MUESTREO DE ACEPTACIÓN

PROF. GRABIELA MONTES Q.

2

MUESTREO DE ACEPTACIÓN

• Se tiene un lote de productos y se

inspecciona éste con la finalidad de

aceptar o no dicho lote como bueno.

• Existen muchos motivos para aplicar un

muestreo.

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Ventajas y desventajas del muestreo

Ventajas• Es menos costoso.• Hay un menor manejo

del producto.• Puede aplicarse en

pruebas destructivas.• A menudo reduce los

errores de inspección.

Desventajas• Existe el riesgo de

aceptar lotes “malos” y rechazar “buenos”.

• Se obtiene menos información.

• Se necesita planificación previa.

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Tipos de planes de muestreo• En base al tipo de característica medida:

– Planes de muestreo por atributos.– Planes de muestreo por variables.

• En base al número de muestras tomadas:– Planes de muestreo simple.– Planes de muestreo doble.– Planes de muestreo múltiple.– Planes de muestreo secuencial.

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Condiciones para el uso de inspección por muestreo

• Las condiciones de producción de las unidades que conforman los lotes deben ser homogéneas.

• Las muestras que se tomen deben ser aleatorias y representativas de todos los artículos del lote.

• Es preferible utilizar lotes grandes en lugar de lotes pequeños.

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Aleatorización• Si se utilizan métodos de juicio para

seleccionar la muestra se pierde la base estadística del procedimiento.

• En el procedimiento de aleatorización se debe garantizar que todas las muestras tengan la misma probabilidad de ocurrencia.

• Suponemos conocido N tamaño del lote) y n (tamaño de la muestra).

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Aleatorización en línea o secuencial

• Cuando los productos se reciben uno por uno, cada vez que se obtiene uno debe decidirse si entra en la muestra o no.

• La probabilidad de cada artículo entre en la muestra va a depender del número de artículos que ya han entrado en ella k, así como de n y N. De hecho,

1)muestra laen entre ésimo(

iN

kniP

8

• El algoritmo puede resumirse como

Inicializar k = 0.

Para todo i desde 1 hasta N,

Generar UUni(0,1).

Si U < (n - k)/(N - i + 1),

Escoger el i-esimo artículo para la muestra

Asignar k = k + 1.

en caso contrario

Descartar el i-esimo artículo de la muestra

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Aleatorización fuera de línea• Otro algoritmo de aleatorización que es

bastante intuitivo cuando los productos se reciben en grupos corresponde a generar una variación al azar de los elementos del lote. Esto requiere tenerlos identificados (por serial, ubicación u otro código).

• Este mismo algoritmo puede adaptarse para generar una permutación al azar.

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• Si asumimos que los identificadores están contenidos en el vector e el algoritmo es

Para todo i desde 1 hasta n,

Generar UUni(0,1).

Asignar s = N - i + 1.

Asignar k = sU + 1.

Escoger e(k) como miembro de la muestra.

Intercambiar los contenidos de e(k) y e(s).

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Muestreo simple por atributos

• Este tipo de planes son los difundidos en la práctica comercial ya que son a la vez versátiles y sencillos de aplicar.

• Para definir un plan de muestreo simple por atributos es necesario fijar dos parámetros: el tamaño de la muestra n y el número de aceptación c. Cualquier lote que presente una muestra con más de c unidades disconformes es rechazado.

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Modelos probabilísticos en el muestreo por atributos

• El valor de la variable aleatoria C, número de piezas defectuosas contenido en una muestra de una población viene dado por una distribución hipergeométrica

donde p es la proporción de disconformes en el lote (punto de vista del consumidor).

n

N

cn

Np

c

pN

cCP

)1(

)(

13

• Cuando el tamaño del lote N es grande respecto al tamaño de la muestra n, la distribución puede aproximarse por una binomial.

• La misma distribución es exacta cuando consideramos el proceso desde el punto de vista del productor.

cnc ppc

ncCP

)1()(

14

Curvas características de operación

• Las curvas CO muestran la probabilidad de aceptación del lote como función de la fracción defectuosa contenida en este.

• A cada plan de muestreo (o sea, a cada par de valores n y c) le corresponde una curva CO distinta.

• Usualmente, la elección de un plan se basa en su curva CO.

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Proporcion de defetos en el lote

Pro

ba

bili

da

d d

e a

cep

taci

on

de

l lo

te

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

• Por ejemplo, la curva CO para el plan con N = 1000, n = 89 y c = 2 es

16

• Suele distinguirse entre curvas CO de tipo

A o curvas CO del consumidor cuando las

mismas se construyen a partir de la

distribución hipergeométrica y curvas CO

tipo B o curvas CO del productor cuando

las mismas se construyen a partir de la

distribución binomial.

17

Proporcion de defetos en el lote

Pro

ba

bili

da

d d

e a

cep

taci

on

de

l lo

te

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N=100N=Infinito

• Curvas CO tipo A y B para n = 25 y c = 0.

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• Como la diferencia entre las curvas mostradas es pequeña, en la práctica los planes se diseñan basándose las curvas tipo B. Estos permite diseñar los planes independientemente del tamaño del lote.

• Sin embargo debe recordarse que para el consumidor esto es una aproximación cuya validez debe verificarse en cada caso.

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• Curvas CO con relación n/N fija y c = 0.

Proporcion de defetos en el lote

Pro

ba

bili

da

d d

e a

cep

taci

on

de

l lo

te

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N = 50,n = 5N = 100,n = 10N = 200,n = 20N = 1000,n = 100

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Diseño de planes de muestreo

• El diseño clásico de planes de muestreo se basa en la especificación de algunos puntos dentro de la curva CO.– NCA: nivel de calidad aceptable, es el peor

nivel de calidad que el consumidor considera aceptable como media del proceso.

: riesgo del productor, es la probabilidad de que el plan rechace un lote con una proporción defectuosa igual al NCA. Se desea que sea bajo para proteger al productor.

21

– NCA: nivel de calidad aceptable, es el peor

nivel de calidad que el consumidor considera

aceptable en un lote individual.

: riesgo del consumidor, es la probabilidad

de que el plan acepte un lote con una

proporción defectuosa igual al PTDL

(Porcentaje defectuoso tolerable por lote).

Se desea que su valor sea pequeño ya que

se trata del tope aceptable por el consumidor.

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• Una vez que se fijan estos cuatro valores la curva característica está determinada en forma única y por tanto el plan de muestreo también. Para obtener n y c hay que resolver las ecuaciones:

c

d

dnd

c

d

dnd

PTDLPTDLdnd

n

NCANCAdnd

n

0

0

)1()!(!

!

)1()!(!

!1

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• Si NCA < PTDL y < 1 - , este par de ecuaciones siempre tienen solución (aunque no en forma explícita). Sin embargo, dependiendo de cómo se fijen los parámetros anteriores es posible que el plan sea irrealizable en la práctica.

• En general mientras más cercanos sean el NCA y el PTDL mayor será el tamaño de la muestra n y, por tanto, más complejo el plan.

• En la práctica para resolver estas

ecuaciones se utiliza el nomograma.

• Por ejemplo para: 1- α = 0.95

NCA = p1=0.01, β= 0.10

PTDL = p2=0.06

Del nomograma se obtiene n = 89 y c = 2.

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Planes de muestreo dobles por atributos

• En estos planes la decisión tras observar

la primera muestra tomada del lote puede

ser aceptarlo, rechazarlo o tomar una

segunda muestra. Si esto último se

decide entonces la aceptación o el

rechazo se basan en la información

proveniente de ambas muestras.

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• Así pues, para determinar un plan de

muestreo doble es necesario fijar cuatro

valores: el tamaño de la primera muestra

(n1), el número de aceptación de la

primera muestra (c1), el tamaño de la

segunda muestra (n2) y el número de

aceptación para ambas muestras

combinadas (c2).

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• Si llamamos di al número de defectos en la i-ésima muestra podemos resumir así:

¿ d1 c1? ¿ d1 > c2?

¿ d1 + d2 c2?

Tomar muestrade tamaño n1

Tomar muestrade tamaño n2

Aceptar lote Rechazar lote

Rechazar lote

Aceptar loteSI SI

SI

NO

NONO

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• Dos ventajas de estos planes son:– Cuando se utiliza reducción en la segunda

muestra pueden haber ahorros importantes.– Sicológicamente son más fáciles de aceptar

ya que estos planes le dan al lote una segunda oportunidad.

• La principal desventaja de los planes dobles es que requieren mayor planificación previa.

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Curvas CO para planes de muestreo dobles

• El cálculo de las curvas CO es ahora más complejo. Llamando Xi al número de disconformes en la i-ésima muestra (i = 1,2) entonces Pa, la probabilidad de aceptación del lote, es:

2

1

21

2

1

021

01

22111

21122121111

)()()(

)()()(

)|()()(

c

cd

dc

s

c

d

c

cd

a

sXPdXPdXP

dcXPdXPcXP

cXccXXPcXcPcXPP

30

• Igualmente existen curvas tipo A (cuando se usa la distribución hipergeométrica

para las Xi) o tipo B (cuando se usa la

distribución binomial).

• Muchas veces se incluye también una curva CO para la primera y para la segunda muestras por separado, las cuales se hayan de la misma forma que se hizo en los planes simples.

31

• Por ejemplo, para el plan n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100, c2 = 3 las curvas tipo B son:

Proporcion disconforme en el lote

Pro

ba

bili

da

d d

e a

cep

taci

on

0.0 0.05 0.10 0.15

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Prob. acep. combinadaProb. acep. 1° muestraProb. rech. 1° muestra (derecha)

32

• Es importante destacar que la probabilidad

de aceptación y rechazo en la primera

muestra no suman 1, ya que se le da

oportunidad a tomar una segunda muestra.

• El diseño en este caso también se hace

especificando NCA, , PTDL y . Sin

embargo la solución de las ecuaciones es

en este caso más complicado.

• Si suponemos que n2 es múltiplo de n1, se pueden utilizar las tablas de Grubbs para diseñar los planes de muestreo dobles.

• Ver ejemplo en clase.

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Curvas del número muestral medio

• Es importante conocer cual es el número promedio de inspecciones que se van a realizar bajo el plan de muestreo doble, como función del verdadera proporción disconforme en lote. Si las dos muestras se toman completamente, el cálculo es muy sencillo a partir de las curvas CO:

)( 1121 cXPnnNMM

35

• Sin embargo, cuando se utiliza reducción

(es decir, si se interrumpe la toma de la

segunda muestra cuando el total de

disconformes supera a c2) el número

muestral medio es menor y el cálculo es

más engorroso.

• Note que la reducción podría utilizarse

también en planes de muestreo simple.

Planes de muestreo Múltiples

• Es una extensión del muestreo doble, donde se pueden utilizar varias muestras para juzgar un lote. Si en este plan al terminar cualquier etapa, el número de artículos defectuosos es menor o igual al número de aceptación, se aceptará el lote. Si el número de defectuosos es mayor o igual al número de rechazo se descartará el lote. En otro caso se tomará la siguiente muestra.

37

Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4)

• Es una norma militar publicada en 1963.

• Presenta planes de muestreo simples, dobles y múltiples.

• Está basado en el NAC.

• Se puede utilizar para controlar la proporción de defectos o el número de defectos por unidad.

38

• Determinar el nivel de inspección, el cual

está relacionado con el tamaño muestral.

Usualmente se utiliza el nivel II pero el

nivel III se usa cuando el costo de

inspección es bajo y el nivel I cuando el

costo es alto. Los planes especiales se

utilizan con ensayos son destructivos, en

los cuales se desean tamaños mínimos.

• Determinar el tamaño del lote.

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• Hallar la letra código del plan.

40

• Elegir el número de muestras del plan de muestreo: simple, doble o múltiple.

• Elegir el NAC (en porcentaje).

• Seleccionar el tipo de inspección (normal, reducida o severa). El plan contiene reglas para saltar entre los distintos planes.

• Usando el NAC y la letra código determinar el plan a partir de las tablas.

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Reducida Normal Severa

Se aceptan 5lotes consecutivos

Se rechazan 2 de 5lotes consecutivos

Se aceptan 10lotes consecutivos

Se rechaza 1 lote ola producción es irregular

Inicio

10 lotesconsecutivos

bajoinspecdión

estrictaInterrupcción

CAMBIO DE NIVEL DE INSPECCIÓN

42

• Planes para muestreo simple con nivel de inspección normal.

43

• Si en la posición correspondiente no se

encuentra ningún plan, seguir la flecha

hasta encontrar uno. Se debe tomar

entonces el nuevo tamaño muestral y el

nuevo número de aceptación.

• Si tamaño muestral es mayor que el del

lote, realice inspección al 100%.

44

• Ejemplo : Suponga que se espera recibir

lotes de 2.000 de un proveedor nuevo, y

que la gerencia ha decido soportar un

NAC de 0.1%. Le piden que determine un

plan de muestreo para investigar la

calidad de los artículos del proveedor.

Tome en cuenta que la inspección de este

tipo de productos es muy fácil y barata.

45

Para obtener la letra código del plan

necesitamos el tamaño del lote N (el cual

conocemos) y el nivel de inspección.

Como la inspección de estos artículos es

sencilla y barato, podemos utilizar un nivel

de inspección III, lo cual implica que el

tamaño de nuestras muestras n va a ser

un poco más grandes que con cualquier

otra alternativa.

46

Una vez que obtenemos la letra código L, lo único que necesitamos es determinar el nivel de inspección. Como se trata de un nuevo proveedor, escogemos un nivel normal. Entrando en la tabla correspondiente, con un NAC de 0.1 y la la letra código L, el plan de muestreo simple correspondiente es n = 150 y c = 0 (como no hay plan, se sigue la flecha)

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Inspección rectificadora• Cuando un lote es rechazado por el plan

de muestreo lo más común es que este sea inspeccionado al 100% (bien sea por el productor o por el consumidor). En ese caso los artículos disconformes son eliminados o reemplazados, de modo que la proporción disconforme de estos lotes es cero.

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• El esquema de inspección en este caso se puede resumir en el siguiente gráfico

Lotesentrantes

Lotesaceptados

Lotesrechazados

Inspecciónal 100%

Lotessalientes

p = p0

p = 0

p = p0 p < p0

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• Es importante conocer cual la calidad promedio de los lotes una vez que se ha realizado la depuración de los rechazados. Esto se conoce como la calidad media de salida (CMS) y se calcula como

donde p es la fracción defectuosa y Pa es la probabilidad de aceptar el lote.

pPN

nNpPCMS a

a )(

50

• La curva CMS para un plan de muestreo simple con n = 89 y c = 2 es:

Proporcion de defetos en el lote

Ca

lida

d m

ed

ia d

e s

alid

a (

CM

S)

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.0

05

0.0

10

0.0

15

51

• Otra característica importante de los planes de muestreo rectificativo es el número de artículos inspeccionados en el lote. A esto se le conoce como la inspección total media (ITM) y viene dado por:

))(1( nNPnITM a

52

• La curva ITM para el mismo plan de muestreo simple con n = 89 y c = 2 es:

Proporcion de defetos en el lote

Insp

eccio

n t

ota

l m

ed

ia (

ITM

)

0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

02

00

04

00

06

00

08

00

01

00

00

N=1000N=5000N=10000