modulo_2_ fundamentos sobre vectores
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7/26/2019 Modulo_2_ Fundamentos Sobre Vectores
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICA
FSICA MECNICAMDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORESDiego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.
Profesores, Escuela de !sica de la "ni#ersidad $acional de %olo&bia 'ede Medell!n
(lti&a re#isi)n en *unio + de -+/
Te&as Magnitudes #ectoriales 0 escalares. %lasificaci)n de #ectores. 'u&a de #ectores por los &1todos2 paralelogra&o, tringulo, pol!gono. %o&ponentes rectangulares de un #ector2 en el plano 0 en el espacio. 'u&a de #ectores por el &1todo de las co&ponentes rectangulares. Producto escalar por #ector. Producto escalar de #ectores.
Producto #ectorial de #ectores. Deri#ada de un #ector
Nota2 En el desarrollo de este &)dulo se asu&e 3ue los estudiantes 0a cursaron 4eo&etr!a 5ectorial. Esdecir, el &)dulo considera s)lo un bre#e REPA'6.
I. Qu !" u $!%to&' Las &agnitudes f!sicas se pueden clasificar en escalares0 #ectoriales.
Las &agnitudes escalares tienen s)lo ta&ao 73ue de a8ora en adelante se deno&inar &)dulo osi&ple&ente &agnitud9. 'on e*e&plos de estas2 el tie&po, la &asa, la rapidez, la longitud de unrecorrido, la energ!a, el traba*o, el #olta*e, la potencia.
Las &agnitudes #ectoriales poseen ade&s de &)dulo, direcci)n0 sentido. 'e representan &ediante unseg&ento orientado 7flec8a9, co&o lo indica la figura .
igura
La direcci)n de la cantidad #ectorial, est dada por el #alor del ngulo 3ue define la pendiente de larecta sobre la cual se :apo0a: la :flec8a: 3ue la representa. El sentido 3ueda definido por la:cabeza: o :punta: de la &is&a. El ta&ao 7&)dulo o &agnitud9 del #ector lo da el ta&ao de dic8a
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:flec8a:. As! por e*e&plo, si la cantidad #ectorial se duplica, la :flec8a: 3ue la representa se deberdibu*ar de doble ta&ao.
'on e*e&plos de &agnitudes #ectoriales2 la posici)n, el desplaza&iento, la #elocidad, la aceleraci)n,la fuerza, la cantidad de &o#i&iento 7&o&entu&9, la elongaci)n, el peso, el ca&po el1ctrico, elca&po &agn1tico.
Algebraica&ente los #ectores se representan con letras del alfabeto castellano, &a0;sculas o∈sculas< usual&ente en un te=to i&preso se utiliza la letra en negrita, por e*e&plo (, 3uesignifica a&bas propiedades del #ector, &agnitud 0 direcci)n 7inclu0endo el sentido dentro de la
direcci)n9. En la escritura &anual se suele poner una flec8a sobre la letra,b
.
La &agnitud o longitud de un #ector se representa colocando el #ector entre barras o si&ple&ente
la letra,
b = b
.
II. C)a"*+*%a%*, ! $!%to&!"
L!nea de acci)n de un #ector es la recta a la 3ue pertenece el #ector, igura -.
igura -
V!%to&!" a&a)!)o"
'on a3uellos 3ue tienen sus l!neas de acci)n paralelas e igual sentido, igura /.
igura /
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V!%to&!" at*a&a)!)o"
'on a3uellos 3ue tienen sus l!neas de acci)n paralelas 0 sentido opuesto, igura >.
igura >
V!%to&!" */ua)!"
'on a3uellos #ectores 3ue tienen la &is&a &agnitud, direcci)n 0 sentido aun3ue no tengan el &is&o puntode aplicaci)n, igura ?.
igura ?
V!%to& ou!"to ! u $!%to&
Es a3uel 3ue tiene la &is&a &agnitud del #ector, pero est rotado @+ respecto a 1ste, igura B.
igura B
V!%to&!" +*0o"
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'on a3uellos #ectores 3ue no pueden deslizarse sobre su l!nea de acci)n. 'u origen est anclado al punto deaplicaci)n. E*e&plos son2 el #ector posici)n 7igura C9, la #elocidad 7igura C9, el ca&po el1ctrico.
igura C
V!%to&!" !")*1at!"'on a3uellos #ectores 3ue pueden &o#erse sobre su l!nea de acci)n sin ca&biar su &agnitud 0 direcci)n.E*e&plo. Las fuerza 3ue act;an sobre los cuerpos r!gidos, igura @.
igura @
V!%to&!" )*(&!"
'on a3uellos #ectores 3ue pueden &o#erse libre&ente en el espacio con sus l!neas de acci)n paralelas.E*e&plo. El tor3ue de una cupla 7ta&bi1n deno&inado par de fuerzas9, igura .
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igura
V!%to& u*ta&*o $!&"o& ! u $!%to&3
Es un #ector de &agnitud 0 de igual direcci)n del #ector dado, igura +. 'e obtiene
di#idiendo el #ector entre su &agnitud,
au = [1]
a
igura +
E*e&plos de #ersores son los 3ue representan las direcciones de los e*es cartesianos 7e*e =,i
< e*e 0,j
+,+ocon el #ector resultante 7#ector su&a9 de los dos. Encontrar la &agnitud del segundo #ector 0 la del#ector su&a.
'oluci)n2
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igura ?
En la igura ? se ilustra la su&a de estos dos #ectores e&pleando el &1todo del paralelogra&o. 'ea bI -+u, aplicando le0 de senos,
s b=
sen sen
Pero
o = 70,0
0a 3ue es el suple&ento de +,+o7esta es una propiedad de los paralelogra&os9, 0 co&o
los ngulos interiores de un tringulo su&an @+o,
o = 70,0
, entonces,
b sens =
sen
( ) 0
o
20,0 u !sen70,0s =
sen70,0
s = 20,0 u
Aplicando le0 de cosenos,
2 2 2 oa = s + b - 2sbcos40,0
( ) ( ) ( ) ( )2 22 oa = 20,0 u + 20,0 u - 2 20,0 u 20,0 u cos40,0
a = 13,7 u
Mtoo !) t&*6/u)o
En este &1todo, los #ectores se deben trasladar 7sin ca&biarle sus propiedades9 de tal for&a 3ue la:cabeza: del uno se conecte con la :cola: del otro 7el orden no interesa, pues la su&a es con&utati#a9. El#ector resultante se representa por la :flec8a: 3ue une la :cola: 3ue 3ueda libre con la :cabeza: 3ueta&bi1n est libre 7es decir se cierra un tringulo con un :c8o3ue de cabezas:9. En la igura B se ilustra el&1todo.
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igura B
En la igura B el #ector de color #erde es la su&a #ectorial de los #ectores de color ro*o 0 de color azul.
'i la operaci)n se 8ace grfica&ente con el debido cuidado, s)lo bastar!a &edir con una regla el ta&ao del#ector de color #erde utilizando la &is&a escala 3ue se utiliz) para dibu*ar los #ectores su&andos 7el ro*o 0el azul9. Esa ser!a la &agnitud de la su&a. La direcci)n se podr!a a#eriguar &idiendo con un transportador elngulo 3ue for&a la resultante con una l!nea 8orizontal.
Pero no basta con saberlo 8acer grfica&ente. 'e debe aprender a realizar anal!tica&ente. Para ello sedeben utilizar los teore&as del seno 0 del coseno, 0 si es un tringulo rectngulo se utilizar el teore&a dePitgoras 0 las definiciones de las funciones seno 0 coseno.
E*e&plo /2
Resol#er el e*e&plo usando el &1todo del tringulo.
'oluci)n2
igura C
En la igura C se ilustra la su&a de los dos #ectores e&pleando el &1todo del tringulo. Aplicando le0 decosenos,
2 2 2 os = a + b - 2abcos36
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( ) ( ) ( ) ( )2 22 os = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos36,0
s = 4,13 u
La direcci)n se obtiene calculando el ngulo 3ue for&a con el e*e . Aplicando le0 de senos,
o
s a=
sen36,0 sen
oa sen36,0sen =
s
( )
( )
o6,00 u !sen36,0sen=
4,13 u
sen = 0,84
o = 8,6
Por lo tanto el ngulo 3ue for&a el #ector resultante con el e*e es igual a,
o o o = 180 - 8,6 121
Mtoo !) o)7/oo
%uando se #an a su&ar &s de dos #ectores, se puede su&ar dos de ellos por el &1todo del tringulo. Luegoel #ector resultante su&arlo con otro #ector ta&bi1n por el &1todo del tringulo, 0 as! sucesi#a&ente8asta llegar a obtener la resultante final2 la su&a de #ectores es con&utati#a 0 asociati#a.
6tra for&a de 8acer la su&a, es utilizando el lla&ado &1todo del pol!gono. Este &1todo es si&ple&ente lae=tensi)n del &1todo del tringulo. Es decir, se #an desplazando los #ectores para colocarlos la :cabeza:
del uno con la :cola: del otro 7un :trencito:9 0 la resultante final es el #ector 3ue cierra el pol!gono desde la:cola: 3ue 3uedo libre 8asta la :cabeza: 3ue 3uedo ta&bi1n libre 7cerrar con un :c8o3ue de cabezas:9.$ue#a&ente el orden en 3ue se realice la su&a no interesa, pues aun3ue el pol!gono resultante tiene for&adiferente en cada caso, la resultante final conser#a su &agnitud, su direcci)n 0 su sentido.
Este &1todo s)lo es eficiente desde punto de #ista grfico, 0 no co&o un &1todo anal!tico. En la igura @se ilustra la su&a de cuatro #ectores.
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igura @
'i&ulaci)n2
Analizar la si&ulaci)n de S*4u)89"*%"correspondiente a la su&a de #ectores por el &1todo del pol!gono.Para acceder a ella 8acer clic con el &ouse en el !te& sealado en la igura . En 1sta 8acer las#ariaciones per&itidas 0 obser#ar detenida&ente los resultados.
8ttp2ludifisica.&edellin.unal.edu.coinde=.p8psoftareF8ardaresi&ulp80sics
igura
IV. Co4o!t!" ! u $!%to&
Todo #ector se puede e=presar co&o la su&a de otros dos #ectores a los cuales se les deno&inaco&ponentes. En la igura -+ se ilustra esto.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysicshttp://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics -
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igura -+
En esta figura el #ector #erde tiene co&o co&ponentes los #ectores azul 0 ro*o. Estos ;lti&os su&adosco&ponen al #ector #erde.
Co4o!t!" &!%ta/u)a&!" ! u $!%to& ! !) )ao
%uando las co&ponentes for&an un ngulo recto, se les lla&a co&ponentes rectangulares. En la igura - seilustran las co&ponentes rectangulares del #ector #erde.
igura -
Las co&ponentes rectangulares cu&plen las siguientes relaciones2
"a = a cos [4-a]
#a = a sen [4-b]
2 2
" #a = a +a []
#
"
a$an = [6]
a
Estas co&ponentes se pueden escribir en funci)n de los #ersores correspondientes a los e*es cartesianos,
" # a = a i + a j [7]
Co4o!t!" &!%ta/u)a&!" ! u $!%to& ! !) !"a%*o
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%o&ponentes rectangulares Jngulos directoresigura --
De la igura -- se puede concluir 3ue,
" # % a = a i + a j + a k [8]
" "a = a cos& [9-a]
# #a = a cos& [9-b]
% %a = a cos& [9-c]
En donde"
cos&
,#cos&
0%
cos&
se deno&inan %o"!o" *&!%to&!" 0 cu&plen,
2 2 2
" # %cos& + cos & + cos & 1 [10]
es decir los cosenos directores no son independientes.
E*e&plo >2
"na fuerza'
tiene &agnitud igual a +,+ $ 0 direcci)n igual a ->+,+K. Encontrar las co&ponentesrectangulares 0 representarlas en un plano cartesiano.
'oluci)n2
%alcular las respecti#as co&ponentes2
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( )( )o"' = 10,0( cos240,0 = -,00 (
( )( )o#' = 10,0( sen240,0 = -8,66 (
El resultado lle#a a concluir 3ue la co&ponente de la fuerza en tiene &)dulo igual a ?,++ $ 0 apunta endirecci)n negati#a del e*e . La co&ponente en tiene &)dulo igual a @,BB $ 0 apunta en el sentidonegati#o del e*e . Esto se ilustra en la igura -/.
igura -/
Adicional&ente el #ector se puede escribir en funci)n de sus co&ponentes rectangulares,
' = -,00 i - 8,66 j (
E*e&plo ?2
En la igura -> se ilustra un poste #ertical AE 3ue est su*etado por cables 7tensores9 A, A% 0 AD. 'i la
fuerza de tensi)n'
en el cable AD tiene una &agnitud igual a -++ $, escribir esta fuerza en for&a#ectorial.
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igura ->
'oluci)n2
A2 7+,+ &,+,+ &,/,B &9
D2 7,- &,,@ &, +,+ &9
Nota2 Dado un siste&a de coordenadas, a cada punto del espacio se le puede asignar un #ector posici)n 0solo uno 7es decir un #ector cu0a NcolaO est anclada en el origen del siste&a de coordenadas elegido 0 cu0a
NcabezaO est ubicada en dic8o punto9. Por lo tanto al punto A se le asigna el #ector posici)n)
0 al punto
D se le asigna el #ector posici)n
*
. Las co&ponentes rectangulares de estos #ectores corresponden a lasrespecti#as coordenadas de los puntos,
) = 3,6 k
* = 1,2 i + 1,8 j
El #ector )* es igual a la diferencia de los #ectores posici)n * 0 ) 7FINAL 4!o" INICIAL9,
( ) ( ) ( ) )* *-)= 1,2 0,0 i 1,8 0,0 j 0 3,6 k = + +
)* = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k
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La fuerza de tensi)n en el cable AD se escribe,
( )( ) ( ) ( )
'2 22
)* 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k ' = 'u = ' = 1 200 (
)* 1,2 + 1,8 + -3,6
uuurr
' = 342,86 i + 14,29 j - 1 028,7 k (
2 2 3 ' = 3,4"10 i + ,1"10 j - 1,0"10 k (
V. Su4a ! $!%to&!" !4)!ao !) 4too ! )a" Co4o!t!" R!%ta/u)a&!"
%uando se su&an #ectores, se puede optar por desco&ponerlos en sus co&ponentes rectangulares 0 luegorealizar la su&a #ectorial de estas. El #ector resultante se lograr co&poni1ndolo a partir de lasresultantes en las direcciones = e 0.
A continuaci)n se ilustra este &1todo &ediante un e*e&plo. Este ser en la &a0or parte de los casos el&1todo 3ue se usar a tra#1s del curso.
E*e&plo B2
'u&ar los #ectores de la igura -? &ediante el &1todo de las co&ponentes rectangulares2 aI@,++ u,
bIC,?+ u, cI >,/+ u, dIC,@+ u.
igura -?
Lo pri&ero 3ue se debe 8acer es lle#arlos a un plano cartesiano para de esta for&a orientarse &e*or 7lascolas deben anclarse al origen9. Esto se ilustra en la igura -B.
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igura -B
%alcular las co&ponentes rectangulares2
( )( )
o
"a = 8,00 u cos0,0 = ,14 u
( )( )
o
#a = 8,00 u sen0,0 = 6,13 u
( )( )o"b = 7,0 u cos 0 = 7,0 u ( )( )o
#b = 7,0 u sen0 = 0 u
( )( )o"c = 4,30 u cos120,0 = -2,1 u ( )( )o
#c = 4,30 u sen120,0 = 3,72 u
( )( )o" = 7,80 u cos200,0 = -7,33 u ( )( )o
# = 7,80 u sen200,0 = -2,67 u
A continuaci)n se realiza la su&a de las co&ponentes en 0 de las co&ponentes en 2
" = ,14 u + 7,0 u - 2,1 u - 7,33 u = 3,16 u
# = 6,13 u + 0 u + 3,72 u - 2,67 u = 7,18 u
'e representa estos dos #ectores en el plano cartesiano 0 de una #ez se 8ace la co&posici)n 7su&a
#ectorial de las co&ponentes"
0#
9, igura -C
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igura -C
'e calcula a8ora el &)dulo de la resultante 0 su direcci)n2
( ) ( )2 22 2
" # = + = 3,16 u + 7,18 u = 7,84 u
#-1 -1 o
"
7,18 u = $an = $an = 66,2
3,16 u
'i&ulaci)n2
Analizar la si&ulaci)n de S*4u)89"*%" correspondiente a la su&a de #ectores por el &1todo de lasco&ponentes rectangulares. Para acceder a ella 8acer clic con el &ouse en el !te& sealado en la igura [email protected] 1sta 8acer las #ariaciones per&itidas 0 obser#ar detenida&ente los resultados.
8ttp2ludifisica.&edellin.unal.edu.coinde=.p8psoftareF8ardaresi&ulp80sics
igura -@
R!"ta ! V!%to&!"
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysicshttp://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics -
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Para restar #ectores se apro#ec8a del ele&ento in#erso de la su&a. As! la resta de dos #ectores se puede#er co&o una su&a2
( )a - b = a + -br r
El negati#o de un #ector es otro #ector con sentido contrario. De a8! en adelante la operaci)n sigue co&ouna su&a de #ectores.
En la igura - se ilustra un e*e&plo de una resta.
igura -
E*e&plo C2
Para los #ectores del e*e&plo encontrar
b - ar
.
'oluci)n2
En la igura /+ se ilustra la operaci)n( ). = b - a = b + -a
r r
usando el &1todo del tringulo.
igura /+
Aplicando la le0 de cosenos,
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2 2 2 o. = a + b - 2abcos144,0
( ) ( ) ( ) ( )2 22 o. = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos144,0
. = 12,37 u
Aplicando le0 de senos,
o
. b=
sen144,0 sen
0b sen144,0sen =
.
( ) ( )
( )
7,00 u 0,88en =
12,37 us
o = 19,44
o
= 196,6
Por lo tanto.
&ide -,> u 0 for&a un ngulo igual a Cocon el e*e .
VI. 8&ou%to ! u E"%a)a& o& u V!%to&
El producto de un escalar por un #ector da co&o resultado otro #ector 3ue tiene la &is&a direcci)n 3ue el#ector factor. 'i el n;&ero 3ue &ultiplica al #ector es positi#o, conser#ar el sentido 0 si es negati#oin#ertir su sentido. 'i el n;&ero ade&s es &a0or 3ue uno el #ector resultante ser proporcional&ente&a0or 3ue el #ector factor. 'i el n;&ero es &enor 3ue uno el #ector resultante ser proporcional&ente&enor 3ue el #ector factor. En la igura / ilustra&os #arios e*e&plos de producto de escalares por#ectores.
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igura /
VII. 8&ou%to E"%a)a& ! o" V!%to&!"
Al producto escalar entre dos #ectoresa
0b
se denota co&oa bg
. Por definici)n es el resultado de la
&agnitud del #ectora
por la &agnitud del #ectorb
por el coseno del ngulo 3ue for&an entre ellos,
a b abcos [11]
El resultado de este producto es una cantidad escalar. 'i se obser#a la igura /- se puede interpretar
esta operaci)n #ectorial co&o el producto de la pro0ecci)n del #ectora
sobre el #ectorb
por la &agnitud
deb
0 #ice#ersa.
Muc8as relaciones f!sicas se pueden e=presar co&o este producto 7por e*e&plo, el concepto de traba*o9.Para operar, se lle#an los dos #ectores a un origen co&;n, siendo el ngulo 3ue for&an entre s! los
#ectoresa
0b
.
igura /-
El producto escalar es un n;&ero, no es un #ector 0 puede ser positi#o, negati#o o nulo.
'i el ngulo entre los #ectores es &enor 3ue +K el producto escalar es positi#o, si es &a0or 3ue +K pero
&enor 3ue @+K el producto es negati#o 0 si es igual a + el producto escalar es nulo.
At!%*,:
El producto escalar de dos #ectores perpendiculares es cero.
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Producto escalar de los #ersores 3ue dan las direcciones de los e*es cartesianos,
i i = 1 i j = 0 i k = 0
j i = 0 j j = 1 j k = 0
k i = 0 k j = 0
O
k k = 1
E*e&plo @2
Dos #ectores a 0 b cu0as &agnitudes son iguales a -+,> unidades 7u9 0 /+,B unidades 7u9 for&an unngulo de B+,+K, calcular su producto escalar.
'oluci)n2
'eg;n la definici)n,
a b abcos [11]
por lo tanto2
( ) ( ) o 2a b 20,4 u 30,6 u cos60,0 = 312 u
Producto escalar en co&ponentes rectangulares
'ean,
" # % a = a i + a j + a k
" # % b = b i + b j + b k
entonces,
-
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( ) ( )" # % " # % a b = a i + a j + a k b i + b j + b k r
" " " # " # " # # #
% " % # %
a b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k +
+ a b k i + a b k j + a b k k
z z
z
r
" " # # %a b = a b + a b + a b [12]
z
E) 6/u)o !t&! o" $!%to&!"se puede calcular e&pleando el producto escalar,
" " # # %a b = a b + a b + a b = abcos
zg
" " # # % %a b + a b + a ba bcos = [13]
ab ab
=r
en donde,
2 2 2
" # %a = a +a +a
2 2 2
" # %b = b +b +b
E*e&plo @2
%alcular el ngulo 3ue for&an las cuerdas A% 0 AD de la igura //.
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igura //
'oluci)n2
) = 3,6 k
/ = 0,9 i - 1,2 j
* = 1,2 i + 1,8 j
'i
es el ngulo entre a&bas cuerdas, seg;n la ecuaci)n /Q se obtiene,
)/ )*cos =
)/ )*
uuur uuur
co&o,
-
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)/ = / - ) = 0,9 i - 1,2 j - 3,6 k
)* = * - ) = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k
( ) ( ) ( )2 2 2
)/ 0,9 1,2 3,6 3,9 = + + =uuur
( ) ( ) ( )2 2 2
)* 1, 2 1,8 3,6 4, 2 = + + =uuur
Por lo tanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0,9 1,2 + -1,2 1,8 + -3,6 -3,6
cos = 3,9 4,2
o = 43,
o = 44
VIII. 8&ou%to V!%to&*a) ! o" V!%to&!"
Al producto #ectorial entre dos #ectoresa
0b
se denota co&oa ! b
. E*e&plos de la f!sica 3ue e&pleanesta operaci)n son el tor3ue 0 la fuerza &agn1tica.
Para definirlo se lle#a a&bos #ectores a un origen co&;n. A diferencia con el producto escalar, el resultado
de este producto es un #ector, cu0a direcci)n es perpendicular al plano 3ue contiene a los #ectoresa
0b
,cu0o sentido se obtiene aplicando la deno&inada regla de la &anoderec8a 0 cu0o &)dulo 7&agnitud9 es igualal producto entre las &agnitudes de los #ectores por el seno del ngulo 3ue for&an, igura />,
a!b absen [14]r
Regla de la &ano derec8a2
El sentido del producto #ectoriala ! b
se obtiene aplicando la regla de la &ano derec8a2 se coloca la pal&a
de la &ano derec8a en la direcci)n del #ectora
0 se en#uel#en los dedos en el sentido de rotaci)n 8acia el
-
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#ectorb
eligiendo sie&pre el &enor ngulo posible &anteniendo erecto el pulgar. El sentido en 3ue apunta
el pulgar, es el sentido del producto #ectoriala ! br
, igura />.
%o&o se puede obser#ar no es lo &is&o 8acer el producto #ectorial de
a ! b
3ue el de
b ! a
. "n #ector sedefine por2 el &)dulo, la direcci)n 0 el sentido. En los dos casos tanto el &)dulo co&o la direcci)n noca&bian pero el sentido es opuesto, igura />.
El producto #ectorial es anticon&utati#o. Es decir 3ue2
a ! b = - b a
igura />
At!%*,:
'i los #ectoresa
0b
son paralelos 7ngulo entre ellos igual a +K9 o antiparalelos 7ngulo entre ellosigual a @+K9 el producto #ectorial ser nulo. En particular, el producto #ectorial de un #ector por s!&is&o es cero.
Producto escalar de los #ersores 3ue dan las direcciones de los e*es cartesianos,
i ! i = 0 i ! j = k i ! k = - j
-
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j ! i = - k j ! j = 0 j ! k = i
k ! i = j k ! j = - i k ! k = 0
Regla ne&ot1cnica2 El producto de dos de los #ectores da co&o resultado el otro, con signo positi#o si es enel sentido indicado por la igura /? 0 negati#o en el sentido contrario.
igura /?
Producto #ectorial de dos #ectores en co&ponentes rectangulares
'ean,
" # % a = a i + a j + a k
" # % b = b i + b j + b k
entonces,
( ) ( )" # % " # % a b = a i + a j + a k b i + b j + b k r
" " " # " # " # # # % "
% # %
a b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k + a b k i +
+ a b k j + a b k k
z z
z
( ) ( ) ( )" # % # % % # " % % " " # # "" # %
i j k
a!b = a a a = a b - a b i - a b - a b j + a b - a b k [1]
b b b
rr
-
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E*e&plo 2
%alcular un #ersor ortogonal 0 saliente al plano al cual pertenecen las cuerdas AD 0 A de la igura /?.%alcular a8ora el #ersor ortogonal a ese plano pero entrante.
igura /?
'oluci)n2
) = 3,6 k
= - 2,7 i
* = 1,2 i + 1,8 j
El #ersor ortogonal saliente es,
-
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s
)*!)u =
)*!)uuur uuur
pero,
)* = * - ) = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k
) = - ) = - 2,7 i - 3,6 k
( ) ( ) ( )2 2 2
)* 1, 2 1,8 3,6 4, 2 = + + =uuur
( ) ( )2 2
) 2,7 + 3,6 4, = =uuur
El #ersor ortogonal entrante es,
( ) ( )
2
s
1,2 i + 1,8 j - 3,6 k ! - 2,7 i -3 ,6 k u =
4,2 4,
( ) ( )
2
s
- 6,48 i +14,04 j + 4,86 k u =
4,2 4,
s u = - 0,34 i + 0,74 j + 0,26 k
Este resultado se ilustra en la igura /B
-
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igura /B
El #ersor ortogonal entrante,
s s u = - u 0,36 i - 0,74 j - 0,026 k =
I;. D!&*$aa ! u $!%to&
%asi en la totalidad de los casos, en f!sica, los #ectores #an a #ariar con respecto al tie&po, en otraspalabras son #ectores 3ue dependen del tie&po. Antes de continuar es &u0 i&portante recordar 3ue un#ector se co&pone de &)dulo 0 direcci)n 7inclu0endo el sentido dentro de esta9, 0 3ue por lo tanto 1stepuede #ariar, en &)dulo o en direcci)n o en a&bas cosas a la #ez, 0 3ue en todos los casos ad&itir!aderi#ada.
igura /C
-
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Teniendo en cuenta 3ue un #ector puede e=presarse en funci)n de su #ector unitario de la for&a, igura/C2
aa = au
si se deri#a esa e=presi)n,
aa
ua a= u + a
$ $ $
Como,
( ) ( )a u = cos i + sen j
Entonces,
( ) ( )au = -sen i + cos j
$ $ $
( ) ( )au = -sen i + cos j
$ $
6bser#ar 3ue,
( ) ( )n u = -sen i + cos j
En dondenu
es ortogonal aau
, igura /@,
-
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igura /@
Por lo tanto,
an
u = u [16]
$ $
6bteni1ndose,
a n
a a = u + a u [17]
$ $ $
%o&o se obser#a, la deri#ada de un #ector puede desco&ponerse en dos #ectores2
El pri&er su&ando es un #ector en la direcci)n 0 sentido dea
, 0a 3ue tiene la direcci)n 0 sentido de su
#ector unitario.
El segundo su&ando es un #ector nor&al al #ectora
.
'i s)lo ca&bia la direcci)n del #ector solo per&anece la segunda co&ponente 0 si s)lo ca&bia la &agnitudper&anece la pri&era co&ponente.
E*e&plo +2
El #ector
tiene su &)dulo constante pero su direcci)n ca&bia con el tie&po. De&ostrar 3ue$
es
ortogonal a
.
'oluci)n2
'eg;n la ecuaci)n CQ,
n
= u + u
$ $ $
En donde
es el ngulo 3ue for&a
. %o&o este #ector &antiene su &agnitud constante, esta e=presi)nse reduce a,
-
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n
= u
$ $
quecorresponde a un #ector ortogonal a
.
Ta))!&
. Dos #ectores de B 0 unidades de longitud, for&an un ngulo entre ellos de 7a9 +o, 7b9 B+o, 7c9 +o, 7d9?+o 0 7e9 @+o. Encontrar la &agnitud de su resultante 0 su direcci)n respecto al #ector &s pe3ueo.
Rp2 7a9 ? unidades, +o< 7b9 /, unidades, /?o-CS< 7c9 +,@ unidades, ?BoS< 7d9 >,@ unidades, o/BSo< 7b9 -,@ unidades, F/@o>+S< ?,B unidades, F-Bo.
7To&ado de Alonso, M., inn, E., !sica 5olu&en , ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., CB.9
>. Tres #ectores situados en un plano, tienen B, ? 0 > unidades de longitud. El pri&ero 0 el segundofor&an un ngulo de ?+o, &ientras 3ue el segundo 0 tercero for&an un ngulo de C? o. Encontrar la&agnitud del #ector resultante 0 su direcci)n con respecto al #ector &a0or 7e&plear el &1todo de las
co&ponentes rectangulares9.
Rp2 ,- unidades, >?o>?S.
7To&ado de Alonso, M., inn, E., !sica 5olu&en , ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., CB.9
?. %onsiderar los #ectores2
-
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ji1 += j-i2=
%alcular2
7a9
21 10
7b9
21
7c9
21
B. %onsiderar el #ector #elocidad
[ ]s
k-ji2 +=
7a9 %alcular la longitud del #ector
7b9 Hallar el #ector unitario en la direcci)n de
C. 'ean k
j
2i
21 ++= 0 k
11j
10i
22 +=
7a9 Encontrar la pro0ecci)n del #ector1
sobre el #ector2
. lustrarla grfica&ente.
7b9 Encontrar la pro0ecci)n del #ector2
sobre el #ector1
. lustrarla grfica&ente.
7c9 Encontrar las pro0ecciones del #ector1
sobre los #ersoresi
,j
0k
. lustrar los resultados
grfica&ente.
@. 'in e#aluar cada cantidad en detalle, de&ostrar 3ue cada una de las siguientes cantidades es igual acero o al #ector nulo2
7a9( ) ( )121 10
7b9( (
2121
7c9( ) ( )jij-i10
. Encontrar el rea del paralelogra&o cu0os lados son los #ectores2
ckj2i21
++=
ck11j10i22 +=
lustrar esto grfica&ente.
+. Encontrar el #olu&en de un paralelep!pedo cu0as aristas son los #ectores2
-
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( ) cji101 +=
cj10i22 = ( ck123=
lustrar esto grfica&ente.
. %onsiderar el #ector
( ) ( )[ ]s
10$senj10$cosi +=
en donde t es tiempo:
7a9 Mostrar 3ue
tiene longitud constante.
7b9 %alcular$
a
=
7c9 5erificar 3ue$
es ortogonal a
.
7d9 UA 3u1 &agnitudes f!sicas se refieren
0$
V
-. %alcular los cosenos directores del #ector fuerza2
( (kj2i2' ++=
/. Dados los puntos A 7/ &, + &, F- &9< 7 &, F &, / &9< %7F- &, /&, F> &9 obtener2
7a9 el &)dulo del #ectorBCAB +=
7b9 el &)dulo del #ectorCACB =*
7c9 el ngulo entre los #ectores
0
*
.
$ota2AB
en negrillas significa el #ector 3ue #a desde el punto A 8asta el punto 7anloga&enteBC
,
CB
,CA
9.
Rp. 7a9 B,B & 7b9 ?,>@ & 7c9 ?,o.
-
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>. En la cua de la igura / obtener un #ector unitario saliente 0 nor&al al rectngulo A%D.
igura /
Rp2k0,8i0,6 +
?. En la igura >+ las longitudes estn e=presadas en &. %alcular2 7a9 la longitud de la #iga, 7b9 el nguloentre los cables A 0 A%, 7c9 un #ersor ortogonal al plano donde se encuentran los cables A 0 A%7discutir posibles soluciones9, 7d9 si la &agnitud de la fuerza 3ue e*erce el cable A% sobre la barra PAes igual a ++ $, e=presar esta fuerza #ectorial&ente 7a0uda2 calcular el #ersor 3ue e=presa laorientaci)n A% 0 &ultiplicarlo por la &agnitud de la fuerza9.
-
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igura >+
$
REERE$%A'2
Londoo M., ntroducci)n a la Mecnica, "ni#ersidad $acional de %olo&bia, Medell!n, -++/.
'inger ., Mecnica para ngenieros, Esttica, Ed Harla, M1=ico, C.
inn E., Alonso M., !sica, 5ol. 2 Mecnica, ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., @+.