modulo matematica 10 año

Colegio Particular a Distancia

“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701

Matemática – Decimo Año de Educación Básica Página 2

OBJETIVOS

Aplicar los procesos para la solución de problemas con productos y

cocientes notables.

Racionalizar expresiones algebraicas y numéricas.

Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores, gráfico o ecuación y conociendo uno de los tres modelos anteriores, determinar los otros dos para comprender y predecir variaciones constantes.

Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la resolución de problemas de la vida cotidiana.




PRODUCTOS NOTABLES

Destrezas con criterio de desempeño

- Comprender los conceptos productos notables.

- Identificar las características que deben tener los productos notables.

DEFINICIÓN

Cuando se emplean expresiones algebraicas, hay productos que presentan

algunas regularidades, a estos productos se les denomina productos notables.

Con el fin de trabajar con mayor rapidez, es conveniente aprender a

reconocerlos y utilizarlos adecuadamente.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

El cuadrado de a + b es un producto notable. La expresión (a + b)2 se

resuelve así:

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

2 min

a b a b a b

a ab ba b Se aplica la propiedad distributivo

a ab b Se reducen tér os semejantes

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la

siguiente manera:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más

el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

2 2 2( ) 2a b a ab b

Ejemplo:

Resuelve el siguiente producto:

a. 2 2 2( ) (2 )m s m m s s

2 22m ms s

LECCION Nº 1




CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

El cuadrado de la diferencia entre a y b, es otro producto notable.

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

2

a b a b a b

a ab ba b

a ab b

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable así:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero

menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del

segundo. 2 2 2( ) 2a b a ab b

Ejemplo:

Resuelve el siguiente producto:

a. 3 3 2 3 3 2 3 3 2( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x y x y z z

6 6 3 3 22x y x y z z

CUADRADO DE UN TRINOMIO

Para determinar a qué es igual la expresión (a+b+c)2, se resuelve el producto

así:

2 2 2

2 2 2

( )( )

2 2 2

a b c a b c a ab ac ba b bc ca cb c

a b c ab bc ac

Ejemplo:

Resuelve:

a. 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES

El producto de la suma de dos cantidades, a y b, constituye otro producto

notable. La expresión:




2 2

2 2

( )( ) ( ) ( )a b a b a a b b a b

a ab ba b

a b

Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la

siguiente manera:

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia

de sus cuadrados.

2 2( )( )a b a b a b

PRODUCTO DE EXPRESIONES DE LA FORMA (x+a)(x+b).

La expresión (x+a) (x+b), con a y b como números reales, constituye otro

producto notable. En forma general, el producto (x+a) (x+b) se resuelve como

sigue:

2

2

2

( )( ) ( ) ( )

( )

x a x b x x b a x b

x bx ax ab

x ax bx ab

x a b x ab

CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS

La expresión (a+b)3 se resuelve de la siguiente manera:

3 2

2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( ) ( )( )

( )( 2 )

( 2 ) ( 2 )

2 2

3 3

a b a b a b

a b a ab b

a a ab b b a ab b

a a b ab a b ab b

a a b ab b

Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primero, mas

el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto

del primero por el segundo al cuadrado, mas el cubo del segundo.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b




CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

La expresión se resuelve así:

3 2

2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( ) ( )( )

( )( 2 )

( 2 ) ( 2 )

2 2

3 3

a b a b a b

a b a ab b

a a ab b b a ab b

a a b ab a b ab b

a a b ab b

Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primero,

menos el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple

producto del primero por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

En el resultado los signos aparecen alternados, , , , .

Ejemplos:

Resuelve:

a. 3 3 2 2 3( 2) 3 (2) 3 (2) (2)m m m a

3 26 12 8m a a

b. 2 3 3 2 2 2 2 2 3( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )x y x x y x y y

3 2 2 4 63 3x x y xy y




INVESTIGO:

1. ¿Por qué es necesario el estudio de los productos notables?

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Producto Notable:……………………………………………………………………

Generalizar:……………………………………………………………………………

Cantidades:……..………………………………………………………………………

Exponente Cuadrático:………………………………………………………………

Exponente Cúbico:………………………..…………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo

significado.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

LECCION Nº 1

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..




……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

RESUMO:

Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.




CUESTIONARIO

1. Encuentra los siguientes cuadrados:

2

2 2 2

2 2

1 2

23 4 2

2

2

3 2

(6 )

(3 )

( )

(3 2)

2 5

3 7 2

43

3

a

a

n n

m

x y

x b

m

pq p q

a a

m n m n

2. Desarrolla los siguientes productos:

2

2

2

2

( )

(5 )

(3 2 )

(5 3 2 )

a b c

a b c

m n p

p q w




3. Realiza las operaciones entre polinomios.

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

21 2

(4 5 3) (3 2 )

9( 5 ) 4( )

6( ) 5( )

1(2 ) 3( )

4

3 4 2x b x x

a b a b

m n m n mn

a b a b ab

a b a b c

a a a

4. Calcula los siguientes productos.

2 2 2 2

3 4 5 5 3 4

( )( )

(8 3 )(8 3 )

2 2

3 3

4 43 3

7 7

m n m n

t t

m n m n

w z a a w z




1 16 6

5 5mn mn

5. Resuelva los siguientes productos:

( 5)( 3)

( 4)( 3)

( 10)( 3)

1( 4)( 2)

4

5 ( 9)( 2)

x x

t t

m m

x x

x x x

6. Escribe el término que falta en cada expresión.




4 3

3

32 2

32

3

32

32

33 2

( 2 )

(2 2 )

5

3 2

2 4

2 3

4 3

8 2

b a

x y

a b

p q

x y

a ab

stw st w

pq p q

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha




DESCOMPOSICION FACTORIAL


Descomponer expresiones en factores diferenciando los casos de la

factorización, aplicar correctamente los métodos de resolución.

FACTORES

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones

algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Así multiplicando a por a+b tenemos:

2( )a a b a ab

Factorar un monomio.

Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así los

factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por tanto:

15 3 5ab a b

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR

COMUN.

a) Factor común monomio.

1. Descomponer en factores : 10a² - 5a + 15a³

El factor común es 5ª. Tendremos:

10a² - 5a + 15a³ = 5a (2ª – 1 + 3a) R.

2. Factorar 6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³

Factor común 3xy³

6xy³ - 9nx²y³ + 12nx³y³ - 3n²x⁴y³ = 3xy³ (2 – 3nx +4nx² - n²x³) R.

LECCION Nº 2




b) FACTOR COMÚN POLINOMIO

1. Descomponer (x - a) (y + 2) + b (y + 2)

Tenemos: (𝑥−𝑎)(𝑦+2)

(𝑦+2)+

𝑏 (𝑦+2)

(𝑦+2) =

(y + 2) (x – a + b) R.

2. Factorar x(a - 1) + y (a – 1) – a + 1

Tenemos: 𝑥 (𝑎−1)

(𝑎−1)+

𝑦 (𝑎−1)

(𝑎−1)−

(𝑎−1)

(𝑎−1)=

(a – 1)(x + y – 1) R.

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION

En algunas expresiones los términos pueden ser agrupados de tal manera que factorizando

cada grupo quede un factor común complejo en la expresión; se termina entonces la

factorización sacando este factor común en la forma estudiada anteriormente.

Así por ejemplo, si la expresión dada es de la forma:

ac bc ad bd

Y se agrupa el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto, se tiene:

( ) ( )ac bc ad bd

Y sacando factor común en cada grupo:

( ) ( )c a b d a b

Como ahora la expresión contiene el factor común (a+ b), sacando este factor se obtiene

finalmente:

( )( )a b c d

Ejemplos:

a. 3 2 3 23 2 6 ( 3 ) (2 6)x x x x x x




2

2

( 3) 2( 3)

( 3)( 2)

x x x

x x

b. 2 2( ) ( )x xy bx by x xy bx by

( ) ( )

( )( )

x x y b x y

x y x b

c. 4 3 4 32 2 1 (2 2 ) ( 1)a a a a a a

3

3

2 ( 1) 1( 1)

( 1)(2 1)

a a a

a a

d. ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax bx cx ay by cy

( ) ( )

( )( )

x a b c y a b c

a b c x y

De otro modo:

( ) ( ) ( )ax bx cx ay by cy ax ay bx by cx cy

( ) ( ) ( )

( )( )

a x y b x y c x y

x y a b c




INVESTIGO

1. ¿Cuantos casos dentro de la descomposición factorial existen y escribe

un ejemplo de cada uno?

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO

Factor:……………………………………………………………………………………........................

Agrupación:……………………………………………………………………………………………….

Termino:……………………………………………………………………………………………………

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 2




Expresión:…………………………………………………………………………………………………

Semejante:………………………………………………………………………………………………….

Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no asimiladas

en la lección, para mejorar su comprensión.

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Mediante diversos tipos de esquemas o diagramas realice un resumen de la clase

estudiada.




1. En cada uno de los ítems propuestos, marca con una X la respuesta correcta.

La factorización es un proceso para obtener

Términos

Factores

Sumandos

2. El factor común de 2x⁵ - 6x⁴ +12x³ - 8x²

2x²

12x⁵

x²

3. Factorar o descomponer en dos factores:

8m² - 12mn

2a²x + 2ax² -3ax

25x⁷ - 10x⁵ +15x³ -5x²

a²⁰ - a¹⁶ + a¹² - a⁸ +a⁴ - a²

12m²n + 24m³n² - 36m⁴n³ +48m⁵n⁴

4. Identifica el caso y factoriza

a(n+2) + n+2

-m - n + x (m+n)

(a+3)(a+1) -4(a+1)

(x+m)(x+1) – (x+1)(x-n)

X(a+2) – a – 2 + 3(a+2)




5. Factorar o descomponer en dos factores

a²b³ - n⁴ + a²b³x² - n⁴x² - 3a²b³x + 3n⁴x

3ax - 2by - 2bx - 6a + 3ay +4b

20ax - 5bx -2by + 8ay

2am – 2an +2a – m + n -1

1 + a + 3ab + 3b







- Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con

la factorización.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Teniendo en cuenta lo siguiente:

2 2 2

2 2 2

2 ( )

2 ( )

a ab b a b

a ab b a b

Podemos decir que:

Un trinomio es un cuadrado perfecto (igual al cuadrado de un binomio), cuando

dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto

de las raíces cuadradas de dichos términos. El trinomio es el cuadrado de una

suma o de una diferencia según que el signo del doble producto sea positivo o

negativo

Así por ejemplo, el trinomio:

2 225 20 4x xz z

Es un cuadrado perfecto, pues contiene dos términos cuadrados perfectos,

25x2 y 4z2. Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 5x y 2z, y

su doble producto es:

2(5 )(2 ) 20x z xz

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero

y tercero términos son cuadrados perfectos o tienen raíz cuadrada exacta y positivos,

y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

LECCION Nº 3




Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas

raíces por el signo del segundo termino. El binomio así formado que es la raíz

cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.

EJEMPLO:

4x² + 25y² - 20xy = 4x² - 20xy + 25y²

2(2x 5y)² = 20xy

(2x - 5y) R.

EJEMPLO

m² + 2m + 1

2(m 1) = 2m

(m + 1)² R.

EJEMPLO

a² + 2a(a - b) + (a - b)²

2[a (a - b)] = 2a (a - b)

(a + a – b) = (2a – b)² R.

CASO IV

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de

estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

EJEMPLO

16x² - 25y⁴

(4x 5y²) = (4x + 5y²) (4x – 5y²) R.

EJEMPLO

a²ⁿ - 9b⁴ᵐ

(aⁿ 3b²ᵐ) = (aⁿ + 3b²ᵐ) (aⁿ - 3b²ᵐ) R.




EJEMPLO

4x² - (x + y)²

[2x (x + y)] = [2x + (x + y)] [2x – (x + y)]

(2x + x + y) (2x – x – y)

(3x + y) (x – y)R.

COMBINACIÓN DE CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE

CUADRADOS.

Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencias de cuadrados si

se agrupan convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos.

Ejemplos:

a. 2 2 2 2 2 22 25 ( 2 ) 25a ab b m a ab b m

2 2( ) 25

( ) 5 ( ) 5

5 5

a b m

a b m a b m

a b m a b m

b. 2 2 2 2 2 2 2 24 6 9 4 (4 4 ) (9 6 )a c cd b d ab a ab b d cd c

2 2(2 ) (3 )

(2 ) (3 ) (2 ) (3 )

(2 3 )(2 3 )

a b d c

a b d c a b d c

a b c d a b c d




INVESTIGO

2. ¿Cuáles son las características para reconocer una diferencia de

cuadrados perfectos?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Sustracción:………………………………………………………………………………...

Trinomio:…………………………………………………………………………………….

Raíz cuadrada:……………………………………………………………………………...

Binomio:……………………………………………………………………………………..

Cuadrado perfecto:……………………………………………………………………….



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 3




………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

Mediante diversos tipos de esquemas o diagramas realice un resumen de la

clase estudiada.




A la derecha de las potencias dadas, escribe la raíz cuadrada

correspondiente

4x⁴y⁶…………………..

9m⁴…………………….

8z²…………………….

121x⁶y²…………….

Escribe verdadero o falso

Para realizar la comprobación de un trinomio cuadrado perfecto se debe

multiplicar por el triplo ………………..

El binomio de la diferencia de cuadrados puede tener raíz, cuadrada y

cubica ……………….

Factorar o descomponer en dos factores:

1. 9 – 6x + x²

2. a⁶ - 2a³b³ + b⁶

3. 100x¹⁰ - 60a⁴x⁵y⁶ + 9a⁸y¹²

4. 1 + 2𝑏

3 +

𝑏²

9

5. 4 – 4(1-a) + (1 – a)²





1. a² - 25

2. 100 - x²y⁶

3. 1 - 9a²b⁴c⁶d⁸

4. 𝑎²

36−

𝑥⁶

25

5. 4x²ⁿ - 1

9

6. 1

100− 𝑥²ⁿ

Firma del Profesor

Calificación Firma del Estudiante

Fecha






- Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con

la factorización

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION

Para factorar un trinomio cuadrado perfecto se tomara en cuenta los siguientes pasos:

1. Factorar 4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴

La raíz cuadrada de 4a⁴ es 2a²; la raíz de 9b⁴ es 3b² y el doble producto de estas

raíces es 2 x 2a² x 3b²= 12a²b², luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque

su segundo termino es 8a²b² y para que sea cuadrado perfecto debe ser 12a²b².

La regla a seguir para que se pueda convertir en cuadrado perfecto es sumar 4a²b² y

para que no varié le restamos igual 4a²b² y tendremos lo siguiente:

4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴

+ 4a²b² - 4a²b²

4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴ - 4a²b² = (4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴ ) - 4a²b²

(2a² + 3b²) - 4a²b²

(2a² +3 b² + 2ab) (2a² +3 b² - 2ab)

(2a² + 2ab + 3b²) (2a² - 2ab + 3b²) R.

2. Factorar 49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸

Procedemos:

49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸

+ 25m²n⁴ - 25m²n⁴

49m⁴ - 126m²n⁴ + 81n⁸ - 25m²n⁴ = (49m⁴ - 126m²n² + 81n⁸) - 25m²n⁴

LECCION Nº 4




= (7m² - 9n⁴)² - 25m²n⁴

= (7m² - 9n⁴ + 5 mn²) (7m² - 9n⁴

- 5 mn²)

= (7m² + 5 mn²- 9n⁴) (7m²- 5

mn²- 9n⁴) R.

CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

Existen casos de suma de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma

cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponer, por ejemplo:

Factorar: a⁴ + 4b⁴

Tenemos:

a⁴ + 4b⁴

+ 4a²b² -4a²b²

a⁴ + 4a²b² +4b⁴ - 4a²b² = (a⁴+ 4a²b² +4b⁴) - 4a²b²

(a² + 2b²)² - 4a²b²

(a² + 2b² +2ab) (a² + 2b² -2ab)

(a² +2ab +2b²) (a² -2ab +2b²) R.

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA X² + bx + c

Trinomios de la forma x² +bx + c son los que cumplen las siguientes condiciones:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3. El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su

coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4. El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y

segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores. El primer término será x, o sea la

raíz cuadrada del primer termino del trinomio.

En el primer factor, después de la x se escribe el signo del segundo termino del

trinomio, y en el segundo factor, después de la x se escribe el signo que resulta

de multiplicar el signo del segundo por el signo del tercer termino del trinomio.




Si los dos factores binomios tienen en el medio signo igual se busca dos

números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y

cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos

números son los segundos términos del trinomio.

Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto se busca dos

números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio

y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor

de estos números se colocara en el primer binomio y el menor en el segundo

binomio.

1. FACTORAR x² + 5x + 6

(x+ ) (x+ )

(x+2 ) (x+3 )

Porque 2+3= 5 2x3= 6

(x+2 ) (x+3 ) R.

2. FACTORAR x² - 7x + 12

(x+ ) (x+ )

(x- 3 ) (x- 4 )

Porque 3+4= 7 3x4= 12

(x- 3 ) (x- 4 )

CASOS ESPECIALES

1. FACTORAR x⁴ - 5x² y⁴- 50 y⁸

(x²- y⁴) (x²+ y⁴)

(x²- 10y⁴ ) (x²+ 5y⁴ )

porque 10-5= 5 10x5= 50

(x²- 10y⁴ ) (x²+ 5y⁴)R.

2. FACTORAR x⁶ + 7x³y⁵ - 44y¹⁰

(x³+ y⁵) (x³- y⁵)

(x³+11y⁵) (x³ - 4y⁵)

porque 11-4= 7 11x4= 44

(x³+11y⁵) (x³ - 4y⁵)R.

EJEMPLOS

EJEMPLOS




INVESTIGO

1. ¿Escribe las características para reconocer un trinomio cuadrado

perfecto por adición y sustracción?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Cuadrado perfecto:………………………………………………………………………

Adición:…………………………………………………………………………………….

Convertir:……………………………………………………………………………........

Regla:……………………………………………………………………………………..

Caso especial:…………………………………………………………………………..



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 4




………………………………………………………………………………………...

..........................................................................................................................

………………………………………………………………………………………..


clase estudiada.




En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta correcta.

El término que le falta a x² + y² para convertirse en trinomio cuadrado

perfecto es:


1. a⁴ + 2a² + 9

2. 4x⁴ - 29x² + 25

3. 36x⁴ - 109x²y² +49y⁴

4. 49 + 76n² + 64n⁴

5. 121x⁴ -133x²y⁴ +36y⁸

6. 225 + 5m² + m⁴





1. x⁴ + 64y⁴

2. 64 + a¹²

3. 81a² + 64b⁴

4. 1 + 4n⁴

Firma del Profesor


Fecha






Descomponer expresiones en factores diferenciando los casos de la factorización.

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

Los trinomios de la forma ax² + bx + c se diferencian de los trinomios estudiados en el

caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1.

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx + c

Buscamos dos números cuya suma o diferencia sea igual al segundo término

y cuyo producto sea igual al producto de multiplicar el primer término con el

tercer término.

Descomponemos el primer y segundo termino en dos números que sean igual

al producto de cada termino; sin que afecte el resultado del punto anterior.

Formamos dos factores con los términos de forma cruzada.

1. FACTORAR 9x² + 37x + 4

9x² + 37x + 4 (9x4= 36)

9x + 4 = 36x

x + 1 = x

37x

(9x + 1) (x +4) R.

2. FACTORAR 30x² + 13x -10

30x² + 13x -10 (30x10= 300)

6x -2 = -12x

5x 5 = 25x

13x

(6x+5) (5x-2)R.

LECCION Nº 5

EJEMPLOS




3. FACTORAR 12x² - 7x -12

12x² - 7x -12 = (12 x 12= 144)

4x - 4 = -16x

3x 3 = 9x

- 7x

(3x-4) (4x+3) R.

CASOS ESPECIALES

1. 12x²y² + xy – 20

4xy 4 = 16xy

3xy - 5 = 15xy

xy

(4xy-5) (3xy + 4) R.

2. 6x² - 11ax -10a²

3x -5a = -15 ax

2x 2a = 4 ax

11ax

(3x +2a)(2x – 5a) R.

CASO VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

RECONOCER CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

1. Tener cuatro términos

2. Que el primer y el último término sean cubos perfectos.

3. Que el segundo termino sea mas o menos el triplo del cuadrado de la raíz

cubica de primer termino multiplicado por la raíz del cubica del ultimo

termino.

4. Que el tercer termino sea mas el triplo de la raíz cubica del primer termino

por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo

Si todos los temimos de la expresión son positivos, la expresión dad es el cubo de la

suma de las raíces cubicas de su primero y ultimo termino, y si son los términos

alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de

dichas raíces.

1. Factorar 1 + 12a + 48a² + 64a³

1 + 12a + 48a² + 64a³

1 4a

EJEMPLOS




Comprobación: 3 (1)²(4a) = 12a

3 (1) (4a)²= 48a²

(1+4a) ³ R.

2. Factorar: 64x⁹ - 240x⁶y⁴ +300x³y⁸ -125y¹²

64x⁹ - 240x⁶y⁴ +300x³y⁸ -125y¹²

4x³ 5y⁴

Comprobación: 3(4x³)² (5y⁴) = 240 x⁶ y⁴

3 (4x³) (5y⁴)²= 300x³y⁸

(4x³-5y⁴)³ R.




INVESTIGO

2. ¿Explica el procedimiento para factorar un trinomio de la forma ax² + bx +

c.?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Duplo:……………………………………………………………………………………...........

Factor trinomio:…………………………………………………………………………….......

Triplo:……………………………………………………………………………………………

Cubo perfecto:…………………………………………………………………………………

Raíz cubica:…………………………………………………………………………………….



………………………………………………………………………………………..............

………………………………………………………………………………………..............

……………………………………………………………………………………….............

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 5





estudiada.




En cada una de las opciones propuestas marca con una X la respuesta correcta.

El binomio 121x² - y², es igual a:

(11x² + y) (11x² - y)

(11x² + y) (11x² + y) (11x² - y)

(11x+ y) (11x - y)

Identifica el caso de factorización y escribe el nombre frente a cada expresión

x² - y …………………………………………………………………………..

x² + 7x + 12 …………………………………………………………………..

w² + 64 ………………………………………………………………………..

x + 31x²y² + 400y …………………………………………………………..


7. 12m² -13mn -35

8. 21x² +11x -2

9. 4n² + n - 33

10. 8a² -14a-15

11. 20n² - 9n - 20

12. 44n + 20n² -15


5. 8a³ - 36a²b +54ab² -27b³




6. a⁶ + 3a⁴b³ +3a²b⁶ +b⁹

7. 1 + 18a²b³ +108a⁴b⁶ + 216a⁶b⁹

8. x³ - 3x² +3x + 1

9. 27m³ + 108m²n +144mn² + 64n³

10. 125x³ + 1 +75 x² + 15x

Firma del Profesor


Fecha






Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.

Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la factorización

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

REGLA

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

1. La suma de sus raíces cubicas.

2. El cuadrado de la primera raíz menos el producto de las os raíces, mas

el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

1. La diferencia de sus raíces cubicas

2. El cuadrado de la primera cantidad, mas el producto de las dos raíces,

mas el cuadrado de la segunda raíz.

Factorar: a³ - 8

La raíz cubica de a³ es a; la raíz cubica 8 es 2. Según la regla 2:

a³ - 8= (a - 2) [a²+2(a) + 2²]= (a-2) (a²+2ª +4) R.

Factorar: 27m⁶ + 64n⁹

27m⁶ + 64n⁹ = (3m² +4n³) [9m⁴ - (3m²) (4n³) +16n⁶]

(3m² + 4n³) (9m⁴ - 12m²n³ +16n⁶) R.

LECCION Nº 6

EJEMPLOS




CASOS ESPECIALES

Factorar: (a – b)³ - (a + b)³

(a-b) ³ - (a+b) ³= [(a-b) - (a+b)] [(a-b) ² + (a-b) (a+b) + (a+b) ²]

= (a-b-a-b) (a² - 2ab +b² +a² -b² + a² + 2ab + b²)

Reduciendo: (-2b) (3a² + b²) R.

CASO X

SUMA O DIFRENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Factorar: m⁵ + n⁵

m⁵ + n⁵= (m + n) (m⁴ - m³n + m²n² -m n³ + n⁴) R.

Factorar: x⁵ + 32

x⁵ + 32= (x + 2) (x⁴- 2x³ +4x² - 8x + 16) R.

Factorar: 1 - x⁵

1 - x⁵= (1 –x) (1+ x+x²+x³ +x⁴) R.

1. aᶯ - bᶯ es divisible por a – b siendo n par o impar

2. aᶯ + bᶯ es divisible por a + b siendo n impar

3. aᶯ - bᶯ es divisible por a + b cuando n es par

4. aᶯ + bᶯ nunca es divisible por a –b




INVESTIGO

1. ¿Explica el procedimiento para factorar una suma o diferencia de dos

potencias iguales?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Potencia:……………………………………………………………………………………......

Impar:…………………………………………………………………………….......................

Igual:…………………………………………………………………………………………….

Cubo perfecto:…………………………………………………………………………………

Teorema del

residuo:…………………………………………………………………………………………



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 6




………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………


clase estudiada.




En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta correcta.

La suma de cubos 8 + x, es igual a:

(2 – x) (4+ 2x + x²)

(2 – x) (2 + x)

(2 + x) (4 - 2x + x²)

Escriba verdadero o falso según corresponda

Cada caso de factorización se puede resolver mediante procesos

iguales………………

En todos los casos de factorización estudiados como requisito

indispensable se debe obtener las raíces perfectas……………

En la resta de potencias iguales impares todos los signos son

positivos…………


1. x¹² + y¹²

2. 1 – 27a³b³

3. a³ + 8b¹²

4. 8x⁶ + 729

5. 8x⁹ - 125y³z⁶

6. 27m⁶ + 343n⁹




7. 216 - x¹²


1. 1 +x⁷

2. x⁷ - y⁷

3. a⁷ + 2187

4. 1 – 128a⁷

5. x¹⁰ + 32y⁵

6. 1 + 128 x¹⁴

7. m⁷ - a⁷x⁷

Firma del Profesor


Fecha






Comprender los conceptos de factorización con sus distintos casos.

Aplicar los métodos, reglas y conocimientos para resolver ejercicios de

factorización identificando cada caso.

Después de haber estudiado los diez casos dentro de la descomposición factorial

aplicaras todos tus conocimientos adquiridos y asimilados a través de la resolución de

los siguientes ejercicios en los cuales existe una mezcla de todos los casos; analiza

cada ejercicio recuerda las características de cada caso identifícalo correctamente y

soluciónalo según los métodos aprendidos en las unidades anteriores.

Estudiaste exitosamente las unidades anteriores de seguro será muy fácil realizar la

siguiente miscelánea, este es un refuerzo que lograra hacer mas significativos tus

conocimientos para que no los olvides porque serán de mucho apoyo en las unidades

siguientes.

¿Cómo hacemos para reconocer los distintos casos de factorización?

Para reconocer los casos de factorización no existe una regla especifica, existe un

conocimiento de los conceptos, procesos, y práctica suficiente; puede guiarse

observando lo siguiente:

Si el polinomio dado esta ordenado o no, en caso contrario se debe iniciar

ordenándolo.

El numero de términos que tiene el polinomio

Si los términos son cuadrados, cubos u otra potencia.

Los signos que separan los términos

Finalmente se clasifica a cada polinomio en: factor común, binomios, trinomios

u otros

Te ayudaremos con algunos ejercicios para que recuerdes:

LECCION Nº 7




1. FACTORAR 9x² + 37x + 4 trinomio de la forma ax² + bx + c

9x² + 37x + 4 (9x4= 36)

9x + 4 = 36x

x + 1 = x

37x

(9x + 1) (x +4) R.

2. Factorar 1 + 12a + 48a² + 64a³ cubo perfecto de binomios

1 + 12a + 48a² + 64a³

2 4a

Comprobación: 3 (1)²(4a) = 12a

3 ( 1) (4a)²= 48a²

(1+4a) ³ R.

3. Factorar 49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸ trinomio cuadrado por adición y

sustracción

Procedemos:

49m⁴ - 151m²n⁴ + 81n⁸

+ 25m²n⁴ - 25m²n⁴

49m⁴ - 126m²n⁴ + 81n⁸ - 25m²n⁴ = (49m⁴ - 126m²n² + 81n⁸) - 25m²n⁴

= (7m² - 9n⁴)² - 25m²n⁴

= (7m² - 9n⁴ + 5 mn²) (7m² - 9n⁴

- 5 mn²)

= (7m² + 5 mn²- 9n⁴) (7m²- 5

mn²- 9n⁴) R.

4. Factorar 4x² + 25y² - 20xy = 4x² - 20xy + 25y² trinomio cuadrado

perfecto.

2(2x 5y)² = 20xy

(2x - 5y) R.

EJEMPLOS




INVESTIGO

3. ¿Qué es el máximo común divisor, escribe un ejemplo?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Cociente:……………………………………………………………………………………......

Miscelánea:……………………………………………………………………………..............

Analizar:………………………………………………………………………………………….

Descomposición factorial:…………………………………………………………………

Expresión matemática.:……………………………………………………………………….

Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no asimiladas en la

lección, para mejorar su comprensión.

………………………………………………………………………………………................

………………………………………………………………………………………................

……………………………………………………………………………………….................

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 7





estudiada.




Complete:

Un trinomio cuadrado perfecto presenta raíces……………perfectas; el primer y

tercer términos tienen signos………………..

El trinomio de la forma ax² + bx + c presenta el primer termino un……………..

distinto que uno.

Elija la respuesta correcta:

Un ejemplo de diferencia de cuadrados perfectos es:

8x⁴ - 9y²

81x⁴ -64y⁴

81x⁹ - 64y⁶


1. x⁵ + m⁵

2. 16a² - 24ab +9b²

3. 25x⁴ - 81y²

4. 1 + (a -3b)³

5. n² + n -42




6. 7x² + 31x – 20

7. 6m⁴ + 7m² - 20

8. x⁶ - 4x³ - 480

9. 4a²ⁿ b⁴ⁿ

10. 49x² - 77x +30

11. 9x²y³ - 27x³y³ - 9x⁵y³

12. a⁶ -3a³b – 54b²

13. 9x²- 6xy +y²




14. x⁸ - 6x⁴y⁴ + y⁸

15. 125a⁶ + 1

16. 4 + 4(x-y) + (x-y)²

17. x² + 2xy -15y²

18. 18ax⁵y³ - 36x⁴y³ - 54x²y⁸

19. m⁴+m²n² +n⁴

20. (a+m)² - (b+n)²




21. 729 -125x³y¹²

Firma del Profesor


Fecha




MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN

MULTIPLO


Buscar y reconocer el mínimo común múltiplo y máximo común divisor de un

grupo de ejercicios aplicando todos los conocimientos adquiridos como punto

de partida para el respectivo estudio.

FACTOR COMUN DIVISOR

El factor común o divisor común de dos o más expresiones algebraicas es toda

expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una de las

primeras.

Así, x es divisor común de 2x y x²; 5a²b es divisor común de 10aᶟb² y 15a⁴b.

Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por ella y por la

unidad.

Así, a,b,a + b y 2x – 1 son expresiones primas.

MAXIMO COMUN DIVISOR

REGLA

Se halla el m.c.d de los coeficientes y a continuación de este se escriben las

letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tengan en las

expresiones dadas.

1. Hallar el m.c.d de a²x² y 3aᶟbx

Las letras comunes son a y x. Tomamos con su menor exponente. El m.c.d

será a²x.R.

LECCION Nº 8

EJEMPLOS




2. Hallar el m.c.d de 36a²b⁴, 48aᶟbᶟc, 60a⁴bᶟm.

Las letras comunes son a y b. tomamos su menor exponente y sus numero

común es 12, entonces el m.c.d será 12a²b³ R.

M.C.D DE POLINOMIOS POR DESCOMPOSICION

REGLA

Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El m.c.d es el

producto de los factores comunes con su menor exponente.

Hallar el m.c.d de 4a² + 4ab y 2a⁴ – 2a²b².

Factorando estas expresiones

4a² + 4ab = 4a(a + b)

2a⁴ – 2a²b² = 2a² (a² - b²) = 2a²(a+b) (a-b)

m.c.d= 2a (a+b) R.

Hallar el m.c.d de 9aᶟx² + 9x², 6aᶟx² - 12a²x² - 18ax², 6a⁴x + 21aᶟx + 15a²x

9aᶟx² + 9x² = 9x² (aᶟ + 1) = 9x²(a+1) (a²- a + 1)

6aᶟx² - 12a²x² - 18ax² = 6ax² (a² – 2a- 3) = 6ax² (a – 3) (a + 1)

6a⁴x + 21aᶟx + 15a²x = 3a²x (2a² + 7a + 5) = 3a²x (2a + 5) (a+1)

m.c.d= 3x(a+1) R.

MINIMO COMUN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo de dos expresiones algebraicas es toda expresión

algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones

dadas.

REGLA

Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de este se escriben todas

las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el mayor exponente

que tengan en las expresiones dadas.

EJEMPLOS




1. Hallar el m.c.d de 10a³x, 36a²mx² y 24b²m⁴

360a³b²m⁴x² R.

2. Hallar el m.c.m de 8ab²c y 12a³b²

24a³b²c R.

M.C.M DE POLINOMIOS

REGLA

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El m.c.m es

el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor

exponente.

1. Hallar el m.c.m de x³ + 2bx², x³y – 4b²xy, x²y² +4bxy² +4b²y²

x³ + 2bx² = x² (x + 2b)

x³y – 4b²xy = xy (x² - 4b²) = xy (x+2b) (x-2b)

x²y² +4bxy² +4b²y² = y² (x² + 4bx +4b²) = y² (x + 2b)²

m.c.m = x²y² (x+2b)² (x-2b) R.

2. Hallar el m.c.m de (a - b)², a² - b², ( a + b)², a² + b²

(a - b) ² = (a - b) ²

a² - b² = (a + b) (a – b)

(a + b) ² = (a + b) ²

a² + b² = (a² + b²) R. (a + b) ² (a- b) ² (a² + b²)

EJEMPLOS




INVESTIGO

4. ¿Mediante el conocimiento adquirido del m.c.m y m.c.d que operaciones

posteriores se puede realizar?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Divisor:……………………………………………………………………………………..........

Máximo:……………………………………………………………………………...................

Mínimo:…………………………………………………………………………………………..

Múltiplo:………………………………………………………………………………………….

Coeficiente:…………………………………………………………………………………......



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 8





clase estudiada.




En cada una de las respuestas propuestas señale la opción correcta con una X.

El divisor común máximo de 12m³n y 8m²n⁴ es:

24m³n⁴

4m²n

6m³n⁴

Si se cambian dos signos de una fracción, su valor es:

Es de diferente signo

No se altera

Es el doble

Una fracción esta reducida cuando el numerador y el denominador:

Tienen el mismo signo

No tiene factores comunes

Tiene factores comunes

Hallar, por descomposición en factores, el m.c.d de:

13. 38a²x⁶y⁴, 76mx⁴y⁷ , 95x⁵y⁶

14. 12x²yz³, 18xy²z, 24x³yz²

15. 2x³ - 2x², 3x² -3x , 4x³ - 4x²

16. 4a² - b², 8a³ + b³, 4a² + ab + b²




17. 3x² - x, 27x³ - 1, 9x² - 6x + 1, 3ax – a + 6x - 2

18. 4x⁴ - y², (2x² - y)²

Hallar el m.c.m de:

11. 4ab, 6a², 3b²

12. 6a², 9x, 12ay², 18x³y

13. x³ - y³, (x – y)³

14. 6a²+ 13a + 6, 3a² + 14a + 8, 4 + 12a + 9a²




15. 12mn + 8m – 3n – 2, 48m²n – 3n +32m² - 2, 6n² - 5n – 6

16. m³ - 27n³, m² - 9n², m² - 6mn +9n², m² + 3mn + 9n²

Firma del Profesor


Fecha




Adició n y sustracció n de fracciónes hómóge neas


Ejecutar el algoritmo apropiado para la adición y sustracción de fracciones

homogéneas.

Antes de iniciar nuestro estudio con las fracciones homogéneas debemos dominar las

siguientes operaciones las mismas, que nos servirán de mucha ayuda al resolver

posteriores operaciones con fracciones.

SIMPPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS

REGLA:

Se dividen el numerador con el denominador por sus factores comunes hasta que

sean primos entre si.

Ejemplo 1: simplificar 4𝑎²𝑏⁵

6𝑎³𝑏³𝑚

Tendremos: 4𝑎²𝑏⁵

6𝑎³𝑏³𝑚 = 2𝑎2𝑏³ =

2𝑏²

3𝑎𝑚 R.

Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3: a² y a³ entre a² y obtuvimos los

cocientes 1 y a; b⁵ y b³ entre b³ y obtuvimos los cocientes b² y 1. Como 2b² y 3am no

tienen ningún factor común, esta fracción que resulta es irreducible.

Ejemplo 2: simplificar 9 𝑥³𝑦³

36𝑥⁵𝑦⁶

9 𝑥³𝑦³

36𝑥⁵𝑦⁶ = 9x³y³ =

1

4𝑥²𝑦³ R.

Obsérvese, que cuando se simplifica desaparecen todos los factores del numerador,

queda en el 1, que no puede suprimirse. Si desaparecen todos los factores del

denominador, queda en este 1, que puede suprimirse.

SIMPLIFICCION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.

REGLA

Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprime los factores

comunes al numerador y denominador.

LECCION Nº 9

EJEMPLOS




Ejemplo 1: simplificar 2𝑎²

4𝑎²−4𝑎𝑏

Factorando el denominador, se tiene: 2𝑎²

4𝑎²−4𝑎𝑏 =

2𝑎²

4𝑎(𝑎−𝑏) =

𝑎

2(𝑎−𝑏) R.

Ejemplo 2: simplificar 3𝑥³−12𝑥−𝑥2𝑦+4𝑦

𝑥4−5𝑥3−14𝑥²=

3𝑥³−12𝑥−𝑥2𝑦+4𝑦

𝑥4−5𝑥3−14𝑥²=

3𝑥(𝑥2−4)−𝑦(𝑥2+4)

𝑥²(𝑥²−5𝑥−14)=

(𝑋2−4)(3𝑋−𝑌)

𝑥²(𝑥−7)(𝑋+2) =

(𝑥+2)(𝑥−2)(3𝑥−𝑦)

𝑥²(𝑥−7)(𝑥+2) =

(𝑥−2)(3𝑥−𝑦)

𝑥²(𝑥−7) R.

ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HOMOGENEAS

Regla

1. Se suman o se restan según el caso los denominadores de las fracciones que

resulten y se parte esta suma por le denominador común.

2. Se reducen términos semejantes en el numerador.

3. Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo 1: 3𝑥

𝑦+

5𝑥

𝑦

Realcemos: 3𝑥

𝑦+

5𝑥

𝑦 =

3𝑥+5𝑥

𝑦 =

8𝑥

𝑦

Ejemplo 2: 8−5𝑥

3−𝑥+

2+3𝑥

3−𝑥

Realicemos: 8−5𝑥

3−𝑥+

2+3𝑥

3−𝑥 =

8−5𝑥+(2+3𝑥)

3−𝑥 =

10−2𝑥

3−𝑥 =

2(5−𝑥)

3−𝑥 R.

Ejemplo 3: 8−5𝑥

𝑥−3−

2−3𝑥

𝑥−3

Realicemos: 8−5𝑥

𝑥−3−

2−3𝑥

𝑥−3 =

8−5𝑥−(2−3𝑥)

𝑥−3 =

8−5𝑥−2+3𝑥

𝑥−3 =

8−5𝑥−2+3𝑥

𝑥−3 =

6−2𝑥

𝑥−3

= 2(3−𝑥)

𝑥−3 =

−2(3−𝑥)

𝑥−3 = -2 R.

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Para realizar operaciones con fracciones heterogéneas se requiere transformarlas en

fracciones homogéneas. Para realizar esto debemos buscar el múltiplo común mínimo

de los denominadores y luego procedemos a amplificar las fracciones.

El procedimiento para encontrar el múltiplo común mínimo es ya conocido, lo

aprendimos en la unidad anterior los primeros temas.

EJEMPLOS

EJEMPLOS




OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA

REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES

Se simplifican las fracciones dadas si es posible.

Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.

Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma

por el denominador común.

Se reducen los términos semejantes en el numerador

Se simplifica la fracción que resulte si es posible.

EJEMPLO 1: 𝑥−4𝑎

2𝑎𝑥+

𝑥−2

5𝑥²+

1

10𝑥

El m.c.m de los denominadores es 10ax². Dividiendo 10ax² entre cada denominador y

multiplicando los cocientes por el numerador respectivo, tenemos:

𝑥−4𝑎

2𝑎𝑥+

𝑥−2

5𝑥²+

1

10𝑥 =

5𝑥(𝑥−4𝑎)+2𝑎(𝑥−2)+𝑎𝑥

10𝑎𝑥²=

Multiplicando = 5𝑥²−20𝑎𝑥+2𝑎𝑥−4𝑎+𝑎𝑥

10𝑎𝑥²

(Reduciendo términos semejantes) = 5𝑥²−17𝑎𝑥−4𝑎

10𝑎𝑥² R.

EJEMPLO 2: 𝑎−1

𝑎²−4+

𝑎−2

𝑎²−𝑎−6+

𝑎+6

𝑎²−5𝑎+6

Hallemos el m.c.m de los denominadores

a²- 4= (a+2)(a-2)

a²- a – 6= (a-3) (a+2) m.c.m= (a+2) (a-2) (a-3).

a²- 5 + 6= (a-3) (a-2)

Dividiendo el denominador común (a+2) (a-2) (a-3) entre la descomposición de cada

denominador, y multiplicando los cocientes por los numeradores respectivos,

tendremos.

𝑎−1

𝑎²−4+

𝑎−2

𝑎²−𝑎−6+

𝑎+6

𝑎²−5𝑎+6 =

(𝑎−1)(𝑎−3)+(𝑎−2)2+(𝑎+6)(𝑎+2)

(𝑎+2)(𝑎−2)(𝑎−3) =

EJEMPLOS




𝑎²−4𝑎+3+𝑎2−4𝑎+4+𝑎2+8𝑎+12

(𝑎+2)(𝑎−2)(𝑎−3) =

3𝑎²+19

(𝑎2−4)(𝑎−3) R.

RESTA

REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES

se simplifican las fracciones dadas si es posible.

Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador.

Se efectúan las multiplicaciones indicadas

Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador común.

Se reducen términos semejantes en el numerador.

Se simplifica el resultado si es posible.

EJEMPLO 1: 𝑥²+3𝑥−2

2𝑥²−

2𝑥+5

4𝑥 =

El m.c.m de los denominadores es 4x²

Tendremos: 𝑥²+3𝑥−2

2𝑥²−

2𝑥+5

4𝑥 =

2(𝑥2+3𝑥−2)−𝑥(2𝑥+5)

4𝑥² =

Multiplicando = 2𝑥²+6𝑥−4−2𝑥2−5𝑥

4𝑥² =

Reduciendo = 𝑥−4

4𝑥² R.

Ejemplo 2: 4²−1

2𝑥²−8−

(𝑥+1)2

𝑥2+4𝑥+4−

𝑥+3

𝑥−2 =

Hallamos el denominador común:

2x²-8= 2(x²-4) = 2(x-2) (x+2)

X²+4x+4= (x+2)² m.c.m= 2(x+2)²(x-2)

x-2= (x-2)

Dividiendo 2(x+2)²(x-2) entre la descomposición de cada denominador, tenemos:

4𝑥²−1

2𝑥²−8−

(𝑥+1)2

𝑥2+4𝑥+4−

𝑥+3

𝑥−2 =

(𝑥+2)(4𝑥2−1)−2(𝑥−2)(𝑥+1)2−2(𝑥+2)²(𝑥+3)

2(𝑥+2)²(𝑥−2)=

= (𝑥+2)(4𝑥2−1)−2(𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+1)−2(𝑥2+4𝑥+4)(𝑥+3)

2(𝑥+2)²(𝑥−2)

EJEMPLOS




=4𝑥³+8𝑥²−𝑥−2−2(𝑥3−3𝑥−2)−2(𝑥3+7𝑥2+16𝑥+12)

2(𝑥+2)²(𝑥−2)

=

4𝑥3+8𝑥3−𝑥−2−2𝑥3+6𝑥+4−2𝑥3−14𝑥2−32𝑥−24

2(𝑥+2)²(𝑥−2)

Reduciendo = −6𝑥2−27𝑥−22

2(𝑥+2)²(𝑥−2) =

6𝑥²+27𝑥+22

2(𝑥+2)²(𝑥−2) R.




INVESTIGO

1. ¿Utilizando tus propias palabras elabora una regla práctica para adicionar

fracciones con distinto denominador?

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO

Heterogéneo:……………………………………………………………………………………............

Mínimo común múltiplo:…………………………………………………………………………..

Cocientes:………………………………………………………………………………………………….

Métodos:…………………………………………………………………………………………………….

Descomponer:…………………………………………………………………………………………….

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 9






…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


estudiada.




Para transformar fracciones heterogéneas a fracciones homogéneas, primero

buscamos el:

Divisor común máximo

Denominador común mínimo

Numerador común máximo

Complete:

El m.c.m significa…………………………………………………………………………………………………

El m.c.d significa………………………………………………………………………………………………….

Realiza las siguientes sumas de fracciones:

1. 𝑚−𝑛

𝑚𝑛+

𝑛−𝑎

𝑛𝑎+

2𝑎−𝑚

𝑎𝑚 =

2. 1

𝑎𝑏+

𝑥²−2

5𝑥²+

2−𝑥³

9𝑥³=

3. 1

𝑥−1+

1

(𝑥−1)(𝑥+2)+

𝑥+1

(𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥+3)=




4. 𝑥−2

2𝑥²−5𝑥−3+

𝑥−3

2𝑥²−3𝑥−2+

2𝑥−1

𝑥²−5𝑥+6=

Realiza las siguientes restas de fracciones:

1. 𝑚+𝑛

𝑚−𝑛−

𝑚²+𝑛²

𝑚²−𝑛²= =

2. 𝑏

𝑎+3𝑏−

𝑎²+4𝑎𝑏−3𝑏²

𝑎²−9𝑏²=

3. 𝑥

𝑥𝑦−𝑦²−

1

𝑦=




4. 1

4𝑎+4−

1

8𝑎−8−

1

12𝑎²+12=

5. 3

𝑥²+𝑥+1−

𝑥+2

(𝑥−1)2−

1−9𝑥

(𝑥2−1)(𝑥−1)







Aplicar métodos y técnicas adecuadas para resolver ejercicios

fraccionarios con operaciones combinadas adicción, sustracción,

multiplicación y división.

SUMA Y RESTA COMBINADA DE FRACCIONES

Para realizar operaciones de fracciones combinadas se utiliza los mismos

métodos estudiados anteriormente, en este caso la suma y resta se

combinaran en los ejercicios.

EJEMPLO 1: simplificar 𝑥−2

𝑥²−𝑥−

𝑥+3

𝑥²+3𝑥−4+

𝑥²+12𝑥+16

𝑥4+3𝑥³−4𝑥²

Hallemos el denominador común:

x²-x = x(x-1)

X²+3x-4 = (x+4)(x-1)

x⁴+3x³-4x² = x²(x²+3x-4)=x²(x+4) (x-1)

m.c.m = x²(x-1)(x+4)

Tendremos:

𝑥−2

𝑥²−𝑥−

𝑥+3

𝑥²+3𝑥−4+

𝑥²+12𝑥+16

𝑥4+3𝑥³−4𝑥² =

𝑥(𝑥+4)(𝑥−2)−𝑥2(𝑥+3)+𝑥2+12𝑥+16

𝑥²(𝑥−1)(𝑥+4)

Multiplicando = 𝑥³+2𝑥²−8𝑥−𝑥3−3𝑥2+𝑥2+12𝑥+16

𝑥²(𝑥−1)(𝑥+4)

Reduciendo= 4𝑥+16

𝑥²(𝑥−1)(𝑥−4)

Simplificando = 4(𝑥+4)

𝑥²(𝑥−1)(𝑥−4) =

4

𝑥²(𝑥−1) R.

EJEMPLO 2: 𝑥

𝑥²−5𝑥+6−

1

2−𝑥−

2𝑥

(3−𝑥)(1−𝑥)

Hallemos el m.c.m

𝑥² − 5𝑥 + 6= (x-3)(x-2)

2-x = x-2

(3-x)(1-x) = (x-3) (x-1)

m.c.m = (x-1) (x-2) (x-3)

Tendremos = 𝑥

𝑥²−5𝑥+6+

1

2−𝑥−

2𝑥

(3−𝑥)(1−𝑥) =

𝑥(𝑥−1)+(𝑥−1)(𝑥−3)−2𝑥(𝑥−2)

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)

LECCION Nº 10

EJEMPLOS




Multiplicando = 𝑥²−𝑥+𝑥2−4𝑥+3−2𝑥2+4𝑥

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)

Reduciendo = −𝑥+3

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)

Simplificando = 𝑥−3

(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3) =

1

(1−𝑥)(𝑥−2) R.

MULTIPLICACION

REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES

Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las

fracciones que se van a multiplicar.

Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y

denominadores.

Se multiplican entre si las expresiones que quedan en los numeradores

después de simplificar, y este producto se parte por el producto de las

expresiones que queden en los denominadores.

EJEMPLOS




DIVISION

REGLA GENERAL PARA DIVIDIR FRACCIONES

Se reducen a fracciones y se dividen como tales.

EJEMPLOS




INVESTIGO

1. ¿La regla para dividir fracciones algebraicas es la misma para

dividir números fraccionarios por qué?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

GLOSARIO

Dividendo:……………….………………………………………………………………………

Divisor:……………………..……………………………………………………………………

Invertir:…………………………………………………………………………………………..

Suprimir:…………………………………………………………………………………………

Simplificar:……….……………………………………………………………………………...



………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 10




………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….


clase estudiada.




Complete:

El múltiplo común mínimo de dos o mas números, es el menor

numero……………………………………………………………………………………

Para dividir fracciones homogéneas se cambia el……………………………….y

se invierte……………………………………………………….

Cite las operaciones algebraicas que requieren calcular el mínimo común

denominador.

……………………………..

…………………………….

Cite las operaciones algebraicas que no requieren calcular el mínimo común

denominador.

…………………………….

…………………………….

Realiza las siguientes operaciones combinadas

1. 𝑎−𝑏

𝑎²+𝑎𝑏+

𝑎+𝑏

𝑎𝑏−

𝑎

𝑎𝑏+𝑏²=

2. 1

𝑎𝑥−

1

𝑎2+𝑎𝑥+

1

𝑎+𝑥=




3. 𝑎³

𝑎³+1+

𝑎+3

𝑎²−𝑎+1−

𝑎−1

𝑎+1

4. 3𝑥+2

𝑥²+3𝑥−10−

5𝑥+1

𝑥2+4𝑥−5+

4𝑥−1

𝑥²−3𝑥+2=

5. 2+3𝑎

2−3𝑎−

2−3𝑎

2+3𝑎−

𝑎

(2−3𝑎)² =




Realizar los siguientes ejercicios.

1 − 𝑥

𝑎 + 1𝑥

𝑎² + 𝑎

𝑥 − 𝑥²𝑥

𝑥²

𝑎

𝑥² + 2𝑥

𝑥² − 16𝑥

𝑥² − 2𝑥 − 8

𝑥³ + 𝑥²𝑥

𝑥² + 4𝑥

𝑥² + 4𝑥 + 4

𝑎² − 5𝑎 + 6

3𝑎 − 15 𝑥

6𝑎

𝑎² − 𝑎 − 30𝑥

𝑎² − 25

2𝑎 − 4




2𝑎³ + 2𝑎𝑏²

2𝑎𝑥² − 2𝑎𝑥 𝑥

𝑥³ − 𝑥

𝑎²𝑥 + 𝑏²𝑥 𝑥

𝑥

𝑥 + 1

𝑥² − 3𝑥𝑦 − 10𝑦²

𝑥² − 2𝑥𝑦 − 8𝑦² 𝑥

𝑥² − 16𝑦²

𝑥² + 4𝑥𝑦 𝑥

𝑥² − 6𝑥𝑦

𝑥 + 2𝑦

Realizar las siguientes divisiones de fracciones.

1. 𝑎4−1

𝑎³+𝑎²÷

𝑎4+4𝑎²+3

3𝑎³+9𝑎




2. 𝑥³+125

𝑥²−64÷

𝑥³−5𝑥2+25𝑥

𝑥²+𝑥−56

3. 16𝑥²−24𝑥𝑦+9𝑦²

16𝑥−12𝑦÷

64𝑥³−27𝑦³

32𝑥²+24𝑥𝑦+18𝑦²

4. 𝑎²−6𝑎

𝑎³+3𝑎²÷

𝑎²+3𝑎−54

𝑎²+9𝑎

5. 15𝑥²+7𝑥−2

25𝑥³−𝑥 ÷

6𝑥²+13+6

25𝑥²+10𝑥+1




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REPRESENTACION DE LAS FUNCIONES LINEALES

OBJETIVOS

Comprender los conceptos y aplicar los procesos para la resolución de

problemas relacionados con las funciones lineales.

Conocer las características y la utilización del sistema rectangular de

coordenadas cartesianas.

SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS

El sistema rectangular de coordenadas cartesianas esta formado por dos líneas

rectas que se cortan en el punto O formando un ángulo recto.

La línea XOX se llama eje de las x o eje de las abscisas y la línea YOY se

llama ejes de las y o eje de las ordenadas. El punto O se llama origen de las

coordenadas.

Los ejes dividen al plano en cuatro regiones que se llaman cuadrantes, los

mismos que se encuentran nominados en sentido contrario a las manecillas del

reloj (l, ll, lll, IV).

SIGNO DE LAS COORDENADAS

Las abscisas del punto O hacia la derecha son positivas y hacia la izquierda

son negativas.

Las ordenadas del punto O hacia arriba son positivas y hacia abajo son

negativas.

DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS

Las coordenadas de un punto determinan el punto.

1. Determinar el punto cuyas coordenadas son 2 y 3.

Siempre, el numero que se da primero es la abscisa y el segundo la ordenada.

La notación empleada para indicar que la abscisa es 2 y la ordenada es 3

LECCION Nº 11




Es “punto (2,3)”. Y (+)

II I

(-)X O X (+)

III IV

Y (-)

DEFINICION DE FUNCION LINEAL

Se denomina función lineal a toda función representada por una ecuación de la

forma f(x)=mx+b, en donde m y b son constantes.

Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son constantes

cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando toman

diversos valores.

En la práctica también se acostumbra a expresar a una función, a través de la

regla o propiedad (ecuación) que la caracteriza.

Ejemplos:

f(x)= 3x² +2x - 2 o simplemente y = 3x² +2x - 2

f(x)= x-2 o simplemente y= x-2

En una función, a la letra x se la conoce como variable independiente y a la

letra y o f(x) como variable dependiente.

Ejemplos:

f(x) = 2x – 2

Variable dependiente variable independiente

y = 2x – 2

Variable dependiente variable independiente

EJEMPLOS: grafiquemos la función f(x) = 3x -2




CALCULO

X f(X) (-3, -11) f(x) = 3x - 2

-3 -11 ( -2, -8 ) f(-3)= 3 (-3) -2

-2 -8 ( -1,-5 ) - 9 - 2

-1 -5 ( 0, -2 ) R= -11

0 -2 ( 1, 1 )

1 1 ( 2, 4 ) (x) se reemplaza por valores determinados.

2 4 ( 3, 7 )

3 7

TABLA DE VALORES Pares Ordenados

Y

f(x) = 3x-2

O X

Gráfica a través de la intersección con los ejes

Para obtener la grafica de una función lineal a través de la intersección con los ejes,

debemos encontrar los puntos de intersección de la recta con los ejes del sistema y

luego unir dichos puntos de intersección.

Los puntos de intersección se obtienen de la siguiente manera:

1. El punto de intersección con el eje X, se obtiene reemplazando y=0 o f(x)=0 en

la función dada y luego despejando o hallando las abscisa x.

2. El punto de la intersección con el eje Y o eje f(x), se obtiene reemplazando x=0

en la función dada y luego despejando o hallando la ordenada y.

Ejemplo: Grafiquemos la función lineal f(x)=2x – 4, a través de la intersección con los

ejes.




Punto de intersección con el eje x

Hacemos f(x) =0 y hallamos x.

f(x) = 2x – 4

0= 2x – 4

-2x = - 4

2x = 4

x = 2

Entonces, el punto de intersección con el eje X es P (2,0).

Punto de intersección con el eje f(x)

Hacemos x = 0 y hallamos f(x)

f(x) = 2x – 4

f(x) = 2 (0) – 4

f(x) = 0 – 4

f(x) = - 4

Para construir la grafica, representamos los dos puntos de intersección en el sistema

cartesiano y luego trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.

P (2,0) y Q (0, -4)




Se puede emplear f(x) o y para denotar la variable dependiente de una función lineal.

Se utiliza con mayor frecuencia la notación “y”




INVESTIGO

1. ¿Explica a través de un ejemplo, sobre la variable dependiente y

la variable independiente de una función lineal?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Coordenadas:……………….…………………………………………………………………..

Eje:……………………..…………………………………………………………………………

Recta:……………………………………………………………………………………………..

Cuadrantes:……………………………………………………………………………………..

Ecuación:……….…………………………………………………………………………….....

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 11






………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..


clase estudiada.




1. Complete: Una función es:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. El eje de las abscisas es llamado también eje de…………………………………. El eje de las ordenadas es llamado también eje de………………………………… 2. Conteste verdadero o falso según corresponda El sistema rectangular de coordenadas tiene 2 cuadrantes ( ) En el sistema rectangular de coordenadas tiene cuatro ejes ( ) Grafica las siguientes funciones lineales

a. y= 2x b. y= 3x + 1 c. y=2x -4 d. y=-3x + 5

Grafica las siguientes funciones lineales, mediante la intersección de ejes

a. y= 3x - 1 b. y= - 2x + 3 c. – 3y = x-2 d. 4 - x=3y

Firma del Profesor


Fecha




ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL


Comprender los conceptos y aplicar los procesos para la resolución de

problemas matemáticos apropiados, tomando en cuenta los parámetros

que definen a la función.

PUNTO MEDIO

El punto medio de una recta es igual a la semisuma de cada una de las componentes:

Pm=𝑿𝟏+𝑿𝟐

𝟐;

𝒀𝟏+𝒀𝟐

𝟐

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia ente dos puntos del plano se calcula algebraicamente en función de las coordenadas de estos puntos.

d²= (X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²

LECCION Nº 12




PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

Llamamos pendiente, al grado de inclinación que tiene respecto del eje de las abscisas (x) y eje de las ordenadas (y)

m=𝒀𝟐−𝒀𝟏

𝑿𝟐−𝑿𝟏=

𝒀𝟏−𝒀𝟐

𝑿𝟏−𝑿𝟐

PUNTO MEDIO

Calcule el punto medio de los siguientes pares de puntos.

C: (2,-2) y D: (0,0)

Pm =𝑋1+𝑋2

2 ; 𝑌1+𝑌22

Pm =2+0

2 ; −2+02

Pm = (1, -1)




DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

A: (6, 4) y B: (2, 0)

d²= (X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²

d²= (2 – 6)² + (0 – 4)²

d²= (-4)² + (– 4)²

d²= 16 + 16 = 32

d²=

PENDIENTE DE UNA RECTA

A: (6, 4) y B: (2, 0)

m=𝒀𝟐−𝒀𝟏

𝑿𝟐−𝑿𝟏=

𝒀𝟏−𝒀𝟐

𝑿𝟏−𝑿𝟐

m=𝟒−𝟎

𝟔−𝟐




m=𝟒

𝟒

m= 1

SI m˃0 la recta se inclina hacia la derecha

RECUERDA

SI m˃0 la recta se inclina hacia la derecha

Si m˂0 la recta se inclina hacia la izquierda

Si m=0 la recta es paralela al eje x

Si m es indeterminada la recta es paralela al eje y




INVESTIGO

1. ¿Qué es el cambio o aumento vertical?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Pendiente:……………….……………………………………………………………………..

Fórmula:……………………..………………………………………………………………….

Semisuma:………………………………………………………………………………………

Plano:…………………………………………………………………………………………….

Inclinación:……….……………………………………………………………………………..



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 12




…………………………………………………………………………………………………


estudiada.




1. Calcula el punto medio, la distancia entre dos puntos y la pendiente de la recta.

(-2,-5) y (-7,-5)

(-1,-4) y (0,-8)

(-3,2) y (5,4)

(3,-2) y (5,-3)

(4,7) y (2,7)




Lea detenidamente el enunciado y elija la respuesta correcta:

Cuando la pendiente es mayor a cero la recta se inclina a:

Derecha

Izquierda

Indeterminada Cual de las siguientes formulas es la correcta para obtener el punto medio de un par ordenado:

𝑌1−𝑌2

𝑋1−𝑋2

(X2 –X1)² + (Y2 – Y1)²

𝑋1+𝑋2

2;

𝑌1+𝑌2

2

Complete: Para obtener la distancia entre dos puntos el resultado final se debe obtener la……………………………………….. Para representar el punto medio debo obtener un………………………………..

Firma del Profesor


Fecha




ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL: ECUACION DE LA RECTA


Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores, su gráfico o dos puntos de esta función son conocidos.

ECUACION DE LA RECTA

Utilizando las formulas estudiadas anteriormente podemos realizar ejercicios

utilizando cualquiera de los puntos anteriores con una incógnita.

La ecuación de la recta cuya pendiente es m y que pasa por el punto P1. (X1,

Y1) esta dada por la expresión: y – y1= m (x – x1)

Si se conocen los dos puntos P1: (X1, Y1) y P2: (x2, y2), reemplazamos

m= 𝒀𝟐−𝒀𝟏

𝑿𝟐−𝑿𝟏 y la ecuación de la recta esta dada por la expresión:

y – y1 =𝒀𝟐−𝒀𝟏

𝑿𝟐−𝑿𝟏 (x – x1)

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto:

A: (2,3), y cuya pendiente es m= 5

Reemplazamos los datos en la expresión:

y – y1= m (x – x1)

y – 3= 5 (x – 2)

y – 3= 5x – 10

y = 5x – 10 + 3

y= 5x -7

La ecuación de la recta es: y = 5x -7

LECCION Nº 13




Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A:( 3, 4) y

B: (-2, -1).

Reemplazamos los datos en la expresión:

y – y1 =𝒀𝟐−𝒀𝟏

𝑿𝟐−𝑿𝟏 (x – x1)

y – 4 =−𝟏−𝟒

−𝟐−𝟑 (x – 3)

y – 4 =−𝟓

−𝟓 (x – 3)

y – 4 =1 (x – 3)

y – 4 = x – 3

y = x – 3+4

y= x + 1

ECUACION CANONICA DE LA RECTA

La ecuación canónica de la recta cuya pendiente e m y la intersección es b,

esta dada por la expresión: y = mx +b.

El coeficiente de x es la pendiente y el termino constante b es la intersección

de la recta con el eje de las ordenadas (y).

Determinar la pendiente y la intersección de la recta cuya ecuación es:

2x + 3y = -6

Transformamos la ecuación dada a la forma canónica: y = mx +b.

3y = -2x – 6

y = −2𝑥

3 -

6

3

y = −2𝑥

3 - 2

m= −2

3; la intersección es: b = -2




Determinar la pendiente y la intersección de la recta cuya ecuación es: y = 2x

La pendiente es. m=2

La intersección es: b=0

Cuando la pendiente es mayor que cero, la recta será

inclinada a la derecha; en este caso la intersección es: 0

entonces pasara por el punto de origen.




INVESTIGO

1. ¿Cuál es el procedimiento para obtener los puntos de intersección

de la recta con los ejes del sistema cartesiano?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Intersección:……………….…………………………………………………………………..

Función lineal:……………………..……………………………………………………………

Abscisa:………………………………………………………………………………………….

Coordenada:…………………………………………………………………………………….

Notación:……….…………………………………………………………………………….....



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 13





clase estudiada.




Escriba verdadero o falso según corresponda al enunciado

En cada uno de los ítems marca con una X la respuesta correcta.

La pendiente de la recta que pasa por los pintos (3, 2) y (-1, 4), es:

m= 1

4

m= 3

2

m= −1

2

La ecuación de la recta que pasa por (3, 2) y tiene una pendiente m= -1, es:

x + y = -2

x + y = 5

x + 2y = -1

La ecuación de la recta que pasa por (2, -2) y (6, 4), es:

2x - 3y = 10

4x - 3y = 6

3x - 2y = -10

Determina la ecuación de la recta, según las condiciones dadas.

a. P:(4, 3) y m=2

b. P: (-5, 6) y m= - 7

c. P: (-8, -6) y (-2, -3)

d. P: (-2, -4) y (7, 6)

Determina la pendiente y el punto de intersección de cada una de las siguientes

rectas:

a. 8x + 2y =8

b. 2y – 10x =3

c. -3x + 15y = 59

d. 2x + 5y = 12




RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES


Identificar la intersección de dos rectas con la igualdad de las imágenes de dos

números respecto de dos funciones lineales.

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales; m1=m2 si dos rectas l1 y l2

son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente

de la otra con signo contrario.

Esto es, llamando m1 a la pendiente de l1 y m2 a la de l2 se tiene m1=- 1

𝑚2 o

m1m2 = -1

Si tenemos la ecuación de la recta, calculamos sus pendientes.

y= mx + b

a. y= 5x -1

m = 5

b. y= 3𝑥

5

m = 3

2

LECCION Nº 14




EJEMPLOS

Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares

a. 3x + 2y -5=0

Igualamos a y= mx +b

2y = -3x +5

y=- 3

2

m1=- 3

2

b. 6x + 4y -9=0

Ax + Bx +C = 0

m= −6

4

m2= −3

2

m1 y m2 entonces son paralelas.

Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares

a. X – y -8 = 0

m1= 1

b. X + y -3 = 0

m2= -1

Son perpendiculares.

Hallar la ecuación de la recta cuando se conoce el punto (2, -3) y es paralela a la

recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

Sea (x, y) otro punto cualquiera de la recta que pasa por (2, -3)

Pendiente de la recta que pasa por: (x, y) y (2, 3) = pendiente de la recta que

pasa por (4, 1) y (-2, 2)

Entonces aplicamos:

𝑦+3

𝑥−2 =

1−2

4+2

(y + 3) (6) = (x – 2) (-1)

6y +18 = -x +2

La ecuación de la recta es 6y +x +16 = 0




Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, -1) y perpendicular a la

recta 2x -3y – 5 =0

La pendiente de esta ecuación es: m1= 2

3

La recta perpendicular deberá tener como pendiente: m2=- 3

2 que es el reciproco

negativo.

Valiéndose del punto dado (3, -1) hallamos la ecuación de la recta.

y – y1 = m(x – x1)

y +1 =- 3

2 (x – 3

2(y +1) = -3x + 9

2y + 2 + 3x – 9 =0

La ecuación de la recta es 3x + 2y -7= 0




INVESTIGO

1. ¿Por qué decimos que la pendiente es una razón constante?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Pendiente:……………….……………………………………………………………………..

Fórmula:……………………..………………………………………………………………….

Semisuma:………………………………………………………………………………………

Plano:…………………………………………………………………………………………….

Inclinación:……….……………………………………………………………………………..



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 14




………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………..


estudiada.




Complete:

1. La intersección de rectas, esta determinada cuando entre ellas existe

un…………………………………….

2. Para representar que dos rectas son paralelas se utiliza la simbología

así:……………………………………

3. Para representar que dos rectas son perpendiculares se utiliza la simbología

así:…………………………………….

Elija la respuesta correcta de los siguientes enunciados:

1. Cual es a pendiente de la siguiente ecuación: y = 5x – 6

m= -5

m=5

m=0

2. cuál es la pendiente de la siguiente ecuación: 4x – 3y + 7 = 0

m=4

m=3

m=4

3

Determine si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna

a. x + 2y +3 = 0

b. 2x – y – 6 = 0

c. x + 2y – 13 = 0

d. x + 2y – 8 = 0




Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -2) y es perpendicular

a la recta x + 3y – 6 = 0

Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta

cuya ecuación es 4x – 2y – 4 = 0

Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x – 5y – 6= 0 y

pasa por el punto (-1, 4).




OBJETIVOS

Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las funciones trigonométricas y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros, áreas, volúmenes, ángulos de cuerpos y figuras geométricas.




ÁREA DE LOS POLÍGONOS


Calcular el área de los polígonos aplicando correctamente las formulas,

reconocer los datos que posee cada figura.

Para calcular el área de los polígonos primero tenemos que conocer algunos

datos de cada una de las figuras como:

Lado: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Apotema: segmento perpendicular a un lado hasta el centro del

polígono

Diagonal: segmento que une dos vértices no contiguos

Altura: dimensión de un cuerpo de la base al vértice o extremo mayor

Base: Línea o superficie principal de una figura

Centro: el punto central equidistante e todos los vértices

Radio: es el segmento que une el centro del polígono con uno de sus

vértices.

FIGURA FÓRMULA

h b b TRIÁNGULO

b x h 2

L CUADRADO

l²

LECCION Nº 15

h




L1 RECTÁNGULO

b x h l1 x l2

ROMBO

D x d 2

b

B TRAPECIO

(B + b) x h

2

POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE CUATRO LADOS.

Per x ap 2

ROMBOIDE

d x D 2

L2

d

D

ddD

DDDD

DD h

ap

apap

D d




AREA DEL RECTANGULO

El área del rectángulo es el producto de la medida de su base por la medida de su

altura.

Altura

A= b x h

Ejemplo:

Calculemos el área del pizarrón cuyas medidas son: 1.20m y 3.40m

A = b x h

A = 3.40 x 1.20

A = 4.08m²

AREA DEL CUADRADO

El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida de su lado.

Ejemplo:

Hallemos el área de un terreno de forma cuadrada, si de frente mide 18.5m

A = l²

A= (18.5)²

A = 342.25 m²

AREA DEL ROMBO

El área del rombo es igual al semiproducto de las diagonales.

Ejemplo:

La diagonal de un rombo mide 32cm y la otra mide 56cm, determinemos el área del

rombo.

A = 𝐷 𝑥 𝑑

2

A = 56 𝑥 32

2

A = 896 cm²

Base




AREA DEL TRIANGULO

El área del triangulo es la mitad del producto de la base por la altura.

Ejemplo:

Calculemos el área de un terreno triangular que tiene de base 18m y 12m de altura.

A = 𝑏 𝑥 ℎ

2

A = 18 𝑥 12

2

A = 108 cm²

AREA DEL POLIGONO REGULAR

El área de un polígono regular convexo es igual a la mitad del producto del perímetro

por la apotema.

A = 𝑃 𝑥 𝑎

2

A = 𝑙 𝑥 𝑎 𝑥 𝑛

2

A = 𝑃 𝑥 𝑎

2

Ejemplo:

El lado de un eneágono regular mide 6m y su apotema 8.2m. Hallemos el área del

polígono.

Primero calculemos el perímetro

P = n x l

P = 9 x 6

P =54m

A = 𝑃 𝑥 𝑎

2

A = 54 𝑥 8.2

2

A = 221.4m²




AREA DEL CÍRCULO

El área de un círculo es el producto del cuadrado del radio por π

Ejemplo:

Determinemos el área del círculo cuyo diámetro es 24cm

A= r² x π

A= (12)² x 3.14

A= 452.16 cm²




INVESTIGO

1. ¿Qué es un polígono irregular?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Base:……………….……………………………………………………………………………..

Altura:……………………..…………………………………………………………………......

Longitud:…………………………………………………………………………………………

Superficie:………………………………………………………………………………………

Polígonos:……….……………………………………………………………………………....



………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 15




………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………...


clase estudiada.




1. En cada uno de los ítems planteados, señala con una X la respuesta correcta.

El segmento de recta que partiendo del centro termina en la circunferencia, se llama:

Radio

Diámetro

Apotema

El ángulo interior de un pentágono regular mide:

120º

72º

108º

Si los lados de un triangulo son 7cm, 12cm y 0.9dm, el área en cm² es:

8.37cm²

83.7cm²

31.30cm²

2. Encuentra la superficie de un rectángulo de 3cm de base y 4cm de

altura.

3. Averigua las superficies de las siguientes figuras:

Trapecio: base menor 3cm, base mayor 5cm y altura 2cm




Rombo: diagonal mayor 4cm y diagonal menor 2cm Pentágono: apotema 1cm y lado 1.5cm

Determina el área de un círculo si su diámetro es 4.2m.

Determina el área de la corana circular, si los radios miden 8 y 6cm.




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Fecha




GEOMETRÍA


- Comprender el concepto del Teorema de Pitágoras.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas de triángulos rectángulos

mediante el Teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Si un triángulo tiene lados de longitud (a, b, c), con los lados (a, b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a2 + b2 = c2

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a, b, c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque

c2 = a2 + b2 = 32 + 42

c2 = 9 + 16 = 25

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo rectángulo y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.

LECCION Nº 16




Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(Recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo

152 = (10 + 5)2 = 102 + (2) (10) (5) + 52 = 100 + 100 + 25 = 225 y

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

Por ejemplo: 52 = (10 - 5)2 = 102 - (2) (10) (5) + 52 = 100 - 100 + 25 = 25 También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab.

Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a, b, c). La longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2.

No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el

área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes

(a + b) 2 = (4) (1/2) (a) (b) + c2

Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4) (1/2) = 2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Reste 2ab de ambos lados y obtendrá

a2 + b2 = c2




Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos

c2 = (4) (1/2) (a) (b) + (a-b) 2

= 2ab + (a2 - 2ab + b2)

= a2 + b2

La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los matemáticos aún siguen ese modelo.

Entonces, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

De esta fórmula se obtienen las siguientes:




Ejemplo:

1. Hallar la hipotenusa del siguiente triángulo:

2. Calcula el cateto que falta en el siguiente triángulo:




INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Pitágoras?

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Teorema:…………………………………………………………………………………………

Triángulo Rectángulo:….……………………………………………………………………

Hipotenusa:....…………………………………………………………………………………

Cateto:………..………………..………………..………………………………………………

Lógica:……..…………………….………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

LECCION Nº 16

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..




……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.




CUESTIONARIO

1. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.

2. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 9cm.

3. Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8cm y la base

6cm.

4. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32mm y 24mm.

5. Una escalera de 65dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de

la escalera dista 25dm de la pared. ¿A qué altura de la pared se apoya la

parte superior de la pared?




Del problema anterior, ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el

pie de esta misma escalera para que l parte superior se apoye en la pared

una altura de 52 dm?

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Fecha




TEOREMA DE PITÀGORAS

OBJETIVOS

Usar gráficos para comprender el Teorema de Pitágoras.

Seleccionar y aplicar procesos matemáticos apropiados para resolver

triángulos con el Teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras es de gran utilidad para el estudio matemático, ya que

nos permite relacionar los lados de un triángulo y nos prepara para para las

funciones trigonométricas.

Recordemos que un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo

recto (90°).

Para comprender este Teorema realicemos lo siguiente:

Trazamos un triángulos rectángulo ABC, tal que C sea el ángulo recto,

con los catetos b=3u y a=4u (la hipotenusa será igual a 5u)

Construyamos un cuadrado a partir de cada lado del triángulo

rectángulo, señalando en todos ellos cuadrados de 1 unidad de lado.

Si contamos el número de cuadrados, tenemos: En el cuadrado

construido a partir de la hipotenusa c, observamos que son 25; sobre el

cateto b de 3u, aparecen 9 cuadrados y sobre el cateto a de 4u

aparecen formados 16 cuadrados.

LECCION Nº 17




El número de cuadrados construidos sobre la hipotenusa (25) es equivalente a

la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (9 + 16).

FÒRMULAS

Ejemplo: Calcule la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden

8cm y 6cm.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado que tiene

como lado la hipotenusa, es equivalente a la suma de los cuadrados que tiene

como lados los catetos del triángulo.

En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los dos catetos.

C²= a² +b²

a²=c² -b²

b²= c² - a²




APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN CUADRADO

En función de la longitud del lado (l) de un cuadrado, determinemos la longitud de la

diagonal (d)

REGLA:

La función que relaciona la diagonal d y el lado l de un cuadrado, esta dada por la

siguiente formula:

d= √2 l

Ejemplo: calculemos la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado mide 4cm.

La diagonal del cuadrado, es la hipotenusa del triangulo cuyos catetos son los lados

del cuadrado dado.

c² = a² + b²

d² = l² + l²

D² 4² + 4²

d²= 16 + 16

d² =32

√d² = √32

d = 5.66




INVESTIGO

1. ¿Quién fue Pitágoras?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Teorema:……………….………………………………………………………………………

Triangulo:……………………..…………………………………………………………………

Hipotenusa:……………………………………………………………………………………...

Catetos:…………………………………………………………………………………………..

Ángulo

recto:……….……………………………………………………………………………………..

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 17






………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………..


clase estudiada.




En cada uno de los ítems planteados, marca con una X la respuesta correcta o realiza lo solicitado. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son:

Complementarios

Suplementarios

Congruentes Si a y b son los catetos de un triangulo rectángulo, el teorema de Pitágoras escrito en formula es:

a² - b² = c²

c² = a²+ b²

c² = a² - b² Complete: La hipotenusa es el lados mas………………… del triangulo Los catetos sumados y elevados al……………… es igual a la………………………… El teorema de Pitágoras se aplica para los triángulos……………………….; es decir aquellos que tiene una ángulo ………………….

1. Calcula la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuyos lados miden 5 y

12cm.




2. En el triángulo MPN, determina el cateto m, si el otro cateto n mide 14cm y la hipotenusa p mide 24cm.

3. En el triángulo propuesto a continuación, verifica el Teorema de Pitágoras, construyendo cuadrados a partir de cada uno de sus lados.

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APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN TRIANGULO

Destrezas con criterio de desempeño Resolver problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras y los elementos de un triangulo. Resolver problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras y los elementos de un rombo En función de la longitud l, determinemos la altura de un triangulo equilátero. REGLA: La función que relaciona la altura y el lado de un triangulo equilátero, es:

h= √3

2. 𝑙

Ejemplo: El lado de un triangulo equilátero mide 12cm. Calculemos su altura. La altura h de un triángulo dado es el cateto del triangulo rectángulo.

l²= h² + ( 1

2)²

h² = l² - ( 1

2)²

h² = (12)² - (6)² h² = 144 -36 h² = 108

h = √108 .3 h = 10.39 La altura del triangulo equilátero dado es 10.39cm

LECCION Nº 18




APLICACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN ROMBO

En función de las diagonales, determinemos el lado de un rombo.

Construimos un rombo con las diagonales mayores D y menor d, las mismas

que deciden al rombo en cuatro triángulos rectángulos.

REGLA:

La función que relaciona las diagonales y el lado de un rombo, es:

l= 1

2√ 𝑑² + 𝐷²

Ejemplo:

Las diagonales de un rombo miden 8 y 6cm. Determine la longitud de su lado.

El lado del rombo es la hipotenusa del triangulo, cuyos catetos son la mitad de

cada una de las diagonales.

l= 1

2√ 𝑑² + 𝐷²

l= 1

2√ 6² + 8²

l= 1

2√ 100

l= 1

2 .10

l = 5

El lado del rombo mide 5cm




INVESTIGO

1. ¿Qué es el ángulo de un grado sexagesimal?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Diagonal:……………….………………………………………………………………………

Altura:….……………………..…………………………………………………………………

Formula:….……………………………………………………………………………………...

Equilátero:………………………………………………………………………………………

Ángulo

agudo:……….…………………………………………………………………………………

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 18






………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………..


clase estudiada.




Complete:

La función que relaciona la altura y el lado de un triangulo equilátero

es:…………………………………………………………………………..

La función que relaciona las diagonales y el lado de un rombo

es…………………………………………………………………………..

El perímetro de un polígono es

la…………………………………………………………………………...

Responda las siguientes preguntas:

¿Cuáles son las dos características de un cuadrado?

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

¿Cómo están relacionadas las diagonales de un rombo?

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

1. Calcula la altura de un triangulo equilátero cuyo lado mide 16cm.

2. Calcula el lado de un triangulo equilátero cuya altura es 4√3




3. Calcule el lado de un rombo si las diagonales miden 14 y 28 decímetros

respectivamente.

4. El lado de un rombo mide √89 cm. Si la diagonal menor mide 16cm, calcula la

medida de la diagonal mayor

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OBJETIVOS

Recolectar, representar y analizar datos estadísticos y situaciones probabilísticas

Calcular media aritmética de una serie de datos reales.

Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones.




MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

OBJETIVOS

Aplicar correctamente los métodos de resolución para encontrar las

medidas de tendencia central dentro de un grupo de datos.

Describir los conceptos de frecuencias relativas y absolutas.

Usar tablas y gráficos para la representación de frecuencias relativas y

absolutas.

Concepto

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Las medidas de tendencia central que estudiaremos son:

Moda

Mediana

Media aritmética

MODA

Se denomina moda al valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto

de datos. (Mo)

Ejemplo: las edades de un grupo de ocho estudiantes de un colegio

determinado son las siguientes: 22, 15, 17, 19, 17, 16, 14 y 17; encontremos el

valor de la moda:

El valor que más veces se repite es 17.

La moda es 17 Mo= 17

MEDIANA

Se denomina mediana, al valor que esta ubicado justo en el medio de un

conjunto de datos. (Md)

Ejemplo: tomemos las notas parciales de Ciencias Naturales

18, 12, 15, 10, 20

LECCION Nº 19




ORDENADOS EN FORMA ORDENADOS EN FORMA

ASCENDENTE DESCENDENTE

10 20

12 18

15 15

18 12

20 10

Al valor que se ubica en el medio, es la mediana Md= 15

MEDIA ARITMETICA

Se denomina media aritmética a la suma de los datos dividida por el número

total de datos. (ẋ)

Ejemplo: las notas parciales de Lenguaje y Comunicación son: 18, 12, 15, 10,

20.

ẋ=⨊𝑋

𝑁 =

18+12+15+10+20

5 =

75

5 =15

ẋ= media aritmética

⨊x= sumatoria de los valores

N= numero de datos

So existen dos valores

ubicados en el medio, la

mediana será el promedio de

los dos valores.




FRECUENCIAS RELATIVAS Y ABSOLUTAS

Observemos la tabla correspondiente a las edades de u grupo de 80 alumnos

INTERPRETACIÒN DE LA TABLA

12 alumnos tienen 11 años






Se puede observar que ciertos datos se repiten algunas veces, lo que se

conoce con el nombre de frecuencia absoluta.

EDAD f

11 12

12 20

13 27

14 12

15 6

16 3

TOTAL 80

Frecuencia absoluta (f): es el

número de veces que se repite cierto

dato.

Frecuencia relativa (fr): es el

cociente entre la frecuencia

absoluta y el número total de

datos.

fr= frecuencia relativa

f=frecuencia 𝐟𝐫 = 𝐟𝐍

N= numero total de datos.

% =𝐟 𝐱 𝟏𝟎𝟎

𝐍

%= porcentaje.




REPRESENTACION GRAFICA

(DIAGRAMA DE SECTORES)

4%

36%

42%

12%

4% 2%

EDAD DE LOS ALUMNOS

16 17 18 19 20 21

EDAD f fr %

16 2 0.04 4

17 18 0.36 36

18 21 0.42 42

19 6 0.12 12

20 2 0.04 4

21 1 0.02 2

TOTAL 50 1.00 100%

RECUERDA

La suma de las frecuencias relativa es = 1

Las suma de los porcentajes es =100%




INVESTIGO

5. ¿Escribe tres situaciones de la vida real en donde se utilice la

estadística?

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

GLOSARIO

Tendencia:……………….……………………………………………………………...

Promedio:……………………..………………………………………………………...

Valor:……………………………………………………………………………………..

Medida:…………………………………………………………………………………..

Investigación:……….………………………………………………………………….

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 19




Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no

asimiladas en la lección, para mejorar su comprensión.

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………...


clase estudiada.




1. Identifique el valor de la moda en los siguientes números: 20, 32,

43, 20, 35

…………………………………………………………………………………………

2. Determine la media, mediana y moda de los siguientes datos: 14-13-

17-18-19-14-17-15-12.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

3. Encuentre la media aritmética, mediana, moda de los siguientes

valores: 144-135-174-158-119-135-129.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

4. Encuentre la media aritmética, mediana, moda de las siguientes

calificaciones: 16, 16, 17, 18, 20, 15, 14, 16, 18, 19.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………….

5. De acuerdo con el grafico propuesto, construya una tabla de frecuencias, elaborando las columnas de: f, fr y %

ESTUDIANTES GRADUADOS

X f fr %

QUITO




GUAYAQUIL

CUENCA

PORTOVIEJO

LOJA

MACHALA

IBARRA

TOTAL

Firma del Profesor


Fecha




PROBABILIDADES

BLOQUE: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

OBJETIVOS

Usar estrategias, datos y modelos matemáticos para resolver problemas

referentes al cálculo de probabilidades.

Aplicar el cálculo de probabilidades en distintas situaciones diarias.

Concepto

Se denomina probabilidad, a la medida de la posibilidad de que un suceso

ocurra favorablemente.

P(x)=𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Ejemplo 1.encontremos la probabilidad de obtener un número impar en el

lanzamiento de un dado.

Si S es el conjunto de resultados posibles y Sf el conjunto de resultados

favorables, entonces tenemos:

S = (1, 2, 3, 4, 5) resultados posibles = 6

S f= (1, 3, 5) resultados favorables = 3

Aplicamos la formula para calcular la probabilidad:

P(x)=𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

P(x)=3

6 =

1

2 = 0.5

LECCION Nº 20




Fracción=1

2

Decimal=0.5

Porcentaje= 50%

Ejemplo 2. En cierta rifa imprimen 500 boletos

a. ¿Qué probabilidad de ganar tenemos, si compramos 25 boletos?

S = (1, 2, 3……500) resultados posibles = 500

Sf = (25 números) resultados favorables= 25

P(x)=500

25 =

1

20

Fracción=1

20

Decimal=0.05

Porcentaje= 5%

PARA RECORDAR:

LA PROBABILIDAD PUEDE EXPRESARSE COMO UNA FRACCIÓN,

NÚMERO DECIMAL O PORCENTAJE.

EL VALOR DE CUALQUIER PROBABILIDAD ESTA COMPRENDIDO

ENTRE 1 Y 0.




INVESTIGO

6. ¿En qué campos se puede aplicar las probabilidades? Escriba tres

ejemplos.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

GLOSARIO

Resultado:……………….……………………………………………………………...

Posible:……………………..………………………………………………………......

Favorable:……………………………………………………………………………….

Porcentaje:……………………………………………………………………………...

Contingencia:……….………………………………………………………………….

Con ayuda del diccionario escriba el significado de palabras no

asimiladas en la lección, para mejorar su comprensión.

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCION Nº 20




………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………...


clase estudiada.




1. Se tira un dado sobre la mesa. Determine la probabilidad de obtener

a. un número par

b. un número impar

c. un múltiplo de 3

d. un número primo

e. un 5

2. Elija la respuesta correcta

Se extrae un naipe de una baraja de 52 piezas. La probabilidad de obtener un as es:

a. 1

6 ( )

b. 1

13 ( )

c. 1

52 ( )

3. La probabilidad de obtener una suma de 8 puntos, en el lanzamiento de

dos dados es :

a. 1

9 ( )

b. 5

36 ( )

c. 5

6 ( )

4. Resuelva los siguientes ejercicios

1. Determine la probabilidad de obtener una suma de 7 puntos en el lanzamiento de dos dados.




2. Determine la probabilidad de obtener una suma de 5 puntos, en el lanzamiento de dos dados.

Firma del Profesor


Fecha




LECCIÓN Nº1

PRODUCTOS NOTABLES

LECCIÓN Nº2


LECCIÓN Nº3


LECCIÓN Nº4


LECCIÓN Nº5


LECCIÓN Nº6


LECCIÓN Nº7


LECCIÓN Nº8

MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

LECCIÓN Nº9

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

LECCIÓN Nº10


LECCIÓN Nº11

REPRESENTACION DE LAS FUNCIONES LINEALES

LECCIÓN Nº12

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL




LECCIÓN Nº13

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL: ECUACION DE LA RECTA

LECCIÓN Nº14

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

LECCIÓN Nº15

ÁREA DE LOS POLÍGONOS

LECCIÓN Nº16

GEOMETRÍA

LECCIÓN Nº17

TEOREMA DE PITÀGORAS

LECCIÓN Nº18

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN UN TRIANGULO

LECCIÓN Nº19

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

LECCIÓN Nº20

PROBABILIDADES

modulo matematica 10 año

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