modulo matematicas 2011

Preuniversitario

Preuniversitario

Centro Repblica

Mdulo de estudios

PSU Matemticas

2011 Rodrigo Alarcn Villalonga

Docente

Preuniversitario Centro Repblica

Unidad 1. CONJUNTOS NUMRICOS

Los nmeros son elementos abstractos que nos permiten enunciar cantidades. Para identificarlos utilizamos smbolos.

A los largo de nuestra historia distintas civilizaciones han utilizado distintos sistemas de numeracin. Los mayas, por ejemplo, utilizaban una base 20 (construan sus cifras con 20 smbolos distintos), ya utilizaban los dedos de sus pies y manos para contar elementos. Los rabes utilizaban un sistema decimal en base 10 (construan sus cifras con 10 smbolos distintos), ya que realizaban el recuento de los objetos con los dedos de sus manos solamente. Al momento de representar visualmente los nmeros la diversidad de sistemas aument enormemente.

El problema de esta inmensa gama de representaciones numricas es que para representar cifras ms grandes se necesitaban nuevos smbolos.

Nuestro sistema de numeracin se basa en uno inventado por los indios hacia el siglo VII D. C. y que tomarn los rabes, quienes lo llevaron hacia Europa.

Nuestro sistema numrico es en base 10 y sus elementos son los dgitos.

Dgitos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,l 9}

Con stos smbolos podemos construir cualquier cifra que necesitemos ubicndolos en las posiciones correctas, as de izquierda a derecha tenemos la unidades, luego las decenas, luego las centenas, las unidades de mil, las decenas de mil, etc

Ejemplo el nmero 102.748 est compuesto por :

8 unidades (U)

4 decenas (D)

7 centenas (C)

2 unidades de mil (UM)

0 decenas de mil (DM) y

1 centena de mil (CM)

Nmeros naturales:

Son los nmeros enteros positivos, van des el 1 hasta el infinito positivo.

El conjunto de los nmeros naturales tiene ciertas caractersticas :

Todo nmero natural tiene un sucesor. El sucesor de un nmero natural es el mismo nmero aumentado en una unidad. Ejemplo el sucesor de 5 es 6.

Todo nmero natural (exceptuando el 1) tiene un antecesor. El antecesor de un nmero natural es el mismo nmero disminuido en una unidad. Ejemplo el antecesor de 5 es 4.

n 1 n n +1

antecesor sucesor

El conjunto de los nmeros naturales es infinito, es decir no existe un ltimo nmero natural.

Adems de las propiedades anteriormente sealadas este conjunto se puede separar en dos subconjuntos Los Pares y los Impares.

Nmeros pares : Son aquellos de la forma 2n. Los nmeros pares son : 2, 4, 6, 8, 10, 12 .......

n 2 2n n +2

antecesor par sucesor par

Nmeros impares : Son aquellos de la forma 2n - 1. Los nmeros impares son : 1, 3, 5, 7, 9, 11 ......

2n 3 2n - 1 2n +1

antecesor impar sucesor impar

Propiedades de la paridad

La suma de dos nmeros pares es un nmero par.

La suma de dos nmeros impares es un nmero par.

La suma de un nmero par y uno impar es un nmero impar.

El producto de dos nmeros pares es un nmero par.

El producto de dos nmeros impares es un nmero impar.

El producto de un nmero par por uno impar es un nmero par.

El cuadrado de un nmero par es un nmero par.

El cuadrado de un nmero impar es un nmero impar.

Dentro del conjunto de los nmeros naturales existen los nmeros primos y los nmeros compuestos.

Nmeros primos : son aquellos que se pueden descomponer en slo dos factores, el mismo nmero y el 1. O dicho de otra manera se pueden dividir solamente por el mismo nmero y el 1.

Nmeros compuestos: son aquellos que se pueden descomponer en ms de dos factores.

Mltiplos de un nmero : es el conjunto de nmeros formado por el producto (multiplicacin) de un nmero por un serie de nmeros naturales.

Ejemplos :

Mltiplos del 4 : M(4) = {4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 .....}

Mltiplos del 3 : M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 .....}

Mnimo comn mltiplo (MCM) : Es el menor de los mltiplos comunes de dos o mas conjuntos de mltiplos. En los ejemplos anteriores (mltiplos del 3 y mltiplos del 4) observamos que los mltiplos comunes son : el 12, el 24 y el 36, el 12 es el menor, por lo tanto el 12 es el mnimo comn mltiplo (MCM). ste concepto es muy importante para el trabajo con fracciones.

Divisores de un nmero : Son todos los productos (factores) de un nmero, o bien todos los nmeros que pueden dividir a otro nmero.

Ejemplo :

Los divisores del 24 : D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Los divisores del 18 : D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Mximo comn divisor (MCD) : Es el mayor divisor comn a dos o ms nmeros. En los ejemplos anteriores (divisores del 24 y divisores del 18) los divisores comunes son el 1, el 2, el 3 y el 6, pero el mayor de ellos es el 6, por lo tanto el 6 es el mximo comn divisor (MCD). ste concepto es muy importante para la simplificacin de fracciones.

Criterios de divisibilidad.

NmeroCriterioEjemplo

2El nmero termina en cero o cifra par.378: porque "8" es par.

3La suma de sus cifras es un mltiplo de 3.480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es mltiplo de 3.

4El nmero formado por las dos ltimas cifras es 00 mltiplo de 4.7324: porque 24 es mltiplo de 4.

5La ltima cifra es 0 5.485: porque acaba en 5.

6El nmero es divisible por 2 y por 3.24: Ver criterios anteriores.

7Para nmeros de 3 cifras: Al nmero formado por las dos primeras cifras se le resta la ltima multiplicada por 2. Si el resultado es mltiplo de 7, el nmero original tambin lo es.469: porque 46-(9*2)= 28 que es mltiplo de 7.

Para nmeros de ms de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un mltiplo de 7.52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es mltiplo de 7.

8El nmero formado por las tres ltimas cifras es 000 mltiplo de 8.27280: porque 280 es mltiplo de 8.

9La suma de sus cifras es mltiplo de 9.3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9.

10La ltima cifra es 0.470: La ltima cifra es 0.

Nmeros cardinales

Son los naturales mas el conjunto vaco (0).

IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y caractersticas que en los Naturales.

Nmeros enteros

Este conjunto est conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es positivo ni negativo:

Z+ : es el conjunto de los enteros positivos Z- : es el conjunto de los enteros negativos

Recta numrica de los nmeros enteros

Valor absoluto o Mdulo de un nmero entero

El valor absoluto se refiere a la distancia que existe entre el nmero y el 0 (cero) en la recta numrica.Operatoria en ZCuando trabajes con nmeros positivos y negativos a la vez, debes prestar atencin a los signos y las reglas de la operacin. Vamos a representar dos nmeros cualesquiera por a, b . Entonces:

a) Adicin (suma) a + b. (importante: )

Caso 1: Suma de enteros de igual signo:

Si a y b tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.

Ejemplo: 7 +15 = -22

Esta suma tambin se pudo haber presentado por 7 15 = -22

Caso 2: Suma de enteros de distinto signo: Si a y b tienen distinto signo: se restan y se conserva el signo del nmero con mayor valor absoluto.

Ejemplo: -20 + 4 = 16O bien: 4 20 = 16

b) Multiplicacin y/o divisin Se deben multiplicar (o dividir) los nmeros y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla:

Caso 1: Signos iguales: el producto (o divisin) es positivo.

Caso 2:Signos distintos: el producto (o divisin) es negativo.

Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:

c) Sustraccin (resta) a b La diferencia se transforma en la adicin: a b = a + (-b).

Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a b, se le suma a al opuesto de b.

Despus de esta transformacin, se aplican las reglas operatorias de la adicin.

Ejemplo: 57 34 = 57 + (-34) = 23Ejemplo: (-12) 22 = 12 + 22 = 34Ejemplo: 25 (6) = 25 + 6 = 19

Prioridad de operatoria matemtica en los Z.En la operatoria combinada con nmeros enteros, se procede segn la siguiente prioridad:

1 Parntesis2 Multiplicaciones y divisiones3 Sumas y restas

Nmeros racionales

Son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre nmeros enteros:

Ejemplos de racionales, son:

Los nmeros naturales: Los nmeros enteros: Los nmeros decimales finitos: Los nmeros decimales infinitos peridicos: Los nmeros decimales infinitos semiperidicos: OPERATORIA EN a) Adicin y sustraccin de fracciones:

b) Multiplicacin de fracciones:

c) Divisin de fracciones:

d) Adicin y sustraccin de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la coma decimal. 0,23 + 1,4 = e) Multiplicacin de decimales: Se multiplican tal como si fueran nmeros enteros, y al resultado le colocamos tantas cifras decimales como tengan los factores: 0,2 . 1,54 = 2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultado debe tener tres decimales:

0,2 . 1,54 = 0,308

f) Divisin de decimales:

Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, de modo que ambos se conviertan en nmeros enteros. Posteriormente, se efecta la divisin entre estos enteros.

0,02 : 0,5 =

Corremos la coma dos lugares a la derecha:

2 : 50 =

La divisin resulta:

200 : 50 = 0,04

COMPARACIN ENTRE RACIONALES Si queremos ordenar un conjunto de nmeros decimales, basta agregar cifras decimales y comparar como si fueran enteros, olvidndonos de la coma:

Agregamos cifras decimales para poder comparar:

x = 0,23 | 0...y = 0,23 | 2...z = 0,23 | 3...

Por lo tanto: x < y < z

Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y comparar los productos resultantes:

Ordenar de menor a mayor: Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20:

Como 21 > 20 se deduce que Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego multiplicar cruzado con los nmeros positivos.

Aproximacin decimal

Con frecuencia, nos encontramos con clculos donde intervienen nmeros con muchas cifras decimales, lo que hace difcil su operacin. En estos casos es posible realizar una aproximacin decimal.

1: Si el primer dgito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dgito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:

2: Si el primer dgito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dgito anterior. Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:

Nmeros irracionales

Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos nmeros enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin perodo. Este conjunto se designa con la letra .

Nmeros reales

Es el conjunto formado por los nmeros racionales e irracionales. Este conjunto se designa con la letra .

R = Q U Q

Pertenecen al conjunto de los Reales IR (todos los nmeros) :

El cero, los enteros positivos y negativos;

Las fracciones;

Los decimales finitos y los decimales peridicos y semiperidicos; y

Los irracionales Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situacin:

La Recta Real

Recta real es la recta sobre la que se representan los nmeros reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el nmero cero, 0, y, separados entre s por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitan correlativamente los nmeros enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.

La operatoria en los nmeros reales est definida por dos operaciones bsicas : la suma y la multiplicacin, todas las dems operaciones se derivan de estas dos.

Propiedades algebraicas de los nmeros RealesA continuacin se presenta una tabla que resume las principales propiedades algebraicas de los nmeros reales.

Sean a, b y c nmeros reales :

PropiedadSumaProducto

Conmutativaa + b = b + aa ( b = b ( a

Asociativa(a + b) + c = a +( b +c)(a ( b) ( c = a ( (b ( c)

Existencia de elemento neutroa + (-a) = 0a ( 1 = 1

a

Distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicina ( (b + c) = ab + ac

A estas propiedades hay que agregar la propiedad de clausura :

Si a y b a R (nmeros reales) => a b y a + b tambin a R.Prioridad de operatoria matemtica en los RealesEn la operatoria combinada con nmeros reales, se procede segn la siguiente prioridad:

1 Parntesis2 Potencias y races3 Multiplicaciones y divisiones4 Sumas y restas

Ejemplo 1:

13 - (-7 + 3 9) 32 = Primero: el parntesis (-7 + 3 x 9)

Dentro de l, primero el producto 3 x 9 = 27.

Dentro del parntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9

Est quedando: 13 20 9 Finalmente las sumas y restas: 13 20 9 = -16.

Ejemplo 2:

Resolver:

La raya de fraccin obliga primero a resolver el numerador y el denominador, por separado.

En el numerador se transformar el decimal 0,2 a fraccin:

INCLUDEPICTURE "http://www.preunab.cl/preuniversitario/matematicas/c1/recursos/cambios/m6_clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET

En el numerador se resuelve primero la divisin de fracciones:

INCLUDEPICTURE "http://www.preunab.cl/preuniversitario/matematicas/c1/recursos/m6_clip_image009.gif" \* MERGEFORMATINET


Ahora se realizan las restas, en el numerador y en el denominador:



Finalmente la divisin de fracciones:



Simplificando por 2: == Nmeros Imaginarios

Los nmeros reales (R) permiten representar infinitos nmeros, pero no pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como por ejemplo

x2 + 3 = 0 5x2 + 2 = 0

En general no se pueden solucionar aquellas ecuaciones que representen un nmero negativo dentro de una raz de ndice par (por ejemplo races cuadradas).

A estos nmeros se les asigna otro conjunto, llamado nmeros imaginarios, ya que no pueden representarse a travs de los nmeros Reales. Se representan por el smbolo I.

Estos nmeros poseen como unidad la solucin de la ecuacin

x2 + 1 = 0

la cual determina como solucin la siguiente expresin :

x = -1,

la cual da origen a la unidad imaginaria :

i = -1,

finalmente la solucin de la ecuacin es :

x = iEjemplos de nmeros imaginarios :

2i

5 + i

24 7i

donde i representa ala unidad imaginaria.

Nmeros complejos

El conjunto de los nmeros complejos (el cual se representa con el smbolo C) es la unin de los nmeros reales con los nmeros imaginarios :

C = R U I

C

Al conjunto de los nmeros complejos pertenecen todos los nmeros.

Potencias de base real y exponente entero

Una potencia el la multiplicacin sucesiva de un mismo trmino, llamado base, tantas veces como lo indique otro trmino llamado exponente.

Ejemplos :

= 16

= 2187

= 15625Definicin:

Propiedades:

Races.

Potencia de exponente racional

Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n , corresponde a la raz ensima de la emsima potencia de a:

Propiedades de las races:

Raz de un producto

Raz de un cuociente

Raz de una potencia

Raz de una raz

Amplificacin de una raz

Simplificacin de una raz

Racionalizacin Se debe evitar que una raz quede en el denominador ya que complica la comparacin con otra expresin o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raz de la siguiente forma:

En esta expresin tenemos dos trminos en el denominador, el cual se puede racionalizar multiplicando por ya que formarn una Suma por Diferencia, lo que permite eliminar las races en el denominador.

Unidad 2. RAZONES Y PROPORCIONES Y PORCENTAJES

Razn

Es la comparacin por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, produccin, ingresos etc.)

Se define :

a : by se lee "a es a b"

La primera de ellas a se llama antecedente (dividendo) y la segunda b se llama consecuente (divisor) y siempre se deben escribir en el orden dado.Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 aos, entonces la razn entre sus edades es: . Si simplificamos por tres obtenemos: .

Como se dijo anteriormente una razn sirve para comparar dos cantidades:Construyamos un modelo para la siguiente razn 3:4 o (se lee 3 es a 4) La razn verdes a amarillas, se escribe 3:4 o . El orden de los trminos es muy importante.

Ejemplo :

Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24

de cemento. Cul es la razn entre cemento y arena?

Solucin:La razn nombra primero al antecedente y luego el consecuente.

Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.

La razn pedida es:

Simplificando por 8, la razn queda en 3/5, lo que significa que la mezcla est

conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada

8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.

ProporcinLa igualdad entre dos razones se denomina proporcin. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores: es una proporcin, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 . 5 = 4 . 15 La propiedad:

,

se denomina propiedad fundamental de las proporciones y se expresa verbalmente de la siguiente manera dos razones son proporciones s y slo s el producto de los medios es igual al producto de los extremos

Clculo del trmino desconocido de una proporcinSi en la proporcin se desconoce alguno de sus trminos, es posible calcularlo aplicando la propiedad fundamental:

De este modo, si w z = x y, de donde se puede despejar w, x, y o z.

w =

z =

x =

y = Ejemplo: Calcular x en la proporcin Solucin:Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

7,5 10 = 4 x

75 = 4x

= x

x = 18,75

Serie de razones o serie de proporciones

La serie de razones: a : c : e = b : d : f

Puede ser expresada como :

con k = constante.

Ejercicio:

Se desea cortar un alambre de 720 mm en trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8:6:4.

Cunto mide cada trozo de alambre de acuerdo al orden de las razones dadas?.

1.- se suman las razones : 8 + 6 +4 = 18

2.- se divide la cantidad total dada por la suma de las razones : 720: 18 = 40 ( a este valor se le llama constante de proporcionalidad (k)).

3.- Se multiplica cada una de las razones dadas por k y se obtienen los valores requeridos: 8 ( 40 = 320 mm; 6 ( 40 = 240 mm y 4 ( 40 = 160 mm.

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables estn en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante:

k se denomina la constante de proporcionalidad.

El grfico de dos variables que estn en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que estn sobre una recta que pasa por el origen.

Ejemplo:

Un vehculo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. Cuntos litros de bencina consumir en un viaje de 192 km?

Efectuamos la razn entre las variables: distancia consumo de bencina:

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos:

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables estn en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k se denomina la constante de proporcionalidad.

El grfico de dos variables que estn en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que estn sobre una hiprbola.

Ejemplo:

Tres obreros demoran 5 das en hacer una zanja. Cunto demorarn 4 obreros?

Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables: nmero de obreros tiempo, es constante:

Aplicaciones de la Proporcionalidad

Estrategia general de resolucin de problemas de proporcionalidad:

1: Lectura comprensiva del texto del problema.2: Identificacin y ordenacin de los datos dados.3: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.4: Planteamiento de la proporcin segn tipo.5: Resolucin algebraica.6: Respuesta y verificacin de la solucin.

Ejemplo:

Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas Cuntos metros cavarn en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?

Ordenacin y anlisis de los datos:6 obreros 18 metros9 obreros x metros

En el caso descrito, se infiere que, mientras ms obreros, estos cavan

ms metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia,

se forma la siguiente proporcin:

La cual, al ser resuelta, se tiene:

metros

Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.

PORCENTAJE

El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un 100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artculo ha subido en un 5% significa que ha subido 5 partes de un total de 100. En trminos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.

Cuando calculamos el porcentaje de un nmero, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fraccin, por ejemplo, el 12% de 600 es:

El clculo de porcentaje tambin se puede realizar a travs de una proporcionalidad directa:

La base para las operaciones de clculo de porcentaje es :

cantidad total = parte de la cantidad100% tanto %

O bien :

cantidad total 100%

parte de la cantidad tanto %

Existen tres casos para la operacin con porcentajes :

Primer caso: Calcular el tanto % de una cantidad.Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporcin directa, donde el 100% es q y el p% es x (valor a calcular).

q = x

100% p%

Aplicando proporciones, se tiene que:

Donde, al despejar el valor de x se tiene:

Esta ltima relacin puede manipularse para concluir que: En general, para calcular el % de una cantidad, se divide la cantidad por 100 y se multiplica por el % pedido.

Ejemplo : calcular el 20% de 50

50 = x

100% 20%

x = 50 ( 20 = 10

100

Segundo caso: Qu porcentaje es una cantidad, respecto de otra cantidad?Planteando la proporcin, se tiene:

q = p

100% x%

Despejando x se tiene:

Esta relacin nos permite establecer tambin que para calcular el % que representa p de q, es posible establecer la razn entre p y q y luego multiplicar por 100.

Ejemplo : Calcular qu porcentaje es 20 de 60

60 = 20

100% x%

x = 100 ( 20 = 33.33%

60

Tercer caso: Cul es el nmero cuyo tanto % es una cantidad conocida?Planteando la proporcin correspondiente, se tiene que:

x = q

100% p%

Al despejar x se logra, que: Ejemplo : encontrar el nmero cuyo 25% es 8

x = 8

100% 25%

x = 100 ( 8 = 32

25

Aumento de un nmero en un cierto porcentaje:

Este clculo se puede plantear de dos maneras :

1) Utilizar la frmula :

VF = VI ( (1 + % ), donde

100

VF : valor final

VI: valor inicial

% : porcentaje a subir.

Ejemplo :

Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :

VF = 5000 ( (1 + 5/100)

VF = 5.000 ( (1 + 0.05)

VF = 5.000 ( (1.05)

VF = $5.250

2) Plantear un clculo de % en donde se busque el % a aumentar ms el 100%

Ejemplo :

Se desea aumentar el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :

5% + 100 % = 105%, se busca el 105% de 5.000

5.000 = x 100% 105%

x = 5.000 ( 105 100

x = $5250

Disminucin de un nmero en un cierto porcentaje:

Se procede igual que en el caso anterior :

1) Utilizar la frmula :

VF = VI ( (1 - % ), donde

100

VF : valor final

VI: valor inicial

% : porcentaje a subir.

Ejemplo :

Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :

VF = 5000 ( (1 - 5/100)

VF = 5.000 ( (1 - 0.05)

VF = 5.000 ( (0.95)

VF = $4.750

2) Plantear un clculo de % en donde se busque el % a disminuir y se le reste al el 100%

Ejemplo :

Se desea disminuir el valor de un producto que cuesta $5.000 en un 5% :

100 % - 5% = 95%, se busca el 95% de 5.000

5.000 = x 100% 95%

x = 5.000 ( 95 100

x = $4750

Impuesto al Valor Agregado (IVA)

El impuesto al valor agregado (IVA) es un impuesto que grava toda compra-venta de bienes y servicios y lo paga el consumidor final del producto. En Chile, este impuesto alcanza al 19% del valor neto del producto.

De este modo:

Valor neto + 19% = valor a pagarEjemplo: Don Pepe vendi abarrotes y en la boleta escribi el valor total de $15.400. Cul es el IVA que recaud don Pepe por la venta de estos abarrotes?

Entonces, el monto del IVA por estos abarrotes es $2.459.Unidad 3. LGEBRA

Perfil del lgebra

El lgebra es una rama de las Matemticas que usa letras y smbolos para representar cantidades y relaciones aritmticas. Busca generalizar las relaciones matemticas, a diferencia de la Aritmtica que solo opera con casos particulares de una relacin.

Consideremos, por ejemplo, el teorema de Pitgoras que establece que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Algebraicamente, este teorema puede generalizarse como a2 + b2 = c2 , expresin que enuncia la relacin mtrica que deben cumplir los lados de cualquier tringulo rectngulo.

La aritmtica , en cambio, solo podra operar con medidas especficas de tringulos individuales, generando expresiones numricas del tipo: 32+ 42= 52.

Surgimiento del lgebra El origen del lgebra puede situarse en Babilonia y el antiguo Egipto, cuyos sabios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales, cuadrticas y de la forma x2+ y2= z2. De hecho, los antiguos babilonios resolvan las ecuaciones cuadrticas empleando mtodos semejantes a los que hoy se utilizan.

El conocimiento algebraico de egipcios y babilnicos encontr acogida en el mundo islmico, donde se le denomin ciencia de reduccin y equilibrio. El vocablo rabe al-jabru, que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra.

En el siglo IX, el matemtico rabe al-Jwarizm escribi uno de los primeros libros de lgebra, en el que presenta, en forma sistemtica, la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. Es precisamente de este matemtico de donde deriva la palabra algoritmo, que hoy representa la expresin simblica de los pasos que llevan a la resolucin de un problema. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolvi problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen

x+y+z=10;x2+y2= z2; y xz=y2.

Conceptos Bsicos de lgebra

Ya tenemos idea de las operaciones con los nmeros naturales, enteros, racionales y reales. Ahora trabajaremos con la generalizacin de esa operatoria en algunos de los diversos mbitos que presenta el lgebra.

Las mismas leyes, propiedades y operatoria de los nmeros ya estudiados han preparado el terreno para la comprensin de operaciones ms amplias y generales, propias del lgebra, en los diversos conjuntos numricos.El lenguaje que ocupa el lgebra permite realizar representaciones a travs de factores literales (que representan cantidades cualesquiera), nmeros y relaciones aritmticas de la aritmtica.

Ejemplos :

Un nmero cualquiera puede representarse por x, o por a, o por cualquier otra letra o combinacin de letras.

Para representar dos nmeros cualesquiera distintos entre s, podemos usar letras diferentes : x e y; a y b; m y n; etc.

El doble de un nmero cualquiera se expresa por 2x, o 2a, etc

El cuadrado de un nmero cualquiera se expresa por x2 , o a2, o (2, etc.

La diferencia entre dos nmeros se puede expresar como : x y, a b, etc.

Un nmero aumentado en tres unidades : x + 3, a + 3, b + 3, etc.

Un nmero disminuido en dos unidades : x 2, a 2, etc.

La mitad de un nmero x

2

La mitad de un nmero ms el doble de otro : x + 2y 2

Representacin de las operaciones aritmticas en lgebra.

Las operaciones entre dos nmeros cualesquiera x e y se representan :

i.La suma : x + y

ii.El producto : xy

iii.La diferencia : x y

iv.El cuociente : x : y x/y

Expresin algebraica Una expresin algebraica es un conjunto de cantidades, expresadas numrica y literalmente, relacionadas entre s por operaciones aritmticas.

Ejemplo: 13x3 2ax2 + es una expresin algebraica.

Trmino algebraico Un trmino algebraico es una expresin que relaciona un nmero real con letras, por medio del producto o el cuociente. Un trmino algebraico consta de:

signo

coeficiente numrico

factor literal

grado

En una expresin algebraica, los trminos estn separados por signos (+) y (-).

Observaciones en la notacin algebraica1. En lgebra, el signo multiplicativo antes de factores literales puede suprimirse. Por ejemplo: puede escribirse .

2. El coeficiente numrico 1 en un trmino algebraico, suele quedar tcito (no se escribe). Por ejemplo 1x = x

3. Solo el signo positivo (+) del primer trmino de una expresin algebraica puede obviarse, y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c = 5a - 3b +2c

Por ejemplo, la expresin: +11 x2 - 1 y + x y

Se escribe: 11x2 y + xy

TRMINOS SEMEJANTES

Se denominan trminos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal.

Ejemplos :

a) x2 y -2x2 : son trminos semejantes (factor literal x2).

b) -3x y -3x2 : no son trminos semejantes (factor literal x e x2 respectivamente).

c)a2b y 5a2b : son trminos semejantes (factor literal a2b).

d) a2b y 3ab2 : no son trminos semejantes (factor literal a2b y ab2 respectivamente). Los trminos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:

-2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 22x2z3 = -12x2z3

Si los trminos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operacin 12a2b + 13ab2 no se puede reducir ms, debido a que los trminos no son semejantes.

Tipos de expresiones algebraicas Dependiendo del nmero de trminos que posean las expresiones algebraicas, se clasifican en:

Monomio: Es la expresin algebraica que consta de un solo trmino.

Ejemplo: Binomio: Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.

Ejemplo: Trinomio: Es la expresin algebraica que consta de tres trminos.

Ejemplo: Polinomio: Es la expresin algebraica de dos o ms trminos.

Ejemplo: ; ; ELIMINACIN DE PARNTESIS

Para eliminar parntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo + delante de un parntesis (o ningn signo), se elimina el parntesis conservando los signos de los trminos que aparezcan dentro del parntesis.

(2) Si aparece un signo - delante de un parntesis, se elimina el parntesis cambiando los signos de los trminos que aparezcan dentro del parntesis.

Ejemplo:

2ab (a + ab) + (3a 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab a ab + 3a - 4ab, reduciendo trminos semejantes:

-2ab + 2a - ab

MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicacin de monomios: se multiplican los coeficientes entre s, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z

Multiplicacin de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: el monomio multiplica a todos los trminos del polinomio.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b 2a2b3 + 8ab3c2

Multiplicacin de binomio por binomio: se multiplican todos los trminos del primer binomio con los trminos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 3b2c . 4a2 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 ab3 12 a2b2c 15 ab5c

Multiplicacin de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los trminos del primer polinomio con todos los trminos del segundo.

(2x 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 3y . 5x 3y . 2xy 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 15xy 6xy2 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

PRODUCTOS NOTABLES

Se llaman productos notables aquellos cuyos factores cumplen ciertas caractersticas que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de la multiplicacin. Los productos notables son:

Sean a y b dos trminos algebraicos cualesquiera.

Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a2 b2

Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a b)2 = a2 2ab + b2

Multiplicacin de binomios con trmino comn:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Cuadrado de trinomio:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

FACTORIZACIN

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en trminos de multiplicaciones. Los casos de factorizacin que estudiaremos son los siguientes:

Factor comn

Se aplica cuando todos los trminos tienen un divisor comn diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 5xy3z2 + 10x4y4z3Aqu el factor comn es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresin dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorizacin.

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 b2 = (a + b) (a b)

Ejemplo: 25a2 16b4

Esta expresin corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)

Factorizacin de trinomio cuadrtico perfecto

Un trinomio cuadrtico perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorizacin es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2Ejemplo: 16x2 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos trminos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresin se constata que efectivamente coincide con la expresin dada.

Factorizacin de trinomio cuadrtico no perfecto

Utilizando el producto notable producto de binomios con trmino comn:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresin del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son nmeros tales que a + b = -10 y ab = 24. Estos nmeros son: -4 y -6, por lo tanto:

x2 10x + 24 = (x 4)(x - 6)

Diferencia de cubos

a3 b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 64y6

La expresin 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 64y6 = (5z)3 (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresin dada, tenemos que:

(5z)3 (4y2)3 = (5z 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

x3 + 27 = (x + 3) (x2 3x + 9)

Simplificacin de expresiones algebraicas

Para la simplificacin de expresiones algebraicas se aplica el mismo concepto de simplificacin de fracciones, pero en este caso el numerador y denominador son expresiones algebraicas.

La idea es realizar una factorizacin por algn trmino algebraico o expresin algebraica que sea comn tanto para el numerador como para el denominador.

Simplificacin de monomio por monomio :Ejemplos :

1) 3x2 6x

en este caso se factoriza por 3x :

3x (x) 3x (x) = x

3x 2 3x 2 2

2) 3a2bc 12ac

en este caso se factoriza por 3ac :

3a2bc 3ac ab = 3ac ab = ab

12ac 3ac 4 3ac 4 4

Simplificacin de binomio por monomio :Ejemplos :

1) (5xy2 10x2y) 5xy

en este caso se factoriza por 5xy :

(5xy2 10x2y) 5xy (y 2x) 5xy (y 2x) = (y 2x)

5xy 5xy 5xy

2) (b2 bc)

2b

en este caso se factoriza por b :

(b2 bc) b (b c) b (b c) = (b c) 2b b 2 b 2 2

Simplificacin de polinomios :1. Simplificacin de resultados de productos notables :

a) x2 16

x2 + 8x + 16

en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de una suma por diferencia y el denominador es el resultado de un cuadrado de binomio (trinomio cuadrado perfecto).

x2 16 (x + 4) (x 4) (x + 4) (x 4) =

x2 + 8x + 16 (x + 4)2 (x + 4) (x + 4)

(x 4) (x + 4)

b) x2 + 7x + 10

x2 25

en este caso reconocemos que el numerador es el resultado de un producto de binomios con un trmino en comn (trinomio cuadrado no perfecto) y el denominador es el resultado de una suma por diferencia.

x2 + 7x + 10 (x + 5) (x + 2) = (x + 2)

x2 25 (x + 5) (x - 5) (x - 5)

c) x2 + 5x + 6

x2 + 8x + 15

en este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son el resultado de un producto de binomios con un trmino en comn (trinomio cuadrado no perfecto).

x2 + 5x + 6 (x + 1) (x + 5) = (x + 1)

x2 + 8x + 15 (x + 3) (x + 5) (x + 3)

2. Divisin de polinomios :Realizamos la siguiente divisin: (4x3 + 2x2 + 4x + 3) : (x2 - x - 1).

Primer paso de la divisin de polinomios :

Tomamos el trmino de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el trmino de mayor grado del divisor, obteniendo el primer trmino del cociente.

Segundo paso de la divisin de polinomios :

Este trmino lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.

ltimo paso de la divisin de polinomios :Ahora el trmino de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior, obteniendo el segundo trmino del cociente.

Como 14x es de menor grado que x2, la divisin no puede continuar. El polinomio cociente y el polinomio resto son:

Cociente = 4x + 6

Resto = 14x + 9

Si la divisin no posee resto, se dice que tanto el divisor como cociente son factores y se pueden escribir como producto.

Calculamos (8x3 - 4x2 + 2x + 7) : (2x2 + x - 1).

Los polinomios resultantes de la divisin son:

Dividendo = 8x3 - 4x2 + 2x + 7

Resto = 10x + 3

Cociente = 4x 4

Divisor = 2x2 + x - 1

Comprobamos el resultado:

cociente divisor + resto = dividendo

(4x - 4 ) (2x2 + x - 1) + (10x + 3)=

(8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) =

8x3 - 4x2 + 2x + 7

Unidad 4. Ecuaciones y planteamiento de problemas

Ecuaciones.

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incgnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Por ejemplo, en la ecuacin:

En la unidad de lgebra vimos que el grado de una expresin algebraica est dado por el mayor exponente de dicha expresin. Al ser las ecuaciones expresiones algebraicas se les denomina segn el mayor grado que posea la incgnita, as tenemos por ejemplo que una ecuacin cuyo mayor exponente es 1 se denomina ecuacin de primer grado, la ecuacin que tenga como mayor exponente el 2 se denomina ecuacin de segundo grado o cuadrtica, la ecuacin que tenga como mayor exponente el 3 se llama ecuacin de tercer grado, etc. Adems el nmero de races (soluciones en los nmeros reales) de una ecuacin equivale al grado de la ecuacin.

Ejemplos :

1) La ecuacin 7x2 x 3 = 0 es de segundo grado y tiene dos races.

2) La ecuacin 13 - 2x = 4 es de primer grado y tiene una solucin.

3) La ecuacin 7x2 - x4 = 100 es de 4 grado y tiene 4 soluciones.

Ecuaciones de primer grado con una incgnita :Son aquellas ecuaciones en las que existe una sola variable, generalmente designada por el smbolo x (aunque tambin puede ser designada por cualquier otro smbolo). Esta variable est elevada a 1 (por eso el nombre de primer grado) y todos los otros trminos (ya sean nmeros o letras) son trminos constantes.

Estas ecuaciones son igualdades que tienen validez para un solo valor de la variable (incgnita) y resolver la ecuacin es aplicar las propiedades del conjunto R para despejar la incgnita y as determinar el valor que satisface la igualdad.Resolucin de ecuaciones de primer grado

Existen tres pasos bsicos para resolver una ecuacin de primer grado :

Dada la ecuacin:

1- Transposicin:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuacin, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o nmero) en los dos trminos, la igualdad no vara.

En trminos coloquiales, se suele decir: si el nmero est sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el nmero est restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuacin quedar as:

Como puede verse, todos los trminos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los nmeros enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificacin:

El siguiente paso es convertir la ecuacin en otra equivalente ms simple y corta reduciendo los trminos semejantes :

Realizamos la simplificacin del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuacin simplificada ser:

3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un trmino de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o nmero) en los dos trminos, la igualdad no vara.

En trminos coloquiales: si el nmero est multiplicando (Ej: 2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el nmero pasar sin cambiar el signo).

Si dividimos entre un mismo monomio en los dos trminos, la igualdad no vara.

En trminos coloquiales: si el nmero est dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (5) (el nmero pasar sin cambiar el signo).

Coloquialmente: en la ecuacin, debemos pasar el nmero 95 al otro lado y, como est multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio est tericamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al nmero 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fraccin (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fraccin y se es el resultado.

En la ecuacin, vemos que el resultado de la fraccin es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

por tanto, simplificando, la solucin es:

Tipos de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones las podemos dividir bsicamente en tres tipos :

Ecuaciones lineales con coeficientes enteros :Estas ecuaciones son las ms sencillas de resolver. Para hacerlo, se agrupan los trminos que contienen la incgnita en uno de los miembros, y los trminos constantes en el otro :

Ejemplo: 1) Resolver: 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5

Solucin:Primero se reducen trminos semejantes:;

Se agrupan las x y los nmeros en distintos lados de la igualdad:

Se vuelven a reducir trminos semejantes:

Finalmente, se despeja la x y se simplifica la solucin :

2) Resolvamos ahora la siguiente ecuacin: x - 3 = 2 + x.

Solucin:x - 3 = 2 + x.

Rpidamente obtendrs la expresin 0 = 5, que es una contradiccin.Desde luego, esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos que en este caso la ecuacin no tiene solucin.

3) Resolvamos, finalmente: 2x-1 = 3x + 3 - x 4:

Solucin:2x-1 = 3x + 3 - x 4

Ahora habrs llegado a la expresin 0 = 0 Qu significa? La igualdad que has obtenido es cierta, pero se ha eliminado la x. Cul es la solucin?Si la igualdad es cierta, lo ser para cualquier valor de x. Comprubalo, sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.

En este caso, se dice que la ecuacin tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solucin). Las ecuaciones de este tipo se denominan identidades.Ecuaciones con coeficientes fraccionarios :Para su resolucin, se multiplica la igualdad por el mcm (mnimo comn mltiplo) entre los denominadores.

Ejemplo: Resolver Solucin: /

Luego se simplifica:

Transformndose en una ecuacin lineal:

Otro caso : Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos

Para su resolucin, se multiplica la ecuacin por el mcm (mnimo comn mltiplo) entre los denominadores.

Ejemplo: Resolver Solucin:Se multiplica la ecuacin por (x + 1) 2x

/

Y se simplifican los trminos correspondientes:

Se desarrollan los productos:

Y se reducen trminos semejantes:

Quedando finalmente que:

Ecuaciones Literales :La tcnica principal es, una vez agrupada la incgnita, aplicar la factorizacin y simplificacin.

Ejemplo ResolverSolucin:Se realizan los productos:

Se agrupan trminos, dejando la incgnita en uno de los dos miembros:

Se factoriza la incgnita:

Y se despeja x:

Se simplifica, quedando que:

Planteamiento de problemas.

Generalmente un problema se enuncia en trminos verbales y su resolucin pasa por el planteamiento de una o ms ecuaciones. Estas ecuaciones corresponden a relaciones que se establecen entre las cantidades involucradas en el problema y a las condiciones que dichas relaciones plantean.

Para plantear la ecuaciones se requieren de dos habilidades fundamentales : anlisis lgico del problema planteado y traduccin del lenguaje comn al lenguaje algebraico.Recordemos algunas maneras de enunciar algunas expresiones algebraicas :

El doble de a.......................................................2a

El triple de b.......................................................3b

El cudruplo de c.................................................4c

El cuadrado de d.................................................d2

El cubo de e.......................................................e3

El antecesor del n entero f..................................f1

El sucesor del n entero g ...................................g+1

El cuadrado del doble de h...................................(2h)2

El doble del cuadrado de i....................................2i2

Un nmero par...................................................2n Un nmero impar ...............................................2n-1 2n+1 Dos nmeros consecutivos...................................n y n+1 Dos nmeros pares consecutivos..........................2n y 2n+2 Dos nmeros impares consecutivos......................2n-1 y 2n+1 La mitad de x................................................... La tercera parte de y ........................................ Algunos pasos bsicos para el planteamiento de problemas :

1: Comprender el problema : realizar una lectura comprensiva del problema.2: Plantearse un plan : ordenar los datos entregados y plantear una o varias ecuaciones que permitan resolver el problema.

3: Ejecutar del plan : resolver las ecuaciones planteadas.4: Dar respuesta y verificar los resultados.

Veamos a continuacin algunos ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Qu nmero aumentado en 5 unidades es igual a 100?.

Planteamiento de la ecuacin :

x + 5 = 100

Resolucin de la ecuacin :

x = 100 5

x = 95.

Respuesta : 95.Ejemplo 2:

Pedro excede en 7 cm la estatura de su hermano Jorge. Cul es la altura de Jorge si Pedro mide 1,20 mts.?.

estatura Pedro = P

estatura Jorge = J

diferencia de estaturas : P J = 7 cm (0,07 mts),

pero P = 1,20 mt (Planteamiento de la ecuacin :

1,20 mts J = 0,07 mts

Resolucin de la ecuacin :

J = 1,20 mts 0.07 mts

J = 1,13mts

Respuesta : Jorge mide 1,13 mts.

Ejemplo 3:

Sergio tiene un ao ms que el doble de la edad de Humberto y sus edades suman 97. Qu edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuacin:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32, reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: 32

Ejemplo 4:

Hallar dos nmeros consecutivos, cuya diferencia de cuadrados es igual a 9. Sean x y x + 1 los nmeros, entonces, segn el enunciado dado:

(x + 1)2 x2 = 9; desarrollando los cuadrados de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 x2 = 9 2x + 1 = 9

x = 4; por lo tanto los nmeros son 4 y 5.

Ejemplo 5:

La suma de tres nmeros impares consecutivos es 39. Calcular esos nmeros

Solucin:Sea:El 1 nmero: 2x+1El 2 nmero: 2x+3El 3 nmero: 2x+5

Interpretando el enunciado, se forma la ecuacin: (2x+1) + (2x+3) + (2x+5) = 39

Cuya solucin es: 2x+1 + 2x+3 + 2x+5 = 39

6x + 9 = 39

6x = 39 - 9

6x = 30 x = 5

Luego, el primer nmero es:

2x+1 2 ( 5 + 1 = 11

El segundo es:

2x+3 2 ( 5 + 3 = 13

El tercero:

2x+5 2 ( 5 + 5 = 15

Respuesta: los tres nmeros son: 11, 13 Y 15.

Estrategias de Resolucin de Problemas.

Problemas de doble discriminacin.

En este tipo de preguntas, al problema planteado le siguen 3, 4 5 proposiciones (I, II, III, etc.) que deben ser analizadas individualmente para dictaminar si cumplen con determinada propiedad, si son verdaderas o falsas, etc. Finalmente, se ha de elegir la alternativa (A, B, etc.), segn el resultado del anlisis.

Esta estructura se puede esquematizar as:Planteamiento del problema

Proposiciones: I, II III, etc.

Alternativas: A, B, C, D, E.

Ejemplo:

Cul (es) de las siguientes expresiones es (son) igual (es) a?

I: II: III:

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo II y IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

Solucin :

Proposicin I:

Separando la raz del denominador:

= Amplificando por y luego simplificando por 5:

= = = .

La proposicin I es igual a .

Proposicin II: Separando la raz del numerador:

= Amplificando por y luego simplificando por 3:

=

INCLUDEPICTURE "http://www.preunab.cl/preuniversitario/matematicas/c10/recursos/m3_clip_image024.gif" \* MERGEFORMATINET = = .

La proposicin II es igual a .

Proposicin III: Amplificando la expresin por para racionalizar, queda:

= = Esto nos lleva a la proposicin II. Por lo tanto, la proposicin III es igual a .En conclusin, las expresiones I, II y III son iguales a .Por lo tanto, la alternativa correcta es E.

Problemas de evaluacin de suficiencia de datos.

Estos problemas tienen una estructura bien definida.

Lo fundamental es que no se pide la solucin al problema, sino decidir si los datos proporcionados en el enunciado, ms los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solucin.

Las alternativas que se dan son:

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional.

A) (1) por s sola: Esta alternativa se marca si la afirmacin (1) por s sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmacin (2) por s sola no lo es.

B) (2) por s sola: Esta alternativa se marca si la afirmacin (2) por s sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmacin (1) por s sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2): Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por s sola es suficiente.

D) Cada una por s sola, (1) (2): Se marca esta alternativa, si cada una por s sola es suficiente para responder a la pregunta.

E) Se requiere informacin adicional: Se marca esta alternativa si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere informacin adicional para llegar a la solucin.

Ejemplo 1: B

Cul es el valor de en la figura?

(1) ngulo en C recto.

(2) AC = BC

A C

Solucin:Consideremos la afirmacin (1).

Que el ngulo C sea recto, no nos da informacin sobre los otros ngulos del tringulo. Creer que son de 45 cada uno no es correcto, ya que ningn dato dice que esos ngulos son iguales.

La afirmacin (2) seala que el tringulo es issceles, ya que AC = BC, lo que nos indica que el ngulo en A y en B son iguales, pero no tenemos ningn otro dato que nos permita calcularlos (los 90 de la afirmacin (1) hay que olvidarlos por ahora).

Como hemos podido apreciar, las afirmaciones (1) y (2), por s solas, no nos permiten determinar el valor de , pero si juntamos ambas, se nos produce la siguiente informacin:

El ngulo en C mide 90 y ngulo y ngulo en B son iguales.Esta informacin s nos permite llegar a la solucin. Por lo tanto, Ambas juntas, (1) y (2).

Alternativa correcta: CEjemplo 2:

De cinco alumnos: A, B, C, D y E. Cul es el ms alto?

(1) A es ms bajo que B, pero ms alto que E. (2) E es ms alto que C, pero ms bajo que D.

Solucin:(1) Estableciendo un orden de menor a mayor, podemos concluir que:

E

modulo matematicas 2011

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