MODULO II. CINEMATICA DE LA PARTICULA.

2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE LA PARTICULA ( POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ) El movimiento de una particula se conoce si tenemos su posición en el espacio en cualquier instante. Supongamos que se tiene una particula que se mueve desde el punto P a Q, además que la posición del punto P es X1 en un instante t1 y su posición en Q es X2 en un instante t2.

Para calcular la velocidad media entre P y Q, hacemos: Vmedia = ∆X/∆t La velocidad instantanea se obtiene cuando ∆t 0: Vinst = Lim ∆X/∆t = dx/dt ∆t 0

La magnitud de V se conoce como rapidez. Cuando la velocidad de una particula varia en el tiempo, se dice que la misma esta acelerando,

De la misma forma que hicimos anteriormente: Para calcular la aceleración media entre P y Q, hacemos: Vmedia = ∆V/∆t

La aceleración instantanea se obtiene cuando ∆t 0: a inst = Lim ∆V/∆t = dv/dt ∆t 0 dv/dt = d ( dx/dt)/dt = d2x/dt2 2.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. Se tiene un movimiento uniforme cuando V = cte, osea, dV/dt = a = 0. V = dX/dt dX = Vdt ∫ dX = ∫Vdt X – X0 = V*t 2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME ACELERADO. De a = dV/dt dV = a dt ∫ dV = a ∫dt V – V0 = a* t

Xf Q

∆X Xi P

∆τ

ti tf

Vf Q

∆V Vi P

∆τ

ti tf

2De V = dx/dt dx/dt = V0 + at dx = (V0 + at ) dx ∫ dx = ∫(V0 + at ) dx X – X0 = V0 * t + a t2/2 Sabemos que a = dV/dt, V = dx/dt, si reemplazamos dt en la ecuación de a: A = V(dV/dx) VdV = a dx ∫ VdV = a∫ dx (1/2)( V2 – V0

2 ) = a ( X – X0 ) V2 = V0

2 + 2 a ( X – X0 ) 2.4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE VARIAS PARTICULAS. Si tenemos dos particulas A y B moviéndose a lo largo de la misma linea recta:

XB = XA + XB/A

El signo positivo para XB/A significa que B esta a la derecha de A, teniendo en cuenta las convenciones del plano cartesiano. Si derivamos la anterior ecuacion con respecto a t: D (XB)/dt = d(XA)/dt + d(XB/A)/dt VB = VA + VB/A Si VB/A es positivo, significa que desda A se observa que B se mueve en dirección positiva. Si derivamos nuevamente la ecuación de V con respecto a t: D (VB)/dt = d(VA)/dt + d(VB/A)/dt aB = aA + aB/A 2.5. CUERPOS EN CAIDA LIBRE. Si tomamos en cuenta las direcciones del plano cartesiano, Y hacia abajo es negativo, también lo es a = G = - 9.8 m/sg2. por tanto las ecuaciones quedan: V = V0 – g*t Y – Y0 = V0 t – g*t2/2 Vy2 = V0y

2 – 2 g ( Y – Y0 )

O A B

Xa Xb/a

Xb

32.6. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.

Para el caso Vz = 0, az = 0 De las ecuaciones de caida libre: Vx = x` = Vxo Vy = y`= Vyo – g t X = Xo + Vxo*t Y = Yo + Vyo*t – gt2/2

Para estas ecuaciones hay que tener en cuenta la convección de los signos de acuerdo con el eje de coordenadas. Analizemos ahora la situación en el origen de coordenadas: SEN θo = Vyo/Vo COS θo = Vxo/Vo Las ecuaciones nos quedan: Vx = Vo * COS θo Vy = Vo* SEN θo – g t X = Xo + Vo * COS θo *t Y = Yo + Vo* SEN θo *t – gt2/2 Para hallar la altura máxima alcanzada por el proyectil: En ese punto Vy = 0, Vy = Vo* SEN θo – g t t = ( Vo* SEN θo )/g, reemplazando en: Y = Yo + Vo* SEN θo *t – gt2/2 Ymax = Yo + ( Vo2* SEN2 θo )/2g Para hallar el alcance máximo: Tiempo empleado = 2 * ( Vo* SEN θo )/g, reemplazando en: X = Xo + Vo * COS θo *t Xmax = ( Vo2* SEN 2 θo )/g

Y

Vyo = 0Vxo

VVyo

oVxo X

Vxo

Vyo

42.7. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTICULAS. 2.7.1. VECTOR DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.

El vector r define la posición P de la particula en el tiempo t; el vector r´define la posición Q de esa misma partícula en un tiempo posterior t + ∆t. El vector ∆r, representa el cambio en el vector de posición durante el intervalo ∆t:

r`= r + ∆r

∆r representa un cambio en la dirección como en la magnitud del vector de posición r. La velocidad promedio de la partícula en ∆t se define como el cociente de ∆r/∆t. Como ∆r es un vector y ∆t un escalar, dicho cociente es un vector unido a P, de la misma dirección de ∆r. La velocidad instantánea de la particula al tiempo t, se hace escogiendo intervalos de ∆t cada vez mas cortos y vectores ∆r cada vez mas pequeños. De esta forma llegamos al concepto de limite: V = Lim ∆r/∆t ∆t => 0 El vector de la velocidad instantánea, es tangente a la trayectoria de la partícula. Como el vector r depende del tiempo t, podemos llamarlo función vectorial de la variable escalar t y representarlo por r ( t ). Del concepto de derivadas de una función escalar, llamaremos al limite de ∆r/∆t la derivada de la función r ( t ): V = d ( r ) / dt A la magnitud V del vector V se le llama rapidez de la partícula. Puede obtenerse sustituyendo para el vector ∆r en la formula del límite de V su magnitud representada por el segmento de linea recta PQ. Pero la longitud del segmento PQ, se acerca a la longitud de ∆S del arco PQ conforme ∆t disminuye: V = Lim PQ/∆t = V = Lim ∆S/∆t V = dS/dt ∆t => 0 ∆t => 0 La rapidez V puede obtenerse entonces derivando respecto de t la longitud del arco descrito por la partícula. Consideremos ahora las velocidades V en el punto P y V`en el punto Q:

Q

r` r s

P

r

5

Ahora llevemos ambos vectores al mismo punto de origen de los vectores r y r`:

Vemos que : V`= V + ∆V

La Velocidad V es una función vectorial V ( t ), podemos llamar el limite del cociente de ∆V/∆t la derivada de V con respecto a t: a = dV/dt Otra cuestión que podemos notar es que la aceleración de la partícula No es tangente a la trayectoria descrita por la misma. 2.7.2. COMPONENTES RECTANGULARES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN. Cuando la posición P de una partícula esta definida en cualquier instante por sus coordenadas rectangulares x, y y z, es conveniente descomponer los vectores de velocidad y aceleración en sus componentes rectangulares. Sea el vector de posición r el que determina la posición de la partícula : R = x i + y j + z k Al derivar obtendremos: V = d R/dt = x` i + y` j + z` k a = d V/dt = x” i + y” j + z” k De aquí deducimos los componentes escalares de V y a: Vx = x` Vy = y` Vz = z` ax = x” ay = y” az = z”

V` Q

V

P

V

V` V

62.7.3. COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL. Consideremos a una partícula que se mueve a lo largo de una curva. Sea P la posición de la partícula en un instante dado. Unimos a P con un vector unitario e t tangente a la trayectoria de la partícula y en dirección del movimiento. Sea e´ t el vector unitario correspondiente a la posición P` un instante después. Trazamos ambos vectores desde el mismo punto de origen:

Del gráfico vemos que: ∆ e t = e´ t - e t

Como e´ t y e t son vectores unitarios, entonces sus puntas se encuentran sobre un circulo de radio 1. teniendo en cuenta que ∆θ el ángulo formado por e´ t y e t , por geometría se tiene ∆θ es también el ángulo formado por los puntos OPP`. Ahora, considerando el vector ∆ e t / ∆θ, notamos que conforme ∆θ 0, este vector se vuelve perpendicular al vector et y y con dirección al centro O de la curva: Entonces, si hacemos el límite cuando ∆θ 0 obtenemos: Lim ∆ e t /∆θ = d e t / dθ = e n ∆θ => 0 Como el vector de velocidad V es tangente a la trayectoria de la partícula podemos expresarlo como: V = V e t Si derivamos la anterior ecuación con respecto a t, para obtener la aceleración: a= dV/dt = d (V e t )/dt = ( dV/dt ) d e t + V*( d e t / dt ) pero ( d e t / dt ) = (d e t / dθ) * (dθ/ds) * ( ds/dt ), ademas: ( ds/dt ) = V (d e t / dθ) = e n (dθ/ds) = 1 / ρ, ρ es el radio del circulo Entonces tenemos que: a= dV/dt = ( dV/dt ) e t + ( V2 / ρ ) e n Asi que las componentes escalares de las aceleración son: at = ( dV/dt ) a n = ( V2 / ρ ) a= dV/dt = at e t + a n e n

Dependiendo si la velocidad de la partícula aumenta o disminuye, at es positiva o negativa y la componente vectorial at apunta en la dirección del movimiento o en contra de este. Por su parte la componente vectorial a n siempre se dirige hacia el centro de la curvatura de la trayectoria.

e` t e t

P` e t e` te t

P

O

7 De lo anterior aparece que la componente tangencial de la aceleración refleja un cambio de velocidad de la partícula, mientras su componente normal refleja un cambio en la dirección del movimiento. 2.7.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Analizaremos el movimiento de una partícula que recorre una trayectoria circular de radio r con una rapidez tangencial constante Vt.

Ahora dibujemos las velocidades en los puntos P y Q, y tratemos de llevarlas a un punto fijo en comun:

Aunque la partícula se mueve con rapidez constante, la posición del vector de velocidad V cambia con el tiempo, por tanto la partícula experimenta un tipo de aceleración. Es un error común concluir que la aceleración de la partícula es cero, porque su rapidez es constante; hay que recordar que la aceleración a es proporcional al cambio del vector de velocidad V , dado que la dirección de dicho vector cambia con el tiempo, a <> 0. La dirección del vector de velocidad V es tangente a la trayectoria de la partícula, pero como la rapidez es constante, no tenemos aceleración tangencial o sea at = 0.

Como at = 0, entonces dV / dt = 0 De la ecuación de aceleración: a= dV/dt = ( dV/dt ) e t + ( V2 / ρ ) e n a= dV/dt = ( V2 / ρ ) e n = a n e n 2.7.5. COMPONENTES RADIALES Y TRANSVERSALES. Algunas veces empleamos coordenadas r y ρ polares en vez de rectangulares, entonces es conveniente descomponer la velocidad y aceleración en sus componentes paralela y perpendicular. A estas componentes se les llama Radial y Transversal.

Q

RRf P

Ri

VfQ V

ViVf

ViRf P

Ri

8

De la primera grafica, en el punto P unimos dos vectores unitarios e r y e θ . El vector e r se dirige a lo largo de OP y define la dirección radial, es decir, la dirección en que se movería P si r fuese a aumentar manteniendo θ constante. El vector unitario e θ define la dirección transversal, es decir, la dirección en que se movería P si θ aumentara manteniendo r constante. El vector de posición r, se puede definir como r = r e r Si hacemos un procedimiento similar al item anterior:

De los graficos anteriores podemos deducir que: e θ = d e r / dθ ( d e θ /dθ ) = - e r

Donde - e r representa un vector unitario de sentido contrario el de e r. Empleando la regla de la cadena de derivación: d e r / dt = ( d e r / dθ )*( dθ /dt ) = e θ (dθ /dt ) ( d e θ /dt ) = ( d e θ / dθ )*( dθ / dt ) = - e r (dθ / dt ), por tanto tambien se dice que: d e r / dt = e` r = θ´ e θ ( d e θ /dt ) = e` θ = - θ´ e r Para obtener la velocidad V de la particula, derivamos el vector de posición r con respecto al tiempo: V = d r / dt = d ( r e r ) / dt = r * d ( e r ) / dt + ( d r/dt ) e r = r e` r + r` e r V = r` e r + r θ` e θ Vr = r` Vθ = r θ` V = Vr e r + Vθ e θ Si se deriva otra vez con respecto a t para hallar la aceleración: a= dV/dt = ( r” - r θ´2 ) e r + ( r θ” + 2 r`θ´ ) e θ

P

r

e

er

Pr

O

ere e`r

e

ere`

O

9 Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración son: ar = ( r” - r θ´2 ) aθ = ( r θ” + 2 r`θ` ) a= dV/dt = ar e r + aθ e θ Tambien podemos analizar que: Vr`= r`` Vθ` = r` θ` + r θ`` Entonces: ar = ( r” - r θ´2 ) = ( Vr` - Vθ θ` ) aθ = ( r θ” + 2 r`θ` ) = ( Vθ` + Vr θ` ) a= dV/dt = ( Vr` - Vθ θ` ) e r + ( Vθ` + Vr θ` ) e θ En el caso en que una partícula que se mueve en un circulo de centro O, tenemos que r = constante, r`= r`` = 0. Entonces las ecuaciones quedarían: V = r θ´ e θ

a= - r θ´2 e r + r θ” e θ Si es un movimiento circular uniforme, habrá que agregar la condición de que θ`` = 0, ya que no hay aceleración angular. La ecuación de la aceleración quedaría: a= - r θ´2 e r , ecuación que concuerda con la hallada en los coordenadas normales y tangenciales.

10FORMULAS DEL MODULO II

Mov. Rectilíneo Uniforme: X – X0 = V*t Mov Rectilíneo Acelerado: V – V0 = a* t X – X0 = V0 * t + a t2/2 (1/2)( V2 – V0

2 ) = a ( X – X0 ) Movimiento Relativo: XB = XA + XB/A VB = VA + VB/A aB = aA + aB/A Cuerpos en Caida Libre: V = V0 – g*t Y – Y0 = V0 t – g*t2/2 V2 = V0

2 – 2 g ( Y – Y0 ) Mov en dos dimensiones: Vx = x` = Vxo Vy = y`= Vyo – g t X = Xo + Vxo*t Y = Yo + Vyo*t – gt2/2 SEN θo = Vyo/Vo COS θo = Vxo/Vo Vx = Vo * COS θo Vy = Vo* SEN θo – g t X = Xo + Vo * COS θo *t Y = Yo + Vo* SEN θo *t – gt2/2 Ymax = Yo + ( Vo2* SEN2 θo )/2g Xmax = ( Vo2* SEN 2 θo )/g Componentes tangencial y normal: a= dV/dt = ( dV/dt ) e t + ( V2 / ρ ) e n = at e t + a n e n Componentes radial y transversal: V = r` e r + r θ` e θ = Vr e r + Vθ e θ a= dV/dt = ar e r + aθ e θ = ( r” - r θ´2 ) e r + ( r θ” + 2 r`θ´ ) e θ = ( Vr` - Vθ θ` ) e r + ( Vθ` + Vr θ` ) e θ