unidad ii: cinematica

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática

UNIDAD IICINEMATICA

La Mecánica es la parte de la Física que estudia las fuerzas, la materia y el movimiento.Dentro de la Mecánica, la Cinemática estudia el movimiento, sin interesar las causas que lo producen (ni los efectos que es capaz de producir).Es la “geometría” el movimiento.En la Cinemática se estudia distintos tipos de movimientos; sus trayectorias y las leyes espacio-temporales, o sea, las leyes del movimiento. La Cinemática se estudia con un metro y un reloj, midiendo las distancias y tiempos, y estableciendo relaciones para determinar las características del movimiento: la velocidad y la aceleración.Definimos a la unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m) como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.456 segundos (esto supone que la velocidad de la luz es exactamente 299.792.458 m/seg).Definimos a la unidad patrón de tiempo, el segundo (símbolo seg) de modo que la frecuencia de la luz emitida en una determinada transición del cesio es de 9.192.631.770 ciclos por segundo.Con estas definiciones, las unidades fundamentales de longitud y de tiempo son accesibles a cualquier laboratorio del mundo.La noción del “movimiento” está orientada a la del “sistema de referencia”, o sea, al cuerpo o sistema de cuerpos con respecto a los cuales referimos la posición del que se mueve. Cuando estamos sentados en un barco en marcha, estamos en “reposo” con respecto al barco y nos movemos “con respecto” a la tierra. Recíprocamente, el árbol que está en reposo con respecto a la tierra, se mueve “con respecto” al pasajero que está sentado en el barco (si imaginamos como sistema fijo al barco).Si el pasajero camina con movimiento rectilíneo y uniforme (ya veremos que significa) sobre el barco en movimiento tendrá una velocidad “con respecto al barco” y otra mayor o menor “con respecto a la costa”, según camine hacia la proa o hacia la popa.Estos son los problemas del movimiento relativo. Por ejemplo: si el pasajero camina hacia la proa del barco, que se está moviendo como dijimos con movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a la costa, con una velocidad de 60 cm/seg, decimos que ésta es su velocidad relativa (con respecto al barco); si el barco se desplaza a 5m/seg, ésta es su velocidad de arrastre (con respecto a la costa), pues la velocidad del barco “arrastra” al pasajero. La velocidad total del pasajero que camina, con respecto a la costa, será entonces de 5,60 m/seg.Esta es la base del “principio de adición de velocidades”, aunque debe tenerse en cuenta que la velocidad es una magnitud vectorial y por lo tanto, si los movimientos son de diferente duración, deben sumarse los vectores que representan las respectivas velocidades.En definitiva:

Donde: velocidad total

velocidad relativa

velocidad de arrastre

Más adelante, cuando veamos conceptos de Mecánica Relativa, volveremos sobre el tema.

Por ahora digamos que TRAYECTORIA es: “las sucesivas posiciones de un cuerpo móvil, con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo”.Variando los ejes, es decir, variando el sistema de referencia puede cambiar la forma de la trayectoria.Por ejemplo: estoy en un vagón que se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme (recorriendo espacios iguales en tiempos iguales). Mi sistema de referencia lo fijo al mismo vagón (ejes ortogonales). Si suelto la piedra que tengo en la mano, la misma va hacia abajo, hacia mis pies, recorriendo una recta.

1

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Pero, para personas que están en una estación, con sus ejes fijos a la misma, al pasar el tren y al soltar yo la piedra, ven que al caer la misma describe una parábola (cae y se desplaza hacia delante, lo mismo que yo). Por eso para mí, y para las personas de la estación, la piedra cayó a mis pies.

Consideremos como “partícula”, una unidad completa de masa despreciable que se mueve sin interesarnos sus rotaciones alrededor del centro de masa.En definitiva, un cuerpo, que puede ser considerado una partícula, está en equilibrio respecto a un sistema ortogonal de ejes que suponemos fijo, si las coordenadas de tres puntos no alineados del mismo permanecen constantes.

Basta que una coordenada varíe con el tiempo para que la partícula esté en movimiento. En la figura1, el cuerpo cae, o sea que se mueve paralelamente al eje z; por lo tanto su coordenada z va disminuyendo, en cambio permanecen fijas las coordenadas de x e y.

Si las coordenadas de A, B, C no varían el cuerpo está fijo (se entiende que el cuerpo es rígido). Basta que varíe uno solo de ellos para que el cuerpo esté en movimiento, respecto al sistema de referencia, supuesto fijo (Ver figura 2).

2-MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN TRAYECTORIAS CURVAS.

Las trayectorias curvas pueden ser planas o alabeadas.Trazamos una trayectoria curva alabeada, cuya ecuación será del tipo P = P(t), es decir función no lineal de t (siendo t una variable muda).Cuando debamos derivar con respecto al arco lo indicaremos.Dando valores a t, los puntos P, extremo del vector posición , describirá la curva C.En la figura está indicado el punto P determinado al asignarle a la variable un valor dado “t”.Si aumentamos la variable en un t, el vector posición será ahora el indicando su extremo el punto P1 sobre la curva C.Uniendo P con P1 obtenemos el vector que indica la variación del vector posición al incrementar t en t.Supongamos que la variable t es el tiempo así que, en el tiempo

t el móvil está en el punto P sobre la trayectoria C y el tiempo (t + t), está en el punto P1 sobre la misma trayectoria

Definición: se llama velocidad media entre los puntos P y P1 a la magnitud vectorial:

2

Fig. 3

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática El móvil se mueve sobre el arco de curva PP1, pero se interpreta como velocidad media entre P y P1, a la magnitud vectorial que representa la velocidad del móvil sobre la cuerda PP1; es decir, la de un móvil ficticio que sale del punto P al mismo tiempo que el real y llegan, el real sobre el arco y el móvil ficticio sobre la cuerda, al mismo tiempo al punto P1.

2.1. Velocidad instantánea:

ó sea:

: son distintas notaciones

La derivada del vector posición respecto al tiempo, es un vector tangente a la trayectoria en el punto P. Este es el vector derivado y es igual a la velocidad instantánea v.

2.2. Módulo de la velocidad instantánea:

Pero por lo que sabemos |dP| = ds, o sea el módulo del vector dP, que es tangente al arco en el punto P, es igual a la longitud del arco ds ó la longitud de la cuerda dPP1.Recordando que:

Es decir, que en el límite ds = dPP1

2.3.Hodógrafa: En la función no lineal P = P (t) damos valores a t, o sea t1, t2, t3, etc., determinando el extremo del vector posición los puntos 1, 2, 3, etc. y las velocidades

etc. en esos puntos son tangentes a la trayectoria C (ver

figura 5a). Tomamos un punto O’, cualquiera del espacio, y desde él trazamos vectores equipolentes a las mencionadas velocidades (figura5b).Uniendo los extremos de los vectores equipolentes de las velocidades obtendremos una curva C’, llamada “hodógrafa” de la curva C.

Uniendo en la hodógrafa los puntos 1’ y 2’, obtendremos el vector

3

Fig. 4

Fig. 5a

S


Se define como aceleración media:

Y como aceleración instantánea:

Es una magnitud vectorial que es tangente a la curva hodógrafa en el punto 1’.

Ahora veremos, respecto a la trayectoria C, donde está el vector .Para dibujar más claramente modificaremos la forma de la trayectoria.Consideremos un punto P de la misma, obtenido al darle un cierto valor a la variable t, y obtenemos el vector posición = P (t) (no dibujado en la figura).En el punto P obtenemos el vector velocidad, que lo representamos como un vector tangente a la trayectoria (ver figura 6).Consideremos el Triedro de Frenet: en la dirección de la tangente; analíticamente perfectamente

ubicado y gráficamente hacia la curvatura de flexión (concavidad) de la curva C y perpendicular a y . Estos últimos determinan el plano osculador.Por lo tanto, observando la figura 6:

(1)

plano oscilador

:plano normal

: plano rectificante

Pero , si bien da un vector en la dirección de la normal principal, no es el vector curvatura de flexión.

Una de las formas de resolver es:

A la expresión (1) multiplico y divido por siendo un diferencial de trayectoria

4

Fig. 5b

Fig. 6


donde el módulo n es la curvatura de flexión c, la que a su vez es igual a la inversa del

radio de curvatura en ese punto (Primera fórmula de Frenet-Serret)

= siendo

Reemplazando ambas expresiones resulta:

Es una suma de vectores que demuestra que el vector aceleración se encuentra en el PLANO OSCULADOR

Veamos que como es lógico el movimiento rectilíneo es un caso especial del movimiento general ya que la recta es una curva de radio infinito..

En el movimiento rectilíneo la función del movimiento es :P = P (t)Es función lineal de t

La velocidad media de 1 a 2 es :Vm = P/tLa velocidad instantánea en el punto 1:

Como las velocidades nunca cambian de dirección (siempre están sobre la recta), se las pueden considerar como magnitudes escalares pues se suman y se restan sus módulos, pues los vectores son colineales.

Además:

Como en una recta el radio de curvatura , entonces no hay aceleración normal. Como coincide con la dirección de la recta trayectoria, entonces:

Solo hay aceleración tangencial y como tiene la dirección constante de la recta se la puede considerar como un escalar.Por eso solamente, en los movimientos rectilíneos se define:

5

Fig. 7.1

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME.Consideramos un movimiento rectilíneo donde las sucesivas posiciones quedan determinadas por los

vectores y Se define la velocidad de la partícula, en estas condiciones, como: siendo, el

vector posición sobre la recta; y el vector velocidad que resulta colineal con el vector posición.Consideremos escalarmente el movimiento.

Si establecemos la relación, entre los espacios recorridos y los tiempos empleados en recorrerlo, vemos que si el movimiento es rectilíneo y uniforme, obtendremos una constante que representa a la velocidad del movimiento (figura 7.2).

Por lo tanto en estos casos podemos considerar a la velocidad como un escalar por tener siempre la misma dirección

4. LEYES DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME.

1°) En un movimiento rectilíneo y uniforme la velocidad es constante2°) En un movimiento rectilíneo y uniforme el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado

Para las representaciones gráficas recordar que la ecuación de una recta que pasa por el origen es y = m.x.

En la

representación de la 2da. ley:

En la representación de la 1ra. Ley (figura 9), al cabo de un cierto tiempo t, la superficie del rectángulo representa el espacio recorrido por el móvil en ese tiempo, con esa velocidad, pues si:

6

Fig. 7.2

Fig. 8


Si el móvil hubiera tenido un cierto espacio inicial a considerar (ver figura 10): x = xo + v.t

Velocidad media rectilínea: es aquella en la cual el móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo pero con movimiento rectilíneo y uniforme; esto se aplica cuando se tiene un movimiento rectilíneo pero totalmente variado, con el cual un móvil recorre un cierto espacio en un cierto tiempo. Ejemplo: supongamos que un móvil recorre 60 km, en forma rectilínea; los primeros 30 km los recorre a v1

= 20 km/h y los segundos 30 km a una velocidad v2 = 60 km/h. Calcular la velocidad media rectilínea.

Sabemos que:

t1= e1 / v1= 30 km / 20 km/h = 1,5 h t2= e2 / v2= 30 km / 60 km/h = 0,5 h t = t1 + t2 = 1,5h + 0,5h = 2 h

vm = (e1 + e2 ) / (t1 + t2) = (30 + 30)km / 2h = 60 km / 2h = 30 km / h Correcto

Promediando las velocidades de cada tramo:

( 20 km/h + 60 km/h) / 2 = (80 km/h ) / 2 = 40 km/h Incorrecto

Las velocidades se promedian con respecto al tiempo y no con respecto al espacio recorrido.

5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO O VARIADO.

Definamos la aceleración como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.En estos casos la aceleración es constante.

7

Fig. 9

Fig. 10


6. LEYES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO.

Primera ley: La aceleración del movimiento es constante. a = cteSegunda ley: La velocidad es directamente proporcional al tiempo empleado y a la aceleración. v = a . tTercera ley: El espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. e = ½ a t2

Graficando la primera ley:

Graficando la segunda ley:

En la figura11 : tg = a = v / t = v / t = dv / dt

El espacio recorrido con a = cte es:vm = (0 + v ) / 2 = ½ a.t (primer caso)vm = (vo + vo + a.t)/ 2 = vo + ½ a.t (segundo caso)

El móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo, con esta velocidad media (área rectángulo OABC = área trapecio OA’B’C’) o sea, área bajo la recta.

x = vm.t = ½ a.t2 (primer caso)

x = vm.t = (vo + ½ a.t ).t = vo.t + ½ a.t2 (segundo caso)

Si existiera un espacio inicial xo:

8

Fig. 11

t(s)

a(m/s2)

a=f(t)

Fig 10 b

v = a .t v = vo + a.t

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática x = xo + vo.t + ½ a.t2

Ordenando:x = ½ a.t2 + vo.t + xo que representa a la función del tipo y = m.x2 + b.x + c que es una función de segundo grado cuya representación gráfica es una parábola :

Si x = ½ a.t2 + vo.t + xo entonces la velocidad v = dx/dt = tg = a.t + vo y la aceleración es a = dv/dt = cte (1)

Es decir, la derivada primera respecto al tiempo de la función espacio (recordar que la trayectoria es rectilínea) es la velocidad; y la derivada segunda de la función espacio respecto al tiempo dos veces o la derivada primera de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración de la partícula.

Conociendo como datos la velocidad inicial vo y el espacio inicial xo, integrando la expresión (1) tenemos:

despejando

Integrando la expresión de la velocidad :

despejando :

Una relación muy útil, en los movimientos rectilíneos y uniformemente variados, es la de la velocidad respecto a los espacios recorridos. Es decir, velocidad en función del espacio.Sabemos que: a = dv/dt

Multiplicando el segundo miembro por dx/dx = 1, la expresión no altera y queda:

. agrupando las variables =

recordar a = constante

9

Fig. 12

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Esta ecuación es usada cuando se estudia la caída de los cuerpos en el vacío y en un campo gravitatorio. En este caso, teniendo en cuenta la Fig. 13

Problema de Aplicación de Movimiento rectilíneo Uniformemente Acelerado

Desde el borde de una cornisa situada a 48 m del suelo se lanza hacia arriba una pelota y 5 segundos más tarde la pelota toca el suelo. (figura 17).Calcular:

a) La velocidad inicial de la pelotab) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máximac) Cálculo de la altura máximad) Velocidad de la pelota cuando toca el suelo

La estrategia en este problema consiste en colocar en el suelo el origen del sistema de referencia.

a)

b)

10

Fig. 13y +v -a -

Fig. 17

y +v +a -


c)

d)

Verificación:

7. CAIDA EN UN PLANO INCLINADO – Sin rozamiento -.

Sea el triángulo ABC, rectángulo en B. Si desde C a B dejamos caer libremente una partícula , tendremos:

Caso General

Si proyectamos g sobre el plano inclinado tendremos que:

at = g. sen

Entonces sobre el plano inclinado, al cabo del mismo tiempo t determinado en (1), tendremos que la distancia x recorrida es:

Pero x = h. sen porque en el mismo tiempo t , la caída vertical es h y su proyección sobre el plano es x (ver figura 14) y además h =1/2.g.t2 por lo tanto la expresión (3) queda: x = h . sen

Es decir, que al cabo del tiempo t, que tarda la partícula para caer libremente desde C, sobre el plano inclinado (sin rozamiento) recorre la distancia x.Podemos probar que el tiempo es el mismo, pues de (3):

11

Fig. 14


Además, si queremos saber que velocidad v1 alcanzará la partícula al llegar al punto A, es decir, después de haber recorrido toda la hipotenusa AC, tendremos:

Es decir, si bien sobre el plano inclinado la aceleración de caída, fijado el ángulo , es conocido y menor que g, el tiempo total a recorrer de C a A sobre el plano inclinado será mayor que (1) y la velocidad que adquirirá la partícula al llegar a A será la misma, que en caída libre al llegar a B. (Velocidad numérica o módulo).

8. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIONES NO CONSTANTES.

Supongamos que la aceleración es variable y en función del tiempo. a = f (t)Por ejemplo: a = 6t – 4

Siendo los datos: xo = 10 m vo = 20 m/seg

Sabemos que la aceleración instantánea es:

Además:

12


9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y RELATIVO DE DOS PARTICULAS.

Se considera el mismo origen, el mismo sentido y el mismo tiempo para las dos partículas.

La coordenada de posición relativa de B con respecto a A, la llamamos xB/A:

xB/A = xB – xA (1)

xB = xA + xB/A

Si xB/A es positiva, B se encuentra a la derecha de A.Si xB/A es negativa, B se encuentra a la izquierda de A.Por ejemplo, tomemos las dos partículas en la semirrecta negativa: xB/A = -xB – (-xA)

En la figura 16, B está en –2 y A en –3Luego:

xB/A = - 2 – (- 3) = -2 + 3 = 1

Si xB/A es positivo (+), B está a la derecha de ADerivando la ecuación (1) se obtiene la velocidad relativa entre las dos partículas:

Si vB/A, velocidad relativa de B con respecto a A, es positiva indica que, B observado desde A se mueve en sentido positivo de las velocidades.Si vB/A es negativo indica que, B observado desde A se mueve en el sentido negativo de las velocidades.Lo mismo sucede para la aceleración relativa entre las dos partículas.

Ejemplo de aplicación de movimiento rectilíneo y relativo de dos partículas.

En el instante t=0 un automóvil A pasa con movimiento rectilíneo y uniforme por una marca que está en el suelo, con una velocidad de VA= 20 m/seg (72 km/h). También en el mismo instante t = 0 desde esa misma

13

Fig.15

Fig 16

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática marca y con la misma dirección y sentido, parte otro automóvil B que estaba detenido con una aceleración constante de aB = 2 m/seg2 .Calcular:

a) ¿Cuándo el auto B alcanzará al A?b) ¿A qué distancia de la marca?c) ¿Qué velocidad final tiene B en ese momento?

Solución:Primero hay que identificar qué tipo de movimiento tiene cada auto y cuáles son las leyes

que gobiernan a esos movimientos

1) El auto A va con MRU donde el espacio es :

2) El auto B va con MRUA donde el espacio es:

Respuesta:

a) Cuando

b) La distancia es, calculada con:

El auto A : e = 20 m/seg . 20 seg = 400 m El auto B : e = ½ a t2 = ½ . 2 m/seg2 . 400 seg2 = 400 m

c) La velocidad final de B será:

VB = aB . t = 2 m/seg2 . 20 seg = 40 m/seg VB = 40 m/seg . km/1000 m . 3600 seg/1 h = 144 km/h

Los diagramas de velocidad de cada auto son

14


10. MAGNITUDES ANGULARES.

10.1. Velocidad Angular y aceleración angular.Así como en un movimiento rectilíneo y variado, la velocidad media es:

Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de centro O , radio r y desplazamiento angular como la de la figura 19.

Entonces, la velocidad angular media se define como el ángulo barrido por el radio R en la unidad de tiempo:

La velocidad angular instantánea, se define como:

Así como la aceleración media en un movimiento rectilíneo se define como:

15

Fig. 18

Fig. 19

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Tanto la velocidad como la aceleración angular son magnitudes vectoriales. Están ubicadas en la normal a la circunferencia, en el punto O y con sentido regla de la mano derecha .

10.2. Relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal.

Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de centro O y radio r . La velocidad angular y la velocidad lineal se relacionan por la expresión:

Entonces:

Otra forma de obtener la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal es trabajando con los módulos:

Dividiendo la igualdad por

v =

y también entonces

llegando finalmente a:

En el caso de una circunferencia el radio es constante e igual a r

Entonces la ecuación se transforma en:

En una circunferencia = r

Aceleración lineal en función de las dos magnitudes 16

Fig. 20

Fig. 21


angulares ( ) en una circunferencia. 12. CUERPO LANZADO HORIZONTALMENTE –Sin rozamiento, en el vacío y en un campo gravitatorio-.

Un cuerpo se desliza por un plano inclinado bajo la única acción de la componente de su peso paralela al plano ( ).

Al encontrarse el plano inclinado con el plano horizontal, dicha componente ( ) desaparece y el cuerpo

queda animado solo por la velocidad que traía hasta ese punto. A partir de allí la velocidad es constante ( ). En consecuencia el movimiento en el eje x es rectilíneo y uniforme.

A partir del punto O la aceleración de la gravedad genera un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, en el eje y.

En consecuencia:En el eje x: la velocidad vx es constante y la aceleración ax es 0 ya que el movimiento es rectilíneo y uniforme En el eje y: la aceleración ay es la aceleración de la gravedad g

Para determinar las velocidades en cada eje :

Integrando:En el eje x

En el eje y

Resolviendo la integral:En el eje x, la velocidad es: En el eje y, la velocidad es:

Para determinar las posiciones en cada eje:

integrando ambas expresiones:

En el eje x :

En el eje y : entonces:

La posición en el eje x es:

17

Fig 22


La posición en el eje y es:

La velocidad que anima al cuerpo en un punto de la trayectoria es

Las coordenadas de la posición del cuerpo en la trayectoria son:

Las aceleraciones son:

la aceleración es vertical

En el caso de un cuerpo lanzado horizontalmente, el movimiento vertical es independiente del movimiento horizontal y viceversa

Analicemos la aceleración de este movimiento:

Recordando: donde es la aceleración tangencial y es la

aceleración normal

Se concluye que:

18


12.1. RADIO DE CURVATURA. Por definición, la aceleración normal es:

13. TIRO OBLICUO EN EL VACIO y en un campo gravitatorio.Desde el origen de coordenadas un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial formando un ángulo con la horizontal, según muestra la figura 23.

Al peso lo descomponemos según los ejes x e y : pero

En el eje x :

La componente de la velocidad inicial según el eje x es:

vx = = vo . cos pero en el vacío vx es constante

En el eje y: integrando :

19

Fig. 23


La componente de la velocidad inicial según el eje y es: entonces vy = vo sen - g.t

Cálculo de los espacios

x = vo . cos . t espacio sobre el eje x o ALCANCE

y = vo sen .t - g . t2 espacio sobre el eje y o ALTURA

Cálculo de la altura máxima

Cuando se llega a la altura máxima, la componente de la velocidad en el eje y es cero :

vy = vo sen - g.t = 0 (1) tiempo que tarda en alcanzar la altura

máxima

reemplazando t obtenemos

=

La altura máxima obtenida es la que corresponde a un ángulo dado, pero la mayor de las alturas máximas corresponderá para = 90º, es decir el cañón apuntando hacia arriba sobre el eje y:

Cálculo de la distancia máxima (alcance). El alcance se obtiene cuando el proyectil toca el eje de las x y = 0

y =

20


(2) tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima

Vemos que el tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima (2) es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, entonces la distancia máxima será:

x = vo . cos . t

es decir que

Para obtener el mayor alcance máximo el ángulo entonces sen 2 = sen 90º = 1

En el tiro oblícuo en el vacío y en un campo gravitatorio, se observa que la trayectoria es una parábola. A continuación veamos cuál es la posición de esa parábola. Sabiendo que x = vo . cos . t (1)

(2)

De (1) despejamos t y lo reemplazamos en (2)

pero

= entonces reemplazando nos queda:

y ordenando según la variable x tendremos

Esta ecuación es del tipo y = -k. x2 + tg . x donde k y tg son constantes

y = - a x2 + b . x

esta última es la ecuación rectangular de una parábola con concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término independiente de x2) y que pasa por el origen .

Parábola de seguridad

Si ordenamos la ecuación de la parábola según tg tenemos:

21


igualando a cero toda la expresión nos queda

ecuación de segundo grado donde tg es la

incógnita

Tenemos que hallar el valor de y ; para ello llamamos:

“a” al valor “ y “c” al valor “tg ” entonces en la ecuación de 2º grado:

- a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0 esta es una ecuación del tipo = - a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0Para encontrar la solución singular de esta ecuación diferencial asociada a se debe eliminar c entre y

Reemplazando en

reemplazando a por su valor

Esta última es la ecuación de una parábola con la concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término cuadrático) y con su eje vertical coincidiendo con el eje de las y del sistema cartesiano .

Problema de ejercitación.

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Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 200 m de altura, con una velocidad de 200 m/seg. formando un ángulo de 30° con la horizontal. (figura 25)Despreciando la resistencia del aire, calcular:

a) La distancia horizontal hasta el punto de caída del proyectil.

b) La altura máxima que alcana el proyectil con respecto al suelo.

Recordemos una vez más que los movimientos verticales y horizontales son independientes.

Movimiento vertical:

Movimiento horizontal:

a) Distancia horizontal: b) Altura máxima:

23

Fig. 25


14. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.

Es un movimiento cuya trayectoria es una circunferencia y el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. Es decir, la velocidad angular es constante: el radio barre (o describe) áreas iguales en tiempos iguales.En el punto A construimos el triedro de Frenet. El versor tangente ; el

versor normal principal y el , normal al plano oscilador (no dibujado)Observación: las curvas planas están desarrolladas totalmente en el plano oscilador (figura 26)Si r = cte, es : v = . r también v = cte Es decir, el módulo de la velocidad lineal es constante mientras que el vector velocidad , cambia constantemente ya que es tangente a cada

punto de la trayectoria .

Y también la aceleración angular ya que

Si to = 0 es decir si comienzo el estudio en ese punto A (s = so , to = 0)

s , so son dos puntos sobre la circunferencia

b) si = 0, tenemos v = cte y la fórmula general de la aceleración:

este vector tiene el mismo sentido que o sea que:

y

Y en magnitudes angulares:24

Fig. 27

Fig. 26


y

En todos los puntos solamente habrá un vector aceleración igual a su aceleración normal principal, dirigido hacia el centro de la circunferencia.

15. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO.

La característica de este movimientos es que: = cte , y, como es :

de donde

Entonces es decir que la componente tangencial de la aceleración lineal es constante en su módulo.

Pero si bien la aceleración angular = cte, también vemos que la velocidad lineal es distinta (va cambiando con el tiempo, no es constante) pero la aceleración tangencial si es constante; , es decir que la componente tangencial de la aceleración es constante en su módulo mientras que la aceleración

normal va creciendo; o sea que la aceleración total va creciendo

En función de las magnitudes angulares la aceleración es:

25

Fig. 28


Además en el movimiento circular uniforme tenemos:

= cte ; v = cteentonces: = m

Es decir, debemos acordarnos de las fórmulas lineales y reemplazar:x por xo por o

v por

Si el movimiento hubiera sido circular uniformemente acelerado y queremos expresarlo en función de las magnitudes angulares : y , tenemos:

Entonces despejando la velocidad angular (

(En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: v = vo + a.t)Debemos recordar los rectilíneos y reemplazar:v por vo por o

a por

Para hallar el ángulo descripto, recordamos que la velocidad media :

Y el ángulo barrido a esa velocidad media será:

Si o (ángulo inicial) 0

26

Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática (En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: x = xo +vo.t + ½ a.t2)Recordar y reemplazar:x por xo por o

vo por o

a por

Velocidad angular en función del ángulo descripto:

Recordar: v2 = vo2 + 2.a.(x – xo) ; y reemplazar:

v por vo por o

a por x por xo por o

Periodo T: Se llama periodo de un movimiento circular uniforme al tiempo que tarda un punto móvil en dar una vuelta completa. Como el movimiento circular es repetitivo, el periodo es el intervalo (espacio de tiempo) en que se vuelve a repetir el movimiento.

Frecuencia f: Es el número de vueltas del punto móvil que realiza en la unidad de tiempo.f = 1/T (1/seg)Además si consideramos que en este movimiento la velocidad lineal es:

De (1) despejamos y lo reemplazamos en (2) obtenemos = .

Problema de ejercitación.Un árbol (eje) gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto). Después de desconectar el motor adquiere movimiento uniformemente desacelerado y se detiene al cabo de t1 = 40 seg.Determinar el número de revoluciones efectuadas por el árbol durante ese tiempo.

27


La velocidad angular o inicial del árbol en rotación retardada es igual a la velocidad angular que éste desarrollaba antes de desconectar el motor.

En el instante que se detiene el árbol, cuando t = t1, la velocidad angular 1 = 0. Poniendo estas velocidades en (b).

.

Si designamos el número total de revoluciones hechas por el árbol, durante el tiempo t 1, por N, el ángulo total de rotación en el mismo t1 será igual a: 1 = 2..N

Colocando estos valores de y en (a)

16. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.)

Supongamos que un punto móvil gira sobre una circunferencia con movimiento circular uniforme: = cte.Entonces: = cte ; | v | = cteEn el punto A, el móvil tiene una velocidad v y una aceleración normal (que es la única que posee) an, dirigida hacia el centro de la circunferencia. Las proyecciones de ambas sobre el eje de las x son vx y ax respectivamente.Entonces podemos considerar que mientras el móvil real, en la figura 29, recorre la circunferencia en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, con un movimiento circular uniforme; el móvil ideal, que representamos por el punto A1

recorre alternativamente el eje de las x, desde M a M1 y viceversa. La proyección describe un movimiento armónico simple.

Sabemos que:

En la figura 29, el triángulo OA1A:28

Fig. 29


Es decir, la aceleración del móvil ideal sobre el eje x, es proporcional al apartamiento (elongación), con respecto al centro O, y tiene signo contrario a las de las elongaciones x (y además las aceleraciones siempre están dirigidas hacia el centro).Cuando x = r, la elongación se llama amplitud.

Observando la figura 30, en el punto M, la velocidad del móvil ficticio, (proyección del móvil real que está sobre la circunferencia), es 0 y la aceleración es máxima y de sentido contrario a las x positivas.Cuando el móvil real está en A, la velocidad del móvil ficticio es máxima y la ax = 0.El móvil real parte de M hacia A, M’, A’ y vuelve a M, con movimiento circular uniforme. Su proyección, el móvil ficticio, sale de M pasa por O, llega a M’, vuelve a pasar por O y termina en M.

Algunas veces conviene proyectar sobre el eje “y”.En este caso:

29

Fig. 31

Fig. 30

unidad ii: cinematica

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