modulo de matematicas ciclo 3

INSTITUCION EDUCATIVA SAN LUIS ROBLESCOORDINACION ACADEMICA

PROGRAMA DE BACHILLERATO EN ETNOEDUCACIÓN PRESENCIAL

CURSO ACADÉMICOMATEMATICAS

PROTOCOLO Y GUÍA DE ACTIVIDADES

POR:JESUS OTILIO CASTILLO

San Andrés Tumaco, Marzo de 2009

1. PROTOCOLO ACADEMICO

1.1. FICHA TECNICA

IDENTIFICACIÓN DEL CURSO ACADÉMICO (FICHA TÉCNICA)Nombre del Curso: MATEMATICAS CICLO IIIPalabras Clave: Conjuntos numéricos, operaciones, números

naturales, números fraccionarios, números decimales, números enteros, sistema métrico, razones y proporciones.

Institución: Institución Educativa San Luis Robles Ciudad: Tumaco- Nariño- ColombiaAutores del Protocolo Académico:

JESUS OTILIO CASTILLO

Año: 2009Unidad Académica: Coordinación académicaCampo de Formación: MatemáticasÁrea del Conocimiento:

Matemáticas

Créditos Académicos:Tipo de Curso: TeóricoDestinatarios: Estudiantes del bachillerato en Etnoeducación.

Competencia general del aprendizaje:

El Estudiante identifica, describe y reconoce los diferentes métodos utilizados para solucionar situaciones del entorno.Determina y analiza situaciones y contextos matemáticos a partir de hechos reales.Aplica los conceptos, algoritmos y representaciones en justificar soluciones planteadas a diferentes problemas utilizando modelos matemáticos.

Metodología de la oferta

Presencial

Formato de circulación

Documentos impresos

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Denominación de las Unidades Didácticas

1. Números naturales y números enteros2. Números fraccionarios y números

decimales.3. Sistema métrico decimal y aplicaciones

geométricas.4. Proporcionalidad y aplicaciones.

1.2. INTRODUCCIÓN

Las matemáticas han cumplido un papel preponderante en el desarrollo de la humanidad, debido a que son una herramienta fundamental para la compresión de los saberes de todas las disciplinas del conocimiento. El decreto 3011 reglamenta la educación por ciclos y fija pauta para el servicio de ella en los educandos adultos; es así como la alianza UNAD- RECOMPAS y la Institución Educativa San Luis Robles, busca la formación integral de los estudiantes de los consejos comunitarios Rescate las Varas y Tablón Dulce.Para la estructuración de este modulo hemos tenido en cuenta el tipo de hombre y mujer de nuestra región, y las necesidades e intereses de temáticas aritméticas especificas, propias y pertinentes para ayudarle en su desarrollo intelectual y en el desenvolvimiento de su diario vivir.

Esto permite en los educando apropiarse de su realidad socio-cultural y económica estimulando y fortaleciendo proceso de participación ciudadana colectiva en la organización, gestión y solución de sus problemas además lideren constantes cambios que los encaminen a un bien estar.

Metodológicamente los temas se abordarán desde la hermenéutica retomando en principio pauta que sirvan de análisis tanto lo que se deriva de lo escrito, como lo que se puede contrastarse respecto a los presaberes o la manera cómo interactúan con otras áreas del conocimiento que resultan directa o indirectamente implicadas y se muestren pertinentes para profundizar en el estudio de las matemáticas.

De manera un tanto escueta, pero igualmente clara, digamos que este trabajo se aborda así: Cuándo se formula, qué se formula, en qué

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términos, qué implicaciones tiene lo que se dice, qué se ha dejado de decir, qué intereses se evidencian.

Será posible ver entonces, cómo algunos de los problemas en educación dirigida a ciertos grupos sociales se originan precisamente en la implementación de la normatividad que pretende regular formas de convivencia y desarrollo de estos grupos, sin tener en cuenta sus costumbres, cultura y territoriedad. Para el caso que nos ocupa, los grupos étnicos:

En este curso se proponen cuatro unidades didácticas. En la primera y la segunda, se desarrollan los conjuntos numéricos (números naturales, números enteros, números fraccionarios y números decimales) que abordan cuatro capítulos; luego pasamos al sistema métrico decimal y aplicaciones a la geometría, terminando con proporcionalidad y aplicaciones.

Se realizará los fines de semana sábados y domingos, con una intensidad de 16 horas mensuales de trabajo con cada curso, de acompañamiento y seguimiento tutorial en donde el estudiante desarrollará talleres, guías, resolverá dudas teóricas y participará en actividades conjuntas con todo su grupo y el tutor acompañante.

La evaluación del proceso se desarrollará en tres momentos: la auto evaluación, coevaluación y la heteroevaluación en las competencias interpretativa, argumentativa, propositiva, contextual, comunicativa y valorativa.

El desarrollo del curso se basa tanto en el trabajo individual del estudiante como en el trabajo en pequeños grupos, dentro de los cuales se busca una interacción que posibilite la discusión de los temas abordados. Habrá un acompañamiento tutorial, donde se desarrollan actividades de asesoría tanto individual como a grupos pequeños colaborativos y habrá tutoría general para el grupo total que toma el curso.

Los recursos que apoyarán el desarrollo del curso son los materiales impresos. Igualmente, es importante hacernos a un glosario de iniciación que nos permita desenvolvernos con mayor facilidad en las lecturas, las discusiones, las reflexiones y análisis. Se espera en todo caso, que al

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finalizar el curso, el estudiante esté en capacidad de identificar, describir y reconocer panorámicamente el contexto y desarrolle más puntualmente, que esté en capacidad de identificar, describir y reconocer los ejes temáticos que necesita para orientarse en su entorno y en el mundo cambiante.

1.3. JUSTIFICACIÓN

Las matemáticas permiten el desarrollo del pensamiento lógico y formal en las personas y ayudan a razonar, analizar, sintetizar e inferir en los distintos saberes y conocimientos. Es una herramienta esencial para formular modelos aplicables a la solución de problemas técnicos, tecnológicos, económicos, científicos, financieros y sociales. Bien sabemos que todos nuestros estudiantes manejan y aplican operaciones formales de aritmética básica; también es cierto que muchos de ellos no saben aplicar formalmente las propiedades y algoritmos de las operaciones fundamentales. Esto será vital para el desarrollo de la asignatura. Partiremos de los presaberes que nuestros educandos han aplicado en el quehacer diario dentro y fuera de su contexto laboral, familiar y social para tratar de llegar a una plena explicación del mundo a través de las matemáticas.

1.4. INTENCIONALIDAD FORMATIVA

Formulación de Propósitos

Coadyugar a la formación de personas capaces de comprender y aplicar los conceptos, propiedades y algoritmos de las matemáticas a los conocimientos formales y a los saberes cotidianos con el propósito de brindar elementos de análisis y así poder hacer críticas desde un ángulo lógico y formal.

Formulación de Objetivos

* Obtener una visión general de algunos conjuntos numéricos

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* Aportar conceptos, propiedades, algoritmos para solucionar operaciones y problemas en los distintos conjuntos numéricos

* Conocer y aplicar las distintas unidades del sistema métrico decimal

* Aplicar las unidades del sistema métrico decimal en el cálculo de areas y volúmenes de figuras planas y de cuerpos sólidos.

* Resolver y formular problemas aplicando los conceptos de razones y proporciones.

Formulación de Competencias

* El estudiante conoce, interpreta y valora los procesos matemáticos y usa estos conocimientos como herramientas para el desarrollo de su diario vivir.

* El estudiante analiza, justifica, escribe y comunica en forma clara y concreta hechos reales donde se aplican conocimientos matemáticos * El estudiante plantea, resuelve, inventa situaciones que implican el uso de las matemáticas

Formulación de Metas

El estudiante resuelve y sustenta las actividades, trabajos y talleres que se presentan al finalizar cada lección, capitulo y unidad. Al finalizar el presente curso el estudiante conoce un panorama completo de las unidades temáticas propuestas en el modulo.

1.5. SISTEMA DE INTERACTIVIDADES

La interacción pedagógica se llevará a cabo entre el estudiante y el tutor o el docente que maneja el curso de la siguiente manera:

Contacto personal y teléfono. Acompañamiento al estudiante por parte del tutor con el fin de

resolver inquietudes y orientar situaciones y procesos.

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Entre los estudiantes de un mismo grupo, socialización para la realización del trabajo grupal y colaborativo.

Creación de grupos de estudio y discusión entre estudiantes para intercambiar pareceres, brindarse apoyo mutuo y realizar trabajo en conjunto.

1.6. RECURSOS TECNOLÓGICOS:

Material impreso. Lecturas anexas a la guía. Bibliografía sugerida a final de protocolo. El teléfono. Otros medios sugeridos por el tutor de acuerdo con las

posibilidades de los estudiantes.

1.7. UNIDADES DIDÁCTICAS

1. Números naturales y números enteros2. Números fraccionarios y números decimales.3. Sistema métrico decimal y aplicaciones geométricas.4. Proporcionalidad y aplicaciones.

1.8. PLANIFICACIÓN DE UNIDADES DIDACTICASMODULO DE MATEMATICAS CICLO III

UNIDAD 1.CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES Y CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS.CAPITULO 1. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALESTEMA 1. CONJUNTOS Y SUS OPERACIONESTEMA 2. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES, OPERACIONES Y PROPIEDADES.TEMA 3. TEORIA DE NÚMEROS NATURALES.

CAPITULO 2. CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROSTEMA 1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Y SUS PROPIEDADES.

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UNIDAD 2.CONJUNTO DE LOS NUEMROS FRACCIONARIOS Y NÚMEROS DECIMALES.CAPITULO 1. NÚMEROS FRACCIONARIOSTEMA 1. GENERALIDADES DE NÚMEROS FRACCIONARIOSTEMA 2. OPERACIONES Y PROPIEDADES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.

CAPITULO 2. NÚMEROS DECIMALES.TEMA 1. GENERALIDADES DE NÚMEROS DECIMALES.TEMA 2. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.

UNIDAD 3.SISTEMA METRICO DECIMAL Y APLICACIONES GEOMETRICAS.CAPITULO 1. SISTEMA METRICO DECIMAL.TEMA 1. GENERALIDADES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL.TEMA 2. UNIDADES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL.TEMA 3. TRANSFORMACIONES O CONVERCIONES DE UNIDADES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL.TEMA 4. ETNOMEDIDAS.

CAPITULO 2. APLICACIONES DEL SISTEMA METRCIO DECIMAL A ALGUNAS FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMETRICOS.TEMA 1. PERIMETRO Y ÁREA DE LAGUNAS FIGURAS PLANAS.TEMA 2. AREAS DE ALGUNOS CUERPOS SOLIDOS.TEMA 3. VOLUMENES DE SOLIDOS.

UNIDAD 4. PROPORCIONALIDAD Y APLICACIONES.CAPITULO 1. RAZONES Y PROPORCIONESTEMA 1. RAZONESTEMA 2. PROPORCIONESCAPITULO 2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INEVRSA.TEMA 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Y PROPIEDAD.TEMA 2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Y PROPIEDAD.TEMA 3. APLICACIONES DE LAS PROPORCIONALIDAD.

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MATEMATICASCICLO III

UNIDAD 1CONJUNTO DE

NÚMEROS NATURALES Y

NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 2CONJUNTO DE

NÚMEROS FRACCIONARIOS Y

NÚMEROS DECIMALES.

UNIDAD 3.SISTEMA METRICO

DECIMAL Y APLICACIONES GEOMETRICAS

UNIDAD 4.PROPORCIONALI

DAD Y APLICACIONES.

CONJUNTOS Y OPERACIONES

CONJUNTO DE

NÚMEROS NATURALES

CONJUNTO DE

NÚMEROS ENTEROS

OPERACIONES Y

PROPIEDADES

TEORIA DE NÚMEROS

NATURALES

OPERACIONES Y

PROPIEDADES

NÚMEROS DECIMALES

OPERACIONES

NÚMEROS FRACCIONAARIOS

OPERACIONES Y

PROPIEDADES

SISTEMA METRICO DECIMAL.

UNIDADES DEL SISTEMA

METRICO DECIMAL.

TRANSFORMACIONES DE UNIDADES

DEL SISTEMA METRICO DECIMAL

ETNOMMEDIDAS

RAZON Y PROPORCION

RAZON

PROPORCION

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSAS

MAGNITUDES

DIRECTAS E

INVERSAS.

APLICACIONES

1.9. MAPA CONCEPTUAL

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1.10. CONTEXTO TEÓRICO

Las matemáticas son tan antiguas como la misma humanidad y aparecen en el mismo momento que el hombre tuvo la necesidad de contar los integrantes de su clan, los días y las noches, los astros y todo aquello que lo rodea. Así debió pensar en la construcción de una idea de conjunto, que luego de elaborarse por mucho tiempo se transmitió en forma oral y se difundió por todos los puntos cardinales hasta llegar la oportunidad de escribir rupestremente en cuevas, piedras y en todo aquello que les permitiera esculpir símbolos que se codificaron para luego aparecer la idea primitiva de numero.

Los pobladores del litoral pacífico nariñense son poseedores de una cultura basada en la oralidad que se manifiesta en muchos aspectos de la vida cotidiana es así como muchos saberse y conocimientos ancestrales son transmitidos oralmente de generación en generación y de pueblo en pueblo la forma de contar y efectuar operaciones básicas a utilizado este medio de comunicación y transmitió de conocimientos y saberse matemáticos. En su gran mayoría nuestros estudiantes efectúan una serie de operaciones aritmética básica de manera mecánica y memorística sin utilizar códigos escritos y sin dejar registro de los mismos.

Esto es uno de los retos a la cual debemos enfrentarnos con estrategias que nos permitan llegar al dicente para modificar, hasta donde sea posible la forma de utilizar los conceptos matemáticos empíricos y fundamentarlo con teorías lógicas y formales.

Tenemos y debemos aplicar metodologías y teorías pedagógicas que hagan asequibles el conocimiento matemático a personas que han dejado la escuela hace muchos años. Nuestra propuesta tiene en cuenta la lúdica como herramienta fundamental para que se apropien de los conceptos, operaciones y propiedades de la forma más sencilla posible Los saberes primarios son, para el enfoque de este curso, absolutamente indispensables, ya que partiendo de los presaberes

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permitimos al estudiante tomar una posición propia sobre el tema, verificando qué tanto se aproxima al contenido teórico y análisis del conocimiento en si objetivo y por supuesto, realizando su propio análisis acorde con sus conocimientos y experiencias. En este sentido, este trabajo es un aporte que busca delinear muy panorámicamente lo que se debe enseñar en matemáticas de sexto y séptimo grado, y como dijimos, anteriormente, partiremos de los presaberes que tienen nuestros educandos y enfocaremos nuestras actividades al contexto en el cual desarrollamos este Etnobachillerato.

La educación ha sido planteada, desde la época de la ilustración europea (siglo XVIII) como un factor determinante en el desarrollo del ser humano y por ende, en el desarrollo de los pueblos. Esta idea es evidentemente rescatada y repetida durante la primera república y de uno u otro modo, la forma como ha sido encarada en la legislación educativa en nuestro país, es indicativo de la importancia y sentido que cada época le ha dado a la educación.

Las matemáticas han ocupado en este momento un papel relevante en el currículo educativo. Es innegable la importancia que estas tienen en el desarrollo de los conocimientos y el aporte que hacen a través de sus modelos, teorías, leyes y demostraciones a las demás ciencias.

Es así como debemos enfrentar los retos de la tecnología y la ciencia contemporánea desde nuestra perspectiva de vida. No importa dónde nos encontremos y quienes seamos. El conocimiento no tiene límite, color ni fronteras. Ahí está y debemos asumirlo con herramientas que nos permitan manipularlo y ponerlo en beneficio de nosotros, nuestras familias y nuestros pueblos.

1.1. METODOLOGÍA GENERAL:

Este curso consta de tres (4) Unidades que corresponden a 96 Horas de Trabajo académico: * 32 horas promedio de trabajo individual -* 32 horas de trabajo en grupo * 32 horas de acompañamiento tutorial

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Las Treinta y dos horas de trabajo individual serán organizadas y utilizadas de manera autónoma por el estudiante con el fin de que se destinen a la estructuración de los trabajos propuestos en la guía.

Antes del acompañamiento tutorial, el estudiante debe leer las fuentes documentales recomendadas, las cuales corresponden a cada sesión con el fin de que pueda realizar los interrogantes que considere pertinentes. Igualmente, el estudiante debe evidenciar ante el tutor un cierto manejo conceptual de los temas propuestos por el o los autores leídos, con el fin de que el maestro reconozca deficiencias, falencias o aciertos y pueda colaborar en la consolidación de esta información leída.

Manejada esta primera parte, y una vez que el tutor haya hecho las observaciones del caso sobre las interpretaciones hechas por el estudiante de las ideas de los distintos conceptos, el estudiante debe trabajar en el análisis y formulación de problema desde una óptica reflexiva de las matemáticas, de modo que sea posible efectuar el desarrollo de las diferentes problemáticas planteadas en la guía para entregar un informe escrito en fechas acordadas con el tutor. De la suma de los informes, por último, deberán elaborar unos planteamientos final, de acuerdo al interés del estudiante.

1.12. SISTEMA DE EVALUACIÓN

La evaluación del proceso se desarrollará en tres momentos la autoevaluación, coevaluación y la heteroevaluación en las competencias cognitiva, contextual, comunicativa y valorativa.

Momentos de la Evaluación:

1. La autoevaluación es la valoración autocrítica que el estudiante hace de sus propios procesos aprendizajes, de su esfuerzo y de la responsabilidad y honestidad con la que el estudiante enfrentó su trabajo en el curso propuesto.

2. La coevaluación es la valoración que podemos hacer del trabajo efectuado por otro u otros compañeros, y a su vez, la que estos hacen del "coevaluador" respecto a la forma como se desempeñó en colectivo de modo que sea posible identificar fortalezas, debilidades, y

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limitaciones que permitan crecer a todos y cada uno de los integrantes de los grupos.

3. La heteroevaluación es la valoración que la institución hace en cabeza del tutor o docente con el objeto de verificar las competencias y logros obtenidos por el estudiante con el fin de establecer la aprobación o no del curso.

1.13. COMPETENCIAS

*Competencia Cognitiva: Esta hace referencia a la apropiación y construcción del saber a partir del estudio de las elaboraciones y desarrollos teóricos que hacen parte de la historia epistemológica de las disciplinas.

* Competencia Comunicativa: Se entiende como el saber presente en los actos que realiza un estudiante para la comprensión de un texto y/o contexto específico circunscrito al campo del saber de las diferentes ciencias.

* Competencia Valorativa: Indica el saber relacionado con las actitudes que reflejan la interacción y apropiación de los múltiples sentidos presentes en los textos.

* Competencia Contextual: Es el saber que el estudiante posee para interpretar y confrontar los problemas sociales y culturales de los contextos locales, regionales y globales con los saberes de la academia.

1.14. POLÍTICAS EVALUATIVAS DEL CURSO

La evaluación del curso está propuesta en la guía de Actividades. Del trabajo que de esta se desprenda por cada una de las Unidades Didácticas, se pedirá la realización de cuatro informes de lectura, un protocolo (o Relatoría) y un ensayo final, los cuales serán evaluados numéricamente en una escala entre Uno (1.0) y Cinco (5.0).

El cronograma será seguido en principio según los acuerdos a que se llegue con el tutor, el cual asignará fechas determinadas para la entrega de avances y trabajos. Para ello se tendrá en cuenta la fecha de envió a

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todo envió por e-mail debe pedirse de parte del tutor confirmación de recibo del trabajo, o en su defecto, si se maneja correo postal se tendrá en cuenta la fecha de timbre puesta por la oficina respectiva.

Deberán asumirse igualmente las fechas del trabajo directo con el Tutor para hacer la discusión de los avances.

1.15. GLOSARIO DE TERMINOS

Deca: Prefijo griego que significa 10.Década: Período de diez años.Decaedro: Poliedro de diez caras.Decágono: Polígono de diez lados.Decágono Regular: Polígono de diez lados iguales. Sus ángulos también son de igual medida.Decagramo: Medida de masa equivalente a diez gramos.Decalitro: Medida de capacidad equivalente a diez litros.Decámetro: Medida de longitud equivalente a diez metros.Decena: Conjunto formado por diez unidades.Deci: Prefijo que significa décima parte.Decigramo: Medida de masa equivalente a la décima parte del gramo.Decilitro: Medida de capacidad equivalente a la décima parte del litro.Décima: Cada una de las diez partes iguales en que se divide una unidad o un todo.Decímetro: Medida de longitud equivalente a la décima parte del metro.Décuplo: Que contiene un número 10 veces.Deducción: Conclusión basada en un conjunto de proposiciones verdaderas.Demostración: Proceso por el cual, mediante una serie de razonamientos lógicos, se llega a establecer la verdad de una proposición o teorema a partir de cierta hipótesis.Denominador: Parte de una fracción que indica en cuántas partes está dividido un todo o la unidad.Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos de una figura geométrica.Diagrama: Figura gráfica que explica un fenómeno estadístico, físico, químico, matemático, etc.Diámetro: Cuerda que pasa por el centro y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Equivale al doble del radio y es la máxima cuerda que se puede trazar en una circunferencia.

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Disco: Es la unión de la circunferencia con el círculo.Dividendo: Número que se divide por otro.Docena: Conjunto formado por 12 unidades.Dodecaedro: Poliedro de 12 caras.Dodecágono: Polígono de 12 lados.Equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados iguales.Elemento: Cada uno de los objetos pertenecientes a un conjunto.Finito: Que tiene fin, término o límite.Fracción Decimal: Fracción que tiene por denominador una potencia positiva de 10.Fracción Impropia: Fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.Fracción Irreductible: Fracción que no se puede simplificar más.Fracción Propia: Aquella cuyo numerador es menor que el denominador.Fracciones Equivalentes: Aquellas que tienen el mismo Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre los puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos. Geometría Plana: Trata de las figuras cuyos puntos y líneas están situados en un plano. Geometría del Espacio: Trata de las figuras cuyos elementos no están todos en el mismo plano.Hecta: Prefijo que significa cien. Hectárea: Medida de superficie que equivale a 10.000 metros cuadrados. Hectogramo: Medida de peso equivalente a 100 gramos. Hectólitro: Medida de capacidad equivalente a 100 litros. Hectómetro: Medida de longitud equivalente a 100 metros. Heptaedro: Poliedro de siete caras. Heptágono: Polígono de siete lados. Heptágono Regular: Polígono de siete lados iguales. Hexa: Prefijo que significa seis. Hexaedro: Poliedro de 6 caras regulares, más conocido como cubo. Hexágono: Polígono de seis lados. Hexágono Regular: Polígono de seis lados iguales. Sus ángulos interiores son iguales y miden 120° cada uno. Hexagrama: Figura plana compuesta de dos triángulos equiláteros que se cortan entre sí, de modo que cada lado de uno es paralelo a un lado del otro y forman un hexágono.

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Hipotenusa: El mayor de los lados de un triángulo rectángulo y que s opuesto al ángulo recto. Hipótesis: Enunciado o proposición que se toma como base de un razonamiento matemático. Homogéneo: Compuesto o formado por elementos de igual naturaleza. Kilo: Prefijo que significa mil. Kilógramo: Unidad de masa que equivale a mil gramos. Kilolitro: Medida de capacidad equivalente a mil litros. Kilómetro: Medida de longitud que equivale a mil metros. Kilómetro Cuadrado: Unidad de superficie equivalente a la de un cuadrado de lado 1 kilómetroLargo: Longitud de una cosa. Lateral: Relativo a los bordes de los polígonos o a las caras de los poliedros. Líneas Paralelas: Líneas que no se juntan por mucho que se prolonguen. Líneas Perpendiculares: Líneas que la cortarse forman un ángulo de 90°. Línea Quebrada: Línea formada por varias rectas que tienen un punto en común. Lugar geométrico: Conjunto de puntos que cumple con una determinada condición. Macro: Prefijo que significa grande.Máximo Común Divisor: El mayor número entero que es divisor de un conjunto de números enteros.Media Geométrica: Cada uno de los medios de una proporción continua y es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.Mega: Prefijo que significa un millón.Megámetro: Medida de longitud que equivale a 1.000 kilómetros.Metría: Sufijo que significa medida.Micra: Medida de longitud equivalente a la millonésima parte de un metro.Micro: Prefijo que significa la millonésima parte de la unidad principal.Mili: Prefijo que indica milésima parte.Milígramo: Milésima parte de un gramo.Milímetro: Milésima parte del metro.Milla: Unidad de longitud equivalente a 1.609,347 metros.Millón: Mil veces mil.Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes a varios números.Minuendo: Cantidad de la que se resta otra en una sustracción.Miria: Prefijo que significa diez mil.

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Mitad: Cada una de las dos partes en que se divide un todo.Mixto: Número compuesto de un entero y una fracción.Multiplicación: Operación aritmética que consiste en sumar tantas veces un número como lo indica otro número. Ambos son los factores y el resultado es el producto. Múltiplo: Cantidad aritmética o algebraica que es producto de otras dos que son divisores de ellas.

IN: Símbolo que designa al conjunto de los números naturales, o sea el 1, 2, 3, 4, 5, 6,... números naturales.Numerador: Parte de una fracción que indica las partes que se toman de una partición.Números amigos: Par de números enteros positivos tales que la suma de los divisores positivos de cada número menores que él es igual al otro número.Número concreto: El que expresa cantidad de especie determinada.Número dígito: El que puede expresarse con un solo guarismo. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Número entero: El que consta exclusivamente de una o más unidades, por oposición a los quebrados y los mixtos. Número fraccionario (o quebrado): Número que expresa una o varias partes de la unidad. Número impar: Número que no es divisible exactamente por dos. Número mixto: Número compuesto de entero y fracción.Número ordinal: el que expresa idea de orden o sucesión. Número par: Número divisible exactamente por dos.Número positivo: Número mayor que 0. Número primo: El que sólo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Número cardinal: Cada uno de los enteros considerados en abstracto.Número compuesto: El que se expresa con dos o más guarismos. Número que no es primo (excepto el uno). Número concreto: El que expresa cantidad de especie determinada.

Secante: Recta que intercepta a la circunferencia en dos puntos no coincidentes. Toda secante determina una cuerda. // Se llama secante de dos o más rectas a otra recta que las intercepta.Sección: Figura que resulta de la intersección de una superficie con un sólido.

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Sección Cónica: Sección que se origina al cortar con un plano un cono circular recto.Sector Circular: Región limitada por dos radios y el arco subtendido por ellos.Sector Esférico: Porción de volumen de esfera que está engendrada por un sector circular que gira alrededor de un diámetro de la esfera. Está formada por un casquete y su cono.Segmento: Porción de recta limitada por dos puntos.Segmento Circular: Región limitada por una cuerda y el arco determinado por ella.Segundo: Unidad de tiempo que equivale a la 60 ava parte de un minuto.Semana: Período de tiempo de siete días.Semejantes (Figuras): Figuras cuyos ángulos homólogos son congruentes y sus segmentos homólogos proporcionales.Semejantes (Términos): Términos que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo 5ab y -7ab.Semestre: Período de seis meses.Semi: Prefijo que significa mitad.Serie: Suma de una sucesión ordenada de términos.Serie Aritmética: Serie cuyos términos forman una progresión aritmética.Serie geométrica: Serie cuyos términos forman una progresión geométrica.Sexagesimal: Que tiene por base el número 60.Sexagésimo: Cada una de las 60 partes iguales en que se puede dividir un todo.Sexto: Cada una de las seis partes iguales en que se puede dividir un todo.Séxtuplo: Seis veces una cantidad.Siglo: Período de tiempo correspondiente a cien años.Símbolo: Representación convencional de un número, cantidad, relación, operación, etc.

1.16. BIBLIOGRAFIA

Abbott Edwin. Planilandia. Seely y Co. Londres 1884. Balbuena Luis. Cuentos del cero. Nivola 2006.

Brian Bult/Hobbs Davis. Léxico de Matemáticas. Akal Madrid 2001-

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Carlavilla Fernández José Luis. Historia de las matemáticas. Plaza edición 2004.

Chamarro María del Carmen. Didácticas de las matemáticas. Grupo magno. México 2005.

Corbalán Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Plaza edición. Barcelona 1997.

Corbalán Yuste Fernando. Juegos matemáticos. Síntesis. editorial Madrid. 1998.

Devlin Keith. El lenguaje de las matemáticas. Plaza edición Madrid 2007.

Dunham William. El universo de las matemáticas. Pirámide S.A- Madrid 2006.

Jeunesse Albín Michel. Los trucos de las matemáticas. S.M. Ediciones- Boadilla del Monte 2004.

Jouette André. El secreto de los números. Ma non Troppo. París 2008.

Moore Rosalind. Los mejores problemas lógicos 1. Martínez Roca. S.A Buenos aires 2002.

Parissi Anna. Números mágicos y estrellas fugases. Ediciones oniro S.A- Madrid 2005.

Smullgan Raymond. Alicia en el país de las adivinanzas. Ediciones cátedra S.A. Madrid 1989.

1.17. PALABRAS CLAVE:

Factores Conjunto Multiplicación

ElementoEntero División

FracciónSistema decimal

RazónProporciónCirculo

GeometríaNatural cuboCuadrado

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AlgoritmoTeoremademostración PerpendicularCilindroPrisma Superficie

Suma PesoMagnitudCantidadMedidaLongitud

ordenfraccionarCapacidadVolumenRestaRadio

TrianguloTrapecioÁrea

RectánguloParalelo

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2. GUÍA DE ACTIVIDADES

Los temas de las actividades propuestas en esta Guía se abordarán en tres tiempos: Observar e interpretar (como situación de reconocimiento); Analizar y explicar (como situación de profundización) y por último, comparar y construir (como situación de transferencia). Tales situaciones las evidenciará el tutor si lo considera necesario.

Esta forma de trabajo se llevará a cabo en principio, individualmente y también, en grupos colaborativos con la orientación del acompañante tutor. En este sentido, los talleres establecen con claridad la meta que se proponen, asó como los objetivos a alcanzar mediante su desarrollo.

Si entendemos toda la propuesta inicial de trabajo planteada como una situación de entrada, asumiremos igualmente en principio que la situación de salida será el trabajo final de grupo y/o individual que genere la actividad.

Esta Guía de Actividades pretende ser un apoyo para el tutor, de manera que pueda sacar el mejor partido a la orientación que les brinda a sus estudiantes. También es, obviamente, una herramienta de apoyo al curso que se conecta de manera estructural al módulo.

Es importante que se reconozca el papel diverso que cumple cada una de las actividades planteadas, bien sea como labor de reconocimiento, de profundización o de transferencia. No obstante esta clasificación de situaciones didácticas, además surgen otras actividades complementarias que refuerzan tales situaciones. Son ellas: la investigación, el análisis, y las dinámicas de grupo que bien se pueden circunscribir a cada una de las fases de aprendizaje antes mencionadas.

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2.1. GUÍA DE ACTIVIDADES. 1CONJUNTOS DE NÚMEROS NATURALES

METAS

Al terminar esta actividad, el estudiante estará en capacidad de formular y resolver operaciones aritméticas utilizando las relaciones y propiedades de los números naturales.

OBJETIVOS

Reconocer e identificar conceptos generales básicos de los números naturales para aplicarlo en la solución de problemas contextualizado.

Utiliza los algoritmos de las operaciones básicas en la solución y análisis de problemas reales.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES. NÚMEROS NARURALES

1. Dados los conjuntos:a. {rana, iguana, cocodrilo, lagartija}b. {serpiente, lagartija, iguana}

Determinar por extensión los conjuntos

a. A – B b. B – A

c. (A – B) U (b – A) d. (A U B) – (A ∩ B)

e. Ac f. A ∆ B

2. Aplicar simultanea mente las propiedades asociativas y conmutativas en los siguientes ejercicios.

a. 3 + 8 + 5 + 13 =

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b. 76+ 47+ 44+ 24+ 30 =c. 8 x 6 x 9 x16 =d. 15 x 5 x 2 =e. 10 x17 x 4 =

3. Re presentar cada conjunto numérico en una semirrecta numérica.a. {0, 1, 3, 7, 8} b. {2, 4, 8, 6}

4. Sociales: en la siguiente tabla se muestran 5 planetas del sistema solar, su diámetro y su distancia al sol.

PLANETA DIAMETRO DISTANCIA AL SOL

Mercurio 4600 km 58.0 km00.000

Venus 12300 km 108.000.000 km

Tierra 12756 km 149.000.000 km

Marte 6900 km 228.000.000 km

Júpiter 142000 km 778.000.000 km

a. ¿Cuál es el planeta con mayor diámetro? ¿Qué diferencia en kilómetros tiene el diámetro de este planeta con el diámetro de la tierra?

b. ¿Qué diámetro es mayor, el diámetro de la tierra, Venus, Marte y mercurio juntos o el diámetro de Júpiter?

c. Calcular la diferencia entre el diámetro de la tierra y el diámetro de Mercurio.

5. La suma de dos números es 37478. ¿Si un sumando es 17.019, cual es el otro sumando?

6. 18 adultos y 11 niños de la vereda Tablón Dulce, saldrán de paseo el domingo a Tumaco, al morro. Para ello averiguan los precios de algunos lugares de diversión. En la piscina, la “Tortuga”, la entrada para un adulto cuesta $ 5.000 y la de un niño $ 3.500. en

22

la piscina el “Tiburón”, la entrada para adultos vale $ 5.750 y la de niño $ 3.210.

a. ¿Cuánto valen las entradas de todas las personas en cada uno de los sitios?

b. ¿Cual sitio es más barato?

7. Doña Lucia, la panadera de las Varas, tiene 720 panes para repartirlos entre 12 grupos de niños. ¿Cuántos panes le tocan a cada grupo?

8. En la inauguración de juegos veredales, los 34 representantes de de San Luis Robles, quieren desfilar formando filas de cuatro. ¿esto es posible? ¿De que forman podrán desfilar formando filas y columnas completas?

9. Aplicar la propiedad distributiva

a. (32 + 4) ÷ 4 b. [270 – 90] ÷ 30 c. (60 + 80 – 125) ÷ 5

10. Resolver las operaciones indicadas

a. [(7 – 4) x (5 + 7)] ÷ 9 b. [3 x 8 x 4 – 5] ÷ 2b. (7 + 1 – 4 + 9 + 12) ÷ 5

11. Descomponer cada número en tres factores.a. 400 b. 783 c. 160. d. 45 e. 600

TRABAJO EN GRUPOOrganicen grupos de 4 personas y en base a lo aprendido realicen cantos, poesía, juegos, retahílas donde se vea representadas las operaciones básicas de los números naturales.

InvestigaciónResuelve los problemas propuesto de la guía de profundización.ANALISIS

23

Dinámicas de grupo:- Los estudiantes socializaran las temáticas con respecto a la guía de profundización.Todos los estudiantes, tomaran notas del análisis, respecto a lo que se ha escuchado y concertado para la solución de los problemas de la guía de profundización.

TIEMPO DE EJECUCIÓN:La primera sección trabajo individual con la asesoría del tutor. En el segundo momento se conformaran los grupos para que trabajen en la construcción popular de la dinámica pedida y el tercer momento se hará la socialización por parte de los grupos de la guía de profundización. Cada momento tendrá una duración de media hora.

Total tiempo de acompañamiento con el tutor para este taller: 2 horas.

24

2.2. GUIA DE ACTIVIDADES 2.DE NÚMEROS ENTEROS

METAS

Al terminar este taller, el estudiante podrá efectuar operaciones con números enteros y efectuar otras operaciones que no se podían hacer en el anterior conjunto numérico; además resolverá problemas del contexto donde se usan los números enteros.

OBJETIVOS

Identificar los números enteros en la recta numérica. Efectuar operaciones con números enteros. Aplicar la teoría de los números enteros en la solución de

problemas

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES NÚMEROS ENTEROS

1. Representar en la recta numérica los siguientes números enteros.

a. -6 b. 4

c. -11 d. 9

2. Efectuar la suma de los números enteros aplicando las propiedades asociativa y conmutativa simultáneamente.

a. -19 + 15 +8 – 9 b. -7 -15 -16 -45

c. -3 -1 + 4-2 d. 180 -2000 + 7000 -11000

3. aplicando las propiedades de la multiplicación efectuar

a. (3) x (2) x (5) b. (+7) x (+3)x (+4)

25

c. (-10) x (-1)x (2)x (3) d. (-8) (-2) x (-6)

4. resolver aplicando la propiedad distributiva

a. (-3) [(-4) + (-2)] b. (+5) [-8 – 6] c. [(-2) – (-6) x (-10)

5. resolver las siguientes divisiones

a. 20 ÷4 b. (-42) ÷ 6 c. (328) ÷ (- 8) d. (-169) ÷ (-13)

6. Tres amigos de San Luis Robles, crearon una microempresa, pero al finalizar el año observaron un balance negativo, en el que las pérdidas ascendieron a $ 21.000.000 de pesos, ¿cuál debe ser el aporte de cada uno, si deben responder por las perdidas en partes iguales?

7. Un cuadrado mágico es un arreglo numérico en el cual la suma de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma.

a. Completar el siguiente cuadrado mágico.

b. ¿Cuál es el producto de los números que se encuentran en las diagonales del anterior cuadrado mágico?

8. Escribir los siguientes productos como potencias indicadas

a. 2 x 2 x 2 x 2 x2 b. (-8) x (-8) x (-8) x c. 7 x 7 x 7 x 7

d. (- 1) x (- 1) x (- 1)

9. Expresar como producto indicado y luego calcular cada potencia

- 1 -1

- 3

- 7

26

a. 32 b. (-9) 2

c. 43 d. (-6) 4

10. Aplicar las propiedades de la potenciación para simplicar la siguiente expresión.

(-5) 2 x 46 x (-5) 2

11. Calcular las siguientes raíces

12. Calcular las raíces cuadradas de.

a. V4498

b. V128164

c. V37797904

13. Contestar

a. Un numero entero ÷ - 12 da por cociente 3. ¿Cuál es ese número?b. ¿Cuál es el valor de la expresión m ÷ 7 para m= 105

27

4 x (-5)4

2.3. GUIA DE ACTIVIDADES 3.NÚMEROS FRACCIONARIOS

METASAl terminar esta actividad, el estudiante conocerá y dominará las operaciones con los números fraccionarios y podrá utilizar los conceptos vistos en la solución de problemas de la vida cotidiana y del contexto.

OBJETIVOS

Definir el conjunto de los números fraccionarios y representarlos en la recta numérica.

Expresar fracciones gráficamente. Efectuar operaciones con números fraccionarios. Aplicar los números fraccionarios a problemas prácticos.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

1. Expresar gráficamente las siguientes fracciones:a. 1/2b. 3/4c. 7/8 d. 4/5

2. Amplificar las siguientes fracciones:a. 4/5 por 4 vecesb. 1/3 por 9 vecesc. 7/5 por 7 vecesd. 6/11 por 3 vecese. -71/20 por 5 veces

3. Simplificar las siguientes fracciones:a. 21/90b. 525/125 c. 2000/300000d. 798/9852 e. 3740/84524

4. Expresar como numero mixto las siguientes fracciones:a. 9/2 b. 12/5 c. 15/4d. 31/3 e. 47/7

5. Expresar como fracción los siguientes mixtos:

28

a. 2 1/5 b. 3 2/7 c. 4 3/2

d. 5 4/3e. 11 3/5

6. Sumar:a. 7/5 + 8/5= b. 12/7 - 18/7 + 25/7= c. 3/8 + 2/5d. -1/4 – 5/6= e. 7/5 – 8/9= f. 2/3+1/4-5/6=g. -2/3 – 2/5 – 1/4=

7. Multiplicara. 4/5 x 7/3= b. (-3/8) x (-5/4)=c. 7/2 x (-2/9)= d. 17/11 x 13/5 x (-10/4)=e. (-1/2) x (-5/3) x (-9/4)

8. Dividira. 7/4 / 3/5 b. -2/8 / 1/4=c. (-12/15) / 19/4 d. (-4/11) / (-18/21)e. 13/5 / 7/4

9. Por la mañana tome ¼ de litro de leche y por la tarde 2/3 de litro. ¿Qué cantidad de leche tome?

10. Un día trabajé 1/5 del rancho de la finca la “Totora” y al día siguiente la tercera parte del mismo rancho. ¿Qué fracción del rancho he trabajado?

11. Diana compra 9 metros de tela para confeccionar los bolsos de los estudiantes de la escuela de Tablón Salado. Si utilizó 26/4 de metro ¿cuánta tela sobro?

12. ¿Cuál es la 3/5 parte de un bulto de cacao de 50kg?

13. En una finca, 2/7 del suelo están sembrados de frutales y 4/7 de maíz. a. ¿Qué parte de la parcela está sembrada?b. ¿Qué parte de la parcela no está sembrada

14. En la comunidad de Piñal Dulce las 4/5 partes de la población consumen alrededor de 60 litros de agua al día, si la población de esta

29

comunidad es de 2.000 habitantes, ¿Cuántos habitantes consumen más de 60 litros de agua?

15. Se desea repartir ¾ de un cerdo entre 5 personas, de tal forma que las porciones sean iguales.a. ¿Qué porción de puerco le toca a cada persona?

16. Calcular las siguientes potenciasa. (5/2)4 b. (-2/7) 2 c. (8/10) 0 d. (4/7) 3

e. (- 1/3) 3 f. (2/3)-2 g. (- 5/4) -1

17. Simplificar

a. (3/4) 3 x (1/8) 8 /(1/5)6 b. (1/6)3 x (-2/5) 6/(-1/6) x (3/5)

TRABAJO EN GRUPO

Después de resolver cada estudiante su guía de trabajo individual socializar con el grupo sobre los resultados y respuestas y estar en la capacidad uno de ellos de representar al grupo en la socialización general del tema.

ANALISIS

Dos representantes de cada grupo socializaran sus resultados obtenidos en la solución de la guía.

TIEMPO DE EJECUCIÓN:

Una sesión de dos horas con tutor y cada estudiante tendrán la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual.


30

2.4. GUIA DE ACTIVIDADES 4.NÚMEROS DECIMALES

METASAl terminar esta actividad, el estudiante conocerá y dominará las operaciones con los números decimales y podrá utilizar los conceptos vistos en la solución de problemas de la vida cotidiana y del contexto.

OBJETIVOS

Conocer los números decimales Efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con

números decimales. Aplicar los criterios de divisibilidad y multiplicación por la base 10. Aplicar los conceptos de números decimales a problemas

prácticos.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES. NUMEROS DECIMALES

1. Sumar

a. 1,85 + 52,1 + 9 + 324,891

b. 0,488 + 17,5

c. 1798,41 + 389,1 + 98,338

2. Restar

a. 35,48 – 18,535

b. 648,17 – 521,7891

c. 13,1978 – 7,07

3. Efectuar las Operaciones.

a. (-2,3) [1,9 – 9,88 ÷ (4,95 + 2,65)]

31

b. 100 x 57,3 – 78,1 x 10/5,3 – 2,51

4. Sociales: la siguiente tabla muestra el número de días que tardan algunos planetas en dar la vuelta al sol.

a. ¿Cuánto tarda Saturno en dar 5 vueltas al sol?

b. ¿Cuántos días tarda la tierra en darle 9 vueltas al sol.

c. ¿Cuántos días más tarda Plutón en dar la vuelta al sol, que Urano?

d. ¿Cuántos días menos tarda Saturno en dar una vuelta al sol que Neptuno?

5. Ciencias: las serpientes son reptiles que no tienen patas, parpados ni tímpanos y a pesar de ello, pueden sobrevivir; incluso son una de las criaturas más temidas por el hombre. Aunque de 30.000 a 40.000 personas mueren cada año por causa de la mordedura de serpiente, solo la decima parte de las 2.500 especies que existen son peligrosas para el hombre.

Observa la medida de algunas especies de serpientes.

a. ¿Si se ponen en fila una tras otra, ¿cuál sería la longitud de la fila?b. ¿Cuánto más mide

la x que la filiforme?c. ¿Cuánto más mide la culebra del maíz que la pitón?6. Completar las siguientes tablas.

a.Numero X 10 X 100 X 1000

5,23

-3,1

PLANETA NÚMERO DE DÍASPlutón 247,7

Neptuno 164,8Urano 84,01Tierra 365,26Saturno 29,5Júpiter 11,86

ESPECIE MEDIDA EN METROS

Filiforme 0,1 m

Pitón 0,1 mMalgache 1,52 mReal de Coral 1,02 mCulebra del maíz 1,83 mCulebra X 0,45 m

32

10,02-0,010,00095,2323

b.Numero ÷ 10 ÷ X 100 ÷ X 1000

827,3

- 4,5220,007- 9,08518,33

TRABAJO EN GRUPO


ANALISIS



Una sesión de dos horas con tutor en la que cada estudiante tendrá la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual


33

2.5. GUIA DE ACTIVIDADES 5.SISTEMAS DE UNIDADES

METASAl terminar esta actividad, el estudiante conocerá y dominará las unidades del sistema métrico decimal y podrá aplicar dichos conocimientos en el cálculo de perímetros, areas y volúmenes de distintas formas geométricas.

OBJETIVOS

Conocer y manejar las unidades del sistema métrico decimal Efectuar transformaciones de unidades del sistema métrico

decimal. Comparar las unidades tradicionales de la costa del Pacifico

Nariñense. Aplicar las unidad del sistema métrico decimal para el cálculo de

areas y volúmenes de lagunas figuras geométricas Aplicar los conceptos vistos en la vida practica.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES: SISTEMAS DE UNIDADES

1. Efectuar las transformaciones indicadas:a) 12.000.000mm------------------> mb) 47 Dm----------------------------> cmc) 7, 68L------------------------------> ml

d) 0,9dl------------------------------> Hl

e) 6,9 Kg------------------------------> g

f) 5000 mg----------------------------> Kg

g) 2m2-----------------------------------> cm2

h) 1250000 dm2-------------------------> Hm2

i) 0,0009 m33---------------------------------> mm3

j) 47890000 cm3------------------------> m3

2. En un terreno cuadrado de 1km de lado, ¿cuántas hectáreas hay?

34

3. Si en Tumaco se comprara el cacao con la medida de carga, ¿cuántas habrá en 20 bultos de 50kg?

4. ¿En 5 cajas de maracuyá cuantas arrobas hay? ¿Cuántos quintales?

5. ¿Conoce usted alguna unidad de medida usada en Tumaco, diferente a las estudiadas? ¿En qué grupo las clasificarías, conoce su equivalencia?

TRABAJO EN GRUPO


ANALISIS



Una sesión de dos horas con tutor y cada estudiante tendrá la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual


35

2.6. GUIA DE ACTIVIDADES 6.APLICACIONES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL A ALGUNAS FIGURAS PLANAS Y SOLIDOS.

METAS

Al terminar esta actividad, el estudiante tendrá elementos para aplicar en la solución de areas y volúmenes de algunas figuras planas y algunos sólidos.

OBJETIVOS

Aplicar las formulas de área y volumen para resolver las superficies y hallar los volúmenes de sólidos.

Resolver problemas de areas y volúmenes de lagunas figuras geométricas.

Reconocer las formulas para hallar areas, volumen y capacidad de algunas figuras y cuerpos geométricos

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES: APLICACIONES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL A ALGUNAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMETRICOS.

1. ¿Con cuántos litros de agua de mar se llena un estanque para criar camarones con las medidas que muestra la figura?

2. Pedro Nel, el albañil de Imbilpí, repella las 4 paredes de una casa, como muestra la figura, si el valor del metro cuadrado de pañete vale $ 6.000, cuanto cobro por el trabajo.

36

0,025Hm

0,5Hm

1Hm

2,5m

6m

2m

2m

4m

2,5m

6m

2m

2m

4m

3,5m

3. Se desea cubrir la siguiente caja con papel de azúcar, cuanto papel de azúcar necesita. (15cm de largo, 8cm de ancho y 6,5cm de alto)

4. El tanque de gasolina de la planta eléctrica de tablón dulce está lleno hasta un 60% de su capacidad. Determinar la capacidad total del tanque

5. Don Leopoldo de Tablón Dulce, construye una cava para guardar y conservar pescado de forma cubica de 3,5 metros de aristas. ¿Qué capacidad tiene la cava? ¿Cuántas toneladas caben?

6. Si usted utiliza otra forma práctica para calcular el área y el volumen de algunas superficies, o cuerpos por favor escriba sus experiencias.

37

15cm

8cm

6.5cm

15cm

r=2.5m

TRABAJO EN GRUPO


ANALISIS



Una sesión de dos horas con tutor y cada estudiante tendrá la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual.


38

2.7. GUIA DE ACTIVIDADES 7.RAZONES Y PROPORCIONES

METAS

Al terminar esta actividad, el estudiante interpretará los conceptos razones y proporciones y estará en la capacidad de aplicarlos a las diferentes cantidades y magnitudes.

OBJETIVOS

Distinguir entre una razón y una proporción. Aplicar las propiedades de las razones y las proporciones para

encontrar el valor de una incógnita. Aplicar los conceptos de razón y proporción a la solución de

problemas de la vida cotidiana.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUIA DE ACTIVIDADES: RAZONES Y PROPORCIONES

1. Escribir cada expresión como una razón. Luego identificar el antecedente y el consecuente

a. Betto se come 3 plátanos con un burique grande.

b. Por cada 20 pollos hay 2 chumbos

c. Una mazorca de cacao tiene 30 granos

d. 5 racimos de plátanos son 100 plátanos

2. Escribir frente a cada razón otra razón, para que ambas formen una proporción

a. 1/3 = ----- b. 8/5 = -----

a. ----- = 2/7

39

b. 3/4 = ¿// 8

3. En cada proporción identificar los medios y los extremos-

a. 4/5 = 12/15

b. 6/2 = 30/10

c. 1/3 = X/8

d. y/5=1/7

4. Plantear una razón para cada situación. Luego determinar si dichas razones forman una proporción. Explica la respuesta-

a. Para pintar dm2, se emplearon 4 galones de pintura.

b. Una persona recorrió 3 kilómetros en una hora y otra persona recorrió 7 kilómetros en 2 horas.

5. Hallar el termino desconocido

a. 3/4 = X/32

b. 20/10 = 10/X

c. X/3 = 5/220

d. 6/X = 42/63

6. Utilizar proporciones para resolver cada situación.

a. Mi abuelo Facundo, que vive en San Francisco las Varas, decide repartir cierta cantidad de dinero entre sus dos nietos de 15 y 12 años proporcionalmente a sus edades. ¿Si el mayor recibe $ 25000, cuanto recibe el menor?

b. En un almacén de Tumaco, 100 botones cuestan $ 12.000 y 60 de los mismos botones cuestan $ 8.500 ¿es proporcional el precio de los botones?

40

TRABAJO EN GRUPODespués de resolver cada estudiante su guía de trabajo individual socializar con el grupo sobre los resultados y respuestas y estar en la capacidad uno de ellos de representar al grupo en la socialización general del tema.

ANALISIS



Una sesión de dos horas con tutor, en la que cada estudiante tendrá la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual.


41

2.8. GUIA DE ACTIVIDADES 8.MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

METAS

Al terminar esta actividad, el estudiante podrá distinguir las magnitudes directas e inversas y aplicarlas en el planteamiento de las reglas de tres simples y compuesta.

OBJETIVOS

Reconocer las magnitudes directas e inversas Resolver reglas de tres simples y compuesta. Efectuar repartos proporcionales. Aplicar los conceptos en la solución de problemas prácticos y de la

vida cotidiana.

TRABAJO INDIVIDUAL

GUÍA DE ACTIVIDADES, MAGNITUDES DIRECTAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

1. Si con $ 1.300.000 se pueden comprar 40 metros de red de pesca, ¿cuantos metros de red se pueden comprar con $ 6.000.000?2. La torre Eiffel de parís tiene 320,75 metros de altura y está hecha

totalmente de hierro y su peso es de 8.000.000 kilogramos. ¿Cuánto pesa una miniatura de dicha torre, hecha en el mismo material de una longitud de 25 centímetros?

1. Si 9 obreros pintan 3 casas en días, cuantos demoran 15 obreros en pintar 5 casas bajo las mismas condiciones. ¿Cuántos kilogramos de concentrado consumirán 20 cerdos en 14 días.2. 20 docenas de naranja valen $ 48.000, ¿Cuánto valen 100 naranjas?

42

1. 5 cerdos consumen en 10 días 700 kilogramos de concentrado

2. Repartir cada número en partes directamente proporcionales.

a. 200 entre 4,7 y 9

b. 6300 entre 7,14 y 20

c. 1500 entre 8,10 y 12

d. 2640 entre 84,5 y 11

3. Repartir en partes inversamente proporcionales a cada numero

a. 105 entre 3, 5 y 6

b. 605 entre 3, 74 y 10

c. 420 entre 5, 6 y 10

4. Sergio y Pablo ganaron $ 120.000.000 con un billete de la lotería de Nariño. Si Sergio aportó $ 45.000 y Pablo dio $ 15.000 para comprar el billete, ¿Cuánto dinero del premio le corresponde a cada uno?

5. Calcular los porcentajes indicadosa. 7% de 50

b. 2% de 120

c. 0,4 de 300

5. Si Andrés solicito al Banco Agrario de Tumaco, un préstamo de $ 2.000.000, para pagarlos en un año al 2,2%, mensual, ¿Cuánto dinero le tocara pagar?

6. ¿Cuánto es el interés producido por $ 35.000.000 al 12% anual?

7. Un préstamo de $ 3.000.000 al 11.5% anual durante dos años y tres meses, ¿qué interés produce?

43

TRABAJO EN GRUPO


ANALISIS



Una sesión de dos horas con tutor, en la que cada estudiante tendrá la oportunidad de tomarse el tiempo necesario para resolver su trabajo individual.

Total tiempo de acompañamiento con el tutor para este taller: horas. 4

44

3. MÓDULO

3.1. INDICE

INDICE

UNIDAD 1CONJUNTO NÚMEROS NATURALES Y CONJUNTO NÚMEROS ENTEROS

CAPITULO 1. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES1. 1. CONJUNTO1.1.1 NOTACION Y REPRESENTACION DE CONJUNTOS1.1.2. DETERMINACION DE UN CONJUNTO1.1.2.1. Por extensión: 1.1.2.2 Por compresión:

1.1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS1.1.3.1. UNION DE CONJUNTOS1.1.3.2. 1.1.3.2. INTERSECCION DE COMJUNTOS1.1.3.3. COMPLEMENTO DE CONJUNTOS1.1.3.4. DIFERENCIA1.1.3.5. DIFERENCIA SIMETRICA

1.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES1.2.1. NÚMEROS DÍGITOS: 1.2.2. OPERACIÓN EN NUMEROS NATURALES1.2.2.1. ADICIÓN O SUMA EN NÚMEROS NATURALES 1.2.2. PROPIEDADES DE LA SUMA1.2.3. MULTIPLACION O PRODUCTO EN NUMEROS NATURALES1.2.3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO11.2.4. DIVISION DE NÚMEROS NATURALES1.2.4. 1. PROPIEDADES DE LA DIVISION

1.3. TEORIA DE NÚMEROS NATURALES1.3.1. MULTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL1.3.2. DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL1.3.3. LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1.3.4. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

46

1.3.5 DESCOMPOSICION DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS.

CAPITULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS2.1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS2.1.1. ADICION DE NUMEROS ENTEROS 2.1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS2.1.1. ADICION DE NUMEROS ENTEROS 2.1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS2.1.1. ADICION DE NUMEROS ENTEROS 2.1.1.1. PROPIEDADES DE SUMA DE ENTEROS2.1.2. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS2.1.2.1 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION EN NUMEROS ENTEROS2.1.2.2. SIGNOS DE AGRUPACION 2.1.2.3 DESTRUCCION DE SIGNOS DE AGRUPACION2.1.3 DIVISION EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS2.1.4 POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS2.1.4.1PROPIEDADES DE LA POTENCIACION2.1.5. RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS2.1.5.1 PROPIEDADES DE LA RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS2.1.5.2 EXTRACCION DE LA RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO

UNIDAD 2EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS

FRACCIONARIOS Y NÚMEROS DECIMALES

CAPITULO 1. EL CONJUNTO DE NÚMEROS FRACCIONARIOS1.1. GENERALIDADES1.1.1.CLASES DE FRACCIONES1.1.2.AMPLIFICACION DE FRACCIONES1.1.3. SIMPLIFICACION DE FRACIONES1.1.4. NUMEROS MIXTOS1.1.5. FRACCIONES EQUIVALENTES

1.2. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS1.2.1. SUMA DE NUMEROS FRACCIONARIOS1.2.1.1. PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS1.2.2. MULTIPLICACION DE NUMEROS FRACCIONARIOS1.2.2.1. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS1.2.3. DIVISION EN NUMEROS FRACCIONARIOS

47

1.2.4. POTENCIACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS1.2.4.1. PROPIEDADES DE LAS POTENCIACIÓN DE FRACCIONARIOS1.2.5. RADICACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

CAPITULO 2. NUMEROS DECIMALES2.1. GENERALIDADES2.1.1 CONCEPTO DE NUMERO RACIONAL DECIMAL.2.1.2. NOTACIÓN DECIMAL PARA NÚMEROS RACIONALES2.2. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES. 2.2.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES.2.2.2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.2.2.2.1. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMAL POR POTENCIADE 10. 2.2.3. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.2.2.3.1. DIVISIÓN DE UN NUMERO DECIMAL ENTRE POTENCIAS DE 10.

UNIDAD 3SISTEMA METRICO DECIMAL Y APLIACACIONES

GEOMETRICAS

CAPITULO 1. SISTEMA METRICO DECIMAL1.1. GENERALIDADES1.2. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.1.2.1. NOTACIÓN DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL1.2.1.1. MÚLTIPLOS1.2.1.2. SUBMÚLTIPLOS1.2.1.3. ESCALAS DE LAS DIFERENTES MEDIDAS DEL SISTEMA

MÉTRICO DECIMAL.1.3. CONCEPTOS DE LONGITUD, ÁREA, VOLUMEN Y CAPACIDAD.1.3.1. UNIDAD DE LONGITUD1.3.2.UNIDAD DE SUPERFICIE PLANA1.3.3. UNIDAD DE VOLUMEN1.3.4.UNIDAD DE PESO 1.3.5.UNIDAD DE CAPACIDAD1.4. TRANSFORMACIÓN O CONVERSIÓN DE UNIDADES DEL SISTEMA

MÉTRICO DECIMAL.1.5. OTRAS MEDIDAS DE USO FRECUENTE1.6. UNIDADES AGRARIAS DE USO FRECUENTE EN COLOMBIA

48

1.7. RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y PESO.1.8. ETNOMEDIDAS; MEDIDAS DE USO FRECUENTE EN LA COSTA PACIFICA NARIÑENSE

1.8.1. LA BRAZA:1.8.2. LA CUARTA:1.8.3. EL JEME:1.8.4. LA CONCHA:1.8.5. DOCENA:1.8.5. DOCENA:1.8.6. MILLAR:1.8.7. CIENTO:1.8.8. SARTA:1.8.9. CANASTO:1.8.10. EL PUÑAO:1.8.11. YUNTA:1.8.12. EL ATAO:1.8.13. LA CAJA:1.8.14. EL GALÓN:1.8.15. LA POMA:1.8.16. EL QUINTAL:1.8.17. EL GRANO:1.8.18. EL PEDAZO:1.8.19. LA LATA1.8.20. LA ARROBA:

CAPITULO 2. APLICACIONES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL A ALGUNAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMETRICOS2.1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS.2.1.1. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CUADRADO:2.1.2. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO:2.1.3. PERÍMETRO Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA:2.1.4. PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIANGULO2.1.5. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRAPECIO:2.2. ÁREAS DE ALGUNOS CUERPOS SOLIDOS2.2.1. ÁREA DE UNA PIRÁMIDE.2.2.2. ÁREA DEL CILINDRO2.3. VOLUMEN DE UN SOLIDO

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2.3.1. VOLUMEN DE UN PRISMA:2.3.2. VOLUMEN DE LA ESFERA:2.3.3. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE:2.3.4. VOLUMEN DE UN CILINDRO: 2.3.5. VOLUMEN DEL CONO:

UNIDAD 4.PROPORCIONALIDAD Y APLICACIONES

CAPITULO 1. RAZONES Y PROPORCIONES1.1. RAZÓN1.1.1. SERIE DE RAZONES IGUALES.1.1.1.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UNA SERIE DE RAZONES IGUALES.1.2. PROPORCIÓN:1.2.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES.1.2.2. CALCULO DE UN ELEMENTO DE UNA PROPORCIÓN

CAPITULO 2.PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA.2.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.2.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.2.3. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES2.4. PROPIEDAD DE FUNDAMENTAL DE LAS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.2.5. PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.2.6. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD2.6.1. REGLA DE TRES SIMPLE.2.6.2. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.2.6.3. REGLA DE TRES COMPUESTA:2.6.4. REPARTOS PROPORCIONALES2.6.4.1. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIÓNALES 2.7. PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO:2.8. INTERES

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INTRODUCCION

Este modulo es una guía práctica, en la cual se desarrollan las temáticas fundamentales de aritmética básica para el ciclo III de la modalidad de bachillerato por ciclos. Nos corresponde estudiar algunos conjuntos numéricos con sus respectivas operaciones; los sistemas de medidas y sus aplicaciones practicas y, por ultimo abordaremos las temáticas de razones y proporciones con sus aplicaciones en la solución de problemas que se resuelven con reglas de tres simples y compuestas.

El modulo está diseñado con un desarrollo metodológico sencillo, con ejemplos y ejercicios resueltos y propuestos y guías de actividades para que es estudiante pueda trabajar solo o en su grupo de estudio y con el acompañamiento del tutor.

51

UNIDAD 1CONJUNTO NÚMEROS NATURALES Y CONJUNTO NÚMEROS ENTEROS

CAPITULO 1. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES2. 1. CONJUNTOConjunto es una colección o reunión de elementos que tienen las mismas características o propiedades.

1.1.2NOTACION Y REPRESENTACION DE CONJUNTOSPara nombrar los conjuntos utilizamos letras mayúsculas. Para nombrar los elementos de un conjunto utilizamos letras minúsculas o números separados por comas dentro de llaves.

Ejemplo. A= (a, e, i, o, u) B= (1.2.3.4.5.6.7.8.9.0)

1.1.4. DETERMINACION DE UN CONJUNTO

Un conjunto se puede determinar de dos formas:

a. Por extensión b. Por comprensión

1.1.2.1. Por extensión: Cuando se nombra todos los elementos que pertenecen al conjunto.

1.1.2.2 Por compresión: Cuando se menciona una propiedad que identifica a los elementos del conjunto. Ejemplo: El conjunto de las vocales por extensión:

A= [a, e, i, o, u]

Por comprensión:

A= [X/X es una vocal]

1.1.5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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1.1.5.1. UNION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a A como a B, se denomina unión de los conjuntos A y B. La unión entre los conjuntos A y B se nota A υ B.

La unión entre A y B se determina por comprensión así.

A U B = {x / x A o x B}

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}

a) A U C b) B U C c) A U B

Representación grafica de la unión de conjuntos:

Para representar gráficamente la unión entre los conjuntos A y B, se procede así:

1. Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo a la relación que haya entre ellos.2. Se sombrean con líneas, la región, de la grafica en donde se encuentran ubicados los elementos de A o de B.

Ejemplos:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {5, 6, 8 }

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

53

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_01b.svg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

1.1.3.2. INTERSECCION DE COMJUNTOS

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A B = {x / x A y x B} y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un

elementos comunes

elementos comunes

conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplos:

1. Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A C b) B C c) A B

a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4}

A C = { , }

54

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_01a.svg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}

B C = { }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 7}

A B = { , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

1.1.3.3. COMPLEMENTO DE CONJUNTOS

Llamamos conjunto complementario de

un conjunto y lo representamos por

al conjunto diferencia: siendo U el conjunto universal. Esto es:

55

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_conjuntos

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conjuntos_00.svg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

El conjunto complemento de A es el conjunto de los elementos x, que cumplen que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A.

Por ejemplo, si tenemos que:

Entonces:

1.1.3.4. DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A − B son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplos

Si A = {a, b, c, d} y B = {b, d}; la diferencia de conjuntos A - B es

A − B = {a,c}. Si A = { a, b, c, d } y B = { c, d, e, f }; entonces A - B = { a, b }

Si W = {x / x impar y x < 13} y Z = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 };

Entonces

W − Z = {1, 3,5} y Z − W = {8, 10, 12,13}

56

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Conjuntos_01c.svg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

1.1.3.5. DIFERENCIA SIMETRICA

Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {6, 8, 10, 12, 14}

A ∆ B = (A U B) – (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} – {6, 8, 10} = {2, 4, 12,14}

1.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Notación : N

N=[0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,….]

N= [X/X es un numero positivo o cero]

1.2.1. NÚMEROS DÍGITOS: Es un número natural de una sola cifra

D= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0] este conjunto es la base para formar los conjuntos numéricos.

1.2.2. OPERACIÓN EN NUMEROS NATURALES

1.2.2.1. ADICIÓN O SUMA EN NÚMEROS NATURALES

57

N

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Conjuntos_01e.svg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

En la adición de números naturales, se identifican los siguientes términos; los sumandos, que son cada uno de los números que se van a sumar.

La suma o total, que es el resultado de la operación. Por ejemplo:

7+6+5=18, entonces 7,6 y 5 son sumandos. + = signo

18 = resultado o suma.

1.2.2.2. PROPIEDADES DE LA SUMA

Propiedad Clausurativa: la suma de dos números naturales es otro número natural.

Ejemplo:

5,4 N, Entonces, 5+4=9 N

Propiedad Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma:

Ejemplos:

8+7=7+8

15=15

Ley Asociativa: Para efectuar la suma de más de dos términos, se pueden agrupar los números de dos en dos utilizando paréntesis:

Ejemplo:

6+8+2+1= (6+8) + (2+1)

17=14+3

17=17

58

Propiedad Modulativa: El cero es el modulo de la suma o elemento neutro de la adición. Es decir el cero no altera el resultado al ser sumado.

Ejemplo:

5+0=0+5

8+6+0=0+8+6=14

Propiedad uniforme: Si ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número, la igualdad se conserva.

Ejemplo:

7=4+3

7+8 = (4+3)+8

15=15

1.2.3. MULTIPLACION O PRODUCTO EN NUMEROS NATURALES

La suma de sumados iguales se llama multiplicación.

Ejemplo:

2+2+2+2+2+2=12 es decir 6x2=12

6,2 = son los factores;

12 = es el producto

1.2.3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO

Propiedad Clausurativa: El producto de dos números naturales es siempre otro número natural.

Ejemplo:

59

7,5 N entonces 7x5 = 35 N

Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo:

7x3 = 3x7 (6) (8) = (8) (6)

21 =21 48 = 48

Propiedad Asociativa: el resultado de la comunicación no se altera si se agrupan los factores.

Ejemplo:

2x 3x 5= (2x3) x5 =2 x (3x5)

30 =6x5 2x15

30= 30 30

Propiedad Modulativa: El uno es el modulo del producto o elemento neutro de la multiplicación. Es decir al multiplicar por uno, cualquier número natural ese número no se altera.

Ejemplo:

3 x 1 = 1 x 3 = 3

800.000 x 1 =1 x 800.000 =800.000

1.2.4. DIVISION DE NÚMEROS NATURALES

La división es la operación inversa de la multiplicación. Dividir es hallar el número por el que se debe multiplicar al divisor para obtener el dividendo.El algoritmo de la división dice:

Dividendo: = Cociente x Divisor + ResiduoCuando el residuo es igual a cero, la división es exacta.

60

La división en los números naturales debe ser exacta,

Por ejemplo:

58÷2=29; b. 15042÷23 = 654

c. 1160589255 ÷147 = 7895165

1.2.4.1. PROPIEDADES DE LA DIVISION

Propiedad Distributiva: la división exacta es distributiva con respecto a la suma y a la resta, es decir:

(a+b)÷c=a÷c+b÷c

Por ejemplo:

(18 + 36 + 42) ÷ 6 = 18 ÷ 6 + 36 ÷ 6 + 42 ÷ 6 = 3 + 6 + 7 = 16

1.3. TEORÍA DE NÚMEROS NATURALES

1.3.1. MULTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL

Son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.

El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos. El número 0 es múltiplo de todos los números.

- Todos los números son múltiplos de 1.

- Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.

- En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es también múltiplo de 3.

- Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.

61

- Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3.

- En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9.

1.3.2. DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL

Son los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0.

Ejemplo:

Encontrar el conjunto de divisores de:

a. 10 b. 16

Solución:

a. Como 1 x 10 = 10 y 2 x 5 = 10, entonces D10 = {1,2,5,10}b. Como 1 x 16 = 16,2 x 8 = 16 y 4 x 4 = 16, entonces D16 = {1, 2, 4, 8,16}

1.3.3. LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:

a) Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.

Ejemplos: Números divisibles por 2: 36, 94, 521342,40,...

b. Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

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Ejemplos: Números divisibles por 3: 36, 2142,42,...

c. Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.


d. Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.


e. Criterio de divisibilidad por 11.

Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.

Ejemplos: Múltiplos de 11: 2343649, 9889,18161902,...

1.3.4. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS

Números primos: un número natural se denomina primo si tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Son números primos: 2,3,5,7,11,13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,.. Números compuestos: los números naturales que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Por ejemplo 4,6, 8, 9, 12,...

1.3.5. DESCOMPOSICION DE NÚMEROS DE FACTORES PRIMOS.

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Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos. Por ejemplo. 60 es igual a 2 x 2 x 3 x 5

CAPITULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero).

Z = […….,-4-3-2-1,0.1.2.3.4,…..]

Z = [Z –UOU +]

Gráficamente

Todo número entero, exceptuando el cero, tiene su opuesto. Este es simétrico a el con respecto al cero en la recta numérica.

Ejemplo: El opuesto de 8 es -8

El opuesto de -6 es 6

En la recta numérica los números aumentan en sentido de izquierda a derecha y disminuyen en sentido contrario. Esto es, cuando nos alejamos de cero hacia la derecha los números son mayores; cuando nos alejamos hacia la izquierda de cero los números son menores.

Ejemplo: 120> -400; 2 < 17; -11>-7

2.1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

2.1.1. ADICION DE NUMEROS ENTEROS

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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

Para sumar números enteros es necesario tener en cuenta las siguientes reglas y aplicar la ley de los signos para eliminar dos signos seguidos.

Para sumar números enteros de igual signo se suma como en aritmética y se conserva el signo que tienen.

Ejemplo:

(-12)+ (10)=-2

(18)+ (-30)=-12

(-7)+ (15)=8

2.1.1.1. PROPIEDADES DE SUMA DE ENTEROS

La adición de números enteros cumple las siguientes propiedades

Clausurativa. La adición de dos números enteros siempre da como resultado un número entero.

En general, si y b , entonces + b Por ejemplo:(-12) y (-18) ; (-12) + (-18) = (-30) y (-30) .

Asociativa. Al agrupar los sumando de diferentes maneras, siempre se obtiene el mismo resultado.

Si , b y c , entonces( + b) + c = + (b + c) = ( + c) + b

Por ejemplo:

[(-6) + (-12)] + 5 = (-18) + 5 = (-13)(-6) + [(-12) + 5] = (-6) + (-7) = (-13)Por lo tanto,[(-6) + (-12)] + 5 = (-6) + [(-12) + 5]

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Conmutativa. El orden en que se realiza la adición de números enteros no altera el resultado.

Es decir, Si y b , entonces, + b = b + Por ejemplo:18 + (-15) = 3 y (-15) + 18 = 3. Luego 18 + (-15) = (-15) + 1

Elemento neutro. Todo número entero adicionado con cero da como resultado da como resultado el mismo número entero. El 0 recibe el número de elemento neutro o modulo de adición.

Es decir; 0 tal que 0 + = + 0 = para todo

Ejemplo: (-24) + 0 = 0 + (-24) = (-24)

Inverso Aditivo u opuesto. Todo numero entero sumado con su opuesto da como resultado el modulo de la adición.

Es decir; para todo , existe (-) tal que + (-)= (-)+ = 0.

Por ejemplo:(-9) + 9 = 9 + (-9) =02.1.2. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo.

Regla de los signos+ por + +- por - ++ por - -- por + -

Ejemplo: 3 x 8 = 24

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El producto de dos números con el mismo signo es un número positivo. El producto de dos números con distinto signo es un número negativo.

5 x (-6) = (-30)

(-7) x 8 = (-56)

(-8) x (-9) = 72

2.1.2.1 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION EN NUMEROS ENTEROS

Interna. El resultado de multipl icar dos números

enteros es otro número entero. a · b

Ejemplo: 2 · (−5)

Asociativa. El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo: (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)], 6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

Conmutativa. El orden de los factores no varía el producto.a · b = b · a

Ejemplo: 2 · (−5) = (−5) · 2 = -10

Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multipl icación porque todo número multipl icado por él da el mismo número. a ·1 = a

Ejemplo (−5) · 1 = (−5)

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Distributiva . El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo:(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10-16 = -16

Sacar factor común. Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c)2.1.2.2. SIGNOS DE AGRUPACION

Sirven para agrupar cifras, números y signos dentro de ellos. Los signos de agrupación son:

a. Paréntesis ( ) b. Corchete [ ]

c. Llaves { } d. Vinculo ───

2.1.2.3 DESTRUCCION DE SIGNOS DE AGRUPACION

a. Cuando un signo de agrupación esta precedido de signo más (+), todas las cantidades contenidas dentro de él conserva su mismo signo.

Ejemplo:

(-8+6-2+1)=-8+6-2+1

b. Cuando un signo de agrupación esta precedido del signo menos (-), todas las cantidades dentro de él cambian de signo

Ejemplo: -(-8+6-2+1)=8-6+2-1

c. Cuando aparece más de un signo de agrupación unos conteniendo a otros para efectuar las operaciones se empieza a desarrollar o a destruir signos de agrupación de adentro hacia afuera. Para ello se tiene en cuenta las reglas anteriores.

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Ejemplo: -{-[(-1+ (3-4+5)-(-8-6+4)] }=

= { [-1+3-4+5+8+6-4] }=

=-{1-3+4-5-8-6+4}=

=-1-3-4+5+8+6-4=19-12=7

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Asociar y conmutar las siguientes cantidades

a. -7+13-23-8-9+20=

b. 119+441-300+900-541=

c. 310-45+240-725=

2. Aplicar la propiedad asociativa y la conmutativa de la multiplicación:

a. (-2) x 3 x (-10) x 8 x 1=

b. 40x (-1) x3x (-6) x (-5)=

3. Encontrar el inverso adictivo y multiplicativo de los siguientes números

a. -7 b.10 c. -9 d. 100 e. 44

4. Destruir los signos de agrupación

a. -{ -[- (-1+7-8+9 } +5 }

b. [6-(-3+4) (- 9+ 11+ 13)]

3. Destruir los signos de agrupación

a. -{-[-(-1 + 7 -8 +9) – 3] + 5}

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b. [6-(-3+4) + (-9+11+13)]

5. Aplicar la propiedad distributiva.

a. -4*[-8+6-2]=

b. (7-6-1)*5=

c. (-2-1+4)*(-3+5)=

d. [12-13+14]*[-4-3+5]

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

2.1.3 DIVISION EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.

Ejemplos:

(+12) ÷ (+3) = + 4(+12) ÷ (-3) = - 4(-12) ÷ (-3) = + 4

(-12) ÷ (+3) = -4

2.1.4 POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS

Regla de los signos

+ ÷ + +

- ÷ - ++ ÷ - -

- ÷ + -

70

La potenciación es la operación que permite escribir de forma simplificada un producto de varios factores iguales. Es decir; si y n N, entonces

2.1.4.1PROPIEDADES DE LA POTENCIACIONProducto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Por ejemplo: 4³ x 4 5 = (4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4 x 4) = 4 8 = 43+5 (Los exponentes se suman)

División de potencias de igual base. Cuando se trata de dividir potencias de igual base, los exponentes se restan. Por ejemplo,

4 5 ÷ 4³ = (4 x 4 x 4 x 4 x 4) ÷ (4 x 4 x 4) = 4² = 4 5 - ³

Potencia de un producto. Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) ³ observamos que (2x3) ³ = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2³ x 3³.

Para calcular el resultado podemos multiplicar 2x3 y elevar el producto al cubo: (2x3) ³ = 6³ = 216.O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 2³ = 8 y 3³ = 27 y multiplicar el resultado 8 x 27 = 216. Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.

Potencia de un cociente. De manera similar al caso de la potencia de un producto, se deduce que la potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor. En síntesis… elevamos el dividendo y el divisor a dicha potencia y dividimos. (6 ÷ 3) ² = 6² ÷ 3² = 4 Porque (6÷ 3) ² = 2² = 4.

Potencia de una potencia. Al elevar una potencia a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes

71

Fijate: (2²) ² = 2 ²x ² = 2 6 porque: 2² x 2² = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6

Tengamos en cuenta que... La potenciación ES DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA MULTIPLICACION Y A LA DIVISION.

Ejemplo: (6 ÷ 3) ² = 6² ÷ 3² = 4 Porque (6 ÷ 3) ² = 2² = 4 (3 x 2) ² = 3² x 2² = 9 x 4 = 36 Porque (3x2) ² = 6² = 36 Sin embargo, la potenciación NO ES DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA Y A LA RESTA. Observa los ejemplos: (6 + 3)²? 6² + 3² (El resultado de ambas operaciones no será el mismo) (10 – 6)²? 10² – 6² (el resultado de ambas operaciones no será el mismo)

2.1.5. RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Es la operación mediante la cual se busca un número que multiplicado por sí mismo 2, 3, 4 o más veces nos da el número propuesto. El signo de la radicación se llama radical.Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me como resultado el radicando.

Para calcular la raíz de un número entero, se deben tener en cuenta las siguientes reglas: Ley de los signos:

1) Si el índice es impar la raíz lleva el signo del radicando 2) Si el índice es par sólo existe la raíz de radicando positivo, la de radicando negativo no existe.

72

2.1.5.1 PROPIEDADES DE LA RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS

La radicación de números enteros cumple las mismas propiedades que la radicación de los números naturales.

a) es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

Ejemplos:

En la multiplicación En la división

b) No es

b. distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Ejemplos:

En la suma En la resta

a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.

Ejemplo:

73

b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.

Ejemplo:

3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.

Ejemplo:

2.1.5.2 EXTRACCION DE LA RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO

Supongamos que deseamos calcular la raíz cuadrada de 27182: a. Primero ordenamos los dígitos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.

2'71'82

Observa que, en este caso, el primer periodo solo tiene una cifra.

b. Ahora buscamos el número más grande que elevado al cuadrado no exceda al primer periodo.

74

c. El primer periodo es 2 por lo tanto el número que buscamos es 1. Este es el primer dígito de nuestra raíz y lo escribimos arriba. El cuadrado de 1 que es 1 lo escribimos debajo del 2 con signo negativo

Efectuamos la resta.

1----------2'71'82 -1 --1 < Resta

d. A continuación bajamos el siguiente periodo y lo encadenamos con la diferencia obtenida. El siguiente periodo es 71. Encadenando 1 con 71 obtenemos 171. Este es nuestro residuo.

1----------2'71'82 -1 --171 < Residuoe. El siguiente paso es encontrar el número más grande de tal forma que la expresión:

[(20 x Raíz) + Número] x Número no exceda al residuo. En esta expresión "Raíz" se refiere a la parte de la raíz que hemos calculado hasta ahora.

El número buscado es 6 y al evaluar la expresión obtenemos 156. Escribimos el 6 arriba y el 156 abajo con signo negativo. 16---------- 2'71'82 -1 -- 171 -156 <- [(20 x 1) + 6] x 6 = 156; 6 es el segundo dígito de la raíz.

75

Efectuamos la resta. 16----------2'71'82-1 -- 171 -156 ---- 15f. Para terminar, repetimos sucesivamente los pasos "d" a "f" con el último periodo.

164----------2'71'82 -1 --171-156 ----1582-1296 <- [(20 x 16) + 4] x 4 = 1296; 4 es el tercer dígito de la raíz.-----g. 286

Opcionalmente podemos agregar uno o varios periodos con ceros para aproximarnos más al valor de la raíz.

164.86----------2'71'82 -1 --171-156 ----1582-1296

76

----- 28600-26304 <- [(20 x 164) + 8] x 8 = 26304; 8 es el primer decimal de la raíz. ------ 229600-197796 <- [(20 x 1648) + 6] x 6 = 197796; 6 es el segundo decimal de la raíz.-------31804

La raíz cuadrada de 27182 resulta ser aproximadamente 164.86

77

UNIDAD 2EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS

FRACCIONARIOS Y NÚMEROS DECIMALES

CAPITULO 1. EL CONJUNTO DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

1.1. GENERALIDADES

Una fracción es una expresión de la forma a/b, en donde a, b son números naturales.

La letra a representa el numerador y la letra b representa el denominador.

a. Denominador: indica las partes en la que sea dividido la unidad

b. Numerador: indica las partes que hemos tomado de la unidad

En general, si a, b N y b≠ 0, entonces a ÷ b = a/b, recibe el nombre de fracción.

Los números fraccionarios se representan con la letra Q

Q = {….., -2, -3/2, -1, -1/2-1, 0,-1/2, 1,3/2, 2,…..}

Su representación grafica:

A todo numero racional le corresponde una fracción, y a toda fracción le corresponde un numero racional.

78

Q= {Q-} U {O} U {Q+}

El conjunto Q contiene al conjunto N y al conjunto Z

Ejemplo: Representar gráficamente el numero 3/4

1.1.1. CLASES DE FRACCIONES

Existen 5 clases de fracciones

Fracciones propias: son las fracciones menores que la unidad. En ellas el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 3/5 es una fracción propia.

Fracciones unidad: son las fracciones iguales a la unidad. En ellas el numerador es igual al denominador. Ejemplo: 5/5 es una fracción unidad.

Fracciones Impropias: son las fracciones mayores que la unidad. En ellas el numerador es mayor que el denominador pero o es múltiplo de él. Por ejemplo: 7/4, es una fracción impropia.

Fracciones enteras o aparentes: son fracciones que representan números naturales mayores que 1. En ellas el numerador es múltiplo del

79

3/4

denominador. Por ejemplo: 15/5 corresponde a 3 unidades cada una dividida en 5 partes iguales, es decir 15/5 = 3.

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes entre si cuando se puede obtener una a partir de la otra.

Ejemplo: 14/20=7/10=28/40

1.1.2. AMPLIFICACION DE FRACCIONES

Si se multiplican ambos miembros de la fracción por un mismo número se obtiene otra fracción equivalente a ella. Decimos que la fracción se ha amplificado.

Ejemplo: 1/4=1 x 2/4 x 2 =2/8

1.1.3. SIMPLIFICACION DE FRACIONES

Cuando una fracción se convierte en otra equivalente de términos menores se dice que se ha simplificado. Para ellos se divide ambos términos de la fracción entre un mismo número.

Ejemplo: 15/25 =15/25 +5/5= 3/5

1.1.4. NUMEROS MIXTOS

Son aquellos que están compuestos por un número entero y otra fracción.

Ejemplo: 2 1/3 7 1/5

Dada la fracción 7/3 al dividir 7 entre 3 obtendremos 7 3/2

Dos partes enteras un residuo igual a uno. Esta fracción se puede

escribir como un número mixto de la siguiente manera 2 1/3

1.2. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

1.2.1. SUMA DE NUMEROS FRACCIONARIOS

80

Para sumar fraccionarios es necesario tener en cuenta:

a. Ley de los signos para la división:- (+) +(+) =+ (+) +(-) = -

(- ) +(+) = - (-) +(-) = -

b. Una fracción se puede escribir aplicando la ley de los signos de la siguiente manera:-7/2 =7/-5 =-7/2c. Vamos a tomar en la fracción siempre el denominador positivo. Casos: para la suma de fracciones:

1. Suma de fracciones con igual denominador. Si a/b +c/b = a+ c/b

Para sumar fracciones con igual denominador se deja el mismo denominador y se suma o restan algebraicamente los numeradores.

Ejemplo: 7/5 +8/5 =7+8/5 =15/5 =3-4/3+1/3 =-4+1/3=3/3=1 -9-5/4 =-9+5-9/4 =14/4=7/4-1+3+5/2 -11/2+9/2 =1+3+5-11/2=-8-12/2=4/2=2

2. Suma de fracciones con distinto denominadores:

En este caso se multiplican en cruz y se suman los productos, como denominadores se coloca el producto de los denominadores. a/b + c/d =ad+ac/bd

Ejemplo: 5/3+1/4=20+3/12=23/12

-6/7+3/2=-12+21/14=9/14

-1/5-2/7=-7-10/35=17/35

Cuando son más de dos fracciones procedemos a multiplicar el numerador del primer número por los denominadores de las otras fracciones menos por el de la fracción. Como denominador común se coloca el producto de los denominadores.

81

a/b+ c/d+ e/f = adf+ cbf+ edb/bdf

Ejemplo: 2/5-1/4+3/2=16-10+60/40 =76-10/40 =66/40 =33 /40

1.2.1.1. PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Clausurativa : El resultado de sumar dos números

racionales es otro número racional .

a + b

Asociativa : El modo de agrupar los sumandos no varía

el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

Conmutativa : El orden de los sumandos no varía la

suma.

a + b = b + a

82

Elemento neutro : El 0 es el elemento neutro de la

suma porque todo número sumado con él da el mismo

número.

a + 0 = a

Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al

sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo

número.

83

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de

dos números racionales se define como la suma del

minuendo más el opuesto del sustraendo.

1.2.2. MULTIPLICACION DE NUMEROS FRACCIONARIOS

Definimos el producto de dos o más fracciones como:

a/b x c/d x e/f … = ace…/bdf…

Ejemplo: 10/9 x 5/3 =50/27 2/3x8/5 {-1/4}=16/60=4/15

1.2.2.1 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Clausurativa : El resultado de multiplicar dos números

racionales es otro número racional.

a · b

Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el

resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

84

Conmutativa : El orden de los factores no varía el

producto.

a · b = b · a

Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la

multipl icación porque todo número multipl icado por él da

el mismo número.

a ·1 = a

Elemento inverso: Un número es inverso de otro si al

multipl icarlos obtenemos como resultado el elemento

unidad.

85

Distributiva: El producto de un número por una suma

es igual a la suma de los productos de dicho número por

cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

Sacar factor común: Es el proceso inverso a la

propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos

transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Se multiplica el número del dividendo por el denominador del divisor y se coloca como denominador el producto del denominador del dividendo por el numerador del divisor, esto es: a/b + c/d =axd/bxc

Ejemplo: 7/4 /2/3 =7x3/4x2 =21/8

-5/9 /(3 3)11 =(-5) (11)/9x3 =-55/-27 =55/27

10/7 / (-11/14) =-140/77

86

Es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de b elevado a la n, es decir bn, se obtiene multiplicando la base b por si misma tantas veces como lo indica el exponente n, es decir:

Ejemplo: 24 = 2·2·2·2 = 16

87

http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

1.2.3. DIVISION EN NUMEROS FRACCIONARIOS

1.2.4. POTENCIACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

1.2.4.1. PROPIEDADES DE LAS POTENCIACIÓN DE FRACCIONARIOS

Multiplicación de potencias de igual base: es decir:

Ejemplo:

Potencia de un producto, es decir:

Ejemplo:

División de potencias de igual base:, es decir:

Ejemplo:

88

Potencia de una potencia, es decir

Ejemplo:

1.2.5. RADICACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Se dice que c/d es la raíz n – ésima de a/b si y solo si (c/d)n = a/b

donde a, b, c, d , b, d≠ 0 y n N

Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me dé por resultado el radicando.

Para sacar la raíz de un número racional se saca la raíz del numerador y la raíz del denominador por separado

Ejemplo:

89

a/b = c/d si y solo si (c/d)n = a/b

http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

CAPITULO 2. NUMEROS DECIMALES2.1. GENERALIDADES

2.1.1 CONCEPTO DE NUMERO RACIONAL DECIMAL. Toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10 recibe el nombre de fracción decimal Por ejemplo: 3/10, 7/100, 9/1000.

2.1.2. NOTACIÓN DECIMAL PARA NÚMEROS RACIONALES: todo numero decimal estará compuesto por una parte entera que es la que se encuentra antes de la coma y por una parte decimal compuesta por las cifras que se escriben después de la coma.

Ejemplo:

Para encontrar la expresión decimal, se divide el número por el denominador de dicho racional. La respuesta siempre será un numero decimal exacto.

Por ejemplo:

1/4 =0,25; ya que 10÷4= 0,025, 3/5 =0,6

Si queremos expresar un decimal en racional, se escribe como numerador el número decimal sin cómo y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Si es posible la respuesta se puede simplificar para obtener el racional representante.

Por ejemplo:

2,18=218/100=109/50

90

Parte entera

0,098

Parte Decimal entera

Parte entera

3,5

Parte Decimal entera


1. Escribir cada expresión como un numero decimal

a. 1/2

b. 13/4

c. 15/6

d. 2/7

e. 2/5

2. Expresar cada decimal como racional.

a. 3,356

b. 36,2

c. 0,001

d. 0,008

2.2. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.

2.2.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES.

Para sumar o restar números decimales se colocan en columna de manera que la coma quede siempre alineada y se resuelve la operación como si fueran números enteros. A la respuesta se le coloca la coma en la línea de las comas.

Por ejemplo: sumar

2,5 + 3,017 +5+3,9+0,85

Procedemos así:

2,5

3,017

91

5

3,9

0,85

15,267

En la resta de números decimales, el minuendo debe tener la misma de cifras decimales que el sustraendo, en caso que esto no suceda, se agregan los ceros que sean necesarios y se realiza la operación como si los números fueran enteros.

Por ejemplo: restar

9 – 7,852

Se procede así:

9,000

-7,852

-1,148

92


1. Sumar

a. 15,82 + 1,7 + 0,9 + 6

b. 3489,6 + 1558,3 + 3,1

c. 0,5 + 0,97 + 0,785

d. 32,5 + 197,32 + 1

2. Hallar la diferencia.

a. 798,32 – 548,717

b. 3,45 – 2,7

c. 2889,07 – 178,458

d. 5 – 3,9

2.2.2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

Para obtener el producto de números decimales, se multiplican los factores, como si estos fueran números enteros en el resultado las cifras decimales son tantas como la suma de las cifras decimales de los factores. Por ejemplo: multiplicar los factores (-2,17) x 0,5, entonces se

resuelve así:

Luego,

2 cifras decimales 1 cifra decimal 3 cifras decimales.

-2,17

X 5

- 1,085

93

- 2,17 X 0,5 = 1,085

2.2.2.1MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMAL POR POTENCIA DE 10.Para multiplicar un numero decimal por potencia de 10, se corre la coma de izquierda a derecha, tantas cifras como ceros tenga la potencia de 10.

Ejemplo:

3,273 x 100 = 327,3

- 9,2 x 10 = 92

78,495 x 1000 = 78495

2.2.3. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

Para dividir dos números decimales, se debe igualar la cantidad de cifras decimales del dividendo y del divisor, agregando ceros si es necesario. A continuación se eliminan las comas y se realiza la división como una norma de números enteros.

Ejemplo: dividir

Procedemos:

Luego 2,808 ÷ 1,2 = 2,34

2.2.31. DIVISIÓN DE UN NUMERO DECIMAL ENTRE POTENCIAS DE 10.

Para dividir un numero decimal entre una potencia de 10, se corre la coma de derecha a izquierda tantas cifras como ceros tenga la potencia de diez.

Por ejemplo: dividir – 82,95 ÷ 10

Entonces se hace – 82,95 = 8, 295.

94

Es importante recordar que todo número entero se representa en la forma decimal colocando la coma al final.

Ejemplos: 2 = 2,0; 71 = 71,0

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resolver las operaciones

a. 2,491 x 10/0,235 x 100

b. 1,8 x 2,3 – 4,8 ÷ (-1,5)

c. 5,29 x 10 – 416,5 ÷10/3,2 – 1,7

Solución:

a. Se resuelven las operaciones del numerador y del denominador y se dividen las respectivas respuestas.

2,491 x 10/0,235 x 100 = 29,41/23,5 = 24,91÷23,5 = 1,06

b. Se resuelven primero multiplicaciones y divisiones y por último la resta.

1,8 x 2,3 – 4,8 ÷ 10 (-1,5) = 4,14 + 3,2 = 7,34

c. 5,29 x 10 – 416,5 ÷ 10 = 52,9 – 41,65 =11,25÷1,5 = 7,5.

95

UNIDAD 3SISTEMA METRICO DECIMAL Y APLIACACIONES

GEOMETRICAS

CAPITULO 1. SISTEMA METRICO DECIMAL

1.6. GENERALIDADES

Magnitud: es la característica común a todos los objetos, que pueden ser medida. Por ejemplo, la longitud, el peso, la velocidad entre otras. Cantidad: es la característica de un objeto que puede ser expresada mediante un número. Por ejemplo2 litros, 50 kilogramos, 60km/h son cantidades. La base 10.Recordemos que una potencia es la multiplicación repetida de un mismo número o factor, en donde el número que se multiplica se llama base y las veces que se multiplica se llama exponente, por ejemplo 2x2x2 = 23

= 8.Entonces la base 10 será:100= 1 101=10 102=10x10=100 103=10x10x10=1000104=10x10x10x10=10000 105=10x10x10x10x10=100000106=10x10x10x10x10x10=1000000. Así sucesivamente-Para exponente negativo, tendremos:10-1=1/10=0,110-2=1/102=1/100=0,01;10-3=1/103=1/1000=0,00110-4=1/104=1/100000=0,0001,10-5=1/105=1/100000=0,0000110-6=1/106=1/1000000=0,000001. Así sucesivamente-

1.7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

Con objeto de estandarizar las medidas, la Asamblea Nacional de Francia hacia 1790, solicito a la academia Francesa de ciencias

96

establecer normas fijas para todas las medidas y pesos. Lo que dio como resultado el sistema métrico decimal. El sistema métrico decimal se basa en la creación de:a) Una unidad (dependiendo del tipo de medida que estén tratando). Ejemplo: el metro, si la medida es de longitud, el gramo si la medida es de peso, el litro si la medida es de capacidad.b) Los múltiplos: que son potencias positivas de 10 y que se denotan por prefijo griego (kilo, hecto, deca, etc).c) Los submúltiplos: que son potencias negativas de 10 y se denotan por prefijos latinos (deci, centri, etc.)d) Cada unidad se obtiene con 10, 100 y 1000 unidades de orden inmediatamente inferior dependiendo del sistema de medidas que se esté tratando.

1.7.1. NOTACIÓN DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1.7.1.1. MÚLTIPLOS

Prefijo Símbolo Factor de Multiplicación

Deca D 101=10

Hecto H 102=100

Kilo K 103=1000

Mega M 106=1000000

Giga G 109=1000000000

Tera T 1012=1000000000000

Peta P 1015=1000000000000000

Exa E 1018=1000000000000000000

97

1.7.1.2. SUBMÚLTIPLOS

Prefijo Símbolo Factor de Multiplicación

Deci D 10-1=0,1

Centri C 10-2=0,01

Mili M 10-3=0,001

Micro U 10-6=0,000001

Nano N 10-9=0,000000001

Pico P 10-12=0,000000000001

Femto F 10-15=0,000000000000001

Atto A 10-18=0,000000000000000001

Las unidades muy grandes o demasiado pequeñas se usan en investigaciones científicas, por tanto son de poco uso ordinario.

1.7.1.3. ESCALAS DE LAS DIFERENTES MEDIDAS DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

Medidas Múltiplos Unidad Submúltiplos Exponente

Longitud Km Hm Dm M dm cm mm 1

Superficie Km2 Hm2 Dm2 m2 dm2 cm2 mm2 2

Volumen Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3 3

Peso Kg Hg Dg G dg cg mg I

Capacidad Kl Hl Dl J dl cl ml 1

Km, Hm, Dm= se leerá kilometro, hectómetro, decámetro.Km2 Hm2 Dm2 = se leerá kilometro cuadrado, hectómetro cuadrado y decámetro cuadrado.

98

1.8. CONCEPTOS DE LONGITUD, ÁREA, PESO , VOLUMEN Y CAPACIDAD.

1.8.1. UNIDAD DE LONGITUDEs el número que determina cuantas veces cabe un segmento patrón (unidad) en otro segmento dado.El patrón de las unidades de longitud es el METRO

1.8.2.UNIDAD DE SUPERFICIE PLANAEs la parte de un plano que queda limitada por una línea cerrada. La medida de la superficie se llama ÁREA.El patrón de las unidades de superficie se llama METRO CUADRADO (m2), es un cuadrado que tiene un metro de lado.

1.8.3. UNIDAD DE VOLUMENEs el número que indica la porción del espacio, que ocupa el cuerpo, con

respecto a una unidad de medida.El patrón de las unidades de volumen es el METRO CUBICO (m3), que corresponde a un cubo cuyas aristas miden 1 metro.

99

1.8.4.UNIDAD DE PESO Es la medida de la resultante de la acción que ejerce la gravedad sobre el cuerpo.El patrón de las unidades de peso es el GRAMO, (g)

1.8.5.UNIDAD DE CAPACIDADEs el equivalente al volumen que tiene un cuerpo que lo puede llenar completamente.

El patrón de las unidades de capacidades el LITRO (l ),

1.4. TRANSFORMACIÓN O CONVERSIÓN DE UNIDADES DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

Para transformar las medidas del sistema métrico decimal, utilicemos la siguiente norma práctica consultando, consultando la tabla de las escalas de las diferentes de las diferentes medidas que constituyen el sistema métrico decimal.a) Observar el exponente que corresponde a la medida que vamos a transformar (el exponente nos indica la variación para pasar de una unidad a la inmediata siguiente).

100

b) Si vamos a convertir una unidad de orden inferior a otra de orden superior ascendemos o desplazamos la coma a la izquierda del numero (dividir por 10, 100, 1000, 10000…) 1, 2, 3 o 4 ceros por cada unidad (o lugar) que debemos ascender de acuerdo con la tabla de múltiplos y submúltiplos.c) Si vamos a transformar una unidad de orden superior a una unidad de orden inferior descendemos o desplazamos la coma 1, 2, 3 o 4 lugares a la derecha del numero (multiplicar por 10, 100,1000 o 10000) por cada unidad (o lugar) que necesitamos descender según la escala de los múltiplos y submúltiplos.

Ejemplo 1. Convertir 25m a Km. Solución: en este caso dividimos por 1.000 la cantidad dada:

25m=25÷1000 km=0,025

Ejemplo 2. Transformar 103Hm a cm.Solución: multiplicamos la cantidad dada por 10.000103Hm=103x10.000cm = 1´020.000 cm

Ejemplo 3. Transformar 7000mg a g.Solución: dividimos la cantidad por 1000.

7000mg=7000÷1000g = 7g

Ejemplo 4. Convertir 0,0082kg a dg.Solución; multiplicamos la cantidad dada por 10.000.0,0082=0,0082x10.000dg=820dg.

Ejemplo 5. Transformar 0,28 Dl a dl.Solución: dividimos la cantidad dada por 100.

0,28Dl=0,28÷100dl=0,0028dl.

Ejemplo 6. Convertir 0,9kl a l.Solución; multiplicamos la cantidad dada por 1.0000,9kl=0,9x1000l=900l

101

Ejemplo 7. Transformar 1250dm2 a Hm2

Solución: como el exponente de la unidad es 2, entonces dividimos por 1.000.000.

1250dm2=12501÷.000.000Hm2=0,001250 Hm2

Ejemplo 8. Convertir 3m2 a cm2

Solución: multiplicamos la cantidad dada por 10.0003m2=3x10000 cm2 =30000 cm2

Ejemplo 9. Transformar 857.000.000mm3 en cm3.Solución: estas unidades tienen como exponente 3, entonces dividimos por 1.000, 1.000.000, 1.000.000.000…

857.000.000 mm3=857.000.000m3÷1.000.000.000=0,0857m3

Ejemplo 10. Convertir 6Hm3 a m3.Solución: multiplicamos la cantidad por 1.000.0006Hm3 = 6x1.000.000 = 6.000.000m3


Efectuar las transformaciones indicadas. (La flecha indica hacia dónde vamos)

1. 0,0087Km Dm2. 2. 70.000mm m3. 9g Hg4. 0,005mg g5. 47.000 l Kl6. 12cl Dl7. 2Hm2 m2

8. 1.250.000cm2 Km2

9. 0,0007Dm3 dm3

10. 67cm3 m3

102

1.5. OTRAS MEDIDAS DE USO FRECUENTE

Inglesas

Medida Símbolo Equivalencia

Línea I 0,21 cm

Pulgada in 2,54cm

Pie ft 30,48cm

Yarda yd 91,44 cm

Milla terrestre mit 1600 m

Milla náutica min 1.856 m

Castilla


Vara v 80 cm

Cuadra cd 80 m

Legua terrestre lgt 5km

103

Medidas de Peso


1 libra lb 0,5 kg

Arroba @ 12,5kg

Carga c 125 kg

Medida de Superficie

Medidas de Tiempo

Nombre Símbolo Equivalencia

Hectárea Ha 1Hm2

Área A 12=100m2=1Dm2

Centiárea 1ca 1ca=1m2

Medida Equivalencia

1 segundo 1 segundo

1 minuto 60 segundos

1 hora 60 minutos

1 día 24 horas

1 semana 7 días

1 mes 30 días

1 año 12 meses

1 siglo 100 años

1 milenio 1000 años

104

1.6. UNIDADES AGRARIAS DE USO FRECUENTE EN COLOMBIA

Estas unidades se utilizan para medir terrenos rurales y urbanos.

Nombre Símbolo Equivalencia

Múltiplo Hectárea Ha 1Hm2

Unidad básica Área a 12=100m2=1Dm2

Submúltiplo Centiárea 1ca 1ca=1m2

Ejemplo 1. Transformar a metros a) 500 ydb) 1.5 pulgadasc) 7 ftSolución:a) 500 yd=500x91,44cm045720cm=457,2cmb) 1,5pul=1,5x2,54cm=3,81cm=0,0381mc) 3ft=3x30,48cm=91,44cm=0,9144

Ejemplo 2. Si una lancha en Tumaco viaja a 80km/h y en Cartagena otra lancha viaja a 65 millas por hora, ¿Cuál va a mayor velocidad?

Solución: 65 millas=65x1600m=104000m=104km/h, por tanto la lancha de Cartagena tiene mayor velocidad.

Ejemplo 3. Expresara) En km2 1324 Hab) En @ 12 cac) En Ha 3,117km2

d) En dm2 53a

106

Solución:a) 1324Ha=1324Hm2=1324÷100=13,24Km2

b) 12ca=12÷100=0,012ac) 3,117Km2=3,117x100=311,7Hm2=311,7Had) 53a=53Dm2=53x10000=530000dm2

Ejemplo 4. Expresar en Kilogramosa) 2cb) 5@c) 700 lbSolución:1 día=24h=24x3600s=86400s.

Medida EquivalenciasCapacida

d 1Kl 1Hl 1Dl 1l 1dl 1cl 1ml

Volumen 1m3 100dm3 10dm3 1dm3 100cm3 10cm3 1cm3

Peso 1000kg 100kg 10kg 1kg 100g 10g 1g1.7. RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y PESO.

Ejemplo 1. Expresar:a) 5l en m3

b) 500cm3 en Lc) 1000dm3 en LSolución:a) 5 l=5dm3=5÷1000=0,005m3

b) 500cm3=500ml=500÷1000=0,5Lc) 1000dm3=1000L

Ejemplo 2. Realizar las siguientes transformaciones.a) 5m3 a Kgb) 125dm3 a g

107

c) 723Hg a m3

Solución:a) 5m3=5x1000Kg=5000Kgb) 125dm3=125x1000=125000cm3=125000gc) 723Hg=723x100=72300g=72300cm3

1.8. ETNOMEDIDAS;MEDIDAS DE USO FRECUENTE EN LA COSTA PACIFICA NARIÑENSE

En la costa de Nariño, tradicionalmente se han usado algunas medidas ancestrales para medir y comercializar algunos productos y cosas. Dentro de estas medidas tenemos:1.8.1. LA BRAZA: es utilizada con frecuencia por los pescadores artesanales. Una braza equivale a 1,6718m o 2 varas.

108

1.8.2. LA CUARTA: distancia que hay entre el dedo pulgar y el dedo meñique. Es utilizada para medir la distancia entre los ojos de las redes de pesca. Equivale a 21cm aproximadamente.

1.8.3. EL JEME: distancia que hay entre el dedo pulgar y el dedo índice. Se utiliza para medir las plomadas de las redes de trasmayo, atarrayas y chinchorros. Equivale aproximadamente a 18cm.

1.8.4. LA CONCHA: mitad de un coco o calabazo mediano o grande que se utiliza para vender naidí, chautiza o algunos granos. Equivale a 0,5 kilogramos aproximadamente.

109

1.8.5. DOCENA: 12 unidades de frutas. Con esta unidad se comercializa el coco, guayaba, maracuyá, tomate y otros.

1.8.6. MILLAR: mil unidades. Sirve para comercializar, ladrillos, pescado, plomos para redes de pesca etc.

110

1.8.7. CIENTO: cien unidades. Con ella se venden naranjas, limones, plátanos, piángua y demás.

111

1.8.8. SARTA: colg ajo de pescados sostenidos por una cuerda o bejuco de piquigua. Una sarta se hace de acuerdo al pescado y su tamaño y cuyos precios dependen de esto.

1.8.9. CANASTO: elemento elaborado de la

112

rampira seca y tejida a mano que se utiliza para empacar y vender cangrejos. Un canasto tiene entre 5 y 10 cangrejos azules.

1.8.10. EL PUÑAO: es la cantidad de cosas que se pueden agarrar al cerrarse la mano. Por ejemplo un puñao de ajis, un puñao de arroz o maíz. Un puñao equivale a 200 gramos aproximadamente.

1.8.11. YUNTA: dos o más racimos de plátano, banano o chontaduro.

113

1.8.12.EL ATAO: nombre con se vende la cebolla larga, equivalente a 1.5 kg aproximadamente.

1.8.13. LA CAJA: medida con la cual se comercializan algunas frutas y hortalizas, equivalente a 12.5kg la caja pequeña y 30 kg la caja grande.

1.8.14. EL GALÓN: medida de capacidad, equivalente a 4 litros.

114

1.8.15. LA POMA: se usa para guardar gasolina y otros líquidos, equivalente a 20 galones la grande y 18 galones la pequeña.

1.8.16. EL QUINTAL: medida de peso utilizada para pesar granos, equivalente a 100kg o 4 arrobas.

1.8.17. EL GRANO: medida de peso utilizada para comprar y vender oro, equivale a 8 gramos.

1.8.18. EL PEDAZO: porción de algunas frutas tropicales tales como; sandia, papaya y piña. Equivale a 0,5 kilogramos. 1.8.19. LA LATA: medida que se usa para vender la papa, zanahoria y remolacha. Tiene un peso de 3 kilogramos.

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http://saborgourmet.com/wp-content/uploads/maiz001.jpg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

1.8.20. LA ARROBA: unidad de medida que se utiliza para vender la hoja de coca, arroz, maíz, pescado salado y otros artículos.

116

CAPITULO 2. APLICACIONES DEL SISTEMA METRICO DECIMAL A ALGUNAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMETRICOS

2.1. PERÍMETROS Y ÁREAS DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS.

Perímetro: el perímetro de un polígono es la medida de la longitud del contorno del polígono. Para hallar el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados.Área: la superficie es una magnitud que indica que tanta área tiene una figura u objeto. Medir una superficie es hallar su área.

2.1.1. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CUADRADO: un cuadrado es la figura geométrica que consta de 4 lados iguales.

l l=lado

lEl perímetro del cuadrado es cuatro veces el lado, es decir:P=l+1+1+1=4l

El área del cuadrado es igual al lado ala cuadrado, es decir:A=lxl=l2

2.1.2. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN RECTÁNGULO: un rectángulo es la figura geométrica cuyo lados paralelo son iguales.

a: Altura

117

b: Base

El perímetro del rectángulo es: p= 2ª + 2bEl área del rectángulo es igual a la base por la altura, matemáticamente:A=base x Altura = b x a.

2.1.3. PERÍMETRO Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA: una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos equidistante de un punto llamado centro.

O: Centror: Radio

El perímetro o longitud de una circunferencia es igual al producto de dos

radios por el número : L = 2r; = 3,1416…

El área de la circunferencia es igual al radio al cuadrado por el numero

A=r2

2.1.4. PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIANGULO: el triangulo es la figura geométrica que tiene 3 lados.

B a,b,c = lados

h = Altura

c a A,B,C = Vértices

A b=base C

El perímetro es la suma de los lados: P= a + b+ cEl área del triangulo es l mitad del producto de la base por la altura: A = b x h/2

118

h

r

2.1.5. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN TRAPECIO: un trapecio es un cuadrilátero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados los cuales se llaman base mayor y base menor.

B = Base mayor

b = base menor

h = altura

El perímetro es P = B + b + 2 a

El área del trapecio equivale a la mitad del producto de la suma de las bases por la altura.

A = (B + b) x h/2

119


Ejercicio 1. Un terreno de forma cuadrada tiene un lado de 1 Hm. ¿Cuantos metros de alambre de púa se necesitan para cercarlos? ¿Qué área está cercada en él?

Solución: el perímetro del terreno es:

P=4l =4 (1Hm)

P = 4 Hm 1 Hm

Entonces para cercar el terreno se necesitan: 4 Hm = 4 x 100 m = 400 metros de alambre de púa. El área del terreno es:

A = l2 = (1 Hm)2 = 1 Hm2

A = 1 Ha.

Ejercicio 2. Mi tío facundo necesita enchapar la sala de su casa de forma rectangular de 5 x 6 metros con baldosas de 25 x 25 centímetros. ¿Cuántas baldosas necesitará? Solución: Área de la baldosa: A = 625 cm2

5m

6m 25cm

Encontremos el área de la sala:

A = 5m x 6m = 30m2 = 30 x 10000 cm2 = 300000 cm2

El número de baldosas serán:

300000 cm2 ÷ 625 cm2 = 480 baldosas.

120

Sala Baldosa

Ejercicio 3. Joaquín desea construir una pista de baile de forma circular y necesita saber que longitud tiene y cuantos metros de enchape debe comprar, si la longitud del diámetro es de 8 metros.

d=8mr =d/2 =8/2m=4m

Solución: el perímetro de la pista seráL = p = 2r = 2 x (3,1416) x 4m

L = P = 25,13m es la longitud de la pista.

El área de la pista se calcula: A = r2 = (3,1416) x (4m) 2

A = 50,26m2 de enchape. Se necesitan 50,26 m2 de enchape.

Ejercicio 4. El señor Preciado construye su casa y el techo tiene forma triangular. Si cada lámina de zinc mide 9m2, con cuantas tejas se cubre el techo de la figura.

h= 7m

b = 18m

18 m

Solución: debemos hallar el valor del área del techo y luego dividir para encontrar el numero de laminas de zinc.

A = b x h/2 = (18m) x (7m)/2 =63m2

Entonces 63 m2 ÷ 7 m2 = 9 laminas de zinc.

2.2. ÁREAS DE ALGUNOS CUERPOS SOLIDOS

El área de un sólido corresponde al área de todas las caras que lo componen. Para hallar el área de un cuerpo regular se calcula el área de cada una de sus caras y se multiplica por l cantidad de caras.

121

d=8m

7m

2.2.1. ÁREA DE UNA PIRÁMIDE.

El área de una pirámide corresponde a la suma de las areas de su base y sus caras laterales.

Ejemplo: hallar el área de una pirámide cuya base cuadrada tiene un lado de 3cm y cuya altura es de 6,5cm.

Solución: encontramos el área de la base, es decir el área del cuadrado de 3cm de lado.

A1 = 3cm x 3cm = 9cm2

Luego calculamos el área de un triangulo cuya altura es 6,5 y su base 3cm.

A2 = b x h/2 = 3cm x 6,5 cm/2 = 9,75c m2

Como la pirámide tiene cuatro caras, entonces:

4. A2 = 4. (9,75cm2) = 39cm2

El área total será:At = A1 + 4 A2 = 9cm2 + 39cm2

At = 48 cm2

122

2.2.2. ÁREA DEL CILINDRO

El procedimiento para encontrar el área de un cilindro es el siguiente:

1. Se halla el área de las dos tapas o caras circulares mediante la expresión 2r2

2. Se halla el área del rectángulo cuyas dimensiones son: la altura (h) del cilindro y la longitud de la circunferencia (2r).

3. S suman las áreas anteriores.

Ejemplo: hallar el área del cilindro de la figura

Solución:

El área de las dos caras circulares es:A1= 2r2 = 2 x (3,14) x (2,7cm)2

A1 = 45,78cm2

El área del rectángulo se obtiene mediante la expresión:A2 = 2rh = 2 x (3, 14) x (2,7cm) x 8,3cm

A2 = 140, 73 cm2

El área total del cilindro es:Ac = A1 + A2 = 45,78cm2 + 140,73cm2

Ac = 186,51cm2

123

h

2r

r=2,7cm

h=8,3cm

2.3.VOLUMEN DE UN SOLIDO

El volumen de un sólido puede referirse tanto a la medida del espacio contenido en el sólido como a la medida del espacio ocupado por el solido

2.3.1. VOLUMEN DE UN PRISMA: para hallar el volumen de un prisma se multiplica el área de la base por la altura.

V=a x b x h

Cuando el prisma tiene todas las caras iguales se llama cubo y su volumen se encuentra con la formula.

V = l x l x l = l 3

Ejemplos: cuantos litros de agua se pueden guardar en un algibe cuyas dimensiones son 4 x 3 x 5 metros.

Solución: la figura muestra la forma y las dimensiones del tanque. Hallamos el volumen

V = 4 x 5 x 3m3 = 60m3

V = 60m3

Como 1m3 = 1000 l, entonces 60m3= 60 x 1000 l = 60000

Litros de agua caben en el tanque.

124

2.3.2. VOLUMEN DE LA ESFERA: el volumen de la esfera de puede calcular con la formula:

Ejemplo: cuantas libras de gas caben en un balón esférico de 20cm de radio.

Solución: el volumen de de la esfera es:

V = 4/3 x (3,14) x (20cm)3 = 33493,3cm3

Como 33493,3cm3 = 33493,3 ÷1000000dm3

= 0,0334933dm3 = 0,03349L =0,066986 l b

En el balón caben 0,066986 libras de gas.

2.3.3. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE: el volumen de una pirámide es igual a 1/3 del volumen del prisma: la formula es:

2.3.4. VOLUMEN DE UN CILINDRO: el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por l altura. Como la base de un cilindro es un circulo de radio, se obtiene la expresión V= 2r2.h

2.3.5. VOLUMEN DEL CONO: el volumen de un cono corresponde a la tercera parte del volumen del cilindro de igual base y altura, se obtiene la expresión:

Ejemplo 1. Hallar el volumen de la pirámide cuadrada de la figura:

Solución: el área de la base es:

A3 = 4cm x 4cm = 16cm2

El volumen será: V = 1/3 x 16cm2 x 6,8cm

125

4cm 4cm

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/volumen_Vol11.gif&imgrefurl=http://sechuratours.blogspot.com/&usg=__Tzm7caZprzEAQZemR23dfV7Z9YE=&h=80&w=159&sz=2&hl=es&start=13&um=1&tbnid=EEbB9yk_tKJNLM:&tbnh=49&tbnw=97&prev=/images%3Fq%3Dvolumen%2Bde%2Bun%2Bcono%26gbv%3D2%26hl%3Des%26um%3D1%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

V= 36,26cm3

Ejemplo 2. ¿Cuántos galones de gasolina caben en un tanque de cilindro cuyo radio de la tapa es de 0,5m y de altura 1,3m?

Solución: encontremos el volumen del cilindro:

V= 2r2.h = (3,14) x (0,5m)2 x (1.3m)

V=1.0205m3

La capacidad del tanque será: V=1,0205 x 1000l = 1020,4l; como un galón equivale a 4 litros, entonces: 1020,5 litros ÷ 4 = 255,125 galones.

Ejemplo 3. ¿Qué cantidad de crema de leche cabe en un cono como el de la figura?

Solución: el volumen del cono es:

V= 1/3r2.h = (3, 14) x (2cm) 2 x 8cm ÷ 3

V= 66.98 cm3

Como 1cm3 = 1g, entonces 66.98cm3 =66,98g, es decir que caben 66.98 gramos.

126

1.3m

0,5m

2cm

8cm

UNIDAD 4.PROPORCIONALIDAD Y APLICACIONES

CAPITULO 1. RAZONES Y PROPORCIONES

En la vida diaria se hacen comparaciones con palabras: tan alto, con, mayor que, más bajo que, etc.

Una de las formas de comparar números en matemáticas es a través de las razones y las proporciones.

1.1. RAZÓN

La razón entre dos cantidades a y b es el cociente iniciado de dichas cantidades. Se simboliza a/b o a: b y se lee a es b.

“a” se llama antecedente de la razón, “b” se llama consecuente de la razón.

Ejemplos:

1. Escribir cada expresión como una razóna) 40 es 24b) 3/2 es ¾c) 2/5 es 0,05Solución:

a) 40/24b) 2/3÷3/4c) 2/5/0,05

Observamos que la primera cantidad es el antecedente y la segunda cantidad es el consecuente.

2. Expresar mediante una razón las situaciones dadas a continuación.a) En la familia Castillo Angulo hay tres hombres por 6 mujeres.b) En Tumaco, 12 de 50 personas mueren por enfermedades infecciosas.

127

c) Una receta de cocina dice: 4 huevos por cada 500 gramos de mantequilla.Solución:

a) 3/6b) 12/50c) 4/500

1.1.1. SERIE DE RAZONES IGUALES.

Se denomina serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones en símbolos

a/b = c/d=e/f…

Por ejemplo: 2/3=8/12=40/60.

1.1.1.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UNA SERIE DE RAZONES IGUALES.

En toda serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es equivalente a cualquiera de las razones de la serie, es decir:

a/b=c/d=e/f=a+c+e/b+d+f=a/b=c/d=e/f

Por ejemplo:

½=3/6=5/10=8/16, entonces 1+3+5+8/2+6+10+16=17/34=1/2

Ejercicio: hallar los términos desconocidos en: m/2=n/6 si m+n=12.

Solución:

Aplicamos la propiedad fundamental de un conjunto de razones iguales y luego se despeja el valor desconocido, utilizando la propiedad uniforme de las igualdades.

m/2 = n/2 entonces m+n/2+6=m/2; 12/8 = m/2, luegom=12/8 x 2=24/8=3 entonces m=3

128

Ahora m+n/2+6 = n/6 entonces 12/8 = n/6 luego n= 12/8 x 6 = 72/8 =9 por tanto n=9

Ejercicios propuestos:

1. Escribir cada expresión como una razón. Luego identificar el antecedente y el consecuente.

a. Bartolo recorre un camino de 2 kilómetros en media hora.

b. Hay tres hombre por cada 24 mujeres

c. Una canoa a motor recorre una distancia ce 100 km y un carro recorre 140 km.

d. Un recipiente de 1dm3 contiene un litro de agua.

2. Escribir dos razones equivalentes a cada una de las siguientes razones

a. 2/3

b. 5/4

c. 7/2

d. 8/9

3. Encontrar los términos desconocidos en la serie de razones

x/3 = y/5 si x + y = 10

1.2. PROPORCIÓN: una proporción es la igualdad de dos razones.

Una proporción entre las razones a/b y c/d con b ≠ o y d ≠ 0 se escribe a/b = c/d

O a: b=c: d y se lee a es b como c es d; los términos a y d reciben el nombre de extremos y los términos b yc reciben el nombre de medios.

129

Por ejemplo: 7/9 = 21/ 27 donde 7 y 27 son los extremos y 9 y 21 son los medios.

1.2.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES.

En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir. Si a/b = c/d entonces a.d = b.c por ejemplo en la proporción 2/7 = 6/21

Se cumple que 2 x 21 = 7 x 6 es decir 42 = 42

1.2.2. CALCULO DE UN ELEMENTO DE UNA PROPORCIÓN

Para calcular los términos desconocidos de una proporción se despeja adecuadamente de la expresión dada.

Ejemplo: hallar el término desconocido en cada proporción

a. x/3 = 4/6

b. 5/m = 10/6

c. 3/7 = b/21

d. 11/2 = 33/y

Solución:

En cada caso aplicamos la propiedad fundamental de la proporción.

a. x/3 = 4/6 entonces 6. X = 4. 3, luego x =12 ÷ 6 = 12/6 = 2 por tanto X = 2

b. 5/m = 10/6 entonces 5.6 = m.10, luego m= 30/10 = 30÷10 = 3 entonces m = 3

c. 3/7 = b/21 entonces 3 x 21 = 7 x b luego b=63/7 = 9 b = 9

d. 11/2 = 33/y entonces y x 11 = 2 X 33, luego y = 66 - 6/11

Por tanto y = 6

130

CAPITULO 2.PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA.

2.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Son aquellas que cuando aumenta la una, aumenta la otra o cuando disminuye la una disminuye la otra.

Las magnitudes, compras y dinero, son directamente proporcionales porque a mayor dinero mayor cantidad de compras, o a menor cantidad de dinero, menor cantidad de compras.

Matemáticamente si a x Y y son directamente proporcionales, entonces la razón ente ellas es constante; es decir x/y = k (constante de proporcionalidad)

2.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Son aquellas que cuando la una disminuye la otra aumenta y lo contrario.

La magnitud tiempo de trabajo en una obra es inversamente proporcional al número de obreros que laboran en la misma, ya que a mayor número de obreros menor tiempo se gasta en ejecutarla y lo contrario.

Matemáticamente se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de las cantidades correspondientes es una constante, es decir.

Si x Y y son dos magnitudes, entonces si x.y = k, decimos que son inversamente proporcionales.

Ejemplo de magnitudes Directamente Proporcionales

Edad y peso de una persona

El volumen y el lado de un cubo

131

La edad y la estatura de una persona

El área y el lado de un cuadrado

2.3. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

El tiempo y la velocidad

Obreros y el tiempo empleado en hacer una obra

El largo y el ancho de un rectángulo para un área determinada

Personas y cantidad de vieres en un tiempo determinado

2.4. PROPIEDAD DE FUNDAMENTAL DE LAS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Si m y n son medidas de la magnitud A y P y q son medidas de la magnitud B, entonces se cumple que sus razones son iguales m/n = p/q

2.5. PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Si m y n son medidas de la magnitud A y p y q son medidas de la magnitud B, entonces se cumple que m/n = (p/q) = q/p


1. Determinar cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justificar las respuestas.

a. La edad de una persona y su estatura

b. La velocidad de un carro y la distancia recorrida en dos horas.

Solución:

a. La estatura y la edad de una persona están en relación directa, ya que a mayor edad, mayor estatura y a menor edad menor estatura.

132

b. La velocidad y la distancia recorrida por un carro, son directamente proporcionales, es decir a mayor velocidad mayor distancia recorrida y a menor velocidad menor distancia recorrida-

2. Completar la tabla si x Y y son magnitudes directamente proporcionales. Hallar la formula que las relaciona.

X 4 7 11 13

Y 14

Solución: usando la propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcionales, se obtiene. x/y = 7/14, entonces la constante de proporcionalidad es k = 14/7 = 2; k = 2

Luego la formula y = 2x y la tabla completa:

X 4 7 11 13

Y 8 14 22 26

3. Verificar cuales de las magnitudes son inversamente proporcionales. Justificar las respuestas.

a. Velocidad y tiempo

b. Radio de una circunferencia y longitud de una circunferencia

c. Cantidad de obreros realizando un trabajo y número de días empleados en dicho trabajo.

Solución:

a. La velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, ya que a mayor velocidad, menor tiempo gastado y viceversa

133

b. El radio y la longitud de una circunferencia son directamente proporcionales, es decir a mayor radio mayor longitud y a menor radio menor longitud.

c. La cantidad de obreros y los días empleados en hacer una obra son inversamente proporcionales, porque a mayor número de obreros, menor tiempo empleado y lo contrario.

4. Analizar la tabla dada y determinar si las magnitudes son inversas

x 1 2 5 15

y 30 15 6 2

Solución: aplicamos la propiedad fundamental de las magnitudes inversas.

1 X 30 = 2 X 15 = 5 X 6 = 15 X 2 = 30 = k---------------> constante de proporcionalidad.

Entonces son magnitudes inversamente proporcionales.

2.6. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD

2.6.1. REGLA DE TRES SIMPLE.

Es un procedimiento por medio del cual se comparan dos magnitudes y se plantea una proporción en la cual hay que calcular un término desconocido.

2.6.2. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.

Es aquella regla de tres en la cual se están comparando dos magnitudes directamente proporcionales.

Para resolver problemas se sigue el procedimiento

134

1. Se llama x a la cantidad desconocida y se elabora una tabla con las cantidades que intervienen

2. Se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales.

3. Encuentra el término desconocido o la incógnita.

Ejemplo: el motor de Pablo consume 3, 5 galones de gasolina en 5 vueltas en el rio. ¿Cuánto consume de gasolina en 62 vueltas?

Solución: las magnitudes gasolina y vueltas son directamente proporcionales.

Si x consumo total de gasolina, entonces hacemos la tabla.

Vueltas 5 62

Gasolina (galones)

3,5 X

La proporción correspondiente es:

5/62 = 3,5/x entonces 5 x = 62 x 3,5, luego x = 217/5 = 43,4

Entonces en 62 vuelta se motor consume 43, 4 gaones de gasolina.

Regla de tres inversa:

Es aquella en la cual se comparan magnitudes inversamente proporcionales.

En este caso se sigue el mismo procedimiento que en el caso anterior.

Ejemplo: la familia Quiñones Cabezas esta formada por 6 personas y hace un mercado que alcanza para 15 días. En vacaciones llegan de visita 3 personas ¿para cuantos días alcanza el mismo mercado?

Solución: como las magnitudes son inversamente proporcionales, procedemos así.

135

La proporcionalidad será 6/9 = x/15 despejando tenemos 9 x = 6 x 15, entonces x = 90/9 = 10 por tanto el mercado alcanza para 10 días.

Regla Práctica

Ubicar la notación + siempre a la cantidad que está en la columna de la otra magnitud se

colocara (–) en la cantidad de arriba y (+) en la de abajo.

Si las magnitudes son directamente proporcionales a la columna de la otra magnitud se colocará (-) en la cantidad de arriba y (+) en la de abajo.

Si las magnitudes son inversamente proporcionales solo se invierten los distintivos, se coloca (+) en la cantidad de arriba y (–) en la cantidad de abajo.

El valor de la incógnita x será igual al producto de las cantidades que tienen el distintivo (+), dividido por el producto de las cantidades con distintivo (-)

Ejemplos: una obra la realizan 12 obreros en 15 horas ¿cuánto tiempo gastaran 5 obreros para realizar la misma obra bajo las mismas condiciones?

Solución: las cantidades son inversas.

Magnitudes por comparar: obreros Horas

Plantear correspondencia 12 15

5 X

Se despeja x = 15 x 12/ 5 = 36

Personas 6

9

la Días 15 X

136

+ +

+

-

+ +

Entonces 5 obreros gastaran 36 horas de trabajo.

Ejemplo por 50m2 de terreno se pagaron $ 6.000.000, ¿Cuánto costaran 24 m2 del mismo lote?

Solución: las magnitudes son directamente proporcionales. Se plantea el problema

Por lo tanto

El terreno costara $ 2880000.

2.6.3. REGLA DE TRES COMPUESTA:

Es un procedimiento en el cual, a diferencia de la regla de tres simple que se compran dos magnitudes, aquí se comparan mas de dos magnitudes, pero el procedimiento es el mismo ya que siempre se establece una comparación de a dos magnitudes cada vez hasta terminar.

Para solucionar un problema de regla de tres simple compuesta se procede así:

m2 $

50 6.000.000

24 X

X = 24 x 6000000 =

2880000

50

137

-

+

+

-

++

1. Se ordenan los datos

2. Se determina el tipo de magnitud comparándola entre ellas

3. Se plantea el problema y se aplica la propiedad fundamental correspondiente a las magnitudes.

Ejemplo:

Si 15 canecas de 20 galones de gasolina cuestan $ 105.000. ¿Cuánto cuestan 5 canecas de 30 galones c/u si su precio es igual por galón?

Solución:

Magnitudes por comparar:

Correspondencia:

Despejamos

Entonces cuestan $ 52500.

Canecas Galones Precio

15 6.000.000 105000

5 30 X

105000 X 30 X 5 = 52500

20 X 15

138

-

+

+-

+

+ + +

- -

Ejemplo: para limpiar la finca de Don José se contratan 5 obreros que trabajan 8 horas diarias y limpian 600 m2. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar 8 obreros para limpiar 1200 m2?

Solución: elaboramos una tabla.

Obreros Horas Diarias m2

5 8 600

8 X 1200

La magnitud de horas diarias es inversamente proporcional a la magnitud de obreros y directamente proporcional a m2 .entonces

X = 8x5x1200/8x600 = 10, es decir 8 obreros trabajan 10 horas diarias para limpiar 1200 metros cuadrados.

2.6.4. REPARTOS PROPORCIONALES

Un reparto proporcional es un proceso mediante el cual se reparte una cantidad en forma directa o inversamente proporcional a ciertos números, previamente acordados. Los repartos pueden ser:

1. Repartos directamente Proporcionales: repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a los números m, n y t es hallar otras cantidades p, q y r tales que: p/m=q/n = t/r. donde p +q +t es la cantidad a repartir. Para resolver este tipo de problemas, aplicamos la propiedad fundamental de un conjunto de razones equivalentes.

Ejemplo:

Tres obreros recibieron $ 5.200.000 al terminar la obra de restauración del saltadero. Si uno de ellos trabajo 15 días, otros 12 días y los terceros 5 días, cuanto le corresponde a cada uno?

139

-

-+ +

Solución:

Como la repartición es directamente proporcional, entonces, tenemos:

X =------------------------> lo que le corresponde al que trabajo 15 días

y =-------------------------> lo que le corresponde al que trabajo 12 días

Z=-------------------------> lo que le corresponde al que trabajo 5 días

Luego X /15 = y/12 = Z/5 = X + y + Z/15 + 12 + 5 = 5200000/32 = x/15

Despejo: X = 5200000 x 15 /32 = $ 2437000

Luego: Y = 5200000x 12/32 = $ 1950000

Entonces Z = 5200000 x 5 /32 = $ 812500

Ganaron $ 2437000, $ 1950000, $ 812500 respectivamente.

2.6.4.1. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIÓNALES

Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números m, n y equivale a repartir esa cantidad en partes directamente proporcionales a los números 1/m, 1/n, 1/t

Ejemplo: una finca ofrece un premio de $ 2.680.000 para los cuatro mejores obreros del año. Si al finalizar el año se encuentra que José falto dos veces, Manuel falto 4 veces, Andrés falto 5 veces y Tadeo falto 6 veces.

Solución:

Se trata de un reparto inversamente proporcional, pues la persona que menos ha faltado a su trabajo debe recibir mayor parte del premio.

Sea

J: Cantidad de dinero que recibió José

140

M: Cantidad de dinero que recibió Manuel

A: Cantidad de dinero que recibió Andrés

T: Cantidad de dinero que recibió Tadeo

Luego: Suma de antecedentes

J/1/2 =m/1/4 = a/1/5 =t/1/6 = 2680000/67/60

Suma de consecuentes

Entonces:

2680000 x 60/67 = j/1/2, Luego j = 1200000

2680000 x 60/67 = m/1/4, Entonces m = 600000

2680000 x 60/67 = a/1/5, Entonces a = 480000

2680000 x 60/67 = t/1/6, Entonces t = 400000

Por lo tanto José recibió $ 1.200.000, Manuel $ 600.000, Andrés $ 480.000 y Tadeo $ 400.000

2.7. PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO: se llama porcentaje o tanto por ciento. Se llama porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones en las que el consecuente es 100. Se representa con el signo % que significada por cada 100.

Por ejemplo, 27% se lee 27 por ciento y es equivalente a la razón 27/100 que significa 27 de cada 100.

Todo porcentaje se puede expresar como una fracción cuyo denominador es 100 y también como un número decimal.

Por ejemplo: 15% = 15/100 = 0,15

Numero decimal

141

Por ciento Función decimal

Para calcular el porcentaje de un número o cantidad se multiplica la cantidad por el porcentaje deseado y se divide por 100

Ejemplo: hallar los porcentajes indicados

a. 15% de 2750

b. 0,6% de 200

Solución:

c. 15 x 2750/100 = 412, 15; así el 15% de 2750 es 412,5

d. 0,8 x 200/100 = 1,6; luego 0,8% de 200 es 1,

2.8. INTERES

Interés simple es la cantidad de dinero que se obtiene como beneficio al invertir dinero como, también se puede definir como la cantidad de dinero que se debe pagar por pedir prestado dinero.

Los elementos y símbolos que se utilizan en el interés son:

C = capital: es la cantidad de dinero invertido o prestado}

I = interés.

R = rata o tasa de interés: es la cantidad que se cobra por cada $ 100 prestados o invertidos durante un año, se expresa como un porcentaje.

T = tiempo: es la duración del préstamo.

Para resolver problemas de interés se aplica la regla de tres compuesta donde el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo.

Ejemplo:

Plantear y resolver el siguiente problema.

142

a. Sea x el interés producido por $ 800.000 durante 2 años. Al comparar las magnitudes en una tabla se obtiene.

Interés Capital Tiempo (años)

X 800.000 2

4.5 100 1

Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se plantea la siguiente proporción:

X/4.5 = 800000/100 x 2/1 de donde X = 4.5 x 800.000 x 2/100 x 1 = 72.000

Por lo tanto, el interés producido es de $ 72.000

143

modulo de matematicas ciclo 3

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