Ánalisis a la torsion de vigas tipo cajon contenido …
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ÁNALISIS A LA TORSION DE VIGAS TIPO CAJON
CONTENIDO
1.0.0 OBJETO
2.0.0 FUNDAMENTOS TEORICOS
3.0.0 NOTACION UTILIZADA EN LA PROGRAMACION
4.0.0 DIAGRAMA DE BLOQUES
5.0.0 LISTADO DEL PROGRAMA
6.0.0 HOJA DE DATOS
7.0.0 INSTRUCCIONES DE OPERACIÓN
8.0.0 HOJA DE RESULTADOS
9.0.0 EJEMPLOS
10.0.0 BIBLIOGRAFIA
1.0.0 OBJETO
1.1.0 Generalidades
El análisis a la torsión que se presenta es para vigas cajón de una celda y simétrica. Este
tipo de sección se usa con frecuencia en puentes y viaductos de luces medias
El procedimiento de cálculo tiene la ventaja de haberse planteado en forma matricial y
utilizando propiedades paramétricas como de las vigas ordinarias de Area, Momento de
Inercia a la flexión y Momento de Inercia a la torsión. Para este caso serían las
propiedades de Inercia torsional, Inercia distorsional y de Inercia al Bimomento
Es posible entonces obtener la solución completa para cualquier caso de carga
acoplando las ecuaciones de rigidez para estos dos casos
Sería una solución alternativa al del emparrillado equivalente, para estos casos
particulares de viga cajón, que son los más frecuentes
Sea un sistema cualquiera de cargas actuando en una viga cajón, como se muestra en la
Fig. N° 1.
Fig. N°1
En virtud del principio de Saint Venant, para zonas suficientemente alejadas de la
sección donde se aplican estas cargas, sus efectos podrán analizarse de la composición
de dos sistemas de cargas resultantes, como se muestra en la Fig. N° 2.
Fig. N° 2
Donde:
En las zonas próximas a las cargas se deberán añadir los efectos locales de estas cargas,
que serán principalmente los momentos y cortantes transversales, que no son objeto de
este análisis.
1.2.0 Alcances
El sistema de cargas de la Fig. N° 2(a), puede ser analizado por el procedimiento
convencional de vigas contínuas.
Este programa tiene por objeto el análisis del sistema de cargas de la figura N° 2(b).
La viga cajón es de eje rectilíneo.
La sección recta es de una celda, simétrica con respecto a un eje vertical, uniforme o
variable a lo largo del eje longitudinal.
Los diafragmas son tímpanos llenos o pueden ser con aberturas.
En este último caso se tendrá que dar el espesor equivalente para la determinación de la
rigidez a la distorsión del diafragma.
Los apoyos son rígidos y pueden ser puntuales o sobre dos puntos ubicados
perpendicularmente al eje longitudinal.
1.3.0 Limitaciones
El máximo número de dovelas es de 100
El máximo número de apoyos es de 6
El máximo número de diafragmas es de 21
Es posible analizar cualquier N° de casos de carga
No se considera el caso de ejes curvos o esviados
No se considera el caso de secciones rectas de 2 ó más celdas
No se considera el caso de secciones rectas asimétricas
No se considera el caso de apoyos elásticos o apoyos oblicuos.
No se considera la presencia de articulaciones intermedias.
2.0.0 FUNDAMENTOS TEORICOS
El tratamiento teórico para el análisis a la torsión de vigas cajón está basado en los trabajos de
Richmond y Dalton, expuestos en las referencias 10.1.0, 10.2.0 y 10.3.0.
Las cargas exteriores antisimétricas, se descomponen en primera instancia, en fuerzas
torsionales y fuerzas distorsionales generalizadas, según se muestra en la figura N°3
Figura N° 3
2.1.0 Fuerzas torsionales
Las fuerzas torsionales forman un flujo de esfuerzos cortantes en las paredes de la viga
cajón, haciendo rotar una sección respecto a otra, sin deformar su sección recta y
produciendo desplazamientos de “warping”, en la dirección longitudinal.
La capacidad resistente a la torsión de una sección cajón está definida por el módulo de resistencia a la torsión K.
( ⁄ ⁄ ⁄ )
Donde Ω, es el doble del área de la celda de la viga cajón. Si existe restricciones a los
desplazamientos de “warping”, debido a variaciones en las fuerzas torsionales o a las
condiciones de apoyo, se generan esfuerzos axiales longitudinales, que conforman el
momento diferencial o bimomento.
2.2.0 Fuerzas Distorsionales
Las fuerzas distorsionales forman un sistema de esfuerzos cortantes que tienden a
deformar la sección recta de la viga y produciendo también desplazamientos de
“warping”, en la dirección longitudinal.
En vigas cajón de paredes delgadas, la sección recta no tiene capacidad para resistir las
fuerzas distorsionales y éstas son transferidas mediante un flujo de esfuerzos cortantes
a las localizaciones de los diafragmas. Si las paredes de la viga cajón tienen capacidad
para transmitir momentos flectores a lo largo de sus juntas longitudinales, la acción de
marco de la viga cajón contribuye también a resistir las fuerzas distorsionales.
Los desplazamientos de “warping” generan esfuerzos axiales longitudinales, que
conforman el momento diferencial o bimomento.
2.3.0 Momentos diferenciales
Los esfuerzos axiales longitudinales que conforman el momento diferencial o
bimomento son resistidos por la capacidad resistente a la flexión longitudinal de cada
pared de la viga cajón.
Esta resistencia puede ser expresada por el momento de inercia I, de una viga
equivalente y que produce la misma distribución de esfuerzos axiales que en la viga
cajón.
Figura N° 4: Viga equivalente
Las áreas equivalentes son:
Donde , momento de inercia de la losa superior alrededor del c.l.
, momento de inercia de la losa inferior alrededor del c.l
2.4.0 Sistema de fuerzas generalizadas
De lo mencionado anteriormente se puede concluir que para el análisis de vigas tipo
cajón bajo cargas asimétricas, es suficiente con considerar los efectos de las fuerzas de
torsión, de distorsión y los momentos diferenciales o bimomentos.
2.4.1 Fuerzas torsionales generalizadas
El sistema de fuerzas torsionales, que originan los esfuerzos cortantes de torsión,
puede ser definido como se muestra en la figura N° 5a.
Figura N° 5: Fuerzas torsionales y distorsionales
2.4.2 Fuerzas distorsionales generalizadas
El sistema de fuerzas distorsionales que originan los esfuerzos cortantes de
distorsión, puede ser definido como se muestra en la figura N° 5b
2.4.3 Momentos diferenciales o bimomentos generalizados
El sistema de momentos diferenciales o bimomentos originan los esfuerzos
axiales longitudinales.
De acuerdo a la idealización indicada en el artículo 2.3.0, el momento diferencial o
bimomento puede ser sustituido por un sistema equivalente de fuerzas
concentradas X/c, (donde X es la magnitud del bimomento generalizado), como se
muestra en la figura N° 6.
Figura N° 6 : Momentos diferenciales
2.5.0 Sistema de Desplazamientos Generalizadas
2.5.1 Rotación de la sección recta por torsión
La rotación generalizada por torsión se definirá por el desplazamiento u, como se
muestra en la figura N° 7a
Figura N° 7
2.5.2 Distorsión de la sección recta por fuerzas distorsionales
La distorsión generalizada por fuerzas distorsionales se definirá por el
desplazamiento v, como se muestra en la figura N° 7b.
2.5.3 Warping de la sección recta por momentos diferenciales
Los desplazamientos generalizados de warping, se definirán por las rotaciones θ,
de las paredes laterales de la viga cajón, como se muestra en la figura N° 6.
2.6.0 Condiciones de equilibrio de un segmento de la viga
Sea un segmento de viga cajón, como se muestra en la figura N° 8
Figura N° 8
Si no existen cargas exteriores aplicadas en el segmento ai se deben cumplir las
siguientes condiciones
2.6.1 Equilibrio de fuerzas torsionales
- - (1)
2.6.2 Equilibrio de fuerzas distorsionales
- - (2)
2.6.3 Equilibrio de momentos diferenciales
(3)
2.7.0 Desplazamientos de warping
2.7.1 Warping por esfuerzos cortantes de torsión
El warping de la sección recta producida por los esfuerzos cortantes de torsión
está dado por:
donde E, módulo de elasticidad
( ⁄ ⁄ ⁄ )
G, módulo de corte
2.7.2 Warping por esfuerzos cortantes de distorsión
El warping de la sección recta producida por los esfuerzos cortantes de distorsión
está dado por:
Donde
( ⁄ ⁄ ⁄ )
2.7.3 Warping por esfuerzos axiales del bimomento
El warping de la sección recta producida por un bimomento X, en el extremo de
aplicación del bimomento.
En el extremo opuesto:
Siendo a, la distancia entre ambos extremos
I, momento de inercia equivalente
2.7.4 Warping total de la sección recta
Para el segmento de la figura N° 8, el warping total será, por consiguiente:
( ) (4)
( ) (5)
El último término
( ), representa el warping por desnivel relativo
debido a la distorsión
2.8.0 Desplazamiento de Torsión
2.8.1 Desplazamientos de torsión por esfuerzos cortantes de torsión
El desplazamiento torsional relativo entre ambos extremos, está dado por:
2.8.2 Desplazamientos de torsión por esfuerzos cortantes de distorsión
El desplazamiento torsional relativo entre ambos extremos, está dado por:
2.8.3 Desplazamientos totales de torsión
El desplazamiento total de torsión será, por consiguiente:
( )
(6)
2.9.0 Desplazamientos de distorsión
La resistencia a la distorsión por acción de marco de la viga cajón está dada por:
(7)
Donde ( )
{( )( )- }
y
( )
Siendo m, coeficiente de Poisson.
Para los efectos del presente análisis, no vamos a representar la acción de marco de la
viga como un medio contínuo como es en la realidad, sino discretizado en varios
puntos, simulando diafragmas virtuales equivalentes. Tal hipótesis es similar a la que
corrientemente se hace en la solución de problemas de vigas sobre cimentación
elástica al reemplazársela por un número discreto de apoyos elásticos.
La precisión de este procedimiento numérico, se verificará por la convergencia de los
resultados, a medida que se aumenta el número de dichos diafragmas virtuales.
2.10.0 Ecuaciones de Desplazamientos – Fuerzas
Las ecuaciones (1) al (6), pueden escribirse en forma matricial así:
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 ⁄ 0 -1
⁄ 0 0 0 0 0 0
⁄
⁄ 0 0 0 0
= E 0 0 -E 0 0
⁄
⁄
⁄ 0 0
⁄ 0 ⁄ E 0 ⁄ 0
⁄
⁄
⁄ 0 0 ⁄ 0 ⁄ 0 0 ⁄ E
Invirtiendo la matriz del primer miembro y pasando E a este miembro, obtenemos:
=
Donde
(
)
(
)
2.11.0 Distorsión de los diafragmas
La contribución de la resistencia a la distorsión, en las ubicaciones de los diafragmas,
está dado por:
Donde , es el espesor equivalente del diafragma.
Para una placa de espesor uniforme :
El diafragma virtual que simula la acción de marco de la viga cajón, está dado por:
( )
Siendo , la separación entre estos diafragmas virtuales.
2.12.0 Condiciones de Apoyo
Para lo apoyos rígidos debe cumplirse la condición:
Es decir, el desplazamiento vertical total es igual a cero.
Y para el equilibrio de fuerzas sobre los apoyos:
Siendo Rj, la reacción vertical en el apoyo.
, la contribución a la resistencia a la distorsión del diafragma real y/o virtual,
(acción de marco de la viga cajón)
2.13.0 Cargas exteriores aplicadas
Las cargas exteriores aplicadas, se incorporan al sistema estructural planteado, en
forma de acciones de empotramiento.
Estas acciones de empotramiento se hallan en la forma usual de viga empotrada en
ambos extremos.
Las fuerzas cortantes de empotramiento serán las fuerzas cortantes de torsión y
distorsión y los momentos de empotramiento igual al momento diferencial o
bimomento.
Así, en la ubicación i, de cada diafragma real o virtual, se tendrá las siguientes
condiciones de equilibrio:
Siendo , la cortante de empotramiento
, el momento de empotramiento.
, la contribución a la resistencia a la distorsión del diafragma real y/o virtual,
(acción de marco de la viga cajón)
FIGURA N° 9: Condiciones de Equilibrio en los apoyos
8. PROGRAMACIÓN
El seudo – código del programa principal es como sigue:
INICIO
(*LECTURA Y ESCRITURA DE TITULOS*)
IDS1001
(*LECTURA Y ESCRITURA DE CARACTERISTICAS GENERALES DE LA VIGA*)
IDS1002
(*LECTURA Y ESCRITURA DE PROPIEDADES DE LOS MATERIALES*)
IDS1003
(*LECTURA Y ESCRITURA DE DIMENSIONES DE LA SECCIÓN RECTA DE LA VIGA*)
IDS1004
(*CALCULO DE PROPIEDADES DE LA SECCION RECTA DE LA VIGA*)
IDS1005
(*LECTURA Y ESCRITURA DE CARACTERISTICAS DE LOS DIAFRAGMAS*)
IDS1006
(*LECTURA Y ESCRITURA DE NUDOS DE APOYO*)
IDS1007
(*CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA DOVELA
*)
IDS1012
(*PLANTEO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL*)
IDS1014
(*MODIFICACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL EN LOS DIAFRAGMAS*)
IDS1015
(*MODIFICACION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL EN LOS NUDOS DE
APOYO*)
IDS1016
(*REDUCCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL*)
IDS 1017 (NS3,11,C)
HACER HASTA (NCC ≤ NC)
IDS1018
(*CARGA SOBRE LOS MIEMBROS*)
IDS1020
(*MODIFICACION DE LAS CARGAS EN LOS NUDOS DE APOYO*)
IDS1021
(*CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS*)
IDS1022
(*ESCRITURA DE DESPLAZAMIENTOS*)
IDS1023
(*CALCULO Y ESCRITURA DE ESFUERZOS EN LOS MIEMBROS*)
IDS1024
(*CALCULO Y ESCRITURA DE ESFUERZOS EN LAS SECCIONES*)
IDS1025
(*CALCULO Y ESCRITURA DE LAS REACCIONES DE APOYO *)
IDS1026
(*CALCULO Y ESCRITURA DE ESFUERZOS EN LOS DIAFRAGMAS *)
IDS1027
FIN HACER
El programa se ha desarrollado en Lenguaje Pascal, Versión 5.0
El tiempo estimado de ejecución es de 3 min, en una PC y de 1 min. en una AT.
Los requerimientos de memoria son de 30 KB para el IDP015. EXE, 300 B para el Archivo de
Datos y 20 KB para el Archivo de Resultados.
9. ARCHIVO DE DATOS
1.
Título del Proyecto, 48 caracteres alfanuméricos.
2.
Título de la ubicación del Proyecto, 24 caracteres alfanuméricos.
3.
Hecho Revisado Fecha
24 caracteres alfanuméricos cada uno.
4.
LT, Longitud total de la viga, en m, número real.
NT, Número de dovelas, número entero.
NA, Número de nudos de apoyo, número entero
ND, Número de diafragmas, número entero
NC, Número de casos de carga, número entero
ITV, Tipo de sección recta, número entero
5.
E, Módulo de Elasticidad, en T/m2, número real.
ν, Coeficiente de Poisson, número real
6. SECCIONES DE LA VIGA CAJON
6.a. Sección constante, ITV=1
B0, Ancho total del tablero, en m, número real.
H0, Peralte total del tablero, en m, número real.
BT0, Ancho superior del cajón, en m, número real.
BB0, Ancho inferior del cajón, en m, número real.
TT0, Espesor de la losa superior, en m, número real.
TB0, TB0,
Espesor de la losa inferior, en m, número real.
TS0, Espesor de la viga, en m, número real
NCL, Número de diafragmas, número entero
Proyecto
Ubicación
Autor Revisor Fecha
LT NT NA ND NC
E ν
B0 H0 BT0 BB0 TT0 TB0 TS0 NCL
6.b. Secciones peralte constante y espesor variable de la viga (ensanche en apoyos),
ITV=2
B0, Ancho total del tablero, en m, número real.
H0, Peralte total del tablero, en m, número real.
TT0, Espesor de la losa superior, en m, número real.
TB0, TB0,
Espesor de la losa inferior, en m, número real.
NS veces, número total de secciones
6.b.1
I, Número de la dovela, número entero.
X0, Distancia de la ubicación de la dovela, m, número real.
BT0, Ancho superior del cajón, en m, número real.
BB0, Ancho inferior del cajón, en m, número real.
6.c. Secciones variables a lo largo de la viga
J, Número de la dovela, número entero.
X0, Distancia de la ubicación de la dovela, m, número real.
B0, Ancho total del tablero, en m, número real.
H0, Peralte total del tablero, en m, número real.
BT0, Ancho superior del cajón, en m, número real.
BB0, Ancho inferior del cajón, en m, número real.
TS0, Espesor de la viga, en m, número real
TT0, Espesor de la losa superior, en m, número real.
TB0, TB0,
Espesor de la losa inferior, en m, número real.
NS, Número de secciones de espesor de viga variables, número entero Se repite NS veces
7.
K, Número del diafragma, número entero
NSA0, Número de la dovela del diafragma, número entero
TD0, Espesor del diafragma, en m, número real.
Se repite ND veces
8.
K, Número del apoyo, número entero
NSA0, Número de la dovela de apoyo, número entero
Se repite NA veces
J X0 BT0 BB0
TS0
K NSD0 TD0
B0 H0 TT0 TB0
J X0 B0 H0 BT0 BB0 TS0 TT0 TB0
K NS0
10. INSTRUCCIONES DE EJECUCIÓN
Del disco duro
1.
Digitar el nombre del programa compilado IDP015
2.
En pantalla aparecerá lo siguiente.
3.
Ingresar el nombre del archivo de datos, por ejemplo: D120MB. P03
4.
Inmediatamente el programa pedirá el nombre que tendrá el archivo de resultados.
5.
Digitar el nombre del archivo de resultados, por ejemplo: R120MB.P03
6.
Así se iniciará la ejecución del programa.
7. TIEMPO ESTIMADO POR CORRIDA
3 min. en PC.
1 min. en AT
8. REQUERIMIENTOS DE MEMORIA
30 KB para IDP015.COM
300 B para ARCHIVO DE DATOS
20 KB para ARCHIVO DE RESULTADOS
C >
C > IDP015
C > IDP015 ARCHIVO DE DATOS
C > IDP015 ARCHIVO DE DATOS: D120MB. P03
C > IDP015 ARCHIVO DE DATOS: D120MB. P03 ARCHIVO DE RESULTADOS:
C > IDP015 ARCHIVO DE DATOS: D120MB. P03 ARCHIVO DE RESULTADOS: R120MB.P03
11. ARCHIVO DE RESULTADOS
DATOS DE LA CUBIERTA CENTRAL
DATOS DEL PONTON
PROPIEDADES DEL PONTON
R, Radio al centro de rotación, de la sección recta, en m.
C, Distancia del centro de rotación de la sección recta la borde interior del pontón, en m.
B, Altura del centro de rotación de la sección recta al punto de fijación de la cubierta central al pontón, en m.
AP, Área de la sección recta, en
IP, Momento de inercia de la sección recta con respecto a un eje horizontal que pasa por el C.G. de la sección, en .
YP1, Altura del C:G. de la sección al borde superior del pontón, en m.
YP2, Altura del C.G. de la sección al borde inferior del pontón, en m.
DATOS DE LOS LÍQUIDOS
PARA CADA CASO DE PRESIÓN DIFERENCIAL PZ0 ESTUDIADO
Para cada valor de tensión radial asumida, se da el valor del desplazamiento radial del
pontón U1 y de la cubierta central U2. El valor verdadero de la tensión radial NOX
correspondiente a la presión diferencial PZ0, será aquel en que los desplazamientos
U1 y U2 sean iguales y se establezca la compatibilidad de desplazamientos en ambos
elementos.
RESULTADOS DE DESPLAZAMIENTOS Y ESFUERZOS
DESPLAZAMIENTOS VERTICALES, ESFUERZOS Y PRESIONES DIFERENCIALES EN LA
CUBIERTA CENTRAL.
10.0.0 BIBLIOGRAFIA
10.1 “Twisting of Thin-Walled Box Girders”, B. Richmond, Proceeding of the Institution of Civil
Engineeres, April 1966.
10.2 “Twisting of Thin-Walled Box Girders of Trapezoidal Cross Sections”, D.C. Dalton & B.
Richmond, Proceeding of the Institution of Civil Engineeres, January 1968.
10.3 “Trapezoidal Boxes with Continuous Diaphragms”, B. Richmond, Proceedings of the
Institution of Civil Engineers, August 1969.
10.4 “Torsional Analysis of Single Thin-Walled Trapezoidal Concrete Box-Girder Bridges”,
First International Symposium on Concrete Bridge Design, ACI Publication SP-23,
1969.
10.5 “Torsion” , C.F. Kollbrunner & K. Basler, Springer, 1966.
10.6 “Análisis a la Torsión de Vigas tipo Cajón” , O.Muroy, Entel Perú, Abril 1975