modulo de cinematica de un punto material - 2014 (ultimo).doc

7/25/2019 Modulo de Cinematica de un Punto Material - 2014 (Ultimo).doc

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CINEMTICA DE UN PUNTO MATERIAL

Por: M.Cs. Lic. Norbil H. Tejada Campos

Compilacin de Informacin Bibliogrfica

1. INTRODUCCION

Cinemtica. !s considerada como parte de la "inmica# $ se oc%pa de est%diar el mo&imientode los c%erpos sin considerar las ca%sas '%e lo prod%cen# tambi(n se p%ede considerar como la)eometr*a del mo&imiento.

Partcula.- !l concepto int%iti&o '%e tenemos de part*c%la corresponde al de %n objeto m%$pe'%e+o '%e p%ede tener forma# color# masa# etc.# como por ejemplo %n grano de arena. !lconcepto f*sico abstracto es %na ideali,acin de %n objeto considerado como %n p%nto

matemtico sin dimensiones# '%e tendr slo posicin# masa $ mo&imiento de traslacin. !stosignifica '%e c%al'%ier objeto p%ede ser considerado como part*c%la# independiente de s%tama+o# considerando s% masa concentrada en %n p%nto '%e lo representa. !jemplos de objetos'%e se p%eden considerar como %na part*c%la son %n tomo# %na -ormiga# %n a&in# la Tierra#etc.# en este ltimo caso se j%stifica si se est%dia s% mo&imiento de traslacin en torno al /ol.

Mo&imiento. /e define como el cambio contin%o de posicin '%e e0perimenta %n c%erpo amedida '%e transc%rre el tiempo con respecto a %nsistema de referencia.

Trayectoria.- Es la c%r&a o l%gar geom(trico '%e describe %na part*c%la en s% mo&imiento en elespacio# $ se representa por %na ec%acin algebraica. Por ejemplo# en %n mo&imiento

%nidimensional la tra$ectoria es %na l*nea recta# y = constante, paralela al eje 01 en %nmo&imiento bidimensional la tra$ectoria p%ede ser %na parbola# y = a + bx2# %nacirc%nferencia#x2+ y23 r2# % otra c%r&a.

/egn la tra$ectoria se tiene di&ersos tiposde mo&imiento como los sig%ientes:Trayectoria MovimientoL*nea recta Mo&imiento rectil*neo.Parbola Mo&imiento parablico.Circ%nferencia Mo&imiento circ%lar.!lipse Mo&imiento el*ptico.4ndas # etc. Mo&imiento ond%latorio# etc.

/egn s% &elocidad# tenemos las sig%ientes clasesde mo&imientos:Mo&imiento %niforme [ ]v constante= 5 [ ]6=a .Mo&imiento %niformemente &ariado [ ]v constante 5 [ ]a constante= .Mo&imiento &ariado [ ]v constante 5 [ ]a constante .

Posicin.- !s la %bicacin de %n objeto 7o part*c%la8 en el espacio# relati&a a %n sistema de

referencia. !s %n &ector $ se denota por !"#yixtrr ++== 87 # dondex, y $" son los &alores

de la posicin# en coordenadas cartesianas# en cada direccin# e i9 # #9 $ !9 son los &ectores

%nitarios en la direccin de cada ejex, y $"# respecti&amente.


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$espla"amiento.- El despla,amiento se define como el cambio de posicin de %na part*c%la enel espacio 7para indicar cambios o diferencias finitas de c%al'%ier &ariable en f*sica se %sa els*mbolo delta# 8. !s independiente de la tra$ectoria '%e se siga para cambiar de posicin. Para

determinarlo se debe conocer la posicin inicial ir $ final fr de la part*c%la en mo&imiento.

$istancia.- !s la longit%d '%e se -a mo&ido %na part*c%la a lo largo de %na tra$ectoria desde%na posicin inicial a otra final. /% &alor n%m(rico en general no coincide con el &alor n%m(ricodel despla,amiento# e0cepto en casos m%$ partic%lares.

Tiempo.- ;


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>ig 62. Posicin de %na part*c%la d%rante s% mo&imiento en el espacio

3. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

3.1. "espla,amiento:La posicin de %na part*c%la '%eda determinada dando simplemente %n nmero 7la ?coordenada0@8. La descripcin de s% mo&imiento es completa si conocemos la f%ncin 07t8 '%e indica laposicin '%e oc%pa en cada instante t. La diferencia entre la coordenada de %na part*c%la entre

dos instantes tA$ t27con t2 tA8 se denomina despla,amiento: A2 xxx =

!l despla,amiento es %na magnit%d &ectorial# por lo tanto tiene mod%lo# direccin $ sentido. /ila coordenada 0 de la part*c%la se incrementa d%rante cierto inter&alo de tiempo# entonces eldespla,amiento es positi&o1 si# por el contrario# decrece# el despla,amiento es negati&o.

3.2. elocidad ( )v :!s la magnit%d de tipo &ectorial '%e nos indica ladireccin en '%e se m%e&e %n c%erpo# $ s% &alor nos da ladistancia '%e recorre en cada %nidad de tiempo.)rficamente &iene a ser la tangente a la tra$ectoria. /ee0presa en %nidades segn el sistema# como: m.sA1 cm.sA1pie.sA1 Dm.-A1 milla.-A1 etc.

elocidad media 7 mv 8:

"e la fig%ra# tenemos: 0 3 70E08708 $ t 3 7t E t87t81

!ntonces1 el despla,amiento de la part*c%la 7o c%erpo8 en


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el inter&alo de tiempo 7t8# esta relacionado de la sig%iente manera# lo c%al define la &elocidad

media# como:

Matemticamente: Fl despla,amiento por %nidad de tiempo#

iempoervalo

entodespla"ami

t

xvm

detint

=

= . . . . . . . . 7ec. 6A8

)rficamente:

tan& x

t=

. . . . . . . . . 7ec. 628

'elocidad instant(nea )v* nterpretacin fsica/i se -ace cada &e, ms pe'%e+o

t# entonces el p%nto P'%eda cada &e, ms cerca a P;-asta '%e x, coincide con la tangente en P a la

tra$ectoria.

Matemticamente:

t

xvv

tm

t

== 66

limlim v dx

dt= . . 7ec. 6G8

Lo c%al# se interpreta como la rapide, de &ariacindel despla,amiento 7A8.

)rficamente:

La &elocidad instantnea en c%al'%ier p%nto de %na grfica coordenadatiempo es# portanto# ig%al a la pendiente de la tangente a la c%r&a en dic-o p%nto 7de la fig%ra# en elp%nto P8.

"e la ec%acin 6G# tenemos: dx vdt =

Integrando# obtenemos 7donde1 para %n tiempo t6en la posicin 06$# para %n tiempo t en laposicin 08:

dx v dt

x

x

t

t

o o

= . 1 como: & 3 &7t8

x x v dtot

t

o

= .

x x v dtot

t

o

= + . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68

A a velocidad instant(nea se obtiene calculando la derivada del despla"amiento con respecto altiempo.


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3.3.celeracin ( )a

Magnit%d de tipo &ectorial# c%$o &ector representati&o indica la direccin en '%e cambia la

&elocidad1 $ s% &alor nos da el a%mento o dismin%cin '%e e0perimenta la &elocidad en cada%nidad de tiempo. /e e0presa en %nidades segn el sistema# tales como: m.s 21 cm.s21 pie.s21Dm.-21 milla.-21 etc.

celeracin media ( )ma

Matemticamente:of

of

mtt

vv

t

va

=

= . . . . . . . . . . 7ec. 68

celeracin instant(nea ( )a

Matemticamente:t

vaa

tm

t ==

66limlim a

dv

dt= . . . . . . . . . 7ec.

6J8

"e la ec%acin 6J# tenemos: dv adt =

Integrando# obtenemos 7donde1 para %n tiempo t6con %na &elocidad &6$# para %n tiempo t con&elocidad &81

dv a dt v

v

t

t

o o

= . 1 como: a a t= 7 8

v v a dt o

t

t

o

=

.

v v a dt ot

t

o

= + . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 6K8

3.4. Movimi!to R"ti#$!o U!i%o&m 'MRU(

"efinicin. !s el mo&imiento '%e sig%e %na part*c%la en la c%al s% tra$ectoria es %na l*nearecta $ s% &elocidad es constante.

E#emplo /0.- 1n mvil ue se despla"a en lnea recta recorriendo espacios i&uales enintervalos de tiempos i&uales describe un M314 tal es el caso de la fi&ura /5


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Tenemos1 & 3 constante1 a 3 61 lo c%al significa '%e la &elocidad no s%fre cambios.

"e la ec%acin 6G# obtenemos: dx vdt =

Integrando# tenemos:

dx v dt x

x

t

t

o o

= . 1 & 3 constante

x x v t to o

= 7 8

x x v t to o

= + 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68

3.). Movimi!to R"ti#$!o U!i%o&mm!t V*&i*+o 'MRUV(

"efinicin. !ste mo&imiento se caracteri,a por'%e el m&il recorre %na l*nea recta de tal modo'%e s% &elocidad a%menta o dismin%$e en cantidades ig%ales d%rante inter&alos de tiempotambi(n ig%ales.

E#emplo /2.- En la fi&ura /6, se representa el movimiento rectilneo uniformemente aceleradode un punto material )M31*, donde su velocidad aumenta uniformemente, de 0/ m7s en 0/m7s cada 2 s4 vale decir ue est( afectado de una aceleracin lineal de 8 m7s 2.


7/38

Tenemos '%e: a 3 constante1 lo c%al significa '%e# la &elocidad s%fre cambios ig%ales eninter&alos de tiempos ig%ales.

"e la ec%acin 6J# tenemos: dv adt =

Integrando1 dv a dt v

v

t

t

o o

= . 1 a3 constantev v a t t

o o= + 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68

Fdems# se tiene otras ec%aciones:

i. ( )[ ]dx v dt v a t t dt o o= = + . .

Integrando1

( )[ ]dx v a t t dt x

x

o o

t

t

o o

= + . 1 a = constante

( )x x v t t a t to o o o= + + 7 8 A

2

2. . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. A68

ii. dv a dt = . 1 vdv adt dx

dt=

vdv adx= .

Integrando1

vdv adxv

v

x

x

o o

= 1 a = constante

( )A

2

A

2

2 2v v a x x

o o =

v v a x xo o

2 2 2= + 7 8 . . . . . . . . . . . 7ec. AA8


8/38

E#emplo /9.- 1n automvil ue se nueve en lnea recta parte del reposo y se despla"a con unaaceleracin de : m7s2durante 8 s4 lue&o se apa&a el motor y el auto desacelera debido a lafriccin durante los si&uientes 0/ s a un promedio de 0,/ m7s24 por ;ltimo, se aplican losfrenos y el auto se detiene en 8 s m(s. $etermine la distancia total ue recorre el mvil.

/ol%cin


9/38

!n el tramo FB:"istancia recorrida:

2

2

A.


10/38

/ol%cin

Parte 7a8:

!n el inter&alo de 6 a G s:

Fceleracin: 8N72 2sma=

elocidad: 22 += tv

Posicin:

22 +== tdt

dxv

se tiene: dttdx 8227 +=

integrando: += dttdx 8227

A

2

2 =ttx ++=

"onde# por condiciones iniciales# setiene:

m=mxst 6A66 A66 ===

Tenemos:

A622 ++= ttx

Posicin para :Gst=

mx t 2I8G7 ==

!n el inter&alo de G a AA s:

Fceleracin: 8N7A 2sma = elocidad: AA+= tv Posicin:

AA+== tdt

dxv

se tiene: dttdx 8AA7 +=

integrando: += dttdx 8AA7

2

2 AA2

A=ttx ++=

"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:

m=mxst2

K2IG

A66 ===

Tenemos:

2

KAA

2

A 2 += ttx

Posicin para :Ist=

mx t GM8I7 == 7Opta8.

Parte 7b8:


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E#emplo /8.- En el &r(fico, se muestra la dependencia de la aceleracin en funcin deltiempo para una partcula ue se mueve en lnea recta. %e pide a* anali"ar el tipo demovimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b* la posicin y velocidad ue alcancedic@a partcula a los 8/ se&undos despuAs de @aber iniciado del reposo.


12/38

/ol%cin

Parte 7a8. Tipos de mo&imiento:

!n el inter&alo de 6 a A6 s: mo&imiento rectil*neo acelerado#8N7 2smta

=!n el inter&alo de A6 a G6 s: mo&imiento rectil*neo acelerado# 8N7J

I

2 2smta +=

!n el inter&alo de G6 a 6 s: mo&imiento rectil*neo %niforme# 8N76 2sma=

Parte 7b8. Posicin $ &elocidad para 87I6 st= :

!n el inter&alo de 6 a A6 s:

Velocidad:

t

dt

dva ==

se tiene: dttdv 87=

integrando: = tdtdv

A

2

2

A=tv +=


sm=smvst N6N66 A66 ===

Tenemos:

2

2

Atv=

elocidad para :A6st=

smv t NI68A67 ==

Posicin:

2

2A t

dtdxv ==

se tiene: dttdx 82

A7 2=

integrando: = dttdx 22A

2

G

J

A=tx +=


m=mxst 666 266 ===

Tenemos: G

JA tx=

Posicin para :A6st =

mx t JK#AJJG

I668A67

===

!n el inter&alo de A6 a G6 s:

Velocidad:J

I

2+== t

dt

dva


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se tiene: dttdv 8JI

27 +=

integrando: += dttdv 8JI2

7

G

2 J

I

A=ttv ++=


m=smvst NG6NI6A6 GA6 ===

Tenemos:

G6JI

A 2 += ttv

Posicin para :G6st=

smv t NGG68G67 ==

Posicin:

G6JI

A 2 +== ttdt

dxv

se tiene: dtttdx 8G6JI

A7 2 +=

integrando:

+= dtttdx 8G6JIA7 2

H

2GG6G

AI

A=tttx ++=


m=mxst A66G

I66A6 HA6 ===

Tenemos:

A66G6GAI

A 2G ++= tttx

Posicin para :G6st=

mx t GK668G67 ==

!n el inter&alo de G6 a 6 s:

Velocidad:

6==dt

dva

se tiene: 6=dvintegrando: 6=dv

I=v=


m=smvst GG6NGG6G6 IG6 ===

Tenemos:8tan7GG6 teconsv=

Posicin para :I6st=

smv t NGG68I67 == 7Opta8

Posicin:

GG6==dt

dxv

se tiene: dtdx 8GG67=

integrando: = dtdx 8GG67

JGG6 =tx +="onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:

m=mxst J266GK66G6 JG6 ===

Tenemos:J266GG6 = tx

Posicin para :I6st=

mx t A6G668I67 == 7Opta8

E#emplo /5.- 1n mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado decrecelinealmente con el despla"amiento entre los puntos y < ue distan 9/ m entre s. $etermineel despla"amiento BxC del mvil durante los 2 s ue preceden la lle&ada a B


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/ol%cin

"e la ec%acin de la recta: GHII2 += xv

Tenemos: GHII += xv

GHII +== xdt

dxv

se tiene: vdtdx=

dtx

dx=

+ GHII

integrando:

=+

t

tx

dtx

dx

2

HI

GHII1 integral del tipo:

baxxa

x

x

dx +== 2

[ ]tx t

t

x

2

HI

I

GHII2

=

+

mx 6M.AL= 7Opta8.

3.. Movimi!to V&ti"*#.- C*$+* Li&

"efinicin.- !s el caso ms importante de %n mo&imiento rectil*neo %niformemente acelerado7MOF81 en el c%l los c%erpos caen libremente 7sin obstc%los8 -acia la tierra en direccin

&ertical $ con %na aceleracin constante e'%i&alente a la aceleracin de la &ravedad ( )& # la

misma '%e &ar*a de %n l%gar a otro de la s%perficie terrestre.

'alores de & !l &alor de la aceleracin de la gra&edad 7g8 es propia de cada c%erpo celeste. !n

el caso partic%lar de la tierra# se considera %n &alor standard de #Ams2 G2#2 piess21


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"efinicin. !s a'%el mo&imiento en '%e la part*c%la recorre %na tra$ectoria c%r&a# $a sea en el plano7O28 o en el espacio 7OG8.

Poi"i!. !"#yixtrr ++== 87

V#o"i+*+ 87v .

V#o"i+*+ M+i* ( )mv .- !l m&il se -adespla,ado por el arco AA 7 1 eldespla"amiento# es %n &ector .. r

N = #segn la fig%ra tenemos:

r r rN = +

( ) ( ) ( ).. r r r x x i y y # " " !N N N N N= = = + +

r xi y# "! = + +

t

rvm

=

v

x

ti

y

t#

"

t!= + +

. . . . . . . . . . . . 7ec.

A8

3epresentacin &r(fica: la &elocidad promedio se representa por %n &ector paralelo al despla,amiento

.. rN =

V#o"i+*+ I!t*!t8!* ( )v .-si -acemos t pe'%e+o 7t 68# tenemos:

t

rvv

tm

t

==

66limlim

rdt

rdv

== . . . . . .

7ec. AJ8

3epresentacin &r(fica: la &elocidad instantnea es %n&ector tangente a la tra$ectoria en el p%nto enreferencia.

TambiAn:

v

dx

dti

dy

dt#

d"

dt!= + + . . . . . . . . . 7ec. AK8

Las componentes de la &elocidad a lo largo de los ejes de coordenadas# son:

v dx

dtx = 1 v

dy

dty

= 1 v d"

dt"= . . . . . . . . . . . . 7ec.

A8


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La magnit%d de la &elocidad se determina por la ec%acin:

v v v vx y "= + +2 2 2

. . . . . . . . . . . . 7ec. A8

a on&itud del rco,s# trata de conf%ndirse con r # lo '%e permite:

ds

rd

s

r

st

=

6lim !

ds

d"#

ds

dyi

ds

dx

ds

rd ++= . . . . . . . . . . . 7ec. 268

donde:ds

dx1

ds

dy1

ds

d": representan los cosenos directores de la tangente a la c%r&a.

Tambi(n# se sabe '%e 7L 9o&*&i*8:222 d"dydxds ++=

"e donde:

Tud"dydx

!d"#dyidx

ds

rd =

++

++=

222. . . . .

. 7ec. 2A8

Por lo tanto# la ec. AJ# res%lta:

Tuv

dt

ds

ds

rd

dt

rdv

=== . . . . . . 7ec. 228

Aceleracin 87a .-

A"#&*"i! M+i* ( )ma :

t

vam

=

!

t

v#

t

vi

t

va "

yxm

+

+

= . . . . . 7ec. 2G8

Aceleracin Instantnea ( )a .-si -acemos t pe'%e+o 7t 8# tenemos :

t

vaa

tm

t

==

66limlim r

dt

vdv

== . . . ..

7ec. 28


18/38

/i la aceleracin no es %na constante# al deri&arla con respecto al tiempo res%lta:

rdt

rd

dt

rd

dt

d

dt

d

dt

vd

dt

d

dt

ad==

=

=

G

G

. . . .. 7ec. 28

"onde la deri&ada de la aceleracin#dt

ad# representa la &ariacin de la aceleracin debido a %na

&ariacin de la f%er,a res%ltante responsable de la aceleracin# %tili,ada en m'%inas# a esta deri&adase le llama PULSOo


19/38

b8 Para t36#2 s# determinar:

Posicin:

#yixr +=

"onde:87282I.67cos2cos2 mtx ===

872

282I.67 msentseny ===

( ) 872

222I#6 m#irt

+==

Velocidad:

( )#yixdt

d

dt

rdv

+==

#titsenv cos2 +=

( ) #iv t

2

222I#6 +==

( ) 8N722#2HH#H2I#6 sm#iv t +==

Md%lo: ( ) 8N7MJH#H2I#6 smv t ==

Aceleracin:

( )#vivdt

d

dt

vda yx

+==

#tsenita 22 cos2 =

( ) #ia t 22

2I#62

22 ==

( ) 8N7ML#JMJ#AG 2

2I#6 sm#ia

t ==

Md%lo: ( ) 8N7JA#AI 2

2I#6 sma

t ==

E#emplo /:.- %e sopla el &rano @acia un contenedor de tren abierto con una velocidad 'ode 5m7s. Gu(les deben ser las elevaciones BdC mnima y m(xima para ase&urar ue todo el&rano cae en el tren. Hmitir todo efecto de ro"amiento y el viento.


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/ol%cin

a8 Mo&imiento Hori,ontal:

Aceleracin:

8N76 2..

smxax ==

Velocidad:

dt

xdx

...

=

87......8N7JA

.

asmv=x ox ===

Posicin:

dt

dxx=

.

2J =tx +="onde: mxyst 66 66 ==

m= 62 =

87...... btvx ox=

b8 Mo&imiento ertical:

Aceleracin:

8N7LA#M 2

..

sm&yay

===

Velocidad:

dt

ydy

...

=

G

.

=&ty +=

"onde: smyyst N66 6

.

6 ==sm= N6G =

87.........

c&ty=

Posicin:

dt

dyy=

.

H

2

2

A=&ty +=

"onde: myyst 66 66 ==

m= 6H =

87......2

A 2d&ty=

Anlisis:

AQ8 Flcance m*nimo:

smvxymxx NJI#H 6

.

min ===


21/38

!n la ec%acin 7b8# tenemos:

sv

xt

x

KI#66

minA ==

Oeempla,ando en la ec%acin 7d8# obtenemos:

stt%i KI#6A=

A2

A 2min t&dy =

22

min 8KI#687NLA#M72

Assmd =

mmd KJ#2KIM#2min = 7Opta8.

2Q8 Flcance m0imo:

smvxymx x NJI#K 6

.

ma0 ===

!n la ec%acin 7b8# tenemos:

sv

xt

x

2I#A6

ma0

2 ==

Oeempla,ando en la ec%acin 7d8# obtenemos:

stt%i 2I#A2 =

22

A 2ma0 t&dy =

22

ma0 82I#A87NLA#M72

Assmd =

mmd JJ#KHJJ#Kma0 = 7Opta8.

!ntonces# el &alor de ?d@# para aseg%rar '%e todo el grano caiga en el tren# debe ser entre:

ma0min ddd

mdm JJ#KKJ#2

4.2. V#o"i+*+ *"#&*"i! ! Coo&+!*+* I!t&$!"*.- Com0o!!t T*!5!"i*# No&m*#

C%ando %na part*c%la se m%e&e sobre %na tra$ectoria c%r&il*nea tiene %na aceleracin dirigida

-acia el interior de la c%r&a# dic-a aceleracin tiene dos componentes %na tangencial ( )Ta $ %na

normal ( )Ia # c%$as direcciones son Tu $ Iu .


22/38

Fs*# tenemos '%e:

IT aaa += . . . . . . . . . . .. . . 7ec. G68

dt

udvu

dt

dv

dt

uvd

dt

vda TT

T +=== 87

"ed%ci(ndose '%e:

IT uv

udt

dva

+

=

2

. . . . . . . . . . .. . . 7ec. GA8

Oadio de c%r&at%ra:

. . . . .. . . 7ec. G28

E#emplo IJ /6.- %e lan"a un cuerpo @ori"ontalmente con una velocidad de 9/ m7s en el campo &ravitatori$eterminar el radio de curvatura de su trayectoria a los 2 se&undos despuAs de ser lan"ado dic@o ob#eto.

/ol%cin

2NG

2

2

2

A

dx

yd

dx

dy

+

= rr

r

=G


23/38

E! # 06!to >:a8 elocidad: #vivv


24/38

/ol%cina8 !c%acin de la tra$ectoria $3$708:

Mo&imiento -ori,ontal 708:

8N7H#JQGKcos66 smvvv xx === tttvxx x H#JH#J666 =+=+=tx H#J= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7a8

Mo&imiento &ertical 7$8:

8N7L#HQGK66 smsenvv y ==

2

662

A&ttvyy y ++=

22 M6I#HL#H8LA#M72

AL#H6 tttty =++=

2M6I#HL#H tty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b8

!liminando la &ariable ?t@ de las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:2A2#6KI#6 xxy = . . . . . . . . . . . . 7c8 7Opta. A8.

b8 Para t 3 6#2 s# tenemos:

Posicin: en las ec%aciones 7a8 $ 7b8#mssmx J#A82I#687NH#J7 ==

mssmssmy LM#682I#687NM6I#H782I#687NL#H7 22 ==

P 3 7A#J 1 6#8 m 7Opta. 28.

elocidad:deri&ando las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:

8N7H#JQGKcos66 smvvv xx === . . . . . . . . . . . . 7d88N7LA#ML#H

6 smt&tvv

yy =+= . . . . . . . . . . . . 7e8

Oeempla,ando el &alor de t 3 6#2 s# obtenemos:

8N7H#JQGKcos66 smvvv xx ===

smssmsm&tvv yy NGI#282I#687NLA#M78NL#H7 2

6 ==+=


25/38

8N7GI#2H#J sm#i#vivv yx +=+=

Mod%lo : 8N7LAL#J smv =

"ireccin : xe#eelcon += AJG.26 7Opta. G8.

Fceleracin:

deri&ando las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:

8N76 2smax = . . . . . . . . . . . . 7f8

8N7LA#M 2

sm&ay == . . . . . . . . . . . . 7g8

8N7LA#M6 2sm#i#aiaa yx =+=

Componente tangencial de la aceleracin: 8N7GL#GQAJG.268NLA#M7 22 smsensm&senat ===

Componente normal de la aceleracin :

8N72A#MQAJG.26cos8NLA#M7cos 22

smsm&an ===

8N72A#MGL#G 2smuuuauaa ntnntt +=+= 7Opta. 8.

Oadio de c%r&at%ra 7W8:

"eri&ando la ec%acin 7c8# $ reempla,ando para 87J#A82I#67 mx st == # obtenemos '%e:

2A2#6KI#6 xxy =


26/38

GJJ#62H#6KI#6J#A

J#A

====

=x

x

xdx

dyy 2H#62H#6

J#AJ#A

==

==

=x

xdx

ydy

( )[ ] 876GA#I2H#6

GJJ#6AA

2NG2

J#A

2

2

2NG2

m

dx

yd

dx

dy

x

=

+=

+

=

=

876GA#I m= 7Opta. 8.

E#emplo IJ 00.- 1n cuerpo resbala por una rampa ue tiene forma de @ipArbola dada por la ecuacin =xy

. uando el cuerpo lle&a al punto x = 2 m, tiene una rapide" de 8 m7s ue disminuye a ra"n de 0,2 m7sdetermine para dic@a posicin a* el radio de curvatura de la trayectoria y, b* la aceleracin del cuerpo.

/ol%cin

a8 Oadio de c%r&at%ra 7W8:

"eri&ando la ec%acin de la c%r&a# $ reempla,ando para 872 mx= # obtenemos '%e:

xy

A= 2I#6

A

2

2

2

===== xx xdx

dyy 2I#6

2

2G

2

==

=== xx xdx

ydy

( )[ ] 87GL#H2I#6

2I#6A

A2NG

2

2

2

2

2NG2

m

dx

yd

dx

dy

x

=+=

+

=

=

b8 Fceleracin 87a :

La direccin de la tangente a la c%r&a en 032 m# lo determinamos calc%lando la pendiente de la c%r&a# as*tenemos:

2I#6A

2

2

2

====== xx xdx

dyym


27/38

2I#62

===xdx

dyta&

Q6GJ.AH82I#67 == ta&arc

Para 0 3 2 m# tenemos:

elocidad : 8N7I smuv t=

Fceleracin : a8 !n coordenadas intr*nsecas 7tangencial $ normal8:

nntt uauaa += 1 donde:

8N72#A 2smat= 1 8N72#A 2smua tt =

8N7KA#IGL#H

8NI7 222

smm

sma

va nn ===

8N7KA#I2#A 2smuua nt+= 1 Mod%lo: 8N7LGI#I 2sma =

Fceleracin : b8 !n coordenadas cartesianas 70$8:

#aiaa yx += 1 donde:8N722A#6cosKA#Icos2#A 2smax =+=

8N7LGA#IKA#I2#A 2smsensenay =+= 1

8N7LGA#I22A#6 2

sm#ia += 1 Mod%lo:

8N7LGI#I 2sma =

4.3. Movimi!to C6&vi#$!o ! # P#*!o 'R2( ! Coo&+!*+* Po#*&.- Com0o!!t R*+i*# T&*!v&*#

!n m%c-os casos es ms cmodo e0presar la posicin de %na part*c%la como %na %ncin del ng%lo . !s

decir# ( )rr= # '%e corresponde a la posicin e0presada en coordenadas polares# '%e &iene a ser %na


28/38

componente paralela a r $ la otra perpendic%lar a (l# reciben lo nombres de componentes radial $trans&ersal# respecti&amente.

!n la fig%ra# tenemos los &ectores %nitarios:

( ) ( )#seniur += cos#isenu 87cos87 +=

Posicin:

rurr= . . . . . . . . . . . 7ec. GG8

Velocidad:

( )dt

udru

dt

drur

dt

d

dt

rdv rrr

+===

u

dt

dru

dt

drv

r

+=


29/38

( ) ( ) ururv r += . . . . . . . . .. . . . 7ec. G8

"e donde:

r

dt

drvr ==

r

dt

drv == . . . . . . . . . . . . . 7ec. G8

Aceleracin:

( )ururdt

d

dt

vda

r

+==

urrurra r ++= 22 . . . . . . . . . . . 7ec. GJ8

"e donde:

2 rrar =

( ) 2A

2 rdt

d

rrra =+= . . . . . . . . . . . 7ec. GK8

E#emplo IJ 02.-El tubo doblado ue lleva a&ua, de seccin transversal uniforme, &ira alrededor del e#e vertical // m)constante*, determine la ma&nitud de la velocidad y aceleracin de una partcula de a&ua inmediatamente antessal&a del tubo en .


30/38

/ol%cin

Fnlisis en coordenadas polares:

Componente radial : mmmr A2#6A26 == 1 smsmmvr r NH#6NH66 === 1 2N6 smr=

Componente trans&ersal: t = 1 sradrev N

G

AHminNAH6

== 1 2N6 srad=

a8 elocidad ( )v :

ururv r +=

8N7KJ#AH6#6 smuuv r +=

Md%lo : 8N7L6I#A smv =

"ireccin : QAM#KK=

b8 Fceleracin ( )a :

( ) ( ) urrurra r ++= 22

8N7KG#AAKM#2I 2smuua r +=

Md%lo : 8N7GG#2L 2

sma =

"ireccin : QHJ#2H=


31/38

4.4. Movimi!to C6&vi#$!o ! # E0*"io 'R3( ! Coo&+!*+* Ci#$!+&i"*

La posicin de %na part*c%la# se p%ede e0presar

como %na f%ncin de O# $ 1 es decir:

( )L3rr ##= # donde las componentes O# $ se denominan coordenadas cil*ndricas.

"onde los &ectores %nitarios: 3u 1 u Lu #

forman %n triedro derec-o# para los c%ales se

c%mple uuu 3L =

!n la fig%ra# tenemos:

Posicin:

L3 uLu3r += . . . . . .

. . 7ec. G8

donde: #seniu3 8787cos +=

Velocidad:

( )L3 uLu3dt

d

dt

rdv

+==

( ) ( ( ) L3

uLu3u3v ++=

X 7ec. G8

"e donde:


32/38

3dt

d3v3

== ;

3

dt

d3v == 1 L

dt

dLvL

== . . . . . . . . 7ec. 68

Aceleracin:

( )L3

uLu3u3dt

d

dt

vda

++==

( ( L3

uLu33u33a +++=

22

. . . . . . . . . . 7ec. A8

"e donde:

2 33a3 = ; ( ) 2A2 3

dt

d

333a =+= 1 LaL

= . . . . . . 7ec. 28

E#emplo IJ 09.- El movimiento de una partcula relativo al sistema de referencia xy", est( dado por las ecuaciparamAtricas tx J= 4 ty A6= 4 A6G +=t" , en unidades en el sistema internacioExpresar, usando coordenadas cilndricas, las componentes en las direcciones radial, transversal y axial, dposicin, velocidad y aceleracin de la partcula.

/ol%cin

a8 Posicin:

"r u"urHP +=

( ) ( ) 87A6JJ#AA G mututHP "r ++=

b8 elocidad:

( ) ( ) ( )( )"r ututdt

dHP

dt

dv

A6JJ#AA G ++==


33/38

( ) ( ) ( ) "rr ututuv 2

GJJ#AAJJ#AA ++= 1 Pero: uur =

( ) ( ) ( ) "r ututuv 2

GJJ#AAJJ#AA ++= Para n%estro ejemplo: 8N76 srad=

( ) ( ) 8N7GJJ#AA 2 smutuv "r+=

c8 Fceleracin:

( ) ( ) ( )( )"r utudt

dv

dt

da

2GJJ#AA +==

( ) ( ) ( ) "rr

utuua JJJ#AA6 ++= 1 Pero: uur =

( ) ( ( ) "r

utuua JJJ#AA6 ++=

Para n%estro ejemplo: 8N76 srad=

8N7J 2

smuta "=

4.). Movimi!to C6&vi#$!o ! # E0*"io 'R3( ! Coo&+!*+* E%?&i"*

La representacin de la posicin de la part*c%la mediante

coordenadas esf(ricas# se da mediante los parmetros r#

1 donde:

r es la distancia de 4 a P. es la medida del ng%lo diedro formado por el R

el plano 4PF. es la medida del ng%lo '%e forman 4P con el eje

4.

/iendo: uuur # # &ectores %nitarios positi&os# losc%ales se p%eden e0presar en f%ncin de los &ectores

%nitarios !#i # # as*:

!#sensenisenur

87cos878cos7 ++=!sen#seniu 8787cos8cos7cos +=

#isenu 87cos87 +=

. . . . . . . . . 7ec. G8

Posicin:

rurr= . . . . . . . . . 7ec. 8

Velocidad:

( ) ( ( usenrururv r ++= . . . . . . . . 7ec. 8

"e donde:

rvr = ; rv = 1 senrv = . . . . . . . . 7ec. J8


34/38

Aceleracin:

( ) ( ) ( ) usenrrsenrusenrrrusenrrra r +++++= cos22cos2 2222

. . . . . . . . . 7ec.K8

"e donde:

222 senrrrar =

cos2 2

senrrra +=

senrrsenra ++= cos22 . . . . . . . . 7ec. 8

E#emplo IJ 0>.-a &r;a &ira en torno al e#e vertical $ con celeridad constante de 2 rev7min. l mismo tiempo,

el a&uiln o pluma < de 02 m de lon&itud va descendiendo a ra"n constante de srad NA6#6=

. alcular lavelocidad y aceleracin del extremo < de la pluma en el instante en ue pasa por la posicin = 9/J.

/ol%cin

Componentes en coordenadas esf(ricas:

mr.< A2== 1 smr N6= 1 2N6 smr=

8N726M#6minN2 sradrev == 1 8N76 2srad=

87I2#687JQG6 radrad ===

1 8N7A6#6 srad=

1 8N76 2

srad=

a8 elocidad:

vvvv r ++=

"onde:

8N76 smrvr

==

8N72IH#A smsenrv ==

8N72#A smrv ==

8N726#A2IH#A6 smuuuv r ++=

Md%lo: 8N7KH#A smv =


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b8 b8 Fceleracin:

aaaa r ++=

"onde: 8N72IA#6 2222 smsenrrrar ==

N7HGH#6cos22

smsenrrsenra =++=

8N722K#6cos2 22

smsenrrra =+=

8N722K#6HGH#62IA#6 2smuuua r +=

Md%lo: 8N7II#6 2

sma =

Eig. NQ !..[.

AA. "eterminar el ng%lo \ ms pe'%e+o# medido desde la -ori,ontal# con '%e la mang%era debe ser dirigida demanera '%e la corriente de ag%a to'%e el fondo de la pared en el p%nto B. La rapide, del ag%a en la tobera esde &c3 piess. Z>ig. NQ !..[.

A2. La bola es lan,ada desde la torre con &elocidad de 26 piess como se m%estra. "eterminar: a8 lascoordenadas 0 $ $ del p%nto en '%e la bola toca la pendiente# b8 la rapide, con '%e la bola toca el s%elo. Z>ig.NQ !.J.[.


36/38

AG. !l ni+o patea la pelota con %na rapide, inicial de ms a %n ng%lo de GKQ con la -ori,ontal. "etermine: a8 laec%acin de la tra$ectoria '%e sig%e la pelota# b8 para t36.2 s desp%(s de -aberse pateado la pelota# la&elocidad $ las componentes tangencial $ normal de la aceleracin. Z>ig. NQ !.K.[.

A. na caja se desli,a por %n cond%cto '%e tiene forma de -ip(rbola. C%ando la caja llega al p%nto 0 6 m#lle&a %na celeridad de ms '%e dismin%$e a ra,n de 6# ms2. "etermine la aceleracin $ el radio dec%r&at%ra en dic-a posicin. Z>ig. NQ !..[.

A. n tobogn &iaja por %na c%r&a '%e p%ede ser apro0imada mediante la parbola $ 3 6#6A02

. "etermine lamagnit%d de s% aceleracin c%ando el p%nto F# donde s% rapide, es & F3 A6 ms $ est incrementndose a

ra,n de .NG 2

smv.= Z>ig. NQ !..[.AJ. na part*c%la se m%e&e en el plano 0$ $ s%s coordenadas estn dadas por ( )x t t= A2 Gcos #

( )y t t= J Gsen . !nc%entre: a8 s% despla,amiento# b8 las componentes de s% &elocidad $ c8 lascomponentes de s% aceleracin en el tiempo t 3 6#K s. d8 ;c%l es la ec%acin de la tra$ectoria en la '%e sem%e&e la part*c%la=. /%ponga '%e las distancias se miden en metros# el tiempo en seg%ndos# $ '%e la cantidad

ang%lar Gt est e0presada en radianes.

AK. Las ec%aciones param(tricas del mo&imiento de %na part*c%la son:x 33cos]t#y 33sen]t#" 3 bt# donde3#] $ b son constantes. a8 Hacer %n es'%ema de la tra$ectoria. b8 Calc%lar la &elocidad $ la aceleracin de lapart*c%la. c8 "eterminar las componentes intr*nsecas 7tangencial $ normal8 de la aceleracin. d8 Calc%lar elradio de c%r&at%ra.

A. na part*c%la se m%e&e a lo largo de la c%r&a !tt#ttittr 8GL78H78H7 G22G +++= # siendo t 3 2.Hallar los md%los de las componentes tangencial $ normal de s% aceleracin en el instante t 3 2.

A. na part*c%la se m%e&e en el plano H?1 %n obser&ador colocado en H sabe '%e las ec%aciones param(tricasde la tra$ectoria escritas en el /I son: x 3 2 E t# y 3 2 E 9t E 2t 2. a8 "eterminar la forma e0pl*cita de latra$ectoria# b8 La e0presin del &ector de posicin# &elocidad $ aceleracin# c8 Las condiciones iniciales delmo&imiento# d8 Los &alores del &ector de posicin $ &elocidad para t 3 2 s. e8 "istancia de la part*c%la alobser&ador en t 3 2 s# f8 !l &ector despla,amiento $ el &ector &elocidad media entre t 3 2 s $ t 3 8 s.

26. !l mo&imiento c%r&il*neo plano de %na part*c%la est definido en coordenadas polares por ttr ILGG.6 G +=$ 2G.6 t= donde r esta dado cm# \ est en radianes $ t en seg%ndo. !n el instante en '%e t 3 2 s1determinar las magnit%des de la &elocidad# aceleracin $ el radio de c%r&at%ra de la tra$ectoria.

2A. !n el instante '%e se il%stra# el -ombre -ace girar la mang%era sobre s% cabe,a con %na &elocidad ang%lar

sradN2=

$ %na aceleracin ang%lar de2

NG srad=

. /i se s%pone '%e la mang%era se enc%entra en %nplano -ori,ontal $ el ag%a fl%$e a %n ritmo constante de G ms. a8 determine las magnit%des de la &elocidad $aceleracin de %na part*c%la de ag%a '%e sale por el e0tremo abierto1 b8 -aga %n est%dio de la tra$ectoria '%eseg%ir dic-a part*c%la de s% est%dio. Z>ig. NQ !.A6[.

22. La barra ran%rada se enc%entra fija en 4 $# como res%ltado de la &elocidad ang%lar constante sradNG= #cond%ce a la part*c%la P por %na bre&e distancia sobre la g%*a espiral r 3 6# 7m8# donde se e0presa en

radianes. "etermine la &elocidad $ aceleracin de la part*c%la en el instante en '%e abandona la ran%ra en labarra# es decir# r 3 6# m. Z>ig. NQ !.AA[.

2G. La rotacin de la barra 4F se define por 3 ^ 7tGt28 rad# donde t se e0presa en seg%ndos. !l collar*n B

se desli,a a lo largo de la barra de manera tal '%e s% distancia desde 4 es r 3 A#2t 2_ 6# tGm. Para t 3 A s#determine: a8 s% &elocidad# b8 s% aceleracin total $ c8 s% aceleracin relati&a a la barra. Z>ig. NQ !.A2[.

2. n eje roscado gira con %na posicin ang%lar = 6 GAI 2# t rad. na t%erca sit%ada sobre el eje gira relati&a

al mismo con %na &elocidad ang%lar de = 6 H# t rads. C%ando t 3 6# la t%erca est a %na distancia de 6#Jm de ?F@. /i el paso de rosca es de mm1 determine la &elocidad $ aceleracin de la t%erca para t 3 A6 s.7"ar la resp%esta en direcciones radial $ trans&ersal8. Z>ig. NQ !.AG[.

2. !l perno P se desli,a en las ran%ras del bra,o giratorio 4F $ de la barra circ%lar fija BC. /i 4F gira con

&elocidad ang%lar constante sradN2= # enc%entre la &elocidad de P c%ando QJ6= . Z>ig. NQ !.A[.2J. !l ca%dal de ag%a de %n aspersor ordinario es# inicialmente# de 2 Ls $ est programado para incrementarse

de forma contin%a -asta 6 Ls. La s%perficie de salida de las bo'%illas es de A.J6 mm 2. "etermine# el reade jard*n '%e regar dic-o aspersor# si s% &elocidad ang%lar es de 2 rads. Z>ig. NQ !.A[


37/38

). >I>LIO@RAIA


38/38

A. FN"O!` PST!L $ FFN I/FLFF/1 Ingenier*a Mecnica# "inmica. /eg%nda!dicin. International T-omson !ditores# /.F. M(0ico. 266G.

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Mc. )ra Hill# M(0ico# A.. P!"O4 4BFN"4 4S4LF1 Mecnica para Ingenieros# "inmica# !ditorial Pont*fice

ni&ersidad Catlica del Per 7PCPC8# Lima# A.. O//!LL C. HIBB!L!O1 Mecnica ectorial para Ingenieros# "inmica# "(cima

!dicin# !ditorial Pearson !d%cacin /.F.# M(0ico# 266.A6. /!T4 . `ILLIFM1 Teor*a $ problemas de ibraciones Mecnicas# !ditorial Mc.

)ra Hill# M(0ico A6.AA. /HFM!/ IOIN) H.1 Mecnica para Ingenieros# "inmica# C%arta !dicin#

!ditorial Prentice Hall Iberia /OL# !spa+a# 266G.A2. /IN)!O >.L.1 Mecnica para Ingenieros# "inmica# Tercera !dicin# !ditorial Harla

/.F.# M(0ico A2.AG. `ILLIFM >. OIL!S $ L!O4S ". /TO)!/1 Ingenier*a Mecnica# "inmica1

Primera !dicin# !ditorial Oe&ert(# /.F. !spa+a. 266.

modulo de cinematica de un punto material - 2014 (ultimo).doc

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