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33SAN MARCOS REGULAR 2009 - III ARITMÉTICA 1TEMA

Siendo la comparación de cantidades una situación muycomún en sucesos reales y abstractos, el tema en menciónforma parte importante en el desarrollo de los exámenes deadmisión. Al respecto, es posible observar que en los últimosaños se vienen incluyendo en los exámenes 2 ó 3 preguntas

relativas al tema. Debido a esto es fundamental alcanzaruna óptima comprensión y manejo de los temas del curso.Además, estos sirven de base para el desarrollo de temasposteriores, tales como el desarrollo de las magnitudesproporcionales, el tanto por ciento y otros.

RAZONES Y PROPORCIONES

ARITMÉTICA - TEMA 1

RAZÓNComparación de dos cantidades mediante una sustraccióno una división.

Razón aritméticaComparación de dos cantidades mediante una sustracción.Ejemplo:La edad de Manuel es 32 años, y la edad de Doris es23 años.Razón aritmética: 32 - 23 = 9

Interpretaciones– La edad de Manuel excede a la de Doris en 9 años.– Manuel es 9 años mayor que Doris.– La edad de Doris es excedida en 9 años por la edad de

Manuel.– Doris tiene 9 años menos que Manuel.

Razón geométricaComparación de dos cantidades mediante una división.

Ejemplo:El edificio Moquegua mide 40 m, y el edificio Mercedesmide 25 m.

Razón geométrica: 40m 825m 5

Interpretaciones– La razón de las alturas de los edificios es 8/5.– La altura del edificio Moquegua es a la del edificio

Mercedes como 8 es a 5.– La altura del edificio Moquegua es proporcional a 8 y la

del edificio Mercedes es proporcional a 5.

En general:

a: Antecedenteb: Consecuenter, k: Valor de la razón

Se incluyó en los exámenes de admisión de SAN MARCOS 1995, 1998, 2005, 2006, 2007 y 2008.

Recuerda que la diferencia de las edades de dospersonas permanece constante a través deltiempo.

Recuerda que, si en un problema se menciona lapalabra razón o relación, estas hacen referencia ala razón geométrica.


34 SAN MARCOS REGULAR 2009 - III1TEMA ARITMÉTICA

PROPORCIÓNEs la igualdad de dos razones del mismo tipo, aritméticas ogeométricas.

Según los valores de sus términos medios, las proporcionesse clasifican de la siguiente manera:– Discretas: Términos medios diferentes.– Continuas: Términos medios iguales.

Propiedad general de las proporciones geométricas

Sea la proporción: a cb d

1.a b c d

b d o

a ca b c d

2.a b c d

b d o

a ca b c d

3.a b c da b c d

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES (S. R. G. E.)Igualdad de más de dos razones geométricas equivalentes.Ejemplo:

Donde:– Antecedentes: 8, 10, 6 y 4– Consecuentes: 4, 5, 3 y 2– Términos extremos: 8 y 2

Se puede observar:8 = 4 x 2 10 = 5 x 26 = 3 x 2 4 = 2 x 2

En general: a bk

a c ek c dk

b d fe fk

PropiedadesDada la S. R. G. E.:

8 10 6 4 24 5 3 2

1. 8 10 24 5

8 10 6 24 5 3

10 6 25 3

8 10 4 24 5 2

Se cumple:

Razón: Comparación. Proporción: Igualdad de razones.

Una proporción no es una serie de razones geométricasequivalentes, pues solo consta de dos razones.



Problema 1Lo que cobra y gasta un profesor sumaS/.600. Lo que gasta y lo que cobraestá en la relación de 2 a 3. ¿Encuánto tiene que disminuir el gastopara que dicha relación sea de 3 a 5?

San Marcos, 1995

Nivel difícil

A) S/.15 B) S/.18 C) S/.22D) S/.24 E) S/.26

Resolución:

AnálisisHay que tener en cuenta que enambos casos el pago total del profesores fijo, no cambia.

EstrategiaEn ambos casos buscar que lo quecobra sea lo mismo y homogenizar lasproporciones.

Pasos

Ejecución de la solución

240 – 216 = S/.24

Respuesta: D) S/.24

Problema 2Existen dos números consecutivos talque el menor excede en 81 a ladiferencia entre los 3/4 del menor ylos 2/5 del mayor. El menor de losnúmeros es:

San Marcos, 1995

Nivel intermedio

A) 116 B) 120C) 124 D) 128E) 132

Resolución:

AnálisisPor ser consecutivos, los númerosserán: "x" y "x + 1".

2. 28 10 24 5

38 6 4 24 3 2

Se cumple:

n: Número de razones multiplicadas

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTES CONTINUASEjemplo:

4

3

2

a eK

b eKa b c d kb c d e c eK

d eK


813 2x (x) (x 1)4 5

x = 124

menor: x = 124.

Errores que suelen cometerseEl error más común que suelecometerse es en la interpretación delenunciado y en la parte operativa conlas fracciones.

Respuesta: C) 124.

Problema 3Una caja de lápices contiene unatercera parte más de lápices que unasegunda caja. Si esta última tiene3 lápices menos, ¿cuántos lápicestendrá la primera caja?

San Marcos, 1998

Nivel fácil

A) 8 B) 9C) 10 D) 11E) 12

Se cumplen las mismas propiedades anteriores, pero, además:

4a b c d kb c d e

4a ke

(relación de los términos extremos)

En muchos casos es más conveniente representar atodos los términos de una serie de razonesgeométricas equivalentes continuas en función delúltimo extremo y de la constante de proporcionalidadpara emplear menos incógnitas:

a b c d kb c d e

En su lugar:

4 3 2

3 2ek ek ek ek k

ek eek ek



NIVEL I

1. Se tienen 200 bolas, de las cuales60 son negras y las restantes sonblancas. ¿Cuántas bolas blancas sedeben añadir para que por cada 3 bolasnegras haya 20 bolas blancas?A) 480B) 200C) 400D) 260E) 150

2. Una bomba de agua llena 3 tanques

cuyos volúmenes son proporcionales

a los números 4, 5 y 8. Si se desea

llenar totalmente, se demoraría t1horas, pero, si se llenan 3/4 del

primer 2/5 del segundo y 1/2 del

tercer tanque, se demoraría t2

horas.

Halla la razón geométrica de t1 y t2.A) 2B) 17/9C) 11/9D) 13/8E) 17/8

3. En una proporción geométrica

continua, el primer término es 14

del cuarto término. Halla la media

proporcional s i sale que los

extremos suman 60.

A) 12

B) 24

C) 48

D) 36

E) 21

4. En una progresión geométricacontinua, la suma de los extremosmenos uno es igual a la suma delos medios. Si el producto de loscuatro términos es 1296, halla lasuma de estos.A) 24B) 20C) 26D) 25E) 30

NIVEL II

5. Si:

3 3 3

3 3 3a b c a b cy 125m n p m n p

Calcular:

2 2 2

3 3 3a m b n c p

m n p

A) 21

B) 22

C) 24

D) 25

E) 30

6. Dora le dice a Claudia: Hace 8 años

nuestras edades estaban en

relación de 5 a 6; actualmente

están en relación de 7 a 8.

Calcula dentro de cuántos años la

suma de sus edades será 70 años.

A) 6

B) 20

C) 5

D) 15

E) 28

7. Dos nadadores se encuentran en

extremos opuestos de una piscina

y van uno al encuentro del otro, si

el primer encuentro se produce a

16 m del extremo izquierdo y el

segundo a 10 m del extremo

derecho, hallar la longitud de la

piscina.

A) 48

B) 50

C) 38

D) 32

E) 45

8. En una proporción geométrica

continua, la suma de los términos

es 64. Además, la suma de los

términos de la primera razón es a

la suma de los términos de la

segunda razón como 3 es a 1.

Calcula la diferencia de los términos

extremos.

A) 24

B) 32

C) 31

D) 21

E) 28

9. Si:

a b cn! (n 1)! (n 2)!

y a + b = 2n; c = 7 x 2n

Hallar: "n".

A) 8

B) 7

C) 14

D) 9

E) 6

Resolución:AnálisisYa que una tiene una tercera partemás que otra, se hace entonces quevalga 3x.


x = 3

caja: 4x = 4(3) = 12

Respuesta: E) 12



10. Si:

3 3 2 2 2 2a b a b a b ab182 25 7 12

Halla: a + b

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 20

11. En una reunión se observa que en

un preciso instante la cantidad de

hombres y mujeres es como 4 es

a 5 la relación de hombres que

bailan con las mujeres que no

bailan es como 3 es a 2, y la razón

de las mujeres que bailan con los

varones que no bailan es como 6

es a 2. Si los que bailan son ab y

el total de las personas es múltiplo

de 8 menor que 100, calcular a + b.

A) 10

B) 12

C) 13

D) 16

E) 6

12. Andrés resuelve 4 problemas en

14 minutos; y Carlos, 9 problemas

en media hora. Si cierto día debenresolver 80 problemas. CuandoCarlos ha resuelto 1 problema másque Andrés, se retira y Andréscont inúa solo, resuelve 30problemas y deja el resto paraCarlos, ¿en cuánto tiempoterminarán de resolver los 80problemas?A) 150 minutosB) 170 minutosC) 190 minutosD) 205 minutos

E) 215 minutos

NIVEL III

13. En la siguiente serie:

31 2 4 n

2 3 4 5 n 1

aa a a a... ;

a a a a a

l a r a z ó n e n t r e e l p r i m e r

a n t ec ed e n t e y e l en és im o

an tec eden te e s 9 vec es l a

razón del primer consecuente y

de l penúl t imo antecedente.

Halla e l producto de las dos

primeras razones.

A) 81

B) 27

C) 9

D) 10

E) 15

14. El producto de los 4 términos de

una proporción geométrica es

8100, la diferencia de los

antecedentes es 3 y la de los

consecuentes es 5. Halla la suma

de dichos 4 términos.

A) 38

B) 36

C) 40

D) 32

E) 42

15. Si los términos a, b, c y d forman

una proporción geométrica y

además 6859 (a2c + ac2) =

4913(b2d + bd2)

Halla:

2 2

2 2

c a ac bm dn a cQ2(am cn) b dd b bd

A) 17/19

B) 17/38

C) 34/19

D) 13/19

E) 19/17

1. Una razón es _______________________________

_________________________________________

________________________________________.

2. Una proporción es __________________________

_________________________________________

_________________________________________.

3. En una proporción continua, los medios son _______

_________________________________________

_________________________________________

4. En una proporción discreta los términos medios son.

_________________________________________

________________________________________.



5. La media proporcional de 4 y 16 es ______________

_________________________________________

________________________________________.

6. En una serie de razones geométricas continuas los

___________________ son iguales.

7. La media diferencial de 4 y 16 es _______________

_________________________________________

8. La cuarta diferencial de 32, 10 y 28 es ___________

_________________________________________

_________________________________________.

9. La tercera proporcional de 4 y 10 es ____________

_________________________________________

________________________________________.

10. La cuarta proporcional de 80, 15 y 16 es _________

________________________________________.

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