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MUESTREO ESTRATIFICADO

ESTADÍSTICA II

Mag. Denís Leonor Mendoza Rivas

Mag. Denís Leonor Mendoza Rivas 1

MUESTREO ESTRATIFICADO: Es cuando se tiene una población muy heterogénea, a la cual se subdivide en sub grupos o sub poblaciones llamados estratos, donde cada uno de ellas es homogéneo.


MUESTREO ESTRATIFICADO:

Procedimiento:

• El primer paso es definir bien los estratos en forma clara y precisa

• Seleccionar en forma aleatoria de cada uno de los estratos, los elementos que formaran parte de la muestra.


Estimaciones:


Tamaño de muestra:


EJEMPLO Nº 01:

Una empresa publicitaria desea entrevistar a 40 hogares y decide seleccionar muestras aleatorias de tamaño 20 para la ciudad, 8 para la zona urbana y 12 para la zona rural. Estime: a) El tiempo promedio que ven un programa familiar por las tardes en horas por semana

para todos los hogares b) El tiempo total en que ven un programa familiar por las tardes en horas por semana

para todos los hogares c) Fije los limites de estimación para a) y b)

Se conoce el total de hogares en la ciudad, 155; en la zona urbana, 62 y en la zona rural, 93.


EJEMPLO Nº 02:

• Se presenta a continuación las ventas semanales de 20 tiendas en cierta localidad clasificados en 3 estratos:

• Estime puntualmente el promedio de venta semanal • Estime la varianza de la media muestral • Estime el promedio de ventas semanal en un intervalo confidencial al 95% • Obtenga un tamaño de muestra para un futuro estudio (para la media), al

99% de confianza.

Pequeño Mediano Grande

3

4

5

5

8

6

7

9

3

5

12

18

17

13

15

15

25

30

30

35

Ni 60 30 10


EJEMPLO Nº 03 El Gerente de Personal de una empresa está interesado en determinar el número de días laborales perdidos (al año) en ausencia de los trabajadores de la empresa. Por razones de tipo administrativo se usó un muestreo aleatorio estratificado para seleccionar una muestra 22 de los 2200 trabajadores de la empresa. Los estratos están representados por los obreros, técnicos y administrativos; los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

• Además se sabe que en la empresa trabajan un total de 1200 obreros, 800 técnicos y 200 administrativos.

– Encuentre el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de empleados que han tenido más de 10 ausencias con una precisión de 0.05 y un riesgo de 0.1.

– Distribuya en los 3 estratos el tamaño de muestra encontrado:

• Asumiendo una asignación simple.

• Asumiendo una asignación proporcional.

Obreros Técnicos Administrativos

8 24 0

0 16

32

6 0 16

7 4

4

4 6

0

24

8 3 2 12

8 2


EJEMPLO Nº 04:

Con el objetivo de analizar la influencia del capital intelectual en el nivel de

competitividad de las PYME del sector turismo de la ciudad de Huaraz, se

tomó como POBLACIÓN a las PYME del sector TURISMO de la Ciudad de

Huaraz, registradas en la DICETUR del Gobierno Regional de Ancash.

Específicamente aquellas dedicadas a las actividades turísticas más

importantes como son: Agencias de viajes y turismo, Empresas operadoras de

turismo receptivo, Establecimientos de hospedaje en todas sus formas,

Restaurantes y afines y Empresas de transporte turístico. Como se detalla en

el siguiente cuadro:


La muestra será probabilística estratificada al azar, dividido en los siguientes estratos: • L1 = Agencias de viajes y turismo y Empresas operadoras de turismo receptivo • L2 = Hoteles / Hostales • L3 = Restaurantes • L4 = Empresas de transporte turístico • P= Porcentaje de empresas competitivas (P1=10%; P2=15%; P3 = 13%, P4=14%)

• Determine el tamaño de muestra.


ASIGNACION DE UNA MUESTRA

• El objetivo del diseño de una encuesta por muestreo es el de proporcionar estimadores con varianzas pequeñas, al menor costo posible. Después de obtener el tamaño de muestra “n”, se trata de dividir en cada uno de los estratos los ni, por lo que se usa una asignación que presente la cantidad especifica de información a un costo mínimo.



Dicha asignación es referida por ciertos factores:

• El numero total de elementos en los estratos

• El costo por obtener dicha información en cada uno de los estratos

• La variabilidad de las observaciones dentro de cada estrato



ASIGNACION OPTIMA: (MIN la varianza de la media estratificada) Asignación aproximada que minimiza el costo para un valor fijo: 𝑛𝑖 = n*𝒘𝒊

𝒘𝒊 =𝑵𝒊∗𝝈𝒊/ 𝒄𝒊

𝑵𝒊∗𝝈𝒊/ 𝒄𝒊𝑳𝒊=𝟏

𝑛𝑖 = 𝑛 ∗𝑵𝒊∗𝝈𝒊/ 𝒄𝒊

𝑵𝒊∗𝝈𝒊/ 𝒄𝒊𝑳𝒊=𝟏

• 𝑛 = 𝑁𝑖

2∗𝜎𝑖2/𝐿

𝑖=1 𝑤𝑖

𝑁2∗𝐷+ 𝑁𝑖∗𝜎𝑖2𝐿

𝑖=1

Reemplazando: Wi

𝑛 = (𝑁𝑖∗ 𝜎𝑖𝐿𝑖=1 𝑐𝑖) ∗ (𝑁𝑖∗ 𝜎𝑖

𝐿𝑖=1 / 𝑐𝑖)

𝑁2 ∗ 𝐷 + 𝑁𝑖 ∗ 𝜎𝑖2𝐿

𝑖=1

Tamaño de muestra cuando se usa la asignación que minimiza costos

Asignación



ASIGNACION DE NEYMAN: Cuando los costos para obtener información no varían o es el mismo en cada uno de los estratos o cuando los costos son desconocidos , podrá suponerse que estos costos son iguales. Entonces la asignación optima varia cancelando los valores de Ci y se obtendrá una nueva asignación.

𝒘𝒊 =𝑵𝒊∗𝝈𝒊

𝑵𝒊∗𝝈𝒊𝑳𝒊=𝟏

𝑛𝑖 = 𝑛 ∗𝑵𝒊∗𝝈𝒊

𝑵𝒊∗𝝈𝒊𝑳𝒊=𝟏

• 𝑛 = 𝑁𝑖

2∗𝜎𝑖2/𝐿

𝑖=1 𝑤𝑖


𝑖=1

Reemplazando: Wi

𝑛 = (𝑁𝑖∗ 𝜎𝑖𝐿𝑖=1 ) ∗ (𝑁𝑖∗ 𝜎𝑖

𝐿𝑖=1 )

𝑁2 ∗ 𝐷 + 𝑁𝑖 ∗ 𝜎𝑖2𝐿

𝑖=1



ASIGNACION PROPORCIONAL: Supongamos que además de los costos iguales, también son las variabilidades iguales en cada uno de los estratos, entonces:

𝒘𝒊 =𝑵𝒊

𝑵𝒊𝑳𝒊=𝟏

𝑛𝑖 = 𝑛 ∗𝑵𝒊

𝑵

• 𝑛 = 𝑁𝑖

2∗𝜎𝑖2/𝐿

𝑖=1 𝑤𝑖


𝑖=1

Reemplazando: Wi

𝑛 = 𝑁𝑖 ∗ 𝜎𝑖

2𝐿𝑖=1

𝑁2 ∗ 𝐷 + 𝑁𝑖 ∗ 𝜎𝑖2𝐿

𝑖=1



ASIGNACION SIMPLE:

Si además de los costos iguales, variabilidades iguales, también son los estratos, entonces:

𝒘𝒊 =𝟏

𝑳

𝑛𝑖 = 𝑛 ∗𝟏

𝑳

• 𝑛 = 𝑁𝑖

2∗𝜎𝑖2/𝐿

𝑖=1 𝑤𝑖


𝑖=1

• 𝑛 = 𝑁𝑖∗𝐿𝑖=1 𝜎𝑖

2/(1/𝐿)


𝑖=1


Ejemplo 1:

• Una empresa publicitaria esta interesada en determinar que tanto debe enfatizar la publicidad televisiva en un determinado municipio, donde existen 155 hogares en el pueblo A, 62 en el pueblo B y 93 en el área rural. Las varianzas de los estratos son aproximadamente:

• 𝜎12 = 25 , 𝜎2

2 = 225, 𝜎32 = 100

• Deseamos estimar la media poblacional estratificada; seleccione el tamaño de muestra para obtener una precisión de 2 horas, si las fracciones asignadas son: 𝑤1 = 𝑤2 = 𝑤3 =

1

3 .


Ejemplo 2:

• Del ejemplo anterior deseamos estimar el total poblacional con un error de 400 horas. Seleccione el tamaño de muestra apropiado si se va a tomar el mismo numero de observaciones en cada estrato.


Ejemplo 3:

• Del ejemplo 1, la empresa publicitaria encontró que cuesta mas una observación del área rural que una del pueblo A o B. el incremento es debido a los costos de traslado de un hogar rural a otro. El costo por observación en cada pueblo se ha estimado en $9 y los costos por observación en el área rural en $16. encuentre el tamaño de muestra total y los tamaños de muestra para los estratos, que permitan a la empresa estimar al mínimo costo, el tiempo promedio que se ve televisión con un error de estimación de 2 horas.


Ejemplo 4:

• Del ejemplo 1, la firma publicitaria decide utilizar entrevistas por teléfono en lugar de personales, porque todos los hogares en el municipio tienen teléfono y este reduce los costos. El costo de obtener una observación entonces es el mismo en todos los estratos.


Ejemplo 5: • Del ejemplo 1, la empresa publicitaria quiso estimar la

proporción de hogares donde se ve el programa.

• Una muestra aleatoria estratificada de n=40, es seleccionada con asignación proporcional, donde n1=20, n2=8 y n3=12. los resultados se presentan a continuación:

• Estime la proporción de hogares donde se ve el programa X y fije un limite para el error de estimación.

Estrato ni Nº de hogares donde se ve el programa

A 20 16

B 8 2

AR 12 6


Ejemplo 6:

• Del ejemplo 5, suponga que los costos y variabilidad son como los especificados anteriormente, dado que la empresa publicitaria tiene únicamente $500 para gastar en muestreo, elija el tamaño de muestra y la asignación que minimice la varianza estratificada.


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