7

Índex

INTRODUCCIÓ ......................................................................................... 11

Capítol 1. Preliminars .............................................................................. 17 1.1 Notació .......................................................................................... 17 1.2 Normes de matrius i vectors ......................................................... 17 1.3 Tipus de matrius ............................................................................ 22 1.3.1 Matriussimètriques,matriusdefinidespositives ................ 24 1.3.2 Matrius ortogonals .............................................................. 27 1.4 Valors i vectors propis .................................................................. 28 1.5 Problemes ..................................................................................... 33

Capítol 2. Sistemes lineals i la seua solució numèrica ........................... 39 2.1 Motivació ...................................................................................... 39 2.2 Existència i unicitat de solucions .................................................. 39 2.3 La solució numèrica dels sistemes lineals .................................... 44 2.3.1 L’error i el residual ............................................................. 45 2.3.2 La sensitivitat dels sistemes lineals .................................... 48 2.4 Problemes ..................................................................................... 55

Capítol 3. Mètodes directes ..................................................................... 59 3.1 Introducció .................................................................................... 59 3.2 Eliminació gaussiana .................................................................... 60 3.2.1 Introducció .......................................................................... 60 3.2.2 Sistemes triangulars. L’algorisme de substitució ................ 61 3.2.3 L’algorisme de l’eliminació gaussiana ............................... 62 3.2.4 Complexitat computacional ................................................ 65 3.2.5 Eliminació gaussiana per a matrius tridiagonals ................ 66 3.2.6 Termes independents múltiples .......................................... 69

8

3.3 Pivotatge ....................................................................................... 70 3.3.1 Estratègia de pivotatge parcial ............................................ 74 3.3.2 Estratègia de pivotatge total ................................................ 74 3.4 Problemes ..................................................................................... 81

Capítol 4. La descomposició LU ............................................................. 85 4.1 Introducció .................................................................................... 85 4.2 Transformacions gaussianes ......................................................... 85 4.2.1 Transformacions elementals ................................................ 85 4.2.2 Transformacions gaussianes ................................................ 87 4.3 Eliminació de Gauss: descomposició A = LU ............................... 89 4.3.1 Descomposició A = LU ....................................................... 89 4.3.2 Algorisme de Crout-Doolittle ............................................. 95 4.4 Pivotatge parcial ........................................................................... 97 4.5 Pivotatge total ............................................................................... 100 4.6 Càlcul de determinants ................................................................. 101 4.7 Problemes ..................................................................................... 102

Capítol 5. Sistemes especials ................................................................... 107 5.1 Matrius simètriques ...................................................................... 107 5.2 Matriusdefinidespositives ........................................................... 109 5.3 Problemes ..................................................................................... 111

Capítol 6. Mètodes iteratius .................................................................... 115 6.1 Introducció. Anàlisi de la convergència ........................................ 115 6.1.1 Velocitat de convergència ................................................... 120 6.2 Els mètodes de Jacobi i Gauss-Seidel ........................................... 121 6.3 Sobrerelaxació successiva ............................................................ 126 6.4 Problemes ..................................................................................... 132

Capítol 7. Sistemes lineals sobredeterminats ......................................... 137 7.1 Introducció .................................................................................... 137 7.2 El mètode de les equacions normals ............................................. 141 7.2.1 Algorisme de les equacions normals ................................... 141 7.3 Mètodes basats en la descomposició QR ...................................... 142 7.3.1 Transformacions de Householder ........................................ 143 7.3.2 La descomposició QR utilitzant les matrius de Householder 145 7.3.3 Transformacions de Givens ................................................. 147 7.3.4 La descomposició QR utilitzant les matrius de Givens ....... 148 7.4 Problemes ..................................................................................... 149

9

Capítol 8. Càlcul de valors i vectors propis ........................................... 153 8.1 Introducció .................................................................................... 153 8.2 Transformacions de semblança ..................................................... 155 8.2.1 Matrius semblants ............................................................... 155 8.2.2 Matrius diagonalitzables ..................................................... 155 8.2.3 Condicionament de les matrius de semblança .................... 156 8.3 Teoremes de Gerschgorin ............................................................. 156 8.4 Anàlisi de pertorbacions ............................................................... 158 8.5 Mètode de la potència ................................................................... 161 8.6 Mètode de la potència inversa ...................................................... 162 8.7 Deflació ......................................................................................... 164 8.8 Reducció de matrius a forma condensada .................................... 165 8.8.1 Matrius simètriques ............................................................. 165 8.8.2 Cas general .......................................................................... 166 8.9 Altres tipus de mètodes ................................................................. 167 8.10 Problemes ..................................................................................... 168

Índex de termes ........................................................................................ 173

Bibliografia ............................................................................................... 175