movimiento de proyectiles

5/8/2018 Movimiento de proyectiles - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/movimiento-de-proyectiles-559bf4caa1d6a 1/16

Movimiento de proyectiles

Cualquier objeto que sea lanzado en el

aire con una velocidad inicial dedirección arbitraria, se mueve

describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cualse ha comunicado una velocidad inicial yse ha dejado en libertad para que realiceun movimiento bajo la acción de lagravedad. Los proyectiles que estáncerca de la Tierra siguen una trayectoriacurva muy simple que se conoce como parábola. Para describir el movimiento esútil separarlo en sus componenteshorizontal y vertical.

Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de lasuperposición de un movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente variado,estableciendo las ecuaciones de la curva representativa, tiempo de vuelo, tiempomáximo, altura máxima, alcance máximo, velocidad y coordenadas de posición en el plano.

¿Qué es un proyectil?

El movimiento de un proyectil es un ejemploclásico del movimiento en dos dimensionescon aceleración constante. Un proyectil escualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa enmovimiento por inercia propia. Un proyectiles un objeto sobre el cual la única fuerza queactúa es la aceleración de la gravedad. Lagravedad actúa para influenciar elmovimiento vertical del proyectil. El



movimiento horizontal del proyectil es elresultado de la tendencia de cualquier objetoa permanecer en movimiento a velocidadconstante.

El término proyectil se aplica por ejemploa una bala disparada por un arma de fuego,a un cohete después de consumir sucombustible, a un objeto lanzado desde unavión o en muchas actividades deportivas(golf, tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.).L os fuegos artificiales y las fuentes delagua son ejemplos del movimiento de proyectiles . El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria . Elestudio del movimiento de proyectiles escomplejo debido a la influencia de laresistencia del aire, la rotación de la Tierra,

variación en la aceleración de la gravedad.

La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llamabalística.

Experiencia de Galileo GalileiEl hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así yexperimentaba con tiros parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de Davidfrente a Goliat). Galileo fue el primero que

dio una descripción moderna y cualitativadel movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y demostró quela trayectoria de cualquier proyectil es una parábola.

Galileo realizó un experimento con dosobjetos: impulsó uno horizontalmentedesde una mesa y dejó caer otro cuerpodesde el borde verticalmente. Al dejar caer

un cuerpo A verticalmente = 0 ylanzando horizontalmente en el mismoinstante un objeto B con una velocidad

horizontal ( ), Galileo Galilei comprobóque ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo.



El objeto A , en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y poseeuna aceleración que es la de gravedad, luego está dotado de un movimientouniformemente acelerado. El objeto B está animado en ese instante t de dos movimientosy como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad vertical de caíday la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.

Como los objetos A y B tardan lo mismo encaer, Galileo concluyó que la velocidadhorizontal debido al movimiento uniforme,ya que el cuerpo no posee aceleración, noinfluye en el movimiento de caída del cuerpo

B , o sea, que las velocidades y actúansimultáneamente sobre B , pero en formaindependiente la una de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve comoconsecuencia de la acción de dos

movimientos: uno uniformemente acelerado(vertical), con una aceleración igual a la de

gravedad ( ) y otro uniforme (horizontal),con aceleración igual a cero.

El principio de superposición de movimientos:” Si el movimiento de uncuerpo es el resultado de otros dos movimientos simultáneos, la posiciónque ocupa al cabo de un tiempo t es la misma que ocuparía si ambosmovimientos se hubiesen cumplido sucesiva e independientemente uno deotro y cada uno de ellos durante el mismo tiempo t” .

Análisis del movimiento de proyectiles

Se examina sólo trayectorias suficientementecortas para que la fuerza gravitacional se puedaconsiderar constante en magnitud y dirección.También hay que analizar no tener en cuentalos efectos de la resistencia del aire; Estashipótesis simplificadas constituyen la base deun modelo idealizado del problema físico.

Como, en este caso idealizado, la única fuerzaque actúa sobre el proyectil es su pesoconsiderado constante en magnitud y dirección,es mejor referir el movimiento a un sistema deejes coordenadas rectangulares. Se toma el ejex horizontal y el eje y verticalmente haciaarriba.



La componente x de la fuerza que actúasobre el proyectil es nula y lacomponente y es el peso del proyectil – mg. Esto es, la componente horizontal dela aceleración es nula, y la componentevertical hacia abajo, es igual a la de uncuerpo que cae libremente. Puesto que laaceleración nula significa velocidadconstante, el movimiento puede definirsecomo una combinación de movimientohorizontal con velocidad constante ymovimiento vertical con aceleraciónconstante.

Estos dos movimientos hacen que elmovimiento resultante sea de trayectoria parabólica . Dichos movimientos soncompletamente independientes uno del otro.

Considérese un proyectil sencilloLa componente horizontal del

movimiento de un proyectil es igual almovimiento horizontal de una pelota querueda libremente sobre la superficie plana de la mesa. Si podemos despreciar el efecto de la fricción, la bola se muevea velocidad constante, recorriendodistancias iguales en intervalos detiempos iguales.

La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una trayectoria curva es

exactamente igual que el movimiento de unobjeto en caída libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja caer, tieneuna componente vertical en la dirección de lagravedad terrestre, el proyectil se acelera haciaabajo. El aumento de la rapidez en la direcciónvertical hace que el objeto recorra distanciascada vez mayores a intervalos de tiempos



iguales. Es interesante notar que la componentehorizontal del movimiento de un proyectil estotalmente independiente de la componentevertical. Cada uno de ellas actúa de maneraindependiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvasque describen los proyectiles.

Una Fotografía real con luzestroboscópica de dos pelotas de golf que caen simultáneamente, unalibremente y la otra que se lanza enforma horizontal revela que el

movimiento curvilíneo de la pelota esuna combinación de los movimientoshorizontal y vertical.

Más consideraciones del Movimiento deProyectilesConsidérese una bala de cañón que se dispara

con determinado ángulo de elevación. Suponga por un momento que no hay gravedad;entonces a causa de la inercia, la bala de cañónseguirá la trayectoria rectilínea representada por la línea discontinua. Pero la gravedadexiste, por lo que esto no sucede. Lo querealidad ocurre es que la bala caecontinuamente por debajo de la líneaimaginaria, hasta que por último llega al suelo.



Es importante notar que la distanciavertical que un objto cae por debajo decualquier punto de la línea discontinua

es la misma distancia vertical que caeríasi se soltara desde el reposo en el mismotiempo.

Si se desprecian los efectos de la resistencia delaire, cualquier objeto que se lanza en estemedio describirá una trayectoria parabólica. Noobstante en situaciones prácticas la resistenciadel aire puede considerarse despreciable sólo

en el caso de objetos que se muevenlentamente y que posean altas densidades.Como una roca o una esfera sólida. Los proyectiles de alta-velocidad, como balas derifles o cañón, son frenados en forma continua por la resistencia del aire y su trayectoriadifiere de una parábola.

La altura vertical y el alcance horizontalde un proyectil dependen de suvelocidad inicial y su ángulo de

proyección.

Se obtiene la altura máxima cuando la proyección es vertical hacia arriba 90º yla distancia horizontal máxima cuando elángulo de proyección es de 45º.

Se puede obtener la misma distanciahorizontal, o alcance para dos ángulos de proyección diferentes. Esto es verdad paratodos los pares de ángulos que suman 90º.Un objeto lanzado al aire a un ángulo de 30º, por ejemplo, tocará tierra tan lejos como sihubiera sido lanzado a la misma velocidad a unángulo de 60º. Sin embargo, es obvio que elobjeto lanzado a mayor ángulo permanece enel aire más tiempo.



Lanzamiento horizontal

Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente

en el vacío desde un punto O con velocidad . Sila tierra no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se movería en el vacío y en tiempos t1, t2,t3… ocuparía posiciones tales como A, B, C, D ,… y el movimiento sería rectilíneo uniforme de

velocidad constante . Sin embargo como la pelota está sometida a la atracción gravitatoria, ala vez que se mueve horizontalmente, cae

verticalmente con aceleración constante - y alfinal de los tiempos indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,… Lacurva que une a estos puntos corresponde a una parábola .

La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dosmovimientos: Uno horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante

, y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo largo del eje y de

aceleración constante .

Ecuaciones de la velocidad

La componente horizontal de la velocidad seráde magnitud constante a través de todo el

recorrido e igual a . Esto se debe a que elmovimiento en esta dirección es con velocidadconstante. En toda la trayectoria la componente

horizontal ( ) será la misma velocidad inicial;

esto es . En módulo:

La componente vertical en uninstante de tiempo cualquiera, vienedada por:

La magnitud de la velocidad resultante V, vienedada en módulo por la expresión:



Para determinar la dirección del vector , es decir el ángulo a que forma con el eje x , basta con aplicar la relación trigonométrica

Luego:

Recordar que el vector velocidad siempre es tangente a latrayectoria descrita por la partícula

Ecuaciones del desplazamientoComo se puede notar el movimiento tiene simultáneamente un desplazamiento horizontal

( ) y un desplazamiento vertical ( ) en un instante de tiempo cualesquiera.

La ecuación de desplazamientohorizontal (X) en módulo, es la mismadel movimiento rectilíneo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido esconstante

El desplazamiento vertical (y) en módulo secalcula como si el cuerpo se moviese en caídalibre

La posición a lo largo del eje y, en eltiempo t.

El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:

La dirección del desplazamiento seobtiene aplicando la definición detangente

El tiempo de vuelo ( )Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo.

Recuerde que la cantidad subradical será siempre positiva

El alcance horizontal ( R ) es el desplazamientohorizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con



Ecuación de la TrayectoriaLa idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, eldesplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:

de donde :

(a)

Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:

(b)

Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de laecuación (a) en tde la ecuación (b) quedando:

Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k,adoptando la expresión la forma siguiente:

que corresponde a la ecuación de una parábola.

Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el planoserán:

EjemploUn avión vuela con una velocidadhorizontal constante de 600km/h a unaaltura de 6 km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamentearriba de su objetivo ¿ Cuál es elángulo de mira al que debe arrojarseun paquete de supervivencia para quellegue a su objetivo?

SoluciónSe escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que sesuelta el paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión.

= 600 Km/h = 166,66 m/seg

De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600Km/h. El ángulo de tiro es cero.



El tiempo de vuelo se calcula con la expresión

= 34,99 seg ( No depende de la rapidez del avión cuando el tiro es horizontal)

El alcance horizontal es

R = . = 166,66 m/seg X 34,99seg

R = 5831,43 m = 5831,4 m = x

De modo que el ángulo de mira f se define como

Lanzamiento inclinado

Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se lanza con una velocidad

inicial , formando un ángulo q0 con la dirección horizontal. Su velocidad cambiaconstantemente debido a la acción del campo gravitatorio.

Los componentes rectangulares de la velocidad inicial y . (Los subíndices se utilizan

para indicar los valores iniciales de en cada uno de los ejes). Si no existiera la atraccióngravitatoria, en tiempos t1, t2, t3, … ocuparía respectivamente posiciones tales como A, B,

C, D, y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante , Sin embargo

como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción gravitatoria, a la vez que se muevesegún la recta AE, cae verticalmente, y al final de los tiempos indicados las posiciones del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La curva que une estos puntos determina latrayectoria del proyectil, que corresponde a una parábola .



Cuando el cuerpo es lanzado forma un ángulo q0 con la horizontal y la única fuerza queactúa es la atracción gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe aceleración, entanto que en la dirección vertical el cuerpo está sometido a la acción de la fuerza de lagravedad y por ello, en dicha dirección se manifiesta un movimiento con aceleraciónconstante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil será el resultado de la composición dedos movimientos, uno con velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro conaceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un movimiento uniformemente

retardado con aceleración = - g. Se observa que la componente de la velocidad a lo largo

del eje y ( ), cuando el proyectil sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a cero en el

punto de máxima altura de la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil

empieza a bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado = g , luego la

componente de la velocidad cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el

cuerpo continúa su caída libre. Se nota que durante todoel movimiento, la componente horizontal de la velocidad a lo largo del eje horizontal (ejex )se mantiene constante y por consiguienteel movimiento a lo largo de este ejees rectilíneo uniforme.



De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un movimiento que resulta de la

superposición de un movimiento rectilíneo uniforme ( = constante) y un movimiento

uniformemente variado ( = constante) a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del proyectil en cualquier instante t a partir de las siguientes ecuaciones.Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento ( t = 0)

Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial , formando con lahorizontal un ángulo q0.

Las componentes del vector en las direcciones de los ejes vienen dadas en módulo por:

(Componente Horizontal)

(Componente Vertical)

Ecuaciones de la velocidad para un instante después del lanzamientoCuando el proyectil ocupa una determinada posición en un instante t después de haber sido

lanzado la velocidad , tendrá una componente horizontal que se llama y una

componente vertical que se llama .

Ecuaciones del desplazamientoEl movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que eldesplazamiento horizontal x viene dado por la ecuación:

La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través detodo el recorrido y vendrá dada por:



La magnitud de la componente vertical en cualquier instante viene dada por:La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada como:

El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal representa la dirección de lavelocidad y viene dado por:

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante , dirigida hacia abajo, por loque la ecuación del desplazamiento vertical y vendrá dada por:

Si la anterior ecuación se resuelve para se obtiene:

Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamientos ubicados dentro del rango 0 < q0 < p /2. La ecuación es válida para cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del proyectil.Esta expresión es de la forma y = ax-bx2, que es la ecuación de una parábola que pasa por elorigen. Se advierte que la trayectoria está completamente especificada si se conoce tanto la

rapidez inicial como el ángulo de lanzamiento q0.Ecuación del tiempo máximoSe llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima

( ).

A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad hasta llegar un momento

en que la misma se hace cero. Para ello hacemos = 0 en la ecuación:



Ecuación de la altura máxima ( )

La altura máxima se obtiene haciendo en la ecuación

Ecuación del tiempo de vuelo ( )El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil desde su punto partida.

Alcance horizontal ( R )Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.

Ejemplo 2José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto patea el balón con un ángulo deinclinación sobre la horizontal de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto de partida se encuentra un vertical de la Portería con el cual choca la esférica. ¿A quealtura del poste respecto a la horizontal pega el balón?

Solución

= 20 m/segq0= 37º X = 36 m

La posición se denota por la ecuación:



Y = 2,19 = 2,2 m

Ejemplo 3Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró uno colgado tranquilamente enla rama de un árbol. El cazador no era muy buen físico y pensó que si apuntabadirectamente al mono, seguramente le daría. El cazador apunta directamente al mono sintener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y por lo tanto pasará debajodel mono. Pero el mono había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él, el mono pensaba cuidadosamente que hacer.Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el dardo de la cerbatana, se sueltade la rama y cae del árbol esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independiente de cual sea la velocidad inicial del dardo, con tal que seasuficientemente grande para recorrer la distancia horizontal que hay hasta el árbol.

SoluciónEl mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma cantidad.La altura del dardo en cualquier instante es:

La altura del mono en cualquier instante es:

Demostrar que H = Voy. t;



Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.

Nota:

Una colisión puede ocurrir cuando d es la elevación inicial del blanco

sobre el suelo.

movimiento de proyectiles

Documents