparación de datos y ser encajado en la mecánica del modelado. 2.7) FUNCIÓN DE BENEFICIOS

La función de beneficios se define como la diferencia entre los ingresos y los egresos. Está en la definición de costos, que son parte de los egresos, qué se considera como tal. En nuestro caso no es relevante, además de que se carece de

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información, de los costos de mano de obra. Se supone que en los costos de las materias primas ya están considerados los del transporte y que los diferentes insumos entran con costos bien definidos para que sean prorrateados respecto a las composiciones. Esto último sonaría truculento, pero como se verá en el capítulo sobre fundamentos matemáticos, el método simplex permite holgura en no exactitud extrema en estos coeficientes. Es por eso que como herramienta de modelado ha probado ser sumamente eficiente respecto a sus predicciones. 2.8) TERMODINÁMICA DEL PROCESO La termodinámica del proceso de obtención del acero se basa en el cálculo de entalpías, esto debido a que se achaca a que a esa temperatura las pérdidas son más por radiación que por disipación. Como nuestro modelo está íntimamente relacionado a la composición química no se considera la pérdida por radiación, sólo pérdidas térmicas de reacción y eléctrica. Y sobre todo, recordar que la radiación rebota en las paredes del horno por la acción de la escoria y los recubrimientos.

Figura 3. Esquema del proceso energético considerado.

Energía eléctrica Oxígeno inyectado Partículas de C inyectadas

Gas natural u otros combustibles para generar energía eléctrica

Materias primas que al aumentar la temperatura reaccionan formando la escoria, CO, fume y el acero. Entalpías FUNCIONES DE TRANSFORMACIÓN

ACERO + escoria + CO + fume

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CAPITULO III FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 3.1) PANORAMA DEL ENFOQUE DE MODELADO EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).

Una manera de resumir las etapas usuales (no secuenciales) de un estudio de investigación de operaciones es la siguiente:

1) Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes. 2) Formulación de un modelo matemático que represente el problema. 3) Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una

solución al problema a partir del modelo. 4) Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario. 5) Preparación para la aplicación del modelo prescrito. 6) Puesta en marcha.

3.1.1) Definición del problema y recolección de datos. La mayor parte de los problemas prácticos que enfrenta un equipo de IO (investigación de operaciones) se les describen, al principio, de una manera vaga e imprecisa. Por consiguiente, la primera actividad a realizar es estudiar el sistema relevante y desarrollar un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definición del problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. 3.1.2) Formulación de un modelo matemático. Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construir un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar cómo formular los modelos de este tipo, se explora su naturaleza general y, en particular, la de los modelos matemáticos.

Los modelos o representaciones idealizadas, son una parte integral de la vida diaria. Los modelos tienen un papel importante en la ciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de estructuras genéticas, las ecuaciones matemáticas que describen las leyes físicas del movimiento o las reacciones químicas, las gráficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria. Esos modelos son invaluables, pues extraen la esencia de la materia de estudio, muestran sus interrelaciones y facilitan el análisis.

Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresadas en términos de símbolos y expresiones matemáticas. Las leyes de la física son ejemplos. En forma parecida, el modelo matemático de un problema industrial es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. Así, si deben tomarse decisiones cuantificables relacionadas entre sí, se representan como variables de decisión (x1, x2,…, xn)

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para las que se deben determinar los valores respectivos. La medida de desempeño adecuada (por ejemplo, la ganancia, utilidad, beneficio, costos, entre otras) se expresa entonces como una función matemática de estas variables de decisión. Esta función se llama función objetivo. También se expresan en términos matemáticos todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades. Tales expresiones matemáticas de las limitaciones, con frecuencia reciben el nombre de restricciones. Las constantes (los coeficientes o el lado derecho de las ecuaciones) en las restricciones y en la función objetivo se llaman parámetros del modelo. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice (minimice) la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas variaciones menores sobre él, tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.

La determinación de los valores adecuados que deben asignarse a los parámetros del modelo (un valor por parámetro) es crítica y a la vez un reto dentro del proceso de construcción del modelo. Determinar los valores de los parámetros en los problemas reales requiere la recolección de los datos relevantes. A menudo la recolección de datos exactos es difícil. Así, el valor asignado a un parámetro muchas veces es, por necesidad, sólo una estimación. Debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la forma en que cambiaría (si lo hace) la solución derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por otros valores posibles. Este proceso se conoce como análisis de sensibilidad.

Aun cuando se hable de “el modelo” matemático de un problema en la industria, los problemas reales por lo general no tienen un sólo modelo “correcto”. El proceso de prueba de un modelo conduce a una serie de modelos que proporcionan representaciones cada vez mejores del problema real. Es posible, incluso, desarrollar dos o más tipos de modelo diferentes para analizar el mismo problema.

En nuestro caso, el modelo es un modelo de programación lineal en donde las funciones matemáticas tanto en la función objetivo como en las restricciones son funciones lineales.

Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se desea que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio adecuado para juzgar la validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores

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relativos (es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante precisos. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo en la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo matemático.

Al desarrollar el modelo, se recomienda empezar con una versión muy sencilla y moverse, de modo evolutivo, hacia modelos más elaborados que reflejen mejor la complejidad del problema real. Este proceso de enriquecimiento del modelo continúa sólo mientras sea manejable. El trueque básico que debe tomarse en cuenta está entre la precisión y el manejo del modelo.

Un paso crucial en la formulación de un modelo de IO es la construcción de la función objetivo. Esto requiere desarrollar una medida cuantitativa de la efectividad relativa para cada objetivo que el tomador de decisiones identifica al definir el problema. Si en el estudio se contempla más de un objetivo, es necesario transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de efectividad llamada medida global de efectividad. A veces esta medida compuesta puede ser algo tangible (como ganancias) y corresponder a una meta más alta de la organización, o puede ser abstracta (como “utilidad”). Una vez desarrollada la medida global de efectividad, la función objetivo expresa esta medida como una función matemática de las variables de decisión. 3.1.3) Obtención de una solución a partir del modelo. Una vez formulado el modelo matemático, la siguiente etapa de un estudio de IO consiste en desarrollar un procedimiento para derivar una solución al problema a partir de este modelo. Puede pensarse que ésta debería ser la parte principal del estudio pero, en realidad, en la mayoría de los casos no lo es. De hecho, a veces ésta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplica uno de los algoritmos (procedimientos iterativos de solución) de investigación de operaciones en una computadora, empelando paquetes de software disponibles.

Un punto importante en IO es la búsqueda de una solución óptima, es decir, la mejor. Se han desarrollado métodos para encontrarla (SIMPLEX, SIMPLEX modificado, Multiplicadores de Lagrange), pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto al modelo que se usa. Como el modelo es necesariamente una idealización más que una representación exacta del problema real, no existe una garantía utópica de que la solución óptima del modelo resulte ser la mejor solución posible que pueda implantarse para el problema real. Simplemente existen demasiados imponderables e incertidumbres asociados con los problemas reales; pero si el problema esta bien formulado y verificado, la solución debe tender a una buena aproximación de un curso de acción ideal en la realidad. Por eso, más que enfrascarse en exigir lo imposible, la prueba del éxito de un estudio de IO debe ser si proporciona o no una mejor guía en las decisiones que la que se puede obtener por otros medios.

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El premio Nobel de economía Herbert Simon introdujo el término “satisfacer”

como una combinación de satisfacer y optimizar: la solución es lo “suficientemente buena” para el problema que se tiene. En lugar de intentar desarrollar una medida global de eficiencia para conciliar de manera óptima los conflictos entre los diferentes objetivos deseables, se puede usar un enfoque más pragmático. La distinción entre optimizar y “satisfacer” refleja la diferencia entre la teoría y la realidad, diferencia que con frecuencia se encuentra al tratar de implantar esa teoría en la práctica: “optimizar” es la ciencia de lo absoluto, “satisfacer” es el arte de lo factible”.

Una solución óptima para el modelo original puede estar muy alejada del ideal para el problema real, de manera que es necesario hacer un análisis adicional. El análisis postóptimo constituye una parte muy importante de la mayoría de los estudios de IO. Este análisis también se conoce como análisis de “qué pasa si” puesto que involucra algunas preguntas acerca de qué pasaría con la solución óptima si se hubieran hechos suposiciones diferentes sobre las condiciones futuras. Este proceso de experimentar con cambios en el modelo permite adquirir mayor confianza en su validez. En cierto modo, el análisis postóptimo implica llevar a cabo un análisis de sensibilidad para determinar qué parámetros del modelo son críticos (los “parámetros sensibles”) al determinar la solución. Una definición de parámetros sensibles es: Para un modelo matemático con valores específicos para todos sus parámetros, los parámetros sensibles del modelo son aquellos cuyos valores no se pueden cambiar sin que la solución óptima cambie.

Es importante identificar los parámetros sensibles, porque determinan aquellos cuyos valores deben asignarse con más cuidado para evitar distorsiones en los resultados del modelo.

Por lo general, el valor de un parámetro es una estimación de alguna cantidad cuyo valor exacto se reconocerá sólo después de poner en práctica la solución. Por lo tanto, después de identificar los parámetros sensibles, se deben realizar estimaciones más cercanas y cuidadosas de cada uno de ellos, o por lo menos del intervalo de valores posibles. Después se busca una solución que sea buena para todas las combinaciones de los valores posibles de los parámetros sensibles.

Si la solución se implanta sobre la marcha, cualquier cambio posterior en el valor de un parámetro sensible advierte de inmediato la necesidad de cambiar la solución.

En algunos casos, ciertos parámetros del modelo representan políticas de decisión (como asignación de recursos). Si es así, con frecuencia existe alguna flexibilidad sobre los valores dados a estos parámetros. Tal vez algunos se pueden aumentar si otros se disminuyen. El análisis postóptimo incluye la investigación de éstos trueques.

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Junto con la prueba del modelo, el análisis postóptimo incluye la obtención de un conjunto de soluciones que comprende una serie de aproximaciones, cada vez mejores, al curso de acción ideal. Así, las debilidades aparentes de la solución inicial se usan para sugerir mejoras al modelo, a los datos de entrada y quizá al procedimiento de solución. Se obtiene entonces una nueva solución, y el ciclo se repite. Este proceso se repite hasta que las mejoras a soluciones sucesivas sean demasiado pequeñas para justificar su continuación. 3.1.4) Prueba del modelo. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. El proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.

Debido a que se pasa gran tiempo desarrollando los detalles del modelo es sencillo no ver el bosque por buscar los árboles. Entonces, después de completar los detalles de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar las pruebas es observarlo en forma global para verificar los errores u omisiones obvias. Debe asegurarse que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo si se varían los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y se comprueba que los resultados del modelo se comportan de una manera factible. A menudo esto es revelador, en especial cuando se asignan a los parámetros o variables valores extremos cercanos a sus máximos o a sus mínimos.

Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en la realidad ocurrió indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, al emplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.

Por otra parte, la prueba retrospectiva tiene la desventaja de que usa los mismos datos que sirvieron para formular el modelo. Entonces, la pregunta crucial es si el pasado en realidad refleja el futuro. Si no es así, el modelo puede tener un desempeño distinto en el futuro del que hubiera tenido en el pasado.

Para vender esta desventaja de la prueba retrospectiva, a veces es útil continuar con las circunstancias actuales durante una temporada. Esto proporcionará nuevos datos con los que no se contaba cuando se construyó el modelo. Estos datos se pueden empelar de la manera descrita para evaluar el modelo.

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Es importante documentar el proceso usado para las pruebas de la validación

del modelo. Esto ayuda a aumentar la confianza de los usuarios subsecuentes en el modelo. Más aún, si en el futuro surgen preocupaciones sobre el modelo, esta documentación ayudará a diagnosticar en dónde pueden encontrarse los problemas. 3.1.5) Preparación para aplicar el modelo. Si el modelo ha de usarse varias veces, el siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido. Este sistema incluirá el modelo y el procedimiento de solución (que incluye el análisis postóptimo) y los procedimientos operativos para su implantación. Entonces, aun cuando cambie el personal, el sistema puede consultarse periódicamente para proporcionar una solución numérica específica. 3.1.6) Implantación. Una vez desarrollado un sistema para aplicar un modelo, la última etapa de un estudio de IO es implantarlo según lo establecido. Esta etapa es crítica, ya que es en ella, y sólo en ella, donde se cosecharán los beneficios del estudio. Por tanto se debe asegurar que las soluciones del modelo se traduzcan con exactitud en un procedimiento operativo, como para corregir defectos en la solución que surja en este momento.

Durante todo el periodo de uso del sistema, es importante continuar con la obtención de retroalimentación acerca del funcionamiento del sistema y de si las suposiciones todavía se satisfacen. Cuando ocurren desviaciones significativas de las suposiciones originales, el mo0delo se debe revisar para determinar si ha de modificarse. El análisis postóptimo realizado puede ser una guía útil en este proceso de revisión. 3.2) MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Expresado en forma breve, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible. Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas.

La programación lineal (PL) utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo; esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.

Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un problema de programación lineal. Es más, se dispone

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de un procedimiento de solución extraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas lineales, incluso los de gran tamaño.

Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de PL. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Z = valor de la medida global de efectividad. xj = nivel de la actividad j ( para j = 1,2,…,n). cj = incremento en Z obtenido al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j. bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,…,m). aij = cantidad del recurso i consumido para cada unidad de la actividad j.

El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que x1, x2,…, xn se llaman variables de decisión. Como se resume abajo, los valores de cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo. 3.2.1) Forma estándar del modelo. Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir valores de x1, x2,…, xn para

Maximizar Z = c1x1 + c2x2+ … + cnxn, (Función objetivo) Sujeta a las restricciones a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 (restricciones funcionales) a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + … + annxn ≤ bn, y x1≥ 0, x2≥ 0 , …, xn,≥ 0 (restricciones de no negatividad)

Llamamos a esta nuestra forma estándar para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.

Debe hacerse notar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de algunos problemas de PL. Las otras formas legítimas son las siguientes:

1) Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo. 2) Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o

igual. 3) Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación.

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4) Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad. 3.2.2) Terminología para las soluciones del modelo. Alguien ajeno a estas metodologías esta acostumbrado a que el término solución signifique la respuesta final a un problema, pero en PL (y sus extensiones) la convención es bastante distinta. Ahora, cualquier conjunto de valores específicos para las variables de decisión se llama una solución, aunque sea sólo una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Después se identifican los tipos de soluciones usando un adjetivo apropiado.

1) Una solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen.

2) Una solución no factible es una solución para la que al menos una restricción se viola.

La región factible es la colección de todas las soluciones factibles.

Es posible que un problema no tenga soluciones factibles. En el caso de que

existan soluciones factibles, la meta de la PL es encontrar una solución factible que sea la mejor, medida por el valor de la función objetivo en el modelo.

Una solución óptima es una solución factible que proporciona el valor más favorable de la función objetivo.

El valor más favorable significa el valor más grande si la función objetivo debe maximizarse, mientras que es el valor más pequeño si la función objetivo ha de ser minimizada.

La mayoría de los problemas tendrá una solución óptima, sin embargo es posible tener más de una. Cualquier problema que tenga soluciones óptimas múltiples tendrá un número infinito de ellas, todas con el mismo valor de la función objetivo.

Otra posibilidad es que el problema no tenga soluciones óptimas. Esto ocurre sólo si:

1) no tiene soluciones factibles o, 2) las restricciones no impiden que el valor de la función objetivo Z mejore indefinidamente en la dirección favorable (positiva o negativa). Esto último se conoce como el caso de Z no acotada.

Un tipo especial de soluciones factibles que tiene un papel importante cuando

el método simplex busca una solución óptima es una solución factible en un vértice (FEV), esto es, que está en una esquina de la región factible.

La relación entre las soluciones óptimas y las soluciones FEV es si consideramos cualquier problema de PL con soluciones factibles y una región factible acotada. El problema debe poseer soluciones FEV y al menos una solución óptima. Más aún, la mejor solución FEV debe ser una solución óptima. Entonces,

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si un problema tiene exactamente una solución óptima, ésta debe ser una solución FEV. Si el problema tiene múltiples soluciones óptimas, al menos dos deben ser soluciones FEV. 3.2.3) Supuestos en PL. Vale la pena hacer hincapié en ellas para que sea más sencillo evaluar si esta técnica es adecuada para un problema dado.

Proporcionalidad. La proporcionalidad es un supuesto sobre la función objetivo y sobre las restricciones, esto es, la contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de la actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo (FO). De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, como lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, este supuesto elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la FO o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales (RF)) en un modelo de PL.

Aditividad. Aunque el supuesto de proporcionalidad elimina exponentes diferentes de uno, no prohibe los términos de productos cruzados (productos de dos o más variables). Cada función en un modelo de PL (ya se la FO o el lado izquierdo de las RF) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.

Divisibilidad. Se refiere a los valores permitidos para las variables de decisión. Las variables de decisión en un modelo de PL pueden tomar cualquier valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable d decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales.

Certidumbre. Se refiere a los parámetros, es decir, los coeficientes cj en la función objetivo, los coeficientes aij en las restricciones funcionales y los bi en el lado derecho de las restricciones funcionales. Se supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de PL son constantes conocidas. 3.3) SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PL: MÉTODO SIMPLEX

Un procedimiento general para resolver el problema de PL desarrollado por George Dantzing en 1947 de comprobada extraordinaria eficiencia es conocido como el método simplex. Este método es un procedimiento algebraico, sin embargo, sus conceptos fundamentales son geométricos. La comprensión de estos conceptos geométricos proporcionan una fuerte intuición sobre cómo opera el método y qué lo hace tan eficiente. 3.3.1) Esencia del método simplex. Se denomina frontera de restricción a la recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente. Los puntos de intersección son las soluciones en los vértices para el problema. Para un problema de PL con n variables de decisión, cada una de sus soluciones en los

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vértices se encuentra en la intersección de n fronteras de restricción. NOTA: Aunque una solución en un vértice está definida en términos de n fronteras de restricción cuyas intersecciones dan esta solución, también es posible que una o más fronteras adicionales pasen por este mismo punto.

Para cualquier problema de PL con n variables de decisión, dos soluciones FEV son adyacentes entre sí si comparten n-1 fronteras de restricción. Dos soluciones adyacentes están conectadas por un segmento de recta que está en estas mismas fronteras de restricción compartidas. Este segmento de recta recibe el nombre de orilla o arista de la región factible.

Prueba de optimalidad: Considere cualquier problema de PL que posea al menos una solución óptima. Si una solución FEV no tiene soluciones FEV adyacentes que sean mejores según el valor de Z, entonces esa debe ser una solución óptima.

Concepto de solución 1: El método simplex analiza sólo las soluciones FEV. Para cualquier problema con al menos una solución óptima, encontrar una de ellas requiere nada más encontrar la mejor solución FEV. La única restricción es que el problema debe tener soluciones factibles en los vértices. Esto se asegura si la región factible es acotada.

Como el número de soluciones factibles por lo general es infinito, la reducción del número de soluciones que deben examinarse a un pequeño número finito es una enorme simplificación.

Concepto de solución 2: El método simplex es un algoritmo iterativo (procedimiento de solución sistemático que repite una serie de pasos fija, llamada iteración, hasta que se obtiene el resultado deseado) con la siguiente estructura:

Figura 4. Esquema del proceso iterativo de pivoteo.

Inicialización: reparación para comenzar las iteraciones, que

incluye encontrar una solución FEV inicial. Prueba de optimalidad: ¿es óptima la solución FEV actual? Si no Si lo es → Termina ↓ Iteración: realiza una iteración para encontrar una solución

FEV mejor.

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Concepto de solución 3: Siempre que es posible, la inicialización del método simplex elige el origen (todas las variables de decisión iguales a cero) como la solución FEV inicial. Cuando se tienen demasiadas variables de decisión para encontrar una solución FEV inicial en una gráfica, esta elección elimina la necesidad de usar procedimientos algebraicos para obtenerla.

Casi siempre es posible seleccionar el origen cuando todas las variables de decisión tienen restricciones de no negatividad, porque la intersección de estas fronteras de restricción lleva al origen como una solución en un vértice. Entonces, esta solución es una solución FEV a menos que sea no factible porque viola una o más restricciones funcionales.

Concepto de solución 4: Dada una solución FEV, es computacionalmente más rápido reunir información sobre sus soluciones FEV adyacentes que sobre otras soluciones FEV. Por lo tanto, cada vez que el método simplex realiza una iteración para moverse de la solución FEV actual a una mejor, siempre escoge una solución FEV adyacente a la actual. No considera otras soluciones FEV. En consecuencia, toda trayectoria que sigue hasta alcanzar, eventualmente, una solución óptima es a lo largo de las aristas de la región factible.

Concepto de solución 5: Después de identificar la solución FEV actual, el método simplex examina cada una de las aristas de la región factible que salen de esta solución. Estas aristas llevan a una solución FEV adyacente en el otro punto terminal, pero el método simplex ni siquiera se toma la molestia de obtener la solución FEV adyacente. Sólo identifica la tasa de mejoramiento en Z que se obtendría al moverse por esa arista. Entre las aristas con una tasa positiva de mejoramiento en Z, selecciona moverse a aquella con la tasa más grande de mejoramiento en Z. La iteración termina al obtenerse primero la solución FEV al final de esa arista y después reetiqueta esta solución FEV adyacente como la solución FEV actual para pasar a la prueba de optimalidad y si es necesario a la siguiente iteración.

Concepto de solución 6: El concepto describe cómo el método simplex examina cada arista de la región factible que sale de la solución FEV actual. Con este examen de una arista es sencillo identificar la tasa de mejoramiento en Z que se obtendría al moverse por ella hasta la solución FEV adyacente en el otro extremo. Una tasa positiva de mejoramiento en Z implica que la solución FEV adyacente es mejor que la actual, mientras que una tasa negativa de mejoramiento en Z implica que la solución FEV adyacente es peor. Por lo tanto, la prueba de optimalidad consiste simplemente en verificar si alguna de las aristas lleva a una tasa positiva de mejoramiento en Z. Si ninguna lo hace, la solución FEV actual es óptima. 3.3.2) Preparación para el método simplex. El procedimiento algebraico se basa en la solución de sistemas de ecuaciones. Así, el primer paso para preparar el método simplex es convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones de igualdad equivalentes. Las restricciones de no negatividad de dejan como desigualdades porque se manejan por separado. La conversión se logra con la

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introducción de variables de holgura. Si una variable de holgura es igual a cero en la solución actual, entonces esta solución se encuentra sobre la frontera de restricción para la restricción funcional correspondiente. Un valor mayor que cero significa que la solución está en el lado factible de la frontera de restricción, mientras que un valor menor que cero significa que está en el lado no factible de esta frontera. El modelo con variables de holgura se denomina forma aumentada.

Terminología para la forma aumentada: Una solución aumentada es una solución para las variables originales (las variables de decisión) que se aumentó con los valores correspondientes de las variables de holgura.

Una solución básica (BF) es una solución en un vértice de la aumentada. Una solución básica factible es una solución FEV aumentada. La única diferencia entre las soluciones básicas y las soluciones en un vértice es el hecho de que estén incluidos los valores de las variables de holgura. Dada cualquier solución básica, la solución en el vértice correspondiente se obtiene con sólo quitar las variables de holgura. Entonces las relaciones geométricas y algebraicas entre estas dos soluciones son muy estrechas.

Cuando el número de variables menos el número de ecuaciones es igual a p se tienen p grados de libertad al resolver el sistema ya que se pueden elegir variables cualesquiera e igualarlas a cualquier valor arbitrario para resolver las m ecuaciones en términos de las n variables restantes. NOTA: Este método de determinar el número de grados de libertad para un sistema de ecuaciones es válido siempre y cuando el sistema no incluya ecuaciones redundantes. Esta condición siempre se cumple para el sistema de ecuaciones formado por las restricciones funcionales en la forma aumentada de un modelo de PL.

El método simplex usa cero para este valor arbitrario. Así, p de las variables (llamadas variables básicas) se igualan a cero y entonces la solución simultánea de las m ecuaciones para las n variables (llamadas variables básicas) es una solución básica.

Una solución básica tiene las siguientes propiedades: 1) Cada variable se designa ya sea como variable básica o como variable no

básica. 2) El número de variables básicas es igual al número de restricciones

funcionales (ahora ecuaciones). Por lo tanto, el número de variables no básicas es igual al número total de variables menos el número de restricciones funcionales.

3) Las variables no básicas se igualan a cero. 4) Los valores de las variables básicas se obtienen como la solución simultánea

del sistema de ecuaciones (restricciones funcionales en la forma aumentada). 5) Si las variables básicas satisfacen las restricciones de no negatividad, la

solución básica es una solución BF.

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3.3.3) Álgebra del método simplex. Como una manera de ejemplificar el procedimiento de pivoteo suponga que se tiene el siguiente sistema a optimizar:

053500

385007010480048

21

51

421

321

=++−=+

=++=++

xxZxx

xxxxxx

que en formato tableau queda: Tableau 1. Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X3 8 4 1 0 0 4800 X4 10 70 0 1 0 38500 X5 1 0 0 0 1 500 Z 3 5 0 0 0 0

Paso 1: Prueba de optimalidad Para ejecutar el método simplex en formato tableau, debemos revisar cada

tableau, representando el problema en forma canónica, para determinar cuando la solución es encontrada. Examinando la función objetivo, el último renglón del tableau, vemos que dos variables tienen coeficientes positivos. La prueba de optimalidad asegura que tan grande como al menos una variable tiene un coeficiente en la FO, no hemos alcanzado aún la solución óptima. Por lo tanto, deberíamos entrar a la base una de esas variables.

Paso 2: Escogiendo la columna pivote Ahora debemos seleccionar la variable entrante. Esta será la que tenga el

coeficiente positivo más grande en la FO. En el tableau, la columna en la cual esta variable aparece es conocida como columna pivote. Tableau 2. Columna pivote Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X3 8 4 1 0 0 4800 X4 10 70 0 1 0 38500 X5 1 0 0 0 1 500 Z 3 5 0 0 0 0

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Paso 3. Escogiendo el renglón pivote Ahora debemos determinar cual restricción es la más limitada en incrementar

la variable entrante. Usando el criterio de la razón (tasa), identificamos el renglón con la tasa mínima en la columna más a la derecha para el valor en la columna pivote. Esta prueba necesita ser hecha solamente con el renglón donde el valor en la columna pivote es el más grande que cero. Si el valor del punto en la columna pivote es negativo o cero, será impuestos no límite a la variable entrante para esa restricción- Si todos los coeficientes son so positivos, entonces esa variable puede ser establecida a algún nivel positivo sin causar infactibilidad. Entonces la FO puede ser incrementada indefinidamente, el problema es no acotado. Por otro lado, el renglón con la tasa más pequeña se convierte en el renglón pivote. En el ejemplo, la razón es 4800/4=1200 para el primer renglón, 38500/70=550 para el segundo y no es aplicable para el tercero (como la columna pivote entrante es cero, 500/0). Luego, el renglón 2 es el renglón pivote. Tableau 3. columna pivote Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X3 8 4 1 0 0 4800 X4 10 70 0 1 0 38500

renglón pivote

X5 1 0 0 0 1 500 Z 3 5 0 0 0 0

La intersección de la columna y el renglón pivote es llamada el número pivote,

o simplemente pivote.

Paso 4. Ejecutando el primer pivoteo Este paso es equivalente a la substracción matemática. Sin embargo, el

algoritmo simplex en forma de tableau usa una técnica más abstracta involucrando operaciones elementales por renglón. Para comenzar las operaciones elementales del renglón, primero, establecemos todo valor en el renglón pivote por el número pivote. En el ejemplo este es 70. Dividiendo todos los valores produce una ecuación equivalente en la cual se remplaza el viejo renglón pivote: 10/70 70/70 0/70 1/70 0/70 38500/70 ó 1/7 1 0 1/70 0 550

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Ahora, obtenemos una nueva forma canónica en la cual todas las entradas en la columna X2 (incluyendo el renglón de la FO) son cero excepto por el +1 entrante en el renglón pivote, sustrayendo un múltiplo del nuevo renglón pivote de cada uno de los otros renglones; el múltiplo es escogido para ser el número el cual causará ceros en cada una de las otras entradas de la columna pivote. Para producir un coeficiente cero en la columna pivote del renglón 1, multiplicamos cada una de las entradas en el nuevo renglón pivote por 4 y restamos ese valor del renglón 1. X1 X2 X3 X4 X5 Renglón 1 original

8 4 1 0 0 4800

-4 x nuevo renglón pivote

-4/7 -4 0 -4/70 0 -4 x 550 = -2200

Nuevo renglón 1

52/7 0 1 -4/70 0 2600

Análogamente para los otros renglones: Tableau 4. Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X3 52/7 0 1 -4/70 0 2600 X2 1/7 1 0 1/70 0 550 X5 1 0 0 0 0 500 Z 16/7 0 0 -5/70 0 -2750

Note que X2 ha entrado en la base y remplazado a x4. Rearreglando términos

vemos que es exactamente el mismo resultado después de la primera iteración usando substracción algebraica.

Aquí termina la primera iteración del método simplex, y retornando al paso 1

revisamos si tenemos o no una solución óptima. Refiriéndonos al último renglón del tableau 2 vemos que la primera columna aun tiene un valor positivo. Entonces, esta variable x1 debería entrar a la base. La columna 1 será la nueva columna pivote. Luego, usando el criterio de la razón sobre cada una de los renglones restricción 1, 2 y 3, calculamos las tasas: 350, 3850 y 500, respectivamente. Por lo que el renglón 1 llega a ser el nuevo pivote.

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Tableau 2 2ª iteración. Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X3 52/7 0 1 -4/70 0 2600 X2 1/7 1 0 1/70 0 550 X5 1 0 0 0 0 500 Z 16/7 0 0 -5/70 0 -2750

Para transformar este tableau a una forma equivalente con 1 como el número pivote, dividimos cada entrada del renglón 1 por 52/7. Esta operación genera el nuevo renglón pivote. Luego, para obtener una entrada cero en la columna pivote del renglón 2, multiplicamos cada entrada del nuevo renglón pivote por 1/7 y restamos esta del segundo renglón. Para obtener una entrada cero para la columna pivote en el renglón 3, simplemente restamos el nuevo renglón pivote por éste. Finalmente, multiplicamos el nuevo renglón pivote por 16/7 y substraemos el renglon3 del el renglón final para completar el tercer tableau. Tableau 3 2ª iteración. Variables básicas

X1 X2 X3 X4 X5 RHS

X1 1 0 7/52 -1/130 0 350 X2 0 1 -1/52 12/910 0 500 X5 0 0 -7/52 -1/130 1 150 Z 0 0 -16/52 -81/910 0 -3550

Habiendo terminado la segunda iteración, retomamos el paso 1 hacemos la

prueba de optimalidad. Como todos los coeficientes en el último renglón son negativos, introduciendo algunas de las variables no básicas en la base solamente reducirá el valor de la función objetivo. De aquí, hemos encontrado la solución óptima. X3 y x4 son las únicas variables con coeficientes distintos de 0 y 1, no están en la base en la solución óptima y de aquí son 0, los valores solución para las variables básicas pueden ser leídos directamente de la columna más a la derecha: x1 = 350, x2 = 500 y x3 = 150. Debido a que la FO se expresó como –Z + 3x1 + 5x2 = 0 en el tableau, el valor -3550 implica +3550 como el valor final para Z, la FO.

63

Figura 5. Algoritmo simplex. Diagrama de flujo para llevar a cabo la búsqueda de soluciones óptimas para un problema de PL. 3.3.4) Rompimiento de empates en el método simplex. Qué hacer cuando las reglas de selección del método simplex no llevan a una decisión clara, ya sea porque hay empates (valores iguales) o por otras ambigüedades parecidas.

Empate para la variable básica entrante. El paso 1 de cada iteración elige la variable no básica que tiene el coeficiente negativo con el mayor valor absoluto

Genere una solución factible inicial y el sistema de ecuaciones canónico inicial

¿Son todos los coeficientes de la función objetivo negativos?

Escoja una variable Xs que tenga un coeficiente en la función objetivo positivo. Xs es la variable entrante a la base.

¿Es algún coeficiente de Xs en alguna restricción positivo?

Use el criterio de la razón (tasa) en todos los coeficientes positivos de Xs en las restricciones para determinar el renglón límite

Pivotee sobre el renglón r, columna s entrante para generar el nuevo punto solución vértice y la nueva base, nueva forma canónica

salir

El problema es no acotado

No se puede

Solución no

factible no sí

sí no

La solución básica factible actual es óptima

64

actual como variable básica entrante. Ahora suponga que dos o más variables no básicas tienen el coeficiente negativo más grande (en valor absoluto), es decir, que hay un empate ¿cómo debe romperse este empate?

La respuesta es que se puede elegir entre estos dos contendientes de manera arbitraria. Tarde o temprano se llegará a la solución óptima, sin importar cual de las variables empatadas se haya escogido, y no existe un método conveniente para predecir cuál lleva ahí con mayor rapidez.

Empate para la variable básica que sale: degeneración. Suponga que el empate ocurre entre dos o más variables básicas al elegir la variable que sale en el paso 2 de una iteración. ¿Importa cuál se escoge? En teoría, sí, y en una forma crítica debido a que puede ocurrir la siguiente sucesión de eventos. Primero, todas las variables empatadas se hacen cero al mismo tiempo cuando aumenta el valor de la variable entrante. Por lo tanto, aquellas que no se eligieron como variable básica que sale también tendrán un valor de cero en la nueva solución BF. Las variables básicas con valor de cero se llaman degeneradas y el mismo nombre se da a la solución BF correspondiente. Segundo, si una de estas variables básicas degeneradas sigue con valor de cero hasta que se selecciona como variable básica que sale de una iteración posterior, la variable básica entrante deberá también quedar con valor de cero ya que no puede crecer sin que la variable básica que sale se vuelva negativa, entonces el valor de Z quedará sin cambio. Tercero, si Z permanece igual en lugar de mejorar cada iteración, el método simplex puede caer en un ciclo que repite la misma secuencia de soluciones en forma periódica, en lugar de aumentar en algún momento para llegar a la solución óptima. Aunque en teoría hay ciclos perpetuos muy rara vez han ocurrido en problemas reales. Si ocurriera un ciclo siempre se puede salir de él cambiando la elección de la variable básica que sale. Aún más, se han construido reglas especiales para romper empates que siempre evitan los ciclos. Sin embargo, estas reglas con frecuencia se ignoran en las aplicaciones reales. Para propósitos prácticos, se recomienda romper los empates de modo arbitrario y seguir el proceso sin preocuparse de las variables degeneradas que puedan resultar.

Cuando no hay variable básica que sale: Z no acotada. Existe otra posibilidad en el paso 2 de una iteración, de la que no se ha hablado: aquella en donde ninguna variable califica como variable básica que sale. NOTA: Observe que el caso análogo, sin variable básica entrante, no puede ocurrir en el paso 1 de una iteración porque la prueba de optimalidad detendría el algoritmo antes, lo que indica que se ha alcanzado una solución óptima. Esta situación puede ocurrir si la variable básica entrante puede crecer indefinidamente sin que ninguna de las variables básicas actuales adquiera valores negativos. Es la forma tableau significa que todos los coeficientes en la columna pivote (se excluye el renglón de la FO) son negativos o cero. El mensaje real en la práctica es que se ha cometido un error, ya sea omitiendo una restricción relevante o por haberla establecido de modo incorrecto.

Soluciones óptimas múltiples. En general, cualquier promedio ponderado de dos o más soluciones donde los pesos son no negativos y suman 1 se llama

65

combinación convexa de estas soluciones. Cualquier problema de PL con soluciones óptimas múltiples (y una región factible acotada) tiene al menos dos soluciones FEV que son óptimas. Toda solución óptima es una combinación lineal de estas soluciones FEV óptimas. En consecuencia, en la forma aumentada, toda solución óptima es una combinación convexa de las soluciones BF óptimas.

El método simplex se detiene en forma automática al encontrar una solución BF óptima. Una vez encontrada dicha solución se puede detectar si existen otras y, si es así, se encuentran como sigue: Siempre que un problema tiene más de una solución BF óptima, al menos una variable no básica tiene coeficiente cero en el renglón final, de manera que si aumenta su valor, el valor de la función Z no cambia. Por lo tanto, estas otras soluciones BF óptimas se pueden identificar realizando iteraciones adicionales del método simplex en las que cada vez se elige una variable no básica con coeficiente cero como variable básica entrante. 3.4) ANÁLISIS POSTÓPTIMO

Es el análisis que se hace después de obtener una solución óptima para la versión inicial del modelo. Constituye una parte muy importante de casi todos los estudios de IO. Este hecho es particularmente cierto para las aplicaciones comunes de PL. La siguiente tabla resume los pasos que deben seguirse en un análisis postóptimo en estudios de PL. La última columna de ésta tabla identifica algunas técnicas que emplean el método simplex.

Tarea Propósito Técnica Extracción de errores del modelo

Encontrar errores y debilidades del modelo

Reoptimización

Validación del modelo Demostrar la validez del modelo final

Proceso de modelado

Decisión general final sobre asignación de recursos (valores de bi)

Efectuar una división apropiada de los recursos de la organización entre las actividades bajo estudio y otras actividades importantes

Precios sombra

Evaluación de las estimaciones de los parámetros del modelo

Determinar las estimaciones cruciales que pueden afectar la solución óptima de un estudio más amplio

Análisis de sensibilidad

Evaluación de trueques entre los parámetros del modelo

Determinar el mejor trueque Programación lineal paramétrica

Tabla 2 Análisis postóptimo para programación lineal. 3.4.1) Reoptimización. Los modelos de PL que surgen en la práctica casi siempre son muy grandes, con cientos o miles de restricciones funcionales y variables de decisión. En estos casos, puede ser de interés muchas variaciones del modelo básico que consideran diferentes escenarios. Por lo tanto, después de encontrar una

66

solución óptima para una versión de un modelo de PL, debe resolverse el problema de nuevo para una versión ligeramente diferente. Casi siempre se deben resolver varias veces durante la etapa de extracción de errores del modelo y, por lo general, se hace lo mismo un gran número de veces durante las etapas de análisis postóptimo.

Una manera de hacerlo es sencillamente aplicar el método simplex desde el principio a cada nueva versión del modelo, aunque cada corrida pueda requerir, en problemas grandes, cientos o miles de iteraciones. Sin embargo, una forma mucho más eficiente es la de reoptimizar. La reoptimización deduce los cambios que deben introducirse al tableau final. Este tableau simplex revisado y la solución óptima del modelo anterior se usan como el tableau inicial y la solución básica inicial para resolver el nuevo modelo. Si esta solución es factible para el nuevo modelo, se aplica el método simplex en la forma usual, a partir de esta solución BF inicial. Si la solución no es factible, tal vez se pueda aplicar un algoritmo similar llamado método simplex dual para encontrar la nueva solución óptima, comenzando con esta solución básica inicial.

La gran ventaja de la técnica de reoptimización sobre el hecho de volver a resolver el problema desde el principio, es que quizá la solución óptima para el problema revisado esté mucho más cerca de la solución óptima anterior que de una solución BF inicial construida como siempre para el método simplex. Así, si se supone que las revisiones del modelo son moderadas, se requerirán sólo unas cuantas iteraciones para reoptimizar en lugar de cientos o miles que puedan realizarse al comenzar desde el principio. De hecho, las soluciones del modelo anterior y del revisado con frecuencia son las mismas, en cuyo caso, la técnica de reoptimización requiere sólo una aplicación de la prueba de optimalidad y ninguna iteración. 3.4.2) Precios sombra. Los problemas de PL con frecuencia se pueden interpretar como la asignación de recursos a las actividades. En particular, cuando las restricciones funcionales son de la forma ≤, las bi (los lados derechos) se interpretaron como las cantidad de los respectivos recursos disponibles para las actividades bajo estudio. En muchos casos, puede haber dudas respecto a las cantidades que estarán disponibles. Si así es, los valores bi que se usan en el modelo inicial (validado), en realidad pueden representar una decisión inicial tentativa sobre la cantidad de recursos que se asignarán a las actividades consideradas en el modelo y no a otras. Desde esta perspectiva más amplia, algunos valores de bi se pueden incrementar en un modelo revisado, pero sólo cuando se presenten razones poderosas en cuanto a que esta revisión será benéfica.

En consecuencia, la información sobre la contribución económica de los recursos a la medida de desempeño (Z) para el estudio en curso casi siempre será útil en extremo. El método simplex proporciona esta información en forma de precios sombra para los recursos respectivos.

67

Los precios sombra para el recurso i miden el valor marginal de este recurso,

es decir, la tasa a la que Z puede aumentar si se incrementa (un poco) la cantidad que se proporciona de este recurso (bi). NOTA: El incremento en bi debe ser suficientemente pequeño para que el conjunto actual de variables básicas siga siendo óptimo, ya que esta tasa (el valor marginal) cambia si el conjunto de variables básicas cambia. En caso de una restricción funcional de la forma ≥ o =, su precio sombra se define de nuevo como la tasa a la que puede aumentar Z al incrementar (un poco) el valor de bi, aunque la interpretación usual de bi ahora sería algo diferente a la cantidad de recursos disponibles.

El método simplex identifica este precio sombra como el coeficiente de la i-ésima variable de holgura en el renglón de la FO en el tableau final.

El tipo de información que proporcionan los precios sombra es valiosa para la gerencia cuando examina la posibilidad de reasignar recursos. También resulta muy útil cuando un aumento en bi se puede lograr con sólo salir a comprar un poco más del recurso. Por ejemplo, suponga que Z representa ganancias y que las ganancias unitarias de las actividades (los valores de cj) incluyen los costos (a precios normales) de todos los recursos que se consumen. Entonces, un precio sombra positivo para el recurso i significa que la ganancia total Z se puede aumentar en esa cantidad comprando una unidad más de este recurso a su precio normal. Asimismo, si se tiene que pagar un precio mayor al nominal por la cantidad adicional del recurso, el precio sombra representará el precio máximo (cantidad adicional sobre el precio normal) que vale la pena pagar. NOTA: Si las ganancias unitarias no incluyen los costos de los recursos consumidos, entonces los precios sombra representan el precio total unitario máximo que valdría la pena pagar para aumentar bi. 3.4.3) Análisis de sensibilidad. Cuando se analizó el supuesto de certidumbre para la PL se hizo notar que los valores usados para los parámetros del modelo (las aij, bi y cj) casi siempre son sólo estimaciones de las cantidades cuyos verdaderos valores no se conocerán hasta que el estudio de PL se lleve a la práctica en el futuro. El propósito principal del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles (esto es, aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solución óptima). Los parámetros sensibles son los parámetros que será necesario controlar muy de cerca conforma el estudio se ponga en práctica. Si se descubre que el valor verdadero de un parámetro sensitivo difiere de su valor estimado en el modelo, esto da la señal inmediata de que la solución debe cambiar.

¿Cómo se identifican los parámetros sensibles? En el caso de las bi esta información está dada por los precios sombra que proporciona el método simplex. En particular, si el precio sombra i es positivo, entonces la solución óptima cambia si bi lo hace, por lo que bi es un parámetro sensible. Sin embargo, si el precio sombra es igual a cero indica que la solución óptima no es sensible al menos a cambios pequeños en bi. En consecuencia, si el valor que se usa para bi es una estimación de la cantidad de recurso que se tendrá disponible, los valores de bi que se deben

68

controlar con más cuidado son aquellos con precio sombra positivo, en especial los que tienen valor grande.

Es común que se preste más atención al análisis de sensibilidad sobre los parámetros bi y cj que sobre los aij. En los problemas reales el efecto de cambiar una aij por lo general es despreciable para problemas con cientos de restricciones, mientras que el cambio en el valor de una bi o una cj puede tener un impacto real. Aún más, en muchos casos, los valores de las aij quedan determinados por la tecnología que se está usando (a veces se les da el nombre de coeficientes tecnológicos) por lo que puede que haya muy poca (o ninguna) incertidumbre respecto a sus valores finales. Esto resulta ventajoso ya que existen muchos más parámetros aij que bi y cj en problemas grandes. 3.4.4) Programación lineal paramétrica. El análisis de sensibilidad requiere el cambio de un parámetro a la vez en el modelo original para examinar su efecto sobre la solución óptima. Por el contrario, la PL paramétrica se refiere al estudio sistemático de los cambios en la solución óptima cuando cambia el valor de muchos parámetros al mismo tiempo, dentro de un intervalo. Este estudio proporciona una extensión muy útil al análisis de sensibilidad; por ejemplo, se puede verificar el efecto de cambios simultáneos en parámetros “correlacionados”, causados por factores exógenos tales como el estado de la economía. Sin embargo, una aplicación más importante es la investigación de los trueques entre los valores de los parámetros. Por ejemplo, si los valores de cj representan la ganancia unitaria de las actividades respectivas, es posible aumentar el valor de alguna cj a costa de disminuir el de otras mediante un intercambio apropiado entre las actividades. De manera parecida, si los valores de bi representan las cantidades disponibles de los respectivos recursos, es posible aumentar alguna bi si se está de acuerdo en disminuir algunas otras.

En algunos casos, el propósito del estudio es determinar el trueque más apropiado entre dos factores básicos como costos y beneficios. La forma usual de hacerlo es expresar uno de estos factores en la FO (como minimizar el costo total) e incorporar el orto a las restricciones (por ejemplo, beneficio ≥ nivel mínimo aceptable). La PL paramétrica permite entonces la investigación sistemática de lo que ocurre cuando se cambia una decisión inicial tentativa sobre los trueques (como el nivel mínimo aceptable para los beneficios) a fin de mejorar un factor a costa de otro. La técnica algorítmica para la PL paramétrica es una extensión natural del análisis de sensibilidad, por lo que también está basada en el método simplex. 3.5) MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Consideremos el problema de encontrar los valores extremos de la función

, , , … … … … … … … … … … … … … … … . 3.1 en la cual las variables x, y, z están restringidas por la relación

69

, , , 0 , , , 0 … … … … . 3.2 Suponga que en la vecindad de un punto P0(x0,y0,u0,v0) donde f tiene un extremo, las funciones f, φ1, φ2, tienen primeras derivadas continuas y se cumplen las condiciones (3.2). Suponga que el Jacobiano

, 0 … … … … … … … . . 3.3

Tal que (3.2) puede ser resuelta para u y v como funciones de x y y en la vecindad de (x0,y0).

Si w sobre los valores extremos ciertos valores de (x,y,u,v), entonces para tales valores

0 … … … … … … 3.4

También deben cumplirse

0

0

Multiplicamos la primera de éstas por λ1 y la segunda por λ2. Agregando el resultado a (3.4), obteniéndose:

0 … … … … … … … 3.5

70

Como en los puntos extremos se cumple (3.3), podemos encontrar los valores de λ1 y λ2 tales que

0 0 … … . . 3.6 y (3.5) reduce a la suma de dos términos involucrando arbitrariamente las diferenciales dx y dy. El hecho de que son arbitrarias lleva a

0 0 … … . 3.7

El sistema de ecuaciones (3.6), (3.7) y (3.2) resuelve para los parámetros λ1 y λ2 y el punto (x,y,u,v) en el cual el punto extremo se satisface. Este procedimiento pude ser extendido para varias variables con la siguiente regla: REGLA: Con el fin de determinar los valores extremos de una función continuamente diferenciable

x , x , … , x … … … … … … … … … … … … … … . 3.8 Donde las variables están sujetas a m relaciones de restricción continuamente diferenciables

x , x , … , x 0, 1,2, … , … … … … … … . . … . 3.9 Construyendo la función

F λ φ

Determine los parámetros λi y los valores de x , x , … , x de las n ecuaciones

0, 1,2, … , … … … … … … … … … … … … … . . . 3.10

y las m ecuaciones (3.9). Recuerde que la existencia de la solución depende de que el jacobiano no sea nulo.

CAPIT

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Figura 4.1) D

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2

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cantidla __cantilas __

canlaes __entalplaes __

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71

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n las notar nar y

s del mas.

acerode __

72

renpresentesdeXcomponentedelfracciónlaf js

rX j_________,,

renpresentesdeXcomponentedelKgencantidadlaX js

rX j________,___,,

Restricción para el C:

)1.4......(................................................................................3

0

2,2,1,1,,,

2,2,1,1,,,

≤−+

++++++

≥−+

++++++

∑∑∑

∑∑∑

Cacero

Cacero

Cpa

Ccoque

Ccoque

CCO

CCO

CFeMn

CFeMn

X

CscrX

CscrX

X

CscrX

CscrX

X

CDRIX

CDRIX

Cacero

Cacero

Cpar

Ccoque

Ccoque

CCO

CCO

CFeMn

CFeMn

X

CscrX

CscrX

X

CscrX

CscrX

X

CDRIX

CDRIX

XfE

XfXfXfXfXfXf

XfE

XfXfXfXfXfXf

j

jj

j

jj

j

jj

j

jj

j

jj

j

jj

Restricción para el Fe (balance de Fe):

)2.4......(..............................................................................................................0

2211,,

=−−

+−−−++ ∑FeFeMn

FeFeMn

FeFeSi

FeFeSi

Fescr

Fescr

Fescr

Fescr

X

FeDRIX

FeDRIX

Fefume

Fefume

Feslag

Feslag

Feacero

Feacero

XfXf

XfXfXfXfXfXfj

jj

Restricción para el O2 (balance de O2):

)3.4......(..............................................................................................................

0222222222,,,, =−+−+ ∑∑ O

inyOCO

OCO

X

ODRIX

ODRIX

Ofume

Ofume

X

OslagX

OslagX EXfXfXfXf

j

jj

j

jj

Debe haber equilibrio para los aditivos:

Restricción para el CaO (balance de CaO):

)4.4......(..............................................................................................................

0=−− CaOCaOCaODRI

CaODRI

CaOslag

CaOslag XfXfXf

Restricción para el MgO (balance de MgO):

)5.4......(..............................................................................................................

0=−− MgOMgOMgODRI

MgODRI

MgOslag

MgOslag XfXfXf

73

Restricción sobre azufre:

)6.4......(..............................................................................................................

02211 ≤−−−−+ Scoque

Scoque

Sscr

Sscr

Sscr

Sscr

SDRI

SDRI

Sslag

Sslag

Sacero

Sacero XfXfXfXfXfXf

También para los ferroaleantes:

Restricción para Al + Si (balance Al + Si):

)7.4......(..............................................................................................................

0,

,

,2,

,2

,1,

,1

,,

,,

=−−

−−+++

∑

∑∑SiFeSi

SiFeSi

X

AlSiscrX

AlSiscrX

X

AlSiscrX

AlSiscrX

X

AlSiDRIX

AlSiDRIX

Alslag

ALslag

Sislag

Sislag

Alacero

Alacero

Siacero

Siacero

XfXf

XfXfXfXfXfXf

j

jj

j

jj

j

jj

Restricción para el FeSi y FeMn (balance de FeSi+FeMn):

)8.4......(..............................................................................................................0≥−−++ FeSiFeSiFeMnFeMn

Mnacero

Mnacero

Siacero

Siacero

Feacero

Feacero XfXfXfXfXf

Como ya se mencionó, la composición de las materias primas es determinante: Restricción sobre la masa del DRI: ∑ ≤

j

jjX

DRIXDRIX aXf )9.4.......(......................................................................cot,,

Restricción sobre la masa del scrap1: ∑ ≤

j

jjX

scrXscrX aXf )10.4.......(......................................................................cot1,1,

Restricción sobre la masa del scrap2: ∑ ≤

j

jjX

scrXscrX aXf )11.4.......(......................................................................cot2,2,

74

Restricción sobre impurezas:

)12.4......(..............................................................................................................02211 =−−− imp

scrimp

scrimpscr

impscr

impDRI

impDRI

impacero

impacero XfXfXfXf

Y cotas para los energéticos:

)13.4.....(..............................................................................................................inf_cotsup_cot

erioraEeerioraEe

≥≤

)14.4.....(..............................................................................................................

inf_cot

sup_cot

2

2

erioraE

erioraE

O

O

≥

≤

)15.4.....(..............................................................................................................

inf_cot

sup_cot

erioraE

erioraECpart

Cpart

≥

≤

Restricción balance de masas:

)16.4(........................................................................................................................

2

2211

∑

∑∑∑∑

=++++++

+++++++

j

jj

j

jj

j

jj

j

jj

j

jj

X

Xacero

Xacero

CparOMgOMgOCaOCaO

Scoque

Scoque

Ccoque

Ccoque

COCOCFeMn

CFeMnFeSiFeSi

X

Xslag

Xslag

X

Xscr

Xscr

X

Xscr

Xscr

X

XDRI

XDRI

XfEEXfXfXfXf

XfXfXfXfXfXfXf

Restricción Balance de energía:

47

))(1(00

XEeEe

HEeHHH

HHH

TT

sexotermicaeTperdidas

sexotermica

asendotermic

exotermicaasendotermicreacciones

εε

εε

=→

Δ−−=Δ≤Δ≥Δ

Δ−Δ=Δ

)17.4.....(..............................................................................................................

00)2(

2,1,,

2,1,,2,1,,2,1,,2,1,,

212

aHH

HHHHHEeHHHH

EeHH

HHHHHHHH

impurezasscrscrDRIMn

scrscrDRISiscrscrDRISscrscrDRICscrscrDRIFeacero

eTslagCOfumeacero

eTsexotermicaTasendotermic

FeMnFeSiMgOCaOcoquescrscrDRICO

Δ+Δ+

+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ

=−Δ+Δ+Δ+Δ=−Δ+−+Δ+

+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ ++

εεεεε

75

Se utilizará la ecuación (4.17 a) de arriba en vez de la propuesta por Gordon H. Geiger[17] (4.17 b), ya que la suya rompe el esquema de equilibrio al suponer que las suma de las energías térmicas y eléctrica es la que produce el acero en el DRI. La lógica del nuestro es que la energía entrante al sistema (eléctrica) se transforma en térmica, no se superpone, se transforma, por lo que la energía total no es la suma sino una igualdad entre la energía eléctrica con la energía térmica y las pérdidas. Además, al estimarla y no tomar en cuenta las aportaciones de los otros componentes sería una cota inferior no una igualdad. La energía eléctrica no entraría sumando, sino restando, y en consecuencia habría que ajustar la cota de la diferencia.

)17.4.....(..............................................................................................................

212

bHEeH

HHHHHHHHH

aceropérdidas

reaccionesFeMnFeSiMgOCaOcoquescrscrDRICO

Δ=+Δ+

Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ+Δ ++

Para calcular las entalpías se consideraron las siguientes reacciones: En calorías 

Cálculos excel Moléculas completas 

(-2+εT)*∆Hexo Kcal

ΔH(FeODRI→Fe+1/2O2)= 60971.51 121943.0173 121.9430173 

ΔH(Fe3CDRI→3Fe+C)= ‐1951.55 ‐1951.549714 2.283313166 

ΔH(CaO+SiO2+Al2O3→Ca+2Al+Si+3O2)= 780538 780538.0143 780.5380143 

ΔH(Si+O2→SiO2)= ‐226818 ‐226818.4587 265.3775967 

ΔH(C+1/2O2→CO)= ‐28301.3 ‐56602.59147 66.22503202 

ΔH(Fe+1/2O2→FeO)= ‐60971.5 ‐121943.0173 142.6733303 

ΔH(Cgrafito→C)= 906.804 906.804 0.906804 

ΔH(FeSi→Fe+Si)= 34109.08 34109.08433 34.10908433 

ΔH(FeMn→Fe+Mn)= 1358.437 1358.437123 1.358437123 

ΔH(MgO+SiO2+Al2O3→Mg+2Al+Si+3O2)= 0 0 0 

ΔH(2Al+3/2O2→Al2O3)= ‐421636 ‐843271.9249 986.6281522 

ΔH(Ca+1/2O2→CaO)= ‐151653 ‐303306.9906 354.869179 

ΔH(Mg+1/2O2→MgO)= 0 0 0 

ΔH(Fe3C+FeO→4Fe+CO)= 30718.66 30718.66321 30.71866321 

ΔH(CaO+MgO+SiO2+Al2O3→Ca+Mg+2Al+Si+7/2O2)= 0 0 0 

ΔH(FeO+C→Fe+CO)= 32670.21 32670.21293 32.67021293 

ΔH(Si+2FeO→SiO2+2Fe)= ‐104875 ‐104875.4414 122.7042664 

Tabla 3. Entalpías de reacciones para el ejemplo prototipo. En nuestro ejemplo prototipo el MgO no está presente. Todo lo anterior se debe acoplar con la función objetivo.

76

4.2) DETERMINACIÓN DE FUNCIÓN OBJETIVO Esta función es la liga entre las variables de las restricciones y el mundo

económico, ya que generalmente evalúa aspectos financieros o contables. En nuestro caso la función conveniente, dado que se está expresando la composición del acero a obtener como variables de entrada, es la de beneficios y no la de costos (que sólo considera explícitamente las variables asociadas a las materias primas y del proceso). Este ha sido el precio que se ha pagado al querer forzar la optimización a obtener a partir de la composición de las materias primar el acero deseado bajo la restricción del consumo energético.

)18.4......(............................................................2

21

CpartOcoquecoque

j j j j j

Xferroalj

Xaditj

Xscrj

Xscrj

XDRIj

j

Xaceroj

EEEeXc

XcXcXcXcXcXc jjjjjj

−−−−

+−−−−−∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑

4.3) DETERMINACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Haciendo el desglose explícito de las ecuaciones de la sección 4.1 y habiendo establecido las reacciones en el proceso de fabricación del acero prototipo: Sean Tabla 4 (inicio) x0 fume  FeO en gas producto final  x33,slag SiO2  SiO2 en el slag x1,acero C  C en el acero  x35,slag CaO   CaO en el slag x2,acero Si  Si en el acero   x52,slag MgO   MgO en el slag x3,acero Mn  Mn en el acero   x36,slag S  S en el slag x4, acero S  S en el acero   x37,slag Al2O3  Al2O3 en el slag x5, acero Fe  Fe en el acero   x39,coque S  S en el coque x6, acero imp  impurezas en el acero   x40,coque C  C en el coque x7, DRI imp  Impurezas en el DRI  x41,FeSi  Cantidad de FeSi x8,DRI FeO  FeO en el DRI  x43, C en FeMn  C en el FeMn x10,DRI Fe3C  Fe3O en el DRI  x44, FeMn  cantidad de FeMn 

x12, DRI CaO   CaO en el DRI  x46, CaO cantidad de CaO adicionada 

x51,DRI MgO   MgO en el DRI  x53, MgO cantidad de MgO adicionada 

x13,DRI Fe   Fe en el DRI  x50,CO  CO residuo del proceso 

x14,DRI SiO2  SiO2 en el DRI  x47,Ee Cantidad de energía eléctrica en KWh 

x16,DRI Al2O3  Al2O3 en el DRI  x48,Eo2 Cantidad de oxígeno inyectado neto 

x18,DRI S  S en el DRI  x49,Ecpart  Cantidad de partículas 

77

de C inyectadas x19,scr1 imp  Impurezas en el scrap1  x33,slag SiO2  SiO2 en el slag x20,scr1 C  C en el scrap1  x35,slag CaO   CaO en el slag x21,scr1 Si  Si en el scrap1  x52,slag MgO   MgO en el slag x22,scr1 Mn  Mn en el scrap1  x36,slag S  S en el slag x23,scr1 S  S en el scrap1  x37,slag Al2O3  Al2O3 en el slag x24,scr1 Fe  Fe en el scrap1  x39,coque S  S en el coque x25,scr2 imp  Impurezas en el scrap2  x40,coque C  C en el coque x26,scr2 C  C en el scrap2  x41,FeSi  Cantidad de FeSi x27,scr2 Si  Si en el scrap2  x43, C en FeMn  C en el FeMn x28,scr2 Mn  Mn en el scrap2  x44, FeMn  cantidad de FeMn 

x29,scr2 S  S en el scrap2  x46, CaO cantidad de CaO adicionada 

x30,scr2 Fe  Fe en el scrap2  x53, MgO cantidad de MgO adicionada 

x31,slag FeO  FeO en el slag  x50,CO  CO residuo del proceso  Tabla 4. Variables de decisión para el problema prototipo con la codificación de la prueba de consistencia. Variables de decisión que estarán relacionadas entre sí por las restricciones lineales siguientes: Restricción sobre impurezas:

)19.4......(..............................................................................................................00040.00030.00010.01 251976 =−−− XXXX

Restricción sobre carbono:

)20.4....(..........................................................................................311

0040.09940.00010.00040.00033.002505.0011

0040.09940.00010.00040.00033.002505.0

149

50432620108

149

50432620108

≤−+

+++++++≥−+

+++++++

XX

XXXXXXXXX

XXXXXXX

coque

coque

78

Restricción sobre la masa del scrap1:

)21.4....(..............................................................................................................000000

5.0cot9858.00002.00050.00020.00040.00030.0

24

23

22

21

20

19

242322212019

≥≥≥≥≥≥

=≤+++++

XXXXXX

aXXXXXX

Restricción sobre la masa del scrap2:

)22.4....(..............................................................................................................000000

5.0cot9872.00003.00050.00025.00010.00040.0

24

23

22

21

20

19

302928272625

≥≥≥≥≥≥

=≤+++++

XXXXXX

aXXXXXX

Restricción sobre azufre:

)23.4......(..............................................................................................................0006.00003.00002.00001.00016.01 39292318364 ≥−−−−+ XXXXXX

Restricción para el FeSi y FeMn (balance de FeSi+FeMn):

)24.4......(..............................................................................................................011111 4441532 ≥−−++ XXXXX

79

Restricción sobre la masa del DRI:

)25.4....(..............................................................................................................0000000

00

5.0cot0001.003.005.07089.0001.005.015.00010.0

18

16

14

13

51

12

10

8

7

18

16141351121087

≥≥≥≥≥≥≥≥≥

=≤+++++++++

XXXXXXXXX

aXXXXXXXXX

Restricción para el Fe (balance de Fe):

)26.4......(..............................................................................................................04761.06654.09872.0

9858.07089.00467.01166.07773.01166.01

444130

24131080315

=−−−+−−−−++

XXXXXXXXXX

Restricción para Al + Si (balance Al + Si):

)27.4......(..............................................................................................................03346.0

0025.0002.00159.00234.00106.01309.01

41

2721161437332

=−+−−−−++

XXXXXXXX

Restricción para el CaO (balance de CaO):

)28.4......(..............................................................................................................0101.05484.0 461235 =−− XXX

Restricción para el O2 (balance de O2):

)29.4......(..............................................................................................................0101412.0

02663.00334.05712.00094.01491.00334.02227.0

4816

148503733310

=−−++−++++

XXXXXXXXX

80

Restricción balance de masas:

)30.4(........................................................................................................................011010196.004.0

1994.0006.002.00016.005484.028.015.09872.00003.0005.00025.0001.0004.09858.00002.0

005.0002.0004.0003.00001.003.005.07089.0001.005.015.00010.01111111

4948475053464443

414039373652353331

3029282726252423

2221201918161413

511210876543210

=−−−+−−−−+−−−+++++

+−−−−−−−−+−−−−−−−−+−−−−−++++++

XXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Restricción Balance de energía:

Haciendo los cálculos en la hoja de excel, se llega a:

Primera ecuación de balance de energía:

03.6435327.4193687.6427.292402.23439691.61.28172.2030.6396881.389832136.48383.3330

1.31645.25659.9923.3142482.19498.17051.55047.34989.2890.3138044.12998.17057.51159.54209.2897.6497.9387089.157944

5.22816906.136054.175583.74859963.5

49484750534644

43414039373652

353331302928

272625242322

212019181614

1351121087

=++−++−+++++++++

+++++++++++++++++++−−

+++−+−−

XXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXX

Segunda ecuación de balance de energía:

)31.4....(..............................................................................................................0X7.642X7.29242136.48383.3330

1.31645.25659.992X63.17312X21.17721X7.208338X9.18708X63.21821X6.7695X9.992

4750373652

3533316

543210

≤−+++++++++

+++++++

XXXXXX

Y cotas para los energéticos:

)32.4.....(..............................................................................................................667.466inf_cot

600sup_cot

47

47

=≥=

erioraXerioraX

)33.4.....(..............................................................................................................3161.4inf_cot

4632.10sup_cot

48

48

=≥=≤

erioraXerioraX

81

)34.4.....(..............................................................................................................440inf_cot500sup_cot

49

49

=≥=≤

erioraXerioraX

Restricción coque:

)35.4...(......................................................................20994.0006.0 4039 ≤+ XX Restricción acero:

)35.4....(..............................................................................................................4

3.9932.05.1

0110

6

5

4

3

2

1

0

=======

XXXXXXX

4.4) DETERMINACIÓN ALGORITMO A APLICAR Debido a que el proceso de aceración puede ser linealizado se utiliza programación lineal para optimizar aplicando el algoritmo simplex (o el método de multiplicadores de Lagrange). Dicho algoritmo ya está programado en muchos paquetes comerciales, aquí se utiliza el Management Scientist versión 4 (MS4) ó en su defecto el solver del Excel 2007. Antes de ejecutarlo hay que preparar el tableau inicial o el sistema de ecuaciones de tal manera que haya correspondencia de unidades, en especial en la ecuación de balance de energía. 4.5) PREPARACIÓN DEL TABLEAU INICIAL Los cálculos previos para nuestro ejemplo prototipo y arreglados en forma apropiada para un programa de programación lineal es: .

82

Tabla 5. Tableau inicial     x0 fume  x1,acero C x2,acero Si x3,acero Mn x4, acero S x5, acero Fe  x6, acero imp  x7, DRI imp

    Codificación.   x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  x8    FO  0  200.00 0.00 300.00 40.00 198660.00  800.00  ‐0.0029172

  Restricciones                 

1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  1  ‐0.0010

2   C  0  ‐1 0 0 0 0  0  03  requerimientos C  0  ‐1 0 0 0 0  0  0

4  scrap1  0  0 0 0 0 0  0  04.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0  0

4.2  C  0  0 0 0 0 0  0  0

4.3  Si  0  0 0 0 0 0  0  0

4.4  Mn  0  0 0 0 0 0  0  0

4.5  S  0  0 0 0 0 0  0  0

4.6  Fe  0  0 0 0 0 0  0  0

5  scrap2  0  0 0 0 0 0  0  0

5.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0  0

5.2  C  0  0 0 0 0 0  0  0

5.3  Si  0  0 0 0 0 0  0  0

5.4  Mn  0  0 0 0 0 0  0  0

5.5  S  0  0 0 0 0 0  0  0

5.6  Fe  0  0 0 0 0 0  0  0

6  S  0  0 0 0 1 0  0  0

7  FeSi+Fem.  0  0 1 1 0 0  0  0

8  DRI  0  0 0 0 0 0  0  0.0010

8.1  FeO  0  0 0 0 0 0  0  0

8.2  Fe3C  0  0 0 0 0 0  0  0

8.3  SiO2  0  0 0 0 0 0  0  0

8.4  Al2O3  0  0 0 0 0 0  0  0

8.5  S  0  0 0 0 0 0  0  0

8.6  otros,Fe  0  0 0 0 0 0  0  0

8.7  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0  1

8.8  CaO  0  0 0 0 0 0  0  0

8.9  MgO  0  0 0 0 0 0  0  0

9  balance Fe  0.7773  0 0 0 0 1  0  0

10  balance Al+Si  0  0 1 0 0 0  0  0

11 balance CaO+MgO  0  0 0 0 0 0  0  0

12  Balance O2  ‐0.2227  0 0 0 0 0  0  0

13 Balance total masa  1  1 1 1 1 1  1  ‐0.0010

14  Balance energía1  0  0 0 0 0 0  0  ‐5.963

15  Balance energía2  992.9  7695.6 21821.6 18708.8974 208338.7 17721.2  17312.6  016  max Eelec  0  0 0 0 0 0  0  017  min Eelec  0  0 0 0 0 0  0  018  max EO2  0  0 0 0 0 0  0  019  min EO2  0  0 0 0 0 0  0  020  max Ec partículas  0  0 0 0 0 0  0  021  min Ec partículas  0  0 0 0 0 0  0  0

22.1  x01, fume   1  0 0 0 0 0  0  022.2  x1  0  1 0 0 0 0  0  022.3  x2  0  0 1 0 0 0  0  022.4  x3  0  0 0 1 0 0  0  022.5  x4  0  0 0 0 1 0  0  022.6  x5  0  0 0 0 0 1  0  022.7  x6  0  0 0 0 0 0  1  0

23  Coque  0  0 0 0 0 0  0  0

83

Tabla 5. Tableau inicial. (continuación)     x8,DRI FeO  x10,DRI Fe3C  x12, DRI CaO  x51,DRI MgO   x13,DRI Fe   x14,DRI SiO2  x16,DRI Al2O3  x18,DRI S  MS  4 Codificación.   x9  x10  x11 x12 x13 x14  x15 x16   FO  ‐0.43758  ‐0.14586  ‐0.029172 0 ‐2.06800308 ‐0.14586  ‐0.087516 ‐0.0002917

  Restricciones                 

1  Impurezas  0  0  0 0 0 0  0 02   C  ‐0.02505345  0.0033  0 0 0 0  0 03  Requerimien.C  0.02505345  0.0033  0 0 0 0  0 04  scrap1  0  0  0 0 0 0  0 0

4.1  Impurezas  0  0  0 0 0 0  0 04.2  C  0  0  0 0 0 0  0 04.3  Si  0  0  0 0 0 0  0 04.4  Mn  0  0  0 0 0 0  0 04.5  S  0  0  0 0 0 0  0 04.6  Fe  0  0  0 0 0 0  0 0

5  scrap2  0  0  0 0 0 0  0 0

5.1  Impurezas  0  0  0 0 0 0  0 0

5.2  C  0  0  0 0 0 0  0 0

5.3  Si  0  0  0 0 0 0  0 0

5.4  Mn  0  0  0 0 0 0  0 0

5.5  S  0  0  0 0 0 0  0 0

5.6  Fe  0  0  0 0 0 0  0 0

6  S  0  0  0 0 0 0  0 ‐0.0001

7  FeSi+Fem.  0  0  0 0 0 0  0 08  DRI  0.1500  0.0500  0.0100 0.0000 0.7089 0.0500  0.0300 0.0001

8.1  FeO  1  0  0 0 0 0  0 0

8.2  Fe3C  0  1  0 0 0 0  0 0

8.3  SiO2  0  0  0 0 0 1  0 0

8.4  Al2O3  0  0  0 0 0 0  1 08.5  S  0  0  0 0 0 0  0 18.6  otros,Fe  0  0  0 0 1 0  0 0

8.7  Impurezas  0  0  0 0 0 0  0 0

8.8  CaO  0  0  1 0 0 0  0 0

8.9  MgO  0  0  0 0 0 0  0 0

9  balance Fe  ‐0.1166  ‐0.0467  0 0 ‐0.7089 0  0 0

10  balance Al+Si  0  0  0 0 0 ‐0.0234  ‐0.0159 0

11 balance CaO+MgO  0  0  ‐0.0100 0.0000 0 0  0 0

12  Balance O2   0.03340   0  0 0 0 0.02663  0.01412 0

13 Balance total masa  ‐0.1500  ‐0.0500  ‐0.0100 0.0000 ‐0.7089 ‐0.0500  ‐0.0300 ‐0.0001

14 Balance energía1  ‐74859.3254  17558.4304  ‐13605.621 0.0000 228169.4883 ‐157944.895  ‐93870.6989 649.7183

15 Balance energía2  0  0  0 0 0 0  0 0

16  max Eelec  0  0  0 0 0 0  0 017  min Eelec  0  0  0 0 0 0  0 018  max EO2  0  0  0 0 0 0  0 019  min EO2  0  0  0 0 0 0  0 0

20 max Ec partículas  0  0  0 0 0 0  0 0

21 min Ec partículas  0  0  0 0 0 0  0 0

22.1  x01, fume   0  0  0 0 0 0  0 022.2  x1  0  0  0 0 0 0  0 022.3  x2  0  0  0 0 0 0  0 022.4  x3  0  0  0 0 0 0  0 022.5  x4  0  0  0 0 0 0  0 022.6  x5  0  0  0 0 0 0  0 022.7  x6  0  0  0 0 0 0  0 0

23  Coque  0  0  0 0 0 0  0 0

84

Tabla 5. Tableau inicial. (continuación)     x19,scr1 imp  x20,scr1 C  x21,scr1 Si  x22,scr1 Mn  x23,scr1 S  x24,scr1 Fe     Codificación.   x17  x18 x19 x20 x21 x22    FO  ‐0.0099  ‐0.0132 ‐0.0066 ‐0.0165 ‐0.00066 ‐3.25314 

  Restricciones             

1  Impurezas  ‐0.0030  0 0 0 0 0 2   C  0  0.0040 0 0 0 0 3  requerimientos C  0  0.0040 0 0 0 0 

4  scrap1  0.0030  0.0040 0.0020 0.0050 0.0002 0.9858 4.1  Impurezas  1  0 0 0 0 0 4.2  C  0  1 0 0 0 0 4.3  Si  0  0 1 0 0 0 4.4  Mn  0  0 0 1 0 0 4.5  S  0  0 0 0 1 0 4.6  Fe  0  0 0 0 0 1 

5  scrap2  0  0 0 0 0 0 5.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0 

5.2  C  0  0 0 0 0 0 

5.3  Si  0  0 0 0 0 0 

5.4  Mn  0  0 0 0 0 0 

5.5  S  0  0 0 0 0 0 

5.6  Fe  0  0 0 0 0 0 

6  S  0  0 0 0 ‐0.0002 0 

7  FeSi+Fem.  0  0 0 0 0 0 

8  DRI  0  0 0 0 0 0 

8.1  FeO  0  0 0 0 0 0 

8.2  Fe3C  0  0 0 0 0 0 

8.3  SiO2  0  0 0 0 0 0 

8.4  Al2O3  0  0 0 0 0 0 

8.5  S  0  0 0 0 0 0 

8.6  otros,Fe  0  0 0 0 0 0 

8.7  Impurezas  0  0 0 0 0 0 

8.8  CaO  0  0 0 0 0 0 

8.9  MgO  0  0 0 0 0 0 

9  balance Fe  0  0 0 0 0 ‐0.9858 

10  balance Al+Si  0  0 ‐0.0020 0 0 0 

11  balance CaO+MgO  0  0 0 0 0 0 

12  Balance O2  0  0 0 0 0 0 

13  Balance total masa  ‐0.0030  ‐0.0040 ‐0.0020 ‐0.0050 ‐0.0002 ‐0.9858 

14  Balance energía1  289.9062  5420.8524 5115.6586 1705.7938 1299.4367 313804.0497 

15  Balance energía2  0  0 0 0 0 0 

16  max Eelec  0  0 0 0 0 0 

17  min Eelec  0  0 0 0 0 0 

18  max EO2  0  0 0 0 0 0 

19  min EO2  0  0 0 0 0 0 

20  max Ec partículas  0  0 0 0 0 0 

21  min Ec partículas  0  0 0 0 0 0 

22.1  x01, fume   0  0 0 0 0 0 

22.2  x1  0  0 0 0 0 0 

22.3  x2  0  0 0 0 0 0 22.4  x3  0  0 0 0 0 0 

22.5  x4  0  0 0 0 0 0 

22.6  x5  0  0 0 0 0 0 

22.7  x6  0  0 0 0 0 0 

23  Coque  0  0 0 0 0 0 

85

Tabla 5. Tableau inicial para el MS4. (continuación)     x25,scr2 imp  x26,scr2 C  x27,scr2 Si  x28,scr2 Mn  x29,scr2 S  x30,scr2 Fe 

    Codificación.  x23  x24  x25  x26  x27  x28 

   FO  ‐0.013213  ‐0.003303 ‐0.0082582 ‐0.016516 ‐0.0009909 ‐3.26101776 

  Restricciones             

1  Impurezas  ‐0.0040  0 0 0 0 0 2   C  0  0.0010 0 0 0 0 3  requerimientos C  0  0.0010 0 0 0 0 

4  scrap1  0  0 0 0 0 0 4.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0 4.2  C  0  0 0 0 0 0 4.3  Si  0  0 0 0 0 0 4.4  Mn  0  0 0 0 0 0 4.5  S  0  0 0 0 0 0 4.6  Fe  0  0 0 0 0 0 

5  scrap2  0.0040  0.0010 0.0025 0.0050 0.0003 0.9872 5.1  Impurezas  1  0 0 0 0 0 5.2  C  0  1 0 0 0 0 5.3  Si  0  0 1 0 0 0 5.4  Mn  0  0 0 1 0 0 5.5  S  0  0 0 0 1 0 5.6  Fe  0  0 0 0 0 1 

6  S  0  0 0 0 ‐0.0003 0 

7  FeSi+Fem.  0  0 0 0 0 0 

8  DRI  0  0 0 0 0 0 

8.1  FeO  0  0 0 0 0 0 

8.2  Fe3C  0  0 0 0 0 0 

8.3  SiO2  0  0 0 0 0 0 

8.4  Al2O3  0  0 0 0 0 0 

8.5  S  0  0 0 0 0 0 

8.6  otros,Fe  0  0 0 0 0 0 

8.7  Impurezas  0  0 0 0 0 0 

8.8  CaO  0  0 0 0 0 0 

8.9  MgO  0  0 0 0 0 0 

9  balance Fe  0  0 0 0 0 ‐0.9872 

10  balance Al+Si  0  0 ‐0.0025 0 0 0 

11 balance CaO+MgO  0  0 0 0 0 0 

12  Balance O2  0  0 0 0 0 0 

13 Balance total masa  ‐0.0040  ‐0.0010 ‐0.0025 ‐0.0050 ‐0.0003 ‐0.9872 

14  Balance energía1  289.9062  3498.7067 5504.1442 1705.7938 1949.1550 314248.2935 

15  Balance energía2  0  0 0 0 0 0 

16  max Eelec  0  0 0 0 0 0 

17  min Eelec  0  0 0 0 0 0 

18  max EO2  0  0 0 0 0 0 

19  min EO2  0  0 0 0 0 0 

20  max Ec partículas  0  0 0 0 0 0 

21  min Ec partículas  0  0 0 0 0 0 

22.1  x01, fume   0  0 0 0 0 0 

22.2  x1  0  0 0 0 0 0 

22.3  x2  0  0 0 0 0 0 22.4  x3  0  0 0 0 0 0 

22.5  x4  0  0 0 0 0 0 22.6  x5  0  0 0 0 0 0 22.7  x6  0  0 0 0 0 0 

23  Coque  0  0 0 0 0 0 

86

Tabla 5. Tableau inicial. (continuación)

    x31,slag FeO  x33,slag SiO2  x35,slag CaO  x52,slag MgO  x36,slag S  x37,slag Al2O3  x39,coque S  x40,coque C 

    Codificación. MS4  x29  x30  x31  x32  x33  x34  x35  x36 

   FO  0  0 0 0 0 0  ‐0.0198 ‐3.2802

  Restricciones                 

1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0 0

2   C  0  0 0 0 0 0  0 0.9940

3  requerimientos C  0  0 0 0 0 0  0 0.9940

4  scrap1  0  0 0 0 0 0  0 0

4.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0 0

4.2  C  0  0 0 0 0 0  0 0

4.3  Si  0  0 0 0 0 0  0 0

4.4  Mn  0  0 0 0 0 0  0 0

4.5  S  0  0 0 0 0 0  0 0

4.6  Fe  0  0 0 0 0 0  0 0

5  scrap2  0  0 0 0 0 0  0 0

5.1  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0 0

5.2  C  0  0 0 0 0 0  0 0

5.3  Si  0  0 0 0 0 0  0 0

5.4  Mn  0  0 0 0 0 0  0 0

5.5  S  0  0 0 0 0 0  0 0

5.6  Fe  0  0 0 0 0 0  0 0

6  S  0  0 0 0 0.0016 0  ‐0.0060 0

7  FeSi+Fem.  0  0 0 0 0 0  0 0

8  DRI  0  0 0 0 0 0  0 0

8.1  FeO  0  0 0 0 0 0  0 0

8.2  Fe3C  0  0 0 0 0 0  0 0

8.3  SiO2  0  0 0 0 0 0  0 0

8.4  Al2O3  0  0 0 0 0 0  0 0

8.5  S  0  0 0 0 0 0  0 0

8.6  otros,Fe  0  0 0 0 0 0  0 0

8.7  Impurezas  0  0 0 0 0 0  0 0

8.8  CaO  0  0 0 0 0 0  0 0

8.9  MgO  0  0 0 0 0 0  0 0

9  balance Fe  0.1166  0 0 0 0 0  0 0

10  balance Al+Si  0  0.1309 0 0 0 0.0106  0 0

11  balance CaO+MgO  0  0 0.5484 0.0000 0 0  0 0

12  Balance O2  ‐0.0334  ‐0.1491 0 0 0 ‐0.0094  0 0

13  Balance total masa  0.1500  0.2800 0.5484 0.0000 0.0016 0.0200  ‐0.0060 ‐0.9940

14  Balance energía1  992.9018  2565.5176 3164.0875 0.0000 333.3419 4838.2136  38983.0996 639688.0

15  Balance energía2  992.9018  2565.5176 3164.0875 0.0000 333.3419 4838.2136  0 0

16  max Eelec  0  0 0 0 0 0  0 0

17  min Eelec  0  0 0 0 0 0  0 018  max EO2  0  0 0 0 0 0  0 0

19  min EO2  0  0 0 0 0 0  0 020  max Ec partículas  0  0 0 0 0 0  0 021  min Ec partículas  0  0 0 0 0 0  0 0

22.1  x01, fume   0  0 0 0 0 0  0 022.2  x1  0  0 0 0 0 0  0 022.3  x2  0  0 0 0 0 0  0 022.4  x3  0  0 0 0 0 0  0 022.5  x4  0  0 0 0 0 0  0 022.6  x5  0  0 0 0 0 0  0 0

22.7  x6  0  0 0 0 0 0  0 0

23  Coque  0  0 0 0 0 0  0.006 0.9940

87

Tabla 5. Tableau inicial. (continuación)

    x41,FeSi x43,  C  en FeMn  x44, FeMn  x46, CaO 

x53, MgO  x50,CO  x47,Ee  x48,Eo2  x49,Ecpart    RHS 

    Codificación.   x37  x38  x39  x40  x41  x42  x43  x44  x45       

   FO  ‐12.540   0  0 ‐1.32 0 0 ‐2.67  ‐0.33 ‐3.3      

  Restricciones                       

1  Impurezas  0  0  0 0 0 0 0  0 0 =  0.0

2   C  0  0.0400  0 0 0 0.8576 0  0 1.0000 <=  0.03  requerimientos C  0  0.0400  0 0 0 0.8576 0  0 1.0000 >= 0.0

4  scrap1  0  0  0 0 0 0 0  0 0 <=  500.0

4.1  Impurezas  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

4.2  C  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

4.3  Si  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

4.4  Mn  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

4.5  S  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

4.6  Fe  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.05  scrap2  0  0  0 0 0 0 0  0 0 <= 500.0

5.1  Impurezas  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.05.2  C  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.05.3  Si  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.05.4  Mn  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.05.5  S  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.05.6  Fe  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.0

6  S  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

7  FeSi+Fem.  ‐1.0000  0  ‐1.0000 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

8  DRI  0  0  0 0 0 0 0  0 0 <=  500.0

8.1  FeO  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

8.2  Fe3C  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

8.3  SiO2  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

8.4  Al2O3  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.0

8.5  S  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >=  0.08.6  otros,Fe  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.08.7  Impurezas  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.08.8  CaO  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.08.9  MgO  0  0  0 0 0 0 0  0 0 >= 0.0

9  balance Fe  ‐0.6654  0  ‐0.4761 0 0 0 0  0 0 =  0.0

10  balance Al+Si  ‐0.3346  0  0 0 0 0 0  0 0 =  0.0

11 balance CaO+MgO  0  0  0 ‐1.0000 0.0000 0 0  0 0 =  0.0

12  Balance O2  0  0  0 0 0 ‐0.5712 0  1 0 =  0.0

13 Balance total masa  ‐1  ‐0.0400  ‐0.9600 ‐1.0000 0.0000 1 0  ‐1 ‐1 =  0.0

14  Balance energía1  203.1935  2817.0634  6.1310 ‐2343969.2 0.0000 2924.7257 ‐6.4273E+02  419368.7 643532.3 = 0.015  Balance energía2  0  0  0 0 0 2924.7257 ‐6.4273E+02  0 0 = 0.016  max Eelec  0  0  0 0 0 0 1  0 0 <= 600.017  min Eelec  0  0  0 0 0 0 1  0 0 >= 0.018  max EO2  0  0  0 0 0 0 0  1 0 <= 104.619  min EO2  0  0  0 0 0 0 0  1 0 >= 28.820  max Ec partículas  0  0  0 0 0 0 0  0 1 <= 500.021  min Ec partículas  0  0  0 0 0 0 0  0 1 >= 440.0

22.1  x01, fume   0  0  0 0 0 0 0  0 0 =  10.022.2  x1  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 1.022.3  x2  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 0.022.4  x3  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 1.522.5  x4  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 0.222.6  x5  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 993.322.7  x6  0  0  0 0 0 0 0  0 0 = 4.0

23  Coque  0  0  0 0 0 0 0  0 0 <=  20.0

88

4.6) SENSIBILIDAD Y LA VARIACIÓN DE PARÁMETROS Haciendo las pruebas de variación de datos de entrada se observó que la segunda ecuación de balance de energía es la más sensible para que la región fuera factible. Al variar los datos, también la ecuación de cota inferior de la cantidad de partículas de carbono mostró su sensibilidad a los cambios en los parámetros relacionados con los otros suministros de carbono. Las demás ecuaciones se mantuvieron estables. 4.7) AJUSTES Y EXTENSIONES AL MODELO El modelo puede ser definido para cualquier composición siempre y cuando se cuente con la información para calcular las reacciones, sobretodo las relacionadas con las escorias y su relación con los precios de compra y/o venta. En caso de no contar con los precios de venta se manejan escenarios de ganancia esperada. En nuestro caso tenemos los precios de venta y la composición de acero, por lo que se prorratearon los de precios de compra. Por lo tanto, si el cliente es un experto debe tener esta información, lo cual mejoraría la exactitud de los productos o corridas. Aún así, el modelo se pensó abierto para dejar más soltura al análisis de sensibilidad y poder analizar las políticas a factibles a seguir en cuanto al ahorro de energía. Como la propuesta de extensión a este trabajo si se tuvieran las series de tiempo de la información contable para la obtención del acero deseado a partir de las materias primas conocidas un primer modelo de programación lineal es la siguiente conceptualización: Función Objetivo:

EgresosIngresosMaxZ −= Siendo Penalizaciones:

⎩⎨⎧

=deseadosiendoestar

deseadosiendoestarnopi _/,1

_/_,0

⎩⎨⎧

=deseadosiendonoestarno

deseadosiendonoestarqi __/_,0

__/,1

0,1, === ++ qpXcIngresos qpsteel

qpsteel

.1.1,6543

21654321

==+++

++++++++=+

qpXqXqXqXq

XqXqXpXpXpXpXpXpXMgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

MgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

qpsteel

89

.1.0,)1()1(

)1()1()1()1()(

65432165

4321)1(

==++++++−+−

+−+−+−+−=+−

qpXqXqXqXqXqXqXpXp

XpXpXpXpXónPenalizaciMgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

MgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

qpsteel

.0.1,

)(_

65432

1654321)1(

==+++++

++++++=−+

qpXqXqXqXqXq

XqXpXpXpXpXpXpXdeseadoaceroMgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

MgOsteel

CaOsteel

Alsteel

Sisteel

Csteel

Festeel

qpsteel

∑∑∑ +−+−++=p

qpsteel

qpsteel

sss

iii XcEcXcEgresos )1()1(

El primer término se refiere a las materias primas, esto es, la carga metálica, que consta de: DRI (hierro esponja), scrap (chatarra), fines (finos), slag formers (Formadores de escoria, FS). El segundo término son los costos energéticos y el tercero son los costos por penalización (opcional).

El DRI consta a su vez de %FeO, %FeC, %C y ganga. La ganga de: %CaO, %MgO, % %SiO2 y %Al2O3. Wi son las masas o pesos Xi son las fracciones de masa o peso ci son los costos unitarios E1 energía eléctrica Es otras energías, s = 2, 3, 4, 5. Los subíndices de las X, 1, 2, 3, 4, denotan cada tipo de carga metálica que alimenta al horno. s denota las otras fuentes de energía que intervienen excepto la eléctrica. Para DRI:

∑=j

jj XcXc 1111 ,

Para scrap: ∑=

k

kk XcXc 2222

Para fines: ∑=

l

ll XcXc 3333

Para FS: ∑=

h

hh XcXc 4444

Energías: E2 = Ec(XC) energía del inyector de partículas de C. Depende de la reacción[]:

90

C + O2 = CO2 C + ½ O = CO C + CO2 = 2CO ó de la reacción[32]: C + CO2 = 2CO Fe + CO2 = CO + FeO E3 = EO2(XO2) energía del inyector de O2. Reduce pérdidas energéticas. Eficiencia térmica. Depende de la reacción[36]: O2 + 2Fe = 2FeO FeO + C = Fe + CO El porcentaje del CO depende de la viscosidad, la densidad y la tensión superficial. E4 = EC en DRI, el máximo reportado es 2%Wt C. Depende de la reacción[26]: C (en el baño) + ½ O2 = CO FeO + C = Fe + CO E5 = EBasicidad, ahorro de energía dada la formación de SiO2. Depende de la reacción: SiC + 2 FeO + MnO = 2Fe + Mn + SiO2 + CO[26] Sistema slag: Aditivos[40] CaO – SiO2 P2O5, Cr2O3, V2O5, Fe2O3 CaO - SiO2 – FeO P2O5, CaF2, Na2O CaO - SiO2 – FeO – Al2O3 CaO – Fe2O3 MgO – Fe2O3 ________________________________________________ Tabla 6. Sistema de escorias para la oxidación y reducción del FeO.

Si se agregan costos fijos y/o variables y penalizaciones a la función objetivo conservando la linealidad no se altera la metodología del método simplex, pero si la forma es cuadrática, multiplicativa o más compleja se recurrirá directamente a la programación no-lineal y en su defecto a la programación dinámica si se contara con los datos. sujeta a:

I) Restricciones de proceso y composición química: Sean y, z,r,m el porcentaje del elemento o compuesto (ej. Fe) en xxxx: Fe: metálicaaCXXXXX XXXXXXXXXFeCFeO _arg,.,,,...,,...,, 43211 +

91

Entonces

{ } 01

441

331

221

114

4

3

3

2

2

1

1 ≤++−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++ ∑∑∑∑====

Fegasgas

Feslagslag

Festeelsteel

y

y

y

y

y

y

y

y XWXWXWXWXWXWXWi

i

i

i

i

i

i

i

Análogamente para Si y Al:

metálicaaCXXXXX enFSSenfinesSenscapSengangaAlengangaS iiii _arg,.,,,...,,...,, 43211 + Entonces

{ } 01

441

331

221

114

4

3

3

2

2

1

1 ≤++−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++ ∑∑∑∑====

Alslagslag

Sislagslag

Sisteelsteel

z

z

z

z

z

z

z

z XWXWXWXWXWXWXWi

i

i

i

i

i

i

i

Para CaO y MgO:

{ } 01

441

331

221

114

4

3

3

2

2

1

1 ≤+++−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++ ∑∑∑∑====

MgOslagslag

CaOslagslag

MgOsteelsteel

CaOsteelsteel

r

r

r

r

r

r

r

r XWXWXWXWXWXWXWXWi

i

i

i

i

i

i

i

Para C y O2:

OxígenodeinyecciónmetálicaaCXXXXX OenFSOenfinesOenScrapOenDRIO ___arg,.,,,,,

2

22224321 ++

Entonces:

{ } 02

4

4

3

3

2

2

1

1

144

133

122

111 ≤+−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++++ ∑∑∑∑====

FeCOCOm

m

m

m

m

m

m

m XXXXXWXWXWXWi

i

i

i

i

i

i

i

032 ≤Δ−+ COHEE

II) restricciones (cotas) de materias primas y energética:

0maxminmaxmin

maxmin.5,4,3,2,1,0

,,, ≥≤≤≤≤

≤≤

=≥

∑

olkji

sss

iii

s

s

XEEEXXX

EnergéticaEEnergéticasE

Los coeficientes y cotas serán tomados de artículos, de expertos o de la propia empresa.

92

CAPITULO V RESULTADOS En este capítulo se presentan de manera condensada los resultados arrojados por las corridas del modelo prototipo. 5.1) RESULTADOS PRIMARIOS A continuación se presentan los resultados de algunas corridas del modelo prototipo variando parámetros condensadas en los siguientes cuadros:

Fig. 7. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque,que a su vez se relaciona con la inyección de partículas de C. Ver tabla 7b. No se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

Fig. 8. Los costos óptimos no son afectados significativamente con la variación de la cantidad de C suministrado al sistema a través de la carga de coque y la inyección de partículas de C. No se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

‐10.00%

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

0% C 10% C 20% C 30% C 40% C 50% C 60% C

Título del eje

Título del eje

Benef. [%/ton]

$197,332.79

$197,332.79

$197,332.80

$197,332.80

$197,332.81

$197,332.81

$197,332.82

0% C 10% C 20% C 30% C 40% C 50% C 60% C

costos [$/ton]

93

Fig. 9. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque,que a su vez se relaciona con la inyección de partículas de C. Ver tabla 7c. Se considera el C del DRI, scrap1 y scrap2, C en FeMn.

Fig. 10. Impacto en los beneficios debido a la variación Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. Ver tabla 7e y 7f.

‐10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

‐0.10% 0.00% 0.10% 0.20% 0.30% 0.40% 0.50% 0.60%

Benef. [%/ton] respecto a todas las fuentes de C

‐300%

‐200%

‐100%

0%

100%

200%

300%

400%

500%

0 20 40 60 80 100

Benef. [%/ton] vs %Fe en ganga

94

Tabla 7a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema prototipo total C [%]  11.18%  11.18% 11.18% 15.00% 20.00%  25.00%

Particulas C [%]  11.18%  6.18% 1.18% 0.00% 0.00%  0.00%

variación coque [%]  0.00%  5.00% 10.00% 15.00% 20.00%  25.00%

x0 fume  10  10 10 10 10  10

x1,acero C  1  1 1 1 1  1

x2,acero Si  0  0 0 0 0  0

x3,acero Mn  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5  1.5

x4, acero S  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

x5, acero Fe  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3  993.3

x6, acero imp  4  4 4 4 4  4

x7, DRI imp  799.4754793  799.4754793 799.4754793 799.4754793 799.4754815  799.4754838

x8,DRI FeO  25.29610735  25.29610735 25.29610735 25.29754712 25.31754953  25.33757823

x10,DRI Fe3C  248.0940113  248.0940113 248.0940113 248.0938191 248.0911037  248.088399

x12, DRI CaO   0  0 0 0 0  0

x51,DRI MgO   0  0 0 0 0  0

x13,DRI Fe   180.4358237  180.4358237 180.4358237 180.4355326 180.4300038  180.424473

x14,DRI SiO2  92.31646143  92.31646143 92.31646143 92.31646143 92.33250805  92.34850417

x16,DRI Al2O3  15.82097997  15.82097997 15.82097997 15.82097997 15.82939477  15.83779228

x18,DRI S  0  0 0 0 0  0

x19,scr1 imp  801.0783089  801.0783089 801.0783089 801.0783089 801.0783354  801.0783617

x20,scr1 C  37.29752181  37.29752181 37.29752181 37.29729194 37.29407898  37.29087747

x21,scr1 Si  482.1995219  482.1995219 482.1995219 482.1995219 482.1995151  482.1995082

x22,scr1 Mn  0  0 0 0 0  0

x23,scr1 S  0  0 0 0 0  0

x24,scr1 Fe  185.0447753  185.0447839 185.0447907 185.2401678 185.455371  185.6705186

x25,scr2 imp  199.3223985  199.3223985 199.3223985 199.3223985 199.3223781  199.3223578

x26,scr2 C  206.7628415  206.7628415 206.7628415 206.762784 206.7619726  206.7611641

x27,scr2 Si  371.7391762  371.7391762 371.7391762 371.7391762 371.7391882  371.7392002

x28,scr2 Mn  0  0 0 0 0  0

x29,scr2 S  1.312338347  1.312338347 1.312338347 1.312338347 1.312338344  1.312338346

x30,scr2 Fe  504.5241146  504.5241146 504.5241146 504.5241146 504.5241155  504.5241164

x31,slag FeO  0  0 0 0 0  0

x33,slag SiO2  699.7135455  699.7135417 699.7135417 699.4306861 699.3406552  699.2509528

x35,slag CaO   236725218.7  236725218.7 236725218.7 236725218.7 236725218.7  236725218.7

x52,slag MgO   0  0 0 0 0  0

x36,slag S  0  0 0 0 0  0

x37,slag Al2O3  169.0606159  169.0606159 169.0606159 169.0606159 169.0549374  169.0492099

x39,coque S  0  0.001214486 0.002428979 0.003061 0.007854536  0.012600855

x40,coque C  ‐1E‐06  0.201199913 0.402400831 0.603603254 0.804782568  1.005960156

x41,FeSi  266.1726684  266.1726669 266.1726669 266.062032 266.025118  265.9883353

x43, C en FeMn  0.017891297  0.017891297 0.017891297 0.015592584 0.015592584  0.015592584

95

Tabla 7a. x44, FeMn  2.202453522  2.202437936 2.202423781 1.952579696 1.562141753  1.171631109

x46, CaO  129820109.9  129820109.9 129820109.9 129820109.9 129820109.9  129820109.9

x53, MgO  0  0 0 0 0  0

total C [%]  11.18%  11.18% 11.18% 15.00% 20.00%  25.00%

Particulas C [%]  11.18%  6.18% 1.18% 0.00% 0.00%  0.00%

variación coque [%]  0.00%  5.00% 10.00% 15.00% 20.00%  25.00%

x50,CO  ‐1E‐06  0 0 0.07392749 0.099650731  0.125287797

x47,Ee  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964  43.06312964

x48,Eo2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632  104.632

x49,Ecpart  0.447282432  0.247290011 0.047296298 0 0  0

RESTRICCIONES                   

impurezas  0  0 0 0 0  ‐5.55112E‐16

 C  2.77556E‐16  1.77358E‐14 ‐1.38778E‐17 0.057467835 0.223825435  0.390291601

requerimientos C  2.77556E‐16  1.77358E‐14 ‐1.38778E‐17 0.057467835 0.223825435  0.390291601

scrap1  185.9339636  185.933972 185.9339787 186.1265806 186.3387151  186.5507948

impurezas  2.403234927  2.403234927 2.403234927 2.403234927 2.403235006  2.403235085

C  0.149190087  0.149190087 0.149190087 0.149189168 0.149176316  0.14916351

Si  0.964399044  0.964399044 0.964399044 0.964399044 0.96439903  0.964399016

Mn  0  0 0 0 0  0

S  0  0 0 0 0  0

Fe  182.4171395  182.4171479 182.4171547 182.6097574 182.8219048  183.0339972

scrap2  500  500 500 500 500  500

impurezas  0.797289594  0.797289594 0.797289594 0.797289594 0.797289512  0.797289431

C  0.206762841  0.206762841 0.206762841 0.206762784 0.206761973  0.206761164

Si  0.929347941  0.929347941 0.929347941 0.929347941 0.929347971  0.929348

Mn  0  0 0 0 0  0

S  0.000393702  0.000393702 0.000393702 0.000393702 0.000393702  0.000393702

Fe  498.0662059  498.0662059 498.0662059 498.066206 498.0662068  498.0662077

S  0.199606298  0.199599012 0.199591725 0.199587932 0.199559171  0.199530693

FeSi+FeMn  726.4248592  726.4248763 726.4248905 726.7853694 727.2127213  727.6400147

DRI  150  150 150 150 150  150

FeO  4.593891578  4.593891578 4.593891578 4.594107544 4.597107907  4.600112214

Fe3C  12.40470055  12.40470055 12.40470055 12.40469094 12.40455517  12.40441994

SiO2  4.615823067  4.615823067 4.615823067 4.615823067 4.616625398  4.617425204

Al2O3  0.474629398  0.474629398 0.474629398 0.474629398 0.474881842  0.475133768

S  0  0 0 0 0  0

otros,Fe  127.9109554  127.9109554 127.9109554 127.910749 127.9068297  127.9029089

impurezas  0.799475479  0.799475479 0.799475479 0.799475479 0.799475482  0.799475484

CaO  0  0 0 0 0  0

MgO  0  0 0 0 0  0

balance Fe  ‐1.17018E‐11  5.19584E‐14 ‐1.72506E‐12 ‐1.06803E‐13 7.4718E‐14  ‐2.24931E‐13

96

Tabla 7a. balance Al+Si  1.42109E‐14  0 0 2.84217E‐14 ‐1.42109E‐14  1.42109E‐14

balance CaO+MgO  0  0 0 0 0  0

Balance O2  ‐1.42109E‐14  1.42109E‐14 1.42109E‐14 ‐1.42109E‐14 ‐1.42109E‐14  ‐4.26326E‐14

Balance total masa  5.35805E‐07  ‐5.62422E‐08 ‐5.04922E‐07 1.24934E‐08 ‐5.53253E‐08  2.4764E‐08

Balance energía 1  6.76777E+11  6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11  6.76777E+11

Balance energía 2  6.76777E+11  6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11  6.76777E+11

max Eelec  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964  43.06312964

total C [%]  11.18%  11.18% 11.18% 15.00% 20.00%  25.00%

Particulas C [%]  11.18%  6.18% 1.18% 0.00% 0.00%  0.00%

variación coque [%]  0.00%  5.00% 10.00% 15.00% 20.00%  25.00%

min Eelec  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964  43.06312964

max EO2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632  104.632

min EO2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632  104.632

max Ec partículas  0.447282432  0.247290011 0.047296298 0 0  0

min Ec partículas  0.447282432  10 1 0 1.5  0.2

x01, fume   10  10 10 10 10  10

x1  1  1 1 1 1  1

x2  0  0 0 0 0  0

x3  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5  1.5

x4  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

x5  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3  993.3

x6  4  4 4 4 4  4

coque  ‐9.94E‐07  0.2 0.400001 0.6 0.800001  1

Balance energía 3  0  0 0 0 0  0

Tabla 7a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema prototipo (continuación)

total C [%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

Particulas C [%]  0.00%  0.00% 0.00% 0.00% 0.00% variación coque 

[%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

x0 fume  10  10 10 10 10 

x1,acero C  1  1 1 1 1 

x2,acero Si  0  0 0 0 0 

x3,acero Mn  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5 

x4, acero S  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2 

x5, acero Fe  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3 

x6, acero imp  4  4 4 4 4 

x7, DRI imp  799.475486  799.4754882 799.4754753 799.4755159 799.4755561 

x8,DRI FeO  25.35758316  25.37697593 25.3976937 25.75974044 26.12692343 

x10,DRI Fe3C  248.0857116  248.0830578 248.0803446 248.0312049 247.9828097 

x12, DRI CaO   0  0 0 0 0 

x51,DRI MgO   0  0 0 0 0 

97

Tabla 7a. x13,DRI Fe   180.4189539  180.4135792 180.4078705 180.3077157 180.2062718 

x14,DRI SiO2  92.36441044  92.38012656 92.39646373 92.68741411 92.97805886 

x16,DRI Al2O3  15.84615173  15.85441993 15.86302369 16.01642728 16.17388081 

x18,DRI S  0  0 0 0 0 

x19,scr1 imp  801.0783879  801.0783992 801.0783805 801.0785888 801.0790677 

x20,scr1 C  37.28769526  37.28455174 37.28128432 37.22313126 37.16492937 

x21,scr1 Si  482.1995013  482.1994944 482.1994872 482.1993618 482.1992352 

x22,scr1 Mn  0  0 0 0 0 

x23,scr1 S  0  0 0 0 0 

x24,scr1 Fe  185.8855731  186.1004375 186.3159054 186.7982515 187.2806135 

total C [%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

Partículas C [%]  0.00%  0.00% 0.00% 0.00% 0.00% variación coque 

[%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

x25,scr2 imp  199.3223376  199.3223285 199.3223458 199.3221794 199.3218102 

x26,scr2 C  206.7603606  206.7595669 206.758742 206.744062 206.7293914 

x27,scr2 Si  371.739212  371.7391919 371.7392035 371.7388354 371.7390485 

x28,scr2 Mn  0  0 0 0 0 

x29,scr2 S  1.312338352  1.312338344 1.312338339 1.312338349 1.312338326 

x30,scr2 Fe  504.5241173  504.5241182 504.5241189 504.5241354 504.5241512 

x31,slag FeO  0  0 0 0 0 

x33,slag SiO2  699.1617986  699.0737356 698.9822274 697.3533912 695.7260014 

x35,slag CaO   236725218.7  236725218.7 236725218.7 236725218.7 236725218.7 

x52,slag MgO   0  0 0 0 0 

x36,slag S  0  0 0 0 0 

x37,slag Al2O3  169.0435887  169.0379678 169.032199 168.9295267 168.827112 

x39,coque S  0.017371656  0.022119261 0.027027421 0.114028029 0.200719208 

x40,coque C  1.207138602  1.408318194 1.60949581 1.810177899 2.01086085 

x41,FeSi  265.9517784  265.9156662 265.8781423 265.2102018 264.5426601 

x43, C en FeMn  0.015592584  0.015592584 0.015592584 0.015592584 0.015592584 

x44, FeMn  0.780984145  0.390040625 0 0 0 

x46, CaO  129820109.9  129820109.9 129820109.9 129820109.9 129820109.9 

x53, MgO  0  0 0 0 0 

x50,CO  0.150773459  0.175927313 0.202097773 0.667548855 1.133004356 

x47,Ee  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964 

x48,Eo2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632 

x49,Ecpart  0  0 0 0 0 

RESTRICCIONES                

impurezas  ‐1.11022E‐16  1.11022E‐16 ‐4.44089E‐16 1.11022E‐16 ‐2.22045E‐16 

 C  0.556954123  0.724060241 0.889822697 0.48105525 0.072156598 

requerimientos C  0.556954123  0.724060241 0.889822697 0.48105525 0.072156598 

scrap1  186.7627829  186.9745837 187.1869788 187.6622434 188.1375242 

98

Tabla 7a. impurezas  2.403235164  2.403235198 2.403235142 2.403235766 2.403237203 

C  0.149150781  0.149138207 0.149125137 0.148892525 0.148659717 

Si  0.964399003  0.964398989 0.964398974 0.964398724 0.96439847 

Mn  0  0 0 0 0 

S  0  0 0 0 0 

Fe  183.2459979  183.4578113 183.6702195 184.1457163 184.6212288 

scrap2  500  500 500 500 500 

impurezas  0.79728935  0.797289314 0.797289383 0.797288718 0.797287241 

C  0.206760361  0.206759567 0.206758742 0.206744062 0.206729391 

Si  0.92934803  0.92934798 0.929348009 0.929347089 0.929347621 

Mn  0  0 0 0 0 

S  0.000393702  0.000393702 0.000393702 0.000393702 0.000393701 

Fe  498.0662086  498.0662094 498.0662102 498.0662264 498.066242 

total C [%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

Partículas C [%]  0.00%  0.00% 0.00% 0.00% 0.00% variación coque 

[%]  30.00%  35.00% 40.00% 45.00% 50.00% 

S  0.199502069  0.199473583 0.199444134 0.19892213 0.198401983 

FeSi+FeMn  728.0672186  728.4942743 728.9218389 729.5897793 730.2573211 

DRI  150  150 150 150 150 

FeO  4.603112957  4.606021874 4.609129526 4.663436579 4.718514067 

Fe3C  12.40428557  12.40415288 12.40401722 12.40156023 12.39914047 

SiO2  4.618220517  4.619006323 4.619823182 4.634370701 4.648902938 

Al2O3  0.475384551  0.475632597 0.47589071 0.480492818 0.485216423 

S  0  0 0 0 0 

otros,Fe  127.8989964  127.8951863 127.8911394 127.8201397 127.7482261 

impurezas  0.799475486  0.799475488 0.799475475 0.799475516 0.799475556 

CaO  0  0 0 0 0 

MgO  0  0 0 0 0 

balance Fe  ‐1.13964E‐13  1.07969E‐14 ‐1.13687E‐13 ‐1.42109E‐13 8.52651E‐14 

balance Al+Si  0  ‐2.84217E‐14 ‐1.42109E‐14 ‐1.42109E‐14 8.52651E‐14 balance CaO+MgO  0  0 0 0 0 

Balance O2  ‐4.26326E‐14  ‐1.42109E‐14 0 1.42109E‐14 1.42109E‐14 Balance total masa  2.2813E‐08  ‐5.85272E‐08 5.95162E‐07 ‐1.03482E‐08 2.77595E‐09 

Balance energía 1  6.76777E+11  6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 

Balance energía 2  6.76777E+11  6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 6.76777E+11 

max Eelec  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964 

min Eelec  43.06312964  43.06312964 43.06312964 43.06312964 43.06312964 

max EO2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632 

min EO2  104.632  104.632 104.632 104.632 104.632 

max Ec partículas  0  0 0 0 0 

99

Tabla 7a. min Ec partículas  993.3  4 1.600001 0 0 

x01, fume   10  10 10 10 10 

x1  1  1 1 1 1 

x2  0  0 0 0 0 

x3  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5 

x4  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2 

x5  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3 

x6  4  4 4 4 4 

coque  1.2  1.400001 1.600001 1.800001 2 

Balance energía 3  0  0 0 0 0 

Tabla 7a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema prototipo (continuación) Tabla 7b. Cantidades de C respecto a la variación de la carga de coque. Se referencia el porcentaje del costo/beneficio con 0% coque (Cmax 4 Kg/ton acero deseado)

costos [%/ton] 

Benef. [%/ton] 

coque [%] 

Particulas C [%] 

total C [%] 

x40,coque C [Kg] 

x49,Ecpart [Kg] 

x20,scr1  C [Kg] 

x26,scr2  C [Kg] 

x43,  C  en FeMn [Kg] 

0.00%  0.00%  0.00%  11.18%  11.18% ‐1E‐06 0.44728243 37.29752181 206.762841  0.0178913 

0.00%  0.00%  5.00%  6.18%  11.18% 0.20119991 0.24729001 37.29752181 206.762841  0.0178913 

0.00%  0.00%  10.00%  1.18%  11.18% 0.40240083 0.0472963 37.29752181 206.762841  0.0178913 

0.00%  5.77%  15.00%  0.00%  15.00% 0.60360325 0 37.29729194 206.762784  0.01559258 

0.00%  10.55%  20.00%  0.00%  20.00% 0.80478257 0 37.29407898 206.761973  0.01559258 

0.00%  15.32%  25.00%  0.00%  25.00% 1.00596016 0 37.29087747 206.761164  0.01559258 

0.00%  20.09%  30.00%  0.00%  30.00% 1.2071386 0 37.28769526 206.760361  0.01559258 

0.00%  24.85%  35.00%  0.00%  35.00% 1.40831819 0 37.28455174 206.759567  0.01559258 

0.00%  29.64%  40.00%  0.00%  40.00% 1.60949581 0 37.28128432 206.758742  0.01559258 

0.00%  49.92%  45.00%  0.00%  45.00% 1.8101779 0 37.22313126 206.744062  0.01559258 

0.00%  70.18%  50.00%  0.00%  50.00% 2.01086085 0 37.16492937 206.729391  0.01559258 no factible 

      

100

Tabla  7c.  Cantidades  de  C  de  todas  sus  fuentes  respecto  a  la  variación  de  la  carga  de  coque.  Se referencia el porcentaje del  costo/beneficio con 0% coque (Cmax 4 Kg/ton acero deseado) 

x40,coque  C [Kg]  x49,Ecpart [Kg]  x20,scr1 C [Kg]  x26,scr2 C [Kg] 

x43, C en FeMn [Kg] 

todas las fuentes C [Kg] 

todas las fuentes C [%] respecto a la carga de 0% coque  Benef. [%/ton] 

‐1E‐06  0.447282432  37.29752181 206.7628415 0.017891297 244.525536  0.00% 0.00%

0.201199913  0.247290011  37.29752181 206.7628415 0.017891297 244.5267445  0.00% 0.00%

0.402400831  0.047296298  37.29752181 206.7628415 0.017891297 244.5279517  0.00% 0.00%

0.603603254  0  37.29729194 206.762784 0.015592584 244.6792718  0.06% 5.77%

0.804782568  0  37.29407898 206.7619726 0.015592584 244.8764267  0.14% 10.55%

1.005960156  0  37.29087747 206.7611641 0.015592584 245.0735943  0.22% 15.32%

1.207138602  0  37.28769526 206.7603606 0.015592584 245.2707871  0.30% 20.09%

1.408318194  0  37.28455174 206.7595669 0.015592584 245.4680294  0.39% 24.85%

1.60949581  0  37.28128432 206.758742 0.015592584 245.6651147  0.47% 29.64%

1.810177899  0  37.22313126 206.744062 0.015592584 245.7929637  0.52% 49.92%

2.01086085  0  37.16492937 206.7293914 0.015592584 245.9207742  0.57% 70.18% 

            

Tabla 7d. Cantidades de Fe en ganga 

Benef. [$/ton]  costos [$/ton] %Fe en DRI 

ganga  

‐0.01983092  197332.862  0.01‐0.00356782  197332.846  100.01240603  197332.83  200.02354621  197332.818  300.03381363  197332.808  400.04308764  197332.799  500.05133542  197332.791  600.05858361  197332.783  700.05918165  197332.783  70.890.02555311  197332.816  800.00305417  197332.839  90

 

101

Tabla 7e. Condensado de corridas variando el % Fe en ganga  %Fe en DRI ganga  0.01  10  20  30  40  50 

x0 fume  10.0  10.0 10.0 10.0 10.0  10.0

x1,acero C  1.0  1.0 1.0 1.0 1.0  1.0

x2,acero Si  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x3,acero Mn  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5  1.5

x4, acero S  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

x5, acero Fe  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3  993.3

x6, acero imp  4.0  4.0 4.0 4.0 4.0  4.0

x7, DRI imp  799.5  799.5 799.5 799.5 799.5  799.5

x8,DRI FeO  35.9  33.4 30.9 28.1 25.6  23.3

x10,DRI Fe3C  251.4  250.6 249.9 249.1 248.5  247.9

x12, DRI CaO   0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x51,DRI MgO   0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x13,DRI Fe   180.2  178.5 175.3 170.7 165.0  158.6

x14,DRI SiO2  92.1  92.6 93.0 93.2 93.4  93.5

x16,DRI Al2O3  15.1  15.5 15.9 16.1 16.3  16.4

x18,DRI S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x19,scr1 imp  801.3  801.3 801.2 801.2 801.1  801.1

x20,scr1 C  37.2  37.2 37.2 37.2 37.2  37.2

x21,scr1 Si  481.9  482.0 482.0 482.1 482.2  482.2

x22,scr1 Mn  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x23,scr1 S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x24,scr1 Fe  314.0  297.1 281.1 265.8 251.7  239.1

x25,scr2 imp  199.1  199.2 199.2 199.3 199.3  199.3

x26,scr2 C  206.7  206.7 206.7 206.7 206.7  206.7

x27,scr2 Si  371.2  371.3 371.4 371.5 371.7  371.8

%Fe en DRI ganga  0.01  10  20  30  40  50 

x28,scr2 Mn  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x29,scr2 S  1.3  1.3 1.3 1.3 1.3  1.3

x30,scr2 Fe  504.5  504.5 504.5 504.5 504.5  504.5

x31,slag FeO  0.0  2.2 4.5 7.0 9.2  11.3

x33,slag SiO2  701.0  698.1 695.9 694.5 693.2  692.1

x35,slag CaO   236725218.7  236725218.7 236725218.7 236725218.7 236725218.7  236725218.7

x52,slag MgO   0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x36,slag S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x37,slag Al2O3  169.5  169.2 169.0 168.9 168.7  168.6

x39,coque S  0.2  0.2 0.2 0.1 0.1  0.1

x40,coque C  1.4  1.5 1.8 1.8 1.9  1.9

x41,FeSi  266.8  265.6 264.6 264.1 263.5  263.1

x43, C en FeMn  4.4  4.3 4.3 4.5 4.6  4.7

102

Tabla 7e. x44, FeMn  0.0  0.4 0.0 0.0 0.0  0.0

x46, CaO  129820109.9  129820109.9 129820109.9 129820109.9 129820109.9  129820109.9

x53, MgO  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x50,CO  0.2  0.8 1.1 1.2 1.2  1.3

x47,Ee  43.1  43.1 43.1 43.1 43.1  43.1

x48,Eo2  104.6  104.6 104.6 104.6 104.6  104.6

x49,Ecpart  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

RESTRICCIONES                   

impurezas  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

 C  0.6  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

requerimientos C  0.6  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

scrap1  313.1  296.4 280.6 265.5 251.7  239.2

impurezas  2.4  2.4 2.4 2.4 2.4  2.4

C  0.1  0.1 0.1 0.1 0.1  0.1

Si  1.0  1.0 1.0 1.0 1.0  1.0

Mn  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

Fe  309.6  292.9 277.1 262.0 248.2  235.7

scrap2  500.0  500.0 500.0 500.0 500.0  500.0

impurezas  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8

C  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

Si  0.9  0.9 0.9 0.9 0.9  0.9

Mn  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

Fe  498.1  498.1 498.1 498.1 498.1  498.1

S  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

FeSi+FeMn  728.0  728.8 730.2 730.7 731.3  731.7

DRI  23.8  41.3 58.1 73.8 88.2  101.2

FeO  6.2  5.8 5.4 5.0 4.6  4.3

Fe3C  12.6  12.5 12.5 12.5 12.4  12.4

SiO2  4.6  4.6 4.6 4.7 4.7  4.7

%Fe en DRI ganga  0.01  10  20  30  40  50 

Al2O3  0.5  0.5 0.5 0.5 0.5  0.5

S  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

otros,Fe  0.0  17.9 35.1 51.2 66.0  79.3

impurezas  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8

CaO  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

MgO  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

balance Fe  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

balance Al+Si  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

balance CaO+MgO  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

103

Tabla 7e. Balance O2  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

Balance total masa  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

Balance energía 1  676776940116.6  676776914464.7 676776886296.2 676776853611.9 676776818976.9  676776783668.8

Balance energía 2  676776940116.6  676776914464.7 676776886296.2 676776853611.9 676776818976.9  676776783668.8

max Eelec  43.1  43.1 43.1 43.1 43.1  43.1

min Eelec  43.1  43.1 43.1 43.1 43.1  43.1

max EO2  104.6  104.6 104.6 104.6 104.6  104.6

min EO2  104.6  104.6 104.6 104.6 104.6  104.6

max Ec partículas  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

min Ec partículas  0.0  10.0 1.0 0.0 1.5  0.2

x01, fume   10.0  10.0 10.0 10.0 10.0  10.0

x1  1.0  1.0 1.0 1.0 1.0  1.0

x2  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

x3  1.5  1.5 1.5 1.5 1.5  1.5

x4  0.2  0.2 0.2 0.2 0.2  0.2

x5  993.3  993.3 993.3 993.3 993.3  993.3

x6  4.0  4.0 4.0 4.0 4.0  4.0

coque  1.4  1.4 1.8 1.8 1.9  1.9

Balance energía 3  0.0  0.0 0.0 0.0 0.0  0.0

Tabla 7f. Condensado de corridas variando el % Fe en ganga (continuación)  %Fe en DRI ganga  60  70  70.89  80  90 

x0 fume  10.0  10.0 10.0 10.0  10.0

x1,acero C  1.0  1.0 1.0 1.0  1.0

x2,acero Si  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x3,acero Mn  1.5  1.5 1.5 1.5  1.5

x4, acero S  0.2  0.2 0.2 0.2  0.2

x5, acero Fe  993.3  993.3 993.3 993.3  993.3

x6, acero imp  4.0  4.0 4.0 4.0  4.0

x7, DRI imp  799.5  799.5 799.5 799.4  799.4

x8,DRI FeO  21.3  19.5 19.3 19.2  19.2

x10,DRI Fe3C  247.4  246.9 246.9 246.9  246.9

%Fe en DRI ganga  60  70  70.89  80  90 

x12, DRI CaO   0.0  0.0 0.0 2369.8  2369.8

x51,DRI MgO   0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x13,DRI Fe   151.9  144.9 144.4 142.0  142.0

x14,DRI SiO2  93.6  93.7 93.7 93.9  93.9

x16,DRI Al2O3  16.6  16.7 16.7 16.8  16.8

104

Tabla 7f. x18,DRI S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x19,scr1 imp  801.0  801.0 801.0 801.0  801.0

x20,scr1 C  37.2  37.2 37.2 37.2  37.2

x21,scr1 Si  482.3  482.3 482.3 482.3  482.3

x22,scr1 Mn  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x23,scr1 S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x24,scr1 Fe  227.9  218.1 217.3 213.6  213.6

x25,scr2 imp  199.4  199.4 199.4 199.4  199.4

x26,scr2 C  206.8  206.8 206.8 206.8  206.8

x27,scr2 Si  371.8  371.9 371.9 371.9  371.9

x28,scr2 Mn  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x29,scr2 S  1.3  1.3 1.3 1.3  1.3

x30,scr2 Fe  504.5  504.5 504.5 504.5  504.5

x31,slag FeO  13.1  14.7 14.9 15.1  15.1

x33,slag SiO2  691.0  690.1 690.0 689.0  689.0

x35,slag CaO   236725218.7  236725218.7 236725218.7 236725218.7  236725218.7

x52,slag MgO   0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x36,slag S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x37,slag Al2O3  168.5  168.5 168.4 168.4  168.4

x39,coque S  0.1  0.1 0.1 0.1  0.1

x40,coque C  1.9  1.9 1.9 2.0  2.0

x41,FeSi  262.6  262.2 262.2 261.8  261.8

x43, C en FeMn  4.8  4.9 4.9 4.9  4.9

x44, FeMn  0.0  0.0 0.0 0.8  0.8

x46, CaO  129820109.9  129820109.9 129820109.9 129820086.2  129820086.2

x53, MgO  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x50,CO  1.4  1.4 1.4 1.2  1.2

x47,Ee  43.1  43.1 43.1 43.1  43.1

x48,Eo2  104.6  104.6 104.6 104.6  104.6

x49,Ecpart  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

RESTRICCIONES                

impurezas  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

 C  0.0  0.0 0.0 0.0  ‐0.1

requerimientos C  0.0  0.0 0.0 0.0  ‐0.1

scrap1  228.2  218.5 217.7 214.1  214.1

impurezas  2.4  2.4 2.4 2.4  2.4

C  0.1  0.1 0.1 0.1  0.1

Si  1.0  1.0 1.0 1.0  1.0

Mn  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

%Fe en DRI ganga  60  70  70.89  80  90 

S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

105

Tabla 7f. Fe  224.7  215.0 214.2 210.6  210.6

scrap2  500.0  500.0 500.0 500.0  500.0

impurezas  0.8  0.8 0.8 0.8  0.8

C  0.2  0.2 0.2 0.2  0.2

Si  0.9  0.9 0.9 0.9  0.9

Mn  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

Fe  498.1  498.1 498.1 498.1  498.1

S  0.2  0.2 0.2 0.2  0.2

FeSi+FeMn  732.2  732.6 732.6 732.2  732.2

DRI  112.7  122.7 123.6 150.0  157.7

FeO  4.0  3.7 3.7 2.5  1.0

Fe3C  12.4  12.3 12.3 5.0  0.0

SiO2  4.7  4.7 4.7 4.7  4.7

Al2O3  0.5  0.5 0.5 0.5  0.5

S  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

otros,Fe  91.1  101.5 102.3 113.6  127.8

impurezas  0.8  0.8 0.8 0.8  0.8

CaO  0.0  0.0 0.0 23.7  23.7

MgO  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

balance Fe  0.0  0.0 0.0 0.0  ‐8.4

balance Al+Si  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

balance CaO+MgO  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

Balance O2  0.0  0.0 0.0 0.0  ‐0.3

Balance total masa  0.0  0.0 0.0 0.0  ‐7.7

Balance energía 1  676776748665.5  676776714761.7 676776711895.0 676800004619.5  #¡DIV/0! 

Balance energía 2  676776748665.5  676776714761.7 676776711895.0 676800004619.5  #¡DIV/0! 

max Eelec  43.1  43.1 43.1 43.1  43.1

min Eelec  43.1  43.1 43.1 43.1  43.1

max EO2  104.6  104.6 104.6 104.6  104.6

min EO2  104.6  104.6 104.6 104.6  104.6

max Ec partículas  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

min Ec partículas  993.3  4.0 1.9 0.0  0.0

x01, fume   10.0  10.0 10.0 10.0  10.0x1  1.0  1.0 1.0 1.0  1.0

x2  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

x3  1.5  1.5 1.5 1.5  1.5

x4  0.2  0.2 0.2 0.2  0.2

x5  993.3  993.3 993.3 993.3  993.3

x6  4.0  4.0 4.0 4.0  4.0coque  1.9  1.9 1.9 2.0  2.0

Balance energía 3  0.0  0.0 0.0 0.0  0.0

106

5.2) RESULTADOS SECUNDARIOS A continuación se presentan los resultados de algunas corridas usando otras composiciones de los aceros con la misma composición de materias primas y como funciones objetivo los beneficios, las ecuaciones de balance de energía y la diferencia de entalpias: Tabla 8. Acero aisi 304 (acero inoxidable)

DRI  %  SCRAP1  %  SCRAP2  % Slag (form. de espuma)  % 

Impureza  0.1  Impurezas  0.3  Impurezas  0.4  FeO  15 

FeO  15  C  0.4  C  0.1  SiO2  28 

Fe3C  5  Si  0.2  Si  0.25  Al2O3  2 

      Mn  0.5  Mn  0.5  CaO  54.84 

      S  0.02  S  0.03  MgO  0 

ganga     Fe  98.58  Fe  98.72  S  0.16 

CaO  1                   

MgO  0  Total =  100  Total =  100  Total =  100 

SiO2  5  FeMn     FeSi  %  ACERO  % 

Al2O3  3  C  4  FeSi  100  Obtenido    S  0.01  FeMn  96        C  0.08 

otros,Fe  70.89        Total =  100  Si  1 

      Total =  100  CaO, MgO  %  Mn  2 

Total =  100  Fume  %  CaO  100  S  0.03 

Carga coque  %  10  Kg/ton acero  MgO  0  Fe  66.34 

S  0.6  FeO  100  CO  100%  Impurezas  0 

C  99.4  FeO, O  22.27% C  42.88%  Trazas  30.55 

      FeO, Fe  77.73% O  57.12%  P  0.05 

Total =  100            Ni  10.5 

        CO2  100%  Sn  0 

  eficiencia térmica 

=  83%   C  27.29%  Cr  20 

  eficiencia eléctrica 

=  90%   O  72.71%  Mo  0 

            V  0 

            Impurezas+trazas  30.55 

            Total =  100 

107

Tabla 9a. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema aisi 304

coque [%]  0.00%  7.69% 15.38% 23.08% 30.77%  38.46% 46.15%

Particulas C [%]  84.52%  76.82% 74.94% 67.25% 59.56%  51.87% 44.17%

total C [%]  84.52%  84.52% 90.33% 90.33% 90.33%  90.33% 90.33%

x0 fume  10  10 10 10 10  10 10

x1,acero C  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8 0.8

x2,acero Si  10  10 10 10 10  10 10

x3,acero Mn  20  20 20 20 20  20 20

x4, acero S  0.3  0.3 0.3 0.3 0.3  0.3 0.3

x5, acero Fe  663.4  663.4 663.4 663.4 663.4  663.4 663.4

x6, acero imp  305.5  305.5 305.5 305.5 305.5  305.5 305.5

x7, DRI imp  24645.88413  24645.88413 24645.88415 24645.88415 24645.88415  24645.88415 24645.88415

x8,DRI FeO  0  0 0 0 0  0 0

x10,DRI Fe3C  3507.082321  3507.082321 3507.082321 3507.082321 3507.082321  3507.082321 3507.082321

x12, DRI CaO   0  0 0 0 0  0 0

x51,DRI MgO   0  0 0 0 0  0 0

x13,DRI Fe   0  0 0 0 0  0 0

x14,DRI SiO2  0  0 0 0 0  0 0

x16,DRI Al2O3  0  0 0 0 0  0 0

x18,DRI S  9.99989E‐06  9.99989E‐06 1.54494E‐05 0 0  0 0

x19,scr1 imp  35613.9352  35613.9352 35613.9352 35613.9352 35613.9352  35613.9352 35613.9352

x20,scr1 C  0  0 0 0 0  0 0

x21,scr1 Si  4940.288898  4940.288898 4940.283326 4940.283326 4940.283326  4940.283326 4940.283326

x22,scr1 Mn  0  0 0 0 0  0 0

x23,scr1 S  499.9972608  499.9972608 499.9971368 499.9971368 499.9971368  499.9971368 499.9971368

x24,scr1 Fe  185.3508805  185.3508589 185.7457524 185.7457475 185.7457425  185.7457376 185.7457326

x25,scr2 imp  43503.07757  43503.07757 43503.07757 43503.07757 43503.07757  43503.07757 43503.07757

x26,scr2 C  0  0 0 0 0  0 0

x27,scr2 Si  0  0 0 0 0  0 0

x28,scr2 Mn  582.6838237  582.6838237 582.6809179 582.6809179 582.6809179  582.6809179 582.6809179

x29,scr2 S  333.3320998  333.3320998 333.3319136 333.3319136 333.3319136  333.3319136 333.3319136

x30,scr2 Fe  327.1619439  327.1619439 327.1619586 327.1619586 327.1619586  327.1619586 327.1619586

x31,slag FeO  0  0 0.038510755 0.038510755 0.038510755  0.038510755 0.038510755

x33,slag SiO2  0  0 0.428884642 0.428903408 0.428922139  0.428940887 0.428959638

x35,slag CaO   128103183.2  128103183.2 128103183.3 128103183.3 128103183.3  128103183.3 128103183.3

x52,slag MgO   0  0 0 0 0  0 0

x36,slag S  0  0 0 0 0  0 0

x37,slag Al2O3  0.167988386  0.167988386 0.183112734 0.183112734 0.183112734  0.183112734 0.183112734

x39,coque S  0.000152818  0.006225251 0.007767096 0.013839524 0.019911956  0.025984389 0.032056821

x40,coque C  0  1.005999646 2.012025551 3.018025114 4.024024676  5.030024239 6.036023802

x41,FeSi  0.362202899  0.362202899 0.530466617 0.530473957 0.530481283  0.530488617 0.530495951

108

Tabla 9a. x43, C en FeMn  0  0 0.043064786 0.043064786 0.043064786  0.043064786 0.043064786

x44, FeMn  3.392436527  3.392481244 2.348982261 2.348982261 2.348982261  2.348982261 2.348982261

coque [%]  0.00%  7.69% 15.38% 23.08% 30.77%  38.46% 46.15%

Partículas C [%]  84.52%  76.82% 74.94% 67.25% 59.56%  51.87% 44.17%

total C [%]  84.52%  84.52% 90.33% 90.33% 90.33%  90.33% 90.33%

x46, CaO  70251785.67  70251785.67 70251785.71 70251785.71 70251785.71  70251785.71 70251785.71

x53, MgO  0  0 0 0 0  0 0

x50,CO  14.86089246  14.86082417 15.44966424 15.44962176 15.44957929  15.44953681 15.44949432

x47,Ee  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

x48,Eo2  10.71693842  10.71689941 11.11862521 11.11860374 11.11858228  11.1185608 11.11853933

x49,Ecpart  10.98709005  9.987038566 9.742818952 8.742800734 7.742782539  6.742764319 5.742746102

RESTRICCIONES                      

impurezas  0  0 ‐2.84217E‐14 0 0  0 0

 C  2.8  2.8 2.8 2.8 2.8  2.8 2.8requerimientos C  2.8  2.8 2.8 2.8 2.8  2.8 2.8

scrap1  299.5412808  299.5412595 299.9305344 299.9305295 299.9305247  299.9305198 299.9305149

impurezas  106.8418056  106.8418056 106.8418056 106.8418056 106.8418056  106.8418056 106.8418056

C  0  0 0 0 0  0 0

Si  9.880577796  9.880577796 9.880566653 9.880566653 9.880566653  9.880566653 9.880566653

Mn  0  0 0 0 0  0 0

S  0.099999452  0.099999452 0.099999427 0.099999427 0.099999427  0.099999427 0.099999427

Fe  182.718898  182.7188767 183.1081628 183.1081579 183.108153  183.1081481 183.1081432

scrap2  500  500 500 500 500  500 500

impurezas  174.0123103  174.0123103 174.0123103 174.0123103 174.0123103  174.0123103 174.0123103

C  0  0 0 0 0  0 0

Si  0  0 0 0 0  0 0

Mn  2.913419118  2.913419118 2.913404589 2.913404589 2.913404589  2.913404589 2.913404589

S  0.09999963  0.09999963 0.099999574 0.099999574 0.099999574  0.099999574 0.099999574

Fe  322.974271  322.974271 322.9742856 322.9742856 322.9742856  322.9742856 322.9742856

S  0.1  0.099963565 0.099954394 0.099917961 0.099881527  0.099845092 0.099808658

FeSi+FeMn  689.6453605  689.6453158 690.5205511 690.5205437 690.5205364  690.5205291 690.5205218

DRI  200  200 200 200 200  200 200

FeO  24.64588413  24.64588413 24.64588415 24.64588415 24.64588415  24.64588415 24.64588415

Fe3C  175.3541159  175.3541159 175.3541158 175.3541159 175.3541159  175.3541159 175.3541159

SiO2  0  0 0 0 0  0 0

Al2O3  0  0 0 0 0  0 0

S  9.99989E‐10  9.99989E‐10 1.54494E‐09 0 0  0 0

otros,Fe  0  0 0 0 0  0 0

impurezas  24.64588413  24.64588413 24.64588415 24.64588415 24.64588415  24.64588415 24.64588415

CaO  0  0 0 0 0  0 0

MgO  0  0 0 0 0  0 0

109

Tabla 9a. balance Fe  ‐2.68896E‐13  ‐5.60729E‐12 ‐8.63754E‐14 ‐3.77476E‐14 ‐3.77476E‐15  ‐3.86358E‐14 ‐7.39409E‐14

balance Al+Si  0  0 ‐7.02216E‐15 5.55112E‐17 ‐7.49401E‐16  ‐1.38778E‐16 ‐4.71845E‐16balance CaO+MgO  0  0 0 0 0  0 0

Balance O2  ‐2.38032E‐13  ‐5.60973E‐12 ‐5.32907E‐15 ‐1.77636E‐15 3.55271E‐15  0 1.77636E‐15Balance total masa  2.88088E‐08  5.24563E‐07 9.73672E‐09 1.34333E‐08 ‐8.37988E‐09  ‐1.16631E‐09 4.6646E‐09

coque [%]  0.00%  7.69% 15.38% 23.08% 30.77%  38.46% 46.15%

Partículas C [%]  84.52%  76.82% 74.94% 67.25% 59.56%  51.87% 44.17%

total C [%]  84.52%  84.52% 90.33% 90.33% 90.33%  90.33% 90.33%Balance energía 1  3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11Balance energía 2  3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11

max Eelec  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

min Eelec  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

max EO2  10.71693842  10.71689941 11.11862521 11.11860374 11.11858228  11.1185608 11.11853933

min EO2  10.71693842  10.71689941 11.11862521 11.11860374 11.11858228  11.1185608 11.11853933max Ec partículas  10.98709005  9.987038566 9.742818952 8.742800734 7.742782539  6.742764319 5.742746102

min Ec partículas  10.98709005  9.987038566 9.742818952 8.742800734 7.742782539  6.742764319 5.742746102

x01, fume   10  10 10 10 10  10 10

x1  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8 0.8

x2  10  10 10 10 10  10 10

x3  20  20 20 20 20  20 20

x4  0.3  0.3 0.3 0.3 0.3  0.3 0.3

x5  663.4  663.4 663.4 663.4 663.4  663.4 663.4

x6  305.5  305.5 305.5 305.5 305.5  305.5 305.5

coque  0.00  1.00 2.00 3.00 4.00  5.00 6.00Balance energía 3  0  0 0 0 0  0 0

Tabla 9b. Condensado de resultados de las corridas prueba para el problema aisi 304 (continuación)

coque [%]  53.85%  61.54% 69.23% 76.92% 84.62%  92.31% 100.00%

Partículas C [%]  36.48%  28.79% 21.10% 13.41% 5.71%  0.00% 0.00%

total C [%]  90.33%  90.33% 90.33% 90.33% 90.33%  92.31% 100.00%

x0 fume  10  10 10 10 10  10 10

x1,acero C  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8 0.8

x2,acero Si  10  10 10 10 10  10 10

x3,acero Mn  20  20 20 20 20  20 20

x4, acero S  0.3  0.3 0.3 0.3 0.3  0.3 0.3

x5, acero Fe  663.4  663.4 663.4 663.4 663.4  663.4 663.4

x6, acero imp  305.5  305.5 305.5 305.5 305.5  305.5 305.5

x7, DRI imp  24645.88415  24645.88415 24645.88415 24645.88415 24645.88415  24645.88418 24645.88431

x8,DRI FeO  0  0 0 0 0  0 0

x10,DRI Fe3C  3507.082321  3507.082321 3507.082321 3507.082321 3507.082321  3507.08232 3507.082317

110

Tabla 9b. x12, DRI CaO   0  0 0 0 0  0 0

x51,DRI MgO   0  0 0 0 0  0 0

x13,DRI Fe   0  0 0 0 0  0 0

x14,DRI SiO2  0  0 0 0 0  0 0

x16,DRI Al2O3  0  0 0 0 0  0 0

x18,DRI S  0  0 0 0 0  0 0

x19,scr1 imp  35613.9352  35613.9352 35613.9352 35613.9352 35613.9352  35613.9352 35613.9352

x20,scr1 C  0  0 0 0 0  0 0

coque [%]  53.85%  61.54% 69.23% 76.92% 84.62%  92.31% 100.00%

Partículas C [%]  36.48%  28.79% 21.10% 13.41% 5.71%  0.00% 0.00%

total C [%]  90.33%  90.33% 90.33% 90.33% 90.33%  92.31% 100.00%

x21,scr1 Si  4940.283326  4940.283326 4940.283326 4940.283326 4940.283326  4940.283312 4940.283366

x22,scr1 Mn  0  0 0 0 0  0 0

x23,scr1 S  499.9971368  499.9971368 499.9971368 499.9971368 499.9971368  499.9970038 499.9964117

x24,scr1 Fe  185.7457277  185.7457227 185.7457178 185.7457128 185.7457079  185.8766685 186.385136

x25,scr2 imp  43503.07757  43503.07757 43503.07757 43503.07757 43503.07757  43503.07756 43503.07753

x26,scr2 C  0  0 0 0 0  0 0

x27,scr2 Si  0  0 0 0 0  0 0

x28,scr2 Mn  582.6809179  582.6809179 582.6809179 582.6809179 582.6809179  582.6772086 582.6629821

x29,scr2 S  333.3319136  333.3319136 333.3319136 333.3319136 333.3319136  333.3317142 333.330826

x30,scr2 Fe  327.1619586  327.1619586 327.1619586 327.1619586 327.1619586  327.1619775 327.16205

x31,slag FeO  0.038510755  0.038510755 0.038510755 0.038510755 0.038510755  0.038411791 0.036355101

x33,slag SiO2  0.428978383  0.428997142 0.42901587 0.429034633 0.429053395  0.583592296 1.18460081

x35,slag CaO   128103183.3  128103183.3 128103183.3 128103183.3 128103183.3  128103183.3 128103183.3

x52,slag MgO   0  0 0 0 0  0 0

x36,slag S  0  0 0 0 0  0 0

x37,slag Al2O3  0.183112734  0.183112734 0.183112734 0.183112734 0.183112734  0.168282453 0.111183601

x39,coque S  0.038129254  0.044201692 0.050274124 0.056346551 0.062418983  0.069893817 0.08122412

x40,coque C  7.042023365  8.048023933 9.054023496 10.06002205 11.06602162  12.07201271 13.07798154

x41,FeSi  0.530503283  0.53051062 0.530517945 0.530525284 0.530532622  0.590509228 0.82377844

x43, C en FeMn  0.043064786  0.043064786 0.043064786 0.043064786 0.043064786  0.053398532 0.091635445

x44, FeMn  2.348982261  2.348982261 2.348982261 2.348982261 2.348982261  1.993905646 0.614312689

x46, CaO  70251785.71  70251785.71 70251785.71 70251785.71 70251785.71  70251785.71 70251785.71

x53, MgO  0  0 0 0 0  0 0

x50,CO  15.44945184  15.44940935 15.44936688 15.44932438 15.44928189  15.64961654 16.4281075

x47,Ee  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

x48,Eo2  11.11851786  11.11849639 11.11847492 11.11845345 11.11843197  11.25576375 11.78944892

x49,Ecpart  4.742727889  3.742708654 2.742690463 1.742673228 0.742655001  0 0

RESTRICCIONES                      

impurezas  0  0 0 0 0  ‐2.84217E‐14 ‐5.68434E‐14

 C  2.8  2.8 2.8 2.8 2.8  2.8 2.8

111

Tabla 9b. requerimientos C  2.8  2.8 2.8 2.8 2.8  2.8 2.8

scrap1  299.93051  299.9305051 299.9305003 299.9304954 299.9304905  300.0595914 300.5608387

impurezas  106.8418056  106.8418056 106.8418056 106.8418056 106.8418056  106.8418056 106.8418056

C  0  0 0 0 0  0 0

Si  9.880566653  9.880566653 9.880566653 9.880566653 9.880566653  9.880566623 9.880566731

Mn  0  0 0 0 0  0 0

S  0.099999427  0.099999427 0.099999427 0.099999427 0.099999427  0.099999401 0.099999282

Fe  183.1081384  183.1081335 183.1081286 183.1081237 183.1081188  183.2372198 183.7384671

scrap2  500  500 500 500 500  500 500

impurezas  174.0123103  174.0123103 174.0123103 174.0123103 174.0123103  174.0123102 174.0123101

C  0  0 0 0 0  0 0

coque [%]  53.85%  61.54% 69.23% 76.92% 84.62%  92.31% 100.00%

Partículas C [%]  36.48%  28.79% 21.10% 13.41% 5.71%  0.00% 0.00%

total C [%]  90.33%  90.33% 90.33% 90.33% 90.33%  92.31% 100.00%

Si  0  0 0 0 0  0 0

Mn  2.913404589  2.913404589 2.913404589 2.913404589 2.913404589  2.913386043 2.91331491

S  0.099999574  0.099999574 0.099999574 0.099999574 0.099999574  0.099999514 0.099999248

Fe  322.9742856  322.9742856 322.9742856 322.9742856 322.9742856  322.9743042 322.9743757

S  0.099772223  0.099735788 0.099699354 0.099662919 0.099626485  0.099581722 0.099514125

FeSi+FeMn  690.5205144  690.5205071 690.5204998 690.5204924 690.5204851  690.8155851 691.9619088

DRI  200  200 200 200 200  200 200

FeO  24.64588415  24.64588415 24.64588415 24.64588415 24.64588415  24.64588418 24.64588431

Fe3C  175.3541159  175.3541159 175.3541159 175.3541159 175.3541159  175.3541158 175.3541157

SiO2  0  0 0 0 0  0 0

Al2O3  0  0 0 0 0  0 0

S  0  0 0 0 0  0 0

otros,Fe  0  0 0 0 0  0 0

impurezas  24.64588415  24.64588415 24.64588415 24.64588415 24.64588415  24.64588418 24.64588431

CaO  0  0 0 0 0  0 0

MgO  0  0 0 0 0  0 0

balance Fe  4.44089E‐16  ‐3.33067E‐15 1.06581E‐14 6.4837E‐14 ‐8.21565E‐15  ‐6.42819E‐14 1.12133E‐13

balance Al+Si  ‐1.55431E‐15  1.63203E‐14 ‐6.21725E‐15 2.72005E‐15 1.94289E‐16  1.55431E‐15 ‐1.69087E‐13balance CaO+MgO  0  0 0 0 0  0 0

Balance O2  3.55271E‐15  ‐6.21725E‐14 4.08562E‐14 ‐7.10543E‐15 0  ‐1.95399E‐14 4.52971E‐13Balance total masa  ‐7.03435E‐09  ‐4.3813E‐09 ‐1.31391E‐08 6.19103E‐11 1.05528E‐08  1.37201E‐08 ‐5.02313E‐08Balance energía 1  3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11Balance energía 2  3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11 3.66249E+11  3.66249E+11 3.66249E+11

max Eelec  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

min Eelec  40.49509282  40.49509282 40.49509282 40.49509282 40.49509282  40.49509282 40.49509282

112

Tabla 9b. max EO2  11.11851786  11.11849639 11.11847492 11.11845345 11.11843197  11.25576375 11.78944892

min EO2  11.11851786  11.11849639 11.11847492 11.11845345 11.11843197  11.25576375 11.78944892max Ec partículas  4.742727889  3.742708654 2.742690463 1.742673228 0.742655001  0 0min Ec partículas  4.742727889  3.742708654 2.742690463 1.742673228 0.742655001  0 0

x01, fume   10  10 10 10 10  10 10

x1  0.8  0.8 0.8 0.8 0.8  0.8 0.8

x2  10  10 10 10 10  10 10

x3  20  20 20 20 20  20 20

x4  0.3  0.3 0.3 0.3 0.3  0.3 0.3

x5  663.4  663.4 663.4 663.4 663.4  663.4 663.4

x6  305.5  305.5 305.5 305.5 305.5  305.5 305.5

coque  7.00  8.00 9.00 10.00 11.00  12.00 13.00Balance energía 3  0  0 0 0 0  0 0

Fig. 11. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. No hay cambios apreciables en beneficios ya que se supone que el mínimo beneficio es cero.

‐4E‐11

‐2E‐11

0

2E‐11

4E‐11

6E‐11

8E‐11

1E‐10

0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 100.00% 120.00%

Benef. [$/ton] vs carga coque (max 13 Kg)

113

Fig. 12. Impacto en los costos debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. No hay cambios apreciables en beneficios ya que se supone que el mínimo beneficio es cero.

Fig. 13. Impacto en los beneficios debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. En el límite de 13 Kg el beneficio es positivo, en cargas menores el costo superan la factibilidad de producir el acero.

106786.1

106786.1106786.1

106786.1

106786.1106786.1

106786.1

106786.1106786.1

106786.1

0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 100.00% 120.00%

costos [$/ton]vs Carga de coque (max 13 Kg/ton acero)

‐0.00003

‐0.00003

‐0.00002

‐0.00002

‐0.00001

‐0.00001

‐0.00000

0

0.000005

0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 100.00% 120.00%

Benef. [$/ton] vs carga coque (max 13 Kg)

114

Fig. 14. Impacto en los costos debido a la variación de la carga de coque (0-13 Kg/ton acero). Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%. En el límite de 13 Kg el costo de materias primas balancea la producción del acero deseado, en cargas menores el costo superan la factibilidad de producir el acero.

Fig. 15. Impacto en los beneficios debido a la variación del %Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%.

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

106786.1

0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 100.00% 120.00%

costos [$/ton]vs Carga de coque (max 13 Kg/ton acero)

‐0.2

‐0.15

‐0.1

‐0.05

0

0.05

‐10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Benef. [$/ton] vs %Fe en ganga

115

Fig. 16. Impacto en los costos debido a la variación del %Fe en ganga. Se cuida de la consistencia de las fracciones, esto es, los totales deben ser el 100%.

Fig. 17. Impacto en los %costos debido a la variación del %Fe en la carga metálica y ferroalentes. Se toma en cuenta las cotas de las restricciones de Fe y ferroalentes.

106786.0

106786.1

106786.1

106786.2

106786.2

106786.3

106786.3

‐10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

costos [$/ton] vs %Fe en ganga

‐100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

‐0.000005%0.000000%0.000005%0.000010%0.000015%0.000020%0.000025%0.000030%0.000035%0.000040%0.000045%

x13,DRI Fe 

x24,scr1 Fe

x30,scr2 Fe

restricción Fe

restricción FeSi+FeMn

x41,FeSi

x44, FeMn

116

CAPITULO VI ANÁLISIS DE RESULTADOS 6.1) ANÁLISIS DE RESULTADOS PRIMARIOS El modelo que linealiza el proceso de aceración en su fase primaria es flexible al dejar que el cliente establezca las composiciones y las reacciones que se llevan a cabo según la composición de la escoria. Además, aunque no se tenga la información exacta de los costos de las materias primas el método simplex permite cierta relajación en este sentido al permitirnos usar información parcial y establecer rangos de ganancia a partir de los precios de ventas y/o algunos costos. Respecto a los coeficientes de las restricciones, íntimamente relacionados con las composiciones, el método simplex permite cierta holgura sobre la exactitud de sus valores, como se demostró al variar los parámetros el valor de la función objetivo no cambia drásticamente, lo cual se esperaba. Sin embargo, un cambio de signo, por ejemplo en las entalpías, resulta ser desastroso. Por lo tanto, establecidas las hipótesis de transferencia de energía, los criterios se deben de conservar estrictamente, pues un error en su aplicación crea no factibilidad e inconsistencias en el proceso de optimización. Al variar el suministro de materias primas se encuentra una variación casi nula, pero al asignar costos a la escoria (aunque esta sea un producto cuesta deshacerse de ella) es notable la variación obteniéndose beneficios significativos debido a esto último más que a la variación de las cotas de energía. Además, si se asignan costos nulos a los residuos automáticamente el algoritmo simplex los excluye de la base asignándoles valores nulos o libres ya que no contribuyen a la función objetivo a optimizar. El precio que se ha pagado en el pre-tratamiento de datos, es decir, la linealización de las ecuaciones fenomenológicas, es la falta de soluciones factibles, por lo que se ha tenido que dividir las ecuaciones de energía y liberar las restricciones. Esto ocasiona la utilizaron de los algoritmos de multiplicadores de Lagrange y método de Newton para rastrear las soluciones. La aplicación de algoritmos cuadráticos no arrojarón soluciones factibles aun cuando se liberaron las restricciones. 6.2) ANÁLISIS DE RESULTADOS SECUNDARIOS Como se esperaba, el modelo abierto a las composiciones funciona para cualquiera, siempre y cuando se establezcan las reacciones y sus entalpías. Es por esta razón que cobra relevancia el análisis de consistencias y congruencia previo que genera el tableau inicial.

117

Entre un acero y otro la diferencia de beneficios es de un 33.09% respecto al acero prototipo utilizando las mismas materias primas y casi los mismos niveles energéticos radicando la diferencia en la inyección de partículas de C. Si cambiamos la FO por un de balance de energía, el análisis arroja más información. Esto se hizo sólo con el acero prototipo quedando pendiente profundizar más en esta modalidad.

Tabla 10. Comparativo entre los aceros deseados prototipo y aisi 304 AISI 304

coque [Kg]  Partículas C [Kg]  total C [Kg]  O2 [Kg]  Ee [KW] 

0  10.9870901  10.98709005 10.7169384 40.49509281  9.98703857  10.98703857 10.7168994 40.49509282  9.74281895  11.74281895 11.1186252 40.49509283  8.74280073  11.74280073 11.1186037 40.49509284  7.74278254  11.74278254 11.1185823 40.49509285  6.74276432  11.74276432 11.1185608 40.49509286  5.7427461  11.7427461 11.1185393 40.49509287  4.74272789  11.74272789 11.1185179 40.49509288  3.74270865  11.74270865 11.1184964 40.49509289  2.74269046  11.74269046 11.1184749 40.4950928

10  1.74267323  11.74267323 11.1184534 40.495092811  0.742655  11.742655 11.118432 40.495092812  0  12 11.2557638 40.495092813  0  13 11.7894489 40.4950928

Tabla 11. Condensado de resultados de requerimientos de C, O2 y Ee de las corridas prueba para el problema aisi 304

ansi 304 prototipo diferenciabeneficio + 5.3681E‐07 0.05147116 99.999%Kg coque 13 2 550%

beneficio + 0.00053681 0.05918165 99.093%%Fe en ganga 70 70.89 1.3%

costos 106786.114 197332.7905 45.885%Kg coque 13 2 550%

costos 106786.113 197332.783 45.885%%Fe en ganga 70 70.89 1.3%

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coque [Kg]  Partículas C [Kg]  total C [Kg]  O2 [Kg}  Ee[KW] 

0  0.44728243  0.44728243 104.632 43.063129640.2  0.24729001  0.44729001 104.632 43.063129640.4  0.0472963  0.4472963 104.632 43.063129640.6  0  0.6 104.632 43.063129640.8  0  0.8 104.632 43.063129641  0  1 104.632 43.06312964

1.2  0  1.2 104.632 43.063129641.4  0  1.4 104.632 43.063129641.6  0  1.6 104.632 43.063129641.8  0  1.8 104.632 43.063129642  0  2 104.632 43.06312964

Tabla 12. Condensado de resultados de requerimientos de C, O2 y Ee de las corridas prueba para el problema acero prototipo 1010.

119

CONCLUSIONES

1) La reducción en costos energéticos en el proceso de aceración sólo puede ser significativo en el manejo de la composición de la escoria y el costo de deshacerse de ella.

2) La composición del HRD y de la chatarra reduce poco los costos energéticos pero se gana en la calidad del acero obtenido.

3) El gas natural y los quemadores son agentes intermedios en el proceso aunque incurran en costos no alteran significativamente en el objetivo final, esto es, maximizar los beneficios.

4) Al aumentar significativamente el precio de la energía eléctrica, los niveles energéticos no cambian, esto es, no son sensibles a la función objetivo.

5) Se tiene un porcentaje mínimo de inyección de partículas de carbono para que se lleven a cabo las reacciones y éste es de 0.8 Kg/ton de acero. Esto se refleja en la factibilidad del modelo.

6) Cuando se trabaja con la función objetivo de las diferencias de entalpía excluyendo a la energía eléctrica, la cantidad de partículas de C no es relevante, se usa el máximo de energía eléctrica y la mínima inyección de oxígeno. Todo esto sin considerar alguna restricción presupuestal y sólo minimizando la diferencia entre las entalpías del acero deseado y la de las materias primas en el proceso de aceración.

7) No hay manera de reducir más los consumos energéticos en el proceso de aceración a través de manipulación de composiciones química de las materias primas sin tomar en cuenta el medio ambiente. Si la escoria tuviera un costo de deshacerse ecológicamente de ella impactaría significativamente en los beneficios y por ende en los precios de venta del acero. Lo mismo pasa con los gases de desecho (fume). Esto se observó al hacer el análisis de sensibilidad al variar un parámetro manteniendo los otros fijos.

8) El modelo más conveniente es el último, aquel en el cual, la función objetivo es la diferencia de entalpías entre el acero deseado y las materias primas y su transformación.

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