índice : binómio de newton - farmapuntes · pdf fileelemento se repite a veces ,...

ÍNDICE :

Introducción• Número factorial• Variaciones• Permutaciones• Combinaciones• Números combinatorios• Triángulo de Tartáglia• Binómio de Newton•

Introducción : La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación oagrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas . Una forma de hacerestos recuentos es utilizar los diagramas en árbol . Estos recuentos están intimamente relacionados con laprobabilidad .

Número factorial : es el producto de nos consecutivos naturales

n! = (n)·(n−1)·(n−2)·.........3·2·1

Todo producto tiene al menos dos factores , luego debemos admitir que 0! = 1 y que 1! = 1

Variaciones ordinarias :

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n ( nm ) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que :

los n elementos que forman el grupo son distintos ( no se repiten )• Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden ) .

•

Vm,n =

Variaciones con repetición : se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a losdistintos grupos formados por n elementos de manera que :

los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos• Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos estáncolocados ( influye el orden ) .

•

VRm,n = mn

Permutaciones ordinarias : se llama permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos melementos de forma que :

en cada grupo intervienen los m elementos sin repetirse ninguno (intevienen todos los elementos )• dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos m elementos es distinto (influye el orden ) .

•

1

Pm = m!

Permutaciones con repetición : se llama permutaciones con repetición de m elementos donde el primerelemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercer c .......... a los distintos qrupos que pueden formarsecon esos m elementos de forma que :

intervienen todos los elementos• dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos .•

PRma,b,c... =

Combinaciones : se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n ( nm ) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que :

cada agrupación está formada por n elementos distrintos entre sí• dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden .•

Cm,n =

=

= número combinatorio

Combinaciones con repetición : se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n ,a los distintos grupos formados por n elementos de manera que :

los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos•

dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden .•

CRm,n =

Por ejemplo las combinaciones con repetición de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son :

aa ab ac ad

bb bc bd

cc cd

dd

Otro ejemplo : en una bodega hay 12 botellas de ron , 12 de ginebra y 12 de anís .Un cliente compró 8 botellasen total . ¿Cuántas posibilidades hay ?

CR8,3 = 120

Resumen :

2

Intervienen todos los elementos Permutaciones

Influye el orden Variaciones

No intervienen todos los elementos

No influye el orden Combinaciones

Números combinatorios : se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinacionesde m elementos tomados de n en n tales que nm .

=

Propiedades :

=

= 1

•

=

•

+

=

•

+

+................+

•

3

=

Triángulo de Tartaglia o Pascal :

1

4

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Binomio de Newton :

(a + b) = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

...........................................

Si nos fijamos atentamente , los coeficientes coinciden con los del triángulo de Pascal , los exponentes de avan disminuyendo desde n hasta 0 y los de b van aumentando desde 0 hasta n , y en cada término la suma delos exponentes de a y b es igual a n .

Generalizando :

(a + b)n =

anb0 +

an−1b1 + ......................+

a1bn−1 +

a0bn

ÍNDICE

Definición de Estadística• Conceptos generales• Tratamiento de la información• Representación de los datos• Medidas de centralización• Medidas de dispersión• Estadística bidimensional• Correlación• Regresión•

Definición de Estadística : la palabra estadística procede del vocablo "estado" pues era función principal delos gobiernos de los estados establecer registros de población , nacimientos , defunciones , etc . Hoy en día la

5

mayoría de las personas entienden por estadística al conjunto de datos , tablas , gráficos , que se suelenpublicar en los periodicos .

En la actualidad se entiende por estadística como un método para tomar decisiones , de ahí que se emplee enmultitud de estudios científicos .

La estadística se puede dividir en dos partes :

Estadística descriptiva o deductiva , que trata del recuento , ordenación y clasificación de los datosobtenidos por las observaciones . Se construyen tablas y se representan gráficos , se calculanparámetros estadísticos que caracterizan la distribución , etc.

•

Estadística inferencial o inductiva , que establece previsiones y conclusiones sobre una población apartir de los resultados obtenidos de una muestra . Se apoya fuertemente en el cálculo deprobabilidades .

•

Población : es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica . Ejemplo :alumnos matriculados en COU en toda España .

Muestra : cualquier subconjunto de la población . Ejemplo : alumnos de COU del Sotomayor .

Carácter estadístico : es la propiedad que permite clasificar a los individuos , puede haber de dos tipos :

Cuantitativos : son aquellos que se pueden medir . Ejemplo : nº de hijos , altura , temperatura .• Cualitativos : son aquellos que no se pueden medir . Ejemplo : profesión , color de ojos , estado civil .•

Variable estadística : es el conjunto de valores que puede tomar el carácter estadístico cuantitativo ( pues elcualitativo tiene "modalidades'' ) . Puede ser de dos tipos :

Discreta : si puede tomar un número finito de valores . Ejemplo : nº de hijos• Continua : si puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo . Ejmplo : temperatura ,altura .

•

Frecuencia absoluta fi : ( de un determinado valor xi ) al número de veces que se repite dicho valor .

Frecuencia absoluta acumulada Fi : ( de un determinado valor xi ) a su frecuencia absoluta más la suma delas frecuencias absolutas de todos los valores anteriores .

Frecuencia relativa hi : es el cociente fi/N , donde N es el número total de datos .

Frecuencia relativa acumulada Hi : es el cociente Fi/N

Si las frecuencias relativas las multiplicamos por 100 obtenemos los % .

Tratamiento de la información : se deben de seguir los siguientes pasos :

recogida de datos• ordenación de los datos• recuento de frecuencias• agrupación de los datos , en caso de que sea una variable aleatoria continua o bien discreta pero conun número de datos muy grande se agrupan en clases .

•

Nº de clases =

6

Los puntos medios de cada clase se llaman marcas de clase .

Además se debe adoptar el criterio de que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por laderecha .

construcción de la tabla estadística que incluirá , clases , marca de clase , fi , Fi , hi , Hi .•

Ejemplo : Las notas de Matemáticas de una clase han sido las siguientes :

5 3 4 1 2 8 9 8 7 6 6 7 9 8 7 7 1 0 1 5 9 9 8 0 8 8 8 9 5 7

Construir una tabla :

xi fi Fi hi Hi

0 2 2 2/30 2/30

1 3 5 3/30 5/30

2 1 6 1/30 6/30

3 1 7 1/30 7/30

4 1 8 1/30 8/30

5 3 11 3/30 11/30

6 2 13 2/30 13/30

7 5 18 5/30 18/30

8 7 25 7/30 25/30

9 5 30 5/30 30/30

30 1

Representaciones gráficas : para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizanlos gráficos , que pueden ser :

Diagramas de barras ( datos cualitativos y cuantitativos de tipo discreto ) . En el eje y se puedenrepresentar frecuencias absolutas o relativas .

•

Histogramas ( datos cuantitativos de tipo continuo o discreto con un gran número de datos ) . Elhistograma consiste en levantar sobre cada intervalo un rectángulo cuyo área sea igual a su frecuenciaabsoluta

•

área = base · altura fi =

luego la altura de cada rectángulo vendrá dada por ni que se llama función de

densidad . Si por ejemplo un intervalo es doble de ancho que los demás su altura ni debe ser la mitad de lafrecuencia absoluta y así no se puede inducir a errores . Normalmente la amplitud de los intervalos es cte porlo que ni será

proporcional a fi y por tanto podemos tomar fi como la altura ni ya que la forma del gráfico será la misma ,aunque ahora el área del rectángulo ya no sea exactamente la frecuencia absoluta ( a no ser que la amplitud delintervalo sea igual a 1 ) .

7

Polígono de frecuencias•

Diagrama de sectores•

Cartogramas• Pirámides de población• Diagramas lineales• Pictogramas•

CÁLCULO DE PARÁMETROS :

Medidas de centralización :

Media aritmética :•

si son pocos datos

si son muchos valores pero se repiten mucho

En el caso de que los datos estén agrupados en clases , se tomará la marca de clase

como xi .

No siempre se puede calcular la media aritmética como por ejemplo cuando los

datos son cualitativos o los datos están agrupados en clases abiertas .

Ejemplo : hacer los cálculos para el ejercicio de las notas

Moda : es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta . Puede haber más de una .Cuando los datos están agrupados en clases se puede tomar la marca de clase o utilizar la fórmula :

•

M0 = Linf +

donde : Linf = límite inferior de la clase modal , =amplitud

del intervalo , d1= diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase anterior y

d2 = diferencia entre la fi de la clase modal y la fi de la clase posterior .

También se puede hacer gráficamente :

8

La moda si sirve para datos cualitativos , pero no tiene por qué situarse en la zona

central del gráfico .

Ejemplo : en el ejercicio de las notas la moda sería x=8

Mediana : es el valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él es igual alnúmero de observaciones mayores que él . Si el número de datos es par , se puede tomar la mediaaritmética de los dos valores centrales .

•

Cuando los datos están agrupados la mediana viene dada por el primer valor de la variable cuya Fi excede a lamitad del número de datos . Si la mitad del número de datos coincide con Fi se tomará la semisuma ente estevalor y el siguiente .

Cuando los datos estén agrupados en clases se puede utilizar reglas de tres o la fórmula :

M = Linf +

Gráficamente se hace a partir del polígono de frecuencias acumuladas .

Ejemplo : En el caso de las notas podrías ordenar de menor a mayor los datos y obtendríamos : 0 0 1 1 1 2 3 45 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

dato número 15−16 (por ser par)

luego la mediana sería 7

También se podría observar las Fi y ver que en el 7 se excede a la mitad del nº de datos , es decir , sobrepasael 15 .

Cuantiles : son parámetros que dividen la distribución en partes iguales , así por ejemplo la medianalos divide en dos partes iguales , los cuartiles son tres valores que dividen a la serie de datos encuatro partes iguales , los quintiles son cuatro valores que lo dividen en 5 partes , los deciles en 10 ylos percentiles en 100 . Se calculan de la misma manera que la mediana .

•

También se puede utilizar la fórmula : Cn = Linf +

donde n es el valor que deja el n% de valores por debajo de él .

Medidas de dispersión :

Rango o recorrido : es la diferencia entre el mayor valor y el menor . Depende mucho de los valoresextremos por que se suele utilizar el rango intercuartílico =

•

Q3 − Q1 o el rango entre percentiles = P90 − P10

Ejemplo : Para el caso de las notas sería 9 − 0 = 9

9

Varianza s2 : es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media (desviación respecto a la media d = xi − ) .

•

s2 =

=

s2 =

=

Al igual que la media en el caso de que los datos estén agrupados en clases , se tomará la marca de clase comoxi .

Otra forma de calcular s2 es :

s2 =

=

=

Se llama desviación típica s a la raíz cuadrada de la varianza . Es más útil que la varianza ya que tiene lasmismas dimensiones que la media

Ejemplo : Hacer los cálculos para el ejercicio de las notas

Coeficiente de variación : es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética . Valoresmuy bajos indican muestras muy concentradas .

•

C.V. =

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES :

Variables estadísticas bidimensionales : es cuando al estudiar un fenómeno obtenemos dos medidas x e y ,en vez de una como hemos hecho hasta ahora .

Ejemplo : pulso y tª de los enfermos de un hospital , ingresos y gastos de las familias de los trabajadores deuna empresa , edad y nº de días que faltan al trabajo los productores de una fábrica .

10

Tipos de distribuciones bidimensionales :

cualitativa − cualitativa• cualitativa − cuantitativa ( discreta o continua )• cuantitativa ( discreta o continua ) − cuantitativa ( discreta o continua )•

Tipos de tablas :

Tabla de dos columnas xi , yi ( pocos datos )• Tabla de tres columnas xi , yi , fi ( muchos datos y pocos valores posibles )• Tablas de doble entrada ( muchos datos y muchos valores posibles )•

x1 x2 ...... xn f*j

y1 f11 f21 ...... fn1 f*1

y2 f12 f22 ...... fn2 f*2

..... ..... ...... ...... ...... ......

ym f1m f2m ...... fnm f*m

fi* f1* f2* ...... fn* f**=NDiagramas de dispersión :

Si hay pocos datos ( tabla de dos columnas ), se representan las variables en los ejes x e y .

Si hay muchos datos pero muy agrupados ( tabla de tres columnas y tablas de doble entrada ), se hace igualpero con los puntos más gordos según la fi ,o se pintan muchos puntos juntos , o se pinta en tres dimensionesx , y , fi , con lo que obtendríamos un diagrama de barras en tres dimensiones .

Si hay muchos datos y muchos valores posibles , se pueden agrupar en clases , y se utilizan losestereogramas ( 3 dimensiones ) en los que el volumen de cada prisma es proporcional a la frecuencia .También se puede tomar la marca de clase de los intervalos y tratar la variable continua como si fuese discreta.

Cálculo de parámetros :

Cuando hay pocos datos o están muy agrupados ( tablas de 2 o 3 columnas )•

Aparece un parámetro nuevo que es la covarianza que es la media aritmética de las desviaciones de cada unade las variables respecto a sus medias respectivas .

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=

Cuando hay muchos datos ( tablas de doble entrada )•

=

Correlación o dependencia : es la teoría que trata de estudiar la relación o dependencia entre las dosvariables que intervienen en una distribución bidimensional , según sean los diagramas de dispersión podemosestablecer los siguientes casos :

Independencia funcional o correlación nula : cuando no existe ninguna relación entre las variables.( r = 0 )

•

Dependencia funcional o correlación funcional : cuando existe una función tal que todos los valoresde la variable la satisfacen ( a cada valor de x le corresponde uno solo de y o a la inversa ) (r = 1)

•

Dependencia aleatoria o correlación curvilinea (ó lineal ): cuando los puntos del diagrama seajustan a una linea recta o a una curva , puede ser positiva o directa , o negativa o inversa ( −1<r<0 ó0<r<1)

•

Ejemplo : a 12 alumnos de COU se les toma las notas de los últimos exámenes de Matemáticas , Física yFilosofía :

Matemáticas Física Filosofía

2 1 2

3 3 5

4 2 7

4 4 8

5 4 5

6 4 3

6 6 4

12

7 4 6

7 6 7

8 7 5

10 9 5

10 10 9

Si representamos las variables matemáticas− física en un diagrama y matemáticas−filosofía en otro vemos quela correlación es mucho más fuerte en el primero que en el segundo ya que los valores están más alineados .

Coeficiente de correlación lineal : es una forma de cuantificar de forma más precisa el ttipo de correlaciónque hay entre las dos variables .

r =

Regresión : consiste en ajustar lo más posible la nube de puntos de un diagrama de dispersión a una curva .Cuando esta es una recta obtenemos la recta de regresión lineal , cuando es una parábola , regresión parabólica, cuando es una exponencial , regresión exponencial , etc . ( logicamente r debe ser distinto de 0 en todos loscasos ) .

La recta de regresión de y sobre x es :

en la cual se hace mínima la distancia entre los valores yj obtenidos experimentalmente y los valores teóricosde y.

A valor

se le llama coeficiente de regresión de y sobre x ( nos da la pendiente de la recta de regresión ).

La recta de regresión de x sobre y es :

en la cual se hace mínima la distancia entre los valores xi obtenidos experimentalmente y los valores teoricosde x.

A valor

se le llama coeficiente de regresión de x sobre y ( su inversa nos da la otra pendiente ) .

ÍNDICE

Métodos de muestreo• Distribución del muestreo• Intervalos de confianza• Contraste de hipótesis•

Métodos de muestreo : para no tener que trabajar con toda la población se utiliza el muestreo . Puede ser :

13

Muestreo no probabilístico : no se usa el azar , sino el criterio del investigador , suele presentargrandes sesgos y es poco fiable .

•

Muestreo probabilístico : se utilizan las leyes del azar . Puede ser :•

Muestreo aleatorio simple (es el más importante ) : cada elemento de la población tiene la mismaprobabilidad de ser elegido , las observaciones se realizan con reemplazamiento , de manera que lapoblación es identica en todas las extracciones , o sea , que la selección de un individuo no debe afectar a laprobabilidad de que sea seleccionado otro cualquiera aunque ello comporte que algún individuoo pueda serelegido más de una vez . ( "se hacen tantas papeletas numeradas como indivuos hay , se coge una y sedevuelve , se vuelve a coger otra y se devuelve , etc" )

•

Muestreo sistemático : es cuando los elementos de la población están ordenados por listas . Se elige unindividuo al azar y a continuación a intervalos constantes se eligen todos los demás hasta completar lamuestra . Si el oreden de los elementos es tal que los individuos próximos tienden a ser más semejantes quelos alejados , el muestreo sistemático tiende a ser más preciso que el aleatorio simple , al cubrir máshomogeneamente toda la población .

•

Muestreo estratificado : es cuando nos interesa que la muestra tenga la misma composición a la de lapoblación la cual se divide en clases o estratos . Si por ejemplo en la población el 20% son mujeres y el80% hombres , se mantendrá la misma proporción en la muestra .

•

Distribuciones de muestreo : al obtener conclusiones de la muestra y las comparamos con las de lapoblación puede que se aproximen o no . No obstante , las medias muestrales se comportan estadísticamentebien y siguen leyes perfectamente previsibles , esto nos permitirá hacer inferencias precisas a partir de ellas ,incluso determinar el riesgo que asumimos al hacerlas .

Si una población está formada por N elementos , el nº de muestras diferentes de tamaño n que se puedenobtener , si se pueden repetir los elementos ( m.a.s.) sería :

VRN,n=Nn

Distribución de medias muestrales : aunque al tomar una muestra no podemos estar seguros de que losparámetros obtenidos sean buenos estimadores de los parámetros poblacionales si se puede afirmar que :

La media de las medias muestrales es igual a la media real de la población es decir :•

La desviación típica de las medias muestrales vale :•

Esto significa que la distribución de medias muestrales de tamaño n extraidas de una población ( normal o nonormal ) se distribuye según una N(

)

Ejemplo : Supongamos que tenemos los elementos 2,4,6,8 .

14

En esta población vamos a tomar todas las muestras posibles de tamaño 2 :

Elementos

e1 e2

Media de lamuestra

2 2 2

2 4 3

2 6 4

2 8 5

4 2 3

4 4 4

4 6 5

4 8 6

6 2 4

6 4 5

6 6 6

6 8 7

8 2 5

8 4 6

8 6 7

8 8 8

La media de las medias muestrales será :

La varianza de las medias muestrales será :

Por lo tanto

y

Ejemplo : el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de media =3100gr y de desviación típica =150gr ¿ Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos se superior a 3130gr?

La distribución muestral sigue una N(3100,15) por lo que p

p

= 1 − 0'9772 = 0'0228

15

por lo tanto solo un 2'28% de las muestras tendrá una media por encima de los 3130gr

Intervalos de probabilidad : inferencia estadística ;Como la distribución de medias muestrales es

se tendrá por ejemplo que :

Esto significa que por ejemplo el 68'26% de las muestras de tamaño n extraidas de una población de media

tendrán una media perteneciente al intervalo

En general el 100·(1−)% de las muestras de tamaño n tendrán una media comprendida entre :

siendo el valor de la probabilidad que queda a cada lado del intervalo . O lo que es lo mismo :

(nivel de confianza)

Así por ejemplo si =0'05 entonces el 95% de las muestras tendrán una media comprendida entre

=

16

Sin embargo lo normal será que se desconozca la media y la desviación típica de la población y que mediantetécnicas de muestreo se busque estimarlas con la fiabilidad necesaria .

Por lo tanto si nos hacen la pregunta de otra forma ( ¿ cuál es la probabilidad de que la mediapoblacional se encuentre entre ...? ) podremos transformar la desigualdad obteniendo :


A este intervalo se le llama intervalo de confianza para la media poblacional . A lo que está fuera delintervalo se le llama regíon crítica .

Al valor se le llama nivel de confianza .

Al valor se le llama nivel de significación .

Por lo tanto el nuevo dibujo sería :

Por lo tanto podemos afirmar que en ese intervalo tenemos una probabilidad del 95

% de que está la media poblacional .

Como ya hemos dicho lo normal será que se desconozca la desviación , por lo que debemos sustituir por sn−1=

donde sn−12 es la cuasivarianza muestral .

La relación entre la varianza muestral y la cuasivarianza muestral es :

17

Aunque para valores grandes de n ( mayores de 30 ) coinciden aproximadamente la cuasivarianza y lavarianza por lo que se puede sustituir por s .

Por lo tanto :

Para n grandes :

Distribución para proporciones : cuando se trata de determinar la proporción de una población que posee uncierto atributo ( hombre/mujer , video/no video , éxito/fracaso , etc ) su estudio es equiparable al de unadistribución binomial . Así pues si tomamos muestras aleatorias de tamaño n , la media y la desviación típicade las medias muestrales será :

Esta distribución es aproximadamente normal para valores grandes de n ( mayor de 30 ) en consecuenciapuede estudiarse como una N

Si hablamos de intervalos de probabilidad entonces :


Como lo que no se suele saber es la media y la varianza podemos hacer :

Error admitido y tamaño de la muestra :

cuando decimos que

estamos admitiendo un error máximo de

esto es : la diferncia máxima entre la media poblacional y la media muestral debe ser menor que este valor .Como se puede observar de este valor se puede controlar dos parámetros , n y z .

El tamaño mínimo de una encuesta depende de la confianza que se desee para los resultados y del errormáximo que se esté dispuesto a asumir :

18

E =

despejando

Analogamente se puede hacer para la distribución de proporciones .

Ejemplo : se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos de madres fumadoras .Se admite un error máximo de 50 gr , con una confianza del 95% . Si por estudios se sabe que la desviacióntípica es de 400 gr ¿ Qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación ?

El tamaño mínimo de la muestra debe ser n =

= 246

Contraste de hipótesis sobre la media poblacional : La media muestral ppuede ser diferente de la mediapoblacional . Lo normal es que estas diferencias sean pequeñas y estén justificadas por el azar , pero podríasuceder que no fuesen debidas al azar sino a que los parámetros poblacionales sean otros , que por los motivosque sea , han cambiado .

El contraste de hipótesis es el instrumento que permite decidir si esas diferencias pueden interpretarse comofluctuaciones del azar ( hipótesis nula )o bien , son de tal importancia que requieren una explicación distinta (hipótesis alternativa ). Como en los intervalos de confianza las conclusiones se formularán en términos deprobabilidad .

Comparando la media poblacional y la media muestral ¿ Podemos asegurar que esa muestra procede de unapoblación de media 0 ? La respuesta será no cuando0 no pertenezca al intervalo de confianza de , para el nivel de significación prefijado , por el contrario la respuesta será sí cuando sí pertenezca a talintervalo .

Sí pertenece a la población.................

se acepta la hipótesis nula . Otra forma de verlo es que :

No pertenece a la población .............

se rechaza la hipótesis nula . Otra forma de verlo es que :

Error de tipo I : es el que cometemos cuando rechazamos la hipótesis nula siendo verdadera .

Error de tipo II : es el que cometemos cuando aceptamos la hipótesis nula siendo falsa .

Podemos hacer todavía dos preguntas :

19

¿ La muestra procede de una población con media mayor que la supuesta ?

Se acepta que la media poblacional es mayor que la supuesta

cuando :

desarrollando la igualdad obtenemos que :

La media poblacional debe de estar por encima de

y por lo tanto por encima de

La rechazamos en caso contrario .

¿ La muestra procede de una población con media menor que la supuesta ?

Se acepta que la media es menor que la supuesta cuando :

desarrollando la igualdad obtenemos que :

La media poblacional debe de estar por debajo de

y por lo tanto por debajo de

La rechazamos en caso contrario .

Nota : No olvidemos que en todas las ecuaciones anteriores si se desconoce la deviación típica de lapoblación debemos sustituirla por la cuasivarianza de la muestra.

Contraste de hipótesis sobre la proporción p : por analogía con el apartado anterior par responder a lapregunta : ¿ Puede asegurarse que esa muestra de proporción procede de una población con proporción p0 ?

20

La respuesta será sí cuando :

con una probabilidad de 1 −

Se admite que la media poblacional es mayor que un valor p0 si :

Se admite que la media poblacional es menor que un valor p0 si :

ÍNDICE

Sucesos aleatorios• Definición de probabilidad• Probabilidad condicionada• Teorema de la Bayes• Variable aleatoria• Función de probabilidad• Función de distribución• Media y varianza• Distribución binomial• Distribución normal•

SUCESOS ALEATORIOS

Experimento aleatorio : es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones jamás sepuede predecir el resultado que se va a obtener . En caso contrario se llama experimento determinista .

Espacio muestral E : ( de un experimento aleatorio ) es el conjunto de todos los resultados posibles delexperimento .

Suceso de un experimento aleatorio : es un subconjunto del espacio muestral . Puede haber los siguientestipos :

suceso elemental• suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )• suceso seguro• suceso imposible• suceso contrario•

Operaciones con sucesos :

Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuando se realiza A ó B• Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se realizansimultaneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen

•

21

simultaneamente se dice que son incompatibles . Si

. En caso contrario se dice que son compatibles .

Propiedades :

Unión Intersección

Asociativa

(AB) C=A(BC)

(AB) C=A(BC)

ConmutativaAB=BA

AB=BA

IdempotenteAA=A

AA=A

Simplificativa

A(BA)=A

A(BA)=A

Distributiva

A(BC)=(AB) (AC)

A(BC)=(AB) (AC)

Suceso contrarioA

= E

A

Sistema completo de sucesos : Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 .......constituyen un sistemacompleto cuando se verifica :

A1A2........=E

•

A1 , A2 , ......son incompatibles 2 a 2 .•

A1 A2 ............. An

PROBABILIDAD

22

Ley de los grandes números : La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este número lo llamaremosprobabilidad de un suceso .

Definición clásica de probabilidad : (regla de Laplace)

( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables )

Definición axiomática de probabilidad : ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cadasuceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :

La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A) 0

•

La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1• La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno deellos , o sea , p(AB) = p(A) + p(B)

•

Consecuencias de los axiomas :

p() = 1 − P(A)

•

p() = 0

•

• Si A• Si los suceso son compatibles : p(AB) = p(A) + p(B) − p(AB)

•

Para el caso de tres sucesos compatibles sería :

p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC)

Probabilidad condicionada p(A/B) : Se llama probabilidad del suceso A condicioniado por B a laprobabilidad de que se cumpla A una vez que se ha verificado el B .

p(A/B) =

A B

23

a b c

p(AB) =

p(B) =

p(A/B) =

Otra forma de ver la fórmula es :

p(AB) = p(B) · p(A/B) = p(A) · p(B/A) = p(BA)

Generalizando : p(ABC) = p(A) · p(B/A) · p(C/AB)

Ejemplo :

Hombres Mujeres

Fuman 70 40 110

No Fuman 20 30 50

90 70 160

p(H) = 90/160 p(M) = 70/160 p(F) = 110/160 p(NF) = 50/160

p(H/NF) = 20/50 p(H/F) = 70/110 p(M/NF) = 30/50 p(M/F) = 40/110

p(HF) = 70/160 = p(F) · p(H/F) = (110/160) · (70/110)

Lo mismo se podría hacer con color de ojos ( marrones y azules ) y color de pelo ( rubio y castaño ) .

Sucesos independientes : dos sucesos A y B se dice que son independientes si

p(A) = p(A/B) . En caso contrario , p(A)p(A/B) , se dice que son dependientes .

Probabilidad de la intersección o probabilidad compuesta :

Si los sucesos son dependientes p(AB) = p(A) · p(B/A) = p(B) · p(A/B)

•

Si los sucesos son independientes p(AB) = p(A) · p(B)

•

Ejemplo : si al extraer dos cartas de una baraja lo hacemos con devolución tendremos dos sucesosindependientes , p(A

24

B) = p(A) · p(B) pero si lo hacemos sin devolución ahora si son dependientes p(AB) = p(A) · p(B/A) .

Teorema de la probabilidad total : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai)son conocidas , entonces :

p(B) = p(BA1) + p(BA2) + .........=

A1 A2 A3 A4

B

B

Teorema de Bayes : sea un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que p(B/Ai) son conocidas ,entonces :

Ejemplo importante : Se va ha realizar el siguiente experimento , se tira una moneda , si sale cara se saca unabola de una urna en la que hay 4 bolas negras , 3 turquesa y 3 amarillas , si sale cruz se saca una bola de otraurna en la que hay 5 bolas negras , 2 turquesa y 3 amarillas .

NNNN

TTT

AAA

Cara −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

NNNNN

TT

AAA

Cruz −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

N 4/10 p(CaraN) = 1/2 · 4/10 = 4/20

Cara 1/2 T 3/10 p(CaraT) = 1/2 · 3/10 = 3/20

A 3/10 p(CaraA) = 1/2 · 3/10 = 3/20

25

N 5/10 p(CruzN) = 1/2 · 5/10 = 5/20

Cruz 1/2 T 2/10 p(CruzT) = 1/2 · 2/10 = 2/20

A 3/10 p(CruzA) = 1/2 · 3/10 = 3/20

Tª de la probabilidad total : p(N) = p(CaraN) + p(CruzN) = 4/20 + 5/20 = 9/20

Tª de Bayes : p(Cara/N) =

que no es ni más ni menos que casos favorables entre casos posibles .

DISTRIBUCIONES DISCRETAS : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Variable aleatoria X : es toda ley que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real . Estopermite sustituir los resultados de una prueba o experimento por números y los sucesos por partes delconjunto de los números reales .

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas .

Por ejemplo en el experimento aleatorio de lanzar tres monedas el espacio muestral es E = [ CCC , CCX ,CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , CCC ] . Supongamos que a cada suceso le asignamos un número real igualal número de caras obtenidas . Esta ley o función que acabamos de construir la llamamos variable aleatoria (discreta ) que representa el nº de caras obtenidas en el lanzamiento de tres monedas .

Consideremos el experimento que consiste en elgir al azar 100 judías de una plantación y medimos sulongitud . La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria ( continua ).

Por ejemplo al lanzar un dado podemos tener la varible aleatoria xi que asocia a cada suceso el nº que tiene enla parte de arriba .

Por ejemplo al lanzar dos dados podemos tener la variable aleatoria xi que asocia a cada suceso el producto delos dos números que tiene en la parte de arriba .

Función de probabilidad : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variablealeatoria xi su probabilidad pi = p( X = xi ) .

Función de distribución F(x) : ( de una variable aleatoria ) es la ley que asocia a cada valor de la variablealeatoria , la probabilidad acumulada de este valor .

F(x) = p ( X x )

Media de una variable aleatoria discreta :

Varianza de una variable aleatoria discreta :

26

=

Ejemplo : en una bolsa hay bolas numeradas : 9 bolas con un 1 , 5 con un 2 y 6 con un 3 . Sacamos una bola yvemos que número tienen .

La función de probabilidad es :

xi 1 2 3

pi 9/20 5/20 6/20

La función de distribución es :

xi 1 2 3

pi 9/20 14/20 20/20

La media es 1·(9/20)+2·(5/20)+3·(6/20) = 1'85

La varianza es (1−1'85)2 · 9/20 + (2−1'85)2 · 5/20 + (3−1'85)2 · 6/20 = 0'72

Distribución binomial : Una variable aleatoria es binomial si cumple las siguientes características :

Los elementos de la población se clasifican en dos categorias , éxito o fracaso .• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores• La probabilidad de éxito y fracaso es siempre constante•

Ejemplos : fumadores de una población , nº de aprobados de la clase , días de lluvia a lo largo de un año , nºde caras al tirar una moneda , etc .

Función de probabilidad p(X = r) =

pr qn−r donde p es la probabilidad de éxito , q la probabilidad de fracaso , n el numero total depruebas y r el número de éxitos .

•

Función de distribución p(X x) =

pr qn−r

•

Media •

Varianza= n · p · q

•

Ejemplo : Se lanza una moneda 11 veces :

¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras ?

¿ Cuál es la probabilidad de obtener 5 o menos caras ?

27

¿ Cuántas caras se obtienen por término medio ?

¿ Cuál es la desviación típica ?

DISTRIBUCIONES CONTINUAS : DISTRIBUCIÓN NORMAL

Función de densidad f(x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas de una variable continuaaumentamos el nº de clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuenciasrelativas se acerca a una función f(x) que llamaremos función de densidad que cumple las siguientespropiedades :

f(x) •

el área encerrada bajo la curva de la función es igual a la unidad .

•

área bajo la curva correspondiente a ese intervalo .

•

Función de distribución F(x) = p(X x) : cuando en un histograma de frecuencias relativas acumuladas de una variable continua aumentamos el nºde clases y por lo tanto su amplitud es más pequeña vemos que el polígono de frecuencias relativasacumuladas se acerca a una función F(x) que llamaremos función de distribución que cumple las siguientespropiedades :

F(a) =

= p(Xa) por lo tanto :

•

p(Xb) =

= F(b) − F(a)

F(x) es nula para todo valor de x anterior al menor valor de la variable aleatoria y es igual a la unidadpara todo valor posterior al mayor valor de la variable aleatoria . Si es continua se dice que F(−)=0 y F(+)=1

•

Por ser una probabilidad

.

•

Es una función creciente .•

Media de una variable aleatoria continua :

28

Varianza de una variable aleatoria continua :=

Distribución normal : una variable aleatoria es normal si se rige según las leyes del azar . La mayoría de lasdistribuciones más importantes son normales . Por ejemplo la distribución de los pesos de los individuos decualquier especie , la estatura de una pobablación , Tª del mes de agosto a lo largo de 100 años , la longitud delos tornillos que salen de una fábrica , etc .

No todas las distribuciones son normales por ejemplo si clasificamos según el nivel de renta a los ciudadanosespañoles son muy pocos los que poseen niveles de rentas altas y en cambio son muchos los que poseenniveles de rentas bajas , por tanto la distribución no sería simétrica y en consecuencia no se adapta al modelonormal .

Función de densidad : una variable continua X sigue una distribución normal de media y desviación típica , y se designa por N(,) , si cumple que

f(x) =

Podríamos comprobar que :

=

=2

Para calcular los máximos y mínimos deberíamos hacer :

f(x) =

f '(x) = −

f(x) , puesto que f(x) nunca puede valer 0 entonces , si x = f ' (x) = 0

por lo que será un posible máximo o mínimo .

29

f ''(x) =

luego f ''() <0 por lo que es hay un máximo en el punto (

)

Conviene observar que cuando la desviación típica es elevada aumenta la dispersión y se hace menospuntiaguda la función ya que disminuye la altura del máximo . Por el contrario para valores pequeños de obtenemos una gráfica menos abierta y más alta .

Cuando = 0 y =1 , N(0,1) se dice que tenemos una distribución normal reducida , estandar o simplificada .

Función de distribución : F(x) =

= p(Xx)

Distribución Normal Estándar N(0,1) : La distribución N(0,1) se encuentra tabulada , lo cual permite uncálculo rápido de las probabilidades asociadas a esta distribución . Pero en general la media no suele ser 0 , nila varianza 1 , por lo que se hace una transformación que se llama tipificación de la variable , que consiste enhacer el siguiente cambio de variable :

Z =

a partir del cual obtenemos una variable Z que si es N(0,1) y que por lo tanto podemos calcular susprobabilidades .

F(x) =

Ejemplo : si tenemos N(2,4) y queremos calcular p(x<7) entonces :

p(x<7) =

= p( z < −5/4 ) = 0'1056

Manejo de tablas : pueden presentarse los siguientes casos :

p(z<1'45) = 0'9265

p(z<−1'45) = 0'0735

p(1'25<z<2'57) = 0'1005

30

p(−2'57<z<−1'25) = 0'1005

p(−0'53<z<2'46) = 0'695

Utilización conjunta de :

En

está el 68'26% de los datos ya que :

p(− <X<+) = p

= p(−1< Z < 1) = 0.6826

Análogamente se puede comprobar que en

está el 95'4% de los datos y en

está el 99'7% .

Ejemplo : El C.I. de los 5600 alumnos de una provincia se distribuyen N(112,6) . Calcular aproximadamentecuántos de ellos tienen :

más de 112 .................2800 alumnos.................la mitad de los alumnos• entre 106 y 118 ..........3823 alumnos .................este es el caso :• entre 106 y 112 ...........1911 alumnos• menos de 100 ..............128 alumnos• más de 130 ..................7 alumnos• entre 118 y 124 ............761 alumnos•

( ojo hay que multiplicar % obtenido en la tabla por 5600/100 , que sale de una regla de tres )

Aproximación normal para la binomial :

Cuando los valores a calcular para la binomial superan a los de las tablas para obtener un resultadoaproximado se utiliza la distribución normal , es decir , la variable

obedece a una distribución N(0,1)

El resultado es tanto más fiable cuanto mayor es el tamaño de la muestra n y cuanto más cerca está p de 0'5 .

Ejemplo : Se ha comprobado que la probabilidad de tener un individuo los ojo marrones es 0'6 . Sea X lavariable aleatoria que representa el nº de individuos que tienen los ojos marrones de un grupo de 1100 .Calcular p(X>680) y p(X=680)

p(X>680) = 1 − p(X<680) = 1 − p(Y<

) = 1 − p(Y<1'23) = 0'1093

31

p(X = 680) = p(679'5<X<680'5) se debe hacer así puesto que en una variable continua no tiene sentidocalcular probabilidades de valores puntuales .

COMBINATORIA

32

ESTADISTICA

La Estadística es una ciencia que estudia las características de un conjunto de casos para hallar en ellosregularidades en el comportamiento, que sirven para describir el conjunto y para efectuar predicciones.

La Estadística tiene por objeto recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un conjuntode objetos, personas, procesos, etc. A través de la cuantificación y el ordenamiento de los datos intentaexplicar los fenómenos observados, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma dedecisiones.

Población o Universo: es el total del conjunto de elementos u objetos de los cuales se quiere obtenerinformación. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual, ya que puedereferirse a personas, cosas, actos, áreas geográficas e incluso al tiempo.

La población debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio, de modo que ante la presenciade un potencial integrante de la misma, se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. Porlo tanto, al definir una población, se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quedeperfectamente delimitado. Si, por ejemplo, estamos analizando las escuelas primarias, debemos especificarcuáles y cuándo: escuelas primarias de la Capital Federal, año 1992.

El tamaño de una población viene dado por la cantidad de elementos que la componen.

Unidad de análisis: es el objeto del cual se desea obtener información. Muchas veces nos referimos a lasunidades de análisis con el nombre de elementos. En estadística, un elemento o unidad de análisis puede seralgo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura o unintervalo de tiempo. Dada esta definición, puede redefinirse población como el conjunto de unidades deanálisis.

Muestra: es un subconjunto de unidades de análisis de una población dada, destinado a suministrarinformación sobre la población. Para que este subconjunto de unidades de análisis sea de utilidad estadística,deben reunirse ciertos requisitos en la selección de los elementos.

Las causas por la cual se seleccionan muestras son muchas. Puede ocurrir que la población que se defina tengatamaño infinito, y en consecuencia, no fuera posible observar a todos sus elementos. En otras ocasiones, elcosto de la observación exhaustiva puede ser muy elevado, el tiempo de recolección de la información muyextenso, o más aún, la observación de los elementos puede ser destructiva. Por ejemplo, si quisiéramos hacerun estudio de la calidad de una partida de fósforos, no podríamos probarlos a todos pues los destruiríamos.

Variable: es la cualidad o cantidad medible que se estudia de las unidades de análisis y que varían de unaunidad a otra. Por ejemplo: edad, ingreso de un individuo, sexo, cantidad de lluvia caída, etc.

Nivel de medición: las variables pueden ser medidas con mayor o menor grado de precisión según la escalade medida utilizada para su observación. Podemos distinguir los siguientes niveles de medición de unavariable:

Nominal: sólo permite clasificar a las unidades de análisis en categorías. Por ejemplo: sexo −varón ymujer −.

•

Ordinal: además de clasificar a los elementos en distintas categorías, permite establecer una relaciónde orden de las mismas. Por ejemplo: clase social −baja, media y alta−.

•

1

Intervalar: permite clasificar, ordenar y medir la distancia entre las diferentes categorías. Por ejemplo:edad.

•

Las variables se clasifican en dos grupos de acuerdo al nivel de medición utilizado para su observación:

Variables cualitativas: son las variables medidas en escala nominal u ordinal, ya que la característicaque miden de la unidad de análisis es una cualidad.

•

Variables cuantitativas: son las variables medidas en escala intervalar, puesto que lo que miden es unacantidad.

•

Encuesta

Es un método de recolección mediante el cual la información se obtiene relevando sólo un subconjunto omuestra de elementos del universo en estudio, que permite obtener información sobre el mismo.

Para que la información obtenida con la encuesta sea generalizable a la población, la muestra utilizada debeser representativa de la población de la que proviene. Para lograrlo, se utilizan métodos de selección deunidades especialmente diseñados con este fin.

Su uso ha ido en rápido aumento, en la medida en que las instituciones productoras de información disponende personal capacitado para efectuar su organización, diseño y análisis, debido a su menor costo y a que endeterminadas circunstancias la información resulta más exacta debido a que los errores ajenos al muestreo(errores en la recolección y en el procesamiento) pueden ser reducidos a través de una mejor capacitación delos empadronadores y la utilización de métodos de captación de información más objetivos.

Agrupamiento de datos

Existen métodos para resumir los datos medidos u observados.

Cuando se trata de variables cualitativas donde las categorías están determinadas, lo único que hay que haceres contabilizar el número de casos pertenecientes a cada categoría y normalizar en relación al número total decasos, calculando una proporción, un porcentaje o una razón.

En cambio, cuando se trata de variables cuantitativas, el resumen de los datos consiste en organizar tablas quesintetizan los datos originales y se denominan distribuciones de frecuencia.

Frecuencia: es el número de veces que se presenta cada valor de la variable.

Tabla de frecuencias: es una tabla que presenta en forma ordenada los distintos valores de una variabley sus correspondientes frecuencias.

Por ejemplo: consideremos la variable número de aulas por escuela, medida en las escuelas de unalocalidad.

Número deaulas porescuela

(1)

Frecuencia

(2)

8 7

9 7

2

10 12

11 11

12 15

13 10

14 5

67

Representación gráfica: en general la representación gráfica de una tabla de frecuencias permitepercibir con mayor claridad algunas características de la masa de datos que se investiga. Por ello, através de gráficos, resulta bastante más fácil transmitir conclusiones a personas no habituadas a lainterpretación de tablas de frecuencias.

Para representar gráficamente una distribución de frecuencias se utiliza un par de ejes de coordenadas. En eleje de las abscisas se representará la variable estudiada y en el eje de las ordenadas, las correspondientesfrecuencias.

El siguiente es un gráfico de frecuencias confeccionado con los datos del ejemplo anterior.

Parámetros estadísticos

Al obtener de una población la distribución de frecuencias de una variable lo que se persigue es reducir ocondensar en pocas cifras el conjunto de observaciones relativas a dicha variable.

Este proceso de reducción puede continuarse hasta su grado máximo, es decir, hasta sustituir todos los valoresobservados por uno solo, que se llama promedio.

Existen numerosas formas de calcular promedios. La más conocida es la media aritmética, pero ademásexisten otras como la mediana y la moda o el modo.

Media aritmética: es el número que se obtiene al dividir la suma de todas las observaciones por la cantidadde observaciones sumadas.

A la media aritmética la simbolizamos con X.

Por ejemplo, si tomamos las edades de un grupo de 9 personas:

16 − 17 − 19 − 20 − 22 − 22 − 23 − 28 − 29

X = (16+17+19+20+22+22+23+28+29)/9 = 21,8 años.

Mediana: si todos los valores observados de la variable se ordenan en sentido creciente (o decreciente), lamediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, es decir, el que deja a un lado y a otro el mismonúmero de observaciones.

La mediana se representa con el símbolo Mna.

En el ejemplo anterior, las edades ya están ordenadas de menor a mayor. La mediana será:

16 − 17 − 19 − 20 − 22 − 22 − 23 − 28 − 29

Mna= 22 años

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Moda o modo: es el valor de la variable que más veces se repite, o sea, el valor que presenta mayorfrecuencia.

Es útil como medida de tendencia central, sólo en aquellos casos en que un valor de la variable es mucho másfrecuente que el resto. Se basa en la idea de lo que es moda o en el comportamiento de la mayoría para tomara cierto valor como representativo del comportamiento de los datos.

Población, elementos y caracteres.

Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Esteconjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.

Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico unelemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como latemperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.

A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudioestadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella lossiguientes caracteres:

Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo,Etc.

Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades ocaracteres.

La población puede ser según su tamaño de dos tipos:

Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnosde un centro de enseñanza, o grupo clase.

Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesenconsiderarse infinitos.. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en elmercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita.

Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de lapoblación sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra,cuando se toman un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada encomún; o una subpoblación, que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la poblaciónque comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación formadapor los alumnos de 3º ESO, o la subpoblación de los varones.

Variables y atributos.

Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemosclasificar en: dos grandes clases:

Variables Cuantitativas.

Variables Cualitativas o Atributos.

Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números, como por ejemplo el peso, Altura,Edad, Número de Suspensos

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A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:

Cuantitativas discretas. Aquellas a las que se les puede asociar un número entero, es decir, aquellasque por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo número de hermanos,páginas de un libro, etc.

•

Cuantitativas continuas: Aquellas que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir,aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable pueda tomarcualquier valor intermedio, por ejemplo peso, tiempo. etc.

•

No obstante en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas las trabajemos como sifuesen continuas y viceversa.

Los atributos son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemosasignar un número. Por ejemplo Sexo Profesión, Estado Civil, etc.

A su vez las podemos clasificar en:

Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, El nivel deestudios, etc.

•

No ordenables: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece ordenpor su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.

•

La estadística es una Ciencia que tiene como finalidad facilitar la solución de problemas en los cualesnecesitamos conocer algunas características sobre el comportamiento de algún suceso o evento.Características que nos permiten conocer o mejorar el conocimiento de ese suceso. Además nos permiteninferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin que estos ocurran.

Inferencia Estadística: Técnica mediante la cual se sacan conclusiones o generalizaciones acerca deparámetros de una población basándose en el estadígrafo o estadígrafos de una muestra de población.

OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA: Es la obtención de conclusiones basadas en los datos experimentales.

OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Describir las características principales de los datosreunidos.

OBJETIVO DE LA INFERENCIA ESTADÍSTICA: Extraer las conclusiones útiles sobre la totalidad detodas las observaciones posibles basándose en la información recolectada.

POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los posibles elementos que intervienen en un experimento o en unestudio.

CENSO: Al estudio completo de la población.

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TIPOS DE POBLACIÓN:

POBLACIÓN FINITA: Es aquella que indica que es posible alcanzarse o sobrepasarse al contar.

Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas y observaciones.

POBLACIÓN INFINITA: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observaciones que nopueden alcanzarse en el conteo.

Son poblaciones infinitas porque hipotéticamente no existe límite en cuanto al número de observaciones quecada uno de ellos puede generar.

MUESTRA: Un conjunto de medidas u observaciones tomadas a partir de una población dada. Es unsubconjunto de la población.

MUESTRA REPRESENTATIVA: Un subconjunto representativo seleccionado de una población de la cualse obtuvo.

MUESTREO: Al estudio de la muestra representativa.

PARÁMETRO: Son las características medibles en una población completa. Se le asigna un símbolorepresentado por una letra griega.

ESTADÍSTICO O ESTADÍGRAFO: Es la medida de una característica relativa a una muestra. La mayoríade los estadísticos muestrales se encuentran por medio de una fórmula y suelen asignárseles nombressimbólicos que son letras latinas. DATOS ESTADÍSTICOS (VARIABLES): Los datos son agrupaciones decualquier número de observaciones relacionadas.

Para que se considere un dato estadístico debe tener 2 características:

6

a) Que sean comparables entre sí.

b) Que tengan alguna relación.

VARIABLE: Una característica que asume valores.

CLASES DE DATOS:

VARIABLE CUANTITATIVA O ESCALAR: Será una variable cuando pueda asumir sus resultados enmedidas numéricas.

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA: Es aquella que puede asumir sólo ciertos valores, númerosenteros.

VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA: Es aquella que teóricamente puede tomar cualquier valor enuna escala de medidas, ya sea entero o fraccionario.

VARIABLES CUALITATIVAS O NOMINALES: Cuando no es posible hacer medidas numéricas, sonsusceptibles de clasificación.

Ejemplo: Color de autos: rojo, verde, azul.

Estadística. El arte y ciencia de reunir, analizar presentar e interpretar datos.

Datos. Los hechos y números que se reúnen, analizan e interpretan.

Conjunto de datos. Todos los datos reunidos en un determinado estudio.

Elementos. Las entidades acerca de las que se reúnen datos.

Variable. Una característica de interés de los elementos.

Observación. Conjunto de mediciones obtenidas de un solo elemento.

Escala nominal. Una escala de medición para una variable que utiliza una etiqueta o nombre para identificarun atributo de un elemento. Los datos nominales podrían ser no numéricos o numéricos.

Escala ordinal. Una escala de medición para una variable que tiene las propiedades de los datos nominales yse puede emplear para clasificar u ordenar los datos. Los datos ordinales podrían ser no numéricos onuméricos.

Escala de intervalo. Una escala de medición para una variable que tienen las propiedades de los datos

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ordinales y el intervalo entre observaciones se expresa en términos de una unidad fija de medida. Los datos deintervalo siempre son numéricos.

Escala de razón. Una escala de medición para una variable que tiene las propiedades de los datos de intervaloy el cociente de los valores es significativa. Los datos de razón siempre son numéricos.

Datos cualitativos. Datos que son etiquetas o nombres utilizados para identificar un atributo de cada elemento.Los datos cualitativos utilizan la escala de medición ordinal o nominal y podrían ser no numéricos onuméricos.

Datos cuantitativos. Datos que indican cuanto o cuantos de algo. Los datos cuantitativos utilizan la escala derazón o de intervalo y siempre son numéricos.

Variable cualitativa. Una variable con valores cualitativos.

Variable cuantitativa. Variable con valores cuantitativos.

Datos transversales. Datos reunidos en el mismo, o aproximadamente el mismo, punto en el tiempo.

Datos de una serie de tipo. Datos reunidos en diversos periodos sucesivos.

Estadística descriptiva. Métodos tabulares, gráficos y numéricos para resumir datos.

Población. El conjunto de todos los elementos de interés en determinado estudio.

Muestra. Un subconjunto de la población.

Inferencia estadística. Proceso de reunir datos obtenidos de una muestra para hacer estimaciones o probarhipótesis acerca de las características de una población.

Distribución de frecuencias. Resumen tabular que muestra el número (frecuencia) de artículos en cada una devarias clases que no se traslapan

Distribución de frecuencias relativas. Resumen tabular de datos que muestran la fracción o proporción(frecuencia relativa), de elementos en cada una de varias clases que no se traslapan.

Distribución de frecuencias porcentuales. Resumen tabular de un conjunto de datos donde se muestra elporcentaje de elementos en cada una de varias clases que no se traslapan.

Grafica de barras. Dispositivo grafico para representar los datos que han sido resumidos en una distribuciónde frecuencia, distribución de frecuencias relativas o de frecuencias porcentuales.

Gráfica de pastel. Forma gráfica de presentar resúmenes de datos cualitativos, basado en la subdivisión de uncirculo en sectores que corresponden a la frecuencia relativa de cada clase.

Punto medio de clase. Punto en cada clase que esta a la mitad entre los límites inferior y superior de la clase.

Histograma. Presentación gráfica de una distribución de frecuencias, de frecuencias relativas o de frecuenciasporcentuales de datos cuantitativos; se traza colocando los intervalos de clase sobre el eje horizontal y lasfrecuencias sobre el eje vertical.

Distribución acumulada de frecuencias. Resumen tabular de un conjunto de datos cuantitativos donde se

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muestra el número de elementos que tienen valores menores que, o iguales al límite superior de la clase.

Distribución acumulada de frecuencias relativas. Resumen tabular de datos cuantitativos donde se muestra lafracción o proporción de los elementos cuyos valores son menores que, o iguales al límite superior de la clase.

Distribución acumulada de frecuencias porcentuales. Resumen tabular de datos cuantitativos donde se muestrael porcentaje de los articulas que tienen valores menores que, o iguales al límite superior de la clase.

Ojiva. Gráfica de una distribución acumulada.

Análisis exploratorio de datos. Métodos que emplean operaciones aritméticas simples y gráficas fáciles dedibujar para resumir datos de manera rápida.

Diagrama de tallo y hojas. Técnica de análisis exploratorio de datos que clasifica y ordena simultáneamentelos datos cuantitativos y proporciona una perspectiva de la forma de la distribución.

Fabulación cruzada. Resumen tabular de datos para dos variables. Las clases de una variable se representan enlos renglones; las clases de la otra variable, en las columnas.

Diagrama de dispersión. Método gráfico para mostrar la relación entre dos variables cuantitativas. Unavariable se representa sobre el eje horizontal y la otra sobre el eje vertical.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.

TEMA: CONCEPTOS DE ESTADISTICA, EJERCICIOS.

Este trabajo consta de los principales conceptos de estadística y algunos problemas resueltos.

BIBLIOGRAFIA

ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA , ANDERSON

EJERCICIO 2

La tabla 1.6 muestra la paga del director ejecutivo, ramo industrial, ventas anuales, sueldo y calificación delrendimiento por parte de los accionistas para 10 empresas (Bussines Week, 21de abril de 1997). La paga deldirector ejecutivo con calificación de 1 indica que la empresa pertenece al grupo con la mejor relación desueldo a rendimiento de las acciones. Una calificación de 2 indica que la empresa es semejante a otras quetienen una relación muy buena, aunque no la mejor. Las empresas con la peor relación de sueldo del directorejecutivo a rendimiento de acciones tienen calificación de 5.

¿Cuántos elementos hay en este conjunto de datos?• ¿Cuantas variables hay en este conjunto de datos?• ¿Cuáles variables son cualitativas y cuales son cuantitativas?•

CompañíaSueldo del director

ejecutivo($miles)Ramo

Ventas

($millones)

Clasificaciónsueldo deldirectorescomparación conlos dividendos alos accionistas

Bankers Trust 8925 Banca 9565 3

9

Coca Cola 2437 Bebidas 18546 5

General Mills 1410 Alimenticia 5567 1

LSI Logic 696 Electrónica 1239 2

Motorota 1847 Electrónica 27973 4

Reader digest 1490 Editorial 2968 3

Sears 3414 Detallista 38236 4

Sprint 3344Telecomuni−caciones

14045 4

Walgreen 1490 Detallista 12140 2

Wells fargo 2861 Banca 8723 3Tabla 1.6 1 Sueldo del director ejecutivo de una muestra de 10 compañías.

Respuestas:

10• •

EJERCICIO 4

La revista Fortune publica datos sobre la clasificación de las 500 corporaciones industriales estadounidensesmás grandes, en términos de ventas y utilidades. En la tabla 1.7 vemos datos acerca de una muestra de las 500compañías (Fortune, 28 de abril de 1997).

¿Cuántos elementos hay en este conjunto de datos?• ¿Cuál es la población?• Calcule las ventas anuales de la muestra.• Con el resultado del inciso c, ¿Cuál es la estimación de las ventas promedio para la población?•

TABLA 1.7 MUESTRA DE 10 EMPRESAS FORTUNE 500

Compañía Ventas($millones) Utilidades($millones)Código del ramoindustrial

Bank One 10272 1427.0 8

CPC Int 9844 580.0 19

Tyson Foods 6454 87.0 19

Heelett−Packard 38420 2586.0 12

Intel 20847 5157.0 15

Northurp 8071 234.0 2

Seagate Teach 8588 213.3 11

Unisys 6371 49.7 10

Westvaco 3075 212.2 22

Woolwort 8093 168.7 48

Respuestas:

10• Las 500 corporaciones estadounidenses más grandes.• $14227.59millones• 14227.59millones•

10

EJERCICIO 6

En Columbia House se distribuyen discos compactos, casetes y discos por correo a los miembros de su club.La empresa realizo una encuesta musical pidiendo a los nuevos miembros llenaran una nueva forma con 11preguntas. Algunas de ellas fueron:

¿Cuántos álbumes (discos compactos, cintas o discos) compro usted en los últimos 12 meses?• ¿Es actualmente miembro de un club nacional de pedidos por correo? (Sí o No).• ¿Qué edad tiene usted?• Incluyéndose usted ¿Cuántas personas (adultos y niños) viven en su casa?• ¿Qué tipo de música le interesa comprar? (Se presenta una lista de 15 categorías, incluyendo rock pesado,rock suave, contemporánea, heavy metal, rap y country).

•

Diga si en cada pregunta se piden datos cualitativos o cuantitativos.

Respuestas:

Las preguntas a, c y d son cuantitativas.

Las preguntas b y e son cualitativas.

EJERCICIO 8

En una encuesta de Wall Street Journal/NBC news se pregunto a 2013 adultos: ¿Qué tan satisfecho esta ustedcon la economía estadounidense en la actualidad? (The Wall Street Journal, 12 de diciembre de 1997). Lascategorías de las respuestas eran Insatisfecho, Satisfecho y No estoy seguro.

¿Cuál fue el tamaño de muestra para esta encuesta?• Los datos ¿son cualitativos o cuantitativos?• ¿Qué tendría mas sentido emplear, promedios o porcentajes como resumen de los datos para esta pregunta?• De quienes respondieron, el 28% dijo no estar satisfecho con el estado de la economía de Estados Unidos.¿Cuántas personas dieron esa respuesta?

•

Respuestas:

2013• Cualitativo• Porcentajes• 563 o 564•

EJRCICIO 10

Diga si cada una de las variables que siguen es cualitativa o cuantitativa.

Edad.• Sexo.• Lugar en la clase.• Marca de automóvil.• Cantidad de personas que están a favor de la pena de muerte.•

Respuestas:

11

Cuantitativa; relación• Cualitativa; nominal• Cualitativa; ordinal• Cualitativa; nominal• Cuantitativa; relación•

EJERCICIO 16

El área de mercadotecnia de su empresa ha propuesto una nueva bebida dietética que, dicen, captura una granparte del mercado de adultos jóvenes.

¿Qué datos quiere analizar antes de decidirse a invertir cantidades importantes para introducir el nuevoproducto en el mercado?

•

¿Cómo espera obtener los datos mencionados en el inciso b?•

Respuestas:

Pruebas del sabor del producto y comercialización de la prueba.• Estudios estadísticos diseñados especialmente.•

EJERCICIO 18

En un estudio reciente acerca de las causad de muerte en hombres de 60 y mas años de edad, una muestra de120 personas indico que 48 murieron debido a enfermedades del corazón.

Desarrolle una medida estadística descriptiva que se pueda emplear como estimado del porcentaje dehombres de 60 años o mas, que mueren de alguna enfermedad cardiaca.

•

¿Son cualitativos o cuantitativos los datos sobre las causa de muerte?• Explique el papel de la inferencia estadística en este tipo de investigación médica.•

Respuestas:

40%• Cualitativos.•

EJERCICIO 20

La encuesta de usuarios de datos de escáner de 1996, entre 50 empresas, arrojo los siguientes resultados(Mercer Management Consulting, Inc., 24 de abril de 1997):

. A.C Nielsen acaparo el 56% del valor del mercado en dólares.• La cantidad promedio invertida en datos de escaners, por categoría de bienes al consumidor• En una escala de 1 (muy descontento) a 5 (muy satisfecho), el nivel promedio de satisfacción general,con los datos de escaners, fue 3.73.

•

Cite dos medias estadísticas descriptivas.• Haga una inferencia de satisfacción general en la población de todos los usuarios de datos de lectoresópticos.

•

Haga una inferencia acerca de la cantidad promedio invertida por categoría para datos de escaners acerca debienes al consumidor.

•

Respuestas:

12

56% y 387,325 dólares• 3.73• 387,325 dólares•

EJERCICIO 22

Una empresa desea probar la eficacia de un nuevo comercial de TV. Como parte de la prueba, el comercial sepasa a las 6:30PM en un programa de noticias locales en Denver, Colorado. Dos días después, una empresa deinvestigación de mercado lleva a cabo una encuesta telefónica para recabar información sobre la frecuencia derecuerdos (porcentaje de los telespectadores que recuerdan haber visto el comercial) y las impresiones delcomercial.

¿Cuál es la población para este estudio?• ¿Cuál es la muestra para este estudio?• ¿Por qué necesita usarse una muestra en este caso? Explique su respuesta:•

Respuestas:

Todos los espectadores adultos que vieron la estación de TV.• Espectadores contactados en la encuesta telefónica.• Muestra.•

EJERCICIO 24

Una muestra de calificaciones intermedias de cinco alumnos arrojo los siguientes resultados: 72, 65, 82, 90,76. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y cuales se debe considerar que son demasiadogeneralizadas?

La calificación intermedia promedio de la muestra de cinco alumnos es 77.• La calificación intermedia promedio de todos los alumnos que hicieron el examen es 77.• Un estimado de la calificación intermedia promedio, para todos los alumnos que hicieron el examen es 77.• Más de la mitad de los alumnos que hicieron el examen tienen calificaciones entre 70 y 85.• Si se hubieran incluido otros cinco alumnos en la muestra, sus calificaciones estarían entre 665 y 90.•

Respuestas:

Correcto• Incorrecto• Correcto• Incorrecto• Incorrecto.•

CAPITULO 1

EJERCICIO 2

La tabla 1.6 muestra la paga del director ejecutivo, ramo industrial, ventas anuales, sueldo y calificación delrendimiento por parte de los accionistas para 10 empresas (Bussines Week, 21de abril de 1997). La paga deldirector ejecutivo con calificación de 1 indica que la empresa pertenece al grupo con la mejor relación desueldo a rendimiento de las acciones. Una calificación de 2 indica que la empresa es semejante a otras quetienen una relación muy buena, aunque no la mejor. Las empresas con la peor relación de sueldo del directorejecutivo a rendimiento de acciones tienen calificación de 5.

13

¿Cuántos elementos hay en este conjunto de datos?• ¿Cuantas variables hay en este conjunto de datos?• ¿Cuáles variables son cualitativas y cuales son cuantitativas?•

Compañía

Sueldo deldirector

ejecutivo($miles)

RamoVentas

($millones)

Clasificación sueldo deldirectores comparación con losdividendos a los accionistas

Bankers Trust 8925 Banca 9565 3

Coca Cola 2437 Bebidas 18546 5

General Mills 1410 Alimenticia 5567 1

LSI Logic 696 Electrónica 1239 2

Motorota 1847 Electrónica 27973 4

Reader digest 1490 Editorial 2968 3

Sears 3414 Detallista 38236 4

Sprint 3344Telecomuni−caciones

14045 4

Walgreen 1490 Detallista 12140 2

Wells fargo 2861 Banca 8723 3Tabla 1.6 2 Sueldo del director ejecutivo de una muestra de 10 compañías.

Respuestas:

10• 4• Cualitativa: el sueldo y el ramo; cuantitativa las ventas y puntuación global.•

EJERCICIO 4

La revista Fortune publica datos sobre la clasificación de las 500 corporaciones industriales estadounidensesmás grandes, en términos de ventas y utilidades. En la tabla 1.7 vemos datos acerca de una muestra de las 500compañías (Fortune, 28 de abril de 1997).

¿Cuántos elementos hay en este conjunto de datos?• ¿Cuál es la población?• Calcule las ventas anuales de la muestra.• Con el resultado del inciso c, ¿Cuál es la estimación de las ventas promedio para la población?•

TABLA 1.7 MUESTRA DE 10 EMPRESAS FORTUNE 500

Compañía Ventas($millones) Utilidades($millones)Código del ramoindustrial

Bank One 10272 1427.0 8

CPC Int 9844 580.0 19

Tyson Foods 6454 87.0 19

Heelett−Packard 38420 2586.0 12

Intel 20847 5157.0 15

Northurp 8071 234.0 2

14

Seagate Teach 8588 213.3 11

Unisys 6371 49.7 10

Westvaco 3075 212.2 22

Woolwort 8093 168.7 48

Respuestas:

10

Las 500 corporaciones estadounidenses más grandes.• $14227.59millones• 14227.59millones•

EJERCICIO 6

En Columbia House se distribuyen discos compactos, casetes y discos por correo a los miembros de su club.La empresa realizo una encuesta musical pidiendo a los nuevos miembros llenaran una nueva forma con 11preguntas. Algunas de ellas fueron:

¿Cuántos álbumes (discos compactos, cintas o discos) compro usted en los últimos 12 meses?• ¿Es actualmente miembro de un club nacional de pedidos por correo? (Sí o No).• ¿Qué edad tiene usted?• Incluyéndose usted ¿Cuántas personas (adultos y niños) viven en su casa?• ¿Qué tipo de música le interesa comprar? (Se presenta una lista de 15 categorías, incluyendo rock pesado,rock suave, contemporánea, heavy metal, rap y country).

•

Diga si en cada pregunta se piden datos cualitativos o cuantitativos.

Respuestas:

Las preguntas a, c y d son cuantitativas.

Las preguntas b y e son cualitativas.

EJERCICIO 8

En una encuesta de Wall Street Journal/NBC news se pregunto a 2013 adultos: ¿Qué tan satisfecho esta ustedcon la economía estadounidense en la actualidad? (The Wall Street Journal, 12 de diciembre de 1997). Lascategorías de las respuestas eran Insatisfecho, Satisfecho y No estoy seguro.

¿Cuál fue el tamaño de muestra para esta encuesta?• Los datos ¿son cualitativos o cuantitativos?• ¿Qué tendría mas sentido emplear, promedios o porcentajes como resumen de los datos para esta pregunta?• De quienes respondieron, el 28% dijo no estar satisfecho con el estado de la economía de Estados Unidos.¿Cuántas personas dieron esa respuesta?

•

Respuestas:

2013

Cualitativo• Porcentajes•

15

563 o 564•

EJRCICIO 10

Diga si cada una de las variables que siguen es cualitativa o cuantitativa.

Edad.• Sexo.• Lugar en la clase.• Marca de automóvil.• Cantidad de personas que están a favor de la pena de muerte.•

Respuestas:

Cuantitativa; relación• Cualitativa; nominal• Cualitativa; ordinal• Cualitativa; nominal• Cuantitativa; relación•

EJERCICIO 16

El área de mercadotecnia de su empresa ha propuesto una nueva bebida dietética que, dicen, captura una granparte del mercado de adultos jóvenes.

¿Qué datos quiere analizar antes de decidirse a invertir cantidades importantes para introducir el nuevoproducto en el mercado?

•

¿Cómo espera obtener los datos mencionados en el inciso b?•

Respuestas:

Pruebas del sabor del producto y comercialización de la prueba.• Estudios estadísticos diseñados especialmente.•

EJERCICIO 18

En un estudio reciente acerca de las causad de muerte en hombres de 60 y mas años de edad, una muestra de120 personas indico que 48 murieron debido a enfermedades del corazón.

Desarrolle una medida estadística descriptiva que se pueda emplear como estimado del porcentaje dehombres de 60 años o mas, que mueren de alguna enfermedad cardiaca.

•

¿Son cualitativos o cuantitativos los datos sobre las causa de muerte?• Explique el papel de la inferencia estadística en este tipo de investigación médica.•

Respuestas:

40%• Cualitativos.•

EJERCICIO 20

La encuesta de usuarios de datos de escáner de 1996, entre 50 empresas, arrojo los siguientes resultados

16

(Mercer Management Consulting, Inc., 24 de abril de 1997):

. A.C Nielsen acaparo el 56% del valor del mercado en dólares.• La cantidad promedio invertida en datos de escaners, por categoría de bienes al consumidor• En una escala de 1 (muy descontento) a 5 (muy satisfecho), el nivel promedio de satisfacción general,con los datos de escaners, fue 3.73.

•

Cite dos medias estadísticas descriptivas.• Haga una inferencia de satisfacción general en la población de todos los usuarios de datos de lectoresópticos.

•

Haga una inferencia acerca de la cantidad promedio invertida por categoría para datos de escaners acerca debienes al consumidor.

•

Respuestas:

56% y 387,325 dólares• 3.73• 387,325 dólares•

EJERCICIO 22

Una empresa desea probar la eficacia de un nuevo comercial de TV. Como parte de la prueba, el comercial sepasa a las 6:30PM en un programa de noticias locales en Denver, Colorado. Dos días después, una empresa deinvestigación de mercado lleva a cabo una encuesta telefónica para recabar información sobre la frecuencia derecuerdos (porcentaje de los telespectadores que recuerdan haber visto el comercial) y las impresiones delcomercial.

¿Cuál es la población para este estudio?• ¿Cuál es la muestra para este estudio?• ¿Por qué necesita usarse una muestra en este caso? Explique su respuesta:•

Respuestas:

Todos los espectadores adultos que vieron la estación de TV.• Espectadores contactados en la encuesta telefónica.• Muestra.•

EJERCICIO 24

Una muestra de calificaciones intermedias de cinco alumnos arrojo los siguientes resultados: 72, 65, 82, 90,76. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y cuales se debe considerar que son demasiadogeneralizadas?

La calificación intermedia promedio de la muestra de cinco alumnos es 77.• La calificación intermedia promedio de todos los alumnos que hicieron el examen es 77.• Un estimado de la calificación intermedia promedio, para todos los alumnos que hicieron el examen es 77.• Más de la mitad de los alumnos que hicieron el examen tienen calificaciones entre 70 y 85.• Si se hubieran incluido otros cinco alumnos en la muestra, sus calificaciones estarían entre 665 y 90.•

Respuestas:

Correcto•

17

Incorrecto• Correcto• Incorrecto• Incorrecto.•

CAPITULO 2

EJERCICIO 6

En la tabla 2.4 se enumeran los ocho libros de mayor venta en Estados Unidos en febrero de 2000, elaboradosen rústica y relacionados con temas de negocio (Bussiness Week, 3 de abril del 2000). Suponga que se llevoacabo un muestreo de compra de libros en Denver, Colorado, y que se obtuvieron los siguientes datos:

TABLA 2.4

LOS 8 LOBROS SOBRE ADMINISTRACION MAS VENDIDOS:

The 7 Habits of Highly Effective People.• Investing for Dummies• The Ernst & Young Tax Guide 2000.• The Millionaire Next Door.• The Motley Fool Investment Guide.• Rich Dad. Poor Dad.• The Wall Street Journal Guide to Understanding Money and Investing.• What Color is Your Parachute? 2000.•

(Estos son los datos)

7 Habits Dad 7 Habits Millionaire Millionaire WSJ Guide

Motley Millionaire Tax Guide 7 Habits Dad Dummies

Millionaire Motley Dad Dad Parachute Dad

Dad 7 Habits WSJ Guide WSJ Guide WSJ Guide 7 Habits

Motley WSJ Guide Millionaire 7 Habits Millionaire Millionaire

Millionaire 7 Habits Millionaire 7 Habits Motley Motley

Motley 7 Habits Dad Dad Dad Dad

7 Habits WSJ Guide Tax Guide Millionaire Motley Tax Guide

Motley Motley Millionaire Millionaire Dad Dummies

Millionaire Millionaire Millionaire Dad Millionaire Dad

forme las distribuciones de frecuencias y de frecuencias porcentuales para los datos. Agrupe los libros quetengan una frecuencia de 5% o menor en la categoría de otros.

•

Clasifique los libros de mayor venta.• ¿Qué porcentajes de las ventas corresponden a The Millionaire Next Door y Rich Dad, Poor Dad?•

Libro Frecuencia Frecuencia %

7 Habits 10 16,66

Millionaire 16 26,67

Motley 9 15

Dad 13 21,67

18

WSJ Guide 6 10

Otro 6 10

Totales 60 100Respuestas:

a.

b. Primeros cinco: Millionaire, Dad,motley,7 Habits,WSJ Guide.

43.33%•

EJERCICIO 8

En la pagina siguiente se observan datos de una muestra de 25 miembros del salon de la fama de beisbol, enCooperstown, Nueva York, para cada posición del campo. Cada observación indica la posición principal deljugador: lanzador (P), receptor (H), primera base (1), segunda base (2), tercera base (3), parador en corto (S),jardinero izquierdo (l), jardinero central ©, jardinero derecho ®.

L P C H 2 P R 1 S S 1 L P R

P P P R C S L R P C C P P R

2 3 P H L P 1 C P P P S 1 L

R 1 2 H S 3 H 2 L P

resuma los datos elaborando una distribución de frecuencias y una distribución de frecuencias relativas.• ¿Qué posición tiene mas miembros en el salon de la fama?• ¿Qué posición tiene menos miembros?• ¿Qué posición de jardin (L, C o R) tiene mas miembros?• Compare los jugadores de cuadro (1,2,3 y S) con los jardineros (L, C y R).•

Respuestas:

a)

POSICION FRECUENCIA FRECUENCIA REL.

P 17 0.309

H 4 0.073

1 5 0.091

2 4 0.073

3 2 0.036

S 5 0.091

L 6 0.109

19

C 5 0.091

R 7 0.127

___ _____

TOTALES 55 1.000

b)

LANZADOR

c)

TERCERA BASE

d)

JARDINERO DERECHO

e)

16 JUGADORES DE CUADRO CONTRA 18 JARDINEROS

EJERCICIO 16

En la tabla 2.9 se presenta una muestra de 25 empresas fabricantes de componentes de computo, tomada de labase de datos de Stock Invester Pro.

Elabore resumenes tabulares y un histograma para los precios de las acciones. Haga comentarios acerca delos precios característicos y de la distribución de los precios.

•

Elabore resúmenes tabulares y un histograma de los datos del rendimiento por accion. Haga comentarios desus resultados.

•

Tabla 2.9

EMPRESAPRECIOPORACCION

PROPIEDAD(%)

RELACIONPRECIO/VALORENLIBROS

RENDIMIENTO PORACCION($ANUALES)

Amdahl 12.31 45.4 2.49 −2.49

Auspex systems 11.00 66.1 2.22 0.85

Compaq computer 65.50 83.0 6.84 2.01

Dat general 35.94 91.5 4.25 1.15

Digi internacional 15.00 33.4 2.04 −0.89

Digital equipmentcorp.

43.00 58.8 1.92 −2.93

En pointeTechnologies

14.25 11.8 3.47 0.80

Equitrac 16.25 20.9 2.38 0.76

Franklin electronic 12.88 30.8 1.41 0.82

20

Pals

Gateway 2000 39.13 36.0 6.45 1.74

Hewlett−packard 61.50 50.2 4.35 2.64

Ingrammicro 28.75 14.4 4.53 1.01

MaxwellTechnologies

30.50 26.5 8.07 0.46

Micro age 27.19 76.6 2.16 1.25

Micro electronics 16.31 18.8 4.48 1.06

Networcomputingdevices

11.88 39.8 3.34 0.15

Pomeroy computerresourse

33.00 56.9 3.29 1.81

Sequent computersystems

28.19 57.0 2.65 0.36

Silicon ggraphics 27.44 63.0 3.01 0.44

Southrn electronics 15.13 41.9 2.46 0.99

Stratus computer 55.50 77.2 2.48 2.52

Sun microsistems 48.00 59.3 7.50 1.67

Taqnden computers34.25 61.3 3.61 1.02

Tech data 38.94 82.3 3.80 1.50

Uniys 11.31 34.8 16.64 0.08

Respuestas:

a)

Precio de frecuencia Frecuencia Frecuencia

Las acciones Relativa Porcentual

(dolares)

10.00 − 19.99 10 0.40 40

20.00 − 29.99 4 0.16 16

30.00 − 39.99 6 0.24 24

40.00 − 49.99 2 0.08 8

50.00 − 59.99 1 0.04 4

60.00 − 69.99 2 0.08 8

____ ____ ___

Totales 25 1.00 100

21

b)

Ganancias por Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Acción Relativa Porcentual

(dólares)

3.00 a −2.01 2 0.08 8• 2.00 a −1.01 0 0.00 0• 1.00 a −0.01 2 0.08 8•

0.00 a 0..99 9 0.36 36

1.00 a 1.99 9 0.36 36

2.00 a 2.99 3 0.12 12

___ ____ ___

Totales 25 1.00 100

EJERCICIO 18

Wageweb lleva a cabo encuestas de datos de salarios y presenta los resúmenes en su sitio de la red. Usandodatos de salarios a partir del primero de enero de 2000, Wageweb informo que los salarios de losvicepresidentes de marketing variaban de 85090 a 190054 dólares (Wageweb.com, 12 de abril de 2000).Suponga que los siguintes datos son una muestra de los salarios anuales para 50 vicepresidentes de marketing.Los daros estan dados en miles de dolares.

145 95 148 112 132

140 162 118 170 144

145 127 148 165 138

173 113 104 141 142

116 178 123 141 138

127 143 134 136 137

155 93 102 154 142

134 165 123 124 124

138 160 157 138 131

114 135 151 138 157

¿Cuáles son los salarios minimo y maximo• Use un ancho de clase de 150,00 dolares y prepare resumes tabulares de los datos de salario anual?• ¿Qué proporcion hay de salarios anuales de 135,000 dolares o menos?• ¿Qué porcentaje hey de salarios anuales mayores de 150,000 dolares?• Trace un histograma de los datos.•

Respuestas:

Salario mínimo: 93,000 dólares•

22

Salario máximo: 178,000 dólares.

b.

Sueldo miles de dolares frecuencia Frecuencia relativaFrrecuencia %

90−105 4 0,08 8

106−120 5 0,1 10

121−135 11 0,22 22

136−150 18 0,36 36

151−165 9 0,18 18

166−180 3 0,06 6

totales 50 1 100

c. 20/50

d. 24%

e.

EJERCICIO 20

La oficina de censos de Estados Unidos publica información diversa acreca de la población de ese pais. Lasiguiente información es la distribución de frecuencias porcentules de la población de Estados Unidos poredad desde el primero de julio de 2000 (The World Almanac and Book of Facts 2000).

Edad Frecuencia Porcentual

0−13 20.0

14−17 5.7

18−24 9.6

25−34 13.6

35−44 16.3

45−54 13.5

55−64 8.7

65 o más 12.6

100.0

¿Qué porcentaje de la población tiene 34 años o menos?• ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 25 y 54 años inclusive?• ¿Qué porcentaje de la población es mayor de 34 años?• La población total es 275 millones. ¿Cuántas personas son menores de 25 años?• Suponga que usted cree que la mitad de las personas en la clase 55−64 están retiradas y queaproximadamente todas las personas de 65 años o mas están retiradas. Estime el numero de personasretiradas de la población.

•

Respuestas:

48.9$• 43.4%•

23

51.1%• 97.075 millones• 46.6125 millones•

EJERCICIO 26

Los datos de rendimiento por acción para una muestra de 20 empresas de la tabla de empresas de bussunessweek, 17 de noviembre de 1997 son los siguientes.

Empresa Rendimiento por acción

En dólares

Barnes & Noble 0.78

Citicorp 7.10

Compaq Computer 2.16

Dana 3.42

Dell Computer 2.03

Digital Equipmet 1.28

General Dynamics 4.82

Goodyear 0.94

Harley Davidson 1.11

Heinz 0.98

Hersey Foods 1.97

Hewlett − Packard 2.82

Humana 0.89

Microsoft 2.66

Procter & Gamble 2.53

Quaker Satate 0.41

Sara Lee 2.08

Snap − On Tools 2.38

Sunstrad 2.53

Xerox 3.95

24

Trazar un diagrama de tallo y hoja para esto datos. Utilice 01 como unidad de la hoja. Comente lo queaprendió acerca de los rendimientos por acción para estas empresas.

0 4 7 8 9 9

1 1 2 9

2 0 0 1 3 5 5 6 8

3 4 9

4 8

5

6

7 1

EJERCICIO 32

Los elementos de la tabla 2.15 son los datos financiero para una muestra de 36 compañías cuyas acciones secomercializan en la bolsa de valores de New York . Los datos sobre ventas, márgenes , ROE, es unaevaluación compuesta basada en la tasa de crecimiento de ventas de la compañía, sus márgenes de ganancia ysu rendimiento de la equidad (ROE). La evaluación EPS es una medida del crecimiento del rendimiento poracción para la compañía.

Prepare una tabulacion cruzada de los datos sobre ventas , márgenes, ROE (renglones) y evaluación EPS(columnas) . Use clases de 0−19, 20−39, 40−59, 60−79, y 80−99. para la evolución EPS .

•

Calcule los porcentajes por renglón y comente cualquier relación que haya entre las variables.•

Clasificación Consistencia Consistencia ventas

Compañia EPS Relativa relativa de Márgenes

De precios grupos ind. ROE

Advo 81 74 B A

Alaska AirGP 58 17 C B

Alliant Tech 84 22 B B

Atmos Engy 21 9 C E

Bsnk of Am. 87 38 C A

Bowater PLC 14 46 C D

Callaway Golf 46 62 B E

Central Parking 76 18 B C

Dean Foods 84 7 B C

Dole Food 70 54 E C

Elec. Data Sys. 72 69 A B

Fed. Dep. Stor. 79 21 D B

Gateway 82 68 A A

Goodyear 21 9 E D

25

Hanson PLC 57 32 B B

ICN Pharm 76 56 A D

Jeferson Plt. 80 38 D C

Kroger 84 24 D A

Mattel 18 20 E D

Mc Dermott 6 6 A C

Monaco 97 21 D A

Murphy Oil 80 62 B B

Nordstrom 58 57 B C

NYMAGIC 17 45 D D

Oficce Depot 58 40 B B

Payless Shoes 76 59 B B

Praxair 62 32 C B

Reebok 31 72 C E

Safeway 91 61 D A

Teco Energy 49 48 D B

Texaco 80 31 D C

US West 60 65 B A

United Rental 98 12 C A

Wachovia 69 36 E B

Winnebago 83 49 D A

York Intl 28 14 D B

Respuestas:

a)

Ventas/ Evaluacion EPS

Margenes/ 0− 20− 40− 60− 80−

ROE 19 39 59 79 100 Total

A 1 8 9

B 1 4 5 2 12

C 1 1 2 3 7

D 3 1 1 5

E 2 1 3

Totales 4 4 6 9 13 36

b)

Ventas/ Evaluacion EPS

Margenes/ 0− 20− 40− 60− 80−

ROE 19 39 59 79 100 Total

A 11.11 88.89 100

B 8.33 33.33 41.67 16.67 100

26

C 14.29 14.29 28.57 42.86 100

D 60.00 20.00 20.00 100

E 66.67 33.33 100

Al parecer, las evaluaciones EPS mayores están asociadas con evaluaciones mayores en ventas/ márgenes /ROE.

En la columna (1) se observan los valores que toma la variable número de aulas por escuela, que varían de 8a 14.

En la columna (2) se ha colocado la cantidad de escuelas correspondiente a cada valor de la variable. Sisumamos esta columna obtenemos la cantidad total de escuelas bajo estudio.

Número de aulas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

10

5

Frecuencia

27

Indice general

1. COMBINATORIA 51.1. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Muestras ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Muestras ordenadas sin repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Permutaciones con elementos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4. Muestras ordenadas con repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Muestras no ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Muestras no ordenadas y sin repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. PROBABILIDAD 152.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Asignacion de probabilidades. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6. Sucesos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Experimentos compuestos. Teorema de la probabilidad total. . . . . . . . . . . . . . . 272.8. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9. El teorema de Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.10. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL 383.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. La distribucion binomial o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. El uso de las tablas de la distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2. Probabilidades acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3. Media y desviacion tıpica en una distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3. La distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1. Uso de las tablas de la distribucion normal N(0;1) . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2. Calculo de otras probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.3. Calculo de probabilidades en normales N (x; σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.4. Otro uso de las tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4. Relacion entre la distribucion binomial y la distribucion normal . . . . . . . . . . . . . 493.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. INFERENCIA ESTADISTICA 564.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2. Muestreos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Estimacion por puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Distribucion muestral de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

INDICE GENERAL 2

4.5. Distribucion muestral de proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6. Intervalos de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6.1. Intervalo de probabilidad para la media muestral x . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6.2. Intervalo de probabilidad para la proporcion muestral p . . . . . . . . . . . . . 65

4.7. Estimacion por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.1. Estimacion de la media de una poblacion µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.2. Estimacion de una proporcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. TEST DE HIPOTESIS 725.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2. Hipotesis estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4. Region crıtica y region de aceptacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5. Etapas de la prueba de hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.6. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. MATRICES Y DETERMINANTES 826.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2. Matrices. Definicion y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4. Aplicaciones de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.5. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.5.1. Suma y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5.2. Producto por un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5.3. Trasposicion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5.4. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.6. La matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.6.1. Metodo directo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.6.2. Metodo de Gauss-Jordan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.7. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.8. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.9. La regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.10. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.11. Relacion entre la inversa y los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.12. Aplicacion de los determinantes al calculo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.13. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1097.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3. Expresion matricial de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.5. Sistemas con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.5.1. Discucion de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incognitas . . . . . . . . . . . . . . 1137.6. Sistemas de 2 incognitas y 3 ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.7. Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.7.1. Interpretacion geometrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incognitas . . . 1177.7.2. Discusion de sistemas de 3 ecuaciones y 3 incognitas . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.8. Aplicacion de las matrices y determinantes a la resolucion de sistemas. Regla de Cramer 1217.8.1. Aplicacion de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

INDICE GENERAL 3

7.9. Estudio de sistemas cualesquiera mediante el calculo del rango. Teorema de Rouche-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.10. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.11. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8. PROGRAMACION LINEAL 1278.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.2. Inecuaciones lineales con 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.4. Problemas de optimizacion de una funcion sujeta a restricciones . . . . . . . . . . . . . 131

8.4.1. Forma geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.4.2. Forma algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.5. Algunos ejemplos de casos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.6. Aplicacion a problemas concretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.7. El problema del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.8. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1459.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2. Tipos de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.3. Calculo de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.3.1. Lımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.3.2. Lımites en puntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.3.3. Lımites potenciales. Indeterminacion 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.4.1. Asıntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.4.2. Asıntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.4.3. Asıntotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.6. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.7. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES. OPTIMIZACION 16810.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.2. Introduccion al concepto de derivada. Tasas de variacion media e instantanea. . . . . . 16810.3. Definicion de derivada. Reglas de derivacion. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . 170

10.3.1. Propiedades de las derivadas. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.3.2. Derivadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.3.3. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.4. Aplicaciones de las derivadas a la Fısica y la Economıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.4.1. Aplicacion a la Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.4.2. Aplicacion a la Economıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.5. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.6. Aplicaciones de las derivadas al calculo del crecimiento y decrecimiento de una funcion.

Calculo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.7. Aplicaciones de las derivadas al calculo de la concavidad y la convexidad, puntos de

inflexion. Criterio para determinar maximos y mınimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.8. Representacion grafica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.9. Optimizacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.10.EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

INDICE GENERAL 4

11.INTEGRACION. CALCULO DE AREAS 19311.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.2. Primitivas. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.4. Integracion por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19611.5. Determinacion de una primitiva particular de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.6. El problema del calculo del area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.7. La integral definida. La regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20111.8. Aplicaciones de la integral definida al calculo de areas de recintos planos . . . . . . . . 203

11.8.1. Areas limitadas por una funcion y el eje x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.8.2. Areas limitadas por dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.9. Otras aplicaciones de las integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.10.EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Capıtulo 1

COMBINATORIA

Previamente al estudio de la probabilidad en sı, conviene dedicar algun tiempo al repaso de lastecnicas combinatorias.

Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matematicas que se ocupa de la resolucion deproblemas de eleccion y disposicion de los elementos de cierto conjunto, de acuerdo con ciertas reglas.Es decir, dentro de la Combinatoria es donde tienen sentido preguntas del tipo:

1. ¿Cuantas quinielas distintas pueden hacerse?.

2. ¿Cuantas posibles combinaciones pueden darse en la loterıa primitiva?.

3. ¿Que posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.

4. ¿De cuantas formas se pueden sentar 5 personas en 5 asientos de un cine?.

Trataremos de dar respuesta a estas cuestiones y algunas mas.

1.1. Conceptos fundamentales

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

1. Poblacion: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Llamaremos tamano de lapoblacion al numero de elementos de este conjunto.

2. Muestra: Es un subconjunto de la poblacion. Llamaremos tamano de la muestra al numero deelementos que la componen.

Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

a) El orden, es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

b) La posibilidad de repeticion o no de los elementos.

Ejemplo: Veamos con que tipo de poblaciones y muestras trabajamos en los ejemplos anteriores:

1. La poblacion en este caso es 1,X,2, que tiene tamano 3 (no hay otras posibilidades en unaquiniela).

Una quiniela (teniendo en cuenta el ”pleno al 15”) es una muestra de tamano 15 de la poblacionanterior (por ejemplo : 1XX121XXX212111).

Es evidente que el orden en esta muestra es importante (no es lo mismo una X en la segundacasilla que en la quinta) y que se permiten elementos repetidos ( los unos , equis o doses sepueden repetir).

Es por tanto una muestra ordenada y con repeticion.

5

CAPITULO 1. COMBINATORIA 6

2. En este caso la poblacion es mayor, pues son todos los numeros desde el 1 al 49, es decir1,2,3. . . .,49.Por tanto, y si nos olvidamos del complementario, una apuesta de loterıa primitiva es una muestrade tamano 6 de dicha poblacion (por ejemplo 3, 18, 40, 41, 43, 45 ).

Aquı el orden no influye y los elementos no se pueden repetir (no puede salir un numero mas deuna vez). Son muestras no ordenadas y sin repeticion.

3. La poblacion ahora esta formada por las 40 cartas que componen una baraja espanola, es decir1 oros, 2 oros,. . . .,Rey bastos , y para el caso de 4 jugadores, tenemos una muestra de 10cartas, que evidentemente no se pueden repetir y ademas el orden no importa.

Muestras no ordenadas y sin repeticion.

4. La poblacion son las 5 personas a elegir, y la muestra tiene el mismo tamano, 5, pues elegimos alas 5 personas. Eso sı, ahora el orden sı que es importante y ademas las personas no se puedenrepetir.

Son muestras ordenadas y sin repeticion.

5. Un ejemplo de muestra no ordenada y con repeticion podrıa ser una mano de cartas pero teniendoen cuenta que jugamos con 2 barajas identicas mezcladas (80 cartas).

Si se reparten 10 a cada uno de 4 jugadores, tenemos una muestra de tamano 10 en la quees evidente que el orden no importa y que podemos tener cartas repetidas (por ejemplo, doscaballos de oros).

El objetivo de la Combinatoria es calcular cuantos tipos de muestras de un determinado tamanose pueden extraer de cierta poblacion. El resultado en el que nos basaremos a la hora de calcular elnumero de muestras es el siguiente:

Principio de multiplicacion:

Si un procedimiento se puede separar en r etapas, de modo que el resultado de una de ellas no influyeen el resultado de las otras, y en cada una de estas etapas se obtienen respectivamente n1, n2, n3, . . . , nr

resultados, entonces el procedimiento global conduce a n1 · n2 · n3 · . . . · nr resultados.

Ejemplo: ¿Cuantos resultados podemos obtener al lanzar una moneda tres veces?.

Aplicando el principio anterior, en el primer lanzamiento obtenemos 2 resultados (Cara o cruz), en elsegundo lanzamiento, otros 2 y en el tercero tambien 2.

Por tanto, en total hay 2 · 2 · 2 = 8 posibles resultados. Si lo disponemos en forma de diagrama dearbol, obtenemos los 8 resultados:

Figura 1.1: Diagrama de arbol


1.2. Muestras ordenadas

1.2.1. Muestras ordenadas sin repeticion

Si tenemos una poblacion de tamano n y queremos extraer una muestra ordenada y sin repeticionde tamano k (k < n), razonemos de este modo:

El primer elemento lo podemos elegir entre n elementos.El segundo, al no poder repetir, podemos elegirlo entre n− 1 elementos.

...El elemento k, lo podremos elegir entre n− k + 1 elementos.

Por tanto, y aplicando el principio de multiplicacion en total hay :

n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

muestras de tamano k ordenadas y sin repeticion.

Ejemplos:

1. ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 cartas, extraıdas sucesivamente y sin repetir, de unabaraja espanola?

La primera se puede elegir de 40 formas.

La segunda, al no poder repetir, solo se puede elegir de 39 maneras.

Por tanto, en total hay 40·39 = 1560 posibilidades.

2. Seis ciclistas llegan al sprint en una prueba de la Olimpiadas, ¿De cuantas maneras se puedencolocar los tres primeros puestos?.

Para el primer puesto hay 6 posibilidades.

Para el segundo, solo 5 posibilidades.

Para el tercero, quedan 4 opciones.

Por tanto hay en total 6·5·4 = 120 maneras.

Las muestras ordenadas y sin repeticion se denominan Variaciones sin repeticion. Por tanto,si el tamano de la poblacion es n y el de la muestra k, el numero de variaciones sin repeticion loexpresaremos por:

V kn = n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

(notemos que k, tamano de la muestra indica el numero de factores que hay que multiplicar, porejemplo, en los ejemplos anteriores, en el primero las muestra eran de tamano 2 y multiplicabamos 2factores, y en el segundo eran muestras de tamano tres y multiplicabamos tres factores).

Ejercicio: ¿Cuantos numeros de cuatro cifras no repetidas se pueden formar con las cifras del 1 al 9(ambas inclusive)?

1.2.2. Permutaciones

En el caso particular de que se tome una muestra de tamano igual al tamano de la poblacion, esdecir, k = n, las variaciones se denominan permutaciones y se obtendrıa:

V nn = n · (n− 1) · . . . · (n− n + 1) = n · (n− 1) · . . . · 1


El producto de todos los numeros enteros desde el 1 hasta el n se denomina factorial de n y serepresenta por n!. Por definicion, 0!=1 y 1!=1. Evidentemente no existen los factoriales de los numerosnegativos (Si intentasemos calcular, por ejemplo (-4)!, por definicion deberıamos escribir:

(−4) · (−3) · (−2) · (−1) · 0 · 1 = 0

, es decir, el 0 siempre aparecerıa en un factorial de un entero negativo, y dicho factorial serıa siempre0. No tiene sentido, por tanto, calcular el factorial en este caso).

Por tanto este caso particular de variaciones sin repeticion se denomina permutaciones sin repeti-cion de n elementos y se expresa:

Pn = n!

Ejemplo: ¿De cuantas maneras se pueden sentar 5 personas en 5 asientos en un cine?.La primera persona se puede sentar en 5 sitios.La segunda solo en 4, la tercera en 3, la cuarta en 2 y la quinta en 1.De modo que hay 5·4·3·2·1 = 120 posibilidades, es decir, P5 = 5! = 120.Ejercicio: ¿Cuantas palabras de 8 letras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras A B C

D E F G H?.

1.2.3. Permutaciones con elementos repetidos

Si queremos calcular el numero de permutaciones de n elementos de los cuales hay n1 de unaclase,n2 de otra, etc. . . de modo que n1 + n2 + . . .+ nr = n , entonces hablamos de permutaciones den elementos, algunos de los cuales estan repetidos, lo que se expresa como:

Pn1,n2,...,nrn =

n!n1! · n2! · . . . · nr !

Ejemplo: Con las letras A A A B B ,¿cuantas palabras, con o sin sentido, pueden formarse?La A se repite 3 veces y la letra B se repite 2 veces, y en total hay 5 letras. Ası el numero total de

palabras son:

P 3,25 =

5!3! · 2! =

5 · 4 · 3 · 2 · 13 · 2 · 1 · 2 · 1 =

5 · 42

= 10

Dichas palabras serıan: AAABB, AABAB, AABBA, ABAAB, ABABA, ABBAAEscribe los 4 restantes.Ejercicio: Con 5 signos + y 3 signos - ¿Cuantas cadenas de sımbolos se pueden formar?

1.2.4. Muestras ordenadas con repeticion

Si la poblacion es de tamano n y la muestra de tamano k, pero ahora permitimos repeticiones,procedemos ası:

El primer elemento se puede elegir de n maneras.Como podemos repetir, el segundo tambien se puede elegir de n maneras.

...El elemento numero k se puede elegir de n maneras.En total tendremos n·n·. . . ·n (k veces ) = nk muestras de este tipo.Ejemplos:

1. ¿De cuantas maneras se pueden elegir 2 cartas (no necesariamente distintas de una baraja de 40cartas?.

La primera se puede elegir de 40 maneras.

La segunda, al poder repetir, tambien se puede elegir de 40 maneras.

En total hay 40·40 = 1600 formas.


2. ¿De cuantas formas se puede entregar el Premios al primer clasificado, al segundo, al tercero, yal cuarto entre 5 pelıculas diferentes en un festival de cine?

El primer Premio se puede dar de 5 maneras, el segundo tambien, el tercero tambien y el cuartotambien.

Por tanto hay 54 = 625 posibilidades.

Las muestras ordenadas y con repeticion se denominan Variaciones con repeticion y lo expresare-mos:

V Rkn = nk

Ejercicio: ¿Cuantos numeros de tres cifras (no necesariamente distintas) pueden formarse con losdıgitos 1,6,7,8,9?.

1.3. Muestras no ordenadas

1.3.1. Muestras no ordenadas y sin repeticion

Para estudiar este caso, es conveniente fijarse en un ejemplo.Supongamos que tenemos una bolsa con 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos dos bolas, sin

importarnos el orden y sin repetir, ¿cuantos posibles resultados hay?.Examinemos las posibilidades. Si el orden fuese importante ya sabemos que tendrıamos 5·4 = 20

posibilidades (V 25 = 5 · 4) que serıan:

1, 2 1, 3 1, 4 1, 52, 1 2, 3 2, 4 2, 53, 1 3, 2 3, 4 3, 54, 1 4, 2 4, 3 4, 55, 1 5, 2 5, 3 5, 4

Ahora bien, como no nos importa el orden, para nosotros las parejas 2,1 y 1,2 que son 2, en realidadsolo deberıan contar como una, y lo mismo ocurre con el resto de parejas.

Estamos contando cada pareja 2 veces. Por tanto, para obtener el numero de parejas que buscamostenemos que dividir entre 2. Ası resulta que el numero de muestras no ordenadas y sin repeticion que

tenemos es de:202

= 10 , solo 10 posibilidades que son:

1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 5

donde las llaves indican que el orden no importa.Si sacasemos 3 bolas en lugar de 2, tendrıamos los trıos: 1,2,3 1,2,4 1,2,5 etc. . . en total 5·4·3 =

60 posibilidades (V 35 = 5 · 4 · 3).

Razonando de igual manera al caso anterior, todos aquellos trıos en los que estuviesen por ejemplo,el 1, el 2 y el 3 estarıan repetidos. Ahora bien, ¿cuantas veces se repite cada trıo?. Veamos, tomandocomo ejemplo los trıos con 1,2 y 3 obtenemos: 1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 6 posibilidades(P3 = 3!) que en realidad representan lo mismo pues no nos importa el orden. Lo mismo ocurre concada trıo, de modo que cada uno de ellos se repite 6 veces, ası pues si no tenemos en cuenta el orden,

el numero de muestras no son 60 sino:606

= 10 maneras (no ordenadas y sin repeticion).Ejercicio: Escribir los 10 trıos del ejemplo anterior.Formalizando lo anterior, si la poblacion es de tamano n y se extraen muestras de tamano k, si

fuesen ordenadas serıanV k

n = n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

pero como son no ordenadas tenemos que dividir por el numero de maneras de ordenar esas muestrasde tamano k, es decir hay que dividir por

Pk = k!


Resumiendo, el numero de muestras no ordenadas y sin repeticion de tamano k que se extraen deuna poblacion de tamano n es:

V kn

Pk

Las muestras no ordenadas y sin repeticion se denominan Combinaciones sin repeticion y lasexpresaremos:

Ckn =

V kn

Pk

El numero de combinaciones sin repeticion Ckn se recuerda de manera mas sencilla mediante otra

formula:

Ckn =

(n

k

)

La expresion(

n

k

)se denomina numero combinatorio y se lee ”n sobre k”.

Una regla sencilla que permite calcular este numero combinatorio es:(

n

k

)=

n!k! · (n− k)!

Ejemplos:

1. ¿De cuantas maneras se pueden sacar 3 bolas numeradas en cualquier orden, de una bolsa quecontiene 5 bolas?.

Serıan combinaciones de 5 elementos de los que sacamos 3, es decir, tenemos que calcular:

C35 =

(53

)=

5!3! · 2! = 10

son las maneras que habıamos calculado en el ejemplo de la introduccion.

2. ¿De cuantas formas se puede formar un grupo de trabajo de 6 alumnos de entre una clase de27?.

En este caso son combinaciones (no importa el orden ) de 27 elementos de los que se escogen 6, es decir:

C627 =

(276

)=

27!6! · (27− 6)!

=27!

6! · 21! = 296010

(¡Compruebalo!).

Ejercicio: ¿De cuantas maneras se pueden extraer 6 bolas de un bombo que contiene 49 bolas?(Loterıa Primitiva)

Hay algunos tipos mas de muestras, en concreto las muestras no ordenadas con repeticion, perono se estudiaran en este momento.

Numeros combinatorios y factoriales en la calculadora

Las calculadoras cientıficas poseen algunas teclas utiles para el calculo de factoriales y numeros com-binatorios.

Para el factorial, se utiliza la tecla !, que suele encontrarse sobre alguna otra tecla, por lo que alutilizarla habra que presionar antes la tecla SHIFT (o INV).

Dado que los factoriales crecen a una velocidad enorme, un calculadora normal solo puede calcularhasta el factorial de 69, y ya si pretendemos calcular 70!, se produce un mensaje de error.

Observemos que un numero tan inofensivo como 13! ya tiene un valor de 6.227.020.800


Para el caso de los numeros combinatorios, algunas calculadoras poseen una funcion para calcu-larlos. Suele estar situada sobre la tecla de la division (depende mucho del modelo de calculadora).Dicha funcion es

n C r

y calcula el numero combinatorio(

n

r

), de modo que si queremos calcular

(53

), basta con introducir

el 5, luego SHIFT (o INV) , posteriormente el 3 y luego presionar la tecla de = para obtener 10. (Yalo habıamos calculado antes).

Evidentemente si alguna de estas funciones tiene una tecla propia en la calculadora, es decir, noesta encima de otra, no es necesario presionar la tecla SHIFT (o INV) para operar con ella.

Capıtulo 2

PROBABILIDAD

La probabilidad y la estadıstica son, sin duda, las ramas de las Matematicas que estan en mayorauge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmenteen las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas ciencias, economicas,demograficas, suelen tener caracter aleatorio,es decir, no son deterministas, y se fundamentan enpredicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique prediccion nos lleva al terreno dela probabilidad.

2.1. Experimentos aleatorios

En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos predeterminados, esdecir, tales que podemos decir el resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o inclusode que comience. Tal es el caso de:

1. Tirar una piedra desde un edificio ( sabemos que se caera).2. Calentar un cazo de agua ( sabemos que la temperatura sube).3. Golpear una pelota ( sabemos que se va a mover, e incluso conociendo fuerzas que actuan etc,

podemos conocer precisamente donde caera ).Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se

realicen se denominan experimentos deterministas.Sin embargo, analicemos otro tipo de experimentos, mucho mas interesantes desde el punto de

vista matematico:Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no trucado). ¿Podemos predecir

el resultado que vamos a obtener?. Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista.A este tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes de realizar elexperimento se les denomina experimentos aleatorios.

Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser:Tirar una moneda al aire y observar que lado cae hacia arriba, rellenar una quiniela de futbol,

jugar una partida de poker y, en general, cualquier juego en el que intervenga el azar.

2.2. Definiciones basicas

La teorıa de probabilidades se ocupa de asignar un cierto numero a cada posible resultado que puedaocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso esmas probable que otro o relaciones parecidas. Con este fin, introduciremos algunas definiciones.

Si realizamos un experimento aleatorio, llamaremos espacio muestral del experimento al conjuntode todos los posibles resultados de dicho experimento.

Al espacio muestral lo representaremos por E (o bien por la letra griega omega Ω ).A cada elemento que forma parte del espacio muestral se le denomina suceso elemental.

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CAPITULO 2. PROBABILIDAD 16

Ejemplo:

1. ¿Cual es el espacio muestral asociado al experimento de lanzar un dado normal al aire y observarla cara que queda hacia arriba?.

Evidentemente, en este caso hay 6 posibles resultados (6 sucesos elementales) y el espacio mues-tral estara formado por: E=1,2,3,4,5,6.

2. ¿Y en el caso del lanzamiento de una moneda?

Entonces E=C,X

Ejercicios:

1. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de sacar una carta de entre las diez del palode copas de una baraja espanola.

2. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores yobservar la pareja de numeros que se obtiene.

3. Escribir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados de diferentes colores ysumar los numeros que se obtienen.

Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. El concepto de sucesoes fundamental en probabilidad. Dicho de forma simple, un suceso de un experimento aleatorio escualquier cosa que se nos ocurra afirmar sobre dicho experimento.

Ası, si tiramos una moneda dos veces, serıan sucesos todos los siguientes:

1. Sale al menos una cara.

2. Salen mas caras que cruces.

3. La moneda cae de canto.

4. No sale ninguna cruz.

Llamaremos suceso imposible al que no tiene ningun elemento y lo representaremos por ∅ .Llamaremos suceso seguro al formado por todos los posibles resultados (es decir, al espacio mues-

tral) .Llamaremos espacio de sucesos y lo representaremos por S, al conjunto de todos los sucesos alea-

torios.Ejemplo:

1. En el caso del lanzamiento de la moneda en el que el espacio muestral era E=C,X , analicemosquien es el espacio de sucesos:

- Sucesos con 0 elementos: ∅

- Sucesos con 1 elemento: C,X- Sucesos con 2 elementos:C,XDe modo que el espacio de sucesos es: S=∅,C,X,C,X.

2. En el caso del lanzamiento de dos monedas, si haces el diagrama de arbol obtienes el siguienteespacio muestral:

E = (C, C), (C, X), (X,C), (X,X)

El espacio de sucesos tiene ahora 16 elementos, que puedes intentar escribir, siguiendo el esquemaanterior, desde los sucesos con 0 elementos hasta aquellos que tienen 4 elementos. Si describimoslos sucesos que ponıamos antes como ejemplos, obtenemos:


a) Sale al menos una cara=(C,C),(C,X),(X,C)b) Salen mas caras que cruces=(C,C)c) La moneda cae de canto=∅

d) No sale ninguna cruz=(C,C)

3. En el caso del lanzamiento del dado el espacio de sucesos es mucho mas amplio (64 elementos.Serıa interesante que intentases escribirlos todos o al menos te dieses cuenta de como son ,aunque no los escribas todos)

En este mismo ejemplo, se puede considerar el suceso A= ”sacar un numero par”. ¿De que sucesoselementales consta el suceso A?. Evidentemente, A=2,4,6.Otros sucesos pueden ser: B = ”Sacar un numero mayor que 5-6.C = ”Sacar un numero par y menor que 5-2,4.

Ejercicio: Una urna contiene dentro 4 bolas de las cuales 2 son blancas, 1 roja y otra azul. Se sacauna bola de la urna.

a) Escribir el espacio muestral.b) Escribir los sucesos “no sacar bola azul” y “sacar bola roja o blanca”.c) Escribir el espacio de sucesos.

Los sucesos admiten una representacion grafica que facilita su interpretacion; del modo:

Figura 2.1: Representacion en diagrama de Venn del suceso A

Por ejemplo, en el caso del dado:

Figura 2.2: Representacion en diagrama de Venn para un dado

A = ”salir par y menor que 5”. Estos diagramas se denominan diagramas de Venn.Propiedad:Si el espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos tiene 2n elementos.

Ejemplo:En el caso del dado, el espacio muestral tenıa 6 elementos y el espacio de sucesos tiene 26 = 64

elementos.En el caso de la moneda, el espacio muestral tenıa dos elementos y el espacio de sucesos tiene

22 = 4 elementos.


2.3. Operaciones con sucesos

Si realizamos un experimento aleatorio y consideramos varios sucesos A, B, C, etc, asociados adicho experimento, podemos realizar varias operaciones entre ellos. Los mas importantes son:

1. Igualdad de sucesos: Dos sucesos A y B son iguales si estan compuestos por los mismos elementos.Lo expresaremos por A = B.

2. Interseccion de sucesos: Llamaremos suceso interseccion de los sucesos A y B, y lo representare-mos por A ∩B, al suceso “ocurren A y B a la vez”.

Ejemplo: Si tiramos un dado, ya sabemos que el espacio muestral asociado es E=1,2,3,4,5,6.Sean los sucesos A=“sacar un nº par”=2,4,6, y B=“sacar un numero entre 2 y 4 (inclusi-ve)”=2,3,4.El suceso A ∩B es tal que ocurren A y B a la vez, es decir:

A ∩B=“sacar un nº par y que este entre 2 y 4 (inclusive)”=2,4.El suceso A ∩ B son los elementos comunes a los conjuntos A y B (elementos que estan en losdos conjuntos).

Representado en diagramas de Venn:

Figura 2.3: Interseccion de sucesos: A ∩B

En ocasiones podremos encontrarnos con sucesos que NO tengan elementos en comun. En estoscasos se dice que los sucesos A y B son incompatibles, y su interseccion se representa con elconjunto vacıo:

A ∩ B = ∅

Evidentemente, si los sucesos sı tienen interseccion, diremos que son compatibles.

3. Union de sucesos: Llamaremos suceso union de los sucesos A y B y se representa por A ∪ B alsuceso “ocurre A o bien ocurre B o bien ocurren ambos a la vez”(tambien podemos decir que“ocurre alguno”).

Es decir A ∪ B son los elementos que estan en ambos conjuntos (aunque no necesariamente enlos dos a la vez). Representado en diagrama de Venn:

Figura 2.4: Union de sucesos: A ∪ B


Ejemplo: En el caso anterior:

A ∪B=”sacar un nº par o un nº que este entre 2 y 4 (inclusive)”=2,3,4,6.NOTA:

Observemos que la interseccion de dos conjuntos siempre es ”menor”que la union, de hecho es“menor” que el propio conjunto.

Escrito matematicamente:

A ∩B ⊂ A ∪B A ∩B ⊂ A A ∩B ⊂ B A ⊂ A ∪ B B ⊂ A ∪B

(El sımbolo ⊂ significa “contenido”, o que el primer conjunto es un subconjunto del segundo)

4. Suceso contrario de otro: Dado un suceso A, denominaremos suceso contrario de A y se repre-sentara por A (o bien A

′o bien Ac) al suceso que tiene por elementos a todos aquellos que no

pertenecen a A.

Ejemplo: Si tiramos un dado, ya sabemos que el espacio muestral asociado es E=1,2,3,4,5,6.Como antes, los sucesos A=“sacar un nº par”=2,4,6, por tanto A=1,3,5 y B= “sacar unnumero entre 2 y 4 (inclusive)”=2,3,4, de modo que B=1,5,6.En un diagrama de Venn:

Figura 2.5: La parte punteada es A.(Todo lo que no esta incluido en A)

5. Diferencia de sucesos: Si A y B son dos sucesos, llamaremos diferencia entre A y B al sucesoB−A, que consta de los elementos que estan en B pero no estan en A.Por ejemplo, si A=2,4,6,B=2,3,4, tenemos que B − A=3. Se cumple que B − A = B − A ∩ B, y tambien queB − A = A ∩B. Representado en un diagrama de Venn:

Figura 2.6: La parte rayada es B − A, todos los elementos de B que no esten en A

De todas formas, hemos de ser cuidadosos con esta operacion: No se debe confundir con unasimple resta como operacion numerica, sino que es una diferencia conjuntista, quitar los elementoscomunes a dos conjuntos.

Ejercicio: En una urna tenemos 9 bolas numeradas del 1 al 9. Sacamos una y anotamos su numero.Sean los sucesos: A=”sacar un nº primo”B=“sacar un nº cuadrado” (por ejemplo 4 es un numerocuadrado, porque 4=22). Se pide:

a) Describir el espacio muestral.b) ¿Cuantos elementos tiene el espacio de sucesos?.


c) Calcula A ∩B y A ∪B.d) ¿Son A y B compatibles o incompatibles?.e) Calcula A y B.f) Si C=“sale un numero impar”, calcula A ∩C, B ∩C,C , A ∪ C,A ∩ C.Propiedades de las operaciones con sucesos:Las operaciones con sucesos tienen las siguientes propiedades, la mayorıa de ellas bien conocidas:

Interseccion UnionConmutativa A ∩ B = B ∩A A ∪B = B ∪ A

Asociativa A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩C A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪ C

Idempotente A ∩ A = A A ∪A = A

Simplificacion A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩B) = A

Distributiva A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A∪ C)Elemento neutro A ∩ E = A A ∪∅ = A

Absorcion A ∪∅ = A A ∪E = A

Ademas de estas sencillas propiedades (que se demuestran facilmente mediante un diagrama deVenn), las operaciones con sucesos tienen otras dos propiedades muy importantes:

Leyes de De Morgan: Si A y B son dos sucesos, se verifican:

(A∪ B) = A ∩ B

(A∩ B) = A ∪ B

Demostracion: Demostraremos la primera de las igualdades.En primer lugar, representemos en un diagrama de Venn (A ∪B). Para ello, primero representamos

A ∪ B, y luego su contrario (A ∪B):

Figura 2.7: Imagen 1 corresponde a A ∪B. Imagen 2 corresponde a A ∪ B

Ahora, representaremos en otro diagrama el otro miembro, es decir A ∩ B. En primer lugar,representaremos A, luego B y luego su interseccion:

Figura 2.8: Imagen 1 corresponde a A. Imagen 2 corresponde a B. Imagen 3 corresponde a A∩ B.

Observando los dos resultados, vemos que las partes rayadas son iguales, por lo que la igualdad escierta.


Ejercicio:

1. Mediante un procedimiento similar, demostrar la segunda ley de De Morgan.

2. Luisa y Marıa interviene en un torneo de ajedrez. La primera que gane dos partidas seguidas otres alternas gana el torneo. Encuentra el espacio muestral con todos los resultados posibles (suponemos que nunca hacen tablas).

(Indicacion: Utiliza un diagrama de arbol).

3. Consideramos el fenomeno aleatorio extraer una carta de una baraja de 40 y anotarla . Sean lossucesos A= “sacar oro”, B= “sacar rey”, C= “sacar el rey de bastos”.

Determina los sucesos:A ∩ C, A∩B ∩ C, A∪ B ∪ C, A∪ B

2.4. Asignacion de probabilidades. Regla de Laplace

Hasta el momento hemos descrito lo que es un experimento aleatorio y hemos definido los con-ceptos basicos asociados a este experimento. Nos falta responder a esta pregunta: ¿Como asignarprobabilidades a cada uno de los sucesos de un experimento aleatorio?.

Hay muchas maneras de asignar probabilidades. La mas sencilla e intuitiva la dio el matematicofrances Pierre Simon Laplace (1749-1827), quien enuncio la regla que lleva su nombre:

Regla de Laplace:Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente

probables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

p(A) =numero de casos favorables al suceso A

numero de casos posibles

Ejemplo: Lanzamos un dado normal al aire. Consideramos el suceso A= “sale par”. Calcular p(A).Casos posibles hay 6, pues E=1,2,3,4,5,6.Casos favorables al suceso A=2,4,6.Por tanto p(A) =

36=12= 0′5.

(Notemos que la probabilidad siempre es un numero positivo y menor, o a lo sumo igual a 1).

El inconveniente que plantea la definicion de Laplace es que necesariamente los sucesos elementalestienen que tener la misma probabilidad de ocurrir.

Observemos un caso tan sencillo como el siguiente:De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una bola al azar. Calcula

la probabilidad de que la bola extraıda sea :a) rojab) verdec) amarilla

El espacio muestral en este caso serıa: E=R,V,A, que consta solo de tres elementos, pero serıa unpoco ingenuo asignar las probabilidades mediante la regla de Laplace,

p(R) =13

p(V ) =13

p(A) =13

porque ya intuitivamente se ve que hay mas posibilidades, por ejemplo, de que salga una bola rojaque de que salga una bola amarilla, de modo que ¿como asignar probabilidades?.


Fue el matematico ruso Kolmogorov quien preciso este termino:

Definicion axiomatica de probabilidad:

Una probabilidad p es una funcion que asocia a cada suceso A del espacio de sucesos S , un numeroreal p(A), es decir: p : S −→ R , y que cumple las propiedades:

1. 0 ≤ p(A) ≤ 1, (es decir, cualquier suceso tiene probabilidad positiva y menor o igual que 1).

2. p(E) = 1 (la probabilidad del suceso seguro es 1).

3. Si A y B son incompatibles, es decir A ∩ B = ∅, entonces p(A ∪ B) = p(A) + p(B). (es decirla probabilidad de la union es la suma de las probabilidades si los sucesos tienen interseccionvacıa).

Ejemplo:Sea un experimento aleatorio cualquiera y definamos en S (espacio de sucesos) la siguiente proba-

bilidad:p(A) =

numero de elementos del conjunto Anumero total de elementos

Comprobemos que p es una probabilidad.Para ello, comprobemos las tres propiedades:a) Se ve que la probabilidad de cualquier suceso esta entre cero y uno, puesto que cualquier conjunto

que tenga elementos ya tendra probabilidad positiva, y el numero de elementos de cualquier conjuntono puede ser mayor que el numero total de elementos existentes.

b) p(E) = 1, es evidente.c) Tomemos dos sucesos A y B que no tengan elementos en comun. Entonces:

p(A ∪ B) =elementos que forman parte de A o de B

numero total de elementos=

=numero de elementos de A + numero de elementos de B

numero total de elementos= p(A) + p(B)

puesto que si A y B no tienen elementos comunes, el numero de elementos de la union es la suma delos elementos de cada conjunto por separado.

Por tanto se cumplen las 3 propiedades y p ası definida es una probabilidad. Esta sera la definicionde probabilidad que utilicemos a partir de ahora.

Ejemplo:En el ejemplo de las urnas anterior, lo logico es definir la probabilidad ası: Como en total hay 20

bolas y 8 son rojas, 7 verdes y 5 amarillas, p(R) =820

p(V ) =720

p(A) =520.

Se puede comprobar que ası definida p es una probabilidad.

Sin embargo, comprobar las propiedades de la definicion de Kolmogorov es una labor larga y engorrosa,puesto que hay que verificar que se cumple para todos aquellos sucesos del espacio de sucesos S, que esciertamente amplio en muchas ocasiones. El siguiente resultado simplifica la tarea de decidir cuandouna funcion p sobre el espacio de sucesos es una probabilidad, basandose solo en los sucesos elementales,es decir, aquellos que forman parte del espacio muestral. Lo enunciaremos sin demostracion:


PropiedadSi w1, w2, . . . , wn son los n sucesos elementales de un suceso aleatorio cualquiera,p una funcion

p : S −→ R de modo que cumple las propiedades:

1. 0 ≤ p(wi) ≤ 1 ∀ i ∈ 1, 2, . . . , n

2. p(w1) + p(w2) + . . .+ p(wn) = 1

Entonces p es una probabilidad.

Ejemplo: Comprobar si las siguientes funciones definidas para los sucesos elementales son probabilidad,siendo E=a,b,c,d el espacio muestral del experimento aleatorio:

a) p(a) =12, p(b) =

13, p(c) =

14, p(d) =

15

Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son numeros positivosmenores que 1.

Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma:

12+13+14+15=30 + 20 + 15 + 12

60=7760

que evidentemente NO es 1, luego p NO es probabilidad.

b) p(a) =14, p(b) =

12, p(c) = 0, p(d) =

12

Es obvio que la primera propiedad se cumple, puesto que las 4 probabilidades son numeros positivoso cero menores que 1.

Para ver si se cumple la segunda, basta realizar la suma:

14+12+14=1 + 2 + 1

4= 1

luego p SI es probabilidad.

Consecuencias de la definicion de probabilidad:

1. p(A) = 1− p(A)

En efecto, puesto que E = A ∪ A y ademas A y A son incompatibles, resulta por la propiedad3) de la definicion que

p(E) = p(A ∪ A) = p(A) + p(A)

Y por la propiedad 2), p(E)=1, luego 1 = p(A) + p(A) y por tanto p(A) = 1− p(A).

2. p(∅) = 0

Como E = ∅, resulta que:

p(E) = p(∅) = 1− p(E) = 1− 1 = 0

3. Si A y B son dos sucesos cualesquiera,

p(A∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

4. Si A, B y C son tres sucesos cualesquiera,

p(A∪ B ∪C) = p(A) + p(B) + p(C)− p(A ∩B) − p(A ∩C) − p(B ∩C) + p(A ∩B ∩C)


Ejemplo:Se tira una moneda 3 veces. Calcular la probabilidad de obtener alguna cara.

Los problemas de este tipo, en los que se pide la probabilidad de obtener “alguna” cosa, se suelenresolver muy bien por paso al complementario. En este caso concreto, A = “obtener alguna cara”.

A= “no obtener ninguna cara”= “obtener 3 cruces”.

Entonces, p(A) =18, pues hay 8 casos posibles (2·2·2, ¡haz el diagrama de arbol!) y solo uno

favorable (XXX, 3 cruces), por tanto:

p(A) = 1− p(A) = 1− 18=78

Ejercicio:Calcular la probabilidad de obtener al menos 1 seis si se lanza 4 veces un dado.Ejemplo:Se lanza un dado dos veces y se suman las dos caras. Sea A el suceso A= “la suma de resultados

es mayor o igual que 10” y B= “la suma de los resultados es multiplo de 6”. Calcular p(A), p(B) yp(A ∩B).

Hay 36 posibles resultados al lanzar dos veces un dado. ¿Cuantos de ellos suman 10 o mas?Que sumen 10: (4,6), (5,5), (6,4)Que sumen 11: (5,6), (6,5)Que sumen 12: (6,6)

Por tanto, p(A) =636=16.

¿Cuantos hay que sumen multiplo de 6?Que sumen 6: (1,5), (2,4),(3,3), (4,2), (5,1)Que sumen 12: (6,6)

Por tanto, p(B) =636=16.

En cuanto a A ∩B = (6, 6), luego p(A ∩B) =136.

Ejercicios:

1. Se ha encargado la impresion de una encuesta a una imprenta, que imprime 12 folios defectuososde cada 1000. Hallar la probabilidad de que elegido un folio de la encuesta al azar:

a) Este mal impreso.

b) Este correctamente impreso.

2. Una bolsa contiene 8 bolas numeradas. Se extrae una bola y anota su numero. Sean los sucesosA= “salir par”, B= “salir impar”, C= “salir multiplo de 4”.

Calcular las probabilidades de A ∪ B, A ∪C, B ∪ C, A∪ B ∪C.

3. Extraemos una carta de una baraja espanola. Calcula:

a) La probabilidad de que sea un rey o un as.

b) La probabilidad de que sea un rey o una copa.

c) La probabilidad de que sea un rey y una copa.

4. En el banquete posterior a una boda se sientan en la presidencia 10 personas, entre los cuales seencuentran los novios. Calcular la probabilidad de que los novios esten juntos en el centro de lamesa.


2.5. Probabilidad condicionada

Hasta ahora nos hemos limitado a calcular probabilidades unicamente partiendo de un experimentoaleatorio, sin tener mas informacion. Pero, ¿que ocurre si conocemos alguna informacion adicional?.

Supongamos que estamos realizando el experimento aleatorio de lanzar un dado y obtener el

numero que sale. Consideremos el suceso A= “sale un 4”. Evidentemente, p(A) =16.

Ahora bien, ¿variarıa esta probabilidad si al lanzar el dado alguien pasa por allı y nos dice que hasalido un numero par?.

Disponemos entonces de una informacion adicional, B=2,4,6.Hemos reducido nuestro espacio muestral, que ahora solo consta de 3 elementos y tenemos que

cambiar las probabilidades asignadas.

Ahora el suceso A no tiene una posibilidad entre 6 de ocurrir, sino una entre tres, es decir, p(A) =13.

Esta es la idea de la probabilidad condicionada: La informacion obtenida B, modifica la proba-

bilidad de A. Lo expresaremos ası: p(A/B) =13y se lee “probabilidad de A condicionada a B” o

“probabilidad de A conociendo B”.El caso anterior es muy sencillo, pues directamente podemos calcular p(A/B), pero si el espacio

muestral se amplıa, el problema es mas complicado. La formula siguiente simplifica el problema.Definicion:Sea A un suceso aleatorio asociado a un experimento aleatorio, y sea B otro suceso que sabemos

que se ha realizado.Llamaremos probabilidad de A condicionada a B y lo expresaremos por p(A/B) a la expresion:

p(A/B) =p(A ∩B)

p(B)

(de identico modo se define p(B/A), escribe la formula).

Ejemplo: Para el caso anterior,

A=4,B=2,4,6 −→ p(B) =36=12.

A ∩B = 4 −→ p(A ∩B) =16.

Luego:

p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)=

1612

=26=13

es lo mismo que obtenıamos antes directamente.

Ejercicios:

1. Calcula la probabilidad de que la suma de las caras de dos dados sea mayor a igual que 10sabiendo que en el primer dado ha salido un seis.

2. Se lanzan dos dados:¿cual es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a siete?.

Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cual es la probabilidad de que en alguno de los dados hayasalido un 3?


2.6. Sucesos independientes

Si bien el conocer cierta informacion adicional modifica la probabilidad de algunos sucesos, puedeocurrir que otros mantengan su probabilidad, pese a conocer dicha informacion.

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, consideremos los sucesos: A= “sacar un numero par”y B= “sacar un numero menor o igual que 2” Es claro que A= 2,4,6 y B= 1,2.

Calculemos la probabilidad de A conociendo que se ha realizado el suceso B, es decir, p(A/B).Utilizando la formula:

p(A/B) =p(A∩ B)

p(B)=

1613

=36=12= 0′5

puesto que p(A ∩B)=p(sacar par y menor o igual que 2)=16y p(B)=

13.

Pero si no conociesemos la informacion B, ¿cual serıa la probabilidad de A?.

p(A)=p(sacar par)=36= 0′5, es decir que p(A/B)=p(A), y por tanto el conocer la informacion B

no modifica la probabilidad de A.Cuando esto ocurre es decir, cuando p(A/B) = p(A), diremos que los sucesos A y B son indepen-

dientes (el hecho de que ocurra B no modifica la probabilidad de A).

Propiedad:

A y B son sucesos independientes ⇐⇒ p(A ∩B) = p(A) · (B).

Demostracion: =⇒) Si A y B son independientes, p(A/B) = p(A), y por la formula de la probabilidad

condicionada,p(A/B) =p(A∩ B)

p(B), luego

p(A∩ B)p(B)

= p(A), y por tanto p(A ∩B) = p(A) · p(B).⇐=) Partiendo de p(A ∩B) = p(A) · p(B), entonces

p(A/B) =p(A ∩ B)

p(B)=

p(A) · p(B)p(B)

= p(A)

luego p(A/B) = p(A) y por tanto A y B son independientes.

Ejemplo:

En el caso anterior, p(A ∩B) =16, y por otra parte p(A) =

12y p(B) =

13,luego se cumple que

p(A∩ B) =16=12· 13= p(A) · p(B)

luego A y B son independientes.Ejercicio:

De dos sucesos conocemos que p(A ∪ B) =23y p(A) =

15, calcula p(A ∩ B) y p(B) para que A y

B sean independientes.(Indicacion: Utilizar la formula de la union de dos sucesos y la de la independencia de sucesos).(Solucion: p(B) = 7

12 , p(A∩ B) = 760).


NOTA IMPORTANTE:No se deben confundir los conceptos de sucesos incompatibles y sucesos independientes. Dos sucesos

son incompatibles cuando no tienen elementos en comun, es decir, A ∩ B = ∅, o con diagramas deVenn:

Figura 2.9: A y B incompatibles, sin elementos en comun.

Dos sucesos son independientes si p(A∩B) = p(A) ·p(B). Son conceptos totalmente distintos. Unose refiere a CONJUNTOS y otro se refiere a PROBABILIDADES.

2.7. Experimentos compuestos. Teorema de la probabilidad total.

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o mas experimentos aleatorios simples.Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamosel experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimentocompuesto.

Propiedad:De la formula para calcular la probabilidad condicionada se deduce inmediatamente que:

p(A∩ B) = p(B) · p(A/B) y p(A∩ B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo: Se extraen 2 cartas, sucesivamente, de una baraja de 40. Calcular la probabilidad de extraer2 sotas.

Sea A = “sacar sota en la 1ª” y B = “sacar sota en la 2ª”.Nos piden p(A ∩B).Segun la formula anterior, p(A ∩B) = p(A) · p(B/A).

Ahora bien , p(A) =440=110

y p(B/A) =339=113, por lo que p(A) =

110· 113=

1130

.La forma mas sencilla de calcular probabilidades en experimentos compuestos es un digrama de

arbol, donde en cada rama situamos la probabilidad que le corresponde al suceso del final de dicharama. Estas probabilidades que se van poniendo en el arbol son probabilidades condicionadas, porquedependen de los resultados anteriores.

En el caso del ejercicio anterior, el diagrama serıa:

Figura 2.10: Diagrama de arbol para la extraccion de sota(S) u otra carta (S)


Nota:Este mismo resultado se podrıa haber obtenido sin usar la probabilidad condicionada, del modo:

Formas de elegir 2 cartas de entre 40=(402

).

Formas de elegir 2 sotas entre 4=(42

).

Por la regla de Laplace, p(obtener 2 sotas)=casos favorablescasos posibles

=

(42

)(402

) =6780

=1130

.

Ejercicios:

1. Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen sucesivamente 2 bolas. Calcula la proba-bilidad de que:

a) la primera bola sea roja y la segunda negra.

b) una sea roja y la otra negra.

2. En una bolsa hay 4 canicas rojas, 4 azules y 2 verdes. Se extraen 3 canicas que resultan ser 2rojas y una azul. Sin devolverlas a la bolsa se saca otra canica, ¿de que color es mas probableque salga?.

Ejemplo:Tenemos dos urnas, una con 7 bolas rojas y 2 azules, y otra con 3 bolas rojas y 8 azules. Tiramos

un dado. Si nos sale un 3 o un 5, sacamos una bola de la primera urna y en caso contrario, sacamosuna bola de la segunda urna. ¿Cual es la probabilidad de que la bola extraıda sea azul?.

Evidentemente estamos realizando un experimento compuesto. En primer lugar, se trata de elegir unaurna, para lo cual lanzamos un dado. Si U1= “elegir la urna 1” y U2= “elegir la urna 2”, es claro que

p(U1)=26=13y p(U2)=

46=23.

Por otra parte, luego realizamos otro experimento consistente en sacar una bola de la urna elegida.Si A= “sacar una bola azul”, las probabilidades que conocemos son:

p(A/U1) =29

y

p(A/U2) =811

Lo que nos piden es p(A). Para calcular dicha probabilidad, si representamos el diagrama de arbol:

Figura 2.11: Diagrama de arbol para la extraccion de bolas

Como la probabilidad de A depende de la urna en la que estemos, basta multiplicar las probabili-dades de cada rama que llegue a la bola azul y luego sumar los 2 resultados, es decir:

p(A) =26· 29+46· 811=454+3266=166297

= 0′559


La justificacion teorica para proceder ası la da el teorema de la probabilidad total.

Teorema de la probabilidad total: Si A1, A2, . . . , An son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya uniones el espacio muestral (A1 ∪A2 ∪ . . .∪ An = E), y B es otro suceso, resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + . . .+ p(An) · p(B/An)

Nota: El conjunto A1, A2, . . . , An que verifica la incompatibilidad 2 a 2 y que la union de todos ellos esel espacio muestral se denomina sistema completo de sucesos y este sistema “divide el espacio muestralen partes que no se solapan”. Mediante representacion grafica:

Figura 2.12: Sistema completo de sucesos: A1, A2, . . . , An

Ejemplo: Para el caso anterior, A1 = “sacar la bola de la urna 1”.A2= “sacar la bola de la urna 2”.B= “sacar bola azul”.Y aplicando el teorema:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) =26· 29+46· 811=454+3266=166297

= 0′559

Ejemplo: En un colegio se imparten solo los idiomas ingles y frances. El 80% de los alumnosestudian ingles y el resto frances. El 30% de los alumnos de ingles son socios del club musical delcolegio y de los que estudian frances son socios de dicho club el 40%. Se elige un alumno al azar.Calcular la probabilidad de que pertenezca al club musical.

En estos problemas es importante elegir el sistema completo de sucesos. En este caso: A1= “estudiaringles”

A2= “estudiar frances”B= “ser del club musical”Nos piden p(B). Por el teorema anterior:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) =80100· 30100

+20100· 40100

=825= 0′32

Mediante el diagrama de arbol:

Figura 2.13: Diagrama de arbol para el problema de idiomas y club musical

Se obtiene el mismo resultado.


Ejercicio:Se tienen dos urnas, la primera de las cuales tiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas y la urna 2

tiene 3 bolas blancas y 7 negras.Se lanza un dado al aire, y si sale multiplo de 3 se saca de la primera urna y en otro caso se saca

una bola de la segunda urna.Calcular la probabilidad de que sea:a) bola blanca b) bola negra c) bola roja.Solucion: 11

30,2645 , 1

18 .

2.8. Tablas de contingencia

Las tablas de contingencia estan referidas a 2 caracterısticas que presentan cada una dos o massucesos.

Ejemplo: En un taller se sabe que acuden, por la manana 3 automoviles con problemas de electricos,8 con problemas mecanicos y 3 con problemas de chapa. Por la tarde hay 2 con problemas electricos,3 con problemas mecanicos y 1 con problemas de chapa.

a) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.b) Calcular el porcentaje de los que acuden con problemas mecanicosc) Calcular la probabilidad de que un automovil con problemas electricos acuda por la manana.Resumiendo los datos en una tabla de contingencia:

Pr. electricos Pr. Mecanicos Pr. de chapa TotalManana 3 8 3 14Tarde 2 3 1 6Total 5 11 4 20

a) En total acuden 20 y por la tarde acuden 6, luego:

p(acudir por la tarde)=620= 0′3, es decir, el 30%.

b) En total acuden 20 y con problemas mecanicos hay 11, luego:

p(problemas mecanicos)=1120= 0′55, es decir, el 55%.

c) Aquı tenemos una informacion adicional (es un coche que tiene problemas electricos), luego setrata de una probabilidad condicionada.Con problemas electricos hay 5 y de ellos 3 por la manana,luego:

p(acudir por la manana/problemas electricos)=35= 0′6, es decir, el 60%.

En una tabla de contingencia puede que nos falten datos, pero se pueden hallar facilmente con losdatos que son conocidos.

Ejemplo Para tratar de curar una enfermedad se aplica un tratamiento nuevo a 81 pacientes de unhospital, mientras que en el mismo hospital hay otros 79 pacientes que siguen un tratamiento antiguocontra la misma enfermedad. En total, con ambos tratamientos los curados son 103, de los cuales 60lo son gracias al tratamiento nuevo. Si tratamos de construir la tabla, con los datos del problema seobtiene:

Tratamiento antiguo Tratamiento nuevo TotalCurarse 60 103No curarseTotal 79 81


Completa la tabla y responde a las cuestiones:Si se elige un individuo al azar, calcula la probabilidad de que:

1. Se haya curado.

2. No se haya curado.

3. Se haya curado con el nuevo tratamiento.

4. No se haya curado con el nuevo tratamiento.

5. Se haya curado con el tratamiento antiguo.

6. No se haya curado con el tratamiento antiguo

2.9. El teorema de Bayes.

Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la probabilidadcondicionada, resulta este importante teorema que permite calcular probabilidades condicionadas.

Teorema de Bayes:Si A1, A2, . . . , An son sucesos incompatibles 2 a 2, y cuya union es el espacio muestral(A1 ∪ A2 ∪ . . .∪An = E), y B es otro suceso, resulta que:

p(Ai/B) =p(Ai) · p(B/Ai)

p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + . . .+ p(An) · p(B/An)

Demostracion:Por definicion,p(Ai/B) =

p(Ai ∩ B)p(B)

.

Ahora bien, recordando que p(Ai ∩B) = p(Ai) · p(B/Ai), debido a que p(B/Ai) =Ai ∩B

p(Ai).

Por tanto, combinando los dos hechos:

p(Ai/B) =p(Ai ∩B)

p(B)=

p(Ai) · p(B/Ai)p(B)

Como por el teorema de la probabilidad total es:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + . . .+ p(An) · p(B/An)

resulta que sustituyendo:

p(Ai/B) =p(Ai) · p(B/Ai)

p(B)=

p(Ai) · p(B/Ai)p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + . . .+ p(An) · p(B/An)

y el teorema queda demostrado.

Nota:Las probabilidades p(Ai) se denominan probabilidades a priori.Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.


Ejemplo:Dos clases de 2º de Bachillerato, una de 28 alumnos y otra de 35 alumnos hacen conjuntamente

un examen de Matematicas. La probabilidad de aprobar de los alumnos de la primera clase es de 0’68y los de la segunda del 0’73. Se toma un examen al azar y resulta que esta aprobado. ¿Cual es laprobabilidad de que sea de un alumno de la 1ª clase?.

Sea A1= “el examen es de un alumno de la primera clase”A2= “el examen es de un alumno de la segunda clase”B= “el examen esta aprobado”Nos piden p(A1/B).Hagamos antes que nada un diagrama de arbol:

Figura 2.14: Diagrama de arbol para el problema del examen

Por el teorema de Bayes:

p(A1/B) =p(A1) · p(B/A1)

p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2)

Sustituyendo:

p(A1/B) =

2863· 0′68

2863· 0′68 + 35

63· 0′73

=0′3020′708

= 0′427

p(A1) es la probabilidad “a priori”, es decir , antes de realizar el experimento y careciendo deinformacion.

En este caso p(A1) =2863= 0′444.

p(A1/B) es la probabilidad “a posteriori”, despues de realizarlo y conocer mas informacion. Eneste caso p(A1/B) = 0′427 (es algo menor).

Ejercicio:Se tienen dos urnas. En la primera hay 10 bolas blancas, 7 negras y 5 rojas. En la segunda 24

blancas, 4 negras y 9 rojas. Se elige una urna al azar y se saca una bola. Calcular:a) Probabilidad de sacar bola blanca.b) Sabiendo que la bola extraıda es blanca, probabilidad de que provenga de la segunda urna.Solucion: 449

814,264449 .

Capıtulo 3

DISTRIBUCION BINOMIAL YDISTRIBUCION NORMAL

3.1. Introduccion

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad mas importantes y que sonimprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadıstica. La distribucionbinomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo puedentomar un numero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654-1705), quien escribio el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (Elarte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matematicos mas importantes de lahistoria. La distribucion normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitudde fenomenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de losmas famosos matematicos de la historia. La grafica de la distribucion normal en forma de campana sedenomina Campana de Gauss.

3.2. La distribucion binomial o de Bernoulli

La distribucion binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de exito o

fracaso.- La obtencion de exito o fracaso en cada ocasion es independiente de la obtencion de exito o

fracaso en las demas ocasiones.- La probabilidad de obtener exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasion.

Veamoslo con un ejemploTiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. ¿Cual es la probabilidad

de obtener tres cincos?.Este es un tıpico ejemplo de distribucion binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento

de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro exito?.Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.El fracaso, por tanto, sera no sacar 5, sino sacar cualquier otro numero.

Por tanto, Exito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E) =16

Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p(F ) =56

Para calcular la probabilidad que nos piden, fijemonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos ypor lo tanto tenemos 3 exitos y 4 fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.Podrıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFFPero tambien podrıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuantas

38

CAPITULO 3. DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL 39

maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 exitos. Recordando las tecnicas combinatorias, este problemase reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

P 3,47 =

7!3! · 4! =

7 · 6 · 53 · 2 · 1 = 35formas

Y por tanto, como p(E) =16y tengo 3 exitos y p(F ) =

56y tengo 4 fracasos:

p(tener 3 exitos y 4 fracasos) = 35 · 16· 16· 16· 56· 56· 56· 56= 0′0781

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de exito16,

la probabilidad de obtener 3 exitos es 0’0781, y lo expresarıamos:

Bin(7;

16

), entonces p(X = 3) = 0′0781

Como repetir este proceso serıa bastante penoso en la mayorıa de los casos, lo mejor es recurrir a lasiguiente formula que expresa la probabilidad de obtener cierto numero de exitos en una distribucionbinomial:

Definicion de distribucion binomial:Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener exito, E, con probabilidad p y

fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribucion binomial deparametros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k exitosviene dada por:

p(X = k) =(

n

k

)· pk · q(n−k)

Nota:Observar que las probabilidades de exito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =

1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

Ejemplo:

Antes tenıamos Bin(7;

16

), y querıamos calcular p(X=3) (obtener 3 exitos). Aplicando la formula:

p(X = 3) =(73

)·(16

)3

·(56

)4

= 0′0781

Ejemplo:Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la

probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.En este caso Exito = E = “tener hijo” y p(E) = 0’5.Fracaso = F = “tener hija” y p(F) = 0’5.Estamos por tanto ante una binomial Bin(6;0’5) y nos piden p(X=2).Si aplicamos la formula es:

p(X = 2) =(62

)· (0′5)2 · (0′5)4 = 0′2344

Nota:La eleccion de exito o fracaso es subjetiva y queda a eleccion de la persona que resuelve el problema,

pero teniendo cuidado de plantear correctamente lo que se pide. En el caso concreto del ejemploanterior, si:

Exito = “tener hija”, como nos piden la probabilidad de que una familia con 6 hijos tenga 2 hijos,si el exito es tener hija hemos de plantearnos cual es la probabilidad de tener 4 exitos (4 hijas), es


decir:

p(X = 4) =(64

)· (0′5)4 · (0′5)2 = 0′2344

Evidentemente sale lo mismo, pero hay que ser consecuente a la hora de elegir el exito y el fracaso yla pregunta que nos hagan.

3.2.1. El uso de las tablas de la distribucion binomial

La distribucion binomial se encuentra tabulada por lo que es facil calcular probabilidades sinnecesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribucion binomial es necesarioconocer:

- El numero de veces que se realiza el experimento (n).- La probabilidad de exito (p).- El numero de exitos (k).La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5).El numero de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y

el numero de exitos a su lado.Por ejemplo en el caso anterior, Bin (6;0’5) , p(X=2), la columna p=0’5 es la ultima, y cuando

n=6 y k=2 encontramos 0’2344, el valor que habıamos calculado.Nota importante: El caso en que p > 0′5, no se encuentra tabulado.La razon es bien sencilla. Si p > 0′5, entonces q < 0′5 y basta intercambiar los papeles de exito y

fracaso para que podamos utilizar la tabla.

Ejemplo:La probabilidad de que un alumno de 2º de Bachillerato apruebe las Matematicas es de 0’7. Si

consideramos un grupo de 8 alumnos, ¿cual es la probabilidad de que cinco de ellos aprueben lasMatematicas?.

Si exito = “aprobar” y fracaso = “suspender”, entonces p = 0’7 y q = 0’3.Tenemos, por tanto, una Bin(8;0’7).Nos piden calcular p(X=5), que no se puede calcular mediante las tablas porque p = 0’7 y solo

tenemos hasta p = 0’5. Por tanto si intercambiamos exito = “suspender” y fracaso =“aprobar” entoncesp = 0’3, q = 0’7, es decir la nueva binomial es Bin(8;0’3) y nos piden que aprueben 5 de 8, es decirque suspendan 3 de 8 o lo que es lo mismo, que tengamos 3 exitos, p(X=3), y buscando en la tabla esp(X=3) = 0’2541.

Tambien, desde luego podrıamos haber utilizado la formula desde el principio, utilizar la Bin(8;0’7)y olvidarnos de tablas para hacer:

p(X = 5) =(85

)· (0′7)5 · (0′3)3 = 0′254

3.2.2. Probabilidades acumuladas

Es posible que nos pidan no solo la probabilidad de que ocurran un cierto numero de exitos enconcreto, sino que ocurran como mucho “k” exitos o preguntas similares. En el ejemplo anterior, porejemplo, podrıan pedirnos:

a) ¿Cual es la probabilidad de que aprueben como mucho 2 alumnos?.Si exito = aprobar y fracaso = suspender, p= 0’7 y q = 0’3, entonces nos piden p(X ≤ 2). En

este caso, basta pensar en que para que aprueben 2 alumnos como mucho, puede que aprueben 2, 1 oninguno, es decir:

p(X ≤ 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0′0001 + 0′0012 + 0′01 = 0′1013

(haz las cuentas)b) ¿Cual es la probabilidad de que aprueben entre 3 y 6 alumnos (inclusive)?.


Del mismo modo:

p(3 ≤ X ≤ 6) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6) == 0′0467 + 0′1361 + 0′2541 + 0′2965 = 0′7334

Hemos de tener en cuenta que para la distribucion binomial, en las tablas solo se admiten valoreshasta n=10 (10 repeticiones del experimento). Para valores de n > 10, inevitablemente hemos deutilizar la formula.

Ejemplo:Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporcion del 67% que estudian ingles y el resto

frances.Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de ingles.b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien ingles.c) Probabilidad de que estudien ingles entre 7 y 10 alumnos.Si exito = estudiar ingles, p = 0’67 y fracaso = estudiar frances, q = 1-0’67 = 0’33. Manejamos

por tanto una Bin(15;0’67)a) p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6) + . . .+ p(X = 15).Una opcion es calcular estas 13 probabilidades y sumarlas. Como hay que aplicar la formula para

calcular cada una, la tarea se puede hacer bastante larga. Otra opcion, mas sencilla, es pasar alcomplementario. El complementario de encontrar al menos 3 alumnos de ingles es encontrar comomucho 2 alumnos de ingles, p(X ≤ 2).

Es decir,

p(X ≥ 3) = 1− p(X < 3) = 1− p(X ≤ 2) = 1− (p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2))

y solo tenemos que calcular 3 probabilidades: p(X = 0) ≈ 0 , p(X=1) = 0’000001, p(X=2) = 0’000026(¡compruebalo!).

Por lo cual,

p(X ≥ 3) = 1− (0 + 0′000001 + 0′000026) = 1− 0′000027 = 0′999973

b) p(X=15) = 0’0025 (aplica la formula).c)

p(7 ≤ X ≤ 10) = p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10) == 0′0549 + 0′1114 + 0′1759 + 0′2142 = 0′5564.

3.2.3. Media y desviacion tıpica en una distribucion binomial

Aunque no se demostara, en una distribucion binomial Bin(n;p), el numero esperado de exitos omedia, viene dado por x = n · p. (Recordemos que la media es una medidad de centralizacion).

La desviacion tıpica, σ , que es una medida de dispersion y mide lo alejados que estan los datosde la media, viene dada por σ =

√n · p · q.


3.3. La distribucion Normal

Al estudiar aspectos tan cotidianos como:- Caracteres morfologicos de individuos ( personas, animales, plantas) de una misma raza. como

tallas, pesos, envergaduras, etc.- Caracteres fisiologicos, como el efecto de una misma dosis de un farmaco, o de una misma cantidad

de abono.- Caracteres sociologicos, como el consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo

humano.- Caracteres psicologicos, como el cociente intelectual, grado de adaptacion a un medio.- Caracteres fısicos, como la resistencia a la rotura de ciertas piezas. . .todos ellos tienen en comun que se distribuyen “normalmente”. ¿Que quiere decir esta expresion?.

Pues, por ejemplo, si hacemos una estadıstica para conocer la altura de 1400 mujeres y representamoslos resultados en un diagrama de barras, obtenemos:

Figura 3.1: Distribucion de estaturas de 1400 mujeres

Las graficas de este tipo son muy corrientes: Hay pocos individuos en los extremos y un aumentopaulatino hasta llegar a la parte central del recorrido, donde esta la mayorıa de ellos.

Definicion: Diremos que una distribucion de probabilidad sigue una distribucion normal de media xy desviacion tıpica σ, y lo representaremos por N (x; σ) cuando la representacion grafica de su funcionde densidad es una curva positiva continua, simetrica respecto a la media, de maximo en la media, yque tiene 2 puntos de inflexion , situados a ambos lados de la media (x− σ y x + σ respectivamente)y a distancia de σ ella, es decir de la forma:

Figura 3.2: Distribucion normal N (x; σ). El maximo esta en (x, 1√2·π·σ2

)


Dependiendo de los valores que tomen x y σ, la grafica de esta funcion puede ser mas o menosalargada, achatada, etc..., pero en cualquier caso siempre tiene las mismas condiciones de simetrıa,continuidad, etc resenadas anteriormente.

El concepto de funcion de densidad introducido anteriormente no se estudiara con profundidad.Baste decir que la funcion de densidad determina la forma de cada distribucion de probabilidad. Enel caso de la distribucion normal de parametros x y σ, dicha funcion viene dada por:

f(x) =1√

2 · π · σ2· e−

(x−x)2

2·σ2

Propiedad:El area encerrada bajo la curva normal N (x; σ) siempre es 1.

La demostracion de este resultado no es nada sencilla e implica el uso de resultados matematicos queexceden el nivel de este curso.

De entre todas las curvas normales N (x; σ), la mas sencilla, usada y conocida es aquella que tienepor media 0 y por desviacion tıpica 1, N(0, 1).

Esta normal estandar se suele representar por Z.La grafica de esta curva se denomina campana de Gauss y se puede observar en la figura:

Figura 3.3: Distribucion normal N (0; 1). El maximo esta en (0, 1√2·π )

Su funcion de densidad sera:f(x) =

1√2 · π

· e−x2

2

Puesto que el area bajo esta curva normal es 1, podemos definir una probabilidad de la siguientemanera:

Para un valor cualquiera k, definimos la probabilidad de que la distribucion Z, N(0;1) , sea menor oigual que k como:

p(Z ≤ k)= “Area encerrada bajo la curva normal N(0,1) desde −∞ hasta k”(es decir la parte rayada de la figura siguiente).

Figura 3.4: Area encerrada por la curva normal desde −∞ hasta k

Ahora bien, ¿como calcular dicha area?. Facil: Dichas areas o probabilidades se encuentran tabu-ladas.


3.3.1. Uso de las tablas de la distribucion normal N(0;1)

La normal N(0;1) se encuentra tabulada, para valores a partir de 0 y hasta 3’99. Si por ejemploqueremos calcular p(Z ≤ 2′78), hemos de realizar los pasos:

1. Buscar la parte entera y las decimas en la primera columna (en este caso 2’7).

2. Buscar las centesimas en la primera fila (en este caso 8).

3. En el punto comun a la fila y la columna que hemos encontrado, tenemos la probabilidad buscada,en este caso 0’9973.

Por tanto p(Z ≤ 2′78) = 0′9973.Si queremos calcular una probabilidad de un valor mayor que 3’99, basta fijarse en que las proba-

bilidades correpondientes a valores tales como 3’62 y mayores ya valen 0’9999 (practicamente 1). Poreso, para estos valores mayores que 3’99, diremos que la probabilidad es aproximadamente 1. Ası:

p(Z ≤ 5′62) ≈ 1

aunque no aparezca en la tabla.

Por otra parte, fijemonos en que en este tipo de distribuciones no tiene sentido plantearse probabili-dades del tipo p(Z=k), ya que siempre valen 0, al no encerrar ningun area. Por tanto, si nos pidiesenp(Z=3’2), basta decir que p(Z=3’2)=0.

Este tipo de distribuciones en las cuales la probabilidad de tomar un valor concreto es 0 se de-moniman distribuciones continuas, para diferenciarlas de otras en las que esto no ocurre, como porejemplo la binomial, que es una distribucion discreta.

Ası, al pasar al complementario, si tenemos Z ≥ k, su complementario sera Z < k, pero como incluirk no influye en la probabilidad,al calcular probabilidades podemos escribir:

p(Z ≥ k) = 1− p(Z < k) = 1− p(Z ≤ k)

Solo se puede hacer esto en distribuciones continuas, en el caso de la binomial esto no se puede hacery hay que ser cuidadosos con el paso al complementario.

Ejercicio: Buscar en la tabla de la normal estandar N(0;1) las probabilidades:a) p(Z ≤ 1′15) b) p(Z ≤ 0′5) c) p(Z ≤ 0′82) d) p(Z ≤ 1′05) e) p(Z ≤ 4′27)

f) p(Z ≤ 18′09)

3.3.2. Calculo de otras probabilidades

1. Si k es positivo y queremos calcular p(Z ≥ k), es decir el area rayada:

Figura 3.5: p(Z ≥ k). Basta pasar al complementario

basta pasar al complementario, es decir: p(Z ≥ k) = 1− p(Z ≤ k) y esta ultima probabilidad yase encuentra tabulada.

Ejercicio: Calcular p(Z ≥ 0′3) y p(Z ≥ 2′07).


2. Si k es positivo y queremos calcular p(Z ≤ −k), es decir el area: por simetrıa, p(Z ≤ −k) =

Figura 3.6: p(Z ≤ −k).Las probabilidades de valores negativos no estan tabuladas

p(Z ≥ k) y esta se calcula como en el caso anterior. Se puede observar la igualdad de areas enla figura:

Figura 3.7: p(Z ≤ −k) = p(Z ≥ k). La simetrıa permite reducir este caso al anterior

Ejercicio: Calcular p(Z ≤ −0′78) y p(Z ≤ −3′2).

3. Si k es positivo y queremos calcular p(Z ≥ −k), es decir el area rayada:

Figura 3.8: p(Z ≥ −k)

entonces, por simetrıa p(Z ≥ −k) = p(Z ≤ k):

Figura 3.9: p(Z ≥ −k) = p(Z ≤ k).La simetrıa permite reducir este caso al que ya esta tabulado

Ejercicio: Calcular p(Z ≥ −0′96) y p(Z ≥ −1′01).


4. Probabilidades comprendidas entre dos valores,p(k1 ≤ Z ≤ k2) ,es decir el area rayada:

Figura 3.10: p(k1 ≤ Z ≤ k2). Probabilidad comprendida entre dos valores

se calcula restando las areas:

Figura 3.11: p(Z ≤ k2) en la primera imagen.p(Z ≤ k1) en la segunda. Al restar obtenemos el areapedida.

Se quita la parte correspondiente a Z ≤ k1,p(Z ≤ k2)− p(Z ≤ k1).

Ejercicio: Calcular p(−0′96 ≤ Z ≤ 1′49) y p(−1′32 ≤ Z ≤ −0′57).

Ejercicio: Calcular p(Z=2), p(Z ≤ 2), p(Z ≥ 2), p(Z ≤ −2), p(Z ≥ −2), p(−2 ≤ Z ≤ 2),p(0′81 ≤ Z ≤ 1′33).

3.3.3. Calculo de probabilidades en normales N(x; σ)

Si no tenemos una distribucion N(0;1), sino una N (x; σ) cualquiera, ¿como calcular probabilidades,si no tenemos tabla salvo para N(0;1)?. El siguiente resultado nos da la respuesta.

Propiedad:

Si X sigue una distribucion N (x; σ) , entonces la variable Z =X − x

σsigue una distribucion N(0,1).

(El paso de la variable X −→ N (x; σ) a la Z −→ N(0;1) se denomina tipificacion de la variable X).

Ejemplo:Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribucion normal de media 168

y desviacion tıpica 8 cm. ¿Cuantos soldados miden entre 166 y 170 cm?.

Sea X la distribucion de los soldados , X es una N(168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en la desigualdad:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(166− 168 ≤ X − 168 ≤ 170− 168) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2)

Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos de tipificar:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = p

(−28≤ X − 168

8≤ 2

8

)


Llamando aX − 168

8= Z, esta ya es normal N(0,1) y se encuentra en las tablas:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(−0′25 ≤ Z ≤ 0′25) = p(Z ≤ 0′25)− p(Z ≤ −0′25) == (tablas) = 0′5987− 0′4013 = 0′1974.

(pues p(Z ≤ −0′25) = p(Z ≥ 0′25) = 1− p(Z ≤ 0′25) = 1− 0′5987 = 0′4013).Ejercicios: 1) En una distribucion N(22,5), calcula: p(X ≤ 27),p(X ≥ 27),p(X ≥ 125), p(15 ≤

X ≤ 20), p(17 ≤ X ≤ 30).2) Los pesos de 60 soldados siguen una distribucion N(67,5). Calcula la probabilidad de que el

peso sea:a) mayor de 80 kg.b) 50 kg. o menosc) menos de 60 kg.d) 70 kg.e) Entre 60 y 70 kg inclusive.

3.3.4. Otro uso de las tablas

Hasta ahora nos han dado la distribucion normal N(0;1) y nos pedıan p(Z ≤ k) siendo k un ciertonumero, y nos pedıan calcular dicha probabilidad.

Ahora bien, otra pregunta puede ser: Dado que en una normal N(0;1) sabemos que p(Z ≤ k) =0′9573, ¿quien es k?.

La resolucion es bien sencilla. Basta buscar 0’9573 dentro de la tabla de la distribucion normal, ylo encontramos en el cruce de la fila 1’7 con la columna 2, y por lo tanto k debe ser 1’72.

Ejercicio: Calcular k si:a) p(Z ≤ k) = 0′8078.b) p(Z ≥ k) = 0′0028.

En caso de que el valor a buscar no aparezca directamente dentro de la tabla de la distribucion normal,pueden ocurrir dos posibilidades:

a) Si el valor se encuentra entre dos valores de la tabla y a la misma distancia (aproximadamente)de cada uno de ellos, por ejemplo: p(Z ≤ k) = 0′7982. En este caso el valor buscado sera la mediaentre los valores extremos.

Si buscamos en la tabla este valor no aparece directamente, sino que se encuentra entre los valores0’7967 (que corresponde a 0’83) y 0’7996 (que corresponde a 0’84). Por tanto el valor de k sera:

k =0′83 + 0′84

2= 0′835

b) Si el valor esta entre dos valores, pero muy cercano a uno de ellos, directamente tomamos este valor,por ejemplo: p(Z ≤ k) = 0′7970. El valor mas cercano es 0’9767 (que corresponde a 0’83) y como elvalor buscado esta muy cerca de el, entonces directamente k=0’83.

Si la distribucion no es normal N(0;1), sino N (x; σ), tendremos que tipificar previamente.Por ejemplo, si X sigue una normal N(6;3) y p(X ≤ k) = 0′9082, calcula k.Tipificando:

p

(X − 6

3≤ k − 6

3

)= 0′9082 −→ p

(Z ≤ k − 6

3

)= 0′9082

Y buscando en la tabla,k − 63

= 1′33⇒ k − 6 = 3′99⇒ k = 9′99


Ejercicios:

1. Calcular k si p(X ≤ k) = 0′6141 y X sigue una N(15,4).

2. De una variable normal N (x; σ) se sabe que p(X ≤ 7) = 0′9772 y p(X ≤ 6′5) = 0′8413. Calcular:

a) x y σ.

b) p(5′65 ≤ X ≤ 6′25)

c) El numero k tal que p(X > k) = 0′3


3.4. Relacion entre la distribucion binomial y la distribucion normal

Es un hecho comprobado que cuando tenemos una distribucion Bin(n;p), a medida que n crece, esdifıcil hacer uso de las formulas y/o tablas.

Por ejemplo, tiramos un dado 100 veces, calcular la probabilidad de obtener entre 20 y 33 cin-cos(inclusive).

Si exito = obtener cinco entonces p =16y fracaso = no obtener cinco y q =

56.

Tenemos una Bin

(100;

16

), y nos piden p(20 ≤ X ≤ 33).

Es inviable aplicar las tablas (pues repetimos el experimento 100 veces) y tampoco la formula pueses inviable calcular, por ejemplo,

p(X = 32) =(10032

)·(16

)32

·(56

)68

¿Como resolver el problema?. Del siguiente modo:

Teorema Central del Lımite:

La distribucion binomial Bin(n;p) se aproxima a una curva normal de media x = n · p y desviaciontıpica σ =

√n · p · q, cuando n tiende a ∞, es decir, cuando n se hace muy grande.

La aproximacion se puede aplicar (es una buena aproximacion) solo si n es grande, en concreto n ≥ 30y ademas n · p ≥ 5 y n · q ≥ 5. Si no se cumplen estas condiciones NO podemos aproximar la binomialque tengamos por una distribucion normal.

En caso de que podamos aproximar, debemos tener en cuenta que estamos pasando de una variablediscreta (binomial) a una continua (normal), y por tanto son distribuciones diferentes. El “precio” quehay que pagar por pasar de una a otra se denomina “correccion por continuidad” y consiste en hacerdeterminados ajustes para que la aproximacion realizada sea lo mas precisa posible.

Ası, si nos piden p(X=k) en una distribucion binomial X, y aproximamosX por una distribucion normalY, no podemos calcular directamente p(Y=k) porque, como ya se ha comentado anteriormente, enuna distribucion continua todas estas probabilidades valen 0. La correccion por continuidad consisteen tomar un pequeno intervalo de longitud 1 alrededor del punto k.

De otro modo, si nos piden p(X=k) con X binomial, con la aproximacion normal Y deberemoscalcular p(k − 0′5 ≤ Y ≤ k + 0′5).

Del mismo modo se razona en el caso de probabilidades acumuladas en la binomial. Algunosejemplos:

Si nos piden p(X < k) con X binomial, aproximando por Y normal calcularemos p(Y ≤ k−0′5). Laexplicacion de que haya que restar 0’5 y no sumarlo es que queremos que X sea menor estrictamenteque k, con lo cual, si sumase 0’5 , el propio k aparecerıa en la probabilidad a calcular y NO debeaparecer.

Por contra, si debiesemos calcular p(X ≤ k), con X binomial, fijemonos que ahora k SI esta incluidoen la probabilidad y por tanto al aproximar por la normal Y deberıamos calcular p(Y ≤ k + 0′5).

Comprender estos dos hechos es fundamental para realizar bien la correcion por continuidad alaproximar una distribucion binomial por una normal.

En el caso anterior,x = n · p =1006

= 16′67 y σ =√

n · p · q =√

50036

= 3′73. De modo que, como

n ≥ 30, n · p = 16′67 ≥ 5 y nq = 83′33 ≥ 5, se pude aproximar la binomial por la normal, es decir:

X −→ Bin

(100;

16

)≈ Y −→ N (16′67; 3′73)


Entonces:

p(20 ≤ X ≤ 33) ≈︸︷︷︸(∗)

p(20− 0′5 ≤ Y ≤ 33 + 0′5) = p

(19′5− 16′67

3′73≤ Y − 16′67

3′73≤ 33′5− 16′67

3′73

)=

= p(0′89 ≤ Z ≤ 4′51) = p(Z ≤ 4′51)− p(Z ≤ 0′89) ≈ 1− 0′8133 = 0′1867

Notemos que en el paso senalado por (*) hemos cambiado X(binomial) por Y(normal) y se ha realizadola correccion por continuidad.

Capıtulo 4

INFERENCIA ESTADISTICA

4.1. Introduccion

Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra.La estadıstica, ciencia o rama de las Matematicas que se ocupa de recoger datos, analizarlos y

organizarlos, y de realizar las predicciones que sobre esos datos puedan deducirse, tiene dos vertientesbasicas:

a) Estadıstica descriptiva: Basicamente se ocupa de la 1ª parte, es decir, a partir de ciertos datos,analizarlos y organizarlos. Es aquı donde tiene sentido calcular la media, mediana, moda, desviacionmedia, desviacion tıpica, etc.

b) Estadıstica inferencial: Se ocupa de predecir, sacar conclusiones, para una poblacion tomandocomo base una muestra (es decir , una parte) de dicha poblacion. Como todas las predicciones, siemprehan de hacerse bajo un cierto grado de fiabilidad o confianza.

Sera esta ultima vertiente de la estadıstica la que estudiemos en este tema.

4.2. Muestreos

Ya sabemos que una poblacion es el conjunto de individuos sobre los que hacemos cierto estudio, yque una muestra es un subconjunto de la poblacion. Es evidente que los resultados de una determinadaencuesta tendran un mayor grado de fiabilidad si dicha encuesta se realiza sobre la poblacion completa.Sin embargo, en la mayorıa de las ocasiones esto no es posible, debido a multiples razones:

* Imposibilidad material (Hacer una encuesta a los casi 41 millones de espanoles es imposible,hacerun estudio sobre la fecha de caducidad de un producto. Si lo hacemos con todos los productos ¿que ven-demos luego?)

* Imposibilidad temporal (Hacer un estudio sobre la duracion de una bombilla. ¿Cuanto debemosesperar para saberlo?).

Por tanto, es habitual que tengamos que manejarnos con muestras, de modo que es importantesaber elegir bien una muestra de la poblacion, una muestra que represente bien a dicha pbolacion.

Hay muchas maneras de elegir una muestra de una poblacion.Antes de pasar a analizar dichas formas de extraccion de muestras, lo que si hemos de dejar claro

es que todas las muestras han de cumplir varias condiciones indispensables.Es evidente que para que el estudio a realizar sea fiable, hay que cuidar mucho la eleccion de

la muestra, para que represente en la medida de lo posible a la poblacion de la que se extrae. Si lamuestra esta mal elegida, diremos que no es representativa.

En este caso, se pueden producir errores imprevistos e incontrolados. Dichos errores se denominansesgos y diremos que la muestra esta sesgada.

Una de las condiciones para que una muestra sea representativa es que el muestreo (o sistemapara elegir una muestra de una poblacion) que se haga sea aleatorio, es decir, todas las personas de

56

CAPITULO 4. INFERENCIA ESTADISTICA 57

la poblacion tengan las mismas posibilidades de ser elegidas, mientras que si la eleccion de la muestraes subjetiva, es probable que resulte sesgada.

Las distintas maneras de elegir una muestra de una poblacion se denominan muestreos. Basicamentehay dos tipos de muestreos:

1. Muestreo no probabilıstico: El investigador no elige la muestra al azar, sino mediante determi-nados criterios subjetivos.

2. Muestreo probabilıstico: Cuando la muestra se elige al azar. En este caso podemos distinguirvarios tipos:

a) Muestreo aleatorio simple: Aquel en el que cada individuo de la poblacion tiene las mismasposibilidades de salir en la muestra.

b) Muestreo sistematico: En el que se elige un individuo al azar y a partir de el, a intervalosconstantes, se eligen los demas hasta completar la muestra.

c) Muestreo estratificado: En este muestreo se divide la poblacion en clases o estratos y seescoge, aleatoriamente, un numero de individuos de cada estrato proporcional al numerode componentes de cada estrato.

d) Muestreo por conglomerados:Si no disponemos de la relacion de los elementos de la pobla-cion, o de los posibles estratos, no podemos aplicar los muestreos anteriores.Aquı entra el llamado muestreo por conglomerados, donde en lugar de elegir individuosdirectamente, se eligen unidades mas amplias donde se clasifican los elementos de la pobla-cion, llamados conglomerados. En cada etapa del muestreo en lugar de seleccionar elementosal azar seleccionamos conglomerados.Los conglomerados deben ser tan heterogeneos como la poblacion a estudiar, para que larepresente bien. Luego se elegirıan algunos de los conglomerados al azar, y dentro de estos,analizar todos sus elementos o tomar una muestra aleatoria simple.No debemos confundir estrato y conglomerado. Un estrato es homogeneo (sus elementostienen las mismas caracterısticas), mientras que un conglomeardo es heterogeneo (deberepresentar bien a la poblacion).

Veamos la diferencia de estos muestreos mediante un ejemplo:Imaginemos que hemos de recoger una muestra de 20 alumnos de entre los de un instituto de 600.-Muestreo aleatorio simple: Elegirıamos un alumno al azar (probabilidad de elegirlo 1

600 . Lo de-volvemos a la poblacion y se elige otro (probabilidad de elegirlo 1

600), y ası hasta 20. Notemos quesi no devolviesemos al alumno, entonces, la probabilidad de escoger al 2º alumno serıa 1

599 , y ya notodos tendrıan la misma probabilidad de ser elegidos. El problema es que entonces permitimos que sepuedan repetir individuos.

-Muestreo sistematico: Como hemos de elegir 20 alumnos de 600, es decir, 1 de cada 30, se procedeası: Se ordenan los alumnos y se numeran, se elige uno al azar, por ejemplo el alumno 27, y luego losdemas se eligen a partir de este a intervalos de 30 alumnos. Escogerıamos por tanto a los alumnos:

27,57,87,117,147,177,207,237,267,297,327,357,387,417,447,477,507,537,567,597

y el alumno 627 ya es otra vez el 27.-Muestreo estratificado: Si queremos que la muestra sea representativa, lo mejor sera conocer

cuantos alumnos de cada curso hay, es decir, si hay 200 alumnos de 3º ESO, 150 de 4º ESO, 150 de1º Bachillerato y 100 de 2º Bachillerato, procederıamos:

Como de 600 en total hemos de elegir a 20, de 200 de 3º de ESO hemos de elegir x:

20600

=x

200−→ x =

4000600

= 6′6 ≈ 7 alumnos de 3º


(Utilizando la regla de tres)De igual manera podemos calcular los alumnos correspondientes a los demas cursos:

20600

=y

150−→ y =

3000600

= 5 alumnos de 4º

20600

=z

150−→ z =

3000600

= 5 alumnos de 1º

20600

=t

100−→ t =

2000600

= 3′3 alumnos de 2º

De modo que en nuestra muestra de 20, 7 alumnos son de 3º, 5 de 4º, 5 de 1º y 3 de 2º. Para laeleccion de cada alumno dentro de cada curso, utilizamos el muestreo aleatorio simple.

-Muestreo por conglomerados: Para ver este muestreo, hemos de cambiar el ejemplo.Supongamos que queremos extraer una muestra aleatoria de los estudiantes universitarios del paıs.

Necesitariamos una lista con todos ellos para poder realizar algun muestreo del tipo de los 3 anteriores,lo cual es muy difıcil de conseguir. Sin embargo, los estudiantes estan clasificados por Universidades,Facultades y Clases.

Podemos seleccionar en una primera etapa algunas Universidades, despues algunas facultades alazar, dentro de las facultades algunas clases y dentro de las clases, algunos estudiantes por muestreoaleatorio simple. Los conglomerados en cada etapa serıan las diferentes Universidades, las diferentesfacultades y los diferentes clases.

Como vemos los conglomerados son unidades amplias y heterogeneas.

Ejercicio:En una poblacion de 1500 jovenes,7500 adultos y 1000 ancianos, se hace una encuesta a 200 personas

para conocer sus actividades de ocio preferidas. Si se utiliza un muestreo estratificado, ¿que tamanomuestral corresponde a cada estrato?.

4.3. Estimacion por puntos

Como el objetivo principal de la estadıstica inferencial es el estudio de la poblacion y realizarpredicciones a cerca de ella pero a partir de una muestra de ella , no de la poblacion entera, enprincipio, tendremos que estimar los ındices de la poblacion a partir de los ındices correspondientespara la muestra.

En una primera aproximacion, parece logico pensar que si queremos determinar la media de unacierta poblacion, si hemos cogido una muestra representativa de dicha poblacion, la media de la muestra(que es facilmente calculable porque tenemos los datos) sera muy parecida a la de la poblacion y portanto sirva para estimarla.

Distinguiremos, por tanto, entre:

1. Parametros poblacionales: Que son los ındices centrales y de dispersion que definen a una po-blacion.

Representaremos la media poblacional µ y la desviacion tıpica poblacional σ.

En el caso de proporciones, la proporcion de poblacion que tiene una determinada caracterısticala denotaremos por p y la proporcion que no la cumple por q = 1− p. (Como en la Distribucionbinomial)

2. Estadısticos poblacionales: Son los ındices centrales y de dis persion que definen a una muestra.

Representaremos la media muestral por x y la desviacion tıpica muestral por s.

En el caso de proporciones, la proporcion de muestra que tiene una determinada caracterısticala denotaremos por p y la proporcion que no la cumple por q = 1− p.


¿Cual es el problema de la estimacion entonces?. Como vamos a disponer de una muestra, lo quepodemos calcular es x y s (o bien p y q), y a partir de estos intentar estimar quienes tienen que ser µy σ (o bien p y q), los reales para la poblacion.

En la estimacion por puntos, el conocimiento de un estadıstico muestral nos permitira decidir cuales el correspondiente parametro de la pobla cion. Para ello hemos de conocer cual es la relacion entreun estadıstico y el corresp ondiente parametro.

4.4. Distribucion muestral de medias

Si tenemos una poblacion de parametros desconocidos µ y σ, y tomamos una muestra, podemoscalcular la media muestral,x1, que tendra cierta relacion con µ.

Podrıamos tomar otra muestra, de igual tamano, y calcular de nuevo su media muestral x2, quetambien estara relacionada con µ.

Ası sucesivamente, considerando varias muestras y haciendo las medias muestrales respectivas,tenemos una serie de medias, relacionadas de alguna manera con µ ¿como?. De la siguiente forma:

Propiedad: Si la poblacion sigue una distribucion normal N (µ, σ), donde µ y σ son desconocidos, sielegimos todas las muestras de cierto tamano (n) , de forma que sean representativas, entonces:

a) La media de las medias muestrales de todas las muestras posibles, es igual a la media poblacional,es decir:

x =x1 + x2 + . . .+ xk

k= µ

b) La desviacion tıpica de las medias muestrales posibles es:

sx =σ√n

donde σ es la desviacion tıpica poblacional y n es el tamano de las muestras.

Conclusion: Las medias de las muestras de tamano n extraıdas de una poblacion de parametros µ yσ , siguen una distribucion:

X −→ N

(µ,

σ√n

)

siempre que dichas muestras tengan un tamano n ≥ 30.

Notas importantes:a) Este resultado es consecuencia del Teorema Central del lımite.b) Si la poblacion es normal, el resultado se cumple para muestras de CUALQUIER tamano

(incluso menor que 30).c) Si σ es desconocida, el mismo resultado sigue siendo cierto sustituyendo en la formula σ por s.

Ejemplo: La altura de los estudiantes de una poblacion se distribuye segun una normal de media 167y desviacion tıpica 3’2.

a) Calcula la probabilidad de que un estudiante mida menos de 165 cm.b) Se toma una muestra de 10 estudiantes. Calcula la probabilidad de que la media muestral sea

menor que 165 cm.

En el apartado a) , manejamos la variable

X −→ N (165; 3′2)

siendo X= “altura de un estudiante”.


La probabilidad pedida sera:

p(X < 165) = p

(X − 1673′2

<165− 167

3′2

)= p(Z < −0′63) = 0′2676

En el apartado b), la variable que manejamos ya no es X, sino que tenemos una muestra de 10estudiantes. Como la poblacion inicial es normal, podemos aplicar el resultado anterior aunque lamuestra sea de tamano menor que 30. Ası, la variable a estudiar es

X=”media de las alturas de 10 estudiantes”, que segun lo dicho, sigue una distribucion

X −→ N

(165;

3′2√10

)= N (165; 1′012)

Nos piden:

p(X < 165) = p

(X − 1671′012

<165− 1671′012

)= p(Z < −1′97) = 0′0244

Ejemplo: Los pesos de los tornillos que fabrica cierta maquina se distribuyen segun una N (142′32; 8′5)(medidas en gr.). Se toman muestras de 25 tornillos. Calcular:

a) Distribucion que siguen las medias de esas muestras.b) Probabilidad de que una muestra elegida al azar de 25 tornillos tenga un peso medio superior

a 144’6 gr.c) La misma pregunta si la muestra es de 100 tornillos.

a) Como las muestras son de tamano n=25 y la poblacion es normal N (142′32; 8′5), las medias mues-trales siguen una distribucion:

X −→ N

(142′32;

8′5√25

)= N (142′32; 1′7)

b) Nos piden:

p(X ≥ 144′6) = p

(Z ≥ 144′6− 144′32

1′7

)= p(Z ≥ 1′34) = 1− p(Z ≤ 1′34) = 0′0901

c) Si las muestras son de tamano n=100, las medias muestrales siguen una distribucion:

X −→ N

(142′32;

8′5√100

)= N (142′32; 0′85)

y por tanto:

p(X ≥ 144′6) = p

(Z ≥ 144′6− 144′32

0′85

)= p(Z ≥ 2′68) = 1− p(Z ≤ 2′68) = 0′0037

Ejercicio: Una maquina ha fabricado piezas de precision con un peso medio de 150 gr. y una desviaciontıpica de 20 gr. Calcular la probabilidad de que una muestra de 80 piezas tenga un peso medio de masde 155 gr. (Solucion: 0’0129)

4.5. Distribucion muestral de proporciones

Nos planteamos ahora determinar que proporcion de una poblacion posee un cierto atributo, porejemplo si es fumador o no fumador, si tiene ordenador o no, si tiene alergia o no,etc... El estudio de estetipo de proporciones es equiparable al de una distribucion binomial (donde solo hay dos posibilidades).Si la proporcion exito es p y la de fracaso q, y se toma una muestra de la poblacion de tamano n, al


igual que en el caso anterior, para cada muestra tendremos una proporcion muestral que denotaremospor p y una desviacion tıpica muestral que denotaremos por sp.

Entonces,utilizando razonamientos similares a los del apartado anterior, se verifica que p = p, y

sp =√

p · qn

por tanto:

Conclusion: Las proporciones muestrales de tamano n ≥ 30, extraıdas de una poblacion en la que laprobabilidad de exito es p, se ajustan a una normal

N

(p;√

p · qn

)

Ejemplo: Una fabrica de pasteles fabrica, en su produccion habitual, un 3% de pasteles defectuosos.Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fabrica.

a) Probabilidad de que encuentre mas del 4% de pasteles defectuosos.b) Probabilidad de que encuentre menos de un 1% de pasteles defectuosos.

a) En este caso exito= “pastel defectuoso”, y la proporcion poblacional de exito es de p =3100

tanto,

q =97100

. La muestra que recibe el cliente es de tamano n=500.Por tanto, las proporciones muestrales siguen una distribucion:

p −→ N

3100

;

√3

100 ·97100

500

= N (0′03; 0′076)

puesto que las muestras tienen tamano mayor que 30.La probabilidad pedida es que la proporcion de pasteles defectuosos en la muestra sea mayor del

4%, es decir:

p(p ≥ 0′04) = p

(Z ≥ 0′04− 0′03

0′0076

)= p(Z ≥ 1′32) = 0′0934

b) En este caso es

p(p ≤ 0′01) = p

(Z ≤ 0′01− 0′03

0′0076

)= p(Z ≤ −2′63) = 0′0043

Ejercicios:

1. De una poblacion de 120 alumnos , hay 48 que tienen 2 o mas hermanos. Si de dicha poblacionse toman muestras de tamano 40.

a) ¿Que distribucion siguen las proporciones muestrales?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que se encuentre en dicha muestra una proporcion de mas del55% de alumnos con 2 o mas hermanos?.

2. Las notas de cierto examen se distribuyen segun una normal de media µ=5’3 y desviacion tıpicaσ=2’4. Hallar la probabilidad de que un estudiante tomado al azar tenga una nota:

a) Superior a 6’5

b) Inferior a 5’2

c) Comprendida entre 5 y 6’5

Halla las mismas probabilidades para de la media de las notas de 16 estudiantes elegidos al azar.

3. En un saco mezclamos judıas blancas y pintas en la relacion de 14 blancas por cada pinta.Extraemos un punado de 100 judıas. Calcula la probabilidad de que la proporcion de judıaspintas este comprendida entre 0’05 y 0’1.


4. El cociente intelectual, CI, de unos universitarios se distribuye normalmente con media 100 ydesviacion tıpica 11.

a) Se elige al azar una persona. Hallar la probabilidad de que su CI este entre 100 y 103.

b) Se elige al azar una muestra de 25 personas. Encontrar la probabilidad de que la media desus cocientes intelectuales este entre 100 y 103.

4.6. Intervalos de probabilidad

En una variable normal cualquiera N (µ, σ), se verifica que:1. En el intervalo (µ− σ, µ+ σ) esta el 68’26% de la poblacion.2. En el intervalo (µ− 2 · σ, µ+ 2 · σ) esta el 95’44% de la poblacion.3. En el intervalo (µ− 3 · σ, µ+ 3 · σ) esta el 99’74% de la poblacion.

Figura 4.1: Porcentajes de poblacion en los diferentes intervalos simetricos de una normal N (µ, σ).

Es evidente que a medida que el intervalo se amplıa, hay mayor porcentaje de la poblacion en el.En general, dado un porcentaje del N%, siempre es posible encontrar un intervalo simetrico res-

pecto de la media de forma que dicho intervalo contenga a dicho porcentaje de poblacion.

Mas explicitamente, se denomina intervalo de probabilidad a aquel intervalo para el cual se sabe quehay una seguridad del N% de que los parametros muestrales (x o p) se encuentren en dicho intervalo.La seguridad N viene fijada previamente.

Si queremos que el N% de la poblacion este en el intervalo, denominaremos nivel de confianza alnumero:

1− α =N

100y unido a este, se encuentra el llamado nivel de significacion, que viene dado por α. Este nivel engeneral vendra explicitado en las condiciones del problema, si bien los valores mas comunes suelen serdel 90%,95% y 99%.

Ejemplo: Si queremos que el 88% de la poblacion este en el intervalo, el nivel de confianza sera 1−α =88100

= 0′88, mientras que el nivel de significacion sera α = 1− 0′88 = 0′12.


4.6.1. Intervalo de probabilidad para la media muestral x

Si la poblacion sigue una distribucion de parametros µ y σ, y las muestras son de tamano n ≥ 30(o bien la poblacion ya es normal y las muestras son de cualquier tamano), sabemos que la mediamuestral x sigue una distribucion:

X −→ N

(µ;

σ√n

)

Se trata de encontrar el valor de k como en la figura:

Figura 4.2: Buscamos el valor de k que deje en el intervalo (µ − k, µ + k) al (1 − α) · 100% de lapoblacion.

Razonemos ahora sobre la normal Z −→ N(0;1) que es la que se encuentra tabulada Si queremosque el intervalo buscado contenga a la media muestral con una confianza de 1− α, entonces fuera delintervalo el area tiene que ser de α, y como la curva es simetrica, en cada una de las ramas fuera dela region rayada, tenemos un area de

α

2. Llamaremos zα

2al punto situado en el eje x que separa la

region rayada de la otra.

Figura 4.3: Buscamos el valor de zα2que deje en el intervalo (−zα

2, zα

2) al (1− α) de la poblacion en

la N(0;1)

Es evidente que se cumple:p(Z ≥ zα

2

)=

α

2o dicho de otro modo:

p(Z ≤ zα

2

)= 1− α

2probabilidad que se busca dentro de la tabla como hemos visto anteriormente en el tema de la normal.

Ahora bien, este valor solo sirve para la normal estandar N(0;1). Nosotros manejamos la normal

N

(µ;

σ√n

)y para pasar a la normal estandar deberemos tipificar:

k − µσ√n

= zα2

de donde despejando, encontramos k, el valor buscado:

k = µ+σ√n· zα

2


Ası, dado el nivel de significacion α o el de confianza 1 − α, podemos determinar el intervalo deprobabilidad para la media muestral, que sera:

(µ− zα

2· σ√

n, µ+ zα

2· σ√

n

)

Ejemplo Determinar, en la distribucion N(0;1), el valor que concentra el 75% de la poblacion en unintervalo simetrico respecto a la media

Ahora 1−α = 0′75, es decir α = 0′25 y por tantoα

2= 0′125, es decir, buscamos el valor z0′125, de

modo que, como en la figura, dejemos el 75% de la poblacion en el centro.

Figura 4.4: Buscamos el valor de z0′125 que deje en el intervalo (−z0′125, z0′125) al 0’75 de la poblacionen la N(0;1)

Se cumple que p(Z ≥ z0′125) = 0′125, es decir p(Z ≤ z0′125) = 0′875,y si buscamos en la tabla,resulta que el valor es:

z0′125 = 1′15

Ejercicio: Encuentra el valor correspondiente que concentre el 88% de la poblacion.

Ejemplo:Calcular el intervalo de probabilidad con un nivel de confianza del 95% para la media deuna muestra de 100 recien nacidos, sabiendo que la poblacion de recien nacidos sigue una normal demedia µ=3100 gr. y desviacion tipica σ=150 gr.

Como el nivel de confianza es 0’95, entonces 1 − α = 0′95 y por tanto α = 0′05 y en cada ramafuera de la region queda

α

2= 0′025.

Buscamos entonces z0′025, que es el valor que deja a su derecha un area de 0’025, es decir:

p(Z ≥ z0′025) = 0′025 =⇒ p(Z ≤ z0′025) = 0′975

Buscando este valor dentro de la tabla se obtiene que el valor de z0′025 = 1′96, y por tanto el intervalopara la media muestral es:(3100− 1′96 · 150√

100, 3100+ 1′96 · 150√

100

)= (3100− 1′96 · 15, 3100+ 1′96 · 15) = (3070′6, 3129′4)

Esto significa que el 95% de las muestras de tamano 100 tendra su media comprendida entre estos 2valores: (3070’6,3129’4)

Ejercicio: Calcular el mismo intervalo con una confianza del 99%.Ejercicio: Las notas de una poblacion de 150 alumnos siguen una distribucion de media 5’5 y

varianza 4’1616. Extaremos muestras de tamano 36. Calcula el intervalo de probabilidad para un nivelde confianza del: a)75% b) 86’64%, e interpreta los resultados.

(NOTA: Recordemos que la varianza y la desviacion tıpica de una distribucion estan relacionadasporque la varianza es el cuadrado de la desviacion tıpica y se representa por σ2).


4.6.2. Intervalo de probabilidad para la proporcion muestral p

Razonando de igual manera se puede llegar a que para el nivel de significacion α el intervalo parala proporcion muestral p es (

p− zα2·√

p · qn

, p+ zα2·√

p · qn

)

donde p y q son las proporciones poblacionales y n ≥ 30.

Ejercicio: Sabiendo que la proporcion de alumnos con vıdeo de una poblacion de 120 alumnos es dep=0’7, halla el intervalo de probabilidad para la proporcion de:

a) las muestras de tamano 30 con una confianza del 75%.b) las muestras de tamano 49 con una confianza del 90%.c) las muestras de tamano 49 con una confianza del 99%.

4.7. Estimacion por intervalos

La estimacion anterior, la puntual, se utiliza poco, pues no tenemos datos suficientes que nosindiquen el grado de fiabilidad del dato muestral que hemos tomado. Lo que tiene mas sentido plan-tearse es cual es la probabilidad de que la media o proporcion poblacional pertenezcan a un intervalodeterminado.

4.7.1. Estimacion de la media de una poblacion µ

La media µ de una poblacion es desconocida y deseamos conocerla. Para ello, basandonos en losintervalos de probabilidad, sabemos que si la poblacion tiene parametros µ y σ, la media muestral xsigue una distribucion:

X −→ N

(µ;

σ√n

)

, siendo n el tamano de la muestra, y sabemos que el intervalo de probabilidad a nivel de confianza1− α para x es: (

µ− zα2· σ√

n, µ+ zα

2· σ√

n

)

es decir, que:µ− zα

2· σ√

n≤ x ≤ µ+ zα

2· σ√

n

De la primera desigualdad se sigue que:

µ− zα2· σ√

n≤ x =⇒ µ ≤ x+ zα

2· σ√

n

Y de la segunda:x ≤ µ+ zα

2· σ√

n=⇒ µ ≥ x− zα

2· σ√

n

Luego se deduce que:x− zα

2· σ√

n≤ µ ≤ x+ zα

2· σ√

n

Es decir, que el intervalo de confianza con nivel de confianza 1 − α para la media poblacional µ

desconocida es: (x− zα

2· σ√

n, x+ zα

2· σ√

n

)

NOTA:a) Hay que anadir que para aplicar este resultado, o bien las muestras tienen tamano n ≥ 30, o

bien la poblacion sigue una distribucion normal.


b) Si la desviacion tıpica de la poblacion σ, es desconocida, se utilizara, la desviacion tıpica muestrals en su lugar,y el intervalo serıa:

(x− zα

2· s√

n, x+ zα

2· s√

n

)

Al valorσ√nse le denomina error tıpico o estandar.

Ejemplo: Para estimar la media de los resultados que obtendrıan al resolver un cierto test los alumnosde 4º de E.S.O. de la Comunidad de Castilla-Leon, se les pasa el test a 400 alumnos escogidos al azar,con los resultados de la tabla:

Puntuacion Numero de alumnos1 242 803 1324 1015 63

A partir de ellos, estima con un nivel de confianza del 95% el valor de la media poblacional.Aprovechando repasaremos el calculo de algunos parametros estadısticos.Como solo disponemos de la muestra, no conocemos la media ni la desviacion tıpica poblacional,

hemos de calcular la media y la desviacion tıpica muestral.Para ello, calculamos la tabla siguiente:

X Frec.absoluta fi X · fi X2 X2 · fi

1 24 24 1 242 80 160 4 3203 132 396 9 11884 101 404 16 16165 63 315 25 1575

Total 400 1299 4723

Resulta:x =

1299400

= 3′25

Varianza=s2 =4723400

− (3′25)2 = 11′81− 10′56 = 1′25

s =√

s2 =√1′25 = 1′12

Ya tenemos los parametros muestrales. Hemos de determinar el intervalo de confianza para µ. Como1− α= 0’95, resulta que α = 0′05 y queda

α

2= 0′025.

Se obtiene que el valor es z0′025 = 1′96, por tanto el intervalo de confianza para µ, al 95% es:(3′25− 1′96 · 1

′12√400

, 3′25 + 1′96 · 1′12√400

)= (3′25− 0′11, 3′25 + 0′11) = (3′14, 3′36)

Por tanto tenemos una confianza del 95% de que la nota media de la poblacion este comprendidaentre 3’14 y 3’36.

Ejercicio: De una variable estadıstica conocemos la desviacion tıpica, 8, pero desconocemos la media.Para estimarla, extraemos una muestra de tamano 60 cuya media es 37. Estimar la media poblacionalcon una confianza del 99%.


Error maximo admisible:Hemos visto que el intervalo de confianza para la media poblacional µ es:

(x− zα

2· σ√

n, x+ zα

2· σ√

n

)

Se cumple entonces que la diferencia, en valor absoluto, entre las medias poblacional y muestral es:

|µ− x| < zα2· σ√

n

Al valorE = zα

2· σ√

n

se le llama error maximo admisible. Dicho error tiene las siguientes propiedades:a) El error es manor cuanto mayor sea el tamano de la muestra (n), porque dividimos por un

numero cada vez mayor.b) El error es mayor al aumentar el nivel de confianza, puesto que el valor zα

2aumenta, como se

observa en la tabla:

Confianza=1− α zα2

0’9 1’6450’95 1’960’99 2’575

Para reducir el error, por tanto, no hay que aumentarla confianza, sino el tamano de la muestra elegida.Si conocemos el error y el nivel de confianza, podemos calcular el tamano de la muestra , usando

la formula del error.

Ejercicio: Al medir un tiempo de reaccion, un psicologo sabe que la desviacion tıpica del mismo es0’5 segundos. ¿Cual es el numero de medidas que debera realizar para que con una confianza del 99%,el error de estimacion no exceda de 0’1 segundos?.

4.7.2. Estimacion de una proporcion

Si para cierta poblacion se desconoce la proporcion p de individuos que poseen cierta caracterıstica,y deseamos dar un intervalo de confianza para el valor de p, como el intervalo de probabilidad para laproporcion muestral,p ,para el nivel de confianza 1− α en una muestra de tamano n es:

(p− zα

2·√

p · qn

, p+ zα2·√

p · qn

)

Razonando igual que en el caso anterior, concluimos que:El intervalo de confianza para p a un nivel de confianza de 1− α es:

(p− zα

2·√

p · qn

, p+ zα2·√

p · qn

)

Aunque como habitualmente no se conoce p en realidad se usa:(

p− zα2·√

p · qn

, p+ zα2·√

p · qn

)

NOTA: a) Es necesario que n ≥ 30 para poder aplicar esta formula.b) Habitualmente en las encuestas, se suele utilizar, en lugar de la ultima formula, el valor de

p=q=0’5, que es la situacion mas desfavorable.


Ejercicio: Determina el intervalo de confianza, con una significacion del 0’05 para la proporcionpoblacional de fumadores entre los jovenes menores de 21 anos, a partir de una muestra de tamano900, cuando no se conocen valores de p anteriores. Considera los dos casos anteriores (usando p yp=q=0’5). La proporcion de fumadores en la encuesta ha sido de p = 0′3.

El error maximo admisible en este caso es:

E = zα2·√

p · qn

o en caso de no conocer p:

E = zα2·√

p · qn

Ejercicio: Para 96 familias espanolas elegidas al azar se ha determinado que la TV permanece en-cendida en la casa una media de 217 minutos diarios, la desviacion tıpica de la muestra fue de 40minutos.

a) Para una fiabilidad del 95% ¿que error se asume cuando se da por bueno ese dato para el totalde las familias espanolas?.

b) ¿Que tamano muestral serıa necesario para reducir ese error a la mitad?.

NOTA: Diferencia entre intervalos de probabilidad y de confianzaEn un intervalo de probabilidad lo que conocemos es la media y desviacion tıpica poblacionales,

y damos el intervalo donde se encontrara (para un cierto nivel de confianza) la media muestral o laproporcion muestral.

Sin embargo, en un intervalo de confianza entramos ya en el terreno de la estimacion, es decirNO conocemos la media poblacional (y en ocasiones tampoco la desviacion tıpica poblacional) ni laproporcion poblacional , sino que solo conocemos, o podemos calcular, la media muestral o la proporcionmuestral, y de lo que se trata es de dar un intervalo en el que se encuentre la media poblacional (o laproporcion poblacional).

Capıtulo 5

TEST DE HIPOTESIS

5.1. Introduccion

En este tema trataremos el importante aspecto de la toma de decisiones, referida a decidir si unvalor obtenido a partir de la muestra es probable que pertenezca a la poblacion.

En general, la media (o proporcion) en una muestra suele ser distinta a la media de la poblacion,de la cual se extrae la muestra. Lo normal suele ser que tal diferencia entre la media muestral ypoblacional sea pequena y debida al azar, pero podrıa suceder que dicha diferencia no este justificadapor el azar y se deba a un cambio en la poblacion, y debamos modificar los datos que conocemospreviamente.

Ejemplos:a) Hace algunos anos, la media de estatura de los espanoles adultos varones era de 170 cm y su

desviacion tıpica 9 cm. Pasado el tiempo, un muestreo realizado a 36 adultos da una medida de 172cm. ¿Puede afirmarse que esa diferencia de 2 cm es debida al azar o realmente la estatura media haaumentado?.

b) Supongamos que, respecto a una determinada ley, el 52% de los ciudadanos esta en contra.Pasado el tiempo, una encuesta realizada a 400 personas indica que los ciudadanos en contra handescendido hasta el 49%.¿Ha cambiado realmente la opinion publica o tal resultado es debido alazar?.

c) El porcentaje de aprobados en las PAU en un determinado distritouniversitario ha sido del 82%.En una ciudad de ese distrito, el porcentaje de aprobados fue del 86%. ¿Puede afirmarse con un nivelde confianza del 90% que los resultados en esa ciudad son superiores a la media?.

Los metodos de decision estadıstica estan ligados a los de estimacion de parametros mediante losintervalos de confianza, aunque tambien apareceran otros nuevos conceptos.

5.2. Hipotesis estadısticas

Trataremos de utilizar los datos obtenidos en una muestra para tomar decisiones sobre la poblacion.Para ello, debemos realizar ciertos supuestos o conjeturas sobre las poblaciones. Estos supuestos, quepueden ser o no ciertos,se llaman hipotesis estadısticas.

Podemos, entonces, definir el test de hipotesis o contraste de hipotesis como el procedimientoestadıstico mediante el cual se investiga la verdad o falsedad de una hipotesis acerca de una poblaciono poblaciones.

Dichas hipotesis se formularan sobre la media poblacional µ o la proporcion poblacional p.

Llamaremos hipotesis nula, y se representa por H0, a la hipotesis que se formula y por tanto se quierecontrastar o rechazar, e hipotesis alternativa, y se representa por H1, a cualquier otra hipotesis quesea diferente de la formulada, y que sea contraria a H0, de forma que la aceptacion de la hipotesis nulaH0 implica el rechazo de la alternativa H1 y viceversa, el rechazo de H0 implica la aceptacion de H1.

72

CAPITULO 5. TEST DE HIPOTESIS 73

En un problema de contraste de hipotesis, pues, siempre tiene que formularse una hipotesis nula H0,y ha de ir acompanada de una alternativa, H0 que es la que aspira a desplazar a la nula.

Ejemplo: Un investigador afirma que la temperatura del cuerpo humano en un adulto sano se distri-buye segun una normal de media µ = 37º C y desviacion tıpica σ = 0′9º C. Formular la hipotesisnula y la hipotesis alternativa

A la vista de los datos, el investigador afirma que la temperatura media del cuerpo humano es 37º,es decir la hipotesis o conjetura que formula es:

H0 = 37 (hipotesis nula)

Como hipotesis alternativa, hemos de tomar aquella contraria a esta, que la media sea distinta de 37ºC, es decir:

H1 = 37 (hipotesis alternativa)

Si la hipotesis nula fuese del tipo µ ≥ k la hipotesis alternativas serıa:µ < k.

5.3. Errores

Hay ocasiones en que la hipotesis nula, H0, es cierta, pero a la vista de la muestra tengamos querechazarla. En tal caso, estamos cometiendo un error.

El error que consiste en rechazar la hipotesis nula cuando esta es verdadera, se denomina error detipo I.

Otro tipo de error puede ocurrir cuando, siendo H0 falsa, las evidencias de la muestra, sin embargo,nos lleven a aceptarla.

Este error, cometido al aceptar cuando esta es falsa, se denomina error de tipo II. Resumiendo:

SituacionH0 verdadera H1 verdadera (H0 falsa)

Mantener H0 Decision correcta Decision incorrecta:Probabilidad=1− α ERROR DE TIPO II

Decision Probabilidad=β

Rechazar H0 Decision incorrecta: Decision correctaERROR DE TIPO I Probabilidad=1− βProbabilidad=α

donde α es el nivel de significacion y 1− α es el nivel de confianza.Con esta notacion y utilizando probabilidades condicionadas:

α = p (Rechazar H0/H0es cierta) = p(Error de tipo I)

yα = p (Aceptar H0/H0es cierta)

Por otra parte:β = p (Aceptar H0/H0es falsa) = p(Error de tipo II)

y1− β = p (Rechazar H0/H0es falsa)

A la probabilidad 1− β se le denomina potencia del contraste.


5.4. Region crıtica y region de aceptacion

Sabemos ya formular la hipotesis nula y la hipotesis alternativa. Lo que necesitamos ahora esun criterio para saber si debemos aceptar una u otra, es decir, ¿con cual de las dos hipotesis nosquedamos?.

Al tener ya formulada la hipotesis nula, es necesario que las evidencias sean muy fuertes pararechazarla; es decir, puede que haya cambios debidos al azar, en cuyo caso el cambio no es significativo,y no cambiamos , pero puede que los cambios sean debidos a otras causas. En este ultimo caso es cuandoel cambio es significativo y rechazaremos.

Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es fijar un cierto intervalo dentro del cual es normalque haya cambios, es decir, una region tal que si el parametro se mantiene en dicho intervalo, nosseguimos quedando con H0, pues esas pequenas variaciones son debidas al azar. Ese intervalo o regionse denomina region de aceptacion, y sera mayor o menor dependiendo del nivel de confianza queprecisemos, 1− α.

La region que quede fuera de la region de aceptacion indica que en este caso los cambios no sepueden atribuir al azar, y por tanto hemos de rechazar H0 y aceptar H1. Tal region se llama regioncrıtica o de rechazo.

Llegados a este punto, hemos de distinguir entre dos tipos de contraste o test, que determinan laregion de aceptacion y la region de rechazo.

1. Contraste bilateral (o de dos colas): En este caso la region de rechazo o region crıticaesta formada por dos conjuntos de puntos disjuntos. Dicho caso se presenta cuando la hipotesisnula es del tipo H0 : µ = k (o bien H0 : p = k) y la hipotesis alternativa, por tanto, es del tipoH1 : µ = k (o bien H1 : p = k).

La region crıtica para un cierto nivel α serıa, en la N(0;1):

Figura 5.1: El intervalo (−zα2, zα

2) es la Region de Aceptacion. La region no sombreada es la Region

crıtica, formada por dos partes o colas.

Fijemonos en que el nivel de significacion α se concentra en dos partes (o colas) simetricasrespecto de la media.

La region de aceptacion en este caso no es mas que el correspondiente intervalo de probabilidadpara x o p, es decir: (

µ− zα2· σ√

n, µ+ zα

2· σ√

n

)

o bien: (p− zα

2·√

p · qn

, p+ zα2·√

p · qn

)

Las correspondientes regiones crıticas seran:(−∞, µ− zα

2· σ√

n

)∪(

µ + zα2· σ√

n,∞)

o bien (−∞, p− zα

2·√

p · qn

)∪(

p + zα2·√

p · qn

,∞)


2. Contraste unilateral (o de una cola): En este caso la region crıtica esta formada por unsolo conjunto de puntos.

Como se observa en las figuras, el nivel de significacion α se concentra solo en una parte o cola.

Este caso se presenta cuando la hipotesis nula es del tipo H0 : µ ≥ k (o bien H0 : p ≥ k) y lahipotesis alternativa, por tanto, es del tipo H1 : µ < k (o bien H1 : p < k).(Tambien si aparece≤)A nivel de confianza 1− α, las regiones serıan, en la N(0;1):

a) Unilateral por la derecha:

Figura 5.2: El intervalo (−∞, zα) es la Region de Aceptacion. La region no sombreada es la Regioncrıtica, formada por una partes o cola. El nivel α se concentra ahı.

La region de aceptacion en este caso sera:(−∞, µ+ zα ·

σ√n

)

o bien: (−∞, p + zα ·

√p · qn

)

Las correspondientes regiones crıticas seran:(

µ + zα ·σ√n

,∞)

o bien (p + zα ·

√p · qn

,∞)

b) Unilateral por la izquierda:

Figura 5.3: El intervalo (zα,∞) es la Region de Aceptacion. La region no sombreada es la Regioncrıtica, formada por una partes o cola. El nivel α se concentra ahı.

La region de aceptacion en este caso sera:(

µ− zα ·σ√n

,∞)


o bien (p− zα ·

√p · qn

,∞)

Las correspondientes regiones crıticas seran:(−∞, µ− zα ·

σ√n

)

o bien: (−∞, p− zα ·

√p · qn

)

En todos los casos, conociendo el nivel de confianza 1− α, tendremos que determinar el valor zα2

(para contrastes bilaterales) o bien zα (para contrastes unilaterales), que separa las regiones de rechazoy aceptacion.

Algunos de estos valores mas comunes se dan en la tabla adjunta, que en los bilaterales son losmismos que para intervalos de confianza o probabilidad, ya vistos con anterioridad:

Figura 5.4: Valores mas comunes para contrastes bilaterales y unilaterales derechos. Los correspon-dientes para los unilaterales izquierdos son negativos.

5.5. Etapas de la prueba de hipotesis

Los procedimientos seguidos en las pruebas de hipotesis correspondientes a las situaciones dedecision estadıstica se encuentran totalmente prefijados y se llevan a cabo en una serie de etapas quefacilitan su comprension, y que son:

1. Enunciar la hipotesis nula H0 y la alternativa H1.

Deben ser excluyentes entre sı. Analizar, una vez enunciadas, si el contraste es bilateral o unila-teral (Es bilateral si la hipotesis alternativa es del tipo = y unilateral si es del tipo > o <).

2. Determinar el valor zα2(para contrastes bilaterales) o bien zα (para contrastes unilaterales),

que separa las regiones de rechazo y aceptacion, a partir del nivel de confianza 1 − α o el designificacion α.


3. Determinar la distribucion que sigue el parametro muestral (x o p) y en base a ella y al valorobtenido en la etapa anterior, escribir las correspondientes regiones de aceptacion y rechazo.

4. Calcular el estadıstico usado en la prueba (en nuestro caso, calcular media muestral x o propor-cion muestral p, a partir de la muestra).

5. Aplicar el test,es decir, dependiendo de si el estadıstico cae en la region de aceptacion o derechazo, tomar la decision de aceptar una de las dos hipotesis.

A continuacion se ofrecen algunos ejemplos de problemas de test de hipotesis:

1. La vida media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una empresa es de1570 horas, una desviacion tıpica de 120 horas. Si es la vida media media de los tubos de dichaempresa, ¿se puede afirmar a nivel de significacion 0’05 que la duracion media de los tubos esde 1600 horas?.

Determinar los errores de tipo I y II

Etapa 1: Queremos saber si la duracion media de los tubos es de 1600 horas, es decir, que nuestrahipotesis nula es H0 : µ = 1600.

Por lo tanto, la hipotesis alternativa sera que la duracion no sea de 1600 horas, es decir, lahipotesis alternativa es H1 : µ = 1600.

Por tanto estamos ante un contraste bilateral.

Etapa 2: A nivel de significacion α = 0′05 =⇒ 1 − α = 0′95, y realizando el dibujo habitual(hacer como ejercicio), obtenemos que zα

2= z0′025 = 1′96.

Etapa 3: Determinemos la distribucion de la media muestral, x, teniendo en cuente que como ladesviacion tıpica de la poblacion no la conocemos, tomamos la muestral, que es s = 120, y portanto sabemos que la media muestral sigue una normal:

N

(1600;

120√100

)= N (1600; 12)

Por tanto la region de aceptacion sera el intervalo de probabilidad:

(1600− 120√

100, 1600+

120√100

)= (1600− 1′96 · 12, 1600+ 1′96 · 12) = (1576′48, 1623′52)

De modo que, Region de Aceptacion:(1576’48,1623’52)

Region de Rechazo: (−∞, 1576′48) ∪ (1623′52,∞)

Etapa 4: En la muestra se ha obtenido que x = 1570.

Etapa 5: Para aplicar el test, simplemente hemos de comprobar si el valor de esta dentro de laregion de aceptacion o de la de rehazo.

Como en este caso se observa que

1570 /∈ (1576′48, 1623′52)

es decir, 1570 no esta en la region de aceptacion, sino en la de rechazo.

Por tanto, hemos de rechazar que la media es 1600 (hipotesis nula) y aceptar la alternativa.

A este nivel de confianza no se puede afirmar que la duracion media de los tubos sea de 1600horas.

En cuanto a los errores:

Error de tipo I es afirmar que la duracion media no es de 1600 horas cuando en realidad sı lo es.

Error de tipo II es afirmar que la duracion media es de 1600 horas cuando en realidad no lo es.


2. Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fabrica, concluyo que el tiempo medio de duracionde un empleo en la misma era de 6’5 anos con una desviacion tıpica de 4. ¿Sirve esta afirmacionpara aceptar, con un nivel de significacion del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fabricaes menor o igual que 6? Justificar adecuadamente la respuesta.

El enunciado no puede ser mas claro a la hora de determinar las hipotesis nula y alternativa.Queremos comprobar si el tiempo medio de empleo en esa fabrica es menor o igual que 6, luegola hipotesis alternativa sera que dicho tiempo medio de empleo sea MAYOR que 6, es decir:

H0 : µ ≤ 6

o simplemente H0 : µ = 6 (lo que queremos comprobar) frente a:

H1 : µ > 6

Es claramente un contraste unilateral. La region de aceptacion sera(−∞, µ + zα

s√n

)

puesto que aceptamos todos los valores menores que un cierto tope. Notemos que concemos elvalor de s (en la muestra) y no el de σ, pero eso no inluye en la formula. La region de rechazo,por tanto, es: (

µ+ zαs√n

,∞)

Para calcular el nivel zα = z0′05, y por tanto z0′05 = 1′645. Ası pues, la region de aceptacion es,puesto que µ = 6 , s = 4 y n = 64, resulta ser, aproximadamente:

(−∞, 6′8225)

Y la region crıtica:(6′8225,∞)

Como en la muestra resulta que x = 6′5, que pertenece a la region de aceptacion, es decir,aceptamos la hipotesis nula, la media es de 6 anos, al 95% de confianza.

3. Un investigador, utilizando informacion de anteriores comicios, sostiene que, en una determinadazona, el nivel de abstencion en las proximas elecciones es del 40% como mınimo. Se elige unamuestra aleatoria de 200 individuos para los que se concluye que 75 estarıan dispuestos a votar.Determinar, con un nivel de significacion del 1%, si se puede admitir como cierta la afirmaciondel investigador.

Se trata ahora de un contraste de proporciones. La hipotesis a contrastar esta muy clara: Elinvestigador dice que el nivel de abstencion es de un 40% por lo menos, es decir, solo rechazaremossu hipotesis cuando la proporcion sea menor que este valor, es decir:

H0 : p ≥ 0′4

o simplemente H0 : p = 0′4 (lo que dice el investigador) frente a:

H1 : p < 0′4

(la proporcion de abstencion es menor)

Ası pues la region de aceptacion es:(

p− zα

√pq

n,∞)


Y la de rechazo: (−∞, p− zα

√pq

n

)

Para calcular el nivel zα = z0′01, y por tanto z0′01 = 2′33. Ası pues, la region de aceptacion es,puesto que p = 0′4 , q = 0′6 y n = 200, resulta ser, aproximadamente:

(0′3192,∞)

Y la region crıtica:(−∞, 0′3192)

Como en la muestra resulta que

p =125200

= 0′625

, los 125 que no votan de los 200 a los que se pregunta. Al 99% de confianza entonces, resultaque dicho valor en la muestra pertenece a la region de aceptacion, es decir,aceptamos la hipotesisnula y el investigador tiene razon, la abstencion sera, al menos del 40%.

Capıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES

6.1. Introduccion

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento dedatos, ası como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados basicamente en el siglo XIXpor matematicos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandes William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ambitos en los que se trabaja con datos regularmenteordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Economicas y Biologicas.

6.2. Matrices. Definicion y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de numeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

am1 am2 am3 . . . amn

︸︷︷︸Columnas de la matriz A

←←←←

Filas de la matriz A

Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos subındices. Elprimero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

Ası el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letrasmayusculas.

Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

A =(2 13 4

)B =

(√6 −4 01 2 1

)C =

3 1 02 −4 0−1 1

5

√2

1 0 0

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamano es 2 x 2.¿Que elemento es a21?.B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamano es 2 x 3.¿Que elemento es b23?.C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamano es 4 x 3.¿Que elemento es c42?.En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamano o dimension es m

x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

82

CAPITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES 83

6.3. Tipos de matrices

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

Por ejemplo,

A =(0 0 0 0 00 0 0 0 0

)

es una matriz nula de tamano 2x5.

2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimension es 1x n.

Por ejemplo, (1 0 −4 9

)es una matriz fila de tamano 1 x 4.

3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimension sera m x1, como por ejemplo:

C =

1

0−√8

es una matriz columna de tamano 3 x 1.

4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo numero de filas que de columnas, es decir sudimension es n x n. La matriz ( 2 1

3 4 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamano 2 x 2 osimplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

D =

1 2 3

6 5 4−3 −4 0

de orden 3.

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementosa11, a22, a33, . . . , ann, siendo la matriz:

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

an1 an2 an3 . . . ann

En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estarıa formada por 1, 5, 0.

Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11+a22 + a33 + . . .+ ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.

La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1.

En la matriz D estarıa formada por 3, 5, -3.

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son

nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.Son ejemplos de estas matrices:

E =

1 0 0 00 −4 0 03 4 5 01 3 16 −78

Triangular inferior

F =

1 4 1

30 9 −50 0 π

Triangular superior


Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, solo tiene elementos en la diagonal principal.Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.

Un ejemplo de matriz diagonal serıa:

G =

1 0 0 00 −45 0 00 0 3 00 0 0 0

Por ultimo, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidado identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamano de la matriz. Algunas matricesidentidad son:

I2 =(1 00 1

)I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

6.4. Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificarvalores numericos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todosellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por latabla siguiente:

2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0’04 0’08 0’12Color F 0’03 0’05 0’08

Sabiendo que en un ano se venden el siguiente numero de paquetes:

Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000

Resumir la informacion anterior en 2 matrices A y B, de tamano respectivo 2x3 y 3x2 que recojan lasventas en un ano (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la informacion anterior en dos matrices de tamano concreto. Si nos fijamosen las tablas, es sencillo obtener las matrices:

A =

2 ud 5 ud 10 ud(700000 600000 50000050000 40000 500000

)NF

B =

N F0′04 0′030′08 0′050′12 0′08

2 ud

5 ud10 ud

Estas matrices se denominan matrices de informacion, y simplemente recogen los datos numericos delproblema en cuestion.

Otras matrices son las llamadas matrices de relacion, que indican si ciertos elementos estan o norelacionados entre sı. En general, la existencia de relacion se expresa con un 1 en la matriz y la ausenciade dicha relacion de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informacion dada por un grafo y expresarlanumericamente.


En Matematicas, un grafo es una coleccion cualquiera de puntos conectados por lineas.Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo

mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nosfijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,de tal forma que:

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de lacolumna j mediante una linea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante unalinea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior sera:

ABC

D

A B C D0 1 0 10 0 1 01 0 0 00 0 0 0

Ejercicio1) Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2) Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

ABC

A B C0 1 01 0 10 0 0

A

BC

D

A B C D0 1 1 10 0 0 11 0 0 00 1 1 0


6.5. Operaciones con matrices

6.5.1. Suma y diferencia

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla.Para sumar o restar dos matrices del mismo tamano, se suman o restan los elementos que se encuentrenen la misma posicion, resultando otra matriz de igual tamano.

Por ejemplo: (2 1 3−4 2 1

)

2x3

−(2 0 43 2 5

)

2x3

=(

0 1 −1−7 0 −4

)

2x3

Si las matrices tienen diferente tamano, no se pueden sumar o restar entre sı.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:a) Conmutativa: A + B = B + Ab) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + Cc) Elemento neutro: La matriz nula del tamano correspondiente.d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Ejemplo:Si

A =

0 −1−4 −23 −9

3x2

=⇒ −A =

0 1

4 2−3 9

3x2

porque: 0 −1−4 −23 −9

3x2

+

0 1

4 2−3 9

3x2

=

0 00 00 0

3x2

Ejercicios:

1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 paıses A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los anos2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

A2000 =AB

C

X Y Z 11 6′7 0′514′5 10 1′220′9 3′2 2′3

A2001 =

AB

C

X Y Z13′3 7 115′7 11′1 3′221 0′2 4′3

Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos anos.

¿Cuantos millones ha exportado el paıs B al Z en total?

Calcula el incremento de las exportaciones del ano 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.

2. Calcula x, y, z en la suma:x− y −1 2

1 y −x0 z 2

+

y 0 z

−z 2 3−2 3 x

=

−1 −1 3

0 4 4−2 4 1

3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:(3− a b −24 −c + 1 6

)+(

2 a + b 41− c 2 0

)=(−1 a 22 0 6

)


6.5.2. Producto por un numero real

Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el producto k·A se realiza multiplicando todoslos elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamano. (Evidentemente la misma reglasirve para dividir una matriz por un numero real).

Por ejemplo:

−5 ·(

2 1 3−4 2 1

)

2x3

=(−10 −5 −1520 −10 −5

)

2x3

Propiedades:a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·Bb) Distributiva respecto de la suma de numeros: (k + d)·A= k·A + d·Ac) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·Ad) Elemento neutro, el numero 1: 1·A=A

Ejercicios:

1. Si A =(1 10 1

)y B =

(−1 00 2

), halla una matriz X que verifique la ecuacion:

2 ·X − 4 · A = B

2. Determina las matrices X y Y sabiendo que:3X − 5Y =

(1 −28 1

)

−X + 3Y =(2 43 0

)

6.5.3. Trasposicion de matrices

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matrizque resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Por ejemplo, si A =(

2 1 0 7−3 4 2 1

), entonces la matriz traspuesta de A es:

At =

2 −31 40 27 1

Evidentemente, si A es una matriz de tamano m x n, su traspuesta At tendra tamano n x m, pues elnumero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendra el mismo tamano.

Propiedades:a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.b) (A+ B)t = At +Bt

c) (k · A)t = k ·At

En base a esta nueva operacion, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:

Matriz simetrica, que es aquella para la que se cumple que At = A, por ejemplo la matriz:

A =

2 1 31 0 −23 −2

√7


es simetrica (compruebalo).En una matriz simetrica, los elementos son simetricos respecto a la diagonal principal.

Ejercicio: ¿Puede ser simetrica una matriz que no sea cuadrada?¿Por que?.

Matriz antisimetrica, es aquella para la que se cumple que At = −A.Por ejemplo:

B =

0 1 3−1 0 −2−3 2 0

es antisimetrica (comprueba).En una matriz antisimetrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por que?),

y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

Ejercicios:

1. Dadas las matrices A =

1 3 31 4 31 3 4

y B =

1 1 2

2 0 −1−6 −1 0

calcula 3At −Bt.

2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:

a)

2X − 3Y =

(1 54 2

)

X − Y =(−1 03 6

) b)

X + Y =(2 13 0

)

X − Y =(6 20 1

) c)

2X + Y =

(3 10 −2

)

X + 2Y =(

1 0−2 4

)

6.5.4. Producto de matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dosmatrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condicion:

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condicion indispensable que el numerode columnas de A sea igual al numero de filas de B”

Si no se cumple esta condicion, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es unacondicion que debemos comprobar previamente a la propia multiplicacion.

Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es unamatriz n x p (observemos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el productoA·B da como resultado una matriz C de tamano n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicandolos elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

Veamoslo mediante un ejemplo:Para multiplicar las matrices:

A =(−3 2 1 42 5 3 −2

)

2x4

y B =

0 −4 11 −2 12 0 23 2 1

4x3

primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y elnº de filas de B tambien es 4, y el resultado, segun lo dicho sera una matriz de tamano 2 x 3, tiene 2


filas y 3 columnas:

(−3 2 1 42 5 3 −2

)

2x4

·

0 −4 11 −2 12 0 23 2 1

4x3

=(

)

2x3

Solo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1

de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

(−3) · 0 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 3 = 0 + 2+ 2 + 12 = 16

El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 deA y la columna 2 de B y sumar:

(−3) · (−4) + 2 · (−2) + 1 · 0 + 4 · 2 = 12− 4 + 0 + 8 = 16

El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 deA y la columna 3 de B y sumar:

(−3) · 1 + 2 · 1 + 1 · 2 + 4 · 1 = −3 + 2 + 2 + 4 = 5

Ası sucesivamente se obtienen (comprueba):(16 16 55 −22 11

)

2x3

Ejercicios:

1. Para las matrices A y B anteriores, calcula B·A

2. Si A =(

1 −3−2 6

), B =

(3 −52 1

), calcula si es posible A·B y B·A. ¿Coinciden?.

3. Lo mismo si A =

1 −10 −24 1

, B =

(3 0 21 −1 5

).

4. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:

A =

1 2 31 1 10 2 −1

B =

121

C =

(2 1 03 4 5

)

Ademas, calcula A2 y A3.

5. Para las matrices

A =(1 −1 24 0 −3

)B =

(0 3 4−1 −2 3

)C =

2 3 0 1−5 1 4 −21 0 0 −3

D =

213

calcula:

A +B, 3A− 4B, A ·B, A ·D, B · C, C ·D, At · C, Dt · At, Bt ·A, Dt ·D, D ·Dt


Propiedades del producto de matricesa) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·Cb) Distributiva respecto de la suma:

A · (B +C) = A ·B + A · C

(B +C) · A = B · A + C · A

c) Elemento neutro, la matriz identidad correpondiente, si A es m x n:

A · In = A

Im · A = A

d) En general el producto de matrices no es conmutativo

A · B = B · A

Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta es una propiedad muy importante.e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

(2 1 30 2 1

)

2x3

·

5

2−4

3x1

=(00

)

2x1

Se dice que el conjunto de las matrices con la operacion producto tiene divisores de cero, es decir, haymatrices no nulas cuyo producto es nulo.

Ejercicios:

1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes,que son ciertas para las operaciones con numeros reales?:

a) (A +B)2 = A2 + B2 + 2 · A · Bb) (A−B)2 = A2 +B2 − 2 · A · Bc) (A+ B) · (A− B) = A2 − B2

2. Determina los valores de a y b de la matriz A =(2 −1a b

)para que A2 = A.

3. ¿Que matrices conmutan con la matriz(1 20 1

)?.

6.6. La matriz inversa

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operacion.Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicacion de dos matrices,

y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicacion, en general no es conmutativo,es decir A·B es distinto de B·A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro quepodemos efectuar los productos A·B y B·A, que daran como resultado otra matriz del mismo orden,aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes seran, en general, distintas.

Sabemos tambien que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.Por analogıa con el caso de los numeros reales, podemos plantearnos la siguiente cuestion:


Si tenemos un numero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 parael producto, es decir un numero real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elementoneutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los numeros reales es bien facil despejar x para obtener, en nuestro

caso, que x =12, es decir, el inverso de un numero real es otro numero que multiplicado por el da el

elemento neutro, el 1.Todo numero real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n,cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal que

A ·X = In

es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los numeros reales:

1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X =In

A, porque no hemos definido la division de

matrices.2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogıa

con los numeros).Definamos, en primer lugar, el termino de matriz inversa:

Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que esno singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de Ay representada por A−1 y tal que:

A · A−1 = In

yA−1 · A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es unica (solo hay una). Para calcular dicha matriz

inversa, podemos utilizar dos vıas:

6.6.1. Metodo directo:

Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos

determinar la inversa de la matriz A =(

1 2−1 1

), lo que estoy buscando es otra matriz de igual tamano

(orden 2) tal que A ·A−1 = I2 y A−1 · A = I2, es decir, si A−1 =(

x y

z t

), se tiene que cumplir que :

A · A−1 = I2 =⇒(

1 2−1 1

)·(

x yz t

)=(1 00 1

)=⇒

(x + 2z y + 2t−x + z −y + t

)=(1 00 1

)

x + 2z = 1y + 2t = 0−x + z = 0−y + t = 1

Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas, aunque en realidad son 2sistemas de dos ingonitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).

Resolviendo el sistema se obtiene que

x =13, y =

−23

, z =13, t =

13


por lo que la matriz inversa es:

A−1 =(

13

−23

13

13

)=

13·(1 −21 1

)

Se puede comprobar que tambien se cumple que A−1 · A = I2, luego A es invertible, tiene inversa. Siel sistema no tiene solucion, la matriz no tiene inversa.

Por ejemplo, en el caso en que A =(1 12 2

), del mismo modo :

A · A−1 = I2 =⇒(1 12 2

)·(

x y

z t

)=(1 00 1

)=⇒

(x + z y + t

2x+ 2z 2y + 2t

)=(1 00 1

)

x + z = 1y + t = 0

2x + 2z = 02y + 2t = 1

Y por ejemplo de 2x+2z=0 se obtiene x = -z, si se sustituye en la primera ecuacion es -z+z=1, esdecir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solucion.

Por tanto A no es invertible, es singular.Este metodo directo solo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamano 2, puesto que para

las de tamano 3 obtenemos un sistemas de ¡9 ecuaciones con 9 incognitas! que realmente es difıcil deresolver.

6.6.2. Metodo de Gauss-Jordan:

Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener lamatriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a lamatriz A−1.

Se llama transformacion elemental en una matriz a:T1) Multiplicar o dividir una fila por un numero real distinto de cero.T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un numero real no nulo.T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sı.

Veamos como se realiza el metodo de Gauss-Jordan, realizandolo a la vez con la matriz(

1 2−1 1

).

i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente . En nuestro caso:

(A|I2) =(

1 2−1 1

∣∣∣∣ 1 00 1

)

ii) Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal)usando transformaciones elementales en filas.

La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la primeracolumna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segundacolumna usando la fila 2, y ası sucesivamente.

En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

(A|I2) =(

1 2−1 1

∣∣∣∣ 1 00 1

)F2+F1−−−−→

(1 20 3

∣∣∣∣ 1 01 1

)

iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendoceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:


Hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la ultima columna usando la ultima fila. Lue-go, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la penultima columna usando la penumtimafila, y ası sucesivamente. En nuestro caso:(

1 20 3

∣∣∣∣ 1 01 1

)3·F1−2·F2−−−−−−→

(3 00 3

∣∣∣∣ 1 −21 1

)

iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo unico que falta es dividir a cada fila entre el numeroadecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en laparte izquierda: (

3 00 3

∣∣∣∣ 1 −21 1

) F13

,F23−−−−→(1 00 1

∣∣∣∣13

−23

13

13

)

v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa,es decir, llegamos a:

(I2, A−1) =

(1 00 1

∣∣∣∣13

−23

13

13

)=⇒ A−1 =

(13

−23

13

13

)=

13·(1 −21 1

)

matriz que habıamos obtenido antes por el metodo directo.Si al realizar el metodo de Gauss-Jordan en algun momento alguna fila es de ceros, la matriz no

tiene inversa.Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este metodo frente al directo.Veamos otro ejemplo:

Calcular la inversa de la matriz B =

1 1 0−1 1 21 0 1

por el metodo de Gauss-Jordan.

Siguiendo los pasos anteriores:

(B|I3) =

1 1 0−1 1 21 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

F2+F1−−−−→

1 1 00 2 21 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 00 0 1

F3−F1−−−−→

1 1 00 2 20 −1 1

∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 0−1 0 1

2·F3+F2−−−−−→

1 1 00 2 20 0 4

∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 0−1 1 2

2·F2−F3−−−−−→

1 1 00 4 00 0 4

∣∣∣∣∣∣1 0 03 1 −2−1 1 2

4·F1−F2−−−−−→

4·F1−F2−−−−−→

4 0 00 4 00 0 4

∣∣∣∣∣∣1 −1 23 1 −2−1 1 2

F1

4,F24

,F34−−−−−−→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣14

−14

24

34

14

−24−1

414

24

= (I3|B−1)

=⇒ B−1 =

14

−14

12

34

14

−12−1

414

12

Tambien se puede expresar, sacando factor comun:

B−1 =14·

1 −1 2

3 1 −2−1 1 2

es la inversa de B.

Si calculamos por este metodo la inversa de A =(1 12 2

)resulta:

(A|I2) =(1 12 2

∣∣∣∣ 1 00 1

)F2−2·F1−−−−−→

(1 10 0

∣∣∣∣ 1 0−2 1

)

Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

Ejercicios:


1. Calcular por el metodo de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:

A =

1 2 −33 2 −42 −1 0

B =

−2 1 4

0 1 21 0 −1

2. Dada la matriz diagonal D =

3 0 00 −2 00 0 5

calcula su inversa. ¿Como calcularıas de forma

rapida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?.

6.7. Rango de una matriz

Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de ran-go se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no seintroducira de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.

Baste saber que se define el rango de una matriz como el numero maximo de filas o columnaslinealmente independientes.

Sin embargo, el calculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizandoel metodo de Gauss.

Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el metodo de Gauss con elfin de simplificarla lo mas posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor numero de ceros posible),realizando operaciones elementales en filas.

Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rg(A) al numero de filas no nulas dela matriz tras aplicarle el metodo de Gauss.

Ejemplo: Calcular el rango de las siguientes matrices:

A =(1 12 2

)B =

(0 31 1

)C =

1 1 0

2 1 1−1 1 −2

D =

(2 4 6−1 −2 −3

)

a)(1 12 2

)F2−2·F1−−−−−→

(1 10 0

), Rg(A)=1 ,solo una fila distinta de cero.

b)(0 31 1

)F2F1−−−−→

(1 10 3

), Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.

c)

1 1 0

2 1 1−1 1 −2

F2−2·F1−−−−−→

1 1 0

0 −1 1−1 1 −2

F3+F1−−−−→

1 1 00 −1 10 2 −2

F3+2·F2−−−−−→

1 1 00 −1 10 0 0

Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas.

d)(

2 4 6−1 −2 −3

)2·F2+F1−−−−−→

(2 4 60 0 0

), Rg(D)=1, solo una fila no nula.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor oigual que el numero de filas de la matriz.

De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su numero defilas y de columnas, pues el proceso para hacer el metodo de Gauss se puede hacer indistintamentemediante operaciones elementales en filas o en columnas.

Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre que valores va a estar ese rango.Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango solo puede ser 0, 1, 2 o 3,

no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango solo puede ser 0,1 o 2. (De hecho,

podemos reducir esto algo mas , pues una matriz solo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:


Propiedad: Si A es una matriz de tamano m x n no nula se cumple que:

1 ≤ Rg(A) ≤ minm, n

Ejemplo: Calcular en funcion de k el rango de la matriz:

A =(1 1 23 3 k

)

Aplicando Gauss,

A =(1 1 23 3 k

)F2−3·F1−−−−−→

(1 1 20 0 k − 6

)

Ahora es evidente que si k-6=0, la ultima fila es nula. Por tanto, si k=6, la ultima fila es nula y elrango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k-6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:

Si k = 6, entonces Rg(A)=2Si k=6, entonces Rg(A)=1

La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa vistoanteriormente:

Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ Rg(A) es maximo.

Ejercicios:

1. Calcula el rango de A segun los valores de k: A =

1 −2 11 1 35 −1 k

.¿Para que valores de k tiene A

inversa?.

2. Calcula el rango de las matrices:

A =(1 0 12 1 0

)B =

0 2 11 0 −10 4 2

C =

2 −1 1 10 0 1 02 1 1 10 0 0 1

D =

2 1 5 −1 8−1 2 3 4 51 3 10 11 13

6.8. Determinantes

Introduciremos a continuacion el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Esteconcepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el calculo del rango o de la matrizinversa.

Definicion:Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien

|A|, como el numero:

det(A) = |A| =∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21

Ejemplos: El calculo de los determinantes de orden 2 es bien sencillo, por ejemplo:


a)∣∣∣∣ 1 3−1 4

∣∣∣∣ =1·4-(-1)·3=4+3=7.b)∣∣∣∣−2 −32 5

∣∣∣∣ =-10+6=-4.

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamentealgunos conceptos.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento deA,aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la quese encuentra dicho elemento aij . Se representa por Mij.

Ejemplo: En la matriz A =

−2 4 5

6 7 −33 0 2

, los menores complementarios de cada uno de los

elementos de la primera fila son:

Menor complementario de -2:M11 =∣∣∣∣7 −30 2

∣∣∣∣ =14-0=14.Menor complementario de 4:M12 =

∣∣∣∣6 −33 2

∣∣∣∣ =12+9=21.Menor complementario de 5:M13 =

∣∣∣∣6 73 0

∣∣∣∣ =0-21=-21.Y ası sucesivamente.

Ejercicio: Obtener los restantes menores complementarios de los elementos de la matriz A.

Estrechamente ligado al concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz.Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el

numero:Aij = (−1)i+j ·Mij

es decir, no es mas que el menor complementario correspondiente acompanado de un signo mas omenos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuestion.

Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son:Adjunto de -2:A11 = (−1)1+1 ·M11 = 1 · 14 = 14 (coincide con el menor complementario)Adjunto de 4:A12 = (−1)1+2 ·M12 = (−1) · 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado)Adjunto de 5:A13 = (−1)1+3 ·M13 = 1 · −21 = −21 (coincide con el menor complementario).

Ejercicio: Obtener los restantes adjuntos de los elementos de la matriz A.

En general puede saberse si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no utilizandouna sencilla regla grafica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices:

+ − +− + −+ − +

+ − + −− + − ++ − + −− + − +

donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el - indica que tienen signocontrario.

Una vez vistos estos conceptos se puede definir ya:

Definicion: Dada una matriz cuadrada A de tamano n se define su determinante como la suma


del producto de los elementos de una linea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por suscorrepondientes adjuntos.

Se puede demostrar, aunque dicha demostracion excede los contenidos del curso, que el valor deldeterminante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.

Ejemplo: Para la matrizA =

−2 4 5

6 7 −33 0 2

,aplicando la definicion, si elegimos la fila tercera queda:

det(A) = 3 ·∣∣∣∣4 57 −3

∣∣∣∣+ 0 ·(−∣∣∣∣−2 56 −3

∣∣∣∣)+ 2 ·

∣∣∣∣−2 46 7

∣∣∣∣ == 3 · (−12− 35) + 0 · (−(6− 30)) + 2 · (−14− 24) = −141 + 0− 76 = −217

Si hubiesemos elegido otra fila o columna, por ejemplo la columna 2, quedarıa:

det(A) = 4 ·(−∣∣∣∣6 −33 2

∣∣∣∣)+ 7 ·

∣∣∣∣−2 53 2

∣∣∣∣+ 0 ·(−∣∣∣∣−2 56 −3

∣∣∣∣)=

= 4 · (−(12 + 9)) + 7 · (−4− 15) + 0 · (−(6− 30)) = −84− 133 + 0 = −217

Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que tu elijas los determinantes de las matrices:1 8 11 7 01 6 −1

3 4 −62 −1 15 3 −5

7 8 00 −7 31 0 1

0 3 1−2 0 23 4 0

1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1

1 2 3 42 1 3 13 1 4 33 4 1 2

1 0 −1 22 3 2 −22 4 2 13 1 5 −3

6.9. La regla de Sarrus

La definicion de determinante es bastante engorrosa y se hace mucho mas pesada a medida queaumenta el orden de la matriz A.

En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el calculo de dichos determi-nantes.

Si la matriz es A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, entonces el determinante de A se calcula mediante la resta

de dos expresiones obtenidas del siguiente modo:Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:- Los elementos de la diagonal principal,a11 · a22 · a33.- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la

esquina inferior izquierda:a12 · a23 · a31.- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la

esquina superior derecha:a21 · a32 · a13.


Graficamente:

Figura 6.2: Sumandos positivos

Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:- Los elementos de la diagonal secundaria,a13 · a22 · a31.- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la

esquina inferior derecha: a12 · a21 · a33.- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la

esquina superior izquierda: a32 · a23 · a11.Graficamente:

Figura 6.3: Sumandos negativos

Y entonces det (A)= Sumandos positivos - Sumandos negativos.Por ejemplo, en el caso de la matriz anterior:

A =

−2 4 5

6 7 −33 0 2

, se tiene que aplicando la regla de Sarrus:det(A)=(-2)·7·2+4·3·(-3)+6·5·0-(3·7·5+0·(-2)·(-3)+6·4·2)=-28-36-105-48=-217.

Ejercicio: Comprobar, mediante la regla de Sarrus, los determinantes de orden 3 obtenidos en elejercicio anterior.

6.10. Propiedades de los determinantes

Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostracion,son:

1. Si una matriz tiene una linea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.

Esta propiedad es evidente, puesto que por definicion de determinante, basta elegir dicha lineapara desarrollar y el determinante sera 0.


2. Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo.

3. Si permutamos dos lineas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo,por ejemplo: ∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 91 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −53 −2 −8 12 4 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= −91

4. Si multiplicamos todos los elementos de una linea de un determinante por un numero, el deter-minante queda multiplicado por ese numero. Por ejemplo:

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 91 =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −32 6 4 −102 4 3 13 −2 −8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 182

pero

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 4 −62 6 4 −104 8 6 26 −4 −16 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 16 · 91 = 1456

5. Si a una linea de una matriz se le suma otra linea multiplicada por un numero, el determinanteno cambia.

Esta propiedad permite utilizar un metodo mas sencillo para calcular determinantes de ordenmayor que 3.

6. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,

|A| = |At|

7. Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que:

det(A−1) =1

det(A)

Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso deorden 3 si la matriz es compleja, es el metodo de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinanteno varıa al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas,como indica la propiedad5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad.

Ası pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna ydesarrollar por dicha fila o columna, porque entonces solo tendremos que calcular un adjunto. Porejemplo, si calculamos:

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −52 4 3 13 −2 −8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣F3−2·F2=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 113 −2 −8 1

∣∣∣∣∣∣∣∣F4−3·F2=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 −31 3 2 −50 −2 −1 110 −11 −14 16

∣∣∣∣∣∣∣∣=

Desarrollando por la columna 1

= 1 ·

−

∣∣∣∣∣∣1 2 −3−2 −1 11−11 −14 16

∣∣∣∣∣∣ =

= −(−16− 242− 84− (−33− 154− 64)) = 91


Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puestoque no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.

Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:

C =

∣∣∣∣∣∣1 2 30 1 24 1 5

∣∣∣∣∣∣mediante la regla de Sarrus es:

det(C)=5+16+0-(12+2+0)=21-14=7.Si hiciesemos ceros en la primera columna, y desarrollasemos nos deberıa dar lo mismo. Ahora

bien,podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:∣∣∣∣∣∣1 2 30 1 24 1 5

∣∣∣∣∣∣F3−4·F1=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 1 20 −7 −7

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ 1 2−7 −7

∣∣∣∣ = −7 + 14 = 7.

lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna serıa un errorhacer: ∣∣∣∣∣∣

1 2 30 1 24 1 5

∣∣∣∣∣∣4·F1−F3−→

∣∣∣∣∣∣0 7 70 1 24 1 5

∣∣∣∣∣∣ = 4 ·∣∣∣∣7 71 2

∣∣∣∣ = 4 · (14− 7) = 28.

no obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un numero y eso altera elvalor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo,puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.

6.11. Relacion entre la inversa y los determinantes

Hay una estrecha relacion entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho severifica que:

Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| = 0.Ademas, en este caso, la matriz inversa de A, A−1 se calcula de la manera:

A−1 =(Adj(A)t

|A|

donde Adj(A) denota lamatriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elementode A por su adjunto.

Ejemplo: Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =

1 0 −1

0 1 −3−1 1 0

.

En primer lugar,|A|=

∣∣∣∣∣∣1 0 −10 1 −3−1 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 0 + 0 + 0− (1− 3 + 0) = 2 y por tanto A tiene inversa.

Calculando Adj(A), se obtiene:

Adj(A) =

∣∣∣∣1 −31 0

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 0 −3−1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 1−1 1

∣∣∣∣−∣∣∣∣0 −11 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −1−1 0

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 0−1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −11 −3

∣∣∣∣ −∣∣∣∣1 −10 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣

=

3 3 1−1 −1 −11 3 1


Por tanto,

(Adj(A)t) =

3 −1 13 −1 31 −1 1

Y entonces, se obtiene:

A−1 =

32

−12

12

32

−12

32

12

−12

12

Ejercicio: Calcular la inversa anterior por el metodo de Gauss.

6.12. Aplicacion de los determinantes al calculo del rango

Los determinantes tambien proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matrizcualquiera.

Un definicion alternativa de rango de una matriz es:El Rango de una matriz A es el tamano del mayor menor complementario no nulo que este incluido

dentro de la matriz.Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:

A =(1 12 2

)B =

(0 31 1

)C =

1 1 0

2 1 1−1 1 −2

D =

(2 4 6−1 −2 −3

)

a) Solo hay un menor de orden 2, que es:∣∣∣∣1 12 2

∣∣∣∣ = 0

Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo |1| = 1, que esno nulo,luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tamano de dicho menor complementario).

b) Solo hay un menor de orden 2, que es:∣∣∣∣0 31 1

∣∣∣∣ = 0− 3 = −3

Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg(B)=2 (el tamano de dicho menor complementario).c) Solo hay un menor de orden 3, que es:

∣∣∣∣∣∣1 1 02 1 1−1 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −2− 1 + 0− (0 + 1− 4) = −3 + 3 = 0

Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3.Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:

∣∣∣∣1 01 1

∣∣∣∣ = 1

resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tamano de dicho menor complementario).d) El menor mas grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:

∣∣∣∣ 2 4−1 −2

∣∣∣∣ = −4 + 4 = 0∣∣∣∣ 2 6−1 −3

∣∣∣∣ = −6 + 6 = 0∣∣∣∣ 4 6−2 −3

∣∣∣∣ = −12 + 12 = 0


Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo |6| = 6 = 0, es nonulo, luego el rango es Rg(D)=1.

Ejercicio Calcula,utilizando los determinantes, el rango de las matrices:

A =(1 0 12 1 0

)B =

0 2 11 0 −10 4 2

C =

2 −1 1 10 0 1 02 1 1 10 0 0 1

D =

2 1 5 −1 8−1 2 3 4 51 3 10 11 13

Capıtulo 7

SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

7.1. Introduccion

Se denomina ecuacion lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,las incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sı, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuacion lineal con tres incognitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incognitas representan una recta en el plano.Si la ecuacion lineal tiene 3 incognitas, su representacion grafica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representacion grafica de la recta −x+ 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto devarias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,o geometricamente representan la misma recta o plano.

109

CAPITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 110

7.2. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · ·+ a1n · xn = b1

a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · ·+ a2n · xn = b2...

am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · ·+ amn · xn = bm

En este caso tenemos m ecuaciones y n incognitas.Los numeros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incognitas (o numeros a

determinar) y bj se denominan terminos independientes.En el caso de que las incognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2

, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver elsistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incognitas para que se cumplan TODAS las ecuacionesdel sistema simultaneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

7.3. Expresion matricial de un sistema

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....


m x n

·

x1

x2...

xn

n x 1

=

b1

b2...

bm

m x 1

La matrizA =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....


se llamamatriz de coeficientes, la matrizX =

x1

x2...

xn

se llama matriz de incognitas, y la matriz B =

b1

b2...

bm

se llama matriz de terminos independientes.

La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

(A|B) =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....


∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b1

b2...

bm

se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) o bien por A∗.

Ejemplo: El sistema:x+ y − z = 5

x+ y = 72x+ 2y − z = 12

escrito matricialmente es:

1 1 −11 1 02 2 −1

·

x

yz

=

5

712


y la matriz ampliada es:

(A|B) =

1 1 −11 1 02 2 −1

∣∣∣∣∣∣5712

7.4. Tipos de sistemas

En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los numeros reales R. Dependiendo delposible numero de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos de pueden clasificar en:

* INCOMPATIBLES (No tienen solucion)→ S.I.

* COMPATIBLES (Tienen solucion)

* DETERMINADOS (Solucion unica)→ S.C.D.* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

7.5. Sistemas con dos incognitas

Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay dos incognitas y 2 ecuaciones, y que yason conocidos de cursos pasados.

Hay varios sistemas para resolverlos, los mas habituales:* Reduccion* Igualacion* Sustitucionen los que ya no nos entretendremos.

Como cada ecuacion lineal con 2 incognitas se interpreta geometricamente como una recta, el estudiode la solucion del sistema se limita a estudiar la posicion de 2 rectas en el plano.

Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el

sistema:x+ 2y = −3−2x+ y = 1

.

Por reduccion:

2x+4y=-6-2x+ y=1

5y=-5

de donde y = -1 y sustituyendo x + 2·(-1) = -3, x = -1.Es decir, la solucion del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible

y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Figura 7.2: Solucion del sistema, punto (-1,-1)


Resolver e interpretar el sistema:x+ 2y = −3−2x− 4y = 5

.

Por igualacion:x = −3− 2y

x =5+ 4y−2

de donde:

−3− 2y =5+ 4y−2 =⇒ 4y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1

lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solucion, es un sistema incompatible y portanto las rectas son paralelas. Geometricamente:

Figura 7.3: Sistema sin solucion. Rectas paralelas

Resolver e interpretar el sistema:x+ 2y = −33x+ 6y = −9

.

Por sustitucion, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, portanto 0y = 0, 0 = 0.

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones,es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Figura 7.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden

Lo expresaremos ası. Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.Ası si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la solucion como:

x = −2λ− 3y = λ

siendo λ ∈ R

y como λ puede ser cualquier numero real, hay infinitas soluciones.Estos son los unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos incognitas, y su interpretacion

geometrica.


Ejercicio: Estudiar la solucion de los siguientes sistemas e interpretarla geometricamente:

a)

x+ y = 52x− y = 7

b)2x+ y = 13x+ 2y = 4

c)

x+ 2y = 3x − y = 4

7.5.1. Discucion de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incognitas

Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,

ax+ 3y = 52x− y = 6

, no estamos

ante un solo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema sera distinto enfuncion del valor que tome dicha letra (llamada parametro).

Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que sepueden dar. Por ejemplo , por reduccion:

ax+3y=56x-3y=18

ax+6x =23

por tanto, x(6+a) = 23. Entonces, si 6+a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemosuna ecuacion del tipo 0 = 23, es decir, imposible.

Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.

En cualquier otro caso, podemos despejar x,x =23

6 + a, y se puede sacar y sustituyendo, por tanto,

si a = −6, el sistema es compatible determinado.

Ejercicio: Discutir los sistemas en funcion del parametro desconocido:

a)

x+ y = 5ax+ 2y = 10

b)

ky + x =

12

y − 3x = 5

7.6. Sistemas de 2 incognitas y 3 ecuaciones

Podemos anadir a los clasicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incognitas cuantas ecuaciones queramospara obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o mas ecuaciones.

En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos resenados anteriormente.Al aumentar el numero de ecuaciones, la resolucion del sistema por alguno de los tres metodos

clasicos se vuelve mas farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido metodo de Gauss paradeterminar el tipo de sistema.

Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada,que tendra 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos.

Analizaremos tan solo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incognitas.La matriz ampliada generica es:

(A|B) =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣∣b1

b2

b3

Aplicar el metodo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de lamatriz para obtener la matriz escalonada siguiente:

(A|B) =

a11 a12

0 a∗22

0 0

∣∣∣∣∣∣b1

b∗2b∗3

Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema)eran:


T1) Multiplicar o dividir una fila por un numero real distinto de cero.T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un numero real no nulo.T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sı.Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al pri-

mero, es decir, tienen las mismas soluciones.Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31, utilizando

tambien la fila 1, y por ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo analogo al metodo deGauss-Jordan para la inversa.

Ademas, es conveniente en cada paso indicar la operacion realizada con las filas, poniendo enprimer lugar aquella que se va a sustituir por otra.

Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes:

1. a∗22 = 0. Entonces hay dos posibilidades:

a) b∗3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuacion del tipo 0=k), sin solucion.Geometricamente, puede ocurrir que:a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triangulo).

b) b∗3 = 0. Aparece una ecuacion 0=0 que no influye en la resolucion del sistema, que redu-cido a las dos ecuaciones iniciales tiene solucion unica, es decir, el Sistema es CompatibleDeterminado.Geometricamente:a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.

2. a∗22 = 0. Entonces hay tres posibilidades:

a) Si b∗2 = b∗3 = 0, aparecen dos ecuaciones 0=0, que no influyen en la resolucion del siste-ma, que ahora tiene infinitas soluciones (1 ecuacion y dos incognitas). Sistema compatibleindeterminado.


Geometricamente, las tres rectas coinciden (son la misma):

b) Si b∗2 = 0, b∗3 = 0 o bien b∗2 = 0, b∗3 = 0, aparece una ecuacion 0=0 (que no influye) y otra0=k (que es imposible). El sistema es incompatible.Geometricamente:a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta.b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.

c) Si b∗2 = 0, b∗3 = 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible.Geometricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.

En cada uno de los casos, para determinar la posicion concreta de las rectas, basta representarlas.

Ejemplo Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretacion geometrica:

−x+ 2y = 53x+ y = 72x+ 3y = 12


A partir de la matriz ampliada y aplicando el metodo de Gauss, obtenemos:

(A|B) =

−1 2

3 12 3

∣∣∣∣∣∣5712

F2+3F1−−−−−→

F3+2F1

−1 2

0 70 7

∣∣∣∣∣∣52222

F3−F2−−−−→

−1 2

0 70 0

∣∣∣∣∣∣5220

En este caso aparece una ecuacion 0=0 que no influye y el elemento a∗22 es no nulo. El sistema escompatible determinado, tiene solucion unica.

Geometricamente, puede ocurrir que:a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.Resolviendo y dibujando, obtenemos:

−x+ 2y = 57y = 22

De donde y =227

y sustituyendo es x =97(compruebalo).

Dibujando las rectas:

Figura 7.5: Solucion del sistema. Las tres rectas se cortan en un punto: P=(97,227

)

se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto solucion del sistema: P =(97,227

).

Ejerciciosa) Resuelve e interpreta geometricamente los sistemas:

a)

x+ y = 0−x + y = 2x+ 3y = −2

b)

x− y = −2x+ 2y = 1

4x− 10y = −14c)

2x+ y = 2−x+ y = −3

y = −2xb) Discute y resuelve en funcion del parametro:

a)

x− y = 1x+ 2y = −12x+ my = 0

b)

2x+ y = 3−x+ 3y = 0mx+ 4y = 3


7.7. Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incognitas

Cuando los sistemas tienen mas de dos ecuaciones y tres o mas incognitas se utilizara el ya conocidometodo de Gauss.

Ahora partiremos de la matriz ampliada:

(A|B) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣b1

b2

b3

para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:a11 a12 a13

0 a∗22 a∗23

0 0 a∗33

∣∣∣∣∣∣b1

b∗2b∗3

utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en ocasiones anteriores.Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del numero de soluciones son los resenados

en apartados anteriores.Al aplicar el metodo de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determi-

nado, tiene solucion unica.* Si se obtiene una o mas filas en las que todos los elementos sean cero, el sistema tiene infinitas

soluciones, y hay que despejar una o varias incognitas en funcion de otras, es un sistema compatibleindeterminado.

* Si se obtiene una o mas filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al termino independiente,que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuestion corresponderıa a una ecuaciondel tipo 0 = k , lo que es imposible, el sistema no tiene solucion y por tanto es incompatible.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo Resolver por el metodo de Gauss:

2x+ y − z = 11x− 3y = −20

4x+ 2y + 5z = 8.

La matriz ampliada es (A|B) =

2 1 −11 −3 04 2 5

∣∣∣∣∣∣11−208

. Aplicando el metodo de Gauss:

2 1 −11 −3 04 2 5

∣∣∣∣∣∣11−208

2F2−F1−−−−−→

F3−2F1

2 1 −10 −7 10 0 7

∣∣∣∣∣∣11−51−14

=⇒

2x+ y − z = 11−7y + z = −51

7z = −14

obtenemos un sistema escalonado, que es compatible y determinado, pues podemos despejar z,obteniendo z = −2, y luego −7y − 2 = −51, de donde −7y = −49 es decir y = 7 y sustituyendo en laprimera ecuacion es 2x+ 7 + 2 = 11, luego 2x = 2 , es decir x = 1.

La solucion es (1, 7,−2).Este proceso de resolucion, que comienza calculando z y permite calcular las demas incognitas

sustituyendo en las ecuaciones anteriores se denomina sustitucion regresiva.

7.7.1. Interpretacion geometrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incognitas

Como cada ecuacion lineal con 3 incognitas corresponde a un plano en el espacio, la solucion delsistema correspodera a la posicion en que dichos planos esten en el espacio.

Lo mas sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos solo puedenestar en 3 posiciones:


* Son coincidentes: Lo cual es facil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefi-cientes de las incognitas y los terminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son:

α ≡ Ax+ By +Cz = D

β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′

entonces se verifica:A

A′ =B

B′ =C

C′ =D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones).Por ejemplo, los planos 2x+ 3y − z = 5, y −10x− 15y + 5z = −15 son coincidentes.* Son paralelos: Tambien es sencillo de saber porque los coeficientes de las incognitas son propor-

cionales, pero los terminos independientes NO. Es decir, en este caso:


β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′


A′ =B

B′ =C

C′ =D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones).Por ejemplo, los planos 2x+ 3y − z = 5 y −10x− 15y + 5z = 7 son paralelos.* Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir:


β ≡ A′x+ B′y + C′z = D′


A′ =B

B′ =C

C′ =D

D′

(siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a lasincognitas sean diferentes).

Por ejemplo, los planos 7x+ 3y − z = 5 y −10x− 15y + 5z = 7 son secantes.

Puesto que podemos determinar la posicion de los planos 2 a 2, podemos determinar en que posicionse encuentran los 3 a la vez, fijandonos en los casos:

1. Si el sistema es S.C.D. (Solucion unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es lasolucion del sistema.

2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:

a) Los tres planos se corten en una recta.

b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.

c) Los tres planos son coincidentes.


Y determinaremos la opcion correspondiente estudiandolos de dos en dos.

3. Si el sistema es S.I. (Sin solucion), puede ocurrir que:

a) Los planos se cortan dos a dos.

b) Dos planos son paralelos y el otro los corta.

c) Los tres planos son paralelos.

d) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

Y determinaremos la opcion correspondiente estudiandolos de dos en dos.

Ejemplo: Estudiar el sistema e interpretarlo geometricamente:

2x+ y − z = −63x− y + z = −54x+ 2y − 2z = −1

Aplicando Gauss a (A|B) =

2 1 −13 −1 14 2 −2

∣∣∣∣∣∣−6−5−1

, se obtiene:

2 1 −13 −1 14 2 −2

∣∣∣∣∣∣−6−5−1

2F2−3F1−−−−−→

F3−2F1

2 1 −10 −5 50 0 0

∣∣∣∣∣∣−6811

=⇒

2x+ y − z = −6−5y + 5z = 8

0 = 11

Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene solucion, los planos no tienen puntoscomunes.


Si estudiamos la posicion de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienencoeficientes que no son proporcionales, luego se cortan.

El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los terminos independientes,luego son paralelos.

Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan.Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo

plano, esta es la interpretacion geometrica:

Ejercicios: Estudiar e interpretar geometricamente los sistemas:

a)

2x− y + 3z = −14x− 2y + 6z = −5−2x+ y − 3z = −7

b)

x+ y + z = 22x+ y + 3z = 1x+ 2y + z = 4

c)

x+ y − z = −22x− y + 3z = −53x+ 2z = −7

d)

x+ y + z = 87x+ y + 6z = 7x + 7y + z = 1

7.7.2. Discusion de sistemas de 3 ecuaciones y 3 incognitas

Si aparece algun coeficiente desconocido,aplicaremos el metodo de Gauss e investigaremos segunlos valores del parametro la posibilidad de que aparezca o no una fila de ceros.

Ejemplo: Discutir segun los valores de m el sistema:

x+ y + z = m+ 1mx+ y + (m− 1)z = m

x + 7y + z = 1Aplicando Gauss a la matriz ampliada:

1 1 1m 1 m− 11 m 1

∣∣∣∣∣∣m+ 1

m

1

F2−mF1−−−−−→

(m=0)

1 1 10 1−m −11 7 1

∣∣∣∣∣∣m+ 1−m2

1

F3−F1−−−−→

F3−F1−−−−→

1 1 10 1−m −10 m− 1 0

∣∣∣∣∣∣m+ 1−m2

−m

F3+F2−−−−→

1 1 10 1−m −10 0 −1

∣∣∣∣∣∣m+ 1−m2

−m −m2

Debemos, llegados a este punto, fijarnos en dos aspectos:a) El desarrollo anterior solo es posible si m = 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado.b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando

m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas.De modo que, resumiendo, si m = 0 y m = 1, el sistema es S.C.D.Estudiemos ahora cada caso por separado:Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:

1 1 10 1 −11 0 1

∣∣∣∣∣∣101

F3−F1−−−−→

1 1 10 1 −10 −1 0

∣∣∣∣∣∣100

F3+F2−−−−→

1 1 10 1 −10 0 −1

∣∣∣∣∣∣100


que vuelve a ser S.C.D.Si m = 1, al aplicar Gauss queda:

1 1 10 0 −10 0 −1

∣∣∣∣∣∣1−1−2

Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene solucion(S.I.)

Conclusion:* Si m = 1 S.I.* Si m = 1 S.C.D.

Ejercicios:

1. Discutir en funcion del parametro desconocido los sistemas siguientes e interpretar geometrica-mente el resultado:

a)

x+ y + az = 1x+ ay + z = 1ax+ y + z = 1

b)

x+ y − 6z = 0x− 2y + 6z = 0

3x+−y +mz = 0

c)

3x+ y + 2z = 1− a(1 + a)x+ 2y + z = a

ax− y + z = 1− a

d)

x+ y + az = a2

x+ ay + z = a

ax+ y + z = 1

2. Dado el sistema

x+ 2y − z = 82x− 3y + z = −13x− y + kz = 5

, se pide:

a) Hallar el valor de k que hace el sistema incompatible.

b) Hallar el valor de k que hace el sistema compatible y ademas z= -1.

c) Para el valor de k hallado en b), resolver el sistema.

7.8. Aplicacion de las matrices y determinantes a la resolucion de

sistemas. Regla de Cramer

7.8.1. Aplicacion de las matrices

Si tenemos un sistema con el mismo numero de ecuaciones que de incognitas ( un sistema de esetipo de llama cuadrado), entonces la matriz A de coeficientes es cuadrada y podemos escribir el sistemamatricialmente ası:

A ·X = B

donde A,X y B son las matrices ya definidas de coeficientes, incognitas y terminos independientesrespectivamente.

Como el objetivo es calcular la matriz X de incognitas, el problema estarıa resuelto si conseguimosdespejar X de dicha ecuacion.

Sabemos que eso se puede hacer solo cuando la matriz A posee inversa, y en ese caso aplicarıamosque:

A ·X = B =⇒ A−1 · A ·X = A−1 · B =⇒ I ·X = A−1 · B =⇒ X = A−1 ·B

es decir podrıamos calcular X, y el sistema tendrıa solucion unica.Si A no posee inversa, no podemos despejar X y el sistema no se puede resolver de esta manera.


Conclusion: En un sistema cuadrado y cuya matriz de coeficientes tenga inversa, la solucion delsistema viene dada por:

X = A−1 ·B

Ejemplo: Resolver, aplicando la inversa, el sistema:

2x+ y − z = 11x− 3y = −20

4x+ 2y + 5z = 8.

La matriz de coeficentes es

2 1 −11 −3 04 2 5

.

Para poder aplicar lo anterior es necesario que A tenga inversa, lo que por ejemplo comprobamoshaciendo det (A).

Como det(A) = −49, no nulo, A tiene inversa. Por tanto y segun lo dicho,X = A−1 · B , es decir:

x

y

z

=

2 1 −11 −3 04 2 5

−1

·

11−208

Si hacemos la inversa de A (¡compruebalo!), resulta:

A−1 =

1549

17

349

549

−27

149−2

49 0 17

y por tanto, x

yz

=

1549

17

349

549

−27

149−2

49 0 17

·

11−208

=

127

es decir x=1, y=7 , z=-2 , solucion que ya habıamos obtenido utilizando el metodo de Gauss.

7.8.2. Regla de Cramer

En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir,que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estasdos condiciones se llaman sistemas de Cramer), se puede aplicar una regla muy sencilla para calularla solucion y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer.

Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar.

La regla de Cramer:Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la inconita numero k

se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columnak (correspodiente al lugar que ocupe la incognita que se esta calculando) por la columna de terminosindependientes.

Ejemplo: Resolver el sistema

2x+ y − z = 11x− 3y = −20

4x+ 2y + 5z = 8.

Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer:Para x sustituimos la primera columna por la de terminos independientes pues x es la primera

incognita:

x =

∣∣∣∣∣∣11 1 −1−20 −3 08 2 5

∣∣∣∣∣∣−49 =

−49−49 = 1


Para y sustituimos la segunda columna por la de terminos independientes pues y es la segunda incogni-ta.

y =

∣∣∣∣∣∣2 11 −11 −20 04 8 5

∣∣∣∣∣∣−49 =

−343−49 = 7

Para z sustituimos la tercera columna por la de terminos independientes pues z es la tercera incognita).

x =

∣∣∣∣∣∣2 1 111 −3 −204 2 8

∣∣∣∣∣∣−49 =

98−49 = −2

Y obtenemos la solucion como antes.Recordemos que esto solo se puede aplicar para sistemas de Cramer.

Ejercicio: Resolver, mediante estos dos metodos, los sistemas:

a)

3x− 2y + z = −12x+ y − z = 2x− 3y + z = 0

b)

x+ y + z = 6x− y + 2z = 5x+ y − z = 0

c)

3x+ y + z = 22x+ 2y + z = 5x− y + z = 0

7.9. Estudio de sistemas cualesquiera mediante el calculo del rango.

Teorema de Rouche-Frobenius

Saber si un sistema tiene o no solucion (si es compatible), y cuantas soluciones tiene (si es deter-minado o indeterminado), se reduce para cualquier tipo de sistemas a estudiar rangos. El resultadofundamental es el:

Teorema de Rouche-Frobenius:Un sistema cualquiera de matriz A y matriz ampliada (A|B) tiene solucion (es compatible) si y

solamente si Rg(A) = Rg(A|B).Por tanto si los dos rangos son distintos el sistema no tiene solucion (S.I.).Ademas, si dicho rango coincide con el numero de incognitas del sistema, la solucion es unica

(S.C.D.), y si dicho rango es menor que el numero de incognitas, hay infinitas soluciones (S.C.I.).

Es importante darse cuenta de que Rg(A) ≤ Rg(A|B), puesto que la matriz de coeficientes formaparte de la ampliada, es decir, la matriz A no puede tener rango mayor que la ampliada.

Aun siendo importante, el unico problema que plantea este teorema es que NO ofrece ningun metodopara calcular la solucion, solamente dice si hay solucion o no.

Ejercicio: Aplicar el teorema de Rouche para determinar el tipo de sistema que es:

a)

x+ y − z + t = 42x− y + 3z + 2t = −1−4x+ 5y − 11z − 4t = 11

b)

2x− y = 1x + 3y = −25x− 4y = 7

c)

x+ 3y = 33x+ 5y = 72x+ 4y = 5

d)3x+ 3y − z = −1x+ y − 5z = 2


7.10. Sistemas homogeneos

Un sistema homogeneo es aquel que tiene todos los terminos independientes nulos.Cualquier sistema homogeneo es evidente que es compatible, pues dando a cada incognita el valor

0, se cumplen las ecuaciones. Esta solucion (que todas las incognitas sean nulas) se llama soluciontrivial.

El problema entonces esta en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o inde-terminados.

Aplicando el teorema de Rouche solo podemos tener dos casos:a) Rg (A) = nº incognitas. En este caso el sistema es compatible determinado, y por tanto tiene

solucion unica que es la trivial (todas las incognitas valen cero)b) Rg(A) < nº incognitas. En este caso el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas

soluciones que se determinan de la manera conocida.

Ejercicios:

1. Estudiar la solucion de los sistemas homogeneos siguientes:

a)

x+ y = 0x− y = 0

b)

x+ y + z = 02x− y + z = 0

c)

x+ y − z = 02x− y + z = 04x+ y − z = 0

2. Discutir el sistema homogeneo:

6x+ 18y − bz = 07x− 2y − 4z = 04x+ 10y − 6z = 0

.

Capıtulo 8

PROGRAMACION LINEAL

8.1. Introduccion

La programacion lineal es una tecnica matematica relativamente reciente (siglo XX), que consisteen una serie de metodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizacion en elambito, sobre todo, de las Ciencias Sociales.

Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programacion lineal, los que tienensolamente 2 variables, problemas bidimensionales.

Para sistemas de mas variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamadometodo Simplex (ideado por G.B.Danzig, matematico estadounidense en 1951).

Recientemente (1984) el matematico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar,ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es mas rapido que el metodosimplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran numero de variables,se implementan en ordenadores.

8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

Una inecuacion lineal con 2 variables es una expresion de la forma:

ax+ by ≤ c

(donde el sımbolo ≤ puede ser tambien ≥ , < o bien >), donde a, b y c son numeros reales y x e y lasincognitas.

Para resolver estas inecuaciones, se recordara de otros cursos, hay que representar graficamente enel plano la recta dada por la correspondiente ecuacion lineal y marcar una de las dos regiones en quedicha recta divide al plano.

Ejemplo: Si queremos resolver la inecuacion: 2x+ 3y ≥ −3, representamos en primer lugar la recta2x+ 3y = −3:

127

CAPITULO 8. PROGRAMACION LINEAL 128

La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solucion de la inecuacion. Parasaber que parte es, hay dos procedimientos:

1. Se despeja la y de la inecuacion, poniendo cuidado en que si en una inecuacion multiplicamos odividimos por un numero negativo, la desigualdad cambia de sentido.

En este caso tendıamos que:

y ≥ −3− 2x3

Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes.

La solucion de la inecuacion sera aquella parte en la que la y sea mayor que la recta, es decir, laparte superior.

Figura 8.1: Solucion de la inecuacion lineal

2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2).

Para que dicho punto sea solucion, se tendra que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimosen la inecuacion inicial el (1,2):

2 · 1 + 3 · 2 ≥ −3, es decir, 8 ≥ −3.Como esta ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2) es solucion ypor tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solucion, es decir el semiplano superior, comohabıamos obtenido antes.

Cualquiera de los procedimientos es valido si se realiza con correccion.

8.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables

Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior, yresolverlo consistira en resolver graficamente cada inecuacion (como en el caso anterior), representarla solucion en un mismo grafico y la solucion total sera la parte comun a todas las soluciones.


Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:

2x+ 3y ≥ −32x− y − 9 ≤ 02x− 5y − 5 ≥ 0

Si representamos las rectas:

2x+ 3y = −3 (recta r)2x− y − 9 = 0 (recta s)2x− 5y − 5 = 0 (recta t)

Figura 8.2: Solucion del sistema de inecuaciones lineales

El triangulo rayado es la solucion del sistema.Ademas, para los problemas de programacion lineal es necesario el calculo de los vertices de la

region solucion. Es sencillo su calculo, pues se reduce a resolver sistemas de ecuaciones lineales sondos incognitas, que provienen de igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes.

Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto interseccion de las rectas r y t tendremos queresolver el sistema formado por:

2x+ 3y = −32x− y − 9 = 0

=⇒−2x− 3y = 32x− y − 9 = 0

Sumando −4y = 12 =⇒ y = −3.Y sustituyendo que da 2x+ 3(−3) = −3, es decir 2x− 9 = −3, y entonces x = 3.Luego r y t se cortan en el punto (3,-3).

Ejercicios:

1. Calcular los otros dos vertices.

2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los vertices de las regionesque sean solucion:

a)3x+ 6y ≥ 4204x+ 2y ≥ 290 b)

3x+ 5y ≤ 1503x+ 3y ≤ 120 c)

x+ 2y ≤ 122x+ y ≥ 4x− 2y ≤ 6x− y ≥ 0


Nota: Rectas horizontales y verticales.En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥ k, donde falta

alguna de las dos incognitas.Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y su representacion

es bien sencilla.Por ejemplo, la inecuacion x ≤ −2 no es mas que el conjunto de puntos a la izquierda de la recta

vertical que pasa por el punto x = −2, graficamente:

Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que sera en este caso la parte inferior a la recta horizontal y = 1, esdecir:

En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidiran con los ejes de coordenadas.

Ejercicios: Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes, encontrando los vertices de lasregiones que sean solucion:

a)

5x+ 15y ≤ 1506x+ 8y ≤ 120

x ≥ 0y ≥ 0

b)

x+ 3y ≥ 509x− 8y ≥ 03x+ 4y ≥ 60

x ≥ 0y ≥ 0

c)

2x+ y ≤ 10x+ 3y ≤ 120 ≤ x ≤ 80 ≤ y ≤ 2

Nota: Las dobles desigualdades como 0 ≤ x ≤ 8 se pueden desdobler en otras dos, x ≥ 0 y x ≤ 8.


8.4. Problemas de optimizacion de una funcion sujeta a restricciones

En un problema de programacion lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer maximao mınima, segun los casos) una funcion (llamada funcion objetivo) de la forma:

F (x, y) = A · x+B · y

sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo:

a1x+ b1y ≤ c1

a2x+ b2y ≤ c2...

amx+ bmy ≤ cm

Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado(poligonal) o no acotado, llamado region factible del problema.

Todos los puntos de dicha region cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entretodos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de F(x,y) maximo o mınimo, segun sea elproblema.

Los puntos de la region factible se denominan soluciones factibles.De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen optima (maxima o mınima) la funcion obje-

tivo se llaman soluciones optimas.En general,un problema de programacion lineal puede tener una, infinitas o ninguna solucion.Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:

Propiedad:Si hay una unica solucion optima, esta se encuentra en un vertice de la region factible, y si hay

infinitas soluciones optimas, se encontraran en un lado de la region factible.

Es posible que no haya solucion optima, pues cuando el recinto es no acotado, la funcion objetivopuede crecer o decrecer indefinidamente.

Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquierade ellas siempre hay que dibujar la region factible, resolviendo el sistema de inecuaciones linealescorrespondiente, como se ha visto en los epıgrafes anteriores (la region factible puede estar acotada ono), y se calculan los vertices de dicha region.

8.4.1. Forma geometrica

En este caso se representa el vector director de la recta que viene dada por la ecuacion de la funcionobjetivo,F (x, y) = A · x +B · y , que hay que maximizar o minimizar.

El vector director de la recta A ·x+B · y viene dado por v = (−B, A). Ademas, como lo unico quenos importa es la direccion del vector y no su modulo (longitud), podemos dividir a las coordenadasdel vector si los numeros son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales tienenla misma direccion.

Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por los vertices de la regionfactible (si es acotada) , o por todo el borde de la region factible (cuando no es acotada) y se observaen que vertice la funcion F se hace maxima (o mınima) sin mas que tener en cuenta cual de las rectastiene mayor (o menor) ordenada en el origen, es decir, que recta corta en un punto mayor o menor aleje y.

Ejemplo: Maximizar la funcion F (x, y) = 2000x+ 5000y sujeta a las restricciones:

2x+ 3y ≥ −32x− y − 9 ≤ 02x− 5y − 5 ≥ 0


La region factible en este caso es:

Los vertices eran los puntos (0,-1), (5,1) y (3,-3).Como la funcion es F (x, y) = 2000x+ 5000y, el vector director es v = (−5000, 2000), que tiene la

misma direccion que el v = (−5, 2) y representandolo queda:

Figura 8.3: Region factible y vector de la funcion objetivo


Se trata ahora de trazar paralelas al vector que pasen por los vertices anteriores, es decir:

Figura 8.4: Solucion grafica. Paralelas al vector por los vertices.

Se observa graficamente que de las tres paralelas trazadas, la que corta al eje y en un punto mayores la que pasa por el punto (5,1), que por tanto sera la solucion optima al problema de maximosplanteado.

Para saber cual es este valor ,maximo sustituimos en la funcion:

F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000

Luego la funcion tiene su solucion optima en (5,1) donde toma el valor 15000.

8.4.2. Forma algebraica

Consiste, simplemente, en susituir cada uno de los vertices de la region en la funcion objetivo. Lasolucion optima vendra dada por aquel que tome el mayor (o menor) valor.

Ejemplo: Maximizar la funcion F (x, y) = 2000x+ 5000y sujeta a las restricciones:

2x+ 3y ≥ −32x− y − 9 ≤ 02x− 5y − 5 ≥ 0

Con la misma region factible que en el caso anterior.Los vertices eran los puntos (0,-1), (5,1) y (3,-3).De esta forma sustituyendo:

F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000

F (0,−1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0− 5000 = −5000F (3,−3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000− 15000 = −9000

Vemos que el valor maximo se alcanza para el vertice (5,1) y que dicho valor es 15. La misma solucionque se obtenıa antes.

Ejercicio: Resolver los problemas de programacion lineal:


1. Maximizar F (x, y) = 4x+ 5y sujeto a:

2x+ y ≤ 10x+ 3y ≤ 120 ≤ x ≤ 80 ≤ y ≤ 2

.

2. Minimizar F (x, y) = 12x+ 10y sujeto a:

3x+ 2y ≥ 124x+ 5y ≥ 29

x ≥ 0y ≥ 0

.

3. Maximizar F (x, y) = 120x+ 80y sujeto a:

4x+ 2y ≤ 67x+ 8y ≤ 28

x ≥ 0y ≥ 0

.

4. Minimizar F (x, y) = 12x+ 8y sujeto a:

4x+ 5y ≥ 207x+ 2y ≥ 14

x ≤ y

.

8.5. Algunos ejemplos de casos extremos

Puede ocurrir que la solucion optima no sea unica, e incluso que no exista, como en los ejemplossiguientes:

Ejemplo 1:

Maximizar g(x, y) = 3x+ 4y sujeta a las rectricciones:

x+ y ≥ 142x+ 3y ≥ 364x+ y ≥ 16x− 3y ≥ 0

.

Si representamos la region factible:

Los vertices seran:

A =(23,403

), B = (6, 8), C = (12, 4)

Observemos que la region factible es NO acotada superiormente.


Si aplicamos el metodo geometrico, deberıa trazar paralelas al vector director por los vertices, perocomo la region en no acotada, dichas rectas son cada vez mayores al trazarlas sobre los puntos de larecta t, que son soluciones factibles. Por tanto el problema no tiene solucion.

Figura 8.5: Las paralelas cortan cada vez en un punto mayor.

En general, un problema de maximos no tiene solucion si la region factible no esta acotada supe-riormente, y un problema de mınimos no tiene solucion si la region no esta acotada inferiormente.

Tambien puede tener el problema infinitas soluciones:

Ejemplo 2:

Minimizar g(x, y) = 3x+ 3y sujeta a las restricciones

x+ y ≥ 5y ≤ x+ 33y − x ≥ −1y + 2x ≤ 164y − x ≤ 22

.

La region es, en este caso:


Los vertices respectivos son: A=(1,4), B=(2,5), C=(6,4), D=(7,2) y E=(4,1).Si utilizamos el metodo grafico, obtenemos:

Es decir, como buscamos el valor mınimo, todos los puntos comprendidos entre A y E sirven, esdecir, hay infinitas soluciones.

Si utilizamos el metodo algebraico: g(x, y) = 3x+ 3y, luego:

A : g(1, 4) = 3 + 12 = 15

B : g(2, 5) = 6 + 15 = 21

C : g(6, 4) = 18 + 12 = 30

D : g(7, 2) = 21 + 6 = 27

E : g(4, 1) = 12 + 3 = 15

Observamos que el valor mınimo se toma en A y en E, y por tanto en todos los puntos comprendidosentre ellos, es decir, hay infinitas soluciones.

8.6. Aplicacion a problemas concretos

El verdadero valor de las tecnicas de la programacion lineal consiste en poder aplicarlas a problemasreales.

Para resolver estos problemas se deben seguir los siguientes pasos, a la vez que vemos como seaplicarıa a un ejemplo concreto.

Ejemplo:Una fabrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2. La fabrica cuenta con dos secciones;

carpinterıa y tapicerıa.Hacer un sillon de tipo S1 requiere 1 hora de carpinterıa y 2 de tapicerıa, mientras que uno de tipo

S2 requiere 3 horas de carpinterıa y 1 de tapicerıa.El personal de tapicerıa trabaja un total de 80 horas, y el de carpinterıa 90.Las ganancias por las ventas de S1 y S2 (unidad) son, respectivamente 60 y 30 euros. Calcular

cuantos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias.


Este es un problema tıpico en el que hay que usar las tecnicas de programacion lineal. Intentaremosseguir el siguiente esquema:

1. Leer el enunciado , determinar la funcion objetivo y definir las variables.

En este caso, queremos hacer maximo el beneficio, es decir, queremos maximizar una funcion.

Como queremos determinar las cantidades de sillones S1 y S2 respectivamente, llamemos x=nºde unidades de S1 e y=nº de unidades de S2.

La funcion beneficio a maximizar sera: B(x, y) = 60 · x+ 30 · y, que es la funcion objetivo.

2. Reordenar los datos del problema y escribir las inecuaciones correspondientes.

En este paso es conveniente el uso de tablas:

Tiempo(horas) Carpinterıa TapicerıaS1 1 2S2 3 1

Disponible 90 80

Tiempo(horas) Cantidad Carpinterıa TapicerıaS1 x x 2xS2 y 3y y

Necesario x+ 3y 2x+ y

Disponible 90 80

De aquı se deduce que:x+ 3y ≤ 90

2x+ y ≤ 80

y ademasx ≥ 0

y ≥ 0

pues el nº de unidades producidas no puede ser negativo.

Ya tenemos por tanto las restricciones.

3. Representar graficamente la region factible, calcular sus vertices y el vector si usamos el metodogeometrico.

En este caso, representando la region factible:


Siendo los vertices A=(0,0), B=(0,30), C=(30,20), D=(40,0).

El vector sera (−30, 60), equivalente a (−10, 20).Graficamente se observa que la solucion no es unica, sino que se encuentran infinitas solucionesen el lado correspondiente CD, sobre la recta 2x + y = 80, desde que x vale 30 hasta que vale40, todas las soluciones son validas.

4. Sustituir las coordenadas en la funcion objetivo y dar la solucion correcta.

En este caso se obtiene:B(0, 0) = 0

B(0, 30) = 900

B(30, 20) = 2400

B(40, 0) = 2400

con lo cual hay infinitas soluciones y el beneficio que se obtiene es 2400 euros.

5. Analizar la solucion obtenida en el contexto del problema: ¿tiene sentido?.

Debemos interpretar que en el contexto del problema no todas las soluciones son validas, sinoque solo sirven soluciones enteras, es decir, no se pueden fabricar, por ejemplo 3’8 sillones deltipo S1. Las soluciones con sentido vendrıan dadas por:

S1 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40S2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Encontramos por tanto solo 11 soluciones que son las de la tabla

En cualquiera de estas soluciones el beneficio es de 2400 euros, que es el maximo bajo lascondiciones del problema.


8.7. El problema del transporte

Es uno de los problemas que dieron lugar a la programacion lineal.Un ejemplo tıpico serıa el siguiente:

Ejemplo:Una empresa tiene 2 plantas de produccion (P1 y P2) de cierto artıculo que vende en 3 ciudades

(C1,C2 y C3). En P1 produce 5000 unidades, y en P2 7000 unidades. De estas 12000 unidades lasvende ası: 3500 es C1, 4000 en C2 y 4500 en C3. Los costes de transporte, en euros por unidad deproducto, desde las plantas de produccion a las ciudades son:

Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3Desde P1 3 2’5 3’5Desde P2 2’25 3’75 4

Determina el nº de artıculos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada ciudad para que loscostes de transporte sean mınimos.

Para problemas de este tipo necesitamos una nueva variable.Sea x=unidades de P1 a C1, y=unidades de P1 a C2 y z=unidades de P1 a C3.Tiene que verificarse entonces que x+ y + z = 5000.Si desde P1 a C1 se envıan x unidades, como en C1 necesitan 3500, desde P2 se mandaran a C1

3500− x. Razonando del mismo modo con y y z, se obtiene la tabla:

Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3Desde P1 x y z = 5000− x− y

Desde P2 3500− x 4000− y 4500− z = 4500− (5000− x− y)

Hemos sustituido z por 5000− y − x, porque x + y + z = 5000 y ası transformamos las 3 incognitasen solo 2.

Para obtener las restricciones imponemos que cada cantidad ha de ser mayor o igual que cero, esdecir:

x ≥ 0

3500− x ≥ 0

y ≥ 0

4000− y ≥ 0

5000− x− y ≥ 0

−500 + x+ y ≥ 0

Por tanto el sistema de inecuaciones es:

x ≥ 0x ≤ 3500

y ≥ 0y ≤ 4000

x+ y ≤ 5000x + y ≥ 500

Como se trata de minimizar costes, la funcion objetivo es:

C(x, y) = 3 · x+2′5 · y +3′5 · (5000− x− y) + 2′25 · (3500− x) + 3′75 · (4000− y) + 4 · (−500 + x+ y)

C(x, y) = 1′25 · x − 0′75 · y + 22625


Dibujando la region factible:

Resulta que A=(0,500), B=(0,4000), C=(1000,4000), D=(3500,1500), E= (3500,0) y F=(500,0).Sustituyendo es:

C(0, 500) = 22250

C(0, 4000) = 19625

C(1000, 4000) = 20875

C(3500, 1500) = 25875

C(3500, 0) = 27000

C(500, 0) = 23250

El mınimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4000.Es decir, las unidades a distribuir son:

Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3Desde P1 0 4000 1000Desde P2 3500 0 3500

Ejercicio:Dos fabricas de cemento, F1 y F2, producen respectivamente 3000 y 4000 sacos de cemento al dıa.Hay que enviar ese cemento a tres centros de ventas C1, C2 y C3 en cantidades de 3000, 2500 y

1500 sacos respectivamente.Los costes de transporte de cada fabrica a los puntos de venta vienen dados, en euros por cada

saco, por:

Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3Desde F1 2 2’5 2Desde F2 1’5 3 1

Determina como hay que distribuir la produccion para que el transporte resulte lo mas economicoposible.

Capıtulo 9

LIMITES Y CONTINUIDAD DEFUNCIONES

9.1. Introduccion

El concepto de lımite en Matematicas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funcionen un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la funcion dada por la grafica de la figura y fijemonos en elpunto x = 2 situado en el eje de abscisas:

¿Que ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviendonos sobre el eje x? Tomemos algunosvalores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las imagenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso lasimagenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambien al mismo valor, y = 3.

Concluimos que el lımite de la funcion f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cual expresamoscomo:

lımx→2

f(x) = 3

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el lımite de una funcion en un punto es el valor en eleje Oy al que se acerca la funcion, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

145

CAPITULO 9. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 146

Sin embargo la expresion matematica rigurosa de lımite es algo mas compleja:

Definicion: Dada una funcion f(x) y un punto x = a, se dice que el lımite de f(x) cuando x se acercaa a es L, y se expresa como:

lımx→a

f(x) = L

cuando:

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x− a| < δ, entonces |f(x)− L| < ε

Lo que viene a expresar esta formulacion matematica es que si x esta “suficientemente cerca” dea, entonces su imagen f(x) tambien esta muy proxima a L.

En la practica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados lımites laterales, que comorecordaremos se definen de la siguiente forma:

Definicion:Se define el lımite lateral por la derecha de a de la funcion f(x), y se expresa como:

lımx→a+

f(x)

al lımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.De igual modo, el lımite lateral por la izquierda de a de la funcion f(x) se expresa como:

lımx→a−

f(x)

y se define como el lımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una funcion f(x) tenga lımite en x = a es necesario y suficiente que existanambos lımites laterales y coincidan, es decir:

lımx→a

f(x) = lımx→a+

f(x) = lımx→a−

f(x)


9.2. Tipos de lımites

Recordaremos algunos tipos de lımites que son conocidos:

1. Lımites infinitos en un punto finito: En la situacion del dibujo, se dice que el lımite cuando x

se acerca por la derecha de a es +∞, pues a medida que la x se acerca a a, la funcion se hacecada vez mayor:

lımx→a+

f(x) = +∞

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).

De igual modo se define el lımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por laizquierda).(Dibuja el que falta)


Puede ocurrir que uno de los lımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinacionentre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:

lımx→2+

f(x) = +∞

ylım

x→2−f(x) = 2

2. Lımites finitos en el infinito: Se dice que una funcion tiene lımite b cuando x tiende a +∞cuando la funcion se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

lımx→∞

f(x) = b

Graficamente:

En este caso el lımite es 2 cuando x tiende a +∞.De igual modo se define el lımite finito cuando x tiende a −∞.


3. Lımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funcion se hacecada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).Un ejemplo grafico de este tipo de lımites serıa:

En este caso:lım

x→∞f(x) = −∞

(Intenta dibujar otros casos diferentes).

9.3. Calculo de lımites

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el calculo de lımites cuando sepresentan diferentes indeterminaciones:

9.3.1. Lımites en el infinito

1. Lımites de polinomios: El lımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o−∞, dependiendo del coeficiente del termino de mayor grado del polinomio:

lımx→∞

(2x5 − 3x2 + 5) = +∞

lımx→∞

(−3x7 − 5x2 + 4x− 8) = −∞

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7

es negativo.

2. Indeterminacion∞∞ : Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeter-

minacion de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos:

lımx→∞

p(x)q(x)

=

±∞ si grado(p(x)) > grado(q(x)),donde el signo depende de los coeficientes.

0 si grado(p(x)) < grado(q(x))

a

bsi grado(p(x)) = grado(q(x)), siendo a y b los

coeficientes de los terminos de mayor grado de cada polinomio.

Ejemplos: a)

lımx→∞

x3 − 5x2 + 6−x2 + 4

=(∞∞)= −∞


porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienensigno diferente.

b)

lımx→∞

x2 − 5x6 − x4 − 3x2 + 4

=(∞∞

)= 0

porque el grado del denominador es mayor.

c)

lımx→∞

7x3 + 2x− 6−3x3 + 6

=(∞∞

)= −7

3porque los grados son iguales.

Nota: La resolucion de lımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que:

lımx→−∞

f(x) = lımx→∞

f(−x)

es decir:

lımx→−∞

x3 − 5x2 + 4−x2 + 5x

= lımx→∞

(−x)3 − 5(−x)2 + 4−(−x)2 + 5(−x)

= lımx→∞

−x3 − 5x2 + 4−x2 − 5x =

(∞∞

)=∞

La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan raıces, siempre que tengan sentido loslımites:

d)

lımx→∞

3 +√

x3 − 5xx2 + 4

=(∞∞

)= 0

puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es32, que

es menor que 2.

e)

lımx→∞

√−x + 1 + x3

1 + x+ 3x3=

puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞(es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la raızcuadrada de un numero negativo no existe en el cuerpo de los numeros reales, por tanto el lımiteanterior no tiene sentido.

f)

lımx→−∞

√−x+ 1 + x3

1 + x+ 3x3= lım

x→∞

√−(−x) + 1 + (−x)3

1 + (−x) + 3(−x)3= lım

x→∞

√x+ 1− x3

1− x− 3x3=(∞∞

)=13

pues en este caso la raız si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el lımite el cocientede los coeficientes de los monomios de mayor grado.

3. Indeterminacion ∞−∞: Cuando aparece esta indeterminacion, si tenemos una resta de frac-ciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemosresolver:

lımx→∞

x2 − x+ 1x+ 1

− x+ 3 + x2

x− 1 = (∞−∞) = lımx→∞

((x2 − x+ 1)(x− 1)(x+ 1)(x− 1) − (x+ 3 + x2)(x+ 1)

(x− 1)(x+ 1)

)=

= lımx→∞

(x3 − 2x2 + 2x− 1

x2 − 1 − x3 + 2x2 + 4x+ 3x2 − 1

)= lım

x→∞−4x2 − 2x− 4

x2 − 1 =(∞∞

)= −4


En caso de que aparezca una raız, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de laexpresion radical:

lımx→∞

((2x− 1)−

√x+ 1

)= (∞−∞) = lım

x→∞

((2x− 1)−

√x+ 1

)·((2x− 1) +

√x+ 1

)(2x− 1) +

√x+ 1

=

= lımx→∞

(2x− 1)2 − (√

x+ 1)2

(2x− 1) +√

x+ 1= lım

x→∞4x2 − 4x+ 1− x− 1(2x− 1) +

√x+ 1

=

= lımx→∞

4x2 − 5x(2x− 1) +

√x+ 1

=(∞∞)= +∞

9.3.2. Lımites en puntos finitos

Si queremos calcular el lımite de una funcion f(x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplementehemos de sustituir el valor de a en f(x):

lımx→−3

2x2 − 3x+ 1x+ 2

=2 · 9− 3 · (−3) + 1

−3 + 2 = −28

El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir xpor el valor que corresponda.

Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminacion.

1. Indeterminacionk

0, (k = 0): Se presenta cuando en el numerador aparece un numero cualquiera

no nulo y el denominador es 0.

En este caso el lımite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los lımiteslaterales:

a)

lımx→1

1− 2x1− x2

=1− 21− 1 =

−10=

lımx→1+

1− 2x1− x2

=1− 2 · 1′00011− (1′0001)2 =

−10−

= +∞

lımx→1−

1− 2x1− x2

=1− 2 · 0′99991 − (0′9999)2 =

−10+

= −∞

b)

lımx→0

−7x=−70=

lımx→0+

−7x=−70′0001

=−70+

= −∞

lımx→0−

−7x=

−7−0′0001 =

−70−

= +∞

c)

lımx→−1

−2(x+ 1)2

=−20=

lımx→−1+

−2(x+ 1)2

=−2

(−0′9999 + 1)2 =−20+

= −∞

lımx→−1−

−2(x+ 1)2

=−2

(−1′0001 + 1)2 =−20+

= −∞

2. Indeterminacion00: En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0.

Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver laindeterminacion es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla deRuffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir.

lımx→2

x2 − 5x+ 6x2 − 4 =

4− 10 + 64− 4 =

(00

)= lım

x→2

(x− 2)(x− 3)(x− 2)(x+ 2) = lımx→2

(x− 3)(x− 2) =

−14


En caso de que tambien aparezcan raıces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por laexpresion radical conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir:

lımx→−3

√x+ 4− 1

x2 + 2x− 3 =(00

)= lım

x→−3

(√

x+ 4− 1) · (√

x+ 4+ 1)(x2 + 2x− 3) · (

√x+ 4 + 1)

=

= lımx→−3

(√

x+ 4)2 − 12(x2 + 2x− 3) · (

√x+ 4 + 1)

= lımx→−3

x+ 3(x2 + 2x− 3) · (

√x+ 4 + 1)

=

= lımx→−3

(x+ 3)(x+ 3) · (x− 1) · (

√x + 4 + 1)

= lımx→−3

1(x− 1) · (

√x+ 4+ 1)

=1

(−4) · (1 + 1) =−18

9.3.3. Lımites potenciales. Indeterminacion 1∞

Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas basicas.Si tenemos

lımx→a

(f(x))g(x)

o bienlım

x→∞(f(x))g(x)

se pueden presentar varios casos:

1. La base tiende a un numero cualquiera no nulo y el exponente a otro numero. En este caso ellımite es el numero que resulta de realizar la operacion correspondiente:

lımx→1

(x+ 1)2x−3 = 2−1 =12

2. La base tiende a un numero positivo mayor que 1 y el exponente a +∞. En este caso el lımitees tambien +∞.

lımx→∞

(2x+ 11 + x

)2x−3

= 2∞ = +∞

3. La base tiene a un numero no nulo comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞. En este casoel lımite es 0.

lımx→∞

(1 + x

2x+ 1

)2x−3

=(12

)∞= 0

4. La base tiende a un numero negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞. En este casoel lımite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario:

lımx→∞

(−3x+ 11 + x

)2x−3

= (−3)∞ =

5. En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminacion que seresuelve aplicando la formula:

lımx→a

(f(x))g(x) = (1∞) = (e)lımx→a

(g(x) · (f(x)− 1))


O bien realizando los pasos para resolver tales lımites que recordamos:

lımx→0

(1 + x

2x+ 1

)2x+3x

= (1)30 = (1∞) =

se suma y se resta 1 a la baselımx→0

(1 +

1 + x

2x+ 1− 1)2x+3

x

=se hace la resta

= lımx→0

(1 +

1 + x− 2x− 12x+ 1

) 2x+3x

= lımx→0

(1 +

−x

2x+ 1

)2x+3x

=se baja el numerador dividiendo al denominador

= lımx→0

(1 +

12x+1−x

) 2x+3x

=se pone el denominador como exponente

lımx→0

(1 +

12x+1−x

) 2x+1−x

−x2x+1

· 2x+3x

=

=se sustituye el corechete por e (e)

lımx→0

(−x

2x+1 ·2x+3

x

)= (e)

lımx→0

(−2x−32x+1

)= e−3

Ejercicio: Resolver el lımite anterior utilizando la formula.

Nota: El caso en que el exponente tiende a −∞ se reduce a este sin mas que recordar las propiedadesde las potencias: (a

b

)n=(

b

a

)−n

9.4. Asıntotas

Una primera aplicacion del calculo de lımites consiste en el calculo de las asıntotas de una funcion.Hay tres tipos de asıntotas:

Verticales, Horizontales y Oblicuas (aunque de hecho las asıntotas horizontales son un caso par-ticular de estas).

9.4.1. Asıntotas verticales

Una asıntota vertical de una funcion f(x) es una recta vertical x = k tal que se cumple:

lımx→k+

f(x) = ±∞

o bienlım

x→k−f(x) = ±∞

Las posibles asıntotas verticales de una funcion se encuentran entre los puntos que no estan en eldominio de la funcion, aquellos que anulan el dominador en las funciones racionales, etc...

Para determinar si un punto constituye una asıntota vertical de la funcion, se tiene que cumplirque alguno de los lımites laterales de la funcion en el punto sea ±∞.

En tal caso, se dira que la funcion posee una asıntota vertical en dicho punto por el lado en el cualdicho lımite sea ±∞.

Ejemplo: Estudiar las asıntotas verticales de las funciones:

f(x) =2x+ 3x− 1 g(x) =

1√x

a) Para la primera funcion, la posible asıntota estara en el punto x = 1, que es el unico numero realque no pertenece a su domino por anular el denominador.

Ası pues estudiamos el:

lımx→1

2x+ 3x− 1 =

50=

lımx→1+

2x+ 3x− 1 =

2 · 1′0001 + 31′0001− 1 =

50+= +∞

lımx→1−

2x+ 3x− 1 =

2 · 0′9999 + 30′9999− 1 =

50−= −∞


Como ambos lımites laterales son infinitos, existe una asıntota vertical de la funcion en x = 1, y esmas, conociendo el valor de los lımites podemos asegurar que en las cercanıas de la asıntota la funcionse comportara como en el dibujo:

b) En cuanto a esta funcion,g(x) =1√x, notemos que el denominador se anula cuando

√x = 0 =⇒

x = 0, es decir la posible asıntota vertical estara en x = 0. Analizando obtenemos:

lımx→0

1√x=10=

lımx→0+

1√x=

1√0′0001

=10+= +∞

lımx→0−

1√x=

1√−0′0001

=

puesto que no hay raıces cuadradas de numeros negativos.De modo que hay una asıntota vertical en x = 0 pero solo por la derecha, es decir, la grafica sera:


9.4.2. Asıntotas horizontales

Las asıntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la funcion cuando la variableindependiente x se hace muy grande o muy pequena.

Dicho en forma de lımites, una funcion tiene una asıntota horizontal en y = k cuando para algunode los dos lımites:

lımx→∞

f(x) = k

o bienlım

x→−∞f(x) = k

Ejemplo: Calcular las asıntotas horizontales de las funciones:

f(x) =x2 + 1x+ 1

g(x) =1√x

a) Para f(x) calculemos los lımites anteriores:

lımx→∞

x2 + 1x+ 1

= +∞

lımx→−∞

x2 + 1x+ 1

= lımx→∞

(−x)2 + 1(−x) + 1

= lımx→∞

x2 + 1−x+ 1

= −∞

de modo que la funcion f(x) no posee asıntotas horizontales.b) En cuanto a g(x), de igual modo:

lımx→∞

1√x= 0

lımx→−∞

1√x=

De modo que g(x) posee una asıntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a ∞. De forma grafica:


9.4.3. Asıntotas Oblicuas

Una recta y = m · x+ n es una asıntota oblicua de la funcion f(x) cuando existen y son finitos loslımites:

m = lımx→∞

(f(x)

x

)

yn = lım

x→∞(f(x)−m · x)

Las asıntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas para el caso en que m = 0.

Ejemplo: Estudiar las asıntotas oblicuas de f(x) =x2

x+ 1.

Calculemos m y n:

m = lımx→∞

(f(x)

x

)= lım

x→∞

x2

x+1

x= lım

x→∞x2

x2 + x= 1

n = lımx→∞

(f(x)−m · x) = lımx→∞

(x2

x+ 1− 1 · x

)= lım

x→∞

(x2

x+ 1− x

)=

lımx→∞

(x2 − x2 − x

x+ 1

)= lım

x→∞

(−x

x+ 1

)= −1

Por tanto f(x) tiene una asıntota oblicua en y = x− 1 cuando x tiende a +∞.Se puede comprobar que cuando x tiende a −∞, f(x) tiene esta misma asıntota. (Intentalo).Graficamente se obtiene:

Figura 9.1: La asıntota oblicua es y = x− 1

Ejercicios:

1. Calcula las asıntotas de las funciones:

f(x) =x

x2 − 1 g(x) =x2

x+ 2h(x) =

x2 − 4x2 + 4

2. Estudia las asıntotas de la funcion:f(x) = e1

x−2 .


3. Calcula los lımites:

a) lımx→∞

x3

√x2 − 2

b) lımx→−∞

x3

√x2 − 2

c) lımx→∞

(3x2 − 53x2 + x

)x2−1

d) lımx→1

(x2 + 4x+ 4

) xx−1

e) lımx→2

√x2 + 5− 3√x+ 7− 3

f) lımx→1

2x2 − 2x2 − 2x+ 1

9.5. Continuidad

La idea intuitiva de funcion continua en un punto es bien sencilla.Una funcion continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin

levantar el lapiz del papel.Matematicamente la definicion de funcion continua es un poco mas compleja. Dice ası:

Definicion: Una funcion f(x) es continua en un punto x = a si:

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε

Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las imagenes se acercan a la imagen de a,f(a).

Si f(x) no es continua en x = a se dice que f(x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidaden x = a.

Propiedad: Para que una funcion sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:a) Exista el valor de la funcion en el punto, f(a).b) Existan los lımites laterales,

lımx→a+

f(x)

ylım

x→a−f(x)

, y sean finitos e iguales entre sı e iguales a f(a), es decir:

lımx→a+

f(x) = lımx→a−

f(x) = f(a)

Esta ultima propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una funcion es continua o noen un punto.

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la funcion:

f(x) =

2x+ 1 si x > 21x

si x ≤ 2

En primer lugar, senalemos que la mayorıa de las funciones que estudiamos son continuas en todos lospuntos salvo en algunos.

¿Cuales son los posibles puntos de discontinuidad de una funcion?.Aquellos en los que no esta definida la funcion (anulan el denominador, etc...) y aquellos en los

que cambia la definicion de la funcion.En todos los demas puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos.En nuestro caso, si nos fijamos en f(x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad.El primero es aquel en el que cambia la definicion de la funcion, x = 2. Ademas, como hay un

demominador, que se anula para x = 0, y ademas estamos en el tramo de funcion para valores menoresque 2, el punto x = 0 es otro posible punto de discontinuidad.


Analicemos si la funcion es continua o no en esos puntos.Continuidad en x = 2:

f(2) =12

pues debemos sustituir en la parte inferior de f(x), que es donde esta el igual.Lımites laterales:

lımx→2−

f(x) = lımx→2

1x=12

Por otra parte:lım

x→2+f(x) = lım

x→22x+ 1 = 5

Como los lımites laterales existen pero son diferentes, concluimos que f(x) es discontinua en x = 2.Continuidad en x = 0:

f(0) =

quedarıa un cero en el denominador.Con esto ya sabemos que la funcion no puede ser continua en x = 0. De todos modos calculamos

los lımites laterales.Observemos que cuando nos acercamos a 0, da igual por la derecha que por la izquierda, estamos

siempre en la parte inferior de la funcion, luego:

lımx→0−

f(x) = lımx→0−

1x=10−= −∞

Por otra parte:

lımx→0+

f(x) = lımx→0+

1x=10+= +∞

Y f(x) tambien es discontinua en x = 0.Por tanto f(x) es continua en todos los numeros reales salvo en x = 0 y x = 2.

9.6. Tipos de discontinuidad

Analicemos los posibles casos que se pueden dar a la hora de estudiar la continuidad de una funcionen un punto.

1. Existe f(a) y los lımites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f(a). Unadiscontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. Graficamente:


Observamos que los lımites por la derecha y por la izquierda valen 1, ambos, mientras quef(0) = 0. Hay una discontinuidad evitable en x = 0.

2. Existe f(a) y los lımites laterales existen y son finitos, aunque distintos. Estamos ante unadiscontinuidad de salto finito. Graficamente:

En este caso el lımite por la derecha es 1, el izquierdo es 0 y f(0) =−12, hay una discontinuidad

evitable en x = 0.

3. Existe f(a) y alguno de los lımites laterales es infinito. En este caso hay una discontinuidad desalto infinito. Graficamente:

Ahora f(0) = 1, el lımite por la izquierda vale 1 tambien y el lımite lateral por la derecha vale+∞. Discontinuidad de salto infinito en x = 0.


4. No existe f(a) o alguno de los lımites laterales. Se trata de una discontinuidad esencial. De formagrafica:

Los lımites laterales, ambos, son +∞, pero f(0) no existe. Hay una discontinuidad esencial enx = 0.

Capıtulo 10

DIFERENCIABILIDAD DEFUNCIONES. OPTIMIZACION

10.1. Introduccion

Sin duda uno de los pilares basicos de las matematicas lo constituye el calculo diferencial (o calculode derivadas). Las aplicaciones de las derivadas son multiples y se dan en muchos y muy diversoscampos.El calculo diferencial tuvo su germen en los trabajos del ilustres matematicos como I.Newton y

G.W. Leibnitz, quienes, independientemente uno del otro, llegaron a resultados similares en el sigloXVII.En este tema se analizaran algunas de las principales aplicaciones de las derivadas de funciones,

que posibilitan el calculo de extremos relativos, concavidad y puntos de inflexion, facilitan el trazadode curvas y sirven de herramienta para la resolucion de los llamados problemas de optimizacion, enlos cuales se trata de encontrar la solucion optima (maxima o mınima) a cierto problema.

10.2. Introduccion al concepto de derivada. Tasas de variacion me-dia e instantanea.

Sabemos que las funciones son crecientes en ocasiones, decrecientes en otras, e incluso constantesen alguna de sus partes.Ahora bien, no todas las funciones crecientes crecen de igual modo, e incluso una misma funcion

creciente puede crecer de distinta forma, dependiendo de que nos encontremos en una parte u otra.

Analicemos un ejemplo. La siguiente figura muestra la grafica de la funcion f(x) =−x

x− 2:

Es evidente que la funcion es creciente a partir del punto de abscisa x = 2. Ahora bien, ¿siemprecrece de igual modo?.

168

CAPITULO 10. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES. OPTIMIZACION 169

Evidentemente no.Tomemos un intervalo, por ejemplo el intervalo [3, 4].¿Cuanto ha crecido la funcion en ese intervalo?. Como:

f(3) =−31= −3

y

f(4) =−42= −2

la funcion ha crecido en realidad:f(4)− f(3) = 1

1 unidad.Si nos fijamos en otro intervalo donde la funcion tambien sea creciente, el [4, 6], veamos como crece

la funcion.Como f(4) = −2 y

f(6) =−64=−32

el crecimiento total es def(6)− f(4) =

−32− (−2) = 1

2tan solo media unidad, aunque el intervalo es dos veces mayor que el primero.Podemos inferir entonces que la funcion es mucho mas creciente, o que crece mas rapidamente en

el intervalo [3, 4] que en el [4, 6].La formalizacion de estas ideas la da la Tasa de Variacion Media de una funcion.

Definicion: Se llama Tasa de Variacion Media en un intervalo [a, b] de una funcion f(x), y se expresapor TV M [a, b], al cociente:

TV M [a, b] =f(b)− f(a)

b− a

La TV M no es mas que la diferencia entre los valores de la funcion en los extremos del intervalodividida entre la longitud del intervalo.Por tanto, de esta primera definicion podemos deducir algunas propiedades:* Si la TV M en el intervalo es positiva, significa que la funcion crece, globalmente en el intervalo.

(Entiendase globalmente en el sentido de que no es necesariamente creciente en todo el intervalo, peroen definitiva hay un crecimiento de la funcion en dicho intervalo).* Si la TV M en el intervalo es negativa, la funcion decrecera.* La magnitud del crecimiento o el decrecimiento dependera de la magnitud de la TV M .Ası pues la TV M nos da una idea de como crece o decrece la funcion y con que rapidez lo hace.Sin embargo, la TV M no resuelve todos los problemas, puesto que nos podemos plantear si la

funcion es creciente o no en un punto concreto, no en un intervalo.La TV M y el concepto de lımite solucionan el problema:


Si queremos saber si la funcion tiene una tendencia creciente o decreciente en un punto a, utiliza-remos el concepto de TV M como antes en un intervalo [a, a+ h]:

TV M [a, a+ h] =f(a+ h)− f(a)

a+ h− a=

f(a+ h)− f(a)h

A medida que nos acercamos al punto a, es decir, a medida que h se acerca a 0, la tasa de variacionmedia en ese intervalo se acerca al dato buscado, la tasa de variacion en ese punto concreto. Masconcretamente:

Definicion: Se llama Tasa de Variacion Instantanea en un punto a de una funcion f(x) al valor,denotado por TV I(a):

TV I(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)h

Ejemplo: Calcular la tasa de variacion instantanea de la funcion f(x) =x

x− 1 en el punto 2.Aplicando la definicion:

TV I(2) = lımh→0

f(2 + h)− f(2)h

= lımh→0

2+h2+h−1 −

22−1

h= lım

h→0

2+h1+h − 2

h=

= lımh→0

2+h−2−2h1+h

h= lım

h→0

−h1+h

h= lım

h→0

−h

h(h+ 1)= lım

h→0

−1h+ 1

= 1

Ejercicio: Calcula la Tasa de Variacion Instantanea para las siguientes funciones en los puntos indi-cados:a) f(x) =

2x− 1x + 1

en x = 0 y x = −1.b) g(x) = x3 − x+ 3 en x = 1 y x = −2.c) h(x) =

√x+ 3 en x = 6 y x = −2.

10.3. Definicion de derivada. Reglas de derivacion. Interpretacion

geometrica

La tasa de variacion instantanea en un punto es precisamente la derivada de la funcion en unpunto. Formalicemos:

Definicion: Dada una funcion f(x) y un punto a, se llama derivada de la funcion f(x) en el puntoa, y se representa por f ′(a) a:

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)h

es decir la derivada en un punto es la tasa de variacion instantanea en ese punto.

El problema que nos podemos encontrar es el siguiente.Si tenemos una funcion, digamos f(x) = 2x2 + 1, y calculamos su derivada en un punto x = −3,

tendremos que hacer:

f ′(−3) = lımh→0

f(−3 + h)− f(−3)h

= lımh→0

2(−3 + h)2 + 1− (2(−3)2+ 1)h

=

= lımh→0

2(9 + h2 − 6h) + 1− 19h

= lımh→0

2h2 − 12hh

= lımh→0

h(2h− 12)h

= lımh→0

2h− 12 = −12

Ahora bien, si queremos calcular la derivada en el punto 2 de la misma funcion, tenemos que volver acalcular ese lımite, lo cual es un trabajo engorroso.Conviene, por tanto calcular la funcion derivada de f(x), es decir f ′(x).


Esta funcion derivada permite calcular la derivada en cualquier punto sin mas que sustituir en elpunto concreto. Por ello es conveniente dominar las llamadas reglas de derivacion para las funcionesmas habituales.Por otra parte, es posible calcular las derivadas sucesivas de una funcion.La derivada segunda sera la derivada de la funcion derivada, y se representara por f ′′(x), y ası su-

cesivamente las funciones derivadas tercera (f ′′′(x)), cuarta, etc.

10.3.1. Propiedades de las derivadas. Reglas de derivacion

1. La derivada de una constante es nula:

f(x) = k =⇒ f ′(x) = 0

donde k ∈ R.

2. Derivada de la suma (o diferencia de funciones):

(f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

3. Derivada del producto de una funcion por una constante:

(k · f)′(x) = k · f ′(x)

donde k ∈ R.

4. Derivada del producto de funciones:

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

5. Derivada del cociente de funciones:(

f

g

)′(x) =

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)(g(x))2

6. Derivada de la composicion de funciones (Regla de la cadena):

(f g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)


10.3.2. Derivadas elementales

Funcion elemental Derivada

1.- f(x) = xk, k ∈ R f ′(x) = k · xk−1

2.- f(x) = ex f ′(x) = ex

3.- f(x) = ax, a ∈ R+ f ′(x) = ax · lna

4.- f(x) = logax, a ∈ R+ f ′(x) =

1x· 1lna

5.- f(x) = lnx f ′(x) =1x

6.- f(x) = sen x f ′(x) = cosx

7.- f(x) = cosx f ′(x) = −sen x

8.- f(x) = tanx f ′(x) = 1 + tan2 x = sec2 x =1

cos2 x

9.- f(x) = cscx f ′(x) = − cotx · csc x

10.- f(x) = sec x f ′(x) = tanx · sec x

11.- f(x) = cotx f ′(x) =−1sen 2x

= − csc2 x

12.- f(x) = arc sen x f ′(x) =1√1− x2

13.- f(x) = arc cosx f ′(x) =−1√1− x2

14.- f(x) = arctanx f ′(x) =1

1 + x2

15.- f(x) =√

x f ′(x) =1

2 ·√

x

16.- f(x) = n√

x f ′(x) =1

n · n√

xn−1

Con todas estas propiedades es mucho mas facil derivar, por ejemplo, para la funcion y el puntoanterior, calculamos la funcion derivada:

f(x) = 2x2 + 1 =⇒ f ′(x) = 4x

y ahora, conocida la funcion derivada podemos calcular la derivada en cualquier punto: En x = 2,

f ′(2) = 4 · 2 = 8

En x = −3,f ′(−3) = 4 · (−3) = −12

Es mucho mas comodo y no tenemos que recurrir a la definicion.


10.3.3. Interpretacion geometrica de la derivada

La derivada tiene una interpretacion geometrica muy sencilla.Observemos la funcion f(x). Si calculamos las respectivas tasas de variacion media en los intervalos

que se acercan al punto a, como la tasa de variacion media es:

TV M [a, a+ h] =f(a+ h)− f(a)

h

este cociente corresponde a la pendiente (o inclinacion) de la recta que une los puntos (a, f(a)) y(a+ h, f(a+ h)):

Figura 10.1: La pendiente de la recta secante esf(a+ h)− f(a)

h.

Por tanto cuando nos acercamos al punto a, es decir, cuando calculamos el valor de la tasa devariacion instantanea o derivada en el punto a, dicho valor es precisamente la pendiente de la rectatangente en el punto a, es decir, aquella recta que solo corta (en las cercanıas del punto) a la funcionf(x) en el punto a.

Figura 10.2: La pendiente de la recta tangente es f ′(a).


Recordemos que la pendiente de una recta es, en cierta forma, la inclinacion de la recta.Si α es al angulo que forma la recta con el eje x y m es la pendiente de la recta, se cumple que:

m = tanα

Figura 10.3: La pendiente de la recta tangente es m = tanα

Ası, si f(x) es la funcion y queremos calcular la tangente en el punto (a, f(a)), sabemos que lapendiente de la recta tangente es m = f ′(a), y utilizando la ecuacion de la recta en la forma punto-pendiente, sabemos que la ecuacion de dicha recta tangente es:

y − f(a) = f ′(a) · (x− a)

Ejemplo: Calcula la ecuacion de la recta tangente a la curva f(x) = e2x+2 en el punto −1.

Como a = −1, en primer lugar calculamos:

f(−1) = e−2+2 = e0 = 1

Para calcular f ′(−1), derivamos:f ′(x) = 2 · e2x+2

y por tanto la derivada en el punto a = −1 sera:

f ′(−1) = 2 · e−2+2 = 2 · e0 = 2

Con estos datos, la ecuacion de la recta tangente es:

y − f(−1) = f ′(−1) · (x− (−1)) =⇒ y − 1 = 2(x+ 1) =⇒ y = 2x+ 3


Graficamente la funcion y la recta tangente son:

Figura 10.4: Curva f(x) = e2x+2 y tangente en x = −1, y = 2x+ 3.

10.4. Aplicaciones de las derivadas a la Fısica y la Economıa

10.4.1. Aplicacion a la Fısica

La derivada tiene una importante aplicacion en el campo de la fısica.Si una partıcula lleva un movimiento cualquiera en el que el espacio recorrido viene dado por una

funcion e(t), es decir, el espacio dado en funcion del tiempo, entonces se cumple que:a) La derivada del espacio, e′(t) representa la velocidad de la partıcula en el instante t, es decir, la

derivada del espacio es la velocidad:v(t) = e′(t)

b) Ademas, la derivada de la velocidad, v′(t) representa la aceleracion de la partıcula en cualquierinstante t, es decir, la derivada de la velocidad (o la derivada segunda del espacio) es la aceleracion:

a(t) = v′(t) = e′′(t)

Ejemplo: El espacio recorrido por un movil viene dado por la funcion e(t) = 3t2 − t+ 1.a) Calcular la tasa de variacion en el intervalo [2, 6].b) Hallar la velocidad en el instante t = 0.c) Hallar la velocidad y aceleracion en el instante t = 2.

a) Aplicando la formula:

e(6) = 108− 6 + 1 = 103, e(2) = 12− 2 + 1 = 11

luego:

TV M [2, 6] =e(6)− e(2)6− 2 =

103− 114

=924= 23 m/s

b) La velocidad sera:v(t) = e′(t) = 6t− 1 =⇒ v(0) = −1 m/s


c) En el instante 2:v(2) = 11 m/s

Y la aceleracion en ese mismo instante;

a(t) = v′(t) = 6

Por tanto,a(2) = 6 m/s2

la aceleracion es constante, es un movimiento uniformemente acelerado.

10.4.2. Aplicacion a la Economıa

La aplicacion a la Economıa se refiere al concepto de marginalidad.Ası, el coste marginal de fabricacion de un producto es el incremento de coste que se produce

cuando se aumenta la produccion en una unidad mas.Del mismo modo se hablarıa del incremento de los ingresos por la ultima unidad vendida, ingreso

marginal.En cualquier caso, siempre que se utilice el termino marginal , se trata de la derivada de la funcion

de que se este tratando, respecto de la variable de produccion, que se mide en unidades fabricadas.Supongamos, por ejemplo, que la funcion de costes de cierto producto viene dada por la expresion

c(x) = 30 + 50x− x2, donde c(x) se expresa en euros y x en unidades.El coste marginal para producir la unidad x+ 1 serıa c′(x) = 50− 2x.En realidad, la derivada no proporciona exactamente el coste marginal, sino una aproximacion

que facilita el calculo. Dicho coste marignal, rigurosamente, viene dado por c(x+ 1)− c(x), pero estadiferencia se puede aproximar bien por la derivada c′(x).Si queremos calcular el coste marginal producido al producir la 3ª unidad, fijemonos en que es-

tarıamos calculando el coste marginal de la unidad nº 2, c′(2) = 46, es decir, 46 euros.Si no utilizasemos la derivada, el coste marginal serıa:

c(3) = 30 + 150− 9 = 171, c(2) = 30 + 100− 4 = 126 =⇒ c(3)− c(2) = 171− 126 = 45

no es el valor que obtenıamos con la derivada, pero es una buena aproximacion.Las funciones de la Economıa tienen un campo de validez que, por lo general, es restringido respecto

al dominio de definicion de la funcion.En este caso, por ejemplo, la funcion es valida desde x = 0 hasta x = 25; a partir de ahı, si obser-

vamos el coste marginal, disminuyen los costes de fabricacion, lo que es absurdo si se esta fabricandomas.Notemos, ademas que si queremos calcular el coste marginal si se quiere producir la unidad numero

n, hemos de calcular la funcion de coste marginal evaluada en la unidad anterior, que es la ultimaunidad producida, es decir, en la unidad n − 1.Lo mismo se puede decir si la funcion es de ingresos o de beneficios.

Ejercicios:

1. El desplazamiento de un movil que se mueve a lo largo de una linea recta viene dado por lafuncion e(t) = et2 − 1.Halla la velocidad y la aceleracion del movimiento. En el instante inicial, ¿cuales son estas?.

2. Las funciones de ingresos y gastos correspondientes a cierto producto de consumo son, respecti-vamente:

I(x) = 80x− 0′1x2, C(x) = 500 + 20x

. Halla la funcion beneficio y el beneficio marginal. ¿Para que valores de x estan definidas estasfunciones?.


10.5. Derivabilidad y continuidad

Se estudio en el tema anterior el concepto de continuidad de una funcion en un punto.Vimos, por ejemplo, que intuitivamente se puede decir que una funcion es continua cuando se

puede dibujar sin levantar el lapiz del papel, o de manera mas formal, cuando en el punto coincidenlos lımites laterales con el valor de la funcion en el punto, esto es:

lımx→a+

f(x) = lımx→a−

f(x) = f(a)

La condicion para que una funcion sea derivable es mas fuerte, mas restrictiva. Para ello es necesariodefinir las derivadas laterales.

Definicion: Dado un punto a y una funcion f(x), se define la derivada lateral por la derecha de lafuncion f(x) y se expresa por f ′

+(a), como:

f ′+(a) = lım

h→0+

f(a+ h)− f(a)h

Dado un punto a y una funcion f(x), se define la derivada lateral por la izquierda de la funcion f(x)y se expresa porpor f ′

−(a), como:

f ′−(a) = lım

h→0−

f(a+ h)− f(a)h

Definicion: Diremos que una funcion es derivable en un punto a cuando existen y son finitas lasderivadas laterales y son iguales, es decir:

f ′+(a) = f ′

−(a)

Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcion:

f(x) =−x si x ≤ 0x si x > 0

Calculando los lımites laterales:lım

x→0+f(x) = lım

x→0x = 0

lımx→0−

f(x) = lımx→0−x = 0

Ademas f(0) = 0, por tanto la funcion es continua en el punto x = 0 que es el unico punto conflictivo.Analicemos la derivabilidad en x = 0:

f ′−(0) = lım

h→0−

f(0 + h)− f(0)h

= lımh→0

−h− 0h

= lımh→0

−h

h= lım

h→0−1 = −1

f ′+(0) = lım

h→0+

f(0 + h)− f(0)h

= lımh→0

h− 0h

= lımh→0

h

h= lım

h→01 = 1

Por tanto la funcion no es derivable en x = 0.


Viendo la grafica de la funcion, se observa lo que ocurre:

La funcion es continua pues se puede dibujar sin levantar el lapiz del papel, pero no es derivableen el cero porque en dicho punto hay un punto anguloso, una “esquina”. En puntos como estos, lafuncion no es derivable.Por tanto, se verifica que aunque una funcion puede ser continua en un punto y sin embargo no

ser derivable en ese mismo punto.Sin embargo, la posibilidad contraria no es posible. Resumiendo:

Propiedad:Si una funcion es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

Sin embargo, el recıproco no es cierto, si una funcion es continua en un punto, la funcion puede ser ono derivable en dicho punto.

Ejercicios:

1. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcion:

f(x) =

−2x− 1 si x ≤ −2x2 − 3 si −2 < x ≤ 22x− 3 si x > 2

2. Calcula a y b para que sea derivable la funcion:

g(x) =

ax+ 3 si x ≤ 12x2 − b si x > 1

Indicacion: Primero impon la condicion de que sea continua


10.6. Aplicaciones de las derivadas al calculo del crecimiento y de-

crecimiento de una funcion. Calculo de extremos

Observemos la siguiente grafica:

Figura 10.5: La pendiente de las tangentes (la derivada) es positiva si la funcion crece.

Si trazamos las correspondientes tangentes en diversos puntos, todos ellos donde la funcion escreciente, obsevamos como la recta tangente esta cada vez menos inclinada, lo que quiere decir (yaque la inclinacion de una recta se mide a traves de su pendientes y sabemos que esta coincide con laderivada ) que la derivada es cada vez menor.Mas aun, como las rectas tangentes tienen inclinacion positiva (son rectas crecientes), las pendientes

son cada vez menores y positivas, es decir, la derivada es positiva en aquellos intervalos en los que lafuncion es creciente.Si seguimos trazando tangentes, llegamos al punto 3, donde la tangente es totalmente horizontal,

es decir:

Figura 10.6: La pendiente de las tangentes (la derivada) es nula si la funcion tiene un extremo (unvalor maximo o mınimo).


Decıamos que la pendiente era decreciente, hasta que llega al maximo de la funcion, donde se haalcanzado el valor extremo de la pendiente. La recta es horizontal, no esta inclinada y su pendiente escero.Si seguimos trazando las tangentes, vemos ahora lo siguiente:

Figura 10.7: La pendiente de las tangentes (la derivada) es negativa si la funcion decrece.

Y ahora observamos que la pendiente de la recta (la derivada) es negativa, y cada vez menor, portanto si la funcion de decreciente, afirmamos que la funcion derivada es negativa.Todo lo observado anteriormente lo podemos resumir en la siguiente propiedad.

Propiedad: Dada una funcion f(x), se cumple que:a) Si f ′(x) > 0 (la derivada es positiva) entonces la funcion f(x) es creciente.b) Si f ′(x) < 0 (la derivada es negativa) entonces la funcion f(x) es decreciente.c) Si f ′(x) = 0 entonces la funcion puede presentar un extremo relativo (maximo o mınimo) en

dicho punto.

La manera practica de proceder, por tanto, para determinar los extremos de una funcion, ası comoaquellos intervalos en los que la funcion crece o decrece es la siguiente:* Calculamos la derivada de la funcion, f ′(x), y la igualamos a cero, resolvemos la ecuacion resul-

tante, cuyas soluciones son los posibles extremos de la funcion.* Realizamos una tabla en la que tenemos que poner los puntos obtenidos anteriormente y ademas

los puntos conflictivos de la funcion (aquellos donde la funcion no esta definida, o donde no es deriva-ble....). Todos estos puntos se denominan puntos crıticos.* En dicha tabla, estudiamos el signo de la derivada primera, f ′(x).Si dicha derivada es positiva, nos indicara el crecimiento de la funcion, y si es negativa, sera un signo

de su decrecimiento. El paso de un intervalo creciente a otro decreciente o viceversa nos indicara laexistencia de un maximo o un mınimo relativo de la funcion f(x).

Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y los extremos de la funcion: f(x) = x3 − 3x.

Comenzamos calculando la derivada: f ′(x) = 3x2 − 3.Igualando a cero:

3x2 − 3 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1


obtenemos dos puntos crıticos, y no hay mas pues la funcion es polinomica y por tanto, su dominioson todos los numeros reales y no presenta problemas. Hacemos una tabla como la siguiente:

−∞ −1 1 +∞f ′(x) + − +f(x)

Para obtener los signos de f ′(x) basta tomar, por ejemplo, un punto en cada intervalo y sustituir enla expresion de la derivada.Entre −∞ y −1 tomamos el −2, con lo que:

f ′(−2) = 12− 3 = 9 > 0

positiva. Entre −1 y 1, tomamos el 0, quedando:

f ′(0) = −3 < 0

negativa. Entre 1 e ∞ se toma el 2, y se obtiene:

f ′(2) = 12− 3 = 9 > 0

positivo.

Concluimos que la funcion es creciente en el intervalo (−∞,−1) ∪ (1,∞).La funcion es decreciente en (−1, 1).Ademas, se observa que presenta un maximo en el punto x = −1, y un mınimo en x = 1.¿Como calcular la segunda coordenada del maximo y el mınimo?.Basta sustituir en la funcion:

El maximo esta en el punto (−1, f(−1)) = (−1, 2).El mınimo esta en el punto (1, f(1)) = (1,−2).Ası, la representacion aproximada de la funcion sera:

Figura 10.8: Grafica de f(x) = x3 − 3x. Intervalos de crecimiento y extremos.


Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y los extremos de la funcion:

f(x) =2x2 − 3x

ex

Derivando:

f ′(x) =(4x− 3)ex − ex(2x2 − 3x)

(ex)2=

ex(−2x2 + 7x− 3)(ex)2

=−2x2 + 7x− 3

ex

E igualando a cero:

−2x2 + 7x− 3ex

= 0 =⇒ −2x2 + 7x− 3 = 0 =⇒ x = 3, x =12

No hay mas puntos conflictivos, pues aunque hay denominador, nunca se hace cero, pues ex, la funcionexponencial es siempre positiva, de modo que Dom f(x) = R.Ası pues los unicos puntos crıticos son x = 3, x = 1

2 .Hacemos la tabla:

−∞ 12 3 +∞

f ′(x) − + −f(x)

Con lo que f(x) es creciente en(12, 3), decreciente en

(−∞,

12

)∪ (3,∞).

Por tanto f(x) presenta un maximo relativo en:

(3, f(3)) =(3,9e3

)≈ (3, 0′45)

y un mınimo relativo en (12, f

(12

))=(12,−1e

12

)≈ (0′5,−0′61)

Graficamente:

Figura 10.9: Grafica de f(x) =2x2 − 3x

ex. Intervalos de crecimiento y extremos.


10.7. Aplicaciones de las derivadas al calculo de la concavidad y

la convexidad, puntos de inflexion. Criterio para determinar

maximos y mınimos.

Igual que se aplican las derivadas para el calculo de los maximos y los mınimos, y el crecimientoo decrecimiento de la funcion, tambien se pueden aplicar para calcular la concavidad y la convexidad.Fijemonos en la funcion siguiente, convexa (o, para evitar ambiguedades, concava hacia abajo):

Figura 10.10: La pendiente de las tangentes pasa de positiva a negativa (es decir, decrece) si la funciones concava hacia abajo

Al trazar las tangentes, nos fijamos en que cada vez son menores.Empiezan siendo positivas y muy grandes, van decreciendo hasta que valen cero, y luego comienzan

a ser negativas y cada vez menores. Es decir, que la funcion derivada es decreciente, f ′(x) decreciente.Si f ′(x) es decreciente, es que su derivada es negativa, es decir, f ′′(x) < 0.Por tanto se deduce que si la derivada segunda de la funcion es negativa, la funcion es concava

hacia abajo.De igual modo si nos fijamos en una funcion concava (o concava hacia arriba):

Figura 10.11: La pendiente de las tangentes pasa de negativa a positiva (es decir, crece) si la funciones concava hacia arriba


En este caso la derivada es creciente, y por tanto la derivada segunda sera positiva. Es decir, si laderivada segunda es positiva, la funcion es concava hacia arriba.

Propiedad: Dada una funcion f(x), se cumple que:a) Si f ′′(x) > 0, entonces la funcion f(x) es concava hacia arriba.b) Si f ′′(x) < 0, entonces la funcion f(x) es concava hacia abajo.c) Si f ′′(x) = 0, entonces el punto es un posible punto de inflexion (un punto donde la funcion

pasa de concava hacia arrina a concava hacia abajo o viceversa) de la funcion.El proceso para determinar la concavidad y puntos de inflexion es, por tanto, muy similar al del

calculo del crecimiento, unicamente hay que hacer la derivada segunda e igualarla a cero. La tabla essimilar.

Ejemplo: Calcular la concavidad y convexidad de la funcion:

f(x) = x3 − 3x

Calculando la derivada segunda:

f ′(x) = 3x2 − 3 =⇒ f ′′(x) = 6x

Igualando a cero, 6x = 0, de donde x = 0.Es el unico punto conflictivo, pues la funcion es polinomica.Haciendo la tabla:

−∞ 0 +∞f ′′(x) − +f(x) ∩ ∪

Ası pues la funcion es concava hacia arriba en (0,∞) y concava hacia abajo en (−∞, 0).Hay un punto de inflexion es (0, f(0)) = (0, 0).Se observa graficamente:

Figura 10.12: Grafica de f(x) = x3 − 3x. Intervalos de concavidad y puntos de inflexion.


Ejercicios: Estudiar la concavidad y convexidad, el crecimiento y el decrecimiento, los extremosy puntos de inflexion de las siguientes funciones:a) f(x) = 2x3 − 9x2

b) g(x) =2x

c) h(x) = x4 − 12x2 + 8d) t(x) = x · e−2x

Ademas la derivada segunda permite discernir si un punto crıtico es un maximo o un mınimo, en baseal siguiente resultado:

Propiedad: Si a es un punto tal que f ′(a) = 0 (un posible extremo relativo), entonces:* Si f ′′(a) > 0, entonces a es un mınimo de la funcion.* Si f ′′(a) < 0, entonces a es un maximo de la funcion.* Si f ′′(a) = 0 no podemos asegurar nada. (Aunque en realidad si se puede saber pero excede los

contenidos del curso).

Ejemplo: Estudiar los intervalos de crecimiento y los extremos de la funcion:

f(x) = x3 − 3x

Comenzamos calculando la derivada: f ′(x) = 3x2 − 3.Igualando a cero:

3x2 − 3 = 0 =⇒ x2 = 1 =⇒ x = ±1, obtenemos dos puntos crıticos.Calculando la derivada segunda:

f ′′(x) = 6x

Sustituyendo,f ′′(1) = 6 > 0

en x = 1 hay un mınimo.f ′′(−1) = −6 < 0

en x = −1 hay un maximo.Como ya habıamos obtenido anteriormente.

10.8. Representacion grafica de funciones

Con todas estas aplicaciones es sencillo representar graficamente cualquier funcion, basandose enlos siguientes puntos:

1. Dominio de definicion.

2. Puntos de corte con los ejes:

Con el eje x, y = 0.

Con el eje y, x = 0.

3. Simetrıas.

Par si f(−x) = f(x).

Impar si f(−x) = −f(x).

No tiene simetrıa si no se da ninguna de esas condiciones.

4. Asıntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas.


5. Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion.

Ejemplo: Representa graficamente la funcion f(x) =3x− 13x2 + 1

.

1. Dominio de definicion

Igualando a cero el denominador:

3x2 + 1 = 0 =⇒ x2 =−13=⇒ x =

√−13=

de modo que Dom f(x) = R.

2. Puntos de corte con los ejes

Con el eje x, f(x) = 0:3x− 13x2 + 1

=⇒ 3x− 1 = 0 =⇒ x =13

el punto es(13, 0).

Con el eje y, x = 0:

f(0) =3 · 0− 13 · 02 + 1 =

−11= −1

el punto es (0,−1).

3. Simetrıas

f(−x) =3(−x)− 13(−x)2 + 1

=−3x− 13x2 + 1

= 3x− 13x2 + 1

= f(x)

f no es par.

f(−x) =3(−x)− 13(−x)2 + 1

=−3x− 13x2 + 1

= − 3x− 13x2 + 1

= −f(x)

f no es impar, luego f no tiene simetrıas.

4. Asıntotas

Verticales: No tiene puesto que Dom f(x) = R.

Horizontales:lım

x→∞3x− 13x2 + 1

= 0

lımx→−∞

3x− 13x2 + 1

= lımx→∞

3(−x)− 13(−x)2 + 1

= lımx→∞

−3x− 13x2 + 1

= 0

Hay una asıntota horizontal en y = 0.

Oblicuas: No hay, pues hay horizontales.

5. Crecimiento

Derivando:

f ′(x) =3(3x2 + 1)− 6x(3x− 1)

(3x2 + 1)2=−9x2 + 6x+ 3(3x2 + 1)2

= 0

Igualando a cero:

−9x2 + 6x+ 3 = 0 =⇒ −3x2 + 2x+ 1 = 0 =⇒ x = 1 x =−13


No hay mas puntos crıticos, pues Dom f(x) = R.

Haciendo la tabla:

−∞ −13 1 +∞

f ′(x) − + −f(x)

Luego f(x) es creciente en(−13

, 1)y decreciente en

(−∞,

−13

)∪ (1,∞).

Tiene un maximo relativo en (1, f(1)) =(1,12

)y un maximo relativo en

(−13

,−243

)=

(−13

,−64

)=(−13

,−32

).

6. Concavidad

Calculando la derivada segunda, es:

f ′′(x) =54x3 − 54x2 − 54x+ 6

(3x2 + 1)3

e igualando a cero no se obtienen raıces exactas, por lo que no se puede hacer este estudio.

Con los datos que tenemos, podemos hacer un esbozo de la grafica de la funcion:

Figura 10.13: Grafica de f(x) =3x− 13x2 + 1

.

10.9. Optimizacion de funciones

La ultima aplicacion de las derivada es la optimizacion de funciones. Consiste en calcular losmaximos y los mınimos de cierta funcion que se obtiene de un problema surgido de una situacioncotidiana.En estos problemas siempre se tiene:* Una funcion de la que hay que calcular el maximo o el mınimo, y que habitualmente tiene dos

variables, x e y.* Una relacion entre x e y, que permite despejar una de las dos para obtener una funcion con una

sola variable.Veamos como se aplica:Ejemplo: De entre todos los numeros cuya suma es 36, calcula aquellos cuya suma de cuadrados

es mınimo.


Los numeros buscados son x e y.La funcion a minimizar es f(x, y) = x2 + y2.Tenemos dos variables, luego todavıa no podemos derivar.La relacion que tenemos es que los numeros suman 36, es decir, x+ y = 36.Despejando, y = 36− x.Y por tanto, la funcion a minimizar es:

f(x) = x2 + (36− x)2

que ya tiene solo una vatiable.Para buscar sus mınimos, calculamos la derivada f ′(x):

f ′(x) = 2x+ 2(36− x)(−1) = 2x− 72 + 2x = 4x− 72

Igualando a cero,

4x− 72 = 0 =⇒ x =724= 18

Ademas calculando la derivada segunda:f ′′(x) = 4

con lo que sustituyendo:f ′′(18) = 4 > 0

es positivo luego el punto x = 18 es un mınimo.La solucion es, por tanto, un numero x = 18 y el otro y = 36− 18 = 18.Los dos numeros son iguales a 18.

Ejercicios:

1. Descompon el numero 48 en dos sumandos tales que el quıntuplo del cuadrado del primero masel sextuplo del cuadrado del segundo sea mınimo.

2. Halla un numero positivo cuya suma con 4 veces su recıproco sea mınima.

3. Halla las dimensiones del rectangulo de area maxima inscrito en una circunferencia de 20 cm deradio.

4. La suma de tres numeros es 60. El primero mas el doble del segundo mas el triple del tercerosuman 120. Halla los numeros que verifican estas condiciones y cuyo producto es maximo.

5. Un deposito abierto de chapa y de base cuadrada debe tener capacidad para 13500 litros. ¿Cualeshan de ser sus dimensiones para que se precise la menor cantidad de chapa?

6. Una ventana normanda consiste en un rectangulo coronado con un semicırculo. Encontrar lasdimensiones de la ventana de area maxima si su perımetro es 10 metros.

7. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los margenes superior e inferiordeben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que elgasto de papel sea mınimo.

Capıtulo 11

INTEGRACION. CALCULO DEAREAS

11.1. Introduccion

Si el problema del calculo de la recta tangente llevo a los matematicos del siglo XVII al desarrollo delas tecnicas de la derivacion, otro problema, el del calculo del area encerrada por una curva, propicio eldesrrollo de las tecnicas de integracion.

Se trataba, por ejemplo, de hallar el area encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b:

Se conocıan formulas para recintos de forma igual a figuras geometricas(rectangulares, triangulares,e incluso algunas de curvas especıficas), pero si la curva no tenıa forma regular, no se conocıa, engeneral, su area exacta.

El calculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones.

11.2. Primitivas. Integral indefinida

Dada un funcion f(x), sabemos calcular su derivada f ′(x), e incluso sus derivadas sucesivas, f ′′(x),f ′′′(x), etc.

Sin embargo ahora nos planteamos el problema recıproco:Dada una funcion f(x), se trata de encontrar otra, F (x), tal que al derivar esta ultima funcion,

obtengamos la funcion inicial, es decir:F ′(x) = f(x)

Veamos un ejemplo:Tomemos la funcion f(x) = 2x.Se trata de encontrar una funcion F (x) tal que al derivarla nos de f(x).

193

CAPITULO 11. INTEGRACION. CALCULO DE AREAS 194

Si pensamos un poco, llegamos a que tal funcion puede ser:

F (x) = x2

pues su derivada es precisamente f(x) = 2x.Ahora bien, no es F (x) la unica funcion que cumple eso.Tomemos esta otra:

F (x) = x2 + 43

Tambien su derivada es f(x) = 2x.Esto nos hace ver que no solo hay una funcion que cumple lo requerido, sino infinitas, sin mas que

anadir cualquier numero. Esto se expresa como:

F (x) = x2 + C

Una funcion F (x) como la que hemos encontrado se llama primitiva de f(x), y hemos visto que si unafuncion tiene una primitiva, entonces tiene infinitas.

Llamaremos integral indefinida de la funcion al conjunto de todas estas primitivas.Lo representaremos, en el caso anterior, como:

∫2x dx = x2 + C, C ∈ R

Definicion: Dada una funcion f(x), se llama primitiva de f(x) a otra funcion F (x) tal que:

F ′(x) = f(x)

Se denomina integral indefinida de f(x) al conjunto de todas las primitivas (hay infinitas) de f(x), yse representa por: ∫

f(x) dx = F (x) + C, C ∈ R

Ası, el problema de calcular una primitiva de una funcion es inverso al de calcular una derivada; comoson operaciones inversas la suma y la resta, el producto y el cociente, la potenciacion y la radicacion.


11.3. Primitivas inmediatas

De modo analogo al caso de las derivadas, debemos recordar algunas primitivas de las funcionesmas usuales:

1.−∫

k dx = kx + C, C ∈ R, k ∈ R

2.−∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, C ∈ R, , n ∈ R, n = −1

3.−∫

x−1 dx =∫

1x

dx = ln x + C, C ∈ R

4.−∫

ax dx =ax

ln a+ C, C ∈ R

5.−∫

ex dx = ex + C, C ∈ R

6.−∫

sen x dx = − cosx + C, C ∈ R

7.−∫

cosx dx = sen x + C, C ∈ R

8.−∫

11 + x2

dx = arctanx, C ∈ R

9.−∫

1√1− x2

dx = arc sen x + C, C ∈ R

10.−∫ −1√

1− x2dx = arc cosx + C, C ∈ R

Estas primitivas permiten calcular algunas integrales sencillas.Ademas es conveniente la utilizacion de las dos propiedades siguientes:

1. ∫k · f(x) dx = k ·

∫f(x) dx, k ∈ R

Esta propiedad indica que si hay un numero multiplicando a toda la integral, entonces se puedesacar fuera de la integral.

2. ∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x) dx±

∫g(x) dx

Lo que indica esta propiedad es que si tenemos una suma (o resta) de dos funciones, entoncespodemos separar la integral en la suma (o resta) de dos integrales.

Utilizando estas propiedades de manera combinada, se calculan las primeras integrales sencillas.Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Calcular las integrales siguientes:

a)∫ √

x dx b)∫

(15x4 + 10x3 − 12x2 − 8x + 5) dx c)∫ (

2x

+ ex − 3 cosx

)dx


Para la primera integral , expresamos la raız en forma de potencia y utlizamos la integral inmediata2: ∫ √

x dx =∫

x12 dx =

x12+1

12 + 1

=x

32

32

=2x

32

3=

2√

x3

3=

2x√

x

3+ C, C ∈ R

En la segunda, separamos las sucesivas sumas y restas y sacamos los numeros fuera de las integrales,aplicando las propiedades de la integral para luego aplicar la integral inmediata 2 de nuevo:∫

(15x4 + 10x3 − 12x2 − 8x + 5) dx =∫

15x4 dx +∫

10x3 dx−∫

12x2 dx−∫

8x dx +∫

5 dx =

= 15∫

x4 dx + 10∫

x3 dx− 12∫

x2 dx− 8∫

x dx +∫

5 dx =15x5

5+

10x4

4− 12x3

3− 8x2

2+ 5x =

= 3x5 +5x4

2− 4x3 − 4x2 + 5x + C, C ∈ R

Por ultimo, volvemos a separar las integrales y los numeros y aplicamos la tabla de integrales inme-diatas: ∫ (

2x

+ ex − 3 cosx

)dx =

∫2x

dx +∫

ex dx−∫

3 cosx dx =

= 2∫

1x

dx +∫

ex dx− 3∫

cosx dx = 2 lnx + ex − 3 · sen x + C, C ∈ R

Ejercicio: Calcular las siguientes integrales:

a)∫

5x3 − 4x

x4dx b)

∫sen x + 2 cosx + 3 dx c)

∫(18x + 1) dx

d)∫

(2x− 1)2(2x + 1) dx e)∫ (

2x

+3x2

+4x3

)dx f)

∫(x + 2)2 dx g)

∫2 3√

x dx

11.4. Integracion por cambio de variable

A veces las integrales no son tan simples como las inmediatas, sino que hay pequenos detalles quenos impiden aplicar la tabla de primitivas.

Por ejemplo, podemos calcular sin problema la integral:∫

sen x dx = − cosx + C, C ∈ R

pues es inmediata.Sin embargo otra integral tan parecida y de aspecto simple como:

∫sen (2x + 6) dx

ya no la sabemos calcular porque no aparece en la tabla de primitivas inmediatas.El razonamiento a utilizar en este caso es el siguiente:

Si en vez de tener en la integral anterior 2x+6, tuviesemos simplemente x, la integral serıa inmediata.Por tanto, la idea es la siguiente, vamos a cambiar la variable x por otra nueva (que usualmentedenotaremos por t) y que simplifica la tarea.

Llamaremos t a la variable que tiene la siguiente relacion con x, en este caso:

t = 2x + 6


Ahora bien, se nos plantea otro problema. En la integral aparece el termino dx (lease diferencial de x).Lo logico es que si la integral tiene una nueva variable t, en vez de aparecer diferencial de x, aparezcadiferencial de t, para no mezclar las variables.

Aunque pueda parecer una forma un poco artificial, daremos aquı la forma para calcular dt.Simplemente se deriva en la expresion del cambio de variable:

Derivando t = 2x + 6, se obtiene, 1 · dt = 2 · dx, es decir que:

dx =dt

2

Una vez calculado esto, ya podemos calcular la integral:∫

sen (2x + 6) dx =cambio

∫sen t · dt

2=

12

∫sen t · dt =

12(− cos t) =

=deshacer el cambio

−12

cos (2x + 6) + C, C ∈ R

El metodo del cambio de variable permite resolver de manera simple integrales que de otro modo nose podrıan abordar.

Ejemplo: ∫e2x3−5x2 dx

Razonando como antes, se observa que la parte problematica de la integral esta en el exponente dedicha integral.

Hacemos entonces el cambio:t = 2x3 − 5

y calculando el diferencial:dt = 6x2 dx

de donde despejamos la parte que aparece en la integral:

x2 dx =dt

6

y por tanto la integral queda reducida a:∫

e2x3−5x2 dx =cambio

∫et dt

6=

16

∫et dt =

16et =

deshacer el cambio

16e2x3−5 + C, C ∈ R

Ejemplo: ∫(6x2 + 15x + 3)178(12x + 15) dx

El cambio necesario en este caso es:t = 6x2 + 15x + 3

con lo que queda:dt = 12x + 15 dx

y por tanto la integral es:∫

(6x2 + 15x + 3)178(12x + 15) dx = =cambio

∫t178 dt =

t179

179=

=deshacer el cambio

(6x2 + 15x + 3)179

179+ C, C ∈ R


Ejercicios: Calcula mediante integracion por cambio de variable las siguientes integrales:

a)∫

3x2 − 2x

x3 − x2 + 3dx Cambio:t = x3 − x2 + 3 b)

∫cos (x2 + 1) 2x dx c)

∫5sen (3x + 1) dx

d)∫

cos(

2x + 13

)dx e)

∫ex+2 dx f)

∫(x− 4)

57 dx g)

∫1

1 + xdx

h)∫

1 + cosx

x + sen xdx i)

∫xex2

dx j)∫

1(x + 2)3

dx

11.5. Determinacion de una primitiva particular de una funcion

Ya hemos visto que si una funcion tiene una primitiva, entonces tiene infinitas, lo que representamosanadiendo la constante C al calculo de la integral.

Ahora bien, si queremos determinar una primitiva concreta de entre todas esas infinitas, necesita-mos un dato mas, como por ejemplo, un punto por el que pase dicha funcion.

Ejemplo: Calcular la primitiva de la funcion:

f(x) = x3 − 2x + 5

que pasa por el punto (1, 3).

Calculamos en primer lugar todas las primitivas de f(x), es decir la integral indefinida:∫

x3 − 2x + 5 dx =x4

4− 2

x2

2+ 5x =

x4

4− x2 + 5x + C, C ∈ R

De todas estas primitivas, la unica que cumple que pasa por el (1, 3), es aquella tal que:

14

4− 12 + 5 · 1 + C = 3

es decir14− 1 + 5 + C = 3 =⇒ 17

4+ C = 3 =⇒ C =

−54

y por tanto la primitiva buscada es:

F (x) =x4

4− x2 + 5x− 5

4


11.6. El problema del calculo del area

Ya se dijo que el desarrollo del calculo integral en buena medida se debe al problema de calcularareas de funciones como esta:

Una aproximacion para calcular el area consiste en dividir el intervalo en otros mas pequenos ycalcular el area de los rectangulos que se forman bien al tomar el valor de la funcion en un extremodel intervalo, bien en otro entremo, es decir:

Figura 11.1: Aproximacion del area mediante rectangulos mas pequenos que la funcion

En este caso, hemos dividido el intervalo mayor en 4 subintevalos mas pequenos y hemos tomadocomo altura de los rectangulos el valor de la funcion en el extremo superior del intervalo.

Ası la suma de las areas de los rectangulos son mas pequenas que el area buscada.

Area suma rectangulos< Area de la funcion

Esta suma, en la que la suma de las areas de los rectangulos es menor que el area total se denominasuma inferior de la funcion en el intervalo.

Pero podrıamos haber tomado estos otros rectangulos:

Figura 11.2: Aproximacion del area mediante rectangulos mas grandes que la funcion

Ahora la suma del area de los rectangulos es mayor que el area total, es decir:


Area de la funcion< Area suma rectangulos

Esta suma, en la que la suma de las areas de los rectangulos es mayor que el area total se denominasuma superior de la funcion en el intervalo.

Por tanto, el area buscada esta entre la suma superior y la suma inferior de la funcion:

Suma inferior≤ Area≤ Suma superior

Ademas, obervemos lo que ocurre cuando los subintervalos que tomamos son cada vez menores:

Vemos que las sumas inferiores son cada vez mayores y cada vez mas cercanas al area buscada, amedida que los intervalos son mas pequenos.

Figura 11.3: La aproximacion se mejora al aumentar el numero de rectangulos

Por contra, las sumas superiores son cada vez mas pequenas y tambien cada vez mas cercanas alarea buscada, a medida que los intervalos son mas pequenos.

A medida que los subintervalos son menores, las sumas superiores e inferiores se acercan al areabuscada. Para llegar a calcular dicha area, necesitamos calcular una suma infinita (la de los infinitosrectangulos a medida que estos son mas pequenos), cosa que en matematicas se denomina sumar unaserie.

Esto excede con mucho los contenidos del curso. Lo que se necesita saber es que tanto las sumassuperiores como las sumas inferiores convergen (se acercan) al area buscada, y dicha suma se representa,si la funcion es f(x) y el intervalo es [a, b], por la integral:

∫ b

af(x) dx

Ahora bien, el siguiente problema es como se calcula esta integral, pues en las integrales indefinidasno habıamos incluido ningun intervalo.


11.7. La integral definida. La regla de Barrow

Se denomina integral definida de la funcion f(x) en el intervalo [a, b] a la expresion:∫ b

af(x) dx

La integral definida posee las mismas propiedades que la definida, es decir:

1. ∫ b

ak · f(x) dx = k ·

∫ b

af(x) dx, k ∈ R

2. ∫ b

a(f(x)± g(x)) dx =

∫ b

af(x) dx±

∫ b

ag(x) dx

La integral definida, puesto que representa, si la funcion es positiva, el area que encierra la funcioncon el eje x, tiene algunas propiedades tales como:

1. Si c es un punto que esta dentro del intervalo [a, b], entonces:∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx

En otras palabras, el area de la funcion desde a hasta b es la suma de las areas de la funciondesde a hasta c y desde c hasta b, si la funcion es positiva.

2. Si calculamos la integral de derecha a izquierda ,en vez de izquierda a derecha se cumple:∫ b

af(x) dx = −

∫ a

bf(x) dx

3. La integral cuando el intervalo se reduce a un punto es cero:∫ a

a

f(x) dx = 0

Pero sin duda la propiedad mas importante, y que permite calcular integrales definidas es la llamadaRegla de Barrow.

Regla de Barrow: Si f(x) es una funcion que tiene primitiva F (x), y queremos calcular su integraldefinida en un intervalo [a, b], se cumple que:

∫ b

af(x) dx = F (x)]x=b

x=a = F (b)− F (a)


Ejemplo: Calcular la integral definida: ∫ 3

1x2 dx

e interpretar el resultado geometricamente.

Aplicando la regla de Barrow, queda:

∫ 3

1x2 dx =

x3

3

]x=3

x=1

=(

273− 1

3

)=

263≈ 8′67 u2

donde u2 representa unidades de area.Geometricamente es el area representada en la figura:

Ejercicio: Utilizando la regla de Barrow, calcula el valor de las siguientes integrales definidas:

a)∫ 3

1(2x3−4x2+5x−2) dx b)

∫ 4

−1(3x+1)2 dx c)

∫ 4

2(2x4−3x2−7) dx d)

∫ 1

−2(x+1)(x−2) dx


11.8. Aplicaciones de la integral definida al calculo de areas de re-

cintos planos

La aplicacion de la integral definida para el calculo de areas depende de como sea la funcion en elintervalo concreto. Se pueden presentar los siguientes casos:

11.8.1. Areas limitadas por una funcion y el eje x

1. La funcion es siempre positiva siempre en el intevalo: En este caso el area simplemente vienedada por:

Area =∫ b

af(x) dx

donde a y b son los puntos entre los que queremos calcular el area, y que habitualmente son lospuntos de corte de la funcion con el eje x.

Geometricamente:

2. La funcion se siempre negativa dentro del intervalo: En este caso el area viene dada por:

Area =∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣Geometricamente:


3. Si la funcion es a veces positiva y a veces negativa en el intervalo, se calculan los puntos de cortey se calculan las integrales sucesivas, utilizando los apartados anteriores:

En la figura, serıa:

Area =∫ c

af(x) dx +

∣∣∣∣∫ d

cf(x) dx

∣∣∣∣+∫ b

df(x) dx

En cualquier caso, y cuando calculemos areas, siempre es conveniente comenzar por calcular los puntosde corte de la funcion con el eje x para saber si es positiva o negativa y calcular las integralescorrespondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos de que el resultado espositivo.

Ejemplo: Calcular el area que encierra con el eje x la grafica de la funcion:

f(x) = x3 − 7x2 + 10x

No hace falta dibujar la grafica.Calculamos los puntos de corte con el eje x:

x3 − 7x2 + 10x = 0 =⇒ x(x2 − 7x + 10) = 0 =⇒

x = 0x2 − 7x + 10 = 0

=⇒ x = 0, x = 2, x = 5

Corta al eje x en (0, 0), (2, 0) y (5, 0).Veamos como es la funcion entre 0 y 2. Tomamos un valor situado en ese intervalo y lo sustituimos

en la funcion. Se obtiene:

f(1) = 13 − 7 · 12 + 10 · 1 = 1− 7 + 10 = 4

como 4 es positivo, significa que la funcion es positiva en ese intervalo, luego el area sera:

Area =∫ 2

0x3 − 7x2 + 10x dx =

(x4

4− 7

x3

3+ 10

x2

2

)]x=2

x=0

=

=(

24

4− 7

23

3+ 10

22

2

)−(

04

4− 7

03

3+ 10

02

2

)= 4− 56

3+ 20 =

163

u2

En el otro intervalo, entre el 2 y el 5, tomamos otro valor para saber si la funcion es positiva o negativa:

f(3) = 33 − 7 · 32 + 10 · 3 = 27− 63 + 30 = −6


la funcion es negativa en el intervalo, luego el area sera:

Area =∣∣∣∣∫ 5

2

x3 − 7x2 + 10x dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣(

x4

4− 7

x3

3+ 10

x2

2

)]x=5

x=2

∣∣∣∣∣ =

=∣∣∣∣(

54

4− 7

53

3+ 10

52

2

)−(

24

4− 7

23

3+ 10

22

2

)∣∣∣∣ =∣∣∣∣(−125

12− 16

3

)∣∣∣∣ =∣∣∣∣−63

4

∣∣∣∣ =634

u2

En total el area pedida sera:163

+634

=25312

u2 ≈ 21′08 u2

Graficamente:

Observa lo importante que es diferenciar los dos intervalos, pues si simplemente hubiesemos calcu-lado, sin mas: ∫ 5

0x3 − 7x2 + 10x dx

sin separar, el resultado serıa: ∫ 5

0x3 − 7x2 + 10x dx = −10′42

(Compruebala) que no es el area buscada, sino la diferencia entre las areas.Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como va la grafica y determinar el

area a calcular.

Ejercicio: Calcula las areas encerradas por el eje x y las funciones siguientes:a) f(x) = x− x3

b) g(x) = −x2 + 9c) h(x) = x2 − 2x− 3 entre x=1 y x=5.


11.8.2. Areas limitadas por dos funciones

Tambien es posible aplicar las integrales definidas para el calculo de areas de recintos limitadospor dos curvas, por ejemplo el de la figura:

Si las curvas son f(x) y g(x) se cumple que el area limitada por las dos curvas en el intervalo [a, b]es: ∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx

siempre que f(x) este por encima de g(x) en el intervalo [a, b].

Si las curvas se cortan en el intervalo, se subdivide el intervalo en otros menores, en cada uno de loscuales se aplican la integral anterior, determinando que curva esta por encima, y se suma el resultado.

En todo caso siempre es necesario hallar los puntos de corte entre las curvas, que se calculanigualando las expresiones algebraicas de ambas funciones:

f(x) = g(x)

y resolviendo la ecuacion resultante.

Ejemplo: Calcular el area limitada por las curvas f(x) = x2 − 1 y g(x) = 4x− 4.Comenzamos calculando los puntos de corte de las funciones:

f(x) = g(x) =⇒ x2 − 1 = 4x− 4 =⇒ x2 − 4x + 3 = 0 =⇒ x = 1, x = 3

Las funciones se cortan en los puntos 1 y 3.Veamos que funcion esta por encima y cual por debajo en ese intervalo.Dando un valor intermedio, por ejemplo el 2:

f(2) = 22 − 1 = 3 g(2) = 8− 4 = 4

Como el valor de g(x) es mayor, significa que g(x) esta por encima de f(x) en el intervalo, de modoque el valor del area sera el dado por la integral definida:

Area =∫ 3

1(g(x)− f(x)) dx =

∫ 3

1(4x− 4− (x2 − 1)) dx =

∫ 3

14x− 3− x2 dx =

=(

2x2 − 3x− x3

3

)]x=3

x=1

= (18− 9− 9)−(

2− 3− 13

)=

43

u2 ≈ 1′33 u2


Si se hace un dibujo, lo cual es sencillo porque se trata de una recta y una parabola:

Ejercicio: Calcular el area encerrada por las curvas:a) f(x) = x2 − 2x y g(x) = 6x− x2

b) f(x) = x2 y g(x) = x + 2c) f(x) = x3 y g(x) = 2x

11.9. Otras aplicaciones de las integrales

Las aplicaciones de las integrales a las Ciencias Sociales se relacionan con las de las derivadas.Sabemos, por ejemplo, que si cierta funcion I(x), es la funcion de ingresos de una determinada

empresa, la funcion de ingresos marginal es su derivada I ′(x).Las integrales, al ser la operacion recıproca, permiten calcular la funcion de ingresos conocida la

de ingresos marginal, es decir: ∫I ′(x) dx = I(x) + C, C ∈ R

(Lo mismo si la funcion es de coste o de beneficio, etc).Por tanto, en general, conociendo la funcion de cambio (o crecimiento) de cualquier proceso,

integrando se puede conocer la funcion que mide dicho proceso.

Ejemplo: El ritmo de crecimiento de la poblacion de palomas en una ciudad viene dado por la funcion:

f(x) = 2x− 0′5x2

x en anos a partir del actual y f(x) en miles de palomas.Actualmente hay 2500 palomas.a) ¿Cuantas habra dentro de x anos?b) ¿En cuanto aumentara la poblacion durante el segundo semestre a partir del momento actual?c) ¿Hasta cuando aumenta la poblacion de palomas?. ¿Que numero maximo alcanza?.

a) Como conocemos la funcion de crecimiento, la funcion que da el numero total de palomas sera unaprimitiva de esta:

F (x) =∫

f(x) dx =∫

2x− 0′5x2 dx = x2 − 16x3 + C, C ∈ R

Para determinar C, sabemos que la poblacion de palomas ahora mismo es de 2500, es decir:

F (0) = 2′5


luego sustituyendo:

02 − 16· 03 + C = 2′5 =⇒ C = 2′5

La poblacion de palomas sigue una funcion:

F (x) = x2 − 16x3 + 2′5

b) El segundo semestre, x va desde 0′5 hasta 1, y el aumento de palomas sera:

F (1)− F (0′5) =206− 131

48=

2949

= 0′604

es decir, 604 palomas (recuerda que la funcion viene dada en miles de palomas).c) Calculamos los maximos y mimimos de F (x).Como:

F ′(x) = f(x)

resulta que igualamos f(x) = 0, y queda:

2x− 0′5x2 = 0 =⇒ x(2− 0′5x) = 0 =⇒ x = 0, x = 4

Para saber si son maximos o mınimos, con la derivada segunda:

F ′′(x) = 2− x

luego:F ′′(0) = 2

x = 0 es un mınimo y:F ′′(4) = −2

x = 4 es un maximo, luego a lo sumo, la poblacion de palomas se dara a los 4 anos a partir de ahora,es decir:

F (4) = 42 − 1643 + 2′5 = 16− 64

6+ 2′5 = 7′833

aproximadamente 7833 palomas.La grafica de F(x) es:


Ejercicios:

1. Supongamos que dentro de x meses la poblacion de tu ciudad crecera a razon de 5+4√

x personaspor mes.

Si la poblacion actual es de 7500 personas.

a) ¿Cual sera la poblacion dentro de un ano?

b) ¿En cuantos habitantes aumentara durante el segundo ano?

c) ¿Llegara a algun maximo su numero de habitantes?.

2. Halla la funcion de beneficio de una empresa, B(x), sabiendo que los costes e ingresos marginales, c(x) e i(x), vienen dados respectivamente por las funciones:

c(x) = 0′04x + 4 i(x) = 200− 2x

con C(0) = 80 , siendo C(x) la funcion de coste.

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