modulo de matematica 9 año

MÓDULO DE MATEMÁTICA

9no DE BÁSICA

Nombre: …………………………………………………………

Curso: …………………………………………………………..

Especialidad: …………………………………………………

Colegio Particular a Distancia

“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0002185

MATEMÁTICA – NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 2

CONTENIDOS

LECCIÓN Nº1. NÚMEROS RACIONALES “Q” E IRRACIONALES “I” (PAG. 7)

Definición de Números Racionales “Q”

Orden y comparación de los Números Racionales

Representación decimal de los Números Racionales

Definición de Números Racionales “I”

Representación de los Números Irracionales en la recta

LECCIÓN Nº2. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 15)

Adición y Sustracción de Números Racionales

Multiplicación de Números Racionales

División de Números Racionales

Potenciación de Números Racionales

Radicación de Números Racionales

LECCIÓN Nº3. NÚMEROS REALES “R” (PAG. 24)

Definición

Representación en la recta numérica

Orden y Comparación de Números Reales

Adición y Sustracción de Números Reales

División de los Números Reales

Operaciones Combinadas

LECCIÓN Nº4. POTECIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (PAG. 34)

Potencias de base real y exponente entero

Propiedades de la potenciación

Potencias de base real con exponente racional

Raíz enésima

Propiedades de la radicación

Simplificación de radicales

Racionalización del denominador de una fracción




LECCIÓN Nº5. POLINOMIOS (PAG. 45)

Términos de un Polinomios

Características de los Polinomios

LECCIÓN Nº6. OPERACIONES CON POLINOMIOS (PAG. 53)

Adición de Polinomios

Sustracción de Polinomios

Signos de Agrupación

Combinación de Suma y Resta de Polinomios

LECCIÓN Nº7. OPERACIONES CON NÚMEROS POLINOMIOS (PAG. 64)

Multiplicación de Monomios

Multiplicación de un Monomio por un Polinomio

Multiplicación de Polinomios

Simplificación de expresiones que incluyen productos

LECCIÓN Nº8. PRODUCTOS NOTABLES (PAG. 76)

Definición

Cuadrado de la suma de dos términos

Cuadrado de la diferencia de dos términos

Cuadrado de un Trinomio

Producto de la suma por la diferencia de dos expresiones

Producto de expresiones de la forma (x+a)(x+b)

Cubo de la suma de dos términos

Cubo de la diferencia de dos términos

LECCIÓN Nº9. DIVISIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES (PAG. 87)

División de expresiones algebraicas

División de Monomios

División de un Polinomio para un Monomio

División de un Polinomio para otro Polinomio

División Sintética o Regla de Ruffini

Cocientes Notables

LECCIÓN Nº10. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES (PAG. 99)




Factores

Factor Común

Factor Común por Agrupamiento.

Relaciones Binarias


Trinomios Cuadrados Perfectos

Diferencia de dos Cuadrados

Combinación de Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados


Cuadrados Perfectos Incompletos

Trinomios de la forma x2 + px + q

Trinomios de la forma mx2 + px + q

Suma de Potencias de Exponente Impar


Diferencia de Potencias de exponente Impar

Suma o Diferencia de Potencia de Exponente Par

Polinomios que contienen factores de la forma x + a

LECCIÓN Nº14. ECUACIONES (PAG. 133)

Ecuaciones

Solución de una Ecuación

Resolución de Ecuaciones

Clases de Ecuaciones

Fórmulas

El Lenguaje Algebraico.

LECCIÓN Nº15. ECUACIONES (PAG. 145)

Planteamiento y Resolución de Problemas

Problemas que se refieren a números

Problemas que se refieren a Edades

Problemas que se refieren cuerpos en movimiento

Problemas que se refieren a porcentajes




LECCIÓN Nº16. DESIGUALDADES E INECUACIONES (PAG. 153)

Desigualdades

Inecuaciones

Inecuaciones de Primer Grado

Mediatriz

LECCIÓN Nº17. GEOMETRÍA (PAG. 162)

Teorema de Pitágoras


Polígonos Regulares

Área de Polígonos Regulares

Segmentos Notables en Pirámides y Conos


Ángulos Notables

Cálculo del Área del Prisma y Cilindro

LECCIÓN Nº20. ESTADÍSTICA (PAG. 187)

Medidas de Tendencia Central

Diagramas de Tallo y Hoja




OBJETIVOS

Aplicar las operaciones básicas, la radicación y la potenciación en la resolución de problemas con números enteros, racionales e irracionales para desarrollar un pensamiento crítico y lógico.




LECCIÓN Nº1

NÚMEROS RACIONALES “Q” E IRRACIONALES “I”

Destrezas con criterio de desempeño

- Comprender el concepto de los de los números racionales e irracionales.

- Conocer la forma de ordenar y de comparar los números racionales e irracionales.

DEFINICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES “Q”

El conjunto de números racionales es , 0 .a

Q a b Z y bb

Donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El número a se llama numerador y el número b se llama denominador. Los números racionales, pueden denotarse mediante una fracción o mediante expresión decimal. Así pues el conjunto de los números racionales surge al añadir al de los enteros las llamadas fracciones. Es inmediato que cualquier número entero a Z , es también racional, ya que

1

aa Q

Debemos tomar en cuenta que un número racional puede ser representado por diferentes fracciones, las cuales son equivalentes entre sí. Esto se deduce de la propiedad que dice que si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número entero no nulo, la fracción obtenida es equivalente a la primera. Normalmente, para representar un número racional se utiliza una fracción irreducible, que es aquella cuyo numerador y denominador no son divisibles entre sí, es decir son números primos entre sí. Representación en la recta numérica. A cada número racional le corresponde un único punto en la recta

numérica. Ejemplo: Representar 9 3

4 4y en la recta numérica:

ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES




En la recta numérica es mayor aquel número ubicado más hacia la derecha. Ejemplo: Tomando en

cuenta el ejemplo anterior podemos decir entonces que:

9 3

4 4

Ya que 9

4 está más a la derecha que

3

4 .

Cuando se tiene dos números fraccionarios, puede ocurrir que sean iguales o desiguales. Al ser

desiguales pueden presentarse los siguientes casos:

1. Que los dos números dados sean positivos, en cuyo caso es mayor el que tiene mayor valor

absoluto. Ejemplo:

4 2 4 2

4 3 5 25 3 5 3

porque dado que

2. Que los dos números dados sean negativo, en cuyo es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplo:

2 1 2 12 4 13 1

13 4 13 4porque dado que

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES Cualquier número racional se puede expresar como un número entero o decimal sin más que hacer la división entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan. Según el tipo de expresión decimal obtenida los números racionales se clasifican como sigue:

Número entero: no tiene ninguna cifra decimal, es decir, la división entera (sin sacar cifras decimales) entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan es exacta. Ejemplo:

8 25 882 ; 5 ; 11

4 5 8

Número decimal: tiene alguna cifra decimal, es decir, la división entera entre el numerador y el

denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan no es exacta. Según el número de cifras decimales se distinguen:




Número decimal finito o exacto: tiene un número finito de cifras decimales, es decir, al

realizar la división entre el numerador y el denominador se obtiene residuo cero. Ejemplo:

16 3 933,2 ; 0,6 ; 9,3

5 5 10

Número decimal periódico: tiene un número infinito de cifras decimales, pero hay un bloque

de ellas llamado periodo que se repite indefinidamente y que se representa bajo el símbolo

“⌒”. Ejemplo:

1,213 ; 67,601 ; 0,923

Los números decimales periódicos pueden ser también:

Número decimal periódico puro: el periodo aparece inmediatamente después de la coma

decimal. Ejemplo: 3,67

Número decimal periódico mixto: el periodo no aparece inmediatamente después de la coma

decimal. Ejemplo: 21,56

DEFINICIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES “I”

Además de las expresiones decimales exactos y periódicos, existen otras con infinitas cifra decimales las

cuales no se repiten periódicamente.

Ejemplo:

La expresion0, 101001000100001000001000000… no tiene un bloque de cifras decimales que se repita

indefinidamente, de modo que no existe un numero racional que tenga dicha expresión decimal.

Los números √2 y π son ejemplos de números irracionales, pues tienen una expresión decimales infinita

no periódica.

El numero π se lo utiliza generalmente para calcular la longitud de la circunferencia y se expresa en

forma decimal no periódica como π=3,141592654…

Aunque estos números no se pueden expresar de la forma 𝑎

𝑏 , con b≠0,

En la práctica se utiliza una aproximación que corresponde a un número decimal exacto con un valor

muy cercano al de ellos.

Ejemplo:




Para√2 se utiliza 1,41 y para π se utiliza 3,14 o 22/7

REPRESENTACION DE LOS NUMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA

A los puntos de la recta numérica que no les corresponde un número racional, les corresponde un

número irracional. Esto significa que los números racionales y los números irracionales ocupan la recta

numérica en toda su extensión.

Ejemplo:

Representa √2 en la recta numérica.

Puesto que √2 = 1,414213…, se puede verificar que √2 esta comprendido entre los números 1,41 y

1,42.




LECCION Nº 1

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Investigar si todo número decimal periódico se pueden expresar como una fracción:

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Racional: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Irracional:………………………………..…………………………………………………………………………………………………

Decimal periódico:………………………………………..……………………………………………………………………………

Equivalente: …………………………………………………………………………………………………………………………

Recta Numérica:…………………………………………………………………………………………………………………………




Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

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………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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RESUMO:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Entre 2 números enteros iguales

Si los dos son positivos

Es Es

MAYOR

El que el que

Valor absoluto tenga




CUESTIONARIO

1. Escribe la lectura de las siguientes fracciones:

2

8

9

23

33

42

7

25

49

11

3

210

2. Indicar que fracción representan los siguientes gráficos:

3. Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no, si lo son explique por

qué:

12 4

9 3y

5 10

6 8y

14 2

47 7y

4. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Escriba su desarrollo:

2 4 6 3.... ....

7 28 4 2

1 3 1 7.... ....

4 12 5 3

2 1 8 4.... ......

9 3 3 5




5. Determina cuales de los siguientes números son irracionales:

a. √6

b. 2,555555555

c. √100

d. 3,14159254….

e. π

f. √8

6. Con la ayuda del compás y una regla, dibuja en la recta numérica la aproximación del número

irracional √2.

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha




LECCIÓN Nº2

OPERACIÓNES CON NÚMEROS RACIONALES Destrezas con criterio de desempeño

- Comprender los conceptos de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y

radicación de los de los números racionales.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición, sustracción,

multiplicación, división, potenciación y radicación de los números racionales.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La adición de números racionales con igual denominador es un número racional con el mismo denominador y cuyo numerador es igual a la suma de los numeradores. Ejemplo:

1 3 6 2 3 ( 6) 5

7 7 7 7 7

Para sumar números racionales con distintos denominadores, se expresan los mismos en un mismo

denominador y luego se suman sus denominadores.

Para realizar la sustracción de dos números racionales se suman el primero con el opuesto del segundo,

es decir, es decir se realiza una suma entre estos dos números.

Siempre que se realizan operaciones entre números racionales se debe simplificar el resultado. Ejemplo:

4 7 3 (4)(4) (7)(3) (6)(3) 16 21 18 13

3 4 2 12 12 12

Operaciones combinadas: Ejemplo:




6 3 1 1 51 2

14 10 3 6 9

30 21 1 6 1 51

70 3 6 9

51 5 1 51

70 3 6 9

51 5 1 51

70 3 6 9

51 18 30 3 10 51 41 51 41 459 1435 976

70 18 70 18 70 18 630 630

488

315

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto de los

numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los

denominadores.

4 1 5 4 1 5 20

3 8 7 3 8 7 168

En la multiplicación de fracciones, por conveniencia se acostumbra a simplificar los factores del

numerador con otros del denominador. Ejemplo:

1 2

33

3 10 3 10 1 2 2

15 9 15 9 3 3 9

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES




Si a es un numerador racional diferente de cero, el inverso multiplicativo o recíproco de a es 1

a, de tal

manera que 1

1aa

Para obtener el inverso de un número, basta intercambiar el numerador por el denominador. Ejemplo:

2 3 2 31

3 2 3 2es el inverso multiplicativo de porque

El cociente de dos números racionales es el producto del primero por el inverso multiplicativo del

segundo. Ejemplo:

5 1 5 35

3 3 3 1

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

La potencia enésima de un número racional a

b, es el producto de n factores iguales a

a

b.

......

...

n n

n

a a a a a a a a

b b b b b b b b

Ejemplo:

32 2 2 2 8

3 3 3 3 27

Regla de los signos. La potencia de exponente par lleva signo positivo y la potencia de exponente impar

lleva el mismo signo de la base.

Ejemplo:




2

3

2 2 2 4

5 5 5 25

1 1 1 1 1

4 4 4 4 64

Potencias con exponente negativo. Un número racional elevado a un exponente negativo, es igual al

inverso del número racional elevado al exponente dado pero con signo positivo.

n na b

b a

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

Raíz enésima de un número racional llamado radicando, es otro número racional llamado raíz que,

elevado a la potencia enésima es igual al mismo radicando. Ejemplo:

33

33

27 27 3 3 27

135 5 5 135135porque

Al igual que en los números enteros para la radicación de los números racionales se debe tomar en

cuenta lo siguiente:

1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.

2. Si el índice es par, y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.

3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en ese conjunto de números

racionales.

Ejemplos:

3 41 1 1 1

; 2 ;8 2 16 9

no es posible




LECCION Nº 2

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Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Averiguar acerca de las propiedades asociativa, conmutativa, y modulativa en la adición de

números racionales, escriba un ejemplo.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Adición:…………………………………………………………………………………………………………………………….……………….

Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………

Homogéneo:……………………………………………………………………………………………………………..………………………..

Heterogéneo:….……………………………………………………………………………………………………………..……………………

Racional: …………………………………………………………………………………………………………………..………………….




ADICION Y SUSTRACCION


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

De 2 números racionales

Homogéneos es otra función cuyo: Heterogéneos es necesario

Es

En un

y el

RESUMO




CUESTIONARIO

1. Adiciona los siguientes número racionales:

8 7 6 3

5 5 5 5

4 12 8 5

7 7 7 7

2 3

8 12

5 3 7

4 6 5

2 5 3

7 8 4

1 23 ( 0,2)

8 5

1 2 12 ( 1,2)

3 3 2

1 1 11 2 ( 1,5) 2 3

4 2 3




2. Efectúa la sustracción, según se indica:

3 1

5 4

12 13e

5 15

7 9

4 7

7 1Re

9 4

De resta

R sta de

De resta

sta de

3. Calcula el valor de la expresión:

17

4

35

7

3 1 51

5 2 4

1 54 3 0,8

2 3

3 910 5 2

5 4




4. Comprueba que el valor de la expresión es : 11

2

4 1 8 52 4 6

3 2 3 3

5. Grafica (pinta) la sustracción: 1 1 1

2 3 6

6. En una fiesta de aniversario, María se ha comido la tercera parte de la torta, Laura la cuarta

parte y Diana la sexta parte, y sobró 1/7 de la torta. ¿Es cierto? ¿Por qué?

7. En cierto instituto ecuatoriano, 5/12 de los alumnos estudian químico y el 30% estudian

matemáticas. ¿Qué asignatura tiene más acogida?





LECCIÓN Nº3

NÚMEROS REALES “R”


- Comprender el concepto de los de los números reales.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición sustracción,

multiplicación y división de los números reales.

DEFINICIÓN

El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales recibe el nombre de conjunto

de los números reales R. Esto es, R = Q ᴜ I.

Los números reales llenan la recta por completo. A cada número real le corresponde un punto en la

recta y a cada punto en la recta le corresponde un número real.

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números reales se representan en una recta donde se ubica primero el cero; luego los números

enteros y posteriormente los demás números.

Los números positivos van hacia la derecha del cero y los números negativos a la izquierda. Ejemplo:

Esta recta numérica tiene representados varios números reales y toma el nombre de recta real.




ORDEN Y COMPARACION DE NUMEROS REALES

En la siguiente recta numérica:

El número m está localizado a la izquierda de p; por lo tanto; m es menor que p: m<p ó p es mayor que

m: p>m. Ejemplo: – 3 está a la izquierda de – 1 entonces:

3 1 1 3ó

Para ordenar números reales, se debe tomar en cuenta que:

Todo número positivo es mayor que todo número negativo. Ejemplo: 4 8

Entre dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: entre

5 2 5 2 5 2y y

Entre dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: entre

6 3 6 3 3 6 6 3y y ó

Al comparar dos números reales a y b se puede presentar una y solo una de las posibilidades:

a ˃b a = b a < b

Ejemplo:

5 ˃ - 3 8 + 2 = 2 x 5 - 8 < - 2

OPERACIÓNES CON NÚMEROS REALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES

Si a, b, c, d є R su suma está dada por:

( )a b c a b d

Para sumar números reales, se deben recordar los siguientes procesos:




4 3 7 5 ( 2) 5 2 3

1 4 5 2 1 8 3 5

2 2 2 3 4 12 12

0,5 1,26 1,76 0,75 ( 0,2) 0,55

1 31 0,75 0,75 1,5 0,75 2,25

2 2

Sustraer dos números reales significa adicionar el inverso aditivo del sustraendo, es decir:

2 7 2 ( 7) 5

PROPIEDAD \ OPERACIÓN ADICION MULTIPLICACION

Clausurativa Si a y b son números reales, entonces a + b es un numero real

Si a y b son números reales, entonces a x b es un número real

Conmutativa Si a y b son números reales entonces, a + b = b + a.

Si a y b son números reales, entonces a x b = b x a

Asociativa Si a, b y c son números reales, entonces (a + b ) + c = a + ( b + c).

Si a, b y c son números reales entonces, (a x b ) c = a ( b x c ).

Modulativa Existe el número real 0, modulo de la adición, tal que para todo número real se cumple: a + 0 = 0 + a = a

Existe el número real 1, modulo de la multiplicación tal que para todo número real se cumple: a x 1 = 1 x a = a.

Del inverso Si a es un numero real, existe –a que pertenece a los reales, llamado el inverso aditivo u opuesto de a, tal que a + (- a) = (- a) + a = o

S i es un numero real, existe 1

𝑎⁄ llamado el inverso multiplicativo o reciproco de a, tal que

a ˙ (1𝑎

) = (1𝑎

) ˙ a = 1

Distributiva de la multiplicación del producto con respecto a la adición.

Si a, b y c son números reales, Entonces a ˙ ( b + c ) = a ˙ b + a ˙ c.




DIVISION EN LOS NUMEROS REALES

La división entre números reales se cumple de la misma manera que en los números racionales

∀ a, b, c ∈ R y b ≠ 0 ⇒ (𝑎𝑏

) = c

Ejemplo:

Resuelve las siguientes operaciones con aproximación a centésimas:

0,97 ÷ (12) ≈ 0,98 ∙ 2 ≈ 1,96 45,4545 ÷ (2

3) ≈ 45,46 ∙ (3

2) ≈ 68,19

↑ ↑ ↑ ↑

inverso inverso

PROPIEDADES DE LA DIVISION EN LOS NUMEROS REALES.

PROPIEDADES EJEMPLO SIMBOLICAMENTE

CLAUSURATIVA (√8 ÷ √3 ) є R y b ≠ 0 ⇒𝑎

𝑏 = c Para todo a, b ∈ R y b ≠0⇒(a÷b) ∈ R

MODULATIVA √7 ÷ 1 = √7 Para todo a ∈ R, existe 1 ∈ R /a÷ 1= 1

ELEMENTO ABSORVENTE 0 ÷ √10 = 0 Para todo a ∈ R, 0 ÷ a = 0

ELEMENTO INVERSO 4

7 ÷

4

7 =

4

7 ∙

7

4 = 1 Para todo a ∈ R con a ≠ 0 existe el

numero real 1

𝑎 tal que a÷a = a ∙

1

𝑎 = 1

DISTRIBUTIVA (√6 + √3 ) ÷ √2 =

( √6 ÷ √2 ) + ( √3 ÷ √2 )

Para todo a, b, c ∈ R, si c ≠ 0 ( a + b ) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c.

OPERACIONES COMBINADAS.

Para resolver operaciones combinadas con numerus reales se realizara lo siguiente:

Se expresaran los números reales como números decimales finitos aproximándolos, según

indiquen al decimo, centésimo, etc.

Se calcularan primero los productos y cocientes, y luego las sumas y restas en el orden que

aparezcan.

Si existen operaciones dentro de paréntesis, corchetes y llaves, estos se eliminaran realizando las

operaciones que están dentro de ellos: primero, el paréntesis; luego, los corchetes; y, al final las

llaves.

Resuelve aproximando a las centésimas.

1. Expresa los números 2∙ 𝜋 + 0,54 ÷ 1 /11 - (2,03 + 0,20)

en forma decimal: 2∙ 3,14 + 0,54÷ 0,09 - (2,03 + 0,20) =




2. Calcula los productos 2 ∙ 3,14 + 0,54 ÷ 0,09 – 2,23 =

Y cocientes:

3. Resuelve la operación del paréntesis: 6,28 + 6 – 2,23 =

4. Calculas las sumas y diferencias: 12,28 – 2,23 = 10,05




LECCION N º 3

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Sumar el inverso aditivo es sumar el número opuesto?, explique por qué y escriba un ejemplo.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Adición:………………………………………………………………………………………………………………….………………………….

Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………

Inverso aditivo:…………………………………………………………………………………………………………….……………………..

Clausurativa:….……………………………………………………………………………………………..……………………………………

Modulativa: ……………………………………………………………………………………………………………….……………….





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

Números Reales

Conjunto formado por

Operaciones con números reales

Adición Multiplicación

P. Asociativa




CUESTIONARIO

1. Efectúa las siguientes operaciones:

4 5,26 36 2,16

1 38 5,25

3 4

8 12 125

4 7 9

14,26 100 4

16

2. Escribe el signo >, < o = entre cada par de operación es:

1( 5) 3 3 3 3 3 6

3

2 2 2 5 5 2 2

3. Representa en la recta numérica los siguientes números, utilizando el procedimiento

estudiado.

1 2

8 2

2 2




4. Nombra la propiedad aplicada en cada uno de los siguientes ejercicios:

1 11

2 2

0 7 0

1 1 1 76 7 2

3 3 9 3

( ) 55 5 5

a b ca b c

5. Resuelve los siguientes ejercicios:

6 36

5 4

12 ( 0.75)

4

3 52 4 5 0,75

4 5

4 0,52 1 2

5 3 3




3 2 3 2

7 14

11 4 5 1 1 1 1 5 1

40 3 8 4 0,4 10 5 34 4

8 2 8 8 5





LECCIÓN Nº4

POTENCIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE NÚMEROS REALES


- Comprender el concepto de la potenciación y racionalización de los números reales.

- Conocer la forma de resolver los problemas relacionados con la potenciación y racionalización de

los números reales.

POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE ENTERO

Caso 1. Potencias con exponente entero positivo 𝑎𝑛 = a ∙ 𝑎 ∙ … 𝑎 ∙

n factores

Caso 2. Potencias con exponente entero negativo: 𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛; a ≠ 0

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION EN R

Producto de potencias de igual base

Si a є R; m, n ∈ Z, entonces: m n m na a a

Cociente de potencias de igual base

Si a є R; m, n ∈ Z, entonces:

mm n

n

aa

a

Potencia de potencia

Si a є R; m, n ∈ Z, entonces: nm m na a

Potencia de un producto

Si a, b є R; m, n ∈ Z, entonces: ( )n n na b a b

Potencia de un cociente

Si a, b є R; m, n ∈ Z, entonces:

n n

n

a a

b b

Potencia de exponente cero




Si a є R; a ≠ 0, entonces: 0 1a

Potencia de exponente 1

Si a є R; entonces: 1a a

POTENCIAS DE BASE REAL CON EXPONENETE RACIONAL

Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en una raíz.

Ejemplo:

La expresión 1/24 equivale a la expresión

2 14 4

La expresión 2/35 equivale a la expresión 3 25

Es importante anotar que los exponentes racionales satisfacen todas las propiedades de los exponentes

enteros. Únicamente se aplican las restricciones conocidas sobre la existencia de radicales.

Ejemplo: 3 2 38 64 4

RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES

RAÍZ ENÉSIMA

La raíz cúbica de 8 es 2, porque el cubo de 2 es 8. En general la raíz enésima de un número a es un

número b, sí y solo si, la enésima potencia de b es a. Así n a b

porque nb a

Ejemplo:

9 3 pues 23 9 ;

Todo número real no negativo tiene una única raíz cuadrada.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.




Para simplificar expresiones en las cuales hay raíces, se utilizan las propiedades de la radicación.

Raíz enésima de un número elevado a la n

Si a є R; n ∈ Z+, se cumple que: n na a Ejemplo:

7 75 5

Raíz de un producto

Si a, b є R+; n ∈ Z+, se cumple que: n n na b a b

Ejemplo:

3 36 6 2327 27 3x x x

Raíz de un cociente

Si a, b є R+; n ∈ Z+, se cumple que: n

nn

a a

b b

Ejemplo:

3

36 18 2 66 183

216 216 6

x y x yx y

Raíz de una raíz

Si a є R+; m, n ∈ Z+, se cumple que: m n m na a

Esto significa dejar el mismo radicando y multiplicar los índices de los radicales.

Ejemplo: 3 12 12 12 124 12 124096 4096 2 2x x x x

Raíz de una potencia

Si a, є R+; m, n ∈ Z+, se cumple que: m

n mn a a

Esto significa que la potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia.

Ejemplo: 4

4 4 16 2 8 82 2 2 4x x x x




SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple .Un radical está simplificado si:

El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual al índice del radical.

El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre si ningún factor común distinto

de 1.

Para simplificar un radical se aplican las propiedades de la radicación. Por ejemplo, para simplificar el

radical 8 3 103 8x y z se realiza el siguiente proceso:

338 3 10 8 3 1033 3

3 333 6 2 3 93

3 33 33 6 2 3 9 33

32 2 3 3

32 3 2 3

32 3 2

8 8

2

2

2

2

2

x y z x y z

x x y z z

x x y z z

x x y z z

x yz x z

x yz x z

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMIONADOR DE UNA FRACCIÓN

Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales,

consiste en expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador.

En la racionalización de una fracción se distinguen dos casos:

Caso 1. Racionalización de monomios.

Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para ello, se multiplica el

numerador y el denominador por un radical seleccionado previamente.

Por ejemplo, al racionalizar 3

5x se elige 5x como factor racionalizante, pues 5 5 5x x x y se

multiplica el numerador y el denominador por este factos. Así 3 5 3 5

55 5

x x

xx x .




Caso 2. Racionalización de binomios.

Expresión conjugada. Dos expresiones con dos términos cada una, se dice que son conjugadas, sí y solo

si, difieren en el signo del segundo término.

Ejemplo: a b y a b y son expresiones conjugadas.

Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con radicales, se

multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Al multiplicar una expresión con radicales por su expresión conjugada, los radicales desaparecen.

Ejemplo:

22

4 4 3 2

3 2 3 2 3 2

4 3 2

3 2

12 4 2

9 2

12 4 2

7




LECCIÓN Nº 4

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Aristoff Rudolff? ¿Qué aporte realizó al estudio de la radicación?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Potencia:…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Raíz:… …………………………………………………………………………………………………………………………………

Simplificación:..…………………………………………………………………………………………………………………………..

Exponente:…….……………………………………………………………………………………………………………………………

Base: ……………………………………..…………………………………………………………………………………………….





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

Números Reales

Potenciación Radicación

Caso 1 Raíz de una raíz Raíz de potencia

Con exponente negativo




CUESTIONARIO

1. Reduce las expresiones usando las propiedades de la potenciación, presentar las respuestas en

forma de fracción en los casos que sea posible:

2 3

4

4 3 0

3

5 4

2 5

4

5

2

2 2

3 3

2

3

3 (3 3 )

2

(0,1) (0,2)

(0,01) (0,02)

6 2

10 7

3( 4)

30

( 3) 4 2

2. Simplifica los radicales:

1225

82 33 4

18 2 243 66 2

6

(12) 50

( 14) ( )

x a b

n a b

a y




3. Realiza las siguientes operaciones:

5 53 8 17 23 54 4

3 3 33 33

52 4 3 6 1032

1 3 2 2 3

2 4 3 9 16

3 2 1 8 62

4 27 2 3 81

2 3 2

250 3 5 2 3 3

25 27 32

a a a a a

x y xy x y y x

x y x y x

4. Resuelve las divisiones:

3 33

32 24

3 3 4 5

3 4 2 2 34

8 9

4 4

22

184

16 3

x y xy

x x

a b c

a a b c




5. Racionaliza los denominadores:

3 2

3

34

2 5

5 4

4 1

3 2

3 5

5 2 9

x

a

x

x

6. Encuentra la expresión conjugada:

5 2 3 9 3 3 2

7 2 6 3 2 2

5 7 4 11 1

x

x x

7. Racionaliza las siguientes operaciones

3 3 2 55

1 3 2 3 5

3 5 1

3 5 1

6 2 3 3 3

6 3 3 3

x x

x x

a

a





OBJETIVOS:

Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, las cuatro operaciones básicas y la potenciación para la simplificación de polinomios a través de la resolución de problemas.

Aplicar y demostrar procesos algebraicos por medio de la resolución de ecuaciones de primer grado para desarrollar un razonamiento lógico matemático.




LECCIÓN Nº5

POLINOMIOS


- Comprender el concepto y cuáles son los términos de lo que es un polinomio.

- Conocer las características y la forma de resolver los problemas relacionados con polinomios.

TÉRMINOS DE UN POLINOMIO

Un polinomio es una expresión algebraica que tiene sumas y restas entre monomios. Los monomios que

forman un polinomio se denominan términos de un polinomio.

Se dice que un polinomio está reducido cuando no tiene monomios semejantes, los cuales también se

llaman términos semejantes. Es conveniente trabajar con polinomios reducidos.

Así, el polinomio 3 3 2 22 3 3 5 1x x x x se reduce sumando sus términos semejantes, con lo cual se

tiene:

3 2 3 2(2 3) ( 3 5) 1 5 2 1x x x x

Un polinomio reducido que tiene exactamente dos términos se llama binomio y un polinomio que tiene

exactamente tres términos se llama trinomio.

Ejemplos:

1. Determina si cada polinomio es un binomio o un trinomio. Identifica los términos e indica el

coeficiente y la parte literal de cada término.

a. El polinomio 8 6 6 83 7m n m n es un binomio y sus términos son 8 63m n y 6 87m n

La parte literal de 8 63m n es 8 6m n y el coeficiente es 3 .

b. El polinomio 4 5a b c es un trinomio y sus términos son 4 ; 5a b y c

La parte literal de 4a es a y el coeficiente es 4, la parte literal de 5b es b y el coeficiente es 5 y

la parte literal de –c es c y el coeficiente es -1.

2. Reduce los términos semejantes en los siguientes polinomios.




a.

3 2 2 3 2 2 3 3 2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

5 4 3 2 8 9

(5 1) (4 2 9) (3 8)

6 3 5

m n m n mn m n m n mn m n

m n m n mn

m n m n mn

b.

3 2 3 2

3

3 2

3 2 2

1 1 3 1

2 4 4 2

1 1

2 2

1 1 1 31

2 2 4 4

5 3 5 30

4 4 4 4

a a a a a

a

a a a

a a a a a

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLINOMIOS

Grado de un polinomio. El grado de un polinomio reducido es el grado de término de mayor

grado. Por ejemplo el grado del polinomio:

4 3 23 7 8 9 3, 4x x x x es

Término independiente de un polinomio. El término independiente de un polinomio es el

término de grado 0, es decir, la constante. Por ejemplo, el término independiente del polinomio:

4 3 2 03 7 8 9 3, 3, 3 3 .x x x x es pues x

Polinomios ordenados.

Un polinomio se expresa de forma ordenada de acuerdo con el exponente de una de las

variables que contiene. El orden puede ser descendiente o ascendente.

Orden Descendente. Un polinomio se expresa en orden descendente con respecto de

una de las variables si los exponentes de dicha variable aparecen de mayor a menor.

Por ejemplo, el polinomio 3 2 24 4 3 2x y x y xy está en orden descendente con

respecto a la variable x, pues los exponentes de x en los términos son: 3 para 4x3y; 2

para 4x2y2; 1 para 3xy y 0 para el término independiente 2.

Orden Ascendente. Un polinomio se expresa en orden ascendente con respecto de una

de las variables si los exponentes de dicha variable aparecen de menor a mayor.

Por ejemplo, el polinomio 3 2 2 3 35 4 3m n m n m n está en orden ascendente con

respecto a la variable n, pues los exponentes de n en los términos son: 1 para 5m3n; 2

para 4m2n2; y 3 para -3m3n3.

Polinomios Completos.




Un polinomio en la variable x es completo si incluye términos para los exponentes de x

consecutivos entre 0 y el mayor exponente de x, con la condición de que todos los coeficientes

sean diferentes de cero.

Valor numérico de un polinomio.

La altura h de un objeto que se lanza hacia arriba con velocidad de 5m/s se relaciona con el

tiempo mediante la expresión:

25 4,9h t t

Para hallar la altura del objeto luego de 0,5 segundos, se calcula reemplazándola variable t por

este valor:

25(0,5) 4,9(0,5)

1,275

h

h

La altura a los 0,5 segundos es 1,275m




LECCIÓN Nº 5

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Fermat? ¿de qué se trato su teorema llamado “El último teorema de Fermat”?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Grado de polinomio:…………………………………………………………………………………………………………………..

Término:… …………………………………………………………………………………………………………………………………

Monomio:..………………………………………………………………………………………………………………………………….

Binomio:…….………………………………………………………………………………………………………………………………..

Trinomio: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………




RESUMO:


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

POLINOMIOS

Definición

Características

Grado Termino independiente Orden Completo




CUESTIONARIO

1. Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:

2 3 3 2 2

3 3 2

6 7 3

5 6 7 4

x y x y mn mn m n

a b ab ab x y

2. Reduce los términos semejantes en cada polinomio:

4 3 4 3 3

2 2 2

4 3 5 2 3 4 5

12 15 2 16 11

2 4 4 93

7 5 3 5

4 5 1 12

3 6 2 6

a b c a a b c

x x y x x y xy

p q z q z

a ab b ab a

3. Suprime los signos de agrupación y reduce los polinomios.

3 ( 2) ( 4)

2 ( 3) ( 2) ( 5)

x x x

a a a a




2 2

3 ( 2) ( 4)

2 3 ( 7) 2 5

( 7) 2 ( 6) (4 3

3 2 1 1 3

4 4 3 2 4 2 4 2

5 (2 ) (6 2 )

x x x

a a a a a

m m m m

x x x x x

a c m m a a c

4. Ordena cada polinomio en forma ascendente.

3 4 5 6

3 5 4

4 3 5

4 2 5

9 2 5 6 2 6

16 8 4 7 1

15 3 2 4 6

3 4 1 52

7 5 9 6

x x x x x

a a a a

m m m m

b b b b

5. Ordena cada polinomio en forma descendente:




2 4 4 2 8 5

2 2 3

5 2 8 3 6 5

" "

6 6 5 " "

5 3 8 " "

a b a b a b ab ab con respecto a b

xy xy x y y con respecto a y

m n m n m n conrespecto a n

6. Escribe en cada cuadro, un término que complete el polinomio dado.

4 6 2

3

6 5 3 4 2

5 3 2

3 5 2 8

6 2 5

53 2 3

71 1

4 54 8

m m m

n n

z z z z z z

w w w w





LECCIÓN Nº6

OPERACIONES CON POLINOMIOS


- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de polinomios.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y sustracción de

polinomios.

ADICIÓN DE POLINOMIOS

El resultado de la suma de dos polinomios es otro polinomio. Para obtener la suma de dos polinomios se

reducen los términos semejantes. En general, es aconsejable ordenar cada polinomio. Ejemplo:

Resuelve las siguientes sumas de polinomios

a. 4 3 2 3 27 5 2 4 6 3 2 10x x x x x x x

Los dos polinomios están ordenados en forma descendente, por lo tanto:

4 3 2 3 2

4 3 2 3 2

4 3 2

4 3 2

7 5 2 4 6 3 2 10

7 5 2 4 6 3 2 10

7 ( 5 6) (2 3) ( 1 2) (4 10)

7 5 14

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x x

b. 2 4 2 2 4 2 3(4 4 2) ( 3 4 3 4)x y x y x y x y x y

Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto de la variable x.

2 4 2 2 4 2 3

2 4 2 2 4 2 3

4 2 4 2 3 2 2

4 2 3 2

3 2

(4 4 2) ( 3 4 3 4)

4 4 2 3 4 3 4

4 4 3 4 3 2 4

( 4 4) 3 (4 3) (2 4)

3 6

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y

x y x y

Para sumar polinomios, también es usual escribir los polinomios ordenados y los términos en columnas

de tal manera que en cada columna se ubiquen términos semejantes. A veces esto permite realizar la

suma con mayor facilidad. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta de polinomios.

a. 4 3 2 3 26 4 7 2 6 4 8 10x x x x x x x




Los dos polinomios están ordenados, por lo tanto la suma se podrá escribir así:

4 3 2

3 2

4 3 2

6 4 7 2

6 4 8 10

6 10 11 10 10

x x x x

x x x

x x x x

b. 3 3 2 2 4 3 2 2 3 3 4(5 4 3 ) (2 3 2 ) ( 3 )m n mn m n m mn m n m n mn n

Al ordenar los polinomios en forma descendente con respecto a la variable m en cada grupo de

términos, la suma se expresa como:

3 2 2 3 4 2 2 3 3 3 4

3 2 2 3

4 2 2 3

3 3 4

4 3 2 2 3 4

(5 3 4 ) (2 2 3 ) ( 3 )

5 3 4

2 2 3

3

2 6 5 6 3

m n m n mn m m n mn m n mn n

m n m n mn

m m n mn

m n mn n

m m n m n mn n

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

El resultado de restar dos polinomios es un polinomio. Para restar dos polinomios se suman el primer

polinomio con el polinomio opuesto del segundo; es decir cambiamos de signo a todos los términos del

segundo polinomio aplicando la ley de los signos. Ejemplo:

Resuelve las siguientes sumas de polinomios

a. 4 3 2 3 27 5 2 3 1 6 5 8 10x x x x x x x

4 3 2 3 2

4 3 2

4 3 2

7 5 2 3 1 6 5 8 10

7 ( 5 6) (2 5) ( 3 8) (1 10)

7 11 3 5 9

x x x x x x x

x x x x

x x x x

Al igual que en la suma, en la resta de polinomios es usual escribir los polinomios ordenados y los

términos en columnas, de tal manera que en cada columna se ubican los términos semejantes.

Ejemplo:

Resuelva lo siguiente:

b. 3 2 2 3 4 2 2 3( 5 3 4 ) (6 2 3 )De m n m n mn resta m m n mn




Para resolver el ejercicio, se debe plantear la resta:

3 2 2 3 4 2 2 3( 5 3 4 ) (6 2 3 )m n m n mn m m n mn

3 2 2 3

4 2 2 3

4 3 2 2 3

5 3 4

6 2 3

6 5 5

m n m n mn

m m n mn

m m n m n mn

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación se utilizan para escribir expresiones algebraicas en las que aparecen en forma

simultánea, las distintas operaciones aritméticas.

Al igual que en los conjuntos numéricos, los signos de agrupación permiten reducir las expresiones

algebraicas siguiendo un orden en el desarrollo de las operaciones. Una estrategia para eliminar los

signos de agrupación es partir desde los interiores hacia los exteriores.

Cuando se elimina un signo de agrupación precedido del signo más las cantidades se escriben con el

mismo signo, pues se trata de una suma.

Cuando se elimina un signo de agrupación precedido de un signo menos, se debe cambiar el signo a

todos los términos de la expresión contenidos en el signo de agrupación, pues se trata de una resta y, en

consecuencia, se debe sumar el opuesto de la expresión.

COMBINACIÓN DE SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

A veces, se presentan expresiones en las cuales están combinadas la suma y la resta de polinomios. Para

resolver este tipo de expresiones se tiene en cuanta la simplificación de signos de agrupación.

Ejemplo:




Resuelva lo siguiente:

a. 3 2 3 2 3 2( 5 4 4 1) (5 4 3 1) (2 3 5 4)x x x x x x x x x

Para resolver la operación se escriben los polinomios en columnas, teniendo en cuenta que se

debe sumar el opuesto del polinomio.

3 2

3 2

3 2

3 2

5 4 4 1

5 4 3 1

2 4 5 4

2 5 2 4

x x x

x x x

x x x

x x x

b. 3 3 2 2(2 4 ) (2 2 ), (4 3 )De la suma x x con x x resta x x

Escribiendo la operación utilizando signos de agrupación, tenemos:

3 3 2 2(2 4 ) (2 2 ) (4 3 )x x x x x x

Al ordenarlo en columnas se obtiene lo siguiente: 3

3 2

2

3 2

2 4

2 2

4 3

4 6 7

x x

x x

x x

x x x

c. Indica el polinomio que, sumando con el polinomio:3 2 2 34 2m n m n mn

da como resultado 3 2 2 33 6m n m n mn

3 2 2 3 3 2 2 3(3 6 ) ( 4 2 )m n m n mn m n m n mn

Al ordenar en columnas se obtiene lo siguiente:

3 2 2 3

3 2 2 3

3 2 2 3

3 6

4 2

7 5

m n m n mn

m n m n mn

m n m n mn

d. ¿Cuál es el polinomio opuesto de la suma de 24 4 1x x con 2 1x x ?




La resolución sería:

2 2

2 2

2

(4 4 1 ( 1)

4 4 1 1

5 5 2

x x x x

x x x x

x x

El polinomio opuesto de 25 5 2x x es 25 5 2x x

LECCIÓN Nº 6




Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Averiguar acerca de las propiedades Clausurativa, Conmutativa y Asociativa, y verifica si estas

propiedades se cumplen en la adición de polinomios.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Ascendente:……………….………………………………………………………………………………….………………………………..

Descendente:………………………………………………………………………………………………………………………………

Expresión:..……………………………………………………………………………………………………………..……………………….

Simultánea: ……………………………………………………………………………………………………………….…………………..

Opuesto: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………





RESUMO:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

POLINOMIOS

Operaciones con polinomios

Adición Sustracción

Para obtener la suma de polinomios Para restar dos polinomios

CUESTIONARIO




1. Encuentra la suma de los polinomios dados:

2 3 2 3 3 2

2 2

3 2 3 2 2 3 2

4 3 2 2 5 3

4 3 3 2 2 4 3

1 7 3 83 ; 6 4 10 ; 4

5 2 5 5

7 5 ; 6 7 ; 4

5 3 7 ; 5 10 13 ; 8 4

3 5 85 1 ; 12 2 3 ; 2 6 ; 3 7

5 7 5

1 5 2 39 2 4 ; 3 ; 4 6

7 7 7 7

14 3 2 ;

2

x xy xyz x xy xyz x xy xyz

x x y x x y x y x

m n mn n m mn n mn

a a a a a a a a a

m m m m m m m m

x y x y x y x y

2 4 3 3 2 25 ; 3 2x y x y x y x y

2. Plantea y resuelva las siguientes operaciones:




2

3 2 2

4 3 2 2 3 2

5 3

7 6 8

Re 5 5 4 1 5 2

Re 10 3 5 4 5 6

Re 4 5 12 6

1 4Re 3 5

2 7

De a b resta b

De mn resta mn

sta x x x de x

sta a b a b a b de a a b

sta a b c de b c

sta y xy z de z y

3. Elimina los signos de agrupación y resuelve.

5 [4 7 ( 6 5)]

{8 [5 (9 4)]}

7 (4 3 ) (6 5 ) ( 14 )

n m n m

a a a

a b c b c a a




2 2 210 (15 3 ) ( 4 5 )

(10 4 ) ( 9 )

(3 2 1) (5 4 )

( 11 4 ) ( 3 4)

12 ( 5 4 ) (2 )

x x b b x

w p w p

s t s t

y y

a a x a x

2 2

2 2 2 2

5 2 1 7

3 7 4 3

3 1 2 1 2 8

4 5 3 4 5 3

12 3 1 12

9 4 5 2

xy x x y

a b c b c

x y xy xy x y




2 2 2

2 2 2 2

3 1 3 26

2 5 7 3

3 1 1 1

5 2 3 2

x yz xyz x yxyz

a xy a xy a xy a xy





LECCIÓN Nº7

OPERACIONES CON POLINOMIOS


- Comprender los conceptos de la multiplicación de polinomios.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación de

polinomios.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Puesto que los monomios, en su parte literal, incluyen potencias variables, es necesario revisar las

propiedades básicas de la potenciación.

La expresión an significa que la variable a se multiplica n veces por sí misma, es decir,

an = a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a n factores

Ejemplo: (-3)5 =(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)= -243

El siguiente ejemplo muestra un producto de potencias de igual base:

x4 ∙ x3 = (x ∙ x ∙ x ∙ x)(x ∙ x ∙ x) = x7

El resultado es x elevado a la 7, es decir, x elevado a la suma de los exponentes 4 y 3.

Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, el resultado es una potencia de igual base cuyo

exponente es la suma de los exponentes.

m n m nx x x

Ejemplo: Determina el resultado de las siguientes expresiones: 4 7 115 5 5

Puesto que 1x x , entonces, 1m mx x x

Ya que la multiplicación de dos números reales es conmutativa y asociativa, se tiene que:




4 6 3 5 4 3 6 5 7 11a b a b a a b b a b

A partir de la siguiente situación se puede plantear la multiplicación de monomios:

Si la base de un rectángulo =se representa por 3x y la altura por 2x ¿cuál es su área?

2x

3x

Para multiplicar los monomios 3x y 2x, se multiplican los coeficientes entre sí y a las variables x se les

aplica la propiedad del producto de potencias de igual base.

Ejemplo: El largo de una caja de caras rectangulares es el triple del ancho y su altura es el doble del

ancho.

2x

X 3x Encuentra una expresión algebraica para el volumen de la caja.

33 2 (3 1 2)( ) 6V x x x x x x x

23 2 (3 2)( ) 6A x x x x x




MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO.

En la figura se muestra un rectángulo cuya base mide x y cuya altura mide x+y. El área A del rectángulo

se obtiene como el producto de la base por la altura, es decir:

( )A x x y

La anterior expresión es el producto del monomio x por el binomio x+y. Para resolver dicho producto, se

aplica la propiedad distributiva del producto con respecto a ;a suma y se obtiene:

2( )x x y x x x y x xy

Luego, el área se representa mediante la expresión:

2x xy

Para multiplicar un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva.

Ejemplo:

Resuelva los siguientes productos:

a. 2 5 28 (3 8 1)x x x

2 5 2 2 2

7 4 2

(8 )(3 ) (8 )( 8 ) (8 )( 1)

24 64 8

x x x x x

x x x

b. 8 6 6 8 2( 2 7 )7m n m n m n

8 6 2 6 8 2

10 7 8 9

( 2 )(7 ) (7 )(7 )

14 49

m n m n m n m n

m n m n




MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS

En la figura se muestra un rectángulo cuyos lados miden x+z y y+w, respectivamente. Para determinar el

área A del rectángulo, se multiplica la base por la altura y se obtiene:

( )( )A x z y w

El área está representada por el producto de dos binomios. Para resolver dicho producto, se aplica varias

veces la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

( )( ) ( ) ( )x z y w x y w z y w

xy xw zy zw

El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar todos los términos de uno

de ellos por todos los términos del otro y, luego, reducir los términos semejantes.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente producto de polinomios:

a. 2 3 2( 8 3 )(7 3 1)x x x x

Se multiplica primero2( 8 )x

por 3 2(7 3 1)x x

y luego (3 )x por 3 2(7 3 1)x x

así:




2 3 2

2 3 2 3 2

5 4 2 4 3

5 4 3 2

( 8 3 )(7 3 1)

( 8 )(7 3 1) (3 )(7 3 1)

56 24 8 21 9 3

56 3 9 8 3

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES QUE INCLUYEN PRODUCTOS

En esta lección se aplicará la propiedad distributiva del producto para simplificar expresiones algebraicas

en las cuales se hallan multiplicaciones y signos de agrupación.

Es importante recordar que al igual que en las operaciones combinadas de suma y resta, en las

operaciones que incluyen multiplicación se eliminan los signos de agrupación, desde los más interiores

hasta los más exteriores.

Ejemplo:

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a. ( ) ( ) ( )a a b c b a b c c a b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

**( ) ( ) ( )**

2 2

a ab ac ab b bc ac bc c

a ab ac ab b bc ac bc c

a ab b bc c

b. ( )(2 3 ) (5 4 )(3 2 )x y x y x y x y

2 2 2 2

2 2

** (2 3 ) (2 3 ) ( 5 4 )(3 2 )**

(2 3 ) (2 3 ) 5 (3 2 ) 4 (3 2 )

2 3 2 3 15 10 12 8

13 3 11

x x y y x y x y x y

x x y y x y x x y y x y

x xy xy y x xy xy y

x xy y

c. 4 2 3 2 35 2 5 3 3(2 ) 7x x x x x x x

Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva; luego se simplifican los términos

semejantes dentro del corchete; después se eliminan los corchetes aplicando la propiedad distributiva;

entonces se simplifican términos semejantes dentro se las llaves y, finalmente, se eliminan las llaves

aplicando la propiedad distributiva.




4 3 3 2 3

4 3 2 3

4 4 3 3

4 3

4 3

5 2 5 3 6 3 7

5 2 5 3 3 7

5 2 15 15 7

5 2 14 22

5 28 44

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x




LECCIÓN Nº 7

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Averiguar acerca de la propiedad distributiva en la multiplicación de polinomios y escriba un

ejemplo.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Monomio:……………….…………………………………………………………………………………………………………………..

Polinomio:………………………………………………………………………………………………………………………………

Semejantes:………………………………………………………………………………………………………………………………….

Simplificación:………………………………………………………………………………………………………….…………………..

Conmutativa:…………………………..……………………………………………………………………………………………




RESUMO:


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN

De monomios De un monomio por un polinomio De dos polinomios




CUESTIONARIO

1. Encuentra los productos:

3 2 2 3

2 2 2 2 4

2 4 3 2

2 4 3 2

2 3 2 2 2

2 2 3

2 2 2 2 4 2

22 3 2

2 3

( ) (2 )

(2 ) ( )

( ) ( )

( 2 ) ( )

( ) (2 )

2 ( 1) ( 1)

(3 ) (3 ) ( )

( ) ( )

( 3)( 2) ( 2)

a b ab

ab a c

x y x y

ab a b

a b abc

a x x x

ab a c a b

a x y a x y

x x x

2. Multiplica las expresiones:

2 2 2

3 2

2 2

2 3 2 2

( 2 )

2 (3 3 2)

3 (4 2 3)

5 ( 4 )

ab a ab ab

x x x

ab a ab

a b ab a b a




3 2

2 3 2

5

1 1

2 3 5

4 2 2

3 1 3

2 3 4

4 2 6 4 6

3 (3 2 10)

4 ( 2 2)

3 (5 2)

10 (3 4 )

8 ( 2 3 4 )

5 (3 6 )

7 ( 4 5 )

2 ( 6 2)

1(5 3 2 )

4

x x

a a a

y y y

m m m

y y y

b b

x x x x

x x x

x x x

m m m

z z z z

w w w w

r r r

x x x

a a

c c c c

3. Encuentra los productos.

2 2

2 2

( 2 )( 2 4 )

( 1)( 2)( 3)

(2 1)(3 1)(2 1)

( 2 )( 2 )

x y x xy y

x x x

x x x

x x y x x y




2

4 3 4 2

4 1 2 2

( )( )

(3 5 3 )(4 2 )

(9 3 2)( )

(2 5 3 )( 3 5 12)

1 2( 4 )

6 7

12 (4 3)

9

x x

a a

a b c a b c

a b c a b c

m n m m n

n s t p q

p q p q

x x x

4. Suprime los signos de agrupación y reduce los paréntesis.

( )( ) ( )( )

(3 )( 5 ) ( )( )

a b a b a c a c

m n m n m n m n




2 2 2 2

2

3 3

2 2

(5 2 )( ) ( )( )

8 (4 2 )(5 3 )

8[ 2(3 4)] 4( 6)

7 2 3 87 6 7

4 7 5 3 7

[( 7 5 3) 8( 3 )] 6

m n m n m n m n

q p q p q

x x

pw p w

m n m n





LECCIÓN Nº8

PRODUCTOS NOTABLES


- Comprender los conceptos productos notables.

- Identificar las características que deben tener los productos notables.

DEFINICIÓN

Cuando se emplean expresiones algebraicas, hay productos que presentan algunas regularidades, a estos

productos se les denomina productos notables. Con el fin de trabajar con mayor rapidez, es conveniente

aprender a reconocerlos y utilizarlos adecuadamente.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

El cuadrado de a+b es un producto notable. La expresión (a+b)2 se resuelve así:

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

2 min

a b a b a b

a ab ba b Se aplica la propiedad distributivo

a ab b Se reducen tér os semejantes

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la siguiente manera:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble producto del

primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

2 2 2( ) 2a b a ab b




Ejemplo:

Resuelve el siguiente producto:

a. 2 2 2( ) (2 )m s m m s s

2 22m ms s

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

El cuadrado de la diferencia entre a y b, es otro producto notable.

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

2

a b a b a b

a ab ba b

a ab b

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable así:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble producto

del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

2 2 2( ) 2a b a ab b

Ejemplo:

Resuelve el siguiente producto:

a. 3 3 2 3 3 2 3 3 2( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x y x y z z

6 6 3 3 22x y x y z z

b. 2 3 2 2 2 3 2 3 2( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x x y z y z

2 2 3 4 62x xy z y z




CUADRADO DE UN TRINOMIO

Para determinar a qué es igual la expresión (a+b+c)2, se resuelve el producto así:

2 2 2

2 2 2

( )( )

2 2 2

a b c a b c a ab ac ba b bc ca cb c

a b c ab bc ac

Ejemplo:

Resuelve:

a. 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES

El producto de la suma de dos cantidades, a y b, constituye otro producto notable. La expresión:

2 2

2 2

( )( ) ( ) ( )a b a b a a b b a b

a ab ba b

a b

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la siguiente manera:

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia de sus cuadrados.

2 2( )( )a b a b a b

PRODUCTO DE EXPRESIONES DE LA FORMA (x+a)(x+b).

La expresión (x+a)(x+b), con a y b como números reales, constituye otro producto notable. En forma

general, el producto (x+a)(x+b) se resuelve como sigue:

2

2

2

( )( ) ( ) ( )

( )

x a x b x x b a x b

x bx ax ab

x ax bx ab

x a b x ab




CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

La expresión (a+b)3 se resuelve de la siguiente manera:

3 2

2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( ) ( )( )

( )( 2 )

( 2 ) ( 2 )

2 2

3 3

a b a b a b

a b a ab b

a a ab b b a ab b

a a b ab a b ab b

a a b ab b

Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primero, mas el triple producto del

primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto del primero por el segundo al cuadrado, mas

el cubo del segundo.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

En la representación geométrica de la figura, se muestra un cubo de arista (a+b) y, dentro de él, dos

cubos con aristas a y b, respectivamente. En la figura se determinan tres sólidos de volumen a2b y tres

sólidos de volumen ab2.

Ejemplo:

Resuelve:

a. 3 3 2 2 3( 1) 3 (1) 3 (1) (1)a a a a

3 23 3 1a a a

CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

La expresión se resuelve así:




3 2

2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( ) ( )( )

( )( 2 )

( 2 ) ( 2 )

2 2

3 3

a b a b a b

a b a ab b

a a ab b b a ab b

a a b ab a b ab b

a a b ab b

Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primero, menos el triple producto

del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto del primero por el segundo al cuadrado,

menos el cubo del segundo.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

En el resultado los signos aparecen alternados, , , , .

Ejemplos:

Resuelve:

a. 3 3 2 2 3( 2) 3 (2) 3 (2) (2)m m m a

3 26 12 8m a a

b. 2 3 3 2 2 2 2 2 3( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )x y x x y x y y

3 2 2 4 63 3x x y xy y




LECCION Nº 8

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Por qué es necesario el estudio de los productos notables?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Producto Notable:…….………………………………………………………………………………………………………………..

Generalizar:………………………………………………………………………………………………………………………………

Cantidades:……..………………………………………………………………………………………………………………………….

Exponente Cuadrático:………………………………………………………………………………………………………………..

Exponente Cúbico:………………………..……………………………………………………………………………………………





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.




CUESTIONARIO

1. Encuentra los siguientes cuadrados:

2

2 2 2

2 2

1 2

23 4 2

2

2

3 2

(6 )

(3 )

( )

(3 2)

2 5

3 7 2

43

3

a

a

n n

m

x y

x b

m

pq p q

a a

m n m n

2. Desarrolla los siguientes productos:

2

2

2

2

( )

(5 )

(3 2 )

(5 3 2 )

a b c

a b c

m n p

p q w

3. Realiza las operaciones entre polinomios.




2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

21 2

(4 5 3) (3 2 )

9( 5 ) 4( )

6( ) 5( )

1(2 ) 3( )

4

3 4 2x b x x

a b a b

m n m n mn

a b a b ab

a b a b c

a a a

4. Calcula los siguientes productos.

2 2 2 2

3 4 5 5 3 4

( )( )

(8 3 )(8 3 )

2 2

3 3

4 43 3

7 7

m n m n

t t

m n m n

w z a a w z

1 16 6

5 5mn mn

5. Resuelva los siguientes productos:




( 5)( 3)

( 4)( 3)

( 10)( 3)

1( 4)( 2)

4

5 ( 9)( 2)

x x

t t

m m

x x

x x x

6. Escribe el término que falta en cada expresión.

4 3

3

32 2

32

3

32

32

33 2

( 2 )

(2 2 )

5

3 2

2 4

2 3

4 3

8 2

b a

x y

a b

p q

x y

a ab

stw st w

pq p q

7. Halla el volumen de cada cubo:




Lados = 4x+3

Lados = 𝟐

𝟕𝒂𝒎 −

𝟑

𝟓𝒏𝟐





LECCIÓN Nº9

DIVISÓN Y COCIENTES NOTABLES


- Comprender los conceptos de división y cocientes notables.

- Identificar las características que deben tener los cocientes notables.

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Antes de empezar el estudio de la división de polinomios, es conveniente revisar una propiedad de la

potenciación que será de utilidad.

Por ejemplo, para simplificar la expresión 5

3

x

x, se realiza el siguiente procedimiento:

52

3

73

4

x x x x x xx x x

x x x x

a a a a a a a aa a a a

a a a a a

DIVISIÓN DE MONOMIOS.

En la figura se muestra el cuadrado de lado 2r y un círculo de radio r. La razón o cociente entre sus áreas

se expresa como:

2 2

2 2

(2 ) 4 4r r

r r




Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes entre sí y las partes literales se simplifican

mediante la aplicación de la propiedad de división de potencias iguales de igual base.

Ejemplos:

Realiza las siguientes divisiones entre monomios.

a.

3 4 5 3 1 4 2 5 32 2 2

2 3

5 5 5

4 4 4

m l n m l nm l n

ml n

b.

2 5 3 2 2 5 7 3 0 2 3 3

2 7 2

6 6 62

3 3 3

x y z x y z x y z z

x y y

c.

7 5 8 7 4 8 5 3 3

4 6 5 6 5

10 2 2

5

a b c a c a c

a b c b b

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO PARA UN MONOMIO.

Para dividir un polinomio par un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio para

el monomio.

Ejemplos:

a.

7 5 3 7 5 35 3

2 2 2 2

6 3 8 6 3 8 33 4

2 2 2 2 2

x x x x x xx x x

x x x x

b.

8 6 6 8 8 6 6 86 7 4 7

2 2 2

2 7 2 7 2

7 7 7 7

m n m n m n m nm n m n

m n m n m n

c.

8 7 6 4 8 7 6 45 4 3

3 3 3 3 3 3

14 7 14 72

7 7 7

a b a b a b a ba b a b

a b a b a b

d.

6 2 8 6 2 8 4 6

2 2 2

5 4 5 4

20 20 20 4 5

x y x yz x y x yz x y x z

x y x y x y

DIVISION DE UN POLINOMIO PARA OTRO POLINOMIO




Los polinomios, al igual que los números enteros, pueden dividirse. Por lo tanto, en la división de

polinomios se utiliza la misma tecnología que en la división de números; es decir, existe un

polinomio dividendo, un polinomio divisor, un polinomio cociente y un polinomio residuo. Es

importante anotar que, en algunas ocasiones, el residuo no es un polinomio, sino un número. Si el

residuo de la división es cero, se dice que la división es exacta o que el polinomio dividendo es

divisible para el polinomio divisor. En el siguiente ejemplo, se muestra el procedimiento para

realizar una división entre polinomios:

3 2 2(9 3 4 ) (3 )x x x x x

En primer lugar, se escriben los dos polinomios ordenados con respecto a la misma variable y se

ubican como se acostumbra en aritmética.

3 2 2(9 3 4 ) (3 )x x x x x

Se divide el término de mayor grado del polinomio dividendo para el término de mayor grado del

divisor. En este caso 3 29 3 3x x x

3 2 2(9 3 4 ) (3 )

3

x x x x x

x

Se multiplica el monomio obtenido por el polinomio divisor y se resta ese producto del dividendo.

Luego, se baja el siguiente término del dividendo, es decir, 4x.

3 2 2

3 2

2

9 3 4 3

9 3 3

6 4

x x x x x

x x x

x x

Se repite el procedimiento se obtiene un nuevo término del polinomio cociente. El proceso se

realiza hasta conseguir que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor. Como 2 26 3 2x x

el siguiente término del cociente es + 2.

3 2 2

3 2

2

2

9 3 4 3

9 3 3 2

6 4

6 2

2

x x x x x

x x x

x x

x x

x

En la división 3 2 2(9 3 4 ) (3 )x x x x x el cociente es 3 2x y el residuo es 2x




El grado del residuo es menor que el grado del cociente. En tanto, en este paso termina la división.

DIVISIÓN SINTÉTICA O REGLA DE RUFFINI.

La división sintética es un procedimiento abreviado para encontrar el cociente para el polinomio

en una variable (por ejemplo, x) y un polinomio de la forma x-a.

Observa los pasos para realizar la división sintética.

Resuelva la división3(6 3 1) ( 2)x x x

Se escriben los coeficientes del polinomio dividendo ordenado en forma descendente y,

luego, el opuesto del término independiente del polinomio divisor, teniendo en cuenta el

siguiente arreglo.

6 0 3 1 2 2

Coeficientes del dividendo

Opuesto de

Se escribe el primer coeficiente del dividendo, 6, y se multiplica por el opuesto del término independiente del divisor, -2. Se coloca el resultado debajo del segundo coeficiente del dividendo y se realiza la operación indicada.

6 0 3 1 2

12 24 54

6 12 27 53

6( 2) 12

12 0 12

( 12)( 2) 24

24 3 27

27( 2) 54

54 1 53 residuo

Por tanto, en la división 3(6 3 1) ( 2)x x x el cociente es 26 12 27x x y el residuo es -53.

COCIENTES NOTABLES.

Así como en la multiplicación del polinomio, algunos productos presentan regularidades y pueden

ser resueltos por simple inspección, en el caso de la división hay algunos cocientes que resultan de

divisiones exactas entre polinomios que presentan regularidades. A este tipo de divisiones se les

llama cocientes notables.




COCIENTE DE LA FORMA 2 2x a

x a

En la unidad anterior se estableció como producto notable la expresión:

2 2( )( )x a x a x a

Esto significa que el binomio 2 2x a es divisible para el binomio ( )x a y para el binomio

( )x a

Es decir, se verifican los siguientes cocientes.

Caso 1. La diferencia de los cuadrados de dos términos,

2 2x a , dividida para la suma de

los términos, x a es igual a la diferencia de dos términos, x a

2 2x ax a

x a

Caso 2. La diferencia de los cuadrados de dos términos,

2 2x a , dividida para la

diferencia de los términos, x a es igual a la suma de dos términos, x a

2 2x ax a

x a

COCIENTE DE LA FORMA 3 3x a

x a

En este cociente se distinguen dos casos en los que la división es exacta.

Caso 1. Cociente de la forma

3 3x a

x a

.

Al realizar la división 3 3( ) ( )x a x a se obtiene como residuo cero y como cociente

2 2x ax a . Es decir, que el polinomio 3 3x a es divisible para x a y se cumple:

3 32 2x a

x ax ax a

Caso 2. Cociente de la forma

3 3x a

x a

.




Al realizar la división 3 3( ) ( )x a x a se obtiene como residuo cero y como cociente

2 2x ax a . Es decir, que el polinomio 3 3x a es divisible para x a y se cumple:

3 32 2x a

x ax ax a

La diferencia de los cubos de dos términos 3 3x a dividida para la diferencia de los términos

x a es igual al cuadrado del primer término, 2x más el producto del primer término por el

segundo, ax , mas el cuadrado del segundo término 2a




LECCIÓN Nº 9

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Puede el cociente de una división de polinomios tener mayor grado que el dividendo?

Explique por qué.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Cociente Notable:…….…………………………………………………………………………………………………………………

Cociente:……………………………………………………………………………………………………………………………………

Dividendo:……..………………………………………………………………………………………………………………………….

Residuo:…………………………..………………………………………………………………………………………………………..

Divisor:………..………………………..……………………………………………………………………………………………





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Efectúa las siguientes divisiones:

2

4 2

6 4

4 5

4 2 3 3

5 3 2

2 ( 2 )

26 2

14 7

8 2

9 3

16 4

w w

m m

x x

a b ab

x y z xyz

w z w za

2. Desarrolla los siguientes productos:

4 2 2

3 6 2 5

5 2 6 3 4 2

2 3 6

2

3 2

( )

( )

(4 8 ) 2

(10 20 ) 5

6( ) 3( ) 3( )

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

m m m

x y x y

w y w y w y

ax ax ax

x a x a x a

x a x a x a




3. Encuentra el cociente de las siguientes divisiones.

4 2 3

3 2

3 4 3 2 4 2 2

4 2 2 3 4 2 2

( 6 6 5 18) ( 3)

(3 8 4 8) (3 2)

( 2 8 10 3 8 ) (2 2 )

(4 9 11 6 ) ( 2 )

a a a a a

a a a a

xy x x y x y y x xy y

a a b ab b a ab b

4. Divide usando la regla de Ruffini

2( 7 5) ( 3)m m m




2

2

( 5 1) ( 2)

3 2 5 2

n n n

m m m

5. Utiliza el teorema del residuo para determinar cuáles de las siguientes divisiones son

exactas.

2

5

3 2

(2 8) ( 1)

(3 3 6) ( 5)

( 2 4) ( 1)

m m m

w w w

z z z z

6. Resuelve las siguientes expresiones utilizando cocientes notables.




2

2

8 6

4 3

2

8 4 4

4 2 2

2 4 6 8

2 3 4

10 8

5 4

9

3

16

4

81

9

36

6

100 36

10 6

4

2

n n

n n

y x

y x

x

x

m

m

w y

w y

x

x

a b m

a b m

w z

w z

a b

a b





LECCIÓN Nº10

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES


- Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la factorización.

FACTORES

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que

multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Así multiplicando a por a+b tenemos:

2( )a a b a ab

Las fracciones a y a+b, que multiplicadas entre sí dan como producto a2+a b, son factores o

divisores de a2+a b.

Ejemplo:

2( 2)( 3) 5 6x x x x

Decimos entonces que 2 3x y x son factores de 2 5 6x x

Descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto

indicado de sus factores.

Factorar un monomio.

Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así los factores de 15ab son

3, 5, a y b. Por tanto:

15 3 5ab a b

Factorar un polinomio.




No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo

modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1,

hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no

son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b no puede descomponerse en dos

factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a+b y por 1.

En las próximas lecciones estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos o más

factores distintos de 1.

En cualquiera de los casos que estudiaremos de factorización, la prueba de que se realizó bien el

ejercicio, consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y entonces su producto tiene que

ser igual a la expresión que se factoró.

FACTOR COMÚN.

Cuando los términos de un polinomio tiene un factor común m, el polinomio es igual al producto

de este factor por el polinomio cuyos términos se obtienen dividiendo por m los términos del

polinomio dado. Es decir:

( )ma mb mc m a b c

La operación consiste en pasar del primer miembro al segundo miembro de la igualdad escrita

arriba, se llama sacar factor común.

Ejemplos:

a. 22 4 6 2 ( 2 3 )x xy xz x x y z

b. 2 2 2( )ac cx cy c ac x y




c. 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2( )a b c a b c a b c a b c c ac b

d. 2 26 3 9 3 (2 1 3 )x y xy xy xy x y

e. ( ) ( ) ( ) ( )( )x y a x y b x y c x y a b c

En el primero de los ejemplos anteriores m=2x; en el último ejemplo es m=x+y.

FACTOR COMÚN POR AGRUPAMIENTO

En algunas expresiones los términos pueden ser agrupados de tal manera que factorizando cada

grupo quede un factor común complejo en la expresión; se termina entonces la factorización

sacando este factor común en la forma estudiada anteriormente.

Así por ejemplo, si la expresión dada es de la forma:

ac bc ad bd

Y se agrupa el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto, se tiene:

( ) ( )ac bc ad bd

Y sacando factor común en cada grupo:

( ) ( )c a b d a b

Como ahora la expresión contiene el factor común (a+b), sacando este factor se obtiene

finalmente:

( )( )a b c d

Ejemplos:

a. 3 2 3 23 2 6 ( 3 ) (2 6)x x x x x x

2

2

( 3) 2( 3)

( 3)( 2)

x x x

x x




b. 2 2( ) ( )x xy bx by x xy bx by

( ) ( )

( )( )

x x y b x y

x y x b

c. 4 3 4 32 2 1 (2 2 ) ( 1)a a a a a a

3

3

2 ( 1) 1( 1)

( 1)(2 1)

a a a

a a

d. ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax bx cx ay by cy

( ) ( )

( )( )

x a b c y a b c

a b c x y

De otro modo:

( ) ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax ay bx by cx cy

( ) ( ) ( )

( )( )

a x y b x y c x y

x y a b c




LECCIÓN Nº 10

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Hypatia?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Factor:……………..…….…………………………………………………………………………………………………………………

Factorar:……………………………………………………………………………………………………………………………………

Agrupación:……..………………………………………………………………………………………………………………………….

Monomio:………………………..………………………………………………………………………………………………………..

Cocientes:………..………………………..……………………………………………………………………………………………





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Descomponer en factores:

2

2

2 2 3

2 2 2

2 3 4 2 2 2 3

6 2 4 5 3 4 6 4 3

2 2 2 2

2 3 3 2 3 4

4 2 3 2

2

6 3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

4 8 12

5 10 5

7 14 21

9 6 3

a a

x x

x y xy

a b x a b y

x y a x y b x y c

x y z xy z y z

a b c a b c a b c

p q pq p q

m n m n m n

a a x a x





2

4 2

2

2

2 2 2 2

2 2

3 3 5 5

6 3 2

2 3 2 6

2 6 3

3 2 6 4 2

ax bx ay by

ap bp aq bq

x xz bx bz

ac bc ad bd

ax ay bx by

am bn bm an

x x x

xy yz x xz

am bm m an bn mn

abx ab c x cy bc y





LECCIÓN Nº11





TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Teniendo en cuenta lo siguiente:

2 2 2

2 2 2

2 ( )

2 ( )

a ab b a b

a ab b a b

Podemos decir que:

Un trinomio es un cuadrado perfecto (igual al cuadrado de un binomio), cuando dos de sus

términos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raíces cuadradas de

dichos términos. El trinomio es el cuadrado de una suma o de una diferencia según que el signo

del doble producto sea positivo o negativo

Así por ejemplo, el trinomio:

2 225 20 4x xz z

Es un cuadrado perfecto, pues contiene dos términos cuadrados perfectos, 25x2 y 4z2. Las raíces

cuadradas, (positivas), de estos términos son 5x y 2z, y su doble producto es:

2(5 )(2 ) 20x z xz

El cual coincide con el término medio del trinomio (exceptuando el signo). Como dicho término

medio tiene signo negativo, resulta:

2 2 225 20 4 (5 2 )x xz z x z




Observamos que para sacar la raíz cuadrada (positiva) de un monomio basta sacar la raíz cuadrada

aritmética de su coeficiente y dividir por 2 los exponentes de los factores literales que contenga.

Ejemplos:

a. 2 24 4 1 (2 1)x x x

b. 6 3 322 121 ( 11)a a a

c. 22 2

2

( ) 4( ) 4 ( ) 2

( 2 )

x y x y z z x y z

x y z

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

Invirtiendo el producto notable siguiente tenemos:

2 2 ( )( )a b a b a b

Por tanto, la diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la

diferencia de las bases de estos cuadrados.

Ejemplos:

a. 29 16 (3 4)(3 4)x x x

b. 4 2 21 1 1

4 2 2x x x

Las bases de los cuadrados pueden ser también expresiones complejas.

Ejemplo:

a. 2 2( ) ( ) ( )

( )( )

x y z x y z x y z

x y z x y z




b. 2 29 (2 3 ) 3 (2 3 ) 3 (2 3 )

(3 2 3 )(3 2 3 )

a b c a b c a b c

a b c a b c

Sucede en algunos ejemplos que uno de los factores obtenidos al aplicar el método anterior es

también una diferencia de cuadrados. Se procede entonces a descomponerlo a su vez en factores

siguiendo el mismo método.

Ejemplo:

a.

4 2 2

2

( ) 16 ( ) 4 ( ) 4

( ) 4 2 2

x y x y x y

x y x y x y

COMBINACIÓN DE CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencias de cuadrados si se agrupan

convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos.

Ejemplos:

a. 2 2 2 2 2 22 25 ( 2 ) 25a ab b m a ab b m

2 2( ) 25

( ) 5 ( ) 5

5 5

a b m

a b m a b m

a b m a b m

b. 2 2 2 2 2 2 2 24 6 9 4 (4 4 ) (9 6 )a c cd b d ab a ab b d cd c

2 2(2 ) (3 )

(2 ) (3 ) (2 ) (3 )

(2 3 )(2 3 )

a b d c

a b d c a b d c

a b c d a b c d




LECCIÓN Nº 11

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

¿Es verdad que (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐? Explique su respuesta.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Diferencia de cuadrados:……………………………………………………………………………………………………………

Trinomio cuadrado perfecto:………………………………………………………………………………………………………

Combinación:....………………………………………………………………………………………………………………………….

Binomio:………………………..………………………………………………………………………………………………………..

Término medio:…..………………………..……………………………………………………………………………………………





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO


2 2

2 2

2 2

2

2

2 4

2 2

2

2 2

2

9 6

10 25

81 90 25

100 20 1

1

4

0,01 0,2

( ) 2( )

16 8( ) ( )

( ) 2( )( ) ( )

( ) 6( ) 9

a ab b

x xz z

a ab b

x x

x x

x x

a b a b c c

x z x z

a b a b c d c d

x y x y





2 2

2 2

2

2 2 2

6 12

2 2

8

4

2 2 2 2

2 2

80 20

9

0,25

9

121 900

( )

1

( ) 1

( 1) ( 1)

(2 )

x y

x

a b x

m n

a b c

x

x y

a a a a

x y z





2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 4 2 2 4

2 2 2

2 2 2 2

6 9

100 14 49

2 1 2

2 1 4 4

4 4 4 4

( 1) ( 1)

xy x y z

x y yz z

x y x z yz

x y z xy z b b

xy a a x y

a a a a





LECCIÓN Nº12





CUADRADOS PERFECTOS INCOMPLETOS

Llamaremos así a los polinomios que pueden ser convertidos en cuadrados perfectos mediante la

adición de un término conveniente. Para que la expresión considerada no se altere es preciso

restar a continuación el término agregado. Si este término es a su vez un cuadrado perfecto, la

expresión se puede escribir como una diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

a. El trinomio:

4 2 1a a

No es un cuadrado perfecto. Para que lo fuese el término del medio debería ser 2a2. Sumando y

restando a2 se tiene:

4 2 2 2 2 2

2 2

2 1 ( 1)

1 1

a a a a a

a a a a

b. 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 212 4 ( 12 4 ) 16 16x x y y x x y y x y x y

4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 4 4 ) 16

( 2 ) 16

2 4 2 4

x x y y x y

x y x y

x y xy x y xy




TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + px + q.

En los productos notables vimos que:

2( )( ) ( )x a x b x a b x ab

Por tanto, si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto

sea q, esto es, tales que:

a b p y ab q

Se tendrá:

2 2 ( ) ( )( )x px q x a b x ab x a x b

Ejemplo:

a. 2 5 6 ( )( )x x x x

Buscamos dos números que cuya suma sea +5 y cuyo producto sea +6. Como estos números son

evidentemente +2 y +3 tendremos:

2 5 6 ( 2)( 3)x x x x

b. 2 3 10 ( )( )x x x x

Buscamos dos números que cuya suma sea +3 y cuyo producto sea -10. Estos números son

evidentemente +5 y -2 por lo tanto tendremos:

2 3 10 ( 5)( 2)x x x x

TRINOMIOS DE LA FORMA mx2 + px + q.

Para encontrar solución cuando se tiene este tipo de polinomios, se realiza el procedimiento

siguiente: se multiplica y divide el trinomio dado por m (coeficiente de x2), con lo que se obtiene:

2( ) ( )mx p mx mq

m




Y considerando mx como un símbolo se procede a buscar dos números que multiplicándolos son

mq y que sumados den p.

Ejemplo:

a.

22 (4 ) 8(4 ) 12

4 8 34

x xx x

(4 6)(4 2)

4

2

x x

(2 3)2x (2 1)

4

x

(2 3)(2 1)x x

En el primer paso se multiplica y se divide el trinomio por 4. En el segundo, se procede a la

descomposición en factores para lo cual se buscan los números que sumados den 8 y que

multiplicados den 12. El factor se introdujo en el numerador aparece ahora repartido entre los

factores. Sacando 2 factor común y simplificando obtenemos el resultado.

Cuando los coeficientes m y q son muy grandes se puede seguir en cambio el procedimiento

siguiente: se separa el término medio en dos sumandos de modo que el polinomio resultante

pueda descomponerse por agrupamiento.

Ejemplo:

a. 2 28 37 15 8 40 3 15x x x x x 2(8 40 ) (3 15)

8 ( 5) 3( 5)

( 5)(8 3)

x x x

x x x

x x

SUMA DE POTENCIAS DE EXPONENTE IPAR

Este es un caso general de la suma de dos cubos que vimos en productos notables, en donde se

tenía que:

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

Por lo que en forma general se tiene que:

1 2 3 2 1( )( ... )n n n n n na b a b a a b a b b




Ejemplo:

a. 5 5 532 2x x 4 3 2 2 3 4

4 3 2

( 2) (2) (2) (2) (2)

( 2)( 2 4 8 16)

x x x x x

x x x x x

b. 5 5 5243 1 (3 ) 1x x

4 3 2 2 3 4

4 3 2

(3 1) (3 ) (3 ) (1) (3 ) (1) 3 (1) (1)

( 2)(81 27 9 3 1)

x x x x x

x x x x x




LECCIÓN Nº 12

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿De qué manera se puede convertir un trinomio cuadrado perfecto incompleto en un

trinomio cuadrado perfecto?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Descomposición:…………………………………………………………………………………………………………………………

Cuadrados perfectos incompletos:………………………………………………………………………………………………

Exponente:.........………………………………………………………………………………………………………………………….

Impar:………………………………..………………………………………………………………………………………………………..

Coeficiente:…..………………………..……………………………………………………………………………………………





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO


4 2 2 4

4 2 2 4

4 2 2 4

4 2 2 2

4

4 2 2 4

4

2 9

7

100 59 49

9 21 4

64

21 4

1024

x x y y

a a b b

x x y y

a a b b

x

a a b b

b





2

2

2

2 2

6 3

2 2 2

4 2 2 4

2

7 12

9 20

13 90

7 12

20 64

6 40

20 96

40 144n n

x x

x x

m m

x xy y

c c

a x axy y

x x y y

a a





2

2 2

6 5 21

10 23 5

x x

x xy y

2 2

2 2

2 2

15 8 26

6 1

10 21 10

a x ax

x y xy

y yz z

4. Descomponer en factores




3 3

3

3

5 5

5 10

1

125

x y

b

a

x y

x y





LECCIÓN Nº13





DIFERENCIA DE POTENCIAS DE EXPONENTE IMPAR

De la misma manera que en el caso anterior, este caso se trata de la generalización de la diferencia

de dos cubos, en donde teníamos que:

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

Por lo que en forma general se tiene que:

1 2 3 2 1( )( ... )n n n n n na b a b a a b a b b

Ejemplo:

a. 5 4 3 2 2 3 41 ( 1) (1) (1) (1) (1)x x x x x x

4 3 2( 1)( 1)x x x x x

b. 5 5 5 532 (2 )c d c d

4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )

(2 )(16 8 4 2 )

c d c c d c d c d d

c d c c d c d cd d

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE EXPONENTE PAR

Suma de potencias de exponente par




La suma de potencias de exponente par es descomponible en factores (con coeficientes

racionales) cuando los exponentes contienen el mismo factor impar, en cuyo caso dicha suma

puede expresarse como suma de potencias con el mismo exponente impar.

Ejemplo:

a. 3 3 2 26 6 2 2 2 2 2 2 2 2( )x y x y x y x x y y

2 2 4 2 2 4( )( )x y x x y y

b. 3 3 2 212 6 4 2 4 2 4 4 2 2( )a b a b a b a a b b

4 2 8 4 2 4( )( )a b a a b b

c. 4 4 4 4; ; .x y x y etc no son descomponibles

Diferencia de potencias de exponente par

Para descomponer en factores una diferencia de potencias de exponente par, basta con

considerarla como una diferencia de cuadrados. Si los factores resultantes admiten a su vez

descomposición en factores, se procede a efectuarla hasta que sean primos todos los factores

obtenidos.

Ejemplo:

d. 6 6 3 3 3 3( )( )x y x y x y

2 3 2 3( )( )( )( )x y x xy y x y x xy y

e. 8 8 4 4 4 4( )( )x y x y x y

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2

( )( )( )

( )( )( )( )

x y x y x y

x y x y x y x y




POLINOMIOS QUE CONTIENEN FACTORES DE LA FORMA x + a

Si un polinomio cualquiera con coeficientes enteros, como por ejemplo:

3 2kx mx nx p

Es divisible por un binomio de primer grado de la forma x + a, el número a deberá ser un divisor de

p. En efecto, en una división exacta el último término del dividendo es igual al producto de último

término del cociente por el último término del divisor. Tendremos, pues, p=aq, representando por

q el último término del cociente.

Por tanto, si un polinomio contiene factores de la forma x + a, el número a habrá que buscarlo

entre los divisores (positivos y negativos) p.

Ensayando sucesivamente los posibles divisores x + a se podrá determinar si el polinomio dado

contiene o no un factor o divisor de esta forma. Para ello es ventajoso usar el método de división

sintética.

Ejemplo:

a. 3 26 11 6x x x

Los divisores de -6 son: ±1, ±2, ±3, ±6. Las divisiones correspondientes a x + 1 y a x – 1 son:

1 6 11 6 1

1 7 18

1 7 18 24

1 6 11 6 1

1 5 6

1 5 6 0

Por tanto,

3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)x x x x x x

El procedimiento puede continuar si es que a partir de estos términos se puede factorar con cualquiera

de los métodos anteriores:




3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)

( 1)( 2)( 3)

x x x x x x

x x x

LECCIÓN Nº 13

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Existe una diferencia entre los casos de factores diferencia de cuadrados y diferencia de

potencias de exponente par? Justifique su respuesta

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Binomio de grado 1:…………………………………………………………………………………………………………………………

Diferencia de cubos:..………………………………………………………………………………………………………………………

Suma de potencias:....………………………………………………………………………………………………………………………….




Coeficiente entero:……………..……………………………………………………………………………………………………………

Polinomio homogéneo:…………………………………………………………………………………………………………………..


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO


3 3

5 5

5

3 3 3

10 5

32 1

x y

x y

x

a b c

x a





6 6

6 6

12 12

10 10

64

a b

x y

x y

a x

12 6

12 6

12

6 6

729

( )

x y

x y

a

a b c





3 2

3 2

3 2

3 3 2

4 6

3 4

x x x

x x x

x x

3 2

4 3 2

2 9 7 10

10 35 50 24

x x x

x x x x





LECCIÓN Nº14

ECUACIONES


- Comprender los conceptos y las partes de una ecuación.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de ecuaciones.

ECUACIONES.

Una expresión que incluye un signo igual se denomina una igualdad. En toda igualdad hay un primer

miembro, que se encuentra a la izquierda del signo igual, y un segundo miembro, que se encuentra a la

derecha del signo igual.

Por ejemplo, las expresiones: 5 4 9 10 8 ; 2 3 ; 3 7x x x x son igualdades.




La igualdad 2 3x x x

es cierta para cualquier valor de la variable x. A este tipo de igualdades se les

denomina identidades.

La igualdad 3 7x se cumple solo para un valor de x, en este caso para x = 4. Este tipo de igualdades,

que se cumplen solo para algunos valores de las variables, se denominan ecuaciones.

Partes de una ecuación.

Las variables de una ecuación se denominan incógnitas. Los sumandos de cada miembro de una

ecuación se llaman términos.

En la ecuación 3 9 12x , los términos son 3x, 9 y 12.

Grado de una ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor exponente con que aparece la incógnita después de resolver las

operaciones y eliminar los signos de agrupación si los hay.

En la ecuación 3 9 12x , el mayor exponente de la incógnita es 1, entonces se dice que es una

ecuación de primer grado.

En la ecuación 2 2 3 0x x , el mayor exponente de la incógnita es 2, entonces se dice que es una

ecuación de segundo grado.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Las soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad.

Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.

Por ejemplo, la solución de la ecuación 2 4 3x x

es x = 4, pues es el valor para el cual se cumple la

igualdad.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Ecuaciones de la forma x + a = b.




Para resolver ecuaciones de la forma x + a = b se busca una ecuación equivalente. En este caso, se suma

el opuesto de a, que es –a, en ambos miembros, de esta manera, la incógnita x queda sola en uno de los

miembros de la ecuación, es decir, x queda despejada.

Ejemplo:

8 10

8 ( 8) 10 ( 8)

18

x

x

x

Ecuaciones de la forma ax = b.

Para resolver ecuaciones de la forma ax = b, a≠0, se busca una ecuación equivalente. Para esto se

multiplica ambos miembros de la ecuación por el recíproco o inverso de a, que es 1/a, de esta manera,

la incógnita x queda despejada.

Ejemplo:

5 20

1 15 20

5 54

x

x

x

Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d.

Para resolver ecuaciones de la forma ac + b = cx + d se realizan los siguientes pasos:

Se busca una ecuación equivalente a la ecuación dada, en la cual todos los términos de la

variable x quedan en un solo miembro de la igualdad, y todos los términos independientes

quedan en el otro miembro de la igualdad.

Se reducen términos semejantes en cada miembro.

Se despeja la incógnita

Ejemplo:

Resuelva la ecuación:




4 5 2 9

4 5 5 2 9 5

4 2 4

4 2 2 4 2

2 4

1 12 4

2 22

x x

x x

x x

x x x x

x

x

x

CLASES DE ECUACIONES.

Ecuaciones con paréntesis.

Para resolver ecuaciones que incluyen paréntesis, se elimina los paréntesis de la forma en que se hace

con las expresiones que incluyen signos de agrupación. Luego, se buscan ecuaciones equivalentes y se

despeja la incógnita.

Ejemplo:


4(2 5) 12

8 20 12

8 20 20 12 20

8 8

1 1(8 ) ( 8)

8 81

y

y

y

y

y

y

Ecuaciones con denominadores.

Para resolver ecuaciones en las que aparecen denominadores, se multiplican los dos miembros por el

mínimo común múltiplo de estos y se simplifican las fracciones. Así se obtienen ecuaciones equivalentes

sin denominadores

Ejemplo:





5 12

2 5 1 22

10 2

10 10 2 10

8

x

x

x

x

x

Ecuaciones con coeficientes literales.

En algunas ecuaciones, además de las incógnitas, los coeficientes aparecen representados por letras.

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones con coeficientes numéricos. Con

frecuencia, la solución de este tipo de ecuaciones se expresa en términos de los coeficientes literales.

Ejemplo:


2 4

2 2 4 2

6

1 1( ) (6 )

60

ax b b

ax b b b b

ax b

ax ba a

bx a

a

FÓRMULAS.

A través de la solución de ecuaciones es posible despejar una variable de una fórmula. Se denominan

fórmulas a las expresiones algebraicas que relacionan las variables que intervienen en una ley o en un

principio general. Despejar una variable significa, expresarla en términos de las otras variables. Por

ejemplo, el área de un polígono regular de n lados, cuyo lado se representa por la letra l y cuya apotema

se representa por la letra a, se calcula mediante la expresión:

2

nlaA




A partir de esta expresión es posible despejar la variable l correspondiente al lado del polígono, en

términos del área A, del número de laso n y de la longitud del apotema a.

2Al

na

EL LENGUAJE ALGEBRAICO.

En el estudio de las expresiones algebraicas, se estableció que el lenguaje algebraico es una

generalización de la Aritmética, pues este permite expresar relaciones entre variables de una manera

generala través de la representación, por medio de letras, de los números reales.

Es posible traducir proposiciones verbales a expresiones algebraicas e interpretar expresiones

algebraicas para traducirlas a proposiciones verbales. Por ejemplo, en la siguiente tabla están

representadas algunas expresiones verbales para un número x en lenguaje algebraico.

El triple de un número 3x

La mitad del número 𝑥

2=

1

2𝑥

El número aumentado en 5 x + 5

La cuarta parte número 𝑥

4=

1

4𝑥

El cuadrado del número 𝑥2

El diez por ciento del número 1

10𝑥 = 0,1𝑥

Cinco más que el triple del número 3x + 5

El cuadrado de un número más el doble del mismo 𝑥2 + 5𝑥

Las tres cuartas partes del cubo del número 3

4𝑥2

El doble de la suma del número con 25 2(x + 25)

La edad de Juan disminuido en 20 x – 20




LECCIÓN Nº 14

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Cuándo una ecuación es equivalente?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….




…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Igualdad:………………………………………………………………………………………………………………………………………

Identidad:……………….………………………………………………………………………………………………………………………

Incógnita:....………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ecuación:……………..………………..………………………………………………………………………………………………………

Coeficiente literal:……..…………………………………………………………………………………………………………………..


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si la afirmación es falsa. Justifica la respuesta:

a. Al reemplazar la x por 9 en la ecuación x + 8 = 2x – 1 se obtiene una igualdad.

b. Una solución de la ecuación x2 + 5 = x + 5 es x = 2.

c. La ecuación 12x – 4 = 3 + 3x tiene como solución x = 3.

d. No existe un número real que cumpla la igualdad x2 = – 16

2. Comprueba si las soluciones presentadas para cada ecuación son la correctas:




4 8 12

4 6 2 10 2

3 9 18 6 1

7 4 8 2

x x

x x x

x x x

x x x

3. Reduce los términos semejantes para resolver la siguientes ecuaciones:

9 4 2 3x x




8 6 5 2

6 2 3 10

8 4 5 12

7 14 3 5

8 3 5 10

m m

w w

n n

p p

a a

4. Resuelva las siguientes ecuaciones y verifica tus respuestas.

8 3 19

5 16 4

n

m




13 19 2

14 6 3

8 4 19

2( 4) 6 4

3( 6) 4 5 6

7 5 8( 3)

4 2( 1) 3(2 ) 10

9 (5 4) 2 (3 7) 4

x

n

m

x

n n

w w

y y

r r

5. Despeja x en las siguientes ecuaciones.




2

5

9 2

5

( )

( )

x m

x n

bx n

a bx c d a

a bx c x c

6. Escribe la siguiente oración como una ecuación: El voltaje V a través de cualquier circuito

equivale al producto de la resistencia R y la corriente I.


LECCIÓN Nº15




ECUACIONES


- Comprender y aplicar los conceptos de ecuaciones.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con ecuaciones.

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

1. Interpretación del enunciado. En el enunciado se deben distinguir los datos y lo que se busca

calcular. Se asigna el nombre de la variable a la incógnita y se expresa la información y se

expresa la información en lenguaje algebraico.

2. Planteamiento y resolución de la ecuación. Se plantea la ecuación relacionando los datos con la

incógnita. Se resuelve la ecuación y se redacta la solución en términos de la pregunta del

problema.

3. Comprobación de la solución. Se verifica si la solución cumple las condiciones del enunciado del

problema.

PROBLEMAS QUE SE REFIEREN A NÚMEROS.

La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son los números?

Interpretación del enunciado.

Se asigna la variable x al menor de los números, por tanto:

El menor de los números: x.

El siguiente número: x+1

El mayor de los números: x+2

Planteamiento y resolución de la ecuación:

Como la suma de los tres números es 48 se tiene:




( 1) ( 2) 48

1 2 48

3 3 48

3 48 3

4515

3

x x x

x x x

x

x

x

Los números consecutivos son: 15, 16, 17

Comprobación: 15 + 16 + 17 = 48

PROBLEMAS QUE SE REFIEREN A EDADES.

Una madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la

madre sea el triple de la edad del hijo?


En ocasiones es conveniente presentar la información como aparece en tablas. Si se asigna la variable x

a los años que han de transcurrir, y se representa esta información como aparece en la tabla.

Hoy En x años

Edad de la madre 40 años 40 + x

Edad del hijo 10 años 10 + x

Planteamiento y resolución de la ecuación.

Como dentro de x años la edad de la madre, 40 + x, debe ser el triple de la del hijo, 10 + x, se tiene:

40 3(10 )

40 30 3

10 3

10 2

5 ; 5

x x

x x

x x

x

x x

Comprobación: Por lo tanto, deben transcurrir 5 años paraqué la edad de la madre sea el triple

de la del hijo.

40 5 3(10 5)

45 45




PROBLEMAS QUE SE REFIEREN A CUERPOS EN MOVIMIENTO.

1. Un automóvil se mueve 20km/h más rápido que otro. Si uno emplea 3 horas en recorrer la

misma distancia que recorre el otro en 2 horas. ¿Cuál es la rapidez de cada automóvil?


Se asigna la variable v a la rapidez del automóvil más lento, el cual emplea 3 horas y se presenta la

información en la siguiente tabla:

Rapidez Tiempo d=vt

Más lento v 3 3v

Más rápido v+20 2 2(v+20)


Como las distancias recorridas son iguales, se tiene:

3 2( 20)

3 2 40

3 2 40

40

v v

v v

v v

v

Comprobación:

La rapidez del automóvil más lento es 40km/h mientras que la rapidez del automóvil más rápido es 60

km/h.

Se calcula la distancia recorrida por cada automóvil, mediante la expresión d = vt y se obtiene para

ambos el valor de 120km; por tanto, la solución es correcta.

PROBLEMAS QUE SE REFIEREN A PORCENTAJES

2. En el año 2001, el precio de un artículo aumentó el 10% con respecto al precio del año 2000. En

el año 2002, el precio aumentó en el 5% con respecto al precio del año 2001. Si el precio en el

año 2002 es $23100. ¿Cuál era el precio del artículo en el año 2000?





Se asigna la variable x al precio del artículo en el año 2000

Precio del artículo en el año 2000: x

Precio del artículo en el año 2002:1,1 x

Precio del artículo en el año 2000: 1,05(1,1x)=1,155x


Como en el año 2002, el precio es $23100, se tiene:

1,155 23100

1 1(1,155 ) (23100)

1,155 1,155

20000

x

x

x

Comprobación:

En el año 2000 el precio del artículo era $20000.




LECCIÓN Nº 15

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Cuáles son los pasos para resolver un problema mediante ecuaciones?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Interpretación:………………………………………………………………………………………………………………………………………

Planteamiento:……………….……………………………………………………………………………………………………………………

Resolución:....………………………………………………………………………………………………………………………………….

Comprobación:………..………………..………………………………………………………………………………………………………

Rapidez:……..…………………….…………………………………………………………………………………………………………..





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Escribe en la tabla cada frase como una expresión algebraica.

Edad de Rubén

Se multiplica la edad de Rubén por tres

Se le suma 6

Esta suma se divide entre nueve

Se obtiene 18

Un ángulo

Aumentado en 8

El resultado se multiplica por dos

Equivale al triple del ángulo

Disminuido en 24

2. Formula una ecuación para cada problema. Luego resuélvelo

a. La suma de tres números enteros consecutivos equivale a 153. ¿Cuáles con esos números?

b. La edad actual de José es el triple de la edad de Manuel. Dentro de 15 años José tendrá el

doble de la edad de Manuel. ¿Qué edad tiene José actualmente?

c. El ancho de un rectángulo mide 6m más que su altura y el perímetro es 92m. Encuentra las

dimensiones del rectángulo.




d. Un automóvil parte a una velocidad de 50km/h. Un segundo automóvil sale 3 horas después, a

una velocidad de 65km/h para alcanzar al primero. Calcula en cuántas horas alcanza el

segundo automóvil al primero.

e. Un equipo de sonido fue vendido en $345 luego de aplicar un 25% de descuento. ¿Cuál era el

precio normal del equipo?


LECCIÓN Nº16

DESIGUALDADES E INECUACIONES





- Comprender los conceptos de las inecuaciones.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de inecuaciones.

DESIGUALDADES

Las expresiones de la forma x > a o x < a en donde x es una variable y a es un número real, se les

denomina desigualdades.

Una desigualdad se cumple en un subconjunto de valores que pertenecen al conjunto de los números

reales. Por ejemplo, la desigualdad x > 0, es válida para todos los números reales positivos.

La representación gráfica de la desigualdad x > 0 es, por consiguiente, toda la parte positiva de la recta

numérica.

Las desigualdades cumplen las siguientes propiedades:

Si se suma un mismo número a ambos miembros de una desigual esta no se altera.

Si x > y y z es un número real, entonces x + z > y + z.

Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad

no se altera.

Si x > y y z es un número real positivo, entonces x ∙ z > y ∙ z.

Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, el signo de la

desigualdad se invierte.

Si x > y y z es un número real negativo, entonces x ∙ z < y ∙ z.

INECUACIONES.

Una inecuación es una desigualdad establecida entre dos expresiones algebraicas.

A diferencia de las ecuaciones estudiadas, cuya solución es un único valor, la solución de una inecuación

es un conjunto de números reales.

El proceso para resolver una inecuación es similar al proceso para resolver una ecuación. Es decir, se

aplican las propiedades de las desigualdades y se busca generar inecuaciones equivalentes.




Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo:

Resuelva la inecuación:

2 9 15

2 9 ( 9) 15 ( 9)

2 6

1 12 6

2 23

x

x

x

x

x

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON INECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Una aplicación importante de las inecuaciones es la resolución de problemas de la vida cotidiana. Para

ello se siguen los mismos pasos descritos en la resolución de problemas de ecuaciones. Es decir,

interpretación del enunciado, planteamiento y resolución de la inecuación y comprobación de la

solución.

Ejemplos:

1. Un canal de riego es alimentado por tres fuentes: A, B y C. La fuente A surte 1000 litros de agua

por segundo y las otras surten diferentes cantidades por segundo. La fuente B surte tres veces la

cantidad que surte la fuente C. Si el canal está diseñado para transportar como máximo 4600

litros por segundo, ¿qué cantidad máxima deben surtir las fuentes B y C?

Interpretación del enunciado:

Se asigna x a la cantidad de agua que surte la fuente C por segundo. Por tanto:

Cantidad de agua que surte la fuente C por segundo: x

Cantidad de agua que surte la fuente B por segundo: 3x

Planteamiento y resolución de la inecuación:




Como la cantidad de agua máxima que transporta el canal es 4600 litros por segundo, la suma de las

cantidades de agua que surten las tres fuentes debe ser menor o igual que 4600; por tanto:

3 1000 4600

4 1000 1000 4600 1000

4 3600

1 14 3600

4 4900

x x

x

x

x

x

La fuente C surte como máximo 900 litros por segundo y la fuente B surte como máximo 2700 litros por

segundo.

Comprobación de la solución:

1000 + 900+ 2700 = 4600, lo cual verifica que las cantidades máximas que surten las tres fuentes suman

4600 litros por segundo. De donde la solución es correcta.

LECCIÓN Nº 16

Nombre: ……………………………………………………………………………………….




Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Cuáles son los pasos para resolver un problema mediante ecuaciones?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Inecuación:………………………………………………………………………………………………………………………………………

Enunciado:……………….……………………………………………………………………………………………………………………

Solución:....…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Desigualdad:………..………………..………………………………………………………………………………………………………

Subconjunto:……..…………………….…………………………………………………………………………………………………………..


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………




……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:


CUESTIONARIO

1. Indica la propiedad que justifica cada proposición.




a. Si -2 < 4, entonces -4 < 2

b. Como -5 <6, entonces 5 > -6.

c. Si -3 < 2 y -2 < 4, entonces -3 < 4.

d. Si -1 < 3, entonces -3 < 7.

e. Si 15 > 5, entonces -15 < -5.

f. Si 6 > -2, entonces 8 es positivo.

2. Resuelva cada desigualdad. Luego representa gráficamente cada solución.

5 4

12 10

10 6

2 3 5

3 2 4

x

x

x

x

x x

3 4 2 7

5 3 5 8

2 3 5

x x

x x

x x

3. Escribe en forma de desigualdad cada enunciado.




a. La edad de María es mayor o igual a la edad de Andrés y Andrés tiene 20 años.

b. La ración de proteínas de origen animal que una persona debe consumir diariamente, no

debe ser menor del 20%.

c. La temperatura del horno no debe sobrepasar los 350°C.

d. El doble de las fichas que tengo, más 4 fichas, no llega a 100.

e. La mínima cantidad de cuotas mensuales que se puede pagar por un equipo de sonido es

12.

4. Un hombre se propone vender como mínimo $8000 en mercancía. Ayer vendió $2500 y hoy

vendió $3000. ¿Cuál es el valor de la mercancía que debe vender para llegar a los $8000?

5. Si el área de un triángulo rectángulo es menor que 80 cm2 y la base es 10 cm. ¿Qué valores

puede tomar su altura?

6. Leonor gana, por hora dos veces más de lo que gana Ingrid. Si Leonor trabaja 8 horas e Ingrid

trabaja 5 horas, y juntas ganan menos de $95. ¿Cuánto podrá ganar Ingrid por hora?




7. El consumo diario de azúcares y grasas no debe ser mayor que 850 gramos. Si la cantidad de

grasas que necesita el cuerpo humano es un 16% de la necesidad diaria de azúcares, ¿Cuántos

gramos diarios de azúcares necesita el cuerpo humano como máximo?

8. Un equipo de sonido fue vendido en $345 luego de aplicar un 25% de descuento. ¿Cuál era el

precio normal del equipo?





OBJETIVOS:

Resolver problemas de áreas de polígonos regulares e irregulares, de sectores circulares, áreas laterales y de volúmenes de prismas, pirámides y cilindros, y analizar sus soluciones para profundizar y relacionar conocimientos matemáticos.

Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos para el cálculo de perímetros y áreas.




LECCIÓN Nº17

GEOMETRÍA


- Comprender el concepto del Teorema de Pitágoras.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de triángulos rectángulos mediante el

Teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a2 + b2 = c2

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque

c2 = a2 + b2 = 32 + 42

c2 = 9 + 16 = 25

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo rectángulo y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con

clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.




Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo

152 = (10 + 5)2 = 102 + (2)(10)(5) + 52 = 100 + 100 + 25 = 225 y

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

Por ejemplo: 52 = (10 - 5)2 = 102 - (2)(10)(5) + 52 = 100 - 100 + 25 = 25 También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab.

Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a,b,c). la longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2.

No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de

todas sus partes

(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2

Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Reste 2ab de ambos lados y obtendrá

a2 + b2 = c2




Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos

c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2

= 2ab + (a2 - 2ab + b2)

= a2 + b2

La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los matemáticos aún siguen ese modelo.

Entonces, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.

a2 + b2 = c2

De esta fórmula se obtienen las siguientes:




Ejemplo:

1. Hallar la hipotenusa del siguiente triángulo:

2. Calcula el cateto que falta en el siguiente triángulo:




LECCIÓN Nº 17

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Pitágoras?

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Teorema:………………………………………………………………………………………………………………………………………

Triángulo Rectángulo:….……………………………………………………………………………………………………………………

Hipotenusa:....…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Cateto:………..………………..………………..……………………………………………………………………………………………

Lógica:……..…………………….…………………………………………………………………………………………………………..





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.

2. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 9cm.

3. Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8cm y la base 6cm.

4. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32mm y 24mm.

5. Una escalera de 65dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista

25dm de la pared. ¿A qué altura de la pared se apoya la parte superior de la pared?




Del problema anterior, ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma

escalera para que l parte superior se apoye en la pared una altura de 52 dm?


LECCIÓN Nº18




GEOMETRÍA


- Comprender el concepto de los Polígonos Regulares.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de áreas de Polígonos Regulares.

POLÍGONOS REGULARES

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.

En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruentes

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice

http://es.wikipedia.org/wiki/Lado_(Geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Apotema

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal

http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetro




ÁREA DE POLÍGONOS REGULALES

Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido entre dos. Lo que se resume con la siguiente fórmula matemática:

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado, L, del polígono y altura su apotema, a, el área de este triángulo, es:

Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:

Esto es:

Sabiendo que la longitud de un lado, L, por el número, n, de lados es el perímetro, P, tenemos:




SEGMENTOS NOTABLES EN PIRÁMIDES Y CONOS

Como ya se sabe, la geometría es una rama muy importante de la matemática, y su estudio se considera fundamental no sólo para quien se dedica al campo de esta disciplina, sino como una herramienta que sirve de apoyo en diversos campos de la ciencia y la tecnología.

A continuación veremos los segmentos más importantes considerados para el cono y la pirámide.

PIRÁMIDES

Las pirámides son cuerpos formados por una base con forma de cualquier polígono y tantas caras triangulares como lados tenga la base.

Los segmentos más importantes en estos cuerpos son las aristas, que corresponden a la unión de todas las caras del cuerpo; la altura, que es la distancia que va del vértice hacia la base en forma perpendicular y el apotema, que es la altura de cualesquiera de los triángulos laterales.

CONOS

Ahora imagínese un triángulo rectángulo girando sobre uno de sus catetos.




Al hacer un giro completo y llegar al punto de inicio, el triángulo rectángulo describe un cono.

Si se analiza bien el giro del triángulo, la hipotenusa de éste es la generatriz del cono, el cateto sobre el

que gira representa el radio de la base y el otro cateto del triángulo representa la altura del cono.

Con base en lo expuesto y para calcular la longitud de cualquiera de esos segmentos se recurre al

teorema de Pitágoras, como se muestra en los siguientes ejemplos:

1. Calcular la medida de la apotema de una pirámide cuadrangular, cuya base mide 16 m2 y su arista mide 10 m.

Si como dato se tiene que la base mide 16 m2, para conocer la medida de uno de sus lados le extrae raíz cuadrada.

La base mide 4 m por lado, pero el apotema de la pirámide es igual que la altura de una de sus caras triangulares y, a su vez, ella siempre es la mediatriz, por lo que las medidas quedan de la siguiente forma:




Por lo tanto, la medida del apotema es de 9.8 m en números redondos.

2. ¿Cuánto medirá la altura de un cono, cuya generatriz mide 24 cm y el radio de la base mide 8 cm?

Así que la altura del cono mide 22.63 cm

Como puede verse, apoyándose en el teorema de Pitágoras es muy fácil obtener la medida de los

segmentos notables en pirámides y conos.




LECCIÓN Nº 18

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Qué es un Polígono Irregular?

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Apotema:………………………………………………………………………………………………………………………………………

Heptágono:….……………………………………………………………………………………………………………………

Octágono:....…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Decágono:………..………………..………………..……………………………………………………………………………………………

Dodecágono:……..…………………….…………………………………………………………………………………………………………..





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………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

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RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Calcula el área de un dodecágono regular que tiene 3cm de lado.

2. Dibuja un Pentágono Regular de 2cm de lado y calcula su área.

3. Dibuja un octágono de 1cm de lado y calcula su área.

4. ¿Cuánto medirá la altura de un cono, cuya generatriz mide 30cm y el radio de la base mide

10cm?




5. ¿Calcular la medida de la apotema de una pirámide cuadrangular, cuya base mide 15m2 y su

arista mide 15m?


LECCIÓN Nº19

GEOMETRÍA





- Comprender el concepto de Ángulos Notables.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de Prismas y Cilindros.

ÁNGULOS NOTABLES

La palabra “notable” dentro de la trigonometría y la matemática en general se la utiliza para hacer

referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene un origen “notable” o muy particular. De ésta

manera, se han definido a los ángulos notables como aquellos que tienen valores muy específicos y que

aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60°. Debo

decir que, a pesar de no ser definidos como notables, los siguientes valores de ángulos también forman

parte de la familia, desde mi punto de vista, me refiero a los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, ya que

son tan comunes en los procesos cotidianos, como los primeros que había nombrado.

La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º,

60º y 30º. Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la altura en función del lado:

La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º. Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la diagonal en función del lado:




CÁLCULO DEL ÁREA DE PRISMA YCILINDRO

PRISMA.

Llámese prisma a una porción de espacio, limitada por dos polígonos iguales, puestos en planos

paralelos y por tantos paralelogramos cuantos son los lados de los polígonos.

Este es un prisma pentagonal ya que tiene por bases dos pentágonos.

Tomamos en cuenta las siguientes definiciones en el prisma:

Caras laterales: Los paralelogramos que conforman el prisma.

Altura del prisma: Es la distancia entre los planos de las bases.

Área de un prisma: El área de un prisma se define como:

Á. Total = A Lateral + 2· A Base




Volumen de un prisma: El volumen de un prisma, se define como:

Volumen = A Base · Altura

Donde la Base = Polígono Regular.

CILINDRO.

Se llama cilindro circular recto o simplemente cilindro, al sólido producido por la rotación completa de

un rectángulo, alrededor de uno de sus lados.

El cálculo del volumen y el área del cilindro son similares al cálculo en el prisma.

Área de un cilindro: El área de un cilindro se define como:

Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base

Volumen de un cilindro: El volumen de un cilindro, se define como:

Volumen = A. Base · Altura

Donde A. Base = π.r2




LECCIÓN Nº 19

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Cite un ejemplo de donde se puede utilizar los ángulos notables en la vida cotidiana.

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GLOSARIO:

Ángulo:……………………….…………………………………………………………………………………………………………………

Notable:…………………..……………………………………………………………………………………………………………………

Altura:....……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Prisma:………..……………….,.………………..……………………………………………………………………………………………

Cilindro:……..…………………….…………………………………………………………………………………………………………..





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RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Hallar el volumen de un prisma pentagonal cuyos lados de la base tienen 3cm y la apotema de

2cm, y cuya altura es de 10 cm.

2. Hallar el volumen de un cilindro recto, cuya base tiene un radio de 2cm, y una altura de 8cm.

3. Hallar la altura de un triángulo equilátero que tiene 7cm de lado.

4. Hallar la diagonal de un cuadrado de 5cm de lado





OBJETIVOS:

Recolectar, representar y analizar datos estadísticos en diagramas de tallo y hojas, para calcular la media, mediana, moda y rango.




LECCIÓN Nº20

ESTADÍSTICA


- Comprender el concepto de Media, Moda y Mediana.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la Media, Moda y

Mediana.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA GEOMÉTRICA.

Se denomina media geométrica x a la suma de los valores dados (datos), dividida para el número de

datos.

xx

N

Ejemplo: Las notas parciales en Lenguaje y Comunicación correspondientes al tercer trimestre, de un

estudiante de séptimo año de básica, son: 18, 12, 15, 10 y 20.

xx

N

18 12 15 10 20 7515

5 5x

Entonces, podemos observar que la nota promedio o nota trimestral, la misma que resulta de las notas

parciales, es 15.




MEDIANA.

Se denomina mediana (Md), al valor que está ubicado justo en el medio de un conjunto de datos

ordenados, si el número de datos es impar. Si el número de datos es par la mediana será el promedio de

los valores ubicados en la mitad de los valores ordenados.

Ejemplo: Determinemos la mediana de las notas (calificaciones) en matemática, de un grupo de seis

alumnos de octavo año de básica, las mismas que son: 14, 12, 19, 17, 15 y 20.

ORDENADOS EN FORMA DESCENDENTE

20

19

17

15

14

12

17 1516

2Md

MODA.

Se denomina moda Mo, al valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo: Las edades en años de un grupo de alumnos del ciclo básico, integrantes del equipo de

básquet, son: 11, 13, 14, 15, 12, 13, 13 y 12. Determinemos el valor de la moda.

El valor que más veces se repite es 13. Por tanto 13 es la moda. Mo = 13.




DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJA

Es una técnica estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en dos

partes. El o los dígitos principales forman el tallo y los dígitos secundarios las hojas. Los tallos están

colocados a lo largo del eje vertical, y las hojas de cada observación a lo largo del eje horizontal.

Ejemplo

La siguiente distribución de frecuencia muestra el número de anuncios comerciales. Observemos que 7

de los 45 comerciantes pagaron entre 90 y 99 anuncios (pero menos de 100). Sin embargo, ¿El numero

de comerciantes pagados en esta clase se agrupan en alrededor de 90, están dispersos a lo largo de toda

clase, o se acumulan alrededor de 99? No podemos saberlo.

# De anuncios comprados Frecuencia

80 a 90 2

90 a 100 7

100 a 110 6

110 a 120 9

120 a 130 8

130 a 140 7

140 a 150 3

150 a 160 3

Sumatoria de la frecuencia= 45

Una técnica que se usa para presentar información cuantitativa en forma condensada es el diagrama de

tallo y hoja. En el ejemplo anterior no se da la identidad de los valores de la clase de 90 a 100. Para

ilustrar la construcción de un diagrama de tallo y hojas usando el número de comerciales comprados,




supongamos que las 7 observaciones en la clase de 90 a 100 sean 96, 94, 93, 94, 95, 96, 97. EL valor de

tallo es el digito o dígitos principales, en este caso el 9. Las hojas son los dígitos secundarios. EL tallo se

coloca a la izquierda de una línea vertical y los valores de las hojas a la derecha.

Los valores de las clases de 90 a 100, aparecerían como sigue:

9 | 6 4 3 4 5 6 7

Por último, ordenamos los valores dentro de cada tallo de menor a mayor. El segundo renglón del

diagrama de tallo y hojas aparecería como sigue:

9 | 3 4 4 5 6 6 7

Con el diagrama de tallo y hojas podemos observar rápidamente que hubo 2 comerciantes que

compraron 94 comerciales y que el número de anuncios comprados fue desde 93 hasta 97. Un diagrama

de tallo y hojas es semejante a una distribución de frecuencia, pero con más información, esto es,

valores de datos en lugar de marcas.




LECCIÓN Nº 20

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Qué es una variable cualitativa?

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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

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GLOSARIO:

Media:………………………..…………………………………………………………………………………………………………………

Moda:……………………………………………………………………………………………………………………………………………

Mediana:....…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Variable:………..………………....………………..……………………………………………………………………………………………

Frecuencia:……..……………………….…………………………………………………………………………………………………………..





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………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

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RESUMO:





CUESTIONARIO

1. Para participar en una competencia de atletismo, Ramón entrena durante una semana

haciendo los siguientes recorridos. El lunes recorre 6km, el jueves, 9km; el viernes 6km; el

sábado 12 km y el domingo 10km. ¿Calcula cual es el promedio diario de kilómetros recorridos

por el atleta?

2. En una empresa de teléfonos se reciben a diario llamadas por daños en las líneas telefónicas;

los siguientes son los datos registrados de lunes a sábado:

Días de la semana Número de llamadas

Lunes 15000 Martes 12000

Miércoles 20000 Jueves 12000 Viernes 18000 Sábado 2000

a. Halla la mediana de las llamadas recibidas de lunes a viernes.

b. Encuentra la mediana de las llamadas recibidas toda la semana.

c. Busca la media de las llamadas registradas en la tabla.

d. Indica la moda de las llamadas registradas en la semana.




3. Supongamos la siguiente distribución de frecuencias que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas. Represente esta distribución mediante un diagrama de Tallos y Hojas.

36 25 37 24 39 20 36 45 31 31

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40


modulo de matematica 9 año

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